5 tema. Lošimų teorijos metodai

1

5 tema. Lošimų teorijos metodai

Literatūra:1. S. Puškorius. Sprendimų priėmimo teorija.

Kiekybiniai metodai: Vadovėlis: – Vilnius: Lietuvos teisės universiteto Leidybos

centras, 2001. p.p.115-145.

2. S. Puškorius. Matematiniai metodai vadyboje: Vadovėlis: – Vilnius: TEV, 2001.

p.p.263-290

2

Įvadas• Lošimų teorija – sprendimai konfliktinėje situacijoje.• Lošimai su nuline suma – vienas išlošia tiek, kiek pralošia

kitas.• Lošimų matrica – analizės šaltinis.• Ėjimai – variantų pasirinkimai. Jie būna:

• Determinuoti• Atsitiktiniai

• Mišrūs• Strategija – vieno arba kokio nors derinio variantų

pasirinkimas.• Optimali strategija – rekomendacija, kokias strategijas

ir kiek dažnai taikyti, norint maksimizuoti savo išlošį.

• Pagrindinis žaidimo principas – priešininkas ne mažiau protingas.

3

Mokesčių matrica

,,, ... ... ... ... ...

2A

mA

1A

1B 2B 3B jB nB

11a 12a 13a ja1 na1

21a 22a 23a ja2 na2

1ma 3ma2ma mja mna

4

Lošimo uždavinių sprendimo metodai

• Taikant minimakso principą

• Grafiniu būdu

• Analitiniu

• Iteraciniu metodu

• Suformulavus tiesinio programavimo uždavinį

• Sprendimas taikant kompiuterį.

5

Uždavinio formulavimas

1. Savo ir priešininko strategijų numatymas

2. Lošimo matricos sudarymas

3. Matricos redukavimas.

6

Pavyzdys. Turime mokesčių matricą

3 4 2 1 -3

0 2 1 3 2

6 3 0 1 4

3 4 2 1 -3

2A

4A

1A

1B 2B 3B 4B 5B

3A

7

Po redukavimo

3 2 1 -3

0 1 3 2

6 0 1 4

1B

2A

1A

3B 4B 5B

3A

8

Minimakso principo taikymas

3 2 1 -3 -3

0 1 3 2 0

6 0 1 4 0

6 2 3 4

2A

j

1A

1B 3B 4B 5B i

3A

9

Minimakso principo taikymo formulės

1. Mūsų išlošių reikšmės:• Minimalus taikant konkrečią savo strategiją

• Geriausia mūsų strategija

• Apibendrintai

ijji amin

ii max

ijji aminmax

10

Minimakso principo taikymo formulės

1. Priešininko pralošimų reikšmės:• Maksimalus taikant konkrečią priešininko

strategiją

• Geriausia priešininko strategija

• Apibendrintai

ijij amax

jj min

ijij amaxmin

11

Svarbiausios sampratos:

• Apatinė lošimo vertė –

• Viršutinė lošimo vertė –

• Grynoji lošimo vertė –

• Santykis tarp šių rodiklių –

12

Pavyzdžio analizė

• Apatinė lošimo vertė 0• Viršutinė lošimo vertė 2

Išvados: 1. Grynoji lošimo vertė yra tarp 0 ir 2.

2. Norint išlošti daugiau, reikia taikyti strategijų rinkinį.

3. Reikia nustatyti, kiek dažnai būtina kaitalioti savo aktyviąsias strategijas.

4. Kai taikomos kelios strategijos – mišrios strategijos

13

Lošimas 2x2. Analitinis sprendinys

4 1 1

2 5 2

4 5

1A

1B

2A

2B i

j

14

Lošimas 2x2. Analitinis sprendinys

Formulės:• Mūsų strategijų tikimybės

• Priešininko strategijų tikimybės

• Grynoji lošimo vertė

12

21122211

21221

1 pp

aaaa

aap

12

21122211

12221

1

,

qq

aaaa

aaq

21122211

21121122

aaaa

aaaa

15

Analitinis sprendinys

5,05,01

5,0

2

1

p

p

33,0

.67,06

4

2

1

q

q

67,26

16

16

Grafinis sprendinys. Lošimai 2xn ir mx2

1 2 4 0

3 2,5 0 5

2B

2A

1A

1B 3B 4B

17

Grafinio sprendinio algoritmas

1. Ant ašies 0x pažymime vieneto ilgio atkarpą bet kokiu masteliu. Tos atkarpos galuose brėžiame statmenas ašiai Ox tieses. Vienodu masteliu ant šių tiesių pažymime taškus, kurių aibė turi apimti didžiausius ir mažiausius mokesčių matricos elementus.

2. Nagrinėjame pirmą kito lošėjo strategiją B1 . Ant kairės ašies pažymime tašką a11 , ant dešinės – a21 . Šiuos taškus sujungiame tiese ir tiesės galus pažymime raidėmis B1B1 .Taip pat braižome visas kitas tieses BjBj , j = 2, 3, ..., n .

3. Iš 2 punkte gautų tiesių BjBj aibės išskiriame laužtinę, esančią žemiausiai visų kitų galimų laužtinių. Pažymime tos laužtinės tašką su didžiausia ordinate. Šis taškas S interpretuoja uždavinio sprendinį.

18

Grafinio sprendinio algoritmas

4. Iš taško S nubrėžiame statmenį į ašį 0x . Šis statmuo dalija vienetinę atkarpą į dvi dalis. Pažymime to taško projekciją raide K. To taško atstumas iki dešinės ašies yra proporcingas strategijos A1 taikymo tikimybei, o iki kairės ašies – strategijos A2 taikymo tikimybei. Išmatavus tų atkarpų ilgius ir padalijus iš mastelio, gaunamos tikimybės p1 ir p2 .

5. Taško S projekcija ant ordinačių ašių nustato grynąją lošimo vertę.

6. Kito lošėjo aktyviosios strategijos yra tos, kurios eina per tašką S. Jei jų yra daugiau kaip dvi, pasirenkamos bet kurios dvi strategijos.

7. Lošėjo B dviejų grynųjų strategijų taikymo tikimybės apskaičiuojamos taip. Naudodamiesi viena bet kuria ordinačių ašimi, nustatome visą atkarpos ilgį tarp jo aktyviųjų strategijų. Taško S projekcija ant tos ašies dalija šią atkarpą į dvi dalis, kurių ilgiai proporcingi aktyviųjų strategijų taikymo tikimybėms.

19

Lošimų mn sprendimo metodai1. Lošimo uždavinių sprendimas iteraciniu metodu

Esmė1. Šis metodas paprastai taikomas tada, kai tikslus sprendimas

nebūtinas:• Atliekamas teorinis eksperimentas, t.y. be realių veiksmų. • Tarkime, lošėjas A atsitiktiniu būdu pasirenka vieną iš savo

strategijų Ai . • Kitas lošėjas B daro tokį ėjimą, kuris mažiausiai naudingas

lošėjui A. • Lošėjas A, žinodamas konkrečią lošėjo B strategiją, pasirenka

tokią strategiją, kuri leidžia išlošti daugiausiai. • Dabar lošėjas B žino du lošėjo A ėjimus. • Įvertinęs pirmąsias dvi lošėjo A pasirinktas strategijas, jis atsako

tokia strategija, kuri minimizuoja lošėjo A vidutinį išlošį.

20


2. Iteracijos metu kiekvienas lošėjas, įvertinęs visus kito lošėjo ėjimus, į kitą priešininko ėjimą atsako optimaliąja strategija. Padaryti ėjimai sudaro kokią nors mišriąją strategiją, susidedančia iš grynųjų strategijų su jų panaudojimo dažniais.

3. Vidutinė lošimo vertė, gauta iteraciniu metodu (*), artėja prie grynosios lošimo vertės, o lošėjų strategijų taikymo tikimybės artėja prie tikslių jų reikšmių p1 , p2 , …, pm ir q1 , q2 , …, qn .

21


Pavyzdys. Žinomas jo tikslus sprendinys:

4 0 0

0 5 0

4 5

2),33,0;67,0(),5,0;5,0( BA SS

1A

2A

2B1B i

j

22


Iteracinė lentelė

k i j

1 2 0 5 1 4 0 0 2 4

2 1 4 5 1 8 0 2 3 4

3 1 8 5 2 8 5 5/3 13/6 8/3

4 1 12 5 2 8 10 5/4 15/8 10/4

5 2 12 10 2 8 15 2 2,5 3

1B 2B 1A 2A

23

Lošimų mn sprendimo metodai2. Lošimo uždavinių sprendimas tiesinio programavimo

metodu

Uždavinio formulavimas• Formuluojame lošimo uždavinį taip, kad rastume lošėjo A

optimaliąją strategiją = (p1 , p2 , ... , pm), • ši optimalioji mišrioji strategija turi suteikti galimybę lošėjui A

išlošti ne mažiau grynosios lošimo vertės ,• Taikant tiesinio programavimo metodą reikia, kad būtų teisinga

sąlyga, jog > 0. • Kadangi mokesčių matrica gali turėti ir neigiamų elementų, tai

grynoji lošimo vertė irgi gali būti neigiama. Bet šį trūkumą nesunku pašalinti pridėjus mažiausią mokesčių matricos elementą R prie kiekvieno mokesčių matricos elemento.

• Gaunama nauja matrica, kuria naudojantis apskaičiuojamos visos strategijų pi tikimybės (jos nuo tos operacijos nesikeičia), o grynoji lošimo vertė yra + R . Atlikę tokią mokesčių matricos transformaciją įvykdysime sąlygą, kad ’ > 0.

24

Lošimų mn sprendimo metodai2. Lošimo uždavinių sprendimas tiesinio

programavimo metodu

Formulės

.xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

mmn22n11n

mm2222112

mm1221111

1...

, 1...

, 1...

,

11

px

min1

m21

xxxL ...

R 1

25

Lošimų mn sprendimo metodai3. Lošimo uždavinių sprendimas taikant kompiuterį

Standartizuojame uždavinį:

1. Visos nelygybės yra ribinės sąlygos.

2. L yra tikslo funkcija.

Uždavinys sprendžiamas

pasitelkus programą Solver

26


1. Parengiamasis etapas:• Įjungiame Excel programą: Start /Microsoft

Excel.• Pasirenkame langelius, kuriuose užrašomos

kintamųjų reikšmės. Pirmoje (viršutinėje) – kintamųjų simboliai, antroje – jų reikšmes.

• Tarkime, kintamųjų simbolius užrašysime langeliuose C1:W1, o jų reikšmes – langeliuose C2:W2.

• Pradinės kintamųjų reikšmės pasirinktos lygios nuliui.

• Langeliuose C3:W5 užrašome ribinių sąlygų koeficientus.

27


2. Parengiamasis etapas:• Langeliuose A3:An užrašome ribinių sąlygų

laisvuosius narius.• Langeliuose B3:Bn užrašome ribinių sąlygų

apskaičiavimo formules.• Bet kokiame laisvame langelyje (tarkime, W1)

užrašome tikslo funkcijos apskaičiavimo formulč =C2 +D2 +E2...

• Visi reikiami duomenys įvesti. • Pavedame kompiuteriui sprčsti šį uždavinį.

28


2. Sprendimas:• Tools / Solver. Dialogo langelyje atlikti

tokius veiksmus:– Set Target Cell: W1 (žymeklį uždėti ant

langelio W1). – Pažymėti Min, nes norima minimizuoti

tikslo funkciją. – By Changing Cells: C2:W2 (nuoroda į

visus kintamuosius).– Add (nuorodos į ribines sąlygas):

29


• Cell Reference: B3:Bn (nuorodos į ribinių sąlygų formules).• >= 1 (visose ribinėse sąlygose yra ženklai daugiau arba

lygu vienetui. • Constraints: A3:An (nuorodos į ribinių sąlygų laisvuosius

narius).• OK.

– Add (nuorodos, kad visi kintamieji turi būti neneigiami):• Cell Reference:C2:W2.• >=• 0• OK.• Solve / Keep Solver Solution / OK.

Documents

5 tema. Lošimų teorijos metodai