Tema 9. Respuesta dinámica del avión

Ecuaciones GeneralesEcuaciones Linealizadas

Ecuaciones Generales de la Dinamica del Avion

Mecanica del Vuelo4o Grado en Ingenierıa Aeroespacial

Damian Rivas RivasFrancisco Gavilan Jimenez

Departamento de Ingenierıa Aeroespacial y Mecanica de FluidosEscuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla

[email protected], [email protected]

Curso 2013/14

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Conceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas

Contenido

1 Ecuaciones GeneralesConceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas

2 Ecuaciones LinealizadasLinealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones

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Ecuaciones Generales del Movimiento

OBJETIVO FINAL:

relacionar el movimiento de la aeronave con las fuerzas que actuansobre ella.

Hipotesis Simplificativas:

El avion es un solido rıgido de 6 G.D.L.Avion con plano de simetrıa (XZ )Modelo de Tierra Plana:

El sistema topocentrico es inercial.

Modelo de gravedad constante.No se considerara el viento.

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Sistemas de Referencia:

Sistema topocentrico (FT ): Se considerara inercial. Se usara paraexpresar la posicion de la aeronave.

Origen (OT ): cualquier punto de la superficie terrestre.xT : hacia el norte.yT : hacia el este.zT : formando un triedro a derechas.

Sistema de ejes cuerpo (FB): Se usara para expresar las fuerzas ymomentos que actuan sobre el avion.

Origen (OB): en el centro de gravedad del avion.xB : en el plano de simetrıa, segun una lınea de referencia haciael morro.zB : en el plano de simetrıa, perpendicular a xB , hacia abajo.yB : formando un triedro a derechas (hacia el ala derecha).

Sistema de ejes horizonte local (FH): Se usara para expresar la actitud de la aeronave.

Origen (OH): en el centro de gravedad del avion.xH , yH , zH : son paralelos a los xT , yT , zT respectivamente.

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Notacion y Definiciones

~rc : vector de posicion del avion respecto a FT .

~Vc : vector velocidad del avion respecto a FT (groundspeed).

~Vw : velocidad del viento respecto a FT .~V : velocidad aerodinamica del avion (airspeed). Las fuerzas ymomentos aerodinamicos del avion dependen de esta velocidad.

~V = ~Vc − ~Vw

[~x ]S : proyeccion del vector ~x en el sistema de referencia S .

Como hipotesis general, durante este curso no se considerara el viento,por lo que:

~V = ~Vc

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Notacion y Definiciones II

[

~V]B

=

u

v

w

[~ω]B =

p

q

r

[

~FA,T

]B

=

X

Y

Z

[

~MA,T

]B

=

L

M

N

[~rc ]T =

xcyczc

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Notacion y Definiciones III

Angulo de ataque:Angulo formado por el eje xB y la proyeccion de ~V sobre el plano de simetrıa del avion.Angulo de resbalamiento:Angulo formado por ~V y el plano de simetrıa del avion.

Se define la proyeccion de ~V en ejes cuerpo:

[

~V]B

=

u

v

w

α = arctanw

u

β = arcsinv

|~V |7 / 32



Transformacion entre Sistemas de Referencia

La actitud de la aeronave viene determinada por la orientacion delsistema de ejes cuerpo respecto al sistema horizonte local.

Se necesita disponer de la transformacion FB ↔ FH

La actitud de la aeronave puede ser definida por tres angulos:ANGULOS DE EULER:

Angulo de guinada (ψ): angulo formado por xH y la proyeccion dexB sobre el plano horizontal local.

Angulo de asiento (θ): angulo formado entre el eje xB y el planohorizontal local.

Angulo de balance (φ): angulo formado por yB y la interseccion delplano yBzB con el plano horizontal local.

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Transformacion entre Sistemas de Referencia II

La transformacion de FH a FB viene definido por la siguiente secuencia de rotaciones:

FHψ−→zH

FX1

θ−−→yX1

FX2

φ−−→xX2

FB (1)

Definiendo esta secuencia mediante operaciones matriciales:

[x ]B = TBH [x ]H ; TBH = TBX2TX2X1TX1H

TBH =

1 0 00 cosφ sinφ0 − sinφ cosφ

cos θ 0 − sin θ0 1 0

sin θ 0 cos θ

cosψ sinψ 0− sinψ cosψ 0

0 0 1

=

cos θ cosψ cos θ sinψ − sin θsin θ sinφ cosψ − sinψ cosφ sinψ sin θ sinφ+ cosψ cosφ sinφ cos θsin θ cosφ cosψ + sinψ sinφ sin θ cosφ sinψ − cosψ sinφ cosφ cos θ

Propiedad Importante:

Puesto que TBH se define a partir del producto de matrices ortonormales, TBH tambien es ortonormal,con lo cual:

(

TBH)

−1=(

TBH)T

⇒ THB =(

TBH)T

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Ecuaciones del Movimiento

Se tienen dos grupos:

Ecuaciones Cinematicas:

Relacion entre la posicion y la velocidad lineal (ecuacionescinematicas lineales).Relacion entre la actitud y la velocidad angular (ecuacionescinematicas angulares).

Ecuaciones Dinamicas:

Relacion entre las velocidades lineales y angulares y las fuerzas ymomentos aplicados.

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Ecuaciones Cinematicas Lineales: Trayectoria

El objetivo es disponer de una ecuacion diferencial que permita conocer la posicion del vehıculo apartir de su velocidad.

Vector de posicion: [~rc ]T =

[

xc yc zc]T

; Vector velocidad: ~Vc

[

~Vc

]T

=

[

d~rc

dt

]T

=

xcyczc

Puesto que las ecuaciones dinamicas se van a formular en ejes cuerpos, se dispondra de[

~Vc

]B

,

por lo que hay que hacer la transformacion:

xcyczc

= TTB

u

v

w

(2)

=

u cos θ cosψ + v (sin θ sinφ cosψ − sinψ cosφ) + w (sin θ cosφ cosψ + sinψ sinφ)u cos θ sinψ + v (sinψ sin θ sinφ+ cosψ cosφ) + w (sin θ cosφ sinψ − cosψ sinφ)

−u sin θ + v sinφ cos θ + w cosφ cos θ

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Ecuaciones Cinematicas Angulares

El objetivo es disponer de una ecuacion diferencial que permita conocer los parametros de actitud(angulos de Euler) a partir de la velocidad angular.Refiriendose a la secuencia de rotaciones que define la transformacion FH ↔ FB (ecuacion 1), sepuede definir el vector velocidad angular de la siguiente forma:

~ω = ψ~kH + θ~jX1+ φ~iB

Proyectando esta ecuacion en ejes cuerpo:

p

q

r

= ψTBH[

~kH

]H

+ θTBX2TX2X1

[

~jX1

]X1

+ φ[

~iB

]B

p

q

r

=

φ− ψ sin θ

θ cosφ+ ψ cos θ sinφ

−θ sinφ+ ψ cos θ cosφ

φ

θ

ψ

=

p + (q sinφ+ r cosφ) tan θq cosφ− r sinφ

(q sinφ+ r cosφ) sec θ

(3)

Nota:

Hay que tener en cuenta que estas ecuaciones tienen una singularidad en θ = (2k − 1)π2 ∀k ∈ Z

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Ecuaciones Dinamicas

Ecuacion de cantidad de movimiento:

∑

~Fext = md ~Vc

dt(4)

Ecuacion del momento cinetico:

d~hc

dt=∑

~Mext~hc = ¯I~ω (5)

¿Que sistema de referencia se usa?

Las derivadas anteriores han de tomarse respecto de un sistema inercial (fijo en tierra).Si se usara un sistema inercial:

d~hc

dt= ¯I

d~ω

dt+

d¯I

dt~ω

el segundo termino implica la necesidad de calcular la derivada del tensor de inercia, lo cualcomplica la formulacion.Se va a usar un sistema fijo al avion (ejes cuerpo) para proyectar las ecuaciones dinamicas:

El tensor de inercia es constanteFormulacion mas sencilla de las fuerzas y momentosEs un sistema no inercial. Hay aplicar la formula de Poisson para calcular las derivadas

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Ecuaciones de Fuerzas en Ejes Cuerpo

md ~Vc

dt

∣

∣

∣

∣

∣

Inercial

= m

(

d ~Vc

dt

∣

∣

∣

∣

∣

B

+ ~ω ∧ ~Vc

)

= ~FA,T +m~g

d~hc

dt

∣

∣

∣

∣

∣

Inercial

=

(

¯Id~ω

dt

∣

∣

∣

∣

B

+ ~ω ∧ ¯I~ω

)

= ~MA,T

X −mg sin θ = m (u − rv + qw) (6)

Y +mg cos θ sinφ = m (v + ru − pw) (7)

Z +mg cos θ cosφ = m (w − qu + pv) (8)

L = Ix p − Ixz r + (Iz − Iy )qr − Ixzpq (9)

M = Iy q + (Ix − Iz)pr + Ixz(p2 − r2) (10)

N = Iz r − Ixz p + (Iy − Ix)pq + Ixzqr (11)

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Notas Importantes

El grupo de ecuaciones (2), (3) y (6-11) constituye un sistema de 12 ecuaciones diferencialesque permite calcular las 12 variables de estado:

~x =[

xc yc zc φ θ ψ u v w p q r]

Para su obtencion, se han tenido en cuenta las hipotesis de tierra plana, avion simetrico, ysolido rıgido (sin deformaciones ni partes moviles).

Incluso con estas simplificaciones no es posible obtener soluciones analıticas de las ecuaciones:

Sistema de ODE’s no lineal, acoplado

Para cerrar el problema, es necesario conocer las expresiones de las fuerzas y momentosaerodinamicos y propulsivos. En general:

~FA,T , ~MA,T = f (u(τ), v(τ),w(τ), p(τ), q(τ), r(τ), ~u)

donde x(τ) representa la historia pasada de la variable x , y ~u es el vector de control.Generalmente, se tienen cuatro variables de control:

~u =[

δe δT δa δr]

por lo que el sistema tendra 4 grados de libertad que hay que fijar: Ley de PilotajeEl problema de trayectoria (ecuaciones 2) esta desacoplado del resto. Pueden resolverse lasecuaciones de velocidad y actitud de forma independiente.

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Linealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones

Contenido

1 Ecuaciones GeneralesConceptos PreviosEcuaciones CinematicasEcuaciones Dinamicas

2 Ecuaciones LinealizadasLinealizacion de las ecuaciones del movimientoModelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivasAdimensionalizacion de las ecuaciones

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Teorıa de Pequenas Perturbaciones

Para el estudio de problemas de estabilidad y control, resulta practicamente imposibletrabajar con las ecuaciones no lineales obtenidas.Para simplificar el problema, se selecciona un punto de operacion del avion, y se linealizan lasecuaciones en torno a dicho punto:

Se obtiene un sistema de ODE’s lineal, con el que se pueden abordar los problemas deestabilidad y control.Esta aproximacion solo sera valida si el movimiento de la aeronave consiste en pequenasperturbaciones respecto del punto de operacion.Todas las conclusiones que se obtengan tendran caracter local.En la practica se obtienen buenos resultados.

Se van a expresar las variables de estado como suma de su valor en el punto de operacion, mas sudesviacion (observese el abuso de notacion):

u = us + u(t) p = ps + p(t) φ = φs + φ(t)v = vs + v(t) q = qs + q(t) θ = θs + θ(t)w = ws + w(t) r = rs + r(t) ψ = ψs + ψ(t)X = Xs +∆X Y = Ys +∆Y Z = Zs +∆Z

L = Ls +∆L M = Ms +∆M N = Ns +∆N

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Linealizacion de las ecuaciones del movimiento

Se desprecian los terminos de segundo orden en las perturbaciones respecto del punto deoperacion.Los terminos no lineales que puedan aparecer en las ecuaciones se aproximan por series deTaylor entorno al punto de operacion, quedandose solo con la parte lineal.

sin(φs + φ(t)) ≈ sinφs + φ(t) cosφs

cos(φs + φ(t)) ≈ cosφs − φ(t) sinφs

El punto de operacion satisface las ecuaciones del sistema.

Con esto se obtienen las siguientes ecuaciones linealizadas:

∆X −mgθ cos θs = m (u − rvs − vrs + qws + wqs)

∆Y +mg (φ cos θs cosφs − θ sin θs sinφs) = m (v + rus + urs − pws − wps)

∆Z −mg (φ cos θs sinφs + θ sin θs cosφs) = m (w − qus − uqs + pvs + vps)

∆L = Ix p − Ixz r + (Iz − Iy ) (qrs + rqs)− Ixz (qps + pqs)

∆M = Iy q + (Ix − Iz) (prs + rps)− 2Ixz (pps − rrs)

∆N = Iz r − Ixz p + (Iy − Iz) (qps + pqs) + Ixz (qrs + rqs)

φ = p +(

q sinφs + r cosφs + φθs

)

tan θs + θψs sec θs

θ = q cosφs − r sinφs − φ cos θs ψs

ψ =(

q sinφs + r cosφs + φθs + θ sin θs ψs

)

sec θs

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Vuelo de Referencia

Como norma general, se va a considerar un vuelo de referencia con las siguientes caracterısticas:

Simetrico: El vector velocidad (~V ) esta en el plano de simetrıa: vs = 0Rectilıneo: φs = 0Estacionario:us , vs , ws , ps , qs , rs constantes

Velocidad angular nula:ps , qs , rs = 0 ⇒ φs , θs , ψs = 0

Con estas simplificaciones, las ecuaciones linealizadas quedan:

∆X −mgθ cos θs = m (u + qws)

∆Y +mgφ cos θs = m (v + rus − pws)

∆Z −mgθ sin θs = m (w − qus)

∆L = Ix p − Ixz r

∆M = Iy q (12)

∆N = Iz r − Ixz p

φ = p + r tan θs

θ = q

ψ = r sec θs

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Ejes Estabilidad

Para simplificar el problema, se define el siguiente sistema de ejes.

Sistema de Ejes Estabilidad FS

Origen (OS ): centro de gravedad del avion.xS : segun la direccion de la velocidad del estado dereferencia (~Vs)

[

~Vs

]S

=[

uS 0 0]t

yS : paralelo a yBzS : formando un triedro a derechas.

Las ecuaciones de fuerza linealizadas en ejes estabilidad son:

∆X −mgθ cos θs = m (u)

∆Y +mgφ cos θs = m (v + rus)

∆Z −mgθ sin θs = m (w − qus)

Notese el abuso de notacion realizado.

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Ecuaciones del estado de referencia

En las ecuaciones linealizadas aparecen las fuerzas y momentos de perturbacion, pero no seha mencionado que valor tienen que tener las fuerzas y momentos de referencia.En ejes estabilidad, para que las variables de estado de referencia cumplan las ecuaciones delmovimiento, las fuerzas y momentos de referencia tienen que cumplir:

−mg sin θs + Xs = 0

Ys = 0

mg cos θs + Zs =

Ls = 0

Ms = 0

Ns = 0

Linealizacion de los angulos de ataque y de resbalamiento:

V = us + O(u, v ,w) →tanα = w

u→ α ≈ w

us

sinβ = vV

→ β ≈ vus

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Linealizacion de las ecuaciones cinematicas lineales

Ecuaciones no lineales:

xcyczc

=

u cos θ cosψ + v (sin θ sinφ cosψ − sinψ cosφ) + w (sin θ cosφ cosψ + sinψ sinφ)u cos θ sinψ + v (sinψ sin θ sinφ+ cosψ cosφ) + w (sin θ cosφ sinψ − cosψ sinφ)

−u sin θ + v sinφ cos θ + w cosφ cos θ

Tomando como referencia un vuelo simetrico, rectilıneo y estacionario:

u = us + u(t) v = v(t) w = w(t)φ = φ(t) θ = θs + θ(t) ψ = ψ(t)

Linealizando las ecuaciones anteriores:

xc = ∆xc + (xc)s = us cos θs + u cos θs − usθ sin θs + w sin θs

yc = ∆yc + (yc)s = us cos θsψ + v

zc = ∆zc + (zc)s = −us sin θs − u sin θs − usθ cos θs + w cos θs

Por ultimo, las perturbaciones respecto de las velocidades de referencia son:

(xc)s = us cos θs ∆xc = u cos θs − usθ sin θs + w sin θs

(yc)s = 0 ∆yc = us cos θsψ + v

(zc)s = −us sin θs ∆zc = −u sin θs − usθ cos θs + w cos θs

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Modelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivas

Estrictamente, las fuerzas y momentos aerodinamicos y propulsivos son funcionales de lasvariables estados:

Por ejemplo, la sustentacion no depende solo de las variables de estado en cada instante,sino de toda la historia pasada, ya que los torbellinos generados en el pasado afectan alcampo de velocidades presente.

Si A es una fuerza o momento aerodinamico y ξ es una variable de estado, se puede considerarque:

A(t) = A(ξ(τ)) −∞ < τ ≤ t

Puesto que una funcion se puede reconstruir si se conocen sus infinitas derivadas en un punto,esto es equivalente a:

A(t) = A(ξ, ξ, ξ,...ξ , . . .)

Ante la dificultad de conocer con exactitud este modelo aerodinamico, en la practica se linealizala expresion anterior, considerando que unicamente seran relevantes los terminos hasta la primeraderivada:

A ≈ As + Aξξ + Aξξ Donde : Aξ =

∂A

∂ξ

)

s

, Aξ=∂A

∂ξ

)

s

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Modelo lineal de fuerzas aerodinamicas y propulsivas II

En general, se tendra:

A ≃ f (t, u, u, v , v ,w , w , p, p, q, q, r , r , δa, δa, δe , δe , δr , δr , δt , δt)

Linealizando:

∆A = Auu + Auu + . . .+ App + App + . . . + Aδaδa + Aδa δa + . . .

Los terminos Au, Au, . . . son conocidos como derivadas de estabilidadNotas:

La justificacion de la aproximacion realizada es que la experiencia demuestra que funciona enla mayorıa de los casos de interes (donde son de aplicacion las ecuaciones linealizadas).No obstante, existen algunas situaciones en las que hay que retener terminos hasta ξ, eincluso incluir terminos no lineales del tipo:

1

2Aξξξ

2, Aξ = f (ξ)

Como regla general, cuanto mas complejo sea el modelo, la identificacion del mismosera mucho mas complicada.Se necesita la ley de control del avion para cerrar el modelo aerodinamico.

Cuando se estudia el problema de mandos libres, en lugar de fijar los grados de libertad de lassenales de control se imponen las ecuaciones de equilibrio en la charnela.

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Simplificaciones en el modelo aerodinamico

Por simetrıa del avion y de las condiciones de referencia, las derivadas de estabilidad de Y , Ly N respecto de las variables longitudinales (u,w , q, δe ) son nulas.Por simetrıa del avion, las derivadas de estabilidad de X , Z y M respecto de las variableslaterales-direccionales (v , p, r , δa, δr ) son nulas:

X , Z y M son funciones pares de v , p, r , δa, δr .

Se desprecian todas las derivadas de estabilidad que involucran aceleraciones lineales yangulares, excepto:

Zw , Mw

Las siguientes derivadas se consideran despreciables:

Xq, Xδe , Xδe , Zδe , Yδa , Yδa , Yδr , Lδr , Nδa ,

Con esto, se considerara el siguiente modelo aerodinamico linealizado:

∆X = Xuu + Xww

∆Y = Yvv + Ypp + Yr r + Yδr δr

∆Z = Zuu + Zww + Zw w + Zqq + Zδeδe

∆L = Lvv + Lpp + Lr r + Lδaδa + Lδaδa + Lδr δr

∆M = Muu +Mww +Mw w +Mqq +Mδeδe +Mδeδe

∆N = Nvv + Npp + Nr r + Nδaδa + Nδr δr ++Nδrδr

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Ecuaciones desacopladas

Como consecuencia del modelo aerodinamico y propulsivo empleado, existe un desacople en lasecuaciones linealizadas del movimiento (ecuaciones 12) entre la dinamica longitudinal (u,w , q, θ)y la dinamica lateral-direccional (v , p, r , φ, ψ):

Ecuaciones longitudinales:

Xuu + Xww −mgθ cos θs = m (u)

Zuu + Zww + Zw w + Zqq + Zδeδe −mgθ sin θs = m (w − qus)

Muu +Mww +Mw w +Mqq +Mδeδe +Mδeδe = Iy q

θ = q

Ecuaciones laterales-direccionales:

Yvv + Ypp + Yr r + Yδr δr +mgφ cos θs = m (v + rus)

Lvv + Lpp + Lr r + Lδaδa + Lδaδa + Lδr δr = Ix p − Ixz r

Nvv + Npp + Nr r + Nδaδa + Nδr δr ++Nδr δr = Iz r − Ixz p

φ = p + r tan θs

ψ = r sec θs

Notese que la ultima ecuacion (ψ) esta desacoplada del resto.

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Ecuaciones desacopladas II

Escribiendo matricialmente las ecuaciones anteriores:

Ecuaciones longitudinales:

m 0 0 00 m − Zw 0 00 −Mw Iy 00 0 0 1

u

w

q

θ

=

Xu Xw 0 −mg cos θsZu Zw Zq +mus −mg sin θsMu Mw Mq 00 0 1 0

u

w

q

θ

+

0 0Zδe 0Mδe Mδe

0 0

[

δeδe

]

Ecuaciones laterales-direccionales:

m 0 0 00 Ix −Ixz 00 −Ixz Iz 00 0 0 1

v

p

r

φ

=

Yv Yp Yr −mus mg cos θsLv Lp Lr 0Nv Np Nr

0 1 tan θs 0

v

p

r

φ

+

0 0 Yδr 0Lδa L

δaLδr 0

0 Nδa Nδr Nδr0 0 0 0

δaδaδrδr

ψ = r sec θs

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Magnitudes de referencia y variables adimensionales del

problema longitudinal

Magnitudes caracterısticas del problema longitudinal:

Longitud: c2 Superficie: S Velocidad: us Masa: 1

2ρSc Tiempo: c2us

Presion: 12ρV

2 Fuerza: 12ρV

2S Momento: 12ρV

2Sc M. Inercia: ρS(

c2

)3

Variables adimensionales:

X CX = X12ρV 2S

Z CZ = X12ρV 2S

M Cm = X12ρV 2Sc

u u = uus

w w = uus

≡ α q q = qc2us

t t = t2usc

m µ = 2mρSc

Iy Iy =Iy

ρS( c2)

3

Estado de referencia adimensional:

Xs = mg sin θs CX |s =gc

u2sµ sin θs → CX |s = − CZ |s tan θs

Zs = −mg sin coss CZ |s = −gc

u2sµ cos θs

Ms = 0 Cm|s = 0

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Ecuaciones longitudinales adimensionales

Adimensionalizacion de las derivadas de estabilidad longitudinales

Xu = ρSusCXs+

1

2ρSusCXu

, Xw =1

2ρSusCXα

Zu = ρSusCZs+

1

2ρSusCZu

, Zw =1

2ρSusCZα

, Zw =1

4ρScCZ ˆα

Zq =1

4ρScusCZq

, Zδe =ρSu2s2

CZδe

Mu =1

2ρScusCmu

, Mw =1

2ρScusCmα , Mw =

1

4ρSc2Cmα

Mq =1

4ρSc2usCmq

, Mδe =ρScu2s

2Cmδe

, Mδe

=1

4ρSc2usCm ˆ

δe

Ecuaciones del movimiento adimensionales

2µdu

d t= (2CXs

+ CXu) u + CXα

α+ CZsθ

(

2µ− CZ ˆα

) dα

dt= (2CZs

+ CZu) u + CZα

α+(

2µ+ CZq

)

q − CXsθ + CZδe

δe

Iydq

d t− Cm ˆα

dα

dt= Cmu

u + Cmαα+ Cmqq + Cmδe

δe + Cm ˆδe

ˆδe

dθ

dt= q

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Magnitudes de referencia y variables adimensionales del

problema lateral-direccional

Magnitudes caracterısticas del problema lateral-direccional:

Longitud: b2 Superficie: S Velocidad: us Masa: 1

2ρSb Tiempo: b2us

Presion: 12ρV

2 Fuerza: 12ρV

2S Momento: 12ρV

2Sb M. Inercia: ρS(

b2

)3

Variables adimensionales:

Y CY = Y12ρV 2S

L Cl =L

12ρV 2Sb

N Cn = X12ρV 2Sb

v v = vus

≡ β p p = pb2us

r r = rb2us

t t = t2usb

m µ = 2mρSb

Iy Iy =Iy

ρS( b2)

3

Xs = mg sin θs CX |s =gb

u2sµ sin θs

Zs = −mg sin coss CZ |s = −gb

u2sµ cos θs

Ms = 0 Ls = 0 Ns = 0

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Ecuaciones laterales-direccionales adimensionales

Adimensionalizacion de las derivadas de estabilidad laterales-direccionales

Yv =1

2ρSusCYβ

, Yp =1

4ρSbusCYp

, Yr =1

4ρSbusCYr

, Yδr =1

2ρSu2sCYδr

Lv =1

2ρSbusClβ , Lp =

1

4ρSb2usClp , Lr =

1

4ρSb2usClr , Lδa =

1

2ρSu2s bClδa

Lδr =1

2ρSu2s bClδr

, Lδa

=1

4ρSusb

2Cl ˆδa

, Nv =1

2ρSbusCnβ , Np =

1

4ρSb2usCnp

Nr =1

4ρSb2usCnr , Nδa =

1

2ρSu2s bCnδa

, Nδr =1

2ρSu2s bCnδr

, Nδr=

1

4ρSusb

2Cn ˙δr

Ecuaciones del movimiento adimensionales

2µdβ

dt= CYβ

β + CYpp + (CYr

− 2µ) r − CZsφ+ CYδr

δr

Ixdp

d t− Ixz

dr

d t= Clββ + Clp p + Clr r + Clδa

δa + Cl ˆδa

ˆδa + Clδr

δr

Izdr

d t− Ixz

dp

d t= Cnββ + Cnp p + Cnr r + Cnδa

δa + Cnδrδr + Cn ˆ

δr

ˆδr

dφ

dt= p + r tan θs

dψ

dt= r sec θs

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Resumen

Se han formulado las ecuaciones del movimiento de un avion con 6GDL:

Problemas de simulacion

Estas ecuaciones son no lineales y no son adecuadas para estudiosde estabilidad (principal objetivo del curso)

Linealizacion de las ecuaciones entorno a un punto de operacion.

Para cerrar el problema, se necesita establecer un modelo de fuerzasy momentos.

Modelo aerodinamico lineal

En el modelo aerodinamico, aparecen derivadas de estabilidaddimensionales, las cuales son difıciles de estimar

Adimensionalizacion de las ecuaciones linealizadas

Con todo esto, se pueden seguir dos caminos:1 Estudiar como calcular las derivadas de estabilidad adimensionales2 Suponer conocidas las derivadas de estabilidad y pasar a estudios de

estabilidad y respuesta al mando

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Tema 9. Respuesta dinámica del avión