Análisis de respuesta transitoria Análisis de respuesta ... · ORDEN CON CEROS Y POLOS AÑADIDOS 2 2 2 2 (1 ) ( ) n n n s w s w k w as G s + ∂ + + = Tema 4. Respuesta transitoria

eman ta zabal zazu

1

1.

Análisis de respuesta transitoria2.

Análisis de respuesta permanente

3.

Análisis en el dominio de la frecuencia.4.

Estabilidad

Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. Estabilidad

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2

t

r(t)1

Entrada Escalón

L-1(Y(s))

G(s)R(s) Y(s)

L(r(t))

Tablas/ simulación

t

y(t)1

transitorio

permanente

RESPUESTA

t

r(t)

Entrada Rampa

G(s)R(s) Y(s)

L(r(t)) L-1(Y(s))

t

y(t)

1

transitorio

permanente

RESPUESTA

Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. Estabilidad

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3

RESPUESTA TRANSITORIA

Para analizar la respuesta de un sistema, debemos definir que entrada se le aplica (escalón, rampa, parabólica...) y que tipo de sistema es. Podemos distinguir tres tipos

de sistemas en cuanto a su numero de polos

(polos= raíces del denominador de la función de transferencia), tenemos:

1) SISTEMAS DE 1er

ORDEN. Numero de polos n=1

2) SISTEMAS DE 2º

ORDEN. Numero de polos n=2

3) SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR. Numero de polos n>2, y n>m

22

2

2)(

nn

n

wswswk

sG+∂+

=

1)(

+=

sTksG

nnnn

mmmm

asasasabsbsbsb

sRsYsG

++++

++++==

−−

−−

11

10

11

10

...

...)()()(

Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta transitoria

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4

SISTEMA DE 1er ORDEN

1)(

+=

sTksGR(s) Y(s)G(s)

K= ganancia del sistema

T= constante de tiempo

Polo en -1/T

Supongamos entrada escalón unitario R(s)=1/s, la respuesta y(t) seria:

11

1)()(

+=

+=

sTk

ssTksRsY

Transformada Inversa

de LaplaceTt

ekkty−

−=)(

respuesta transitoriaSi T>0, entonces:

t

y(t)k

T

Conclusiones:1) K es el valor final del sistema (t=∞), para T>02) Si T aumenta el sistema responde mas lentamente


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5

SISTEMA DE 2º

ORDEN

R(s) Y(s)G(s)

K= Ganancia del sistema

δ= Coef. de amortiguamientoWn=Frecuencia natural

Supongamos entrada escalón unitario R(s)=1/s y 0<δ<1,

la respuesta y(t) seria:

22

2

21)(

nn

n

wswswk

ssY

+∂+= )1arctg1(

1)(

22

2 ∂∂−

+∂−∂−

−=−∂

twsinekkty n

twn

respuesta transitoria

22

2

2)(

nn

n

wswswk

sG+∂+

=

jwws nn21 ∂−±∂−=polos

t

y(t)k

transitorio

Sistema Subamortiguado

o con oscilaciones amortiguadas

REBOSE

T1

TIEMPO DE PICO

TpTIEMPO DE ESTABLECIMIENTO


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6

SISTEMA DE 2º

ORDEN

22

2

2)(

nn

n

wswswk

sG+∂+

= jwws nn21 ∂−±∂−=

REBOSE

TIEMPO DE PICO

TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO


100)(

)()(100(%) max1 2 x

tytyty

xeRfinal

final−== ∂−

−πδ

t

y(t)

k

transitorio

T1 Tp

R

sC

R

x

x-δ

wn

jwn21 ∂−

211 ∂−

=nw

t π

∂=

∂=

np

np

wt

wt

4

3

%)2(

%)5(

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7

SISTEMA DE 2º

ORDEN CON CEROS Y POLOS AÑADIDOS

22

2

2)1()(

nn

n

wswsaswksG+∂+

+=


Cero añadido

)1)(2()( 22

2

aswswswksG

nn

n

++∂+=

Polo añadidoEscalón unitario R(s)=1/s y 0<δ<1:

C

R

x

x

x-1/a

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8

SISTEMAS DE ORDEN SUPERIORPara el estudio teórico de la respuesta tanto transitoria como permanente de los sistemas de orden superior, es necesario realizar fundamentalmente dos aproximaciones, mediante las cuales reduciremos el sistema a uno

de 1er

o 2º

orden.Ejemplo

Consideremos el siguiente sistema G(s):

)10)(3)(1(75.2)(

++++

=sss

ssG xxx o-1

-2.75-3-10

Plano s

eje Real

eje imaginario

Podemos realizar dos simplificaciones:1) Despreciar el polo en -10 por estar muy alejado del -1, que es el polo dominante.2) Anular el polo en -3 con el cero -2.75 por su cercanía.

)1(092.0)(+

=s

sG Se reduce a un sistema de 1er

orden

Nota: se puede comprobar que en el caso de una entrada escalón unitaria los dos sistemas tienden a 0.092 (Teorema del valor final)


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9

Angulo de posición

Antena

θ

Ejemplo: SISTEMA DE ORIENTACION

KmtetBtJ )()()( =+ ϑϑ &&&

)()()()(

BJssKm

sEssG

+==

ϑ

J= 12 m2

kgB= 14 m2

kg/sKm= 10.5m2

kg/s2

Entrada Escalón

E(s) θ(s))1412(

5.10+ss

e(t)1

θ(t)

e(t)

E(s)=1/s


Programa en MATLAB:G=tf(10.5,[12,14,0])step(G)

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10

Ejemplo: SISTEMA DE ORIENTACION

e(t)

Entrada Rampa

E(s) θ(s))1412(

5.10+ss θ(t)

e(t)

θ(t)

e(t)

e(t)

E(s) θ(s))1412(

5.10+ss

E(s)=1/s2

Entrada Parabólica E(s)=1/s3

t2

t


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11

RESPUESTA PERMANENTEG(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s)Consideremos el siguiente sistema realimentado. Para analizar la respuesta en régimen permanente

es

necesario el estudio de los errores

(E(s)) que se producen cuando al sistema se le aplica una entrada.

)()()()()()()(

sYsHsRsEsEsGsY

−==

)()(1)(

)()()(

sHsGsG

sRsYsGLC +

==Función de Transferenciaen lazo cerrado GLC

(s)

Función de Transferenciaen lazo Abierto G (s)H(s)

)()(1)()(

sHsGsRsE

+=

Función de Transferenciadel Error E(s)

Se define el error en régimen permanente

como:

)()(1)()()(

00 sHsGsRslimsEslimtelime

sstss +

===→→∞→

Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis de respuesta permanente

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12

)()(1)()()(

00 sHsGsRslimsEslimtelime

sstss +

===→→∞→


Coeficientes estáticos de error:

R(s)=1/sp

sss KsHsGe

+=

+=

→ 11

)()(11lim

0)()(lim

0sHsGkp

s→=

j\

R(s) 1/s 1/s2 1/s3

j= 0 ∞ ∞

j= 1 0 ∞

j= 2 0 0

j>= 3 0 0 0

R(s)=1/s2

vsss KsHsG

se 1)()(1

/1lim0

=+

=→

R(s)=1/s3a

sss KsHsGse 1

)()(1/1lim

2

0=

+=

→

Coef. de error aceleración:

Coef. de error Posición kp:

Coef. de error Velocidad:

)()(lim0

sHsGskvs→

=

)()(lim 2

0sHsGska

s→=

)1)...(1()1)...(1()()(

1

1

++++

=− spspsscscksHsG

jnj

m

Tipo de sistema: j=nº

de polos en el origen Kp+1

1

Kv1

Ka1

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13

θ(t) LA

e(t)θ(t) LC


θ(s)5.101412

5.102 ++ ss

1

1)()(lim)(lim)(lim00

===→→∞→

sGsRssst LCsstϑϑ

0)()(1

)(lim)(lim)(lim00

=+

==→→∞→ sHsG

sRssEstesst

ERROR (permanente):

VALOR FINAL:

Entrada EscalónR(s)=1/s

5.1014125.10

)()(1)(

)()()( 2 ++

=+

==sssHsG

sGsRssGLC

ϑ

SISTEMA DE ORIENTACION

)1412(5.10+ss

R(s) Θ(s)E(s)-+

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14


∞=++

===→→→∞→ 5.101412

5.101lim)()(lim)(lim)(lim 22000 sssssGsRssst

sLCsstϑϑ

33.15.10

14

)1412(5.101

1lim

)()(1)(lim)(lim)(lim

2

000==

++

=+

==→→→∞→

ss

sssHsG

sRssEstessst

ERROR de Seguimiento:

VALOR FINAL:

Entrada Rampa

θ(s)5.101412

5.102 ++ ss

1

R(s)=1/s2

θ(t) LA

θ(t) LCe(t)


)1412(5.10+ss

R(s) Θ(s)E(s)-+

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15


∞=++

===→→→∞→ 5.101412

5.101lim)()(lim)(lim)(lim 23000 sssssGsRssst

sLCsstϑϑ

∞=

++

=+

==→→→∞→

)1412(5.101

1lim

)()(1)(lim)(lim)(lim

3

000

ss

sssHsG

sRssEstessst

ERROR de Seguimiento:

VALOR FINAL:

Entrada Parabólica

θ(s)5.101412

5.102 ++ ss

R(s)=1/s3

θ(t) LA

e(t)

θ(t) LC


)1412(5.10+ss

R(s) Θ(s)E(s)-+

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16


SISTEMA DE ORIENTACION: Descomposición en fuerzas

)( BJssKm+

Θr(s) Θ(s)E(s)-+

KmBJssKm

sssG

rLC ++

==)()(

)()(ϑϑ

J= 12 m2

kgB= 14 m2

kg/sKm= 10.5 m2 kg/s2

KmssKmssBsJs r )()()()(2 ϑθθθ =++

)()())()(( 2 ssBsJsKmssr θθθϑ +=−

)()()( 2 sJsssBKmsE θθ =−

Θr(s)Θ(s)E(s)

-+Km

Km

E(s)

-+

B

s1

s1S Θ(s)s2Θ(s)

J1

aceleración velocidad Ang. PosiciónPar motor

fuerzas fricción

B s Θ(s)

Ang. Referencia Error

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17


J= 12 m2

kgB= 14 m2

kg/sKm= 10.5 m2 kg/s2

Θr(s) Θ(s)E(s)

-+Km

Km

E(s)

-+B

s1

s1sΘ(s)s2Θ(s)

J1aceleración velocidad

Ang. PosiciónAntena

Par motor

fuerzas fricción

B s Θ(s)Ang. Ref

Error

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18

Amplificador

K1

Potenciómetro

Motor

Potenciómetro

Inercia

evia

Ra

La

Jo bo

θA

T θ

θr

n

va

b

abaaa

a

eKedt

tdKe

eetiRdt

tidL

1

3)(

)()(

=

=

=++

θ

)(

)()(

2

2

2

tiKT

Tdt

tdbdt

tdJ

a

oo

=

=+θθ

Ejercicio: Modelo completo Motor+Antena

Ecuaciones eléctricas motor:

Ecuaciones dinámicas motor+antena:

)()()]()([

tntttKe

A

Arov

θθθθ

=−=

Medida de posición y engranaje:Pot. medida

Posición ang. Antena

Fuerza c.e.m

Tensión inducido motor

Par motor

Se pide:1)Obtener las siguientes función de transferencia:

2)Dibujar el diagrama de bloques del sistema, indicando las diferentes variables del sistema:Tensiones, corrientes, fuerzas,3)Analizar la respuesta del sistema para el caso de una entrada escalón, rampa y parabólica (datos)

)()()(,

)()()(

ttsG

ssEsG

r

ALC

vV θ

θθθ ==


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19

R(s) Y(s)G(s)t

r(t)

A

r(t)= A sin(wt)

y(t)

t

A(w)

Φ(w)

y(t)= A(w) sin(wt+ Φ(w))

Para el estudio de los sistemas en el dominio de la frecuencia se considera lo siguiente:

1) señal de entrada sinusoidal: r(t)= A sin (wt)2) variación de la frecuencia w=(0,+∞)3) Régimen permanente

Teniendo en cuenta esto, tenemos lo siguiente:

Amplitud dependiente de la frecuencia de entrada

Desfase dependiente de la frecuencia de entrada

Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadAnálisis en el dominio de la frecuencia

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20

R(s) Y(s)G(s)r(t)= A sin(wt)

Ventajas de la representación en frecuencia:1) Facilidad para obtener la respuesta con un generador de señales2) La relación entre las señales de salida y de entrada se obtiene simplemente realizando el cambio de s por jw

Como inconveniente principal es que la relación entre la frecuencia y el tiempo es complicada y de aplicación difícil.

yrp

(t)= A G(jw) sin(wt+ Φ(w))

Esto es, la función de transferencia en el plano frecuencial se calcula sustituyendo s por

jw.

Ejemplo sistema de 1er

orden:

1)(

1)(

+=⎯⎯ →⎯

+= →

jwTkjwG

sTksG jws

Modulo

Fase1)(

)(2 +

=wTkjwG

)()( Twarctgw −=Φ


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21

Como se puede apreciar la transformación del plano temporal al frecuencial es sencilla, pero su representación

grafica

puede resultar muy complicada si el

sistema es de orden superior. Por ello, en el caso del

modulo

de la función de transferencia se utiliza la escala logarítmica y se define el decibelio:

Gdb

= G(jw) db

= 20 log G(jw) [decibelio]

También se define la década

como: f2

/f1

=10. Así, dos frecuencias están a n décadas cuando su relacione su relación es: f2

/f1

=10n


decada

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22

Modulo en decibelios: wjwjwGdb 1214log20log205.10log20)( +−−=

)14

12(90)( warctgw −−=Φ

Fase en grados:


)1412(5.10)(

)1412(5.10)(

+=⎯⎯ →⎯

+= →

jwjwjwG

sssG jws

LA


)1412(5.10+ss

R(s) Θ(s)E(s)

-+

Sistema en lazo abierto

Programa en MATLAB:G=tf(10.5,[12,14,0])bode(G)

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23

La estabilidad de los sistemas realimentados esta relacionada únicamente con la propia naturaleza del sistema, no con el tipo de entrada que se le aplica. Por lo tanto, la estabilidad

se definirá

en la función de transferencia

que representa al

sistema, concretamente en los polos de la F.T.

Un sistema será estable cuando todos sus polos estén en el semiplano negativo del plano s. Esto es, cuando la parte real de los mismos sea negativa.

G(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s)

1)( =sH

Siendo:

14.01)( 2 ++

=ss

sG

SISTEMA EN LAZO ABIERTO:

14.01)()()( 2 ++

==ss

sHsGsGLA

x

-0.2

Plano s

eje Real

x

+0.98j

-0.98jESTABLE

SISTEMA EN LAZO CERRADO:

24.01

)()(1)()( 2 ++

=+

=sssHsG

sGsGLC

x

-0.2

Plano s

eje Real

x

+1.38j

-1.38jESTABLE

Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadEstabilidad en el dominio del tiempo

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24

Ejemplo:

1632)( 23 +++

+=

sassbssG

¿Para que valores de a y b el sistema es estable?Para cualquier valor real de b el sistema es estable debido a que los ceros no afectan a la estabilidad

Para analizar la influencia de a

tenemos que aplicar el criterio de Routh-Hurwitz:a)a>0, debido que todos los coeficientes el del denominador deben de ser

estrictamente positivos.b) Realizar la tabla: S3

S2

S1

S0

3 a

6 1

(6a-3)/6 1

1

Los coeficientes de la primera columna deben ser positivos

para que el sistema sea estable.

(6a-3)/6 > 0 a > 1/2

Conclusión:Para cualquier b y para a>1/2

el

sistema es estable.

Plano s

eje Real

ESTABLE INESTABLE

a > 1/2 a < 1/2

a = 1/2

Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadEstabilidad en el dominio del tiempo

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25

Como ya se vio anteriormente, la estabilidad de los sistemas depende de la posición de los polos de la función de transferencia en el plano s. Si los polos se encuentran el el semiplano negativo, el sistema será

estable. Esto ultimo se refiere a la estabilidad

absoluta.Cuando se diseña un sistema de control se requiere que el sistema sea estable en términos absolutos, pero además es necesario que tenga una estabilidad relativa.

G(s)

H(s)

+

-

R(s) Y(s)E(s)G(s)H(s)1/H(s) +

-

R(s) Y(s)E(s)

En el caso de los sistemas de fase mínima, en los cuales la F.T en lazo abierto no tiene ni polos ni ceros en el semiplano derecho del plano s, se definen dos parámetros que nos indican en que grado el sistema es estable en lazo cerrado. Estos parámetros son el margen de fase

y el margen de ganancia.

Tema 4. Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadEstabilidad en el dominio de la frecuencia

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26

ESTABILIDAD RELATIVAMargen de fase (MF):Se define como la cantidad de retraso de fase que se requiere añadir al sistema para llevarlo a la inestabilidad.

Margen Ganancia (MG):Se define como la cantidad de ganancia que se que se requiere añadir al sistema para llevarlo a la inestabilidad.

)(180 gcwMF Φ+=

)(log20 fcwGHMG −=

dbjwHGjwGHw gcdbdbgcgc 0)(1)( =→=→

Frecuencia de ganancia critica

º180)( −=Φ→ fcfc ww

Frecuencia de fase critica

Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. EstabilidadEstabilidad en el dominio de la frecuencia

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27

ANALISIS DE ESTABILIDAD RELATIVAUn sistema de fase mínima será

estable

si el margen de ganancia

y el margen de

fase son positivos. En La figura se representan los diagramas de bode de un sistema estable y otro inestable.

-180

wgcMG<0

MF<0

INESTABLEGdb

Φ(w)

log w

log w

wfc-180

wgc

MG>0

MF>0

ESTABLEGdb

Φ(w)

log w

log w

wfc

Tema 4 Respuesta transitoria y permanente. Estabilidad Estabilidad en el dominio de la frecuencia

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28

ESTABILIDAD RELATIVA


MG=∞

dbMF= 60.7º


)1412(5.10+ss

R(s) Θ(s)E(s)

-+ Estable

Programa en MATLAB:G=tf(10.5,[12,14,0])bode(G)margin(G)

eman ta zabal zazu

29



)1412(5.10+ss

R(s) Θ(s)E(s)

-+

Sistema en lazo cerrado

5.1014)(125.10)(

5.1014125.10)( 22 ++

=⎯⎯ →⎯++

= →

jwjwjwG

sssG jws

LC

Ancho de Banda: w Є

[0, 1.14 rad/s]

Ancho de Banda

Programa en MATLAB:G=tf(10.5,[12,14,0])G2=feedback(G,1)bode(G2)

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