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(Cálculo diferencial)

Administraciónde Recursos Humanos.Cálculo diferencial.Alexa Marlene Ontiveros Solano.

5º G.MSTRO. José Ricardo López Salinas.

Calculos diferenciales.

• El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

• En matemáticas, concretamente en cálculo diferencial, el diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. Existen diversas definiciones de diferencial en diversos contextos.

Aproximaciones.• Una aproximación usualmente se realiza cuando una

forma exacta o un valor numérico exacto es desconocido o difícil de obtener. Sin embargo, puede conocerse alguna forma, que sea capaz de representar a la forma real, de manera que no se presenten desviaciones significativas. También se utiliza cuando un número es irracional, como el número π, en cuyo lugar muchas veces se emplea el 3.14, √7 como ≈ 2.65.2 Las aproximaciones numéricas a veces son efecto del uso de una cantidad pequeña de dígitos significativos. La teoría de la aproximación es una rama de las matemáticas, una parte cuantitativa del análisis funcional.

Estimación de errores.

Estimación de errores.

Error absoluto:△xEs una estimación de la diferencia entre el valor medido y valor verdadero. Es decir, si nuestra medida nos da x, esperamos que el valor verdadero este dentro del intervalo: x±△x

Error relativo ε∆x xEs una estimación del porcentaje de error de la medida. Nos será útil para interpretar si el error del resultado es grande o pequeño.

•APLICACIONES

Aplicaciones a la economía.

• Costo Marginal. El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio. Ahora, supongamos que tenemos una función costo Q(x) que representa el costo por producir x unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es: Al cociente Q(x+h)¡Q(x )

•EJEMPLOS .

1.- Un fabricante de autos tiene una producción x y el costo total anual de la producción se describe por medio de la función Q(x) = 100; 000 + 1; 500x + 0:2x2 El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto más y determinar si es conveniente producirlo. Solución: Utilizando la de...nición de costo marginal, se tiene que es Q0(x) = 1; 500 + 0:4x; y el costo por producir 1 auto más es, Q0(100) = 1; 540 pesos;esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo se incrementa en $1,540. La función costo promedio es:

el costo promedio al producir 100 autos es:q(100) = 2; 520 pesos;como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.

2.- Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x producida de acuerdo con la función; Q(x) = x2 + 2x + 2 Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602. Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es conveniente producirla. Solución: La función costo marginal es, en este caso, Q° (x) = 2x + 2el costo marginal por producir 1 artículo más es de :Q°(300) = 602 pesos;la función costo promedio es, en este caso,q (x ) = x + 2 + 2 x

• y el costo promedio al producir 300 artículos es :q(300) = 302:01 pesos; es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad, por tanto, no conviene producir la siguiente unidad.

• 3.- Utilizando el análisis marginal resolver el ejemplo anterior y comparar los resultados. Solución:La función costo total es Q(x) = x2 + 2x + 2;el costo por producir 300 artículos es Q(300) = 90; 602 pesos; el costo por producir 301 artículos es Q(301) = 91; 205 pesos;y el costo marginal por producir 1 unidad más, después de las 300 unidades iniciales es Q(301) ¡ Q(300) = 603 pesos; esto quiere decir que el costo adicional al producir una unidad más es de $603 y como es mayor que el costo promedio por producir 300 unidades, no conviene producir la siguiente unidad. Comparando con el resultado anterior, Q(301) ¡ Q(300) = 603 1⁄4 602 = Q0(300), se tiene que la aproximación es buena ya que, la curva de la función costo es una curva suave.

• 4.-APLICACIONES A LA DEMOGRAFIA Y A LA ACTU- ARIA Ahora se presentará en forma resumida algunas funciones que se utilizan en demografía, las cuales corresponden conceptualmente a la noción de derivada. Para un análisis más amplio puede verse el artículo de J. Somoza.Incremento anual de la población N’(t).

• Supongase que la función que representa los nacimientos de cierta población es 2x2 ¡ 3x, calcular la densidad anual de nacimientos en el tiempo t = 1. Solución: La derivada de la función de nacimientos es B0(t) = 2x + 2;al sustituir el valor de t = 1 en la expresión anterior, se tiene B0(1) = 4 nacimientos;es decir, en el transcurso del primer año los nacimientos aumentan en 4 personas.

CONCLUSION.• En conclusión el cálculo y sus aplicaciones

son importantes para todas las personas ya que consciente o inconscientemente las utilizamos, para la mayoría de cosas en la vida cotidiana.Por eso es importante saber utilizarlo para poder aplicarlo con mayor precisión sin miedo en haberse equivocado.