CÁLCULO DIFERENCIAL

COLEGIO DE BACHILLERESDEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

LIC. RAL S. ALEMN SALAZARDIRECTOR GENERAL

ING. ANA LILIA MARTNEZ MUOZDIRECTORA DE PLANEACIN ACADMICA

Edicin, agosto de 2013

Diseado por: Q.I. Melquiades Gaxiola Brambila Ing. Mayra de la Pea Castro Ing. Luis Gutirrez lvarez

Revisado por: Q.I. Melquiades Gaxiola Brambila

La presente edicin es propiedad delColegio de Bachilleres del Estado deBaja California, prohibida la reproduccintotal o parcial de esta obra.

En la realizacin del presente material, participaron: JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS, Teresa Lpez Prez; COORDINACIN DE EDICIN, Roque Juan Soriano Moreno; EDICIN, Gerardo Enrquez Niebla / Diana Castillo Cecea

PRESENTACIN

COMPETENCIAS GENRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS DEL CAMPO DE MATEMTICAS

BLOQUE I: ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES...............................2

BLOQUE II: RESUELVES PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL..............................16

BLOQUE III: CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENMENOS NATURALES, SOCIALES, ECONMICOS, ADMINISTRATIVOS, EN LA AGRICULTURA, EN LA GANADERA Y EN LA INDUSTRIA................................46

BLOQUE IV: CALCULAS E INTERPRETAS MXIMOS Y MNIMOS SOBRE LOS FENMENOS QUE HAN CAMBIADO EN EL TIEMPO DE LA PRODUCCIN INDUSTRIAL O AGROPECUARIA..............................85

N D I C E

Qu es formacin de competencias en bachillerato? Es un enfoque didctico que pretende desarrollar en el

estudiante conocimientos, habilidades de pensamiento, destrezas, actitudes y valores que le permitan incorporarse a

la sociedad de una forma inteligente, consciente, propositiva, activa y creativa; y que en un momento dado, las utilice

para enfrentarse a una situacin de vida concreta, resuelva problemas, asuma retos, etc.

En la actualidad, es una exigencia ofrecer una educacin de calidad que logre la formacin y consolidacin

del perfil de egreso en el bachiller de tal forma que pueda contar con los elementos necesarios que le permitan

crecer y desarrollarse en un mundo cambiante, globalizado, competitivo y complejo; por lo que el proceso educativo

debe caracterizarse por presentar estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y

escenarios reales, donde pongan en juego, movilice y transfiera las competencias desarrolladas.

Este material dirigido al estudiante, es producto de la participacin de los docentes en los cursos de

instrumentacin didctica de los programas de estudio que se desarrollaron en el marco de la Reforma Integral de

la Educacin Media Superior (RIEMS), donde pusieron de manifiesto su experiencia, conocimiento y compromiso

ante la formacin de los jvenes bachilleres. As mismo, se podr consultar en la pgina Web del Colegio:

www.cobachbc.edu.mx, en la seccin de PADRES / Material Didctico.

PRESENTACIN

Las competencias genricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempear, y les permitirn a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e influir en l), contar con herramientas bsicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus mbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares bsicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

Se auto determina y cuida de s

1. Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.2. Es sensible al arte y participa en la apreciacin e interpretacin de sus expresiones en distintos gneros.3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y se comunica

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

Piensa crtica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.6. Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crtica y reflexiva.

Aprende de forma autnoma

7. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cvica y tica en la vida de su comunidad, regin, Mxico y el mundo.10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales.11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crtica, con acciones responsables.

COMPETENCIAS GENRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

5. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenmeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS DEL CAMPO DEMATEMTICAS

Blo

qu

e I

Blo

qu

e I

ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS

MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON

HECHOS REALES

2DESEMPEOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE:

Reconoce el campo de estudio del Clculo Diferencial, destacando su importancia en la solucin de modelos matemticos aplicados a situaciones cotidianas.

Relaciona los modelos matemticos con su representacin geomtrica para determinar reas y volmenes en cualquier situacin de su vida cotidiana.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

Construye e interpreta modelos matemticos sencillos, mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos y geomtricos.

Explica e interpreta los resultados obtenidos en el anlisis de la evolucin histrica del estudio del Clculo y los contrasta con su aplicacin en situaciones reales.

Argumenta la solucin obtenida de un problema, con modelos matemticos sencillos y su representacin grfica.

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos matemticos.

OBJETOS DE APRENDIZAJE:

Evolucin del Clculo.

Modelos matemticos: Un acercamiento a mximos y mnimos.

BLOQUE I

3Las matemticas existen porque da a da nos encontramos frente a ellas, sin ellas no podramos hacer la mayora de nuestra rutina, necesitamos las matemticas constantemente, en la escuela, en la oficina, cuando vamos a preparar un platillo, etc. En las ciencias las matemticas han tenido un mayor auge porque representan la base de todo un conjunto de conocimientos que el hombre ha ido adquiriendo.

Pero lo ms misterioso de todo es que las matemticas son el nico medio que tenemos para entender el mundo que nos rodea.

Cules son los beneficios de la Matemticas en tu vida?

Antecedentes del Clculo:

El clculo es la rama de las matemticas que se ocupa del estudio de los cambios en las variables, pendientes de curvas, valores mximos y mnimos de funciones, entre otras la determinacin de longitudes, reas y volmenes.

En equipos de 5 integrantes, investiga lo que se te pide a continuacin:

1. El origen del Clculo en orden cronolgico.

2. Las aportaciones hechas por Newton y Leibniz.

3. Cul es la importancia y aplicaciones del Clculo?

4. Al final se expone frente al grupo de clases.

En el estudio de la variacin, se pueden encontrar diversos tipos de problemas que se representan de diferentes formas, esto es: tablas, grficas, entre otras.

En un problema importante es establecer la dependencia de las variables, es decir, determinar cmo cambia una cantidad cuando vara otra, por ejemplo:

El tiempo que tarda un automvil en recorrer una distancia determinada, depende de la velocidad que lleva.

El volumen que hay en un recipiente expuesto a la intensidad del calor y el tiempo que durara expuesto.

ACTIVIDAD 1

ARGUMENTAS EL ESTUDIO DEL CLCULO MEDIANTE EL ANLISIS DE SU EVOLUCIN, SUS MODELOS MATEMTICOS Y SU RELACIN CON HECHOS REALES

4Cuando se tiene el registro numrico de un problema, tal como la velocidad, fuerza, presin temperatura, se pueden analizar varios aspectos (factores), se puede predecir el comportamiento futuro, bosquejar una grfica o bien, si no se tiene toda la informacin del problema, se pueden determinar las condiciones iniciales en las que se llev a cabo.

Situacin didctica 1:

Los alumnos de la materia de clculo desean elaborar una caja de cartn sin tapa para archivar sus trabajos, a partir de una pieza de cartn de dimensiones 60 por 40 cm, cortando cuadrados iguales de longitud x en cada una de las esquinas y doblando los lados (como se muestra en la figura). Es obvio que el tamao de la caja va a variar y va a depender del tamao de los cuadrados que recortemos.

Conflicto cognitivo

Cul ser el tamao ms adecuado de los cortes para obtener la caja ms grande?

Cul ser el modelo matemtico para calcular el rea de la base de la caja?

Cul ser el modelo matemtico para calcular el volumen de la caja?

BLOQUE I

5Para cada modelo matemtico obtenido, podras hacer una tabla de valores y construir la grfica?

REA VOLUMEN

Utilizando distintos colores, traza la grfica del rea y volumen con los datos anteriores utilizando la escala que creas conveniente.

X Y-3-2-10123

X Y-3-2-10123


Funcin lineal. y = 3x 4 Funcin cuadrtica. y = x2 2

Funcin cbica y = x3 3x Funcin cbica y= -x3+ 3x - 1

6

A continuacin se muestran ejemplos de diferentes tipos de funciones algebraicas y funciones trascendentes con su respectiva grfica, solo como recordatorio; puede ser til a lo largo del curso de Clculo Diferencial. Despus se te presenta una actividad donde tendrs que realizarla de manera individual y socializarla con el resto del grupo para obtener una conclusin.

Funciones algebraicas:

ACTIVIDAD 2

BLOQUE I

Funcin seno y = sen x Funcin coseno y = cos x

Funcin exponencial de la forma y = ax y = 2x

Funcin exponencial de la forma y = ex

7

Funciones trascendentes:


8Resultado ______________________________

Resultado ______________________________

Resultado ______________________________

Resultado ______________________________

Instrucciones: En las siguientes grficas, identifica las coordenadas donde la funcin adquiere el valor ms alto (mximo) y el valor menor (mnimo) y escrbelo en el espacio correspondiente.

BLOQUE I

9X

Trabajar en equipos de 4 integrantes, con una hoja de papel en la cual el largo sea el doble que el ancho (puedes recortar la hoja). Desarrolla el modelo matemtico en funcin del ancho (x) para determinar el rea y contesta lo que se te pide posteriormente.

Modelo matemtico del rea

A = ( ) ( )

Completa la tabla de variacin del rea.

Posteriormente traza la grfica observando cmo cambia el rea al variar el ancho.

ACTIVIDAD 3

Ancho(x) en cm 0 2 5 10 15

rea (y) en cm2

y rea en cm2

Ancho en cm

450

400

350

300

250

200

150

100

50

5 10 15

x


10

En parejas contesta lo siguiente: En un hotel hay una alberca en forma de prisma rectangular y un jacuzzi de forma cilndrica.

a) La alberca tiene dimensiones en metros: ancho=x, largo=2x+10 y alto= x-8

Cul es el modelo matemtico para el rea del piso de la alberca?

Cul es la frmula para determinar el volumen de un prisma rectangular?

Cul es el modelo matemtico para el volumen?

Cmo varia el volumen al variar el ancho de la alberca?, si el ancho aumenta, el volumen aumenta o disminuye?

b) Las dimensiones del jacuzzi son: radio= x y la altura=x-1

Cul es el modelo matemtico para determinar el rea de la base del jacuzzi?

Cul es el modelo matemtico para el volumen?

Si el radio aumenta, el volumen aumenta o disminuye?

ACTIVIDAD 4

BLOQUE I

11

Utiliza colores distintos para lo que se te pide a continuacin.

Traza la grfica de radio del piso del jacuzzi contra rea(a) del piso del mismo(r) para que observes cmo vara el rea del piso si varia el radio.

Traza la grfica de ancho del piso de la alberca contra rea(a) del piso del mismo(r) para que observes cmo vara el volumen de la alberca si vara el ancho.


12

Comenta tus observaciones en ambos casos.

Forma equipos de 4 integrantes y contesten la siguiente situacin.

Con un cartn de dimensiones de 20 por 30 cm respectivamente para la elaboracin de una caja (como se propuso en la situacin didctica), un galn de leche vacio y otro lleno de arroz.

Dibuja cuadrados iguales en las cuatro esquinas (tienes la libertad de elegir el tamao(x)) despus se recortaran cuatro cuadrados en las esquinas como se muestra en la figura.

Observaciones

ACTIVIDAD 5

X

X

BLOQUE I

CRITERIOS Excelente Buena Regular Insuficiente Cmo fue tu participacin en la toma de decisiones para la organizacin de tu equipo?

Colaboraste activamente en las actividades?

Cmo consideras tu participacin en el desarrollo algebraico de los ejercicios de la actividad?

Influiste en la solucin de los obstculos presentados en la actividad?

13

Contesta lo siguiente:

Cul es el modelo matemtico (en funcin de x) para determinar el rea de la figura?

Cul es el modelo matemtico del volumen?

Llena la caja con arroz y vacala en los galones.

Compara los volmenes de las diferentes cajas con tus compaeros.

Qu equipo obtuvo el mximo volumen?

Si se utiliza la misma pieza de cartn (20 x 30 cm), qu dimensin varia para obtener los diferentes volmenes de las cajas?

Nota: en esta ltima actividad tendrs que autoevaluarte y evaluar a un compaero de equipo, con los formatos que se te dan a continuacin.

AUTOEVALUACIN: Marca con una x.

Ahora anota en el espacio en blanco tus fortalezas y debilidades en el desarrollo de este bloque: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


14

COEVALUACIN: Evala a un compaero de tu equipo, y as sucesivamente hasta que todos evalen a todos.

Nombre del evaluador: _________________________________________________________________________

Nombre del evaluado:__________________________________________________________________________

CRITERIOS Excelente Bien Regular InsuficienteEn qu grado ayud tu compaero en las actividades?Respet las opiniones de los dems?Form parte de las decisiones?Cmo consideras la participacin de tu compaero en la construccin de los resultados?Observaciones:

BLOQUE I

Blo

qu

e II

Blo

qu

e II

RESUELVES PROBLEMAS DE LMITES EN

SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO,

ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

16

DESEMPEOS DEL ESTUDIANTE AL CONCLUIR EL BLOQUE:

Aplica el concepto de lmite a partir de la resolucin de problemas econmicos, administrativos, naturales y sociales de la vida cotidiana.

Calcula lmites a partir de la elaboracin de grficas en derive y su interpretacin de las representaciones grficas de funciones, mostrando habilidades en la resolucin de problemas de situaciones cotidianas.


Interpreta grficas de funciones continuas y discontinuas analizando el dominio y contradominio; y argumenta el comportamiento grfico de la variable dependiente (y) en los punto (s) de discontinuidad.

Explica e interpreta los valores de una tabla, calcula valores cercanos a un nmero y analiza el comportamiento en los valores de la variable dependiente en problemas de su entorno social, econmico y natural.

Explica e interpreta diferentes representaciones grficas y determina lmites que tienden a infinito positivo o negativo, a cero, limites laterales por la izquierda y por la derecha, y lmites finitos, de los objetos naturales que lo rodean.

Argumenta la solucin obtenida de un problema econmico, administrativo, natural o social, mediante la teora de los lmites.

Valora el uso de las TIC en el modelado grfico y algebraico de los lmites para facilitar su interpretacin y simulacin en la resolucin de problemas presentes en su contexto.

Formula y resuelve problemas, a partir del clculo de dominio y contradominio de las funciones algebraicas para determinar sus lmites, demostrando su habilidad en la resolucin de problemas algebraicos.

Determina lmites para funciones racionales, exponenciales, logartmicas y trigonomtricas.


Los lmites: su interpretacin en una tabla, en una grafica y su aplicacin en funciones algebraicas.

El clculo de lmites en funciones algebraicas y trascendentes.

BLOQUE II

17

Para qu sirven los lmites?

La definicin de lmite de una funcin es un tema fundamental en todos los campos del clculo; de hecho la derivada, que es el tema principal de este curso de clculo diferencial, es por definicin, un lmite.

Un primer acercamiento a los lmites lo tienes cuando los trminos de una sucesin se van acercando a un nmero cualquiera rpidamente, entonces decimos que tiende a ese nmero, o bien, que su lmite es dicho nmero. Debemos decirte que no todas las sucesiones se aproximan a un nmero, pero las sucesiones que tienen este comportamiento se llaman convergentes.

El concepto de lmite ha sido de enorme utilidad en el desarrollo de las matemticas; en el que se fundamenta el clculo infinitesimal. Aunque muchos matemticos utilizaron la idea intuitiva de lmite, fue el barn de Cauchy (1789-1857), a principios del siglo XIX, quin dio una definicin satisfactoria de lmite y, en consecuencia, de derivada de una funcin.


Jorge es trabajador de una cierta empresa y recibe un sueldo x, el cual no le alcanza para cubrir sus gastos. Prximamente espera un aumento en su paga del 4%, el cual recibir semestralmente como parte de un incentivo, es decir, cada vez ganar ms. Tambin espera que ahora con el nuevo aumento le alcance para su subsistencia.

Cuando llega su primer pago, se da cuenta que las cosas que compra habitualmente subieron de precio, obviamente su nuevo sueldo no es suficiente. Al pasar otros seis meses recibe otro aumento y esta vez casi logra cubrir sus gastos pero la nueva alza de precios no le permite comprar todo lo que necesita.

Como te habrs dado cuenta, los sueldos siempre estn aumentando pero las cosas y servicios tambin. Si preguntas a la gente a tu alrededor sabrs de que esto pasa en la realidad.

Conflicto cognitivo

Por qu ser que los sueldos estn siempre aumentando?

Crees que Jorge alguna vez gane lo suficiente para alcanzar el costo progresivo de las cosas?

Crees que en matemticas esta situacin tenga un nombre?

RESUELVES PROBLEMAS DE LMITES EN SITUACIONES DE CARCTER ECONMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL

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SECUENCIA DIDCTICA 1:

Consulta la pgina http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n, comenta en pares la paradoja de Zenn Aquiles y la tortuga, y explica mediante una recta numrica la distancia recorrida por la tortuga y por Aquiles. Despus discutan en plenaria para llegar a una conclusin grupal.

ACTIVIDAD 1

Analiza la siguiente lectura (con ayuda de tu asesor), posteriormente resuelve lo que se te pide.

LMITES

La nocin de lmite, como palabra ordinariamente usada, la tenemos asociada al significado de frontera, de borde, de separacin entre objetos. Por ejemplo, si pensamos en dos bolas de billar muy cercanas, tanto que parecen tocarse (vase figura), el punto del espacio que falta para que las bolas, en realidad se unen, lo podramos llamar lmite.

ACTIVIDAD 2

BLOQUE II

0 1 2X XX

Por la derecha Por la izquierda x f(x) X f(x)

1.0 2.000000 3.0 8.000000 1.5 2.750000 2.5 5.750000 1.8 3.440000 2.2 4.640000 1.9 3.710000 2.1 4.310000 1.95 3.852500 2.05 4.152500 1.99 3.970100 2.01 4.030100 1.995 3.985025 2.005 4.015025 1.999 3.997001 2.001 4.003001 x2 f(x)4 x2 f(x)4

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Similarmente, cuando nos desplazamos sobre una lnea recta numerada, horizontalmente hasta llegar lo ms cercano que podamos al nmero 2, sin tocarlo, el mismo punto al que nos acercamos se convierte en el punto lmite.

Antes de empezar a definir lmite, conviene recordar el concepto de tender. Cuando decimos, por ejemplo, a qu valor tiende la funcin nos referimos a qu valor se acerca la funcin (cabe aclarar que hablamos de acercarse, pero no de llegar a ese valor). Definicin intuitiva de lmite: E l lmite de f(x), cuando x tiende a c, es una constante L, si la diferencia |f(x) - L| puede hacer tan pequea como se quiera para todo valor de x suficientemente cercano a c sin que sea igual a c. Lo anterior se escribe con la notacin:

lmx c f(x) = L

Investiguemos el comportamiento de la funcin f definida por f(x) = x2 - x +2 para valores cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de f(x) para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2.


Por la derecha Por la izquierda x f(x) X f(x) 1 6 2 5 3 4.5

3.5 4.2 3.9 4.1 3.99 4.01 3.999 4.001

x f(x) x f(x)

20

A partir de la tabla y de la grfica de f (una parbola) que se muestra en la figura, vemos que cuando x esta cercano a 2 (por cualquiera de los dos lados), f(x) lo est de 4. Entonces podemos decir que el lmite de la funcin f(x)=x2-x+2, cuando x tiende a 2, es igual a 4. La notacin para esta expresin es:

Definicin de lmite: Sea f una funcin definida sobre un intervalo abierto que contiene el nmero a, excepto cuando a se define a s misma. Entonces decimos que el lmite de f(x) cuando tiende o se aproxima a a es L y luego escribimos:

Ejercicios

a) Llena los espacios vacos de la tabla de acuerdo a los valores de x que se dan y a la funcin f(x)=x2-4, luego escribe tu conclusin en notacin de lmites.

BLOQUE II

21

b) De acuerdo con la grfica escribe el lmite de la funcin f(x) = x2 x 2, cuando x tiende a 3.

Observa en la siguiente tabla, las reglas de los lmites con sus respectivos ejemplos.

Tu conclusin:

Tu conclusin:

Propiedades de los lmitesLmite de una constante El lmite de una constante b cuando x tiende a c es la

misma constante b, ejemplo:

El lmite de x El lmite de x cuando x y tiende a c es c, ejemplo:

El lmite de una potencia El lmite de una funcin elevada a una potencia cuando x tiende a c, es igual a la funcin elevada a su respec-tiva potencia, ejemplo:


22

El lmite de una constante por una funcin

El lmite de una constante por una funcin cuando x tiende a c, es igual a la constante multiplicada por el lmite de la funcin, ejemplo:

El lmite de una suma El lmite de la suma de un nmero finito de funciones cuando x tiende a c, es igual a la suma de los lmites de las funciones cuando x tiende a c, ejemplo:

El lmite del producto El producto de un nmero finito de funciones cuando x tiende a c, es igual a producto de los lmites de las funciones cuando x tiende a c, ejemplo:

El lmite de un cociente El lmite de dos funciones cuando x tiende a c, es igual al cociente de los lmites de las funciones cuando x tiende a c, siempre que el lmite del denominador no sea igual a cero, ejemplo:

2.

1.

Estrategias para hallar lmites

Aprende a reconocer cuales lmites pueden evaluarse por sustitucin directa (Estos lmites se listan en propiedades de los lmites)Si el lmite f(x) cuando x tiende a c, no puede evaluarse por sustitucin directa, intntese hallar una funcin g que coincida con f, para toda x diferente de x=c [Elige g en modo que el lmite de g(x) pueda evaluarse por sustitucin directa].Aplica el teorema lmx c f(x) = lmx c g(x) = g(c)Use una grfica o una tabla para reforzar la conclusin a la que llegues.

Se recomienda que se observe el video referente a lmites en la direccin:http://www.youtube.com/watch?v=Os2bz1-eeEg&feature=fvwrel

BLOQUE II

) =

)]

) (

23

Renete en equipo de 3 integrantes y determinen el valor de los lmites de las funciones que se les presentan.

ACTIVIDAD 3


) =

) =) (

24

Nota: esta actividad servir para autoevaluarte y evaluar a un compaero de equipo con los formatos que se te dan al final de este bloque.

Al querer calcular se observa que no se puede aplicar los teoremas de lmites porque para x = 0 se

anula el denominador. Es decir, la funcin no est definida para x = 0. El comportamiento al otorgar

valores sucesivos a x que tiendan a cero es el siguiente:

Cuando se aproxima a cero, f(x) tiende a un valor positivo muy grande. De hecho, los valores de f(x) pueden aumentar arbitrariamente, si se escoge un valor para x lo bastante cerca de cero. De esta forma los valores de f(x) no tienden a un nmero, de modo que el lmite de f(x) no existe. En general se puede escribir que:

Para indicar que cada vez los valores de f(x) se vuelven cada vez mas grandes cuando X 0. A menudo, la expresin se lee como el lmite de f(x) cuando x tiende a cero, es infinito.

X f(x) =

1 10.1 100.01 1000.001 10000.0001 10000x 0 f(x)

1x

BLOQUE II

25

X

1 110 0.1

100 0.011000 0.001

10000 0.0001100000 0.00001

x f(x)=0

En este caso, al hacer que x se vuelva arbitrariamente grande el comportamiento de

Si x tiende a valores arbitrariamente grandes, f(x) tiende a cero. En general, se puede escribir que:

Formas indeterminadas del lmite de una funcin.

Al calcular el lmite de una funcin se tiene con frecuencia que no se pude establecer el valor numrico L que corresponde al lmite de una funcin.

Se dice entonces que en el lmite de f existe una indeterminacin la cual puede evitarse mediante transformaciones algebraicas como la factorizacin, el teorema de divisibilidad de un polinomio y la racionalizacin de una expresin radical.

Cuando se sustituye x por c para calcular el lmite de una funcin, f toma algunas veces la forma indeterminada . Sin embargo, f tiene un lmite a medida que x tiende a c. este lmite pude calcularse al factorizar y simplificar la funcin equivalente. Por ejemplo:Calcular:

Lmite indeterminado de la forma

Para evitar la indeterminacin , se factoriza el numerador y se obtiene para f una funcin equivalente. Esto es:

Forma indeterminada


26

) (

Calculando nuevamente el lmite, se tiene:

(lmite real de la funcin)

Entonces, para poder darle solucin al lmite indeterminado de la forma es necesario recordar algunos mtodos de factorizacin:

FACTORIZACIN

Significa descomponer la expresin algebraica en dos o ms factores, tales que al multiplicarse dan como resultado dicha expresin. Por ejemplo:

Lee con atencin los siguientes casos y resuelve en equipos de dos los ejercicios planteados

Factorizacin de un polinomio por factor comn.

Al factorizar, buscamos el factor comn en cada trmino de la expresin con el coeficiente comn ms grande posible y la variable comn con el menor exponente.Por ejemplo:

Coeficientes mayores

4 x 3 = 12

4 x 2 = 8 Variable comn con el menor exponente

Entonces, el factor comn es: 4x As que el resultado es:

BLOQUE II

27

Factorizacin de una diferencia de cuadrados.

Al multiplicar dos binomios conjugados se obtiene una diferencia de cuadrados. Por ejemplo:

(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2

Para factorizar una diferencia de cuadrados se procede de la siguiente manera:

1. Se extrae la raz cuadrada de cada uno de los trminos cuadrticos. 2. Se escriben las races encontradas como una multiplicacin de binomios conjugados

Ejemplos:

a) Factorizar 9m2-4

b) Factorizar 25y2-16x4

c)Factorizar 4x6-81

Factorizacin de un trinomio cuadrado perfecto.

El resultado del cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto.Por ejemplo: (2m+3n)2 = 4m2+12mn+9n2 trinomio cuadrado perfecto (TCP).

Ejemplos:

a) Factorizar b2+3yb

b) Factorizar 8a2 b2-20a3

c) Factorizar 12x4 y+27x3 y-3x2 y3


28

Para factorizar un TCP se procede de la siguiente manera:

1. Se extrae raz cuadrada a los trminos cuadrticos.

2. Se comprueba que el doble producto de las races encontradas es igual al segundo trmino del TCP.

3. Con las races encontradas se forma el binomio al cuadrado con el signo del segundo trmino del TCP.

Ejemplos:

a) Factorizar 16a2-56ab+49b2

b) Factorizar 9m2+24mn+16n2

c) Factorizar 4x2-8x+4

Factorizacin de un trinomio de segundo grado.

El producto de dos binomios con trmino comn se nombra trinomio de segundo grado (TSG). Por ejemplo:(x-5)(x-2)=x2+3x-10 TSG

Ejemplos:

a) Factorizar x2-12x+27

b) Factorizar m2+4m-32

c) Factorizar b2-8b+15

BLOQUE II

29

Lee con atencin los siguientes casos especiales, utilizando el mtodo de factorizacin que consideres conveniente y resuelve en equipos de dos los ejercicios planteados.

I.Estima el valor de los siguientes lmites, aplicando el teorema correspondiente.

ACTIVIDAD 4


30

Al aplicar cada trmino que contenga a x en el denominador se sustituir por el infinito () el

cual finalmente ser igual a cero (0). Por lo tanto el lmite real de la funcin es:

(lmite de la funcin)

Ejemplos:

Lmite indeterminado de la forma

Al calcular el lmite del cociente de dos polinomios cuando x tiende a crecer infinitamente se tiene la forma

indeterminada para evitar la indeterminacin se divide el numerador y el denominador por la mxima potencia que

aparece en la funcin. Por ejemplo:

BLOQUE II

x 10 100 1000 10000 f(x)

31

Ejercicios:

Utilizando el lmite indeterminado resuelve los siguientes ejercicios.

a) Lmites de funciones algebraicas.

Mediante una tabla estima el valor de:


32

Lee y analiza lo siguiente, despus resuelve el ejercicio.

Ejemplo: En dnde es discontinua la siguiente funcin?

Solucin:

Conclusin

Como podemos apreciar no se cumple la tercera condicin de continuidad, por lo tanto la funcin no es continua en x=2, sin embargo, el limite existe y es igual a 3.Observa la siguiente grfica:

ACTIVIDAD 5

Condiciones de continuidad

Definicin: una funcin es continua en un nmero a si

Si f no es continua en a, decimos que f es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en a. La definicin anterior requiere tres cosas si f es continua en a:

1. f(a) est definido (es decir, a est en el dominio de f)

2. existe (de modo que f debe estar definida en un intervalo abierto que contiene al nmero a)

3.

BLOQUE II

33

Nota: La razn oficial de que f es discontinua cuando x =2 es que f(2) no est definida. Como se observa en la grafica no se pude dibujar esta, sin levantar el lpiz del papel, por que se presenta un agujero, una ruptura o un salto en esta grfica.

Ejercicio: Para la funcin encuentra:

a) El valor del lmite cuando x-2 (si es que existe)

b) A partir de la grfica identifica el valor de x donde funcin es discontinua.

Solucin:

La funcin es discontinua en x =__________________________

a)

b)


34

Lmites de funciones trascendentes.

Las funciones trascendentes son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonomtricas, exponenciales y logartmicas.

Lmites de funciones trigonomtricas

Los lmites de las funciones trigonomtricas elementales son aquellos que se obtienen de la sustitucin directa, es decir, al evaluar el valor al cual tiende x muestra a continuacin:

Nota: para resolver los lmites de las funciones trigonomtricas ser necesario que la calculadora este en modo de radianes (R).

1.

2.

BLOQUE II

35

3.

4.

5.


x 0 1 2 3 4 f(x)

y 7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4

x

36

Estima el lmite de la funcin trascendente de acuerdo con la tabla y grafique, despus utiliza el Geogebra (software) para verificar la grfica.

ACTIVIDAD 6

6.

BLOQUE II

x 0 10 100 1000 f(x)

37

Encuentra los lmites de las siguientes funciones trascendentes.

a) Estima mediante una tabla de valores la funcin:

Resuelve los lmites de las siguientes funciones trascendentes.

Nota: para resolver los lmites de las funciones trigonomtricas ser necesario que la calculadora la uses en modo de radianes (R).

Nota: En la actividad #5 tendrs que autoevaluarte y evaluar a tu compaero de equipo, con los formatos que se te dan a continuacin.

ACTIVIDAD 7

ACTIVIDAD 8


38

Resuelve los siguientes ejercicios, aplicando lmites.

1. El costo promedio(en pesos) por disco cubierto por una compaa grabadora al imprimir x discos compactos de audio esta dado por la funcin:

a) Cunto es el costo de 50 discos?

b) Cmo interpretas el costo cuando x tiende al infinito?

2. Cuando se arroja materia orgnica de desecho a un estanque de tratamiento, este se va oxidando(O) y la cantidad de oxgeno vara con respecto al tiempo(t, en semanas) de acuerdo a la siguiente funcin:

a) Qu porcentaje del nivel normal de oxigeno existe en el estanque tras una semana?

b) Tras quince semanas?

c) Cul es el porcentaje de oxigeno para t sea excesivamente grande?

3. Las feromonas, son sustancias qumicas que libera un organismo cuando empiezan a enamorarse produciendo una doble sensacin de aletargamiento y de hiperactividad.

ACTIVIDAD 9

BLOQUE II

Tiempo (meses) % F 1 5 8

10 15 20 25 30

Si la funcin , representa el porcentaje de esta sustancia en una persona, durante una etapa de

su enamoramiento, donde t representa el nmero de meses, que cantidad de estas sustancias se generaran cuando:

a) Grafica los datos obtenidos:

4. La produccin de cierta hortaliza en los valles, se puede predecir mediante la funcin

Donde t es el tiempo medido en semanas. Cul es el lmite cuando t es excesivamente grande?

39


Porcentaje (%) Gasto (millones de pesos)

10 25 50 100

CRITERIOS Excelente Buena Regular Insuficiente Cmo fue tu participacin en la toma de decisiones para la organizacin de tu equipo?

Colaboraste activamente en las activi-dades?

Cmo consideras tu participacin en el desarrollo algebraico de los ejercicios de la actividad?

Influiste en la solucin de los obstcu-los presentados en la actividad?

5.El costo en millones de pesos que gasta una dependencia del gobierno en programas sociales, se representa por la funcin:

Si x representa el porcentaje (%) del gasto, determina el costo que gasta dicha dependencia si:

Ahora anota en el espacio en blanco tus fortalezas y debilidades en el desarrollo de este boque:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

40

Marca con una x.

AUTOEVALUACIN

BLOQUE II

41

COEVALUACIN:

Evala a un compaero de tu equipo, y as sucesivamente hasta que todos evalen a todos.

Nombre del evaluador:__________________________________________________________________________

Nombre del evaluado:___________________________________________________________________________

CRITERIOS Excelente Bien Regular InsuficienteEn qu grado ayud tu compaero en las actividades?Respet las opiniones de los dems?Form parte de las decisiones?Cmo consideras la participacin de tu compaero en la construccin de los resultados?Observaciones: En t opinin qu le falt a tu equipo para lograr un mejor aprendizaje del tema?


Alumno(a): Grupo: Fecha:

Evaluador: Evaluacin:

Indicadores S No

Identifica correctamente el valor mximo en la grfica de una funcin. Identifica correctamente el valor mnimo en la grfica de una funcin. Desarrolla correctamente el modelo matemtico para determinar rea de una figura.

Desarrolla correctamente el modelo matemtico para determinar del volumen de una figura.

Traza la grfica de rea. Traza la grfica del volumen. Los procedimientos algebraicos y las grficas de las actividades estn elabora-das de manera apropiada (limpios, explcitos, trazos con regla, escalas adecua-das, etc.)

El comportamiento de los integrantes del equipo fue respetuoso entre ellos y con los dems equipos.

42

Observaciones (cmo puede mejorar el alumno):

Instrumentos de evaluacin Corte 1

Lista de cotejo

Actividades 2 y 4

Ponderacin 20%

BLOQUE I

BLOQUE II

Indicadores S No Obtiene los valores correctos que se piden en la tabla de acuerdo a la funcin f(x) = x2 4.

Obtiene el lmite de la funcin de acuerdo a la tabla de valores. Obtiene el lmite de la funcin de acuerdo a una grfica. Utiliza el procedimiento adecuado en la indeterminacin y obtiene el lmite de la funcin.

Aplica el procedimiento adecuado en la indeterminacin del tipo y obtiene el lmite de la funcin.

Llena la tabla de valores con los valores correctos. Traza la curva de acuerdo a la funcin trascendente. Obtiene el lmite de la funcin trascendente de acuerdo a la tabla y grfica. Los procedimientos algebraicos que utiliza son los adecuados y lo hace de manera limpia y clara.

Respetan la opinin de los dems y trabajan de manera colaborativa.



43

Ponderacin 20%

BLOQUE II

Lista de cotejo

Actividades 2,3 y 4.

Observaciones (cmo puede mejorar):



Criterios Excelente ( 5 ) Bien ( 4 ) Regular ( 3 o 2) Deficiente ( 1 ) Puntuacin por criterio

Condiciones de continuidad

Identifica de manera correcta las condiciones de continuidad en su forma grfica y llega al resultado de manera algebraica.

Identifica de manera correcta las condiciones de continuidad en su forma grfica, pero no llega el resultado de manera algebraica.

Llega el resultado correcto de manera algebraica pero no identifica de manera correcta condiciones de continuidad en su forma grfica.

No identifica de manera correcta las condiciones de continuidad en su forma grfica ni algebraica.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden pero no claridad .

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, pero no muestran limpieza, orden y claridad.

Los ejercicios no contienen los datos pertinentes, tampoco muestran limpieza, orden y claridad.

Lmites de funciones trascendentes

Determina los valores del lmite de funciones trascendentes utilizando el procedimiento adecuado.

Determina los valores del lmite de funciones trascendentes pero no utiliza el procedimiento adecuado.

No determina los valores del lmite de funciones trascendentes utilizando el procedimiento adecuado.

No determina los valores del lmite de funciones trascendentes utilizando y tampoco utiliza el procedimiento adecuado.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden, claridad y adems se entrega en tiempo y forma.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden pero no claridad ni se entrega en tiempo y forma.

Los ejercicios contienen los datos pertinentes, pero no muestran limpieza, orden, claridad ni se entrega en tiempo y forma.

Los ejercicios no contienen los datos pertinentes, tampoco muestran limpieza, orden, claridad ni se entrega en tiempo y forma.

Puntuacin total:

Ponderacin 20%



44

Rbrica Actividades 7 Y 8

BLOQUE II

BLOQUE II

Blo

qu

e II

IB

loqu

e II

I

CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENMENOS NATURALES, SOCIALES,

ECONMICOS, ADMINISTRATIVOS, EN LA AGRICULTURA, EN

LA GANADERA Y EN LA INDUSTRIA

46


Calcula e interpreta el valor representativo de un proceso o fenmeno econmico, social o natural en funcin del tiempo, mediante la resolucin de problemas del contexto real.

Compara los diferentes procesos algebraicos que determinan una razn de cambio, mediante el anlisis de casos relacionados con la produccin agrcola, velocidad instantnea y la produccin industrial existentes en el entorno cotidiano. Analiza y resuelve problemas matemticos que modelan razones de cambio para cuantificar el cambio fsico, qumico, biolgico, econmico, entre otros, despus de transcurrido un tiempo.


Analiza la produccin de una empresa en un determinado tiempo e interpreta la produccin promedio, su mxima y mnima, para obtener la razn de cambio promedio.

Valora el uso de las TIC en el modelado y simulacin de situaciones problemticas de razn de cambio, en la interpretacin de su valor a travs del tiempo en problemas de produccin industrial, de fsica y en qumica. Interpreta y cuantifica a travs de modelos matemticos, grficas y tablas de fenmenos fsicos relativos a la variacin de la velocidad, la velocidad promedio, la velocidad de un mvil en cualquier instante y como sta vara a travs del tiempo. Interpreta la razn de cambio como la pendiente de una pareja de puntos localizados en el plano o como la pendiente de la recta secante en la resolucin de problemas de fsica en situaciones del entorno. Argumenta e interpreta la razn de cambio como un lmite, obtiene su representacin algebraica y como consecuencia reconoce a este lmite como la derivada de la funcin en resolucin de problemas de su entorno. Resuelve grfica y algebraicamente derivadas para resolver problemas de fsica, qumica, naturales, sociales, econmicos, administrativos y financieros dentro de su mbito inmediato.

Interpreta, analiza y argumenta que la segunda derivada de una funcin grficamente representa la concavidad de la curva y permite determinarlos puntos de inflexin.


La variacin de un fenmeno a travs del tiempo. La velocidad, la rapidez y la aceleracin de un mvil en un periodo de tiempo.

BLOQUE III

47


El pap de Luis viaja a la ciudad de Mexicali por negocios y decide llevar a su familia para pasar tiempo con ella. Luis decide investigar la temperatura de los das que estarn en la ciudad, ya que el hermano ms pequeo le pregunta cules son las horas ms propicias para nadar en la alberca del hotel, para esto Luis consulta la pgina Web del tiempo y encuentra una grfica que muestra cmo vara la temperatura conforme avanzan las horas.

La razn de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (Tambin se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.

En general, en una relacin funcional y=f(x), la razn de cambio de la variable dependiente y respecto a la independiente x se calcula mediante un proceso de lmite de la razn [f(x+t)-f(x)]/t, denominada cociente diferencial.

En sentido estricto entonces, la razn de cambio es el lmite del cociente diferencial cuando t tiende a cero. De esta manera, la razn de cambio es la interpretacin fundamental de la derivada de una funcin.

Nota: El eje x muestra el tiempo en horas, el eje y la temperatura en grados Fahrenheit.

CALCULAS, INTERPRETAS Y ANALIZAS RAZONES DE CAMBIO EN FENMENOS NATURALES, SOCIALES, ECONMICOS, ADMINISTRATIVOS, EN LA

AGRICULTURA, EN LA GANADERA Y EN LA INDUSTRIA

48

Conflicto cognitivo

a) Si el hermano de Luis desea nadar por la maana, cules sern las horas en las que la temperatura sea la ideal?

b) Cmo obtendr el promedio de la temperatura entre las 9 y 12 hrs?, para saber si stas son las horas ms adecuadas. c) Si deciden ir a la piscina por la tarde, cul ser la temperatura promedio entre las 15 y las 18 horas?

d) La mam de Luis quiere ir al centro comercial de compras y pregunta, cul ser la temperatura exacta a las 19 horas?

e) En la grfica parece ser que a las 13 y 14 horas tienen las mismas temperaturas. Cmo podra Luis determinar las temperaturas en esos precisos momentos?

f) Cul ser la mxima temperatura del da que muestra la grfica?

Razn de cambio promedio:

En Matemticas IV estudiaste lo referente a la pendiente de una recta que pasa por 2 puntos p1(x1,y1) y p2(x2,y2) la cual se denota por la letra m y la puedes calcular mediante la frmula:

La cual se puede transcribir como:

Pues y= y2-y1 es la diferencia que hay en el eje y, tambin x=x2- x1 es la diferencia en el eje x.

Como se muestra en la siguiente grfica:

Por lo tanto se lee como razn de cambio de y con respecto a x , lo cual nos permite definir:yx

Razn de cambio promedio.Sea f una funcin tal que y = f(x) y P1(X1,Y1) y P2(X2,Y2) un par de puntos de f.Definimos la razn de cambio promedio de ycon respecto a x como:

y = y2 - y1 = f(x2) - f(x1) y x2 - x1 x2 - x1

BLOQUE III

yx

21 = 2

21 = 2

x y = f(x) x y

2 f(2) = 5 3 - 2= 1 f(3) - f(2) = 7-5 = 2

3 f(3) = 7 4 - 3= 1 f(4) - f(3) = 9 - 7 =2

4

5

49

Por ejemplo: Determinar la razn de cambio promedio de la funcin en el intervalo [2,5]

Al observar la tabla nos damos cuenta, que la razn de cambio promedio de la funcin en el intervalo dado de [2,5], permanece constante, la cual es:

En la vida diaria se determinan razones de cambio de diversas situaciones de tipo natural, Econmico, Social. Situaciones en las que nos interesa conocer cul es el ms pequeo (mnimo) o ms grande (mximo) valor, como aumenta (crece) o disminuye (decrece) ese valor, en un intervalo de tiempo especfico, en general problemas donde se estudian fenmenos relativos a la variacin de una cantidad que depende de otra, por lo que se hace necesario describir y cuantificar estos cambios a travs de modelos matemticos, grficas y tablas.

http://www.youtube.com/watch?v=tBwtLlQ3iIk&feature=related

y 2 x 1



Das(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 Toneladas dedesperdicio (y)

0 0.3 1.2 2.7 4.8 7.5 10.8 14.7

50

1.- En una investigacin que se realiz, para observar la cantidad de desechos que se vierten al mar en toneladas diarias en Ensenada durante un periodo vacacional de una semana, se obtuvieron los siguientes datos:

Desarrolla los puntos que se te piden:

a) Grafica los datos de la tabla.

b) Encuentra la razn de cambio del da 1 al da 2.

ACTIVIDAD 1

BLOQUE III

Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 Altura (h)

51

c) Encuentra la razn de cambio del da 2 al da 5.

2.- Un chico entusiasta dice que probablemente puede lanzar una bola hacia arriba a 100 pies/seg, sus amigos nos indicaron que la altura h en pies alcanzada por est dada por la ecuacin S(t) = 100t - 16t2 en donde t es el tiempo transcurrido a partir de su lanzamiento en segundos.

a) Completa la siguiente tabla de valores y traza la grfica que describe la trayectoria de la bola.



52

b) Calcula su velocidad promedio en el intervalo (2, 3).

c) Calcula la velocidad instantnea en 2 exactamente en segundos.

Razn de cambio como lmite y su interpretacin geomtrica:

Un concepto fundamental del Clculo es el de la derivada, el cual permite calcular la pendiente de una curva en un punto dado. Para comprender esto, consideremos que P y Q son 2 puntos diferentes en una curva, la recta trazada a travs de P y Q es una recta secante con una pendiente determinada.

Representando la diferencia de las abscisas de P y Q con la letra h se tiene que: h = x2 -x1 Despejando x2 x2 = x1 + h

El valor de h puede ser negativo o positivo. Luego la pendiente de la recta secante PQ est dada por:

mPQ = Sustituyendo x2 = x1 + h f(x2) - f(x1)

h

BLOQUE III

53

Dada una curva y=f(x) y sea P un punto sobre la curva. La pendiente de la curva en P es el lmite de la pendiente de la recta secante PQ sobre la curva cuando Q se aproxima a P:

http://www.youtube.com/watch?v=KHuO1CK5fhs&feature=related.

La idea de definir la pendiente de una curva en un punto determinado fu descubierta en el siglo XVII por Newton y Leibniz, la cual es una herramienta til para tal situacin.

Por Ejemplo:

1.- Calcula la pendiente de la curva y=x2, cuando x=2

Calculando el lmite cuando h0, ste es = 4



54

2.- Calcular la pendiente de la curva y=x3 , cuando x=-2

Calculando el lmite cuando h0, este es: =12

Se ha visto que la pendiente de la tangente a una curva y=f(x) en un punto determinado, est definida por:

Si este lmite existe, se le nombra derivada de f en x y se representa con la notacin f (x), entonces:

Otras notaciones de uso comn para la derivada son y y que significan lo mismo. El proceso de encontrar f(x) a partir de f se llama derivacin:

dydx

BLOQUE III

+=

( ) ( )( ) = t

55

( ]



56

BLOQUE III

57

ACTIVIDAD 3

Visita la pgina de Internet:http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas2.htm

Determina la derivada de la funcin aplicando su definicin de derivada (Regla de los 4 pasos) en los ejercicios:

Por ejemplo: f(x)=7x-1



58


Cuando Luis va rumbo a la escuela con sus amigos, observa a un automovilista que va a gran velocidad en un cruce muy concurrido, en este existe un alto de disco por lo que empieza a suponer que pasar. El automovilista al percatarse del alto frena de manera brusca para detener el automvil, uno de los amigos de Luis le dice que la distancia de la seal del alto en metros despus de cierto tiempo puede determinarse mediante la ecuacin d=20-12t+3t3, por lo que se preguntan:

a) Cunto es el tiempo necesario para detenerse?

b) Qu distancia a recorrido despus de iniciar el frenado?

c) Se alcanzar a detener a tiempo?

Lectura:

Para qu sirve la derivada?

Hasta ahora has aplicado los conceptos de lgebra y trigonometra para estudiar el comportamiento de los cuerpos que desplazan a velocidad constante, pero qu hacer si la velocidad es variable y la trayectoria es irregular? Claro est que necesitamos una herramienta ms poderosa, en este caso esa ayuda nos la brinda el Clculo. La descripcin exacta del movimiento requiere clculos precisos en la velocidad y en la aceleracin, para ello emplearemos a la derivada.

La versatilidad del clculo lo hace til en muchos campos de estudio, por ejemplo, la Fsica nos permite expresar el movimiento de los cuerpos cuando las velocidades cambian rpidamente y deseamos calcular dichas manifestaciones. Otra aplicacin importante se da en la Ingeniera Electrnica, donde podemos mencionar: los cambios instantneos de una corriente elctrica, las variaciones en el flujo magntico, las variaciones en la carga elctrica, las variaciones en la tensin elctrica, en el torque, en la potencia, etc.

BLOQUE III

59

La derivada se representa cmo una funcin que cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En trminos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cunto est cambiando el valor de una funcin en un punto dado (o sea su velocidad de variacin); por ejemplo, la derivada de la posicin de un vehculo con respecto al tiempo, es la velocidad instantnea con la cual el vehculo est viajando.

La derivada de una funcin es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximacin lineal de una funcin cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin en dicho punto. En dimensiones ms elevadas, la derivada de una funcin en un punto es la transformacin lineal que ms se aproxima a la funcin en valores cercanos de ese punto.

Para encontrar la derivada de una funcin, se pueden usar reglas que facilitan los procedimientos anteriores. A continuacin se presentan algunas reglas de derivacin, ejemplos y varios ejercicios para que practiques y aprendas a aplicarlas correctamente.

I. La derivada de una constante es igual a cero:

si y = c y = 0

Por ejemplo:

1.- Calcular la derivada de y= 5 y=0

2.- Calcular la derivada de y= -12

II. La derivada de la variable independiente es igual a uno:

si y=x y=1



60

III. La derivada del producto de una constante por la variable independiente es igual a la misma constante:

si y=cx y=cPor ejemplo:

1.- Calcular la derivada de y= 5x y=5

2.- Calcular la derivada de y= 2x y= 2

3.- Calcular la derivada de y= x

y=

IV. La derivada de xn es igual al producto del exponente n por x con exponente disminuido en una unidad.

si y=xn y=nxn-1

Por ejemplo:

1.- Calcular la derivada de y=x2 Al aplicar la regla y=2x2-1 y=2x

2.- Calcular la derivada de y=3x^4 Al aplicar la regla y=4(3x)4-1 y=12x3

Ejercicios:

a) y=2x3

b) y=4x5

c) y=x8

d) y=12x

32

32

BLOQUE III

61

V. La regla de la cadena es igual al producto del exponente n por u con exponente disminuido en una unidad, por el producto de la derivada del trmino u.

si y=un y=nun-1

Por ejemplo:

1.- Calcular la derivada de y=(2x-1)5

Si u=(2x-1) =2 Al aplicar la regla y=5(2x-1)5-1 (2) y=10(2x-1)4 2.- Calcular la derivada de y=(x3+4x)8

Si u=x3+ 4x =3x2+4

Al aplicar la regla y=(x3+4x)7 (3x2+4)

Ejercicios:

a) y=(2x-4)3

b) y=(x2+x)2

c) y=(4-x)5

d) y=54x2-8

dudx

dudx

dudx



62

VI. La derivada de u es un cociente cuyo numerador es la derivada de u y el denominador es dos veces la misma raz.

si y= u

y=

Por ejemplo:

1.- Calcula la derivada de y=3x

Si u=3x =3 3 Al aplicar la regla y= 2 3x

2.- Calcula la derivada de y= 8x-1

Si u=8x-1 =8 8 Al aplicar la regla y= 2 (8x-1)) 4 y= (8x-1)

Ejercicios:

a) y= 2x

b) y= 2x+3

c) y= x3-3

d) y= 4-x

dudx

dudx

du dx2 u

BLOQUE III

63

VII. La derivada de la suma de un nmero finito de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones:

0



64

VIII. La derivada del producto de las dos funciones es igual al producto de la primera funcin por la derivada de la segunda ms el producto de la segunda por la derivada de la primera.

BLOQUE III

) (

) (

65

IX. La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominado, todo dividido por el cuadrado del denominador.



66

Nota: para ver ms informacin visita la pgina de Internet:

http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas4.htm

Ejemplo 1.

A Omar le recetaron un medicamento que requiere administrarse de forma intramuscular, debido a una infeccin muy fuerte; al investigar dicho medicamento en internet, se asombro porque encontr que la concentracin (miligramos) est en funcin del tiempo transcurrido (horas) despus de ser aplicado y se describe mediante la funcin:

Aplicando la regla de cociente obtenemos:

BLOQUE III

67

La funcin que se acaba de encontrar es la derivada de la concentracin del medicamento, es decir, es la rapidez con que se diluye en la sangre.

(integradora)

Obtn la derivada de las siguientes funciones algebraicas:

x y0 01 0.112 0.173 0.164 0.135 0.09810 0.029

ACTIVIDAD 4



68

BLOQUE III

)(

69

En matemticas, las funciones trigonomtricas son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ngulos del tringulo con las longitudes de los lados del mismo segn los principios de la Trigonometra.

Las funciones trigonomtricas son de gran importancia en Fsica, Astronoma, Cartografa, Nutica, Telecomunicaciones, la representacin de fenmenos peridicos, y otras muchas aplicaciones.



70

Las razones trigonomtricas se definen comnmente como el cociente entre dos lados de un tringulo rectngulo asociado a sus ngulos. Las funciones trigonomtricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razn trigonomtrica en un tringulo rectngulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones ms modernas las describen como series infinitas o como la solucin de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensin a valores positivos y negativos, e incluso a nmeros complejos.

Tambin se aplican reglas para derivar funciones trigonomtricas, tales como:

BLOQUE III

4. La derivada de Cotangente: =

= ( )

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de =4 ( +1 ) Si = Aplicando la regla = ( )( +1 ) ( +1 )

= ( +1 )(1) = ( +1 )

5. La derivada de Secante: Si =

= . ( )

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de =s ec (3 1) Si =3 1

Aplicando la regla =s ec(3 1) .tan (3 1) (3 1)

=3 (sec(3 1) .tan(3 1)) 6. L a derivada de Cosecante:

=

= . ( )

Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de =csc ( ) Si = Aplicando la regla = csc( ) .cot ( ) ( )

=( 3 )csc( ) .cot ( )

71



Las derivadas de funciones exponenciales, se les llama as porque la variable x es el exponente. En general una funcin exponencial tiene la forma f(x)=ax, donde a>0 y x es cualquier nmero real, tal como:

Ejercicios: a) = . b) =

c) =

d) =2

e) =cos (3 +5 )

1. L a derivada de :

= = ( ) Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de =2 Si = Aplicando la regla =2 2 ( )

=2 2(2 ) = (2 )2 2

f) = +

72

BLOQUE III

2. La derivada de Euler: = = ( ) Por ejemplo: a).- Calcular la derivada de = Si =3 Aplicando la regla = (3 )

= (3) =3

Si a>0 y a1, la funcin exponencial f(x)=ax tiene una funcin inversa que se llama funcin logartmica de base a y se escribe: f(x)=loga x.

En general, su u es una funcin derivable de x, la funcin logartmica se base a se puede escribir como: f(x)= loga u

Si la base a=10, el logaritmo se conoce como logaritmo decimal y se representa con la notacin log. En cambio, se a=e, el logaritmo se conoce como logaritmo natural y se representa con la notacin ln, tal como:

1. La derivada de logaritmo natural:

= = ( ) Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de = Si =

Aplicando la regla =( )

= ( )

=2

=2 2. La derivada de logaritmo base a:

= = ( )

73



Por ejemplo: a).- Calcula la derivada de =

Si =

Aplicando la regla =( )

=( )( ) ( )( )

=

= =

Ejercicios: a) = 2

b) =

=ln ( +1 )

c)

=log (1 + )

d)

= 3 e)

74

BLOQUE III

75

ACTIVIDAD 5

Encuentra la derivada de la funcin trascendente dada.

1. =sen 5

2. =cos 4

3. =ln ( +1 )

4. =t an

5. = 2 ( 1)

6. =3

7. =5

8. =log ( +1 )( 2)

9. =cot 3

10. =ln ( +4 )



76

11. =l og (2 3 )

12. =2 5

13. =ln+1

2

14. =2

15. =4 cos (3 )

16. =log ( +5 )

17. =s en +12

cot

18. =23

sec4

19. = 2

20. =2 cot

BLOQUE III

77

ACTIVIDAD 6

Derivadas de Orden Superior o Sucesivas.

En el proceso de la derivacin algebraica, la derivada de una funcin f se llama primera derivada. Si f (x) es tambin una funcin derivable de x, la derivada de la primera derivada se llama segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f y se representa con la notacin:

La segunda derivada de f puede ser derivada para producir f (x), que se llama tercera derivada de f y as sucesivamente.Notacin de las derivadas sucesivas

( ),

( ) , ,

( ) , ,

( ) , ,

( ), ,

1.- Encuentra la primera y segunda derivada de =4 9 +5 1

= (4 ) (9 ) + (5x) 1

=12 18 +5 = (12 ) (18 ) + (5)

=24 18 2.- Encuentra la primera y segunda derivada de =10 +3 +2 = (10 ) + (3 ) + (2 )

=10 +6 +10 = (10) + (6 ) + (10 )

=6 +40

Por ejemplo:



78

3.- Encuentra la primera, segunda y tercera derivada de = ( )(3 +2 ) = ( ) (3 +2 ) + (3 +2 ) ( )

= ( )( 3) + (3 +2 )( 2 1) =3 3 +6 3 +4 2 =9 2 2 = (9 ) (2 ) (2)

=1 8 2 = (18 ) (2)

=1 8 4.- Encuentra la primera y segunda derivada de =

=( ) ( ) ( ) ( )

( )

= ( )( ) ( )( )( )

=( )

=( )

=( ) ( ) ( ) ( )

[( ) ]

= ( ) ( ) ( )( )( )[( ) ]

= ( )( )

=( )

1.- Encuentra la segunda derivada de: y=3x4-5x2+2

2.- Encuentra la tercera derivada de: y=8x4-5x3-x2+7

ACTIVIDAD 7

BLOQUE III

79

3.- Encuentra la segunda derivada de:

4.- Encuentra la cuarta derivada de: y=x4+2x3-3x+5

Resuelve los siguientes problemas por derivadas:

1.Durante un ensayo de beisbol, Juan le dice a Luis que observe lo alto que se levanta la pelota cuando sale disparada verticalmente. Si se sabe que la posicin de la pelota respecto al piso est dada por:

y=-5x2+20x+15.

Pedro, alumno de sexto semestre, al ver tal situacin se pregunt:

a) Cul ser la altura mxima y en cunto tiempo la alcanza?

b) Cul es la velocidad de la pelota?

c) Cul es la velocidad a los 3 segundos?

ACTIVIDAD 8

=2 +



80

2. Se vierte agua en un estanque cilndrico de 2 metros de radio y 4 metros de altura a razn de 50 litros por minuto. Con qu rapidez asciende el nivel del agua? Si V= 2 h

3.Una persona posee 2400 metros de malla y desea cercar un terreno rectangular que est sobre un ro.

Si no necesita cercar al ro, cules son las dimensiones del terreno que posee el rea ms grande para as optimizar su malla?

4. Se desea construir un invernadero un en terreno rectangular de 3,600 m2 en tres porciones iguales, con cerca adicional paralela a dos de los lados como se muestra en la figura. Cules son las dimensiones del terreno de manera que el cerco utilizado tenga longitud mnima?

BLOQUE III

81

5. Se desea construir una caja rectangular de cartn sin tapa. Si a un cartn de 10 x 16 cm se le hace una corte cuadrado en cada esquina y se doblan los bordes por las lneas punteadas. Cul debe ser el tamao de los cuadrados recortados para maximizar el volumen?




Criterios Excelente ( 5 ) Bien ( 4 ) Regular ( 3 o 2) Deficiente ( 1 ) Puntuacin por criterio

Razn de cambiopromedio einstantnea

Aplica de manera correcta las frmulas para determinar la razn de cambio promedio e instantnea y obtiene el resultado correcto. Las grficas trazadas corresponden a las funciones dadas.

Aplica de manera correcta las frmulas para determinar la razn de cambio promedio e instantnea pero no obtiene los resultados correctos. Las grficas trazadas corresponden a las funciones dadas.

Aplica de manera incorrecta las frmulas para determinar la razn de cambio promedio e instantnea, el resultado es incorrecto. Las grficas trazadas corresponden a las funciones dadas.

No realiza los ejercicios de razn de cambio.Las grficas trazadas corresponden a las funciones dadas.

Los ejercicios y grfica contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La grfica est trazada con las escalas adecuadas.

Los ejercicios y grfica contienen los datos pertinentes, muestran limpieza, orden y claridad. La grfica no est trazada con las escalas adecuadas.

Los ejercicios y grfica contienen los datos pertinentes, pero no muestran limpieza, orden y claridad.

Los ejercicios no muestran limpieza, orden y claridad. No traza grficas.

Puntuacin total:

Ponderacin 10%

82

Instrumentos de evaluacin Corte 2

Rbrica

Actividad 1 BLOQUE III



BLOQUE III

Lista de cotejo

Actividades 4, 5 y 7

Ponderacin 50%

BLOQUE III



Indicadores S No

Aplica correctamente la derivada de una constante.Aplica correctamente la derivada de una variable con respecto a ella misma.Aplica correctamente la derivada de una suma.Aplica correctamente la derivada de la multiplicacin de una constante por una funcin.Aplica correctamente la derivada de la potencia de una funcin de exponente constante.Aplica correctamente la derivada de la multiplicacin de dos funciones.Aplica correctamente la derivada de la raz cuadrada de una funcin.Aplica correctamente la derivada de la raz cuadrada de una funcin.Aplica correctamente la derivada de la funcin senoAplica correctamente la derivada de la funcin coseno.Aplica correctamente la derivada de la funcin tangente.Aplica correctamente la derivada de la funcin cotangente.Aplica correctamente la derivada de la funcin secanteAplica correctamente la derivada de la funcin cosecante.Aplica correctamente la derivada de la funcin exponencial (eu).

Aplica correctamente la derivada de la funcin exponencial (au).Aplica correctamente la derivada de la funcin logartmica (ln).Aplica correctamente la derivada de la funcin logartmica (logau).Encuentra la segunda derivada de una funcin de manera correcta.Obtiene al menos 70% de los valores correctos de las derivadas de funciones algebraicas.Obtiene al menos 70% de los valores correctos de las derivadas de funciones trascendentes.Obtiene al menos 70% de los valores correctos de las derivadas de orden superior.


83



Blo

qu

e IV

Blo

qu

e IV

CALCULAS E INTERPRETAS MXIMOS Y MNIMOS

SOBRE LOS FENMENOS QUE HAN CAMBIADO EN EL TIEMPO DE LA

PRODUCCIN INDUSTRIAL O AGROPECUARIA

85


Comprende el volumen mximo y lo aplica a travs del diseo de envases como cilindros, cubos, prismas, esferas, entre otros.

Interpreta grficas que representan diversos fenmenos naturales, producciones agrcolas e industriales, identifica mximos y mnimos absolutos y relativos.

Establece modelos matemticos y representaciones grficas de produccin de diversas empresas (manufactura, fabricacin y elaboracin de artesanas) para calcular sus mximos y mnimos de utilidad y emitir juicios sobre su situacin econmica.

Calcula mximos y mnimos en funciones algebraicas y trascendentes aplicando mtodos algebraicos.


Interpreta y analiza grficas de fenmenos meteorolgicos (temperatura, humedad atmosfrica, calentamiento atmosfrico y cantidad de bixido de carbono en la atmosfera) de su regin e identifica los mximos y mnimos absolutos.

Construye e interpreta modelos matemticos sencillos sobre el comportamiento de un mvil en un tiempo determinado y calcula mximos y mnimos absolutos y relativos.

Valora el uso de las TIC en el modelado y simulacin de situaciones problemticas de fenmenos fsicos, qumicos, ecolgicos, de producciones agrcolas, industriales, artesanales y de manufactura, emitiendo juicios de opinin.

Calcula mximos y mnimos de funciones algebraicas e interpreta los mximos relativos y puntos de inflexin en grficas que modelan la resolucin de problemas de su entorno.


Producciones, mximos y mnimos.

Variaciones en las producciones, mximos y mnimos relativos.

86

Para qu sirven los valores mximos y mnimos?

Los mximos y mnimos de una funcin de dos variables nos permiten medir las altitudes mximas y mnimas sobre la superficie que integra la grafica de la funcin (estas altitudes son similares a las cotas del punto ms elevado de una colina o del punto ms profundo de una hondonada).Iniciaremos con el clculo del mximo y del mnimo (valores crticos de la funcin) aplicando el criterio de la primera derivada, despus enunciaremos (sin demostrarlo) el teorema que se conoce como el criterio de la segunda derivada, el cual permite determinar (en ciertos casos) si un punto crtico determinado corresponde a un mximo o a un mnimo relativo. La aplicacin de estos procedimientos se observa en todas las reas; las ciencias naturales, las ciencias sociales y las ciencias exactas.


El comportamiento de la produccin de uva para elaborar vino de mesa en la regin del Valle de Guadalupe de cierta compaa, se estima con la funcin f(x)=-x2+70x-1189 donde x representa el tiempo en semanas y f(x) la produccin de uva en toneladas por semana. La meta de produccin para el 2011 es de 125 toneladas, lo dems es de excedente, que se utilizara para hacer jalea.

Conflicto cognitivo.

a) En qu semana comienza la cosecha de uva?b) En qu semana termina?c) En qu semana se obtendr la mxima produccin?d) Cuntas toneladas se cosechan en esa semana?e) Se alcanza la meta de las 125 toneladas?f) En qu momento?g) Cmo ser la grfica que representa la produccin de uva?

BLOQUE IV

87

Ejercicio:

Una compaa empacadora de uva de mesa necesita cajas abiertas para almacenar su producto de volumen mximo y se van a construir a partir de un trozo cuadrado de material que tiene 24 pulgadas por lado, cortando cuadrados iguales de las esquinas y doblando los lados hacia arriba.

Dibuja cuadrados iguales en las cuatro esquinas (tienes la libertad de elegir el tamao(x)) despus se recortaran cuatro cuadrados en las esquinas como se muestra en la figura.

CALCULAS E INTERPRETAS MXIMOS Y MNIMOS SOBRE LOS FENMENOS QUE HAN CAMBIADO EN EL TIEMPO DE LA PRODUCCIN INDUSTRIAL O AGROPECUARIA

88

a) Escribe el volumen V como funcin de x.

b) Completa analticamente seis renglones de una tabla como la que sigue. (se muestran los dos primeros renglones) Use la tabla para hacer una conjetura acerca del volumen mximo.

c) Aplica el clculo para hallar el nmero crtico de la funcin del inciso a y encuentre el valor mximo .Use un medio para el efecto con el fin de construir la grfica del inciso a y verifique el volumen mximo a partir de esa grfica.

Visita la direccin de Internet:

La siguiente direccin sirve de apoyo para ampliar o basar tus conocimientos en los conceptos de: Mximos y mnimos absolutos y relativos, punto de inflexin adems puedes consultar ejercicios resueltos o resolver ejercicios por tu propia cuenta, incluso algunas aplicaciones de mximos y mnimos.

http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm

Mximos y mnimos, criterio de la primera derivada.

Estas definiciones estn basadas en la siguiente grfica que nos muestra cmo cambia la recta tangente en un punto mnimo y mximo de la curva:

Altura Longitud y ancho Volumen

1 24-2(1) 1(24-2(1))2=484

2 24-2(2) 2(24-2(2))2=800

3

4

5

6

BLOQUE IV

89

Como podrs observar, en el punto A la recta tangente forma un ngulo agudo con el eje x, en consecuencia su pendiente es positiva. Ahora analizaremos el punto C, la recta tangente en ese punto forma un ngulo obtuso con el eje x, por tanto su pendiente es negativa. En consecuencia podemos decir que el punto B es un mximo, es decir, su pendiente vara de positiva a negativa.

Por otro lado, para el caso del punto C, ya comentamos que su recta tangente tiene una pendiente negativa. Si ahora analizamos el punto E veremos que la recta tangente forma un ngulo agudo con el eje x, en consecuencia su pendiente es positiva. Por consiguiente el punto D es un mnimo, es decir, su pendiente cambia de negativa a positiva.

Cabe indicar que tanto el mximo como el mnimo tienen rectas tangentes paralelas al eje x, en este caso la pendiente vale cero.

Con lo anterior podemos concluir que:

Nota: Se explica el hecho de que el mximo-mnimo de una funcin se alcanza cuando la pendiente de la tangente es nula, sin embargo estos punto pueden ser llamados extremos locales.

Con estos conceptos podemos deducir un mtodo para calcular mximos y mnimos para cualquier funcin:

1er. paso: Se calcula la derivada de la funcin.

2do. paso: Se iguala a cero la derivada obtenida y se resuelve la ecuacin que la forma, a las soluciones obtenidas las llamaremos valores crticos y probables mximos y mnimos.

3er. paso: Se verifican cada uno de los valores crticos y se calculan los signos de la derivada, empezando con la sustitucin de un valor menor y despus, se hace lo mismo para otro valor mayor que l.


90

Los resultados numricos obtenidos NO nos interesan, slo nos importa calcular el signo resultante. Por ejemplo si primero obtenemos un signo (+) y despus un signo () entonces tenemos un mximo para la funcin. En caso contrario ser un mnimo. Si el signo no cambia entonces la funcin no tiene ni mximo ni mnimo.

Ejemplo:

I. Calcular los mximos y mnimos de la funcin y=x3- 6x2+9x

1er. paso. Derivamos:

y=x3- 6x2+9x y=3x2-12x+9

2do. paso. Igualamos a cero:

3x2-12x+9=0 x2-4x+3=0

Determinamos las races: (x-1)(x-3)=0 (x-1)=0, (x-3)=0

Estos son los valores crticos: x1=1, x2=3

3er. paso. Verificamos los valores crticos:

ANLISIS DEL PRIMER VALOR CRTICO x1=1

Un valor menor: Un valor mayor: x=0 x=2

f (x)=3(x2-4x+3)

f (0)=3(02-4(0)+3) f (2)=3(2^2-4(2)+3) f^ (0)=+9 f (2)=-3

Se observa que el cambio fue de signo (+) a (), en consecuencia x1=1 es la abscisa (valor de x) de un mximo.

BLOQUE IV

91

ANLISIS DEL SEGUNDO VALOR CRTICO x1=3 Un valor menor: Un valor mayor: x=2 x=4

f (x)=3(x2-4x+3)f (2)=3(22-4(2)+3) f (4)=3(42-4(4)+3)

f (2)=-3 f (4)=+9

Se observa que el cambio fue de signo () a (+), en consecuencia x2=3 es la abscisa (valor de x) de un mnimo.

Conclusin:

Para encontrar los valores correspondientes del mximo y mnimo se tendr que sustituir en la funcin original:

f(x)=x3- 6x2+9x

f(1)=13-6(1)2+9(1) f(1)=4 f(3)=33-6(3)2+9(3) f(3)=0

Por lo que el mximo es el punto (1,4)

El mnimo es el punto (3, 0)


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Calcula los mximos y mnimos de las siguientes funciones con el criterio de la primera derivada y traza la grfica. f(x)=2x- x2 f(x)= x2+4x+1 f(x)=x3+2x2-15x-20 f(x)=x3- 6x2+9x-3 f(x)=3x2-x3 f(x)=2+12x+3x2-2x3

Ejemplo de aplicacin de maximizacin.

Se va a fabricar una lata para que contenga 1 L de salsa de tomate. Halla las dimensiones que minimizar el costo del metal para fabricar la lata.

Solucin

Para minimizar el costo del metal, minimizamos el rea superficial total del cilindro (tapa, fondo, lados). A partir de la figura, observamos que los lados se fabrican de una lmina rectangular con dimensiones 2r, de manera que el rea superficial es:

A=( rea de las tapas) + (rea de los lados)

A=2 2+ 2

Para eliminar h, aplicamos el hecho de que se da el volumen como 1 litro, el cual tomamos como 1000 cm3, por lo tanto

V=1000 cm3

ACTIVIDAD 1

BLOQUE IV

93

Volumen de un cilindro = rea de la base por altura

V= 2 h

1000= 2 h

Si despejamos h, tenemos que:

Sustituimos el valor de h encontrado en el rea superficial de toda la lata.

A=2 2+

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CÁLCULO DIFERENCIAL