UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko …...Vsota vektorjev je vektor z zacetno tocko v skupni. začetnitočkiobeh vektorjev in s končnotočkov nasprotnem ogliščuparalelograma

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKIza višješolsko strokovno izobraževanje

LINEARNA ALGEBRA(VEKTORJI)

LINEARNA ALGEBRA VEKTORSKI PROSTOR

2


Definicija vektorja

3


Ničelni vektor je vektor, ki ima zacetno in koncno tocko v isti tocki

Nasprotni vektor danega vektorja je vektor, ki ima zamenjan vrstni red začetne inkončne točke danega vektorja.

4


Dva vektorja sta enaka, če imata enaki dolžini, isto smer in isto usmerjenost.

Po zgornji definiciji se vektor ne spremeni, če ga vzporedno premaknemo, zatoso vsi vektorji z enakimi dolžinami, istimi smermi in istimi usmerjenostmipredstavniki istega vektorja.

Vzporedni premik vektorja5


Osnovne računske operacije z vektorji

Za vektorje bomo definirali tri osnovne računske operacije, in sicer seštevanje in odštevanje vektorjev ter množenje vektorja z realnim številom (skalarjem).

Seštevanje vektorjev

Trikotniško pravilo seštevanja dveh vektorjev, zahteva, da se začetna točka drugega vektorja ujema s končno točko prvega vektorja

6


Enak rezultat dobimo, če uporabimo paralelogramsko pravilo, po katerem vektorja vzporedno premaknemo tako, da imata oba isto začetno točko. Vektorjema narišemo vzporednici, tako da dobimo paralelogram.

Vsota vektorjev je vektor z zacetno tocko v skupni začetni točki obeh vektorjev ins končno točko v nasprotnem oglišču paralelograma. Opazimo lahko, da se vparalelogramskem pravilu skriva trikotniško pravilo.

7


Lastnosti seštevanja vektorjev

Za seštevanje več vektorjev uporabimopoligonsko pravilo. Vektorje vzporednopremaknemo tako, da se končna točkavsakega vektorja ujema z začetno točkonaslednjega vektorja.

Vsota vseh vektorjev je vektor, ki imazačetno točko v začetni točki prvegavektorja v vsoti in končno točko v končnitočki zadnjega vektorja v vsoti.

8


Odštevanje vektorjev

9


Produkt vektorja z realnim stevilom

10


Produkt vektorja z realnim stevilom

Kolinearni in komplanarni vektorji - Vektorji so kolinearni, če ležijo na isti premici ali na vzporednih premicah. Vektorji so komplanarni, če ležijo v isti ravnini ali v vzporednih ravninah.

kolinearna vektorja Komplanarni vektorji 11

LINEARNA ALGEBRA VEKTORJI V RAVNINI

LINEARNA KOMBINACIJA VEKTORJEV

12

Predstavitelj

Opombe o predstavitvi

Kòlineárnost je v geometriji značilnost, da dane točke (ali drugi geometrijski objekti) ležijo na skupni premici. Kolinearni vektorji Kolinearnost točk je povezana s kolinearnostjo vektorjev. Pri vektorjih kolinearnost opazujemo vedno v primeru, ko imajo vsi vektorji skupno začetno točko. V tem primeru kolinearnost pomeni isto kot linearna odvisnost (pa tudi isto kot vzporednost) vektorjev


13

Predstavitelj

Opombe o predstavitvi

Trije vektorji so komplanárni, kadar in samo kadar ležijo v isti ravnini. Mešani produkt je enak nič natanko tedaj, ko so vektorji komplanarni:


LINEARNO ODVISNI IN LINEARNO NEODVISNI VEKTORJI

14



Kolinearna vektorja stalinearno odvisna.

Nekolinearna vektorja stalinearno neodvisna.

15



Trije komplanarni vektorji solinearno odvisni Trije nekomplanarni vektorji so

linearno neodvisni 16



17


Primer 1:

Rešitev:

18


Primer 2:

Rešitev:

Vektorje na sliki zapiši s koordinatami in izračunaj njihovo dolžino:

19


Primer 3:

a)

b) Izračunaj vsoto

a)

b)

20

LINEARNA ALGEBRA VEKTORJI V PROSTORU

21


Vektorji v pravokotnem koordinatnem sistemu

22



Pravokotni koordinatnisistem v prostoru, opremljenz ortonormirano bazo

23



24


25


26


Računske operacije z vektorji v ortonormirani bazi

Vektorja seštejemo torej tako, da seštejemo njune istoležne komponente. Podobnolahko izpeljemo pravilo za odštevanje vektorjev. Izpeljimo še pravilo za množenjevektorja z realnim številom:

27

Primer 4:

Primer 5:

Sledi, da je


28


29


30


31

Primer 6:


32


Primer 7:

33

Primer 8:


34


35


36

Primer 9:


37

Primer 10:


38

Primer 11:


Preverimo po formuli za ploščine likov v ravnini (geometrija v ravnini)

39


Primer 11:

40


41


42

Primer 12:


http://keisan.casio.com/exec/system/122360914743


Primer 13:

44


Primer 13: nadaljevanje

45

Documents

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKI za višješolsko …...Vsota vektorjev je vektor z zacetno tocko v skupni. začetnitočkiobeh vektorjev in s končnotočkov nasprotnem ogliščuparalelograma