Tikimybiu Teorijos Ir Statistikos Pagrindai

8/11/2019 Tikimybiu Teorijos Ir Statistikos Pagrindai

1/49

TIKIMYBITEORIJOS IR STATISTIKOS PAGRINDAI

KOMBINATORIKA

Udaviniai, kur i#baigtinio element%skai(iaus reikia sudarin*ti -vairias kombinacijas ir rastivis%pagal tam tikr/taisykl1sudaryt%kombinacij%skai(i%, vadinami kombinatoriniais, o juosnagrin*jan(i/matematikos #ak/ kombinatorika.

Pavyzd!iai1. Keliais b2dais galime viena #alia kitos sustatyti lentynoje tris skirtingas knygas?Sprendimas

Paym*kime knygas raid*mis A, B ir C. Knyg%i#d*stym/galima pavaizduoti lentele:

Knyga pirmojevietoje

Knyga antrojevietoje

Knyga tre(iojevietojeI#d*stymo b2dai

B C ABCA

C B ACB

A C BACB

C A BCA

A B CABC

B A CBA

I#lentel*s matome, kad tris skirtingas knygas lentynoje galima i#d*styti #e#iais skirtingaisb2dais.

2. Futbolo pirmenyb*se dalyvauja 12 komand%. Keliais skirtingais b2dais jos gali uimtipirm/sias dvi vietas.

Sprendimas

Pirm/j/viet/gali uimti viena i#12 komand%. Kiekvienu i##i%12 atvej%yra 11 kandidat%-antr/j/viet/. Taigi, pirmosios dvi vietos gali b2ti uimtos 1112 5 132 b2dais.

3. Mama s2nui gimimo dienos proga paad*jo nupirkti skai(iuokl-arba laikrod-. Parduotuv*jebuvo 5 r2#i%skai(iuokli%ir 4 r2#i%laikrodi%. Keliais b2dais s2nus gali pasirinkti dovan/?

Sprendimas

Skai(iuokl-galima pasirinkti 5 b2dais, o laikrod- 4. Skai(iuokl-arba laikrod-galima

pasirinkti 5+45

9 b2dais.

4. Grup*je 20 student%. Reikia i#rinkti seni2n/ir jo pavaduotoj/. Keliais b2dais tai galimaatlikti?

Sprendimas

Seni2nu gali b2ti i#rinktas kiekvienas i#20 student%. Kiekvienam i#rinktam seni2nui jopavaduotojas gali b2ti renkamas i#19 likusi%student%. Taigi, seni2n/ir jo pavaduotoj/galima i#rinkti

1920 380= b2d%.

1. Pagrind ins k ombinator ikos ta isyk ls

1. Sudties taisykl. Jei kok-nors element/A galima parinkti m skirting%b2d%, o element/B k skirting%b2d%, tai element/A arba element/B galima parinkti m+k skirting%b2d%.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
http://www.pdffactory.com/http://www.pdffactory.com/


2/49

2

PavyzdysD**je yra 5 raudoni ir 24 balti rutuliai. Keliais b2dais galima pasirinkti vien/rutul-?Sprendimas

D**je yra 5+245 29 rutuliai. Taigi, vien/rutul-galima pasirinkti 29 b2dais.

2. Daugybos taisykl. Jei kok-nors element/A galima parinkti m skirting%b2d%, o element/B k skirting%b2d%, tai element%A ir B por/galima parinkti km skirtingais b2dais.

PavyzdysSpaudos kioske yra 5 r2#i%vokai be pa#to enkl%ir 4 r2#i%pa#to enklai. Keliais b2dais

galima pasirinkti vok/su pa#to enklu?Sprendimas

Vok/galima pasirinkti 6 b2dais, o pa#to enkl/ 4 b2dais. Vadinasi, vok/su pa#to enklugalima pasirinkti 2446 = b2dais.

2. Jungin iaiSakykime, turime tam tikros aib*s n element%. Suskirstykime juos -grupes pagal tam tikr/

poym-po k element%. Tokios grup*s vadinamos junginiais.

Gretiniai. Gretiniaisi#n element%po k element%vadinami tokie junginiai, kuri%kiekvienasturi k element%, pasirinkt%i#n element%, ir kurie vienas nuo kito skiriasi arba elementais, arba j%i#d*stymo tvarka.

Gretini%i#n element%po k skai(ius ymimas knA .

Apskai(iuosime vis%galim%gretini%i#n element%po k skai(i%.Pirm/j-element/galima parinkti n b2d%. I#likusi%n-1 elemento antr/j-element/galima

parinkti n-1 b2du. Tre(i/j-element/galima parinkti n-2 b2dais. Paskutin-j-k-/j-element/reikiaparinkti i#likusi%n-(k-1)5 n-k+1 element%. Tai galima padaryti n-k+1 b2d%. Taigi, pagalkombinatorikos daugybos taisykl1, turime:

( ) ( ).1kn1nnAk

k

n

4444 84444 76

K += Formul*s de#ini/j/pus1padaugin1ir padalij1i# ( )!kn , gauname:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

.!kn

!n

!kn

12...1nn

!kn

!kn1kn...1nnA kn

=

=

+

=

Vadinasi,

( )!kn!nA kn = .

Pavyzd!iai1. Sudarykite visus galimus gretinius i#element%a, b ir c.Sprendimas

Sudarome visus galimus junginius i#3 element%po 2, kurie vienas nuo kito skiriasi ir

elementais ir j%i#d*stymo tvarka: ab, ba, ac, ca, bc, cb. J%bus( )

.6!1

123

!23

!323A 2

3 =

=

==

2. Krep#inio (empionate dalyvauja 8 komandos. Kovojama d*l aukso, sidabro ir bronzosmedali%. Keliais b2dais medaliai gali b2ti paskirstyti tarp komand%?



3/49

3

Sprendimas

Medalinink%trejetas vienas nuo kito skiriasi ir sud*timi ir j%i#d*stymo tvarka, tod*l reikiaskai(iuoti gretinius i#8 element%po 3:

.336678A

3

3

8 ==876

4-udavin-galima spr1sti ir naudojantis kombinatorikos daugybos taisykle.3. Kiek skirting%trienkli%skai(i%galima sudaryti i#skaitmen%0, 1, 2, 3, 4, kad kiekviename

skai(iuje skaitmenys b2t%skirtingi?Sprendimas

I#5 skaitmen%po 3 galima sudaryti 35A skai(i%. I#j%reikia pa#alinti tuos skai(ius, kuri%

pirmasis skaitmuo yra 0. Toki%skai(i%yra 24A . Vadinasi trienkli%skai(i%yra:

.48126034345AA 243

5 ===

4. I#spr1skite lygt- .A30A 4 2n5

n =

SprendimasPritaik1gretini%skai(iaus formul1, gausime:

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)5 30(n-2)(n-3)(n-4)(n-5). 4 2nA turi prasm1, kai 6n.y.t,42n . Kai( )( )( ) 04n3n2ntai,6n ir i##io rei#kinio galim/padalinti duot/

lygt-: ( ) ( ) .25n,6n;0150n31n,5n301nn 212 ===+=

Kliniai. Gretiniai i#n element%po n vadinami kliniais. K*liniai vienas nuo kito skiriasi tikelement%i#d*stymo tvarka. Vis%galim%k*lini%i#n element%skai(ius ymimas nP .

( )!.n

1

!n

!0

!n

!nn

!nAP nnn ===

==

Vadinasi,

!nPn = .Pavyzd!iai1. Sudarykite visus galimus k*linius i#element%a, b ir c.SprendimasSudarome visus galimus junginius po 3 elementus, kurie vienas nuo kito skiriasi tik eil*s

tvarka: abc, acb, bac, bca, cab, cba. 4i%k*lini%skai(ius 6123!3P3 === .

2. Kiek skirting%penkiaenkli%skai(i%, nesidalijan(i%i#5 ir neturin(i%vienod%skaitmen%,

galima sudaryti i#skaitmen

%1,2,3,4,5?Sprendimas

I#penki%skirting%skaitmen%galima sudaryti 5P penkiaenkli%skai(i%. Kadangi skai(iai

neturi dalytis i#5, tai paskutinis skaitmuo negali b2ti 5. Jeigu paskutinis skaitmuo b2t%5, tai likusieji 4skaitmenys sudaryt% 4P keturenklius skai(ius. Vadinasi, toki%skai(i%yra : 9624120PP 45 == .

3. 10 knyg% 7 skirting%autori%ir 3 vieno autoriaus sustatytos vienoje knyg%lentynoje.Kiek yra skirting%b2d%-lentyn/jas sustatyti taip, kad to paties autoriaus knygos b2t%greta?

Sprendimas

To paties autoriaus 3 knygas laikykime viena knyga. Tada tur*sime 8 skirting%autori%knygas, kurioms sustatyti -lentyn/yra

8P b2d%. Tris to paties autoriaus knygas galima sustatyti

3P

b2dais. Pagal daugybos taisykl1knygoms -lentyn/sustatyti i#viso yra !3!8PP 38 = b2d%.



4/49

4

4. I#spr1skite lygt- 72P

P

n

2n =+ .

Sprendimas

( ) ( )( )( )( ) ;070n3n,721n2n,72

!n

!n1n2n,72

!n

!2n 2 =+=++=++

=+

( ) .7n,netinka10n 21 ==

Deriniai. Gretiniai, kurie vienas nuo kito skiriasi bent vienu elementu, vadinami deriniais.

Vis%galim%derini%i#n element%po k skai(ius ymimas knC .

I#kiekvieno derinio, perstatant jo elementus, galima gauti !kPk= k*lini%, tod*l

( )( )

( ) ( )

!k

1kn...1nn

!k!kn

!n

!k

!kn

!n

P

AC,APC

k

k

nk

n

k

nk

k

n

+=

==== . Taigi,

( ) !k!kn

!nCkn

= arba( ) ( )

!k

1kn...1nnC

k

k

n

4444 84444 76

+= .

Derini%skai(iavimui naudinga ir tokia formul*:

( )( ) ( ) ( )k

n

kn

n C!kn!k

!n

!kn!knn

!nC =

=

= arba

kn

n

k

n CC = .

Pavyzd!iai1. Sudarykite visus galimus derinius i#4 element%a, b, c ir d po 2 elementus.Sprendimas

Sudarome visus galimus junginius i#4 element%po 2, kurie vienas nuo kito skiriasi bent

vienu elementu: ab, ac, ad, bc, bd, cd. Gaut%derini%skai(ius( )

61212

1234

!2!24

!4C24 =

=

= .

2. Keliais b2dais galima i#rinkti 3 moni%komisij/i#10 moni%?Sprendimas

Tvarka, kuria renkami komisijos nariai, nesvarbi. Vadinasi yra tiek b2d%i#rinkti komisij/,

kiek yra derini%i#10 element%po 3: .120123

8910C

3

3

10 =

=

876

3. Krep#inio komandoje yra 12 aid*j%. Keliais b2dais komandos treneris gali parinkti startin-penketuk/?

Sprendimas

Eil*s tvarka, kuria treneris i#vardys 5 aid*jus, nesvarbi. Vadinasi, reikia skai(iuoti derinius i#

12 element%po 5: 79289112345

89101112C512 ==

= .

4. I#spr1skite nelygyb1 2x13x

13 CC +< .

Sprendimas

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ).

!x1x2x!x111

!x!x11x12x131,

!2x!2x13!13

!x!x13!13

++


5/49

5

2x

13C + turi prasm1, kai 11x.y.t,2x13 + , o x13C turi prasm1, kai .11x0,Taigi.0x Gauname: (x+2)(x+1)


6/49

6

22.Knyg% lentynoje yra 5 algebros ir 3 geometrijos vadov*liai. Keliais b2dais jas galimasustatyti -eil1, kad vieno dalyko knygos b2t%greta? Ats.; 1440.

23.Kiek -striaini%turi i#kilasis #e#iakampis? Ats.: 9.24.Jokios trys i#kilojo dvylikakampio -striain*s nesikerta viename ta#ke. Raskite jo

-striaini%susikirtimo ta#k%skai(i%. Ats.: 495.

25.4a#ki%turnyre dalyvauja 12 moksleivi%. Kiekvienas suais su kiekvienu po 1 partij/. Kiekbus suaista partij%? Ats.: 66.

26.Kiek -striaini%turi i#kilasis 10-kampis? Ats.: 35.27.D**je yra 20 detali%, i#kuri%3 nestandartin*s. Paimtos 5 detal*s. Keliais atvejais tarp

paimt%j%yra bent viena nestandartin*detal*? Ats.: 9316.28.Keliais b2dais galima sudaryti startin- ledo ritulio komandos #e#etuk/ i# 9 puol*j%, 5

gyn*j%ir3 vartinink%, jei -komandos sud*t-turi b2ti -traukti 3 puol*jai, 2 gyn*jai ir 1 vartininkas?Ats.: 2520.

29.Krep#inio (empionate dalyvauja 12 komand%. Kovojama d*l aukso, sidabro ir bronzosmedali%. Keliais b2dais medaliai gali b2ti paskirstyti tarp komand%? Ats.: 1320.

30.Treniruotes lanko 12 krep#inink%. Keliais b2das gali b2ti sudarytas pagrindinis

penketukas? Ats.: 792.31.Keliais b2dais galima i#d*styti #achmat% lentoje 8 bok#tus taip, kad vienas kito jie

negal*t%kirsti? Ats.: 40320.32.Kiek lygini%keturenkli%skai(i%galima para#yti skaitmenimis 2,3,5,7 j%nekartojant?

Ats.: 6.

33.Kiek penkiaenkli% skai(i%, dali% i# 5, galima para#yti skaitmenimis 0,1,2,3,5 j%nekartojant? Ats.: 42.

34.6 keleiviai s*da - traukin-, kuris turi 3 vagonus. Kiek skirting% b2d% gali b2ti jiemspasiskirstant vagonuose? Ats.: 729.

35.Keliais b2dais galima padalinti 28 domino kauliukus 4 aid*jams duodant po 7 kauliukus?36.Plok#tumoje duota 12 ta#k%, i# kuri% nei vieni 3 neguli vienoje ties*je. Kiek skirting%

tiesi%galima pravesti sujungiant 2 ta#kus? Ats.: 66.37.Keliais b2dais galima susodinti 3 keleivius 4 viet%kupe? Ats.: 24.38.Keliais b2dais galima paym*ti keturkampio vir#2nes raid*mis A, B, C ir D?

Ats.: 24.

39.Keleiviniame traukinyje yra 5 vagonai. Kiek yra b2d% paskirstyti po vagonus 5palydovus? Ats.: 120.

40.I#26 moksleivi%grup*s reikia i#rinkti 3 moksleivius dalyvauti matematikos olimpiadoje.Keliais b2dais tai galima padaryti? Ats.: 2600.

41.Knygyne gauta 6 pavadinim% nauj% knyg%. Keliais b2dais galima nusipirkti 3 naujasknygas? Ats.: 20.

42.Keliais b2dais 26 moksleivius galima suskirstyti -2 pogrupius po 13 moksleivi%?Ats.: .C1326

43.Keliais b2dais galima sustatyti -eil15 juodus ir 4 baltus rutulius taip, kad balti rutuliainegul*t%vienas #alia kito? Ats.: 15.

44.Matematikos kabinete 28 vietos. Keliais b2dais gali uimti vietas 20 moksleivi%?

Ats.: .A 2028

45.Futbolo pirmenyb*se suaistos 153 rungtyn*s. Kiekvienos 2 komandos susitiko po vien/kart/. Kiek komand%dalyvavo pirmenyb*se? Ats.:18.

46.Seifui atidaryti reikia penkiuose diskuose surinkti atitinkam/ skai(i% kombinacij/.Kiekviename i#disk%gali b2ti surinktas vienas i#10 skaitmen%. Ar uteks 10 dien%seifui atidaryti, jei

darbo diena trunka 13 valand%, o vienos kombinacijos surinkimas utrunka 5 sek.?Ats.: gali neutekti.



7/49

7

47.I#skaitmen%1,2,3,4,5 sudaryti visi galimi penkiaenkliai skai(iai, kuriuose n*ra vienod%skaitmen%. Kiek yra toki%, kurie: a) prasideda skaitmeniu 3; b) neprasideda skaitmeniu 5; c)prasidedaskai(iumi 54; d)neprasideda skai(iumi 543? Ats.: a)24; b)96; c)6; d)118.

48.Kiek #achmatinink% dalyvavo turnyre, jei inoma, kad kiekvienas dalyvis suaid* sukiekvienu i#likusi%j%po vien/partij/, o i#viso suaista 210 partij%? Ats.: 21.

49.Kiek egzistuoja dvienkli% skai(i%, kuri% de#im(i% ir vienet% skaitmenys nelyginiai irskirtingi? Ats.:20.

50.Keliais b2dais 7 skirtingas knygas galima sustatyti vienoje lentynoje?Ats.: 5040.

51.I#skaitmen%0,1,2,3,4,5 sudaryti keturenkliai skai(iai (skaitmenys nesikartoja). Keliuoseskai(iuose yra skaitmuo 3? Ats.:204.

52.Liftas sustoja de#imtyje auk#t%. Keliais b2dais 4 lifte esantys mon*s gali i#lipti #iuoseauk#tuose? Ats.: 10000.

53.Knygoje 20 puslapi%. Trijuose puslapiuose reikia patalpinti po vien/skirting/ iliustracij/.Keliais b2dais tai galima padaryti? Ats.: 6840.

54.Per 12 dien% reikia i#laikyti 5 egzaminus (ne daugiau 1 egzamino per dien/). Keliais

b2dais galima sudaryti egzamin%tvarkara#t-? Ats.: 95040.55.15 moni% reikia paskirstyti -dvi grupes taip, kad vienoje j% b2t%6, o kitoje 9 mon*s.

Keliais b2dais tai galima padaryti? Ats.: 5005.56.6komand/ turi b2ti atrinkti 4 sportininkai i#10. Keliais b2dais tai galima padaryti, jei 2

konkret2s sportininkai turi patekti -komand/? Ats.: 28.

Apskai(iuokite:

( ).

15

1:.Ats;

A

CCP.66.9:.Ats;

A

AA.65.256:.Ats;

A

AA.64

.5:.Ats;!5

PP

.63.100:.Ats;A

AA

.62.63

22

:.Ats;AA

A

.61.5,5:.Ats

;A

AA.60.1245:.Ats;CC.59.139:.Ats;CC.58.246:.Ats;C

7

10

4

7

5

76

2

5

3

5

4

5

4

20

5

20

6

20

56

315

5

14

4

15

314

315

3

13

3

10

4

11

4

1214

16

11

15

3

9

2

11

4

9

+++

+

+

++310C57.

Suprastinkite rei#kinius:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )( )( )( )

( ).

4n

3n:.Ats;

!4n

9n!2n.78.

2n

3n:.Ats;

4n!1n

!3n.77.

kk

1:.Ats;

!k

!2k.76

.20:.Ats;!3!1m

!1m

1mm

!5.75.1nn:.Ats;C1n22

3.74.n:.Ats;C1n

2.73

.!2k

1:.Ats;

!k

1

!1k

1.72.

!1n

n:.Ats;

!1n

1

!n

1.71.1:.Ats;

!

!1k2k2.70

.2n1n:.Ats;!3n

!1n.69.

1nn

1:.Ats;

!n

!2n.68.n:.Ats;

!

2

22

3n2n21n 1n

+

++

+

++

+

++

++

+

2k

1-n

n!67.

I#spr1skite lygtis:

( ) .90:.Ats;1n15CC.81.16:.Ats;256CA.80.14:.Ats;182 22n3

n

1

n

2

n =+=+=2

nA79.

( )( ) .7:.Ats;C4C5.84.9:.Ats;151n

CC.83.15:.Ats;2n1n3C.82

3

n

2

1n

3

n

2

n3

3n ==+

++= ++

.7:.Ats;x14x9C6C6C.87.4:.Ats;A14A.86.6:.Ats;13

A

AA.85

23

x

2

x

1

x

3

x

3

x22

x

2

x

4

x =++==+



8/49

8

( ) 5:.Ats;x14CA.90.5:.Ats;23

24

CA

A.89.5:.Ats;1x7C2C.88

2x

x

3

x4x

x

3

1x

4

x3

1x

2x

1x =+==+

+

+

.7:.Ats;xPA.93.8:.Ats;336C

A.92.11;6:.Ats;A3C2A.91 2x

3x

x5x

2x

5

x2

x

4

x

3

x

===

( )( )

.10;9:.Ats;A18A.96.3;2:.Ats;61

!1m!1m!m.95.7:.Ats;P

730P2A.94

4

2n

5

nx1x

1x

1x + ==+

=+

.14;3:.Ats;CC5.99.10:.Ats;PA132P.98.7:.Ats;P42PA.97 4 2n3

nkn

k

n2n2n4n

4

n ++ ===

( ) ( ) .4:.Ats;30

1

P

P.102.8:.Ats;A55C12.101.11:.Ats;A!kn240!5n.100

2n

n2

1n

1n

3n

3k

3n ===++

++

++

I#spr1skite nelygybes:

.10;9;8:.Ats;C2C.105.10;9;8:.Ats;Ax

2A.104.4;3;2:.Ats;A x10

1x

10

x

10

1x

10

1x

x

2x >< +1xA103.

9;8;7;6:.Ats;CC.108.7;...;2;1:.Ats;CC.107.5;...;2;1:.Ats;CC.106 4x6

x

x

18

2x

18

2x

13

x

13 < ++ .

.5;...;2;1:.Ats;21C.111.;...3;2:.Ats;2

3C.110.;...16;15:.Ats;CC5.109 1x 1x1x

1x

4

2x

3

x <

+++

;....9;8:.Ats;P14C

A.113.;...13;12:.Ats;C11C2.112 33x

1x

4

1x3

2x

5

x >>

+

.4;3;2:.Ats;AA.114 1xx2x

1x

+ <

3. Jungin iai su pasikartoj im ais

Gretiniaisu pasikartoj imais. Gretiniais su pasikartojimaisi#n lement%po k vadinami tokie

gretiniai, kuriuose elementai gali kartotis iki k kart%. Gretini%su pasikartojimais i#n element%po kskai(ius ymimas

k

nA ir apskai(iuojamas pagal formul1

kk

n nA = .6rodysime #i/formul1. Sakykime, turime n element%ir reikia sudaryti visus galimus junginius

po k element%, kuriuose elementai gali kartotis. Pirm/j-element/galima pasirinkti n b2dais. Antr/j-element/irgi galima pasirinkti n b2dais. n b2dais galima pasirinkti ir k-/j-element/. Taigi, pagal

kombinatorikos daugybos taisykl1gausime kk

k

n nn...nnA ==484 76

.

Pavyzd!iai

1. Sudaryti visus galimus gretinius su pasikartojimais i#element%a ir b po 3 elementus.Sprendimas

aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb. J%skai(ius .82A 33

2 ==

2. Saugojimo kameros urakte -montuoti 3 diskai, kuri%kiekvienas turi po 10 fiksuojam%pad*(i%, paym*t%skaitmenimis 0,1,2,...,9. Uraktas atsidaro, kai kiekvienas diskas atsukamas -tamtikr/pad*t-. Kiek yra variant%urakto ukodavimui?

Sprendimas

Ura#ykime kelis skirtingus kodus: 012, 102, 112, 333 ir t.t. Matome, kad #ie junginiai vienasnuo kito skiriasi bent vienu elementu arba j%i#d*stymo tvarka. Be to, elementai gali kartotis. Vadinasi,

(ia yra gretiniai su pasikartojimais, o j%skai(ius randamas pagal formul1 .100010A 33

10 ==



9/49

9

Kli niai su pasikartojimais. K*liniai sudaryti i#n element%ir kuriuose pirmasis elementas 1a

pasikartoja 1k kart%, antrasis elementas 2a pasikartoja 2k kart%, ..., elementas ra pasikartoja rk kart%

yra vadinami kliniais su pasikartojimais. K*lini%su pasikartojimais skai(ius ymimas( )r21 k,,k,kP K ir apskai(iuojamas pagal formul1

( )!k!k!k

!nk,,k,kPr21

r21 =

KK , kur nkkk r21 =+++ K .

Pavyzd!iai1.Kiek skirting%penkiaenkli%skai(i%galima para#yti perstatant skaitmenis skai(iuje 22333?Sprendimas

8ia turime k*linius i#5 element%, kur elementas 2 kartojasi 2 kartus, o elementas 3

kartojasi 3 kartus. J%skai(ius ( ) .102

45

!32

!345

!3!2

!53,2P =

=

=

=

2. Kiek skirting%odi%galima sudaryti i#odio kalakutas raidi%?

Sprendimas

( ) .30240256789!3!2

!91,1,1,1,3,2P ==

=

Deri niai su pasikartojimais.Deriniais su pasikartojimaisi#n element%po k vadinami tokiederiniai po k element%, kuriuose kiekvienas elementas gali kartotis iki k kart%. Derini%su

pasikartojimais i#n element%po k skai(ius ymimask

nC apskai(iuojamas pagal formules:

( )( )!1n!k

!1knC

k

n

+

= arbak

1kn

k

n CC += .

Pavyzd!iai1. Sudaryti visus galimus derinius su pasikartojimais i#element%a ir b po 3 elementus.Sprendimas

aaa, aab, abb, bbb.

2. Parduotuv*je yra 5 skirting%spalv%pie#tuk%. Keliais skirtingais b2dais galima nusipirkti 8pie#tuk%rinkin-?

Sprendimas

Perkant pie#tukus visi#kai nesvarbu j%i#d*stymo tvarka, be to, tos pa(ios spalvos pie#tukaigali kartotis. Vadinasi reikia rasti derini%su pasikartojimais i#5 element%po 8 elementus skai(i%:

.4959511234

9101112CCCCC

4

4

12

812

12

8

12

8

185

8

5 ==

===== +

4 84 76

Pratimai1. Kiek skirting%dvienkli%skai(i%galima sudaryti i#skaitmen%7,8,9?

Ats.:9.

2. Reikia nudayti 3 namus. Kiekvienam j% galima parinkti vien/ i# 5 spalv%. Keliaisskirtingais b2dais galima tai padaryti? Ats.:125.

3. Kiek skirting%keturenkli%skai(i%galima sudaryti i#skaitmen%0,1,2?Ats.:54.

4. Kiek yra maesni% u 1000 nat2rali%j% skai(i%, sudaryt% naudojantis skaitmenimis1,2,3,4,5? Ats.:155.



10/49

10

5. Keliais b2dais galima eilut*je para#yti 6 pliusus ir 4 minusus? Ats.:210.6. Kiek skirting%skai(i%galima gauti perstatant skaitmenis skai(iuje 2233344455?

Ats.:25200.

7. Kiek galima sudaryti odi%i#odio kampas raidi%? Ats.:360.8. G*li% kioske yra 4 skirting% r2#i% g*li%. Keliais skirtingais b2dais galima nusipirkti 5

g*les puok#tei sudaryti? Ats.:56.9. Parduotuv*je yra 4 skirting% vienodos vert*s pa#to enkl%. Keliais skirtingais b2dais

galima nusipirkti 6 pa#to enklus? Ats.:84.10.Pauk#(i%turguje parduodamos 8 skirting%veisli%vi#tos. Keliais skirtingais b2dais galima

nusipirkti 10 vi#t%? Ats.:19448.11.Automobilio numer-sudaro #e#i enklai: pirmieji trys lotyn%ab*c*l*s raid*s, kiti trys

skaitmenys. Kiek galima sudaryti skirting% automobili% numeri%, jei enklinimui naudojamos 23raid*s ir atsisakoma skaitmen%rinkinio 000? Ats.:12154833.

12.I# skaitmen%1,3,5,7,9 sudarykite skai(ius, kuriuose b2t%ne daugiau kaip 3 skaitmenys.Kiek toki%skirting%skai(i%galima sudaryti? Ats.:155.

13.Pa#te yra 10 r2#i%atviru(i%. Keliais b2dais galima nupirkti 8 atvirutes?

Ats.:24310.14.Riedantis rutulys b2tinai -stringa viename i# 5 skirtingai paym*t%, narveli%. Kiek yra

galim% variant%, jei ridenami 3 sunumeruoti rutuliai ir kiekviename narvelyje gali -strigti bet koksrutuli%skai(ius? Ats.:125.

15.Devynis studentus reikia suskirstyti -vieno, trij%ir penki%student%grupes. Kiek yra tokiosuskirstymo variant%? Ats.:504.

16.10 student% grup* i#vyko talkininkauti rudens darbams soduose. 2 studentai tur*s skintikriau#es, 3 slyvas ir 5 obuolius. Kiek yra variant% studentams paskirstyti nurodytiems darbams? Ats.:2520.

17.Kontrolinio darbo perra#ymui sudaryti 2 uduo(i% variantai ir kiekvienos uduotiesatspausdinta po 3 egzempliorius. Kiek yra skirting%variant%#e#iems studentams i#dalinti lapelius suuduotimi? Ats.:20

18.Moneta metama 10 kart%. Kiek galima gauti skirting% herbo ir skai(iaus i#kritimokombinacij%? Ats.:1024.

19.Buto viduje yra 8 durys. kiekvienos durys gali b2ti udarytos arba atidarytos. kiek yraskirting%pad*(i%, kuriose gali b2ti visos durys? Ats.:256.

20.Keliais b2dais galima sud*ti knyg% lentynoje 4 algebros, 3 geometrijos ir 2 fizikosknygas, jei kiekvieno dalyko knygos yra vienodos? Ats.:1260.

21.Kiek galima gauti skirting%odi%persta(ius raides odyje kakava?Ats.:60.

22.9 kortel*se sura#yti skaitmenys 1,1,1,2,2,2,3,3,3. Kiek devynenkli% skai(i% galima

sudaryti i#t%korteli%? Ats.: 1680.23.Pa#te yra 10 r2#i%atviru(i%. Keliais b2dais galima nusipirkti 8 atvirutes? Ats.: 24310.24.Alud*je yra 4 r2#i% alaus. Keliais b2dais galima usakyti 7 bokalus alaus, jei - bokal/

pilamas tik vienos r2#ies alus? Ats.: 120.25.Petras turi 6 draugus. 20 dien%i#eil*s jis nori kviesti -sve(ius po 3 i#j%taip, kad n*karto

ta pati draugija nepasikartot%. Keliais b2dais jis gali tai padaryti? Ats.: 20!.26.3 studentai laiko egzaminus. Keliais b2dais jiems gali pasiskirstyti paymiai, jei inome,

kad vienaip ar kitaip studentai egzaminus i#laik*? Ats.: 216.27.Trys vaikinai ir dvi merginos nori -sidarbinti. Mieste yra 3 -mon*s, kur gali -sidarbinti

vyrai, 2 kur reikalingos moterys, ir 2 kur reikalingi ir tie, ir tie. Keliais b2dais 5 jaunuoliai galipasiskirstyti #iose -mon*se? Ats.: 2000.

28.Kiek yra keturenkli%skai(i%? Ats.: 9000.



11/49

11

29.6kaln/veda 5 takeliai. Kiek yra b2d%pakilti ir nusileisti nuo kalno?Ats.:25.

$vair%s pratimai1. Kal*d%proga klas*s moksleiviai apsikeit*132 dovan*l*mis. Kiekvienas moksleivis -teik*

dovan*l1kiekvienam savo klas*s draugui. Kiek moksleivi%yra klas*je? Ats.: 12.

2. Studentas per 7 dienas turi i#laikyti 4 egzaminus. Per dien/ jis laiko ne daugiau 1egzamino. Keliais b2dais galima sudaryti egzamin%tvarkara#t-? Ats.: 840.

3. 6muziej%buvo atveti 4 skirtingi senovi#ki kr*slai. Pastate yra 7 laisvos sienos. Keliaisb2dais muziejaus darbuotojai gali sustatyti prie #i%sien%po vien/kr*sl/? Ats.: 840.

4. Traukini% sto(iai priklauso 6 atsarginiai keliai. Keliais b2dais galima paskirstyti juose 4traukinius? Ats.:360.

5. Vie#butyje yra 8 kambariai. Keliais b2dais galima juose apgyvendinti 8 mones po vien/kambaryje? Ats.:8!.

6. Kiek skirting%styg%galima nubr*ti per 6 apskritimo ta#kus? Ats.: 15.7. 8 turistus reikia apgyvendinti dviejuose vie#bu(io kambariuose taip, kad kiekviename

b2t%ne maiau kaip 3 mon*s. Keliais skirtingais b2dais tai galima padaryti?

Ats.:182.8. I#20 d**je esan(i%biliet%5 yra laimingi. Kiek galimybi%traukiant 7 bilietus i#traukti 2

laimingus? Ats.: 30030.9. Parduotuv*je yra 5 r2#i% lietuvi#k% ir 3 r2#i% importini%gaivi%j%g*rim%. Keliais b2dais

pirk*jas gali nusipirkti 2 r2#i%g*rim%? Ats.: 28.10.10 darbinink% reikia suskirstyti - dvi brigadas taip, kad kiekvienoje brigadoje b2t% ne

maiau kaip 4 mon*s. Keliais skirtingais b2dais galima tai padaryti? Ats.: 462.11.Loterijos bilietai sunumeruoti nuo 1 iki 20. Keliais b2dais i# j%galima i#rinkti 3 bilietus

taip, kad i#i#rinkt%j%biliet%bent vieno numeris b2t%didesnis u15? Ats.: 685.12.Kiek yra b2d%perstatyti skai(iaus 123589 skaitmenis vietomis, kad gautieji skai(iai b2t%

lyginiai? Ats.: 240.13.Raskite daugiakampio, turin(io 14 -striaini%, kra#tini%skai(i%.

Ats.:7.14.Kiek yra #e#iaenkli% skai(i%, kurie ura#yti nepanaudojant n* vieno i# skaitmen%

0,4,5,6,7,8 ir 9? Ats.: 729.

15.4e#i% valstybi% delegacij% derybos vyks prie apvalaus stalo. Kiekvienos valstyb*sdelegacijos vieta paymima valstyb*s v*liav*le. Kiek yra variant% i#d*lioti ant stalo 6 valstybi%v*liav*les? Ats.: 720.

16.I#9 student%reikia sudaryti 5 student%grup1vykti -usien-. Vienas studentas bus grup*svadovas, kitas jo pavaduotojas. Kiek yra galim%variant%min*tai student%grupei sudaryti?

Ats.: 2520.

17.Finalin*se krep#inio varybose komandos A ir B aidia tarpusavyje tol, kol viena i# j%pasiekia 4 pergales. Sudaroma laim*jusi%komand%pavadinim%seka (pvz., ABABBAA). Kiek toki%skirting%sek%galima sudaryti? Ats.: 70.

4. Niutono binom as

Sudarykime knC reik #mi%lentel1:

k

n0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

0 1 ...15

2

0

1 1 1 ... 25 21



12/49

12

2 1 2 1 ... 45 22

3 1 3 3 1 ... 85 23

4 1 4 6 4 1 ... 165 24

5 1 5 10 10 5 1 ... 325 25

6 1 6 15 20 15 6 1 ... 645 26

7 1 7 21 35 35 21 7 1 ... 1285 27

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ... 2565 28

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

4i lentel*vadinamaPaskalio trikampiu, pranc2z%matematiko B.Paskalio (1623-1662) garbei.

I#trikampio matyti, kad jo eilut*s simetri#kos, t.y. teisinga lygyb* knnk

n CC = , pvz., .10CC 35

2

5 == Pasteb*sime ir tai, kad kiekvienos eilut*s element%suma lygi nat2riniam skai(iaus 2 laipsniui,

t.y.

nn

n

1n

n

2

n

1

n

0

n 2CCCCC =+++++

K .

Pabandykime sud*ti du gretimus Paskalio trikampio eilut*s elementus. Sud*j1gretimusskai(ius, gausime kitos eilut*s skai(i%, esant-po de#iniuoju d*meniu. Nesunkiai -rodoma, kad1k

1n

1k

n

k

n CCC +

++ =+ .

Niutono formul. Paskalio trikampio eilu(i%elementai atitinka dvinario a+b n-ojo laipsniokoeficientus:

( ) ,C1ba 000 ==+

( ) ,bCaCbaba 110

1

1 +=+=+

( ) ,bCabCaCbab2aba 2221

2

20

2

222 ++=++=+

( ) ,bCabCbaCaCbab3ba3aba 33322

3

21

3

30

3

32233 +++=+++=+

( ) ,bCabCbaCbaCaCbab4ba6ba4aba 34433

4

222

4

31

4

40

4

4322344 ++++=++++=+ ........................................................................................................................................

( ) nnn1n1n

n

kknk

n

1n1

n

n0

n

nbCabC...baC...baCaCba ++++++=+ .

4i formul*angl%fiziko ir matematiko Izaoko Niutono (1642-1727) garbei pavadintaNiutonoformule. De#inioji #ios formul*s dalis vadinama binomo laipsnio dstiniu. Niutono formul*s

koeficientai knC vadinami binominiais koeficientais.

Pagrindin*s Niutono formul*s savyb*s:1. D*stinio binominiai koeficientai yra Paskalio trikampio n-osios eilut*s skai(iai.2. D*stinio binominiai koeficientai, vienodai nutol1nuo pirmojo ir paskutiniojo nario, yra

lyg2s.3. Niutono formul*je a laipsnio rodiklis did*ja nuo 0 iki n, o b laipsnio rodiklis ma*ja nuo n

iki 0.4. Bet kuriame naryje a ir b laipsni%rodikli%suma lygi n.

5. Kiekvienas d*muo turi pavidal/ .baC kknkn T.y. (k+1)-ojo nario formul*yra

kknk

n1kbaCT + = .

Niutono formul*je, vietoje b -ra#1b, gausime ( ) ( ) .baC1baCT kknknkkknk

n1k

+ == T.y.

( ) ( ) ( ) .baC1...baC1...baCbaCba n0nnnkknk

n

k1n1

n

0n0

n

n ++++=



13/49

13

Pavyzd!iai

1. Ura#ykite binomo laipsnio ( )53x2 d*stin-.Sprendimas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++= 55544

5

323

5

232

5

41

5

50

5

53C3x2C3x2C3x2C3x2Cx2C3x2

=++= 24381x2527x4109x8103x165x322345

.243x810x1080x720x240x32 2345 ++=

2. Raskite binomo laipsnio

12

x

2x

+ d*stinio a#tunt/j-nar-.

Sprendimas

222

7

755

12

7

7127

12178 x101376x128792x1282345

89101112

x

2xC

x

2xCTT

+ ==

==

== .


12

xx1

+ d*stinio nar-, kuriame neb2t%x.

Sprendimas

( ) 12k5,1k122k

12kk

122

k

12kk

12

kk12

k

121k xCxCxxCxx

1CT

+

+ ===

= . Kad #is narys netur*t%x,

b2tina ir pakankama, kad 1xx 012k5,1 == , i#(ia 495CTTir85,1

12k,012k5,1 8

12918 ====== + .

Pratimai

1. Apskai(iuokite:1) ( )5yx ; 2)5

31

31

+yx ; 3) ( )

421 y+ ; 4) ( )62yx ; 5) ( )62 1p ;

6)

51

+

xx .

2. Para#ykite binomo d*stinio bendrojo nario formul1:1) ( )nx 12 + ; 2) ( ) ;31 2 nx

3) ( ) ;12 nba + 4) ;1n

xx

+ 5) ( ) ;1 nba 6) ( ) .2 nyx

3. Apskai(iuokite binomo laipsnio ( )10yx + d*stinio #e#t/j-nar-. Ats.: .252 55yx

4. Raskite binomo laipsnio20

3 1

tt d*stinio nar-, nepriklausant-nuo t.

Ats.: 520C .


9

3

3 1

+

aa d*stinio penkt/j-nar-. Ats.: 3126 a .


10

3

5

1

+ x

xd*stinio vidurin-j-nar-. Ats.: .2523 2x



14/49

14


6

2 1

xx d*stinio nar-, nepriklausant-nuox.

Ats.:15.

8. Raskite binomo laipsnio ( )9yx + d*stinio nar-, turint- 7x . Ats.: .36 27yx

9. Raskite binomo laipsnio151

+

xx d*stinio #e#t/j-nar-. Ats.:3003.

10.Raskite binomo laipsnio

18

3

3

x

1x

+ d*stinio nar-, neturint-x. Ats.: .918C


121

+xx

d*stinio devint/j-nar-. Ats.: .495 4x


9

3

3 1

+

aa d*stinio ketvirt/j-nar-. Ats.:84a.

13.Raskite binomo laipsnio rodikl-, jeigu d*stinion

aa

+

530

1

#e#tasis narys neturi a.

Ats.:35.

14.Raskite d*stinio nar-, kuris nepriklausyt%nuo x, jeigu binomo laipsnion

xx

+

12 d*stinio

binomini%koeficient%suma lygi 256. Ats.:1120.



15/49

15

TIKIMYBITEORIJA

1. Ats i t ikt in iai #vykia i i r veiksmai su ja is

Tikimybi%teorijoje #vykiaisvadinami bandymo arba steb*jimo rezultatai.Atsitiktinis #vykisyra toks -vykis, kuris gali -vykti, bet gali ir ne-vykti.

Pavyzdys. Metama moneta. I#krito herbas. O juk gal*jo i#kristi ir skai(ius. Tai, kad i#kritoherbas, yra atsitiktinis -vykis.

B&tinas #vykisyra toks -vykis, kuris, atlikus bandym/, visada -vyksta.Pavyzdys. Metamas lo#imo kauliukas. Tai, kad i#kris ne daugiau kaip 6 akys, yra b2tinas

-vykis.Jei, atlikus bandym/, -vykis niekada negali -vykti, tai jis vadinamas negalimu #vykiu.Pavyzdys. 6taikin-#auta 3 kartus. Tai, kad pataikyta 5 kartus, yra negalimas -vykis.Atsitiktinius -vykius priimta ym*ti didiosiomis raid*mis A, B, C ir t.t. be indeks%ir su jais.

B2tin/-vyk-ym*sime raide U, o negalim/ V.Du -vykiai vadinami nesutaikomais, jeigu jie, atliekant bandym/, negali -vykti vienu metu,

t.y. gali -vykti tik vienas i#j%.Pavyzdys. Metamas lo#imo kauliukas. 6vykiai A atsivert*3 akys ir B atsivert*lyginis aki%skai(ius yra nesutaikomi -vykiai.

6vykiui Aprie)ingas #vykisyra toks -vykis B, kuris -vyksta tada ir tik tada, kai ne-vyksta

-vykis A. 6vykiui A prie#ingas -vykis ymimas A . Taigi, AB= .Pavyzdys. Metamas lo#imo kauliukas. Jei -vykis A atsivert*lyginis aki%skai(ius, tai -vykiui

A prie#ingas -vykis A - atsivert*nelyginis aki%skai(ius.Elementarieji #vykiaiyra tokie -vykiai, i#kuri%susideda kiti -vykiai.Elementari,j,#vyki,

aibyra bandymo vis%elementari%j%-vyki%visuma. Su bandymu susij1elementarieji -vykiai yraporomis nesutaikomi.

Pavyzdys. Metama moneta. 6vykiai H atsivert*herbas ir -vykis S atsivert*skai(ius yraelementarieji -vykiai ir jie sudaro elementari%j%-vyki%aib1, nes tai yra visi galimi min*to bandymorezultatai. Be to #ie -vykiai yra nesutaikomi.

6vykiui Apalank&s elementarieji #vykiaiyra tokie -vykiai, kuriems -vykus, -vyksta ir -vykis A.Pavyzdys. Palyginkime 2 -vykius: A metus lo#imo kauliuk/, i#krito 2 akys ir B metus

lo#imo kauliuk/, i#krito lyginis aki%skai(ius. Matome, kad -vykus -vykiui A, -vyksta ir -vykis B, nes 2yra lyginis skai(ius. 4iuo atveju sakoma, kad -vykis A yra -vykio B dalis, arba -vykis A yra palankus-vykiui B. Tai galima ura#yti BA .

Du -vykiai yrasutaikomi, jei abiem -vykiams yra bent vienas palankus -vykis.Pavyzdys. Atsitiktinai pasirenkamas dvienklis skai(ius. 6vykiai A pasirinktas dvienklis

skai(ius dalijasi i#3 ir B pasirinktas skai(ius dalijasi i#9 yra sutaikomi, nes visada galima rasti tok-

dvienkl-skai(i%, kuris dalyt%si ir i#3 ir i#9.6vyki%A ir Bs-junga (suma)vadinamas -vykis, kuris -vyksta tada ir tiktai tada, kai -vykstabent vienas i#-vyki%A arba B. 6vyki%A ir B ymima A+B arba BA .

Pavyzdys. Panagrin*kime -vykius: A metus lo#imo kauliuk/, i#krito 1 akis; B metuslo#imo kauliuk/, i#krito 2 akys; C metus lo#imo kauliuk/, i#krito ne daugiau kaip 2 akys. Jeigu-vyksta -vykis A arba B, tai -vyksta ir -vykis C, t.y., -vykus bent vienam i#-vyki%A arba B, -vyksta ir-vykis C. Vadinasi C5 A+B arba BAC = .

6vyki%A ir Bsankirta (sandauga)vadinamas toks -vykis, kuris -vyksta tada ir tik tada, kai-vyksta ir -vykis A ir -vykis B. 6vyki%sankirta (sandauga) ymima BAarbaBA .

Pavyzdys. Du #auliai, nepriklausomai vienas nuo kito, #auna po vien/kart/-taikin-. Jei -vykisA pataik*pirmasis #aulys, o -vykis B pataik*antrasis #aulys tai -vykis BA - pataik*abu #auliai.



16/49

16

Jeigu -vykiai A ir B yra nesutaikomi, t.y. negali -vykti kartu, tai j%sandauga yra negalimas-vykis VBA = . Prie#ing%-vyki%sandauga irgi yra negalimas -vykis, bet j%suma yra b2tinas -vykis,t.y. UAAirVAA == .

Pratimai

1. Kiek elementari%j%-vyki%turi -vykiai: A metama moneta du kartus; B #aunama -taikin-su 10 koncentrini%skrituli%ir -vykis yra pelnyt%ta#k%skai(ius; C krep#ininkas meta kamuol--krep#-tris kartus; D atsitiktinai para#yt%dviej%nat2rini%skai(i%suma lygi 10; E- i#kritusi%lo#imokauliuko ta#k%skai(ius yra nelyginis.

2. Nustatykite, kurie #i%-vyki%elementar2s, kurie sud*tiniai eksperimentuose:1) Lo#imo kauliukas metamas du kartus: A i#krito daugiau kaip 10 ta#k%; B pirm/kart/i#krito 2ta#kai, o antr/kart/ 5 ta#kai; C - i#krito maiau kaip 11 ta#k%; D i#kritusi%ta#k%suma lyginisskai(ius.2) Atsitiktinai parenkamas dvienklis skai(ius: A parinktas skai(ius 12; B parinktas skai(ius dalusi#100; C parinktas skai(ius pirminis; E parinktas skai(ius maesnis u11.

3. 6kiekvien/i#5 vok%-d*tas vienas i#10 Lt, 20 Lt, 50 Lt, 100 Lt ir 200 Lt vert*s banknot%.Atsitiktinai parinkti 2 vokai. Sudarykite elementari%j%-vyki%aib1.

4. Sudarykite elementari%j%-vyki%aibes bandymuose:1) Metamos 3 monetos: 1 cento, 2 cent%ir 5 cent%.2) Metama 5 cent%moneta ir lo#imo kauliukas.3) Moneta metama 3 kartus.

4) 4aunama -taikin-su 10 koncentrini%skrituli%.5. Nustatykite, kurie i#-vyki%yra b2tini, kurie negalimi, kurie atsitiktiniai eksperimentuose:

1) Atsitiktinai parenkamas trienklis skai(ius:A skai(ius didesnis u1000; B skai(ius maesnis u1000; C skai(ius dalus i#50, D skai(iusmaesnis u371.

2) Metami 2 lo#imo kauliukai: A i#krito maiau kaip 8 ta#kai; B - i#kritusi%ta#k%skai(ius dalus i#5;C i#krito daugiau kaip 13 ta#k%; D - i#krito teigiamas ta#k%skai(ius.3) Trys mediotojai #auna -zuik-: A pataik*bent vienas; B - nei vienas nepataik*; C zuikisnu#autas; D zuikis nub*go.

6. Kuris -vykis sudaro kurio dal-?1) 6taikin-#aunama 10 kart%: A -taikin-pataikyta pirmu #2viu; B -taikin-pataikyta vienu i#pirm%keturi%#2vi%; C -taikin-pataikyta vienu i#dviej%pirm%#2vi%.2) Metami du lo#imo kauliukai: A ta#k%suma dalijasi i#3; B ta#k%suma dalijasi i#6; C ta#k%suma didesn*u2.

7. Suformuluokite -vyk-D, kuris rei#kia -vyki%s/jung/, kai:1) A- -taikin-pataikyta pirmu #2viu; B -taikin-pataikyta antru #2viu;

2) A loterijoje i#lo#ta 10 lit%; B- loterijoje i#lo#ta 20 lit%;3) A metus dvi monetas i#krito 2 herbai; B metus 2 monetas i#krito herbas ir skai(ius.

Ats.:1) D -taikin-pataikyta i#dviej%#2vi%; 2) D loterijoje i#lo#ta arba 10, arba 20 lit%;3) D metus 2 monetas i#krito bent vienas herbas.

8. Suformuluokite -vyk-D, kuris rei#kia -vyki%sankirt/, kai:1) A metus lo#imo kauliuk/, i#krito nelyginis aki%skai(ius; B metus lo#imo kauliuk/nei#krito 4akys; C metus lo#imo kauliuk/nei#krito 6 akys;2) A pirmu traukimu i#trauktas laimingas bilietas; B antru traukimu i#trauktas laimingas bilietas. Ats.:1) D i#krito viena akis; 2) D laimingas bilietas i#trauktas pirmaisiais dviem

bandymais.

9. Suformuluokite -vykius; 1) AB, 2)AB, 3)AC, kai: A metus kauliuk/i#krito lyginisaki%skai(ius; B metus kauliuk/i#krito 4 akys; C metus kauliuk/nei#krito 6 akys.



17/49

17

Ats.:1) metus kauliuk/i#krito 4 akys; 2) metus kauliuk/i#krito lyginis aki%skai(ius;3) metus kauliuk/i#krito arba 2, arba 4 akys.

10.Suformuluokite prie#ingus -vykius -vykiams: A metus lo#imo kauliuk/i#krito lyginisaki%skai(ius; B metus monet/atvirto herbas; C metus du lo#imo kauliukus i#kritusi%aki%sumamaesn*u6.

11.Atsitiktinai paimta detal*yra: A pirmos r2#ies; B antros r2#ies; C tre(ios r2#ies.Suformuluokite -vykius: C.BA4)C;A)3C;A2)B;A)1

Ats.: 1) detal*yra arba pirmos, arba antros r2#ies; 2) detal* antros r2#ies; 3) negalimas-vykis; 4) detal* tre(ios r2#ies.

2. Klasiki nis #vyk io t ik im ybs apibr&imas

Sakykime, m yra skai(ius vienodai galim%elementari%j%-vyki%, palanki%-vykiui A, n vis%

elementari%j%-vyki%skai(ius. Santykisn

mvadinamas #vykio A tikimybeir ymimas

( )n

mAP = .

B2tino -vykio tikimyb*P(U)5 1, nes m5 n. Negalimo -vykio tikimyb*P(V)5 0, nes m5 0.

Be to, ( ) 1AP0irnm0 . Prie#ingo -vykio tikimyb* ( ) ( ) ( ) ( ) 1APAPnes,AP1AP =+= .

Pavyzd!iai1. Metama moneta. Kokia tikimyb*, kad atsivers herbas.SprendimasGalimi 2 elementar2s -vykiai: A atsivers herbas; B atsivers skai(ius. 4ie -vykiai yra

vienodai galimi ir sudaro piln/elementari%-vyki%aib1, taigi, n5 2. Palankus -vykis yra vienas (m5 1),

tod*l #io -vykio tikimyb* ( )2

1

n

mAP == .

2. D**je yra 25 standartin*s ir 5 nestandartin*s detal*s. I#d**s atsitiktinai i#imta vienadetal*. Apskai(iuokite tikimyb1, kad i#imtoji detal*yra standartin*.

Sprendimas

Nagrin*sime -vyk-A i#d**s i#imta detal*yra standartin*. I#vis%30 elementari%j%-vyki%

25 -vykiai yra palank2s -vykiui A. Tod*l, ( ) .6

5

30

25AP ==

3. Moneta metama 2 kartus. Apskai(iuokite tikimyb1, kad bent kart/atsivers skai(ius.Sprendimas

Sura#ysime visus elementariuosius -vykius: HH, HS, SH, SS. Matome, kad palank2s -vykiai

yra trys: HS, SH ir SS. Vadinasi, m5 3, o n5 4 ir ( )4

3

n

mAP == . 8ia -vykis A bent kart/atsivers

skai(ius.

3. I#35 biliet%, kurie sunumeruoti nuo 1 iki 35, atsitiktinai traukiamas vienas bilietas. Kokiatikimyb*, kad i#traukto bilieto numeris dalijasi i#5?



18/49

18

Sprendimas

Nagrin*sime -vyk-A i#traukto bilieto numeris dalijasi i#5. Tarp 35 elementari%j%vienodaigalim%-vyki%yra 7 -vykiui A palank2s -vykiai: i#traukto bilieto numeris 5, 10, 15, 20, 25, 30 ir 35.

Tod*l, ( ) .2,05

1

35

7AP ===

4. Metami du lo#imo kauliukai. Kokia tikimyb*-vykio A atvirtusi%aki%suma lygi 7?

Sprendimas

Vis%vienodai galim%elementari%j%-vyki%bus tiek, kiek galima sudaryti gretini%supasikartojimais i#6 element%po 2, nes #ie junginiai vienas nuo kito skiriasi elementais bei j%i#d*stymo tvarka ir elementai gali kartotis. Pvz., 12, 21, 33, 52 ir t.t. 8ia pirmasis skaitmuo rodo

atvirtusi%aki%skai(i%ant pirmojo kauliuko, o antrasis ant antrojo. Taigi, .366An 22

6 === Palankius -vykis galima i#vardinti: 16, 25, 34, 43, 52, 61, nes 1+65 2+55 ...5 7. Vadinasi, m5 6 ir

( ) .6

1

36

6AP ==

5. Ant apskritimo pasirenkami 4 skirtingi ta#kai. Kokia tikimyb*, kad stygos AB ir CD kirsis?Sprendimas

Galimi 6 skirtingi ta#k%i#d*stymo variantai: ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC ir

ADCB. Palank2s yra tik 2 i#d*stymo variantai: ACBD ir ADBC. Vadinasi, ( ) .3

1

6

2AP ==

6. Tikimyb*, kad studentas i#laikys matematikos egzamin/lygi 0,6. Kokia tikimyb*, kadstudentas nei#laikys matematikos egzamino?

Sprendimas

Jeigu -vykis A studentas i#laikys matematikos egzamin/, jam prie#ingas -vykis A -

studentas nei#laikys matematikos egzamino. Vadinasi, ( ) ( ) 4,06,01AP1AP === .

7. Atsitiktinai parenkamas trienklis skai(ius. Kokia tikimyb*, kad bent 2 jo skaitmenyssutaps?

Sprendimas

Pirm/j-trienklio skai(iaus skaitmen-galima parinkti i#9 skaitmen%(negali b2ti 0), antr/j-irtre(i/j- i#10. Taigi, pagal daugybos taisykl1, 90010109n == . Tegul -vykis A parinktojoskai(iaus bent du skaitmenys sutampa. 8ia lengviau b2t%apskai(iuoti tikimyb1prie#ingo -vykio A

parinktojo skai(iaus visi skaitmenys skirtingi. Tada ( ) 72,010072900729APir899m ==== , o

( ) ( ) .28,072,01AP1AP ===

Pratimai1. Metamos 3 monetos: 1 cento, 2 cent%ir 5 cent%. Sudarykite bandymo elementari%j%-vyki%

aib1. Raskite tikimybes -vyki%ir jiems prie#ing%-vyki%: 1) A herbas atvirto daugiau kaip ant vienosmonetos; 2) B atvirtusi%cent%suma didesn*u2; 3) C atvirtusi%cent%suma maesn*u5; 4)D atvirtusi%cent%suma didesn*u5.

Ats.:1) 1/2; 1/2; 2)5/8; 3/8; 3)1/2; 1/2; 4)3/8; 5/8.

2. Metama 5 cent%moneta ir lo#imo kauliukas. Sudarykite bandymo elementari%j%-vyki%aib1. Raskite tikimybes -vyki%ir jiems prie#ing%-vyki%: 1) A atvirtusi%cent%ir ta#k%suma didesn*



19/49

19

u9; 2) B atvirtusi%cent%skai(ius didesnis uta#k%skai(i%; 3) C- atvirtusi%cent%ir ta#k%suma dalii#3; 4) D atvirtusi%cent%skai(ius dalus i#atvirtusi%ta#k%skai(iaus.

Ats.:1) 1/6; 5/6; 2) 1/3; 2/3; 3) 1/3; 2/3; 4) 2/3; 1/3.

3. D*ut*je yra septynios kortel*s, sunumeruotos skai(iais nuo 1 iki 7. Atsitiktinai viena pokitos i#traukiamos 2 kortel*s ir ura#omi j%numeriai. Sudarykite bandymo elementari%j%-vyki%aib1

Raskite tikimybes -vyki%: 1) A numeriai lyg2s; 2) B- numeriai nelyg2s; 3) C pirmasis numerismaesnis uantr/j-; 4) D pirmasis numeris didesnis uantr/j-; 5) G numeri%suma lygin*; 6) H numeri%suma nelygin*; 6) K numeri%suma lygi 10.

Ats.:1) 0; 2) 1; 3) 1/2; 4) 1/2; 5) 3/7; 6) 4/7; 7) 2/21.4. D**je yra 10 rutuli%. Tikimyb*, kad du atsitiktinai i#traukti rutuliai yra balti, lygi 2/15.

kiek d**je balt%rutuli%. Ats.:4.5. Gaminant detal1, atliekama keletas operacij%. Tikimyb*pagaminti detal1, neatitinkan(i/

standart%, lygi 0,01. kokia tikimyb*pagaminti ger/detal1? Ats.:0,99.6. Metams lo#imo kauliukas. Kokia tikimyb*, kad i#krito maiau kaip 6 ta#kai?

Ats.:5/6.

7. D**je yra 4 balti ir 7 juodi rutuliukai. Atsitiktinai i#imamas vienas rutuliukas. Kokia

tikimyb*, kad jis baltas? Ats.:4/11.8. Krep#inio pirmenyb*se dalyvauja 18 komand%, kurios burt% keliu suskirstomos - 2

pogrupius po 9 komandas. 5 komandos yra pirmaujan(ios. Kokia tikimyb*, kad visos pirmaujan(ios 5komandos pateks -t/pa(i/grup1? Ats.: 1/34.

9. U10 viet%stalo atsitiktinai susodinami 10 sve(i%. Kokia tikimyb*, kad Aldona ir Algiss*d*s greta? Ats.: 2/9.

10.Revolverio b2gnelyje yra 7 lizdai. 65 i#j%-d*ti #oviniai, 2 tu#ti. B2gnelis pasukamas irspaudiamas gaidukas. Kokia tikimyb*, kad padarius min*t/bandym/, ginklas nei#aus?

Ats.: 2/7.

11.Metamas lo#imo kauliukas. Kokia tikimyb*, kad i#krito lyginis ta#k%skai(ius?

Ats.: 0,5.12.Matematikos knygoje yra 300 puslapi%. Kokia tikimyb*, kad atsitiktinai atversto puslapionumeris yra skai(iaus 25 kartotinis? Ats.:0,04.

13.I#d**s, kurioje yra 5 brokuotos detal*s ir 30 be defekt%, atsitiktinai paimtos 3 detal*s.Kokia tikimyb*, kad visos 3 detal*s be defekt%? Ats.: 0,62.

14.I#skai(i%eil*s nuo 1 iki 30 atsitiktinai i#rinktas sveikasis skai(ius. Kokia tikimyb*, kad jisyra 30-ies daliklis? Ats.: 4/15.

15.Bilietai sunumeruoti nuo 1 iki 30. Atsitiktinai i#trauktas vienas bilietas. Kokia tikimyb*,kad i#traukto bilieto numeris yra 3 kartotinis? Ats.: 1/3.

16.Metami 2 lo#imo kauliukai. Koks -vykis labiau tik*tinas: ta#k%suma lygi 11 ar ta#k%suma lygi 4? Ats.: ta#k%suma lygi 4.

17.I# d**s, kurioje yra 10 balt% ir 6 juodi rutuliai, atsitiktinai imami du rutuliai. Kokiatikimyb*, kad abu rutuliai juodi? Ats.: 1/8.18.Kortel*se sura#yti sveikieji skai(iai nuo 1 iki 20 imtinai. Atsitiktinai i#trauktos 2 kortel*s.

Kokia tikimyb*, kad para#yt%j%skai(i%suma lygi 10? Ats.:2/95.19.:mogus, rinkdamas telefono numer-, pamir#o 2 paskutinius skaitmenis, ir inodamas, kad

tie skaitmenys yra skirtingi, surinko juos atsitiktinai. Kokia tikimyb*, kad telefono numeris surinktasteisingai? Ats.: 1/90.

20.Tarp 100 detali% 5 brokuotos. Kokia tikimyb*, kad atsitiktinai paimtos 3 detal*s busnebrokuotos? Ats.: 0,856.

21.Tvenkinyje 30 lydek%. Sugavo 5, jas paym*jo ir v*l paleido. Antr/ kart/ sugavo 7lydekas. Kokia tikimyb*, kad tarp j%buvo 2 paym*tos lydekos? Ats.:0,26.

22.Klas*je 13 mergai(i% ir 12 berniuk%. Reikia i#rinkti 3 moksleivi% delegacij/. Kokiatikimyb*, kad -delegacij/pateks 2 mergait*s ir 1 berniukas? Ats.: 0,407.



20/49

20

23.I#36 kort%kalad*s, kurioje yra 4 t2zai, atsitiktinai i#trauktos 3. Kokia tikimyb*, kad tarpj%bus 2 t2zai? Ats.:0,027.

24.Urnoje 30 loterijos biliet%, tarp kuri%5 laimingi. I#traukti 4 bilietai. Kokia tikimyb*, kad 2bilietai laimingi? Ats.: 0,11.

25.Knyg%lentynoje atsitiktinai sud*tos 5 algebros ir 3 geometrijos knygos. Kokia tikimyb*,

kad vieno dalyko knygos sud*tos greta? Ats.: 1/28.26.Futbolo turnyre dalyvauja 20 komand%. Jos burt%keliu suskirstytos -2 pogrupius po 10

komand%. Kokia tikimyb*, kad 2 stipriausios komandos bus viename pogrupyje?Ats.: 9/19.

27.I# 5 ab*c*l*s raidi% sud*tas odis knyga. Nemokantis skaityti vaikas i#barst* raides irpaskui atsitiktinai jas surinko. Kokia tikimyb*, kad jis v*l sud*jo od-knyga?

Ats.: 1/120.

28.Namas 7 auk#t%. Pirmame auk#te -lift/-lipa 3 asmenys. Apskai(iuokite tikimybes -vyki%: A visi keleiviai i#lipo ketvirtame auk#te,

B visi keleiviai i#lipo tame pat auk#te,C visi keleiviai i#lipo skirtinguose auk#tuose. Ats.: 1/216; 1/36; 5/9.

29.5 kortel*se -ra#yti skaitmenys 1,2,3,4 ir 5. Atsitiktinai viena po kitos paimamos 2 kortel*s.Kokia tikimyb*, kad antroje kortel*je skaitmuo didesnis negu pirmoje? Ats.: 0,5.

30.Du kartus i#eil*s metama moneta. Kokia tikimyb*, kad bent kart/i#kris herbas?Ats.: 0,75.

31.I# 100 elektros lempu(i% 5 sugadintos. Kokia tikimyb*, kad i# 3 atsitiktinai paimt%lempu(i%visos bus geros? Ats.: 0,86.

32.Metami 2 lo#imo kauliukai. Kokia tikimyb*, kad i#kritusi%aki%suma lygi 8?Ats.: 5/36.

33.Kiekvienas i# 3 keleivi% gali -lipti - bet kur- i# 10 keleivinio traukinio vagon%. Kokiatikimyb*, kad visi trys pateks -: 1) pirm/vagon/; 2) pirmus penkis vagonus; 3) skirtingus vagonus; 4)vien/vagon/? Ats.: 0,001; 1/8; 0,72; 0,01.

34.Metuose 365 dienos. Atsitiktinai parenkamas t% met% nupl*#iamo kalendoriaus lapelis.Raskite tikimybes -vyki%: A lapelyje esantis skai(ius dalus i#5; B lapelyje esantis skai(ius dalus i#7. Ats.:71/365; 48/365.

35.Ant 25 korteli% sura#yti skai(iai nuo 1 iki 25. Atsitiktinai i#traukiamos 2 kortel*s. Rastitikimybes -vyki%: A i#traukt% skai(i% suma lygi 10; B i#traukt% skai(i% suma dali i# 10; C i#traukt%skai(i%suma lygin*; D i#traukt%skai(i%suma nelygin*. Ats.:1/75;7/75;12/25;13/25.

36.D*ut*je 4 geltonos ir 6 raudonos spalvos pie#tukai. Atsitiktinai i#traukiami du pie#tukai.Rasti tikimybes -vyki%: A pie#tukai geltonos spalvos; B pie#tukai raudonos spalvos; C pie#tukaiskirting%spalv%; D abu pie#tukai vienodos spalvos. Ats.: 2/15; 1/3; 8/15; 7/15.

37.5 kortel*se -ra#yti skai(iai 1,2,3,4,5. Atsitiktinai i#traukiama 1 kortel*, ura#omas jos

skai(ius ir kortel* grainama - d*ut1. Po to atsitiktinai traukiama kita kortel* ir ura#omas josskai(ius. Rasti tikimybes -vyki%: 1) pirmas skai(ius maesnis uantr/; 2) pirmas skai(ius didesnis uantr/; 3) abu skai(iai lyginiai; 4) abu skai(iai lyg2s; 5) abu skai(iai nelyginiai; 6) skai(i%suma lygi 8;7) skai(i%suma lygi 6.

Ats.: 1) 0,4; 2) 0,4; 3) 0,16; 4) 0,2; 5) 0,36; 6) 0,12; 7) 0,2.

38.Moneta metama 3 kartus i#eil*s. Kokia tikimyb*, kad herbas i#kris du kartus?Ats.: 3/8.

39.Lo#imo kauliukas metamas du kartus. Rasti tikimyb1 to, kad abu kartus i#kris vienodasaku(i%skai(ius. Ats.:1/6.

40.I#odio SIGIS raidi%atsitiktinai paimamos 3 raid*s. Kokia tikimyb*, kad bus sud*tasodis GIS? Ats.:1/15.

41.Kokia tikimyb*, kad atsitiktinai ura#ius trienkl- skai(i%du jo skaitmenys bus vienodi? Ats.:0,27.



21/49

21

42.D**je yra alios ir m*lynos spalvos kalad*l*s. Tikimyb*, kad 2 i#trauktos kalad*l*s busm*lynos spalvos, lygi 5/14. Kiek d**je buvo kalad*li%, jei m*lynos spalvos kalad*li%buvo 5?

Ats.:8.

43.I#d**s, kurioje yra 4 balti ir 2 geltoni rutuliai, atsitiktinai parinkdami paimame 2rutulius. Kokia tikimyb*, kad paimti rutuliai yra:

1) abudu balti,2) vienas baltas ir vienas geltonas,3) abudu geltoni? Ats.: 6/15; 8/15; 1/15.

44.Metami 3 aidimo kauliukai. Kokia tikimyb*, kad i#kritusi%ta#k%suma lygi 6?Ats.: 5/108.

45.Kokia tikimyb*, kad i#8 paeiliui einan(i%langeli%, atsitiktinai parinkdami langelius ir-ra#ydami -juos raides E,E,L,L,O,O,T,T, gausime od-TELELOTO? Ats.: 1/2520.

46.Kokia tikimyb*, kad i##e#i%paeiliui einan(i%langeli%, atsitiktinai parinkdami langelius ir-ra#ydami -juos skaitmenis 1,2,2,3,3,3, gausime skai(i%123233?

Ats.; 1/60.

47.Studentas -skaitai gauti turi teisingai atsakyti ne maiau kaip -4 i#6 atsitiktinai parinkt%

klausim%. kokia tikimyb*, kad studentas gaus -skait/, jeigu jis i#12 klausim%i#moko tik 8 klausimus? Ats.: 0,(72)5 8/11.

48.Keturi keleiviai vaiuoja keturi%vagon%traukiniu. kokia tikimyb*, kad:1) visi keleiviai yra viename vagone,

2) trys keleiviai yra viename vagone, o ketvirtas kitame,

3) du keleiviai yra viename vagone, o kiti du kitame,

4) du keleiviai yra viename vagone, o kiti du skirtinguose vagonuose,5) visi keturi keleiviai yra skirtinguose vagonuose?

Ats.: 1) 1/64; 2) 3/16; 3) 9/64; 4) 9/16; 5) 3/32.

49.Loterijoje yra 1000 biliet%. 300 i#j%laimi. Atsitiktinai traukiamas 1 bilietas. kokiatikimyb*, kad jis yra laimingas? Ats.: 3/10.

50.Bilietai sunumeruoti nuo 1 iki 34. Atsitiktinai i#trauktas 1 bilietas. Kokia tikimyb*, kad jonumeris yra skai(iaus 3 kartotinis? Ats.: 11/34.

51.A#tuoniose vienodose kortel*se para#yti skai(iai 2,4,6,7,8,11,12,13. Atsitiktinai i#trauktos2 kortel*s. Kokia tikimyb*, kad i##i%skai(i%sudaryta trupmen/galima suprastinti?

Ats.: 5/14.

52.6knyg%lentyn/atsitiktinai paimamos ir dedamos 4 istorijos ir 3 geografijos knygos. kokiatikimyb*, kad vieno ir to paties dalyko ( istorijos arba geografijos) knygos bus sud*tos greta?

Ats.: 2/35.

53.I#40 klausim%, -einan(i%-egzamin%bilietus, studentas i#moko 10. Kokia tikimyb*studentui i#traukti biliet/, kurio abu klausimus jis moka? Ats.: 3/52.

54.Devynios kortel*s, paym*tos skaitmenimis nuo 1 iki 9. Nesirenkant imamos 4 kortel*s irdedamos viena greta kitos. Gaunamas keturenklis skai(ius. kokia tikimyb*, kad jis bus lyginis?Ats.: 4/9.

3. Veiksmai su t ik imy bmis

Nesutaikom#$vyki#sumos tikimyb. Sakykime, m- skai(ius vienodai galim%-vyki%,palanki%-vykiui A, k- skai(ius vienodai galim%-vyki%, palanki%-vykiui B, o n elementari%j%-vyki%

aib*. Tada ( ) ( )n

kBP,

n

mAP == . Kadangi -vykiai A ir B yra nesutaikomi, tai -vykis A+B rei#kia, kad

-vyko arba tik A, arba tik B. 4iam -vykiui palanki%elementari%j%-vyki%yra m+k, tod*l



22/49

22

( ) ( ) ( ).BPAPn

k

n

m

n

kmBAP +=+=

+=+ Vadinasi, nesutaikom,#vyki,sumos (s-jungos) tikimyb

lygi )i,#vyki,tikimybi,sumai, t.y.

P(A+B)5 P(A)+P(B) .

Pavyzd!iai1. D*ut*je yra 50 spalvot%pie#tuk%: 20 raudon%, 10 m*lyn%, 15 ali%ir 5 rudi.Apskai(iuokite tikimyb1, kad atsitiktinai paimtas pie#tukas yra m*lynas arba alias.

Sprendimas

Paym*kime -vykius: A paimtas pie#tukas yra m*lynas; B paimtas pie#tukas yra alias;C paimtas pie#tukas yra m*lynas arba alias. Akivaizdu, kad -vykis C -vyks, jeigu -vyks bent vienasi#-vyki%A arba B. Vadinasi C5 A+B. Be to, -vykiai A ir B yra nepriklausomi, tod*l

( ) ( ) ( ) ( ) .5,02

1

50

25

50

15

50

10BPAPBAPCP ===+=+=+=

2. Loterijoje yra 1000 biliet%. I#j%vienas bilietas i#lo#ia 300 Lt, 5 bilietai po 100 Lt, 20

biliet%po 50 Lt, 50 biliet%po 20 Lt, 60 biliet%po 10 Lt ir 100 biliet%po 5 Lt. Kokia tikimyb*,nusipirkus vien/biliet/, i#lo#ti ne maiau 50 lit%.

Sprendimas

Sakykime, -vykis A i#lo#ta 300 Lt; B i#lo#ta 100 Lt; C- i#lo#ta 50 Lt; D i#lo#ta nemaiau 50 Lt. Ai#ku, kad D5 A+B+C ir -vykiai A, B, C nepriklausomi. Vadinasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .026,01000

26

1000

20

1000

5

1000

1CPBPAPCBAPDP ==++=++=++=

Nepriklausom#$vyki#sandaugos tikimyb. Du -vykius vadinsime nepriklausomais, jeiguvieno i#j%tikimyb*nepriklauso nuo to, -vyko ar ne-vyko kitas -vykis. Prie#ingu atveju tie -vykiai

vadinamipriklausomais.Sakykime -vykiai A ir B yra sutaikomi (yra bent vienas -vykis, palankus abiem -vykiams) irnepriklausomi. m skai(ius vienodai galim%-vyki%, palanki%-vykiui A, k skai(ius vienodai galim%

-vyki%, palanki%-vykiui B, o n bendras vienodai galim%-vyki%skai(ius. Vadinasi, ( )n

mAP = ir

( )n

kBP = , o ( ) ( ) ( )BPAP

n

k

n

m

nn

kmBAP ==

= . Gavome, kadsutaikom,nepriklausom,#vyki,A ir

B sandaugos tikimyblygi t,tikimybi,sandaugai, t.y.

( ) ( ) ( )BPAPBAP = .Jeigu -vykiai A ir B nesutaikomi, tai VBABA == ir ( ) ( ) 0VPBAP == . Vadinasi,

nesutaikom,#vyki,sandaugos tikimyblygi nuliui.

Pavyzd!iai1. Vienoje d**je yra 4 balti ir 8 juodi rutuliai, kitoje 3 balti ir 9 juodi rutuliai. I#kiekvienos

d**s paimta po rutul-. Kokia tikimyb*, kad abu rutuliai yra balti?Sprendimas

Sakykime, A i#pirmos d**s paimtas baltas rutulys, B i#antros d**s paimtas baltasrutulys, C paimti 2 balti rutuliai. Ai#ku, kad A ir B ir sutaikomi ir nepriklausomi -vykiai. Vadinasi,

( ) ( ) ( ) ( )12

1

4

1

3

1

12

3

12

4BPAPBAPCP ===== .



23/49

23

2. 6taikin-vienu metu #auna du #auliai. Pirmojo #aulio pataikymo tikimyb*yra 0,8, o antrojo 0,75. Kokia tikimyb*, kad -taikin-pataikys abu #auliai?

Sprendimas

Sakykime, -vykis A -taikin-pataik*pirmasis #aulys, B -taikin-pataik*antrasis #aulys ir C -taikin-pataik*abu #auliai. 6vykiai A ir B yra sutaikomi (gali -vykti kartu) ir nepriklausomi. 6vykis

C yra lygus -vyki%A ir B sandaugai, nes turi -vykti ir -vykis A ir -vykis B. Taigi, ( ) ( )== BAPCP( ) ( ) 6,075,08,0BPAP === .

3. 6rengtos dvi nepriklausomos signalizacijos, duodan(ios signal/per avarij/. 6vykio, kad peravarij/duos signal/pirmoji signalizacija, lygi 0,95, o kad antroji 0,9. Kokia tikimyb*, kad peravarij/duos signal/tik viena sistema?

Sprendimas

Jeigu, -vykis A signal/duos pirmoji sistema, tai A - pirmoji sistema signalo neduos ir jeigu

B signal/duos antroji sistema, tai B - antroji sistema signalo neduos. Sakykime, C signal/duospirmoji sistema, o antroji neduos, D signal/duos antroji sistema, o pirmoji neduos ir E signal/

duos tik viena sistema. Akivaizdu, kad E5 C+D, o BADo,BAC == . Kadangi -vykiai C ir D yranesutaikomi, o signalizacijos nepriklausomos, tai ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=+=+=+= BAPBAPDPCPDCPEP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .05,095,01AP1AP;1,09,01BP1BP;BPAPBPAP ======+= ( ) 14,0045,0095,09,005,01,095,0EP =+=+= .

4. Trys #auliai po vien/kart/#auna -taikin-. Kokia tikimyb*, kad bent vienas #aulys pataikys-taikin-, jei pirmojo #aulio pataikymo tikimyb*lygi 0,7, antrojo 0,6 ir tre(iojo 0,8?

Sprendimas

Nagrin*sime -vykius: A -taikin-pataik*bent vienas #aulys; 1A - -taikin-pataik*pirmasis

#aulys; 2A - -taikin-pataik*antrasis #aulys; 3A - -taikin-pataik*tre(iasis #aulys. Tuomet( ) ,7,0AP 1 = ( ) ( ) 8,0APir6,0AP 32 == . 6vykiui A prie#ingas -vykis A - -taikin-nepataik*nei vienas

#aulys. Apskai(iuojame ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 024,02,04,03,0APAPAPAAAPAP 321321 ==== irrandame ( ) ( ) .976,0024,01AP1AP ===

Sutaikom#$vyki#sumos tikimyb. Panagrin*kime 2 sutaikomus -vykius A ir B. Sakykime, myra skai(ius vienodai galim%-vyki%, palanki%-vykiui A, k skai(ius vienodai galim%-vyki%, palanki%-vykiui B, o r skai(ius vienodai galim%-vyki%, palanki%ir -vykiui A, ir -vykiui B. Jeigu n yra vis%

vienodai galim%-vyki%skai(ius, tai ( ) ( ) ( )n

rBAP,

n

kBP,

n

mAP === . 6vykiui A+B (-vyko bent

vienas i#-vyki%A arba B) palanki%-vyki%yra m+k-r. Tod*l ( ) =+=+

=+n

r

n

k

n

m

n

rkmBAP

( ) ( ) ( )BAPBPAP += . Vadinasi,sutaikom,#vyki,A ir B sumos tikimyblygi t,tikimybi,sumai betikimybs )iems #vykiams #vykti kartu, t.y.

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP +=+ .Pavyzd!iai1. Du mediotojai vienu metu nepriklausomai vienas nuo kito #auna -zuik-. Zuikis

nu#aunamas, jei -j-pataiko bent vienas mediotojas. Kokia tikimyb*, kad zuikis bus nu#autas, jeimediotoj%pataikymo tikimyb*s lygios 0,8 ir 0,7?



24/49

24

Sprendimas

Sakykime, -vykis A -zuik-pataiko pirmasis mediotojas, B -zuik-pataiko antrasismediotojas ir C zuikis nu#autas. Ai#ku, kad C5 A+B, nes -vykis C -vyksta, jei -vyksta bent vienas i#-vyki%A arba B. 6vykiai A ir B yra priklausomi, nes jie gali -vykti kartu. Vadinasi, ( ) ( ) =+= BAPCP

( ) ( ) ( ) 94,056,05,17,08,07,08,0BAPBPAP ==+=+= .

2. Studentas laiko 2 egzaminus. Pirmojo egzamino i#laikymo tikimyb*lygi 0,6, o antrojo 0,5. Kokia tikimyb*, kad studentas i#laikys bent vien/egzamin/?

Sprendimas

Jeigu A studentas i#laikys pirm/j-egzamin/, B studentas i#laikys antr/j-egzamin/, taiA+B studentas i#laikys bent vien/egzamin/. 6vykiai A ir B yra nepriklausomi ir sutaikomi, vadinasi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .8,03,01,15,06,05,06,0BPAPBPAPBAPBPAPBAP ==+=+=+=+

Pratimai

1. Egzamino bilietai sunumeruoti sveikais skai(iais nuo 1 iki 30. Kokia tikimyb*, kad

atsitiktinai moksleivio i#trauktas bilietas yra 5 arba 7 kartotinis? Ats.: 1/3.2. D**je yra 4 spalv%rutuliai: 50 balt%, 20 ali%, 20 m*lyn%ir 10 raudon%. Kokia tikimyb*,kad atsitiktinai i#trauktas rutulys yra raudonos arba m*lynos spalvos? Ats.:0,3.

3. D**je yra 250 lempu(i%. 100 lempu(i%po 100 vat%, 50 po 60 vat%, 50 po 25 vatus ir50 po 15 vat%. Apskai(iuoti tikimyb1, kad atsitiktinai paimtos lemput*s galia nevir#ija 60 vat%?

Ats.:0,6.

4. Karin*s mokyklos kursantas laiko #audymo -taikin--skait/. 6skaita laikoma i#laikyta, jeikursantas gauna paym-, ne maesn-u4 (maksimalus balas 5). Kokia tikimyb*kursantui i#laikytiegzamin/, jei inoma, kad tikimyb*u#audym/gauti paym-5 lygi 0,3, o tikimyb*gauti paym-4lygi 0,5? Ats.:0,8.

5. Loterijoje yra 1000 biliet%: i#j%1 bilietas i#lo#ia 500 lit%, 10 biliet% po 100 lit%, 50

biliet% po 20 lit%ir 100 biliet% po 5 litus, o likusieji nieko nei#lo#ia. Martynas nusipirko 1 biliet/.Kokia tikimyb*, kad jis i#lo#ne maiau kaip 20 lit%? Ats.:0,061.

6. I#10 loterijos biliet%, tarp kuri%2 laimingi, atsitiktinai i#traukiami 5 bilietai. Kokiatikimyb*, kad tarp i#traukt%j%bus bent vienas bilietas laimingas? Ats.:7/9.

7. Du #auliai nepriklausomai vienas nuo kito #auna -t/pat-taikin-. Pirmojo pataikymotikimyb*lygi 0,8, antrojo 0,6. Kokia tikimyb*, kad -taikin-pataikys bent vienas #aulys?

Ats.:0,92.

8. Metami du kauliukai. Kokia tikimyb*, kad bent viename i#j%i#kris 6 akys?Ats.:11/36.

9. I#nat2rali%j%skai(i%eil*s nuo 1 iki 1000 atsitiktinai imamas skai(ius. Kam lygi tikimyb*,kad jis dalus i#3 arba i#4? Ats.:0,5.

10.Pirmosios raketos pataikymo -taikin-tikimyb*yra 0,4, antrosios 0,6. Kokia tikimyb*,kad bent viena raketa pataikys -taikin-, jei jos paleidiamos nepriklausomai viena nuo kitos?

Ats.:0,76.11.Tikimyb*, kad Jurga i#laikys matematikos egzamin/, lygi 0,7, kad nei#laikys angl%kalbos

egzamino 0,1. kokia tikimyb*, kad Jurga i#laikys bent vien/egzamin/?Ats.:0,97.

12.Du mediotojai vienu metu ir nepriklausomai vienas nuo kito #auna -zuik-. Zuikislaikomas nu#autu, jeigu pataiko bent vienas mediotojas. Kokia tikimyb*, kad zuikis bus nu#autas,

jeigu mediotoj%pataikymo tikimyb*s lygios 0,8 ir 0,75? Ats.:0,95.13.Metama moneta ir lo#imo kauliukas. Kokia tikimyb*, kad i#kris herbas, o kauliuko

atsivertusi%aki

%skai

(ius bus lyginis? Ats.1/4.



25/49

25

14.Pirmoje d**je yra 12 detali%, i#j%5 nestandartin*s. Antroje d**je yra 20 detali%, i#j%4nestandartin*s. I#kiekvienos d**s atsitiktinai i#imama viena detal*. kokia tikimyb*, kad abi detal*snestandartin*s? Ats.: 1/12.

15.Metami du kauliukai. Kokia tikimyb*, kad viename i#kris nelyginis ta#k%skai(ius, okitame 6 ta#kai? Ats.:1/12.

16.Kambaryje nepriklausomai viena nuo kitos dega 2 lemput*s. Tikimyb*, kad valandosb*gyje neperdegs pirmoji lemput*lygi 0,9, o antroji 0,7. Kokia tikimyb*, kad valandos b*gyjeperdegs abi lemput*s? Ats.:0,03.

17.Moksleivis i#moko 20 i#25 fizikos biliet%ir 20 i#30 istorijos biliet%. Kokia tikimyb*,kad: a) moksleivis i#laikys abu egzaminus; b) moksleivis nei#laikys nei vieno egzamino?

Ats.:a)8/15; b)1/15.

18.Metamos trys monetos. Kokia tikimyb*, kad visose i#kris skai(ius?Ats.:1/8.

19.Du #auliai, nepriklausomai vienas nuo kito, #auna -t/pat-taikin-. Pirmojo pataikymotikimyb*lygi 0,9, antrojo 0,8. Kokia tikimyb*, kad bus pataikyta -taikin-?

Ats.:0,98.

20.I#30 sporto mokyklos moksleivi%12 moksleivi%mokosi krep#inio, 15 tinklinio, 5 tinklinio ir krep#inio, o kiti kit%sporto #ak%. Kokia tikimyb*, kad atsitiktinai pasirinktas moksleivismokosi tinklinio arba krep#inio? Ats.:11/15.

21.Raskite tikimyb1, kad atsitiktinai ura#ytas dvienklis skai(ius bus 3 arba 5 kartotinis.Ats.:7/15.

22.4aulys pataiko -taikin-su tikimybe 1/3. Jis #auna -taikin-3 kartus. Apskai(iuokitetikimybes #i%-vyki%:

A #aulys nepataik*daugiau kaip 2 kartus;B #aulys pataik*vien/kart/;C #aulys pataik*du kartus;D #aulys pataik*ne maiau kaip du kartus.

Ats.:8/27; 4/9; 2/9; 7/27.

23.Tikimyb*, kad studentas i#laikys pirm/egzamin/, lygi 0,9, antr/ 0,85, tre(i/ 0,8.Kokia tikimyb*studentui i#laikyti ne maiau kaip du egzaminus? Ats.:0,941.

24.Tikimyb*, kad #aulys kiekvienu #2viu pataikys -taikin-, lygi 0,7. Jis #auna 4 kartus. Kokiatikimyb*, kad pirmieji du #2viai nekliudys, o kiti du kliudys taikin-?

Ats.:0,0441.

25.Metami du kauliukai. Kokia tikimyb*, kad pirmajame i#kris nelyginis aki%skai(ius, oantrajame 5 akys? Ats.:1/12.

26.Pirmosios raketos pataikymo -taikin-tikimyb*yra 0,7, antros 0,8. Kokia tikimyb*, kadabi raketos pataikys -taikin-? Ats.:0,56.

27.Tikimyb*, kad pirmosios stakl*s per darbo valand/nesuges yra 0,9, antrosios 0,95.Kokia tikimyb*, kad per darbo valand/suges tik vienos stakl*s, jei abi dirba nepriklausomai viena nuokitos? Ats.:0,14.

28.Du #auliai nepriklausomai vienas nuo kito #auna -taikin-. Pirmojo pataikymo tikimyb*0,9, antrojo 0,75. Kokia tikimyb*, kad bent vienas #aulys pataikys -taikin-?

Ats.:0,975.

29.Sukdamas laim*s rat/ rat/vien/kart/, berniukas k/nors laimi su tikimybe 0,1.Apskai(iuokite tikimybes -vyki%:

A berniukas laim*s vien/kart/, band1s 2 kartus;B berniukas laim*s vien/kart/, band1s 3 kartus;C laim*s ne maiau kaip du kartus, band1s 3 kartus.

Ats.:0,18; 0,243; 0,028.



26/49

26

30.Abiturientas laiko 2 stojamuosius egzaminus -auk#t/j/mokykl/. Tikimyb*, kad jisi#laikys pirm/j-egzamin/, lygi 0,8, o antr/j- 0,5. Kokia tikimyb*, kad abiturientas i#laikys abuegzaminus? Ats.:0,4.

31.Egzamino biliete yra 3 klausimai. Tikimyb*, kad studentas atsakys -pirm/j-ir antr/j-klausim/, lygi 0,9, o -tre(i/j- 0,8. Kokia tikimyb*, kad studentas i#laikys egzamin/, jei reikia

atsakyti: 1) -visus tris klausimus;2) nors -du klausimus? Ats.:1) 0,648; 2) 0,954.32.:aidime 5 i#36 laimima tada, kai atsp*jami bent trys skai(iai. Kokia laim*jimo tikimyb*?

Ats.:0,0127.33.Krep#ininkas meta tris baudas. Pataikymo tikimyb*s, metant pirm/, antr/ir tre(i/kart/,

atitinkamai lygios 2/3, 3/4 ir 4/5. Kokia tikimyb*, kad du i##i%trij%metim%bus taikl2s?Ats.: 13/30.

34.Stebimas dviej%nepriklausom%-moni%akcij%kain%kitimas. Tikimyb*, kad per m*nes-pakils pirmosios -mon*s akcij%kaina, yra 0,6; kad antrosios -mon*s, lygi 0,5. Apskai(iuokite tikimyb1,kad pakils bent vienos i#-moni%akcij%kaina. Ats.:0,8.

35.Tikimyb*, kad studentui reikalinga knyga yra universiteto bibliotekoje 0,9, o fakulteto

bibliotekoje 0,5. Kokia tikimyb*, kad studentas gaus knyg/? Ats.:0,95.36.Dviejose d*ut*se yra skirting%spalv%, bet vienodo dydio ir formos pie#tukai. Pirmojoje

d*ut*je yra 4 raudoni ir 6 juodi pie#tukai, o antrojoje 3 raudoni, 5 m*lyni ir 2 juodi pie#tukai. I#abiej%d*u(i%atsitiktinai i#imama po vien/pie#tuk/. Kokia tikimyb*, kad abu pie#tukai bus raudoni? Ats.:0,12.

4. S)lyg int ik im yb. Dviej+#vyk i+sandaugos t ik imy b. Pilnosiost ik imybs fo rmu l. Bejeso formu l

6vykio B tikimyb*su s/lyga, kad -vyko -vykis A, vadinamas-lygine tikimybeir ymima

P(B/A). Jeigu m skai(ius vienodai galim%elementari%j%-vyki%, palanki%-vykiui A, p skai(iusvienodai galim%elementari%j%-vyki%, palanki%-vykiui AB, o n vis%elementari%j%-vyki%skai(ius,

tai ( )n

m:

n

p

m

pA/BP == . Kadangi ( ) ( ) ,

n

mAPo,

n

pABP == tai

( ) ( )

( )AP

ABPA/BP = arba ( )

( )( )BP

ABPB/AP = .

I##i%formuli%gauname, kad

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPB/APAPA/BPABP == ,t.y.priklausom,#vyki,sandaugos tikimyblygi vieno -vykio s/lyginei tikimybei, padaugintai

i#tikimyb*s kito -vykio, nuo kurio priklauso pirmasis -vykis.Jeigu yra n priklausom%-vyki% n21 A,,A,A L , tai

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n21n213121n21 AAA/APAA/APA/APAPAAAP KKK = .Tarkime, kad -vykis A gali -vykti kartu su vienu i#-vyki% n21 H,,H,H L , sudaran(i%piln/

tarpusavyje nesutaikom%-vyki%aib1, tai -vykis A -vyks, jeigu -vyks bent vienas i#-vyki% 1AH ,

2AH ,..., nAH . Vadinasi, n21 AHAHAHA +++= L . 6vykiai n21 AH,,AH,AH L yra tarpusavyjenesutaikomi, tod*l ( ) ( ) ( ) ( )n21 AHPAHPAHPAP +++= L . Kadangi ( ) ( ) ( )111 HPH/APAHP = ,

( ) ( ) ( )222 HPH/APAHP = , ..., ( ) ( ) ( )nnn HPH/APAHP = , tai

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn2211 HPH/APHPH/APHPH/APAP +++= L

,



27/49

27

t.y. -vykio A, galin(io -vykti kartu su vienu i#-vyki% n21 H,,H,H L , sudaran(i%piln/

tarpusavyje nesutaikom%-vyki%aib1, tikimyb*lygi kiekvieno i#t%-vyki%tikimybi%ir atitinkam%-vykio A s/lygini%tikimybi%sandaug%sumai. 4i formul*vadinamapilnosios tikimybs formule.6vykiai n21 H,,H,H L vadinami hipotezmis. Remiantis #ia formule galima -rodyti formul1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn2211iiii

iHPH/APHPH/APHPH/AP

H/APHPAP

H/APHPA/HP+++ == L ,

kur i5 1,2,....n. 4i formul*vadinamaBejeso formule.

Pavyzd!iai1. Metami du lo#imo kauliukai raudonas ir baltas. Apskai(iuokite tikimyb1, kad baltojo

kauliuko atsivertusi%aki%skai(ius bus didesnis u4, jei raudonojo kauliuko atsivert*6 akys.Sprendimas

Paym*kime A baltojo kauliuko atsivertusi%ta#k%skai(ius didesnis u4 ir B - raudonojo

kauliuko atsivert*6 akys. Tada ( )36

6BP = . Kadangi -vykiui AB yra tik 2 palank2s -vykiai: (6;5) ir

(6;6), tai ( )36

2ABP = . Lieka apskai(iuoti s/lygin1tikimyb1 ( )

( )( ) 3

1

6

2

36

636

2

BP

ABPB/AP ==== .

2. I#32 kort%kalad*s atsitiktinai viena po kitos i#traukiamos 2 kortos. Kokia tikimyb*, kadpirmoji korta t2zas, o antroji karalius?

Sprendimas

Paym*kime A pirmoji korta t2zas, B antroji korta karalius. Ai#ku, kad, ( )8

1

32

4AP == ,

o ( )31

4A/BP = . Tada ( ) ( ) ( )

62

1

31

4

8

1APA/BPABP === .

3. D**je yra 6 raudoni, 5 m*lyni ir 3 balti rutuliai. Paeiliui i#d**s imami 3 rutuliai.Apskai(iuokite tikimyb1, kad pirmasis rutulys yra raudonas, antrasis m*lynas ir tre(iasis baltas.

SprendimasPaym*kime -vykius:A pirmasis rutulys raudonas;

B antrasis rutulys m*lynas;C tre(iasis rutulys baltas.

Apskai(iuosime ( )7

3

14

6AP == . Tikimyb*, kad antrasis rutulys yra m*lynas, kai pirmasis

i#imtas raudonas rutulys, lygi ( ) .13

5A/BP = Tikimyb*, kad tre(iasis i#imtas rutulys yra baltas, kai

pirmasis i#imtas rutulys raudonas, o antrasis m*lynas, lygi ( )12

3BA/CP = . Vadinasi, tikimyb*, kad

pirmasis rutulys yra raudonas, antrasis m*lynas ir tre(iasis baltas, lygi ( ) ( )= APCBAP

( ) ( )12

3

13

5

7

3BA/CPA/BP = 04,0

364

15= .



28/49

28

4. I#50 detali%15 pagaminta pirmajame ceche, 20 antrajame, o likusios tre(iajame.Pirmasis ir tre(iasis cechai i#leidia puikios kokyb*s produkcij/su tikimybe 0,9, o antrasis su tikimybe

0,6. Kokia tikimyb*, kad atsitiktinai paimta detal*yra puikios kokyb*s?Sprendimas

Paym*kime -vykius:

A atsitiktinai paimta detal*yra puikios kokyb*s;H1 detal*pagaminta pirmajame ceche;H2 detal*pagaminta antrajame ceche;H3 detal*pagaminta tre(iajame ceche.

Tada ( ) ( ) ( ) 3,050

15HPir4,0

50

20HP,3,0

50

15HP 321 ====== . 6vykio A s/lygin*s

tikimyb*s duotos: ( ) ( ) ( ) 6,0H/AP,9,0H/APH/AP 231 === . Taikome pilnosios tikimyb*sformul1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++= 332211 HPH/APHPH/APHPH/APAP

=++= 3,09,04,06,03,09,0 78,027,024,027,0 =++ .

5. Pirmojoje d**je yra 8 balti ir 6 juodi rutuliai, o antrojoje 10 balt%ir 4 juodi rutuliai.Atsitiktinai pasirenkama d**ir rutulys. Paimtas juodas rutulys. Kokia tikimyb*, kad rutulys buvo

paimtas i#pirmosios d**s?Sprendimas

Paym*kime -vykius:A paimtas juodas rutulys;

H1 pasirinkta pirmoji d**;H2 pasirinkta antroji d**.Tada ( ) ( ) 5,0HPHP 21 == . Juodo rutulio pa*mimo tikimyb*, kai pasirinkta pirmoji d**, lygi

( )7

3

14

6H/AP 1 == ir, kai pasirinkta antroji d**- ( )

7

2

14

4H/AP 2 == . Pagal pilnosios tikimyb*s

formul1apskai(iuojame tikimyb1, kad paimtas rutulys juodas: ( ) ( ) ( )+= 11 HPH/APAP

( ) ( )= 22 HPH/AP14

5

14

2

14

3

2

1

7

2

2

1

7

3=+=+ . Ie#kom/j/tikimyb1, kad paimtas juodas rutulys i#

pirmosios d**s, apskai(iuojame pagal Bejeso formul1:

( ) ( ) ( )

( ).6,0

5

3

14

57

3

2

1

AP

H/APHPA/HP 111 ==

==

Pratimai1. 1. :inome, kad P(A)5 0,3, P(B)5 0,2 ir P(A+B)5 0,4. Apskai(iuokite tikimybes -vyki%:

1) P(AB); 2) P(A/B); 3) P(B/A). Ats.:1) 0,1; 2) 0,5; 3)3

1.

2. 2. Metami du lo#imo kauliukai. Apskai(iuokite tikimyb1, kad i#kritusi%aki%suma lygi 7,

jei j%sandauga nevir#ija 13. Ats.:23

6.

3. D**je yra 20 vienodo didumo rutuli%. 8 balti rutuliai paym*ti skaitmeniu 1, 7 balti skaitmeniu 2, 3 juodi skaitmeniu 1 ir 2 juodi skaitmeniu 2. Atsitiktinai traukiamas rutulys.

Apskai(iuokite tikimyb1i#traukti balt/rutul-, kuris paym*tas skaitmeniu 2.

Ats.:97 .



29/49

29

4. Moneta m*toma tol, kol atsiver(ia herbas arba kol tris kartus atsiver(ia skai(ius.Apskai(iuokite tikimyb1, kad moneta mesta tris kartus su s/lyga, kad pirm/kart/atsivert*skai(ius. Ats.: 0,5.

5. I#34 egzamino klausim%studentas vien/po kito traukia 2 klausimus. Egzamin/studentasi#laiko, jeigu atsako bent -vien/klausim/. Apskai(iuokite tikimyb1, kad studentas i#laikys egzamin/,

jeigu jis gerai ino atsakymus -30 klausim%ir pirmuoju i#trauk*nelaiming/ klausim/.Ats.: 0,107.

6. I#3 gamykl%-parduotuv1atve*elektros lemputes. 25 %vis%lempu(i%pagamintapirmojoje gamykloje, 35 %lempu(i% antrojoje gamykloje ir 40 %- tre(iojoje gamykloje. Tikimyb*,kad pirmoji gamykla pagamino brokuot/lemput1, lygi 0,01, antroji 0,008 ir tre(ioji 0,007. Kokiatikimyb*, kad atsitiktinai paimta lemput*brokuotina? Ats.:0,0081.

7. Gautos detal*s, pagamintos trimis stakl*mis. Pirmomis stakl*mis pagaminta 40 %vis%detali%, antromis 35 %, tre(iomis 25 %. Pirmomis stakl*mis pagaminta 90 %pirmos r2#ies detali%,antromis 80 %ir tre(iomis 70 %. Kokia tikimyb*, kad paimta detal*bus pirmos r2#ies?

Ats.: 0,815.

8. 6d*1, kurioje buvo 2 rutuliai, -d*tas baltas rutulys. Po to i#jos atsitiktinai i#traukiamasvienas rutulys. Apskai(iuokite tikimyb1, kad i#trauktas baltas rutulys, jeigu visi d**je buvusi%rutuli%

spalv%kombinacij%variantai yra vienodai galimi. Ats.:3

2.

9. D**je sud*tos tokios detal*s: 16 detali%, pagamint%pirmajame bare, 24 antrajame ir 20 tre(iajame. Tikimyb*, kad antrajame bare pagaminta detal*yra labai geros kokyb*s, lygi 0,6,tikimyb*, kad pirmajame ir tre(iajame bare pagaminta detal*yra labai geros kokyb*s, lygi 0,8. Raskitetikimyb1, kad paimta detal*bus labai geros kokyb*s. Ats.: 0,72.

10.Mediotojas 3 kartus #auna -b*gant-#ern/. Tikimyb*pataikyti pirmu #2viu lygi 0,4, antru 0,5, tre(iu 0,7. Kad #ernas krinta, pataikius vien/kart/, tikimyb*0,2, du kartus tikimyb*0,6.Pataikius tris kartus, jis tikrai krinta. Raskite tikimyb1-vykio, kad #ernas bus nu#autas.

Ats.: 0,458.11.Vienoje d**je yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai, antroje 7 balti ir 3 juodi, tre(ioje 8 balti.

Atsitiktinai pasirenkama viena i#trij%d*i%ir atsitiktinai i#jos i#imamos rutulys. I#imtas baltas

rutulys. Kokia tikimyb*, kad jis i#imtas i#antros d**s? Ats.:23

7.

12.Medicininiai tyrimai rodo, kad 5 %vyr%ir 0,25 %moter%yra daltonikai. I#suaugusi%moni%grup*s, kuri/sudar*400 moter%ir 60 vyr%, atsitiktinai pasirinktas mogus pasirod*es/s

daltonikas. Kokia tikimyb*, kad pasirinktas vyras? Ats.: .4

3

13.I#10 student%, at*jusi%laikyti egzamin/, 3 yra pasiruo#1labai gerai, 4 gerai, 2

vidutini#kai ir 1 nepasiruo#1s. Egzamino bilietuose yra 20 klausim%. Labai gerai pasiruo#1s studentasgali atsakyti -visus klausimus, gerai pasiruo#1s -16 klausim%, vidutini#kai -10, o nepasiruo#1s -5. Atsitiktinai i#kviestas studentas atsak*-tris pateiktus klausimus. Kokia tikimyb*, kad #is studentas

buvo labai gerai pasiruo#1s egzaminui? Ats.: 0,58.14.Me#keriotojas turi 3 m*gstamas 2kl*s vietas, kurias lanko su vienoda tikimybe.

Tikimyb*, kad uvis ukimba, umetus me#ker1pirmoje vietoje, yra3

1, antroje -

2

1, o tre(ioje -

4

1.

:inoma, kad me#keriotojas me#ker1umet*3 kartus, o i#trauk*tik vien/uv-. Kokia tikimyb*, kad jis2klavo pirmoje i#m*gstam%viet%? Ats.: 0,36.

15.Grybautojas, paklyd1s mi#ke, i#*jo -laukym1, i#kurios --vairias puses eina 5 keliai.Tikimyb*i#eiti i#mi#ko per valand/pirmuoju keliu lygi 0,6, antruoju 0,3, tre(iuoju 0,2, ketvirtuoju



30/49

30

0,1 ir penktuoju 0,1. kokia tikimyb*, kad grybautojas pasuko pirmuoju keliu, jei jis i#*jo i#mi#ko

tikrai per valand/? Ats.:13

6.

16.Pirmojoje d**je yra 1 baltas ir 4 juodi rutuliai, antrojoje 4 balti ir vienas juodas. I#pirmosios d**s atsitiktinai i#imtas vienas rutulys ir -d*tas -antr/j/d*1. Po to i#antrosios d**s

atsitiktinai i#imtas vienas rutulys. Apskai(iuokite tikimyb1, kad rutulys yra baltas.Ats.: 0,7.

17.10 jaunuoli%i#*jo grybauti. 5 i#j%baravyk/randa su tikimybe 0,6, trys su tikimybe 0,5ir kiti du su tikimybe 0,3. Vienas vaikinas rado baravyk/. Kokia tikimyb*, kad baravyk/rado

pirmosios grup*s jaunuolis? Ats.: 0,59.18.Pro degalin1vaiuoja lengvosios ir krovinin*s ma#inos. Krovinin*s ma#inos sudaro 60 %

vis%pravaiuojan(i%ma#in%. Tikimyb*, kad prisipilti degal%uvaiuos lengvoji ma#ina, lygi 0,2,krovinin* 0,1. Prie degalin*s privaiavo ma#ina. Kokia tikimyb*, kad tai krovinin*ma#ina?

Ats.:7

3.

5. Nepr ik lausom i pasikar to jantys bandym ai. Bernul io formul

M*tome monet/. Pirm/kart/i#krito herbas, antr/ v*l herbas, tre(i/ skai(ius, ketvirt/herbas ir t.t. Tai, kad ketvirt/kart/metus monet/, i#krito herbas, visi#kai nepriklauso nuo to, kasi#krito, metus pirm/, antr/ir tre(i/kart/. 8ia yra nepriklausom%pasikartojan(i%bandym%pavyzdys.

Kai -vykio A tikimyb*kiekviename i#bandym%nepriklauso nuo kit%bandym%rezultat%,bandymai vadinami nepriklausomais-vykio A atvilgiu.

Sakykime, atliekant nepriklausom/bandym/, tikimyb*, kad -vyks -vykis A, lygi p ( )1p0 ,o kad #is -vykis ne-vyks, lygi q5 1-p. Apskai(iuosime tikimyb1 ( )kPn , kad, atliekant n nepriklausom%

bandym%, -vykis A -vyks k kart%. Tikimyb*vieno sud*tinio -vykio, kur, atlikus n nepriklausom%bandym%-vykis A -vyko k kart%ir ne-vyko n-k kart%, lygi nepriklausom%-vyki%tikimybi%sandaugai

= 484 76

K

484 76

K

knk

qqqppp knkqp . Bet -vykis A, atliekant n bandym%, gali -vykti skirtinguose

bandymuose. Toki%skirting%sud*tini%-vyki%yra tiek, kiek galima sudaryti derini%i#n element%po k,

t.y. knC . Kadangi visi #ie sud*tiniai -vykiai yra nesutaikomi, tai

( ) knkknn qpCkP = .

4i formul*vadinamaBernulio formule. Jeigu reikia apskai(iuoti tikimyb1, kur, atliekant nnepriklausom%bandym%, -vykis A -vyko tarp 1k ir 2k kart%, tai naudojama formul*

( ) ( ) =

===

2

1

2

1

k

kk

knkkn

k

kk

n21n qpCkPkkkP .

Apskai(iav1tikimybes ( )kPn su -vairiomis k reik#m*mis, matysime, jog pradioje ( )kPn

did*ja, did*jant k, o nuo tam tikros reik#m*s 0k pradeda ma*ti. Vadinasi, egzistuoja toks 0k , kad

( ) ( ) ( )1kPkP1kP 0n0n0n + arba pnpk1pnp 0 ++ .

Taigi, su 0k reik #me ( )kPn -gyja didiausi/reik#m1, t.y. 0k yra labiausiai tiktinas-vykio

A pasirodym%skai(ius. Kadangi 0k yra sveikasis skai(ius, tai 0k turi vienintel1reik#m1, kai intervalo

galai n*ra sveikieji skai(iai, ir 0k turi dvi reik#mes 1pnpk1 += ir pnpk2 += , kai intervalo galai

yra sveikieji skai(iai.



31/49

31

Kai skai(iai n ir k yra pakankamai dideli, susiduriame su tikimyb*s ( )kPn skai(iavimosunkumais.Laplaso formulssuteikia galimyb1nors ir apytiksliai, bet ymiai papras(iau apskai(iuoti#i/tikimyb1:

( )

npq

npk

pnk

1kPn ,

( )

npq

npk

npq

npkkkkP 1221n ;

(ia

( ) 2x 2

e2

1x

=

, ( ) ( )

==

x

0

2

tx

0

dte2

1dttx

2

.

4iose formul*se ( )x yra lygin*funkcija, o ( )x - nelygin*. 4i%funkcij%reik#m*s randamosi#lenteli%.

Kai n yra didelis, o p labai maas skai(ius, tai tikimyb* ( )kPn skai(iuojama pagalPuasonoformul/:

( )!k

ekP

k

n

, kur np=

Pagal Puasono formul1skai(iuojamos dideliame bandym%skai(iuje retai pasitaikan(i%-vyki%tikimyb*s.

Pavyzd!iai1. Tikimyb*pataikyti -taikin-lygi 0,8. Kokia tikimyb*pataikyti 7 kartus i#10?Sprendimas

8ia n

510, p

50,8, q

51-0,8

50,2. Pagal Bernulio formul

1

( ) ( ) ( ) 2,05

1

5

4

123

89102,08,0C7P

3

3

7

7377

1010

== .

2. :aidimo kauliukas metamas 5 kartus. Kokia tikimyb*, kad 4 akys i#kris ne maiau kaip 3kartus?

Sprendimas

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

+

+

=++==

=

05

5

5

4

4

5

23

3

5555

5

3k

556

5

6

1C

6

5

6

1C

6

5

6

1C5P4P3PkP3kP

5 ( ) .035,0648

23

6

2761552510

6

1

55

==++

3. Moneta metama 1000 kart%. Apskai(iuokite labiausiai tik*tin/herbo pasirodym%skai(i%.Sprendimas

8ia n5 1000, p5 0,5, tai np+p5 5,5005,05,01000 =+ . Vadinasi, 5,500k15,500 0 ir500k0= . Gavome, kad labiausiai tik*tinas herbo atsivertim%skai(ius yra 500.

4. 10 %parduot%televizori%per garantin-laikotarp-reikalauja remonto. Kokia tikimyb*, kadi#64 parduot%televizori%6 pareikalaus garantinio remonto?

PDF created with pdfFactory

Documents

Tikimybiu Teorijos Ir Statistikos Pagrindai