1Clculo diferencialUniversidadNacionalAbierta ya DistanciaFACULTAD DE CIENCIASBASICAS E INGENIERIACALCULO DIFERENCIALJORGEELICERRONDNDURNFRANCISCOORTEGONCAMACHOBOGOT, D.C., 2006Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD2UniversidadNacionalAbierta ya Distancia Editorial UNAD, 2006Primera edicin 2006Prohibida la reproduccin parcial ototal de esta obra sin autorizacin de laUniversidad Nacional Abierta y aDistancia UNADLa edicin de este mdulo estuvo acargo del Centro Nacional deMedios EducativosUNIDAD DE PUBLICACIONESFacultad de Ciencias Bsicas eIngenieraInterventorDiagramacin y armada elecrnicaF.M. DigitalGrficas IbaezBogot, D.C. 2006COMITE DIRECTIVOJaime Alberto Leal AfanadorRectorRoberto Salazar RamosVicerrector AcadmicoSehifar Ballesteros MorenoVicerrector AdministrativoMaribel Crdoba GuerreroSecretaria GeneralEdgar Guillermo Rodrguez DazDirector Planeacin 3Clculo diferencialContenidoPROLOGO DE LOS AUTORES............................................................ 15NOTACI ON........................................................................................... 19AUTOEVALUACI{ON INICIAL.............................................................. 25UNIDAD UNO.SUCESIONES Y SUS LIMITES................................... 29MAPA CONCEPTUAL........................................................................... 31Objet ivos......................................................................................... 331.1 Definicin de sucesin................................................................ 351.1.1Int r oduccin..................................................................... 351.1.2Definicin de sucesin....................................................... 361.2 Det er minacin de una sucesin.................................................. 37Ejer cicio 1.1............................................................................................ 421.3 Sent ido de variacin de una sucesin.Sucesiones peridicas.(Cot a s)...................................................................................... 431.3.1Sent ido de var iacin de una sucesin................................. 43Ejer cicio 1.2............................................................................................ 521.3.2Cot as y sucesiones acot adas super ior ment e........................ 531.4 Pr ogr esiones.............................................................................. 621.4.1La pr ogr esin ar it mt ica.................................................. 65Ejer cicio 1.4............................................................................................ 701.4.2La pr ogr esin geomt r ica.................................................. 71Ejer cicio 1.5............................................................................................ 781.5 Sucesiones que conver gen a cer o................................................. 79Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD41.5.1Conjunt o de punt os, int er valos y vecindades...................... 791.5.2Definicin de sucesin conver gent e a cer o.......................... 801.5.3Cr it er io de compar acin.................................................... 87Ejer cicio 1.6............................................................................................ 911.5.4Reglas de clculo con sucesiones que conver gen a cer o........ 921.6 Sucesiones que conver gen........................................................... 951.6.1Lmit e de una sucesin...................................................... 951.6.2Pr opiedades fundament ales de la sucesin conver gent e....... 100Ejer cicio 1.7............................................................................................. 1061.6.3La sucesin )'

,_

+nn11................................................... 1071.7 Sucesiones diver gent es............................................................... 1121.7.1Sucesin diver gent e .......................................................... 1131.7.2Pr opiedades de las sucesiones diver gent es.......................... 1161.8 Sucesiones con for ma indet er minadas......................................... 1191.8.1Lmit es de expr esiones r acionales...................................... 120Lect ur acomplement a r ia s......................................................................... 125Aut oeva lua cin 1..................................................................................... 128Ejer cicios complement ar ios...................................................................... 131UNIDAD DOS.LIMITE DE UNA FUNCIN.CONTINUIDAD.............. 133Objet ivos.......................................................................................... 135Int roduccin ..................................................................................... 1372.1Lmit e de una funcin cuando x t iende a X0................................. 1392.1.1Definicin: lmit e de una funcin cuando x t iende a ( )0 0x x x ..................................................................... 1452.1.2Pr opiedades de los lmit es.................................................. 1492.2For mas indet er minadas.............................................................. 155Ejer cicio 2.1............................................................................................. 1632.3Lmt ies al infinit o( ) .............................................................. 1642.3.1Lmit e de una funcin cuando x t iende a infinit o( ) ........ 1642.3.2Lmit e de una funcin cuando x t iende a menos infinit o ( ) ............................................................................... 172Ejer cicio 2.2............................................................................................ 1762.3.3Propiedades de los lmit es de las funciones cuando x t iendeainfinit o.......................................................................... 177 5Clculo diferencialEjer cicio 3.3............................................................................................ 1842.4 Lmit es infinit os: funciones que t ienden a cuando x t iende a . 1852.4.1Definiciones par a cuando t ant o la var iable como la funcin t ienden a inifit o o a menos infinit o......................... 187Ejer cicio 2.4............................................................................................2.4.2Propiedades de lmit es de funciones que t ienden a cuandox t iende a : for mas indet er minadas................................... 194Ejer cicio 2.5............................................................................................ 2052.5 La funcin t iende a infinit o cuando x t ienede a x0 ....................... 2072.5.1La funcin t iende a menos inifit o( ) cuando x t iende a x0.................................................................................. 2102.6 Lmit es unila t er a les.................................................................. 213Ejer cicio 2.6............................................................................................ 2292.7 Asnt ot as ver t icales y hor izont ales.............................................. 2322.7.1Asnt ot as ver t icales.......................................................... 2322.7.2Asnt ot as hor izont ales....................................................... 235Ejer cicio 2.7............................................................................................ 2412.8 Cont inuida d............................................................................... 2422.8.1Definicin:funcin cont inua en un punt o.......................... 2452.8.2Pr opiedades de las funciones cont inuas.............................. 246Ejer cicio 2.8............................................................................................ 2492.8.3Cont inuidad en un int er valo............................................. 2512.8.4Cont inuidad porla der echa o porla izquier da.................... 254Ejer cicio 2.9............................................................................................ 2592.9 Evaluacin de los lmit es mediant e la comput ador a..................... 261Aut oeva lua cin 2................................................................................... 270UNIDAD TRES.LA DERIVADA............................................................. 273Int r oduccin..................................................................................... 277CAPITULO 1.LA DIFERENCIACION................................................... 2771.1 Lar a zn de ca mbio.................................................................... 2831.1.1Int r oduccin..................................................................... 2841.1.2Incr ement os...................................................................... 2881.2Lader iva da ............................................................................... 299Ejer cicio 3.1............................................................................................ 300Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD61.3Tcnicas de difer enciacin........................................................... 3031.4 Reglade ca dena .......................................................................... 3081.5 Der ivada de la funcin implcit a.................................................. 311Ejer cicio 3.2............................................................................................. 3131.6 Difer encia les.............................................................................. 317Ejer cicio 3.3............................................................................................. 3181.7 Der ivadas de funciones t r anscedent ales.La funcin exponencial.. 334Ejer cicio 3.4............................................................................................. 3351.8 Der ivadas de las funciones t r igonomt r icas.................................. 346Ejer cicio 3.5............................................................................................. 3471.9 Der ivadas de las funciones t r igonomt r icas inver sas.................... 359Ejer cicio 3.6............................................................................................. 3601.10Der ivadas de or den super ior ........................................................ 360Ejer cicio 3.7............................................................................................. 3741.11 Clculo de la der ivada mediant e la comput ador a......................... 375Capt ulo 2.Aplicaciones de la der ivada.................................................... 381Ob jet ivos................................................................................................ 383Int r oduccin............................................................................................ 3852.1Aplicaciones inmediat as de la der ivada........................................ 3872.1.1Dir eccin de una cur va...................................................... 3872.1.2Ecuaciones de la t angent e y nor mal.La longit ud de lasubt angent e y la subnor mal.............................................. 3952.1.3 Sent ido de var iacin de una funcin. Monot ona ................ 4102.2 Tasas de cambio r elacionadas..................................................... 4252.3 La r azn der ivacin de la fsica................................................... 4522.3.1Opt imizacin en fsca........................................................ 4572.3.2La der ivacin en economa................................................. 4612.3.3Funcin elast icidad........................................................... 4632.3.4Funcin ingr eso................................................................. 471 7Clculo diferencial2.3.5Ingr esos porimpuest os...................................................... 4752.3.6Opt imizacin en economa................................................. 4772.3.7Modelo de invent ar ios........................................................ 4832.3.8La der ivada en ot r as sit uaciones........................................ 489Aut oeva lua cinfina l............................................................................... 513Glosa r io.................................................................................................. 519Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD8 9Clculo diferencialLista de figuras1.1 Lapoblacinur banaest not adacon+.Lapoblacinr ur alloest n con x................................................................................... 461.2 Diagr ama de flujo par a la par t e 1.................................................. 631.3 Diagr ama de flujo par a la par t e 2.................................................. 651.4 Vecindad de cent ro en 2 y radio 0.001.Nt ese que el int ervaloes a bier t o..................................................................................... 801.5 Gr fica par a algunos punt os de la sucesin................ 801.6 Gr fica par a algunos punt os de la sucesin )'+1 n3 n 2..................... 951.7 Grfica para algunos valores de la sucesin)'+ 1 n 2n 3..................... 982.1 Grficode la resist encia en funcin del dimet ro, en el int ervalode 2.60 a2.80 cms........................................................................ 1402.2 Gr fico par a la r esist encia en funcin del dimet r o en el int er valo0.026 mm a0.028mm................................................................... 1412.3. Gr fica par a:( )( )( )2 x2 x 1 x 3x f .................................................. 1442.4 Gr fico que ilust r a:( ) L x f lm .................................................. 1452.5 Cir cunfer encia unidad.................................................................. 1502.6 Grfica de la pot encia (P vat ios) necesaria para alzar cajas conconser vas en funcin del t iempo t(segundos).................................. 165( ))'n1n0x x Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD102.7 Gr fico que ilust r a: ( ) L x f lm .................................................. 1672.8 Temper at ur a en el cent r o de una lat a que cont iene un aliment ogelificado somet ido a calent amient o en un est erilizador(Baumgakt nerJ .G.y Her son A.C.)............................................... 1702.9 Cur va de pr oduccin de cido lct ico en leche incubada con uncult ivo a43C................................................................................ 1702.10 Cur va t pica del t iempo necesar io par a r educirlos micr oor ganismosen un pr oduct o aliment icio, a una t emper at ur a dada (Baumgakt herJ .G.y Her sonA.C. ).................................................................... 1712.11 Gr fica de:23 x1) x ( f ++........................................................ 1722.12 Gr fico que lust r a: ( ) L x f lm ................................................... 1732.13 Poblacin colombiana, P, con base en los dat os del censo de 1913y la t asa de crecimient o ent re los censos de 1964 y 1973 enfuncin del t iempo t(ao)............................................................... 1862.14 Gr fico que ilust r a: ) x ( f lm............................................. 1872.15 Gr fico que ilust r a: L ) x ( f lm ................................ 1892.16 Gr fico que ilust r a el:) x ( f lm ............................................... 1902.17 Gr fico que ilust r a el ) x ( f lm....................................... 1902.18 Gr fica par a ( )( )21 x7x f ................................................. 2072.19 Gr fico que ilust r a: ) x ( f lm .......................................... 2092.20 Represent acin grfica para( )( )21 x7x g..................................... 2102.21 Gr fico que ilust r a: ) x ( f lm .......................................... 2122.12 Gr fica de las ganancias y en funcin de la cant idad de pr oduct ovendido......................................................................................... 214 x x x x x x0x x 0x x 11Clculo diferencial2.2.3 Gr fico que ilust r a elL ) x ( f lm ....................................... 2162.2.4 Gr fico que ilust r a el.................................... 2172.2.5 Represent acin grfica de la funcin ( )' 0 x si 10 x si xx f................ 2192.2.6 Cr culo t r igonomt r ico con nfasis en el pr imercuadr ant e.............. 2262.27 Cr culo t r igonomt r ico con nfasis en el segundo cuadr ant e............ 2272.28 Gr ficapa r ay = t a n x................................................................... 2282.29 Gr fica par a la funcin del pr oblema 1........................................... 2292.30 Gr fica par a la funcin........................................... 2322.3.1 Gr fica par a la funcin................................... 2332.3.2 Gr fica par a la funcin ............................................ 2352.33 Gr fica par a la funcin................................... 2362.3.4 Gr fica par a la funcin ............................ 2392.3.5 Gr fica par a la funcin .................................... 2402.36 Gr fica par a .......................... 2432.37 Gr fico pa r a ................................................... 243( )( )2x 17x f( )x1x f ( )( )2x 17x f( )6 x 42x 211 x 22xx f + + 0x xL ) x ( f lm +0x x( )x1x f ( )x12xx f+( )' < 1500 x 1000 si 3000 x 201000 500 si 1000 x 20x f( )' 0 x si 10 x si xx fFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD122.38 Gr fica par a.................................... 2442.39 Gr fica par a la funcin del ejer cicio 2.8.......................................... 2492.40 Gr fica par a la funcinf (x) = 2x + 1en el int er valo ] [ 2 , 0 .......... 2512.41 Gr fica par a la funcin ............................. 2572.4.2 Gr fica par a la funcin del ejer cicio 2.9.......................................... 2592.43 Grfica para el denominador2652.44 Gr fica2652.45 Gr fica par a el ejemplo 1 con Der ive.............................................. 2662.46 Gr fica par a la funcin g(x) con Der ive........................................... 2683.1 Gr fica par a la funcin y = f(x) = 3x + 1......................................... 2853.2 Gr fica par a la funcin y = f(x)=x2 + 5.... ...................................... 2863.3 Gr fica par a la funcin y = f(x)= 5x2 -7x + 1 .................................... 2873.4 Gr fica par a las difer enciales......................................................... 3143.5 Gr fica par a la funciny = ax ....................................................... 3193.6 Gr fica par a la funcin 3x3- 4x2 + 2x + 5 y la r ect a t angent een x = 1; y = 3x + 3 ....................................................................... 3763.7 Gr ficade funciones...................................................................... 3883.8 Gr fica par a la cir cunfer encia x2 + y2 = 13 y la parbolay2 = x + 1...................................................................................... 3933.9 Gr fica par a la r ect a t angent e y nor mal par a la cur va y = f (x)........ 3953.10 Gr fica par a el ejemplo 5............................................................... 4303.11 Gr fica par a el ejemplo 7............................................................... 4333.12 Gr fica par a el ejemplo 9............................................................... 4363.13 Gr fica par a el ejemplo 9...............................................................3.14 Gr fica par a el pr oblema 4 canal abier t o........................................ 446( )( ) ( )( ) 2 x2 x 1 x 3x f ( ))'0 x si 00 x si 1x f10 ... 10 x ; 35 x 942x 1293x 1004x 415x 6 y + + + + + 3 ... 4 x ; 35 x 942x 1293x 1004x 415x 6 y + + + + + 13Clculo diferencial3.15 Gr fica par a el pr oblema 4 ........................................................... 4483.16 Gr ficavar iable discr et a y cont inua............................................. 4623.17 Las dist int as cat egor as de elast icidad de la demanda..................... 4663.18 Gr fica par a el ejemplo 1............................................................... 4983.19 Gr fica par a el ejemplo 1.............................................................. 5003.20 Gr fica par a el ejemplo 1............................................................... 5003.21 Gr fica par a el ejemplo 2............................................................... 5023.22 Gr fica par a el ejemplo 1............................................................... 5053.23 Gr fica par a el ejemplo 1............................................................... 5073.24 Gr fica par a el ejemplo 1............................................................... 510. 15Clculo diferencialPrlogo de los autoreses pu s dea s i mi l a r l os con cept osfundament ales de la Mat emt ica Bsica en loscur sosnivelat or ios,t alescomoelmanejodes i s t ema n u mr i co, del a s expr es i on esalgebr aicas,delasfuncionesysuscor r espon-di en t es gr fi ca s ydel a Tr i gon omet r a ,est amosencondicionesdeiniciar unanuevaet apadenuest roprocesodeaprendizajedelaMat emt ica,denominadaClculoDifer encial.Tr a sest ea nunciot a na lent a dor ,sur gen,indiscr et ament e,t r espr egunt as,aunquenolleguemosa for mula r la senvoza lt a :quvamosaest udiar ?,par aqunosser vir t odoest o?cmolohar emos?S,clar o,sabemosquelaMat emt icaesmuyimpor t ant e,per oavecesnospa r ecent a na bst r a ct a s,leja na ,et r ea ...ynosgust a r a ha lla r a plica cionesinmediat asyconcr et as,par aevit ar queelcabellosenoserice.Es a qu don det en emos qu ever mu ycl a r a men t equ ea veces podemos h a l l a raplicacionesinmediat asyconcr et as,per oenot r a s oca s i on es es t a mos a dqu i r i en dol a sher r amient asnecesar iasquenosper mit ir nmanejar ot r osconcept os,yaseaenlamismar amadelasMat emt icaoenot rocampo.Nodebemos ol vi da r qu emu ch a s r ea s deIngeniera,Administ racin,CienciasAgrariasyCi en ci a s Hu ma n a s , r equ i er en i n du da -bl emen t eci er t ocon oci mi en t ob s i codeMat emt ica;port ant onuest roest udiot ieneunalcancealargoplazo.Adems,sinquenosdemosplenament ecuent adeello,cuandoest amosest udiandoMat em-t i ca es t a mos for ma n don u es t r oes p r i t u ,des a r r ol l a n don u es t r a ca pa ci da dl gi ca ,ordenandonuest ropensamient o,ejercit ndonosenlaint er r elacindeconcept os,disciplinn-donosyadquiriendomayoragilidadment al.P er ovol va mos a n u es t r a s i n s i di os a spr egunt as:quvamosaest udiar ?par aqun os s er vi r ?. . . E n l a pr i mer a u n i da dest udiaremoslassucesiones,suspropiedades,suconver genciaodiver genciayalgunoscasosespeciales.Lassucesionesseaplicanenlaest udiodelosfenmenosdecrecimient odelapoblacin,deldesar r ollodecier t asespecies,delest udiodelainflacin,delconsumodePrlogo de los autoresDDFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD16pet r leo,delaelect r icidad;per mit en,adems,sent arlasbasesparaelest udiodeloslmit esycon t i n u i da ddel a s fu n ci on es , qu eabordaremosenlasegundaunidad.Enest aunidadt r at ar emospr imor dialment edehallarellmit edeunafuncin,cuandoxt iendeaunvalor est ablecido,ydet er minar siunafuncinda da es con t i n u a en u n pu n t oa en u nint ervalo.Vivimosrodeadosdefunciones,delascualeslassucesionessont anslouncasopar t icular ,Porejemplo, las ganancias de unaf br i ca s on fu n ci n del a ca n t i da ddemer cancavendida.Elconocimient odeloslmit esodelospunt osdediscont inuidaddelasfuncionespuedeser degr anut ilidad.Enelcasodelafbrica,dichoconocimient opuedeayudar adecidir siconvieneonocont r at ar unt ur nopar at r abajar denocheysat isfacer unamayor demanda.Ha yu n lmit e,en especia l,qu eva a seresencialpar anosot r os:el lmit e del cocient ecuando x t iendea x0 ,t a n com n en Ma t em t ica s,Fsica ,Qumica,elcualper mit eint r oducir nosenelt emadelasDer ivadas,queabor dar emosenlat er cer aunidad.Allnosfamiliar izar emoscon el con cept odeder i va da ycon elpr ocedimien t opa r a h a lla r u n a der iva da .Est a mosa cost umbr a dosa emplea r muyamen u doder i va da s :l a vel oci da dyl aacelaracinsonejemplosdeello.Conociendolosmeca nismosdeder iva cin,podemos est udiar diversas aplicaciones de st ayenpar t icular ,cmodet er minar lospunt oscr t icos;cmor esolver pr oblemasdemximosy mnimos.Est oesespecialment et ilcuandoquer emos,por ejemplo,maximizar lasgananciasdeunafbr ica en funcin de la cant idad de mer cancapr oducida, obien,cuandodeseamosminimizarelcos t odeu n empa qu e,odet er min a r elmoment o ms adecuado para sacar un product oalmercadoymaximizarlosbeneficios.Regr esamos ahor a a nuest r a t er cer a pr egunt a:cmo est udiar ? Aqu es muy impor t ant e est ardecididosaapr ender yaponer denuest r apar t et odocuant oseanecesar iopar allegar ala met a desea da .Debemosluegofija r unhor ar iodeest udioycumplir loest r ict ament e.Asimismodebemosest udiar diar iament eynopensa r :"dejmoslopa r a elfindesema nacuandospodr emosdedicar nosconjuicio,y....."Est onoesconvenient e.Sabemosqueelaut oapr endizajeesunpr ocesoquer equier eci er t ot i empopa r a a s i mi l a r , fi j a r l osmeca n i s mos b s i cos yr efor za r l oscon oci mi en t os a dqu i r i di os , pu es l oqu eapr endamosalacar r er a,loolvidar emos.Cu a n dodi s pon ga mos det odos es t oselement os,podr emosempezar .Nosar mamosdelpizypapel,denuest rolibroypart imos.Al pr i n ci pi odeca da u n i da dh a yu n ajust ificacinquenosper mit enubicar nosenelcont ext odelt ema,einfor mar nosacer cade:ox - xoy - y 17Clculo diferencialqu vamos a ver y cules son nuest ros objet ivos.Debemos leer con det enimient o la just ificaciny los objet ivos para saber qu debemos lograr ypara verificar al final si los hemos alcanzado.Convieneleer inicialment ecadapr r afodecorrido,parat enerunaideaglobaldequeset r a t a ;l u egovol ver a l eer l ocon m sdet en imien t o,oja l s u br a ya n dola s idea scla ves;volver a h a cer lou n a t er cer a vez,analizandomsendet allelasafir macioneshechas.Pueder esult ar muyt ilelabor ar unpequeor esumen,quealpr incipiodecadaperiododeest udio,nospermit arecordarloyavi s t oyr efor za do. Podr a mos i n cl u i r l a sdefinicionesylaspropiedadesimport ant esendichor esumen.Cuandohayaunejemploounademost r acin,conviene,unavezledoelpr oceso,t r at ar dehacer lopor nuest r acuent asin mir arel libr o.As podr emos per cibirdndees t n n u es t r a s di fi cu l t a des yt r a t a r desolucionar las.(Ver guadidct ica).Hallaremos t res aut oevaluaciones, conejerciciosysucor r espondient einfor macinder et or no(confirmacin).Qu debemos hacer?Trat ar deresolverlosycuandohayamosllegadoaalgnresult ado o conclusin, verificar si concuerda conlo que deberamos hallar.Si st e no es el caso, esnecesario:1.Buscar sihayer r or esenlasecuenciadeoper aciones.2.Sielpr oblema n or a dica a ll,r evisa rent onceslosejemplosr esuelt osymir ar sihay una mala aplicacin de los concept os.3.Si an falla, consult aral t ut or .4.Sir ealment elar espuest anoescor r ect a,comunicar lo a los aut or es.Podremoscaerenlat ent acindevolveralamir adahacialainfor macinder et or noant esder esolver elejer ciciopr opuest o,nadamsque...par at ener unaideadecmoempezar .Est a esu n a t r a mpa qu edebemosevit a r .Confir mar lar espuest aoelpr ocesoest il,mi r a r l a r es pu es t a s i n h a ber i n t en t a dodesar r ollar elejer cicioesdaino.Lagr anma yor a deejer ciciost r a er espuest a .Nodebemosasust ar nossinospar ecenmuchos,nidesalent arnossit enemosdificult ades.Sonnumer osospar aquepodamosejer cit ar nosyga na r unma yor dominiodelt ema ,ma yorsegur idadyfluidez.Esunpr ocesosimilar alde apr endera mont aren biciclet a; escuchamosa t en t a men t et oda s l a s i n s t r u cci on es , l a sen t en demos y. . . es t t odol i s t oya ?yasa bemosmon t a r en biciclet a ...?No!Slodes pu s dea l gu n a s s es i on es ya l gu n osdol or os os t r opi ezos des a r r ol l a r emos l osr eflejos necesar ios par a evit arlas cadas.Aquocur r elomismo.Necesit amoslapr ct ica,n eces it a mos h a cer ejer cicios ;cu a n t om snumer osos,mejor .Elqu en ologr emos h a cer los t odos n oesimpediment o par a que sigamos adelant e.Per ohayunejer cicioquesdebemoshacer yllevaralt ut or ,losquellevanast er iscoynot r aenr espuest a .Cua ndonosequivoquemos,nodebemosdesalent ar nos,sinovolver alacar gauna y ot ra vez.Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD18Di cen qu eEdi s on t u voqu eh a cer mi lexper iment os par a descubr ir , al final de uno, loquedeseaba.Sinolologramosenunint ent o,lologr ar emosenot r o,sit enemoselt esnnecesar io.Losgr uposcolabor at ivospuedenr esult ar nosmuyt iles,yaqueaveces,ales t u di a r en gr u po, a l compa r t i r ot r a sexper ien cia syot r ospu n t osdevist a ,n osen r i qu ecer emos ypodemos a va n za r m sr pido.Los amant esdelaMat emt icahallar nalfinaldecadaunidad,unaser iedeejer ciciossuplement a r iosconunniveldedificult a dma yor .Ant esdeabor dar nuest r apr imer aunidad,hallar emoslaevaluacininicial,quet ienedospr opsit os:1.Ayudarnosadet erminarsidisponemosdet oda s l a s h er r a mi en t a s or equ i s i t osnecesariosparaestanuevaetapadenuestroestudio.2. Ayu da r n os a det er mi n a r qu t a n t omanejamosde los nuevos t emas a est udiar .Est aevaluacint ieneporlot ant odospart es,cor r espon dien t esa dich ospr opsit os.Sifallamosenalgnt emadelaprimerapart e,s a br emos qu en eces i t a mos r evi s a r l oscon cept os r el a ci on a dos con el t emacorrespondient e.Losejerciciosdelasegundapar t e t ambin figur an en las aut oevaluacionesfinalesdelasunidadescor r espondient esydeber n per mi t i r n os medi r el pr ogr es oalcanzadot r aselest udio.Espr obablequeinicia lment enoest emosencondicionesdehacer t odoslosejer ciciosyquedespusdeest udiar launidadsipodamoslogr ar los.Aspodremosdarnoscuent adenuest roprogreso.Ahor a,est amosencondicionesdeiniciar elest udiodest emdulo.nimo y buena suert e.Los aut ores 19Clculo diferencialNotacinNotacina: nmer or eala: aceler acinA, B: nmer or ealesC: cost oC1: cost odepreparacindemanufact uraC2: cost odemant enerunaunidaddeinvent arioporperiodoC3: cost oporlanoent regaoport unaC: cost opr omedioCt: cost odespusdeunimpuest od: dema ndaDf: dominiodelafuncinfDx: der ivadaconr espect oaxDxf=f(x): der ivadaconr espect oaxdx: difer encialdexdy: difer encialdeydy/dx: derivadadeyconrespect oaxdny/dxn: derivadaensimaoderivadadeorden "n"deyconr espect oaxe: nmer odeEuler :2.71828ex: exponencialEy/Ex: elast icidaddeyconrespect oaxf: funcinf(x): valor deunafuncinenxgof: composicindefpor gi: unidadimaginar ia,cor r ient ei : subndice1 Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD20I: conjunt o de nat ur ales mayor es o iguales "a". I ={a, a +1, ...}.ingr esoIt: ingresodespusdeunimpuest ou ,j ,k: vect oresunit ariosalolargodelosejesk: subndieunaconst ant enmerodeart culosqueent ranporperodo(aunafaseuniforme)durant elaforma-cindelinvent ariolmf(x) lmit edelvalordelafuncinfcuandoxt iendea"a"xalmf(x) lmit edelvalor delafuncinfcuandoxincr ement asinlmit ex lmf(x) lmit edelvalor delafuncinfcuandoxt ieneax0par avalor esmayor esquex0,esdecir ,por lader echalmf(x) lmit edelvalor delafuncinfcuandoxt ieneax0par avalor esmenor esquex0,esxxodecir ,por laizquier daln x logar it modex=logxlogx logar it modex=lnxlogax logar it moenbaseadex,conaeM cot asuper iorm cot ainfer iorsuper ndiceNI conjunt odelosnmer osnat ur alesN nmer onat ur aln0nmer onat ur alespecficop perodo,biendeunasucesin,biendeunafuncinpr ecioq r azncomndeunapr ogr esingeomt r icacar ga(Coulombios)r azncomnenunpr ogr esingeomt r icaq nmer odear t culosquedeber nser incluidosenuninvent ar iocadavezQ caudalR r esist enciaR conjunt odenmer osr ealesR(t ) vect ordeposicinR* conjunt odelosrealesnonulosxxo+ - 21Clculo diferencialR*conjunt o de los reales posit ivosR*conjunt odelosrealesnegat ivosr difer enciacomnenunpr ogr esinar it mt icar adiovect or encoor denadaspolar esS sumadelosprimerost rminosdeunaprogresins espa cioSen-1x funcininver sadesenot impuest ot iempoT ingresocapt adoporunimpuest o(elgobiernocapt aest eimpuest o)uaprimert rminodesucesinunensimot rminodeunasucesinU ut ilidadv velocida dv velocidadpr omediox var iableindependient e(por logener al)cant idaddemandauofr eciday var iable,por logener aldependient ey derivadadeyconrespect oalavariableindependient ey(n)derivadaensimadeyodeorden"n", const ant es incr ement of incr ement oenfx incr ement oenx;x2-x1 =xy incr ement oeny nmer or ealposit ivo,gener alment emuypequeo nmer or ealposit ivo,gener alment emuypequeo ngulovar iableencoor denadaspolar es const ant e:=3.141592654... sumat or ia conjunt ovacongulonguloent r er adiovect or ylat angent e{} not acinpar aunconjunt o{7} conjunt o,delcual7eselnicoelement o+-Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD22{7,11,13,17} conjunt o cuyos element os son 7, 11, 13, 17[a,b] elconjunt oa x b,int er valocer r ado[a,b[ elconjunt oa x< b,int er valosemiabier t opor lader echa]a,b] elconjunt oa< x b,int er valosemiabier t opor laizquier da]a,b[ elconjunt oa< x< b,int er valoabier t o inclusin inclusinpr opia r euninint er seccin per t enece noper t enecepar at odox;cualquier aqueseax exist eunx;exist epor lomenosunxdifer ent e apr oximadament eigualN(a) vecindaddecent roenayradioN(a) vecindadreducidaconcent roenayradioV(a ) vecindaddecent roenayradioV(x0- ,x0+ )vecindaddecent r oenx0 yderadio{un}n a sucesin o No se excluye el punt o indicadoseincluyeelpunt oindicado implicacinoimplica equivalent eoequivalencia infinit o. punt o que indica mult iplicacin, como en (a - b) (a+b)en123 sumat or ia de akdesdek=nhast ak=minclusive|a| valor absolut oz nor ma dez1.3853 decimalqueser epit eindefinidament e< menor que...> mayor que... menor oigualque... mayor oigualque..... .akmk=nAx 23Clculo diferencialn! fact orial de n

,_

kncoeficient ebinomiallar azensimadea( ) , r coor denadaspolar es(x,y) coor denadascar t esianas por consiguient ey/on / 1a anFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD24 25Clculo diferencial3A. Sifygsonfuncionesderealesarealesyest ndefinidaspor

F ( ) V()son1y4r espect ivament eF ( ) V ( )Ant esdeiniciar nuest r oest udio,desar r ollemoslaaut oevaluacinquesepr esent aenseguida.Laspr imer asdocepr egunt asquet ienenlalet r aA,nosindicar nlospunt oscrt icosqueserabuenorepasarparanot enerdificult adesalolargodeest ecurso.Luegosiguen12pr egunt asconlalet r aB,t r espor cadaunadelasunidadesquecomponenelcur so.Podemost r at ar decont est ar las,per oconuncr it er iodifer ent e.Noseesper aquedebamossaber lasr espuest asant esdehaber est udiadolaunidadcorrespondient e,perosdespusdehacerlo!Porlot ant o,nodebemosalarmarnossinosabemosr esolver losenest emoment o.Simplement enosindicar ncmolaunidadcor r espondient enosbr indar nuevosconocimient osynosper mit ir logr ar ,t r aselest udio,unprogresomedibleenlaaut oevaluacinfinaldecadauno.Slonosrestahaceracopiodenimoyperseverancia,einiciarlaslaboresBuenasuerte!1A El dominio de la funcin y = f (x) = es el conjunt oF ( ) V()2A. Losvaloresdelafuncinh(x)=4A.

F ( ) V()Autoevaluacininicial

,_

+x1cos ,1 x1 x{ } 1 x 1 y x x < R( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]2 2 2 221 h 1 h y 1 h 1 h parax 11 x 3 +( ) ( )2x 3 19 f o g ent onces 4 x 3 x g y x 5 x f + ( ) { }2x 3 1 g o f y 5 x y ,xxf o g D R

,_

,_

+4x 3sen a igual es4x 3SenFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD267A. Elconjunt osolucinparaladesigualdadF ( ) V()8A. Elconjunt osolucinparaladesigualdad sonlosrealesexcept oF ( ) V()9A.Elconjunt osolucinparaladesigualdad5A. Elconjunt osolucinparaladesigualdad11A. F ( ) V()12A. F ( ) V() F ( ) V ( )6A. Elconjunt osolucinparaladesigualdad sonlosrealesexcept o1 x 1 < < F ( ) V ( )F ( )V ( )10A. F ( ) V()1B. Lasucesincuyot r minogener ales esconver gent e F ( ) V()2B. Ellmit edelasucesin F ( ) V()3B. Dadalasucesindefinida porsu pr imert r mino y lafr mulade r ecur r encia ylasucesindefinidaconbaseenlasucesin enlaformasiguient e:ent onces,lasucesin det rminogeneralesunapr ogr esinar it mt ica.F ( ) V()1 x 1 es 01 x1 x< < nu1 nunu1 nu >{ }nu 3Ejemplo4 u1( )nn1 nu1 u 4u+512u ;25u ;38u ; 3 u ; 4 u5 4 3 2 1 ( ) 2 u1 n+( )nnnnnn nnn1 nu2 u 2u4 u 2uu 2 4 u 42u4 u 42 u +( ) 2 u1 n+( ) 2 u1 n+0 un> 59Clculo diferencialOsea ,en ot r a spa la br a s, . S e cu mp l e n d os con d i -ci on es :a.(la propiedad es ciert a para n = 1)b. (si la propiedad es ciert a para n t ambin lo es para n + 1).Porconsiguient e hemos most r ado porinduccin que la sucesin admit e al r ealm = 2 como una cot a infer ior .(Cualquierr eal menora dos t ambin es cot a infer ior ).1.3.2.4sucesiones acotadasUnasucesinesacot adacuandoloessuper ior ment eeinfer ior ment e;esdecir ,cuandoadmit eunacot asuper ior Myunacot ainfer ior m,secumplir ent oncespar at odonat ur alTambin es posible darla condicin comoun nmer o r eal.La sucesines acot ada, puest o que de acuerdo con lo expuest oa n t er i or men t e, M=2esunacot asuper ior dedichasucesinym=0esunacot ainfer iorde la misma sucesin.La sucesin definida pores acot ada,puest o que paratodo.( ) 0 2 u 0 2 u1 n n> > +0 2 4 2 un> ( ) ( ) 0 2 u 0 2 u1 n n> > +{ }nu1con ,1 nM M u 1Ejemplo{ })'1 nnunMnu mI n 2Ejemplo{ }nu{ }1 n 2nn5u)'5 u 0 : 1 nn < : I n M u mn Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD60La sucesindefindia por ypor la r ela cinder ecur r enciaesunasucesinacot ada,puest oqueadmit ecomocot assuper iorcualquiernmer o r eal mayorigual que M = 4, y porcot a infer iorm = 2 o sea, 3Ejemplo4 u1 ( )nn1 nu1 u 4u+4nu 2n 61Clculo diferencialPar a los subconjunt os de los r acionales que a cont inuacin se pr oponen, hallar lescot as super ior es, si las t ienen.1.Hallarla mnima cot a super iorpar a cada uno de los conjunt os siguient es:2. 3.4. Demost rar que la sucesin admit eam=5comouna cot a infer ior .5. 6.7.Ejercicio 1.3)' 10 r 6 2r r Q)'

,_

N nn2 / 1)'+N n1 n4 n 3{ })'+ + 5 n 3 n u2n{ }1 nnn7u)' { })'+1 n1u2n{ }( )1 n1 nnn1u+)'Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD62Dost iposdesucesionesnosresult anespecialment eint eresant es,puest oquepodemosdeducirsus t r minos a par t irde los ant er ior es, o bien porla suma de una const ant e, obien por el product opor una const ant e.Est as sucesiones son la progresin arit mt ica y la progresin geomt rica.Para visualizarmejorsus car act er st icas, veamos pr imer o un ejemplo ant es de definir las.1.Elseor Xconsignasusahor r osenunainst it ucinfinancier aqueleofr eceunosint er eses del 25% anual.Dispone inicialment e de un capit al de $10000.00; cada aolainst it ucinleent r egaalseor Xlosint er esescor r espondient es;cunt ohabr ganado el seor X al cabo de 5 aos?2. El seor X decide reinvert ir cada ao los int ereses que le paga la inst it ucin, con elfin de que, sumados al capit al, t ambin le r epor t en nuevos int er eses.De qu sumadispondr el seor X al cabo de 5 aos?1) Designemos porunlasumadequedispondrelseorXporconcept odeint eresesacumulados no inver t idos al cabo de n aos.Podemosverque:si n = 0 u0 = 0si n = 1 u1 = u0 + 10000 (0.25) = 2500si n = 2 u2 = u1 + 10000 (0.25) = 5000si n = 3 u3 = u2 + 10000 (0.25) = 7500si n = 4 u4 = u3 + 10000 (0.25) = 10000si n = 5 u5 = u4 + 10000 (0.25) = 12500Progresiones1.4 1Ejemplo 63Clculo diferencialNoshallamosent oncesfr ent eaunasucesinmuyespecial,enlaquecadat r minoseobt iene a part ir del inmediat ament e ant erior, mediant e la adicin de una const ant er = 10000 x (0.25).O sea en gener al:Est a sucesin recibe el nombre de progresin arit mt ica.Podramos resumir la secuenciade oper aciones que efect uamos en un esquema muy sencillo, como el que pr esent amos acon t in u a cin ,pa r a elc lcu lodelos cin copr imer os t r min os dela s u ces in(post er ior esau0), a par t irdel t r mino u0 =0,yder =2500.Est eesquemar ecibeelnombr edediagr amadeflujo(figur a1.2).Loempleamosconst ant ement eenlapr ogr amacinyenfor maunpocomodificadaenelest udiodelt r at amient oquehander ecibir enIngenier a.FIGURA1.2Diagrama de flujopara la parte 1Sigamossudesarrollo:1. Definimos los valor es de par t ida: n = 0; u0 = 0.(Los valor es iniciales se r epr esent anconvencionalment e dent ro de bloques de forma). Fin?n 5 Pr incipion = 0u0 = 0n n + 1 Siun+ 1 = un + r r u un 1 n+ + NoFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD64 si?no2. Comparamos el valor de n con 5, puest o que slo queremos calcular los cinco t rminosde la sucesin post eriores a u0; (las comparaciones se represent an convencionalment emediant e el smbolo si n es menor o igual que 5, realizamos el paso si-guient e; aqu n = 0 es menorque 5, lo que nos per mit e desplazar nos a la siguient einst r uccin.3. Efect uamos el clculo (los clculos se r epr esent an convencio-nalment e por bloques de forma); aqu4. Increment amoselvalordenen1unidad.Le asignamos a n su valorant er iorms uno; est o lo r epr esent amos simblicament ecomo n n+1;aqu,por ejemplo;n 0+1;est osignificaqueanleasignamosahora el valor 0 + 1, o sea 1.5. Repet imos el proceso, hast a que n sea igual a 6.Ent onces, en una segunda et apa,compar amos el valoract ual de n con 5.Como a n le acabamos de asignarel valor1,n es efect ivament e menor o igual que 5.Porlo t ant o calculamos ,queenest ecasoequivalea;post er ior ment e le asignamos a n un nuevo valor : su valoract ual incr ement ado enuna unidad; o sea n 1 + 1; a n le asignamos porlo t ant o el valor2,y r eanudamosel proceso que ha de finalizar cuando n adquiera el valor 6.Para la segunda part e del problema que est amos resolviendo:2) Designemos porvn lasumat ot aldequedispondrelseorXalcabodenaosder einver t irsus int er eses.Podemos verque:si n = 0 v0 = 10000.00si n = 1 v1 = 1.25 v0= 1.25 (10000) = 12500.00si n = 2 v2 = 1.25 v1= 1.25 (12500) = 15625.00si n = 3 v3 = 1.25 v2= 1.25 (15625) = 19531.25si n = 4 v4 = 1.25 v3= 1.25 (19531.25) = 24414.06si n = 5 v5 = 1.25v4= 1.25 (24414.06) = 30517.58r u un 1 n+ +r u u0 1+ r u un 1 n+ +r u u1 2+ 65Clculo diferencialNoshallamosfr ent eaot r asucesinmuyespecial,enloquecadat r minoseobt ieneapar t ir delinmediat ament eant er ior ,mult iplicndolopor unt r minoconst ant eq(q=1.25).O seaEst a sucesin recibe el nombre de progresin geomt rica.Podr amos tambin resumir la secuencia de operaciones que efectuamos en un diagramadeflujo(figura1.3)comoelquepresent amosacont inuacin,paraelclculodeloscinco t rminos post eriores a v0, a partir de v0 = 10000 y de que = 1.25.1.4.1La progresin aritmticaUna sucesin r ecibeelnombr edepr ogr esinar it mt ica,siyslosi,par at odo nat ur al n mayoro igual que a, se cumple que:El nmer o rr ecibe el nombr e dedifer encia comn de la progresin arit mt ica. Fin Si?n 5n = 0v0 = 10000vn+ 1 = vn q Pr incipion n + 1No FIGURA1.3Diagrama de flujopara la parte 2q . vn 1 nv +{ }a n nur u un 1 n+ +Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD66Tal er a el caso, porejemplo de la sucesin cuyos t r minos er an igual a la suma de la quedispondra un seor X por concept o de int ereses acumulados (no reinvert idos) al cabo den aos.Deducamos cada t r mino delinmediat ament e ant er ior , mediant e la adicin deunaconst ant e:10000(0.25);est aconst ant er =2500er aladifer enciacomndelapr ogr esin ar it mt ica consider ada.Las pr ogr esiones ar it mt icas const it uyen un ejemplo par t icular ment e sencillo del pasodeunadefinicinporunafrmuladerecurrenciaaunadefinicinpormediodeunafr mula explcit a.En efect o, si t enemos:si n = a + 1 ua+1= ua + rsi n = a + 2 ua + 2 = ua+1 + r= (ua + r ) + r=ua + 2rsi n = a + 3 ua + 3 = ua+2 + r= (ua + 2r ) + r=ua + 3rsi n = a + 4 ua + 4 = ua+3 + r= (ua + 3r ) + r=ua + 4rY en gener al: siPer o, puest o que: a + p = n, conclumosGener alizando: el t r mino n-simo de una pr ogr esin ar it mt ica con pr imert r mino uay difer encia comn rde la for ma:S uma de losn primerost rminosdeunaprogresinarit mt ica.Amenudot enemosque hallarla suma, S porejemplo; de los n pr imer os nat ur ales, o sea de los n pr imer ost rminos de la sucesinNosresult araunprocesolargoyt edioso,denohaberhalladoEulerunmt odofcileingenioso para resolver dicha dificult ad.De acuerdo con lo propuest o por l, escribimosdos veces la misma suma: la primera en la forma convencional y la segunda, comenzandoporel lt imo t r mino y t er minando con el pr imer o.S =1 +2+3 +4+ .... +(n - 1) +n+S =n +(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ...+ 2 + 12S =(n +1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +...+ (n +1) + (n +1) . r p u u p a na p a+ + +( )r a n u ua n + ( )r a n u ua n + { }{ }a n n,... 3 , 2 , 1 u( )( )21 n nS 1 n n S 2+ + 67Clculo diferencialGeneralizando, podramos hallar por medio de un proceso anlogo la suma S de los n primerostrminos de una progresin aritmtica de primer trmino ua y de diferencia comn r.Escr ibimos dos veces la misma suma: la pr imer a, en la for ma convencional; la segunda,comenzandopor ellt imot r minoyt er minandopor elpr imer o:S =ua + (ua + r ) + (ua + 2r ) + ...+ (ua + (n - 1) r )S =(ua + (n - 1) r ) +(ua + (n - 2) r ) + ... +ua2S = n [2ua+ (n - 1) r ] n [2ua+ (n - 1) r ]S =2Unpr oyect ildispar adover t icalment ehaciaar r ibar ecor r e16025mdur ant eelpr imersegundo,16.000mdur ant eelsegundo,15.975mdur ant eelt er cer segundo,yassucesivament e.Sisesuponequeelmovimient odelpr oyect ilseciealoobser vadodur ant elos3pr imer ossegundo:a) Qu dist ancia habr r ecor r ido dur ant e el cuar t o segundo? dur ant e el quint o?b) A qu t ipo de sucesin cor r esponden dichos dat os? cules son las car act er st icasde dicha sucesin? y cul ser su t r mino n-simo?c) Qu dist ancia t ot al habr r ecor r ido al cabo de 12 segundos?Sol u ci n :a) El proyect il recorri el primer segundo una dist ancia u1= 16025m; durant e el segundor ecor r i una dist ancia de u2 = 16000 m, menoren 25 m a aquella r ecor r ida dur ant eel segundo (u3 = u1 - 25); durant e el t ercer segundo recor r i unadist a ncia u3 = 15975m,menor en 25 m a aquella recorrida durante el segundo (u3 = u2 - 25).Si la propiedad observada sigue siendo vlida, podremos decir que el proyectil recorrerdur ant e el cuar t o segundo una dist ancia menoren 25 m a aquella r ecor r ida dur ant eel t ercer segundo, o sea:Enformasimilar,duranteelquintosegundorecorrerunadistanciamenoren25maaquella recorrida durante el cuarto segundo, o sea: 1Ejemplom 15950 25 975 . 15 25 u u3 4 950 . 15 25 25959 25 u u4 5 Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD68b) Losdat osdedist anciarecorridaporelproyect ilcorrespondenent onces,enest ascir cunst ancias,aunapr ogr esinar it mt icadepr imer t r minou1=16025ydedifer encia comn negat iva r= - 25Sut rminoensimoserdelaforma:c) La dist ancia t ot al recorrida por el proyect il al cabo de 12 segundos, corresponderpor lot ant oalasumadelosdocepr imer ost r minosdelapr ogr esin;porconsiguient e,dichadist anciaseent oncesde:Osea,r eemplazando:1.4.1.1Propiedades de la progresin aritmticaDe acuerdo con la definicin de progresin arit mt icaVemos ent onces, que la difer encia comn res la que define la sit uacin:a. Si r> 0, ent onces :cuando r> 0 la pr ogr esin escr ecient eb. Si r< 0, ent onces : cuando r< 0 la pr ogr esin esdecrecient eAhora, si r =0, entonces:yporlotantolaprogresinesconstante.Compor t amient o de la pr ogr esin ar it mt ica par a gr andes valor es de n.( ) ( ) 1 n 25 16025 r 1 n u u1 n + ( ) ( ) [ ]m 190650225 11 16025 2 12S +r un 1 nu +n 1 nun 1 nu u 0 u > + +n 1 nun 1 nu u 0 u < + +n 1 nun 1 nu u 0 u + +( ) [ ]2r 1 n u 2 nSa + 69Clculo diferencialSi seguimos examinando la suma de lo quepodra disponer el seor X, por concept o deint ereses acumulados (no reinvert idos) al cabo de n aos y de la que afirmbamos que set r at aba de una pr ogr esin ar it mt ica de difer encia comn r= 2500 y de t r mino inicialu0 =0,veamoscmo,aot r asao,seibaincr ement andodichasumadediner o, mient ras no nosdet uvir amos,ysinqueselepudier aasignar unt ope,esdecir ,unacot asuper ior .Podamosent oncespr egunt ar nos:unapr ogr esinar it mt icacr ecient ededifer enciacomn r posit iva ser acot ada? o bien seguirn sus t rminos creciendo indefinidament e?Busquemosent onces,deacuerdoconladefinicindesucesinacot adasuperiorment e,el nmero M t al que para t odo nat ural del conjunt o I se cumpla que:Pero si, de acuerdo con la definicin de progresin arit mt ica:ent onces podemos escribirEfect uamos el product o y despejamos n:Est adesigualdadnosrest ringedehecholosvaloresquepuedent omarelnat uraln;la r elacinun M no se cumple para t odo nat ural n; la progresin no est por lo t ant oacot ada superiorment e, yal no serlo, t ampoco es acot ada.Sepuedehacer unr azonamient osimilar par aunapr ogr esinar it mt icadedifer enciacomn rnegat iva (y port ant o decr ecient e) y ver ificarque la pr ogr esin no est acot adainferiorment e, y por lo t ant o no es acot ada.Podemos concluirque si definimosest a sucesin de diferen-cia comn r no es acot ada.( ) ... 12500 u , 10000 u , 7500 u , 5000 u , 2500 u ; 0 u5 4 3 2 1 0 . Mnu ( )r a n u ua n + ( ) . M r a n ua +( )rar u Mn 0 r si y ar u M nr M r a n uaa a+ > + +{ } ( ) { } r r n a u0 n + Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD70Par a las sucesiones pr opuest as en los ejer cicios 1 a 4, indicarsi se t r at a o no deunapr ogr esinar it mt ica.Cuandolosea,hallar sudifer enciacomnysut r minoensimoenfuncinden.1. 2.Par alassucesionespr opuest ascalcular ladifer encia ydependiendodesiesconst ant eono,indicarsilasucesinesunaprogresinar it mt ica.Cuando lo sea, hallarsu difer encia comn y su pr imert r mino.3. 4*.Par a las pr ogr esiones ar it mt icas pr opuest as hallarr pidament e la suma de loscinco pr imer os t r minos (par t iendo de u0).5. 6.7.Dada la pr ogr esin ar it mt ica de difer encia comn r= 4, y sabien-doquelasumadesus54primerost rminosesde270,hallarelprimert r mino y la expr esin par a el t r mino n-simo.7. Dada la pr ogr esin ar it mt ica det r minou1 =0,den-esimot r -mino 6 y sabiendo que la suma de sus n- pr imer os t r minos es igual a 150,hallarel nmer o de t r minos incluidos en la suma, y la difer encia comn dedicha pr ogr esin.8. Dada la pr ogr esin ar it mt ica de difer encia comn r= 2, sa-biendoquelasumadesusnpr imer os t r minosesiguala410yqueeln-simo t r mino es igual a 50, hallarel nmer o de t r minos incluidos en lasuma y el pr imert r mino.Ejercicio 1.430un 1 nu ; 6 u ++ 10un 1 nu ; 3 u 2 ++ ( )n 1 nu u +{ })'+ 1 n23un{ } { } 5 n 3 un+ { } { } 3 n un+ { } { } 1 n un { }1 n nu{ }1 n nu{ }1 n nu 71Clculo diferencial1.4.2La progresin geomtricaUna sucesinr ecibe el nombr e de pr ogr esin geomt r ica si y slo si, par at odo nat ur al n mayoro igual que a, se cumpleEl nmer o q r ecibe el nombr e de r azn comn de la pr ogr esin geomt r ica.Como ya lo hemos observado, nuest ra definicin de progresin geomt rica est dada poruna fr mula de r ecur r encia.Per o en gener al, nos int er esa t r abajarcon una expr esinquenosper mit ahallar dir ect ament eunt r minoun sint ener quecalcular t odoslosant er ior es. En el pr imerejemplo del capt ulo, t al det er minacin r esult aba muy sencilla,puest o que t enamos:Ent onces el n- simo t rmino de la progresin geomt rica de razn comn q, lo podemosescr ibircomo:Trat emos de generalizar est e proceso:Par a una pr ogr esin geomt r ica de r azn comn q, podemos afir mar :Gener alizando, el t r mino n - simo de una pr ogr esin geomt r ica de pr imert r minoy r azn comn q ser de la for ma:{ }a n nun 1 nu . q u +( )0n2n;0u320u22 22u 23;0u220u 2 21u 22;0u 21u u u u u ,_

0nq1u u { }a n nu( )( )aa nnapp aa2a 1 a 2 a a 1 au q u n p a : si yu q uu q u q q u . q u ; u . q u++ + + + U( )aa nnu q uFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD72Suma de los n pr imer os t r minos de una pr ogr esin geomt r ica.Part iendo de la progresin geomt ricadefinida por:Supongamos que deseamos hallar la suma de sus n primeros trminos, que llamaremos S.Det er minemos inicialment e q. SHallemosahoraladiferenciaqS-S:Porconsiguient e:Despejamos a S:Sepuedegener alizar est epr ocesoalasumadelosnpr imer ost r minosdeunapr ogr esin geomt r ica de r azn q y de pr imert r mino ua(q 1)

, siguiendo el procesoant er ior :Lo que est en el parnt esis es la suma que hemos obt enido ant eriorment e, ent onces:{ }nu)'+1 n 3 2q ,... q , q , q , 11 n 2q ... q q 1 S+ + + + ( )1 n 2 n 3 2q ... q q 1 q ... q q q S S q+ + + + + + + + ( ) 1 q 1 q Sn 1 q1 q1 qSn

,_

+ + + + + + + +1 nq ...2q q 1aa1 n...a2qaqauu q u u u S1 q1 quS1nqa

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n 3 2q ... q q q S q + + + + 73Clculo diferencialLa suma de los n pr imer os t r minos de la pr ogr esin geomt r ica de r azn comn q = 1/2 y de t r mino inicial ua = 3.De acuer do con la expr esin ant er ior :si n = 5Tenemos un cuadrado cuyo lado es de 36m; unimos los punt os medios de dichos lados ent al forma que obt enemos un nuevo cuadrado inscrit o en el primero. De la misma manera,unimos los punt os medios del segundo cuadrado, obt eniendo un nuevo cuadrado inscrit oen el segundo; y as sucesivament e.a) Calcular losper met r osdelpr imer cuadr ado,delsegundocuadr ado,delt er cercuadr ado.Qur elacinexist eent r eellos?b) A qu t ipo de sucesin corresponden dichos dat os?Cules son sus caract erst icas?c) Cul ser la suma del permetro de los seis primeros cuadrados obtenidos en esa forma? 1Ejemplo{ })',...23,...23,23, 3 u1 n 2n( )( )1693163 31321 326211 6 S5 ,_

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nn211 61211213S 2EjemploFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD74a)El permet ro del primer cuadrado ABCD es:u1 = 4 (36) = 144 mEl segundo cuadrado A B C D, la longit ud del lado, segn el t eorema de Pit goras:Tendr un permet ro de:El t ercer cuadrado A B C D, la longit ud del lado, segn el t eorema de Pit goras:Tendr un per met r o de: u3 = 4 (18) = 72 mPar a verla r elacin que exist en ent r e ellos, examinemos los cocient es:BC DA B'B" A"D" C"D'C' A'( ) . m . 2 18 2 / 36 22( ) . m 2 72 2 18 4 u2 18m22 1822

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2312uuyuu 75Clculo diferencialPoruna par t e: .Porot r a par t ePodramosseguirrepit iendoelprocesoyverquecadapermet rosededucedelant er ior , mult iplicando poruna const ant e:b) Porlot ant o,podremosdecirquelosdat osdelospermet rosdeloscuadradoscorresponden a una progresin geomt rica de razn comny de pri-mert r mino u1 = 144; sun-simo t r mino ser de la for ma:c) La suma de los permet ros de los seis primeros cuadrados obt enidos ser:Reemplazando:1.4.2.1Propiedades de la progresin geomtricaSen t i d o d e va r i a ci nd e lap r ogr esi ngeomt r i ca :Cundopodemosdecir queunapr ogr esingeomt r icaescr ecient e,decr ecient eoest acionar ia?Ret or nemosanuest r osejemplos.Lagr ficadelapoblacinur banaunenfuncindelnmero de aos n t ranscurridos a part ir de 1983 muest ra una clara t endencia ascendent e;r ecor demos quecor r espondea unapr ogr esingeomt r icade r azn comn q = 1.05(q > 1) y de t r mino inicial u0 =5850000(u0 > 0).Puest o que cada t r mino es mayorque el inmediat ament e ant er ior , nos hallamos fr ent e a una sucesin cr ecient e.221442 72uu12 22212 7272uu23 22q 22q 1 n1 nn n22144 q u u

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( )1 q1 q uSn1( ) m 2 2 126122122144S6+

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Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD76A su vez, la grfica de la poblacin rural vn en funcin del nmero de aos n t ranscurridosa part ir de 1983 muest ra una clara t endencia descendent e; recordemos que correspondena una pr ogr esin geomt r ica de r azn comn q =0.97( 0 < q < 1) y de t r mino inicialv0 =3250.000.(v0 >0).Puest oquecadat r minoesmenor queelinmediat ament eant er ior , nos hallamos fr ent e auna sucesin decr ecient e.En forma int uit iva vemos que el sent ido de variacin de la sucesin (el hecho de que seacrecient e, decrecient e o est acionaria) depende de la razn comn y del primer t rmino dela sucesin.Analicemos est os par a el caso gener al.Dadaunapr ogr esingeomt r icader azncomnqydet r minoinicialua ,podremosdecir si es crecient e, decrecient e o est acionaria, dependiendo del signo de la expresin:Per o siSabemos adems que:Ent oncesEst a expresin nos permit e ver clarament e cmo el sent ido de variacin de la progresingeomt ricadepende de los signos deEl est udio de dichos signos nos lleva a los r esult ados que r esumir emos a cont inuacin:P RIMERTRMINO RAZNCOMN SENTIDODEVARIACINDELASUCESINuaq> 0 0 < q < 1 sucesin decr ecient e> 0 1 < q sucesin cr ecient e< 0 0 < q < 1 sucesin cr ecient e< 0 1 < q sucesin decr ecient e0 cualquier a sucesin const ant e nulacualquier a q = 0 sucesin const ant e nula (apar t irdel segundo t r mino)cualquier a q = 1 sucesin const ant eq < 0 sucesin ni cr ecient e, nidecr ecient e, ni const ant e(los t r minos son alt er nadament eposit ivos y negat ivos)n 1 nu u +( ) 1 q u u u q u u qn n n n 1 nun 1 nu + +a na nq u u( ) 1 q q u ua na n 1 nu +{ }a n nu( ) 1 q y , q , ua 0 77Clculo diferencialComport amient o de la progresin geomt rica.Qu ocur r e cuando n cr ece?Enelejemplodelcont r olmicr obiolgico,enelquet enamosunpr ogr esingeomt r icadefinida por: veamos que, si en vez de det enernos enn = 6 hubisemos proseguido, los valores de un hubiesen sido cada vez mayor es:Visiblement e,enelejemplodelapoblacinruraldeunazona,correspondient eaunaprogresin definida pornn= 0.97 v0 (v0= 3250000; q = 0.97) veamos que a medida que ncreca, los valores devn menguaban; si no nos hubisemos det enido, sino que hubisemospr oseguido,losvalor eshubiesenseguidodisminuyendocadavezms,ver ificndosesiempre la desigualdad: v0 0.Est a pr ogr esingeomt r ica der a znq=0.97cor r esponda por lot a nt oa unasucesina cot a da .Engener al,acept ar emosqueunapr ogr esingeomt r icanonulader azncomnqes acot ada si, y slo si;( ) 2 q ; 1000u0n2nu u ( ) ( )32 100100;510 024 . 1 1001021010 27 . 1 100 2 u u ( ) 1 q 1 si , sea o 1 q Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD78Indicar en cada caso si la sucesin es o n una pr ogr esin geomt r ica.Enel caso que lo sea, hallarsu r azn comn y el t r mino un en funcin de n.1. 2.3. 4.5.6. Dada la sucesin definida por: ,ypor lafr mulader ecur r encia ; si es la sucesindefinida por la relacina) Hallarel valorde i que per mit e que sea una progresin geomt rica.b) Expr esarvn en funcin de n7. 8.9.10. Silacanast afamiliarparalosobreroscuest a24000pesoselprimerodeenero de 1984 (u0), y si se supone que la t asa promedio de inflacin mensuales del 1.4%, cunt o podr a cost ardicha canast a?-El primero de febrero de 1984 (u1)?-El primero de marzo de 1984 (u2)?-El primero de abril de 1984 (u3)? -El 31 de diciembre de 1984 (u12)?b) Aqut ipoespecialdesucesinsecienest osdat os?Culessonsuscar act er st icas?c) Sisesuponequelat asapromediodeinflacinanualpara1984serdel17%, cunt o cost ar a dicha canast a al final del ao?d) Cul ser la t asa pr omedio de inflacin mensual par a ao 1984,. a par t irde una t asa promedio de inflacin anual del 17%?Ejercicio 1.5{ }nu1 u ; u 3 u0 n 1 n +1 u u 3 u0; 2n 1 n + +( ) 1 u u u0;021 n +{ }0 nnn2 u)'{ }1 nnn31v)'

,_

{ }0 n nu2 u0 ( ){ }nnnuv si ;24 uU+i u vn n+ { }nv{ } ( ) { } 1 n 5 un { })' n2 un{ } ( ) { }1 nn1 2 un 79Clculo diferencial1.5.1Conjunto de puntos, intervalos y vecindadesLocalicemos un conjunt o de punt os (nmer o r eales) sobr e el eje r eal o sobr e la r ect a r eal,est o lo denominamos como un conjunt o de punt os unidimensionales.Esimport ant erecordarlosconocimient osadquiridossobreint ervalosest udiadoenlat emt icas de desigualdad.Vecin d a d :Veamos el conjunt o de t odos los punt os x t ales que | x - a|< , donde > 0.Est econjunt ot ieneunaconnot acinespecialylollamar emosunavecindaddecent r oa y r adio.Ut ilizar emos la not acin par a la vecindad de cent r o a y r adio . Debemos cit arque t ambin es muy ut ilizada la not acinpar a la misma vecindad, es decir ,cent ro de a y radio.Al conjunt o de t odos los punt os x t al que , en el cual exclumos x = a lodenominamos unavecindadreducida de cent roa yradio, ut ilizar emos la not acinpar a la vecindad r educida.Tengamos encuent aque .Examinemosahor aconmayor det enimient ounavecindaddecent r oen2yr adio0.001V0.001 (2) o lo que es lo mismo:Vemos que t ambin hubisemos podido expresarla de ot ra manera.hubisemos podido escribirot ambin:Sucesiones queconvergen a cero1.5( ) a V( ) a N < < a x 0( ) ( ) a N a V ( ) ( ) { } a a Va V

1]110002001,10001999V] 001 . 0 2 , 001 . 0 2 V + 001 . 0 2 x < Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD80Concualquier adeest asexpr esionesnosr efer imosalamismavecindad.Podemosverla r epr esent acin gr fica de dicha vecindad en la figur a 1.41.5.2Definicin de sucesin convergente a ceroPar t amosdeunejemploquenosper mit apasar fcilment edelconcept oint uit ivoala definicin for ma.Tomemos la sucesin , calculemos algunos t r minos yob-ser vemos qu ocur r e:Ubiquemosenunejehor izont allospunt oscor r espondient esalost r minosdelasucesin.FIGURA1.5Grfica para algunospuntos de la sucesin0 -1x1214131101816191715u1u3u5u7u8u9u6u4u2u10FIGURA1.4Vecindad de centro en2 y radio 0.001Ntese que el intervaloes abierto 19992 2001(){ }( ))' n1un1 nn;101u ;91u ... ;41u ;31u ;21u ; 1 u10 9 4 3 2 1 100011u ... ;10001u ...; ;991u10001 1000 99 { }nu( ))'n1n 81Clculo diferencialQu not amos?Vemos int uit ivament e cmo, a medida que n aument a y t oma valor essuficient ement e gr andes, los t r minos de la sucesin van t omando valor es cada vezmscer canosacer o;aunqueningunot omeelvalor decer o.Por ejemplo,apar t ir den>100,(N=100),t odoslost r minosdelasucesinser nmenor esenvalor absolut oque0.01ypor ende,est ar nenlavecindaddecent r ocer oyr adio0.01,oloqueeslomismoEn for ma similar , a par t irde n > 1000, (N = 1000), t odos los t r minos de la sucesinser nmenor esenvalor absolut oque0.001;t odosest ost r minosest ar nenlavecindad de cent r o cer o y r adio 0.001, es decir :Sediceent oncesquelasucesinconver geacer o.Enfor masimilar r ecor demosr pidament eelejemplodelapoblacinr ur alendescenso de una zona del pas, cuya expr esin er a par aelpr imer odeener odelao(1983+n).Siendomuyosados,supongamosqueest er it modedisminucindepoblacinr ur alsemant ieneconst ant eindefinidament e,ynosloporuna dcada, como se haba plant eado inicialment e.Qu pasar a a medida quet r anscur r ier anlosaos?Hallemosalgunosvalor esyexaminmoslos.s i n= 0v0 =3250000sin=10v10 =(0.97)10 (3250000) 2400000sin=20v20 =(0.97)20 (3250000) 1770000sin=100v100 =(0.97)100 (3250000) 150000si n = 1000v1000 =(0.97)1000 (3250000) 0( ))'n1n01 . 0 un +2 22 2nn 31 n1 n 3n 1 n y n 3 1 n 3 + < 89Clculo diferencial0n1lm ) u ( lmn ,_

Por lot ant o,par at odonat ur aln 1Sillamamost endr emos:1) y2)De acuer do con el cr it er io de compar acin:Demost r emos,conbaseenelcr it er iodecompar acinquelasucesindefinidaporDesea mos exa mina rel t r minoEvident ement equen>10ent onces .Sit omamoslosinver sos:Hemos hallado una sucesin que hace posible aplicarel cr it er io de compar acin, esdecir ,lasucesin.Comoest alaconocemosysabemosque

,_

N, se cumple que:Una sucesin no convergent e se denomina divergent e.Tr as habervist o int uit ivament e cmo conver ga la sucesinal lmit e L = 2, demost r moslo con base en la definicin.Debemos ent onces hallar un natural N tal que, para , si n > NentoncesExaminemos la lt ima condicin:Hagamos el comn denominador :{ })'+1 n3 n 2un{ }nu{ } L un{ }nuL u lmn n{ } 0 L un { }nu{ } L un < Lnu{ })'+1 n3 n 2un{ } L un0 > < + < 21 n3 n 2L un L u entonces N n si, n0{ })'+1 n3 n 2un 2Ejemplo{ })'+1 n 2n 3un6671000u67100u2536u2333u710u1927u1724u57u1318u1115u34u79u56u 1 u 0 u1000 100 12 1110 9 8 7 65 4 3 2 1 0 Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD98Vemos cmo, a medida que n aumenta y toma valores lo suficientemente grandes, los trminosde la sucesin se van aproximando cada vez ms a 3/2, sin llegar a tomar dicho valor.Par a asegur arque la sucesin conver ge a 3/2 necesit amos hallarun nat ur al N t al que,si n > N,ent onces:En nuest ro caso:Efect uemos la operacin indicada.Simplifiquemos:Debemos porlo t ant o hallarun nat ur al N t al que, si n > N, se cumpla que:Invert imos la fraccin en la desigualdad:Despejamos el t r mino n:FIGURA1.7Grfica para algunosvalores de la sucesinx0 165974332u0u1u2u3u4u100)'+1 n 2n 3 < L un < + < 231 n 2n 3L un N,ent oncesExaminamos la lt ima condicin:Efect uamos las oper aciones indicadas y simplificamosObervamos que por una part e: >42 3n > < + 42 3n todo para231 n 2n 3 42 3 > > > L u N n yn 0{ })'+1 n 2n 3un 3Ejemplo{ })' 2 n 7n 3un > L un0 > < < 732 n 7n 3L un( ) < + > < 492 3 7 2 7n L un

,_

+ 492 3 7 2 7 < > > 73u ent onces N n si, n0{ })' 2 n 7n 3un2 n 7 2 n 7 0 2 n 7 > { }nu { } L un{ } 0 L un { } L un 101Clculo diferencialExist en ent onces dos nmeros reales m y M t ales que:Basndonos en las propiedades de las desigualdades, podemos entonces escribir que:Est o nos permit e ver que a su vez, la sucesin es acot ada.Concluimos ent onces que:Toda sucesin convergent e es acot ada.2) Es posible demost r arlos t eor emas siguient es y nosot r os los admit ir emos:una sucesin convergent e no puede t ener ms de un lmit e.3) Si una sucesin est compr endida ent r e dos sucesiones que t ienen el mismo lmit e,t ambin t iene el mismo lmit e.O sea, sison sucesionest ales que:a)b) Exist e un nat ur alEst e t eorema se conoce como el t eorema del emparedado.4) Sean t res sucesiones t ales que:a)b) si exist e un nat ur al n0t al que, si n > n0 :Ent oces:5) Una sucesin mont ona acot ada es convergent e.O sea, si par aM L u mn L Mnu L m + +{ } { } { }n n nw y v , u{ } { } L v y , L un n { } L w Ent onces . v w u n n si , que t al nn n n n 0 0 >{ } { } { }n n nw y v , u{ } { } { } y L w y L v , L un n n n n nv w u L L L { } M u m y u u bien o u u bien o dada un n 1 n n 1 n I nn > < + + Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD102Ent onces:6) Una sucesin decr ecient e acot ada infer ior ment e es conver gent e.O sea, sipara dada:Est udiemos la convergencia de la sucesin.Calculemos algunos desus t r minos:Vemosquenoshallamosfrenteaunasucesincreciente,noacotadapuestoquenopodemosdeterminar una cota superior M tal que, para todo n mayor que N se cumpla que:Segn vimos ant er ior ment e, t oda sucesin conver gent e es acot ada.Porlo t ant o, sies una sucesin no acot ada, t ampoco ser conver gent e.no es convergent e.Est udiemos la conver gencia de la sucesin:{ } L un{ }nu{ } m L y L u m u y , u un n n 1 n,I n + 1Ejemplo{ } { } 5 n u2n+ Mnu { }nu{ } { } 5 n u2n+ 2Ejemplo{ }( )( ) 2 n ;1 nn sen 1 n 3wnn)' +86 u , 69 u , , 30 u , 21 u , 14 u, 9 u , 6 u , 5 u9 8 5 4 32 1 0 103Clculo diferencialPar a t odo nat ur al se cumple que:De donde:Si denominamos:Nos hallamos en la sit uacin en la que:Y comopodemos comprobar fcilment e con base en la definicin que:Por consiguient e, la sucesin ser t ambin convergent e, y por el t eorema del emparedado:Est udiemos la conver gencia de la sucesin:Vamosinicialment eat r at ar deenmar car laent r edossucesionesmssencillas,cuyaconver gencia la conozcamos.Empezamosent oncespor enmar car elnumer ador delafr accincor r espondient ewn;puest o que:( ) 1 n sen 1 1 1 n sen 1n ( ) ( )1 n1 n 31 nn sen 1 n 31 n1 n 3+ +{ } { })'+)'1 n1 n 3v y1 n1 n 3un nn n nv w u { } { } 3 v y 3 un n ( )31 nn sen 1 n 3n)' + 3Ejemplo{ }( ) )'+ +22n2 n1 n nw( ) 2 n n 1 1 n n 1 n n2 2 2 + + +Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD104Dado que:Ent onces:Volvamos a la sucesin essiempr eposit ivopodemosescr ibir .Fact or icemos:Simplifiquemos:Denominemos:Tendr emos:Conocemos que:Porlo t ant o, la sucesin ser t ambin una sucesin conver gent e y conver ge a 1.( ) n n 1 1 n n 1 n n2 2 2+ + + < +n n 1 n n 2 n n2 2 2+ < + < +{ } ( )2n2 n que puest o , w +( ) ( ) ( )2222222 nn 2 n2 n1 n n2 n2 n n++ >5B71e B unn

,_

+ > >5B log71log n B unB u N n si ,n 0 B> > >{ })' + 5e 7 unnEjemplo 4Ejemplo{ })'+ 5 n73vn{ }nvB vn + >Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD116Examinemos la lt ima desigualdad:Despejamos el t r mino en n!Si le asignamos a N el mayorent er o cont enido envemos que se cumplela condicin requerida:Y podemos asegurar que la sucesindiverge a menos infinit o( ) .1.7.2Propiedades de las sucesiones divergentesEn gener al, par a demost r arque una sucesin{un}es diver gent e y en par t icularlas quet iendehaciainfinit o( ) + , ,sepuedeemplearladefinicin,peroamenudoseprefiere emplear las siguent es propiedades:1.2.3.Si , y si exist e un nat ur al n0, t al que, si n > n0, se cumple que:

ent onces4.Las siguient es sucesiones t ienden hacia el infinit o:B 5 n73B vn < + + > >{ })'+ 5 n73vn{ } { } { } { }{ } { }{ } { } + + + + + + + ++ +n nn nn n n n n nu . a a si y u Siu . a a si y u Siv u y v u v y u SiRR{ } + nun nu v { } + nv{ }{ } { } ( ){ } ( ) { } n 1 q q0 m n 0 a annm>> > 117Clculo diferencial5.Not a:En for ma similar

ent oncesDemost remos que la sucesines divergent e.De acuerdo con las propiedades ant eriores, ya sabemos que una sucesin del t ipo {kn },con k > 0, es diver gent e y t iende hacia ms infinit o (+ );porconsiguient elasucesin)'n35dondek=5/3(k>0)ser diver gent eyt ender haciamsinfinit o(+);lasucesin t ambin ser diver gent e y t ender hacia ms infinit o (+ ) .Demost r emos que la sucesin es divergent e. y si exist e un nat ur al n0 t al que: si n > n0 se cumple que{ } { }{ } { } t + t + a u a ; u Sia u a ; u Sin nn nRR{ } { } { }{ } { } { }{ } { } + + + n*nn n n nn n n nu . a a y ; u Siv . u , v y ; u Siv u , v y ; u SiR{ } { }{ } ; u Siu . a a y ; u Sinn*n + R{ } nvn nu v 1Ejemplo{ })'+ 2 n35un{ })'+ 2 n35un )'+ 2 n35 2Ejemplo{ })'+ + + + 5 n 3 n51n43n 2 w2 3 4nFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD118Podemos considerar que, de acuerdo con las propiedades enunciadas ant eriorment e:a.b.Examinemos la sucesin element alPorlas mismas r azones, o mejor , pr opiedades de las sucesionesY porlo t ant o, podemos concluir :Demost remos que la sucesin es divergent e.Compar moslaconunasucesinmssencillayconocida.Examinemoselnumer ador .Sabemos que:Por lo t ant o:Pero de acuerdo con las propiedades enunciadas ant eriorment e, sabemos que la sucesin{ un } = { n } es diver gent e y t iende hacia ms infinit o (+ ).Porlo t ant o, la sucesin que cumple con la condicin: vn > un t ambin ser diver gent e yt ender hacia ms infinit o (+ ).{ }{ } { } + + > + + n*nmau a y , u) 0 m si ( nR{ } { }4nn 2 u { } { } { } ) a ; 2 a ( n 2 u y ) 0 m ; 4 m ( n* 4n4+ + > + R{ } { } { } { } . finito ms a tienden y s divergente son n 3 y ; n51t ; n43vnn3n2)')'{ } + )'+ + + + 5 n 3 n51n43n 2 w2 2 4n 3Ejemplo{ })'+ +n3 n 3 nv2n23 n 32n n > + +( ) 0 n nn3 n 3 nnnn3 n 3 n2 2 2>+ + >+ +{ })'+ +n3 n 3 nv2n + )'+ +n3 n 3 n2 119Clculo diferencialDemost remos que la sucesin es divergent e.Compar emos dicha sucesin con ot r a ms sencilla y conocida.Para t odo ent ero posit ivo n: nnn 2 < De acuer do con las pr opiedades enunciadas ant er ior ment e, sabemos que la sucesines divergent e y t iende hacia ms infinit o (+ ).Por consiguient e, la sucesin ser diver gent e y t ender hacia menos infinit o(- ).Dado que adems la sucesin verifica la desigualdadPodemos concluirque ser diver gent e y t ender hacia menos infinit o (-).

)' nn 2 4Ejemplo{ })' nn 2vn{ } { } n wn{ } { } ( )*nk 1 k con n k u R{ } { } ( )*nk 1 k con n k u R{ })' nn 2vnn nv u < Sucesiones conformas indeterminadas1.8Tenemos dos sucesiones { un } y{ vn } t ales que{ un } + n y{ vn } n.Qu concluimos en cuant o al lmit e de la sucesin { un+ vn }?Nada podemos decir.Se t rat a de una forma indet erminada.Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD1201)2)3)4)5)6)7)Un caso par t icularlo vimos en la seccin 1.6.3 cuando t r abajamos con la sucesinr ecor demos que st a sucesin conver ge ae.En cier t os casos podemos levant arla indet er minacin, y porlo t ant o hallarel lmit e dela sucesin.Est o ocur r e a menudo con las expr esiones en las que int er vienen fr accionesor aces.Ent onces r ecur r imos a pr ocedimient os como el que a cont inuacin exponemos:1.8.1Lmites de expresiones racionalesGeneralizando, exist en ciert as combinaciones de sucesiones a las que no podemos aplicarlas reglas mencionadas ant eriorment e, puest o que no se cumplen las hipt esis requeridas.A t ales combinaciones las denominamos formas indet erminadas.Lo ant erior lo podemosr esumiren los casos siguient es: forma la de lmite ; v y u si ) v / u ( lmn n n n00forma la de lmite ; 0 v y 0 u si ) v / u ( lmn n n n ) ( ) 0 ( forma la de lmite ; v y 0 u si ) v . u ( lmn n n n ) ( forma la de lmite ; v y u si ) v u ( lmn n n n + + + 1 forma la de lmite ; y 1 u si )nu ( lmnnn00 forma la de lmite ; 0 y 0 u si )nu ( lmnnn 0forma la de lmite ; 0 y u si )nu ( lmnnn )'

,_

+nn11 1Ejemplo{ })' + + +1 n 3 n 22 n 10 n 5 n 3u22 3n 121Clculo diferencial2n1n32 lm2

,_

+entonces , 0n1l m3n2n10n53 l m3 2 ,_

,_

+ +Siexaminamoscadat r minodelnumer ador ydeldenominador ,vemosquealaplicarlas r eglas ant er ior es llegar amos a una for ma indet er minada del t ipoPar alevant ar dichaindet er minacin,r ecur r imosaunar t ificio:fact or izamosenelnumer adorel t r mino de mayorgr ado en n; r epet imos el pr oceso par a el denominador ;simplificamos ;exa min a mosellmit edela expr esin r esu lt a n t e,qu enor malment e hemos de poderdet er minarsin mayor es dificult ades.Par aDe acuer do con lo vist o ant er ior ment e, t enemos: ; ;;Porconsiguient e:Podemos deducir que:

,_

nu( ) 0 n

,_

+

,_

+ + + + +2n1n32 nn2n10n53 n1 n 3 n 22 n 10 n 5 n 3u23 2322 3n0 n

,_

+

,_

+ +23 2nn1n32n2n10n53 nu ,_

0n5lm n n0n2lm3

,_

n n0n3lm ,_

0n10lm2

,_

0n1lm2

,_

n n n23n1n32n2n10n53lm23 2

,_

+ + + nFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD122; 0n1lm ; 0n5lm ; 0n3lm2 ,_

,_

,_

De donde:Ent onces:Examinemos la sucesinAlaplicar lasr eglasmencionadasinicialment e,vemosquellegar amosaunafor maindet erminada del t ipo .Recur r imos ent onces al ar t ificio ya explicado: fact or izamosen el numer adorel t r mino de mayorgr ado en n; hacemos lo mismo con el denominadory luego simplificamos .Buscamosluegoellmit edelaexpresinresult ant e.Por lo t ant o:Par a :De acuerdo con lo vist o ant eriorment e: +

,_

+

,_

+ +23 2n1n32n2n10n53 nlm n + )' + + +1 n 3 n 22 n 10 n 5 n 322 3 2Ejemplo{ })' + + 2 n 3 n n 55 n 3 n 2v2 32n( ) 0 n 0 n

,_

+

,_

+ 3 2322nn2n3n15 nn5n32 nv

,_

+

,_

+

,_

3 22nn2n3n15n5n32n1v n n n; 0n2lm ; 0n3lm3 2

,_

,_

n n 123Clculo diferencial052) 0 (2 n 3 n n 55 n 3 n 2lm v lm2 32n ,_

+ + Porconsiguient e:Podemos concluir :Y comoExaminemos la sucesinAlaplicar lasr eglasmencionadasinicialment e,vemosquellegar amosaunafor maindet erminada del t ipo .Hacemos ent onces lo suger ido ant er ior ment e, fact or izamos, simplificamos y calculamosel lmit e de la expresin result ant e5n2n3n15 lm y ; 2n5n32 lm3 2 2

,_

+

,_

+ n n52n2n3n15n5n32lm3 22 +

,_

+ n nentonces , 0n1lm ,_

n n02 n 3 n n 55 n 3 n 22 32)' + + 3Ejemplo{ })'+ +3 n 2 n 55 n 3 n 2w22n0 n 222222nn3n25n5n32n3n25 nn5n32 nw +

,_

,_

+Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD124De acuerdo con lo ya est ablecido:Podemos concluir , ent onces que:Qu obser vamos en los ejemplos ant er ior es?Que una expresin de t ipo racional cuyo numerador era de grado superior al denominador,diverga y t enda hacia el infinit o.Que una expresin de t ipo racional cuyo numerador era de grado inferior al denominador,conver ga y t enda hacia cer o.Queunaexpr esindet ipor acionalcuyonumer ador er adelmismogr adoqueeldenominador, converga y t enda hacia el cocient e de los coeficient es de los t rminos demayorgr ado del numer adory del denominador .2n5n32 lm entonces ; 0n5lm ; 0n3lm2 2

,_

+

,_

,_

n n n5n3n25 lm entonces ; 0n3lm ; 0n2lm2 2

,_

+

,_

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n n n52n3n25n5n32lm w lm22n + n n523 n 2 n 55 n 3 n 222)'+ + 125Clculo diferencialQuer emos hacerun coment ar io muy br eve de una her r amient a muy t il, que nos br indala t ecnologa, par a hacerclculos, clar o que t ambin podemos hacergr ficas, como sonlas comput ador as y las calculador as de bolsillo.Ant e t odo, debemos invit ara nuest r osquer idoslect or esaver ificar el,asllamado,soft war edesur espect ivacalculador aocomput adora; una cuest in import ant e es saber la capacidad del respect ivo inst rument o,y porende, como almacena los nmer os y como hace los clculos.No pr et endemos, deningunamaner a,ent r ar enpr ofundidadconest osasunt os;solodeseamosqueselogr et enerunsent idodeloquelat ecnologanosdepara,peroalavez,t enerelsuficient ejuicio par a t enerel cuidado de no cr eerque siempr ey en for ma incont r over t ible dichasher r amient as son infalibles; a su vez, t omarconciencia de los clculos que r ealizan.Par a empezarveamos algunaspot encias de 2, es decir , 2n.Las pr egunt as que debemoshacernos en est e caso el result ado obt enido es exact o?, habr posibilidad de que unossean exact os y ot r os no?, a par t irde qu nat ur al, el r esult ado ya no es exact o, sino quela mquina hace un redondeo?Veamos unos ejemplos:25 = 32; 210 = 1024; 225 = 33554.432;227 = 134217730; 226 = 67108864Qu not amos?, 2n si n es un nat ur al, deber necesar iament e t er minaren 2, 4, 8, 6, esdecir , 21 = 2;22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32, ent onces porqu t er mina 227en cer o.(227 = 134217728); t al vez, sea necesario, que ent endamos que sobrepasamos lacapacidaddelacalculador a,ennuest r ocaso,unasencillaCasio(fx120).Obser vamosque si la pot encia t iene ms de ocho cifr as o dgit os, la mquina hace un r edondeo.Lascalculador as y las comput ador as almacenan los nmer os en una for ma exponencial, porello 134217728 lo debe almacenar como 1.34217728 x 108, el exponent e del nmero 10, loconocemos en esa for ma; los nmer o como la mant isa, uno t r mino muy ut ilizado, ant esdeladvenimient o de las mquinas elect r nicas, en el manejo de los algor it mos.Examinando el caso con ot ra base, por ejemplo 3.A part ir de qu exponent e efect a unredondeo la mquina cit ada? Lectura complementariaCalculadoras y computadoras.Sus sistemas algebraicosFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD126Calculemos:320 = 3486784400;315 = 14348907; 317 = 129140160;316 = 43046721En este caso, el natural 17 efecta el primer redondeo.Es decir, la calculadora que utilizamostiene una mantisa de 8 dgitos, por encima de estos, empieza hacer redondeos.Como podemosobservar, en estos casos, podamos aceptar los resultados, si la situacin lo permite.Con lo ant erior podemos afirmar que una mquina con 12 dgit os de mant isa almacenara1/7como1.42857142857x10-1yunamquinade14dgit osalmacenar a5/9como5.5555555555556 x 10-1.Pero, donde posiblemente puede resultar redondeo desastrosos es en las diferencias de nmerosmuy prximos, ashacemos una serie larga de operaciones, por ejemplo, si calculamos:hagamos con x = 1,x = 1.00000008; x = 10;x = 100,x = 1000y x = 10000Con la calculador a r ecibimosAhor a, hagamos el clculo aplicando unafor ma algebr aicament e equivalent e, es decir ,( )002 . 81010 4 10) 10 ( f4824 +( )) x ( fxx 4 x4824 +( )2411 4 1) 1 ( f4824 +( ) [ ] ( )9999952 . 23) 00000008 . 1 (00000008 . 1 4 00000008 . 1) 00000008 . 1 ( f4824 +( )10100100 4 ) 100 () 100 ( f4824 +( )4448 4 84824x16 x 8xx 16 x 8 xxx 4 x) x ( f+ + + +( )01000010001000 4 ) 1000 () 1000 ( f4 4824 +( )01000001000010000 4 ) 10000 () 10000 ( f4 4824 + 127Clculo diferencialNot amosqueenf(10)elredondeolopodemosacept ar,pero,enf(100)result aunt ant oalt o, 10 en cont ra de 8.00000016,y en f(1000) y f(10000) no son result ados que podamosacept ar, y t odo debido al redondeo, ent onces, (x4 + 4)2 es apr oximadament e igual a x8 ysobre t odo porque nuest ra calculadora solo t iene una mant isa de 8 dgit os.Ot r o ejemplo con nuest r a calculador a, es decirCasio (fx120) . (- 64)2/3 el result ado E,esdecir , er r or , o no posible de calcular , per o sabemos que est o equivale a (-64)elevadoalcuadr ado y luego ext r aerla r az cbica; nuest r a calculador a con el comando exponencial(xy)noefect alaoper acin(-64)2 ;conelcomandox2 si.Por est o,concluimosquenuest r a calculador a no hace pot encial de nmer os negat ivos.Det odasmaneras,comofcilment esecomprende,cadapersonat ieneasudisposicinunacalculador aocomput ador asdifer ent e,oencasoext r emonilouno,niloot r o.Enest e caso, debe consult ar con el seor t ut or cmo podra t ener acceso a alguna de est asherramient as en su respect ivo Cead; o en lt imo caso en un sit io que ofrezca est e servicio.Est a es la razn por la cual se proponen pocos problemas sin informacin de ret orno, encuant o al result ado que da la mquina.En la siguient e unidad t endr emos la opor t unidad de ut ilizarest as her r amient as conmayorint ensidad.9999952 . 23 9999952 . 15 8 + 24116 ) 1 ( 8) 1 (44+4 44) 00000008 . 1 (168) 00000008 . 1 (16 ) 00000008 . 1 ( 8) 00000008 . 1 ( f + +0016 . 81016 ) 10 ( 8) 10 ( f44+00000016 . 810016 ) 100 ( 8) 100 ( f44+16 0000000000 . 8100016 ) 1000 ( 8) 1000 ( f44+000016 0000000000 . 81000016 ) 10000 ( 8) 10000 ( f44+Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD128Par a las sucesiones pr opuest as en los ejer cicios:a) Hallarlos cinco pr imer os t r minos de cada sucesin.b) Hallar ,cuandoseaposible,unacot asuper ior par acadasucesin;hallar ,cuando sea posible, una cot a infer ior .Indicarsi la sucesin est udiada es o noacot ada.c) Indicarsi la sucesin est udiada es cr ecient e, decr ecient e o est acionar ia.d) Indicar si la sucesin est udiada es una progresin arit mt ica, o una progresingeomt r ica, hallarsu difer encia comn o su r azn comn segn el caso.e) Indicar si la sucesin est udiada es convergent e o divergent e, si es convergent e,hallarsu lmit e.1. 2.En las sucesiones dadas:a) Par t iendodeladefinicinpor r ecur r enciaydelpr imer t r minodecadasucesin, hallarel t r mino gener al en funcin de n.b) Hallarlos cinco pr imer os t r minos de cada sucesinc) Hallarun cot a super iorpar a cada sucesin, en caso de serposible; hallarunacot a infer ior , si es posible.Indicarsi la sucesin es acot ada.d) Indicar silasucesinest udiadaescr ecient e,decr ecient e,est acionar iaoperidica.e) Indicarsi la sucesin est udiada es una pr ogr esin ar it mt ica o geomt r ica; sicorresponde a uno de est os dos t ipos, hallar su diferencia o razn comn y lasuma de sus diez pr imer os t r minos.Autoevaluacin unidad 1{ } ( )0 nn1 n32u)' { } ( ) { }1 n n2 n 3 2 u+ + 129Clculo diferencialf) Indicarsi la sucesin est udiada es conver gent e o diver gent e, si es conver gent e hallarsu lmit e.3) 4)5) Demost rar que la sucesin conver ge a L = - 1/2, con base en la definicin.En los ejercicios dados hallar, cuando sea posible, a donde converge cada una de las sucesiones:6) 7)8)9) Dada la sucesin definida por:a) Hallarun+2 en funcin de unb) Es dicha sucesin per idica?c) Es convergent e?10) Deseamoscomprarunaneveraquecuest a45000pesosenenerode1984.Slodisponemosde20000 pesos.Los consignamos en una inst it ucin financier a, la cual nos gar ant iza una t asa del24% anual.a) Designemospor {un}lasucesincuyot r minogener alun cor r espondealasumadelaquepodramos disponer en enero del ao (1984 + n).Cunt o t endremos en enero de 1985,u1?; en enero de 1986,u2?; en enero de 1987, u3?; en ener ode (1984 + n), un?b) Si el pr ecio de la never a se incr ement a en un i% porao, cul ser la mxima t asa i de aument oque podr amos afr ont arsi quisisemos compr arla never a en 1990?Sesuponequela pobla cincolombia na ,el1deener ode1984,fuedeu0 =30800000h a bit a n t esyque la t asa promedio de increment o anual de la poblacin es de i = 2.9%.a) Cul sera la poblacin colombiana el 1 de enero de 1985,u1?b) Cul sera la poblacin colombiana el 1 de enero de 1986,u2?1 u ; 3 u u0 n 1 n + +2 u ; u23u0 n 1 n +{ })'+n 2 1n 4vn{ }1 n22nn n 21 n 3w)'+ { }1 nn 3nn 311 u)'

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+ { } { }1 n n1 n 3 1 n u + 1 u5 uu y 0 unn1 n 0 +{ }0 nnuFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD130c) De qu t ipo de sucesin se t r at a?; cules son sus car act er st icas?d) Cul sera la poblacin colombiana el 1 de enero de (1984 + n),un?e) Cul sera la poblacin colombiana el 1 de enero del ao 2000?f) A part ir de que ao es posible esperar que se duplique la poblacin colombiana exist ent e el 1 deenero de 1984?Dada la sucesin definida porsu pr imert r mino u0 = 8 y la r elacin de r ecur r encia:y la sucesin definida con base en la sucesin{ un }en la siguient e forma:a) Hallar elt r minogener aldelasucesin{ un } enfuncinden.Dequclasedesucesinset r at a? Cules son sus car act er st icas?b) Son conver gent es lassucesiones ?Enelcasodequelosean,aquvalorconver ge cada una?c) CalcularS = v0 + v1, + v2 + ...+ vnd) CalcularS = u0 + u1, + u2 + ...+ une) Demost rar que la sucesin es u n a pr ogr es i nar it mt ica{ }0 nnu10 u32un 1 n+ +6 u vn n { } { }0 ny0 nn nu v { }n n0 nnv log w general trmino de w { }0 nnv 131Clculo diferencialjerciciosEE omplementarios1)a) Det erminar el conjunt o t al que: cos x, cos 2x, cos 3x sean t res t rminos consecut ivosde una progresin arit mt ica (en est e orden).Par a cada valorde x, darlos t r es t r minos de la sucesin.b) Det er minarel conjunt oque: cos x, cos 2x, cos 3x, en est e or den, sean t r es t r minosconsecut ivos de una pr ogr esin geomt r ica.2) Consideremos la progresin geomt rica definida por:a) Demost r arque los t r minosu1 yu3 son inversos el uno con respect o al ot ro.b) Hallarla r azn comn q (q < 0)c) Hallarun en funcin de n.d) Calcularla suma de los n pr imer os t r minos de la sucesin que denominar emos S.e) Hallarlm S3)a) Demost r arque el per met r o de t oda lnea poligonal r egularconvexa inscr it a {pn}es menorque el de la lnea cir cunscr it a asociada { pn}.b) Es cr ecient e { pn}o decrecient e?c) Es crecient e { pn}o decrecient e?CC n{ }1 nnu1 u 6 u u2 1 3 Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD1324) Sea lasucesin definida por la relacin de recurrenciaa) Most r ar queexist eunnmer or ealkt alquelasucesin{ vn} seaunaprogresingeomt r ica si se cumple que:b) Calcularc)Hallard)Si la sucesin est definida por la relacin de recurrencia:Demost r arque nodependeden;expr esar dichacant idadenfuncin de w0 y w1e) Det er minaren funcin de n, w0 y w1 :{ }1 nnuk 2 u u 2n 1 n+ + k u vn n n 2 1v ... v v S + + + n y u de funcin en u ... u u S1 n 2 1+ + + { }1 n nw0 w31w w32n 1 n 2 n + + +

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+ + 1 n 2 nw21wn 2 1w ... w w S + + + 133Clculo diferencialLmite de unafuncincontinuidadContenido2.1Lmit e de una funcin cuando x t iende al infinit o2.2For mas indet er minadas2.3Lmit es al infinit o2.4Lmit es infinit os2.5La funcin t iende a infinit o cuando x t iende a xo.2.6Lmit es unilat er ales2.7Asnt ot as ver t icales y hor izont ales2.8Cont inuidad2.9Evaluacin de los lmit es mediant e la comput ador a2UNIDADFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD134 135Clculo diferencialLmite de unafuncinConceptualizacinLmite de una funcinAsntotasContinuidadLenguaje formalLmites al infinitoLmites unilateralesLmites infinitosHorizon-VerticalPuntoIntervalotieneclasespermitepermitepueden serpueden serFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD136 137Clculo diferencialGe n e r a lObt ener ellmit edeunafuncincuandolavar iablet iendeaun valorest ablecido, y det er minarsi la funcin es cont inua ono en un punt o o en un int ervalo.Es p e c fi cosHallarel lmit e de una funcin cuando x t iende al infinit o(si exist e)Hallarellmit edeunafuncincuandoxt iendeaXo(siexist e)Hallar ellmit edeunafucnincuandoxt iendeao X Xo(si exist e).Demost r arsi una funcin dada t iende a un lmit e cuando xt iende al infinit o.Demost r arsi una funcin dada t iende al infinit o cuando xt iende a Xo,o X ,Xo al infinit o.Hallar lasasnt ot ast ant over t icalescomohor izont alesdeunafuncindada(siexist en)yt r azar lagr ficadedichafuncin con base en ello.Det er minarsi una funcin dada es cont inua o discont inuaen un punt o o en un int ervalo...OBJETIVOS.....++Facultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD138 139Clculo diferencialn la unidadant er ior ,t uvimosla ocasin det r abajarcon el concept ode lmit e sobre sucesiones.Sin embargo,comopodemosdar noscuent a,lassucesionessont anslouncasopar t icular defuncin:aquelenelcualeldominodelafuncin cor r esponde a los nat ur ales o a un subconjunt o de losnat urales.podemos ent onces ext ender las nociones ya vist asafuncionescuyodominiodedefinicinincluyevalor est angr andescomoquer amosoquesuvalor absolut olosea,yobser var quocur r ecuandoxt omavalor esinfinit ament egrandes o infinit ament e pequeos.Qu ocurrira por ejemplo, al cabo de ciert o periodo de t iempo,con la temperatura del centro de una lata de alimento gelificado,somet idaacalent amient oenunest er ilizador ,bajocier t ascondiciones? (caso de una funcin que podra t ender al infinit o).Tras est o, podemos int eresarnos en ot ro porblema qu le ocurreaunafuncin,cuandolavar iableindependient eseacer caaun valor dado?Qu le ocur r e porejemplo, a la r esist encia de un cable, que sepuede expresar como funcin de su dimet ro (fijando los demspar met r os),sieldimet r oest dent r odecier t amar genest r echa?(caso de una funcin que t iende a un lmit e cuandox t iende a Xo).EINTRODUCCIONFacultad de Ciencias Bsicas e Ingeniera- UNAD140Qu ocur r e con una funcin cuyo denominadort iende a cer ocuando la variable indpendient e t iende a un valor dado? (Casode una funcin que t iende al