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Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de Ingenieros ONDAS SENOIDALES, FRECUENCIA Y FASE ) 2 ( ) ( ) ( 0 0 ft sen V wt sen V t v Los valores instantáneos de las señales eléctricas pueden graficarse cuando varían en el tiempo y se llaman formas de onda. Cuando varía en el tiempo y contiene partes positivas como negativas se le llama onda de corriente alterna (ca). Cuando varía repitiéndose en forma continua, se llama onda periódica. Cuando no varían en el tiempo se llaman señales de corriente directa (cd). La señal más utilizada es la senoide. Su expresión matemática es:

01señal senoidal

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosONDAS SENOIDALES, FRECUENCIA Y FASELos valores instantneos de las seales elctricas pueden graficarse cuando varan en el tiempo y se llaman formas de onda. Cuando vara en el tiempo y contiene partes positivas como negativas se le llama onda de corriente alterna (ca). Cuando vara repitindose en forma continua, se llama onda peridica. Cuando no varan en el tiempo se llaman seales de corriente directa (cd).La seal ms utilizada es la senoide. Su expresin matemtica es:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosEn la figura anterior, hay dos ondas de igual frecuencia pero desplazadas un cierto ngulo de fase:Si la onda B tiene valor cero (con pendiente positiva) que se presenta despus del valor de cero (con pendiente positiva) de la onda A, entonces se dice que la onda B sigue a la onda A, o est atrasada con respecto a la onda A y viceversa.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosVALOR PROMEDIO Y VALOR CUADRTICO MEDIO (RMS)Si las seales aplicadas a un circuito son seales de cd , es bastante fcil calcular cantidades tales como el nmero de amperios que fluyen en el circuito, o la energa disipada por los componentes del circuito a lo largo de un periodo de tiempo.Si la seal vara con el tiempo, su onda ya no es tan sencilla como la (a), sino como la (b) (c):

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosCuando las ondas poseen formas variables con el tiempo, ya no es suficiente medir solamente el valor de la cantidad que representa un solo instante. No es posible determinar todo lo que se debe conocer sobre la seal, a partir de una sola medicin.Los dos valores caractersticos empleados con mayor frecuencia en ondas variables en el tiempo son su valor promedio ( medio) y su valor cuadrtico ( rms).

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosVALOR PROMEDIOEl valor promedio de una onda de corriente que vara a lo largo de un periodo T, es el valor que tendra una corriente directa si suministrara una cantidad igual de carga en el mismo periodo T.Matemticamente, el valor promedio de cualquier onda peridica se obtiene dividiendo el rea bajo la curva de la onda en un periodo T, entre el tiempo del periodo:En forma general:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosEncuentren el valor promedio de las siguientes ondas:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosEl valor promedio de la onda (a) lo podemos obtener de la siguiente forma:El valor promedio de la onda (b) lo podemos obtener de la siguiente forma:Ntese que el valor medio de una seal sinusoidal simtrica es cero.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosVALOR CUADRTICO MEDIO (RMS)RMS son las primeras letras de root mean square. El valor rms o valor efectivo de una onda variable en el tiempo es el valor que una onda de cd entregara para disipar la misma potencia.Para calcular el valor efectivo, se eleva primero al cuadrado la magnitud de la onda en cada instante, se calcula el valor promedio de las magnitudes elevadas al cuadrado y se calcula su raz cuadrada:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosPara la onda senoidal del ejemplo anterior:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosEn la siguiente figura se muestran seis formas de onda con valores promedio y rms:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosSea la funcin:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosCorrespondencia entre funciones senoidales y nmeros complejosTodas las funciones senoidales tienen una correspondencia con un nmero complejo y viceversa:K es una constante para todas las funciones sinusoidales y vale 1/2, es decir, KA es el valor rms de la seal sinusoidal. Tendr otro valor segn el tipo de forma de onda que se maneje.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosPara la derivada:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosPara la integral:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosRespuesta de los elementos bsicos a un voltaje o corriente senoidal Al suministrar energa elctrica a un elemento pasivo de un circuito, ste se comporta de una ms formas: Si disipa la energa es un elemento resistivo; si la almacena en un campo magntico, es una bobina pura; si la acumula en un campo elctrico, es un condensador puro. En la prctica, los componentes de un circuito se comportan de ms de una de estas formas y muchas de las veces, de las tres simultneamente; pero suele dominar alguno de los tres efectos. Se puede disear una bobina con un gran coeficiente de autoinduccin, pero el alambre con que se fabrica presenta cierta resistencia que es imposible de anular. De modo que sta bobina presentar dos efectos: el de bobina y el de resistencia.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosConsideremos el siguiente circuito serie:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosLa diferencia de potencial en un elemento resistivo puro es directamente proporcional a la corriente que circula por l (Ley de Ohm). La constante de proporcionalidad entre estas variables es llamada resistencia (R):Si por la bobina circula una corriente elctrica variante en el tiempo, se origina en ella un potencial que es directamente proporcional a dicha corriente:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosLa diferencia de potencial en un condensador es directamente proporcional a la carga Q almacenada en l. La constante de proporcionalidad entre estas variables es llamada capacitancia (C):Por lo tanto, la suma de los voltajes de cada elemento pasivo del circuito serie es igual al voltaje total de la fuente de alimentacin:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosFactorizando el termino de la corriente elctrica en el dominio de la frecuencia:El termino entre parntesis es la impedancia Z (en Ohms) de los elementos en serie. Donde wL es la reactancia inductiva XL , 1/wC es la reactancia capacitiva XC y R es la resistencia pura.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosResonancia de un circuito serieLa reactancia de la impedancia compleja del circuito, vale cero cuando entra en resonancia:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosConsideremos el siguiente circuito paralelo:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosLa corriente que circula en un elemento conductivo puro es directamente proporcional a la cada de potencial en l (Ley de Ohm). La constante de proporcionalidad entre estas variables es llamada conductancia (G):Si en la bobina hay una cada de potencial variante en el tiempo, se origina en ella una corriente elctrica que es directamente proporcional a dicho potencial:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosLa diferencia de potencial del condensador es directamente proporcional a la carga Q almacenada en l. La constante de proporcionalidad entre estas variables es llamada capacitancia (C):Por lo tanto, la suma de las corrientes de cada elemento pasivo del circuito paralelo es igual a la corriente total de la fuente de alimentacin:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosDe forma similar, se define la admitancia Y como el inverso de la impedancia:El termino entre parntesis es la admitancia Y (en Mhos) de los elementos en un circuito paralelo. Donde es la invertancia, 1/wL es la susceptancia inductiva BL , wC es la susceptancia capacitiva BC y G es la conductancia.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosResonancia de un circuito paraleloLa susceptancia de la admitancia compleja del circuito, vale cero cuando entra en resonancia:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosUn problema de MecnicaConsideremos una masa (m) suspendida por un resorte que tiene una determinada elasticidad. El peso se empuja hacia abajo con una fuerza F, se libera sbitamente y se deja oscilar libremente:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosCuando el resorte se extiende, tirando del peso hacia abajo, se gasta una cierta cantidad de energa que se almacena como Energa Potencial en la tensin del resorte. Por el momento desechemos la friccin. La energa potencial almacenada en el resorte debe ser igual a la que invertimos para estirar ( comprimir) el resorte. La fuerza restauradora F1 que tiende a restaurar el resorte, es proporcional a la elongacin o desplazamiento x del resorte desde la posicin en reposo:Donde Ks es una constante de proporcionalidad, el coeficiente de elasticidad. El signo - indica que acta en direccin opuesta.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosCuando se suelta la masa, la energa potencial almacenada en el resorte se libera sbitamente, convirtindose en Energa Cintica. Durante el movimiento, la masa sufre una aceleracin a que depende directamente de la fuerza original aplicada e inversamente de la inercia de la masa:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosDespus de que el resorte ha tirado de la masa para regresarla a su posicin original (x = 0), la accin no se detiene ah, debido a la inercia. La masa resiste cualquier cambio sbito en su movimiento. Por lo tanto, no se detiene cuando el resorte carece de tensin, sino que por el contrario, contina comprimiendo al resorte hasta que toda la energa cintica adquirida durante el movimiento de la masa se almacena nuevamente como energa potencial en el resorte comprimido. Ahora, el resorte libera nuevamente su compresin convirtindola en energa de movimiento en la masa y el proceso se repite nuevamente.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosLa accin continuara indefinidamente si no fuese por el hecho de que parte de la energa se pierde en cada oscilacin, debido a la friccin viscosa del resorte y soporte. As, el desplazamiento mximo (amplitud) es ms pequeo en cada oscilacin, hasta que es cero.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosSi la masa fuera jalada durante cada oscilacin descendente con energa suficiente para vencer la friccin interna, resultara una oscilacin no amortiguada:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosLa fuerza amortiguadora F2, debida a la friccin viscosa es proporcional a la velocidad del movimiento del resorte:Donde Kf es una constante de proporcionalidad, el coeficiente de friccin y el - indica que la fuerza amortiguadora se opone al movimiento.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosLa fuerza F es la suma algebraica de las fuerzas restauradoras y amortiguadoras, es decir:Se conoce como ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden, cuya solucin es:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosLlevamos la ecuacin a su forma integro-diferencial:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosCuando entra en resonancia, la reactancia de la impedancia compleja del circuito vale cero :As, frecuencia de oscilacin es directamente proporcional a la raz cuadrada del cociente del coeficiente de elasticidad entre la masa.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosUn problema de ElectricidadConsideremos un condensador que se ha cargado inicialmente por medio de una batera y sbitamente se descarga, colocando el interruptor S en Descarga, a travs de una bobina L y resistencia R:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosSi la resistencia del circuito es de valor pequeo, tendrn lugar oscilaciones elctricas que corresponden a las oscilaciones mecnicas amortiguadas del pndulo de resorte. Si las ecuaciones diferenciales y sus soluciones son anlogas, entonces los fenmenos son equivalentes.La inductancia se resiste a cualquier cambio de corriente que pasa por ella. Es decir, su efecto es similar a la inercia de una masa, que hace que se resista a cualquier cambio en su movimiento. En forma similar, la carga de un condensador es fsicamente anloga al desplazamiento tensin de un resorte. La resistencia elctrica es anloga a la resistencia mecnica friccin del pndulo de resorte.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosLa Analoga FsicaCuando se carga un condensador por medio de una fuerza electromotriz, se almacena energa elctrica en el campo elctrico entre las placas del capacitor. Esta es anloga al almacenamiento de energa potencial en la tensin de un resorte. Si el condensador se descarga sbitamente a travs de una inductancia, la energa del campo elctrico se libera por el movimiento de las cargas (corriente) en la bobina, y establece un campo magntico en ella. La energa del campo elctrico se transforma en energa de campo magntico, lo cual corresponde a la conversin de energa potencial a energa cintica del movimiento en el pndulo de resorte.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosComo en el sistema mecnico, el movimiento de las cargas no cesa cuando el capacitor est completamente descargado, sino que debido a la inercia elctrica (inductancia) de la bobina, la corriente contina circulando hasta que el condensador se recarga en la direccin opuesta y la energa inicial queda nuevamente almacenada en el campo elctrico. El circuito continua oscilando con el almacenamiento y liberacin alternadas de energa en los campos del condensador y la bobina, igual que el pndulo mecnico contina oscilando por el almacenamiento y liberacin alternadas de la energa mecnica en el resorte y la masa.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosEl pndulo mecnico cesa de oscilar cuando toda su energa se ha utilizado en vencer la friccin interna. En forma semejante, un circuito inductivo capacitivo cesa de oscilar cuando toda su energa elctrica se disipa en la resistencia del devanado de la bobina y los conductores.

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosCircuito Elctrico SerieEn un circuito serie, el voltaje E(t) es la suma de los potenciales de cada elemento que conforman la red, como lo indica la segunda ley de Kirchhoff. El potencial en cada elemento es:Inductancia:Resistencia:Capacitancia:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosPor lo tanto, el potencial E(t) est expresado como:

    O bien:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosCircuito Mecnico SerieEn un circuito serie, la fuerza F(t) es la suma de las fuerzas que ejerce cada elemento que conforman la red. La fuerza en cada elemento es:

    Masa: Amortiguador: Resorte:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosPor lo tanto, la fuerza F(t) est expresada como:

    O bien:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosD (Distancia o desplazamiento) V (Velocidad) a (Aceleracin) F (Fuerza) M (Masa o inercia) Ks (Modulo de elasticidad) Kf (Friccin Viscosa) F (Fuerza sobre el resorte)=KsD F (Fuerza de friccin)=KfV F=MdV/dt (2a ley de Newton) MV2(Energa cintica) KsD2(Energa potencial)

    Q (Carga)I (Corriente)V (Voltaje)L (Inductancia)1/C (Elastancia)V=Q/CV=IR Ley de OhmV=LdI/dt (Volt. Del Inductor)LI2 (Energa Magntica)CV2 (Energa Capacitiva)Equivalencias Mecnicas Electricas:R (Resistencia)Tabla de Analogas Voltaje-Fuerzadi/dt (Amperios/segundo)

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosCircuito de Nivel de LquidoEn este circuito, la altura H(t) es la suma de efectos que ejercen cada elemento que conforman la red. La influencia en la altura que cada elemento provoca es:Inertancia:Resistencia: Capacitancia:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosPor lo tanto, la altura H(t) esta expresada como:

    O bien:

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosTabla de Analogas Corriente-CaudalVoltajeInductanciaResistenciaCapacitanciaCargaCorrienteAlturaInertanciaResistencia al flujoCapacitanciaVolumenFlujo Caudal

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  • Prof. Ricardo R. Horta O. Escuela Militar de IngenierosBIBLIOGRAFABenitez Serrano Ismael, CIRCUITOS ELCTRICOS, VOL. 1, Instituto Politcnico Nacional.Wolf & Smith, GUA PARA MEDICIONES ELECTRNICAS Y PRCTICAS DE LABORATORIO, Prentice Hall Hispanoamericana, 1992.Cooper & Helfrick, INSTRUMENTACIN ELECTRNICA MODERNA Y TCNICAS DE MEDICIN, Prentice Hall Hispanoamericana, 1991.Hayt & Kemmerl, ENGINEERING CIRCUITS ANALYSIS, McGraw-Hill, 1993.Norton H. N., HANDBOOK OF TRANSDUCER FOR ELECTRONIC MEASURING SYSTEM, Prentice Hall, 1969.Maloney T., ELECTRNICA INDUSTRIAL: DISPOSITIVOS Y SISTEMAS, Prentice Hall Hispanoamericana 1983.Johnson, Hilburn & Jonson, ANLISIS BSICO DE CIRCUITOS ELCTRICOS, Prentice Hall Hispanoamericana 1991.Prat, Calderer, Argons, Casas, Guinjoan, Molins, Navarro & Turo, LABORATORIO DE ELECTRONICA, Alfaomega, 2000.Boylestad, ANALISIS INTRODUCTORIO DE CIRCUITOS, Pearson Educacin, 1998.Kaufman & Seidman, MANUAL PARA INGENIEROS Y TECNICOS EN ELECTRONICA, McGraw-Hill, 1982.

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