Cálculo Diferencial ACastilloN

secretaría de educación pública

subsecretaría de educación media superior dirección general de educación tecnológica industrial

CC ÁÁ LL CC UU LL OO DD II FF EE RR EE NN CC II AA LL

ing. armando castillo nieves

componente de formación básica

academia de matemáticas

loreto, zacatecas. enero de 2009

Ing. Armando Castillo Nieves

Cálculo Diferencial CBTis 215 2

contenido

1. pre-cálculo.

1.1. antecedentes históricos. 1.2. números reales.

1.3. sistema de coordenadas lineales y rectangulares. 1.4. desigualdades.

1.5. intervalos.

2. funciones.

2.1. domino y contradomino 2.2. clasificación.

2.3. operaciones. 2.4. comportamiento.

3. límites.

3.1. límite de una función. 3.2. propiedades.

3.3. continuidad de una función.

4. derivada.

4.1. razón de cambio promedio e interpretación geométrica. 4.2. derivación de funciones.

4.3. fórmulas de derivación. 4.4. derivadas sucesivas.

4.5. comportamiento.



1. pre-cálculo. 1.1. antecedentes históricos.

de cómo se gestó y vino al mundo el cálculo infinitesimal

n e w t o n l e i b n i z

( 1 642 - 1 727 ) ( 1 646 - 1 716 )

del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. el

cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y

pequeños. los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que

arquímedes realizó en el siglo iii a.c. aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta el siglo xvii, ¡2000 años!, para que apareciera -o mejor,

como platón afirmaría, para que se descubriera- el cálculo. varias son las causas de semejante retraso. entre ellas debemos destacar la

inexistencia de un sistema de numeración adecuado -en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría

analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes,

cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. todo ello ocurrió

principalmente en el siglo xvii.

ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. para los griegos el infinito aparece de

dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. ya se vislumbra de algún modo en la inconmensurabilidad de la

diagonal del cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa



paradoja de zenón sobre aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar

que alguien intentara regularlos. ese alguien fue aristóteles. lo que hizo fue prohibir el infinito en acto "no es posible que el infinito exista como

ser en acto o como una substancia y un principio", escribió, pero añadió

"es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles" de manera que el infinito "existe

potencialmente [...] es por adición o división". así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una

colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. fue eudoxio, discípulo de platón y

contemporáneo de aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. eudoxio postuló que "toda magnitud finita

puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada". es el famoso principio de arquímedes que éste toma

prestado a eudoxio y que sirvió a aquél para superar la primera crisis de las matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

no obstante, fue arquímedes el precursor del cálculo integral aunque

desgraciadamente su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna

repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica

de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 ... la genial idea del siracusano fue considerar las áreas como una colección -

necesariamente infinita- de segmentos. habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso cavalieri- volviera a usar de

esa manera los infinitos. de hecho leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de pascal donde éste usaba un método

semejante.

la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de arquímedes tuvo gran influencia en el nacimiento del cálculo. -ya en el

siglo xvii se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas.

también ayudó al surgimiento del cálculo los cambios de actitudes en la matemática del siglo xvii quizá influenciada por los grandes

descubrimientos de todos tipos -geográficos, científicos, médicos y tecnológicos- que fue el interés de los matemáticos por descubrir más

que por dar pruebas rigurosas. ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas. y finalmente, el descubrimiento de la

geometría analítica de descartes y fermat.

la primera parte del siglo xvii vio el nacimiento de la geometría analítica de fermat y descartes. la importancia de este descubrimiento consiste



en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de

problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación

analítica. de esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía

extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos, y específicos para cada curva,

procedimientos geométricos.

como ya mencionamos, en el siglo xvii los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos que los griegos les habían tenido: kepler y cavalieri

fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. el

primer paso importante se debe a cavalieri -discípulo de galileo-. cavalieri considera áreas formadas por segmentos y volúmenes

formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mecánico -y desconocido en aquella época-

de arquímedes. cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar

rigurosamente sus resultados -cosa que no consiguió ya que el infinito

en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-. las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica,

excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rápidamente superados por torricelli, fermat, pascal, wallis y roberval.

otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, grégoire de saint-vicent, jesuita discípulo de clavius. sus principales aportaciones las

publicó en su opus geometricum. en ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo

diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de zenón sobre aquiles y la tortuga que además resolvía

magistralmente argumentando que zenón no consideró en la persecución de aquiles que el tiempo formaba una progresión

geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. una de las aportaciones más valiosas de saint-

vicent consistió en su hallazgo de que el área encerrada bajo una

hipérbola se expresaba mediante los logaritmos.

nuestro próximo personaje es john wallis, miembro fundador de la royal society de londres y editor de obras de arquímedes que además escribió

una gramática inglesa. wallis aritmetizó los indivisibles de cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de

áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso de límite haciendo además un uso

"descarado" del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado (∞)-. es curiosa la opinión que él mismo



profesaba de sus métodos: "este procedimiento es altamente

heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido método de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente

iteración produce náuseas al lector. cualquier ducho en la materia puede

realizar la prueba", escribió en su arithmetica infinitorum. usando su método aritmético, la inducción incompleta, y su intuición llegó a

calcular el área de todas las parábolas generalizadas 𝑥𝑟 con r racional

excluyendo al −1, además de una bellísima fórmula para calcular 𝑃𝑖 = 𝜋.

el trabajo de wallis influyó enormemente en newton quien aseguró que

el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo se originaron en su estudio del libro de wallis en la época de estudiante en

cambridge.

el mismo wallis propone una genealogía del cálculo:

método de exhausión (arquímedes) método de los indivisibles (cavalieri)

aritmética de los infinitos (wallis) métodos de las series infinitas (newton)

dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas

constituyeron la base del cálculo. en la parte central del siglo xvii, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas,

como alguien las llamó en el siglo xviii, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes,

etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. como hemos mencionado saint vincent, pascal, wallis, ...

siguieron los pasos de kepler y cavalieri; además de los infinitésimos cada vez se usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría

analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. si isaac barrow, el maestro de newton en cambridge la hubiera estudiado

bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. en efecto, la geometría analítica amplió considerablemente el

horizonte de las curvas geométricas. este incremento de nuevas curvas

hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes. uno de ellos fue el método de adigualdades de pierre fermat

que servía además para calcular máximos y mínimos. esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor a un puesto de honor

como precursor del cálculo. newton, en una carta descubierta en 1934, escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: "la

indicación me la dio el método de fermat para las tangentes. aplicándolo a las ecuaciones abstractas directa e inversamente, yo lo hice general".



relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del siglo

xvii el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. el primero en

plantear un problema de este tipo fue florimond de beaune, discípulo de

descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. el propio descartes lo intentó sin éxito

siendo leibniz el primero en resolverlo en la primera publicación de la "historia sobre el cálculo infinitesimal". de hecho un elemento esencial

para el descubrimiento del cálculo fue el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos;

es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy llamamos teorema fundamental del cálculo.

newton en su célebre frase "si he llegado a ver más lejos que otros

es por que me subí en hombros de gigantes" se refiere entre otros a su maestro y mentor isaac barrow. barrow fue probablemente el científico

que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marchó de su cátedra

en cambridge, cediéndosela a newton para continuar sus estudios

teológicos-. en la lección x de su obra letiones opticae & geometricae barrow demuestra su versión geométrica del teorema fundamental del

cálculo.

en el último cuarto del siglo xvii, newton y leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales

usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la

derivada -reglas de derivación- y mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo

infinitesimal. para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc. que habían

ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo.

el primero en descubrirlo fue newton, pero su fobia por publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. newton gestó el cálculo en

sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba inglaterra. de hecho su primera

obra sobre el cálculo, de analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro barrow-

fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. la segunda obra de newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero

esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 después de escrita!. se trata de de methodis serierum et fluxionum.



en ella newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en

función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas

algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos

problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencionado teorema fundamental del

cálculo-. para demostrar la potencia de su cálculo newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de

tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores. una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente es ¿por qué

newton tardó tanto en publicar sus resultados? a parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus

contemporáneos, newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo

copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. este temor también está patente en su obra cumbre: los principia, donde optó por un

lenguaje geométrico más riguroso -y oscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única

mención del mismo en el lema ii de la sección ii del libro ii: la regla para

derivar productos-.

leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. su descubrimiento fue posterior al de newton, aunque leibniz fue el

primero en publicar el invento. lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus

resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas, el acta eroditorum, que el mismo había ayudado a fundar -

eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y

hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos científicos-. durante una estancia en parís -ya que era un afamado

diplomático- leibniz conoce a huygens quien le induce a estudiar matemáticas. en 1673, luego de estudiar los tratados de pascal, leibniz

se convence que los problemas inversos de tangentes y los de

cuadraturas eran equivalentes. alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una

teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de newton si lo

publica en las mencionadas actas con el título "un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se

detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". en este artículo de 6 páginas -

e incomprensible como él mismo luego reconoce- leibniz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su cálculo



diferencial -"un enigma más que una explicación" dijeron de él los

hermanos bernoulli. también leibniz resuelve el ya mencionado problema de de beaune encontrando que la solución era el logaritmo. el

siguiente artículo de leibniz se llamó "sobre una geometría altamente

oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las actas eroditorum en 1686. en él aparece por primera vez la notación

para la integral que todavía hoy usamos -en el primero introduce la notación "dx" para la diferencial-.

como colofón a estas páginas dedicaremos unas líneas a tratar la

mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo. las suspicacias entre newton y leibniz y sus

respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron

estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues

los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los

mismos. newton consideraba las curvas generadas por el movimiento

continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que leibniz consideraba

una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría

se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. si el de

newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite, el de leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del

análisis no estándard de abrahan robinson.

la polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo xvii: por un lado leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de newton

-que el mismo newton le había indicado que existía en sus epistolae : expistola prior y posterior, sendas cartas dirigidas a leibniz. en ambas

newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema

del binomio- su método de cálculo.- además en holanda -como le aseguró wallis a newton- se atribuía el cálculo a leibniz, eso sin contar

que los discípulos de leibniz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el analyse des infiniment petits que redactó el marquéz de

l'hospital a partir de las clases particulares que le dio juan bernoulli.

la respuesta de los seguidores de newton no se hace esperar. primero el propio newton hace publicar en el tercer volumen de las obras

matemáticas de wallis la correspondencia cursada con leibniz, las epistolas prior y posterior donde éste pedía a newton le enviase



resultados sobre series, luego fatio de duillier, amigo de newton, acusa

a leibniz de haber plagiado a newton y como no, en su ya mencionada de quadratura curvarum, newton alega "en una carta escrita al sr.

leibniz en 1676 y publicada por wallis, mencionaba un método por el

cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilíneas [...] hace años presté un manuscrito

conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión". la

respuesta de leibniz no se hizo esperar.

en una reseña del de quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: leibniz - en 1705 en las actas se

dice "para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. cuando una cantidad varía continuamente como, por

ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] y por

tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. los elementos de este cálculo han sido publicados por su

inventor el dr. gottfried wilhelm leibniz en estas actas, y sus varios usos

han sido mostrados por él y por los drs. y hermanos bernoulli y por el dr. marquéz de l'hospital. en vez de las diferencias leibnizianas, el dr.

newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones". esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra leibniz desde las philosophical

transactions firmado por john keill quien acusa abiertamente a leibniz de plagio. tras la protesta de leibniz la royal society nombra una comisión -

que resultó estar plagada de amigos de newton - que luego de varias deliberaciones dictaminó que newton fue el primero y no acusó a leibniz

- aunque tampoco rectificó las duras palabras de keill-. esta absurda guerra duró hasta principios del siglo xix cuando finalmente los

matemáticos ingleses deciden adoptar la notación leibniziana, que hasta el momento habían ignorado.

como apéndice a nuestra exposición vamos a relatar, a modo de

realzar la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se

resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por newton y leibniz: el problema de la braquistocrona. el problema consistía en

determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal.

este problema ya interesó en su día a galileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para ello se precisaba del cálculo-. la

historia es como sigue. en el número de junio de 1696 de las actas eroditorum, juan bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del

mundo. en realidad era un reto encubierto a newton. al cabo del año -el plazo original fue de seis meses pero a petición de leibniz se amplió para



que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían

enterado tarde- aparecieron cinco soluciones: una de leibniz, una del mismo juan bernoulli, otra de su hermano jacobo bernoulli, una del

marquéz de l'hospital y una anónima. todas, excepto la de l'hospital

daban con la solución: la cicloide. ¿quién era ese autor anónimo que escogió las philosophical transactions para publicar su genial solución

que sólo contenía 67 palabras?. un vistazo a la solución fue suficiente para que juan bernoulli exclamara "tanquam ex ungue leonen", algo así

como "¡reconozco al león por sus garras!" pues claro está que era newton. años más tarde se aclaró toda la historia. como ya dijimos el

reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad

para ver si el cálculo de newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. además, en una carta de leibniz a juan bernoulli éste

conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo -newton entre ellos claro está-.

como no podía ser de otra forma el reto llegó a newton aunque por

aquel entonces ya no "hacía ciencia" sino que trabajaba en la casa de la

moneda inglesa. según cuenta la sobrina de newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la casa de la

moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que newton ya había pensado en

ese problema unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la memoria ese día-. nuevamente aparece la

misma pregunta: si newton ya había resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dió

augusto de morgan "cada descubrimiento de newton tenía dos aspectos. newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir

que él lo había hecho".



“el crucigrama de la vida”

complete el siguiente crucigrama, llenando los espacios en claro a partir

de la respuesta correcta de las aseveraciones verticales y horizontales,

iniciando en el punto señalado en cada una de ellas.

a b c d e f g h i j k l m n o p q

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

verticales.

2-a. se le debe la definición moderna de limite.

1-l. introdujo la notación xfy .

2-n. establece la idea de representar los puntos del plano por pares de números reales y las curvas en el plano por ecuaciones.

9-l. concibió el método de las fluxiones y considera a la curva como un punto en movimiento

10-d. junto con newton contribuyo en forma decisiva en los inicios del calculo.

horizontales.

2-c. es conocido por sus contribuciones a diversas áreas de las

matemáticas, anticipo muchos resultados relevantes. 4-e. prueba el teorema del valor medio.

6-a. introduce el concepto de función continua, donde establecía que

cambios infinitamente pequeños en y eran el resultado de cambios infinitamente pequeños en x



7-k. su contribución inicial fue en la representación de funciones por

series de potencias. 8-a. fue el primero en utilizar la palabra función, para denotar cualquier

cantidad relacionada con una curva. junto con newton son

considerados los creadores del calculo. 9-f. sus principales contribuciones fueron en ecuaciones diferenciales,

uno de sus principios mencionan que al crecer n la longitud del subintervalo más grande tiende a cero, hecho clave en el

desarrollo de las integrales definidas. 11-c. se le atribuye la introducción del símbolo , utilizado para denotar

al infinito. 12-g. se le atribuye el teorema “los extremos relativos solo ocurren en

los números críticos”. 14-o. el método de descomposición en fracciones simples para la

aplicación de las formulas básicas de integración.

en caso de requerir mayor información, consulta otras fuentes para completar tu crucigrama.

investiga la bibliografía de los siguientes personajes:

rene descartes (1596-1650), _________________________________________________________

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gottfried wilhelm leibniz (1946-1716)

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leonhard euler (1707-1783)

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leonhard euler (1707-1783)

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peter gustav dirichlet (1805-1859)

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augustin louis cauchy (1789-1857) _________________________________________________________

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isaac newton (1642-1727) _________________________________________________________

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isaac barrow (1630-1677)

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pierre de fermat (1601-1665)

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joseph-louis lagrange (1736-1813)

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georg friedrich bernhard riemann (1826-1886).

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blaise pascal (1623-1662) _________________________________________________________

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john wallis (1616-1703) _________________________________________________________

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john bernoulli (1667-1748)

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joseph fourier (1768-1830)

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1.2. números reales.

la matemática es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y

aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación

llevó muchísimo tiempo.

la matemática es como un juego, y para entender un juego hay que conocer las reglas del mismo. como es muy antigua, por lo tanto, se ha

tenido muchísimo tiempo para armar "las instrucciones de cómo jugarla". si existen reglas, es lógico pensar que existen elementos,

cosas, que obedecen esos mandatos. dichos elementos se conocen con el nombre de conceptos primitivos, conceptos que no podemos decir qué

son, sino qué se hace con ellos.

la matemática puede describirse como una construcción edilicia cuyos cimientos están representados por axiomas, afirmaciones que

aceptamos sin discusión. por ejemplo, el punto y la recta son conceptos primitivos, indicando que "por un punto pasan infinitas rectas" estamos

enunciando un axioma. en base a los axiomas se pueden "construir"

propiedades, a las que denominamos teoremas, afirmaciones cuya validez puede probarse, deducirse lógicamente. de estas propiedades se

deducen otras, y así sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red.

de la misma manera que no se puede entender una película a la que

empezamos a ver por la mitad, no podemos entender (apreciar ni disfrutar) del poder de las matemáticas. así que comencemos por lo

básico.

Conjuntos los conjuntos son conceptos primitivos, podemos imaginar lo que son;

una totalidad, una reunión de cosas. ¿qué hacemos con ellos?

comencemos por conocer la reglamentación básica: a todo conjunto se

le da un nombre que siempre es una letra mayúscula. los elementos que lo forman se representan mediante letras minúsculas. podemos

dibujarlo o escribirlo. para dibujarlo utilizamos una línea cerrada, que llamamos diagrama de venn. para escribirlo empleamos un par de llaves

"{" entre las cuales indicamos los elementos que pertenecen al conjunto separándolos, uno de otro, con ";".



hasta este momento sólo hemos nombrado los elementos que

componen al conjunto, lo hemos definido por extensión. pero podemos indicar "la característica" de esos elementos, buscar en dos o tres

palabras, como máximo, lo que distingue a ese conjunto de elementos, de esa manera estamos definiendo al conjunto por comprensión.

pongamos un ejemplo:

si definimos por extensión escribimos: a = {a; e; i; o; u}

por comprensión se escribe: a = {x/x es una letra vocal}

este conjunto está compuesto por letras, cada una de éstas tienen una

característica en común, cada elemento es una vocal. es importante distinguir que como nos referimos a cada elemento que compone el

conjunto, hablamos en singular. conviene, entonces, utilizar una letra a

manera de "nombre" para no tener que estar indicando (escribiendo a cada momento) "que el elemento del conjunto es..." utilizamos una letra

para que represente a cualquier tipo de elemento, esa letra siempre es la "x". al escribir " x/x " (se lee x tal que x) indicamos lo que es x, lo

que es "cada" elemento que compone al conjunto.

demos otros ejemplos:

b = {x/x es una nota musical }

b = {do; re; mi; fa; sol; la; si}

c = {x/x es un número de una sola cifra}

c = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

tamaño o cardinal de un conjunto

intuitivamente podemos darnos cuenta que dos conjuntos no tienen la misma cantidad de elementos. por ejemplo, el conjunto a = {x/x es una

vocal} está compuesto por cinco elementos mientras que el conjunto b = {x/x es una nota musical} está compuesto por siete.



estamos listos para definir una nueva propiedad matemática para los

conjuntos, el cardinal. así pues, el cardinal es el número que determina el tamaño del conjunto, la cantidad de elementos que contiene.

aclaremos que cuando se indica que cierta propiedad "determina", se

está diciendo que existe y es única. volviendo al cardinal, hay varias formas de representar esta propiedad.

algunos autores suelen asignarle un símbolo (#), otros encierran al número entre barras. de esta manera el conjunto d = {x/x es un mes

del año} tiene por cardinal a 12 y se le puede designar: #12 ó |12|.

conjunto vacío: si el conjunto no tuviera elementos, se le denomina vacío, y se le designa con el símbolo ∅ ó {}. en este caso su cardinal es

cero.

conjunto infinito: cuando no podemos indicar la cantidad de elementos

que compone a un conjunto, por que son tantos que no existe un cardinal que pueda determinar su tamaño, decimos que el conjunto es

infinito.

infinito, cuyo símbolo es ∞, no es un número, indica que el conjunto

crece o decrece sin final. por ejemplo, el conjunto de las estrellas que vemos en el cielo es infinito, así mismo los siguientes conjuntos que

trataremos, los conjuntos numéricos, también lo son. volveremos al tema del "infinito" más adelante...

conjunto numérico

cuando un niño descubre a los números se maravilla, se sorprende. los números parecieran ser elementos mágicos por que le permiten conocer

cuantos caramelos puede comer; comparar y decidir si tiene más o menos bolitas que su amiguito, etc. esa misma fascinación pudo haberla

sentido el hombre primitivo al aprender a contar; justamente, los primeros números que naturalmente aprendemos son los números

naturales como el 1, el 2, el 3, el 4, el 10, el 23, el 120, etc.

los números naturales forman un conjunto, el conjunto de los números

naturales que se representa con la letra n.

conjuntamente con el descubrimiento del número, incluso sin darnos cuenta, empezamos a sumar. hasta parece tonto aclarar que si se

suman dos números naturales obtenemos otro número natural "n + n = n", pero en matemática lo obvio hay que dejarlo bien claro.



de la suma surge, por contraposición, la resta y a partir de ella nos

encontramos con un pequeño problema: al restar dos números naturales no siempre obtendremos otro natural.

pongamos un ejemplo: 2 – 5 = – 3 (el resultado no es natural)

evidentemente se necesita un nuevo conjunto de números, los números negativos, para poder solucionar este tipo de operaciones. aquí nos

encontramos con números positivos y negativos, pero todos ellos enteros; nos hemos topado, por lo tanto, con un nuevo conjunto, el

conjunto de los números enteros y ellos se representan mediante la letra "z".

aunque parezca redundante, el sumar o restar números enteros nos da

como resultado otro número entero.

z + z = z z – z = z

si sumamos "5 + 5 + 5 + 5" estamos sumando cuatro veces cinco, lo

podemos indicar como: 4(5) en ambos casos el resultado es el mismo, 20.

"la suma da origen a otra operación matemática, la multiplicación".

vimos como de la suma surge, como contraposición, la resta y con ella

los números negativos. de esa misma manera de la multiplicación emerge la división, el resultado de esta operación expresada como

fracción se denomina razón, por lo tanto, todo número obtenido de este modo lo llamaremos racional (q) y los números racionales también

forman un conjunto, el conjunto de los números racionales.

todas las fracciones son divisiones de números enteros cuyos resultados son decimales periódicos. ojo, está mal dicho números fraccionarios o

quebrados, los números se denominan racionales.

la fracción a

b representa la división entre dos números

enteros 𝑎 𝑦 𝑏

si el decimal no es periódico, entonces, no puede obtenerse mediante la

división de dos números enteros, por lo tanto, ese número se le llamará



número irracional. todos ellos forman el conjunto de los números

irracionales.

el prestigioso 𝜋 es un irracional muy conocido, pero también lo son:

√2, √3, √11, 𝑒𝑡𝑐.

a todos estos números que hemos visto hasta ahora se los denomina

números reales; al conjunto de los números reales se lo representa con la letra "r".

pertenencia e inclusión

cuando hablamos de un elemento, decimos que este pertenece a un conjunto. cuando un conjunto tiene todos los elementos del otro y más,

decimos que el primer conjunto está incluido.

cuando un conjunto está incluido en otro más grande se le denomina

subconjunto. por ejemplo n (naturales) es un subconjunto de z (enteros).

los elementos pertenecen a un

conjunto

un conjunto está incluido en otro

conjunto

el signo de pertenencia es "∈", por ejemplo: 2 ∈ n (2 pertenece al

conjunto de los naturales)

el signo de inclusión es "⊂", por ejemplo: n ⊂ r (los naturales están

incluidos en los reales)

variables

suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "n"

es un número cualquiera, sólo necesitamos indicar a que conjunto pertenece.



ejemplo: n ∈ z ( n pertenece al conjunto de los números enteros, o sea

"es" un número entero)

reemplazar al "número" por una letra nos ayuda a generalizar

propiedades. para que una propiedad sea verdadera debe darse en todos los casos, absolutamente en todos, sin ninguna excepción.

veamos un ejemplo: "el siguiente de un número entero". el siguiente de

2 es 3, el siguiente de 7 es 8, el siguiente de 12 es 13 ... ¿qué se hace para encontrar al siguiente de un número? sencillamente

se le "suma 1"

así que podemos designar al siguiente de un número entero, al

consecutivo de n como: "n + 1". de la misma manera "n – 1" representa al número anterior de un entero.

ahora piensa cuidadosamente tu respuesta.

entre un entero y su consecutivo, ¿cuántos enteros hay? el conjunto de

los números enteros es infinito pero entre dos números enteros consecutivos no existe ningún número (entero). sigamos pensando.

tomemos dos números enteros consecutivos, por ejemplo 4 y 5, y busquemos un número real entre ellos.

4... 5 (podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5)

4... 4,5... 5

ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,5

4... 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5)

4... 4,3... 4,5



4... 4,1... 4,3





4... 4,08... 4,1

podemos seguir así eternamente.

siempre podremos poner otro número por que entre dos números reales hay infinitos números.

razonemos...

¿cuántos números hay en el conjunto de los enteros?, infinitos. ¿cuantos

números hay en el conjunto de los reales?, infinitos. pero el conjunto de los números enteros (z) está incluido en el conjunto de los números

reales, entonces (r)

¿existirán infinitos más grandes que otros?!!!!

entonces cabe preguntarnos, ¿qué quiere decir infinito?.

como ya se dijo, "infinito" no es un número, es una tendencia, indica

que sigue creciendo o que sigue achicándose eternamente, sin fin.

tenemos dos nociones para infinito.

a) el que crece indefinidamente, por ejemplo, contar las estrellas que hay en el cielo.

b) el que disminuye por siempre; podríamos ejemplificarlo con un

extraño sueño en el cual quieres tocar una pared, te acercas, te das cuenta de que estás más cerca, pero nunca llegas, se lo denomina

infinitécimo.

el conjunto de los números enteros es infinito

el conjunto de los números reales es infinito en ambas direcciones,

positivos y negativos, además también crece infinitécimamente (por que entre dos números reales hay infinitos números también), por eso se le

denomina conjunto denso.

otro conjunto denso es la recta, ya que entre dos puntos cualesquiera existen infinitos puntos y crece indefinidamente en ambos sentidos

(depende de la dirección que la pongamos). por lo tanto, la recta y los números reales son equivalentes.



"podemos representar a los números reales sobre una recta"

representación de números reales en la recta numérica

ya vimos que uno de los conceptos fundamentales de la matemática es el número, junto al concepto de conjunto nos permitirá desarrollar el

tema.

todos los números, positivos y negativos, se llaman racionales si pueden representarse como fracciones (divisiones cuyo resultado es un decimal

periódico). los decimales no periódicos se denominan números irracionales y todos ellos (racionales e irracionales) forman el conjunto

de los números reales. éstos se ordenan, según su magnitud, de menor a mayor.

tomemos dos números reales cualesquiera a y b, démosle un valor: a =

... b = ...

en realidad al asignarle un valor a cada uno tenemos sólo tres opciones

que a sea mayor que b, que sea menor o que sea igual.

a > b a = b

a < b

dados dos números sólo pueden ser iguales o desiguales (mayor o menor). una alternativa a la vez.

ya hemos aclarado que los números reales y los puntos de la recta son

equivalentes, lo que implica que podemos representar a los números sobres la recta a la que llamaremos eje numérico. para ello pongamos

en claro tres condiciones:

1) siempre ubiquemos un punto al que llamaremos "origen" asignándole

el valor cero.

2) no tenemos que olvidarnos de indicar el sentido positivo con una flecha (el opuesto, se sobreentiende que será negativo).

3) pongamos siempre una medida de longitud, una escala, para separar

dos enteros consecutivos.

con estos tres condicionamientos estamos listos para trabajar.



separemos la recta en unidades de igual longitud cada una, coloquemos

cuatro números enteros consecutivos de cada lado (positivo y negativo)

magnitudes.

estuvimos hablando de los números pero no dijimos para que sirven.

los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que

queramos. un simple tres, según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ...

todo lo que podemos medir puede ser representado por un número.

todo lo medible se llamará, entonces, magnitud.

si bien las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: magnitudes vectoriales y escalares, por ahora nos ocuparemos de las últimas, las

que pueden subdividirse en magnitudes constantes o absolutas (cuyo

valor numérico no varía, como el número 𝜋) y las magnitudes variables

(que pueden tomar diversos valores, representadas generalmente por

las letras "x" e "y").

según el problema que se considere, el conjunto de estos valores puede ser diferente. por ejemplo, la temperatura del agua líquida varía desde 0

ºc hasta 100 ºc (aunque no podemos tomar los valores extremos dentro de ese conjunto); mientras que el alcohol común se mantiene líquido

entre los 0º c y los 80 ºc aproximadamente (excluyendo los extremos del conjunto).

estos conjuntos, subconjuntos del conjunto de los números reales, se

denominan intervalos. los intervalos pueden ser abiertos, si sus extremos no pertenecen al conjunto (como las temperaturas antes

descriptas), o intervalos cerrados , cuando sí pertenecen.

tomemos un intervalo cualquiera, el que se encuentra entre los números

3 y 5, por ejemplo. escribiremos como [3,5] al intervalo cerrado, (siempre comenzando desde el más pequeño) y como (3,5) al intervalo



abierto. por supuesto que tenemos los intervalos donde un extremo

pertenece al intervalo y el otro no, lo llamaremos intervalo semiabierto ó intervalo semicerrado. ¿cómo te parece que se escribirá este tipo de

intervalo? (los dos casos posibles)

los intervalos pueden representarse sobre la recta numérica. pongamos

un ejemplo: (-4, 3]

____________(-4________________0________________3]____

como ya se dijo, suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "x", magnitud variable, nos permite generalizar la noción

de número y expresar al intervalo de otra manera. así, (3,5) puede escribirse como: 3 < x < 5, donde x puede tomar cualquier valor entre

3 y 5.

[3, 5] podemos anotarlos como: 3 < x < 5

volvamos con las operaciones...

raíz cuadrada

ya hablamos de la suma, la resta, la multiplicación y la división. luego le tocó el turno a la potencia y ahora es tiempo de desarrollar a su alterno,

la radicación.

aunque no sea necesario, (en mi extrema inocencia presupongo que ya lo sabes) definámosla.

sean a, b y c números reales, entonces:

de ella, en estos momentos, sólo nos detendremos en la raíz cuadrada.

la raíz cuadrada es la inversa de la potencia al cuadrado. no es nada nuevo. tampoco lo es el hecho que todo número elevado al cuadrado da

como resultado un valor positivo.

si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada ¿qué sucede? en realidad, la respuesta no es tan sencilla. no es lo mismo elevar un número negativo

al cuadrado y luego sacarle la raíz que a la inversa.

si tenemos nos encontramos con un gran problema.



¿por qué no podemos resolver la raíz y luego elevar al cuadrado el

resultado? sencillamente por que la raíz de un número negativo no tiene respuesta en el conjunto de los números reales. tanto (- a)2 como a 2

tienen resultado positivo (todo número elevado a una potencia par da

como resultado un número positivo). así que √−𝑎 no tiene solución

(reitero, sólo en el conjunto de los reales).

para facilitar la maniobra transformemos la raíz en potencia, [(−𝑎)1

2]2

y

resolvamos la operación (−𝑎)2

2 al simplificar las potencias nos queda: (−𝑎)

así que: (√−𝑎)2

= −𝑎

si tenemos √(−𝑎)2 la solución es completamente diferente.

cuidado, el cuadrado de un número siempre dará un resultado positivo;

así que nos encontramos con un acontecimiento completamente

diferente al anterior. √(−𝑎)2 = √𝑎2

esta igualdad es verdadera pues dentro de la raíz ambos son positivos

¿cómo expresar que la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro

negativo?. aquí aparece el módulo: √(−𝑎)2 = |𝑎|

el módulo resuelve el problema del resultado de la raíz, que puede ser

tanto positivo como negativo. el valor del módulo siempre es mayor que

cero, siempre es positivo.

ejemplo: √9 = √32 = |±3| = 3

el resultado de la raíz puede ser negativo: |−3| = 3 (al aplicarle el

módulo el resultado es positivo).

no existe un módulo que sea negativo, el resultado siempre es positivo.

ejemplo: |3| = − 3 no existe.

el módulo tiene resultado positivo.

dentro del módulo el número puede ser positivo o negativo

ejemplo: | − 5| = |5| = 5



si tenemos ecuaciones con módulo debemos tener en cuenta que la x puede tener ambos signos dentro del módulo pero el resultado será

siempre positivo: |𝑥| > 𝑜, | − 𝑥| > 0

ahora si sacamos el módulo, debemos calcular el valor de x teniendo en

cuenta ambos signos: |𝑥| = 3, al sacar el módulo tenemos 𝑥 = 3 ó – 𝑥 =3 ≠ 𝑥 = −3

aquí hemos planteado una ecuación con una incógnita. la igualdad sólo

nos permite que el resultado sean dos números. si relacionamos al

módulo con una inecuación el resultado será un intervalo.

observemos el siguiente ejemplo: |𝑥| < 3, al sacar el módulo tenemos

𝑥 < 3 ó – 𝑥 < 3 , no nos conviene la "𝑥" negativa, así que intercambiemos

los – 3 < 𝑥 (observa que si la dejamos del mismo lado debe invertirse el

sentido del símbolo quedando: – 3 < 𝑥 = 𝑥 > −3)

representemos 𝑥 < 3 y 𝑥 >– 3 en una recta numérica.

___________________(–3 0 3)_____________

vemos que la solución de |𝑥| < 3 es (– 3, 3) intervalo de una cuadrática

𝑥2 + 5 𝑥 – 6 > 0)

(𝑥 – 1) (𝑥 + 6) > 0 (el hecho de ser mayor de cero nos indica que

buscamos resultados positivos en una multiplicación. tenemos dos

opciones, ambos son positivos o negativos).

si ambos son positivos:

(x – 1) > 0 → x > 1

(x + 6) > 0 → x > – 6

si 𝑥 es mayor que 1, evidentemente es mayor que – 6, por lo que nos

quedamos con el primer resultado. los valores de 𝑥 van desde 1 a

infinito (1, ∞ ) si ambos son negativos:



(x – 1) < 0 → x < 1

(x + 6) < 0 → x < – 6

si 𝑥 es menor que – 6, evidentemente es menor que 1, por lo que nos

quedamos con el segundo resultado. los valores de 𝑥 van desde menos

infinito hasta – 6, (−∞, −6) el resultado de esta inecuación serán ambos resultados: (1, ∞ ) y (−∞, −6).



1.3. sistema de coordenadas lineales y rectangulares.

representar una palabra, es simbolizar una imagen que describa

perfectamente su concepto. en tal situación es necesario tener claridad

en la comprensión de su definición, para la correcta representación de la información que se encuentra involucrada en ella.

por ejemplo, la representación gráfica de conejo es: para árbol es: para balón es:

de igual manera en este curso, es necesario esquematizar algunos

conceptos, llevándolos de su forma analítica (ecuación o concepto) a su forma gráfica. para ello, anterior a este momento has aprendido que es

fundamental tener presente los elementos o características fundamentales de la recta y las cónicas.

representación gráfica de la recta.

en la recta los elementos básicos a considerar para su representación

son:

pendiente: B

Am , la cual se obtiene directamente de

la ecuación en su forma común y general.

angulo de inclinación: m1tan , extractado del valor

de la pendiente, la cual a su vez proviene directamente de la ecuación en su forma común y

general.

intersección con el eje de las “y”:

bpuntoelenB

Cb ,0, , el cual se obtiene directamente

de la ecuación en su forma común y general.

intersección con el eje de las “x”:

0,apuntoelenA

Ca , el cual se obtiene directamente

de la ecuación en su forma general.

un punto cualquiera yx, .

ecuación de la recta en su forma general, canónica y

común 0 CByAx , 1b

y

a

x, bmxy , pudiendo

pasar de una a otra por procedimientos algebraicos.

junto con tus compañeros de equipo localiza -_y de ser necesario genera_- los elementos antes listados y la ecuación de la recta con base

en la gráfica del siguiente sistema de coordenadas.



pendiente: ________

ángulo de inclinación: ______________ abscisa al origen: _____________

ordenada al origen: ______________ ecuación en su forma canónica, común y general:

para trazar una recta se requiere:

1.- dos puntos: 2.- un punto y su ángulo de inclinación o su pendiente:

3.- su intersección con los ejes coordenados:

representación gráfica de la circunferencia.

en la circunferencia los elementos básicos a considerar en su

representación son:

o centro: 0,0C , khC , en el origen y fuera del origen,

donde h y k son las coordenadas del centro en el plano. o r radio.

o yx, un punto cualquiera de la circunferencia.

o ecuación de la circunferencia 022 FEyDxyx , en su

forma general donde: hD 2 ,

kE 2 ,

222 rkhF ,

o 222 ryx , 222rkyhx , con centro en el origen y

fuera del origen.



en coordinación con tus compañeros de equipo, localiza los elementos y la ecuación de las circunferencias en el siguiente gráfico.

representación gráfica de la parábola.

en la parábola:

0,0V , khV , vértice en el origen y fuera del origen de una

parábola. p distancia del vértice al foco o distancia focal de una parábola.

pLR 4 lado recto de cualquier parábola.

yx, , un punto cualquiera de la parábola.

pxy 42 , )(42

hxpky ecuación de la parábola con centro en

el origen y fuera del origen que abre hacia la derecha.

o 0,pF , kphF , coordenadas del foco.

o px , phx ecuación de la directriz.

o 0y , ky ecuación del eje focal.

pxy 42 , )(42

hxpky ecuación de la parábola con centro

en el origen y fuera del origen que abre hacia la izquierda.

o 0,pF , kphF , coordenadas del foco.

o px , phx ecuación de la directriz.

o 0y , ky ecuación del eje focal.



pyx 42 , )(42

kyphx ecuación de la parábola con centro en

el origen y fuera del origen que abre hacia arriba.

o pF ,0 , pkhF , coordenadas del foco.

o py , pky ecuación de la directriz.

o 0x , hx ecuación del eje focal.

pyx 42 , )(42

kyphx ecuación de la parábola con centro

en el origen y fuera del origen que abre hacia abajo.

o pF ,0 , pkhF , coordenadas del foco.

o py , pky ecuación de la directriz.

o 0x , hx ecuación del eje focal.

en coordinación con tus compañeros de equipo, localiza los elementos y la ecuación _de ser posible_ de las parábolas en los siguientes gráficos.

representación gráfica de la elipse.

0,0C , khC , centro en el origen y fuera del origen.

c distancia del centro a cualquiera de los dos focos.

a distancia del centro a cualquiera de los dos vértices. el eje

mayor es la distancia que existe de vértice a vértice y es conocido

también como el eje focal, el cual es igual a a2 .

12

2

2

2

b

y

a

x,

12

2

2

2

b

ky

a

hx, ecuación de la elipse.



o 0,,0,' aVaV , kahVkahV ,,,' vértices para elipse

horizontal con centro en el origen y fuera del origen.

o 0,,0,' cFcF , kchFkchF ,,,' focos para elipse

horizontal con centro en el origen y fuera del origen

o b

a 22ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por uno

de los focos perpendicular al eje mayor.

o a

cexcentricidad, como el cociente de la distancia focal,

entre el eje focal.

o de 222 cba resulta que 2cab a es la distancia del

centro a cualquiera de los dos extremos del eje menor, el

cual es igual a b2 .

o aVaV ,0,,0' , akhVakhV ,,,' vértices para elipse

vertical con centro en el origen y fuera del origen.

o cFcF ,0,,0' , ckhFckhF ,,,' focos para elipse vertical

con centro en el origen y fuera del origen

o a

b22ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por uno

de los focos perpendicular al eje mayor.

o b

cexcentricidad, como el cociente de la distancia focal,

entre el eje focal.

o de 222 cab resulta que 22 cba es la distancia del

centro a cualquiera de los dos extremos del eje menor, el cual es igual a a2 .

radios vectores. son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipse y los focos. la suma de los radios vectores

correspondientes a un mismo punto es igual a 2a. circunferencia principal. es la que tiene su centro en el centro de

la elipse y radio igual al semieje mayor. circunferencias focales. son las circunferencias con centro en los

focos y radio igual a 2a.

en coordinación con tus compañeros de equipo, localiza los elementos y la ecuación _de ser posible_ de la elipse en el siguiente gráfico.



representación gráfica de la hipérbola.

0,0C , khC , centro en el origen y fuera del origen.

c distancia del centro a cualquiera de los dos focos.

a distancia del centro a cualquiera de los dos vértices. el

transverso o real es la distancia que existe de vértice a vértice y

es conocido también como el eje focal, el cual es igual a a2 .

de 222 bac resulta que 22 acb es la distancia del centro a

cualquiera de los dos extremos del eje conjugado, no focal o

imaginario, el cual es igual a b2 .

o 0,,0,' aVaV , y kahVkahV ,,,' vértices en el origen y

fuera del origen de una hipérbola horizontal.

o 0,,0,' cFcF , kchFkchF ,,,' focos para hipérbola

horizontal con centro en el origen y fuera del origen

o 12

2

2

2

b

y

a

x,

12

2

2

2

b

ky

a

hx, ecuación de la hipérbola.

b

a 22ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por

uno de los focos perpendicular al eje focal.

a

cexcentricidad, como el cociente de la distancia

focal, entre el eje focal.

o aVaV ,0,,0' , y akhVakhV ,,,' vértices en el origen y

fuera del origen de una hipérbola vertical.



o cFcF ,0,,0' , ckhFckhF ,,,' focos para hipérbola

vertical con centro en el origen y fuera del origen

o 12

2

2

2

a

x

b

y,

12

2

2

2

a

hx

b

ky, ecuación de la hipérbola.

b

a 22ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por

uno de los focos perpendicular al eje focal.

b

cexcentricidad, como el cociente de la distancia

focal, entre el eje focal.

identifica con tus compañeros todos los elementos de la hipérbola en la siguiente figura.

ecuaciones de segundo grado.

toda ecuación del tipo 022 FEyDxCyBxyAx , donde a, b, c, d, e

y f son constates, es considerada la ecuación general de las cónicas.

si carece del término xy, es una circunferencia o una las cónicas

restantes, pero con ejes de simetría paralelos al plano cartesiano.

CA , la ecuación representa una circunferencia.

0A , o bien 0C , es la ecuación de una parábola.

A y C son del mismo signo, es la ecuación de una elipse.

A y C son de signos contrarios, es la ecuación de una hipérbola.



despejando “y” se obtiene:

C

CFExCDBExACB

C

EBxy

2

4)2(24

2

222

042 ACB , es del género de las parábolas

042 ACB , es del género de las elipses.

042 ACB , es del género de las hipérbolas.

en coordinación con tu asesor, define para ecuaciones que encuentres en tus textos o propuestas por el grupo, a cual de las cónicas pertenece,

de acuerdo a los lineamientos planteados.

representación gráfica de la intersección de cónicas y la recta.

como una forma de demostrar lo aprendido hasta el momento, pide a tu facilitador que te proporcione algunas situaciones en donde se presente

intersección de cónicas, como el caso del cruce de la recta de la tijera de una bicicleta con la rueda delantera, pero representado en el plano

cartesiano.



1.4. desigualdades.



propiedades de las desigualdades







1.5. intervalos.

un intervalo es un conjunto de valores comprendidos entre dos de ellos

llamados extremos o límites del intervalo.

sean a y b dos números reales de tal manera que a < b.

los intervalos se clasifican en:

intervalo abierto. este intervalo no incluye a sus extremos.

a < x < b. ejemplo: el número de integrantes de un equipo de básquet bol

4 < x < 13. intervalo cerrado. este intervalo incluye a sus extremos.

a x b.

ejemplo: el número de integrantes de un equipo de básquet bol

5 x 12.

intervalo semiabierto. este intervalo contiene a uno de sus extremos.

a x < b, a < x b

ejemplo: el número de espectadores de un juego de fut-bol del

américa contra pumas en el estadio azteca.

0 < x 110,000.

intervalo infinito. este intervalo esta formado por todos los números,

tales que x < a, x a; también x > a, x a

ejemplo: el número de bacterias en un cultivo de

escherichia colli. 0 < x ∞.

podrías formular al menos 5 ejemplos de intervalo de uso cotidiano para

cada uno de los diferentes tipos que se revisaron, y redacta su interpretación.

abierto.

cerrado.

Recordar que el mínimo de jugadores de un equipo de Básquet–bol es de 5 y el máximo de 12.



semiabierto.

infinito.

se dice que una función xf está definida en un intervalo, si está

definida para cualquier punto dentro de este intervalo.

investiga la representación gráfica, por inecuaciones, paréntesis y corchetes y por conjuntos de cada uno de los diferentes tipos de

intervalo.

abierto.

cerrado.

semiabierto.

infinito.



repaso:

cuando te invitan a salir y te dicen “nos vemos entre 5 y 6 de la tarde”, ¿de qué tipo de intervalo se trata?. y como se representa.

anótalos.

_______________________________________

cuando pides $200 a tu padre y te responde con la frase “no puedo darte más que $100” ¿dentro de que intervalo lo

considerarías? anótalos. _______________________________________

cuando lanzas un dados, ¿cuál es el intervalo de valores posibles

en el resultado? anótalos. _______________________________________

cuando lanzas dos dados, ¿cuál es el intervalo de la suma de

valores posibles en el resultado? anótalos. _______________________________________

cuando tomas tres fichas de dominó al azar ¿cuál es el intervalo de valores máximos que puedes obtener? y ¿cuál es el intervalo

de valores mínimos que puedes obtener? anótalos. ________________________________________

como te habrás dado cuenta hasta el momento, los intervalos pueden

aplicarse tanto al dominio de una función o variable independiente, como al contradominio o variable dependiente. por lo cual deberás tener

siempre presente que se te podrá pedir el intervalo para una u otra.

es importante de igual manera, poder interpretar y darle significado a los valores que forman el intervalo, pues si esto no se entiende, estos

valores carecen de sentido.















2. funciones.

2.1. domino y contradomino

funciones.

“parejas o disparejas” -se desea asignar a cada hombre solo una mujer-

actividad grupal.

1° cada equipo de divide en dos conjuntos, por un lado hombres y por

otro mujeres.

2° de uno por uno, los hombres escogen una de las mujeres, en caso de estar ya seleccionada se acomoda a la misma altura de ella, en fila

india, a la izquierda el conjunto de los hombres y a la derecha el conjunto de las mujeres.

los diagramas que representan las agrupaciones posibles son:

figura 1.

a a a a a a

b b b b b b c c c c c c

d d d d d d . e e . e e

. f f . f f

más mujeres más hombres igual hombres y mujeres

como el hombre fue quien escogió, entonces él representa a la variable

independiente (x), la mujer, como fue seleccionada, representa a la

variable dependiente (y). –esto es, la pareja la define el hombre, mientras que la mujer depende de quien la seleccione para integrarse

como pareja–.



Si es función Si es función

No es función No es función

Si es función

a a a a b b b b

c c c c

d d d d e e e e

f f f f figura 2. figura 3.

a a a a

b b b b c c c c

d d d d e e e e

f f f f figura 4. figura 5.

a a b b

c c d d

e e f f

figura 6.

¿cuál es el caso de tu equipo y del resto del grupo ?

__________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________



¿podrías explicar el porqué de las afirmaciones en las figuras anteriores?

__________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

como te habrás dado cuenta, la actividad anterior se refiere a los

conceptos de función y relación, en donde:

función.- si tenemos dos conjuntos y , y una regla de

correspondencia que asocie a todo elemento del conjunto , uno y solo

un elemento del conjunto , entonces decimos que tenemos una

función f definida en con valores en . figura 7.

relación.- si tenemos dos conjuntos y , a todos o algunos

elementos del conjunto se les puede asignar uno o más elementos

del conjunto . figuras 4 y 5.

una función consta de tres partes:

dominio (variable independiente = x ), representado por “d”.

contradominio o rango (variable dependiente = y ), representado por “r”.

estos, pueden ser expresados como un intervalo (concepto

que se revisará mas adelante). regla de correspondencia (esta puede ser representada por un

diagrama, una ecuación, una tabla de valores y una gráfica)



figura 7.

a a b b

c c d d

e e f f

la regla de correspondencia debe tener las siguientes propiedades:

1° ningún elemento del dominio puede quedar sin asociado en el

contradominio.

2° ningún elemento del dominio puede tener mas de un asociado

en el contradominio. esto no excluye que varios elementos del dominio tengan al mismo asociado en el contradominio. figuras 3,

4 y 5.

si x es un elemento del dominio, formado por el conjunto , entonces el

elemento del contradominio o rango del conjunto de asociado a x por

medio de la regla de correspondencia, se expresa en la forma siguiente:

f( ); que se lee “f de ” en función de ser elegida por un hombre y se

le llama la imagen de bajo f.

como y = f(x) al citar una función podemos usar indistintamente cualquiera de las notaciones.

ejemplos:

43)(,43 22 xxfxy 22 25)(,25 xxfxy

Dominio de la función

“D“

Contradominio de la función

“R”

Regla de correspondencia



133)(,133 2323 xxxxfxxxy 22 )(, rrfrA

si una regla de correspondencia esta dada como una ecuación y no se define el dominio, entonces suponemos que el dominio esta integrado

por todos los números reales para los cuales la ecuación tiene sentido.

para generar una función en donde su regla de correspondencia pueda ser visualizada de distintas maneras, se propone la siguiente actividad

construir una caja sin tapa con una hoja de cartulina cuadrada de 20 cm

de lado, donde la altura de la caja la definiremos por x (longitud que

cortarás en las esquinas, doblando hacia arriba las pestañas así generadas) y el volumen lo definiremos por y.

¿cuál es la medida del área de la base (b2) en la caja que construiste?

_________________________________________________________

¿cuál es la dimensión de la altura (h) de la caja que construiste? _________________________________________________________

¿cuál es el volumen de tu caja? ________________________________________________________

¿tiene algún parecido con las de tus compañeros?

_________________ ¿en qué? _____________________________ _________________________________________________________

_________________________________________________________

_____________

¿a qué se debe esta diferencia o semejanza?____________________ _________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

¿cuáles son los valores posibles de x en esta actividad?

__________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________

esta actividad te plantea la incógnita ¿cuál es el valor para x y que representa? entonces la regla de correspondencia que asocia la variable

altura de la caja (x) con la variable volumen (y) estará dada por:



20 cm

Desperdicio

x x 20

cm.

como recordarás el volumen de un cubo esta dado por la fórmula:

hbV 2 , donde: ecuación 1

baseb longitud de la hoja menos longitud a cortar en las esquinas

para realizar el doblez. xb 220

alturah =longitud a cortar en las esquinas para realizar el doblez hacia

arriba. xh

sustituyendo estos valores en la ecuación 1

hbV 2

xxxxxV )480400(220 22 , desarrollándola resulta

32 480400 xxxV ecuación 2

físicamente la caja quedaría como se ilustra a continuación

figura 8.

si damos valores a x en esta ecuación ( xxxV 400804 23 ) se obtiene

la siguiente tabla de valores, la cual también es una forma de expresar la regla de correspondencia.



Altura (X) Volumen (Y)

0 0

1 324

2 512

3 588

4 576

5 500

6 384

7 252

8 128

9 36

10 0 figura 9.

si los valores de la tabla anterior los plasmamos en un sistema de

coordenadas rectangulares, resulta el siguiente gráfico, el cual también es una forma de expresar la regla de correspondencia.

figura 10.

o simplemente podemos expresar los valores de la tabla como dos

conjuntos relacionados entre sí, como se muestra a continuación.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

VO

LU

ME

N

ALTURA

GRÁFICO DE VOLUMEN

Tabla de valores



figura 11.

¿crees poder formular ejemplos similares en donde puedas reconocer las

diferentes partes de una función y representar la regla de correspondencia como se hizo en el ejemplo anterior?

si la respuesta es si, entonces desarrolla tu ejemplo y al término del

mismo compártelo en exposición con el resto del grupo.

Diagrama.

Altura (x) Volumen (y)

0 0 1 324 2 512 3 588 4 576 5 500 6 384 7 252 8 128 9 36

10 0



2.2. clasificación.

clasificación de funciones

“organiza tus instrumentos ... de escritura”

pide a tus compañeros de equipo que depositen sus lápices y plumas en un lugar donde todos los puedan observar y posteriormente procedan a

su clasificación –para ello expongan su criterio de clasificación y defínanse por uno –. al

termino de la actividad exponga ante el grupo su criterio y establezcan uno grupal.

¿porqué se decidieron en su equipo por ese criterio y no por otro?

__________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________

¿qué coincidencias tuvieron con respecto al resto del grupo?

__________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________

¿consideras que la clasificación hecha sea la más correcta? _____________________ ¿porqué? ___________________________

________________________________________________________________________________________________

trata de clasificar las siguientes funciones, de acuerdo al criterio que el

equipo defina para tal efecto.

752 2 xxy ____________________

5

7522

2

x

xxy ____________________

193 xxy ____________________

xy cos ____________________ Xy 2 ____________________

xy log ____________________

23 xy ____________________

0232 xy ____________________

0232 zyx ____________________



022 zx ____________________

¿qué tan válido es el criterio que estableció tu equipo en la clasificación

de estas funciones?

____________________ ¿porqué? ____________________________ _________________________________________________________

_________________________________________________________

las funciones al igual que cualquier conjunto de objetos, también es sujeto de clasificación, en general las funciones se clasifican en:

A. explicitas e implícitas.

B. de una variable y de mas de una variable. C. algebraicas y trascendentes.

a.- si en una función están indicadas las operaciones a realizar con la

variable independiente para obtener la dependiente, se dice que es una función explicita. en caso contrario es una función implícita

.la cual esta igualada a cero.

ejemplo:

32 xy 032 yx

¿podrías dar al menos cinco ejemplos de cada una de ellas?

funciones implícitas funciones explicitas

b.- si el valor de una función, depende de una sola variable, se dice que

es una función de una variable. si son más de una las variables involucradas en la definición del valor de la función, decimos que

es una función de más de una variable.

Función explicita Función implícita



ejemplo:

rfrA 2 hbfhbA ,

xfxxy 182 zxfzxy ,543


funciones de una variable funciones de mas de una variable

c1.- si el valor de la función se obtiene por medio de un numero

determinado de operaciones, entre las cuales no intervienen las relaciones trigonométricas, expresiones logarítmicas o

exponenciales, es una función algebraica; estas funciones según

las operaciones a las que son sometidas las variables, pueden ser:

enteras. 532 3 xxy

racionales. 1

32

x

xy

irracionales. 3 2 53 xxy


funciones enteras funciones racionales funciones racionales

Función de una variable

Función de más de

una variable



c2.-una función es trascendente cuando en ella intervienen las relaciones trigonométricas, expresiones logarítmicas o exponenciales.

trigonométricas. xy cos

logarítmicas. xy log

exponenciales. xy 2


funciones trigonométricas

funciones logarítmicas funciones exponenciales

llena los espacios del siguiente cuadro en donde ubicarás a las

anteriores funciones de acuerdo a la clasificación previamente hecha. investiga la clasificación de las funciones y refuerce los conocimientos

adquiridos hasta el momento.



análisis grafico de las funciones

“lo que se ve ... no se discute”

pregunta a tus compañeros sobre el número de integrantes de su familia con los dato recabados llena el cuadro de abajo, pide esta información al

resto de los equipos, anota además el numero de compañeros que tengan los mismos integrantes y colócalos en orden ascendente.

nº de alumnos integrantes por familia

lleva los datos que te resultaron de la tabulación al plano cartesiano y

traza la curva correspondiente.



¿qué datos te llaman la atención? _____________________________

_________________________________________________________

¿porqué te llaman la atención, estos datos en particular? ___________

__________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿qué relaciones puedes establecer entre estos datos? _____________ _________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

_______________________ ¿cuál es el espacio de valores para la fila de integrantes por familia?

_________________________________________________________ ¿cuál es el espacio de valores para la columna de número de alumnos?

______

____________________________________________________________

¿qué puedes concluir sobre la tabla de valores y su respectivo gráfico? _________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

________________________

como te habrás dado cuenta existen conjuntos de valores para los cuales no es fácil establecer una regla de correspondencia como



ecuación, por lo cual deberás tenerlo presente para cuando se te

presenten este tipo de situaciones mas delante.

para estudiar una función xfy , es necesario conocer los valores que

podemos asignar a la variable independiente y que puede ser cualquiera del conjunto de los números reales.

si xf es una función de x y a es un valor que esta en su dominio, la

expresión af significa el valor numérico que se obtiene al sustituir x

por a en xf ; o sea, el valor que toma xf cuando x = a.

ejemplo

8262232,2,,23 fseráxcuandoxfdevalorelxxfSi

por lo que podemos afirmar que:

223 xcuandoxxfSi

la función toma el valor de 82 f

encuentra el valor de las funciones dadas para los respectivos valores de

la variable independiente.

a. si _______5________5_______,0encontrar ;2 fyffxxf

b. si ______8_______0______,8encontrar ;2

1 fyff

xxf

c. si ______8______4______,4encontrar ;4

1

fyff

xy

d. si _______1_______0______,1encontrar 4x;2 2 fyffxy

e. si ____2_____0_____,2encontrar 6;3a3 fyffaaf

¿te interesaría saber cual es el comportamiento de las graficas de las funciones anteriores?. _______________ bueno, pues cuestiónate ¿qué

elementos te hacen falta para entender tal situación? ________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________

______________________



grafica las funciones de los incisos b) y c).

xy

2

1

4

1

xy

como te habrás dado cuenta en los incisos b) y c), cuando los valores de

x sean x = 0 y x = 4 respectivamente, no existe un valor definido para la variable dependiente, situación a la cual le llamaremos una

indeterminación, concepto que revisarás ampliamente en el tema de límites. al analizar los gráficos que obtuviste anteriormente, observaste

que existe un hueco en la curva, lo que indica que estas funciones son discontinuas a diferencia de las de los incisos a), d) y e) que son

funciones continuas.



sin duda llegaste a la conclusión de que te hace falta conocer más sobre

el tema intervalo de una variable.

Aplicaciones Practicas de las Funciones

Función lineal

Como representaría el dueño de una pizzería el total a pagar de un

cliente que come cierto numero de pedazos de pizzas sabiendo que cada pedazo cuesta 15 pesos.

Total a pagar = (Precio del taco) (Numero de tacos que consumió)

Y también esto se podría representar de la siguiente manera

Y=15X

Y= total a pagar X= Numero de pedazos de pizzas que consumió

Función cuadrática

Un señor tiene un terreno cuadrado con medidas “X”, donde siembra frijol, aun lado hay un lote baldío que esta en venta, el se interesa en el

terreno y decide comprarlo ya que así aumentará sus ganancias. Si el terreno mide 20 metros más de los lados horizontales. ¿Como

representaría el área del nuevo terreno?

X

X 20

Área total = Longitud de un lado del terreno propio (Longitud de un lado del terreno propio + Longitud horizontal del terreno baldío)

Y esto también se podría representar de la siguiente manera

Y = X (X + 20) Y = 𝑋2

+ 20𝑋

Y = Área total del terreno X = Longitud de un lado del terreno propio 20 = Longitud horizontal del terreno baldío



Función cubica

Un albañil necesita saber cual es el volumen de una cisterna cúbica que

construyó en la secundaria de su comunidad, para el abasto de la

escuela. Como podría representar el volumen total de la cisterna.

X

X X

Volumen total = (Longitud del lado del cubo) (Longitud del lado del

cubo) (Longitud del lado del cubo)

Volumen total = (Longitud del lado del cubo)3

Y esto podría ser también

Y = Volumen total del terreno X = Longitud de un lado

del cubo

Y = (x) (x) (x) Y = (X)3

Función racional fraccionaria

Un gran político acaba de morir y dejo escrito en su testamento que su herencia que era un terreno que estaba en Acapulco se lo repartieran

entre sus X número de hijos. Como lo podíamos representar.

Pedazo de terreno que le toca a cada hijo = 1/Numero de hijos Y esto se puede representar como

Y = Pedazo de terreno que le toca a cada hijo X = Numero de

hijos

Y=1

𝑋

Función Trigonométrica

Cual es el ángulo de inclinación que debe haber entre la base de una

casa que mide 2.50 m de alto y una escalera que tiene 4 m para poder hacender al techo de la casa.



a = cateto adyacente

a c b = cateto opuesto 2.5 m 4 m c = hipotenusa

b Como sabemos las funciones trigonométricas se definen como una

función en un ángulo A en triangulo rectángulo. Y la función que complace a este ángulo es Coseno que es cateto

adyacente / hipotenusa.

Función exponencial Como podemos mostrar el crecimiento o división de las bacterias de la

gripa. Sabiendo que cada minuto cada bacteria reproduce 5 bacterias.

Total de bacterias de gripa producidas = 5numero de minutos

Y se podría poner también así

Y = total de bacterias de gripa producidas X = Numero de minutos Y = 5X

Función Logarítmica En una fábrica de Calzado crearon 27 modelos diferentes, sabiendo que

en cada proceso había 3 opciones para cada uno. ¿Cuál es el número de procesos que se realizaron sabiendo que en cada proceso hubo 3

opciones para elegir partiendo de que solo trabajaron botas, guaraches y zapatillas?

Cierre

Cintas Blanco Broche

Cierre Cintas Negro Botas

Broche Cierre

Cintas Rojo

Broche Cierre

Cintas Café Broche

Cierre Cintas Verde Guaraches

Broche Cierre

Cintas Azul Broche



Cierre

Cintas Amarillo Broche

Cierre

Cintas Rosa Zapatillas Broche

Cierre Cintas Gris

Broche

Ya Que nos dieron el total de salidas, entonces ¿cual es el número de procesos que se realizaron?

El número de procesos es 3 como se ve en el diagrama o lo podemos

demostrar de la siguiente manera:

Log a X = Y a = numero de opciones en cada proceso

X = numero de modelos realizados

Y = numero de procesos

Log 3 27 = 3



2.3. operaciones.

operaciones con funciones.

“sin estar enfermas ... requieren operaciones”

pedro, que es el encargado de administrar los negocios de su tío juan, se pregunta cual será el resultado de sumar las ganancias de las

zapaterías “la luciérnaga” y “la luz”, si para ello sabe que los zapatos los vende al doble de como los compra, pero a un precio promedio, y que

en la zapatería “la luciérnaga”, cobra 15 pesos por venta por cliente para pagar a sus empleadas y en “la luz”, como las ventas son fuertes,

realiza un descuento de 15 pesos por compra. por lo que las expresiones que representan la predicción de ingresos son:

para “la luciérnaga” 1521 xy , y

para “la luz” 1522 xy .

lo más sencillo sería solicitar que el importe de las ventas de ambas

zapatería se sumara y se obtuviera el monto que representa estas ventas; mas sin embargo, pedro quiere evitar el trabajo de realizar el

recorrido diario de “la luciérnaga” a “la luz” y hacer esta predicción por semana, por lo que supone que hay otra forma de obtener dicho valor. y

cree que de la siguiente forma sería correcto.

si suma 1521 xy y 1522 xy aritméticamente, el resultado es:

xxxxxyy 415215215215221 , por lo que la suma quedaría

como:

xyT 4

si te das cuenta, el dominio de y1 (valores posibles de x) es la totalidad de los números reales y su contradominio o rango (valores posibles de

y) es igualmente la totalidad de los reales, por lo que el dominio y rango

de esta función son:

d f1 = x є -

r f1 = x є -

de igual manera, el dominio de y2 (valores posibles de x) es la totalidad

de los números reales y su contradominio o rango (valores posibles de



y) es igualmente la totalidad de los reales, por lo que el dominio y rango

de esta función son:

d f2 = x є -

r f2 = x є -

el dominio de yt por definición es la intersección de los dominios de y1 y y2, siendo este resultado el que se muestra a continuación.

d ft = x є -

por lo tanto, podremos decir que pedro puede emplear la función xyT 4

, resultado de la suma de funciones, en la realización de las predicciones del ingreso semanal por ventas en las zapaterías de su tío.

de igual manera el dominio de la multiplicación de dos funciones es igual

a la intersección de sus dominios.



2.4. comportamiento.

valor absoluto

el concepto de valor absoluto tiene muchas aplicaciones en el estudio

del cálculo. el valor absoluto de un x , escrito x pude ser definido en

una variedad de formas. sobre la recta de los números reales, el valor absoluto de un número es la distancia, independientemente de su

dirección, que el número representa desde cero. esta definición establece que el valor absoluto de un número debe ser siempre no

negativo-que es , 0x .

una definición algebraica común de valor absoluto es a menudo establecida en tres partes, de la siguiente manera:

0,

0,0

0,

xx

x

xx

x

otra definición que es aplicada algunas veces a problemas de cálculo es:

2xx

o la raíz cuadrada principal de 2x . cada una de estas definiciones solo

implica que el valor absoluto de un número debe ser no negativo.

funciones

una función es definida como un conjunto de pares ordenados yx, ,

donde para cada primer elemento x, le corresponde uno y solo un segundo elemento y. el conjunto de los primeros elementos es llamado

el dominio de la función, por lo que el conjunto de los segundos elementos es llamado el rango de la función. la variable del dominio es

siempre referida como la variable independiente, y la variable del rango

es referida como la variable dependiente. la notación xf es a menudo

empleada en lugar de y para indicar el valor de la función f para un

valor específico de x , y se lee “ f de x ” o “ f a x ”.

geométricamente, la grafica de un conjunto de pares ordenados yx,

representa una función si cualquier línea vertical intersecta la grafica en no más de un punto. si una línea vertical intersecta la grafica en más de



dos puntos, un valor de x corresponde a dos o más valores de y , con lo

cual claramente contradice la definición de una función. muchos de los principales conceptos y teoremas de cálculo están directamente

relacionados con las funciones.

ejemplo 1 los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones que son funciones

13 xxfy

2xxfy

5 xxfy



3 xfy

4

32

x

xxfy

3 92 xxfy



x

xfy6

xxfy tan

xxfy 2cos



ejemplo 2 las siguientes son algunas ecuaciones que no son funciones;

cada una tiene un ejemplo que ilustra porque no es una función.

2yx , si 4x , entonces 2y o 2y

3 yx , si 2x , entonces 5y o 1y

5x , si 5x , entonces y puede ser cualquier numero real.




4 xy , si 5x , entonces 3y o 3y


ecuaciones lineales

una ecuación lineal es cualquier ecuación que puede ser expresada en la

forma cbyax , donde a y b no pueden ser ambos igual a cero. mas

sin embargo una ecuación lineal puede no ser expresada inicialmente en

esta forma, esta puede ser manipulada algebraicamente hasta esta



forma. la pendiente de una recta indica si esta se dirige hacia arriba o

abajo, o si es horizontal o vertical. la pendiente es denotada usualmente por la letra m y es definida en un número de formas:

avance

elevaciónm

horizontalcambio

verticalcambiom

xde valor elen cambio

y de valor elen cambiom

x

ym

12

12

xx

yym

21

21

xx

yym

note que para una recta vertical, el valor de x será constante, y el

cambio horizontal será cero; luego, se puede decir que una recta vertical no tiene pendiente o no existe o es indefinida. todas las rectas

no verticales tienen una pendiente numérica positiva, que indica que la recta se eleva hacia la derecha o una pendiente negativa que indica que

una recta desciende a la derecha, y una pendiente de cero indica una recta horizontal.

ejemplo 3 encontrar la pendiente de la recta que pasa por el punto (-

5,4) y (-1,-3)

12

12

xx

yym

)5()1(

)4()3(

m

4

7m

la recta, entonces, tiene una pendiente de 4

7m .



algunas formas de expresar ecuaciones lineales toman nombres

especiales, que se identifican por como son escritas. note que estas

formas se derivan de otra diferente, ellas pueden ser algebraicamente manipuladas y presentarse de forma equivalente.

algunas rectas no verticales son paralelas si tienen la misma pendiente,

y recíprocamente, rectas con igual pendiente son paralelas. si las pendientes de dos rectas l1 y l2 son m1 y m2, respectivamente, entonces

l1 es paralela a l2 si y solo si 21 mm . dos rectas no verticales, no

horizontales son perpendiculares si el producto de sus pendientes es –1,

y recíprocamente si el producto de sus pendientes es –1, las rectas son perpendiculares. si las pendientes de dos rectas l1 y l2 son m1 y m2,

respectivamente, entonces l1 es perpendicular a l2 si y solo si 1* 21 mm

. usted puede notar que dos rectas verticales cualesquiera son paralelas y una recta horizontal y una recta vertical son siempre perpendiculares.

la forma estándar o general de una ecuación lineal es cbyax , donde a

y b no pueden ser ambos igual a cero. si b=0, la ecuación toma la forma

constantex y representa una recta vertical. si a=0, la ecuación toma la

forma constantey y representa un a recta horizontal.



ejemplo 4 los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones lineales

expresadas en forma general.

1052 yx

04 yx



3x

6y

la forma punto-pendiente de una ecuación lineal es )( 11 xxmyy

cuando la recta pasa por el punto 11 , yx y tiene una pendiente m.



ejemplo 5 encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,4)

con pendiente 3

2

)( 11 xxmyy

)3(3

24 xy

23

24 xy

63

2 xy

1823 xy

1832 yx forma general de la recta.

la forma pendiente-ordenada al origen de una ecuación lineal es

bmxy cuando la recta tiene una intercepción (0,b) y pendiente m.

ejemplo 6 encuentre la ecuación de la recta de pendiente 3

4 y se cruza

con el eje de las y en –5.

bmxy

)5(3

4 xy

1543 xy

1534 yx forma general de la recta



la forma ordenada y abscisa al origen de una ecuación lineal es 1b

y

a

x

cuando la recta tiene una intercepción en x (a,0) y una intercepción en y

(0,b).

ejemplo 7 encontrar la ecuación de la recta que cruza al eje x en –2 y al eje y en 3.

1b

y

a

x

132

yx

623 yx forma general de la ecuación de la recta.



funciones trigonometricas

en trigonometría, la medida del ángulo es expresada en una o dos unidades: grados o radianes. la relación entre estas dos medidas puede

ser expresada como sigue: º180 radianes. para convertir grados a

radianes, la relación de equivalencia es 180

º1

radianes, es usada y al

dar el numero de grados, son multiplicados por 180

, para convertir la

medida a radianes. similarmente, la ecuación 1 radian = 180º/π es empleada para cambiar radianes a grados por multiplicación de la

medida de radianes por 180º/π para obtener la medida en grados.

las seis funciones trigonométricas básicas pueden ser definidas

utilizando un círculo de ecuación 222 ryx y un ángulo θ en posición

estándar con su vértice en el centro de la circunferencia y su lado inicial a lo largo de la parte positiva del eje de las x (figura 1).



figura 1

1. 22 yx

y

r

ysen

2. 22

cosyx

x

r

x

3. x

ysen

costan

4. x

x

sen

coscot

5. x

yx

x

r22

cos

1sec

6. y

yx

y

r

sen

221

csc

es esencial que usted se familiarice con los valores de estas funciones para los múltiplos de 30º, 45º, 60º, 90º y 180º (o en radianes, π/6,

π/4, π/3, π/2 y π), (tabla 1). puede usted familiarizarse con la grafica de las seis funciones trigonométricas. algunas de las identidades

trigonométricas más comunes que son utilizadas en el estudio del cálculo son las siguientes:



1. 1cos22 sen

2. 22 sec1tan

3. 22 csccot1

4. sensen )(

5. cos)cos(

6. tan)tan(

7. sensen )2(

8. cos)2cos(

9. tan)tan(

10. AsenBBsenABAsen coscos)(

11. AsenBBsenABAsen coscos)(

12. senAsenBBABA coscos)cos(

13. senAsenBBABA coscos)cos(

14. BA

BABA

tantan1

tantan)tan(

15. BA

BABA

tantan1

tantan)tan(

16. cos22 sensen

17. 22cos2cos sen

18. 1cos2 2

19. 221 sen

20. 2

cos1

2

12

sen

21. 2

cos1

2

1cos2

la relación entre los ángulos y los lados de un triangulo pueden ser

expresadas usando la ley de senos o la ley de cosenos (figura 2)



figura 2

ley de senos c

senC

b

senB

a

senA

o senC

c

senB

b

senA

a

ley de cosenos Abccba cos2222

Baccab cos2222

Cabbac cos2222

tabla 1

valores de múltiplos de 30º, 45º, 60º, 90º y 180º (𝑜 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠, 𝜋/6, 𝜋/4, 𝜋/3, 𝜋/2 𝑦 𝜋). de las funciones trigonométricas

medida de x en grados

medida de x en radianes

seno de x coseno de x tangente de x

0 0 0 1 0

30 π/6 ½ 2

3 3

3



45 π/4 2

2 2

2 1

60 π/3

2

3 1/2 3

90 π/2 1 0 indefinido

120 2π/3 2

3 -1/2 - 3

135 3 π/4

2

2 -2

2 -1

150 5 π/6 ½ -2

3 -3

3

180 π 0 -1 0

210 7 π/6 -1/2 -

2

3 3

3

225 5 π/4 -

2

2 -

2

2

1

240 4 π/3 -

2

3 -1/2 3

270 3 π/2 -1 0 indefinido

300 5 π/3 -2

3 ½ - 3

315 7 π/4 -2

2 2

2 -1

330 11 π/6 -1/2 2

3 -3

3

360 2 π 0 1 0



3. límites.

3.1. límite de una función.

introducción al concepto de límite.

en nuestra vida cotidiana encontramos con cierta frecuencia la palabra “límite”, ejemplos de esto es que cuando vamos en una

carretera encontramos límite de velocidad o velocidad máxima 80 km/hr. otro ejemplo es el límite de carga en los vehículos que dicen

capacidad para 5 personas, o bien, 750 kg. u otras capacidades según el tamaño del vehículo, en computación los discos que utilizamos tienen

una cierta capacidad de almacenamiento, en física nos proporcionan prácticas de resistencia de materiales con resortes o con hilos de

estaño, donde tenemos que analizar el límite elástico de los materiales, en ésta observamos cual es la máxima carga que puede soportar el

resorte o el hilo de estaño sin deformarse, en óptica los telescopios tienen un máximo alcance, que si queremos ver más lejos no podremos,

lo mismo sucede con nuestro organismo que tiene una cierta capacidad

para digerir alimentos, así como estos ejemplos ¿puedes comentarle a tu profesor o profesora al menos cinco ejemplos diferentes?.

escribe en este espacio los cinco ejemplo de límites de uso

cotidiano para ti y discútelo con tus compañeros, externándolo con tu profesor o profesora:

1.- ______________________________________________________

2.- ______________________________________________________

3.- ______________________________________________________

4.- ______________________________________________________

5.- ______________________________________________________

limites

el concepto de límite de una función es esencial en el estudio del

cálculo. este es usado en la definición de algunos de los más importantes conceptos en calculo—continuidad, la derivada de una

función, en la integral definida de una función—.



definición intuitiva

el límite de una función xf describe el comportamiento de la función

para un valor particular de x. este no tiene necesariamente el valor de la

función para un valor determinado de x. se escribe como Lxfcx

lim, y se interpreta como, cuando x se tiende a c, la función xf tiende al

numero real l (figura 3).

figura 3

en otras palabras, cuando la variable independiente x tiende a c, el valor

de la función xf tiende a l. note que esto no implica que Lcf )( ; en

conclusión, la función puede no existir para c (figura 4), o puede presentar un valor diferente en l para c (figura 5).

si la función no tiende a un numero real l cuando x tiende a c, el limite

no existe; por esta razón, se escribe NExfcx

)(lim

(no existe). muchas

situaciones diferentes pueden ocurrir en la determinación del límite de

una función cuando este no existe al tender x a algún valor.



figura 4 figura 5

estos son algunos de los ejemplos de límites que se nos presentan

cotidianamente.

llevando al límite la velocidad de natación: es necesario revisar las marcas establecidas en diferentes deportes durante el siglo pasado, lo

Capacidad máxima 20 Toneladas

Capacidad máxima 5 personas

Máximo cupo de pasajeros 14 personas

Límite de velocidad

Máxima

80

Km/Hr.

Nuestra alimentación tiene límite

La capacidad del disco duro es de 10 GB



cual muestra que los humanos continúan corriendo más rápido, saltando

más alto y lanzando más lejos cada vez. ¿debido a qué?

uno de los factores es el entrenamiento. los psicólogos están

trabajando para identificar los sistemas del cuerpo humano que limitan el rendimiento y crear técnicas de entrenamiento que desarrollen esos

sistemas. del mismo modo, los psicólogos del deporte trabajan con individuos y miembros de equipos para ayudarles a desarrollar el “flujo”

mental que les permita alcanzar el rendimiento óptimo. los entrenadores han ideado mecanismos para controlar los cuerpos de los atletas y

proporcionarles mucha más información sobre su propio rendimiento que la que era disponible hace apenas veinte años.

el equipamiento también se ha perfeccionado notablemente a lo

largo de los años. en algunos deportes el avance es evidente. las bicicletas son más ligeras y aerodinámicas que nunca. la mejora de

pistas ha elevado la velocidad de los corredores, y las pértigas de aluminio han incrementado drásticamente la altura de los saltos. incluso

deportes como la natación, sin equipamiento aparente, se ha

beneficiado de la tecnología. el afeitado del vello corporal recortó en un segundo las marcas de los nadadores de 100 metros libres masculinos,

y se espera que los nuevos tipos de trajes de baño reduzcan el rozamiento y mejoren aún más las marcas.

¿qué es el cálculo?

es la matemática de los cambios, como son velocidades y

aceleraciones. también son objeto de cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides,

curvaturas y una gran variedad de conceptos que han hecho a los científicos, ingenieros y economistas de crear modelos para las

situaciones de la vida real.

aunque las matemáticas previas al cálculo también tratan las

velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., existe una diferencia fundamental entre ellas y el cálculo. mientras que las

primeras son estáticas, el cálculo es más dinámico. algunos ejemplos de esto son los siguientes:

en la aritmética y geometría euclidiana que es previa al

cálculo permite describir el área de un rectángulo, en cambio para describir el área bajo la curva en general es

necesario el cálculo.



en geometría analítica se puede describir una recta

tangente a un círculo, en cambio para describir la recta tangente a una gráfica en general es necesario el cálculo.

en geometría analítica se puede describir la pendiente de

una recta, en cambio para describir la pendiente de una curva es necesario el cálculo.

para un objeto que se mueve con velocidad constante basta la aritmética y geometría euclidiana que es previa al

cálculo, sin embargo si esta tiene movimientos acelerados será necesario el cálculo.

estas situaciones involucra una estrategia general –la reformulación de las matemáticas que son antecesores al cálculo a

través de un proceso de límite– de esta manera sí queremos responder la pregunta ¿qué es el cálculo?, sólo responderemos que es una

“máquina de hacer límites”, considerando que se requieren tres estadios.

el primero son las matemáticas previas al cálculo, con

conocimientos de pendiente de una recta o el área de un

rectángulo. el segundo es el proceso del límite.

el tercero es la formulación propia del cálculo.

para asegurar el entendimiento de la pregunta cuestiónese ¿cuáles son los datos? ¿qué se le pide hallar?

luego piense en un plan de ataque del problema haciendo un

esquema, resolviendo un problema más sencillo, trabajar hacia atrás, dibujar un diagrama, usar recursos tecnológicos, y otros más.

ya hecho lo anterior, ejecute el plan. debe asegurar que responde

a la pregunta. enuncie su respuesta en palabras y vea estimando si tiene sentido lo que encontró.

luego piense si hay algún otro procedimiento que reduzca el esfuerzo para encontrar la respuesta a preguntas similares.

algunas veces queremos aprender cálculo como si fuera un

conjunto de fórmulas, esto nos ocasionará perder gran cantidad de comprensión, autoconfianza y satisfacción.

la paradoja de zenón (el movimiento es imposible)



para ir de un punto “p” a otro “q” hemos de recorrer primero la

mitad de la distancia de p a q, después la mitad de la que queda, después la mitad de la que entonces queda, después la mitad del resto,

y así sucesivamente. el “así sucesivamente”, implica que se puede

repetir el proceso, y que hay que repetirlo un número infinito de veces. y por muy pequeñas que sean las distancias sucesivas, el recorrerlas,

exige indudablemente un periodo finito de tiempo. y, como decía zenón, la suma de un número infinito de intervalos finitos de tiempo, es infinita.

por lo tanto, nunca podremos ir de p a q por muy cerca que estén los dos puntos.

se han puesto muchas posibles soluciones para esta paradoja. la que

hemos de examinar atribuye el sofisma a la afirmación de que “la suma de un número infinito de intervalos finitos de tiempo, es infinita”. una de

estas soluciones la tomaremos de la siguiente forma: supongamos que la distancia de p a q es de 100 metros, y que la recorremos a una

velocidad de 100 metros por minuto.

entonces el tiempo que se necesita para recorrer la primera etapa de nuestro viaje, la mitad de p a q es ½ minuto; el que se necesita para

la mitad de la distancia que queda, ¼ minutos; para la mitad de la distancia que queda, 1/8 minutos; para la mitad de la distancia que

queda entonces, 1/16 minutos y así sucesivamente. dicho de otro modo, el tiempo en minutos que tarda para ir de p a q es la suma de la serie

infinita como la mostrada a continuación:

1024

1

512

1

256

1

128

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1.

con esto podrás contestar la siguiente pregunta: ¿es infinita la suma de esta serie?

justifica tu pregunta:_______________________________________ _________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

posiblemente te cueste un poco de trabajo comprender esta parte,

pero te otorgamos una pequeña ayuda mediante gráficos, esto te

100 metros Q P



permitirá ver si se aproxima a algún número finito y deducirás la

pregunta anterior.

viendo la figura anterior nos muestra intuitivamente, que la suma se aproxima cada vez más a un límite, puedes anotar cual es el

límite:__________________________

este es uno, pero nunca lo supera. en términos más precisos, se

puede decir que sin más que tomar un número de términos suficientemente grande, se puede hacer que la diferencia entre nuestra

suma y uno, sea menor que un número finito cualquiera, por muy pequeño que sea.

por consiguiente el tiempo que se necesita para recorrer los 100

metros que hay de p a q, no es infinito, sino 1 minuto. podemos pues quedarnos tranquilos, ya que el movimiento no es imposible. es decir

2

1

1

4

1

2

1

8

1

4

1

2

1

16

1

8

1

4

1

2

1

16

1

8

1

4

1

2

1



que las matemáticas vienen a corroborar, lo que tenemos que aprender

cada día.

de acuerdo a lo anterior te ponemos como ejemplo la paradoja de

aquiles y la tortuga para que lo desarrolles, el cual indica lo siguiente: aquiles le da 100 metros de ventaja a la tortuga, la velocidad de aquiles

y la tortuga son de 10 metros por segundo y 1 metro por segundo respectivamente. ¿cuál será el límite de esta paradoja?

para esto te sugerimos que te apoyes en gráficos y las pautas que

te hemos proporcionado al inicio de este tema.

espacio para el desarrollo del problema propuesto:

ahora bien vayamos a un problema real que fue tratado en el tema de funciones, en este tema se te propuso la construcción de una

caja a partir de una cartulina cuadrada de 20 cm. de lado, donde tenias que recortar cuadros en las esquinas, esta actividad tiene un límite

debido a la cantidad de material del que dispones, este límite es cuando no puedes construir la caja y los volúmenes se vuelven negativos. ¿cuál

es el intervalo en el cual la caja existe?__ ________________________________________________________

¿cuál es el límite de la construcción de la caja? __________________



_________________________________________________________

___________________________________________________________________________

justifique su respuesta:_____________________________________ _________________________________________________________

___________________________________________________________________________

límite de una sucesión numérica.

como una breve introducción presentamos un pequeño problema

de células ideales, resuelto afortunadamente. el cual dice lo siguiente:

demostrar que al año habrá 122 células, sabiendo que estas se reproducen a partir de una y tienen de una en una, gestan durante un

mes y maduran para tener otra en otro mes.

utilizaremos la siguiente simbología:

célula recién nacida.

célula madura.

mes gráfica de la reproducción conteo

de células

1° 1

2° 1

3° 2

4° 3

5° 5

6° 8

7° 13

8° 21

9° 34

10°

55

le invitamos a que en base a su observación coloque en las filas 11º y 12º las células y el número de ellas.

11º

12º



si lograste observar el comportamiento de los números, basta

sumar dos números consecutivos para obtener el tercero, esta sucesión de números los matemáticos le llaman “serie de fibonaci”.

la cual está formada por los siguientes números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,

... , etc.

sí esta serie de números te quedó clara, escribe los cinco números consecutivos de la serie anotada en el párrafo anterior, en esta línea:

________________________________________________________

¿cuál será el último número?, comenta en tu equipo, a tu profesor o profesora cual es este y anótalo en este espacio: ______________

lo anterior quiere decir que haz definido el límite de la serie de

fibonaci.

bueno... esta serie de números guarda otro límite, el cual lo

vamos a descubrir mediante el llenado de la siguiente tabla, este limite lo ocupan mucho los profesionales del arte y construcción, la prueba

está que la proporción la encontramos hasta en la naturaleza.

división del último número por el anterior

resultado del cociente

11 1

12 2

23 1.5

35 6.1

58 1.6

813 1.625

1321 615384.1

2134 619047.1

3455 35294117647058826.1

5589 186.1



89144 1.6179775280898876404494382022472

144233 1.61805

233377 1.6180257510729613733905579399142

377610 1.6180371352785145888594164456233

610987 1.6180327868852459016393442622951

9871597 1.6180344478216818642350557244174

15972584 1.618033813400125234815278647464

25844181 1.6180340557275541795665634674923

41816765 1.6180339631667065295383879454676

tal parece que si seguimos construyendo esta tabla jamás

tendremos definido el límite de esta sucesión, porque aparecen números cada vez más raros, sin embargo vamos a obtener dicho límite por

proporciones a continuación:

sea el segmento de recta que a continuación se muestra, la parta

más gruesa “1” y la más delgada “x” y el total del largo del segmento es “1 + x”, nos queda:

sí las partes son proporcionales la razón quedará:

(1 + x) 1 1 x

escrito de otra forma queda:

X

X 1

1

1

haciendo los productos cruzados es:

111 XX

1 X



12 XX

012 XX

resolviendo esta expresión por la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, siendo a = 1; b = 1; c = - 1 y la

fórmula general es:

a

acbbX

2

42

sustituyendo dichos valores queda la expresión:

12

114112

X

2

51X las soluciones son

2

5

2

11

X y 2

5

2

12

X .

aproximadamente x1 = 0.61803398874989484820458683436564

x2 = -1.61803398874989484820458683436564

por lo cual el límite de los cocientes de los números de fibonaci es aproximadamente: 1.61803398874989484820458683436564 debido a

que 1 + x = 1 + x1, sustituyendo el valor encontrado queda:

1 + x1 = 1 + 0.61803398874989484820458683436564 = 1.61803398874989484820458683436564



sí graficamos los cambios de los cocientes veremos una gráfica como la que se muestra a continuación:

si observa solo pudimos graficar hasta 13/8, si puede grafique

hasta la última fracción de la tabla, pero como sabemos que ni el lápiz con la punta más aguzada logrará graficar todos los cocientes de los

números de fibonaci pues le invitamos a que lo intente.

sugerimos para visualizar mejor este ejemplo: que vean la película de donald en el país de las matemagicas de walt

disney.

en esta película se observa como los profesionales del arte,

arquitectos, dentistas, musicos, etc., y en la naturaleza como presenta la sección aurea o dorada. sin embargo en esto último vemos que se

puede visualizar tambien el concepto del límite.

como actividad de estudio es conveniente que sepas cual es la bacteria que nos produce la enfermedad comúnmente llamada faringitis,

esta es el staphylococus aureus, esta bacteria se duplica cada 3 horas, siguiendo la misma pauta del desarrollo de los números de fibonaci, haz

1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 2 1



un diagrama de árbol, determina la sucesión de números, determina la

ley matemática con la cual se reproducen y determina el límite de la sucesión.

como observó, para llegar a este concepto debemos situarlo sobre una escala numérica los puntos correspondientes a los términos de la

sucesión, te invitamos a que hagas la gráfica de la siguiente serie de números y determines lo que se te pide.

... ,n

1 -2 ..., ,5

9 ,4

7 ,3

5 ,2

3 ,1

si hacemos una tabulación dándole valores a n podremos ver con

mayor facilidad la aproximación al límite de esta sucesión.

el cálculo para n = 1 queda:

11

12

para n = 2 queda:

23

21

24

212

para n = 3 queda:

35

31

36

312

n n

12

1 1

2 3/2

3 5/3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20



calcule el límite de las sucesiones siguientes, utilizando la metodología antes usada:

a) 1, ½, 1/3, ¼, 1/5, ... b) 1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25, ...

c) 2, 5/2, 8/3, 11/4, 14/5, ... d) 5, 4, 11/3, 7/2, 17/5, ...

e) ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, ... f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...

determina los valores que se indican en la tabla desde n = 4

hasta n = 20 en el siguiente espacio:

si anotas sus equivalencias en decimales ocupando una

calculadora, ¿cuál es el límite de esta sucesión? ______________

n n

12

1 1

2 3/2 = 1.5

3 5/3 = 6.1

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20



sin tener que hacer todo esto que hemos hecho, ¿podrás indicar

los límites de las siguientes sucesiones de números indicadas en la tabla?:

de la tabla indicada con números nos da por límite “2”, si “x” es

una variable cuyo campo de variación es la sucesión n

12 se dice que

“x” se aproxima al límite 2, o bien que “x” tiende a 2, y se representa

2 x .

la sucesión n

12 no contiene a su límite 2, sin embargo, la

sucesión 1, ½, 1, 5/6, 1, ..., en la que todos los términos impares son iguales a 1. por tanto, una sucesión puede o no contener a su propio

límite. sin embargo, como veremos más adelante, decir que a x

implica x a, esto es, se sobrentenderá que cualquier sucesión dada no

contiene a su límite como término.

4.5. límite de una función.

si 2 x según la sucesión n

12 , 4 2 xxf según la sucesión 1,

9/4, 25/9, 49/16, ..., 212n

, ...

ahora bien, si 2 x según la sucesión 2.1; 2.01; 2.001; ...;

n1012 ; ...

4 2 x según la sucesión 4.41; 4.0401; 4.004001; ..., 210

12 n ;

... parece razonable esperar que x2 tiende a 4 siempre que tienda a 2.

sucesión límite

n

13

n

15

n

16

n

16

n

14



en estas condiciones se establece que “el límite de x2 cuando x tiende a

2 es igual a 4”, y se representa por el simbolismo 42

2

xlím

x.

determine el límite de 2 Xy , siendo “x” los términos de cada

una de las sucesiones

a) 1, ½, 1/3, ¼, 1/5, ..., n

1, ...

b) 1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25, ..., 2

1

n, ...

c) 2, 5/2, 8/3, 11/4, 14/5, ..., n

15 , ...

d) 5, 4, 11/3, 7/2, 17/5, ..., n

25 , ...

e) ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, ..., n2

12 , ...

f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ..., n10

13 , ...

4.6. límites por la derecha y por la izquierda.

cuando 2x según la sucesión ... ,n

1 -2 ..., ,5

9 ,4

7 ,3

5 ,2

3 ,1 , cada

término es siempre menor que 2. se expresa diciendo que x tiende a 2

por la izquierda, y se representa por 2x . análogamente, cuando

2x según la sucesión 2.1; 2.01; 2.001; ...; n1012 ; ..., cada

término es siempre mayor que 2. se expresa diciendo que x tiende a 2

por la derecha y se representa por 2x . es evidente que la existencia

del xflímax

implica la del límite por la izquierda xflímax

y la del

límite por la derecha xflímax

, y que por ambos son iguales. sin

embargo, la existencia del límite por la izquierda (derecha).

ejemplo: sea la función 29 xxf . el dominio de definición es

el intervalo – 3 x 3. si a es un número cualquiera del

intervalo abierto – 3 x 3, 29 xlím

ax

existe y es igual a

29 a . considérese ahora que 3a . si x tiende a 3 por la izquierda,



09 2

3

xlím

x, y si x tiende a 3 por la derecha,

2

39 xlím

x

no

existe, puesto que para x 3, 29 x es un número imaginario. por

tanto, no existe 2

39 xlím

x

.

análogamente, 2

39 xlím

x

existe y es igual a 0; sin embargo, no

existen ni 09 2

3

xlím

x ni

2

39 xlím

x

.



3.2. propiedades.

teoremas sobre límites.

I. si cxf , constante, tendremos cxflímax

.

si Axflímax

y Bxglímax

, resulta:

II. kAxfklímax

, siendo k una constante.

III. BAxglímxflímxgxflímaxaxax

.

IV. BAxglímxflímxgxflímaxaxax

V.

B que siempre ,

B

A

xglím

xflím

xg

xflím

ax

ax

ax

0.

VI. nnn

ax

n

axAAxflímxflím que siempre ,

sea un

número real.

estos teoremas de límites se ven un poco áridos, sin embargo son

herramientas que debemos aprender para poder abordar la fórmula general de la derivada o derivada por definición o derivada por los

cuatro pasos, que también es otra herramienta fuerte para resolver problemas sin tener que hacer algunas veces el uso de gráficos, tablas y

algunos otros recursos.

límite de una función.

en la función definida por: f(x) = x2. donde el dominio de la

función (valores de x), contenga todos los números reales. el límite de f(x) cuando “x “se aproxima por ejemplo al valor de 10, será 100. lo

cuál se presenta:

100102

10

2

1010

xxxlímxlímxflím



y se lee “el límite de la función f(x) es 100 cuándo el valor de la

variable x tiende al valor de 10”.

existen diferentes casos para poder calcular el límite de una función,

que son:

caso I: si la función dada está simplificada, basta sustituir directamente el valor a que tiende la variable independiente y realizar

las operaciones indicadas, el resultado será el valor del límite buscado.

ejemplo 1: calcula el límite de la función: y = 2x + 6 cuando x 3

sustituimos el valor de “x” por 3 y realizamos las operaciones

indicadas, y tenemos:

12666326233

xlímxflímxx

“el límite de función y = 2x + 6 es igual a 12 cuando “x” tiende a

3”

anota en tu cuaderno la función siguiente y obtén el límite

sabiendo que: 2

1262

x

xxy cuando 2x

¿qué resultado obtuviste?, coméntalo con tus compañeros y maestro.

cálculo de expresiones indeterminadas.

en ocasiones obtenemos expresiones indeterminadas cuando no se conoce su valor, por ejemplo: cuando se presenta el cociente 0/0.

veamos unos resultados referente a esto:

? 0

0 1

2.7

2.7 1

3

3

? 0

0 0

4.35-

0 0

2.7

0 0

3

0

según la primera lista el resultado da uno, ya que el

numerador y el denominador son iguales. según la segunda lista el resultado es cero, ya que el

numerador es cero.



si lo hacemos con la calculadora esta marca error.

para calcular límites indeterminados con ayuda de la

derivada, se deriva el numerado y denominador donde se

sustituye en esta nueva fracción el límite.

Caso II: se da cuando es necesario primero simplificar la función dada, antes de sustituir directamente el valor de la variable

independiente, por que de lo contrario puede dar lugar a la forma indeterminada 0/0. la simplificación generalmente se obtiene

factorizando las partes o expresiones que sean posibles de la función dada.

ejemplo 2: calcula el límite de la función yX

X

2 9

3 cuando 3x .

si sustituimos directamente el valor a que tiende la variable independiente, tenemos:

ada)indetermin (forma 0

0

33

99

33

93

3

9 22

33

x

xlímxflímxx

por lo tanto, será necesario primero factorizar la expresión; en éste caso el numerador y posteriormente habrá que reducir la expresión,

luego sustituir el valor de la variable independiente:

63333

33

3

933

2

33

xlím

x

xxlím

x

xlímxflím

xxxx

anota en tu cuaderno la función: yx x

x

2

2

3 40

64 y calcula su límite

cuando “x” tiende a 8.

para esto tendrás que factorizar tanto el denominador como el numerador.

caso III: este caso se da cuándo en la función dada es necesario

simplificar por medio de la racionalización de su numerador o

denominador, antes de sustituir directamente el valor a que tiende la variable independiente de la función, por que si no, da lugar a la

indeterminación 0/0.

este caso se puede identificar fácilmente porque en la función

aparece el signo radical.



ejemplo 3: calcula el límite de función x

xxf

11 cuando

0x .

sustituimos directamente el valor de la variable independiente por 0,

y tenemos:

0

0

0

11

0

11

0

1101100

x

xlímxflímxx

entonces será necesario primero racionalizar la expresión, antes

de sustituir el valor de la variable independiente en la función:

11

11

11

111111000 xx

xlím

x

x

x

xlím

x

xlím

xxx

11

1

1111

11000 x

límxx

xlím

xx

xlím

xxx

después, sustituyendo “x” por 0 tenemos:

2

1

11

1

11

1

110

1

escribe en tu cuaderno la función: 2

2

4

53

x

xxf

y calcule su

límite cuando x2.

para esto necesitarás primero racionalizar la

expresión

límite de funciones con tendencia a infinito.

si el límite de una función es infinito cuando su valor aumenta o disminuye infinitamente cuando cx . es decir:

xflímcx



o si una función tiende hacia el límite “l”, cuando la variable independiente “x” tiende al infinito, es decir:

1

xflímcx

podemos deducir que existen ciertos límites que se presentan

generalmente, cuando la variable independiente “x” tiene el valor de cero ó infinito:

c

xlím

x

clíma

xx b) ;0 )

en esta situación se nos presenta el:

caso IV: cuando en una función se obtiene la indeterminación ∞/∞.

si la variable independiente tiende al infinito y se requiere encontrar el límite de una función expresada como un cociente de polinomios,

será necesario dividir primero, el numerador y el denominador por la variable con mayor exponente que exista en cual quiera de ambos,

antes de sustituir en la expresión el valor a que tiende la variable independiente.

ejemplo 4: obtén el límite de la función: 42

34

638

835

xx

xxy

cuando x

tiende a infinito

si sustituimos directamente, tenemos:

42

34

42

34

638

835

638

835

xx

xxlímx

por lo que será necesario dividir primero el numerador y

denominador por x4 , que es la variable que hay con el mayor exponente o término de mayor grado:



1

638

83

1

5

638

835

638

835

638

835

24

4

444

444

4

4

42

34

42

34

42

34

xx

xxlím

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

lím

x

xxx

xx

límxx

xxlím

xxxx

6

5

600

005

638

835

24

4

1.- escribe en tu cuaderno la función 4

4

23

8

xx

xxf

y encuentra

el límite, cuando “x” tiende a infinito.

2.- obtén el limite cundo x tiende a 6 de la función 36

62

x

xxf

3.- encuentra el limite: x

xlímx

21

11

4.- encuentra el limite: 2

38232

23

3

x

xxxlímx

comenta con tus compañeros y maestro los resultados que obtengas.

evaluacion de límites

los límites de las funciones son evaluados usando muy diferentes

técnicas así como patrones de reconocimiento, sustitución simple, o simplificación algebraica. algunas de estas técnicas son ilustradas en los

siguientes ejemplos.

ejemplo 1: encontrar el límite de la secuencia: ,7

6,

6

5,

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

la razón de que el valor de la fracción incremente lentamente para cada término, es debido a que el numerador es siempre más pequeño que el



denominador, la fracción tomará valores cada vez más cercanos a 1; por

lo que, el limite de la secuencia es 1.

ejemplo 2: evaluar )13(lim2

xx

.

cuando x es reemplazado por 2, 3x tiende a 6, y 3x-1 tiende a 5; por lo

que, 5)13(lim2

xx

.

ejemplo 3: evaluar 3

92

3lim

x

x

x

.

sustituyendo –3 por x produce 0

0, lo cual es una indeterminación.

primero factorizando y simplificando después, se encuentra que:

3

92

3lim

x

x

x

=)3(

)3)(3(lim

3

x

xx

x

= )3(lim3

xx

= 6

la grafica de 3

92

x

x puede ser la misma que la función lineal 3 xy con

el punto )6,3( removido de ella (figura 6).



ejemplo 4 evaluar 3

5

3

2lim3

x

x

x

x.

sustituyendo 3 por x resulta 0

0, lo cual es una indeterminación,

simplificando la fracción compleja, se encuentra que:

3

5

3

2lim3

x

x

x

x =

)2(5

)2(5

3

5

3

2

x

x

x

x

x

=)3)(2(5

)2(35lim

3

xx

xx

x=

)3)(2(5

62lim

3

xx

x

x

=)3)(2(5

)3(2lim

3

xx

x

x=

)2(5

2lim

3 xx=

25

2

de otra forma:

3

5

3

2lim3

x

x

x

x =

)3

)2(5

)2(35

3

5

3

2lim3

x

x

xx

x

x

x

x=

3

)2(5

)635

lim3

x

x

xx

x=

)3(

)2(5

62

lim3

x

x

x

x

=

1

)3(

)2(5

)3(2

lim3

x

x

x

x=

)3)(2(5

)3(2lim

3

xx

x

x=

)2(5

2lim

3 xx

si reemplazamos a x por 3, resulta, =25

2


lim0 x

x

x.

sustituyendo 0 por x resulta 0/5=0, por lo que, 05

lim0

x

x

x

ejemplo 6: evaluar x

x

x

5lim

0

.

sustituyendo 0 por x resulta 5/0, lo cual es una indeterminación; por lo

que x

x

x

5lim

0

ne. (recuerde, el infinito no es un numero real).

limites por un lado



para algunas funciones, es apropiado observar el comportamiento de los

límites por un lado solamente. si x tiende a c por la derecha solamente, se escribe

)(lim xfcx

o si x tiende a c por la izquierda solamente, se escribe

)(lim xfcx

esto es, luego, igual que

)(lim xfcx

sí y solo sí

)(lim)(lim xfxfcxcx

ejemplo 7: evaluar xx 0lim .

cuando x tiende a 0 por la derecha, este siempre es positivo; x es

tomado tan pero tan pequeño, que 0lim0

xx

. por lo que sustituyendo 0

por x se puede obtener el mismo resultado, el siguiente ejemplo ilustra

porque este método no siempre es apropiado.

ejemplo 8: evaluar xx 0lim .

cuando x tiende a 0 por la izquierda, este siempre es negativo, y x no

existe, en esta situación, xx 0lim ne. así, note que x

x 0lim

ne porque

xxxx

00

lim0lim ne.

ejemplo 9: evaluar



1. 2

2lim

22

x

x

2. 2

2lim

22

x

x

3. 2

2lim

22

x

x

1.- como x tiende a 2 por la izquierda, x-2 es negativo , y )2(2 xx ;

por lo tanto, recordar que el valor absoluto se define como

positivo es x si ,

y negativo es x si ,

x

xx

1)2(

)2(

2

2lim

22

x

x

x

x

2.- como x tiende a 2 por la derecha, x-2 es positivo, y 22 xx : por

lo tanto,

12

)2(

2

2lim

22

x

x

x

x

3.- como 12

2lim1

2

2lim

2222

x

x

x

x, por lo tanto

2

2lim

22

x

x ne.

limites infinitos

algunas funciones desaparecen en la dirección positiva o negativa

(incrementa o disminuye sin limite) para ciertos valores de la variable independiente. cuando esto ocurre, se dice que la función tiene un limite

infinito; el cual se escribe;

)(lim xfcx

o

)(lim xfcx

. note también

que la función tiene una asíntota en cx si uno de los limites anteriores

es verdad.

en general, una función fraccionaria puede tener un límite infinito si el límite del denominador es cero y el límite del numerador es diferente de

cero. el indicador de un limite infinito esta determinado por el indicador del cociente del numerador y el denominador para valores cercanos al

número al que la variable independiente tiende.




1lim

xx

como x tiende a 0, el numerador es siempre positivo y el denominador

tiende a 0 y es siempre positivo; por lo que , la función incrementa sin

limite y 20

1lim

xx. la función tiene una asíntota vertical en 0x (figura

7).


3lim

2

x

x

x.

como x tiende a 2 por la izquierda, el numerador tiende a 5, y el denominador tiende a 0 desde valores negativos, por lo tanto, la función

decrece sin limite y

2

3lim

2 x

x

x. la función presenta una asíntota en

2x .



ejemplo 12: evaluar

32

0

11lim

xxx.

reescribiendo

32

11

xx como una expresión fraccionaria equivalente es

igual a

3

1

x

x , el numerador tiende a –1, y el denominador tiende a 0

desde valores positivos cuando x tiende a 0 por la derecha; por lo tanto,

la función decrece sin limite y

32

0

11lim

xxx. la función presenta una

asíntota vertical en 0x . una palabra de cuidado: no evaluar los limites

individualmente ni restar porque no es un número real.



usando este ejemplo,

3

02

032

0

1lim

1lim

11lim

xxxx xxx

lo cual es una indeterminación.

limites al infinito

los límites al infinito son empleados para describir el comportamiento de funciones donde la variable independiente incrementa o disminuye sin

límite. si una función tiende a un valor numérico l en cualquiera de las situaciones anteriores, se escribe

Lxfx

)(lim o Lxfx

)(lim

y )(xf se dice que presenta una asíntota horizontal en y = l. una función

puede tener diferentes asíntotas horizontales en cada dirección, tiene una asíntota horizontal en una dirección solamente, o no tener asíntotas

horizontales.


32lim

2

2

xx

x

x.

el término con mayor exponente en x en el numerador y denominador,

se toma como factor común en numerador y denominador para cada término.

y se encuentra que (recordar que ,0

n donde n es cualquier número

real)

15

32lim

2

2

xx

x

x=

)15

1(

)3

2(

lim

2

2

2

2

xxx

xx

x

=

2

2

151

32

lim

xx

xx

=

001

02lim

x= 2

1

2lim

x

como 215

32lim

2

2

xx

x

x, la función presenta una asíntota horizontal en

2y



ejemplo 14: evaluar xxx

x

x 235

2lim

34

3

.

tomamos a 3x como factor común en el numerador y a 4x en el

denominador, con lo cual nos resulta:

xxx

x

x 235

2lim

34

3

=

)23

5(

)2

1(

lim

3

4

3

3

xxx

xx

x

=

)23

5(

)2

1(

lim

3

3

xxx

xx

=

3

3

235

21

1lim

xx

x

xx

=

005

010 = 0

5

10

por lo tanto, como 0235

2lim

34

3

xxx

x

x, la función presenta una asíntota

horizontal en 0y




9lim

2

x

x

x.

tomamos a 2x como el factor común en el numerador y a x en el

denominador, resultando:

2

9lim

2

x

x

x=

)2

1(

9lim

2

xx

x

x

=

)2

1(

9lim

x

xx

=

)01(

9= 9 = .

puesto que este limite no se aproxima a ningún valor real, la función no

presenta ninguna asíntota horizontal cuando x tiende a .

ejemplo 16: evaluar xxxx

3lim 23

.

considerando a 𝑥3 como el factor común de la función, resulta:



xxxx

3lim 23

= )11

1(lim2

3

xxx

x

= )

111(limlim

2

3

xxx

xx

= )001(lim 3

x

x

= )1(lim 3xx

= por lo tanto

xxxx

3lim 23

como en el ejemplo previo, esta función no tiene una asíntota horizontal cuando x disminuye hasta .

limites que involucran funciones trigonometricas

las funciones trigonométricas seno y coseno tienen cuatro importantes propiedades de limites

csenxsencx

lim

cxcx

coscoslim

1lim0

x

xsen

x

0cos1

lim0

x

x

x

estas propiedades pueden ser utilizadas para evaluar muchos problemas que involucran las 6 funciones trigonométricas básicas.


coslim

0 xsen

x

x.

sustituyendo 0 por x, usted encuentra que cos x se aproxima a 1 (por

csenxsencx

lim )y sen x-3 se aproxima a –3 (por cxcx

coscoslim

); por lo

tanto:



3

1

3

coslim

0

xsen

x

x

ejemplo 18: evaluar xx

cotlim0

.

dado que xsen

xx

coscot , entonces el problema se traduce en

xsen

x

x

coslim

0. el

numerador tiende a 1 y el denominador tiende a 0 para valores positivos

porque el acercamiento a 0 esta definido para el cuadrante i; por lo que,

la función incrementa sin limite y

xx

cotlim0

, y la función presenta

una asíntota vertical en 0x .




xsen

x

4lim

0.

multiplicando el numerador y denominador por 4 resulta

x

xsen

x

4lim

0

x

xsen

x 4

44lim

0

x

xsen

xx 4

4lim4lim

00

por la propiedad 1lim

0

x

xsen

x

14

44

lim0

x

xsen

x




x

x

1seclim

0

.

dado que x

xcos

1sec , se encuentra que

x

x

x

1seclim

0

x

x

x

1cos

1

lim0

=

1

cos

cos1

lim0 x

x

x

x

que reduciendo

xx

x

x cos

cos1lim

0

con

xcos

1 como factor común (factorizando)

x

x

xx

cos1

cos

1lim

0

x

x

x xx

cos1lim

cos

1lim

00 por la propiedad 0

cos1lim

0

x

x

x

01

01sec

lim0

x

x

x



3.3. continuidad de una función.

continuidad

una función )(xf se dice que es continua en un punto (c, f(x)), si todas

y cada una de las siguientes condiciones son satisfechas:

1. )(cf existe (c esta en el dominio de f).

2. )(lim xfcx

existe y

3. )()(lim cfxfcx

.

geométricamente, este lugar no es un espacio en blanco, una división, o una ausencia de punto para )(xf en c y un lápiz puede moverse a lo

largo de la grafica de )(xf hasta (c, f(c)) sin levantarlo y hasta el final

de la grafica. si esto ocurre se dice que la grafica es continua en (c, f(c))

por la derecha si )()(lim cfxfcx

y continua en (c, f(c)) por la izquierda si

)()(lim cfxfcx

. muchas de nuestras funciones comunes como la lineal,

cuadrática y otras funciones polinomiales: racionales, y trigonométricas

son continuas para cada punto de su dominio.

una función especial que es usada a menudo para ilustrar limites por un lado es la función parte entera. la función parte entera, [x], es definida

como aquella que es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda en cada entero.

algunos valores de [x] para valores específicos de x son:

[2] = 2

[5.8] = 5

[-33

1] = -4

[0.46] = 0



la función parte entera es continua para cualquier entero n por la

derecha solamente porque

nnnf )(

y nxfnx

)(lim

pero 1)(lim

nxfnx

, por lo que, nfxfnx

)(lim y )(xf no es

continua para n por la izquierda. note que la función parte entera es

continua por la derecha y por la izquierda para cualquier valor decimal de x.

ejemplo 21: discutir la continuidad de 32 xxf en 4x .

cuando la definición de continuidad es aplicada a )(xf en 4x , se

encuentra que

1. 54 f

2. 532limlim44

xxfxx

3. 4lim4

fxfx

, por lo tanto podemos asegurar que )(xf es

continua para 4x .



ejemplo 22: discutir la continuidad de 2

42

x

xxf en 2x .


encuentra que 2f no existe; por lo que, )(xf es discontinua para 2x .

ejemplo 23: discutir la continuidad de

2,4

2,2

42

x

xx

xxf en 2x .


encuentra que



1. 42 f

2.

xfx 2lim

2

4lim

2

2 x

x

x

2

22lim

2

x

xx

x 2lim

2

x

x 4lim

2

xf

x

3. 2lim2

fxfx

por lo tanto )(xf es continua en 2x .

ejemplo 24: discutir la continuidad de xxf en 0x .


encuentra que

1. 00 f

2. NExxfxx 00limlim

, por que 0lim0

xx

, pero NExx 0lim

3. 0lim0

fxfx

por lo tanto, )(xf es continua para 0x por la derecha solamente.



ejemplo 25: discutir la continuidad de

3,2

3,252 xx

xxxf en 3x .


encuentra que

a. 112332

f

b. 1125limlim33

xxfxx

y para 112limlim 2

33

xxf

xx

por lo que 11)(lim3

xfx

porque xfxfxx

33

limlim

c. 3lim3

fxfx

por lo tanto, )(xf es continua para 3x .

muchos teoremas en cálculo requieren que las funciones sean continuas

en intervalos de números reales. una función )(xf se dice que es



continua en un intervalo abierto ),( ba si )(xf es continua para cada

punto bac , . una función )(xf se dice que es continua en un intervalo

cerrado ba, si )(xf es continua en cada punto bac , y si )(xf es

continua para a por la derecha y continua para b por la izquierda.

ejemplo 26:

a. 32)( xxf es continua en , porque )(xf es continua para

cualquier punto ,c .

b. 4

3)(

x

xxf es continua en 4, y ,4 porque )(xf es

continua para cualquier punto 4,c y ,4 .

c. 4

3)(

x

xxf no es continua en ]4,( o ),4[ porque )(xf no es

continua para 4 por la izquierda o por la derecha.



d. xxf )( es continua en ),0[ porque )(xf es continua para

cualquier punto ,0c y es continua para 0 por la derecha.

e. xxf cos)( es continua en , porque )(xf es continua para




f. xxf tan)( es continua en

2,0

porque )(xf es continua para

cualquier punto

2,0

c .

g. xxf tan)( no es continua en

2,0

porque )(xf no es continua

para 2

por la izquierda.



h. xxf tan)( es continua en

2,0

porque )(xf es continua para

cualquier punto

2,0

c y es continua para 0 por la derecha.

i. 5

2)(

2

x

xxf es continua en , porque )(xf es continua para




j. 2

2)(

x

xxf es continua en 2, y ,2 porque )(xf es continua

para cualquier punto 2,c y ,2c .

k. 2

2)(

x

xxf no es continua en ]2,( o ),2[ porque )(xf no es

continua para 2 por la izquierda o por la derecha.



continuidad de una función.

una función será continua para cierto intervalo de “x” si su gráfica no presenta ningún vacío o salto, sino, es una función discontinua:

función continua función discontinua

para que una función “f(x)” sea continua para un valor de x = c,

se deben de cumplir las tres condiciones siguientes:

1.- f(c) esté definida.

2.- xflímcx

exista.

3.- cfxflímcx



ejemplo: determinar si la función f(x)=x2+3 es continua en x=5

1º. si f(x) = x2 + 3

para f(5) = (5)2 + 3 = 25 + 3 = 28 sí f(5) = 28, por lo tanto, la función sí está definida.

2º. 2832535322

5

xlím

x

sí 285

xflímx

, por lo tanto, el límite existe.

3º.- cfxflímcx

28 = 28, por lo tanto, la función sí

es continua.

en x = 5 porque se satisfacen las tres condiciones dadas. determina si la función y = 5x2 + 3x es continua en x = - 2

vi. funciones con discontinuidad evitable.

existen situaciones en donde la discontinuidad de una función

puede ser “evitable” esto resulta cuando la discontinuidad se presenta para un valor determinado de la variable independiente (un punto

vacío).

ejemplo: determina si la función 16

42

x

xy es continua en x=4

1º si 16

42

x

xxf

para f(4) = 0

0

1616

0

164

444

2

f

esto resulta en una indeterminación y al no estar definida f(4), la función es discontinua en el punto x = 4.

sin embargo, la discontinuidad de la función en x = 4 es evitable si

la función se puede hacer continua volviendo a definir la función en x = 4. para lo cual se factoriza la expresión del denominador; tenemos:



16

42

x

xxf =

x

x x

4

4 4( )( ) de lo cual resulta

4

1

xxg

comprobamos ahora si la función es continua:

1º.- f(x)= 16

42

x

xxf

4

1

xxg

8

1

44

14

g por lo tanto, si queda definida

2º. 16

424

x

xlímx

por tabulación obtenemos:

si x = 3 3.5 3.9 3.99 4 4.01 4.1 4.5 5

xflímx 4

0.14

0.13

1.126

0.1251

0.125=1/8

0.1248

0.123

0.12

0.11

por lo tanto, el límite a que tiende la función es igual a 0.125=1/8,

cuando “x” tiende a 4 y sí existe.

3º. xflímcfcx

1/8=1/8; por lo tanto, la discontinuidad de la función, si fue

evitable para x = 4.

determine si la función 7

492

x

xy es continua para x = 7

si es discontinua, determina si su discontinuidad es evitable:



4. derivada.

4.1. razón de cambio promedio e interpretación geométrica.

la derivada

Una de las aplicaciones más importantes de límites es el concepto de la derivada de una función. En cálculo, la derivada es utilizada en una gran

diversidad de problemas, y su entendimiento es esencial para su aplicación en algunos problemas.

definición

La derivada de una función )(xfy en un punto ))(,( xfx es definida

como

x

xfxxf

x

)()(lim

0

Si este límite existe. La derivada es denotada por )(xf , que se lee “ f

prima de x ” o “ f prima en x ,” y se dice que f es diferenciable en x si

este limite existe (Figura 9).

)( xxf )(),( xxfxx

)()( xfxxf

)(xf x

)(, xfx

x )( xx

Si una función es diferenciable en x , luego esta puede ser continua en x

pero lo inverso no necesariamente es verdad. Esto es, una función puede ser continua en un punto, pero la derivada en este punto puede



no existir. Por ejemplo, la función 3

1

xxf es continua en la totalidad de

su dominio para los números reales, pero esta derivada no existe para

0x . (para 0x es NEx

xdx

d

0

1

3

1

3 2

3

1

, lo cual claramente deja ver que

no existe)

Otro ejemplo es la función 2 xxf , la cual es continua en la totalidad

de su dominio para los números reales pero no es diferenciable para

2x . Lo cual es visible en el siguiente gráfico.

La relación entre la continuidad y diferenciabilidad puede ser resumida de la siguiente manera: Diferenciabilidad implica continuidad, pero

continuidad no implica diferenciabilidad.

Ejemplo 1: Encontrar la derivada de 52 xxf en el punto 1,2 .

x

xxx

x

xfxxf

55)()()( 22



xx

x

xfxxf

x

xxx

x

xxx

x

xxxxx

2

)2(

2

552

2

222

4222

22lim0

f

xxxxfx

Por lo tanto, la derivada de 52 xxf en el punto 1,2 es 4.

Una interpretación de la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en este punto. La derivada puede ser

también entendida como el límite de la pendiente de la recta secante que tiende a un punto fijo sobre la curva hasta llegar a convertirse en

tangente de la curva en este punto. Si este limite existe, este es definido como la pendiente de la recta tangente en un punto fijo ))(,( xfx

sobre la grafica de )(xfy .

Otra interpretación de la derivada es la velocidad instantánea de una

función que representa la posición de una partícula a lo largo de una

recta en un tiempo t , donde tsy . La derivada puede ser entendida

como el límite de la velocidad promedio entre un tiempo fijo y otro tiempo que tiende a ese tiempo fijo. Si este límite existe, este es

definido como la velocidad instantánea en un tiempo t para la función

tsy .

Una tercera interpretación de la derivada es la tasa de cambio instantánea de una función en un punto. La derivada puede considerarse

como el límite de las tasas de cambio promedio entre un punto fijo y otro punto de la curva que se acerca más y más al punto fijo. Si este

límite existe, este puede ser definido como la tasa de cambio instantáneo en el punto fijo ))(,( xfx sobre la gráfica de )(xfy .

Ejemplo 2: Encontrar la velocidad instantánea de 2

1

tts en el tiempo

3t .



t

ttt

t

tstts

2

1

2

1

1

22

22

t

ttt

ttt

22

22

tttt

ttt

22

22

tttt

ttt

22

22

tttt

ttt

22

tttt

t

22

1

ttt

22

1lim

0

tttts

t

22

1

t , y sustituyendo el valor de t en ella nos resulta

25

1

5

1

2

13

22

ts

Por lo tanto, la velocidad instantánea de 2

1

tts para 3t es

25

1 . La

velocidad negativa indica que la partícula se esta moviendo en la

dirección negativa.

Varias notaciones diferentes se emplean para representar la derivada de

una función )(xfy con xf como la representación más común.

Algunas otras son y , dx

dy,

dx

df,

dx

xdf, fD

xx , y xfDx , y usted estará en

posibilidad de utilizar cualquiera de estas en problemas selectos.

la derivada



4.2. derivación de funciones.

Regla de los cuatro pasos de derivación.

Para realizar de una manera más óptima la determinación de la recta

tangente en un punto determinado, se efectúa mediante los siguientes

pasos:

1. Se adicionan los incrementos de ambas variables, efectuando las

operaciones que se indiquen.

2. A la expresión anterior se le resta la función inicial, para obtener

la razón de incremento únicamente.

3. Posteriormente a la diferencia se divide entre el incremento de x

dando en el primer término la condición de derivada.

4. Finalmente si aún quedaran términos de incremento en el segundo

término se determina el límite del incremento de x cuando tiende

a cero.

a)

52520

lim,,4

5252

,,3

52885552,.2

855285,.1

85)(

2

2222

222

2

xx

yxx

xpasoto

xxx

y

x

xxxx

x

ypasoer

xxxxxxxxxxxxyyypasodo

xxxxxxyyxxxxyypasoer

xxxfy



Derivación de funciones por la regla general: dadas las funciones

34 xy

4

4

4

34

344

3)(4

x

y

x

x

x

y

xy

xy

xxyy

xxyy

Hallar las coordenadas del vértice de la parábola 142 xxy usando el

hecho de que el vértice de su tangente es cero.

X Y

-8 97

-6 61

-4 37

-2 13

0 1

2 -3

4 1

6 13

8 33

1er. Paso

2do. Paso

3er. paso

-20

0

20

40

60

80

100

120

-10 -5 0 5 10

valo

res d

e y

valor de x

Parábola



Aplicando los conceptos de la regla de derivación, se obtiene:

42 420

lim P .4

42 42

P .3

42 112 P .2

114442;14 Paso .1

2

2222

222

xx

yxx

xasoto

xxx

y

x

xxxx

x

yasoer

xxxxyxxxxxyyyasodo

xxxxxxxyyxxxxyyer

Si la pendiente es igual a cero se resuelve la ecuación 2x - 4 = 0,

resultando que 22

4x

Posteriormente para encontrar el valor de la ordenada se substituye la

abscisa en la ecuación de la parábola

318412421422 xxy .

Vértice con coordenadas (2,-3)

Realice las siguientes derivadas por medio de la regla general:

1) y = 8 x – 5 sol. 8

2) s = t2 – 3 t + 6 sol. 2 t – 3

3) y = ax

a

sol.

2)( ax

a

4) 2

42

xy sol. x

5) x

xy

1 sol.

2

1

x

6) y = ( m + m x ) 2 sol. 2 m2 + 2 m2 x



7) 5 xy sol. 52

1

x

8) x

y2

sol. xx

1

9) 3 axy sol. 3 2)(3

1

ax

10) y = 2x ( a2 – x2 ) sol. 2 a2 – 6 x2

En la vida cotidiana las rectas tangentes a una curva u objeto podrán

observar de muy diferentes maneras, como son el punto de contacto de

la rueda de un automóvil, patineta.



El deslizamiento de un tobogán de Acuapolis, tiene la forma de un arco

de hipérbola de ecuación 2

8

xy como se puede apreciar en las figuras

siguientes:

Calcula la pendiente del tobogán a los 3, 4, 5 y 6 m de la vertical del

lanzamiento.

Solución: en primer lugar se obtiene la derivada de la expresión, siendo:

2

,

)2(

8

xy

Para x = 3 resulta 25

83

, my


84

, my


85

, my


86

, my

De acuerdo a los resultados de las pendientes, determina el ángulo de

inclinación para cada caso:



En base a los datos anteriores como explicarías la finalidad de este tipo

de diseño, en relación a la velocidad de desplazamiento.

Un cable de suspensión de un puente está sostenido por dos pilares

(soportes) que distan 250 pies. Se considera que tiene una forma

parabólica, con su punto más bajo de 50 pies por debajo de los puntos

de suspensión. Hallar el ángulo entre el cable y el pilar.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

1 2 3 4 5 6 7

alt

ura

despazamiento horizontal

Tobogan

250 pies

50 pies



Solución: se considera al punto más bajo como el origen del vértice de

la parábola V=(125,50) obteniéndose la ecuación de la parábola de

2 625

2xy . Posteriormente se determina la derivada

625

4x

dx

dy que

equivale a la pendiente.

En el punto del vértice (125 , 50 ), se substituye dando como resultado

,oo

´ó

20 51 90

:es requerido ángulo el tantolopor 40 38 es ángulo ely 0.8 625

500

625

)125(4

Determinar las ecuaciones de la tangente y la normal de la expresión:

3 x-3 1 x y , para los puntos:

A ( -1 , 0 )

B ( 2 , 3 )

C ( 3 , 0 )

Se obtiene el valor de la derivada 3 2

x-3 3

4x - 8

dx

dy

La pendiente m que será válida resulta de sustituir el valor del punto

3 2(-1)-3 3

4(-1) - 8

dx

dy3 2

2

Posteriormente se subtituyen los valores en la ecuación de la recta:

) x- x ( m ) y -y ( 11



El punto A ( -1 , 0 ) resulta,

)1( 4 y : tangentela deecuación

) (-1) - x ( 2

2 ) 0 -y (

3

3

x

Para la ecuación de la normal solo se substituye la pendiente inversa.

)1( 2

2 - y :normal la deecuación

) (-1) - x ( 2

2 ) 0 -y (

3

3

x

Realice para los dos puntos restantes el proceso anterior:

Para el punto B ( 2, 3 )

Para el punto C ( 3, 0 )

CONCEPTO DE VELOCIDAD

Suponiendo que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta de

manera horizontal de acuerdo a la ecuación del movimiento )(tfs

donde (s) es el desplazamiento (distancia originada) del objeto respecto

al origen, en el instante (t) . La función f se describe el movimiento,

que se conoce como función de posición del objeto. En el intervalo ( t =

a ) hasta ( t = a + h ) , el cambio de posición es )()( afhaf se

representa dicho proceso a continuación.

Posición a t posición a t

t = a t ( a + h )

S

f(a)

)()( afhaf

f(a+h)



La velocidad promedio = h

afhaf )()(

tiempo

entodesplazami que es la secante.

Cuando calculamos la velocidad promedio sobre lapsos haa , más y

más cortos. En otras palabras, hagamos que la (h) tienda a cero. Se

obtiene la derivada:

h

afhafaV

)()(

0h

límite)(

Dando el significado que la velocidad en el

instante t = a es igual a la pendiente de la recta tangente.

Ejemplo:

Se registraron las lecturas en °C cada hora a partir de la media noche,

en el mes de diciembre en el valle de Toluca. El tiempo ( x ) se mide en

horas a partir de la media noche. Como se muestra en la siguiente

tabla.

x(h)

t

(ºC) 0 6.5

1 6.1 2 5.6

3 4.9 4 4.2

5 4 6 4

7 4.8 8 6.1

9 8.3

10 10 11 12.1

12 14.3 13 16

14 17.3 15 18.2

16 18.8 17 17.6

18 16 19 14.1

20 11.5

GRAFICA DE TEMPERATURA

0

5

10

15

20

0 10 20 30

TIEMPO EN HORAS

TE

MP

ER

AT

UR

A E

N

ºC



21 10.2

22 9 23 7.9

24 7

a) Encuentre la razón promedio de cambio de la temperatura con

respecto al tiempo:

1. Desde el medio día hasta las 3 PM.

h. / Cº 3.13

9.3

x

T es

tiempoal respectocon ra temperatula de cambio de promediora`ón la teconsiguienPor

h 3 x es tiempode cambio el que en tanto 9.33.142.18)12()15(

Cº 18.2 hasta 14.3 desde cambia ra temperatuLa

TTT

Determina los siguientes intervalos tomando como ejemplo

el inciso anterior.

2. Desde el medio día hasta las 2 PM.

Sol. 1.5 ºC

3. desde el medio día hasta la 1 PM.

Sol. 1.7 ºC

b) Estime la razón instantánea de cambio a mediodía. Como se

observa en la gráfica de la tabla de valores. Se traza la tangente

en el punto P donde x = 12 y después de medir los lados del

triángulo ABC, estimamos que la pendiente de la recta es:

9.15.5

3.10

AC

BC

por lo tanto la razón instantánea de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, al medio día es alrededor de 1.9 ºC / h.

Se lanza una piedra hacia arriba, y la altura ( h ) expresa en metros ( m

), viene dada en una función con respecto al tiempo por h ( t ) = 2 + 20

t – 2 t2 , determina:

a) La ecuación de la velocidad ( v / t ).



b) La velocidad en que se lanzó la piedra.

c) En que instante la velocidad es nula.

d) A partir de que instante la velocidad es negativa.

Solución

a) De la expresión inicial

4t - 20 h(t )́ : resulta derivando, t2 - t 20 2 )( 2 th .

b)

c) Se substituye en la derivada, en el caso particular cuando

alcanza su máxima altura su velocidad es cero, igualando la

ecuación a dicho valor: seg. 5 4-

20- t de valor el despeja se 0 t 4 - 20

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15

AL

TU

RA

(m

)

TIEMPO TRASCURRIDO (seg)

GRÁFICA DEL TIRO VERTICAL

Al analizar el comportamiento del

movimiento, ya que parte del reposo, la

velocidad inicial es cero ( 0 ).



d) Considerando que se trata el mismo tiempo en subir y bajar. La

velocidad es negativa a la caída del cuerpo es decir para

tiempos mayores de 5 seg.

En un embarcadero parten dos barcos en diferentes direcciones el

primero de ellos con una velocidad de 30 Km. / h. En dirección al norte,

el segundo con dirección al este con una velocidad de 40 Km. / h.

Determine en que razón se van alejando.

La representación grafica nos ayuda a tener una visión may clara del

problema:

Como se observa se tendrá que determinar con el teorema de Pitágoras,

siendo:

502500)40()30( 2222 END Km. / h.

N

E

D



Ejercicios:

1. Dada la parábola de ecuación, halla el punto P donde la

tangente es paralela al eje de abscisas.

2. Determine la ecuación de la tangente de la función

) 5 , 2 ( T punto elen 33 xy

3. Determine la ecuación de la tangente, normal, de la

ecuación

y = x3 + 3 x2 – 5 x + 3 en el punto ( 1, 2 )

4. determine en que punto de la curva xxxy 242 la

recta tangente es paralela a la bisectriz del primer

cuadrante.


) 2 , (5 M punto elen 5

x

xy

6. Calcula los valores de a para que las tangentes a la curva

187223 xxaaxy en los puntos de abscisas x = 1 y x

= 2 sean paralelas.



7. Calcula la recta tangente a la hipérbola x y = 1 en el

punto de abscisa x = 3


) 2

1 , (2 S punto elen

1

xy

9. Se da la curva de ecuación x

y1

.Comprueba que el

segmento de la tangente a dicha curva en el punto ( 3 ,

3

1), comprendido entre los ejes de coordenadas, esta

dividido en dos partes iguales por el punto de contacto.

Soluciones:

1.- la derivada es y´= 2 x – 8, si la tangente es paralela al eje de las abscisas será 0 , igualando 2x – 8 = 0 donde x = 4 y el punto es ( 4, -4

).

2. m = 3x2 m = 12 Ecuación (y – 5 ) = 12 ( x – 2 ) , y = 12 x - 19

3. La ecuación de la Tangente es 4 x – y – 2 = 0 La ecuación de la Normal es: x + 4 y – 9 = 0

4. x = 0 , x = 1 / 2

5. m = 5 / x2 = -1 / 5 Ecuación. De la tangente. 5 y + x = 15

6. a = 0 y a = -30 / 4

7. x – 9 y -3 = 0

8. m = -1/4 4y + x = 4

9. m = - 1 / 9 , x + 9 y – 6 = 0



4.3. fórmulas de derivación.

reglas de diferenciación

Nos podemos provee de muchas reglas de diferenciación para emplear la definición de límite en la derivada y ser también usadas para

encontrar las derivadas de funciones específicas y eliminar la necesidad de utilizar la definición formal para todas las aplicaciones de la derivada,

algunas de las formulas más comunes se listan aquí:

Si cxf )( , donde c es una constante, luego 0 xf .

Si xgcxf )( , luego xgcxf .

Regla de la suma: Si xhxgxf )( , luego xhxgxf .

Regla de la resta: Si xhxgxf )( , luego xhxgxf .

Regla del producto: Si xhxgxf )( , luego xgxhxhxgxf .

Regla del cociente: Si xh

xgxf )( y 0xh , luego

2)(

xh

xhxgxgxhxf

Regla de la potencia: Si nxxf )( , luego 1 nnxxf .

Ejemplo 3: Encontrar xf si 956 23 xxxf .

xxxxxf 101805263 212

Ejemplo 4: Encontrar y si 53243 2 xxxy .

3218

15961216912

35323443

2

22

2

xx

xxxxx

xxxxy

Ejemplo 5: Encontrar dx

dy si

32

53

x

xy .



2

2

2

32

19

32

10696

32

253332

x

x

xx

x

xx

dx

dy

Ejemplo 6: Encontrar xf si 3

5 1

xxxxf .

Como 32

1

5 xxxxf

4

4

42

1

4

3

2

15

32

15

xxx

xxxxf

Ejemplo 7: Encontrar 3f si 382 xxxf .

2

8323

82

f

xxf

Ejemplo 8: Si 2

4

xy , encontrar y para 1,2 .

2

2

2

4

2

4120

x

x

xy

para 1,2 4

1

16

4

22

42

y

Ejemplo 9: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva

2312 xy en el punto 9,1 .

Dado que la pendiente de la recta tangente a la curva es la derivada,

entonces xy 6 ; por lo que, para 9,1 , 16 y , por lo que la recta

tangente presenta una pendiente de 6 en el punto 9,1 .



diferenciación de las funciones trigonométricas

Las seis funciones trigonométricas también tienen fórmulas de

diferenciación que pueden usarse en problemas de aplicación de la derivada. Las reglas se resumen como sigue:

1. Si xsenxf )( , luego xxf cos)(́ .

2. Si xxf cos)( , luego xsenxf )(́ .

3. Si xxf tan)( , luego xxf 2sec)(́ .

4. Si xxf cot)( , luego 2csc)(́ xf .

5. Si xxf sec)( , luego xxxf tansec)(́ .

6. Si xxf csc)( , luego xxxf cotcsc)(́ .

Note que las reglas (3) a (6) pueden demostrarse usando la regla del cociente junto con la función dada expresada en términos de las

funciones seno y coseno, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 10: Use la definición de la función tangente y la regla del

cociente para demostrar si xxf tan)( , luego xxf 2sec)(́ .

xxx

x

x

xsenxsenxxxf

xxf

2

22

22

2

sec cos

1

cos

senxcos

cos

coscos

x cos

xsen tan

Ejemplo 11: Encontrar ý si xxy cot3 .

xxxx

xxxxy

232

232

csccot3

csccot3

Ejemplo 12: Encontrar

4

f si xxsenxf cos5 .



22 2

24

2

2

2

25

2

2

2

25

44cos5

4

cos50cos5

cos5

senf

xsenxxsenxsenxxf

xxsenxf

Ejemplo 13: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva

xseny en el punto

1,

2

.

Porque la pendiente de la recta tangente a la curva es la derivada, usted

encuentra que xy cos ; luego, en

1,

2

, 0

2cos

y y la recta

tangente tiene la pendiente 0 en el punto

1,

2

. Note que la

interpretación geométrica de este resultado es que la recta tangente es horizontal en este punto de la gráfica de xseny .

Funciones Exponencial y logarítmica.

Ida y Vuelta

Analicemos las siguientes situaciones:

Al parce una persona ante un espejo, ¿Qué se espera que suceda ¿

Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba ¿ Qué se espera que

suceda ¿

Al hacer un prestamo en dinero a un amigo ¿ Qué se espera que suceda

Al jugar un partido de tenis y lanzar la pelota al adversario ¿ Qué se

espera que suceda.

Cuando dos funciones son inversas, sucede algo similar, a las

actividades anteriores, si ésta cumplen con siertas condiciones:



La funciòn “g” se llama función inversa de la función “f” y se denota por

1f , como vemos la función “g” invierte la correspondencia dada por la

función “f”, esto siempre y cuando “f “ séa una función uno a uno

(biunívoca) .

Recordemos tambien que si una función continua es siempre creciente o

siempre decreciente, indica que tiene función inversa.

Una función expònencial está definida por y = xe , en base ala definición

de logaritmo natural se transforma en x = ln y . las funciones xe y ln y

tiene el comportamiento de funciones inversas, si permutamos “x” y “y”

de la ecuación x = ln y resulta y = ln x , que se define como función

logaritmica.

Gráficamente las funciones exponencial f(x) = xe y logaritmica G(x) = ln

x = 1f quedan de la siguiente forma:

Dominio Dominio

X X

Rango Rango

Y Y

Y = f (x) x = G (y)

Y es la imagen de x bajo la x es la imagen de Y bajo la función

Funciòn f g

GRAFICA EXPONENCIAL

0

50

100

150

200

0 5 10

VALOR DE X

EX

PO

NE

NC

IAL

GRÁFICA LOGARITMICA

0

2

4

6

0 100 200

VALOR DE X

VA

LO

R

LO

GA

RIT

MIC

O



Análogamente si la función exponencial tiene como base a = 10 en lugar

de “e” , basandose en la definicón de logaritmo comun, se transforma

en x = log y . las funciones a x y log y , tienen el comportamiento de

funciones inversas y si permutamos “ x “ y “ y _” de la ecuación x = log

“ y “ , resilta y = log x , que se define como una función logarítmica su

gràfica es identica a la anterior haciendo notar que en lugar de f(x) = ex

queda f(x) = ax y en lugar de g(x) = ln x queda g(x) = log x = f-1 (x)

FORMULAS DE DERIVACION PARA FUNCIONES LOGARITMICAS Y

EXPONENCIALES.

Partiendo de la formula para derivar la funcion ln V , deduciremos las

demas formulas :

¨

dx

dvLnaa

y

a

vDespejando

dx

eentoncesComo

dx

xdxvsi

dx

dv

vv

dx

dv

dx

vd

v

dx

)d(a derivada la seobteniendo aLn a

dv

dy la ,a y como

a,Ln dv

dy aLn

dv

dy )

y

1( : va respectocon miembros ambos deriva

aLn vy Ln ;a y Ln :miemros ambos de logaritmos tomando,y Si .6

x

e log d : entonces x vSi .5

dx

dv

v

e log

dx

vlogd entonces : log.4

dx

dv

v

1

log

vlogd

:e log

vlogln .3

x

1

)(ln; .2.

1ln.1

vvv

vv

7. aLnadx

Si x )d(a

x, vx



8. dx

dve

dxSi x

)d(e 1 eLn y e, a

x

9. xx

edx

ed

)(

DERIVA LAS SIGUIENTE SFUNCIONES:

)1( .1 2xLnY solución : 2

2

2

2

1

2)1(

1

1))1(ln(

x

x

dx

xd

xdx

x

dx

dy

2.-

bxdx

dy

dx

bxd

bxLny

3

6

)3(

3

12

dx

b))1d(2Ln(3x

dx

)b)d(Ln(3x

dx

dy : ,solución ) b (3x

22

3.-

2

)2(

2

1

dx

))2d(Ln(ax

dx

dy : ,solución ) 2(ax

ax

a

dx

dy

dx

axd

axLny

4. x

n

x

nx

dx

dy

dx

xdLny

n

nn

n

2

2)2(

2

1

dx

))d(Ln(2x

dx

dy : ,solución ) (2x

1nn

5. xxx eeey 222x

2 2)2(dx

)d(e

dx

dy : ,solución

6. 77)(77dx

)d(7

dx

dy ,solución 7

nx

LnnnLny nxnxnx

7. x

x

x

xx

x e

e

e

eee

ey

22

x 33)0(

dx

)3

d(

dx

dy ,solución

3

8. 222

2)2(e dx

dy ,solución x xx xexey



9.- tetedx

edey tsensen

tsentsen 3cos3))3(3(cos

)(

dx

dy ,solución 337

33

10. xexedx

ey xsenxsenxsen 2cos2)2)(2(cos)d(e

dx

dy ,solución 22

sen2x2

HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES.

1. a

axLny2

,2

x

2x y sol. )(

2. aLnay x a6x y sol. 22 3x,3

3. 2222 c, e2bx y sol. xxcbey

4. xe- y sol. xcos,cos seney x

5. 12x

2-2x y sol. )12(

2

,2

xxxLny

6. 44x

42x y sol. )44(

2

,2

xxxLny

7. x tg2 y sol. x sec ,2 Lny

8. x)(1x

e log y sol.

1

2 log ,

x

xy

9. 2

xarctg, x

x1

aLn a y sol.

arctgay

10. x

xxy2x

e 2)log-(2x y sol. )2( log

2

,2



Analizando la tabla 1 y la gráfica 1, vemos que los valores de “x” crecen

y los valores de “y” también crecen, por lo tanto la función y = x es

CRECIENTE.

En el caso de la tabla 2 y la gráfica 1; vemos que los valores de “x”

crecen y los valores de “y” decrecen, por lo tanto la función y = -x es

DECRECIENTE.

En ambos casos si se amplia el intervalo, las dos funciones siguen

siendo CRECIENTE y DECRECIENTE, respectivamente.

FUNCIÓN CRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de “x” crecen y

los valores de “y” también crecen.

FUNCIÓN DECRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de “x”

Ahora analizaremos un intervalo creciente de la función y = x².

y

y = x²

(+) Δy

x

Δx (+)

GRAFICA 3

Sabemos que si “x” crece, “y” crece y los incrementos al pasar del punto

A al punto B, (Δx y Δy) tendrán el mismo signo y las tangentes por



dichos puntos (A y B) forman ángulos agudos con el eje “x”, por lo tanto

la pendiente de las tangentes es positiva (gráfica 3).

y

(-) Δy

x

Δx (+)

GRAFICA 4

De la misma manera en un intervalo decreciente, sabemos que si “x”

crece, “y” decrece y los incrementos Δx y Δy al pasar de un punto A a

un punto B tendrán signos opuestos y las tangentes por dichos puntos,

forman ángulos obtusos con el eje “x”, por lo tanto su pendiente es

negativa. (grafica 4)

De aquí podemos afirmar que:

Una función es CRECIENTE en un punto dado, si el valor de su primera

derivada es POSITIVO.

Una función es DECRECIENTE en un punto dado, si el valor de la

primera derivada es NEGATIVO.

Regresemos a las funciones y = x² y y = -x² y sustituyamos valores de

“x” donde sabemos de antemano que la función es CRECIENTE o

DECRECIENTE como x = -1 y x = 1

Sea la función:

y = x² y = -x²



y’ = 2x y’ = -2x

para para

y’ = 2 (-1) y’ = -2 (-1)

y’ = -2 y’ = +2

y’ es negativa y’ es positiva

∴ y = x² es decreciente ∴ y = -x² es

creciente

en en

para para

y’ = 2 (1) y’ =-2 (1)

y’ = 2 y’ = -2

y’ es positiva y’ es

negativa

∴ y = x² es creciente ∴ y = -x² es

decreciente

para para

En general:

Una función es creciente en un intervalo, si para cualquier par de

números x₁, x₂ del intervalo, x₁< x₂, implica ƒ(x₁) < ƒ (x₂).

Una función es decreciente en un intervalo, si para cualquier par de

números x₁, x₂ del intervalo, x₁ < x₂ implica ƒ (x₁) > ƒ (x₂).

x = -1 x = -1

x = -1 x = -1

x = 1 x = 1

x = 1 x = 1



4.4. derivadas sucesivas.

MÁXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS.

¡MAS ALTO, MAS BAJO!

Algunas de las aplicaciones más importantes e interesantes del cálculo

diferencial son aquellos problemas en los que se busca la optimización

de las soluciones obtenidas, esto llena inherente los máximos y

mínimos, porque al optimizar un resultado, es en algunos casos

maximizar y en otros minimizar, por ejemplo en el procesamiento de un

producto en una fábrica lo interesante es maximizar la producción o

minimizar costos, o tiempos, o desperdicios del producto. Con este

criterio, en muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de

los datos, la expresión matemática de la función cuyos valores máximos

o mínimos se desean conocer.

Un fabricante de camisas desea construir una caja abierta del mayor

volumen posible para empacar su producto, dispone de hojas de cartón

cuadradas de lado “a”.

Tu ¿qué harías para resolver el problema?

¿Cuántas cajas podrías construir con una hoja de cartón cuadrada de

lado “a”?

¿Si tienes diversas opciones, como obtendrías la de volumen máximo?

De esa hoja de cartón ¿cuál será el desperdicio al lograr el volumen

máximo?

El desperdicio ¿podría ser nulo?

Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso, los

márgenes superiores e inferiores deben tener 2 cm cada uno y los

laterales 1 cm. Se piden las dimensiones de la hoja, para que el gasto

de papel sea mínimo.



¿Qué propones para resolver este problema?

¿Cuál es la información de la que dispones?

¿Se puede establecer una función que nos de la solución?

Problemas como los dos anteriores, que se resolverán más adelante,

consisten en obtener el máximo o el mínimo; en el primero se desea el

volumen máximo, en el segundo, que el gasto de papel sea mínimo.

Como este existen gran variedad de problemas en los que se buscan

maximizar o minimizar ár3eas, volúmenes, tiempos, costos, gastos,

material, velocidades, etc.

En este capitulo aprenderás cómo calcular el máximo o el mínimo de

una función y en el siguiente resolverás problemas de aplicación como

los dos planteados al inicio.

Aplicando la derivada de una función, determinamos los intervalos en

que la función es creciente o decreciente, ahora la utilizaremos para

analizar los puntos en que la función para de creciente a decreciente o

viceversa, generando los puntos máximos o mínimos de una función.

Un máximo y un mínimo, no significa que sean el mayor o el menor

valor de la función, por eso se especifica qué son máximos y mínimos

locales o también máximos y mínimos relativos y no deben confundirse

con los puntos cuya ordenada es la mayor o la menor de la gráfica

completa.

Los valores de “x” donde existe un máximo o un mínimo relativo de la

función, se les define como valores críticos y a los puntos

correspondientes se les define como puntos críticos.



Para que exista un máximo relativo la función pasa de creciente a

decreciente, es decir la derivada pasa de un valor positivo a un valor

negativo.

En un mínimo relativo, la función pasa de decreciente a creciente; la

derivada pasa de un valor negativo a un valor positivo: (GRAFICA 1)

y MAXIMO

ABSOLUTO

MAXIMO

RELATIVO

m = 0

m (+) m (-)

a c

x

b 0

d m (-) m

(+) mínimo m = 0

absoluto mínimo relativo

GRAFICA 1

Sea la función y = 2x³ – 9x² + 12x –3, analiza si tiene máximos y/o mínimos.

¿Qué vas a hacer?

¿Conoces su derivada?

¿Conoces sus puntos críticos?

¿Sabes si es creciente o decreciente? ¿En qué intervalos?

Si hay un máximo, ¿en qué punto se localiza?

¿Conoces su gráfica?

La gráfica de la función ¿te ayudaría a resolver el problema?



¿Conoces algún procedimiento para resolver el problema?

Con los conocimientos previos, escribe un plan de solución para tu

problema, ordenándolos según prioridades.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:

① Se obtiene la primera derivada de la función.

② La primera derivada se iguala a cero y se calculan las raíces reales

de la ecuación resultante, que son los valores críticos de la ecuación.

③ Se obtiene la segunda derivada de la función.

④ Se sustituye en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada

uno de los valores críticos obtenidos; si el valor resultante es positivo,

la función tiene un mínimo para el valor crítico considerado; si el

resultado es negativo, la función tiene un máximo para el valor crítico

considerado, si el valor de la segunda derivada es cero, no podemos

decir si habrá máximo o mínimo o posiblemente ni uno ni otro.

El procedimiento de la segunda derivada, no es aplicable, si la segunda

derivada es igual a CERO o no existe, en tal caso se aplica el

procedimiento de la primera derivada.

Para comprobar los ejemplos desarrollados con el criterio de la primera

derivada, ahora los resolveremos con el criterio de la segunda derivada,

haciendo notar que los pasos ① y ② de ambos criterios son iguales.



Sea la función y = 2x³ - 9x² + 12x – 3, obtener sus máximos y los

mínimos, aplicando el criterio de la segunda derivada.

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION

PLATOS, ANTENAS PARABÓLICAS, FAROS DE LUZ

Hasta este punto hemos manejado términos como creciente,

decreciente, máximo, mínimo, crítico; que desde el punto de vista

matemático hemos definido. Los términos concavidad e inflexión,

presentan ahora y vamos a ver cómo se definen de acuerdo a un

diccionario y compararlos con su definición matemática.

1) De un diccionario obtén la definición de las siguientes palabras:

Creciente:

Decreciente:

Máximo:

Mínimo:

Crítico:

Concavidad:

Inflexión:

2) Busca en un diccionario de sinónimos y antónimos las siguientes

palabras:

Creciente:

Decreciente:

Máximo:

Mínimo:

Crítico:

Concavidad:

Inflexión:



Deduce conclusiones de las actividades 1) y 2) y coméntalas con tus

compañeros.

Dada una curva definida por y = f (x) (gráfica)

Y C

A

B

X

Sabemos que en el punto A la pendiente de la tangente es m = 0, la

pendiente de la tangente a la izquierda de A es positiva y a la derecha

es negativa, por lo tanto la curva en el punto A es cóncava hacia abajo

En el punto B, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la

tangente a la izquierda de A es negativa y a la derecha es positiva, por

lo tanto la curva en el punto B es cóncava hacia arriba + .

En el punto C, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la

tangente a la izquierda es positiva y a la derecha también es positiva, es

decir no cambia de signo, sólo cambia el sentido de concavidad, por lo

tanto no existe ni máximo, mínimo, a este punto se le define como

PUNTO DE INFLEXIÓN.

Para calcular el sentido de concavidad de una función sigamos el

proceso de la segunda derivada:

1) Calcular la primera y segunda derivada de la función.



2) Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (puntos

críticos) de la ecuación resultante.

3) Analizamos la segunda derivada; si para un valor menor que la

raíz obtenemos un resultado NEGATIVO la curva es CÓNCAVA

HACIA ABAJO

- . Si el resultado es POSITIVO, la curva es CÓNCAVA

HACIA

ARRIBA.

Dicho de otra manera:

Si f” (x) > 0, es condición para que una curva sea CÓNCAVA HACIA

ARRIBA +

Si f” (x) < 0; es condición para que una curva sea CÓNCAVA HACIA

ABAJO

Para determinar los puntos de inflexión de una CURVA se sigue el mismo

proceso anterior, sólo que el punto tres tiene una variación:

1) Calcular la primera y segunda derivada de la función.

2) Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (punto

crítico) de la ecuación resultante.

3) Analizamos la segunda derivada. Si para un valor menor que la

raíz y para otro valor mayor que la raíz cambia de signo al

sustituir los valores en la segunda derivada, entonces hay punto

de inflexión en el punto crítico analizado.



4.5. comportamiento de la derivada.

APRENDIZAJE DE CONCEPTOS Y APLICACIÓNES DE LA DERIVADA

En esta unidad hablaremos de la primera derivada para analizar el

comportamiento de familias de funciones.

Se determinará a partir de los puntos críticos, los máximos y mínimos

de una función, aplicando el método de la primera y segunda derivada y

con ellos revolveremos problemas del campo de optimización.

USO DE LA PRIMERA DERIVADA.

¿Porque es útil saber donde una función es creciente o decreciente?

Cuando se grafica una función en una computadora o calculadora de

gráficas, sólo se observa parte de la figura. En cambio la derivada,

puede muchas veces dirigir nuestra atención a características

importantes de la gráfica ya que con ella podemos trazar la grafica de

una forma mas completa.

PUNTOS CRITICOS.

Para cualquier función f, un punto p en el dominio de f en donde f ‘(x)=

0 ó f ‘(x) no está definida se llama punto crítico de la función. Además,

el Punto (x, f(x)) en la gráfica de f también se llama punto crítico. Un

valor crítico de f es el valor f(x) de la función en un punto crítico p.

¿QUÉ INDICAN LOS PUNTOS CRITICOS?

Geométricamente, en un punto crítico donde f ‘(x) = 0, la recta

tangente a la gráfica de f en x es horizontal. En un punto crítico donde f

‘ (x) no está definido, no hay tangente horizontal a la gráfica, es decir, ó

la tangente es vertical ó no existe en absoluto.



Una función puede tener cualquier número de puntos críticos o ninguno

(ver figuras)

Los puntos

donde f ‘ (x) = 0 ( ó donde no está definida) dividen el dominio de f en

intervalos en los que el signo de la derivada permanece igual, ya sea

positivo o negativo. Por lo tanto, entre dos puntos críticos sucesivos la

gráfica de una función no puede cambiar de dirección; ó sube ó baja.

MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES.

¿Qué le pasa a una función cerca del punto crítico donde f ‘(x) = 0? Si f’

tiene signos diferentes en cualquier lado de p entonces la gráfica cambia

de dirección.

¿CÓMO SABER CUALES PUNTOS CRITICOS SON MAXIMOS Y MINIMOS

LOCALES?



Prueba de la primera derivada para máximos y mínimos locales:

Si p es un punto crítico en el dominio de f, y si f ‘ , cambia signo en

un entorno de p, entonces f tiene ya sea un mínimo local o un

máximo local en p.

Si f ‘ es negativa a la izquierda de p y positiva a la

derecha de p, entonces f tiene un mínimo local en p.

Si f ‘ es positiva a la izquierda de p y negativa a la

derecha de p, entonces f tiene un máximo local en p.

EJEMPLO 1: Construcción de una caja de máximo volumen

No olvides los pasos a seguir :

1. Lee el problema hasta comprender lo que se pide.

2. Realiza el dibujo.

3. Construye el modelo.

4. Calcula máximos y mínimos.

Y analizar las siguientes cuestiones:

a) ¿ Qué es lo que te pide el problema?



b) ¿Cuáles son las dimensiones de largo, ancho y alto de la caja?(

puedes utilizar incógnitas)

c) ¿Cuál es la ecuación de la que se va a obtener el máximo ó

mínimo?

d) Deriva la función del inciso anterior. ¿Cuáles son los puntos

críticos?

e) De acuerdo a los puntos críticos qué valor corresponde al

máximo (de ser necesario utiliza el criterio de la segunda

derivada).

PONIENDO EN PRACTICA LOS CONOCIMIENTOS

Usa los conceptos matemáticos aprendidos para efectuar una o todas las

actividades siguientes:

Diseño de una caja de cartón de máximo volumen sin tapa.

Cartulina de 20 cm. X 20 cm.

Tijeras

Regla

Escuadras

Calculadora

Hojas cuadriculadas o equipo de dibujo

Cinta adhesiva (masking- tape)

En esta actividad, examinamos la variación de

volumen que se tiene al construir varias cajas, a

pesar de que se cuente con el mismo tamaño del

material. Hacemos una determinada cantidad de

cajas de distintos tamaños. Después,

determinamos el volumen de cada caja.

Materiales :

ENUNCIADO DEL PROBLEMA



a) Tomando la cartulina de 20 cm. X 20 cm.

Recorta cuadros en las esquinas como se

muestra en la siguiente figura; después de que

tu profesor asigne las medidas de “x” a cada

equipo.

b) Las medidas de “x” para los seis equipos

distintos, asignando una medida a cada equipo

son: 2.5 cm., 2.8 cm., 3 cm., 3.3 cm., 3.5

cm., y 3.8 cm.

c) Haga los dobleces necesarios para formar la

caja como lo muestra la siguiente figura:

d) Cada equipo que tome los siguientes datos de

las distintas cajas y que realice las operaciones

pertinentes en su calculadora.

PROCEDIMIENTO :

AREA VOL.

EQUIPO L A h L X A AREA X h

1

2

3

4

5

6

A

L

h



a) Determina el área de la base como lo indica la

tabla en la columna 5 y anótalo.

b) Determina el volumen del paralelepípedo

como lo indica la columna 6 de la tabla y

anótalo.

c) ¿Cómo se comparan los datos de tu grupo con

los datos obtenidos por los otros

grupos?(compara las áreas y volúmenes con

la de los otros).

d) Deriva la función del volumen

V = x (20 – 2x)2

e) Iguala dx

dv con cero

f) Obtén el valor de “x” en dx

dv = 0

g) ¿Qué valor de “x” en la tabla se aproxima más

con la “x” determinada en el inciso (f)?

Coméntalo con tu grupo.

h) Comenta con tus compañeros qué método

ocuparías si te asignan un trabajo similar al

de la práctica.

i) Al estar trabajando en una empresa que se

dedique al diseño de envases ¿Crees que te

permitirían desperdiciar material?

j) ¿Qué dimensiones tiene la caja de máximo

volumen?

k) El valor que se debe aproximar más, es el de

la caja de x = 3.3 cm., puede pedir a los

alumnos que verifiquen experimentalmente

los volúmenes, reforzando las cajas con tela

CALCULOS :



adhesiva para que no se deforme y midiendo

el agua antes de llenar las cajas.

l) Los métodos que hay son con: aritmética,

álgebra, gráficamente y con cálculo

diferencial, posiblemente se inclinen por el

método de cálculo diferencial, debido a que se

pierde menos tiempo y no se desperdicia

material como en el ensayo de prueba y error.

m) En una empresa y en nuestra vida

cotidiana, a nadie le gusta desperdiciar,

incluso ni en experimentos.

n) Altura = 33

1 cm 3.3 cm.

Largo = ancho = 13 3

1 cm. 13.3 cm.

EJEMPLO 2 . Altura máxima alcanzada por una toronja

Una toronja es lanzada en línea recta hacia arriba a una velocidad inicial

de 100 pies/seg. Su altura en el tiempo t está dada por y = -16 t 2 +

100 t + 6 ¿A qué altura llega antes de regresar al suelo?. Si desea

llevar al máximo la altura de la toronja sobre el suelo. Ya sabes que

usando la derivada se puede encontrar exactamente cuándo la toronja

está en su punto más alto. Por sentido común, en la parte más alta la

velocidad dt

dy debe ser cero. Alternativamente se busca un máximo, así

que se tratan de encontrar puntos críticos donde y’ = 0. Se tiene:



y = -16 t 2 + 100 t + 6

dt

dy = -32t + 100 = 0

y así t = 32

100 = 3.125 seg.

Por lo tanto, se obtiene el tiempo en el que la altura es máxima; el

valor máximo de y es entonces:

y = -16 (3.125) 2 + 100 (3.125) + 6 = 162.25 pies

¿Será necesario comprobar analíticamente que en el punto crítico hay

un máximo?

OPTIMIZACION

Dado que el mundo está lleno de problemas, tanto en la industria, la

ingeniería, el comercio y cualquier otra área que requiera de poder

calcular aquellos valores que les permitan determinar ganancias

máximas o mínimos costos, menor cantidad de material para máximos

volúmenes etc., es en donde se vuelven importantes los procesos de

LANZAMIENTO DE UNA TORONJA

0

50

100

150

200

0 2 4 6 8

TIEMPO

AL

TU

RA

Altura máxima



optimización y donde el calculo diferencial toma un papel relevante en la

determinación de estos valores a partir de uno de sus conceptos mas

importante que es el de la derivada en la obtención de máximos y

mínimos a partir de una función.

Pasos a seguir para resolver problemas de optimización:

Lee el problema hasta comprender lo que se pide.

Realiza uno ó varios dibujos de la situación que muestre como se

relacionan los elementos que varían.

Construye el modelo (ecuación) de la situación del problema,

para lo cual consideras lo que se desea que sea máximo o

mínimo, como pueden ser áreas, volúmenes, costos,

dimensiones, etc. y exprésalo en términos de una sola variable,

utilizando los datos proporcionados.

Calcula los máximos y mínimos por el método que desees y

resuelve el problema.

EJEMPLO 1: Determinación de las dimensiones de una lata.

¿Cuáles son las dimensiones de una lata de aluminio con capacidad de

64 cm3 de jugo, que utilice el mínimo de material (es decir, aluminio)?.

La lata es cilíndrica y con tapa en ambos extremos.

Este problema lo puedes resolver por medio de ensayo y error, pero

otra manera de resolverlo es utilizando máximos y mínimos. Para

realizar esto, es necesario elaborar un modelo matemático de la

cantidad de material a usar (área de aluminio)

Elaborando un dibujo de la situación, para calcular el área de aluminio

se descompone la lata, considerando las tapas y el cuerpo del cilindro.



El área de cada tapa es r 2 y la del cuerpo del cilindro es 2 r h

construyendo el modelo (ecuación).

A TOTAL = área de las tapas + área cilindro

A TOTAL = 2 r 2 + 2 r h

Dado que la ecuación está en términos de dos variables h (altura), r

(radio) es necesario expresarla en términos de una sola variable, para lo

cual es necesario recurrir al volumen dado del cilindro

V CILINDRO = r 2 h

Como conocemos que V = 64 cm 3 sustituyendo en ecuación anterior:

64 = r 2 h

Despejamos la h (altura) resultando:

h = 2r

64

Sustituyendo en A TOTAL queda:

A TOTAL = 2 r 2 + 2 r

2r

64

Simplificando términos

A = 2 r h

A = r2

A = r2



A TOTAL = 2 r 2 + r

128

Calculando d A TOTAL obtenemos:

d r

d A TOTAL = 4 R – 128

d r r 2

Utilizando el criterio de la segunda derivada para obtener máximos y mínimos:

Igualando la derivada a cero se obtienen los valores críticos:

4 r – 128 = 0

r 2

Despejando r:

r 3 = 4

128

3

4

128r

r = 2.16cm.

Calculando la segunda derivada

A’’ TOTAL = 4 + 2r

256

Sustituyendo valor crítico r = 2.16 cm.

A’’ TOTAL = 37.96

Como el signo de la segunda derivada es positivo el valor crítico es el

mínimo.

Cómo r = 2.16 cm. Sustituyendo en h =64/ (2.16) 2

h = 4.36 cm.



Por lo tanto las dimensiones de la lata para tener la cantidad mínima de

material son:

r = 2.16 cm. y h = 4.36 cm.

EJEMPLO 2: Un problema económico

Una fabrica contrata a una empresa de autobuses para el traslado de

sus trabajadores, convienen en pagar $120.00 por trabajador, si hay un

mínimo de 50 personas y se comprometen a disminuir $1.00 por cada

persona que exceda de 50. ¿Cuál es el numero de trabajadores que

proporcionara el máximo ingreso a la empresa del transporte?

1. Si analizamos el enunciado del problema observaremos que por cada

unidad que se aumente a 50 que es el numero de trabajadores mínimo,

se reducirá en $1.00 el costo del transporte por lo tanto la formula para

calcular el Ingreso de la empresa seria:

I = (50 + x) (120 – x)

La cual representaría a nuestra función de ingreso

2. Aplicando la formula para derivar un producto y determinar los

valores críticos tenemos:

I = (50 + x) (120 – x)

I ‘ = (1) (120 – x) + (50 + x) ( -1)

I ‘ = 120 – x – 50 – x

I ‘ = -2x + 70

Igualando la derivada a cero y despejando la variable para obtener el

valor critico tenemos:

-2x + 70 = 0

2

70

x



x = 35 (valor critico que representa un máximo)

3. Sustituyendo en la formula del ingreso tendríamos:

I = (50 + 35) (120 – 35)

I = (85) (85)

I = $7,225.00

Por lo tanto el numero máximo de trabajadores para que las ganancias

sean máximas es de: 85

Para reforzar lo aprendido se te recomienda resolver los problemas que

a continuación se plantean, verifica tus resultados con la respuesta

incluida en cada uno de ellos.

1. Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso, los

márgenes superior e inferior deben ser de 2cm cada uno y el

izquierdo y derecho de 1cm. ¿Cuáles serán las dimensiones de la

hoja para las que el gasto de papel sea mínimo?.

Sustituyendo en la derivada con valores

menores y mayores tenemos:

Con un valor menor (34):

-2(34) + 70 = 2 -------- f ’(34) = +

Con un valor mayor (36):

-2(36) + 70 = - 2 ------ f ’(36) = -

34 36 35

f ’(34) =

+ f ’(36) = -



R.- Ancho = 5

Largo = 10

2. Un propietario puede rentar sus 40 apartamentos a $5,000.00

mensuales cada uno, el dueño de los apartamentos observa que por

cada $250.00 de aumento en la renta, se renta un apartamento

menos. ¿Qué renta debe cobrar y cuantos apartamentos debe rentar

para obtener máximas ganancias?

R.- Debe rentar 30 apartamentos a un costo de $7,500.00 cada uno

para obtener máximas ganancias.

3. Dada una lamina rectangular de longitudes 2 y 1 m,

respectivamente, calcula las dimensiones de la caja abierta que se

puede formar con ella cortando en las cuatro esquinas un cuadro

para que el volumen sea máximo.

R.- 6

33

4. Una bala disparada verticalmente hacia arriba alcanza, al cabo de t

segundos la altura h = 500t – 5t2 metros. ¿Cuál será la altura

máxima que pueda alcanzar?

R.- 12,500 mts

5. Un fabricante español de televisores observa que puede vender 50

televisores a 20,000.00 pts. cada uno y que por cada aparato que

fabrique de mas el precio bajara 300.00 pts. ¿Cuántos televisores

debe fabricar para obtener el máximo ingreso?

R.- x = 8.3 8, Televisores = 58



6. El costo de combustible que consume una locomotora es

proporcional al cuadrado de la velocidad y tiene un costo de

1,600.00 pts. por hora cuando la velocidad es de 40 km/h.

Independientemente de la velocidad el costo por hora se incrementa

por diferentes causas en 3,600.00 pts. por hora. Calcular la

velocidad a la que debe ir la locomotora para que el costo por

kilómetro sea mínimo.

R.- V = 60 km/h

7. Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa de 6400cm3

para que resulte más económica, teniendo en cuenta que el precio

del costo de la base es de $75.00 y el de las superficies laterales de

$25.00 por cm2.

R.- Dimensiones = 20 x 22 x 16

8. Hallar dos números cuya suma sea 120 y que el producto de uno de

ellos por el cuadrado del otro sea máximo

R.- n1 = 80 n2 = 40

9. En una pared rectangular de 18m2 de un museo, se quiere realizar

una pintura rectangular que diste del techo y del piso .75m y de las

paredes izquierda y derecha .5m ¿cuáles son las medidas de la pared

para que el área de la pintura sea máxima?

R.- mx 321 mx 33

2

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Cálculo Diferencial ACastilloN