UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko strokovno izobraževanje STATISTIKA

STATISTIKA UML

1

STATISTIKA UML

Cilj tega sklopa predavanja je predstaviti obvladovanje računskih spretnosti pri reševanju logističnih problemov in pri statistični analizi. Pravilen izračun iskane količine je seveda pomemben, mnogokrat pa je še pomembnejša interpretacija izračunanega rezultata. Na svoji poklicni poti boste morda morali sprejeti kako pomembno poslovno odločitev. Svoje sodelavce boste morali prepričati v pravilnost svoje odločitve. Argumente boste morali podpreti z izračuni in izračunano korektno interpretirati. Ali pa boste morda želeli analizirati povpraševanje potencialnih kupcev izdelka, s katerim želite prodreti na tržišče. V teh in podobnih primerih vam bo priskočilo na pomoč vaše znanje matematike in statistike. V uvodu je predstavljeno nekaj matematičnih zakonitosti, prikazanih nekaj računskih spretnosti in obdelana dva temeljna matematična modela soodvisnosti med dvema spremenljivima količinama. 2

3

PREMO SORAZMERJE in OBRATNO SORAZMERJE UML

V matematiki in prav tako v logistiki pravimo količinam, ki lahko zavzamejo različne vrednosti, spremenljivke. Take količine so npr. stanje glavnice, stanje zalog, vrednost delnice itn. Tistim količinam, katerih vrednost se ne spreminja, pravimo konstante. Znameniti konstanti sta npr. število , π ≈141593, ki je enako razmerju med obsegom in premerom krožnice, ali pa svetlobna hitrost c ≈300.000 km/s.

Nekatere spremenljivke so medsebojno povezane, soodvisne. Stanje glavnice je npr. odvisno od časa obrestovanja in od obrestne mere. V praksi in tudi v vsakdanjem življenju pogosto srečamo premo sorazmerne in obratno sorazmerne spremenljivke.

4

RAZMERJA UML

Ko raziskujemo dve količini ali dva zneska, npr. letošnji in lanski dobiček, nas poleg velikosti teh količin pogosto zanima velikostni odnos med njima. Ta odnos lahko prikažemo z njunim razmerjem (npr. z razmerjem med tržno in knjigovodsko vrednostjo delnice, razmerjem med najvišjo in najnižjo plačo v podjetju).

Razmerja

Razmerje a : b (beremo a proti b) je nakazano deljenje števila a s številom b oziroma ulomek s števcem a in imenovalcem b. Števili a in b sta člena razmerja. Če izpeljemo nakazano deljenje, dobimo količnik (kvocient) k razmerja.

5

RAZMERJA UML

Primer 1: Poenostavimo dana razmerja in izračunajmo njihove količnike

V zadnjem primeru se skriva znano pravilo za preoblikovanje razmerja: zadnji ulomek 1/5 lahko spet predstavimo kot razmerje 1 : 5 , kar pomeni, da je razmerje 4/20 enakovredno razmerju 1 : 5 . Zapišimo to zakonitost.

PRAVILO Oba člena razmerja smemo pomnožiti ali deliti z istim od 0 različnim številom.

6

SORAZMERJA UML

Sorazmerja Sorazmerje je enakost dveh razmerij: a : b = c : d. Števili a in d sta zunanja člena, števili b in c pa notranja člena sorazmerja. Sorazmerje a : b = c : d pomeni, da je ulomek a/b enak ulomku c/d , ta dva ulomka pa sta enaka natanko tedaj, ko je zmnožek a*d enak zmnožku b*c.

Znak pomeni ekvivalenco ali enakovrednost

PRAVILO V sorazmerju je zmnožek zunanjih členov enak zmnožku notranjih členov.

7

SORAZMERJA UML

Primer 14: Naj velja sorazmerje x : 8 = 3 : 10 . Izračunajmo neznano število x.

Upoštevajmo zgornje pravilo: Velja, da je 10x = 24 => x = 2,4

PRAVILO V sorazmerju smemo narediti poljubno zamenjavo členov, pri kateri se zmnožek zunanjih členov in zmnožek notranjih členov ohranita, npr.: zamenjati smemo notranja člena, zamenjati smemo zunanja člena, zamenjati smemo notranja in zunanja člena.

8

SORAZMERJA UML

Poenostavimo sorazmerje Primer 2A:

Pomnožimo oba člena na desni strani (eden je notranji, drugi zunanji) z 6.

Zdaj lahko oba člena na desni strani še delimo s 14. Tako dobimo preprost zapis prvotnega sorazmerja.

9

Primer 2B:

PREMO SORAZMERJE UML

Premo sorazmerje Definicija: Če prvo količino 2x, 3x, 4x, … povečamo (zmanjšamo), se tudi druga količina 2x, 3x, 4x, … poveča (zmanjša). V tem primeru smo dobili povezavo oblike prva količina (a) je nekajkrat druga količina (b), a = kb. Takemu razmerju med količinama rečemo premo sorazmerje. Primeri: 1.Poraba goriva in prevoženi kilometri sta premo sorazmerni količini. 2.Velikost površine barvanja in poraba barve sta premo sorazmerni količini. 3.Razdalja in čas sta premo sorazmerni količini.

Tabela: Graf premega sorazmerja:

10

PREMO SORAZMERJE UML

Za nego osmih rož porabimo povprečno 12 minut. Povprečno koliko časa porabimo za 30 rož?

Primer 3A:

Odgovor: S 30-imi rožami se ukvarjamo povprečno 45 minut.

Primer 3B: Dve števili sta v razmerju 7 : 5. Prvo število je za 24 večje od drugega. Kateri sta ti števili?

Odgovor: Iskani števili sta 84 in 60. 11

OBRATNO SORAZMERJE UML

Obratno sorazmerje Definicija: Če prvo količino 2x, 3x, 4x, … povečamo (zmanjšamo), se druga količina 2x, 3x, 4x, … zmanjša (poveča). V tem primeru smo dobili povezavo oblike prva količina (a) je nekaj, ulomljeno z drugo količino (b), a = k/b. Takemu razmerju med količinama rečemo obratno sorazmerje. Primera: 1.Število delavcev in čas, v katerem se neko delo opravi, sta obratno sorazmerni količini. 2.Hitrost avtomobila in čas, da prevozimo dano pot, sta obratno sorazmerni količini.

Tabela: Graf obratnega sorazmerja:

Pri obratno sorazmernih spremenljivkah povzroči dvakratno, trikratno, … povečanje ene spremenljivke dvakratno, trikratno, … zmanjšanje druge spremenljivke.

12

OBRATNO SORAZMERJE UML

13

OBRATNO SORAZMERJE UML

Primer 4: Če na vsako samokolnico naložimo 50 kg peska, potrebujemo 120 samokolnic. Koliko samokolnic bi potrebovali, če bi na vsako naložili 75 kg peska?

Odgovor: Da bi na vsako naložili 75 kg peska potrebujemo 80 samokolnic.

14

15

SKLEPNI RAČUN UML

10 delavcev je v 5 dneh pri 6-urnem delovniku zaslužilo 2400 €. Koliko bo zaslužilo 20 delavcev v 4 dneh, če delajo po 8 ur na dan?

Primer 5A:

Odgovor: Zaslužili bodo 5.120,00 €. 16

SKLEPNI RAČUN UML

Primer 5B: Predor, dolg 1 km, širok 20 m, visok 4m, bi izkopalo 20 delavcev v 50 dneh, če je delavnik 6 ur/dan. Koliko delavcev potrebujemo za 800 m dolg predor, visok 3m, širok 16 m, ki mora biti izkopan v 30 dneh ob 8 urnem delavniku?

Odgovor: Potrebujemo 12 delavcev.

17

18

INDEKSI UML

INDEKSI Znanje izračunavanja indeksov in grafično prikazovanje teh je zelo pomembno, saj ni statistične analize brez primerjave podatkov z izbrano osnovo ali primerjave gibanja pojava. Zaradi lastnosti neimenovanih števil, ki omogočajo tudi primerjavo raznovrstnih podatkov, se v praksi stalno uporabljajo. Pravilno je potrebno izbrati osnovo, se odločiti za izračun indeksov s stalno osnovo (baznih) ali verižnih indeksov (spremenljiva osnova). Za prikazovanje dinamike lahko izberemo tudi druga relativna števila: koeficiente, stopnje ali razliko. Paziti je potrebno na izbiro ustreznega relativnega števila in za pravilno razlago dobljenih rezultatov.

19

INDEKSI UML

Indeksi nam dobro prikazujejo relativne spremembe pojava. Prednosti indeksov so tudi v tem, da so neimenovana števila, ker nam omogočajo primerjavo med raznovrstnimi podatki. Če so podatki izraženi v različnih merskih enotah, neposredna primerjava ni mogoča, ampak je mogoča primerjava le na podlagi relativnih števil, še najpogosteje z indeksi. Indeksi so relativna števila, ki so razmerja med dvema istovrstnima podatkoma, ki sta pomnožena s 100. Indeks je neimenovano število in je vedno pozitivno. V števcu je primerjalni podatek, v imenovalcu pa osnova ali baza.

20

INDEKSI UML

Indeks ima vrednost večjo od 100, če je primerjalni podatek večji od osnove. Indeks doseže vrednost enako 100, če sta podatka enaka. Indeks ima vrednost manjšo od 100, če je primerjalni podatek manjši od osnove.

21

INDEKSI UML

Indekse v poslovnih poročilih in statističnih analizah zelo pogosto uporabljamo, predvsem kadar želimo ugotoviti dinamiko pojava. Ker nas pri poslovnih odločitvah zanima gibanje pojava v preteklosti zaradi ocenjevanja pričakovanj v prihodnosti, je znanje indeksov nujno. Izračunavanje verižnih indeksov je smiselno za pojave, za katere je značilno periodično ali sezonsko nihanje. To je nihanje pojava na krajša časovna obdobja, npr. dan, teden, mesec, leto. Med periodičnimi nihanji so še posebej pomembna sezonska nihanja, ki se izračunavajo za obdobje enega leta. Prav ta nihanja so zelo značilna za gostinstvo in turizem. Zato se verižni indeksi zelo pogosto izračunavajo. Glede na obseg prikazanih podatkov v statistični vrsti se lahko z njimi izražajo nihanja v dnevu (npr. če prikazujemo podatke o prodaji v restavraciji po urah), v tednu (npr. če spremljamo število gostov v hotelu po dneh), v mesecu (npr. če spremljamo prodajo v restavracijo po tednih), v letu (npr. če spremljamo število nočitev po mesecih) ali nihanja v daljšem obdobju, če se podatki nanašajo na več let. Glede na namen statistične obdelave izberemo ustrezne podatke, ki jih bomo analizirali. Za poslovne odločitve nas zanimajo različne informacije zato izračunavamo tudi indekse z različnimi stalnimi osnovami.

22

INDEKSI UML

Verižni indeks Če za osnovo vzamemo predhodni podatek v časovni vrsti, dobimo verižne indekse. Pri interpretaciji verižnih indeksov uporabljamo stopnjo rasti. Dobimo jo tako, da od verižnega indeksa odštejemo 100: Stopnja rasti je lahko pozitivna, negativna ali ničelna.

23

INDEKSI UML

Kazalniki rasti

Kazalniki rasti so relativna števila, ki, podobno kot verižni indeksi, prikazujejo relativne spremembe pojava v času. Uporabljajo se predvsem pri proučevanju sprememb med dvema zaporednima časovnima obdobjema. Kazalniki rasti so:

- razlika, Dj, - koeficient rasti (dinamike), Kj, - verižni indeks, Vj, - stopnja rasti (relativna razlika), Sj.

24

INDEKSI UML

25

INDEKSI UML

Stopnja rasti se nanaša na relativno spremembo enega pojava in je izračunana iz dveh istovrstnih podatkov, ki se lahko nanašata na dva zaporedna časovna trenutka ali na dva zaporedna časovna intervala. Za izračunane stopnje v demografski statistiki je značilno, da se lahko izračunajo tudi iz istovrstnih podatkov, ki se nanašajo na isti časovni interval.

26

INDEKSI UML

Pri računanju stopnje rasti z računalnikom moramo paziti na pravilno oblikovanje formule, ki omogoča kopiranje za celotno časovno vrsto. Zaradi primerljivosti z verižnim indeksom jo običajno izračunamo na eno oz. dve decimalni mesti. Spremembe v času oz. dinamiko pojava lahko torej proučujemo in izražamo z različnimi kazalniki. Vsak izraža spremembe na svoj način. Lahko izračunavamo razliko ali razmerja, ki izražajo relativno spremembo pojava. Če poznamo vrednost za enega izmed njih, lahko iz zvez med njimi ugotovimo tudi vrednost za ostale. Iz obrazcev za izračun lahko razberemo naslednje povezave med kazalniki dinamike.

27

INDEKSI UML

28

Denimo, da nas zanima velikost indeksa, ki bi bil v vseh letih enak in bi proizvodnja iz začetnega leta narasla enakomerno do vrednosti v končnem letu. Temu indeksu pravimo povprečna stopnja rasti 𝑽𝑽� Povprečni stopnja rasti ali povprečni koeficient dinamike je geometrijska sredina pripadajočih verižnih indeksov (k je število vseh verižnih indeksov): Če imamo podatke o časovni vrsti, je boljša pot za izračun povprečnega koeficienta dinamike formula, ki upošteva prvi in zadnji podatek ter dolžino časovne vrste, ki je k:

𝑉𝑉� = 𝑉𝑉1 ∙ 𝑉𝑉2 ∙∙∙ 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑉𝑉� = 100 ∙𝑌𝑌𝑘𝑘𝑌𝑌1

𝑘𝑘−1

INDEKSI UML

29

Povprečni indeks ali povprečni koeficient dinamike

𝑉𝑉� = 𝑉𝑉1 ∙ 𝑉𝑉2 ∙∙∙ 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑉𝑉� = 100 ∙𝑌𝑌𝑘𝑘𝑌𝑌1

𝑘𝑘−1

V posebnih primerih, kadar iščemo srednje vrednosti za statistične podatke izražene z odstotki, (verižnimi) indeksi, koeficienti rasti itd., uporabljamo geometrijsko sredino ali geometrijsko povprečje. To je tista srednja vrednost, ki je enaka N-temu korenu iz produkta N pozitivnih vrednosti.

INDEKSI UML

VERIŽNI IN BAZNI INDEKSI

Absolutne vrednosti Bazni indeksi Verižni indeksi Y – proizvodnja Y – promet Y – tovor (pretovor, prevoz,..) Y – število zaposlenih Y - plača (v €) Y - dobiček (v €)

It (200? =100) Vt t+1 vrsta izpod t-1 vrsta iznad t ista vrsta

30

INDEKSI UML

Primer 6:

V tabeli so podani podatki o številu nočitev v zdraviliških kompleksih za obdobje 2007 – 2015. a) Izračunajte verižne indekse po navedenih letih in pojasnite vrednost

indeksa za leti 2012 in 2015, b) Izračunajte posamezne kazalnike rasti za vso časovno obdobje.

LETO Št. nočitev (000) 2007 12 2008 18 2009 21 2010 20 2011 23 2012 28 2013 31 2014 35 2015 37

31

INDEKSI UML

Primer 6:

Leta 2012 je bilo število nočitev za 21,74% večje kot leta 2011 Leta 2015 je bilo število nočitev za 5,71 % večje kot leta 2014

32

INDEKSI UML

Primer 7: VERIŽNI INDEKSI => ABSOLUTNE VREDNOSTI

V tabeli so podani verižni indeksi o dobičku podjetja K za obdobje 2008 – 2015. a) Izračunajte vrednost dobička za vsako leto v opazovanem če je leta 2012 dobiček

podjetja K znašal 4.258.243,00 €. b) Izračunajte posamezne kazalnike rasti za vso časovno obdobje.

LETO Verižni indeksi - Vt 2008 103,80 2009 105,63 2010 104,28 2011 110,25 2012 109,69 2013 98,64 2014 100,00 2015 104,55

33

INDEKSI UML

Primer 7: VERIŽNI INDEKSI => ABSOLUTNE VREDNOSTI

Povprečna stopnja rasti Vt 104,54 Povprečna stopnja rasti Sj 4,61 Povprečna stopnja rasti Kj 1,05

LETO Verižni indeksi - Vt Yt - pofit (v €) Sj - stopnja spremembe –

Vt-100 (v %) Razlika Dj Koef. rasti - Kj 2008 103,80 3.196.660,42 € 3,80 ne znana 1,038 2009 105,63 3.376.632,41 € 5,63 1,83 1,0563 2010 104,28 3.521.152,27 € 4,28 -1,35 1,0428 2011 110,25 3.882.070,38 € 10,25 5,97 1,1025 2012 109,69 4.258.243,00 € 9,69 -0,56 1,0969 2013 98,64 4.200.330,90 € -1,36 -11,05 0,9864 2014 100,00 4.200.330,90 € 0,00 1,36 1 2015 104,55 4.391.445,95 € 4,55 4,55 1,0455

34

INDEKSI UML

Indeksi stalno osnovo Neki podatek v časovni vrsti izberemo za osnovo označimo ga z 𝒀𝒀𝟎𝟎 . Vse podatke primerjamo na ta podatek. Za osnovo ne izbiramo neobičajnih obdobij.

35

INDEKSI UML

Primer 8: ABSOLUTNE VREDNOSTI => BAZNI INDEKS

V tabeli so podani o odpadkih od zgorevanja premoga v termoelektrarni TEŠ za obdobje 2002 – 2008 (http://kazalci.arso.gov.si/?data=indicator&ind_id=260 ). a) Izračunajte indekse na bazi leta 2002, ter pojasnite pomen glede na leto 2005 in

2008, ter pojasnite izračunane vrednosti indeksa, b) Izračunajte posamezne kazalnike rasti za časovno obdobje 2002 - 2008.

LETO Odpadki od zgorevanja premoga v TEŠ (v 000 t) 2002 1130 2003 1106 2004 1105 2005 975 2006 956 2007 913 2008 1047

36

INDEKSI UML

Primer 8:

Pojasnilo izračunanih indeksov za leti 2005 in 2008 pod a) Leta 2005 je bilo odpadkov od zgorevanja premoga v termoelektrarni TEŠ za 13,72 % manj glede na leto 2002 (bazno leto), Leta 2008 je bilo odpadkov od zgorevanja premoga v termoelektrarni TEŠ za 7,35 % manj glede na leto 2002 (bazno leto).

Povprečna stopnja rasti Vt 98,74 Povprečna stopnja rasti Sj -0,96 Povprečna stopnja rasti Kj 0,99

37

INDEKSI UML

Primer 9: BAZNI INDEKS => VERIŽNI INDEKS

V tabeli so podani indeksi na stalni bazi (1997 =100) letnega dobička za podjetje AA v obdobju od 1994 – 2003 leta. a) Izračunajte vrednosti dobička za vsako leto v opazovanem obdobju, če

poznamo podatek, da je dobiček leta 2000 znašal 3.500.000,00 €, b) Izračunajte posamezne kazalnike rasti za vso časovno obdobje.

LETO Indeks letnega dobička (1997=100) 1994 77 1995 88 1996 91 1997 100 1998 112 1999 109 2000 120 2001 124 2002 131 2003 136

38

INDEKSI UML

Primer 9: BAZNI INDEKS => VERIŽNI INDEKS

Povprečna stopnja rasti Vt 106,52 Povprečna stopnja rasti Sj 6,64 Povprečna stopnja rasti Kj 1,07

39

INDEKSI UML

Preračunavanje indeksov s stalno osnovo v indekse z novo osnovo

40

INDEKSI UML

Primer 10:

V tabeli so podani indeksi na stalni bazi (1997 =100) letnega dobička za podjetje AA v obdobju od 1994 – 2003 leta. a) Izračunajte indekse na bazi leta 1994, ter pojasni novi indeks za leto 1997. b) Izračunajte verižne indekse za obdobje 1994 – 2003 in pojasnite indeks za leto

1997

41

INDEKSI UML

Primer 10:

a) Izračunajte indekse na bazi leta 1994, ter pojasni novi indeks za leto 1997.

42

INDEKSI UML

Primer 10:

b) Izračunajte verižne indekse za obdobje 1994 – 2003 in pojasnite indeks za leto 1997

43

INDEKSI UML

44

Grafični prikaz

100,00

114,29 118,18 129,87

145,45 141,56

155,84 161,04

170,13 176,62

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

140,00

160,00

180,00

200,00

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Bazni indeks - It (1994=100)

Bazni indeks - It (1994=100)

INDEKSI UML

45

Grafični prikaz

114,29

103,41

109,89

112,00

97,32

110,09

103,33

105,65 103,82

85,00

90,00

95,00

100,00

105,00

110,00

115,00

120,00

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Verižni indeksi - Vt (It 1994=100)

Verižni indeksi - Vt (It 1994=100)

INDEKSI UML

Primer 11:

V tabeli so podani indeksi na stalni bazi (1997 =100) letnega dobička za podjetje AA v obdobju od 1994 – 2003 leta. a) Izračunajte verižne indekse in primerjate z verižnimi indeksi na stalni osnovi

leta 1994 = 100 (Primer 10), ter ostale kazalnike rasti.

LETO Indeks letnega dobička (1997=100) 1994 77 1995 88 1996 91 1997 100 1998 112 1999 109 2000 120 2001 124 2002 131 2003 136

46

INDEKSI UML

Primer 11:

47

INDEKSI UML

Preračunavanje verižnih indeksov v indekse s stalno osnovo (pred baznim letom) (od baznega leta naprej)

48

INDEKSI UML

Primer 12:

V tabeli so podani verižni indeksi o številu potnikov v pristaniškem prometu v obdobju 2006 – 2013 (Vir: Statistični urad RS). a) Izračunajte bazne indekse na bazi leta 2010, b) Izračunajte posamezne kazalnike rasti za vso časovno obdobje, c) Izračunajte število potnikov po posameznih letih v opazovanem obdobju, če je znan podatek, da je bilo leta 2010, 71.000 potnikov v pristaniškem prometu.

LETO Verižni indeksi - Vt 2006 105 2007 170 2008 98 2009 157 2010 91 2011 188 2012 65 2013 110

49

INDEKSI UML

Primer 12: rešitev

50

STATISTIKA UML

Linearni trend Časovne vrste so v ekonomiji najbolj pogosta oblika podatkov, ki jih imamo na voljo za analiziranje preteklih, tekočih in verjetnih bodočih gibanj ekonomskih spremenljivk, ki opisujejo dogajanja v gospodarstvu. Za enostavno analizo časovne vrste uporabljamo enostavne kazalce dinamike, ki smo jih že spoznali (indeksi s stalno osnovo, verižni indeksi, stopnje rasti, koeficienti rasti). Na vrednosti podatkov v časovni vrsti vplivajo številni dejavniki. Njihova moč in učinek na pojav se spreminja, v splošnem pa je rezultat teh dejavnikov določeno gibanje pojava. Spremembe, ki lahko nastopijo v posamezni časovni vrsti lahko opišemo s trendom. Trend predstavlja učinek dejavnikov, ki delujejo na dolgi rok in prikazuje osnovno smer razvoja. Trend je lahko naraščajoči, padajoči ali nihajoči trend. Trend prikazuje osnovno smer razvoja pojava in je najpomembnejša sestavina časovne vrste. Poznavanje trenda nam omogoča napovedati verjetni razvoj pojava v prihodnosti, olajšuje ugotavljanje ostalih sestavin pojava, izračun trenda pa nam omogoča nazornejšo primerjavo med pojavi. Metod za določanje trenda je več. Najpogosteje se uporablja prostoročno metodo in metodo najmanjših kvadratov.

51

STATISTIKA UML

Linearni trend – prostoročna metoda Je najenostavnejša med vsemi metodami. Časovno vrsto vrišemo v linijski grafikon in iz samega poteka linije sklepamo o obliki in poteku trenda. Trend v vsakem primeru poteka med realnimi vrednostmi tako, da se osnovna časovna vrednost od trenda odklanja navzgor in navzdol. Linija je lahko premica ali krivulja, ki jo vrišemo po lastni presoji. Tovrstno določanje trenda je seveda subjektivno, vendar hitro in enostavno. Primer 13: V tabeli in na grafu imamo podatke o stanju prevoženih kilometrov na 29 vožnjah. S prostoročno metodo določi trend uporabe vozila!

52

STATISTIKA UML

Rešitev: Spremenim vrsto grafikona – v črtni in dodamo trendno črto

53

STATISTIKA UML

Linearni trend – metoda najmanjših kvadratov

Metoda najmanjših kvadratov je metoda, ki jo med analitičnimi metodami za ugotavljanje trenda najpogosteje uporabljamo. Odkloni od trenda so v posameznih časovnih enotah lahko pozitivni ali negativni, njihova vsota pa je enaka nič.

Pri tej metodi je postavljena zahteva, da mora biti vsota kvadratov odklonov časovne vrste (𝑌𝑌𝑡𝑡) od trenda (𝑇𝑇𝑡𝑡) minimalna:

54

STATISTIKA UML

V okviru tega dela bomo obravnavali le linearni trend, ki je opredeljen z linearno funkcijo: T = α + βt Pri čemer je: α - konstanta linearnega trenda β - smerni koeficient linearnega trenda, ki nam pove letno (mesečno) spremembo linearnega trenda t – čas

55

STATISTIKA UML

parameter β - smerni koeficient linearnega trenda, ki nam pove spremembo linearnega trenda (letno, mesečno,..)

parameter α - konstanta linearnega trenda

Primer 14: Iz Primera 13 z metodo najmanjših kvadratov določi trend uporabe vozila in preveri v Excelu!

56

STATISTIKA UML

Rešitev 14: Izračun linearnega trenda

57

STATISTIKA UML

Rešitev 14: Uporaba Excela – kontrola Izračuna

58

STATISTIKA UML

Rešitev 14: Izračun linearnega trenda

59

STATISTIKA UML

Rešitev 14: Uporaba Excela – kontrola Izračuna

Interpretacija: V opazovanem obdobju (29 odčitkov prevoženih kilometrov) je v povprečju prevoženo 390,845 km s trendom zmanjševanja za 3,7759 km po vsakem odčitku (linearni trend je padajoči).

Ocena reprezentativnosti modela – koeficient variacije linearnega trenda 𝑉𝑉𝑌𝑌

60

STATISTIKA UML

PEARSONOV KOEFICIENT KORELACIJE

61

STATISTIKA UML

Primer 15: Primerjava medsebojne povezanosti podatkov

Povezava med odčitkom 1 in 2 je pozitivna, šibka povezava. 62

STATISTIKA UML

Primer 16: Primerjava podatkov o odčitkih prevoženih kilometrov in porabe goriva

Vrednost koecienta r je blizu 1, močno pozitivno linearno povezanost spremenljivk. Več kot prevozimo, več goriva porabimo

63