Unidad III Regimen Perm Senoidal

UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE CIRCUITOS Y MEDICIONES

CCAAPPIITTUULLOO IIVV

ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SENOIDAL

(NOTAS DE CLASES DICTADAS POR EL PROF. DAVID MATHEUS)

Realizado por: Tutor: Br. Angel Figueredo Prof. David Matheus

Aplicación de las señales senoidales a los elementos circuitales pasivos:

1) Resistencia:

i(t) V(t)ref

Se puede observar que i(t) y V(t) coinciden en cuanto a su ubicación en el tiempo, cuando esto ocurre dice que: En las Resistencias, el voltaje y la corriente están en FASE.

Diagrama de vectores rotatorios

( ) ( )ωtVmsent =V

( ) ( ) ( )R

ωtVmsenR

tt ==V

i ( ) ( ) ( )R

ωtVmsenR

tt ==V

i

2) Capacitor:

0

Vm

CVm

V(t) , i(t)

t

En un Condensador el voltaje esta ATRASADA 90° con respecto a la corriente.


i(t)

V(t)ref

( ) ( )ωtVmsent =V

( ) ( ) ( )( )dt

ωtVmsendCdt

tdCt ==V

i

( ) ( )ωtVmcosCt ω=i

( ) ( )°+ω= 90ωtVmsenCti

( ) ( )°+= 90ωtsen

Cω1mVti

Reactancia Capacitiva (Ω)

Cω1XC =

3) Inductancia:

En la inductancia la corriente esta ATRASADA 90° con respecto al voltaje.


( ) ( )ωtVmsent =V

( ) ( ) ( )dttL1tt

t

t0

0

∫+= Vii

( ) ( ) ( )tcosL

VmdttVmsenL

t ωω

−=ω= ∫1

i

( ) ( )°+−= 90tωsenLω

Vmti

( ) ( )°−= 90ωtsenLωmVti

Reactancia Inductiva (Ω)

LXL ω=

1) Circuito RL en serie:

+V(t)

-

R

L

VR(t)

VL(t)

i(t)

+

+

-

-

L.V.K. ( ) ( ) ( )dt

tdLtRt iiV +⋅=

( ) ( ) ( )L

tVmsentLR

dttd ω

=+ ii

El circuito está en régimen permanente. La respuesta transitoria ya se extinguió ( ) ( )tt pii = Entonces determinamos ( )ti por el método de los coeficientes indeterminados:

( ) ( ) ( )tcosBtsenAt ω+ω=i

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsenL

VmtcosBLRtAsen

LRtsenBtcosA ω=ω+ω+ωω−ωω

( ) ( ) ( )tsenL

VmtcosBLRAtsenBA

LR

ω=ω⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +ω+ω⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+ω

=ω−

0BLRA

LVmBA

LR

Resolviendo el sistema de ecuación, queda:

( )22 LωRRVmA+

= ( )22 LωR

LVmωB+

−=

( ) ( )ωtVmsent =V

( ) ?t =i

( )( )

( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−

+= 4444 34444 21 tωcosLωtωRsen

LωRVmt 22

i

( )( )

( )444444 8444444 76

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+= −

RLωtgtωsenLωR

LωRVmt 122

22i

( )( ) ⎟

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+= −

43421φ

RLωtgtωsen

LωRVmt 1

22i


VL(t)

V(t)ref

VR(t)

i(t)

L.V.K: ( ) ( ) ( )ttt LR VVV +=

( ) ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==

RLωtg-tωsen

LωR

RVmt.Rt 1-22R iV

( ) ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+== 90

RLωtg-tωsen

LωR

LVmωdt

tdLt 1-22L

iV

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=RCω1tgtωsen

Cω1R

Vmt 1-2

2

i

2) Circuito RC en serie:

+V(t)

-

R

C

VR(t)

VC(t)

i(t)

+

+

-

-

0

Vm

V(t) , i(t)

t

Im


VR(t)

V(t)ref

VC(t)

i(t)

L.V.K: ( ) ( ) ( )t+t=t CR VVV

( ) ( )ωtVmsent =V( ) ?t =i

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

==RCω1tgtωsen

Cω1R

RVmt.Rt 1-2

2R iV

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛°⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

== 90-RCω1tgtωsen

Cω1R

VmCω

1

dttdLt 1-

22

Li

V

3) Circuito RLC en serie:

+

-

R

L

C

V(t) VL(t)+

-

VR(t)+ -

VC(t)+-

i(t)

Sea Cω

1XC = y Lω=XL

• Si XC > XL ( )ti está adelantada respecto de ( )tV .

(El circuito tiene predominio capacitivo)

• Si XC < XL ( )ti está atrasada respecto de ( )tV .

(El circuito tiene predominio inductivo)

• Si XC = XL ( )ti y ( )tV están en fase.

(Condición de resonancia o el circuito está en resonancia). La condición de resonancia en un circuito, implica que los efectos de las inductancias se contraponen a los efectos de las capacidades produciendo que la fuente del circuito solo vea un circuito resistivo.

( ) ( )ωtVmsen=tV( ) ?t =i

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=R

LωCω1

tgtωsen

LωCω1R

Vmt 1-2

2

i

Transformación de las ecuaciones integro-diferenciales (Dominio del tiempo) a ecuaciones complejas (Dominio de la frecuencia).

Se tiene señales eléctricas tal que:

( ) ( )ϕ+=

VωtVmcostV

Recordemos la Fórmula de Euler:

jAsenxAcosxAejx +=

Si se tiene una señal eléctrica tal que:

( ) ( )e VωtjVmt ϕ=′ +V

( ) ( ) ( )ϕϕ +++=′VV

ωtjVmsenωtVmcostV

( ) ( ) tt VV ′= R

( ) ( )2

Vm2

t eee tωjωtj

tωjV

−+

−

⋅=⋅′V

e VjVef ϕ⋅=V

Fasor: Es la representación de una señal senoidal en el dominio de la frecuencia.

e VjVef ϕ⋅=V

vv senjVefVefV ϕϕ ⋅+⋅= cos VefV = ∠ϕV

e VjVef ϕ⋅=V Forma Exponencial

vv senjVefVefV ϕϕ ⋅+⋅= cos Forma Binómica o Cartesiana

VefV = ∠ϕV Forma Polar

ϕv - ϕI IefVef

=IV

ϕv - ϕI ImVm

2Im2Vm

===IVZ

ϕI - ϕV VmIm1

==Z

Y

Dado un circuito eléctrico tal que: Sea ( ) ( )ϕ+=

VωtVmsentV

e ( ) ( )ϕ+=I

ωtImsenti

Si lo llevamos al dominio de la frecuencia:

Impedancia ( Z ): Es el índice de oposición de los elementos circuitales pasivo al paso de una corriente senoidal. Su unidad es: Z [ ]Ω ohm.

• La impedancia no es un fasor puesto que no está representado a ninguna señal eléctrica. • El reciproco de la impedancia se denomina Admitancia ( Y ).

Circuito en el dominio

de la frecuencia

+V-

ϕv - ϕI 0° RRVm

Vm==

ImVm

=IV

IVZR ==

ϕv - ϕI ϕv – (ϕv – 90°) LVm

Vmω

=ImVm

=IV

IVZL == 90° 90° Lω= Ljω=

ϕv - ϕI ϕv – (ϕv + 90°) CVmVm

ω=Im

Vm=

I

V

IV

ZC == −90° −90°

Cj

ω−=

Cω=

1

Representación de los elementos circuitales pasivos en el dominio de la frecuencia:

1) Resistencia: 2) Inductancia:

3) Capacitor:

ZR R

R

+ -

XCjZC C1

Comportamiento de la Impedancia/Admitancia de los elementos circuitales pasivos en función de la frecuencia (ω). 1) Resistencia:

ZR = R ; YR GR1

==

2) Inductancia:

ZL = jXL = XL ; YL ==Xj1

L

-jBL = BL

90° −90°

3) Capacitor: ZC = -jXC = XC ; YC = jωC = jBC = BC

4) R y C en serie:

Triángulo de impedancias ó diagrama de impedancia

−90° 90°

ZC

C

ZR

RZeq

[ ]( )ΩωC1jRZZZ CReq −=+=

0

IZeqI

IZCIR

0 Zeq

-90°

Resolución de circuitos usando diagrama fasorial

Esta técnica permite resolver gráficamente los ejercicios aplicando geometría y

trigonometría sobre la base de las propiedades de los elementos circuitales y las leyes y métodos de solución. 1) Circuito RL en serie:

+V(t)

-

i(t) R

L VωtVmsentV

Llevamos al circuito al dominio de la frecuencia:

Donde 2

VV mef =

Llevamos al dominio del tiempo:

Diagrama Fasorial del circuito

L.V.K: V = VR + VL

;

V=V ϕv Vef= ϕv

ZZV

ZVI

LReq +==

( )22

ef

LωRV+

=I ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−−ϕ R

LtgV

1

( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+= −

RLωtgφtωsen

LωRV2t 1

V22

efi

VR

VVL

I

ZV

ZV

L

L

R

RI ==2

L

2

R VVV +=

2) Circuito RC en paralelo:

+

-R Ci(t)

iR(t) iC(t)

V(t) IωtImcosti

Llevamos al dominio de la frecuencia:


L.C.K: I = IR + IC

V = Zeq.I

ZZZZZ

CR

CReq

.+

=

YYY CReq

IIV+

==

2

C

2

R III += α Δθ

Iref.orig = Iref.eje + Δθ

ϕI = α + Δθ

( ) ( )φωtVmsent V+=V

< <


L.V.K: V = VR + VL+ VC

L.V.K: V = VR + VL+ VC

El circuito esta en RESONANCIA

I ZL I = I ZC I

PREDOMINIO INDUCTIVO

PREDOMINIO CAPACITIVO

CONDICIÓN DE RESONANCIA

VR

I

VL VL

VC

VC

V

V

VR

IVL VL

VC

VC

I

VL VL

VC

VC

VR = VZZZZZ RCLReq

VVVI =++

==

Ejemplo: El circuito mostrado está en Resonancia. Determine R, L, C e iL(t)

+V (t)

C

LiL(t)

R V

A

A = 2 A

V = 5 V

( ) ( )°−= 221000tsen24tV V

Para la resolución de este circuito tenemos que tomar en cuenta lo sigue:

1. Llevamos el circuito al dominio de la frecuencia, identificando cada voltaje, corriente e impedancia en su forma fasorial.

´

¡Importante! El circuito esta en condición de resonancia, puede ser una vía importante para la resolución del ejercicio.

2. Se empieza a construir el diagrama fasorial del circuito según los datos del problema. 2.1. Se elige la referencia del diagrama según el elemento que tenga el voltaje o la

corriente en común con los otros elementos. En este caso, nuestra referencia es VR, visto que VR es el mismo voltaje que en la inductancia.

° V = 4 V

5VR =

2.2. La corriente IR esta en fase con VR y la corriente que pasa por el inductor esta

atrasada 90° con respecto al voltaje VR. 2.3. Aplicamos la L.C.K en el nodo a: IC = LI′ + IR (Analíticamente).

2.4. Y luego aplicamos la L.C.K pero en su forma fasorial, como la suma de favores

según la ecuación IC = LI′ + IR.

IL IC

VRIR

3. Ya formado una parte del diagrama fasorial podemos calcular L. Cálculo de L:

IVLωXZ

L

RLL

′=== Aplicamos trigonometria:

Se sabe que: II LL =′

Por Pitágoras: 2L

2R

2C III +=

( ) ( )22

L A6,1A2I −= ; A2,1IL =

A2,1V5LHz1000 =⋅ ; 4,17mHL =

4. Como se quiere calcular R se toma en cuenta la condición de resonancia y lo ilustramos en

el diagrama fasorial.

4.1. La condición de resonancia nos dice que la corriente IC esta en fase con la V de la fuente, es decir, es como si la fuente suministrara energía a puros resistores.

´

4.2. La corriente IC esta en fase con V y la corriente que pasa por el capacitor esta adelantada 90° con respecto al voltaje VC.

4.3. Aplicamos la L.V.K. en la malla donde esta la fuente (V, VR y VC), donde: V = VR +

VC (Analíticamente) y luego obtenemos el diagrama fasorial del circuito.


IL

VR

IC

IR

VC

V

L.C.K: IC = LI′ + IR L.V.K: V = VR + VC

5. Formado el diagrama, se procede al cálculo de R y C.

6. En el diagrama fasorial se observa triángulos rectos entre los vectores. Cálculo de R:

IVRZ

R

RR == Basándonos en el diagrama del circuito, aplicamos trigonometría:

VV

αcosR

= ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

V5V4cosα 1 ; °= 86,36α

( )54A2αcosII CR == ; A6,1IR =

Ω125,3A6,1

V5R == ; Ω125,3R =

Cálculo de C:

IV

Cω1

XZC

CCC === Por Pitágoras: 22

C2

R VVV +=

( ) ( )22

C V4V5V −= ; V3VC =

A2V3

CHz10001

=⋅

; Fμ67,666C =

7. Para el cálculo de )t(Li se utilizan los siguientes pasos:

7.1. En el diagrama se observa la corriente LI′ más no IL, entonces se procede a dibujar el fasor IL al sentido opuesto que LI′ .

7.2. Se procede al cálculo de ϕI según la referencia original del circuito, más no la

referencia guía.

7.3. Para concluir, el fasor IL se lleva al dominio del tiempo.

Cálculo de )t(Li :

IL

VR

IC

IR

VC

V

IL

Referencia Original

I

°≈°−°+°=°−+°= 87,1042286,369022α90φI °= 87,104φI

( ) ( )φ1000tImsen t IL +=i ( ) 2A2,12IIm L == A7,1Im =

( ) ( )A87,1041000t sen7,1tL °+=i

Cálculo del ángulo ϕI

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