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Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Automática 2º Curso del Grado en Ingeniería en Tecnología Industrial Tema 5. Análisis de la Respuesta Frecuencial de Sistemas LTI

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    ca Automática

    2º Curso del Grado en

    Ingeniería en Tecnología Industrial

    Tema 5.

    Análisis de la Respuesta Frecuencial

    de Sistemas LTI

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    Contenido

    TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representación mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mínima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinación experimental de la función de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensación en el dominio de la frecuencia.

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    Análisis en frecuencia de sistemas LTI

    Respuesta en frecuencia:

    Se entiende por respuesta en frecuencia la respuesta en estado

    estacionario de un sistema estable ante una entrada senoidal.

    La respuesta en estado estacionario de un sistema LTI ante una

    entrada senoidal no depende de las condiciones iniciales, por lo

    que se van a suponer condiciones iniciales nulas.

    Una de las ventajas que ofrece el estudio de la respuesta en

    frecuencia de un sistema es que mediante pruebas sencillas se

    puede determinar de forma experimental su función de

    transferencia utilizando generadores de onda y equipos de

    medición de uso frecuente en los laboratorios.

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    Función de transferencia senoidal:

    La transformada de Laplace de la función seno es:

    y la salida será:

    Calculando la transformada inversa de Laplace y aplicando el

    límite cuando el tiempo tiende a infinito se obtiene la salida en

    estado estacionario:

    La salida es una señal senoidal de la misma frecuencia que la

    señal de entrada pero multiplicada por una ganancia |G(jω)| y

    desplazada en la fase por un ángulo G(jω).

    Análisis en frecuencia de sistemas LTI

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    Análisis en frecuencia de sistemas LTI

    Función de transferencia senoidal (cont.):

    La respuesta en frecuencia de un sistema con función de

    transferencia G(s) se obtiene sustituyendo s=jω, obteniendo la

    función G(jω) denominada función de transferencia senoidal:

    donde se cumple que Y(jω) = G(jω) X(jω).

    Gráficamente:

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    Función de transferencia senoidal (cont.):

    El módulo de la función de transferencia senoidal se obtiene del

    cociente entre las amplitudes de las señales de salida y entrada.

    El ángulo de la función de transferencia senoidal, denominado

    ángulo de fase, es la diferencia entre los ángulos de las señales

    de salida y entrada.

    Si el ángulo de fase es positivo, se denomina adelanto de fase,

    mientras que si es negativo se denomina atraso retardo de fase.

    Análisis en frecuencia de sistemas LTI

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    Función de transferencia senoidal (cont.):

    Ejemplo:

    • Entrada: x(t) = sin(4πt)

    • Salida 1: y1(t) = 1.5 sin(4πt + π /4) Adelanto de fase.

    • Salida 2: y2(t) = 1.5 sin(4πt - π /4) Retardo de fase.

    Análisis en frecuencia de sistemas LTI

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5Adelanto y atraso de fase

    t (segundos)

    x (

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    Contenido

    TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representación mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mínima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinación experimental de la función de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensación en el dominio de la frecuencia.

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    Representación mediante diagramas de Bode

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    Mag

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    -135

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    -45

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    Fase

    (deg

    )

    Diagrama de Bode

    Frequencia (rad/sec)

    Diagramas de Bode:

    Un diagrama de Bode representa la función de transferencia

    senoidal G(jω) mediante dos gráficas distintas, utilizando un eje

    de abscisas común en escala logarítmica para la frecuencia ω

    (rad/seg) y una escala lineal para los ejes de ordenadas:

    • Expresada en dB (20log|G(jω)|) para la gráfica de magnitud.

    • Expresada en grados para la gráfica de ángulo de fase.

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    Representación mediante diagramas de Bode

    Diagramas de Bode (cont.):

    La utilización de una escala logarítmica para ω permite

    representar en un solo diagrama las características de alta y

    baja frecuencia de G(jω).

    La frecuencia ω se expresa en décadas, donde una década es

    la banda de frecuencia desde ω1 a 10ω1 siendo ω1 cualquier

    valor de frecuencia.

    10-2

    10-1

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    101

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    10

    20

    números en escala logarítmica

    Deci

    belio

    s

    La figura muestra el |G(jω)|=|jω|.

    En escala logarítmica (3

    décadas) la gráfica resultante

    es una línea recta de 20

    dB/década que pasa por el

    punto (1 rad/s, 0dB).

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    Contenido

    TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representación mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mínima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinación experimental de la función de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensación en el dominio de la frecuencia.

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    Trazado de diagramas de Bode

    Factores básicos:

    La función de transferencia de un sistema puede representarse

    como un producto de factores básicos (en forma normalizada):

    1. Ganancia K.

    2. Integradores y derivadores con orden de multiplicidad n.

    3. Polos y ceros .

    4. Polos y ceros ( ).

    Para dibujar el diagrama de Bode de cada uno de estos términos,

    se calcula la correspondiente función de transferencia senoidal

    G(jω) para varias frecuencias y se representan los puntos

    gráficamente. El trazado se simplifica utilizando aproximacionesasintóticas para cada uno de los factores.

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    Ganancia K:

    La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K

    es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibelios.

    • si K > 1 recta con valor positivo en dBs.

    • si 0 < K < 1 recta con valor negativo en dBs.

    El ángulo de fase de la ganancia K es cero grados.

    El recíproco de un número difiere de su valor sólo en el signo:

    El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia

    es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la

    función de transferencia en la cantidad constante

    correspondiente, pero no afecta a la curva de fase.

    Trazado de diagramas de Bode

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    Integradores :

    Los valores de la magnitud expresada en dB y del ángulo

    expresado en grados son:

    Como w se expresa en escala logarítmica, la representación de

    la magnitud en dB es una línea recta que pasa por el punto

    (1 rad/s, 0 dB) y pendiente de -20 dB/década.

    Trazado de diagramas de Bode

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    Trazado de diagramas de Bode

    Integradores (cont.):

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    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Derivadores G( jω) = jω:

    Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del ángulo

    expresado en grados son:

    La pendiente de la curva de magnitud es de +20 dB/década y el

    signo del ángulo de fase cambia de signo (pasa a ser positivo).

    Trazado de diagramas de Bode

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Derivadores G( jω) = jω (cont.):

    Trazado de diagramas de Bode

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Integradores y derivadores de orden superior a 1:

    Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del ángulo

    expresado en grados serían:

    Trazado de diagramas de Bode

    Tanto las pendientes como los ángulos de fase se multiplican por n.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Integradores y derivadores de orden superior a 1 (cont.):

    Trazado de diagramas de Bode

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polo real:

    La función de transferencia de un sistema de primer orden con

    constante de tiempo T es

    El diagrama de Bode de la magnitud se obtiene de la expresión

    que se aproxima a:

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polo real (cont.):

    La representación de la curva de ganancia es una recta de

    pendiente -20 dB/década. Para la frecuencia w=1/T, las

    asíntotas de alta y baja frecuencia toman ambas 0 dB,

    denominándose frecuencia de cruce, con un error máximo de

    ¿¿cuál es el polo ?? ¿¿cuál es el polo ??

    En su forma normalizada (f.n.)

    OJO: En escala logarítmica

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polo real (cont.):

    Para representar el ángulo de fase, se utiliza la expresión:

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polo real (cont.):

    Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un

    polo real.

    cruce

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

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    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Cero real:

    La asíntota de baja frecuencia del cero, recíproco del polo real,

    es de 0 dB y la pendiente de la asíntota de alta frecuencia de

    +20 dB/década. El ángulo de fase varía de 0º a +90º con el

    punto de inflexión en +45º.

    Una ventaja de los diagramas de Bode es que para

    factores recíprocos, las curvas de magnitud y ángulo

    de fase sólo requieren un cambio de signo.

    polo cero?

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Cero real (cont.):

    Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un

    cero real.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados:

    En el caso de polos complejos conjugados la función de

    transferencia senoidal cuando G(s) expresada en función de ωn y

    de ξ es:

    El módulo de G(jω) expresado en decibelios viene dada por

    que se aproxima a

    Ambas asíntotas se cruzan en la frecuencia natural ωn que es la

    frecuencia de cruce.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados (cont.):

    Mientras que la representación asintótica es independiente de ξ,

    la representación exacta de la curva de magnitud depende del

    valor de este parámetro, produciéndose un máximo más

    acentuado (pico de resonancia) a medida que el valor de ξ es

    más pequeño.

    La frecuencia a la que se produce el máximo de la curva de

    magnitud se denomina frecuencia de resonancia.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados (cont.):

    Diagrama de Bode en magnitud de sistema con polos complejos

    conjugados.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados (cont.):

    El ángulo de fase de los factores complejos conjugados también

    depende de ξ según

    Sustituyendo para diferentes valores de w se obtiene

    En ingeniería se utiliza la

    variante de atan que calcula el

    ángulo en 4 cuadrantes (atan2)

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Polos complejos conjugados (cont.):

    Diagrama de Bode en magnitud y fase de sistema con polos

    complejos conjugados.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Ceros complejos conjugados:

    El diagrama de Bode de magnitud tiene la asíntota de alta

    frecuencia de pendiente +40 dB/década y el ángulo de fase varía

    de 0º a +180º con el punto de inflexión en +90º.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode.

    Procedimiento general:

    1. Reescribir la función de transferencia senoidal G(jω) como

    producto de los factores básicos.

    a. Considerando la forma general de una función de transferencia:

    b. se escribe como un producto de factores básicos:

    donde la ganancia es:

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode.

    Procedimiento general:

    1. Reescribir la función de transferencia senoidal G(jω) como

    producto de los factores básicos.

    2. Obtener los trazados individuales de cada factor básico, y

    representarlos.

    3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o módulo entre

    sí (en dB) y los de ángulo o fase entre sí (grados).

    Ganancia de G(jω) en dB

    Ángulo de G(jω) en grados

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode.

    Procedimiento general:

    1. Reescribir la función de transferencia senoidal G(jω) como

    producto de los factores básicos.

    2. Obtener los trazados individuales de cada factor básico, y

    representarlos.

    3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o módulo entre

    sí (en dB) y los de ángulo o fase entre sí (grados).

    4. Si se desea registrar una aproximación rápida, se puede

    hacer el trazado asintótico.

    La curva exacta, se encuentra

    cerca de la curva asintótica.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

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    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Trazado de diagramas de Bode

    Ejemplo:

    Para evitar errores al trazar la curva de magnitud logarítmica, es

    conveniente reescribir la función de transferencia en forma

    normalizada:

    Esta función se compone de los factores siguientes:

    1 2 3 4 5

    ωn y ξ ?

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

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    Trazado de diagramas de Bode

    Ejemplo:

    Las frecuencias de corte del tercer, cuarto y quinto términos son

    w = 3, w = 2 y wn = , respectivamente.2

    Observe que el último

    término tiene el factor

    de amortiguamiento

    relativo de 0.3536.

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    Contenido

    TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representación mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mínima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinación experimental de la función de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensación en el dominio de la frecuencia.

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    Sistemas de fase mínima y de fase no mínima:

    Un sistema de fase no mínima se caracteriza por tener para

    altas frecuencias una fase más negativa de lo que era de

    esperar por el grado del polinomio del numerador y

    denominador de la función de transferencia.

    Ejemplos de sistemas de fase no mínima son sistemas con

    algún cero positivo y sistemas con retardo de transporte.

    Sistemas de fase no mínima

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    Sistemas de fase mínima y de fase no mínima (cont.):

    Ejemplo:

    Sistemas de fase no mínima

    G1 es de fase mínima G2 es de fase no mínima

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    Sistemas de fase mínima y de fase no mínima (cont.):

    Ejemplo:

    Sistemas de fase no mínima

    Las curvas de magnitud de

    ambos sistemas coinciden,

    sin embargo, las curvas de

    fase son bien distintas

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    Sistemas de fase mínima y de fase no mínima (cont.):

    Ejemplo:

    Sistemas de fase no mínima

    Los sistemas de fase no

    mínima son lentos en su

    respuesta. En la mayor parte

    de los sistemas de control, se

    debe tener cuidado en evitar

    un atraso de fase excesivo.

    Al diseñar un sistema, si una velocidad de respuesta rápida es de

    vital importancia, no deben usarse componentes de fase no mínima.

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    Sistemas de fase no mínima

    Cómo detectar si un sistema es de fase mínima:

    Sabiendo que p y q son los grados de los polinomios del

    denominador y numerador, respectivamente, de la función de

    transferencia, podemos afirmar que:

    1. En cualquier sistema, sea o no de fase mínima, la pendiente de

    la curva de magnitud para valores altos de frecuencia verifica la

    relación

    -20(p-q) dB/década

    2. Sólo si el sistema es de fase mínima la curva de ángulos de fase

    para valores altos de frecuencia verifica la relación

    -90 (p-q) grados

    Para detectar si el sistema es de fase NO mínima se examina la

    pendiente de la asíntota de la curva del ángulo de fase para

    valores altos de frecuencia y se comprueba si verifica, o no, la

    expresión del punto 2.

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    Retardo de transporte:El retardo existente entre la medición y la acción de control da

    lugar a un tiempo muerto denominado retardo de transporte.

    Ejemplo:Sistema térmico en el que circula aire caliente para conservar

    constante la temperatura de una cámara. En este sistema, el

    sensor de temperatura se sitúa corriente abajo a una distancia de

    L metros del horno. La velocidad del aire es de v m/s por lo que

    transcurrirá T = L / v segundos antes de que el termómetro

    detecte cualquier cambio en la temperatura del horno.

    Sistemas de fase no mínima

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    Sistemas de fase no mínima

    Sistemas con retardo:

    Los sistemas con retardo de transporte tienen un

    comportamiento de fase no mínima y presentan un atraso

    excesivo de fase sin atenuación para valores altos de frecuencia.

    La entrada x(t) y la salida y(t) de un elemento de retardo de

    transporte se relacionan mediante:

    donde T es el tiempo de retardo.

    La función de transferencia se obtiene calculando la

    transformada de Laplace:

    Los retardos de transporte

    están presentes normalmente

    en sistemas térmicos,

    hidráulicos y neumáticos.

    No afecta a la curva de ganancia

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    Sistemas de fase no mínima

    Sistemas con retardo (cont.):

    El módulo y argumento de la función de transferencia senoidal será:

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    Sistemas de fase no mínima

    Sistemas con retardo (cont.):

    Comparación entre sistemas con y sin retardo de primer orden:

    por qué

    fase G3 más

    negativa ?

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    Contenido

    TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representación mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mínima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinación experimental de la función de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensación en el dominio de la frecuencia.

  • Dep

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    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    Especificaciones:

    Las especificaciones estudiadas en el dominio del tiempo, tales

    como la sobreoscilación o el tiempo de subida, no se pueden

    utilizar directamente en el dominio de la frecuencia.

    Partiendo del diagrama de Bode de la función de transferencia

    las especificaciones que se utilizan frecuentemente en la

    práctica son:

    • Pico de resonancia y frecuencia de resonancia.

    • Ancho de banda, frecuencia de corte y razón de corte.

    • Margen de fase y de ganancia.Especificaciones

    de bucle abierto,

    pero ojo, están

    relacionadas con

    la estabilidad del

    sistema en bucle

    cerrado.

    Especificaciones

    de bucle cerrado

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    -3 dB

    Mr(dB)

    wbwr

    BW

    Especificaciones:

    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    Pico de resonancia

    Frecuencia de resonancia

    Ancho de banda

    Razón de corte

    Frecuencia de corte

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    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    • Pico de resonancia (Mr):

    Es el valor máximo de la curva de magnitud del diagrama de

    Bode. Indica la estabilidad relativa de un sistema estable en

    bucle cerrado.

    Un valor grande de Mr se corresponde en general con una

    constante de amortiguamiento pequeña. En la práctica, el valor

    deseado se encuentra entre 1.1 y 1.5.

    • Frecuencia de resonancia (wr):Es la frecuencia en la que se produce el pico de resonancia Mr

    • Frecuencia de corte (wb):Es la frecuencia en la cual la magnitud de respuesta en

    frecuencia en lazo cerrado está 3 dB debajo de su valor de baja

    frecuencia.

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    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    • Ancho de banda (BW)

    El rango de la frecuencia en el cual la magnitud en

    lazo cerrado no desciende a -3 dB se denomina ancho de

    banda del sistema.

    La especificación del ancho de banda se relaciona con:

    1. La capacidad de reproducir la señal de entrada.

    2. Las características de filtrado necesarias para el ruido de alta

    frecuencia.

    Un ancho de banda grande corresponde a un tiempo de subida

    pequeño, es decir, a una respuesta rápida. En términos

    generales, puede decirse que el ancho de banda es

    proporcional a la velocidad de respuesta.

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    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    • Razón de corte:

    La razón de corte es la pendiente de la curva de magnitud

    logarítmica cercana a la frecuencia de corte.

    La razón de corte indica la capacidad de un sistema para

    distinguir la señal del ruido.

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    áti

    ca

    Especificaciones del comportamiento en frecuencia

    Ejemplo:

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Contenido

    TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representación mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mínima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinación experimental de la función de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensación en el dominio de la frecuencia.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Introducción:

    Al diseñar un sistema de control se requiere que el sistema sea

    estable. Además es necesario que tenga una estabilidad relativa

    adecuada por lo que es necesario conocer su grado de

    estabilidad.

    En el análisis de estabilidad que se va a realizar, se va a trabajar

    con la función de transferencia en bucle abierto G(s)H(s) y con

    sistemas de fase mínima.

    La función de transferencia en bucle abierto coincide con G(s)

    sólo si se considera realimentación unitaria H(s)=1.

    La mayor o menor estabilidad de un sistema en bucle cerrado se

    suele expresar en términos de margen de fase y de ganancia,

    cuyas definiciones son las siguientes cuando se trata de

    sistemas de fase mínima.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Margen de ganancia (Mg o Kg):

    El margen de ganancia es el recíproco de la magnitud |G(jω)| de

    la función de transferencia en lazo abierto en la frecuencia de

    cruce de fase.

    o bien en decibelios:

    donde w1 es la frecuencia de cruce de fase.

    La frecuencia de cruce de fase es la frecuencia en la cual el

    ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto es

    igual a –180º.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Margen de fase (Mf o g ):

    El margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional en

    la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el

    sistema al borde de la inestabilidad:

    g = 180º + f

    donde f es el ángulo de fase de la función de transferencia enlazo abierto en la frecuencia de cruce de ganancia.

    La frecuencia de cruce de ganancia es la frecuencia en la cual

    la magnitud de la función de transferencia en lazo abierto es

    unitaria, |G(jω)|=1 (i.e. 0 dBs).

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

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    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

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    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Margen de fase y de ganancia:

    En el diagrama de Bode de la función de transferencia en bucle

    abierto del sistema, los márgenes de ganancia y de fase se

    determinan como indica la figura.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

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    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

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    a

    de S

    iste

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    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Condición de estabilidad:

    Un sistema de fase mínima es estable si los márgenes de fase y

    de ganancia deben ser ambos positivos. Basta con que uno de

    estos márgenes sea negativo para que el sistema sea inestable.

    Los márgenes adecuados de fase y de ganancia aseguran

    contra las variaciones de los componentes del sistema y se

    especifican para valores de frecuencia definidos.

    Para obtener un comportamiento satisfactorio, el margen de

    fase debe estar entre 30º y 60º, y el margen de ganancia debe

    ser mayor que 6 dB.Con estos valores, un sistema de fase

    mínima tiene una estabilidad garantizada,

    incluso si la ganancia en lazo abierto y

    las constantes de tiempo de los

    componentes varían en cierto grado.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

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    tom

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    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

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    tom

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    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Condición de estabilidad:

    Ejemplo 1:

    Sistema estable

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

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    mas y

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    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

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    en

    ierí

    a

    de S

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    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Condición de estabilidad:

    Ejemplo 2:

    Sistema inestable

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

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    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

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    ierí

    a

    de S

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    mas y

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    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Condición de estabilidad:

    Ejercicio 1:

    Para un sistema de realimentado, la función de transferencia de la

    planta es:

    y el factor de realimentación es:

    Se pide:

    1. Estudiar la estabilidad del sistema calculando márgenes de

    ganancia y fase.

    2. Obtener el ancho de banda del sistema en bucle cerrado.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Condición de estabilidad:

    Ejercicio 1:

    Para obtener los márgenes de ganancia y de fase, se trabaja con el

    Bode de la función de transferencia en bucle abierto.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Condición de estabilidad:

    Ejercicio 1:

    Para obtener el ancho de banda, trabajamos con el Bode de la

    función de transferencia en bucle cerrado.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

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    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Condición de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    En la figura se muestra un sistema realimentado donde aparece un

    parámetro que es la ganancia K.

    También se incluye el diagrama de Bode del sistema para tres

    valores diferentes, K=0.1, K=2 y K = 10 (ver siguiente trasparencia).

    Se pide:

    1. Calcular los márgenes de ganancia y de fase para los tres valores

    de K y

    2. Determinar la estabilidad del sistema en los tres casos.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Condición de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Se puede observar

    cómo la curva de fase

    es la misma mientras

    que la de magnitud

    sube o baja en el

    diagrama dependiendo

    de K.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

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    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Condición de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Para K = 0.1 el

    sistema es estable,

    pues tanto el margen

    de ganancia como el

    de fase son positivos.

    Análisis de estabilidad en frecuencia

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

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    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Condición de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Para K = 2 el sistema

    está en el límite de la

    estabilidad, por tanto

    el margen de

    ganancia y el de fase

    son nulos.

    Análisis de estabilidad en frecuencia

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

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    ierí

    a

    de S

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    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Condición de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Para K = 10 el

    sistema es inestable,

    pues tanto el

    margen de ganancia

    como el de fase son

    negativos.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

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    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Condición de estabilidad:

    Ejercicio 2:

    Análisis de estabilidad en frecuencia

    Para K = 2 el

    sistema está

    en el límite de

    la estabilidad.

    Para K = 0.1

    el sistema es

    estable.

    Para K = 10 el

    sistema es

    inestable.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

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    áti

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    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

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    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Contenido

    TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representación mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mínima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinación experimental de la función de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensación en el dominio de la frecuencia.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

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    Dep

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    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del transitorio de la respuesta temporal:

    Se va a estudiar la relación de respuesta en frecuencia con la

    temporal para el caso de un sistema prototipo de segundo orden.

    La correspondiente función de transferencia senoidal es:

    Si el orden es superior a

    dos, pero tiene dos polos

    complejos conjugados

    dominantes las relaciones

    también son válidas.

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

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    ca

    Dep

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    mas y

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    áti

    ca

    Dep

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    am

    en

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    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del transitorio de la respuesta temporal

    Operando en la expresión del módulo se obtiene el máximo, que

    se producirá en la frecuencia de resonancia, y el valor del

    máximo obtenido será el pico de resonancia. Los valores

    calculados son:

    Estas ecuaciones son validas para valores de la relación de

    amortiguamiento 0 < x < 0.707

    Observando las ecuaciones se puede deducir que:

    a) El pico de resonancia Mr depende sólo del coeficiente x.

    b) Si x 0 el pico de resonancia Mr ∞.

    c) Cuando aumenta x el pico de resonancia Mr disminuye.

    (cont.):

    ¿?

  • Dep

    art

    am

    en

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    ng

    en

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    Dep

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    Dep

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    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del transitorio de la respuesta temporal

    Operando, también se puede obtener la expresión analítica del

    ancho de banda para un sistema de segundo orden que es:

    y realizando una aproximación lineal de la misma, se obtiene

    Observando las ecuaciones se puede deducir que:

    a) De la que se puede deducir que el ancho de banda BW es

    directamente proporcional a la frecuencia natural wn.b) Para un valor de la frecuencia natural fijo, el ancho de banda

    disminuye a medida que la relación de amortiguamiento xaumenta.

    (cont.):

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

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    Dep

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    Dep

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    Au

    tom

    áti

    ca

    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del transitorio de la respuesta temporal

    Aumentar la relación de amortiguamiento implica que tanto el

    ancho de banda como el valor del pico de resonancia se hacen

    más pequeños.

    (cont.):

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

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    en

    ierí

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    Dep

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    Dep

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    de S

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    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal:

    Considerando un sistema de control con realimentación unitaria,

    las constantes estáticas de error de posición, velocidad y

    aceleración describen el comportamiento de baja frecuencia de

    los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2, respectivamente.

    Para un sistema definido, sólo es finita y significativa una de las

    constantes de error estático.

    El tipo de sistema determina la pendiente de la curva de

    magnitud logarítmica en frecuencias bajas.

    La existencia y la magnitud del error en

    estado estacionario se determina a partir de

    la observación en baja frecuencia de la

    curva de magnitud logarítmica

  • Dep

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    am

    en

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    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema de tipo 0, la gráfica de la magnitud

    G(jw) logarítmica en baja frecuencia es igual a Kp.

    (cont.):

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

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    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema tipo 1, la intersección del segmento

    inicial -20 dB/década (o su extensión) con la línea w = 1 tiene la

    magnitud de 20 log Kv.

    por tanto

    También se puede comprobar que

    donde w1 = 1 es la frecuencia a la que |G(jw)|=1.

    (cont.):

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

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    ierí

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    ca

    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema tipo 1.

    (cont.):

  • Dep

    art

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    en

    to d

    e I

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    en

    ierí

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    Dep

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    Dep

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    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema de tipo 2, dado que a bajas

    frecuencias,

    se deduce que

    Además

    donde wa = 1 es la frecuencia a la que |G(jw)|=1.

    (cont.):

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

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    ierí

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    Relación de la respuesta frecuencial y temporal

    Estudio del estacionario de la respuesta temporal

    Para el caso de un sistema de tipo 2

    (cont.):

  • Dep

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    en

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    ca

    Contenido

    TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia

    5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

    frecuencia.

    5.2. Representación mediante diagramas de Bode.

    5.3. Trazado de diagramas de Bode.

    5.4. Sistemas de fase no mínima.

    5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

    frecuencia.

    5.6. Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase.

    5.7. Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta

    temporal.

    5.8. Determinación experimental de la función de transferencia a

    partir de la respuesta en frecuencia.

    5.9. Compensación en el dominio de la frecuencia.

  • Dep

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    ca

    Determinación experimental de la función de transferencia

    Identificación de sistemas:

    Si es posible medir la razón de amplitudes E/S del sistema y el

    cambio de fase para un número suficiente de frecuencias dentro

    del rango de frecuencias de interés, se puede graficar por

    puntos el diagrama Bode.

    Posteriormente se puede determinar la función de transferencia

    mediante aproximaciones asintóticas.

  • Dep

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    Determinación experimental de la función de transferencia

    Identificación de sistemas (cont.):

    Para el ajuste experimental es necesario el uso de generadores

    de señales senoidales.

    Los rangos de frecuencia necesarios para la prueba son,

    aproximadamente, 0.001 - 10 Hz para sistemas con constantes

    de tiempo grandes y 0.1 - 1000 Hz para sistemas con

    constantes de tiempo pequeñas. Las frecuencias han de convertirse arad/s antes de calcular las constantes

    de tiempo de cada polo o cero.

  • Dep

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    Dep

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    áti

    ca

    Determinación experimental de la función de transferencia

    Consideraciones a tener en cuenta:

    1. Por lo general es más fácil obtener mediciones precisas de

    la amplitud que de la fase.

    2. Los sistemas físicos tienen varios tipos de no linealidades.

    Por tanto, es necesario considerar con cuidado la amplitud

    de las señales senoidales de entrada:

    – Si la amplitud de la señal de entrada es demasiado grande, el

    sistema se saturará.

    – En cambio, una señal pequeña provocará errores debidos a la

    zona muerta.

    Es necesario comprobar que la forma de la onda de la salida

    sea senoidal y de que el sistema opere en su región lineal

    durante el periodo de prueba.

    La respuesta en

    frecuencia producirá

    resultados imprecisos

  • Dep

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    ca

    Determinación experimental de la función de transferencia

    Pasos para identificar una función de transferencia

    1. Determinar la pendiente para bajas frecuencias en la curva de

    magnitud (número de polos en el origen).

    2. Determinar la pendiente para altas frecuencias en la curva de

    magnitud (diferencia del orden del polinomio del denominador y el

    numerador (p-q)).

    3. Determinar los ángulos en la curva de fases para bajas y altas

    frecuencias (detecta si se trata de un sistema de fase mínima o no).

    4. Determinar la ganancia de baja frecuencia (Kp, Kv ó Ka).

    5. Detectar el número de frecuencias de cruce, su posición y dibujar las

    asíntotas. Para los términos de segundo orden estimar la relación de

    amortiguamiento.

    6. Utilizar el diagrama de fases para en caso de tratarse de un retardo

    de transporte y estimar la constante de tiempo del mismo.

    7. Calcular la respuesta en frecuencia de la función de transferencia

    estimada y compararla con las curvas experimentales iniciales.

    8. Iterar y repetir el proceso para afinar la posición de los polos y ceros.

  • Dep

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    ca

    Ejemplo 1:

    A partir del diagrama de Bode de la figura, determinar

    experimentalmente la función de transferencia del sistema:

    Determinación experimental de la función de transferencia

  • Dep

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    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimación de la pendiente inicial.

    Determinación experimental de la función de transferencia

    Pendiente inicial = -20 dB/década.

    Un polo en el origen Tipo 1.

  • Dep

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    Au

    tom

    áti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Cálculo de la ganancia estática de un sistema de tipo 1.

    Determinación experimental de la función de transferencia

    15 dB = 20 log(Kv) Kv=5.62

    w =1

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Aproximación asintótica de la curva de ganancia.

    Determinación experimental de la función de transferencia

    wc = 4 wc = 25 wc = 70

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimación de las caídas de dB/década para cada asíntota.

    Determinación experimental de la función de transferencia

    -20 dB / década

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimación de las caídas de dB/década para cada asíntota.

    Determinación experimental de la función de transferencia

    -40 dB / década polo real

    wc = 4

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

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    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

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    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimación de las caídas de dB/década para cada asíntota.

    Determinación experimental de la función de transferencia

    -60 dB / década polo real

    wc = 25

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

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    Au

    tom

    áti

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    Dep

    art

    am

    en

    to d

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    ng

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    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Ejemplo 1 (cont.):

    Estimación de la pendiente final.

    Determinación experimental de la función de transferencia

    Pendiente final = -40 dB / década

    cero real (p-q) = 2

    wc = 70

  • Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí

    a

    de S

    iste

    mas y

    Au

    tom

    áti

    ca

    Dep

    art

    am

    en

    to d

    e I

    ng

    en

    ierí