Texto Completo de Cálculo Diferencial e Integral

7/16/2019 Texto Completo de Clculo Diferencial e Integral

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Curso de GraduaoCurso de GraduaoCurso de GraduaoCurso de Graduao

Licenciatura em MatemticaLicenciatura em MatemticaLicenciatura em MatemticaLicenciatura em Matemtica & Engenharias& Engenharias& Engenharias& Engenharias

UnespUnespUnespUnesp Campus de GuaratinguetCampus de GuaratinguetCampus de GuaratinguetCampus de Guaratinguet

Clculo Diferencial e Integral Clculo Diferencial e Integral Clculo Diferencial e Integral Clculo Diferencial e Integral

Notas de AulaNotas de AulaNotas de AulaNotas de Aula

PrPrPrProfofofof. Dr. Aury de S Leite. Dr. Aury de S Leite. Dr. Aury de S Leite. Dr. Aury de S Leite

Departamento de MatemticaDepartamento de MatemticaDepartamento de MatemticaDepartamento de MatemticaUNESPUNESPUNESPUNESP ---- GuaratinguetGuaratinguetGuaratinguetGuaratinguet

Publicada em: janeiro/2000Publicada em: janeiro/2000Publicada em: janeiro/2000Publicada em: janeiro/2000

ltltltltima reviso:ima reviso:ima reviso:ima reviso: maromaromaromaro/20/20/20/2011113333

Material disponvel para uso e divulgao, desde que seja citada a fonte e o autor

Observaes:[1] As sries de exerccios que tm a sua data de entrega programada devem ser entregues exatamente

na data marcada.[2] Voc deve guardar um rascunho da resoluo dos exerccios (de preferncia uma cpia xerox do

material que foi entregue) ou deve anotar as respostas para poder confer-las com que serfornecido pelo professor no final da aula, exatamente na data marcada para a entrega dosexerccios resolvidos.


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1

c

b

aa ba

Clculo Diferencial e IntegralClculo Diferencial e IntegralClculo Diferencial e IntegralClculo Diferencial e IntegralCaptulo Zero Algumas idias Iniciais

Prof. Aury de S Leite Departamento de Matemtica (DMA)

1.- Datas Histricas Importantes

Sculo XVI RenDescartes (em latim: Cartesius)(Frana 1596 /1650) criador da GeometriaAnaltica (Grficos Cartesianos/Plano Cartesiano).

Sculo XVII Sir Isaac Newton (Inglaterra 1642/1727) e Wilhelm GottfriedLeibniz (Alemanha 1646/1716) ) descoberta independente daspropriedades dos nmeros reais [Boyer, 1974 pg.292].

Sculo XIX Baro Augustin Cauchy (Frana 1789/ 1857) Formalizao da Teoria [Boyer,1974 pg. 380].

Fonte da Pesquisa: [ Boyer 1974] Boyer, C. B.Histriada Matemtica.So Paulo, Editora Edgard Blcher,

1974.2.- Assuntos a serem estudados

1o Semestre1.- Nmeros Reais2.- Funes Reais de uma Varivel Real3.- Derivadas e Diferenciais Aplicaes4.- Integrais Aplicaes

2o semestre1.- Funes Reais de Duas ou Mais Variveis Reais2.- Derivadas Parciais Aplicaes3.- Integrais Mltiplas Aplicaes4.- Sries de Potencias e Sries de Funes

3.- Bibliografia Indicada Para o CursoStewart, James. Clculo. So Paulo, EditoraPioneira/Thomson Learning, 4a ed., vols. 1 e 2, 2001.Anton, Howard. Clculo um novo horizonte. PortoAlegre, Editora Bookman, 6a ed., vols. 1 e 2, 2000.

4.-Material facilitador da aprendizagem

1.- Notas de aula e Exerccios Resolvidos em sala

2.- Trs Estudos Dirigidos (Tirar Xerox ou imprimir apartir do CD-R do Curso)[ED1] Apostila de Pr-Clculo A e B Pr-Clculo A:Conjuntos, Smbolos Lgicos, Conjuntos Numricos. Pr-Clculo B: lgebra. Total de pginas: 52 pginas se notamanho A4;

[ED2] Funes e Grficos - 15 pginas;[ED3] Trigonometria, com respostas - 14 pginas.3.- Material Auxiliar NOTAS DE AULA - Apostilas(Teoria + Exerccios Modelo + Exerccios Resolvidos +Exerccios Propostos com Respostas). Total depginas: 58.4.- Programa Computacional que roda no Windows -Calculadora Analtico-Grfica GraphApplet 1.0Trazer um CD-R para copiar o material do Curso: asapostilas ED1, ED2 e ED3, O softwares da calculadora,e a apostila com as NOTAS DE AULA.

5.- pr-requisitos Smbolos Lgicos

5.1.- Conectivos Lgicos:

5.2.- Quantificadores:

quantificador universal

leitura: qualquer que seja ou para todo

quantificador existencial

leitura: existe um ou existe pelo menos um

existe um nico ou existe e nico

6.- Propriedades da Igualdade:Reflexiva: a, a = aSimtrica: a, b, se a = b ento b = a

Transitiva: a, b, c, se a = b e b = c ento a = c6.2.Grafos das Propriedades da Igualdade

Reflexiva Simtrica Transitiva

7.- Teorema Fundamental da lgebraToda equao polinomial (ou algbrica) de grau ncom coeficientes reais (ou complexos) tem n razes

complexas.Exemplo:Equao do 1 Grau Equao do 2 Grau

9x = 9x 2 = 3x = 9x = ou 9x = ?

S = { 3 } 9x = 3x =

S = { 3, 3}

conjuno e

disjuno ou

implicaose ... ento ...

ou ... implica ...

equivalncia... se, e somente se ...

ou ... eqivale ...

UneUnespGuaratinguet


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2

UNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/Guaratinguet ---- Clculo Diferencial eClculo Diferencial eClculo Diferencial eClculo Diferencial e IntegralIntegralIntegralIntegralMaterial Auxiliar #01 - Limites, Continuidade e Assntotas

Prof. Aury de S Leite [email protected]

[1] Definio de Limite

=

Lxfax )(lim > 0, () > 0 tal que para

todo xD(f) que satisfaa condio 0 < | x - a| < ocorre obrigatoriamente: |f(x) - L | < .

[2] Existncia do Limite (Teorema)

)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax

=+

[3] Propriedades dos Limites

Quando existem )(lim xfax

e )(lim xgax

:

1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfaxaxax

+=+

2. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfaxaxax

=

3. )(lim.)](.[lim xfkxfkaxax

= (k uma

constante)4. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf

axaxax =

Quando existem )(lim xfax

e )(lim xgax

, com

0)(lim

xgax

:

5.)(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

=

Quando )(lim Lxfax

=

ek um nmero

real para o qualLk est definido:6. kk

ax

k

axLxfxf ==

)](lim[)]([lim

Para qualquer constante k:7. kk

ax=

lim e 8. kx

kx=

lim

Se P(x) e Q(x) so polinmios, ento9. )()(lim aPxP

ax=

10. 0)a(Qse,)a(Q

)a(P

)x(Q

)x(Plim

ax=

[4] Smbolos de Indeterminao

; 0 ;0

0;

; 0 ; 00 ; 1

Quando, durante o clculo de um limite, apareceremos smbolos de indeterminao, a indeterminaodever ser "levantada", isto , ela dever sereliminada mediante operaes de simplificao dasexpresses envolvidas naquele limite.

[5] Continuidade: Uma funo f contnuaem a , se e somente se:

(1o) f(a) est definida;

(2o) )(lim xfax

;

(3o) )()(lim afxfax

=

Quando f(x) no contnua no ponto adiz-se que h uma descontinuidade de fneste ponto.

Uma funo f(x) contnua numintervalo aberto

a < x < b ( x ]a,b[ ) se, e somente se, elafor contnua em cada um dos pontos x deste

intervalo.

[6] Limites no Infinito Quando existem )(lim xf

x e )(lim xg

x :

1. )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfxxx

+=+


=

3. )(lim.)](.[lim xfkxfkxx

= (k uma constante)


=

5. )(lim)(lim

)(

)(lim xg

xf

xg

xf

x

xx

= , com 0)(lim xgx

6. Se kx

xf )](lim[

est definido para um nmero

k, ento : kx

k

xxfxf )](lim[)]([lim

=

7. )(lim)...(lim)(lim 10 nnx

n

nxx

xaxaxaaxP

=+++=

1


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3

NOTA:A propriedade #7 pode ser utilizadaem todos os casos de limite no infinito

mostrados acima.

[7] Exerccios Bsicos de Limites[7.1.] Calcule os seguintes limites graficamente:

a) xx 2lim+ e xx 2lim b) x

x)2/1(lim

+e x

x)2/1(lim

c)3

1lim

3 xx;

3

1lim

3 + xxe

3

1lim

3 xx

d)|3|

1lim

3 xxe)

1

1lim

2

1

x

x

xf) 3lim

2x

g) )1(lim 320

+

xx

h) )32(lim0

+

x

x

i) )(loglim 21

xx

e )(loglim 20

xx +

Respostas: a) + e 0+

; b) 0+

e +; c)limites laterais: - e +, a funo no temlimite no ponto 3; d) +; e) 2; f) 3; g) 1;h) 4; i) 0 e -.

[7.2.] Calcule os limites:

a) )32(lim5

+

xx

b)3

1lim

2

3

1 +

+ x

x

x

c)2

2

2 )2(

1lim

+++ x

xx

xd)

74

lim+ xx

e) 27

lim2 +

++ x

x

x f) 34

lim

2

3

+ x

x

x Respostas: a) 13; b) 1/2 ; c) sugesto: adotar2+ = 2+, +; d) 0+; e) -2+ = -2+; Resp: +;f) 3- = 3-; Resp:-.

[7.3] Calcule os limites

a)2

2

0 4

5lim

x

x

xb)

x

x

x 4

7lim

2

0

c)20 4

5lim

x

x

xd)

2

2

4

5lim

x

x

x

e) xx

x 47lim

2

f) 245lim xx

x

g)2

208lim

2

2

2

+ xx

xx

xh)

45

16lim

2

2

4 +

xx

x

x

i)935

18218lim

23

23

3 ++

+++ xxx

xxx

x

j)353

142lim

23

23

1 ++

++ xxx

xxx

x

l)132

243lim

23

23

1 +

++ xx

xxx

x

Respostas: a) 5/4; b) 0; c) ; d) 5/4; e) ; f)0; g) 4; h) 8/3; i) 5/2; j) 0; l) .

[7.4.] Calcule os limites:

a)xx

x

x + 1lim

2

b)2

22lim

2

+

+ x

xx

x

c)1

lim2

2

+

+ x

xx

x

Observao: em caso de indeterminao,dividir o numerador e o denominador pelamaior potncia de x que figure na funo.Respostas: a) ; b) 0; c) 1

[8] Produtos notveis envolvendo radicais:Os produtos notveis a seguir so muitoimportantes. Veja que a finalidade do segundofator, que denominado "conjugado" doprimeiro fator, conduzir o produto sempre aum mesmo resultado: a - b(a) ba)b()a()ba).(ba( 22 ==+ .(b) ba)b)aba).(ba( 3 233 233 =++ [8.1] Calcule os limites:

a)3

21lim3

+ x

xx

b)11lim

1

xx

x

c)x

xx

x

2lim

0d)

x

x

x

11lim

3

0

+

e)4

8lim

364

x

x

xf)

1

1lim

31

x

x

x

g) )4(lim 2 +

xxx

h) )11(lim 22 +

xxx

i) )32(lim 2 xxxx

++

Respostas: a)1/4; b) 1/2; c) ; d) 1/3; e) 3;f) 1/3; g) 0; h) 0; i) 1.

[9] Limites Fundamentais

1sen

lim0

= x

x

x e

x

x

x=+

)

11(lim


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4

[9.1.] Limites Fundamentais - Exerccios

Calcule os limites:

a)x

x

x

2

0

senlim

b)

x

tgx

x 0lim

c)

x

kx

x

senlim

0

d)x

x x

3

)1

1(lim + e)x

x x )1

1(lim f)x

x x )2

1(lim +

Sugestes: em (e) fazer -1/x =1/n x = -n,como x- ento n; em (f) fazer

nx

12=

de onde x = 2n.

Respostas: a) 0; b) 1 ; c) k; d) e3; e) e-1; f) e2.

[10] Aplicaes da Noo de Continuidade

Teorema do Valor Intermedirio: Se f(x) uma funo contnua num intervalofechado [a,b] e se f(a) f(b) ento existe

pelo menos um valorc pertencente a [a,b]tal que f(c) pertence ao intervalo [f(a), f(c)].

1o Caso:

f(c)

c

f(a)

f(b)

ba

2o Caso:

f(c)

c

f(a)

f(b)

ba

Note que no 2o caso nem todos os valorespertencentes ao intervalo [a,b] satisfazem ao

teorema, no entanto o que o teorema assegura

a existncia de pelo menos um ponto quesatisfaa aquela condio.

A seguir apresenta-se um corolrio (umteorema conseqente) do teorema anterior:

Teorema de Bolzano: Se f(x) contnua numintervalo [a,b], e f(a) f(b) 0

ba

Como f(a) < 0 e f(b) > 0: f(a).f(b) < 0

[11] Aplicao de Limites no Infinito Clculo das assntotas de uma curvaExemplo 1: Esboar o grfico de y = f(x) =

2

73

+

+

x

x

Temos que adotar x 2, para evitar a divisopor zero, ou seja:

D(f) = R{2} Im(f) = R{3}

Assntota vetical x = -2

-4 -2 2 4

-15

-10

-5

5

10

15

20 Assntota horizontal y = 3

33lim3

lim2

73lim

33lim3

lim273

lim

===+

+

===+

+

+++

xxx

xxx

x

x

x

x

x

x

x

xA reta y = 3 a assntota

horizontal de f(x)

==+

+=

+

+

+==+

+=

+

+

++

+

+

01

2)2(7)2(3

273

lim

01

2)2(7)2(3

273

lim

2

2

x

x

x

x

x

xA reta x = -2 a assntota

vertical de f(x)


6/58

5

Para plotar o grfico, traar as assntotas eatribuir valores coerentes para x obtendo osvalores de y.

Exemplo 2: Dar o grfico de y = f(x) =)12)(15(

7

+ xx

-1 -0.5 0.2 1

-20

y=-7

Calcule os limites e confira as suas respostas:+=+

)(lim5

1xf

x

e =

)(lim5

1xf

x

=+

)(lim2

1xf

x

e +=

)(lim2

1xf

x

+

+= 0)(lim xf

xe

+

= 0)(lim xf

x

Observar: quando x = 0 tem-se que: y = -7


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6

UNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/Guaratinguet ---- Clculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #02 - Derivadas

Prof. Aury de S Leite - [email protected]

[1] Definio de Derivada

A derivada de uma funo y = f(x),indicada por y' = f(x) = Dxf(x) ou ainda por f,

relativamente a valores de x D(f), dada por:

x

xfxxf

dx

dy

x

yxf

xx

+==

=

)()(limlim)('

00

quando o limite existe e finito.

tgyxfdx

dy=== ')('

permite calcular o coeficiente angular das retastangentes curva y = f(x) em cada um dospontos desta curva.

1.1.- Teorema: Se a funo y = f(x) diferencivel em x1, ento ela contnua em x1.Observar que: uma funo pode ser contnuanum ponto, mas pode no ser diferencivelneste ponto.

Estude, por exemplo a funo f(x) = 32

x noponto x = 0

[2] Tabela de Derivadas - Parte 1:1. y = c 1. y ' = 02. y = x 2. y' = 13. y = u + v - w 3. y' = u' + v' - w'4. y = xn 4. y' = n.xn-15. y = u.v 5. y' = u'v + v'u6. y =

v

u6. y' =

2v

uv'-vu'

7. vuy = 7. lnu)v'u

vu'(uy' v +=

Observar:c= constante; u, v e w funes de x.

Exerccios: Calcule a derivada de cada uma dasseguintes funes usando a tabela anterior.1) y= 7x5 - 2x2 - 5x + 7 y'= 35x4 - 4x - 5

2) 21

xyxy == x

x

xy

22

1' ==

3) 323 2 xxy ==

x

x

xy

3

2

3

2'

3 2

3==

4) 32

3 2

1 == x

x

y 2

3

3 23 5 3

2

3

2

3

2'

x

x

xxx

y

=

=

=

5) y=(x + 1).(x - 1) y'= 2x

6) y= (x2+2).(x

3+2x+1) y'= 5x

4+12x

2+2x + 4

7)12 +

=x

xy

11'

24

2

++

+=xx

xy

8)1

22

2

+=

x

xy

22 )1(

6'

=

x

xy

[3] Tabela de Derivadas - Parte 2:8. y = un 8. y = n.un-1.u'9. y = eu 9. y' = u'.eu10. y = ln u 10. y' =

u

u'

11. y = logb u 11. y' = logb e.u

u'

[3.1] Exerccios: Calcule a derivada de cada umadas seguintes funes usando a tabela anterior.

9) y = (x3+2x-1)

3y' = 3. (x

3+2x-1)

2.(3x

2+2)

10) y = 5e4x

y' = 20.e4x

11) y = -4e-3x

y' = 12e-3x

12) y = ln(5x3 + 2x + 1)125

215'3

2

+++=xx

xy

13) 32 )23(log += xy 3

2

2)23(

)23(9.log'

+

+=

x

xey

14) 3 25 3xxy = )65()3(3

1' 43

225 xxxxy =

[3.2] Exerccios: Derivar e entregar com aresoluo e as respostas na seguinte data:____/____/_______.

1) 652

510

++=xx

y 2)x

x

y43

2+=

3) y=3x-2

- 7x-1

+ 6 4)13

72

+=

x

xy

5) y = (5 - 2x)10

6)5)14(

1

+=

xy

7)3

2

13

+=

x

xy (*) 8)

xy

1=

9) 122 += xxy 10) )2).(( xxxxy +=

2


8/58

7

11) )ln(3 2xy = 12)323 .5 xexy = (*)

13) )12ln(.3 = xxy (*) 14)x

xy

ln

2

= (*)

15)x

xy

+=

1

1 (*)

IMPORTANTSSIMO: Os exercciosmarcados com (*) so muito importantes e vocdeve conferir tanto a resoluo dos mesmoscomo as respostas encontradas com os (as) seus(suas) colegas.

[4] Tabela de Derivadas - Parte 3

12. y = sen u 12. y' = cos u .u'13.

y = cos u 13.

y' = -sen u.u'

14. y = tg u 14. y' = sec2u.u'15. y = cotg u 14 y' = -cossec2u.u'15. y = sec u 15. y' = sec u. tg u. u'

16. y = cossec u 16. y' = -cossec u. cotg u. u'

[4.1] Exerccios: Calcule a derivada de cadauma das seguintes funes usando a tabelaanterior.

1) xy 2sen= xxxy 2sencossen2' ==

2) )4(sen 23 xy = )x4cos()x4(xsen24'y 222=

3) xxy cos.sen= xxxy 2cossencos' 22 ==

4) xxy 4sen5 2= xxxxy 4cos.204sen.10' 2+=

5) xtgxy = xtgxy 22 1sec' ==

6)tgx

tgxy

+

=

1

1 ????)cos(sen

2

)1(

sec'

22

2

xxtgx

xy

+

=

+=

resolver o exerccio 6 de outro modo, fazendoantes:

xx

xx

x

x

x

x

tgx

tgxy

sencos

sencos

cos

sen1

cos

sen1

1

1

+

=

+

=+

=

[4.2] Exerccios: Derivar e entregar com aresoluo e as respostas na seguinte data:____/____/_______.

1) xxy cos3sen5 += 2) xxy cot.= 3) xxxy cossen= 4)

x

xxsenxy

cos

cos= (*)

5) xxxsenxy cos)2(2 2 = 6)

xsenx

xsenxy

cos

cos

+= (*)

7) xseney 2= 8) )92sec( += xy 9) xy sen= 10) xy cos=

[5] Derivao Implcita

[5.1] Exerccios: Calcule a derivada de cada umadas seguintes funes implcitas

1) 3649 22 =+ yx y

xy

4

9'

=

2) 7222 =+ xxyyx xyx

yxyxy

2

22'

2

2

+=

3) 54 =+ xyyx xxyx

yxyyxy

+

=

4

3

2

8'

[5.2] Exerccios: Derivar e entregar com a

resoluo e as respostas na seguinte data:____/____/_______.

1) 33 22 =+ yxyx 2) 16=+ xyyx 3) 5=+

x

y

y

x


9/58

8

[6] Exerccios Resolvidos Ateno: Resolues na pgina a seguir1)

7

5

+

=

x

xy

2) 2222

)464()464(

1 +=+

= xxxx

y

3) 3223 22

)43()43(

1 =

= xx

xxy

4) 32 sen5 xxy = 5) 323 2 )3cos43()3cos43( xxy == 6)

xcos1

x2sen5y

=

7) xexy 32 = 8) xexy sen.cos= 9)

1ln

2

2

+=

x

x

e

ey

10)x

xy

ln

2

=

11) 53 )(lnxy = 12) xxey x += 13) 237 xexy = 14) 07544 3223 =+++ yxyx

ATENO:RESOLUES & RESPOSTAS:Analise as resolues e resposta dadas napgina seguinte com os (as) seus (suas) colegas.


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RESOLUO & RESPOSTA DOS EXERCCIOS PROPOSTO NO TEM [6]:

1)22 )7(

12

)7(

)5.(1)7.(1'

+=

+

+=

xx

xxy

2)32

32

)464(

1216)68.()464.(2'

+

=++=

xx

xxxxy

3)3 52

352

)433

812)46.()43.(

3

2'

xx

xxxxy

+=

=

4) 3433223 cos15sen10cos.3.5sen10' xxxxxxxxxy +=+= 5)

33

1

x3cos43

x3sen8x3sen12.)x3cos43(

3

2'y

==

6)2)cos1(

)2sen5(sen)cos1(2cos10'

x

xxxxy

=

7) xxxx exxeexxey 323323 32)3(2' =+= 8) ( )xxeexexy xxx 2sensen2sen cossen.cos.sen' +=+= 9)

22

2

22

424

22

2222

2

2

)1(

2

)1(

222

)1(

)(2)1(2)'

1('

+=

+

+=

+

+=

+=

x

x

x

xxx

x

xxxx

x

x

e

e

e

eee

e

eeee

e

eu logo, como: '

'u

uy = podemos

escrever, finalmente:1

2

)1(

)1(

2

'2

2

2

22

2

+=

+

+=

x

x

x

x

x

e

e

e

e

e

y

10)22

2

)(ln

.ln2

)(ln

.1ln2'

x

xxx

x

xx

xx

y

=

=

11) 433

243 )(ln

153)(ln5' x

xx

xxy ==

12)xxe

xeexeexxey

x

xxxxx

+

++=+++=

2

1)1.()(

2

1' 2

1

13) )67(..6.7..6.7' 22222 3638363736 xexexexexxexy xxxxx +=+=+= 14) 23 2222232322 158 812'812)158(0158812 yyx xyxydxdyxyxyyxdxdydxdyyxdxdyyxyx + ===+=+++ Observaes:[1] As sries de exerccios que tm data de entrega programada devem ser entregues exatamente na

data marcada.[2] Voc deve guardar um rascunho da resoluo dos exerccios (de preferncia uma cpia xerox do

material que foi entregue) ou deve anotar as respostas para poder conferi-las com que serfornecido pelo professor no final da aula, exatamente na data marcada para a entrega dosexerccios resolvidos.


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UNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/Guaratinguet ---- Clculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IRESPOSTAS DOS EXERCCIOS do Material Auxiliar #02 - Derivadas


Exerccio [3.2]:

1) 652

510++=

xxy y' = 5x

9+ x

4

2)xx

y43

2+=

23

46'

xxy =

3) y=3x-1 - 7x-1 + 6=-4x-1 y' = -4x-2

Se: y=3x-2

- 7x-1

+ 6

2323

7676

' +=+= xxxx

y

4)13

72

+=

x

xy

22 )13(23

)13()72(3)13(2'

=

+=

xxxxy

5) y = (5 - 2x)10 9)25(20' xy =

6)5)14(

1

+=

xy

6)14(

20'

+

=

xy

7)3

2

13

+=

x

xy

7

2 )23()13(3'

x

xxy

++=

8)x

y1

=

23 22

1

2

1

' x

x

xxxy

=

=

=

9) 122 += xxy 12

1'

2 +

+=

xx

xy

)2).(( xxxxy += xxy2

322' =

10) )ln()ln( 323 2 xxy ==

xy

3

2' =

11)323 .5 xexy =

)21(15)3015(' 32252233

xexxxeyxx +=+=

12) )12ln(.3 = xxy

126)12ln(3'

+=

x

xxy

13)x

xy

ln

2

= 2)(ln

ln.2'

x

xxxy

=

14)x

xy

+=

1

1 2

21

)1('

x

xy

=

Exerccio [4.2] :

11) xxy cos3sen5 += xxy sen3cos5' = 12) xxy cot.=

x

xxy

2sencot' =

13) xxxy cossen= xy 2sen2' = 14)

x

xxxy

cos

cossen = xtgy 2' =

15) xxxxy cos)2(sen2 2 = xxy sen' 2= 16) xx xxy cossen cossen += 2)(sen 2' coxxy = 17) xey 2sen= xexy 2sen.2sen' = 18) )92sec( += xy )92tan().92sec(2' ++= xxy 19) xy sen=

x

xy

2

cos' =

20) xy cos= x

xy

cos2

sen'

=

Exerccio [5.2]:

4) 33 22 =+ yxyx xy

xyy

dx

dy

32

23'

==

5) 16=+ xyyx xxyx

yyxyy

+

+=

2

2'

6) 5=+x

y

y

x x

yy ='

2r


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UNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/Guaratinguet ---- Clculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #03 - APLICAES DE DERIVADAS


[1] Equaes de Retas Tangentes e Normais

Problema Modelo 1.1:Achar a equao da retatangente curva

22

12

+

=

x

xy que passa por um

dos pontos desta curva cuja abscissa 3.

Pr-requisitos:[1] equao da reta por um ponto (x0,y0) dadapor r: y - y0 = m(x - x0)[2] onde m o coeficiente angular da reta r:

m = tg

[3]se x0 = 3 e22

1

0

20

0+

=

x

xy 1

8

8

23.2

1320 ==

+

=y ,

logo a reta deve passar por (x0,y0) = (3,1).

Resoluo:tgm

x

xxy ==

+

++=

2

2

)22(

242' coeficiente angular

genrico vlido para todas as retas quetangenciam a curva dada.Logo, para x =3 tem-se y' = m = 1/2 e r:

2

1=

xy .

Problema Modelo 1.2:Achar a equao da retanormal curva xxy 52 += , tal que a tangente aesta curva faa um ngulo de 45o com o eixo dosy (y = 0).

Pr-requisitos:[1] O coeficiente angular de uma reta sperpendicular a uma reta r de coeficiente angularmr = tg dado por

ms =rmtg

11=

, ou seja, mr ms = -1.

[2] tg 45o = tg 14

=

Resoluo:Sendo r: xxy 52 += =+= 1e52' rmxy

2152 00 ==+ xx e 61045 0200 ==+= xxy .

Como 111 === ss

rr mm

mm .

. 6)2(16)()( 00 =+=+= xyxyxxmyy s

Exerccio 1.1 - Com Resposta: Achar as

equaes das retas tangente e normal curva deequao 3xy + x2 = x3- 4y , no ponto onde x = 1.

Resposta:

Ponto (xo, yo) = (1,0), tgmdx

dy===

7

1 ,

de onde x 7y 1=0 e 7x + y 7=0 Vide um problema muito interessanteno material auxiliar 5E sobre reta normal a

uma curva, mas que deve ser paralela a outracurva dada.

[2] Taxas Relacionadas

Problema Modelo 2.1: Uma escada de 5 metrosde altura est encostada em uma parede vertical.Se a base da escada est se afastando da parede razo de 8m/s, a que velocidade desliza a partesuperior ao longo da parede, quando a base seencontrar a 3 m da parede?

Resoluo: vide notas de aula.Resposta: - 6m/s.(o sinal negativo indica que y decresce com

relao a t)

Problema Modelo 2.2: Um papagaio de papelest voando a uma altura constante de 40m. Ogaroto est empinando o papagaio de tal modoque este se move razo de 3m/s. Se a linha estesticada, com que razo o garoto deve solt-laquando o comprimento da mesma atingir 50metros para manter a altura constante de 40m?

Resoluo: vide notas de aula.

Resposta:5

9 m/s.

Problema Modelo 2.3: Um tanque tem a formade um cone invertido tendo uma altura de 5m epara raio da base 1m. O tanque se enche de gua razo de 2m3/min. Calcule a velocidade emque sobe o nvel da gua quando esta atingiu 2,5m de altura.


Resposta: m/min8

3


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12

Problema Modelo 2.4 - Com Resposta: Doiscarros, um indo para leste razo de 72 km/h, eoutro, para o sul, razo de 54 km/h, vo seencontrar na interseo das duas rodovias. A querazo os carros aproximam-se um do outro, nomomento em que o primeiro estiver a 400m da

interseo e o segundo, a 300m?


Resposta: 1500m/min ( a variao negativapoque a distncia diminui com o tempo).

Exerccio 2.1 - Com Resposta: Uma rgua com20 cm de comprimento est apoiada numaparede vertical e sua extremidade inferior estsendo afastada desta parede a 12 m/s. A quevelocidade desliza a parte superior, quando abase estiver a 12 cm da parede?

Respostas: - 9m/s

Exerccio 2.2 - Com Resposta: Um meninomantm um papagaio empinado a uma altura de300m e, o vento, o afasta do menino razo de25 m/s. Com que velocidade deve o menino, darlinha, quando o papagaio est a 500 m dele?

Resposta: 20m/s.

Exerccio 2.3 - Com Resposta: Acumula-seareia em um monte de forma cnica razo de0,5 m3/min. O raio da base do monte , sempreigual metade de sua altura. Com quevelocidade est crescendo a altura deste montede areia quando este alcana 2m?

Resposta: m/min2

1

Exerccio 2.4 - Com Resposta:Duas rodovias interceptam-seperpendicularmente. O automvel A numadestas rodovias est a 0,5 km da interseo e semove razo de 96 km/h enquanto o carro B, naoutra rodovia est a 1 km da interseo e semove razo de 120 km/h. A que razo est

variando a distncia entre os dois carros noinstante em que x=1 e y = 1/2, de acordo com odiagrama seguinte:

D

D2 = x2 + y2

B

A

y

x

Resposta: -150,26 km/h aproximadamente

Exerccio 2.5 - Com Roteiro de Resoluo eResposta:

Se o raio de um crculo cresce taxa de 30 cm/s.A que taxa estar crescendo a rea com relaoao tempo quando o raio atingir 120 cm? Qual ataxa do crescimento da circunferncia nestemesmo instante?

Roteiro para Resoluo:

(1) A=dt

dRR

dt

dAR 22 =

segcm

dtdA 2720030.120.2 ==

(2) scmdt

dR

dt

dCRC /6022 ===

Exerccio 2.6 - Com Roteiro de Resoluo eResposta:

Uma bola esfrica de gelo com 8 cm dedimetro est derretendo taxa de 10/ cm3 porminuto. Com que velocidade se reduz a bolaquando ela estiver com 2 cm de raio?


dt

dRR

dt

dVRVesfera

23 43

4 ==

R= 4cm e min/10 3cmdt

dR

=

min/160)2( 3cmcmRparadt

dV==


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13

[3] Anlise de Grficos de FunesPr-requisitos: Valores numricos da tangentede ngulos notveis; diferenciabiliade de f(x);derivadas sucessivas.

[3.1] DiferenciabilidadeA derivada de uma funo f(x) definidanaqueles pontos onde o limite f ' (x)

=x

y

x

0lim existe. Estes pontos so os pontos de

diferenciabilidade (ou de derivabilidade) para f,e os pontos onde isto no ocorre so chamados

pontos de no-difenciabilidade para f.

Exerccios: Trace os grficos das seguintesfunes, verifique os pontos de nodiferenciabilidade de cada uma delas,

justificando analticamente sua resposta:a) y = 3

2x b) y = 3

1x c)y= 3

1)2( x

OBSERVAR:Os pontos onde f ' (x)= 0ou os pontos onde f no diferencivelso denominados pontos crticos.Geometricamente os pontos que

admitem difencial so aqueles em quea curva admite uma reta tangente.

[3.2] Diferencial de y e Clculos Aproximados

Definio: Se a funo y = f(x) admite derivadaf(x) num dado ponto x, denomina-sediferencial desta funo expresso : dy =f(x) x.

y=x +2

+x

x

ydy= f(x). x

dx=x

Seja y= f(x) = x2 + 2, ento f(1/2) = 1= tg4

(0,2)

Analise o grfico acima para x = 1

Consideraes:

J se viu que, se y = f(x) derivvel num

intervalo [a,b]: tgdx

dy

x

yxf

x==

=

0lim)('

Note que a fraox

y

tende a um valor

numrico f(x) quando x0. Assim,x

y

difere

da derivada f(x) por uma quantidadeinfinitamente pequena, o que nos permite

escrever:

x

y

= f(x) + (1)

De (1) pode-se obter:

y = f(x).x + .x (2)Da definio de diferencial de y (dy = f(x).x)dada acima e da expresso (2) anterior pode-seescrever:

y = dy + .x (3)como uma quantidade infinitamente pequenacostuma-se adotar em certos clculos numricosa seguinte igualdade aproximada:

y dy (4)ou ainda:

xxfxfxxff += )(')()( (5)que nos permite calcular o valor aproximado davariao de uma funo y = f(x) a partir doacrscimo dado varivel independente.

Problema de Aplicao 1: Seja calcular y = x2

a rea de um quadrado de lado x. Sendo dados x

= 20 cm e x= 0,1cm calcule y e o valoraproximado de dy.

Resposta: y=f(x+x)-f(x)= (x+x)2 - x2 y = 4,01 cm edy f(x). x= 2xx dy = 4,00 cm.

Problema de Aplicao 2: Dada a funo3

2xy = , calcule atravs de diferenciais, qual a

variao aproximada da mesma, quando xdecresce de 8 para 7,8.

Respostas:= x).x('fy 0,066947576 (valor

aproximado);

y=f=3,9333... 4 = 0,0666... (valor exato).


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14

[3.3] Teorema do Valor Mdio

Primeiramente vamos apresentar o Teorema deRolle que um caso especial do Teorema doValor Mdio:Teorema de Rolle: Seja y= f(x) uma funodiferencivel no intervalo aberto ]a,b[ e contnuano intervalo fechado [a,b]. Se f(a) = f(b) = 0,ento h pelo menos um ponto c ]a,b[ tal quef'(c) = 0.

baba

Teorema do Valor Mdio: Seja y = f(x) uma

funo diferencivel em ]a,b[ e contnua no em[a,b]. Ento existe pelo menos um ponto c ]a,b[ tal que:

=

=

= tg

x

y

ab

)a(f)b(f)c('f .

C

y = f(x)

B

A

c ba

Na figura acima: A = (a, f(a)) e B= (b,f(b) )

f(a)

f(b)

O Teorema da Mdia afirma que entre dois

pontos quaisquer A e B sobre o grfico deum funo y = f(x) diferencivel, deve haverpelo menos um lugar onde a reta tangente curva paralela reta secante que passa porA e B. bom que se observe que a

expressoab

afbf

)()( fornece o coeficiente

angular da reta secante que passa por A e Be que f'(c) fornece o valor da tg que exatamente a inclinao da reta tangente quepassa por C.

[3.4] As Derivadas Sucessivas

Se a derivada f(x) de uma funo f(x), for aindadiferencivel, ento a derivada de f(x) ser

notada como f(x), sendo chamada DerivadaSegunda, ou Derivada de Segunda ordem, def(x). medida que a diferenciabilidade aindaseja possvel, poderemos continuar este processode derivao sucessiva.

Notao: f(x) = dxdy

; f(x)= 22

dx

yd

; f(x)

=3

3

dx

yd ; f(4)(x) =4

4

dx

yd ... f(n)(x) =

)]([ xfdx

d

dx

ydn

n

n

n

= .

Exemplo:

f(x) = 5x3- 7x2 + 4x 5 f(x) = 15x2-14x+ 4

f(x) = 30x 14 f(x) = 30 f(4)(x) =

0 f(5)(x) = 0 f(n )(x) = 0, nN, n 4

[3.5] Estudo de Sinais das Derivadas

Para se provar o teorema a seguir utiliza-se oTeorema do Valor Mdio.TEOREMA: Dada uma funo y = f(x)contnua num intervalo [a,b] (isto : a x b) ediferencivel no intervalo ]a,b[ (isto : a < x < b) Se f '(x) > 0 no intervalo a < x < b ento

f(x) crescente neste intervalo. Se f '(x) < 0 no intervalo a < x < b entof(x) decrescente neste intervalo.

Se f '(x) = 0 no intervalo a < x < b entof(x) constante neste intervalo.

E ainda:

Se f"(x) > 0 no intervalo a < x < b entof(x) tem concavidade para cima.

Se f"(x) < 0 no intervalo a < x < b entof(x) tem concavidade para baixo.

[3.6] Mximos e Mnimos relativos

Teorema: Se uma funo y = f(x) tiverextremos (mximo ou mnimo) relativos (oulocais), ento eles ocorrem ou em pontosonde f ' (x) = 0 ou em pontos de no-diferenciabilidade.


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15

[3.6.1.] Teste da derivada Primeira

Se f '(x0 - ) > 0 e f '(x0 + ) < 0 ento f temum mximo relativo (mximo local) em x0.

Se f '(x0 - ) < 0 e f '(x0 + ) > 0 ento f temum mnimo relativo (mnimo local) em x0.

[3.6.2.] Teste da derivada Segunda

Teorema: Supondo que f(x) duas vezesdiferencivel em um ponto x0 com f '(x0) = 0,ento

(a)se f "(x0) > 0 ento f tem um mnimorelativo em x0.

(b)se f "(x0) < 0 ento f tem um mximorelativo em x0.

(c)se f "(x0) = 0 nada se pode afirmar .

Exerccio 3.6.2.1 - Com Roteiro de Resoluo eResposta:

Localize os extremos relativos da funof(x) = x4 - 2x2.


[1] Fazendo f(x) = 0 vem: f(x) = x4 - 2x2 =x2.(x2-2) = 0 onde as razes reais desta equaoso: 0 (uma raiz dupla) e 2 .

[2] O grfico desta funo o seguinte:

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

1.5

[3] f '(x) = 4x3 - 4x e f "(x) = 12x2 - 4[4] fazendo f '(x) = 0 vem: f '(x) = 4x3 - 4x = 0.A equao 4x. (x2 - 1) = 0 tem para razes: 0,+1 e -1.

[5] Nos pontos onde x = 0, x = 1 e x = -1, asderivadas segundas valem:

f "(-1)= 8 > 0 f tem um ponto demnimo relativo em x=-1

f "(0) =-4 < 0 f tem um ponto demximo relativo em x=0

f "(1)= 8 > 0 f tem um ponto demnimo relativo em x=1

Exerccio 3.6.2.1 - Com Resposta:Encontre os pontos de mximo e mnimo dafuno y= 2x3 + 3x2 - 12 x - 7.

Resposta: (-2,13) um ponto de mximorelativo e (1,-14) um ponto de mnimo relativo.

[3.7] Pontos de inflexo

Os pontos xo onde f (xo) = 0 so ditos pontoscrticos, mas nem todo ponto crtico e ponto demximo relativo ou de mnimo relativo. Vejaas funes y = x1/3e y = x3, que tm um pontocrtico em (0,0), mas que no so pontos nemde mximo nem de mnimo, so pontos deinflex.o

-2

- 8

8

2

-2

2

8

- 8

(0,0) um ponto de imflexo

(0,0) um ponto de imflexo

[3.8] Problemas de Mximos e MnimosProblema Modelo 3.8.1: Acheo retngulo de maior reapossvel sabendo que o seupermetro 100 m.


[1] Permetro do retngulo: 2x + 2y = 100[2] rea do retngulo: A= x.y

x

x

y y


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16

[3] Substituir y em [2] e derivar.[4] Calcular (igualando a derivada 1a a zero) eanalisar o ponto crtico da funo, atravs daderivada segunda.

Resoluo:

A= - x2 + 50 x; 502 += xdxdA ; fazendo

0=dx

dAobtm-se x = 25; 02

2

2


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17

[4.2] Corolrio do Teorema anterior:

Se f(x) = +

=

0n

nn xc para todo -r < x < r ento

f(x) pode ser escrita como sendo:

...!

)0)(0(

...!4

)0(

!3

)0('"

2

)0("

)0(')0(

)(4)(32

+

++++++ n

xfxfxfxf

xff

nnIV

(que denominada srie de Mclaurin). A prova deste corolrio (conseqncia) baseada na provado Teorema anterior, bastando tomar naquele: a = 0.

Exerccios Importantes:1) Determinar as srie de Mclarin para:(a) ex = (b) sen x = (c) cos x =

(d) ln x = para 0 < x 2 (e)x1

1

para |x|


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18

[2] Calculardx

dy quando x = 1 sendo dados

y =1

1

+ue u = 3x2 - 1.

Resposta:

222 )13(6

)1(6

=

+=

xx

ux

dxdy e

32

96)1( ===x

dxdy

[5.3] Derivada das Funes TrigonomtricasInversas

[5.3.1] Dada a f(x) = y = arc sen x, com

f: [-1,1] [2

,2

], podemos rescrev-la como

sendo:

x = sen y com y [ 2,2

] (1)Derivando a expresso (1) em relao a x vem:

yyyy

dx

yd

dx

xd

cos

1''.cos1

)(sen)(=== (2)

Como sen2 y + cos2 y = 1 podemos escrever:

cos y = y2sen1 (3)substituindo (3) em (2) obtm-se:

y

y2sen1

1'

= (4)

substituindo (1) em (4) obtm-se:

211'x

y

= .

Generalizando:'.

1

1'sarc

2u

u

yueny

==

[5.3.2] Para f(x) = y = arc cos x, f: [-1,1] [0, ], de forma anloga a anterior, pode-seobter:

'.1

1'ucosarc

2u

u

yy

==

[5.3.3] Para f(x) = y = arc tgx, f: R [2

,2

]

podemos reescrev-la como:

x = tg y com y [2

,2

] (1)

Derivando a expresso (1) em relao a x vem:

yyyy

dx

ytgd

dx

xd2

2

sec

1''.sec1

)()(=== (2)

Como sec2 y = tg2 y + 1 podemos escrever:

1

1'

1

1'

22 +=

+=

xy

ytgy

Generalizando: '.1

1'utgarc

2u

uyy

+==

[5.3.4] Para f(x) = y = arc cotgx, f: R [ ,0 ],de forma anloga a anterior, pode-se obter:

'.1

1'ucotgarc

2u

uyy

+

==

Tabela de Derivadas deFunes Trigonomtricas Inversas

15. y = arc sen u 16. '.1

1'

2u

u

y

=

16. y = arc cos u 17. '.1

1'

2u

u

y

=

17. y = arc tg u 18. '.11

' 2 uuy += 18. y = arc cotg u 19. '.

1

1'

2u

uy

+

=

19. y = arc sec u 20. '.1.||

1'

2u

uu

y

=

20. y = arc cosecu

21. '.1.||

1'

2u

uu

y

=

Observao importante: As derivadas acimaindicadas como u' devem ser entendidas como

'xu , isto , derivadas com relao a x.

[5.4] Derivada das Funes HiperblicasAs funes hiperblicas fundamentais so:

1) O seno hiperblico de x:2

senhxx ee

x

=

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

2) O co-seno hiperblico de x:

2cosh

xx eex

+=

-4 -2 2 4

-1

1

2

3

4


20/58

19

3) A tangente hiperblica de x:

xx

xx

ee

ee

x

xxtgh

+

==

cosh

senh

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Observao: As funes hiperblicas inversasso definidas a seguir:

xcosh

1xhsec =

senhx

1xhseccos =

senhx

xcoshxcotgh =

Tabela de derivadas das Funes Hiperblicas:

y= senh udx

duu

dx

dycosh=

y= cosh udx

duu

dx

dysenh=

y= tgh udx

duuh

dx

dy 2sec=

y= sech udx

duuu

dx

dytghsech=

y= cossech udx

duuu

dx

dycotghsechcos=

y= cotgh udx

duu

dx

dy 2cosech=

Algumas propriedades das funeshiperblicas:

Clculo da Derivada de Funes Hiperblicas

Inversas

Seja: y = arg senh x x = senh y

yyyy

dxyd

dxxd

cosh1''.cosh1)(senh)( ===

como cosh2x - senh2 x = 1, podemos escrever

que:

22 1

1'

1

1

cosh

1'

xy

xsenhyy

+=

+== de

onde:

y = arg senh u '.

1

1'

2u

u

y

+

=

y = arg cosh u '.1

1'

2u

u

y

= com u >

1

A Catenria: As funes hiperblicas tm grandesaplicaes na modelagem de problemas mecnicosque envolvam movimentos vibratrios e onde aenergia mecnica seja gradualmente absorvida pelomeio ambiente. Elas tambm ocorrem nos casos emque cabos flexveis e homogneos sejam suspensosentre dois pontos, como os casos de linhas detransmisso de energia eltrica e cabos telefnicos.A curva formada por estes cabos denominada

catenria (do latim: catena = cadeia). Pode-semostrar utilizando-se princpios da Fsica que a

equao da catenria b

xay cosh.= .

cosh2x - senh2 x = 1

1 - tgh2 x = sech2 x

cotgh2 x - 1= cossech2 x

x

y


21/58

20


22/58

21

4 UNESP/UNESP/UNESP/UNESP/GuaratinguetGuaratinguetGuaratinguetGuaratinguet ---- Clculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #04 - IntegraisProf. Aury de S Leite - [email protected]

NOTAR QUE:

O que se estudou at agora foi o ClculoDiferencial, a partir daqui estaremos estudando oClculo Integral.

[1] O Conceito de Integral Indefinida

[1.1] A AntiderivadaDefinio: Uma funo F chamadaantiderivada de uma funo f em um dadointervalo I se F '(x) = f(x) para todo xI.Exemplo: a funo F(x) = 5x2 + 4x - 6 aantiderivada de f(x) = 10x + 4 = F(x) nointervalo ], +[. No entanto, F(x) no anica antiderivada possvel para f(x) nesteintervalo. Note que F(x) = 5x2 + 4x + c, paraqualquer valor real de c tambm satisfaz condio. Assim, poderamos ter que: F(x) =5x2 + 4x 10, F(x) = 5x2 + 4x ou F(x) = 5x2 +4x + 3 poderiam ser a antiderivada de f(x)=10x + 4.

TEOREMA: Se F(x) for qualquerantiderivada(*) de f(x) em um intervalo I, entopara qualquer constante c a funo F(x) + c tambm uma antiderivada de f(x) naquele

intervalo.Exerccios: Calcule as antiderivadas dasfunes abaixo

a) f(x) = 55

1x F(x) =

b) f(x) = sen x F(x) =

c) f(x) = 6x2 - 4x + 5 F(x) =

d) f(x)= 36

5

43

23

++xxx

F(x) =

NOTAR QUE:O processo de encontrar antiderivadas chamadode antidiferenciao ou integrao.

[1.2] Integrais - Frmulas Imediatas ePropriedades

1. += cxdx 2. = dxxfcdxxfc )(.)(.

(*)A antiderivada de f(x) tambm chamada primitiva de f(x).

3. +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

4. +=+ dxxgcdxxfcdxxgcxfc )()()](.)(.[ 2121 5.

++=+

cn

xdxx

nn

1

1

[1.3] Exerccios: Calcule as integrais

a) =+ dxx )53( b) =dxx3 2

c) =+ dxxx

)11

(44

d) = dxxx )35(24

[2] Integrao por Substituio (u,du)

Como obter a primitiva def(x) para aseguinte integral:

I = dxxxdxxf +=212)( ?

Note que nenhuma das frmulas anterioresserviria para calcular a primitiva da f(x). Noentanto pode-se utilizar um artifcio quepermitir a obteno do que foi pedido. Podemos fazer uma mudana de variveis:

seja adotar: 1+x2 = u du = 2x dx, assimteremos:

=+===+= cuduuduudxxxI2

3122

3

21

2

cxx

cx

cx +++

=++

==++=3

1).1.(2

3

)1(2)1(

3

2 2232

23

2

Tente derivar a primitiva F(x) para obter f(x).IMPORTANTE:

Resolver: I= =+ dxxx213


23/58

22


a) =+ dxx 43 b) =+ dttt82 )35(

c) = dxxx5 32 47. d) =

25xdx

Respostas:a) cx ++ 2

3)43(

9

2 b) ct ++ 92 )35(54

1

c) cx + 56

3 )47(72

5 d) cx + 255

2

[2.2] Exerccios para fazer e conferir: Calcule as integraisatravs da substituio do tipo "u,du"

a) cxdxxx += 80)35(

)35(.83

72

b) cxdxxxdxxx +

== 32242 )41(121

41.4

c) cxxdxxx

xx +++=++

+2

123

23

2

)13(32132

[2.3] Exerccios: Calcular as integrais utilizando assubstituies indicadas em cada caso:

a)Exerccio importanteI= = dxxx 1. a1) adotando u = 1x

a2) adotando u = x 1b)Exerccio importante

I=

=

+1

x

dxx b

1) adotando u =

1+x

b2) adotando u = x+1c)Exerccio importante

I= = dxxx .)1( 71

adotando 1 x = y7

d) I= = dxxx .32 adotando u = x3

e) I= = dxx

x )2

12( adotando u = x2

f) I= =+ dxxx

3 adotando u= 3+x g) I= = dxxx )23( adotando u = x

Respostas:a1) u

= 1x u

2= x1 x = u

2+ 1 dx =

2u du:

I= cxx

+

+

3

)1(.2

5

)1(.2 35

a2) u = x 1 du = dx e x = u + 1

( ) ==== duuduuuduuuI uu-1 21

23

= cxx

+

+

3

)1(.2

5

)1(.2 35

b1) u2 = x +1 x = u2 1 dx = 2u du

b2) u = x + 1 du = dx e x= u-1

I= cxx

+++

1.23

)1(.2 3

c) 1 x = y7 x = 1y7dx= -7y6dy deonde:

I= cyydyyyy ++= 157

8

7)7).(-(1.)(

158677

17

d) I= cxxx ++7

)3(2)3(

5

12)3(6

643

e) I= cxx + 23 )2(3

f) I= cxx +++ 36)3(3

2 3

g) I= cxx +3

4

5

6 35

[3] - Integrais - Formulrio (continuao)

6. += cuduu ln

1

7.cedue

uu +=


a) I= =+ 22x

dx b) I = =+ dxxbatgxx

sec

.sec

c) I= =

+ dxx

xx

2

42

Sugesto: dividir os polinmios e representar opolinmio, de acordo com a frmula:

P = DQ+R D

RQ

D

P+=

d) I= = dxxex 23 e) I= = xe

x 2cos.2sen

f) I= +12

2

x

x

e

dxe g) I= =+13

x

dxx

Respostas:

a) I= cxcxcx ++=++=++ 1ln22ln)22ln( 21

???


24/58

23

b) I= cxbab

++ )secln(1 c) cxxx +++ )2ln(23

2

2

d) I= cex

+3

3

e) I= cex +2sen

2

1

f) I= cece xx ++=++ 1)1( 2212

h) Observar que: =+1

3

x

x x2 - x + 1 -1

1

+x

Ento: I= cxxxx +++ )1ln(23

23


8.

+= cuduu cossen

9. cuduu += sencos

10. cucuduu +=+= coslnseclntan

11. cuduu += senlncot

12. ctguuduu ++= seclnsec

13. cuuduu += cotcosseclncosec

14.

+= csecdutansec uuu 15. += ccossec-ducotseccos uuu

16. += cuandusec2 tu

17. += cuco-ducossec2 tu


a) I= = dxx4sen b) I = =dxx

3cos

c) I= =dxx

xtan d) I = =dxxx23cot

e) I = =dxx4sec f) I= = dxxx

seccos1

g) I= =dxxx

4tan.

4sec h) =dx

xx

4tan.

4sec2

i) I= =dxxxx lncot.lnseccos

j) I= =dxxx cos.sen k) I= =+ dxx )13(sec2

l) I= =dxeexx 323 seccos

Respostas:a) u = 4x ;

I= cx

+

4

4cos

b) u =3

x ; I =

cx

+3

sen.3

c ) u =x1/2 ; I= cx |sec|ln2 21

d) u = 3x2; I= cx +|3sen|ln6

1 2

e) u =4x; I= cxtgx ++ |44sec|ln4

1

f) u = x ; I= cxx + |cotseccos|ln2

g) u =4

x ; I= cx +4

sec4

i) u = dxxdux 41.4sec4tan 2= ou tgxdxxduxu .secsec ==

j) xu sen= ou xu cos= (confira aresposta)k) u = ln x; I= - cossec ln| x| + c

l) u = e3x; I= ce x +3cot3

1


18. += c2usen41-2udusen2 u

19. ++= c2usen4

1

2

uducos2 u


a) I= = dx2cos2 x b) I= = dxxcos.sen

32 x

c) I= = dx2sen3 x d) = dx2x2x.sencos

34

Respostas:

a) I= cxx +

+

4

4sen

2

1 b) I= cxx +5

sen

3

sen 53

c)

I= cxx +6

2cos

2

2cos 3

d)

I= cxx ++14

2cos

10

2cos 75


25/58

24

[6] EXERCCIOS RESOLVIDOS(miscelnea)

1) I= +=

+=

+

34

3

41

3

1x

dxdxdx

xdx

x

x de

onde obtemos I cxx ++= 3ln4

2) I= ( ) =+ dxeexx .23 2 u= dxedue xx 223 =+ 3+2

logo: I= cecuduu x ++=+=3

32 )23(

6

1

32

1

2

1

3) I= ( ) ( )dxeedxe xxx ++=+22 412923

logo: I= ceex xx +++ 22129

4) I=( )

dxe

e

e

e

edx

e

ex

x

x

x

xx

x

4129

23

22

++=

+

logo:I= cexedxedxe xxxx +++=++ 41294129

5) I= =xdx

55 u = 5 x du = dx

I= +==

cxu

du

x

dx5ln55

55

6) I= =++

+ dx

xx

xx

2

224

3

u = x4

+ x2

+ 2 du=(4x3+2x) dx

I= cxxu

dudx

xx

xx+++==

++

+ 2ln212

1

2

)2(2

2

1 2424

3

7) I= = dxxx cossen 2 u= sen x du = cos x dx

de onde: I= cxcuduu +=+= 3sen

3

332

8) I= cxcuu

du

x

dx+

=+

==

4

455

834

3

4

33

83

9) I= = dxxxln u= ln x du =

x

1dx

logo: I = cxcuudu +=+= 2)(ln

2

22

10) I= = dxxe

xln

u= ln x du =

x

1dx

assim: I= cecedue xuu +=+=ln

11) I= cedxex

x +

=

8

44

[7] EXERCCIOS RESOLVIDOS -(Difceis)

1) I= =++=+ dxxxdxx )2tan2tan21()2tan1(22

=++= dxxxdxdx )12(sec2tan22

=++= dxxdxxdxdx 2sec2tan22

21 II += = ?

fazendo u = 2x du = 2dx emI1= =dxx2tan2

I1= =duu tan ln |sec u|+ c = ln |sec 2x|+ c1 fazendo u = 2x du = 2dx, vem

I2=

222 tan

21

sec21

2sec cuududxx +==

Logo: I2 22tan21

cx +=

Veja que "c1 + c2" pode ser trocada por "c",

logo: I = ln |sec 2x|+ cx +2tan2

1

2) I= =+ dxxxtg2)2sec2(

I= =++ dxxxxtgxtg222 )2sec2sec222(

I= =++ dxxxxtgx222 )2sec2sec2212(sec

I= =+ dxxxtgdxxdx 2sec2212sec22

I =tg 2x + sec 2x - x + c

3) I= =

=

x

x

x

dx

xx

dx

2sen

2cos

2sen

12cotg2cossec

== dxxx

x

x

dx

2cos1

2sen

2sen

2cos1

Fazendo: u = 1cos 2x du = 2sen 2x dx

I= cxcuu

du+=+= |2cos1|ln2

1||ln

2

1

2

1

4) I= =+=+ dxxxdxxdxxx 222 sencos3sen2sencos32

= =+ dxxxx

dxxsen

1.

sen

cos3seccos2 2

= =+ xdxtgxdxx seccos.3seccos22

cxgx += seccos3cot2


26/58

25

5) I= =+= tgxdxxxdxtgxtgxdxtg ).1(sec.223

=== tgxdxtgxdxxdxtgxtgxx .sec).(sec22

cxxtg

+= |sec|ln2

2

Notar que: se u= tg x du = sec2x dx

6) I= === xdxtgxxdxtgxtgxdxtg22224 ).1(sec.

21222 .sec IIxdxtgxdxtgx +==

I1= 13

1

3

222 33.sec cxtg

cu

duuxdxtgx +=+===

I2= === dxxxdxtg )1(sec2

2

22 1sec cxtgxdxxdx +==

Logo: I = cxtgxxtg ++3

3

Em caso de dvida consulteseus colegas!


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26

5 UNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/Guaratinguet ---- Clculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #05 - Integrais Prof. Aury de S Leite - [email protected][1] Integrais Definidas

Definio: A integral definida de f(x), de a at

b, igual diferena:F(a)-F(b))(dx)(

b

a

=== =

=a

bxFfdxxf

bx

ax

onde F(x) uma antiderivada de f(x).

Nota: O smbolo b

a

dxf lido "a integral

definida de f(x) de a at b" sendo que osnmeros a e b so denominados limites deintegrao.

[1.1] Exemplo: Calcular o valor das integrais

a) I= =+ dxxx )46(3

1

2

b) I= = dxxx )cos.(sen2

0

c) I= =e

ex

31

[1.2] Exerccios: Verificar os resultados

a) 15)1(83

1

0

2

=+ dxxx b) 121

)(

1

0

32

= dxxx

c)2

1ln

1

=e

dxx

x d) )(55 51

0

5eedxe

x =

[2] Clculo da rea sob uma curvaConsidere o grfico da funo y = f(x),

contnua num intervalo [a,b] como dada aseguir :

xxxxx x

y

ba

y = f(x)

x =n

ab

b a

Seja calcular a rea limitada pelo o eixo dosx e a curva, desde a at b. A regio que

denominaremos R, cuja rea desejamoscalcular, limitada pelas retas: x = a; x = b (retas verticais) e y = 0 (reta horizontal) e pelacurva y = f(x).Mtodo dos Retngulos

Divida o intervalo [a,b] em "n" subintervalosiguais, isto , cada intervalo deve ter a "medidaconstante"

n

abx

= .

Para cada um destes subintervalos construa umretngulo cuja altura seja o valor de f(x) emalgum ponto do subintervalo (veja a posio dassetas na figura anterior);

A unio de todos estes retngulos chamaremosRn que poderemos considerar como umaaproximao da rea A da regio R.

Assim poderemos definir a rea R como sendo:A = rea da regio R = )R(lim n

derea

n +

[3] Integral de Riemann

Definio: Dizemos que uma funo Riemann-Integrvel ou simplesmente integrvel em umintervalo finito e fechado [a,b], se o limite

=

=

n

k

kkx

b

a

xxfdxxf1

*

0max)(lim)(

existir e no depender da escolha da partio(tamanho dos intervalos tomados sobre o eixo dosx) ou dos pontos *kx no subintervalo.

[4] Exemplo Importante

Seja calcular as seguintes integrais e analisar

os resultados:

(a) =2

0

xdxsen

(b) =

0

senxdx (valor obtido devido simetria do grfico)

(c) =2

0

senxdx


28/58

27

Grfico de (a) Grfico de (c)

2

-1

1

2

-1

1

[5] Aplicaes de Integrais[5.1] Clculo de reas planas

Problema 1: [A ser resolvido em sala de aula]

Dada a curva y = x3 6x2 + 8x, ache a rea sob o

arco de curva que vai desde a interseo com o eixo

Oy at a primeira interseo com Ox direita da

origem do sistema cartesiano.

1 2 3 4

-4

-2

2

4

Resposta: readeunidades4rea =

Problema 2: [Resolvido]

Calcule a rea entre a curva x2 = 16 - 4y e oeixo Ox.

1o Passo: Esboar o grfico.

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

3

2o Passo: Montar a integral.

+

=

=+

)1612

64()16

12

64(

4-

4x4_

12

xdx)4

4

x(

34

4

2

3

64

3

963232

3

3232

12

128=

+=+

=+

= unidades de

reaObservar que, devido simetria da figuracom relao a Oy:

=

=+

= 0

4x4_

12

x2dx)4

4

x(2A

34

0

2

rea.u3

64

3

9632)16

3

16(2)0()16

12

64(2 =

+=+

=+

=

Problema 3: [Resolvido] Calcule a reacompreendida pela curva dada pela equao

22

)2( = xxy .A funo dada equivale a: 2)2( = xxy cujo grfico

possui duas regies simtricas com relao ao eixo Ox, :

1

-1

1

x)2x(y =

x)2x(y =

(0,2)

A1= === dx)x2x(dx)x2xx(ydx 212

0

2

32

0

2

0

= =+=+ 0)x23

22

5

2(

0

2

23x

2

25x 352

3

2

5

15

216

15

240224

3

28

5

28=

+=+


29/58

28

Resposta:

rea Total = 2A1=15

232

15

2162 = u. de rea

Problema 4: [A ser resolvido em sala de aula]Calcular a rea entre as curvas (1) y = x e (2) y= 6x-x2.

Esboo do grfico:

(1)

(2)

== dx)yy(A 15

0

2

Resposta:6

125 unidades de rea

Problema 5: [Com resposta] Se uma superfcie

est delimitada por y = 0 e y = x2 + 3 desde areta x = 1 at a reta x = 2, qual a sua rea?

-2 -1 1 2 3

4

5

6

7

8

9

Problema 6: Calcule a rea limitada pelas curvas

(1) y = 4 x2 e (2) y = 4 4x.

Grfico:

y

y2y1

4

(4,-12)

=+===4

0

24

0

21

4

0

dx)x44x4(dx)yy(dxyA

=+= dx)x4x(4

0

2 ...

= rea.u3

32

Problema 7: Achar a rea limitada pelas curvas:x2y = x2 1 e as retas y=1, x=1 e x=4

2

22

x

11y1xyx ==

onde: para x = 1 y = 0;para x = 0 y +e para x + y = 1

Resposta: readeunidades4

3

Problema 8: PROBLEMA IMPORTANTECalcular a rea delimitada pelas curvas: (1)

y2 = 4x e (2) y = 2x 4 utilizando(a)retngulos elementares verticais;

(b) retngulos elementares horizontais.Resposta: rea Total = 9 unidades de rea

Problema 9:PROBLEMA IMPORTANTE - Resolvido

Calcular a rea delimitada pelas curvas:(1) y2 = 6x e (2) x2 = 6y utilizando (a) retnguloselementares verticais; (b) retnguloselementares horizontais.

Resposta:12 unidades de rea


30/58

29

a) ===6

0

26

0

2

16

0

2

dxx6

1dxx6dx)

6

xx6(A

=== 0)3

6.

6

1

3

6.62(

0

6

18

x

3

x26

3332

3

readenidadesu123

363

363

72 ===

b) 12...dyy6

1dyy6dy)

6

yy6(A

6

0

26

0

2

16

0

2

====

Problema 10: (Para pensar e dicutir com seuscolegas)

Calule a rea delimitada pelas curvas:

y = 0 , y = x e y = x6;a) utilizando retngulos elementares verticaisb) utilizando retngulos elementares

horizontais

Grfico:

96

Resposta: Verifique com seus colegas.

[5.2] Clculo de Volumes por Rotao

Seja y = f(x) contnua e integrvel numintervalo [a,b]

ba

A regio limitada pelas curvas y = f(x), x =a, x = b e y = 0, ao ser girada em torno do eixoOx gera uma figura tridimensional denominadaslido de revoluo.

h

r

Diferencial deVolume: dV

dx

y

dx

y

O volume do cilindro dado pela frmula:V =B.h = .r2.h de onde ao adotar-se r = y e h = dxpode-se escrever a diferencial de volume dV comosendo:

dxyVdxydVdxy.dVbx

ax

222

=

=

=== onde V

representa o volume so slido gerado pela rotaoda curvay= f(x) em torno do eixo Ox.

Problema 11: [A ser resolvido em sala de aula]Mostre que o volume da esfera dado pela

frmula: 3r.3

4V = .


31/58

30

Problema 12 : [A ser resolvido em sala de aula]

Calcule o volume gerado pela rotao da superfcie

plana limitada por 9x2 + 16 y2 = 144:

a) em torno de Oy (tem a forma de um po dehambrguer)

b) em torno de Ox (tem a forma de uma bola defutebol americano)

Notaro seguinte:9

y16144x

22 = e

16

x9144y

22 =

Respostas: a) V= dyx3

3y

2

=

= 64 unidades de

volume

b) V= dyy4

4x

2

= = 48 unidades de

volume

Problema 13: [Com sugestes e Resposta]

Calcule o volume do slido gerado pela rotaoem torno da reta x=2 da superfcie limitada pelaparbola y2 = 8x e pela reta x = 2.Soluo:

a

x2

x1

x = x1 x2

Volume:

=

=

b

ay

2dxxV

b

15

128dy)

8

y2(dyx

2

V4

0y

224

0y

2==

===

Logo 15

256

15

1282V ==

Problema 14 : [Com sugestes e Resposta]

Calcule o volume do slido de revoluo que seobtm girando a superfcie plana limitada pelacurva y = 4xx2 e a reta y = 3 ao ser girada emtorno da reta y = 3.

3dx

y2y1

y

4

y = y2 y1

O s l i d o d e r e v u l og e r a d o d e s t a f o r m a

v a i s e r p a r e c i d o c o mu m b r a c e l e t e

=== ==

3

1x

223

1x

2 dx)3xx4(dxyV

15

16dx)9x24x22x8x(

3

1

234 =++=

Estude cada um destes problemas e discuta asresolues com seus colegas.


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31

6 UNUNUNUNESP/GuaratinguetESP/GuaratinguetESP/GuaratinguetESP/Guaratinguet ---- Clculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #06 - Tcnicas de Integrao[1] Integrao por Partes

A frmula da derivada do produto a seguinte:

u.dxdvv.

dxdu

dx)v.u(d +=

que pode ser reescrita sob a forma de diferencial como

d(u.v) = u.dv + v.du u dv = d(u.v) v du

que ao ser integrada resulta o seguinte:

= duv)v.u(ddvude onde poderemos tirar a frmula de integrao porpartes:

= duvv.udvu

[2] Exerccios a serem feitos em Sala de Aula

Resolva por partes as integrais a seguir:

a) = dxe.xx b) = dxxsen.x

c) = dxxln.x d) = dxx2cos.x

Resposta do exerccio (d):

I = x sen 2x + cos 2x+c

[3] Exerccios com resposta:

a) c9

xxln

3

xdxxlnx

332 +=

b) cxx5lnxdxxln5 +=

c) c5

xxlnxdxxlnx5

554 +=

[4] Exerccios Modelo - Resolvidos

Exerccio Modelo 1: Calcular I= dxxcos.x .

Fazendou = x e dv = cos x dx du = dx e v = sen x

Temos:

I= == dxvv.udxxcos.x = ++= cxcosxsen.xdxsenxsen.x

Exerccio Modelo 2: Calcular I= dxxln .

Fazendo u = lnx e dv = dx du =x

dx e v =x

Temos:

I= == duvv.udxxln

= +== cxxlnxdxxlnxxdx

xxln.x

Exerccio Modelo 3: Calcular I= dxexx2 .

Fazendo u = x2 e dv = ex dx du = 2x dx ev = exTemos:

I1 = === dxxe2exdxvv.udxexxx2x2

2x2xx2 I.2exdxxe2ex ==

Fazendo u = x e dv = ex dx du = dx e v =ex

I2 = xexxx exedxexeduvv.udxxe ===

Logo: I1 = ce2xe2exI.2ex xxx22x2 +=

Exerccio Modelo 4: Calcular I= dxcosxex .

Fazendo: u = ex e dv = cos x dx du = ex dx e v= sen xTemos:

I= == dxsenexsen.edxvv.udxxcosexxx

Fazendo: u = ex e dv = sen x dx du = ex dx e v= -cos x

I= += dxxcosexcosexsen.edxsenexsen.exxxxx

Note que a integral a ser calculada a mesma Iinicial. Podemos assim, escrever o seguinte:

2 I = cxxexexe xxx ++=+ )cos(sen2

1Icossen.

I


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32

Exerccio Modelo 5: Calcular I= dxcosxx2 .

Resoluo:Fazer: u = x2 du = 2x dx e dv = cos x dx v = sen x

I = === dxx2.xsenxsenxduvuvdvu2

1

22 Ixsenxdxx2.xsenxsenxI == Para calcular I1 fazer:u = x du = 2 dx e dv = sen x dx v = -cos x

+== ]xdxcosxcosx.[2dxxsen.x2I1 12 cxsen2xcosx2I ++=

Logo: cxsen2xcosx2xsenxI 2 ++=

Exerccio Modelo 6: [Difcil] CalcularI= dx)x1ln( .

Fazer : u = ln(1x) du =x1

1

dx e

dv = dx v = x

I = =

== dxx1

xx)-ln(1x.duvuvdvu

1I)x1ln(.xdxx1

x)x1ln(.xI +=

+=

Para calcular I1, dividir x por 1-x e indicar adiviso:

=+=+== dxx11

dxdx)x1

11(dx

x1

xI1

1c)x1ln(xulnxduu1x +===

Finalmente:cx)x1ln().1x(c)x1ln(x)x1ln(.xI +=+=

[5] Integrao de funes Racionaispelo Mtodo das Fraes Parciais

Motivao: Efetuar a seguinte adio defraes algbricas:

=+

5x

31x

2

Tomar a soluo da adio anterior e buscar as

fraes algbricas (fraes parciais) quesomadas produzam aqueleresultado:

5x

B

1x

A

)5x)(1x(

13x

++

=

+

+ qual o valor de

A e de B?Exerccio Modelo Baseado no raciocnioanterior:

=

++

=

+

+dx

xxdx

xx

x

5

3

1

2

)5)(1(

13

+++=++ c)3xln(3)1xln(2dx5x3

dx1x

2

[6] Exerccio modelo

Resolver a integral: I= +

dxx4x

20x14x63

2

Soluo:2x

C

2x

B

x

A

)2x)(2x(x

20x14x6

x4x

20x14x6 2

3

2

++

+=

+

+=

+

fatorando x2 4 obtm-se: x2 4 = (x2)(x+2))2x(Cx)2x(Bx)2x)(2x(A20x14x6 2 ++++=+

Fazendo os clculos obtm-se: A = 5; B = 4 e C =3

Logo: =+

+

+=

+ dx)2x

3

2x

4

x

5(dx

x4x

20x14x63

2

c)2xln(3)2xln(4xln5 +++=

[7] Teoria e Exerccios-Modelo Resolvidos

H quatro casos a serem considerados:

1o Caso: O denominador fatorvel emfatores do primeiro grau distintos.

2o Caso: O denominador fatorvel emfatores do primeiro grau repetidos.

3o Caso: O denominadorao ser fatoradoapresentafatores quadrticos distintos.

4o Caso: O denominadorao ser fatoradoapresentafatores quadrticos repetidos.

[7.1.] Exerccio Modelo 1 ( 1o Caso):

Resolver a integral: I = ++ dx

8x2x7x

2

1o Passo: Fatorar o denominador- Fazendo x2 +2x 8 = 0 obtm-se x1 = 4 e x2=2 de onde:x

2 + 2x 8 = a.(xx1).(xx3) = 1 . (x+4) . (x2) (fatoraoesta que somente contm fatores do primeiro grau

no repetidos).2o Passo: Igualar e comparar

2x

B

4x

A

)2x)(4x(

7x

+

+=

+

+ x + 7 = A(x-2) +

B(x+4)

IMPORTANTE: A equao x + 7 = A(x-2) +B(x+4) pode ser facilmente resolvida atribuindo-seao x os valores das razes ( 2 e 4) do polinmioencontrado no denominador:

x = 2 9 = 6B 2

3B = e x = 4 3 = 6A

2

1A

=


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33

Logo:

I = =

+

=+

+ dx))2x(2

1

)4x(2

3(dx

)2x)(4x(

7x

c)4xln(2

1)2xln(

2

3++=

[7.2.] Exerccio Modelo 2 (2

o

Caso):Resolver a integral: I =

+dx

x2x

4x223

Veja que a fatorao: x3 2x2 = x2 (x-2) contm ofator x2 que eqivale a x.x. que so fatores doprimeiro grau repetidos, assim teremos:

2x

C

x

B

x

A

x2x

4x2223

++=

+ de onde:

2Cx)2x(B)2x(Ax4x2 ++=+

e: B2x)BA2(x)CA(4x2 2 +++=+ [1]Fazendo em [1]: x = 0 B = 2; x =2 C = 2

De [1] pode-se tirar ainda, que : A + C = 0 A =C = 2

Logo: I = =

+=

+ 2x

dx2

x

dx2

x

dx2dx

x2x

4x2223

cx

2)

x

2xln(2c)2xln(2

x

2xln2 ++

=+++=

[8] Exerccios propostos com respostas:[8.1] Escrever as expresses sob a forma de fraesparciais:

a)1)1(

3

+=

+

x

B

x

A

xx

xResposta: A = 3 e B = 4

b)22 )1(1)1(

3

+

=+

x

Bx

A

x

x Resposta: A = 1 e B = 4

c)2222 )1(1)1.(

3

++

+++=

+

+

x

D

x

C

x

B

x

A

xx

x

Confira com seus colegas os valores de A, B, C e D

[8.2] Resolver as integrais:

a)

I= =

+ dxxx

2x3x4x324

23

dx1x

D

1x

C

x

B

x

A2

+

+++

onde: A = 3; B = 2; C = 1; D = -1.

Resposta:I= c)1xln()1xln(x

2xln3 ++++

b) I= + 2)1x).(1x(

dx Sugesto: A = ; B = ; C=

Resposta: I = ln(x+1) ln(x-1) + )1x(

1

+ c

[9] 3o e 4o casos: fatores quadrticos nodenominador

a) I= =+

+ dxx4x

4xx23

2

Sugestes:

)4x(xx4x 23 +=+

ento:4x

CBx

x

A

)4x(x

4xx222

2

+

++=

+

+ , de onde:

x)cBx()4x(A4xx2 22 +++=+ e A = 1; B = 1 e C =-1.

dx4x

1

4x

x

x

1

dx4x

1x

x

1

dxx4x

4xx22223

2

+++=

+

+=+

+

Usar a seguinte Frmula: x)a

x(tg

a

1

ax

dx 122

+=+

Resposta: I= c)2

x(gcot

2

1)4xln(

2

1xln 2 +++

b) I= =+

++ dx)1x(x

1xx2x22

23

Sugestes:

ento:22222

23

)1x(

EDx

1x

CBx

x

A

)1x(x

1xx2x

+

++

+

++=

+

++

22

222

22

23

)1x(x

x)EDx()1x(x)CBx()1x(A

)1x(x

1xx2x

+

++++++=

+

++

de onde: A = 1; B = 1; C = ; D = 1 e E=0.Resposta: I= c

)1x(2

1xcotg

2

1)1xln(

2

1xln

2

2 ++

++

[10] Integrao por SubstituioTrigonomtrica

Em algumas integrais certas expresses sob

radicais podem ser substitudas por expresses

trigonomtricas que acabam por facilitar a

integrao.

Ser mostrado em aula um esquema quefacilita a deduo para as trs substituiespossveis, utilizando:

(1o) sen =a

bu (2o) tg =a

bu (3o) sec =a

bu

(1o caso) 222 uba

222

uba

abu

(2o Caso) 222 uba +

222 uba +

a

bu

tg =a

bu

u = tgb

a

du = 2secb

a d

sen =a

bu

u = senb

a

du = cosba

d


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34

(3o Caso) 222 uba +

222 uba +

a

bu

[11] Exerccios Modelo

a) Calcule + 422 xx

dx

Substituio do tipo 22 bua + com:a = 2; b = 1 e u = x

2222 x4uba +=+

a = 2

bu =1.x

2

xtg = x = 2 tg de onde dx = 2 sec2 d

I = ==+

=+

sec2.4

sec2

44)2(

sec2

42

2

22

2

22 tg

d

tgtg

d

xx

dx

=== dcos.sen4

1d

cos

sencos

1

4

1

tg4

dsec 2

2

22

Fazendo: u = sen du = cos d vem:

I = csen4

1c

1u

41

duu41 12 +

=+

=

Da figura: sen =2x4

x

+, ento: I =

x4

x4 2+ +c

b) Calcule 22 x4x

dx

Substituio do tipo 22 bua com a = 2; b = 1 e u = x

2222 x4uba =

a = 2bu =1.x

2xsen = x = 2 sen de onde dx = 2 cos d

I =

=

2222 sen44)sen2(

dcos2

x4x

dx =

====

dcossec

4

1

sen4cos2.)sen2(

cos2 222

dd

ccot4

1+= mas pela figura: cot =

x

x4 2 ,

ento:

I = c

4

4

1 2

+

x

x

c) Calcule

dxx

9x 2

Substituio do tipo 22 bua + com a = 3; b = 1 eu = x

2222 x9uba +=+

a = 3

bu =1.x

3

xsec = x = 3 sec de onde dx = 3 sec tg

d

I =

=

d

sec3

tgsec3.9sec9dx

x

9x 22 =

==== d)1(sectg3dtg.tg322

+= c3tg3d3dsec3 2

Da figura podemos tirar que: tg =3

9x 2 e =arc

sec3x

A partir do que, pode-se escrever finalmente, que:

I = c3

xsecarc39xc

3

xsecarc3

3

9x3 22

+=+

sec =a

bu

de onde: cos

=bu

a

u = secba

du =


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35

[12] Integrais Imprprias

Denomina-se integral imprpria quela cujo intervalode integrao infinito ou que possua assntotas verticaisno extremo ou contida no intervalo de integrao. Veja osexemplos a seguir:

(1) Integral imprpria com intervalo infinito de integrao:

-2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

xey =

==== +

+

+

0)e(limdxelimdxeIx

0

x

0

x l

l

l

l

1)10()1e(lim =+=+ +

l

l

(2) Integral imprpria com descontinuidade infinita num dosextremos do intervalo de integrao:

x1

1)x(fy

== decontnua em x=1 e no existe para x >1.

-1 -0.5 0.5 1

2

4

6

8

10

[ ] ==

=

= 0x12lim

x1

dxlim

x1

dxI

1

0

1

1

0

l

l

l

l

[ ] 20

212lim1

=+=

ll

l

(3) Integral imprpria com alguma descontinuidade infinitacontida no intervalo de integrao

421

=

4

13 2)2x(

dxI

21

2

1

4

23 23 2

4

13 2

II)2x(

dx

)2x(

dx

)2x(

dxI +=

+

=

=

de onde, calculando-se I1 e I2 teremos o seguinte:

3)21(3)2(3lim)2x(

dxlimI 3

13

1

21

3 221 =

=

=

lll

l

331

31

2

4

3 222 23)2(3)24(3lim

)2x(

dxlimI =

=

=

++ lll

l

O que vai nos dar como soluo:

)21(3I 3+=

Exerccios: Resolver as integrais

a) =

dxe7

x b) =

=

+

+

+

m

3 2m

22

3 2 )2x(

dxlim

)2x(

dx

ll

Observao Importante Vamos analisar as seguintes integrais imprprias:

dxx

1edx

x

1;dx

x

1

13

12

1

+++

+====+++

+

)1ln(lnlim1xlnlimdxx1

limdxx

1

11

ll

ll

l

l

11

1limdxx

1limdx

x

1

12

12

=

==

++

+

lll

l

2

1

2

1

2

1lim

1x2

1limdx

x

1limdx

x

122

13

13

=

=

==

+++

+

l

l

ll

l

l

v-se que a primeira integral divergente, sendo que asoutras duas so convergentes.

Podemos comparar as integrais imprprias acima e os

respectivos grficos dados na figura abaixo.

1

1

3x

1y =

2x

1y =

x

1y =

Apesar dos grficos serem muito semelhantes, a rea sob eles,desde 1 at +, para um igual a , enquanto para o outro igual a 1 e, finalmente, uma das reas calculadas tende a infinito.O seguinte teorema formaliza este fato:

Teorema:

diverge.dxx

11pse,

1p

1dx

x

11pSe

1p

1p

++

=>


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36

[13] Miscelnea de Exerccios Verifique o tipo de mtodo a ser utilizado em cadauma das seguintes integrais, resolva-a e compare oresultado obtido com a resposta dada.

1) Calcular a integral I = 2x5

dx

2) Calcular a integral I = dxex 3x2 3) Calcular a integral I = 5x

dxx2

4) Calcular a integral I = dxx

xnl

5) Calcular a integral I = dxtgx 6) Calcular a integral I = dx

x41

x2

7) Calcular a integral I = dxx1x2 2 + 8) Calcular a integral I = + dx)2xcos(x 43 9) Calcular a integral I = dxx3cosx 10)Calcular a integral I = dxxn l 11)Mostre que a integral I = dxex x2 vale

ce2xe2ex xxx2 ++ .

12)Mostre que a integral I = dxsen xex vale c)xcosx(sene

21 x + .

13)Calcule a integral I = dx1x

xx3

+

14)Calcule a integral I = dx2xx

5x2 +

+

15)Deduzir as frmulas de substituiotrigonomtrica e fazer a substituio em:

I1= + 9xx

dx22

; I2= 9xx

dx22

;

I3= + 22 x9x

dx

S consulte as sugestes aps tentarresolver os exerccios e tirar as dvidas com

seus colegas

[13.1] Sugestes e Respostas

1) Adotar u = 5x- 2; I = c2x552 +

2) Adotar u = x3 ; I = ce31 3x + 3) Adotar u = x2 5; I = c)5(xn

21 2 +l

4) Adotar u = xnl ; I = c2

x)n( 2+

l

5) dxxcos

xsendxtgx = ; u = cos x;

I =c|xsec|nc|xcos|nc|xcos|n -1 +=+=+ lll

6) Adotar u = 1 4x2 ; I = cx414

1 2 +

7) Fazer u = x2; I = c)1x(3

2 232 ++

8) Fazer u = x4 + 2; I = c)2xsen(4

1 4 ++

9) Fazer u = cos 3x du = 1/3 sen x dx ;dv = cos3x dx v = 1/3 sem 3xI = cx3cos

9

1x3senx

3

1++

Lembrar que:

+= cx3sen31

xdx3cos e

+= cxcos31

xdx3sen

10)Fazer u = xnl du = 1/x dx e dv = dx v = x de onde I = cxxnx +l

11)Passagem intermediria: I= xx2 xe2ex x12)Passagem intermediria:

I= + dxxsenexcosexcosexxx x

note que a ltima integral igual integraloriginalmente propostas, ou seja I =

dxsen xex .13)O numerador um polinmio de grau maior

que o polinmio do denominador, ento,dividir o numerador pelo denominador , deonde:

I= dx)1x

22xx( 2

+++

Resposta: I = c)1x(n2x22

x

3

x 23++++ l

14)I= +

dx

2x

1dx

1x

2 =

c)2x(n)1x(n2 ++ ll 15)Discutir ou conferir com seus colegas


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UNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/Guaratinguet ---- Clculo DifeClculo DifeClculo DifeClculo Diferencial e Integral Irencial e Integral Irencial e Integral Irencial e Integral IMaterial Auxiliar #07 - Traado de Grfico da Funo x2 + y2 + z2 = 9


ESTUDO DIRIGIDO

Exerccio Modelo 1: Analisar a equao: x2 + y2 + z2 = 9 geometricamente e analiticamente. Plotar ogrfico e marcar os pontos notveis. Dar as curvas de nvel para z { 0, 1, 2, 3}.

Curvas de Nvel: Grficos de z = + 229 yx e de z = - 229 yx

7


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38

UNESP/UNESP/UNESP/UNESP/GuaratinguetGuaratinguetGuaratinguetGuaratinguet ---- Clculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #08 - Grficos teis

Prof. Aury de S Leite [email protected] Esboar, no primeiro octante, os seguintes grficos do R3

(1a) y = 2, x, y R (1b) x=2, y, z R

(2) x2 + y2 = 25, z R (3) x + y = 2, zR

II.- Esboar os seguintes grficos no R3 a partir dos grficos no R2

(1) x2 - y2 = 1, z R (2) 149

22

=+yx

, zR

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

8


40/58

39

y

x

y

x

UNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/Guaratinguet ---- Clculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #09 Superfcies Qudricas


Pr-requisitos:

(1o ) x2 - y2 = 1 no R2 (hiprbole) (2o ) x2 - y2 = 0 no R2 (hiprbole degenerada)x2 - y2 = 0 y2 = x2 y = 2x y = x

EXERCCIOS: Analisar os grficos a partir das equaes dadas

(1)Elipside: 12

2

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x

(2) Cone circular (a =b) ou elptico (a b)

02

222

2=+

c

zy

a

x

02

2

2

22 =++

c

z

a

yx

(3) Hiperbolide de uma folha:

12

2

2

2

2

2

=+c

z

b

y

a

x

(4) Hiperbolide de duas folhas:

12

2

2

2

2

2

=c

z

b

y

a

x

(5) Parabolide elptico:

czb

y

a

x=+

2

2

2

2

(6) Parabolide hiperblico:

cz

b

y

a

x=+

2

2

2

2

y = -x

y = x

-1 1

9


41/58

40

UNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/Guaratinguet ---- Clculo Diferencial e IntegraClculo Diferencial e IntegraClculo Diferencial e IntegraClculo Diferencial e Integral Il Il Il IMaterial Auxiliar #10 Derivadas Parciais


Calcule analiticamente as derivadas parciais (fx = xz

e fy = y

z

) das seguintes funes z=f(x,y)

Funo Derivadas

a) z = x3y + xy2 +2xy 5y + 6x + 7 623 22 +++=

yyyx

x

z; 5223 ++=

xxyx

y

z

b) z= 221 yx + 221 yx

x

x

z

+

=

;

221 yx

y

y

z

+=

c) f(x,y) = yx

e fx =

y

e yx

; fy = 2y

xe yx

d) z = senx . cos 7x zx = cosx .cos 7x ; zy = -7sen7y .senx

e) f(x,y) = x2 sen5y fx = 2x seny ; fy = 5x2cos5y

f) z= x.seny y.ln x fx =x

z

= sen y -

x

y; fy =

y

z

= xcosy ln x

g) z =22

22

xy

yx

+fx = 222

2

)(

4

xy

xy

; fy = 222

2

)(

4

xy

xy

h) f(x,y) = )ln(yx

xy

+fx =

xyx

y

+2; fy =

xyy

x

+2

i) f(x,y) = x2.y.cos5x fx = 2xy cos 5x-5x2y sen5x; fy = x2 cos5x

j) z= x2 . sen(xy) zx = 2x senxy + x2 cos(xy); zy = x

3 cos(xy)

k) z= ln(x2y3) senx cosy fx = yxyxyxx

coscos)ln(cossen2 32+ ; fy= ...

Questes de Prova- Calcule as derivadas parciais fx e fy para as funes

a) z= f(x,y) = 5xy 4x2 + 5y2 x2y3

b) z= f(x,y) = 23323 yxyx +

c) z= f(x,y) =xy

yx

3

22 +

d) z= f(x,y) =ln(ysenx + xcosy)

10


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41

UNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/GuaratinguetUNESP/Guaratinguet ---- Clculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IClculo Diferencial e Integral IMaterial Auxiliar #11 Regra da Cadeia para z = f(x,y)


Estude os tens de [1] a [3] detalhadamente, em grupo com seus colegas.

[1] Pr-requisito: Regra da cadeia para y=f(x), uma funo real de uma varivel real:

dx

du

du

dy

dx

dy.=

[2] Exemplo 1: Para calculardx

dypara y = (2x3 - 5x2 + 4)5 vamos tomar y = u5, ou seja, vamos fazer

(2x3 - 5x2 + 4) = u. Assim:dx

du

du

dy

dx

dy.=

dx

dy= 5.u4

dx

du= 5. (2x3 - 5x2 + 4)4.(6x2- 10x).

[3] Exemplo 2: Dado f(x) = (3x2 + 2)2.(x2 - 5x)3 vamos calcular f (x) usando a regra da cadeia.

Fazendo (3x2 + 2)2 = g(x) com (3x2 + 2) = u e (x2 - 5x)3 = h(x) com v = (x2 - 5x) de onde

teremos agora: f(x) = g(x) . h(x);Assim: f (x) = g(x) . h(x) + h(x) . g(x) =

dx

du

du

dg. .h(x) +

dx

dv

dv

dh. . g(x) =

= 2.(3x2 + 2).dx

du.h(x)+ 3. (x2 - 5x)2.

dx

dv. g(x) = 2.(3x2 + 2).6x .h(x) + 3. (x2 - 5x)2.(2x-5).g(x)

de onde finalmente: f (x) = (6x2 + 4). 6x . (x2 - 5x)3 + 3. (x2 - 5x)2.(2x- 5). (3x2 + 2)2

Se voc compreendeu os itens anteriores, passe para o item [4] e seguintes

[4] Sendo z = f(x,y) = x2 + y2 + xy com x = ln r e y =s

r, desejamos calcular zr =

r

z

e zs=

s

z

.

Poderemos utilizar dois mtodos distintos para calcular estas derivadas parciais:

[4.1.] substituindo os valores de x e y em z e derivando parcialmente com relao a r e a s:

z = (ln r)2 +2

2

s

r+ ln r

s

r. Calculando as derivadas ( confira as suas respostas no final do estudo dirigido! ) obtemos:

zr =r

z

=

zs=s

z

=

[4.2] No entanto, poderamos calcular estas derivadas utilizando as frmulas da regra da cad

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Texto Completo de Cálculo Diferencial e Integral