matematikos ir statistikos uždavinynas

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS FUNDAMENTINIŲ MOKSLŲ STUDIJŲ INSTITUTAS

MATEMATIKOS KATEDRA

Daiva Rimkuvienė

MMAATTEEMMAATTIIKKOOSS IIRR SSTTAATTIISSTTIIKKOOSS UUŽŽDDAAVVIINNYYNNAASS

Akademija 2009

2

Daiva Rimkuvienė

MATEMATIKOS IR STATISTIKOS UŽDAVINYNAS

Recenzavo: doc. dr. Stasė Motuzienė

lekt. Janina Kaminskienė

Aprobuota:

Matematikos katedros posėdyje 2008 12 30, protokolo numeris 0-121

Fundamentinių mokslų instituto metodinės komisijos posėdyje 2009 02 03, protokolo numeris 10

Agronomijos fakulteto metodinės komisijos posėdyje 2009 03 02, protokolo numeris 15 (65)

Redagavo: Vita Siaurodinienė

© D. Rimkuvienė, 2009

© Lietuvos žemės ūkio universitetas, 2009

3

Turinys Pratarmė............................................................................................................................................... 4 1. Tiesinės algebros ir matematinės analizės pagrindai....................................................................... 5

1.1. Tiesiniai veiksmai su matricomis ir determinantų apskaičiavimas .......................................... 5 1. 2. Tiesinių lygčių sistemos sprendimas Kramerio ir Gauso metodais......................................... 9 1. 3. Ribų skaičiavimas.................................................................................................................. 16 1. 4. Išvestinių skaičiavimas .......................................................................................................... 19 1. 5. Neapibrėžtinių ir apibrėžtinių integralų skaičiavimas ........................................................... 24

2. Tikimybių teorijos pagrindai ......................................................................................................... 30 2.1. Atsitiktiniai įvykiai ................................................................................................................. 30 2. 2. Diskretieji atsitiktiniai dydžiai .............................................................................................. 37 2. 3. Tolydieji atsitiktiniai dydžiai. Normalusis skirstinys. ........................................................... 45

3. Statistikos pagrindai ...................................................................................................................... 50 3. 1. Aprašomoji statistika ............................................................................................................. 50 3. 2. Duomenų grupavimas............................................................................................................ 55 3. 3. Statistinės išvados: taškiniai ir intervaliniai įverčiai ............................................................. 62 3. 4. Statistinės išvados: parametrinės hipotezės........................................................................... 66

Literatūra ........................................................................................................................................... 74 Priedai................................................................................................................................................ 75

4

Pratarmė

Šiuolaikinėmis sąlygomis labai svarbu gebėti taikyti matematinius metodus, sprendžiant

profesinėje veikloje iškylančius uždavinius.

Ši knyga – uždavinių rinkinys su sprendimais, skirtas LŽŪU Agronomijos fakulteto visų

studijų formų pirmojo kurso studentams, ir parengtas pagal studijų dalyko „Matematika ir

statistika“ 3 kreditų aprašą.

Knygą sudaro 3 skyriai, 12 poskyrių (temų). Kiekvieno poskyrio pradžioje labai glaustai

pateikiamos pagrindinės formulės, reikalingos sprendžiant su nagrinėjama tema susijusias užduotis,

o toliau išsamiai aiškinamas tipinių uždavinių Sprendimas Daugiausia dėmesio skiriama uždavinių

sprendimo metodikai, be to, pateikiami patarimai, kaip spręsti tikimybių teorijos ir statistikos

užduotis naudojantis Microsoft Excel programa. Kiekvieno skyriaus pabaigoje yra uždavinių, skirtų

studentų savarankiškam darbui.

Knygoje pateikiama medžiaga paranki „Matematikos ir statistikos“ kursui įsisavinti ir

praktiniams gebėjimams ugdyti.

Autorė nuoširdžiai dėkoja knygos recenzentėms už vertingas pastabas ir patarimus rengiant šią

knygą spaudai.

5

1. Tiesinės algebros ir matematinės analizės pagrindai

1.1. Tiesiniai veiksmai su matricomis ir determinantų apskaičiavimas

Matricų suma ir skirtumas: Cm× n = Am× n ± Bm× n=(aij±bij); Matricos daugyba iš skaičiaus: k⋅Am×n =( k⋅aij).

i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.

Matricų sandauga kmknnm CBA ××× =⋅ , ∑=

⋅=n

lljilij bac

1.

Pastaba. Matricų sandauga nekomutatyvi, t.y., BAAB ≠ .

Antrosios eilės determinantas: .211222112221

1211 aaaaaaaa

A ⋅−⋅==

Trečiosios eilės determinantas: ==

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

.322311332112312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= „Trikampių“ taisyklės schema:

.||ΟΟΟΟΟΟΟΟΟ

−ΟΟΟΟΟΟΟΟΟ



+ΟΟΟΟΟΟΟΟΟ

+ΟΟΟΟΟΟΟΟΟ

=A

Sariuso schema:

++ ++ ++ −− −− −−

3231333231

2221232221

1211131211

aaaaaaaaa

aaaaa

n-tosios eilės determinantas

∑=

⋅=n

iikik AaA

1|| =∑

=

⋅n

jkjkj Aa

1; Aik, Akj – adjunktai, k – vienas iš indeksų 1, 2,..., n.

Minoras: determinanto elemento aij minoras Mij – tai determinantas, gaunamas iš duotojo determinanto išbraukus i-tąją eilutę ir j-tąjį stulpelį. Adjunktas: determinanto elemento aij adjunktu vadinamas reiškinys ij

jiij MA +−= )1( .

Transponuota matrica AT – matrica, kurioje eilutės ir stulpeliai sukeisti vietomis. Determinantų savybės: 1. |A| = |AT|. Taigi jei teiginyje apie determinantą |A| žodį „eilutė” pakeisime žodžiu „stulpelis” (ir

atvirkščiai), tai gausime teisingą teiginį. 2. Jei kurios nors eilutės elementai turi bendrą daugiklį, tai tą daugiklį galima iškelti prieš

determinanto ženklą. 3. Jei prie vienos determinanto eilutės elementų pridėsime kitos eilutės elementus, padaugintus iš

bet kokio nelygaus nuliui skaičiaus, tai determinanto reikšmė nepasikeis. 4. Jei dvi determinanto eilutes sukeisime vietomis, tai determinanto ženklas pasikeičia priešingu. 5. Determinantas, kurio dvi eilutės yra proporcingos, lygus nuliui.

6

1 . 1 p a v y z d y s . Raskite matricos C = A·B elementą c32, kai

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

851433612

A ; ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

1035404

B .

Sprendimas

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

108550138454110453033443431065102364142

1035404

851433612

C

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++++++++

=1054855366530

80250242044015012121260501848

.

Atsakymas: c32=105.

1 . 2 p a v y z d y s . Raskite matricos Z = DT elementą z23, kai D = C+2B. Sprendimas

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

20610808

1054855366530

1023252420242

1054855366530

1035404

21054855366530

D

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++

=1255465446538

201056481055836065830

;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

1256565544438

1255465446538 T

TDZ .

Atsakymas: z23=125.

1 . 3 p a v y z d y s . Raskite matricos A determinanto |A| reikšmę pagal trikampio taisyklę. Sprendimas

.608214240241849048

254813631411563832851433612

=−=−−−++=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==A

Atsakymas: |A|=60.

7

1 . 4 p a v y z d y s . Raskite determinanto |A| = 851433612

elemento a32 adjunktą A32.

Sprendimas

.10)10()188()6342()1(4362

)1(851433612

52332 =−−=−−=⋅−⋅−=−== +A

Atsakymas: A32=10.

1 . 5 p a v y z d y s . Raskite matricos ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

4315012732

A determinanto |A| reikšmę, skleisdami pagal

pasirinktą eilutę. Sprendimas

Pasirenkame antrąją eilutę, nes šios eilutės trečiajame stulpelyje yra 0.

=−⋅+⋅−⋅+−⋅=

=++==

+++

31532

)1(041572

)1(14373

)1(2

4315012732

322212

232322222121 AaAaAaA

.79971897)9(2)1058()2112(20)15742()1(1)7343()1(2 43

−=−=−−⋅−=−+−⋅−==+⋅−⋅⋅−⋅+⋅−⋅−⋅=

Atsakymas: |A| = − 79.

1 . 6 p a v y z d y s . Raskite matricos ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3310411702

A determinanto |A| reikšmę, skleisdami pagal

pasirinktą stulpelį. Sprendimas

Pasirenkame antrąjį stulpelį, nes šio stulpelio pirmojoje eilutėje yra 0. Duotąjį determinantą pakeisime jam lygiu determinantu, kurio antrajame stulpelyje yra nuliai, išskyrus 1, esantį antroje eilutėje. Tuo tikslu prie trečios eilutės pridėsime antros eilutės elementus, padaugintus iš −3.

=−

=−−−

=−⋅+−⋅+−⋅+

=907

411702

12333310411702

)3(43)3(13)3(110411702

A

.674918)77)9(2()1(097

72)1(0010 422

322212 −=−−=⋅−−⋅−=+−

−+=⋅+⋅+⋅= +AAA

Atsakymas: | A| = − 67.

8

Uždaviniai savarankiškam darbui.

1. Apskaičiuokite M=A – 3 B, kai ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

301452

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

790215

B .

2. Apskaičiuokite M=A + 2 BT, kai ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

301653

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

184712

B .

3. Apskaičiuokite M = A⋅B, kai

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

520103612

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

416

B ; b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

234601

A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

421325

B ;

c) ( )623=A , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

240136

B ; d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

102310

314A ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

423106217

B .

4. Raskite matricos M = A⋅B elementų a23 ir a31 sumą, kai

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

613245

A , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=213

401B .

5. Apskaičiuokite determinantus:

a) |A| = 1432

; |B| = 1462 −

; |C| = 2173−

; |D| = 8412 −−

;

b) |A| = 530234102

; |B| = 364023105 −

.

6. Apskaičiuokite adjunktus A21 ir A32, kai duotas determinantas:

3021413542107854

|| =A .

7. Nustatykite, kokios turi būti x ir y reikšmės, kad būtų teisinga lygybė:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −62

3041

yx

.

Atsakymai:

1. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

242712813

. 2. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−− 114178131

. 3. a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

1814

37; b) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛19152617

; c) ( )214− ; d) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

04111163

21243.

4. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=8619

231112417

M , a23 + a31 = 2 + 19 = 21. 5. a) |A| = – 10, |B| = 26, |C| = – 13, |D| = – 12; b) |A| = 3,

|B| = 20. 6. A21 = – 7, A32 = 42. 7. x = 6, y = 2.

9

1. 2. Tiesinių lygčių sistemos sprendimas Kramerio ir Gauso metodais

Tiesinių lygčių sistema, sudaryta iš m lygčių ir n nežinomųjų:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

;..................................................

,...,...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

čia ( ) −== njmiba iij ,1;,1, realieji skaičiai.

Skaičiai aij – vadinami sistemos koeficientais, bi – laisvaisiais nariais, xj – nežinomaisiais (arba kintamaisiais).

Kai visi laisvieji nariai bi = 0, ( )mi ,1= , sistema vadinama homogenine lygčių sistema, o kai bent vienas bi ≠ 0 – nehomogenine lygčių sistema. Tiesinių lygčių sistemos sprendiniu vadinamas skaičių rinkinys ( )nααα ,...,, 21 , kurį įrašius vietoj nežinomųjų x1, x2, ..., xn, iš kiekvienos lygties gaunama teisinga lygybė. Sistema turinti sprendinį, vadinama suderintąja, o – neturinti sprendinių – nesuderintąja. Suderintosios sistemos dar skirstomos į apibrėžtąsias (turinčias vieną sprendinį) ir neapibrėžtąsias (turinčias be galo daug sprendinių).

Kramerio metodas Kramerio metodas gali būti taikomas sprendžiant n tiesinių lygčių sistemą su n nežinomųjų. Iš lygčių sistemos koeficientų sudarytas determinantas D vadinamas lygčių sistemos determinantu:

nnninn

ni

ni

aaaa

aaaaaaaa

AD

KK

KKKKKK

KK

KK

21

222221

111211

|| == .

Jo i-tąjį stulpelį pakeitus laisvųjų narių stulpeliu, gaunamas determinantas Di:

nnnnn

n

n

i

abaa

abaaabaa

D

KK

KKKKKK

KK

KK

21

222221

111211

= , ni ,...,2,1= .

Jeigu tiesinių lygčių sistemos determinantas 0≠D , tai sistema turi vieną sprendinį:

DDx 1

1 = ; DDx 2

2 = ;…; DDx i

i = ; …; DDx n

n = .

Jeigu tiesinių lygčių sistemos determinantas 0=D , o bent vienas 0≠iD , tai lygčių sistema sprendinių neturi;

visi 0=iD , tai lygčių sistema turi be galo daug sprendinių.

10

Gauso metodas

Gauso metodu galima spręsti bet kurią tiesinę lygčių sistemą.

Sprendžiant Gauso metodu, nežinomieji eliminuojami per keletą kartų elementariai pertvarkant sistemos lygtis:

− pakeičiant bet kurią lygtį, prie jos panariui pridedant kitą sistemos lygtį, padaugintą iš pasirinkto skaičiaus;

− padauginant arba padalijant visus bet kurios lygties narius iš skaičiaus, nelygaus nuliui;

− išbraukiant lygtį 0·x1 + 0 · x2 +…+ 0 · xn= 0.

Pirmuoju žingsniu iš visų lygčių, išskyrus pirmąją, eliminuojame x1 ir toliau pirmosios lygties nebenaudojame eliminuodami kitus nežinomuosius;

Antruoju žingsniu iš visų kitų lygčių, išskyrus antrąją, eliminuojame x2 ir t. t.

Iš lygčių sistemos sudarinėjant ekvivalenčias sistemas, patogiau pertvarkyti ne pačią lygčių sistemą, o išplėstąją matricą (A|B), sudarytą iš duotosios lygčių sistemos koeficientų matricos A ir laisvųjų narių matricos B.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmn

ni

ni

mmnmimm

ni

ni

b

bb

a

aaaaaaa

b

bb

aaaa

aaaaaaaa

BA

~...

~~

~000

~~~0

~~~~

~...~...

)|( 2

1

2222

111211

2

1

21

222221

111211

KK

KKKKKK

KK

KK

KK

KKKKKK

KK

KK

.

Ši matrica pertvarkoma tol, kol gaunama trapecinė matrica, t. y., tokia matrica, kurios visi pagrindinės įstrižainės elementai nelygūs nuliui (jeigu įmanoma), o visi elementai po ja – lygūs nuliui:

Tvarkant matricą galima:

− bet kurią eilutę dauginti iš skaičiaus ir sudėti su kita eilute;

− eilutę padauginti arba padalinti iš bet kokio nelygaus nuliui skaičiaus;

− sukeisti matricos eilutes vietomis;

− pašalinti nulinę eilutę.

Gavus trapecinę matricą, nustatomi matricų A ir (A|B) rangai rA ir r(A|B). Matricos rangas – tai nenulinių eilučių skaičius trapecinėje matricoje. Lyginame šių matricų rangus:

− jeigų rA = r(A|B) = n, tai sistema suderinta ir turi vieną sprendinį;

− jeigų rA = r(A|B) < n, tai sistema suderinta ir turi be galo daug sprendinių;

− jeigų rA ≠r(A| B), tai sistema nesuderinta, sprendinių neturi.

11

2 . 1 p a v y z d y s . Kramerio metodu išspręskite lygčių sistemą:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

312

843261433

3

2

1

xxx

.

Sprendimas

Apskaičiuojame pagrindinį sistemos determinantą (sudarytą iš koeficientų prie nežinomųjų) ir determinantus 3,1, =iDi kuriuose koeficientų prie i-tojo nežinomojo stulpelis pakeistas laisvųjų narių stulpeliu:

;582424721816144843261433

=−−−++==D

;18241672181696843261432

1 =−−−++==D

;2161812121224833211423

2 =−−−++==D

;14912369854343161233

3 =−−−++==D

58181

1 ==DDx ;

5822

2 ==DDx ;

58143

3 ==DD

x .

Patikrinimas:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

312

58174585858

116

5814824183

5814226181

5814423183

58148

5824

58183

58142

5826

58181

58144

5823

58183

5814582

5818

843261433

.

Vadinasi, sprendinys surastas teisingai.

Atsakymas: x1= 5818 ; x2= 58

2 ; x3= 5814 .


.864732

21

21

⎩⎨⎧

=+=+

xxxx

Sprendimas

012126432

=−==D ; 1824426837

1 =−==D ; 1228168472

2 −=−==D .

Kadangi D = 0, o D1 ≠ 0 ir D2 ≠ 0, tai sistema nesuderinta, sprendinių neturi. Atsakymas: Sistema nesuderinta.


⎩⎨⎧

=+=+

4,26,32,123

21

21

xxxx

.

12

Sprendimas

06,36,36,32,1

31=−==D ; 02,72,7

6,34,232

1 =−==D ; 04,24,24,22,1

212 =−==D .

Kadangi D = 0, o D1 = 0 ir D2 = 0, tai sistema turi be galo daug sprendinių. Pasižymime x2 = t, ⇒ x1 + 3t = 2, ⇒ x1 = 2 – 3 t. Atsakymas: ( ){ }ℜ∈− ttt ,;32 .

2 . 4 p a v y z d y s . Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

421236223

321

321

321

xxxxxxxxx

.

Sprendimas

Patogumo dėlei sistemą užrašome matricos pavidalu. Šią matricą sudarome iš koeficientų prie nežinomųjų ir papildomai už vertikalaus brūkšnio parašome laisvųjų narių stulpelį. Gauname išplėstąją sistemos matricą:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

416

112231223

~

Šią matricą pertvarkome elementarių pertvarkų pagalba. Ji tvarkoma tol, kol bus gauta trapecinė matrica, t. y. tokia matrica, kurios visi pagrindinės įstrižainės elementai nelygūs nuliui (jeigu įmanoma), o visi elementai po ja – lygūs nuliui.

Sprendžiant Gauso metodu ir atliekant elementarius pertvarkymus, yra patogu, kad matricos pagrindinės įstrižainės elementai būtų lygūs vienetui. Sukeičiame matricos eilutes taip, kad pirmosios eilutės pirmasis elementas būtų lygus 1, taigi pirmąją eilutę sukeičiam su antrąją. Toliau:

a) pirmos eilutės elementus padauginame iš (−3) ir sudedame su antros eilutės elementais; ~

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

461

112223231

~· (−3)

+ ↵ +

(−2) b) pirmos eilutės elementus padauginame iš (−2) ir

sudedame su trečios eilutės elementais.

~ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅+−⋅+

−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+

)2(14)3(16

1

)2(21)2(31)2(12)3(22)3(32)3(13

231 ~

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

231

350470

231 ~

c) trečiąją eilutę padaliname iš - 5 ir sukeičiame

antrąją ir trečiąją eilutes vietomis: ~

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

52

31

5310470

231~

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−− 352

1

4705310231

· (7)

+↵

d) antros eilutės elementus padauginame iš 7 ir sudedame su trečios eilutės elementais

13

~

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

−

⋅+−⋅+− 7523

52

1

75347170

5310231

~

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅−⋅

−

+⋅−5

725352

1

5215400

5310231

~

~

5

5

5152

1

51005310231

⋅

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

− ~ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−12

1

100350231

. ⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==

+++

12

13523

3

32

321

xxxxxx

.

Gavę trapecinę matricą nustatome matricų pagrindinės sistemos matricos A ir išplėstinės matricos (A|B) rangus rA ir r(A|B). Matricos rangas – tai nenulinių eilučių skaičius trapecinėje matricoje.

Išplėstinės sistemos matricos ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=12

1

100350231

)|( BA rangas r(A|B) = 3, o

pagrindinės sistemos matricos ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100350231

A rangas rA = 3.

Kadangi r(A|B) = rA = n, tai sistema turi vieną sprendinį.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==

+++

12

13523

3

32

321

xxxxxx

.

Iš gautos lygčių sistemos randame: x3 = 1 5x2 + 3⋅1 = − 2; ⇒ 5x2 = − 5; ⇒ x2 = − 1; x1 + 3⋅(−1) + 2⋅1 = 1; ⇒ x1 = 2. Patikrinimas: Į pradinę lygčių sistemą įstatome gautas reikšmes:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−+⋅=⋅+−⋅+=⋅+−⋅+⋅

41)1(22112)1(32612)1(223

⇒ ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

441166

.

Vadinasi, išspręsta teisingai. Atsakymas: x1 = 2; x2 = − 1; x3 = 1.

2 . 5 p a v y z d y s . Išspręskite lygčių sistemą Gauso metodu, nustatykite, kiek lygčių sistema turi sprendinių:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

7491555103345

zyxzyxzyx

.

14

Sprendimas

)3()2(

753

49151510345 −

+↵+

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ~

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅+−⋅+

−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+

)3(37)2(35

3

)3(34)3(49)3(515)2(31)2(45)2(510

345 ~

~ ↵+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−− )1(

21

3

530530

345

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅−+−−

−⋅−+−−⋅−+−−−

)1()1(21

3

)1()5(5)1()3(30530

345~ ~

~ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

11

3

000530

345.

Gavę trapecinę matricą nustatome matricų pagrindinės sistemos matricos A ir išplėstinės matricos (A|B) rangus rA ir r(A|B).

Išplėstinės sistemos matricos ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−=

11

3

000530

345)|( BA rangas r(A|B) = 3, o

pagrindinės sistemos matricos ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=000530

345A rangas rA = 2.

Kadangi r(A|B) ≠ rA, tai sistema nesuderinta, sprendinių neturi. Atsakymas: Sistema nesuderinta.

2 . 6 p a v y z d y s . Išspręskite lygčių sistemą Gauso metodu, nustatykite, kiek lygčių sistema turi sprendinių:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−+=++

85453324

zyxzyxzyx

.

Sprendimas

~)4(38)3(35

3

)4(21)4(45)4(14)3(21)3(41)3(13

241~

)4()3(

853

154113

241

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅+−⋅+

−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+−−⋅+−⋅+

−

+↵+

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

~)1(44

3

71107110

241~

↵+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−− ~)1(

444

3

77111107110

241

↵+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−

+−+−−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−04

3

0007110

241.

Gavę trapecinę matrica nustatome matricų pagrindinės sistemos matricos A ir išplėstinės matricos (A|B) rangus rA ir r(A|B). Matricos rangas – tai nenulinių eilučių skaičius trapecinėje matricoje.

15

Išplėstinės sistemos matricos (A|B) = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−04

3

0007110

241 rangas r(A|B) = 2, o

pagrindinės sistemos matricos A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−0007110

241 rangas rA = 2.

Kadangi abiejų matricų rangai lygūs, tai dar turime patikrinti, ar jie sutampa su nežinomųjų skaičiumi n. Kadangi n = 3 ir r(A|B)=rA≠ n, tai galime teigti, kad sistema turi be galo daug sprendinių. Iš gautos matricos parašome lygčių sistemą:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−04

3

0007110

241⇒

⎩⎨⎧

−=−−=++

4711324

zyzyx

.

Pažymime z = t. Tada

– 11y = – 4 + 7⋅t ⇒ 11

7411

47 tty ⋅−=

−−

= .

Gautas reikšmes įstatome į pirmą lygtį:

3211

744 =+−

⋅+ ttx ⇒ 11

17611

332228163211

2816 +=

+−+−=+−

−−=

tttttx .

Atsakymas: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ℜ∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ tttt ,,

1174,

11176


1. Išspręskite lygčių sistemas Kramerio metodu:

a) ⎩⎨⎧

=−=+

3382

yxyx

; b) ⎩⎨⎧

=+=+

864732

yxyx

; c) ⎩⎨⎧

=−=−

912334

yxyx

.

2. Išspręskite lygčių sistemas Gauso metodu:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=+−−=−+

152023734

zyxzyx

zyx; b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=−+

3320432

zyxzyxzyx

; c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=+−

672285332

zyxzyxzyx

;

d) ⎩⎨⎧

=+−=−−

335202

zyxzyx

; e)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=++=++=−−

92103283123

zyxzyxzyxzyx

.

Atsakymai:

1. a) (2; 3); b) sprendinių nėra; c) {(3 + 4t, t), t∈ℜ}. 2. a) ( - 3, - 1, 0); b) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ℜ∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− tttt ,,

351,

371 ; c) sprendinių

nėra; d) {(6 + 11t, 3 + 5 t, t), t∈ℜ}; e) (2; 1; 3).

16

1. 3. Ribų skaičiavimas

Ribų dėsniai Jei funkcijos f(x) ir g(x) turi baigtines ribas Axf

ax=

→)(lim , Bxg

ax=

→)(lim (A, B ∈ℜ), tai:

1) ACxfCax

⋅=⋅→

))((lim ,

čia C = const; 2) BAxgxf

ax+=+

→))()((lim ;

3) BAxgxfax

⋅=⋅→

))()((lim ;

4) BA

xgxf

ax=

→ )()(lim , B≠0.

Neapibrėžtieji reiškiniai:

00;0;1;;0;;00

∞∞−∞∞⋅∞∞ ∞

Panaikinti neapibrėžtumą – reiškia rasti to reiškinio ribą, jeigu ji egzistuoja. Skaičiuojant ribas dažnai naudojami simboliniai užrašai:

∞==∞

−=∞−

+=∞+

−∞=−

+∞=+ 0

,0,0,0,0

,0

CCCCCC ; čia C > 0, C = const.

Kai turime neapibrėžtumą 00 , o skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianariai, tai skaidome šiuos

daugianarius dauginamaisiais. Reikia naudotis šiomis formulėmis: )()( 21

2 xxxxacbxax −⋅−=++ ;

02 =++ cbxax ⇒ a

acbbx2

42

2,1−±−

= ;

))((22 bababa +−=− ; )()( 2233 babababa +⋅±=± m .

Kai turime neapibrėžtumą ∞∞ ir x→ ∞, o skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianariai, tai skaitiklį ir

vardiklį padalijame iš aukščiausiojo x laipsnio.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>∞<

=

=++++++

= −

−

∞→∞→

.,0

,,

......

lim)()(

lim0

0

110

110

mnkaimnkai

mnkaiba

bxbxbaxaxa

xQxP

nmm

nnn

xm

n

x

mn

m n xx = ; mn

m nx

x

−=

1 ; mm

nm n

xx

xx

= ; mkkm

k

m

xx

xx

−− ==

1

1sinlim0

=→ x

xx

; ex

x

x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

11lim ;

Kai 0→x , kxkx ~sin ; kxkx ~tg 2

~cos12xx− .

17

3. 1 p a v y z d y s . Apskaičiuokite ribą 3145

34lim 2

2

3 −−+−

→ xxxx

x.

Sprendimas

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−

=−⋅−⋅

+⋅−=

−−+−

→ 00

342453129

3314353343

314534

lim 2

2

2

2

3 xxxx

x

Apskaičiuodami tokio tipo ribas (esant neapibrėžtumui 00 ), iš pradžių surandame skaitiklio ir

vardiklio šaknis, juos išskaidome dauginamaisiais ir suprastiname iš to dauginamojo, dėl kurio susidarė neapibrėžtumas.

.1;3

;2

242

34164

;034

21

2,1

2

==

±=

⋅−±=

=+−

xx

x

xx

.51;3

;10

161452

35419614

;03145

21

2,1

2

−==

±=

⋅⋅⋅+±

=

=−−

xx

x

xx

( ) 81

162

5135

13

515

1lim

5135

)1)(3(lim

33==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−

−−=

→→x

x

xx

xxxx

.

Atsakymas: 81 .

3. 2 p a v y z d y s . Apskaičiuokite ribą .992

92

4

lim ++−

∞→ xxxx

x

Sprendimas

Skaičiuodami tokio tipo ribas (esant neapibrėžtumui ∞∞ ), skaitiklį ir vardiklį padaliname iš

aukščiausiojo x laipsnio.

=++

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞∞

=++

−∞→∞→

444

2

44

4

2

4

992

9

lim9929

lim

xxx

xx

xx

xx

xxxx

xx

∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++−

=++

−=

∞→ 00001

992

91lim

432

3

xxx

xx

Atsakymas: ∞.

18

3. 3 p a v y z d y s . Apskaičiuokite ribą ;762

117lim 5

2

+++

∞→ xxx

x

Sprendimas

=++

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∞∞

=++

+∞→∞→

555

5

55

2

5

2

762

117

lim762

117lim

xxx

xx

xxx

xxx

xx0

00200

762

117

lim54

53=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+++

=++

+

∞→

xx

xxx

.

Atsakymas: 0.

3. 4 p a v y z d y s . Apskaičiuokite ribą ;276

45lim 2

2

++−

∞→ xxx

x

Sprendimas

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∞∞

=++

−∞→ 276

45lim 2

2

xxx

x=

++

−

∞→

222

2

22

2

276

45

lim

xxx

xx

xxx

x 65

00605

276

45lim

2

2=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++−

=++

−

∞→

xx

xx

.

Atsakymas: 65 .

3. 4 p a v y z d y s . Apskaičiuokite ribą xtgx

x 53sin

lim0→

.

Sprendimas

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

→ 00

53sin

lim0 xtg

xx

53

53

lim0

==→ x

xx

.

Atsakymas: 53 .

Uždaviniai savarankiškam darbui. Apskaičiuokite ribas:

1. 6582

lim 2

2

2 +−−+

→ xxxx

x. 2. 2

2

3 )3(6

lim−

−−→ x

xxx

. 3. 12)1(

lim 21 −−−

→ xxx

x. 4.

xxxx

x −+−

→3

2

1

12lim .

5. xx

xxx 23

1596lim 7

2

−−+

∞→. 6.

xxxx

x 217

lim 4

33 4

+−+

∞→. 7.

xxxx

x 262

lim3 7

25

−

+−∞→

. 8. .4623

52426lim 67

357

++−−+−+

∞→ xxxxxxx

x

Atsakymai:

1. − 6. 2. ∞. 3. 21

. 4. 0. 5. 0. 6. 0. 7. ∞. 8. 2.

Ribą apskaičiuojame, naudodami ekvivalenčias nykstamąsias funkcijas, t. y. kai 0→x , tai kxkx ~sin , o kxkx ~tg .

19

1. 4. Išvestinių skaičiavimas

Pagrindinės diferencijavimo taisyklės: Jeigu u ir v diferencijuojamos funkcijos, tai:

C′ = 0; (C = const); x′ = 1; ( ) uCuC ′⋅=′⋅ ;

( ) vuvu ′±′=′± ;

( ) vuvuvu ′+′=′⋅ ;

2vvuvu

vu ′−′

=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , 0≠v

Funkcijos diferencialas dy = y′ dx.

Sudėtinės funkcijos diferencijavimas: jei y = y(u), o u = u(x), tai y′x = y′u⋅ u′x

Išvestinių lentelė

1. ( ) constxx =⋅=′ − αα αα ,1 ;

( )x

x2

1=

′; 2

11xx

−=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( ) constuuu =′⋅⋅=′ − αα αα ,1 ;

( ) uu

u ′⋅=′

21 ; u

uu′⋅−=

′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

11

2. ( ) constaaaa xx ==′ ,ln ( ) constauaaa uu =′⋅=

′ ,ln

3. ( ) xx ee =′ ( ) uee uu ′⋅=

′

4. ( ) constaax

xa ==′ ,ln1log ( ) u

auua ′⋅=′

ln1log

5. ( )x

x 1ln =′ ( ) uu

u ′⋅=′1ln

6. ( ) xx cossin =′ ( ) uuu ′⋅=′ cossin

7. ( ) xx sincos −=′ ( ) uuu ′⋅−=′ sincos

8. ( )x

x 2cos1tg =′ ( ) u

uu ′⋅=′ 2cos

1tg

9. ( )x

x 2sin1ctg −=′ ( ) u

uu ′⋅−=′ 2sin

1ctg

10. ( )21

1arcsinx

x−

=′ ( ) uu

u ′⋅−

=′21

1arcsin

11. ( )21

1arccosx

x−

−=′ ( ) uu

u ′⋅−

−=′21

1arccos

12. ( ) 211arctgx

x+

=′ ( ) uu

u ′⋅+

=′ 211arctg

13. ( ) 211arcctgx

x+

−=′ ( ) uu

u ′⋅+

−=′ 211arcctg

Funkcijos kritinis taškas – tai taškas Mi(xi, yi), kuriame funkcijos pirmoji išvestinė f′(xi) = 0 arba neegzistuoja. Būtina ekstremumo sąlyga: jei diferencijuojama funkcija taške x = xi turi ekstremumą, tai f′(xi) = 0. Pakankama ekstremumo sąlyga – jei f′(x), pereidama per kritinį tašką xi, keičia ženklą:

iš „+“ į „−“, tai xi − maksimumo taško abscisė, iš „−“ į „+“, tai xi − minimumo taško abscisė.

20

4. 1 p a v y z d y s . Raskite funkcijos ( ) xxy 3ln47 ⋅+= išvestinę. Sprendimas

Naudojamės sandaugos išvestinės taisykle (u⋅v)′ = u′⋅v + u⋅v′ ir išvestinių lentele. Tarkime, kad

47 += xu , o xv 3ln= . Funkcija xv 3ln= yra sudėtinė funkcija, todėl reikės naudoti ir sudėtinės funkcijos formulę y′x = y′u⋅ u′x .

( )( ) =′

⋅+=′ xxy 3ln47 ( ) ( ) ( ) =′⋅++⋅′

+ xxxx 3ln43ln4 77

( ) ( ) ( ) =′⋅++⋅= xx

xxx 33143ln7 76 ( ) =⋅++⋅ 3

3143ln7 76

xxxx

xxxx 43ln7

76 +

+⋅= .

Atsakymas: x

xxxy 43ln77

6 ++⋅=′ .

4. 2 p a v y z d y s . Raskite funkcijos ( )42 73 +−= xxy išvestinę. Sprendimas

Naudojamės sudėtinės išvestinės formule y′x = y′u⋅ u′x ir išvestinių lentelę. Pažymime 732 +−= xxu , o 4uy = .

uuy ′⋅⋅=′ −144 = ( ) ( )′+−⋅+−⋅ 73734 232 xxxx = ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′+′−

′⋅+−⋅ 73734 232 xxxx =

= ( ) ( )32734 32 −⋅+−⋅ xxx .

Atsakymas: ( ) ( )32734 32 −⋅+−⋅=′ xxxy .

4. 3 p a v y z d y s . Raskite funkcijos 2sin3xxxarctgy

+= išvestinę.

Sprendimas

Naudojamės santykio išvestinės taisykle 2vvuvu

vu ′−′

=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ , sudėtinės išvestinės formule ir išvestinių

lentele. Pažymime xu 3arctg= , o 2sin xxv += . Funkcija xu 3arctg= yra sudėtinė funkcija.

( ) ( ) ( )( )( )

=+

′+−+′

=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=′ 22

22

2 sinsin3sin3

sin3

xxxxxarctgxxxarctg

xxxarctgy

( ) ( )( )

( )=

+

+−+′+

= 22

22

sin

2cos3sin)3()3(1

1

xx

xxxarctgxxxx

( ) ( )( )

( )=

+

+−++

= 22

22

sin

2cos3sin3)3(1

1

xx

xxxarctgxxx

21

( ) ( )( )

( ).

sin

2cos3sin)3(1

3

22

22

xx

xxxarctgxxx

+

+−++

=

Atsakymas: ( ) ( )( )

( ) .sin

2cos3sin)3(1

3

22

22

xx

xxxarctgxxxy

+

+−++=′

4. 4 p a v y z d y s . Raskite funkcijos xxxtgxy x ln2sin)8(2 425sin −−++= + išvestinę. Sprendimas

Naudojamės sumos, skirtumo, sudėtinės funkcijos formulėmis ir išvestinių lentele.

( ) =′

−−++=′ + xxxtgxy x ln2sin)8(2 425sin

( ) ( ) ( ) =′−−′

++′

= + xxxtgxx ln2sin)8(2 425sin

( ) ( ) ( ) =′−−

−′

+++′+⋅⋅= + xxxx

xtgxxtgxxx ln2sinln2sin2

18)8(45sin2ln2 2325sin

( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+++⋅⋅= +

xx

xxx

xxtgxxx 2cos

ln2sin2128

cos1)8(4cos2ln2 2

325sin

( )xx

xx

xx

xtgxxx

ln2sin2

2cos16

cos1)8(4cos2ln2 2

325sin

−

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅⋅= + .

Atsakymas: ( )xx

xx

xx

xtgxxy x

ln2sin2

2cos16

cos1)8(4cos2ln2 2

325sin

−

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅⋅=′ + .

4. 5 p a v y z d y s . Raskite funkcijos )344sin(5 2 −+= xxy diferencialą. Sprendimas

Funkcijos diferencialas apskaičiuojamas: dy = y′ dx.

( ) ( ) ( )dxxxxdxxxxdxxxdy 48)344cos(5424)344cos(5)344sin(5 222 +−+=+⋅−+=′

−+= Atsakymas: ( )dxxxxdy 48)344cos(5 2 +−+=

4. 6 p a v y z d y s . Raskite funkcijos xxxy 8ln84 5 −+= išvestinės reikšmę taške, kurio abscisė

4,10 =x .

22

Sprendimas

Randame y išvestinę: ( ) ( ) =′−+⋅=′

−+=′ xxx

xxxxy 882

118548ln84 45

xxx

xxx

848208

8211820 44 −+=−+=

Apskaičiuojame išvestinės reikšmę taške, kurio abscisė 4,10 =x :

( ) 351,81195,1714,5832,764,18

44,1

84,120)4,1()( 40 =−+=

⋅−+⋅=′=′ yxy .

Atsakymas: 351,81)4,1( =′y .

4. 7 p a v y z d y s . Raskite funkcijos 1985 23 +−+= xxxy ekstremumus. Sprendimas

Ieškome kritinių taškų – tokių, kuriuose funkcijos išvestinė lygi 0 arba neegzistuoja.

( ) 91615928351985 2223 −+=−⋅+⋅=′

+−+=′ xxxxxxxy . Funkcijos išvestinė egzistuoja visoje skaičių ašyje. Ieškime taškų, kuriuose y′ lygi nuliui:

091615 2 =−+ xx . Tada:

;30

213,281630

79616152

9154256162,1

±−≈

±−=

⋅⋅⋅+±−

=x

.407,0;474,1 21 =−= xx Kritiniais taškais apibrėžimo sritį suskirstome į intervalus, juos surašome į 1 lentelę ir, taikydami ekstremumų egzistavimo pakankamos sąlygos taisyklę, randame ekstremumus:

1 lentelė (− ∞; − 1,474) − 1,474 (− 1,474; 0,407) 0,407 (0,407; ∞)

y′ + 0 − 0 + y max min 15,635 − 1,001 Pastaba. Antroje lentelės eilutėje įrašytas ženklas nustatomas taip: pasirenkame bet kurį tašką iš šio intervalo ir randame išvestinės ženklą. Pvz., apskaičiuojame y′(− 2) = 15⋅(− 2)2 +16⋅(− 2) − 9 = 15⋅4 −16⋅ 2 − 9 = 60 − 41 = 19 > 0. Todėl intervale (− ∞; − 1,474) y′ yra teigiama (pažymime „+“), o funkcija y – didėjanti (pažymime „ “). Apskaičiuojame funkcijos 1985 23 +−+= xxxy reikšmes kritiniuose taškuose: ymax( - 1,474) = 15,635 ir ymin(0,407) = − 1,001. Atsakymas: maksimumo taškas: M1(− 1,474; 15,635); minimumo taškas: M2(0,407; − 1,001).

23

Uždaviniai savarankiškam darbui. Raskite duotųjų funkcijų išvestines: 1. 55

55 log55 xexxxy x +++++= . 2. .105 22 xxy = 3. .arccos xey = 4. ).ln(lnln2 xxy −=

5. 2

41x

y = . 6. ).5cossin5ln( xxey x ++= 7. .cossin3tg31 3 3xxxy ++= 8. .

35

3 +=

xxtgy

9. .3cos2

xexy +

= 10. 2

12ln31 2

++−

=x

xxy .

11. Raskite funkcijos 3

3

++

=x

xxy išvestinės reikšmę taške, kurio abscisė x = 4.

Raskite funkcijos ekstremumus: 12. .51232 23 +−+= xxxy 13. .642 ++= xxy 14. .333 +−= xxy Atsakymai:

1. 5 4

4

5

15ln

15ln555xx

xy x ++++=′ . 2. ( ).10 212 xxy x +=′ + . 3. x

x

e

ey21−

−=′ . 4. xxx

xyln1ln2

−=′ .

5. 24

4ln2x

xy ⋅−=′ . 6. .

5cossin55sin5cos5xxexxey x

x

++

−+=′ 7. .sin3cos3

costg

2

23xx

xxy −+=′ .

8. ( )

.3

5tg3)3(5cos

5

23

232

+

⋅−+=′

x

xxxxy 9. .3cos2sin 2

xexxy −−−

=′ 10. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−+−

−=′

21

1222

31

2 xxxxy .

11. 5,5459. 12. ymax( - 2) = 25; ymin(1) = - 2. 13. ymin( - 2) = 2. 14. ymax(0) = 3; ymin(1) = 1.

24

1. 5. Neapibrėžtinių ir apibrėžtinių integralų skaičiavimas Neapibrėžtinio integralo savybės

1. ( )( ) )(xfdxxf =′

∫ ) ;

2. ( )( ) dxxfdxxfd )(=∫

3. ( )( ) ( ) CxFxFd +=∫ ;

4. ( ) ( )∫∫ = dxxfkdxxkf ;

5. ( ) .)(11

∫ ∑∫∑==

=n

ii

n

ii dxxfdxxf

Trapecijų formulė apibrėžtiniams integralams apytiksliai skaičiuoti:

intervalą [a, b] padalijame į n lygių dalių: x0 = a, xk=xk-1+h, xn = b; k = 1, 2, ..., n – 1; apskaičiuojame funkcijos y = f(x) reikšmes dalijimo taškuose.

Tada ;...2

)( 1210 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

+⋅≈ −∫ n

nb

a

yyyyyhdxxf čia n

abh −= .

Pagrindinių integralų lentelė

∫ = .0 Cdx

∫ += Cxdx

( )∫ =−≠++

=+

.,1,1

1

constCxdxx ααα

αα ;

( )∫ =≠>+= ..,1,0,ln

constaaaCa

adxax

x

∫ += Cedxe xx

∫ += Cxx

dx ln , kai 1−=α .

∫ +−= Cxxdx cossin

∫ += Cxxdx sincos

∫ += Ctgxx

dx2cos

∫ +−= Cctgxx

dx2sin

( )∫ <<−+=−

axaCax

xadx ,arcsin

22

( )∫ ≠+=+

0,122 ac

axarctg

axadx

Apibrėžtiniai integralai Niutono ir Leibnico formulė:

∫ −==b

a

b

aaFbFxFdxxf )()()()( .

∫ ∫∫ +=c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( .

Keitiniai Integralas Keitinys

∫ + dxbaxg )( t = ax + b, dt = a dx

∫ ⋅ xdxxg cos)(sin t = sinx, dt = cosx dx

∫ ⋅ xdxxg sin)(cos t = cos x, dt = −sinx dx

∫ −⋅ dxxxg nn 1)( t = xn, dt = dxxn n 1−⋅

∫ ⋅ dxx

xg 1)(ln t = ln x, dxx

dt 1=

∫ ⋅ dxeeg xx )( dxedtet xx == ;

∫ ⋅ dxx

tgxg 2cos1)( dx

xdttgxt 2cos

1; ==

∫ ⋅ dxx

ctgxg 2sin1)( dx

xdtctgxt 2sin

1; −==

Integravimo dalinimis formulė: ∫ ∫−= vduuvudv

Kreivinės trapecijos, apribotas funkcijos f(x)≥0

grafiko, abscisių ašies ir tiesių

x = a bei x = b, plotas: ∫=b

a

dxxfS )( .

Jei figūrą apriboja dviejų funkcijų f(x) ir g(x)

grafikai, tai plotas: ( )∫ −=b

a

dxxgxfS )()( , čia a ir

b – funkcijų f(x) ir g(x) susikirtimo taškų abscisės

25

5. 1 p a v y z d y s . Apskaičiuokite integralą I = dxx

x∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ 12

cos783 2

7 .

Sprendimas

Šio tipo integralai apskaičiuojami naudojantis integralų savybėmis ir pagrindine integralų lentele:

=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ∫∫∫∫ dxdx

xdxxdx

xx 12

cos78312

cos783 2

72

7

=++= ∫∫∫ dxdxx

dxx 12cos

1783 2

7 =+++=++++

+

CxtgxxCxtgxx 1278

8312

78

173

817

Cxtgxx+++= 12

78

83 8

.

Atsakymas: I Cxtgxx+++= 12

78

83 8

.

5. 2 p a v y z d y s . Apskaičiuokite integralą I = ( )dxx∫ − 79sin3 . Sprendimas

( ) ( ) =−=− ∫∫ dxxdxx 79sin379sin3

Šio tipo integralai [ ∫ + dxbaxf )( ] integruojami naudojant keitinį ax+b = t.

77

7)79()79(

79

−=⇒=−

−=′−=−=−

dtdxdtdx

dxdxxdtxd

tx

( ) ( ) CxCttdtdtt +−=+−−=−=−

= ∫∫ 79cos73cos

73sin

73

7sin3

Atsakymas: I = Cx +− )79cos(73 .

5. 3 p a v y z d y s . Apskaičiuokite integralą I = ∫ ⋅ dxee xx sin3 . Sprendimas

( ) =⋅=⋅ ∫∫ dxeedxee xxxx sin3sin3

Šio tipo integralai [ ∫ ′⋅ dxuuf )( ] integruojami naudojant keitinį u = t.

xx

xx

x

x

edtdxdtdxe

dxedxedted

te

=⇒=

=′

=

=

)()(

26

CeCtdttedtte x

xx +−=+−=== ∫∫ cos3cos3sin3sin3 .

Atsakymas: I = Cex +− cos3 .

5. 4 p a v y z d y s . Apskaičiuokite integralą I = .ln3∫ xdxx Sprendimas

Šio tipo integralai integruojami dalimis: ∫ ∫−= vduuvudv . Pasižymime:

( )

41

;;ln;;ln

4

3

3

xvdxx

du

dxxdvxddudxxdvxu

==

====

∫∫

=⋅−⋅=⋅−⋅= ∫∫∫ dxxxxdxx

xxxxdxx44

ln144

lnln3444

3

CxxxCxxxdxxxx +−⋅=+−⋅=⋅−⋅= ∫ 164ln

441

4ln

41

4ln

44443

4

.

Atsakymas: I = Cxxx +−⋅164

ln44

.

5. 5 p a v y z d y s . Apskaičiuokite apibrėžtinį integralą I = ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2

134

21 dxxx

.

Sprendimas

Apibrėžtiniam integralui apskaičiuoti naudojamės Niutono ir Leibnico formule.

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫

2

134

21 dxxx

( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

=+=−−

−−∫1

21

31

1

2

22

32 23

232

1

34

xxxxdxxx

2425

34

247

11

131

21

231

2323 =+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−= .

Atsakymas: 2425212

134 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫ dx

xx.

5. 6 p a v y z d y s . Apskaičiuokite apibrėžtinį integralą I = dxx∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2

4

2sin13

π

π

.

27

Sprendimas

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫ dx

x

2

4

2sin13

π

π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=+= ∫∫ 4242

33sin

132

4

2

4

2

4

2

2

4

πππππ

π

π

π

π

π

π

π

ctgctgctgxxdxx

dx

( ) 14

3104

3+=−−=

ππ .

Atsakymas: dxx∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2

4

2sin13

π

π

= 14

3+

π .

5. 7 p a v y z d y s . Raskite plotą figūros, kuri apribota šiomis kreivėmis:

( ).8;4;0

;314 21

===−⋅=

xxyxy

Sprendimas

Žinome, kad kreivinės trapecijos, apribotos funkcijos f(x)≥0 grafiko, abscisių ašies ir tiesių x = a bei x = b, plotas

∫=b

a

dxxfS )( .

( )

..667,57849246

3489

286

3814

4

89

26

3149614)3(14

2323

238

4

28

4

2

vkv

xxxdxxxdxx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+−=− ∫∫

Atsakymas: S = 578,667 kv.v.

5. 8 p a v y z d y s . Raskite plotą figūros, kuri apribota šiomis kreivėmis: 2

1 17xy = ir xy 92 = . Sprendimas

Jei figūrą apriboja dviejų funkcijų f(x) ir g(x) grafikai, tai

( )∫ −=b

a

dxxgxfS )()( .

Norint nustatyti integravimo rėžius, turime nustatyti kreivių y1 ir y2 susikirtimo tašką, todėl y1 prilyginame y2. Išsprendžiame gautą lygtį.

;0917

;9172

221

=−

=⇒=

xx

xxyy

y

x

( )21 314 −= xy

21 17xy =

xy 92 =

x

y

28

.179;0

;0)917(

21 ==

=−⋅

xx

xx

Gautos x1 ir x2 reikšmės yra integravimo rėžiai. Iš brėžinio matome, kad kreivė y2 (tiesė) yra

aukščiau kreivės y1 (parabolės), todėl konstruojame tokį integralą: ∫ −2

1

)( 12

x

x

dxyy :

( ) ..42,03017

209

3179

172

179

90

179

317

29179

32

32

32179

0

2 vkvxxdxxx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−∫

Atsakymas: S = 0,42 kv.v.

5. 9 p a v y z d y s . Apskaičiuokite I = ∫2

1 xdx , taikydami a) Niutono ir Leibnico formulę; b) apytikslio

skaičiavimo formulę. Atsakymą užrašykite 0,0001 tikslumu. Sprendimas

a) Apskaičiuosime integralą, taikydami Niutono ir Leibnico formulę:

∫2

1 xdx =

1

2ln x = 1ln2ln − = 0,6931 – 0 = 0,6931.

b) Apytiksliai apskaičiuosime integralo I reikšmę, taikydami trapecijų formulę:

;...2

)( 1210 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

+⋅≈ −∫ n

nb

a

yyyyyhdxxf čia n

abh −= .

Pasirenkame n = 10. Tada 1,010

12=

−=h .

x y = f(x) x y = f(x)

x0 = 1 y0 = 1 x1 = 1,1 y1 = 0,9091 x10 = 2 y10 = 0,5 x2 = 1,2 y2 = 0,8334

Σ = 1,5 x3 = 1,3 y3 = 0,7693 x4 = 1,4 y4 = 0,7143 x5 = 1,5 y5 = 0,6667 x6 = 1,6 y6 = 0,6250 x7 = 1,7 y7 = 0,5883 x8 = 1,8 y8 = 0,5556 x9 = 1,9 y9 = 0,5264

Σ = 6,1881

I ≈ 69381,09381,61,01881,625,11,0 =⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅ .

Atsakymas: a) I = 0,6931, b) I = 0,6938.

29


1. ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−dx

xx

x35

43

2. 2. ∫ − )62(cos2 x

dx . 3. ∫ − dxe x 75 . 4. ∫ + dxx 5)67( . 5. ∫ dxx

xtg2

5

cos.

6. ∫ dxx

x4cos

sin . 7. ∫ +dx

xx

22

2

. 8. ( )∫ + dxxe x cos3sin . 9. ∫ + 63 2xxdx . 10. ∫ +13x

dx . 11. ∫ xxdx3ln .

12. ∫ dxx

e x

. 13. ∫ ++ dxxxx 2)1( 2 . 14. ∫ +dx

xx

4. 15. ∫ xdxarctg . 16. ∫ dxx2ln .

17. ∫ dxxe x sin . 18. ∫ dxxx 2sin . 19. ∫2

1 xdx . 20.

( )∫ −

5,0

021x

dx . 21. ( )∫ +−2

1

2 32 dxxx . 22. dxx∫ −6

2

2 .

Apskaičiuokite plotą, kurį riboja: 23. koordinačių ašys, tiesė x = 3 ir parabolė y = x2 + 1; 24. abscisių ašis, tiesės x = 3, x = 5 ir parabolė y = x2 – 4x + 5;

25. abscisių ašis, tiesės x = 1, x = 35 ir parabolė 2

2xy = ;

26. parabolė y = 2x – x2 ir tiesė y = – x; 27. parabolė y = x2 ir tiesė y = – x;

28. parabolė 2

2xy = ir tiesė y = 2x;

29. parabolės y = x2 ir y = 8 – x2.

30. Integralą ( )∫ +2

1

2 3 dxx apskaičiuokite apytiksliai, intervalą padaliję į 10 dalių.

Atsakymai: 1. Cxxx+−− 6

310

2arcsin3 3 . 2. .)62(

21 Cxtg +− 3. .

51 75 Ce x +− 4. .)67(

492 7 Cx ++

5. .61 6 Cxtg + 6. .

cos31

2C

x+ 7. .

222 Cxarctgx +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 8. .sin3sin Cxe x ++ 9. .)63ln(

61 2 Cx ++

10. .13ln31 Cx ++ 11. .ln

41 4 Cx + 12. Ce x +2 . 13. ( ) Cxx ++

32 231 . 14. Cxx ++− 4ln4 .

15. ( ) .1ln21 2 Cxarctgxx ++−⋅ 16. .2ln2ln 2 Cxxxxx ++−⋅ 17. .sin

21cos

21 Cxexe xx ++−

18. .2cos212sin

41 Cxxx +− 19. .222 − 20. 1. 21.

37 . 22.

316 . 23. 12. 24.

332 . 25.

313 . 26.

29 . 27.

332 . 28.

332 .

29. 3

64 . 30. 5,335.

30

2. Tikimybių teorijos pagrindai

2.1. Atsitiktiniai įvykiai

Atsitiktinio įvykio A tikimybė:

NMA

AP =Ω

=)( , čia M – įvykiui A palankių atvejų skaičius, N – visų galimų atvejų skaičius.

Kėlinys nnPA n

nn ⋅⋅⋅⋅⋅=== 321! = FACT(n)

Gretinys be pasikartojimo: ( ) )1()1(!

!+−⋅⋅−⋅=

−= knnn

knnAk

n K = PERMUT(n; k)

Gretinys su pasikartojimu: kkn nB = = n^ k

Derinys !

)1()1(!)!(

!k

knnnkkn

nC kn

+−⋅⋅⋅−⋅=

−= = COMBIN(n; k)

Negrąžinamosios atrankos modelis

Hipergeometrinis dėsnis nN

mnMN

mM

n CCC

mP−−⋅

=)( = HYPGEOMDIST(m; M; n; N)

čia N – iš viso objektų, M – mus dominančių objektų, n – atrinktų objektų, m – mus dominančių atrinktų objektų skaičius. Gąžinamosios atrankos modelis

Binominis dėsnis mnm

mnn N

MNMCmP

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 1)( = BINOMDIST(m; n; M/N; 0)

čia N – iš viso objektų, M – mus dominančių objektų, n – atrinktų objektų, m – mus dominančių atrinktų objektų skaičius. Įvykių sąjunga ir sankirta Dviejų įvykių sąjungos tikimybė P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Nesutaikomų įvykių sąjungos tikimybė P(A∪B) = P(A) + P(B)

Įvykių sankirtos tikimybė P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B) Nepriklausomų įvykių sankirtos tikimybė P(A∩B) = P(A)·P(B)

Pilnosios tikimybės formulė. Bajeso formulė Jei įvykiai H1, H2, …, Hn yra įvykio A hipotezės, tai

∑=

⋅=n

iii HAPHPAP

1

).|()()( ∑=

⋅

⋅= n

iii

iii

HAPHP

HAPHPAHP

1)|()(

)|()()|( .

31

Nepriklausomieji eksperimentai. Bernulio formulė. Puasono formulė. Bernulio formulė:

Jei atlikus n nepriklausomų eksperimentų įvykio A tikimybė kiekvieno eksperimento metu vienoda

ir lygi p, tai tikimybė, kad įvykis A įvyks lygiai k kartų, tokia:

.1;,0;)( pqnkqpCkP knkknn −=== − = BINOMDIST(k; n; p; 0)

Jei atlikus n nepriklausomų eksperimentų įvykio A tikimybė kiekvieno eksperimento metu vienoda

ir lygi p, tai tikimybė, kad įvykis A įvyks ne daugiau kaip k1 kartų, tokia:

.)()0(1

01 ∑

=

=≤≤k

knn kPkkP = BINOMDIST(k1; n; p; 1)

Labiausiai tikėtinas (patikimiausias, tikėtiniausias) įvykio A pasirodymų skaičius k0 atlikus n

eksperimentų, yra toks:

np – q ≤ k0 ≤ np + p.

Puasono formulė

Kai eksperimentų skaičius n didelis, o įvykio A tikimybė p pavienio eksperimento metu yra labai

maža (reti įvykiai), tai tikimybė apytiksliai apskaičiuojama taip:

.,!

)( pnkekP

k

n ⋅=≈−

λλ λ

= POISSON(k; λ; 0)

Tikimybė, kad norimas įvykis pasirodys ne daugiau kaip k1 kartų apskaičiuojamas:

.)()0(1

01 ∑

=

=≤≤k

knn kPkkP

= POISSON(k1; λ; 1)

Tikimybė, kad laiko intervale [0; t] bus m įvykių, kai vidutinis įvykių skaičius per laiko vienetą yra

λ, apskaičiuojama taip:

( ) .!

);( tm

emttmP λλλ −⋅= = POISSON(m; λt; 0)

32

6. 1 p a v y z d y s . Iš dėžutės, kurioje yra 18 daigių ir 9 nedaigios sėklos, atsitiktinai išimta viena sėkla. Kokia tikimybė, kad paimta nedaigi sėkla? Sprendimas

Įvykis A – paimta nedaigi sėkla. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą:

NMAP =)( , čia N – visų galimų įvykių kiekis, M – įvykiui A palankių atvejų skaičius.

Iš viso dėžutėje yra N = 18 + 9 = 27. Mus domina nedaigios sėklos, taigi M = 9.

333,0279)( ≈=AP .

Atsakymas: P(A) = 0,333.

6. 2 p a v y z d y s . Dėžutėje sudėtos kortelės, ant kurių užrašyti skaitmenys nuo 1 iki 12. Kokia tikimybė, kad ištrauktoje kortelėje užrašytas skaičius didesnis nei 9 ? Sprendimas

Įvykis A – ištraukta kortelė, kurioje užrašytas skaičius > 9. Iš viso dėžutėje esančių kortelių skaičius N = 12. Mus dominančios kortelės – {10, 11, 12}. Taigi palankių įvykių kiekis M = 3. Tikimybė, kad ištrauktoje kortelėje įrašytas skaičius didesnis nei 9:

41

123)( ==AP .

Atsakymas: 41)( =AP .

6. 3 p a v y z d y s . I kurso Ie studentų grupėje mokosi 25 studentai (11 nepažangių), o II – 30 studentų (14 nepažangių). Iš abiejų grupių apklausai atsitiktinai parenkama po vieną studentą. Kokia tikimybė, kad abu bus pažangūs? Sprendimas

Įvykis A1 – iš I grupės parinktas studentas yra pažangus; Įvykis A2 – iš II grupės parinktas studentas yra pažangus; Įvykis A – iš abiejų grupių parinkti studentai yra pažangūs; A = A1∩A2. I studentų grupė: Iš viso studentų N1 = 25; pažangių studentų M1 = 25 − 11 = 14; II studentų grupė: N2 = 30; pažangių studentų M2 = 30 − 14 = 16;

2514)( 1 =AP ;

158

3016)( 1 ==AP .

Įvykiai A1 ir A2 yra nepriklausomi, todėl:

299,0158

2514)( 21 ≈⋅=∩ AAP .


33

6. 4 p a v y z d y s . Dėžutėje yra 13 juodų ir 17 raudonų pieštukų. Atsitiktinai po vieną ištraukiami du pieštukai. Kokia tikimybė, kad pirmasis ištraukas pieštukas yra juodas, o antrasis – raudonas. Sprendimas

Įvykis Aj – ištrauktas juodas pieštukas. Įvykis Ar| Aj – ištrauktas raudonas pieštukas, kai prieš tai buvo ištrauktas juodas. Įvykis A – pirmasis ištraukas pieštukas yra juodas, o antrasis – raudonas. I. Tikimybė, kad pirmas ištrauktas pieštukas yra juodas: N = 13 + 17 = 30; Mj = 13;

3013)( =jAP ;

II. Kadangi ištrauktas pieštukas negrąžinamas į dėžutę, joje liko n = 30 – 1 = 29 pieštukai, mr = 17.

2917)|( =jr AAP .

Tikimybė, kad pirmasis ištraukas pieštukas yra juodas, o antrasis – raudonas:

254,02917

3013)|( ≈⋅=∩ jrj AAAP


6. 5 p a v y z d y s . Užsukęs į parduotuvę vyras ką nors perka su tikimybe 0,1, o moteris su tikimybe 0,225. Kasos link eina vyras ir dvi moterys. Kokia tikimybė, kad ką nors pirks vyras ir pirmoji moteris arba tik abi moterys? Sprendimas

Įvykis V – pirko vyras. Įvykis M1 – pirko pirmoji moteris. Įvykis M2 – pirko antroji moteris. Įvykiai V, M1, M2 yra nepriklausomi. Žinome, kad P(M1) = P(M2) = 0,225. P(V) = 0,1. Tada priešingo įvykio tikimybė: 9,01,01)( =−=VP .

775,0225,01)2()1( =−== MPMP . Surašome visas galimas įvykių kombinacijas (2 lentelė): „1” reiškia, kad įvykis įvyko (pirkėjas pirko), „0“ – neįvyko (pirkėjas nepirko). Įvykis A – kad ką nors pirks tik abi moterys, o vyras nepirks arba pirks vyras ir pirmoji moteris (šią situaciją aprašo lentelėje pažymėtos eilutės). Vienoje eilutėje esantys įvykiai sujungiami loginio „ir“ ženklu, o atskirose eilutėse – loginio „arba“ ženklu:

2121 MMVMMVA ∩∩∪∩∩= . Pasinaudojame įvykių sankirtos ir sąjungos tikimybių formulėmis:

)2()1()()2()1()()( MPMPVPMPMPVPAP ⋅⋅+⋅⋅= P(A) = 0,1⋅0,225⋅0,775+0,9⋅0,225⋅0,225 = 0,063. Atsakymas: P(A) = 0,063.

2 lentelėV M1 M2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

34

6. 6 p a v y z d y s . Knygų lentynoje padėta 9 matematikos ir 10 grožinės literatūros knygų. Kokia tikimybė, kad iš 5 atsitiktinai paimtų knygų bus 3 matematikos? Sprendimas

Pasinaudojame negrąžinamosios atrankos modeliu (kitaip – hipergeometrinis dėsnis). Iš viso yra N = 19 nevienarūšių objektų, mus dominančių yra M = 9. Įvykis A – tarp atrinktų n = 5 knygų yra m = 3 matematikos.

.325,0

543211516171819

21910

321789

)( 519

210

39 ≈

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

=⋅

=−−

CCC

CCC

AP nN

mnMN

mM

Atsakymas: P(A) = 0,325. 6. 7 p a v y z d y s . Tvenkinyje plaukioja 16 karpių ir 12 lydekų. Sportinės žūklės mėgėjas gaudo žuvis, pagautas kaskart paleidžia. Kokia tikimybė, kad iš 10 pagautų žuvų buvo 4 karpiai? Sprendimas

Pasinaudojame grąžinamosios atrankos modeliu (kitaip – binominis dėsnis, Bernulio bandymai). Įvykis A – pagautas karpis. Tvenkinyje yra N = 16 + 12 = 28 žuvys, iš jų M = 16 karpių.

571,02816)( ≈=AP .

Iš viso buvo n = 10 bandymų (pagautos žuvys), iš jų – sėkmingi (mus dominantys) m = 4. Todėl

139,0)571,01()571,0(1)4( 6441010 ≈−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

CNM

NMCP

mnmmn

Atsakymas: 139,0)4(10 ≈P .

6. 8 p a v y z d y s . Sėklų daigumas yra 88 proc. Patikrinimui pasėtos 8 sėklos. Kokia tikimybė, kad sudygs visos sėklos? Sprendimas

Pasinaudojame grąžinamosios atrankos modeliu (kitaip– binominis dėsnis, Bernulio bandymai). Įvykis A – sėkla sudygo. P(A) = 0,88.

36,0)88,01()88,0(1)8( 08888 ≈−⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

CNM

NMCP

mnmmn

Atsakymas: 36,0)8(8 ≈P .

6. 9 p a v y z d y s . Iš 20 gaminių siuntos 9 gaminiai yra nestandartiniai. Kokybės kontrolieriai patikrina pusę siuntos ir, radę nors 2 nestandartinius gaminius, siuntą išbrokuoja. Kokia tikimybė, kad minėta siunta nebus išbrokuota?

35

Sprendimas

Jeigu siunta išbrokuojama tada, kai randami nors du nestandartiniai gaminiai, tai siunta pripažįstama tinkama, kai yra 1 nestandartinis gaminys arba nestandartinių gaminių nerandama. Įvykis A0 – nestandartinių gaminių nerasta. Įvykis A1 – rastas vienas nestandartinis gaminys. Įvykis A – siunta neišbrokuojama; A = A0∪A1. Įvykis B – siunta išbrokuojama. B = Ā. Siuntoje yra N = 20 gaminių, iš jų M = 9 nestandartiniai.

Tikrinama pusė siuntos: n = 220 = 10.

00006,0)( 1020

1011

09

0 ≈=C

CCAP ,

003,0)( 1020

911

19

1 ≈=C

CCAP ,

003,000306,0003,000006,0)()()( 10 ≈=+=+= APAPAP . Atsakymas:Tikimybė, kad siunta nebus išbrokuota ≈ 0,003.

6. 10 p a v y z d y s . Parduotuvei tos pačios rūšies prekes tiekia dvi gamyklos. Iš I gamyklos parduotuvė gauna 80 proc. tos rūšies prekių. Iš I gamyklos gaminių yra 2 proc., o iš II – 6 proc. brokuotų. Pirkėjas atsitiktinai paima vieną gaminį. Kam lygi tikimybė, kad jis standartinis (nebrokuotas)? Sprendimas

Įvykis A – pirkėjas paima standartinį gaminį. Įvykis B1 – I įmonės prekė brokuota. Įvykis B2 – II įmonės prekė brokuota. Įvykis H1 – prekė iš I gamyklos. Įvykis H2 – prekė iš II gamyklos. P(B1) = 0,02; P(B 2) = 0,06. Įvykiai H1, H2 yra hipotezės, taigi H1∪H2=Ω. Kadangi P(H1) = 0,8, tai P(H2) = 1 – P(H1) =1 – 0,8 = 0,2. Sąlyginės tikimybės skaičiuojamos: Kadangi P(B1) = 0,02, tai tikimybė, kad atsitiktinai paimta I gamykloje pagaminta prekė yra standartinė, lygi )( 1BP , taigi 98,002,01)|( 1 =−=HAP . Analogiškai, tikimybė, kad atsitiktinai paimta II gamykloje pagaminta prekė yra standartinė, lygi

94,006,01)|( 2 =−=HAP . Tikimybė, kad pirkėjo atsitiktinai paimtas gaminys yra standartinis, apskaičiuojama pagal pilnosios tikimybės formulę:

972,094,02,098,08,0)|()()|()()( 2211 =⋅+⋅=⋅+⋅= HAPHPHAPHPAP . Atsakymas: tikimybė, kad paimtas gaminys yra standartinis, lygi 0,972.

36


1. Iš pakuotės, kurioje yra 32 kokybiški ir 5 nekokybiški burokėliai, atsitiktinai išimamas

vienas iš jų. Kokia tikimybė, kad paimtas a) kokybiškas burokėlis; b) nekokybiškas burokėlis.

2. Dviejose dėžėse sudėti obuoliai. Pirmoje dėžėje yra 50 obuolių (iš jų 20 Antaninių), antroje – 80 (iš jų 30 Antaninių). Iš abiejų dėžių atsitiktinai paimama po obuolį. Kokia tikimybė, kad jie abu bus Antaniniai?

3. Dėžutėje yra 20 loterijos bilietų, iš kurių 3 yra laimingi. Vienas po kito traukiami du bilietai. Kokia tikimybė ištraukti abu laimingus bilietus?

4. Atlikus tyrimą, buvo nustatyta, kad tikimybė, jog pirmadienio rytą priemiesčio parduotuvėje „Samana“ pirkėjas pirks maisto produktų, yra 0,4. Į parduotuvę užsuka 3 žmonės. Kokia tikimybė, kad maisto produktų pirks kurie nors 2 iš jų?

5. Lentynoje sudėti 7 indeliai bruknių ir 6 indeliai spanguolių uogienės. Kokia tikimybė, kad tarp atsitiktinai paimtų 5 indelių 4 bus su bruknių uogiene?

6. Ant stalo padėta 10 užverstų kortelių. Trys iš jų yra pažymėtos. Žaidėjas traukia vieną kortelę, fiksuoja, ar ji pažymėta, ir, grąžinęs į bendrą krūvą, jas visas išmaišo. Kokia tikimybė, kad atlikęs 6 bandymus, žaidėjas bus ištraukęs pažymėtą kortelę 3 kartus?

7. Sėklų daigumas 75 proc. Patikrinimui pasėtos 5 sėklos. Kokia tikimybė, kad sudygs 4 sėklos?

8. Kokybės kontrolieriai radę pakuotėje daugiau kaip 2 nekokybiškas daržoves, pakuotę išbrokuoja. Tikrinamoje pakuotėje tarp 12 daržovių 4 yra nekokybiškos. Kokia tikimybė, kad patikrinimui paėmus 5 daržoves, pakuotė bus išbrokuota?

9. Parduotuvei šviežius agurkus tiekia dvi žemės ūkio bendrovės. Iš „Pamiškės“ bendrovės parduotuvė gauna 70 proc. visų agurkų kiekio. Tarp „Pamiškės“ bendrovės 10 proc. agurkų yra aukščiausios rūšies, o tarp „Paupio“ bendrovės tiekiamų agurkų 20 proc. yra aukščiausios rūšies. Pirkėjas atsitiktinai paima vieną agurką. Kam lygi tikimybė, kad jis yra aukščiausios rūšies?

10. Tikimybė, kad bandymas pavyks, lygi 0,6. Studentas atliko eksperimentą 10 kartų. Kokia tikimybė, kad pusė iš jų buvo sėkmingi?

Atsakymai: 1. a) 3732 ; b)

375 . 2.

203 . 3.

1903 . 4. 0,288. 5. 0,163. 6. 0,185. 7. 0,396. 8. 0,152. 9. 0,13. 10. 0,201.

37

2. 2. Diskretieji atsitiktiniai dydžiai Porų (xk, pk) aibė {(xk, pk): pk = P(X = xk)} vadinama diskrečiojo atsitiktinio dydžio skirstiniu

(pasiskirstymo dėsniu). Diskrečiojo skirstinio savybės: 1) pi ≥ 0 visiems i; 2) ∑=

=n

iip

11.

Atsitiktinio dydžio skirstinio funkcija F(x) yra tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę, ne didesnę kaip x: F(x) = P(X ≤ x).

Diskrečiojo atsitiktinio dydžio X vidurkiu vadinamas skaičius M(X)=∑=

n

iii px

1

. Jis charakterizuoja

atsitiktinio dydžio galimų reikšmių grupavimosi centrą. Atsitiktinio dydžio moda Mo(X) vadinama jo labiausiai tikėtina reikšmė. Atsitiktinio dydžio mediana Me(X) vadinamas skaičius xme: P(X< xme) ≤ ½ ≤ P(xme ≤ X ). Diskrečiojo atsitiktinio dydžio X dispersija vadiname skaičių D(X) = M(X – MX)2. Vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu (standartiniu nuokrypiu) vadinamas skaičius ( ) )(XDX =σ . Dispersija ir vidutinis kvadratinis nuokrypis apibūdina atsitiktinio dydžio įgyjamų reikšmių sklaidą vidurkio atžvilgiu. Atsitiktinio dydžio k-tosios eilės pradiniu momentu vadinamas skaičius

∑ ⋅==i

iki

kk pxXM )(α .

Atsitiktinio dydžio k-tosios eilės centriniu momentu vadinamas skaičius ( )∑ ⋅−=−=

ii

ki

kk pXMxXMXM )())((μ . Pirmos eilės pradinis momentas yra vidurkis, antros

eilės centrinis momentas yra dispersija.

Skaičius ( )3

31 )(Xσ

μγ = vadinamas asimetrijos koeficientu. Jis charakterizuoja skirstinio simetriš-

kumą vidurkio atžvilgiu. Skaičius ( )

3)( 4

42 −=

Xσμ

γ vadinamas ekscesu. Jis charakterizuoja skirsti-

nio smailiaviršūniškumą.

Binominis skirstinys X ~ B (n, p). Šio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių tikimybės nusakomos formule pqqpCkXP knkk

n −=== − 1,)( = BINOMDIST(k; n; p; 0)

Binominio skirstinio funkcijos reikšmė F(x) = P(X ≤ x). = BINOMDIST(x; n; p; 1) Skaitinės charakteristikos: M(X) = np, D(X) = np(1 – p).

Puasono skirstinys X~ P (λ ), čia λ = n⋅p, dar vadinamas retų įvykių skirstiniu. Šio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių tikimybės nusakomos formule:

λλ −== ek

kXPk

!)( . = POISSON(k; λ; 0)

Puasono skirstinio funkcijos reikšmė F(x) = P(X ≤ x) = POISSON(x; λ; 1) Skaitinės charakteristikos: M(X) = λ, D(X) = λ.

Hipergeometrinis skirstinys X~H (N, M, n), čia N – visų objektų, M – mus dominančių objektų, n – atrinktų objektų skaičius. Šio atsitiktinio dydžio tikimybės nusakomos formule

nN

knMN

kM

CCC

kXP−−== )( . = HYPGEOMDIST (k; M; n; N)

Skaitinės charakteristikos: M(X) = n ⋅ p, D(X) =1−

−⋅⋅

NnNqpn , čia .1; pq

NMp −==

38

7. 1 p a v y z d y s . Raskite skirstinio funkciją ir pavaizduokite ją grafiškai, kai skirstinys išreikštas lentele:

X 0 1 2 3 P 0,3 0,2 0,1 0,4

Sprendimas

Randame skirstinio funkciją: kai x<0, F(x) = P(X<0) = 0; kai 0≤ x < 1, F(x) = P(X ≤ 0) = 0,3; kai 1≤ x < 2, F(x) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,3 + 0,2 = 0,5; kai 2≤ x < 3, F(x) = P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6; kai x ≥ 3, F(x) = P(X ≥ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = = 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,4 = 1. Skirstinio funkciją pavaizduojame grafiškai:

X skirstinio funkcija

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

11,1

-1 0 1 2 3 4

x

F(x)

Atsakymas: skirstinio funkcija:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥<≤<≤<≤

<

=

.3,1,32,6,0,21,5,0,10,3,0

,0,,0

)(

xkaixkaixkaixkai

xkai

xF

7. 2 p a v y z d y s . Apskaičiuokite skirstinio skaitines charakteristikas (vidurkį, modą, dispersiją, vidutinį kvadratinį nuokrypį, asimetrijos ir eksceso koeficientus), kai skirstinys išreikštas tokia lentele:

X 0 2 4 5 P 0,2 0,3 0,1 0,4

Sprendimas

Randame modą Mo(X) – labiausiai tikėtiną X reikšmę. Kadangi X = 5, pasirodymo tikimybė didžiausia (p = 0,4), tai Mo(X) = 5.

Apskaičiuojame vidurkį ∑=

=n

iii pxXM

1)( :

39

M(X) = 0·0,2 + 2·0,3 +4·0,1 +5·0,4 = 0 + 0,6 + 0,4 + 2,0 = 3,0. Kadangi apskaičiuojant dispersijos ir asimetrijos bei eksceso koeficientus reikalingos centrinių momentų reikšmės, tai pirmiausia jas ir apskaičiuojame (3 lentelė).

3 lentelė xi 0 2 4 5 Σ pi 0,2 0,3 0,1 0,4

xi – MX 0 – 3 = – 3 2 – 3 = – 1 4 – 3 = 1 5 – 3 = 2 (xi – MX)2 (– 3)2 = 9 (– 1)2 = 1 12 = 1 22 = 4

(xi – MX)2⋅pi 9⋅0,2 = 1,8 1⋅0,3 = 0,3 1⋅0,1 = 0,4 4⋅0,4 = 1,6 μ2 = 3,8 (xi – MX)3 (– 3)3 = –27 (– 1)3 = – 1 13 = 1 23 = 8

(xi – MX)3 ⋅pi –27⋅0,2 = –5,4 –1⋅0,3 = –0,3 1⋅0,1 = 0,1 8⋅0,4 = 3,2 μ3 = –2,4 (xi – MX)4 (– 3)4 = 81 (– 1)4 = 1 14 = 1 24 = 16

(xi – MX)4⋅pi 81⋅0,2 = 16,2 1⋅0,3 = 0,3 1⋅0,1 = 0,1 16⋅0,4 = 6,4 μ4 = 23,0 Taigi D(X) = μ2 = 3,8.

8,3)()( == XDXσ = 1,949

== 33

1 ))(( Xσμ

γ .324,0)949,1(

4,23 −=−

=−= 3))(( 4

4

2 Xσμγ .593,13

)949,1(0,23

4 −=−

Atsakymas: Mo(X) = 5; M(X) = 3,0; D(X) = 3,8; 324,01 −=γ ; .593,12 −=γ

7. 4 p a v y z d y s . Tikimybė, kad pasėtas augalas sudygs, lygi 0,3. Pasėtos 5 augalo sėklos. X – sudygusių sėklų skaičius. Užrašykite X skirstinį. Raskite vidurkį ir dispersiją. Sprendimas

Šiam uždaviniui galima taikyti Bernulio eksperimentų schemą. Įvykio pasirodymo (sėkmės) tikimybė p = 0,3. Iš viso eksperimentų n = 5. Taigi gauname binominį skirstinį X~B (5; 0,3). P(X = k) reikšmes apskaičiuosime naudodami formulę (arba Excel funkciją)

knkkn ppCkXP −−== )1()( = BINOMDIST(k; n; p; 0)

500

5 7,03,0)0( ⋅⋅== CXP =1⋅1⋅0,16807 ≈ 0,1681; 411

5 7,03,0)1( ⋅⋅== CXP = 5⋅0,3⋅0,2401=0,36015 ≈ 0,3602; 322

5 7,03,0)2( ⋅⋅== CXP = 10⋅0,09⋅0,343 = 0,3087; 233

5 7,03,0)3( ⋅⋅== CXP = 10⋅0,027⋅0,49 = 0,1323; 144

5 7,03,0)4( ⋅⋅== CXP = 5⋅0,0081⋅0,7 = 0,02835 ≈ 0,0284; 055

5 7,03,0)5( ⋅⋅== CXP = 1⋅0,00243⋅1 ≈ 0,0024. Binominio skirstinio dispersija D(X) = np(1-p) = 5·0,3·0,7= 1,05, vidurkis M(X) = np = 5⋅0,3 = 1,5. Atsakymas:

X 0 1 2 3 4 5 Suma P 0,1681 0,3602 0,3087 0,1323 0,0284 0,0024 Σ = 1

D(X) = 1,05; M(X) = 1,5.

40

7. 5 p a v y z d y s . Ūkis parduoda morkas dideliais kiekiais. Vidutiniškai 10 proc. visų morkų yra nestandartinės. Tikrinant morkų kokybę, iš kiekvienos partijos atsitiktinai paimama po 20 morkų. Jei imtyje yra ne daugiau kaip 3 nestandartinės morkos, visa partija priimama. Kokia tikimybė, kad visa morkų partija bus priimta? Sprendimas

Šiam uždaviniui galima taikyti Bernulio eksperimentų schemą. X – nestandartinių morkų skaičius imtyje. Įvykio pasirodymo (sėkmės) tikimybė p = 0,1. Iš viso eksperimentų n = 20. Taigi gauname binominį skirstinį X~B (20; 0,1). Norint sužinoti, kokia tikimybė, kad morkų partija bus priimta, reikia apskaičiuoti P(X ≤ 3) P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3). (Morkų partija bus priimta, jei tikrinant imtyje nebus nei vienos nestandartinės morkos arba viena, dvi ar trys nestandartinės morkos). P(X = k) reikšmes apskaičiuojame naudodamiesi formule (arba Excel funkcija)

knkkn ppCkXP −−== )1()( = BINOMDIST(k; n; p; 0)

Taigi ( ) ( ) ( ) ( ) 32033

2022022

2012011

2002000

20 )1,01(1,0)1,01(1,0)1,01(1,0)1,01(1,0)3( −−−− −+−+−+−=≤ CCCCXP = = 0,122 + 0,270 + 0,285 + 0,190 = 0,867. Šią reikšmę taip pat galima gauti naudojant ir Excel funkciją = BINOMDIST(k; n; p; 1) = BINOMDIST(3; 20; 0,1; 1). Atsakymas: 867,0)3( =≤XP .

7. 6 p a v y z d y s . Gamykla siunčia 10000 pakuočių apelsinų sulčių. Tikimybė, kad transportuojant susigadins pakuotė, lygi 0,00005. Užrašykite X skirstinį ir skirstinio funkciją dviejų dešimtainių ženklų tikslumu. Sprendimas

Kai eksperimentų skaičius didelis, o įvykio tikimybė maža, naudojamės Puasono formule. Įvykis X – sugadintų pakuočių skaičius. Įvykio pasirodymo tikimybė p = 0,00005. Iš viso eksperimentų n = 10 000. Apskaičiuojame λ = np = 0,00005 · 10000 = 0,5. Taigi gauname Puasono skirstinį X~P (0,5) P(X = k) reikšmes apskaičiuojame naudodamiesi formule (arba Excel funkcija)

λλ −== ek

kXPk

!)( = POISSON(k; λ; 0)

Skirstinio funkcija gali būti apskaičiuojama naudojant Excel funkciją = POISSON(k; λ; 1)

6065,06065,011

!05,0)0( 5,0

0

=⋅=== −eXP ;

3033,06065,015,0

!15,0)1( 5,0

1

=⋅=== −eXP ;

0758,06065,0225,0

!25,0)2( 5,0

2

=⋅=== −eXP ;

41

0126,06065,06125,0

!35,0)3( 5,0

3

=⋅=== −eXP ;

0016,06065,0240625,0

!45,0)4( 5,0

4

=⋅=== −eXP ;

0002,06065,012003125,0

!55,0)5( 5,0

5

=⋅=== −eXP ir t.t.

Pastebime, kad funkcijos reikšmės artėja prie nulio. Kadangi sąlygoje nurodyta užrašyti skirstinį ir skirstinio funkciją dviejų dešimtainių ženklų tikslumu, tai skaičiavimus nutraukiame. Atsakymas:

7. 7 p a v y z d y s . Yra 15 gaminių, iš jų 6 nestandartiniai. Atsitiktinai paimti 3 gaminiai kokybei patikrinti. Atsitiktinis dydis X – paimtų nestandartinių gaminių skaičius. Užrašykite skirstinį. Sprendimas

Turime nevienarūšius objektus, negrąžinamąją atranką. Todėl naudosimės hipergeometriniu skirstiniu. Iš viso objektų N = 15. Mus dominančių objektų – nestandartinių gaminių skaičius M = 6. Atrinktų objektų skaičius n = 3. Taigi gauname hipergeometrinį skirstinį X~H (15; 6; 3). P(X = k) reikšmes apskaičiuosime naudodamiesi formule (arba Excel funkcija):

nN

knMN

kM

CCC

kXP−−== )( = HYPGEOMDIST(k; M; n; N)

1846,045584

3211314153217891

)0( 315

03615

06 ==

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅===

−−

CCC

XP ;

4747,0455216

32113141521896

)1( 315

13615

16 ==

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅===

−−

CCC

XP ;

2967,0455135

321131415

92156

)2( 315

23615

26 ==

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

===−−

CCC

XP ;

0440,045520

321131415

1321456

)3( 315

33615

36 ==

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

===−−

CCC

XP .

Atsakymas:

X 0 1 2 3 Suma P 0,185 0,475 0,297 0,044 1

X 0 1 2 3 4 5 P 0,61 0,30 0,08 0,01 0,00 0,00 F 0,61 0,91 0,99 0,998 1,00 1,00

42

7. 8 p a v y z d y s . Į taikinį po vieną kartą iššauna 6 šauliai, kiekvieno jų pataikymo tikimybė p = 0,6. X – į taikinį pataikiusių šaulių skaičius. Parašykite pataikymų į taikinį skaičiaus skirstinį. Skirstinį ir skirstinio funkciją pavaizduokite grafiškai. Nustatykite tikimybes, kad pataikė:

a) ne daugiau kaip keturi šauliai; b) daugiau kaip vienas ir mažiau kaip keturi šauliai; c) daugiau kaip du šauliai.

Sprendimas

Šiam uždaviniui galima taikyti Bernulio eksperimentų schemą. Įvykio pasirodymo (sėkmės) tikimybė p = 0,6. Iš viso eksperimentų n = 6. Taigi gauname binominį skirstinį X~B (6; 0,6). Skirstinio P(X = k) reikšmes apskaičiuojame naudodamiesi formule (arba Excel funkcija)

knkkn ppCkXP −−== )1()( = BINOMDIST(k; n; p; 0) .

Skirstinio funkcijos reikšmes galima gauti naudojant Excel funkciją = BINOMDIST(k; n; p; 1) . Į 4 lentelę surašome skirstinio ir skirstinio funkcijos reikšmes.

4 lentelė X 0 1 2 3 4 5 6 Suma P 0,004 0,037 0,138 0,276 0,311 0,187 0,047 1 F 0,004 0,041 0,179 0,456 0,767 0,953 1,000

Skirstinį ir skirstinio funkciją pavaizduojame grafiškai:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0 1 2 3 4 5 6

a) Kokia tikimybė, kad pataikė ne daugiau kaip keturi šauliai? Mums reikia apskaičiuoti tikimybę P( X ≤ 4); Šią tikimybę galima apskaičiuoti taip:

P( X ≤ 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4); P( X ≤ 4) = 0,004 + 0,037 + 0,138 + 0,276 + 0,311 = 0,767,

arba pasinaudoti skirstinio funkcijos apibrėžimu: F(x) = P(X ≤ x). Taigi P( X ≤ 4) = F( 4 ). Iš lentelės randame, kad F( 4 ) = 0,767.

b) Kokia tikimybė, kad pataikė daugiau kaip vienas ir mažiau kaip keturi šauliai?

43

Mums reikia apskaičiuoti tikimybę P(1 < X ≤ 3). Šią tikimybę galime apskaičiuoti: P(1 < X ≤ 3) = P(X=2) + P(X=3) arba P(1 < X ≤ 3) = F(3) − F(1). Taigi P(1 < X ≤ 3) = 0,138 + 0,276 = 0,414 arba P(1 < X ≤ 3) = 0,456 − 0,041 = 0,415. (0,001 skirtumas gaunamas dėl apvalinant gaunamų paklaidų).

c) Kokia tikimybė, kad pataikė daugiau kaip du šauliai? Mums reikia apskaičiuoti tikimybę P(X > 2). Šią tikimybę galima apskaičiuoti taip:

P( X > 2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) P( X > 2) =0,276 + 0,311 + 0,187 + 0,047 = 0,821. arba kaip priešingo įvykio tikimybę P( X > 2) =1 – P(X ≤ 2) = 1 – F(2). P( X > 2) =1 – P(X ≤ 2) = 1 – 0,179 = 0,821.

Atsakymas: a) P( X ≤ 4) = 0,77; b) P(1 < X ≤ 3) = 0,41; c) P( X > 2) = 0,82.

Uždaviniai savarankiškam darbui

1. Diskrečiojo dydžio skirstinys yra: X 6 8 10 16 P 0,16 0,25 0,31 0,28 Užrašykite skirstinio funkciją.

2. Diskrečiojo dydžio skirstinys yra: X 3 6 8 9 11 14 P 0,08 0,18 0,20 0,30 0,17 0,07 Raskite vidurkį, dispersiją, standartinį nuokrypį.

3. Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X ~ B (7; 31 ) vidurkį ir dispersiją.

4. Pavaizduokite grafiškai atsitiktinio dydžio X ~ B (8; 0,60) skirstinį. 5. X ~ B (n, p). Apskaičiuokite tikimybes:

a) P(X = 2), kai n = 9 ir p = 0,4; b) P(X = 5), kai n = 8 ir p = 0,3; c) P(X < 6), kai n = 7 ir p = 0,6; d) P(X ≤ 2), kai n = 6 ir p = 0,7; e) P(X > 3), kai n = 5 ir p = 0,2; f) P(X ≥ 7), kai n = 10 ir p = 0,8.

6. Krepšininko Jurgio Aukštinio 70 proc. metimų yra sėkmingi. Žaidimo metu krepšininkas meta kamuolį į krepšį 5 kartus. Užrašykite sėkmingų metimų skirstinį. Kokia tikimybė, kad krepšininkas pataikys mažiau kaip 3 kartus?

7. Iš gautos megztinių siuntos 15 proc. prekių yra su paslėptais defektais (nekokybiškų). Per savaitę buvo nupirkti 8 megztiniai. Kokia tikimybė, kad pusė jų bus grąžinta?

8. X ~ P (λ). Apskaičiuokite tikimybes: a) P(X = 7), kai λ = 3; b) P(X ≤ 5), kai λ = 7;

44

c) P(X > 4), kai λ = 4; d) P(X ≥ 3), kai λ = 5.

9. Žemės ūkio bendrovė siunčia prekybos tinklui morkų pakuotes. Tikimybė, kad transportuojant susigadins pakuotė, lygi 0,0003. a) „Kampo“ parduotuvei pristatyta 5000 pakuočių. Užrašykite sugadintų pakuočių skirstinio pirmuosius 4 elementus. b) Kokia tikimybė, kad „Pakelės“ parduotuvėje iš gautų 2000 pakuočių 2 bus sugadintos?

10. X ~ H (N, M, n). Apskaičiuokite tikimybes: a) P(X = 5), kai N = 12, M = 6, n = 7; b) P(X ≤ 3), kai N = 15, M = 5, n = 4; c) P(X > 2), kai N = 14, M = 9, n = 5; d) P(X ≥ 3), kai N = 16, M = 8, n = 6.

11. Iš pakuotės, kurioje yra 12 kokybiškų prekių ir 6 nekokybiškos, atsitiktinai ištraukiami 5 gaminiai. Užrašykite kokybiškų prekių skirstinį.

Atsakymai:

1.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥<≤<≤<≤

<

=

.16,1;1610,72,0

;108,41,0;86,16,0

;6,0

)(

xkaixkai

xkaixkai

xkai

xF

2. M(X) = 8,47; D(X) = 6,8491; σ(X) = 2,6171.

3. M(X) = 37

; D(X) = 3

14.

4. Atsitiktinio dydžio X~ B (8; 0,60) skirstinio grafinis vaizdas:

Atsitiktinio dydžio X~B(8;0,60) skirstinys

00,050,1

0,150,2

0,250,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

X

P

5. a) 0,1612; b) 0,0467; c) 0,8414; d) 0,0705; e) 0,0067; f) 0,8791. 6. 0,8369 7. 0,0185. 8. a) 0,0216; b) 0,3007; c) 0,3712; d) 0,8753. 9.

X 0 1 2 3 a) λ=1,5 P 0,2231 0,3347 0,2510 0,1255

b) λ=0,6; P2000(2) = 0,0988. 10. a) 0,1136; b) 0,9963; c) 0,7972; d) 0,6958.

0 1 2 3 4 5 11. 0,0007 0,0210 0,1541 0,3852 0,3466 0,0924

45

2. 3. Tolydieji atsitiktiniai dydžiai. Normalusis skirstinys.

Atsitiktinio dydžio X skirstinį vadiname normaliuoju (Gauso) X ~ N (μ, σ), jei tankis

( )( )

2

2

22

1 σμ

πσ

−−

=x

exp (1)

su visais x∈R+. Parametrai μ∈R, σ∈R+. Skirstinio funkcija:

F(x) = ∫∞−

−−x y

dye 2

2

2)(

21 σ

μ

πσ.

Atskirą normaliojo skirstinio atvejį, kai μ = 0, σ = 1, vadiname standartiniu normaliuoju skirstiniu X ~ N(0, 1).

Šio skirstinio tankis yra 2

2

21)(

x

ex−

=π

ϕ , o skirstinio funkcija dyexx y

∫∞−

−=Φ 2

2

21)(π

Svarbiausieji faktai apie normalųjį skirstinį:

Normaliojo skirstinio skaitinės charakteristikos: vidurkis M(X) = μ, dispersija D(X) = σ2, standartinis nuokrypis σ(X) = σ, asimetrijos koeficientas γ1 = 0, eksceso koeficientas γ2 = 0.

1. Normaliojo skirstinio kreivė simetriška tiesės μ=x atžvilgiu. Duomenų reikšmė, atitinkanti šį tašką, yra ir skirstinio vidurkis, ir mediana. Tai kad mediana ir vidurkis sutampa, yra normaliosios kreivės simetriškumo pasekmė.

2. Funkcija įgyja didžiausią reikšmę taške μ=x ; ( )πσ

μ2

1max =f .

3. Taškai σμ −=1x ir σμ +=2x yra grafiko persilenkimo taškų abscisės. Tikimybė, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę iš intervalo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ=≤≤σμ

σμ abbXaP )( , čia Φ(X) standartinio normaliojo dydžio skirstinio funkcija.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ=≤σμbbXP )( ; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ−=≥σμaaXP 1)(

Φ(– X) = 1 – Φ(X). Pastaba: Φ(X) reikšmių lentelė pateikta 1 priede. Kalbant apie normaliojo skirstinio kreivę, teisingi tokie trys teiginiai:

1) patekimo į intervalą [μ – σ; μ + σ] tikimybė yra 0,6827; 2) patekimo į intervalą [μ – 2σ; μ + 2σ] tikimybė yra 0,9545; 3) patekimo į intervalą [μ – 3σ; μ + 3σ] tikimybė yra 0,997.

P(X ≤ k) = NORMDIST(k; μ; σ; 1)

P(k1 ≤ X ≤ k2) = NORMDIST(k2; μ; σ; 1) – NORMDIST(k1; μ; σ; 1);

P(X > k) = 1 – P(X ≤ k) = 1 – NORMDIST(k; μ; σ; 1).

xp = NORMINV(p; μ; σ)

46

8.1 pavyzdys. Žinome, kad atsitiktinis dydis X ~ N (6, 2). Apskaičiuokite tikimybes P(0 ≤ X ≤ 5), P( |X| ≥ 2), P(X < 3) ir P(X > 4).

Sprendimas

Iš sąlygos X ~ N (μ, σ) nustatome, kad atsitiktinio dydžio vidurkis μ = 6, o standartinis nuokrypis σ = 2. Taigi

P(0 ≤ X ≤ 5) = ( )( ) =Φ−Φ=Φ−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Φ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Φ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ )5,0()3(31211

26

21

260

265

= 0,9967 – 0,6915 = 0,305; = NORMDIST(5; 6; 2; 1) – NORMDIST(0; 6; 2; 1 ) ⇒ 0,305

P( |X| ≥ 2) = 1 – P(|X| < 2) =

= 1 – ( ) ( )( )( ) =Φ−−Φ−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Φ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Φ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

Φ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ 4121128

241

262

262

( ) ( )( ) =Φ−Φ−= 241 1 – (0,9999 – 0,9772) = 0,977. = 1 – (NORMDIST(2; 6; 2; 1) – NORMDIST(– 2; 6; 2; 1)) ⇒ 0,977.

P(X < 3) = P ( ) ( ) =Φ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Φ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ=< 5,1123

2633X 1 – 0,9332 = 0,067.

= NORMDIST(3; 6; 2; 1) ⇒ 0,067.

P(X > 4) = 1 – P ( ) ( )( ) ( )1111221

26414 Φ=Φ−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −Φ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ−=<X = 0,841.

= 1 – NORMDIST(4; 6; 2; 1) ⇒ 0,841. Atsakymas: P(0 ≤ X ≤ 5) = 0,305; P( |X| ≥ 2) = 0,977; P(X < 3) = 0,067; P(X > 4) = 0,841.

8. 2 pavyzdys. Žinome, kad atsitiktinis dydis X ~ N (5, 1). Raskite reikšmę, už kurią:

a) mažesnių yra 60 proc. b) didesnių yra 30 proc.

Sprendimas

Iš sąlygos X ~ N (μ, σ) nustatome, kad atsitiktinio dydžio vidurkis μ = 5, o σ = 1. Taigi apskaičiuojame normaliojo skirstinio lygmens p kvantilius:

a) Kadangi reikia rasti tokią atsitiktinio dydžio reikšmę, už kurią mažesnių yra 60 proc., tai ieškome kvantilio x0,60 reikšmę:

P(X < x0,60) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ

1560,0x

= 0,60.

Iš lentelės (1 priedas) randame argumento x reikšmę, kai Φ(x) = 0,60 ⇒ x ≈ 0,26.

Taigi 26,01

560,0 =−x

⇒ x0,60 ≈ 5,26

= NORMINV(0,60; 5; 1) ⇒ 5,25.

47

b) Kadangi reikia rasti tokią atsitiktinio dydžio reikšmę, už kurią didesnių yra 30 proc., tai mažesnių yra 70 proc. Taigi ieškome kvantilio x0,70 reikšmės:

P(X < x0,70) = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −Φ

1570,0x

= 0,70.

Iš lentelės (1 priedas) randame argumento x reikšmę, kai Φ(x) = 0,70 ⇒ x ≈ 0,53.

Taigi 53,01

570,0 =−x

⇒ x0,70 ≈ 5,53.

= NORMINV(0,70; 5; 1) ⇒ 5,52.

Pastaba. Paklaidos atsirado dėl to, kad lentelėse pateikiamos suapvalintos reikšmės. Atsakymas: a) atsitiktinio dydžio X reikšmė, už kurią mažesnių yra 60 proc., yra x0,60 ≈ 5,25; b) atsitiktinio dydžio X reikšmė, už kurią didesnių yra 30 proc., yra x0,70 ≈ 5,52.

8. 3 pavyzdys. Gaminamų detalių ilgis pasiskirstęs pagal normalųjį skirstinį, kurio parametrai yra μ = 10 cm, σ = 2 cm. Kokia tikimybė, kad:

a) ilgis įgis reikšmę iš intervalo (10; 14)? b) atsitiktinai paimtos detalės ilgis skirsis nuo projektinio ilgio ne daugiau kaip 3 cm?

Sprendimas

Atsitiktinis dydis X – gaminamos detalės ilgis.

a) P(10 ≤ X ≤ 14) = =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ2

10102

1014Φ(2) – Φ (0) = 0,9772 – 0,5000 = 0,477

= NORMDIST(14;10;2;1) – NORMDIST(10;10;2;1) ⇒ 0,477. b) paimtos detalės ilgis skirsis nuo projektinio ilgio ne daugiau kaip 3 cm, jei įgyjamos reikšmės bus iš intervalo [μ – 3; μ + 3], t.y., [10 – 3; 10 + 3] ⇒ [7; 13]. Taigi

P( 7 ≤ X ≤ 13) = =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ2107

21013

Φ (1,5) – Φ (– 1,5) = Φ (1,5) – 1 + Φ (1,5) =

=2⋅Φ (1,5) – 1 = 2⋅0,9332 – 1 = 1,8664 – 1 = 0, 866. = NORMDIST(13;10;2;1) – NORMDIST(7;10;2;1) = 0, 866.

Atsakymas:

a) tikimybė, kad detalės ilgis įgis reikšmę iš intervalo (10; 14), lygi 0,477; b) tikimybė, kad paimtos detalės ilgis skirsis nuo projektinio ilgio ne daugiau kaip 3 cm, yra

0,866.

8. 4 pavyzdys. Kiekvieno grūdo masė yra pasiskirsčiusi pagal normalųjį skirstinį su vidurkiu, lygiu 0,22 g, vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu, lygiu 0,02 g. Sudygsta grūdai, kurių masė didesnė už 0,20 g. Nustatykite:

a) sudygusių grūdų kiekį procentais; b) masę, kurios neviršys grūdas su tikimybe 0,99.

Sprendimas

Atsitiktinis dydis X – atsitiktinė grūdo masė. Iš sąlygos žinome, kad μ = 0,22, 02,0=σ .

48

a) ( ) ( ) =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ−=<−=>

02,022,020,0120,0120,0 XPxP 1 – Φ (–1) = 1 – (1 – Φ (1)) =

= Φ (1) = 0,841. = 1 – NORMDIST(0,20;0,22;0,02;1) = 0, 841.

Taigi galime teigti, kad sudygs 84 proc. grūdų. b) Ieškomąją masės reikšmę pažymėkime β .

Šį dydį nustatome iš sąlygos ( ) 99,0=< βXP ⇒ β = x0,99 . P(X < β) = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ

02,022,0β . Iš lentelės

(1 priedas) surandame, kad, kai Φ (x) = 0,99, tai x = 2,34.

Tada 34,202,0

22,0=

−β , o β = 2,34⋅0,02 + 0,22 = 0,267.

= NORMINV(0,99; 0,22; 0,02) = 0,267.

Darome išvadą, kad atsitiktinai paimto grūdo masė neviršys 0,27 g su tikimybe 0,99.

Atsakymas:

a) sudygs 84 proc. grūdų; b) atsitiktinai paimto grūdo masė neviršys 0,27 g su tikimybe 0,99.

8. 5 pavyzdys. Tam tikros veislės obuolio masę galime laikyti atsitiktiniu dydžiu, pasiskirsčiusiu pagal normalųjį skirstinį, kurio parametrai μ = 140 g, σ = 10 g.

a) kokios obuolio masės ribos (su tikimybe 0,997)? b) kokį vidurkio nuokrypį galima garantuoti su tikimybe 0,95 (kitaip – patikimumo lygmeniu

0,95 arba 95% garantija)? Sprendimas.

Atsitiktinis dydis X – obuolio masė.

a) pasinaudojame trijų sigma taisykle: jei μ – 3σ < X < μ + 3σ ⇒ 140 – 3⋅10 < X < 140 + 3⋅10 ⇒ X∈ (110; 170).

b) kadangi skirstinys yra simetriškas vidurkio atžvilgiu, tai ieškodami nuokrypio nuo vidurkio su tikimybe 0,95 apskaičiuojame priešingą tikimybę ir padalijame pusiau. Taip pat apskaičiuojame

.975,02

1 =−p

x0,025 = NORMINV(0,025; 140; 10) = 120,40; x0,975 = NORMINV(0,975; 140; 10) = 159,60. Atsakymas: a) su tikimybe 0,997 obuolio masės ribos [110; 170]; b) su tikimybe 0,95 obuolio masės ribos [120,40; 159,60].

49

Uždaviniai savarankiškam darbui 1. Žinome, kad atsitiktinis dydis X ~ N (8, 3). Apskaičiuokite tikimybes

a) P(2 ≤ X ≤ 6), b) P( |X| ≥ 4), c) P(X < 9) ir d) P(X > 7). 2. Žinome, kad atsitiktinis dydis X ~ N (30, 10). Raskite reikšmę, už kurią

a) mažesnių yra 20 proc; b) didesnių yra 40 proc. 3. Gaminamų detalių ilgis pasiskirstęs pagal normalųjį skirstinį, kurio parametrai yra μ = 10 cm, σ =

2 cm. Kokia tikimybė, kad a) ilgis įgis reikšmę iš intervalo (8; 14); b) atsitiktinai paimtos detalės ilgis skirsis nuo projektinio ilgio ne daugiau kaip 3 cm?

4. Vaisiaus masė yra pasiskirsčiusi pagal normalųjį skirstinį su vidurkiu, lygiu 80 g, vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu, lygiu 12 g. Aukščiausios klasės vaisiams priskiriami vaisiai, kurių masė yra nuo 80 iki 85 g. Nustatykite, kiek procentų vaisių yra aukščiausios rūšies.

5. Stebėta, per kiek laiko nuo iškvietimo atvyksta taksi automobilis. Nustatyta, kad vidutinis atvykimo laikas 10 min (standartinis nuokrypis 7 min). Kiek procentų užsakovų laukia automobilio ilgiau kaip 20 min?

6. Studentų laikytų egzaminų pažymių vidurkis yra 6, standartinis nuokrypis yra 2,5. Apskaičiuokite:

a) pažangių studentų procentą (laikoma, kad studentas pažangus, jei jo pažymių vidurkis didesnis nei 8 balai); b) kiek procentų studentų pažangumas skiriasi ne daugiau kaip vienu balu; c) vidutinio pažymio reikšmę, už kurią mažesnį vidurkį turi 30 proc. studentų.

7. Automobilių remonto dirbtuvėje techninė automobilio apžiūra trunka vidutiniškai 30 min (standartinis nuokrypis 10 min). Apskaičiuokite: a) kiek procentų automobilių patikrinama greičiau kaip per 20 min; b) kiek procentų automobilių patikrinama ilgiau kaip per 50 min; c) koks apžiūros laikas, už kurį trumpiau tikrinama 20 proc. automobilių; d) koks laikas, už kurį apžiūra trunka ilgiau 10 proc. automobilių.

Atsakymai: 1. a) 0,2297; b) 0,9088; c) 0,6306; d) 0,7475. 2. a) 21,5838; b) 32,5335. 3. a) 0,8186; b) 0,8664. 4. 16,15 proc. 5. 7,66 proc. 6. a) 21,19 proc.; b) 31,08 proc.; c) 4,69. 7. a) 15,87 proc.; b) 2,28 proc.; c) 22 min; d) 43 min.

50

3. Statistikos pagrindai

3. 1. Aprašomoji statistika

Tarkime, kad stebimas tam tikras kintamasis. Atsitiktinai gautų (išrinktų iš populiacijos) reikšmių eilutė vadinama statistine eilute: x1, x2, … ,xn, čia n – imties tūris. Išdėsčius šias reikšmes nemažėjimo tvarka gaunama variacinė eilutė: x(1) ≤ x(2) ≤ … ≤ x(n). xmin = x(1); xmax = x(n). Imties skaitinės charakteristikos Pagrindinės duomenų padėties charakteristikos.

Imties vidurkis ∑=

=n

iix

nx

1

1 .

Imties moda mo – dažniausiai duomenų aibėje pasikartojusi reikšmė. Imtis gali turėti ir kelias modas arba visai jos neturėti. Imties mediana md yra skaičius, už kurį 50 proc. variacinės eilutės reikšmių yra ne didesnės ir 50 proc. ne mažesnės:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+

−= +

+

.,2

,,)12/()2/(

)2/)1((

lyginisnkaixx

nelyginisnkaixm nn

n

d

Vidurkis, mediana ir moda apibūdina duomenų „centrą”. Kvartiliai q1, q2, q3 variacinę eilutę dalina į keturias maždaug lygias dalis. q2 sutampa su mediana ir dalija imtį į dvi dalis; tuomet q1 yra apatinės dalies mediana, o q3 yra viršutinės dalies mediana. Variacinę eilutę galima dalyti į daugiau dalių. Skaičiai, suskirstantys variacinę eilutę į 100 maždaug vienodų dalių, vadinami procentiliais. Pagrindinės sklaidos charakteristikos:

Duomenų aibės plotis

Kvartilių skirtumas Imties dispersija Standartinis

nuokrypis Variacijos

koeficientas w = x(n) – x(1) =

= xmax - xmin. iqr = q3 – q1 .

∑=

−=n

ii xx

ns

1

220 )(1 2

00 ss = xscv 0=

Dažnių skirstinio formos charakteristikos (panašumo į normaliąją kreivę matai):

Asimetrijos koeficientas – histogramos simetrijos matas.

33

1 sm

g = ∑=

−=n

ii xx

nm

1

33 )(1

Jei g1 > 0, histogramos asimetrija yra teigiama (dešinioji), jei g1 < 0, asimetrija neigiama (kairioji). Histograma simetriška, kai g1 = 0.

Eksceso koeficientas – histogramos lėkštumo matas

344

2 −=smg ∑

=

−=n

ii xx

nm

1

44 )(1

Jei g2 < 0, histograma yra lėkšta t.y. duomenų sklaida apie vidurkį yra didesnė nei normaliosios kreivės, jei g2 > 0, histograma smaila, t.y. duomenų sklaida apie vidurkį yra mažesnė nei normaliosios kreivės. Jeigu g2 = 0, tai sklaida apie vidurkį tokia pati kaip ir normaliosios kreivės

51

9. 1 p a v y z d y s . Imties duomenys: 52 54 57 49 62 55 52 60

Raskite: a) padėties charakteristikas; b) sklaidos charakteristikas; c) dažnių skirstinio formos charakteristikas.

Sprendimas

Imties tūris n = 8. Apskaičiuosime šias padėties charakteristikas: vidurkį, medianą, modą, kvartilius q1, q2, q3. Imties vidurkis:

.125,558

605255624957545281 8

1

=+++++++

== ∑=i

ixx

Medianai, modai ir kvartiliams rasti turime sudaryti variacinę eilutę. Taigi visų pirmiausia duomenis surikiuojame nemažėjimo tvarka:

49 52 52 54 55 57 60 62

Kadangi imtyje yra 8 elementai, tai mediana md = 5,542

55542

)5()4( =+

=+ xx

; moda – mo = 52,

q1 = 522

5252=

+ , q2 = md = 54,5, q3 = 5,582

6057=

+ .

Sklaidos charakteristikos: duomenų aibės plotis, kvartilių skirtumas, dispersija, standartinis nuokrypis, variacijos koeficientas. Duomenų aibės plotis: w = x(n) – x(1) = xmax - xmin = 62 – 49 = 13. Kvartilių skirtumas: iqr = q3 – q1 = 58,5 – 52 = 6,5. Imties dispersija:

609,16])125,5562()125,5560()125,5557()125,5555(

)125,5554()125,5552()125,5552()125,5549[(81

)125,55(81

2222

2222

8

1

220

=−+−+−+−+

+−+−++−+−=

=−= ∑=i

ixs

Imties standartinis nuokrypis: 075,4609,162

00 === ss . Variacijos koeficientas:

074,0125,55075,40 ===

xscv .

Dažnių skirstinio formos charakteristikos: asimetrijos ir eksceso koeficientai. Norint apskaičiuoti imties asimetrijos ir eksceso koeficientus, pirmiausia reikia rasti trečiąjį ir ketvirtąjį centrinius momentus m3 ir m4.

.156,155])125,5562()125,5560()125,5557()125,5555(

)125,5554()125,5552()125,5552()125,5549[(81

)125,55(81

3333

3333

8

1

33

=−+−+−+−+

+−+−++−+−=

=−= ∑=i

ixm

52

.963,4410])125,5562()125,5560()125,5557()125,5555(

)125,5554()125,5552()125,5552()125,5549[(81

)125,55(81

4444

4444

8

1

44

=−+−+−+−+

+−+−++−+−=

=−= ∑=i

ixm

Tada imties asimetrijos koeficientas:

293,2)075,4(

156,15533

0

31 ===

smg ,

o eksceso koeficientas:

996,123)075,4(

963,44103 440

42 =−=−=

smg .

Atsakymas: Imties skaitinės charakteristikos: 1) padėties charakteristikos:

• 125,55=x − vidurkis; • mo = 52 − moda ; • md = 5,54 − mediana; • q1 = 52 − apatinis kvartilis; • q3 = 58,5 − viršutinis kvartilis;

2) sklaidos charakteristikos: • w = 13 – duomenų aibės plotis; • iqr = 6,5 – kvartilių skirtumas; • 609,162

0 =s − dispersija; • s0 = 4,075 – standartinis nuokrypis; • 074,0=cv − variacijos koeficientas;

3) skirstinio formos charakteristikos: • g1 = 2,293 – asimetrijos koeficientas; • g2 = 12,996 – eksceso koeficientas.

9. 2 p a v y z d y s . Visą savaitę parduotuvė fiksavo parduotų per dieną mobiliųjų telefonų skaičių:

Savaitės diena I II III IV V VI VII Parduotų telefonų skaičius 15 8 12 4 20 4 16

Raskite imties vidurkį, modą ir standartinį nuokrypį. Sprendimas

Variacinė eilutė:

4 4 8 12 15 16 20 Imties moda mo = 4. Imties vidurkis:

.2857,117

2016151284471 7

1

=++++++

== ∑=i

ixx

53

Norint rasti standartinį nuokrypį, pirmiausia apskaičiuojame imties dispersiją 20s :

xi xxi − ( )2xxi − 4 4 – 11,286 = – 7,286 53,086 4 4 – 11,286 = – 7,286 53,086 8 8 – 11,286 = – 3,286 10,798 12 12 – 11,286 = 0,714 0,510 15 15 – 11,286 = 3,714 13,794 16 16 – 11,286 = 4,714 22,222 20 20 – 11,286 = 8,714 75,934

( )∑

=

−7

1

2

ii xx = 229,430

( )∑=

==−=7

1

220 776,32

7430,229

71

ii xxs .

Taigi imties standartinis nuokrypis 725,5776,32200 === ss .

Atsakymas: 2857,11=x ; mo = 4; 725,50 =s .

9 . 3 p a v y z d y s . Dviejose bendrovėse dirbančiųjų algos pateiktos lentelėje: Bendrovė Darbuotojų alga (Lt) Dobilas 5000 3000 1000 600 800 1200 600 700 Radasta 2000 2500 1500 800 900 1000 1400 2000 Atlikite analizę. Sprendimas

Variacinė eilutė: Dobilas: 600 600 700 800 800 800 3000 5000 Radasta: 800 900 1000 1400 1500 2000 2000 2500

„Dobilo” skaitinės charakteristikos: xmin = 600, xmax = 5000.

md = 8002

800800=

+ , mo = 800.

q1 = 6502

700600=

+ ; q3 = 190023000800

=+ .

( ) 5,1537500030008003700600281

=++⋅++⋅=x .

( ) ( )( ) 22773445,15375000...5,153760081 222

0 =−++−=s

087,150922773440 ==s . „Radastos” skaitinės charakteristikos: xmin = 800, xmax = 2500.

md = 14502

15001400=

+ , mo = 2000.

q1 = 95021000900

=+ ; q3 = 2000

220002000

=+ .

54

( ) 5,151225002000215001400100090080081

=+⋅+++++=x .

( ) ( )( ) 8,3260935.15372500...5,151280081 222

0 =−++−=s

0462,5718,3260930 ==s . Atsakymas: Abiejose bendrovėse vidutinė alga nedaug skiriasi: „Dobilo“ – 1537,5 Lt, “Radasto” šiek tiek mažesnė – 1512,5 Lt. „Dobilo“ bendrovėje mažiausia alga − 600 Lt, „Radastos“ mažiausia alga – 800 Lt, didžiausia alga − 5000 Lt, „Radastos“ didžiausia alga – 2500 Lt. Moda rodo, kad daugiausia šios „Dobilo“ bendrovės darbuotojų gauna 800 Lt, o „Radastos“ – 2000 Lt. Mediana yra visų algų, išrikiuotų nemažėjimo tvarka, viduryje: „Dobilo“ mediana – 800 Lt, „Radastos” – 1450 Lt. Apatinis kvartilis q1 rodo, kad 25 proc. darbuotojų gauna mažesnes algas, o 75 proc. – didesnes: „Dobilo“ apatinis kvartilis – 650, „Radastos” – 950. Viršutinis kvartilis q3 rodo, kad 75 proc. darbuotojų gauna mažesnes algas, o 25 proc. – didesnes: „Dobilo“ viršutinis kvartilis – 1900 Lt, „Radastos” – 2000 Lt. Palyginę abiejų duomenų aibių standartinius nuokrypius, matome, kad „Dobilo“ bendrovėje algų sklaida yra didesnė: „Dobilo“ algų standartinis nuokrypis s0 = 1509,09 Lt, o „Radastos“ algų s0 = 571,05 Lt.


1. Duota atsitiktinė imtis: 0 3 5 – 5 7 3 4 2 8 – 2 1

Apskaičiuokite imties plotį, imties tūrį, vidurkį, modą, medianą, dispersiją, standartinį nuokrypį. 2. Dešimties atsitiktinai parinktų studentų matematikos egzamino pažymiai yra tokie:

9 8 3 5 8 9 4 7 8 6 Užrašykite gautųjų duomenų variacinę eilutę, raskite svarbiausias skaitines charakteristikas.

3. Tirta, kiek laiko per dieną studentai naudojasi internetu (minutėmis): 20 30 40 120 60 30 45 180 60 55 20 30

Apskaičiuokite skaitines charakteristikas. 4. Raskite padėties charakteristikas: vidurkį, medianą ir modą, kai duotos atsitiktinės imtys:

a) 14 12 18 15 18 18 11 b) 3 7 2 8 3 7 c) 4 8 1 3 9 12 0

Atsakymai: 1. w = 13; n = 11; x = 2,36; mo = 3; me = 3; 14,132

0 =s ; s0 = 3,62. 2. 3 4 5 6 7 8 8 8 9 9

w = 6; n = 10; x = 6,7; mo = 8; me = 7,5; 01,420 =s ; s0 = 2,002; g1 = – 0,56; g2 = –1,05; q1 = 5; q2 = 8.

3. w = 35; n = 12; x = 57,57; mo = 30; me = 42,5; 58,203920 =s ; s0 = 45,162; g1 = 1,73; g2 = 1,93; q1 = 30; q2 = 60.

4. a) x = 15,14; mo = 8; me = 15; b) x =5; yra 2 modos: mo = 2 ir mo = 3; me = 5; c) x = 5,26; modos nėra; me = 4.

55

3. 2. Duomenų grupavimas

Kintamojo reikšmės dažnis kj – tai skaičius, nusakantis, kiek kartų reikšmė xj pasikartojo statistinėje eilutėje. Kintamojo reikšmės santykinis dažnis kj / n − tai skaičius, nusakantis, kurią statistinės eilutės dalį sudaro xj. Santykinių dažnių lentelė dar vadinama kintamojo dažnių (empiriniu) skirstiniu. Dažnių skirstinio (empirinė) funkcija atspindi visą sukauptąjį santykinį dažnį iki x.

F(x) = stebėjimų, ne didesnių už x, skaičius Prieš grupuojant duomenis, reikia nustatyti grupavimo intervalų skaičių, intervalų ilgį, intervalų kraštinius taškus. Dažniausiai pasirenkama nuo 5 iki 15 intervalų. Kai imties tūris yra šimtų eilės, intervalų skaičius d gali būti 6 ≤ d ≤ 20. Dar siūloma formulė d =[1 + 3,32 lg n]. Taigi visą imtį suskaidome į vienodo ilgio intervalus taškais x(1)= α0 < α1 < α2 <...αd = x(n).

Kiekvieno intervalo ilgis apskaičiuojamas taip: d

xxl n )1()( −= .

Sakykime, į intervalus [α0, α1), [α1, α2),...,[αs-1, αs] pateko k1, k2, ..., ks reikšmių. Skaičiavimuose duomenys, patekę į intervalą [αi-1, αi), pakeičiami intervalo vidurio taškais – skaičiais ix~ . Empirinį grupuotą (klasių) skirstinį užrašome lentele:

Intervalai [α0, α1) [α1, α2) ... [αs-1, αs] Vidurio taškai 1

~x 2~x dx~

Dažniai k1 k2 kd

Santykiniai dažniai nkw 1

1 = nkw 2

2 = ... nk

w dd =

Dažnių skirstinio funkcija (kaupiamasis dažnis) f1 = w1 f2 = f1 + w2 ... fd = fd-1 + wd

Grafiškai grupuoti duomenys dažniausiai vaizduojami histogramomis. Tai yra vienas šalia kito nubraižyti stačiakampiai, kurių kiekvieno pagrindas lygus intervalo ilgiui li, o plotas proporcingas klasės dažniui. Stačiakampio aukštį pažymėję hi, gauname li⋅hi =c⋅ki, čia c – proporcingumo

koeficientas. Tada i

ii l

kch ⋅= . Nuo c pasirinkimo priklauso ordinačių (Y) ašies skalė:

n

c 1= ⇒

i

ii ln

kh⋅

= . Tokio stačiakampio plotas lygus nki , o figūros, kurią riboja histograma,

plotas lygus 1. Šiuo atveju intervalų ilgiai gali būti nevienodi. lc = ⇒ ii kh = . Kai visų intervalų ilgiai yra lygūs, proporcingumo koeficientą galima

parinkti lygų intervalo ilgiui. Tada stačiakampio aukštis vaizduoja tos grupės dažnį.

nlc = ⇒

nkh i

i = . Kai visų intervalų ilgiai yra lygūs, proporcingumo koeficientą galima

prilyginti intervalo ilgio ir imties tūrio santykiui. Tada stačiakampio aukštis lygus tos grupės santykiniam dažniui.

Iš histogramos vizualiai daromos prielaidos apie teorinio skirstinio tipą. Excel duomenų histograma yra braižoma Tools → Data Analysis lange pasirinkus punktą

Histogram (žr. 6 priedą). Excel pagalba gautoje histogramoje abscisių (X) ašyje yra nurodomi grupavimo intervalo galiniai taškai, o ordinačių (Y) ašis atspindi grupių dažnius.

Grupuotų duomenų skaitinės charakteristikos: i

n

ii kx

nx ⋅= ∑

=1

~1 ; ∑=

−=n

iii kxx

ns

1

220 )~(1 .

56

10. 1 p a v y z d y s . Duoti imties duomenys:

68 56 62 58 29 47 82 64 77 50 35 92 69 55 70 29 89 22 52 60

Duomenis sugrupuokite (grupavimo intervalų skaičius d = 5) ir nubraižykite: a) dažnių daugiakampį; b) santykinių dažnių daugiakampį; c) skirstinio funkcijos diagramą (sukauptųjų dažnių daugiakampį).

Sprendimas

Duomenis surikiuojame nemažėjimo tvarka (sudarome variacinę eilutę): 22 29 29 35 47 50 52 55 56 58 60 62 64 68 69 70 77 82 89 92

Nustatome mažiausią ir didžiausią reikšmes: xmin = x(1) = 22, xmax = x(n) = 92.

Apskaičiuojame grupavimo intervalo plotį 145

2292minmax =−

=−

=d

xxl ;

Surandame grupavimo intervalų kraštinius ir vidurio taškus, apskaičiuojame dažnius, santykinius dažnius, sukauptuosius dažnius.

Intervalas i

Intervalo pradžios taškas

ci-1

Intervalo pabaigos

taškas ci= ci-1 + l

Intervalo vidurio taškas

2~ 1 ii

iccx +

= −

Dažnis ki

Santykinis dažnis

nkw i

i =

Sukauptasis santykinis

dažnis fi

1 22 36 29 4 0,2 0,2 2 36 50 43 2 0,1 0,3 3 50 64 57 7 0,35 0,65 4 64 78 71 4 0,2 0,85 5 78 92 85 3 0,15 1

Suma 20 1 Ar teisingai apskaičiavome dažnių ir santykinių dažnių reikšmes, pasitikriname susumavę gautas

dažnių reikšmes, t.y. nkd

ji =∑

=1

, o 11

=∑=

d

jiw .

Pagal gautus duomenis braižome diagramas. Abscisių (X) ašyje pažymimos intervalo vidurio taškų reikšmės, o ordinačių (Y) ašyje – atitinkamai dažnio, santykinio dažnio ir sukauptojo santykinio dažnio reikšmės. Palyginę dažnių ir santykinių dažnių diagramas, matome, kad abiejų šių grafikų forma identiška, vienintelis skirtumas yra kitoks ordinačių ašies mastelis. Atsakymas:

Dažnių diagrama

0

1

2

3

4

5

6

7

8

20 30 40 50 60 70 80 90

X

Dažn

is

Santykinių dažnių diagrama

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

20 30 40 50 60 70 80 90

X

Sant

ykin

is d

ažni

s

57

Sukauptųjų dažnių diagrama

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

20 30 40 50 60 70 80 90

X

Suk

aupt

asis

daž

nis


6 4 7 9 9 11 2 6 9 4 5 3 3 5 5 2 5 6 7 6 Duomenis sugrupuokite, sudarykite intervalinių dažnių lentelę (d = 5) ir nubraižykite santykinių dažnių daugiakampį. Sprendimas

Šios užduoties sprendimo bendri principai Excel pagalba pateikti paveiksle:

58

Suvedę pradinius duomenis, nustatome imties tūrį, didžiausią bei mažiausią reikšmes ir intervalo ilgį.

Imties tūris n = 20. Langelyje G3 įrašyta: = COUNT(A1:A20)

xmin = 2. Langelyje D1 įrašyta: = MAX(A1:A20)

xmax = 11. Langelyje G1 įrašyta: = MIN(A1:A20)

80,15

2115

minmax =−

=−

=xx

l . Langelyje D3 įrašyta: = (D1 – G1)/5

Dažniai ki apskaičiuojami naudojant Excel funkciją FREQUENCY (žr. 5 priedą):

pažymime duomenų sritį, kurioje bus įrašyti dažniai (F7:F11); iškviečiame funkciją FREQUENCY; nurodome imties duomenų ir grupavimo intervalų pabaigų reikšmių sričių adresus; nuspaudžiame klavišų Ctrl + Shift + Enter kombinaciją.

Santykiniai dažniai apskaičiuojami taip: nkw i

i = . Langelyje G7 įrašyta: = F7/$G$3

Ar teisingai atlikome veiksmus, galime patikrinti apskaičiavę kontrolines sumas: dažnių suma turi būti lygi imties tūriui n, o santykinių dažnių suma – vienetui.

Santykinių dažnių daugiakampis braižomas taip: Insert → Chart (arba paspaudus mygtuką ), parinkus diagramos tipą XY Scatter, pažymėjus grupavimo intervalų vidurio taškų reikšmių sritį (E7:E11), santykinių dažnių reikšmių sritį (G7:G11). Atsakymas:

Santykinių dažnių diagrama

00,10,20,30,4

2 4 6 8 10 12

X

Sant

ykin

is d

ažni

s

10. 3 p a v y z d y s . Duoti imties duomenys: 76 75 73 72 75 76 77 78 75 76 76 75 76 77 76 80 76 73 74 77

Nubraižykite histogramą, kai intervalų skaičius d = 5. Sprendimas

Šios užduoties sprendimo bendri principai Excel pagalba pateikti paveiksle:

59

Suvestus duomenis surikiuojame nemažėjimo tvarka . xmin = x(1) = 72, xmax = x(n) = 80. Prieš braižant histogramą atliekame keletą papildomų skaičiavimų. apskaičiuojame grupavimo intervalo plotį, gautą reikšmę suapvalindami į didesnę pusę, dviejų

reikšmių po kablelio tikslumu: l = ROUNDUP((xmax – xmin) / d; 2); surandame grupavimo intervalų kraštinius taškus:

(c0 = xmin); c1 = c0 + l; c2 = c1 + l; ...; cd = cd-1 + l; ( cd ≥ xmax). Duomenų histograma yra braižoma Tools → Data Analysis lange pasirinkus punktą Histogram (žr. 6 priedą). Atsakymas:

Histogram

02468

73,6 75,2 76,8 78,4 80 More

Bin

Freq

uenc

y

60


84,00 64,45 94,89 115,53 113,97 124,67 46,33 85,32 111,91 68,2776,20 56,20 53,07 70,45 74,53 47,65 78,65 81,92 92,70 82,7083,47 82,60 116,86 88,30 86,28 79,74 129,45 107,32 137,52 76,91

Apskaičiuokite imties reikšmių vidurkį ir dispersiją naudodami negrupuotus ir grupuotus (d = 6) duomenis. Gautus rezultatus palyginkite. Sprendimas

Prieš grupuodami duomenis, randame didžiausią ir mažiausią reikšmes, nustatome grupavimo intervalo ilgį, randame intervalų pradžios, pabaigos ir vidurio taškų reikšmes, apskaičiuojame dažnius.

Negrupuotų duomenų vidurkio reikšmę skaičiuojame pagal formulę ∑=

=n

iix

nx

1

1 , o grupuotų –

i

n

ii kx

nx ⋅= ∑

=1

~1 . Negrupuotų duomenų dispersijai apskaičiuoti naudojame formulę

∑=

−=n

ii xx

ns

1

220 )(1 , o grupuotų – ∑

=

−=d

iii kxx

ns

1

220 )~(1 . Čia xi – imties duomenų reikšmės, ix~ –

grupavimo intervalo vidurio taškai; ki – dažniai. Žemiau pateikti šios užduoties sprendimo bendri principai Excel pagalba:

Palyginę gautus rezultatus, matome, kad imties vidurkis ir dispersija naudojant grupuotus ar negrupuotus duomenis skiriasi. Tai įvyko dėl to, kad grupuotiems duomenims naudojama grupavimo intervalo vidurio reikšmė, t. y. apytikslė reikšmė. Naudojant negrupuotus duomenis, rezultatai gaunami tikslesni, o grupuotus – paprastesni skaičiavimai.

61

Atsakymas: Negrupuotų duomenų vidurkis 06,87=x , dispersija 21,54520 =s .

Grupuotų duomenų vidurkis 38,88=x , dispersija 26,52220 =s .

Uždaviniai savarankiškam darbui Duoti imties duomenys:

15 12 16 19 19 21 9 15 19 12 13 10 10 13 13 9 14 14 16 14

Apskaičiuokite imties reikšmių vidurkį ir dispersiją naudodami negrupuotus ir grupuotus (d = 6) duomenis. Atsakymas: xmin = 9, xmax = 21, grupavimo intervalo ilgis l = 2. Grupuotų duomenų vidurkis 13,8, dispersija 8,76. Negrupuotų duomenų vidurkis 14,15, dispersija 11,33.

62

3. 3. Statistinės išvados: taškiniai ir intervaliniai įverčiai

Parametras Taškinis įvertis Pasikliautinasis intervalas

Vidurkis μ n

xx

n

ii∑

=== 1μ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅−∈

−−−− 1;2

11;2

1;

nxnx tsxtsx ααμ

Dispersija σ2 1

)(1

2

22

−

−==∑=

n

xxs

n

ii

σ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅−⋅

∈−−−

2

1;2

2

2

1;2

1

22 )1(;)1(

nn

nsns

αα χχσ

nssx = – standartinė vidurkio paklaida;

1;2

1 −−⋅=Δ

nxx ts α – maksimali vidurkio paklaida

Q – pasikliovimo lygmuo, α = 1 – Q.

1;

21 −− n

t α =1;

2−

−n

tα ⇒ = TINV(α; n – 1) ; 2

1;2

−nαχ ⇒ = CHIINV(2

1 α− ; n-1)

Parametras Taškinis įvertis Asimetrijos koeficientas γ1

31

2

11

)(

)2)(1( s

xx

nnng

n

ii∑

=

−

−−==γ)

Eksceso koeficientas γ2

)3)(2()1(3

)(

)3)(2)(1()1( 2

41

4

22 −−−

−−

−−−+

==∑=

nnn

s

xx

nnnnng

n

ii

γ)

Parametrų įverčiai skaičiuojami naudojant Excel duomenų analizės uždavinių posistemį, kuris iškviečiamas: Tools, Data Analysis, Descriptive Statistics (plačiau priede).

Mean Vidurkis x Standard Error Standartinė vidurkio paklaida xs Median Mediana md Mode Moda mo Standard Deviation Standartinis nuokrypis s Sample Variance Dispersija 2s

Kurtosis Eksceso koeficientas g2 Skewness Asimetrijos koeficientas g1 Range Imties plotis w Minimum Mažiausia imties reikšmė xmin Maximum Didžiausia imties reikšmė xmax

Sum Imties reikšmių suma ∑=

n

iix

1

Count Imties reikšmių kiekis (imties tūris) n Confidence Level for Mean Maksimali vidurkio įverčio paklaida xΔ

Imties tūris, kad nebūtų viršyta numatyta paklaida 0Δ , apskaičiuojamas taip:

2

0

1;2

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Δ

⋅≥

−−st

mnα

63

11. 1 p a v y z d y s . Duoti imties X duomenys. 8 5 4 8 9 5 7

Raskite populiacijos vidurkio ir dispersijos taškinius bei intervalinius įverčius. Pasikliovimo lygmuo Q = 0,95. Sprendimas

Vidurkio taškinis įvertis apskaičiuojamas taip:

n

xx

n

ii∑

=== 1μ) = 7

7598458 ++++++ = 6,571.

Dispersijos taškinis įvertis apskaičiuojamas taip:

1

)(1

2

22

−

−==∑=

n

xxS

n

ii

σ) =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

−−+−+−+−+−+−+−

=17

571,67571,65571,69571,68571,64571,65571,68 2222222

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

+−+++−+−+=

6429,0571,1429,2429,1571,2571,1429,1 2222222

=++++++

=6

185,0469,2901,5043,2611,6469,2043,2=

6721,21 3,620.

Vidurkio pasikliautinajam intervalui ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅−

−− 1;2

1;2

;nxnx tsxtsx αα nustatyti reikia apskaičiuoti

standartinę paklaidą xs ir Stjudento skirstinio 2

12

Q−=

α lygmens kvantilio reikšmę:

standartinė vidurkio paklaida apskaičiuojama pagal formulę nssx = , čia

.903,1620,32 === ss Tada 719,07

903,1==xs .

Stjudento skirstinio 205,01

295,011

21 −=

−−=−

α lygmens kvantilis 17;

205,01 −−

t

apskaičiuojamas naudojantis lentelėmis (priedas) arba Excel funkcija = TINV(0,05;6). Taigi 447,2

6;205,01

=−

t .

Tada 759,1447,2719,01;

21

=⋅=⋅−− nx ts α ,

o pasikliautinasis intervalas [ ]759,1571,6;759,1571,6 −− . Iš čia [ ]33,8;812,4∈μ .

Norint apskaičiuoti dispersijos pasikliautinąjį intervalą ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅−⋅

−−−

2

1;2

2

2

1;2

1

2 )1(;)1(

nn

nsns

αα χχ, pirmiausia reikia

apskaičiuoti Chi kvadrato skirstinio kvantilių reikšmes:

17;2

1 05,0 −−χ = 14,449; = CHIINV(0,05/2; 6)

17;205,0 −

χ = 1,237. = CHIINV(1 – 0,05/2; 6)

64

Tada dispersijos pasikliautinasis intervalas atrodo taip: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅−⋅237,1

)17(620,3;449,14

)17(620,3 . Iš čia

[ ]554,17;503,12 ∈σ . Atsakymas:

x=μ) = 6,571, [ ]33,8;812,4∈μ , kai Q = 0,95; 22 s=σ) = 3,620, [ ]554,17;503,12 ∈σ , kai Q = 0,95.

11. 2 p a v y z d y s . Apklausus studentus apie jų išlaidas pramogoms (Lt / mėn), gauti tokie duomenys.

0 50 20 10 100 100 50 50 40 40 50 50 70 20 10 80 40 40 0 0 10 20 40 40

Raskite:

a) vidurkio, dispersijos, standartinio nuokrypio, asimetrijos ir eksceso koeficientų taškinius įverčius;

b) vidurkio pasikliautinąjį intervalą (Q = 95 proc.) Sprendimas

Skaičiavimus atliekame skaičiuoklės Excel pagalba. Suvedę pradinius duomenis, taškinius įverčius ir maksimalią vidurkio paklaidą randame pasinaudoję įrankiu Tools → Data Analysis... → Descriptive Statistics. Žemiau pateikti šios užduoties sprendimo bendri principai Excel pagalba:

Užrašome taškinius parametrų įverčius x=μ) = 38,75; 22 s=σ) = 820,11; s=σ) = 28,64; 11 g=γ) = 0,609; 22 g=γ) = 0,29

Kadangi maksimali vidurkio paklaida xΔ = 12,09 (Q = 0,95), tai vidurkio pasikliautinasis intervalas [38,75 – 12,09; 38,75 + 12,09], t.y., [ ]50,84 26,66;∈μ

65

Atsakymas: Taškiniai įverčiai: vidurkio – x=μ) = 38,75; dispersijos – 22 s=σ) = 820,11; standartinio nuokrypio – s=σ) = 28,64; asimetrijos koeficiento – 11 g=γ) = 0,609; eksceso koeficiento – 22 g=γ) = 0,29. Vidurkio pasikliautinasis intervalas – [ ]50,84 26,66;∈μ


1. Raskite populiacijos vidurkio, dispersijos, standartinio nuokrypio taškinius įverčius, jei imtis: 6 4 8 4 5 3

2. Norint išsiaiškinti, kiek laiko studentai praleidžia savarankiškai mokydamiesi, buvo apklausta grupė studentų. Apskaičiuokite studentų laiko, praleisto besimokant, vidurkio ir dispersijos pasikliautinuosius intervalus (Q = 0,95), jei imties duomenys:

10 12 15 17 18 14 19 9 8 9 12 16 5 12 10 9 9 14 15 8

3. Žinomi imties duomenys: 4 6 7 8 5 9 7 8 5 4 3 8 7 6 10 2 12 7 6 5 9 8 7 3 4 11 6 5 8 5

Raskite vidurkio, dispersijos, standartinio nuokrypio, asimetrijos ir eksceso koeficientų taškinius įverčius.

Atsakymai: 1. == xμ) 5; 22 s=σ) =3,2; s=σ) = 1,79. 2. [ ]84,13;27,10∈μ ; [ ]10,31;43,82 ∈σ 3. == xμ) 6,5; 22 s=σ) =5,64; s=σ) =2,37; 11 g=γ) = 0,298; 22 g=γ) = - 0,09.

66

3. 4. Statistinės išvados: parametrinės hipotezės

Pasinaudodami imties duomenimis darome išvadą apie populiacijos nežinomą parametrą. Hipotezės apie vidurkio (parametras μ) reikšmę tikrinimas:

H0 Ha Statistika Kritinė sritis

μ ≠ μ0 1;2

1 −−≥

ntT α

μ > μ0 1;1 −−≥ ntT α

σ nežinomas

μ = μ0

μ < μ0

xsxT 0μ−= ,

čia nssx = -

standartinė paklaida 1;1 −−−≤ ntT α

Hipotezės apie dispersijos (parametras σ2) reikšmę tikrinimas:


σ2 ≠ 20σ

2

1;2

2

−≤

nαχχ ir 2

1;2

1

2

−−≥

nαχχ

σ2 > 20σ 2

1;12

−−≥ nαχχ

μ nežinomas

σ2 = 20σ

σ2 < 20σ

20

22 )1(

σχ sn ⋅−

=

21;

2−≤ nαχχ

Hipotezės apie vidurkių lygybę tikrinimas:


μA ≠ μB ktT

;2

1 α−

≥

μA > μB ktT ;1 α−≥

μA, μB, σA, σB nežinomi

μA = μB

μA < μB ns

ms

xxTBA

BA22

+

−=

ktT ;1 α−−≤

1;1 −− nt α ⇒ = TINV(2⋅α; n-1)

1;2

1 −− nt α ⇒ = TINV(α; n-1)

21;1 −− nαχ ⇒ = CHIINV(α; n-1)

21; −nαχ ⇒ = CHIINV(1-α; n-1)

α - reikšmingumo lygmuo n – imties tūris

Laisvės laipsnių skaičius k yra mažiausias sveikasis skaičius, atitinkantis sąlygą

11

2222

222

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≤

nns

mms

ns

ms

kBA

BA

Hipotezė apie vidurkių lygybę tikrinama: Tools → Data Analysis… → t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances (žr. 6 priedą).

67

12. 1 p a v y z d y s . Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis. Atlikus n = 20 bandymų gauta imtis ir nustatyta, kad x = 4,35, s 2 = 0,2. Ar galime teigti, kad atsitiktinio dydžio vidurkis didesnis už μ0 = 4,3, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,05? Sprendimas

1. Formuluojame hipotezę:

⎩⎨⎧

>=

3,4:3,4:0

μμ

aHH

.

2. Skaičiuojame statistiką T: a) randame standartinį nuokrypį 447,02 == ss ;

b) randame standartinę paklaidą 1,0472,4447,0

20447,0

====nssx ;

c) apskaičiuojame statistiką T:

5,01,005,0

1,03,435,40 ==

−=

−=

xsxT μ .

3. Nustatome kritinę sritį: Kadangi alternatyva yra 0: μμ >aH , tai kritinė sritis – vienpusė dešininė. Randame 1;1 −− nt α :

120;05,01 −−t ⇒ =TINV(2*0,05; 19) ⇒ 1,7109. Kritinė sritis yra [1,7109; ∞).

4. Darome išvadą: Kadangi statistika T nepateko į kritinę sritį, tai pasirenkame nulinę hipotezę H0, o alternatyvią hipotezę Ha, kad atsitiktinio dydžio vidurkis didesnis už 4,3, atmetame. Atsakymas: negalime teigti, kad atsitiktinio dydžio vidurkis didesnis už μ0 = 4,3 (reikšmingumo lygmuo 0,05).

12. 2 p a v y z d y s . Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis. Atlikus n = 20 bandymų gauta imtis ir nustatyta, kad x = 4,27, 2s = 0,05. Ar galime teigti, kad atsitiktinio dydžio vidurkis mažesnis už μ0 = 4,3, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,1? Sprendimas


⎩⎨⎧

<=

3,4:3,4:0

μμ

aHH

.

2. Skaičiuojame statistiką T: a) randame standartinį nuokrypį 224,02 == ss ;

b) randame standartinę paklaidą 05,0472,4224,0

20224,0

====nssx ;

c) apskaičiuojame statistiką T:

1,7109 0,5

T

68

6,005,003,0

05,003,0

05,03,427,40 −=

−=

−=

−=

−=

xsxT μ .

3. Nustatome kritinę sritį: Kadangi alternatyva yra 0: μμ <aH , tai kritinė sritis – vienpusė kairinė. Randame – 1;1 −− nt α :

120;1,01 −−t ⇒ =TINV(2*0,1; 19) ⇒ 1,3277 ⇒ – 120;1,01 −−t = – 1,3277. Kritinė sritis yra ( – ∞; – 1,3277].

4. Darome išvadą: Kadangi statistika T nepateko į kritinę sritį, tai pasirenkame nulinę hipotezę H0, o alternatyvią hipotezę, kad atsitiktinio dydžio vidurkis mažesnis už 4,3, atmetame. Atsakymas: negalime teigti, kad atsitiktinio dydžio vidurkis mažesnis už μ0 = 4,3 (reikšmingumo lygmuo 0,1).

12. 3 pavyzdys. Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis. Atlikus bandymus gauta imtis:

12,9 9,7 13,1 13,2 13,7 14,7 10,3 12,4 13,1 11,8 Patikrinkite hipotezę, kad atsitiktinio dydžio vidurkis lygus μ0 = 12, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,1. Sprendimas


⎩⎨⎧

≠=

12:12:0

μμ

aHH

.

2. Randame taškinius įverčius: vidurkio:

( ) 49,128,111,134,123,107,147,132,131,137,99,12101

101 10

1

=+++++++++== ∑=i

ixx ;

dispersijos:

∑=

=−−

=n

iixs

1

22 314,2)49,12(110

1 ;

standartinio nuokrypio: 521,12 == ss

ir standartinę paklaidą:

481,0==nssx .

3. Skaičiuojame statistiką T:

019,1481,0

1249,120 =−

=−

=xs

xT μ .

– 1,3277 – 0,6

T

69

3. Nustatome kritinę sritį: Kadangi alternatyva yra 0: μμ ≠aH , tai kritinė sritis – dvipusė. Randame

1;2

1 −− nt α :

)110(;21,01 −−

t ⇒ =TINV(0,1; 9) ⇒ 1,833.

Kritinė sritis yra ( – ∞; – 1,833] ∪ [1,833; ∞).

5. Darome išvadą: Kadangi statistika T nepateko į kritinę sritį, tai pasirenkame nulinę hipotezę H0. Taigi galime teigti, kad atsitiktinio dydžio vidurkis lygus 12, kai reikšmingumo lygmuo 0,1. Atsakymas: galima teigti, kad atsitiktinio dydžio vidurkis lygus μ0 = 12, kai reikšmingumo lygmuo 0,1.

12. 4 p a v y z d y s . Tiriamas traktorių skaičius ūkininkų ūkiuose. Apdoroti duomenų taškiniai įverčiai pateikti 5 lentelėje. Ar galime teigti, kad ūkininkai vidutiniškai turi daugiau kaip 2 traktorius, kai reikšmingumo lygmuo 0,05? Sprendimas


⎩⎨⎧

>=

2:2:0

μμ

aHH

.

2. Randame taškinius įverčius Iš 1 lentelės nustatome, kad x = [Mean] = 2,56; xs = [Standard Error] = 0,265. 3. Skaičiuojame statistiką T:

113,2265,0

256,20 =−

=−

=xs

xT μ .

4. Nustatome kritinę sritį: Kadangi alternatyva yra 0: μμ >aH , tai kritinė sritis – vienpusė dešininė. Randame )1(;1 −− nt α :

)125(;05,01 −−t ⇒ = TINV(2*0,05; 24) ⇒ 1,7109. Kritinė sritis yra [1,7109; ∞).

5 lentelė.Column1

Mean 2,56Standard Error 0,265079Median 2Mode 1Standard Deviation 1,325393Sample Variance 1,756667Kurtosis -1,07997Skewness 0,326422Range 4Minimum 1Maximum 5Sum 64Count 25

1,833 – 1,833 1,019

T

1,7109 2,113

T

70

5. Darome išvadą: Kadangi statistika T pateko į kritinę sritį, tai atmetame nulinę hipotezę H0, o alternatyvią hipotezę Ha, kad atsitiktinio dydžio vidurkis didesnis už 2, pasirenkame. Atsakymas: galime teigti, kad ūkininkai vidutiniškai turi daugiau kaip 2 traktorius (reikšmingumo lygmuo 0,05).

1 2 . 5 p a v y z d y s . Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis. Atlikus n = 15 bandymų gauta imtis ir nustatyta, kad x = 4,27, 2s = 0,05. Ar galime teigti, kad atsitiktinio dydžio dispersija mažesnė už 2

0σ = 0,06, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,1? Sprendimas


⎩⎨⎧

<=

06,0:06,0:

2

20

σσ

aHH

.

2. Skaičiuojame statistiką χ2:

667,1106,0

05,0)115()1(20

22 =

⋅−=

⋅−=

σχ sn .

3. Nustatome kritinę sritį: Kadangi alternatyva yra 2

02: σσ <aH , tai kritinė sritis – vienpusė kairinė. Randame 2

1; −nαχ 2

115;1,0 −χ ⇒ = CHIINV(1 – 0,1; 15 – 1) ⇒ 7,789. Kritinė sritis yra ( 0; 7,789].

4. Darome išvadą: Kadangi statistika χ2 nepateko į kritinę sritį, tai pasirenkame nulinę hipotezę H0, o alternatyvią hipotezę Ha, kad atsitiktinio dydžio dispersija mažesnė už 0,06, atmetame. Atsakymas: negalime teigti, kad atsitiktinio dydžio vidurkis dispersija mažesnė už 0,06, kai reikšmingumo lygmuo 0,1.

1 2 . 6 p a v y z d y s . Firma, fasuojanti morkų sėklas, teigia, kad pakuotėje esančių sėklų svorio paklaidų standartinis nuokrypis neviršija 3 g. Ištyrus 25 pakuotes, rasta, kad standartinis nuokrypis s = 4 g. Ar galime manyti, kad firmos teiginys teisingas (α = 0,05)? Sprendimas

1. Formuluojame hipotezę (ne standartiniam nuokrypiui, o dispersijai):

⎩⎨⎧

>=

22

220

3:3:

σσ

aHH

.

7,789 11,667

χ2

71

2. Apskaičiuojame statistiką χ2:

667,4291624

34)125()1(

2

2

20

22 =

⋅=

⋅−=

⋅−=

σχ sn .

3. Nustatome kritinę sritį: Kadangi alternatyva yra 2

02: σσ >aH , tai kritinė sritis – vienpusė dešininė. Randame 2

)1(;1 −− nαχ 2

)125(;05,01 −−χ ⇒ = CHIINV(0,05; 25 – 1) ⇒ 36,415. Kritinė sritis yra [36,415; ∞).

4. Darome išvadą: Kadangi statistika χ2 pateko į kritinę sritį, tai nulinę H0 hipotezę atmetame. Atsakymas: firmos teiginys neteisingas: nurodytas ir tyrimo metu gautas sklaidos skirtumas statistiškai reikšmingas (α = 0,05).

12. 7 p a v y z d y s . Produkcija gaminama laikantis dviejų technologijų. Bandymui buvo paimti 6 būdu A ir 5 būdu B pagaminti gaminiai. Ištyrus nustatyta, kad vidutiniškai žaliavų sąnaudos produkcijos vienetui gaminant A būdu yra Ax = 2,93 g ir dispersija 2

As =0,134, o B būdu yra Bx = 3,28 g ir dispersija 2

Bs =0,237. Ar galime teigti, kad žaliavų sąnaudos gaminant pagal abi technologijas yra vienodos (reikšmingumo lygmuo α = 0,01)? Sprendimas


⎩⎨⎧

≠=

BAa

BA

HH

μμμμ

::0 .

2. Apskaičiuojame statistiką T:

312,1

5237,0

6134,0

28,393,222

−=+

−=

+

−=

ns

ms

xxTBA

BA .

3. Nustatome kritinę sritį: Kadangi alternatyva yra BAaH μμ ≠: , tai kritinė sritis – dvipusė. Randame

kt

;2

1 α−

.

Pirmiausia nustatome laisvės laipsnių skaičių k:

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≤

155237,0

166134,0

5237,0

6134,0

11

22

2

2222

222

nns

mms

ns

ms

kBA

BA

7,352 ⇒ k =7.

Taigi 7;

201,01−

t = TINV(0,01; 7) ⇒ 3,499.

36,415 42,667

χ2

72

Kritinė sritis yra (∞ ; - 3,499] ∪ [3,499; ∞).

4. Darome išvadą: Kadangi statistika T nepateko į kritinę sritį, tai pasirenkame nulinę hipotezę. Atsakymas: stebėjimo duomenys neprieštarauja hipotezei – žaliavų sąnaudos gaminant pagal abi technologijas yra vienodos (reikšmingumo lygmuo α = 0,01).

1 2 . 8 p a v y z d y s . Apklausus atsitiktinai parinktus dviejų grupių studentus apie jų išlaidas pramogoms, gauti tokie duomenys:

I 30 50 40 30 100 80 45 90 100 56 20 15 100 30 II 40 60 80 70 10 10 30 60 90 120 30

Ar galime teigti, kad pirmosios grupės studentai pramogoms išleidžia daugiau (reikšmingumo lygmuo α = 0,01)? Sprendimas


⎩⎨⎧

>=

IIIa

III

HH

μμμμ

::0

2. Statistikai T ir kritinei sričiai nustatyyi naudojamės Tools → Data Analysis… → t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances (plačiau 6 priede). Microsoft Excel pagalba gauti rezultatai pateikti 6 lentelėje. Nustatome, kad T = 0,119352 ≈ 0,119 (t.y., t Stat reikšmė). Kadangi alternatyva yra IIIaH μμ >: , tai kritinė sritis – vienpusė dešininė. Iš lentelės randame kt ;1 α− = 2,517645 ≈ 2,518 (t.y., t Critical one-tail reikšmė). Kritinė sritis yra [2,518; ∞).

3. Darome išvadą: Kadangi statistika T nepateko į kritinę sritį, tai pasirenkame nulinę hipotezę H0.

6 lentelė t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances

Variable 1 Variable 2Mean 56,14286 54,54545

Variance 996,7473 1187,273Observations 14 11Hypothesized Mean Difference 0 df 21 t Stat 0,119352 P(T<=t) one-tail 0,453065

t Critical one-tail 2,517645 P(T<=t) two-tail 0,906131

t Critical two-tail 2,831366

– 3,499

T

3,499 – 1,312

T

2,518 0,119

73

Atsakymas: negalime teigti, kad pirmosios grupės studentai pramogoms išleidžia daugiau, nei antros grupės studentai (reikšmingumo lygmuo α = 0,01).


1. Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis. Atlikus bandymus gauta imtis: 15 18,1 15,2 14,3 13,5 13,1 11,3 15,8 16,3 15,9.

Patikrinkite hipotezę, kad atsitiktinio dydžio vidurkis lygus μ0 = 14, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,1.

2. Buvo atliekamas tyrimas, kiek kilogramų grūdų produktų per metus suvartoja Kaukėnų miestelio gyventojai. Respondentų atsakymai pateikti lentelėje:

132 129 134 137 137 138 126 132 136 130 131 128 127 130 131.Ar galima teigti, kad grūdų produktų vidutiniškai suvartojama daugiau kaip 130 kg (reikšmingumo lygmuo α = 0,05)?

3. Lentelėje pateiktas atsitiktinai parinktuose ūkininkų ūkiuose X metais buvęs vasarinių kviečių derlingumas (100 kg iš 1 ha)

30,0 31,7 31,9 24,6 34,7 29,3 30,3 31,4 32,3 28,3 25,5 29,7.Ar galima teigti, kad tais metais derlingumas buvo mažesnis nei 30 (reikšmingumo lygmuo α = 0,05)?

4. Žinoma, kad atsitiktinis dydis X yra normalusis. Atlikus n = 12 bandymų gauta imtis ir nustatyta, kad x = 2,56, 2s = 0,02. Ar galime teigti, kad atsitiktinio dydžio dispersija didesnė už

20σ = 0,15, kai reikšmingumo lygmuo α = 0,1?

5. Ūkininkė, gaminanti ekologiškas morkų sultis, teigia, kad pilstomų sulčių standartinis kvadratinis nuokrypis yra 0,02 l. Ištyrus 20 pakuočių turinį rasta, kad standartinis nuokrypis s = 0,03 l. Ar galime manyti, kad sulčių pilstymo automatas veikia teisingai (α = 0,05)?

6. Atliekant tyrimą buvo lyginamos 2 dietos − Agurkų ir Obuolių. 20 antsvorio turinčių suaugusių 27–42 metų asmenų atsitiktiniu būdu buvo suskirstyti į dvi grupes ir jiems skirta viena iš dietų. Gydytojas ir dietologas 2 mėnesius kiekvieną mokė paskirtos mitybos programos. Visi tiriamieji asmenys buvo sveriami prieš pradedant laikytis dietos ir tyrimo pabaigoje. Lentelėje pateikti duomenys, kiek jie numetė svorio (kg). Ar galime teigti, kad Agurkų dieta yra veiksmingesnė (reikšmingumo lygmuo α = 0,05)? Agurkų 2,9 4 3,5 2 3,1 2,1 1,2 2 2,4 3,8 Obuolių 0,9 6,1 2,5 3 1,3 0,1 1,5 3,1 2,7 2,8

Atsakymai: 1. 14: ≠μaH ; | T = 1,412| < t = 1,833 ⇒ pasirenkama hipotezė H0– galima teigti, kad atsitiktinio dydžio vidurkis lygus 14 (α = 0,1). 2. 130: >μaH ; T = 1,905 > t = 1,761 ⇒ hipotezė H0 atmetama, pasirenkama alternatyvioji – galima teigti, kad gyventojas vidutiniškai suvartoja per metus daugiau kaip 130 kg grūdų produktų (α = 0,05). 3. 30: <μaH ; T = −0,03 > − t = − 1,796 ⇒ pasirenkama hipotezė H0, atmetama alternatyvioji – negalima teigti, kad X metais vasarinių kviečių derlingumas buvo mažesnis už 30 (α = 0,05). 4. 15,0: 2 >σaH ; =2χ 1,47 < 2

11;9,0χ = 17,27 ⇒ pasirenkama hipotezė H0, atmetama alternatyvioji – negalima

teigti, kad atsitiktinio dydžio dispersija didesnė už 0,15 (α = 0,1). 5. 0004,0: 2 =σaH . =2χ 8,44; 2

19;025,0χ =9,06; 211;95,0χ = 32,85 ⇒ kadangi 2χ < 2

19;025,0χ , tai nulinė hipotezė

atmetama ir negalime sutikti su ūkininkės teiginiu, sulčių pilstymo automatas veikia teisingai (α = 0,05). 6. ObAgaH μμ >: ; T = 0,0501 < t = 1,761 ⇒ pasirenkama hipotezė H0, atmetama alternatyvioji – abiejų dietų

veiksmingumas panašus (α = 0,05).

74

Literatūra

1. Aksomaitis A. Tikimybių teorija ir statistika. – Kaunas: Technologija, 2002.

2. Bačinskas A., Janilionis V., Jokimaitis A. Tikimybių teorija ir statistikos praktikumas:

mokomoji knyga. – Kaunas: Technologija, 2004.

3. Bakštys A. Statistika ir tikimybė. – Vilnius: TEV, 2006.

4. Čekanavičius V., Murauskas G. Statistika ir jos taikymai. I dalis. – Vilnius: TEV, 2001.

5. Kaminskienė J. Tikimybių teorija ir matematinė statistika. – Kaunas: LŽŪU LC, 2008.

6. Kaminskienė J. Tikimybių teorijos praktikumas. – Kaunas: LŽŪU LC, 2005.

7. Liubertienė J. Aukštosios matematikos konspektas Agronomijos fakulteto studentams. I

dalis. – Kaunas: LŽŪU LC, 2005.

8. Pekarskas V. Trumpas matematikos kursas. – Kaunas: Technologija, 2005.

9. Rupšys P. Statistikos pagrindai. – Kaunas: LŽŪU LC, 2006.

10. Vilkelienė R., Didžgalvis R. Tiesinė algebra. – Kaunas: LŽŪU LC, 2006.

75

Priedai

1 priedas. Standartinio normaliojo atsitiktinio dydžio skirstinio funkcijos Φ(x) reikšmės.

x Φ (x) x Φ (x) x Φ (x) x Φ (x) x Φ (x) x Φ (x)0,00 0,5000 0,43 0,6664 0,86 0,8051 1,29 0,9015 1,72 0,9573 2,30 0,98930,01 0,5040 0,44 0,6700 0,87 0,8078 1,30 0,9032 1,73 0,9582 2,32 0,98980,02 0,5080 0,45 0,6736 0,88 0,8106 1,31 0,9049 1,74 0,9591 2,34 0,99040,03 0,5120 0,46 0,6772 0,89 0,8133 1,32 0,9066 1,75 0,9599 2,36 0,99090,04 0,5160 0,47 0,6808 0,90 0,8159 1,33 0,9082 1,76 0,9608 2,38 0,99130,05 0,5199 0,48 0,6844 0,91 0,8186 1,34 0,9099 1,77 0,9616 2,40 0,99180,06 0,5239 0,49 0,6879 0,92 0,8212 1,35 0,9115 1,78 0,9625 2,42 0,99220,07 0,5279 0,50 0,6915 0,93 0,8238 1,36 0,9131 1,79 0,9633 2,44 0,99270,08 0,5319 0,51 0,6950 0,94 0,8264 1,37 0,9147 1,80 0,9641 2,46 0,99310,09 0,5359 0,52 0,6985 0,95 0,8289 1,38 0,9162 1,81 0,9649 2,48 0,99340,10 0,5398 0,53 0,7019 0,96 0,8315 1,39 0,9177 1,82 0,9656 2,50 0,99380,11 0,5438 0,54 0,7054 0,97 0,8340 1,40 0,9192 1,83 0,9664 2,52 0,99410,12 0,5478 0,55 0,7088 0,98 0,8365 1,41 0,9207 1,84 0,9671 2,54 0,99450,13 0,5517 0,56 0,7123 0,99 0,8389 1,42 0,9222 1,85 0,9678 2,56 0,99480,14 0,5557 0,57 0,7157 1,00 0,8413 1,43 0,9236 1,86 0,9686 2,58 0,99510,15 0,5596 0,58 0,7190 1,01 0,8438 1,44 0,9251 1,87 0,9693 2,60 0,99530,16 0,5636 0,59 0,7224 1,02 0,8461 1,45 0,9265 1,88 0,9699 2,62 0,99560,17 0,5675 0,60 0,7257 1,03 0,8485 1,46 0,9279 1,89 0,9706 2,64 0,99590,18 0,5714 0,61 0,7291 1,04 0,8508 1,47 0,9292 1,90 0,9713 2,66 0,99610,19 0,5753 0,62 0,7324 1,05 0,8531 1,48 0,9306 1,91 0,9719 2,68 0,99630,20 0,5793 0,63 0,7357 1,06 0,8554 1,49 0,9319 1,92 0,9726 2,70 0,99650,21 0,5832 0,64 0,7389 1,07 0,8577 1,50 0,9332 1,93 0,9732 2,72 0,99670,22 0,5871 0,65 0,7422 1,08 0,8599 1,51 0,9345 1,94 0,9738 2,74 0,99690,23 0,5910 0,66 0,7454 1,09 0,8621 1,52 0,9357 1,95 0,9744 2,76 0,99710,24 0,5948 0,67 0,7486 1,10 0,8643 1,53 0,9370 1,96 0,9750 2,78 0,99730,25 0,5987 0,68 0,7517 1,11 0,8665 1,54 0,9382 1,97 0,9756 2,80 0,99740,26 0,6026 0,69 0,7549 1,12 0,8686 1,55 0,9394 1,98 0,9761 2,82 0,99760,27 0,6064 0,70 0,7580 1,13 0,8708 1,56 0,9406 1,99 0,9767 2,84 0,99770,28 0,6103 0,71 0,7611 1,14 0,8729 1,57 0,9418 2,00 0,9772 2,86 0,99790,29 0,6141 0,72 0,7642 1,15 0,8749 1,58 0,9429 2,02 0,9783 2,88 0,99800,30 0,6179 0,73 0,7673 1,16 0,8770 1,59 0,9441 2,04 0,9793 2,90 0,99810,31 0,6217 0,74 0,7704 1,17 0,8790 1,60 0,9452 2,06 0,9803 2,92 0,99820,32 0,6255 0,75 0,7734 1,18 0,8810 1,61 0,9463 2,08 0,9812 2,94 0,99840,33 0,6293 0,76 0,7764 1,19 0,8830 1,62 0,9474 2,10 0,9821 2,96 0,99850,34 0,6331 0,77 0,7794 1,20 0,8849 1,63 0,9484 2,12 0,9830 2,98 0,99860,35 0,6368 0,78 0,7823 1,21 0,8869 1,64 0,9495 2,14 0,9838 3,00 0,998650,36 0,6406 0,79 0,7852 1,22 0,8888 1,65 0,9505 2,16 0,9846 3,20 0,9993130,37 0,6443 0,80 0,7881 1,23 0,8907 1,66 0,9515 2,18 0,9854 3,40 0,9996630,38 0,6480 0,81 0,7910 1,24 0,8925 1,67 0,9525 2,20 0,9861 3,60 0,9998410,39 0,6517 0,82 0,7939 1,25 0,8944 1,68 0,9535 2,22 0,9868 3,80 0,9999280,40 0,6554 0,83 0,7967 1,26 0,8962 1,69 0,9545 2,24 0,9875 4,00 0,9999680,41 0,6591 0,84 0,7995 1,27 0,8980 1,70 0,9554 2,26 0,9881 4,50 0,9999970,42 0,6628 0,85 0,8023 1,28 0,8997 1,71 0,9564 2,28 0,9887 5,00 1,000000

Φ( – x) = 1 – Φ(x).

76

2 priedas. Stjudento skirstinio kvantiliai ν;pt .

p ν 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995

1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 ∞ 1,282 1,645 1,96 2,326 2,576

νν ;1; pp tt −−= .

p

α = 1 – p

tp; ν

77

3 priedas. Chi kvadrato skirstinio kvantiliai 2,νχ p

p

ν 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 1 0,0158 0,0039 0,0010 0,0002 0,0000 2,7055 3,8415 5,0239 6,6349 7,8794 2 0,2107 0,1026 0,0506 0,0201 0,0100 4,6052 5,9915 7,3778 9,2104 10,5965 3 0,5844 0,3518 0,2158 0,1148 0,0717 6,2514 7,8147 9,3484 11,3449 12,8381 4 1,0636 0,7107 0,4844 0,2971 0,2070 7,7794 9,4877 11,1433 13,2767 14,8602 5 1,6103 1,1455 0,8312 0,5543 0,4118 9,2363 11,0705 12,8325 15,0863 16,7496 6 2,2041 1,6354 1,2373 0,8721 0,6757 10,6446 12,5916 14,4494 16,8119 18,5475 7 2,8331 2,1673 1,6899 1,2390 0,9893 12,0170 14,0671 16,0128 18,4753 20,2777 8 3,4895 2,7326 2,1797 1,6465 1,3444 13,3616 15,5073 17,5345 20,0902 21,9549 9 4,1682 3,3251 2,7004 2,0879 1,7349 14,6837 16,9190 19,0228 21,6660 23,5893

10 4,8652 3,9403 3,2470 2,5582 2,1558 15,9872 18,3070 20,4832 23,2093 25,1881 11 5,5778 4,5748 3,8157 3,0535 2,6032 17,2750 19,6752 21,9200 24,7250 26,7569 12 6,3038 5,2260 4,4038 3,5706 3,0738 18,5493 21,0261 23,3367 26,2170 28,2997 13 7,0415 5,8919 5,0087 4,1069 3,5650 19,8119 22,3620 24,7356 27,6882 29,8193 14 7,7895 6,5706 5,6287 4,6604 4,0747 21,0641 23,6848 26,1189 29,1412 31,3194 15 8,5468 7,2609 6,2621 5,2294 4,6009 22,3071 24,9958 27,4884 30,5780 32,8015 16 9,3122 7,9616 6,9077 5,8122 5,1422 23,5418 26,2962 28,8453 31,9999 34,2671 17 10,0852 8,6718 7,5642 6,4077 5,6973 24,7690 27,5871 30,1910 33,4087 35,7184 18 10,8649 9,3904 8,2307 7,0149 6,2648 25,9894 28,8693 31,5264 34,8052 37,1564 19 11,6509 10,1170 8,9065 7,6327 6,8439 27,2036 30,1435 32,8523 36,1908 38,5821 20 12,4426 10,8508 9,5908 8,2604 7,4338 28,4120 31,4104 34,1696 37,5663 39,9969 21 13,2396 11,5913 10,2829 8,8972 8,0336 29,6151 32,6706 35,4789 38,9322 41,4009 22 14,0415 12,3380 10,9823 9,5425 8,6427 30,8133 33,9245 36,7807 40,2894 42,7957 23 14,8480 13,0905 11,6885 10,1957 9,2604 32,0069 35,1725 38,0756 41,6383 44,1814 24 15,6587 13,8484 12,4011 10,8563 9,8862 33,1962 36,4150 39,3641 42,9798 45,5584 25 16,4734 14,6114 13,1197 11,5240 10,5196 34,3816 37,6525 40,6465 44,3140 46,9280 26 17,2919 15,3792 13,8439 12,1982 11,1602 35,5632 38,8851 41,9231 45,6416 48,2898 27 18,1139 16,1514 14,5734 12,8785 11,8077 36,7412 40,1133 43,1945 46,9628 49,6450 28 18,9392 16,9279 15,3079 13,5647 12,4613 37,9159 41,3372 44,4608 48,2782 50,9936 29 19,7677 17,7084 16,0471 14,2564 13,1211 39,0875 42,5569 45,7223 49,5878 52,3355 30 20,5992 18,4927 16,7908 14,9535 13,7867 40,2560 43,7730 46,9792 50,8922 53,6719 40 29,0505 26,5093 24,4331 22,1642 20,7066 51,8050 55,7585 59,3417 63,6908 66,7660 50 37,6886 34,7642 32,3574 29,7067 27,9908 63,1671 67,5048 71,4202 76,1538 79,4898

2

,νχ p

p

α = 1 – p

78

4 priedas. Statistinės Excel funkcijos

MAX(duomenų_sritis) Randa didžiausią skaičių pateiktųjų skaičių saraše xmax

MIN(duomenų_sritis) Randa mažiausią skaičių pateiktųjų skaičių saraše xmin

AVERAGE(duomenų_sritis) Randa pateiktų skaičių aritmetinį vidurkį x

MODE(duomenų_sritis) Randa pateiktų skaičių modą mo

MEDIAN(duomenų_sritis) Randa pateiktų skaičių medianą me

QUARTILE(duomenų_sritis; kvartilis) Randa pateiktų skaičių kvartilį

STDEV(duomenų_sritis) Apskaičiuoja imties standartinį nuokrypį S

STDEVP(duomenų_sritis) Apskaičiuoja populiacijos standartinį nuokrypį S0

VAR(duomenų_sritis) Apskaičiuoja imties dispersiją 2S

VARP(duomenų_sritis) Apskaičiuoja populiacijos dispersiją 20S

DEVSQ(duomenų_sritis) Apskaičiuoja nuokrypių nuo vidurkio kvadratų sumą

SUMPRODUCT(duomenų_sritis_1; duomenų_sritis_2) Apskaičiuoja elementų sandaugų sumą

FREQUENCY(duomenų_sritis; grup._ intervalų_sritis) Apskaičiuoja dažnių skirstinį

BINOMDIST(x; bandymų_skaičius; tikimybė; 0) Apskaičiuoja binominio skirstinio reikšmę taške x

BINOMDIST(x; bandymų_skaičius; tikimybė; 1) Apskaičiuoja binominio skirstinio funkcijos reikšmę taške x

NORMDIST(x; vidurkis; st_nuokrypis; 0) Apskaičiuoja normaliojo skirstinio tankio funkcijos reikšmę taške x

NORMDIST(x; vidurkis; st_nuokrypis; 1) Apskaičiuoja normaliojo skirstinio tankio funkcijos reikšmę taške x

NORMINV(tikimybė; vidurkis; st_nuokrypis) Apskaičiuoja normaliojo skirstinio kvantilį xp

TDIST(x; laisvės_laipsnių_sk; 1) Apskaičiuoja Stjudento skirstinio funkcijos reikšmę taške x

TINV(tikimybė; laisvės_laipsnių_sk) Apskaičiuoja Stjudento skirstinio kvantilį tp,v

CHIDIST(x; laisvės_laipsnių_sk) Apskaičiuoja χ2 skirstinio funkcijos reikšmę taške x

CHIINV(tikimybė; laisvės_laipsnių_sk) Apskaičiuoja χ2 skirstinio funkcijos kvantilį

79

5 priedas. Dažnių skaičiavimo funkcijos dialogo dėžutė.

6 priedas. Excel duomenų analizės (Data Analysis) posistemio uždavinių dialogo dėžutės Jei meniu punkte Tools nėra punkto Data Analysis, tai duomenų analizės komponentas nėra įtrauktas į meniu. Tam kad jį įtrauktume, reikia pasirinkiti meniu punktą Tools/Add-ins... ir pažymėti Analysis ToolPak ir paspausti OK – dabar Data Analysis punktas bus įtrauktas į Jūsų Excel programos Tools meniu. 1. Dažnių diagramos (histograma) formavimas atliekama taip: Tools → Data Analysis… → Histogram

Nurodoma imties duomenų sritis

Nurodoma intervalų pabaigos reikšmių sritis. Jei sritis nenurodoma, tuomet šias reikšmes Excel skaičiuoja automatiškai

Nurodoma vieta, kur įrašyti dažnių lentelę.


Nurodoma grupavimo intervalų pabaigų reikšmių sritis

Pažymėjus Pareto (sorted histogram), pateikiama dažnių lentelė, kurioje intervalai surikiuoti dažnių mažėjimo tvarka. Pažymėjus Cumulative Percentage, pateikiama sukauptų dažnių kreivė (skirstinio funkcija). Pažymėjus Chart Output, pateikiama dažnių diagrama (histograma).

80

2. Parametrų įverčiai apskaičiuojami taip: Tools → Data Analysis… → Descriptive Statistics

3. Hipotezė apie vidurkių lygybę tikrinama taip: Tools → Data Analysis… → t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances

Pažymėjus Summary statistics, skaičiuojami pagrindiniai statistiniai parametrai Pažymėjus Confidence Level for Mean ir nurodžius pasikliovimo lygmenį Q, skaičiuojama vidurkio įverčio maksimali paklaida.


Alpha: reikšmingumo lygmuo

Nurodoma pirmosios grupės duomenų sritis

Nurodoma antrosios grupės duomenų sritis

Nurodoma vieta, kur bus talpinami rezultatai

Nurodoma vieta, kur bus talpinami rezultatai

Documents

matematikos ir statistikos uždavinynas