Temat piąty

Jednorównaniowe modele zmienności

Analiza szeregów czasowych o wysokiej częstotliwości• cechy analizy krótkookresowej• podstawowy i uogólniony model ARCH• testowanie efektu ARCH/GARCH• niestandardowe modele ARCH (in mean, z asymetrią, EGARCH)• estymacja modeli GARCH, ocena jakości

Cechy analizy krótkookresowej

Do cech procesów losowych (najczęściej procesów finansowych) charakteryzujących się wysoką częstotliwością zaliczą się:

• naprzemienne występowanie okresów o zwiększonej fluktuacji i okresów niskiej zmienności zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania• skupiania wariancji w kolejnych jednostkach czasu, tj. dodatniej korelacji w dziedzinie zmienności zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania, co przejawia się w wysokiej wariancji zmiennej powodowanej wzrostem tej wariancji w okresie poprzedzającym i analogicznie spadkiem wariancji na skutek niskiej wariancji w okresie poprzedzającym

Podstawowy i uogólniony model ARCH

Rodzaje nieliniowych procesów stochastycznych

W nieliniowej analizie jednowymiarowych szeregów czasowych poszukuje się funkcji f wiążącej dany proces z ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie:

,...),,( 21 tttt fY (5.1)

gdzie jest zmienna losową o średniej zero i jednostkowej wariancji

Powyższa reprezentacja jest nieoperacynja, jest na tyle ogólna, że nie wiadomo jak dobierać postać funkcji f

t

(5.2)

Najczęściej przyjmuje się, że nieliniowy proces ekonomiczny ma postać:

,...),(,...),( 2121 tttttt hgY

Procesy Yt wyrażone (5.1) z nieliniową funkcją g() nazywamy procesami nieliniowymi w warunkowej wartości średniejProcesy Yt wyrażone (5.2) z nieliniową funkcją h2() nazywamy procesami nieliniowymi w warunkowej wariancji

Powyższa klasyfikacja ma sens gdyż:

Podstawowy i uogólniony model ARCH

Kwadrat funkcji h przedstawia zmiany warunkowej wariancji procesu Yt:

(5.4)

)/( 12

ttYD ]/))/([( 12

1 tttt YEYE

]/,...),([ 12122

tttt hE )(,...),( 2

212

ttt Eh ,...),( 21

2 tth

Warunkowa wartość oczekiwana Yt może być zapisana:

,...),()/( 211 tttt gYE (5.3)

funkcja g opisuje zmiany wartości średniej procesu Yt warunkowo względem informacji z przeszłości (zbiór Ωt-1 oznacza zbiór wszystkich informacji dostępnych do momentu t-1)

Do najbardziej znanych modeli nieliniowych w warunkowej wartości średniej należą: procesu dwuliniowe, nieliniowe procesy autoregresji i średniej ruchomej, autoregresyjne modele progowe, przełącznikowe i wygładonego przejścia, procesy autoregresyjne o losowych współczynnikach

Znanymi procesami o zmiennej wariancji warunkowej są:procesy ARCH/GARCH oraz procesy zmienności stochastycznej

Podstawowy i uogólniony model ARCH

Podstawowym modelem ARCH jest:

tTtt xy (5.5)

gdzie xt jest wektorem zmiennych objaśniających (najczęściej opóźnionych zmiennych endogenicznych – postać modelu AR)β jest wektorem parametrów strukturalnycht jest składnikiem zakłócającym spełniającym warunek

(5.6)

q

iitith

1

20

1/ tt ~ ),0( thNw celu zapewnienia dodatniości warunkowej wariancji zakłada się ponadto: 0>0 i i≥0

Warto zauważyć, że równanie (5.6) jest nieliniowe ze względu na zmienne, równanie to (tj. granica sumy q) wyznacza tzw. stopień modelu ARCH, mówimy o modelu ARCH(q)

Model ARCH(q) opisuje poprawnie proces stacjonarny, lub inaczej model

ARCH(q) generuje proces stacjonarny, jeśli spełniony jest warunek

q

ii

1

1

Podstawowy i uogólniony model ARCH

Uogólnionym modelem ARCH, czyli modelem GARCH, jest:

tTtt xy (5.7)

gdzie oznaczenia zmiennych i parametrów jak w równaniach (5.5) i (5.6)

(5.8)

p

iiti

q

iitit hh

11

20

w celu zapewnienia dodatniości warunkowej wariancji zakłada się ponadto: 0>0 i i≥0 i i≥0

granice sumowania q i p wyznaczają stopień modelu GARCH, mówimy o modelu GARCH(q, p)

stacjonarność procesu (tj. skończoność bezwarunkowej wariancji) opisanego modelem GARCH(q,p) jest zapewniona jeśli spełniony jest warunek

111

p

ii

q

ii

Podstawowy i uogólniony model ARCH

W zastosowaniach finansowych wygodnie jest korzystać z tzw. reprezentacji równoważnej modelu GARCH

Niech dany będzie proces vt taki że: ttt hv 2 (5.9)

p

iiti

q

iitit hh

11

20

z formuły (5.8) wyrażającej warunkową wariancję w modelu GARCH wiemy, że ht należy zapisać:

tt h)1( 2

t ~ )1,0(Nttt vh 2

p

iiti

q

iitittt hvh

11

20

2

p

iititi

q

iititt vv

1

2

1

20

2 )(

p

iiti

p

iiti

q

iititt vv

11

2

1

20

2

t

p

iiti

p

iiti

q

iitit vv

11

2

1

20

2

)),(max( qpAR

)(qMA

(5.10)

Testowanie efektu ARCH/GARCH

Testowanie efektu ARCH/GARCH jest ekwiwalentne, tj. istniejące testy nie pozwalają odróżnić obu procesówWynik testu wskazujący na obecność omawianego efektu pozwala jedynie z określonym prawdopodobieństwem wnioskować o obecności ARCH lub GARCH, bez możliwości rozróżnieniaWnioskowanie o rzędach p i q procesów ARCH/GARCH odbywa się na podstawie miar pojemności informacyjnej

Test Engle’aJest to test „typu” mnożnika Lagrange’a, tzn. do testowania hipotezy zerowej niezbędna jest znajomość jedynie modelu z restrykcjami nałożonymi poprzez testowaną hipotezęPrzypomnijmy, równaniem pomocniczym wariancji warunkowej w modelu ARCH (5.6) jest:

q

iitith

1

20

Engle zaproponował postać modelu AR dla kwadratów reszt uzyskanych z relacji (5.5) jako dobre przybliżenie relacji (5.6), zatem szacowany (MNK, ML) model przyjmuje postać:

t

q

iitit

1

20

2 ˆˆ (5.11)

Testowanie efektu ARCH/GARCH

Jeśli efekt ARCH/GARCH nie występuje, tzn. nie występuje heteroskedastyczność wariancji warunkowej, wówczas w (5.11) wszystkie parametry i powinny zanikać, tak więc hipotezami są:

Statystyką testową jest:

t

q

iitit

1

20

2 ˆˆ (5.11)

0...: 210 qH

0: iAH 2RTLM

gdzie R2 jest współczynnikiem determinacji wyznaczonym dla modelu (5.11)

Statystyka testowa LM ma rozkład graniczny o q stopniach swobody, wnioskowanie o odrzuceniu H0 lub braku podstaw do odrzucenia jest typowe

2

Testowanie efektu ARCH/GARCH

Test McLeoda i LiW omawianym teście wykorzystuje się statystykę Boxa-Ljunga do weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji kwadratów reszt relacji (5.5), zatem test przebiega następująco:• oszacować relację (5.5)

T

tt

T

ijitt

t

itti

T

jT

D

1

2

1

22

22

22

ˆ1

ˆˆ1

)ˆ(

)ˆ,ˆcov(ˆ

• wyznaczyć kwadraty reszt, , relacji (5.5)2ˆt

(5.12)

• obliczyć współczynniki autokorelacji (rzędu od 1 do q) kwadratów reszt uzyskanych w punkcie poprzednim (Uwaga! Nie zapomnieć o standaryzacji)

• obliczyć statystykę Boxa-Ljunga

q

i

i

iTTTQ

1

2ˆ)2('

• statystyka (5.12) Boxa-Ljunga ma rozkład graniczny o q stopniach swobody

2

• wobec zastosowanej statystyki testowej, zestawem hipotez jest:

0...: 210 qH 0: iAH

Niestandardowe modele GARCH

Model GARCH in MEAN (GARCH-M) przyjmuje postać:

GARCH-M stosowany jest do modelowania ryzyka (premii za ryzyko)Jeżeli ocena parametru λ jest dodatnia i parametr może zostać uznany za statystycznie istotny, wówczas wzrost wariancji warunkowej ht (czyli miary ryzyka) powoduje wzrost premii za ryzyko w postaci oczekiwanej stopy zwrotu z papieru (yt)

ttTtt hxy (5.13)

(5.14)

p

iiti

q

iitit hh

11

20

1/ tt ~ ),0( thN

Niestandardowe modele GARCH

Model GARCH z asymetrią reakcji

Wówczas możliwe jest wyznaczenie vt jako:

Asymetria reakcji na pakietowe zmiany zmienności zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania (rt) może być przybliżona prostym modelem GARCH-M

ttt har (5.15)

(5.16)

p

iiti

q

iitit hh

11

20

1/ tt ~ ),0( thN ttt hv tv ~ )1,0(N

t

ttt

h

harv

)( (5.17)

Warto zauważyć, że proces opisany przez (5.17) charakteryzuje się rozkładem normalnym standaryzowanym

Można zaobserwować, że prawdziwa jest następująca nierówność:

)0/()()0/()( tttttt rharrhar Czego konsekwencją jest:

)0/()0/( tttt rErE

Niestandardowe modele GARCH

Model E-GARCH

Funkcją warunkowej wariancji jest:

W modelu EGARCH czyni się typowe założenia odnoszące się do równania opisującego zmienną będącą przedmiotem zainteresowania, czyli:

(5.18)

(5.19)

1/ tt ~ ),0( thNttt hv tv ~ )1,0(Nt

Ttt xy

0 1 1 2 11 1

ln ( ( 2 / )) lnq p

t i t t i t ii i

h v v h

Powyższy model jest modelem typu wykładniczegoZ definicji funkcji wykładniczej wynika, że zapewniona jest nieujemność wariancji warunkowejAsymetria reakcji powodowana jest iloczynem iδ1 przykładowo, jeżeli iδ1<0

wówczas wariancja warunkowa ht maleje w miarę wzrostu t-i i rośnie w

przypadku spadku składnika zakłócającego, jednakże nieliniowy charakter reakcji wymusza różne stopnie reakcji