Optimizavimo metodai

2010 02 06

Šviesos spindulio sklidimas

2

1

2

1

sin

sin

c

c

Sinelijaus dėsnis

21, cc Šviesos greitis skirtingose terpėse

Hipotezė: Šviesa juda tokia trajektorija, kad visą kelią nuo taško A iki taško B nueitų per trumpiausią laiką

Šviesos spindulio sklidimo matematinis modelis

21, cc Šviesos greitis skirtingose terpėse

t1 ir t2 – laikas, per kurį spindulys nueina kelią AO ir OB

)()()( 21 xtxtxt

dx01

22

11 )(

c

xa

c

AOxt

2

22

22

)()(

c

xdb

c

OBxt

)()(min 00

xtxtdx

Bičių korys – pakavimo uždavinys

4

32aS 2aS

2

332aS

SP4 3

6 SP 4 SP

4 27

26

559,4 4 722,3

Bičių korio uždavinysx – viršutinio taško atstumas iki pagrindo;a – pagrindo kraštinė AB;h – prizmės aukštinė BB1;

xSOCC 1'

1

axhh

BCCCBB

QT 2

)(

2

'1

2

43

2

22'11 axaSCDB

QR

Šoninės sienos plotas

Rombų plotai

Bendras ieškomas plotas (be pagrindo ploto)

2242

33)2(336)( ax

axhaQQxQ RT

Funkcijos ekstremumo taškai

Duota funkcija f(x), apibrėžta intervale [a,b].

Funkcijos ekstremumo taškaiDuota funkcija f(x), apibrėžta intervale [a,b].

x0 yra funkcijos f(x) lokalaus minimumo taškas, jeigu

f(x) ≥ f(x0), x D(x0, δ)

x0 yra funkcijos f(x) globalaus minimumo taškas, jeigu

f(x) ≥ f(x0), x [a,b]

Teorema. Jei funkcija f(x) intervale [a,b] turi išvestinę ir šio intervalo taške c įgyja lokalų minimumą arba maksimumą, tai jos išvestinė tame taške c lygi nuliui: f’(c)=0

Teorema. Tolydi funkcija f(x), apibrėžta intervale [a,b] įgyja didžiausią (mažiausią) reikšmę lokaliųjų ekstremumų taškuose arba intervalo galuose

Galimi sprendimo būdai:Nubraižyti funkcijos grafiką ir rasti tuos taškus.Algoritmas: imame tankų tinklą xi=a + i*h, i=0,1,…,N;

apskaičiuojame funkcijos reikšmes fi=f(xi) ir išsirenkame ekstremumo taškus. Toks perrinkimo algoritmas yra patikimas bet labai neefektyvus skaičiavimo apimties prasme.

Aukso pjūvio metodas

axxb 12

ax

xx

ab

ax

2

121

Tarkime, intervale [a,b] funkcija f(x) turi vienintelį minimumą.

Apskaičiuosime funkcijos reikšmę šio intervalo galuose ir dar dviejuose vidiniuose taškuose.

Tarkime, f(x1) - mažiausia; tuomet intervale (x2,b] minimumo nėra – ji atmesime.

Kadangi iš anksto nežinome, kuri intervalo galą teks atmesti, vidinius taškus parinksime taip, kad

Taip pat būtų gerai, kad kitą vidinį tašką galėtume panaudoti kitame žingsnyje:

Aukso pjūvio metodasq

ab

xb

ab

ax

21

)()()( 2112 xbaxabxx

)()(

)()()(

2

21

2

12

xbab

xbaxab

ax

xx

q

qq

1

21 0132 qq

38,02

53

q

qabbx

qabax

)(

)(

2

1

Pažymėkime

Tuomet

Gauname kvadratinę lygtį

Aukso pjūvio pavyzdžiai gamtoje

Bičių korio uždavinio sprendimasKorio akutės pagrindo briauna a=4 mm1643612)( 2 xxxQ

Bičių korio uždavinio sprendimasKorio akutės pagrindo briauna a=4 mm1643612)( 2 xxxQ

Bičių korio uždavinio sprendimasKorio akutės pagrindo briauna a=4 mm1643612)( 2 xxxQ

Bičių korio uždavinio sprendimasKorio akutės pagrindo briauna a=4 mm1643612)( 2 xxxQ

Bičių korio uždavinio sprendimasKorio akutės pagrindo briauna a=4 mm1643612)( 2 xxxQ

Bičių korio uždavinio sprendimasKorio akutės pagrindo briauna a=4 mm1643612)( 2 xxxQ

Bičių korio uždavinio sprendimasKorio akutės pagrindo briauna a=4 mm1643612)( 2 xxxQ

Bičių korio uždavinio sprendimasKorio akutės pagrindo briauna a=4 mm1643612)( 2 xxxQ

Bičių korio uždavinio sprendimasKorio akutės pagrindo briauna a=4 mm

415,1x

1643612)( 2 xxxQ

Niutono metodas

Liestinės lygtis

))(( 000 xxxfyy

Naudojamas netiesinėms lygtims f(x)=0 spręsti. Remiasi liestinės idėja

Taškas, kuriame liestinė kirs Ox ašį bus arčiau sprendinio, negu pradinis taškas x0

)(

)('1

n

nnn xf

xfxx

Niutono metodas

)(

)(''

'

1n

nnn xf

xfxx

)(

)('1

n

nnn xf

xfxx

Kadangi ieškome taškų, kuriuose išvestinė lygi nuliui, t.y. sprendžiame lygtį

lygtis modifikuojama (vietoje funkcijos į formulę įrašome jos išvestinę):

0)(' xf

Šviesos spindulio sklidimo uždavinys

2

22

1

22 )()(

c

xdb

c

xaxt

Šviesos greitis ore lygus 1, o vandenyje – 1/1,3292.

Kiti uždavinio parametrai:

a=0,5;b=0,5;d=1.

22 )1(25,03292,125,0)( xxxt

0)1(25,0

)1(3292,1

25,0:)('

22

x

x

x

xxt

3232 ))1(25,0(

25,03292,1

)25,0(

25,0)(''

xxxt

n 0 1 2 3 4

xn 0 0,53128 0,63918 0,63397 0,63395

funkcijos t(x) grafikas

Šviesos spindulio lūžio (Sinelijaus) dėsnis

0)(

11)('

222

221

xdb

xd

cxa

x

cxt

2

1

22

22

)(/)(

/

c

c

xdbxd

xax

2

1

2

1

sin

sin

c

c

Hipotezė: Šviesa juda tokia trajektorija, kad visą kelią nuo taško A iki taško B nueitų per trumpiausią laiką

Ačiū už dėmesį

Jūsų klausimai