Análisis de Respuesta en Frecuencias.pdf

8/18/2019 Análisis de Respuesta en Frecuencias.pdf

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Capítulo 7: Análisis de Respuesta en Frecuencias

- 209 -

Capítulo 7.

ANÁLISIS DE RESPUESTA

EN FRECUENCIAS.



Sistemas de Control en Tiempo Discreto

- 210 -

7.1 INTRODUCCIÓN.

El concepto de respuesta en frecuencia juega un poderoso papel en los sistemas

de control digital, de la misma forma que lo hace en los sistemas de control en tiempo

continuo. Por respuesta en frecuencia, se entiende la respuesta en estado de régimen

permanente de un sistema ante una entrada senoidal.

A menudo han sido utilizados los métodos de respuesta en frecuencia en el

diseño de compensadores. La razón básica es la sencillez de los métodos. Al llevar a

cabo pruebas de respuesta en frecuencia sobre un sistema muestreado, es importante que

el sistema continuo tenga un filtro de paso bajo (generalmente un mantenedor de orden

cero) antes del muestreador, de tal manera que las bandas laterales estén filtradas. De

esta forma dado un sistema lineal e invariante en el tiempo y dada una entrada senoidal,

el sistema conserva la frecuencia y modifica solamente la amplitud y la fase de la señal

de entrada. Por lo tanto, las dos únicas cantidades que deberán ser manejadas, serán la

amplitud y la fase.

Ahora analizaremos la respuesta a una entrada senoidal de un sistema discreto

lineal e invariante en el tiempo; ese análisis será confirmado mediante la definición de

la función transferencia de pulso senoidal.

A continuación estudiaremos el diseño en el plano w de un sistema de control en

tiempo discreto mediante la utilización de un diagrama de Bode.




- 211 -

7.2 RESPUESTA DE UN SISTEMA EN TIEMPO DISCRETO

LINEAL E INVARIANTE EN EL TIEMPO A UNA ENTRADA

SENOIDAL.

La respuesta en frecuencia de G( z ) puede obtenerse sustituyendo z = e j ω T en

G( z ) , como se demuestra a continuación. [REF. 3].

Se considera un sistema estable en tiempo discreto lineal e invariante en el

tiempo como se muestra en la siguiente figura:

La señal muestreada u( k T ) es u( k T ) = si n( k ωT )

La transformada z de la entrada muestreada es:

> restart:




- 212 -

> ztrans(sin(k*omega*T), k, z);

que también se puede expresar de la siguiente forma:

)()(

)(T jT j z z

T sin z ⋅⋅−⋅⋅ −⋅−

⋅⋅ω ω

ω

ee

teniendo en cuenta que )()cos( T sin jT T j ⋅⋅+⋅=⋅⋅ ω ω ω e .

NOTA del autor: En general se obtiene que

( ( =−⋅−⋅−⋅+ jba jba

z z ee

( )( ( )( =⋅−⋅−⋅⋅+⋅−= )()cos()()cos( b sin jb z b sin jb z aa ee

aa z b z

⋅+⋅⋅⋅−= 22)cos(2 ee

z ( )sin ω T

− + z 2

2 z ( )cos ω T 1




- 213 -

La respuesta del sistema está dada por

)()(

)()()()()(

T jT j z z

T sin z z G z U z G z X

⋅⋅−⋅⋅ −⋅−

⋅⋅⋅==

ω ω

ω

ee

+−

⋅+

−

⋅=

⋅⋅−⋅⋅ T jT j z

z aa

z

z aω ω ee

[términos debidos a los polos de G(z)]

siendo aa el complejo conjugado de a.

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por z

z T j ⋅⋅− ω e obtenemos

−+

−

−⋅+=

−

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅−

⋅⋅

⋅⋅− G(z)de poloslos

adebidostérminos)()sin()(

z

z

z

z aaa

z

T z G

T j

T j

T j

T j

ω

ω

ω

ω

ω e

e

e

e

Dado que el sistema considerado aquí es estable, G( z ) no contiene a z = e j ω T

como polo, ya que e jω T está en la frontera del disco unidad (ver estabilidad). Por tanto,

G( z ) no tiene en el denominador un término de la forma z - e jω T . Luego el segundo y

tercer término del segundo miembro de esta ecuación se anulan en z = e jω T . Así

tenemos

j

G

z

T sin z Ga

T j

z T j

T j ⋅=

−

⋅=

⋅⋅

=⋅⋅−

⋅⋅ 2

)()()(

ω

ω ω

ω e

e e




- 214 -

El coeficiente aa, que es el complejo conjugado de a, se obtiene multiplicando por

z

z T j ⋅⋅−− ω e y sustituyendo T j z ⋅⋅−= ω e .

j

Gaa

T j

⋅−=

⋅⋅−

2

)( ω e

Escribiendoθ ω ⋅⋅⋅ ⋅= jT j

M G ee )( , con )( T jG M ⋅⋅= ω e y )( T jGángulo ⋅⋅= ω θ e .

Entoncesθ ω ⋅−⋅⋅− ⋅= jT j

M G ee )( .

La ecuación de X(z) ahora puede escribirse como

+−⋅⋅

⋅

−−⋅⋅

⋅

= ⋅⋅−

⋅−

⋅⋅

⋅

)(de poloslos

adebidostérminos

e2

e

e2

e

)( z G z

z

j

M

z

z

j

M

z X T j

j

T j

j

ω

θ

ω

θ

o bien

+

−

⋅−

−

⋅⋅

⋅=

⋅⋅−

⋅−

⋅⋅

⋅

)(de poloslos

adebidostérminos

e

e

e

e

2)(

z G z

z

z

z

j

M z X

T j

j

T j

j

ω

θ

ω

θ




- 215 -

La transformada z inversa de esta última ecuación es

( )

Ζ+⋅−⋅⋅

⋅=⋅ −⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅

)(de poloslos

adebidostérminoseeee

2)( 1

z G j

M T k x T k j jT k j j ω θ ω θ

El último término del segundo miembro de esta última ecuación representa la

respuesta transitoria. Dado que el sistema G(z ) se ha supuesto estable, todos los

términos de la respuesta transitoria desaparecerán en estado permanente, y obtendremos

la siguiente respuesta en estado permanente )( T k x ss ⋅ :

( ))()(

2)( θ ω θ ω +⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅ −⋅

⋅=⋅ T k jT k j

ss j

M T k x ee

)( θ ω +⋅⋅⋅= T k sin M

donde la amplitud o magnitud M, que es la ganancia del sistema en tiempo discreto al

ser sujeto a una entrada senoidal, está dada por

)()( T jG M M ⋅⋅== ω ω e

y θ , el ángulo de fase, está dado por

== )(ω θ θ )e( T j

Gángulo⋅⋅ω




- 216 -

En términos de )( T jG ⋅⋅ω e se puede escribir la respuesta en estado permanente como

sigue:

( )( ))()()( T jT j

ss GánguloT k sinGT k x⋅⋅⋅⋅ +⋅⋅⋅=⋅ ω ω

ω ee

Hemos demostrado que )( T jG⋅⋅ω e proporciona la magnitud y la fase de la

respuesta en frecuencia de G(z ). Por lo tanto, para obtener la respuesta en frecuencia de

G(z ), sólo necesitamos escribir T j ⋅⋅ω e en lugar de z en G(z ). La función )( T jG ⋅⋅ω e se

conoce comúnmente como función transferencia de pulso senoidal. Si observamos

que

T j jT jT

T j

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅+⋅

=⋅= ω π ω

π ω

eeee 2

2

se obtiene que la función transferencia de pulso senoidal )( T jG ⋅⋅ω e es periódica, con un

período T.

Ejemplo:

Considere el sistema definido por

),)1(()()( T k xaT k uT k x ⋅−⋅+⋅=⋅ 10 << a

donde u( k T ) es la entrada y x(k T ) la salida. Obtenga la salida en estado permanente

x( kT ) cuando la entrada u( k T ) es la senoidal )()( T k sin AT k u ⋅⋅⋅=⋅ .




- 217 -

La transformada z de la ecuación del sistema es

)()()(1

z X z a z U z X ⋅⋅+= −

Al definir ,)(

)()(

z U

z X z G = tenemos

11

1

)(

)()(

−⋅−==

z a z U

z X z G

Sustituimos z por T j ⋅⋅ω e en G(z), para obtener la función transferencia de pulso

senoidal.

> G(z) := 1/(1-a*z^(-1));

G(exp(I*omega*T)) := convert(subs(1/z = exp(-I*omega*T),G(z)), trig);

:=( )G z 1

−1a

z

:=( )G e ( ) I ω T 1

−1 a ( )−( )cos ω T I ( )sin ω T




- 218 -

La amplitud de )( T jG ⋅⋅ω e es

)cos(21

1)(

2 T aa M G T j

⋅⋅⋅−+==⋅⋅

ω

ω e

y el ángulo de fase de )( T jG ⋅⋅ω e es

( )

⋅⋅−

⋅⋅−==⋅⋅

)cos(1

)()e(

T a

T sinaarctanGángulo T j

ω

ω θ ω

Para obtener estas expresiones ver [REF. 1].

Entonces, la salida en estado permanente xss( k T) se puede escribir como sigue:

=+⋅⋅⋅⋅=⋅ )()( θ ω T k sin M AT k x ss

⋅⋅−⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+

=)cos(1

)(

)cos(21 2 T a

T sinaarctanT k sin

T aa

A

ω

ω ω

ω




- 219 -

7.3 LA TRANSFORMACIÓN W.

Sea un sistema de control en tiempo continuo cuya función de transferencia es

G( s ), y cuya respuesta en frecuencias viene dada por G( s ) en s = jω (ver [REF. 2]), es

decir, G( jω ). Supongamos que discretizamos el sistema por invarianza al escalón, de

forma que obtenemos la siguiente función transferencia de pulso:

⋅

−Ζ=

⋅−

)(1

)( sG s

z GT s

D

e

Si tratamos el problema de la respuesta en frecuencia en el plano z la

simplicidad de los trazados logarítmicos se perderá completamente, ya que en el plano z

la frecuencia aparece como T j z ⋅⋅= ω e . Esta dificultad, sin embargo, puede ser superada

transformando la función transferencia de pulso, GD(z), del plano z al plano w.

[REF. 4].

La transformación bilineal w se define por

21

21

T w

T w

z ⋅

−

⋅+

=

donde T es el período de muestreo que se utiliza en el sistema de control considerado.




- 220 -

Esta transformación convierte una función de transferencia racional en el plano z

en una función racional en w, y transforma el círculo unidad del plano z en el semiplano

izquierdo del plano w. Por lo tanto, los métodos de respuesta en frecuencia de los

sistemas de control continuos se pueden aplicar a los sistemas discretos de control.

Despejando w en la ecuación anterior obtenemos la relación inversa

1

12

+−

⋅= z

z

T w

Una vez que la función de transferencia GD(z) se transforma en GD( w ) puede

ser tratada como una función de transferencia continua en w, y las técnicas clásicas de

respuesta en frecuencia pueden ser usadas en el plano w. De esta forma las técnicas de

diseño de Bode pueden ser aplicadas al diseño de controladores discretos.

La transformación w distorsiona la frecuencia. La relación entre la frecuencia

ficticia ν y la frecuencia real ω es

,2

2

⋅⋅=

T tan

T

ω ν

22

s s ω ω

ω ≤≤− , ∞≤≤∞− ν

conT

s

π ω

⋅=

2 frecuencia de muestreo.




- 221 -

Para ω = 0 ⇒ 0)0( =tan

y paraT

s π ω ==

2 ⇒ ∞=

2

π tan

Luego para el rango de frecuencia real

−∈

2,

2

s s ω ω ω , la frecuencia ficticia recorre

toda la recta ( )∞∞− , . Por tanto, hay una distorsión de frecuencias.

Notar que si en la ecuación anterior T ⋅ es pequeño, entonces ν equivale a ω . Esto

significa que para ω T pequeños las funciones de transferencia G(s ) y GD( w ) se

parecen una a la otra, siendo G( s ) la función de transferencia del sistema continuo del

cual proviene GD(z).

GD( w ) puede ser una función de transferencia de fase no mínima (estabilidad),

ya que la transformación w genera uno o más ceros en GD( w ) que están en el

semiplano derecho de w. La situación de los ceros del semiplano derecho depende del

período de muestreo T, ya que los ceros son generados por la operación de muestreo y

retención. El efecto de estos ceros sobre la respuesta se vuelve menor cuando el período

de muestreo disminuye. [REF. 4].




- 222 -

Ejemplo:

Considere la función de transferencia del sistema que se muestra en la figura. El

período de muestreo T se supone de 0.1 seg. Obtenga GD( w ).

Supongamos que discretizamos el sistema continuo, cuya función de

transferencia es10

10)(

+=

s sG p por invarianza al escalón:

La transformada z de G(s ) es

+⋅⋅−

Ζ=⋅−

)10(

10)e1()(

s s z G

sT

D

+⋅Ζ⋅−= −

)10(

10)1( 1

s s z




- 223 -

> restart: with(inttrans): Digits:=4:

> subs(t=k*1/10, invlaplace(10/(s^2+10*s), s, t)):

G[D](z) := evalf(simplify((1-z^(-1))*ztrans(%, k, z)));

Mediante la transformación bilinealw

w

T w

T w

z ⋅−⋅+

=⋅

−

⋅+=

5.01

5.01

21

21

GD( z ) puede ser transformada en GD( w ) como sigue:

> subs(z=(1+.05*w)/(1-.05*w), G[D](z));

G[D](w) := simplify(%, radical);

Despejando quedaría242.9

05.01242.9)(

+⋅−

⋅=w

wwG D .

:=( )GD z 1.7181

−2.718 z 1.

1.7181

−2.718 +1 .05 w

−1 .05 w1.

:=( )GD w −1.718− +1. .05000 w

+1.718 .1859 w




- 224 -

A continuación vamos a obtener los polos de la planta G p( s ) y los polos en el plano w:

> solve(s+10=0);

solve(denom(G[D](w))=0);

Se observa que la localización del polo de la planta es s = -10 y que el polo en el

plano w es w = -9.242. El valor de ganancia en el plano s es 10 y el correspondiente en

el plano w es 9.242. (Así, tanto las localizaciones de los polos como los valores de

ganancia son similares en el plano s y en el plano w).

Ceros en el plano w:

> solve(numer(G[D](w))=0);

Es decir, GD( w ) tiene un cero en 202

==T

w , a pesar de que la planta no tiene

ningún cero. Conforme se hace más pequeño el período de muestreo T, el cero del plano

w enT

w2

= se acerca a ∞ en el semiplano derecho del plano w.

-10

-9.242

20.




- 225 -

Observe que tenemos

10

10)(

00 +=

→→ slimwGlim s

Dw

> limit(G[D](w),w = 0);

limit(10/(s+10),s = 0);

Este hecho es muy útil para verificar los cálculos numéricos para la transformación de

G( s ) en GD( w ), tras haber discretizado el sistema continuo en GD( z ).

Es importante notar que puede existir una diferencia en las magnitudes en alta

frecuencia para [ ] ω ⋅= j s sG )( y [ ] ν ⋅= jw D wG )( . La asíntota de alta frecuencia de la curva

de magnitud logarítmica para GD( jν ) puede ser una línea constante a ciertos decibelios

(que es lo mismo que una línea horizontal). Por otra parte, si 0)( =∞→

sGlim s

entonces la

magnitud de )( ω ⋅ jG siempre se acercará a cero (- ∞ dB) conforme ω se acerque a

infinito.

La magnitud en alta frecuencia de GD( jν ) es

4621.0)( =⋅∞→

ν ν

jGlim D

1

1




- 226 -

Lo comprobamos con Maple:

> aux := subs(w=I*nu, G[D](w)):

limit(abs(aux), nu=infinity);

en tanto que la magnitud en alta frecuencia de la planta10

10)(

+=

s sG es

010

10=

+⋅∞→ ω ω jlim

Lo comprobamos con Maple:

> limit(abs(10/(I*omega+10)), omega = infinity);

0

La diferencia en los diagramas de Bode en el extremo de alta frecuencia puede

explicarse como sigue: primero, recuerde que sólo estamos interesados en el rango de

frecuencia sω ω ⋅≤≤ 2

10 , con T

s

π ω

⋅=

2 frecuencia de muestreo, lo que corresponde a

∞≤≤ν 0 (distorsión de frecuencias). Entonces, al observar que ∞=ν en el plano w

corresponde a sω ω ⋅=2

1 en el plano s, se puede decir que )( ν

ν ⋅

∞→ jGlim D

corresponde a10

10

2

+⋅→ ω ω ω

jlim

s

, que es una constante. Es importante señalar que estos

dos valores no suelen ser iguales entre sí.

.4621




- 227 -

Desde el punto de vista de polos y ceros, se puede decir que cuando )( ν ⋅ jG D

es una constante distinta de cero en ν = ∞ , está implícito que GD( w ) contiene el mismo

número de polos y de ceros.

En general, uno o más ceros de GD(w ) se presentan en el semiplano derecho del

plano w. La presencia de un cero en el semiplano derecho del plano w significa que

GD( w ) es una función de transferencia de fase no mínima (ver estabilidad). Por lo tanto,

debemos tener cuidado al dibujar la curva de ángulo de fase en el diagrama de Bode.

Para resumir, la transformación w, transformación bilineal, hace corresponder el

círculo unitario del plano z con el semiplano izquierdo del plano w. El resultado general

de las transformaciones del plano s en el plano z y en el plano w, es que el plano w y el

plano s son similares sobre las regiones de interés del plano s. Esto es debido a que

algunas de las distorsiones causadas por la transformación del plano s en el plano z

están parcialmente compensadas por la transformación del plano z en el plano w.

Observe que si

nnn

mmm

Da z a z

b z b z b z G

++⋅+

++⋅+⋅=

−

−

L

L

11

110)( , nm ≤

donde las ia y las ib son constantes, se transforma en el plano w mediante la

transformación

21

21

T w

T w

z ⋅

−

⋅+

=




- 228 -

entonces, GD( w ) asume la forma

nnn

nnn

o D

ww

wwwG

α α α

β β β

++⋅+⋅

++⋅+⋅=

−

−

L

L

110

11)(

donde las iα y las i β son constantes (algunas de ellas pueden ser cero). Entonces,

GD( w ) es un cociente de polinomios en w, donde los grados del numerador y del

denominador pueden ser o no iguales. Sustituyendo en GD(w ), w = jν , dado que

GD( jν ) es una función racional de ν , se puede aplicar el criterio de estabilidad de

Nyquist para sistemas continuos a GD( jν ) [REF. 2]. Este criterio da condiciones para

saber cuándo las raíces están en el semiplano izquierdo. En términos del diagrama de

Bode, se aplican a GD( jν ) la aproximación convencional de línea recta a la curva de

magnitud, así como el concepto del margen de fase y el margen de ganancia.

Comentarios. La ventaja del método de la transformación w es que el método

de respuesta en frecuencia convencional mediante el uso de diagramas de Bode, puede

ser utilizado para diseño de sistemas de control en tiempo discreto. En la aplicación de

este método, debemos seleccionar cuidadosamente una frecuencia de muestreo

razonable. Antes de concluir esta sección, resumiremos los puntos más importantes

relativos al diseño en el plano w. [REF. 3].

1. La magnitud y el ángulo de fase de GD( jν ) son la magnitud y el ángulo de fase

de GD( z ) conforme z se mueve en el círculo unitario desde z = 1 hasta z = -

1. Puesto que z = e j ωT, el valor ω varía desde 0 hasta

2

1 sω . La frecuencia

ficticia ν varía desde 0 hasta ∞ , ya que

⋅⋅=

2

2 T tan

T

ω ν . Por lo tanto, la




- 229 -

respuesta en frecuencia del sistema de control digital para2

0 sω ω ≤≤ es

similar a la respuesta en frecuencia del sistema de control analógico

correspondiente en el caso ∞≤≤ν 0 .

2. Dado que GD( jν ) es una función racional de ν definida sobre el plano w, es

similar a G( jω ) definida sobre el plano s. Por lo tanto, son aplicables a GD( jν )

tanto la aproximación convencional con líneas rectas a la curva de magnitud del

diagrama de Bode, como el concepto de margen de fase y de margen de

ganancia, que se van a definir en el apartado del diagrama de Bode.

3. Compare las funciones de transferencia GD(w ) y G( s ). Como hemos

mencionado antes, en razón de la presencia del factor de escalaT

2 en la

transformación w, las constantes de error estático correspondientes para GD( w )

y para G( s ) se hacen idénticas. Sin el factor de escala

T

2 no sería cierto.

4. La transformación w puede generar uno o más ceros en el semiplano derecho en

GD( w ). Si existen uno o más ceros en el semiplano derecho, entonces GD(w ) es

una función de transferencia de fase no mínima (estabilidad). Debido a que los

ceros en el semiplano derecho están generados por la operación de muestreo y

retención, las localizaciones de estos ceros dependen del período de muestreo T.

Los efectos de estos ceros en el semiplano derecho en la respuesta, se hacen

menores conforme se reduce el período de muestreo T.

Ahora consideremos los efectos de la respuesta del cero en el semiplano

derecho enT

w2

= . El cero enT

w2

= genera distorsión en la respuesta en

frecuencia conforme ν se acerca aT

2.




- 230 -

En vista de que

⋅⋅=

2

2 T tan

T

ω ν

entonces, conforme ν se acerca aT

2,

⋅2

T tan

ω se aproxima a 1, o bien

42

π ω =⋅T

y, por lo tanto,T ⋅

=2

π ω

Como ya se indicó,T

s

π ω ω ==

2

1 es la frecuencia más alta que consideramos en

la respuesta del sistema de control en tiempo discreto o digital. Por lo

tanto,24

T s ⋅==

π ω , que es la mitad de la frecuencia más alta considerada,

está dentro del intervalo de frecuencia de interés. Así, el cero enT

w2

= , que

aparece en el semiplano derecho del plano w, afectará seriamente la respuesta.

5. Debe hacerse notar que el método del diagrama de Bode en el plano w se utiliza

con frecuencia, y muchos sistemas de control digital de éxito han sido diseñados

mediante este procedimiento.




- 231 -

7.4 DIAGRAMAS DE BODE.

En los sistemas de control en tiempo continuo de 'una entrada - una salida'

(SISO), se ha utilizado mucho el diseño mediante diagramas de Bode. En particular, si

la función de transferencia está en forma factorizada, es bien conocida la simplicidad y

rapidez con la cual se puede dibujar y reformar un diagrama de Bode asintótico.

7.4.1.- Diagrama de Bode para sistemas continuos. Dado un sistema continuo lineal e

invariante en el tiempo, con función de transferencia G( s ), se puede representar una

función de transferencia senoidal G( jω ) con dos diagramas distintos en función de la

frecuencia ω: la amplitud y el ángulo de fase. Un diagrama logarítmico o diagrama de

Bode consta de estos dos trazados. Uno es el logaritmo del módulo de una función de

transferencia senoidal, y el otro es su ángulo de fase, ambos en función de la frecuencia.

La amplitud logarítmica de G( jω ) se representa como )(log20 ω ⋅⋅ jG , siendo el

logaritmo en base 10. La unidad usada es el decibelio (dB).

La ventaja principal del diagrama de Bode, es que se puede convertir la

multiplicación de amplitudes en suma de las mismas. Por ejemplo,

si )()()( 21 sG sG sG ⋅= ⇒ )()()( 21 ω ω ω ⋅⋅⋅=⋅ jG jG jG

⇒ ( ) ( ) ( ))(log)(log)(log 21 ω ω ω ⋅+⋅=⋅ jG jG jG

Además se dispone de un método simple para realizar una curva aproximada del

logaritmo de la amplitud, basado en la aproximación asintótica. Este método por líneas

rectas asíntotas es suficiente si sólo se necesita una información aproximada sobre las

características de respuesta en frecuencia.




- 232 -

Dado un sistema en tiempo continuo cuya función de transferencia en lazo

abierto es

)()()(

)()()()(

21

11

N n N

mm

b sb sb s s

a sa sa s K sG

−

−

−⋅⋅−⋅−⋅

−⋅−⋅⋅−⋅=

L

L

nm ≤

se dice que es un sistema tipo N (número de polos en s = 0). Para una entrada cuya

función de transferencia es R(s), se llama error de estado estacionario a

⋅+

=→

)()(1

lim0

s R sG

se

s ss

y en el caso discreto será

⋅

+−

=−

→)(

)(1

1lim

1

1 z R

z G

z e

z ss

se muestran una serie de definiciones, que serán útiles para comprender los apartados

posteriores [REF. 2]:

- Ganancia: Se llama K a la ganancia del sistema.

- Ganancia en altas frecuencias: )( ω ω

⋅∞→

jGlim

- Ganancia en bajas frecuencias: )(0

ω ω

⋅→

jGlim

- Constante de error estático de posición: )(0

sGlim K s

p→

=

En el caso discreto sería )(lim1

z G K z

p→

=




- 233 -

- Constante de error estático de velocidad: )(0

sG slim K s

v ⋅=→

En el caso discreto sería )(lim1 z G z K z v ⋅= →

- Constante de error estático de aceleración: )(2

0 sG slim K

sa ⋅=

→

En el caso discreto sería )(lim 2

1 z G z K

z a ⋅=

→

- Tabla con el error en estado estacionario en respuesta a una entrada escalón,rampa y aceleración:

Error en estado estacionario

SISTEMA Escalón

1)( =t r

Rampa

t t r =)(

Aceleración

2

2

1)( t t r ⋅=

Tipo 0

p K +1

1 ∞ ∞

Tipo 1 0

v K

1 ∞

Tipo 2 0 0

a K

1

- Frecuencia de cruce de ganancia: Frecuencia ω1 para la cual el valor absoluto

)( ω ⋅ jG de la función de transferencia de lazo abierto es la unidad.

1)( 1 =⋅ω jG ⇒ 0)(log20 110 =⋅⋅ ω jG




- 234 -

- Frecuencia de cruce de fase: Se define como la frecuencia ω2 a la cual el

ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto es igual a -180º.

( ) º180)( 2 −=⋅ω jGángulo

- Margen de fase: Cantidad de retardo de fase adicional necesaria a la frecuencia

de cruce de ganancia, para que el sistema quede al borde de la inestabilidad. El

margen de fase γ es 180º más el ángulo de fase φ de la función de transferencia

de lazo abierto a la frecuencia de cruce de ganancia, o sea

φ γ +=180 con ( ))( 1ω φ ⋅= jGángulo

- Margen de ganancia: Es la inversa de )( ω ⋅ jG a la frecuencia de cruce de

fase. Es decir,

)(

1

2ω ⋅=

jG K g en dB ⇒ )(log20 210 ω ⋅⋅⋅− jG dB

- Frecuencia de corte: Se denomina frecuencia de corte ωc a la frecuencia a la

cual el valor de la respuesta de frecuencia de lazo cerrado está 3 dB por debajo

de su valor a frecuencia cero. Es decir, 3)(1

)(

−=⋅+

⋅

c

c

jG

jG

ω

ω

en dB, es decir

3)(1

)(log20 10 −=

⋅+

⋅⋅

c

c

jG

jG

ω

ω dB




- 235 -

- Ancho de banda: Es el rango de frecuencias c≤≤0 en el que el valor del

lazo cerrado no cae por debajo de -3 dB.

Ejemplo diagrama de Bode:

Dada la función de transferencia )5()1(

10)(

+⋅+⋅=

s s s sG

> restart: with(plots):

> G := s -> 10/(s*(s+1)*(s+5));

Se realiza el procedimiento 'Diag_Bode', que recibe como parámetro la función

)( ⋅ jG , los índices del eje 'x', y la constante que se pintará como recta en el diagrama

de magnitudes (0 dB en lazo abierto, -3 dB en lazo cerrado).

- En el eje 'x' de los diagramas, se representa la variable )(log10 ω = fr . Para

saber cuál es una frecuencia determinada, basta con elevar a 10 la cifra que

se ve: fr 10=ω .

- En el eje 'y', en el diagrama de magnitudes se representa la amplitud en

decibelios ( )(log20 10 ω ⋅⋅ jG dB). En el diagrama de fases, se representa

la fase, ( ))( ⋅ jGángulo , en grados.

:=G → s 101

s ( )+ s 1 ( )+ s 5




- 236 -

- En el diagrama de las magnitudes, se pinta en gris la recta equivalente a la

contante que se pasa como parámetro (0 dB para el sistema en lazo abierto,

-3 dB para el sistema en lazo cerrado.

- En el diagrama de las fases, se pinta en gris la recta equivalente a -180º.

- Como la función de Maple 'argument' da valores en radianes, se hace

necesario pasar a grados:π

180gra

⋅=

radianesdos

- La función de Maple 'argument' da sus valores entre π − y π radianes,

mientras que el diagrama de Bode pinta la fase con valores entre π ⋅− 2 y 0

radianes (al margen de la conversión a grados antes mencionada). La

función 'arg', que representa la fase, tiene en cuenta este detalle.

- La función 'mag', representa la magnitud. 'mag' y 'arg' son variables

globales del procedimiento, para poder usarlas posteriormente.

> Diag_Bode := proc(f, ind1, ind2, cte)

local ctem, ctea, m, a, w, p1, p2;

global mag, arg;

with(plots):

# rectas adicionales

ctem := plot(cte, w=ind1..ind2, color=wheat, axes=FRAME):

ctea := plot(-180, w=ind1..ind2, color=wheat, axes=FRAME):

(continúa)




- 237 -

# magnitud de G

mag := w -> abs(subs(omega=w, f)):

m := plot(20*log[10](mag(10^w)), w=ind1..ind2, color=blue,

axes=FRAME, title=`magnitud de G`):

# fase de G

arg := w -> argument(subs(omega=w, f)) -

(signum(argument(subs(omega=w, f)))+1)*Pi;

a := plot(evalf(arg(10^w)*180/Pi), w=ind1..ind2,

color=blue, axes=FRAME, title=`fase de G`):

# diagramas

p1 := display({m, ctem}, labels=[fr, dB],

title=`MAGNITUD DE G`, tickmarks=[10,15]):

p2 := display({a, ctea}, labels=[fr, grados],

title=`FASE DE G`, tickmarks=[10,15]):

print(p1);

print(p2);

end:




- 238 -

> # -1 = log[10](1/10), 3 = log[10](1000)

Diag_Bode(G(I*omega), -1, 3, 0);

Puede verse que en ambos diagramas el eje de frecuencias (eje 'x') es el mismo. Esto

será muy útil para calcular las frecuencias de cruce, como se verá más adelante.

La ganancia K del sistema es 10. Se calculan ahora las constantes de error estáticas:




- 239 -

> Kp := limit(G(s), s=0, right); Kp := limit(G(s), s=0, left);

Kv := limit(s*G(s), s=0);

Ka := limit(s^2*G(s), s=0);

Para calcular los siguientes valores, ampliamos la zona del diagrama de Bode que nos

interesa.

> Diag_Bode(G(I*omega), 0, 0.5, 0);

:= Kv 2

:= Ka 0

:= Kp ∞ := Kp −∞




- 240 -

Calculamos ahora la frecuencia de cruce de ganancia. En el diagrama de Bode se puede

apreciar que la magnitud tiene valor 0 dB para 23.11009.0 ==ω , aproximadamente. Lo

cual nos da un margen de fase aproximado de -155º + 180º = 25º (como los diagramas

de magnitud y fase tienen el mismo eje de frecuencias, basta con trazar una línea

vertical desde el punto donde la magnitud es cero, hasta el punto correspondiente en la

fase, y sumarle 180º al valor que se obtenga). Lo comprobamos con Maple,

aprovechando que 'mag' y 'arg' son variables globales.

> evalf(arg(10^0.09)*180/Pi) + 180;

Del mismo modo, se ve que la frecuencia de cruce de fase es 24.210 35.0 ==ω . Por lo

que el margen de ganancia es de 10 dB (mirando el diagrama de Bode, se traza una línea

vertical desde el punto donde la fase es -180º, hasta el punto correspondiente de la

magnitud, y el valor se multiplica por -1).

> evalf(-20*log[10](mag(10^0.35)));

Frecuencia de corte (lazo cerrado):

> Gc := abs(G(I*omega)/(1+G(I*omega))):

ecu := evalf(20*log[10](Gc)) = -3:

solve(ecu, omega[c]);

Debido a los complejos cálculos que debe realizar Maple, este método no sirve para

determinar la frecuencia de corte en lazo cerrado. Lo hacemos con el diagrama de Bode.

9.563028400

25.2820203




- 241 -

Se dibujan la magnitud y la fase de la función de transferencia de lazo cerrado.

> Diag_Bode(G(I*omega)/(1+G(I*omega)), 0, 0.5, -3);

Mirando el diagrama de Bode de la respuesta de frecuencia de lazo cerrado, para que

3)(1

)(log20 10 −=

⋅+

⋅⋅

c

c

jG

jG

ω

ω dB, se ve que fr = 0.3, y por lo tanto

> omega[c] := 10^0.3;

y el ancho de banda comprende el intervalo cerrado [ ]c,0 .

:=ωc 1.995262315




- 242 -

7.4.2.- Ventajas del método del diagrama de Bode para el diseño en w. El método

del diagrama de Bode es en particular útil en lo que se refiere al análisis y el diseño de

los sistemas de control, por las siguientes razones:

1. Se pueden traducir las especificaciones de la respuesta transitoria a los

correspondientes de la respuesta en frecuencia en términos del margen de fase,

del margen de ganancia, del ancho de banda y así sucesivamente. Estas

especificaciones se pueden manejar fácilmente en el diagrama de Bode. En

particular, los márgenes de fase y de ganancia se pueden leer en forma directa

del diagrama de Bode.

2. El diseño de un compensador digital (o un controlador digital) para satisfacer las

especificaciones dadas (en función del margen de fase o del margen de

ganancia) puede llevarse a cabo en el diagrama de Bode de una forma sencilla y

simple.




- 243 -

7.5 TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN.

Antes de analizar los procedimientos de diseño en el plano w (apartado 7.6),

revisemos las técnicas de compensación mediante el adelanto de fase, el atraso de

fase, y el atraso-adelanto de fase. [REF. 3].

Sea un sistema de control en tiempo continuo cuya función de transferencia es

G( s ), y cuya respuesta en frecuencias viene dada por G( s ) en s = jω , es decir, G( jω ).

Supongamos que discretizamos el sistema por invarianza al escalón, de forma que

obtenemos la siguiente función transferencia de pulso:

⋅

−Ζ=

⋅−

)(1

)( sG s

z GT s

D

e

A continuación hacemos la transformación

wT

wT

z

⋅−

⋅+=

21

21

obteniendo la siguiente función transferencia de pulso en w:

⋅−

⋅+=

=

wT

wT

z

D D z GwG

21

21

)()(




- 244 -

cuya respuesta en frecuencias, como ya hemos visto (transformación w), viene dada por

GD(w ) en w = jν , es decir, GD( jν ).

Tal y como se indicó antes, los métodos convencionales de respuesta en

frecuencia en el plano s se aplican a las funciones de transferencia en el plano w.

Recordamos que el diagrama de Bode para una función GD( jν ) consiste en dos trazas

por separado, la magnitud logarítmica )( ν ⋅ jG D en función del logaritmo de ν y el

ángulo de fase de GD( jν ) en función del logaritmo de ν . La traza de la magnitud

logarítmica se basa en la factorización de GD( jν ), de tal forma que funciona en el principio de sumar los términos factorizados individuales, en vez de multiplicar los

términos individuales. Las técnicas conocidas de trazas asintóticas son aplicables y, por

lo tanto, se puede dibujar con rapidez la curva de magnitud si se utilizan asíntotas con

líneas rectas. Mediante el uso del diagrama de Bode, se puede diseñar un compensador

digital o un controlador digital a través de técnicas de diseño convencionales.

Se considera el sistema mostrado en la figura.

Se supone que las especificaciones de diseño están dadas en términos de margen de

fase, margen de ganancia, constantes de error estático de velocidad y similares.




- 245 -

7.5.1 Compensador de adelanto de fase.

La compensación mediante el adelanto de fase es comúnmente utilizada para

mejorar los márgenes de estabilidad. Este tipo de compensación aumenta el ancho de

banda del sistema, luego aumenta la ganancia en altas frecuencias. Por lo tanto, el

sistema tiene una velocidad de respuesta más rápida. Sin embargo, un sistema que

utilice compensación mediante adelanto de fase puede estar sujeto a problemas de ruido

de alta frecuencia, en vista de su incremento en la ganancia en alta frecuencia.

Para diseñar un compensador de adelanto de fase seguimos los siguientes pasos:

1.- Se supone la forma siguiente para el compensador de adelanto:

w

w K wGC ⋅⋅+

⋅+⋅=

τ α

τ

1

1)( 10 <<α

La función de transferencia en lazo abierto para el sistema compensado puede

escribirse:

)(1

1)()( wG

w

w K wGwG D DC ⋅

⋅⋅+⋅+

⋅=⋅τ α

τ

)(1

11 wG

w

w D⋅

⋅⋅+⋅+=τ α

τ




- 246 -

siendo )()(1 wG K wG D D ⋅= . Determinar la ganancia K que satisfaga el

requisito de la constante de error estático de velocidad K v dada, recordando que

)()(lim0

wGwGw K DC w

v ⋅⋅=→

2.- Utilizando la ganancia K así determinada, dibujar el diagrama de Bode de

G D1 ( w), el sistema ajustado por ganancia, pero no compensado. Evaluar el

margen de fase.

3.- Determinar el ángulo de adelanto de fase θ necesario a añadirse al sistema,

siendo θ la diferencia entre el margen de fase que se quiere tener, y el margen

de fase que se tiene sin el controlador (margen de fase de GD(w )).

4.- Añadir a θ entre 5º y 12º para compensar el desplazamiento de la frecuencia de

cruce de ganancia. Definir este θ añadido como adelanto de fase máximo θ m,(también llamado φ m). Determinar el factor de atenuación α a partir de la

siguiente ecuación:

α

α θ

+−

=1

1)( m sin




- 247 -

5.- Determinar el punto de frecuencia donde la magnitud del sistema no

compensado )(1 ω ⋅ jG D es igual a

⋅−

α

1log20 . Escoger esta frecuencia

como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a

τ α ν

⋅=

1m , y a esta frecuencia se presenta el desplazamiento máximo de fase

θ m.

6.- Determinar las frecuencias de esquina del compensador de adelanto como sigue:

Cero del compensador de adelanto:τ

ν 1

=

Polo del compensador de adelanto:τ α

ν ⋅

=1

7.- Verificar el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio.

La función principal del compensador de adelanto es proporcionar atenuación en

el rango de altas frecuencias para un margen de fase suficiente para el sistema. Las

características del atraso de fase no tienen consecuencias en la compensación mediante

atraso.

Ejemplo:

Como ejemplo de diseño de un compensador de adelanto de fase, ver el ejemplo del

apartado 7.6.




- 248 -

7.5.2 Compensador de atraso de fase.

La compensación mediante atraso de fase reduce la ganancia del sistema en

frecuencias más altas, sin reducir la ganancia del sistema en frecuencias más bajas. El

ancho de banda del sistema queda reducido y, por lo tanto, el sistema tiene una

velocidad de respuesta más baja. Debido a la reducida ganancia en alta frecuencia, se

puede aumentar la ganancia total del sistema y, por lo tanto, incrementarse la ganancia

en baja frecuencia y mejorarse la precisión en estado permanente. También puede

atenuarse cualquier ruido de alta frecuencia que se presente en el sistema.

Para diseñar un compensador de atraso de fase se deben seguir los siguientes

pasos:

1.- Se supone la forma siguiente para el compensador de atraso:

w

w K wGC

⋅⋅+

⋅+⋅=

τ β

τ

1

1)( , β <1

La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado puede

escribirse:

)(1

1)()( wG

w

w K wGwG D DC ⋅

⋅⋅+⋅+

⋅=⋅τ β

τ

)(1

11 wG

w

w D⋅

⋅⋅+⋅+

=τ β

τ




- 249 -

siendo )()(1 wG K wG D D ⋅= . Determinar la ganancia K que satisfaga el

requisito de la constante de error estático de velocidad K v dada. Recordando que

)()(lim0

wGwGw K DC w

v ⋅⋅=→

2.- Si el sistema no compensado G D1(w ) no satisface las especificaciones referentes

a los márgenes de fase y de ganancia, entonces encontrar el punto de frecuencia

donde el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual

a -180º más el margen de fase requerido. El margen de fase requerido es el

margen de fase especificado más 5º a 12º. (La adición de 5º a 12º compensa el

atraso de fase del compensador de atraso). Escoger esta frecuencia como la

nueva frecuencia de cruce de ganancia.

3.- A fin de evitar efectos perjudiciales de atraso de fase en razón del compensador

de atraso, el polo y el cero del compensador de atraso deberán estar localizados

bastante más abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por lo tanto,

escoger la frecuencia de esquinaτ

ν 1

= (correspondiente al cero del

compensador de atraso de fase) una década por debajo de la nueva frecuencia de

cruce. Una relación igual a 10 se conoce como década de frecuencias [REF. 2].

4.- Determinar la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud hacia

abajo hasta 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Notando que esta

atenuación es )log(20 β ⋅− , determinar el valor de β . Entonces la otra frecuencia

de esquina (que corresponde al polo del compensador de atraso) queda

determinada a partir det ⋅

= β

ν 1

.




- 250 -

Ejemplo:

Se vuelve a utilizar el ejemplo del apartado 7.6, pero diseñando un controlador para un

margen de fase de 45º.

El compensador de atraso tiene la forma:

w

wwGC ⋅⋅+

⋅+=

τ β

τ

1

1)( 1> β

> restart: with(inttrans): with(plots): Digits:=5:

> T := 1/5:

i1 := subs(t=T*t, simplify(invlaplace((K/(s^2*(s+1))), s, t))):

G[D](z) := evalf(simplify((z-1)/z*ztrans(i1, t, z))):

A continuación transformamos la función transferencia de pulso GD(z) en una

función de transferencia GD(w ) mediante la transformación bilineal correspondiente:

> G[D](w) := simplify(subs(z=(1+w*(T/2)) / (1-w*(T/2)), G[D](z)));

:=( )GD w −.10000( )− +10. w K ( )+11070. 37. w

( )+11070. 11107. w w




- 251 -

Se trata de un compensador de atraso de fase. Esta es una de las formas más sencillas de

la función de transferencia del controlador digital. La función de transferencia en lazo

abierto es

> G[C](w) := (1+ tau*w) / (1+beta*tau*w);

G[C](w)*G[D](w);

La constante de error estático de velocidad K v queda especificada como 2 1− seg . Por lo

tanto,

))()((lim20

wGwGw K DC w

v ⋅⋅==→

2=↔ K

Sustituimos K = 2 en GD(w ).

> G[D2](w) := factor(subs(K=2, G[D](w)));

:=( )GC w +1 τ w

+1 β τ w

−.10000( )+1 τ w ( )− +10. w K ( )+11070. 37. w

( )+1 β τ w ( )+11070. 11107. w w

:=( )GD2

w −.00066625( )− +10. w ( )+w 299.19

( )+w .99667 w




- 252 -

DIAGRAMA DE BODE DEL SISTEMA:

Primero es necesario ejecutar el procedimiento 'Diagrama_Bode', del ejemplo del

apartado 7.6. Como todavía no se tiene el valor exacto del controlador, se muestra sólo

el diagrama de Bode de GD( jν ).

> G[D3](v) := subs(w=I*nu, G[D2](w)):

Diagrama_Bode(G[D3](v), 0, 1, -1, 3, 0);




- 253 -

Se amplía la zona que interesa:

> Diagrama_Bode(G[D3](v), 0, 1, 0, 0.6, 0);

Mirando en el Diagrama de Bode:

- Frecuencia de Cruce de Ganancia: fr = 0.1 ν = 100.1

Margen de Fase: 30º

- Frecuencia de Cruce de Fase: fr = 0.5 ν = 100.51

Margen de Ganancia: 14dB




- 254 -

Las especificaciones requieren, además de K v = 2, de un margen de fase de 45º y

una ganancia de por lo menos 10 dB. Diseñemos un controlador digital que satisfaga

estas especificaciones.

Diseño del compensador de atraso: Ya que las especificaciones exigen un

margen de fase de 45º, el ángulo adicional del adelanto de fase necesario para satisfacer

este requisito es de 15º (en el diagrama de Bode anterior, se aprecia que el margen de

fase de GD( jν ) es de -150º + 180º = 30º).

El margen de fase requerido es aproximadamente de 53º (margen de fase

especificado más entre 5º y 12º). Esto significa que se han añadido 8º para compensar el

desplazamiento de la ganancia en la frecuencia de cruce. En el Diagrama de Bode se ve

que la nueva frecuencia de cruce de ganancia es 63.010 2.0 == −ν

> evalf(argGd(10^(-0.2))*180/Pi)+ 180;

10^(-0.2);

Frecuencia de esquinaτ

ν 1

= (correspondiente al cero del compensador de

atraso), una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce:τ

1063.0 =

54.17

.63096




- 255 -

Despejando, se obtiene el valor de τ:

> ecu := 0.063096 = 1/tau:

tau := solve(ecu, tau);

En la nueva frecuencia de cruce de ganancia, la magnitud es de 9 dB. Se

determina la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud a 0 dB, siendo dicha

atenuación )(log20 10 β ⋅− .

> evalf(20*log[10](magGd(10^(-0.2))));

beta := magGd(10^(-0.2));

Por lo tanto, la otra frecuencia de esquina queda determinada como 02.01

=⋅

=τ β

ν

> 1/(beta*tau);

La función del controlador se muestra a continuación:

> G[C](w) := (1+tau*w)/(1+tau*beta*w);

:=τ 15.849

8.5744

:=β 2.6836

.023511

:=( )GC

w +1 15.849 w

+1 42.532 w




- 256 -

Diagrama de Bode:

> G[C2](v) := subs(w=I*nu, G[C](w)):

Diagrama_Bode(G[D3](v), G[C2](v), 1, -1, 3, 0);




- 257 -

Se amplía la zona que interesa:

> Diagrama_Bode(G[D3](v), G[C2](v), 2, -0.3, 0.6, 0);

En el diagrama se observa que se satisfacen los requisitos dados:

- Margen de fase: -130º + 180º = 50º

- Margen de ganancia: -(-23 dB) = 23 dB.




- 258 -

Precaución. Una vez diseñado el compensador de atraso en el plano w, GC (w ) deberá

transformarse en el compensador de atraso en el plano z, GC ( z ). Note que el polo y el

cero en el compensador de atraso en el plano z están muy cerca uno de otro. (Están

cerca del punto z = 1). Ya que los coeficientes del filtro se deben realizar mediante

palabras binarias que utilizan un número limitado de bits, si el número de bits empleado

resulta insuficiente, las localizaciones de polos y ceros del filtro pueden no realizarse tal

y como se desea, y el compensador resultante podría no comportarse como se espera. Es

importante que el polo y el cero del compensador de atraso se presenten en un número

finito de puntos discretos asignables.

En algunas aplicaciones, un compensador de atraso de fase es colocado en

cascada con un compensador de adelanto de fase. Un compensador en serie como éste

se conoce como un compensador de atraso-adelanto de fase. Al utilizar este tipo de

compensador se puede incrementar la ganancia en baja frecuencia (lo que significa una

mejoría en la precisión en estado permanente), mientras que al mismo tiempo se puede

aumentar el ancho de banda y los márgenes de estabilidad.

Observaciones sobre el problema de cuantización de los coeficientes. Desde

el punto de vista de la implementación en un microprocesador de los compensadores de

adelanto de fase, atraso de fase y atraso-adelanto de fase, los compensadores de

adelanto de fase no presentan problemas de cuantización de coeficientes, porque las

localizaciones de los polos y de los ceros están bien separadas. Sin embargo, en el caso

de los compensadores de atraso de fase y de los compensadores de atraso-adelanto de

fase, la red de atraso de fase plantea un problema de cuantización de los coeficientes, porque las localizaciones de polos y de ceros están cercanas entre sí (están cerca del

punto z = 1). [REF. 3].




- 259 -

7.6 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO EN EL PLANO W.

Refiriéndonos al sistema de control digital de la figura, el procedimiento de

diseño en el plano w puede enunciarse como sigue [REF. 4]:

Datos:

función de transferencia continua de la planta G p(s)

período de muestreo T

Paso 1: Obtener la función de transferencia discretizada de la planta precedida por un

mantenedor de orden cero (ver discretización por invarianza al escalón).

Transformar

⋅

−Ζ=

⋅−

)(1

)( sG s

z G p

T s

D

e G D(w ) mediante la transformación

bilineal

21

21

T w

T w

z ⋅

−

⋅+

=




- 260 -

Es importante que el período de muestreo sea elegido adecuadamente. Una

regla práctica que da Ogata [REF. 3] es muestrear a una frecuencia de 10 veces

la del ancho de banda del sistema continuo en lazo cerrado. Es decir, el ancho

de banda de)(1

)(

sG

sG

+.

Paso 2: Determinar la ganancia del sistema para satisfacer la especificación del error

permanente [REF. 4].

Paso 3: Sustituir w = jν en GD(w ) y representar el diagrama de Bode para el valor dela ganancia que hemos calculado. Determinar la frecuencia de cruce de la

ganancia y el margen de fase.

Paso 4: Determinar la función de transferencia del controlador

w

w

wGC ⋅⋅+

⋅+

= τ α

τ

1

1

)(

utilizando las técnicas convencionales de diseño para sistemas de control en

tiempo continuo. La distorsión entre las escalas de ν y ω debe tenerse en

cuenta cuando se decide, por ejemplo, la frecuencia de cruce de la ganancia o

el ancho de banda.

Paso 5: Transformar la función de transferencia del controlador GC (w ) en GC ( z )

mediante la transformación bilineal dada por

1

12

+−

⋅= z

z

T w




- 261 -

Paso 6: Realizar la función de transferencia GC ( z ) mediante un algoritmo

computacional.

Ejemplo:

Considerar el sistema de control de la figura. Diseñar un controlador digital en el

plano w de tal forma que el margen de fase sea 50º, el margen de ganancia sea de por lo

menos 10 dB, y la constante de error estático de velocidad K v sea 2 1− seg . Suponer que

el período de muestreo es T = 0.2 segundos. [REF. 3].

Primero obtenemos la función transferencia de pulso GD(z ) de la planta que está

precedida por un mantenedor de orden cero:

> restart: with(inttrans): Digits:=5: with(plots):




- 262 -

> T := 1/5:

i1 := subs(t=T*t, simplify(invlaplace( (K/(s^2*(s+1))), s, t))):

G[D](z) := factor(evalf(simplify((z-1)/z*ztrans(i1, t, z))));

A continuación transformamos la función transferencia de pulso GD(z) en una

función de transferencia GD(w ) mediante la transformación bilineal correspondiente:

> G[D](w) := simplify(subs(z=(1+w*((1/5)/2)) / (1-w*((1/5)/2)), G[D](z)));

Un compensador de adelanto de fase, probablemente satisfará todos los

requisitos. Por lo tanto, probaremos compensación mediante adelanto (si no se

satisfacieran todos los requisitos, habría que probar con otro tipo de compensador).

Ahora supongamos que la función de transferencia del controlador digital

GC (w ) tiene una ganancia unitaria para el intervalo de baja frecuencia y la forma

siguiente, con 10 <<α :

> G[C](w) := (1 + tau*w) / (1 + alpha*tau*w);

limit(subs(w=j*nu, G[C](w)), nu=0);

:=( )GC w +1 τ w

+1 α τ w

1

:=( )GD z .81873 K ( )+.022880 z .021400

( )− z 1. ( )− z .81873

:=( )GD w −1.6375( )− +10. w ( )+11070. 37. w K

( )+181270. 181870. w w




- 263 -

Se trata de un compensador de adelanto de fase. Esta es una de las formas más

sencillas de la función de transferencia del controlador digital. La función de

transferencia en lazo abierto es

> eval(G[C](w)*G[D](w));

La constante de error estático de velocidad K v queda especificada como

2 1− seg . Por lo tanto,

( ))()(lim20

wGwGw K DC w

V ⋅⋅==→

2=↔ K

La ganancia K se determina entonces como el valor 2.

> eval(limit(w*G[C](w)*G[D](w), w=0));

> solve(2=%, K);

Sustituimos K = 2 en GD(w ), y la expresión resultante es:

> G[D2](w) := factor(subs(K=2, G[D](w)));

K

2

:=( )GD

w −1.6375( )− +10. w ( )+11070. 37. w K

( )+181270. 181870. w w

:=( )GD2 w −.00066630( )− +10. w ( )+w 299.17

( )+w .99670 w




- 264 -

DIAGRAMA DE BODE DEL SISTEMA.

Se realiza ahora el procedimiento 'Diagrama_Bode' , muy similar al

procedimiento Diag_Bode del ejemplo del apartado 7.4.1. Recibe como parámetros dos

funciones y un contador , además de los índices del eje 'x' y una constante, que se

pintará como recta en el diagrama de magnitudes (recta de 0 dB en lazo abierto, recta de

-3 dB en lazo cerrado).

- Las funciones son G D ( jν ) y GC ( jν ).

- El contador vale 1, 2 ó 3 según se quiera dibujar sólo G D ( jν ), G D ( jν ) y

GC ( jν ) G D ( jν ), o las dos anteriores y GC ( jν ).

- Los dos siguientes parámetros son los índices del eje 'x'.

- El último parámetro es la constante que se pinta en el diagrama de magnitudes.

- La función G D ( jν ) se dibuja en color azul.

- La función GC ( jν ) G D ( jν ) se dibuja en color negro.

- La función GC ( jν ) se dibuja en color negro, punteado.

- Se definen como variables globales:

- magnitud y fase de G D ( jν ): 'magGd' , 'argGd' .

- magnitud y fase de GC ( jν ): 'magGc' , 'argGc' .

- magnitud y fase de GC ( jν ) G D ( jν ): 'magGcGd' , 'argGcGd' .




- 265 -

> Diagrama_Bode := proc(f1, f2, cont, ind1, ind2, cte)

local cm, ca, mGd, mGc, mGcGd, aGd, aGc, aGcGd, v, p1, p2;

global magGd, magGc, magGcGd, argGd, argGc, argGcGd;

with(plots):

if (cont<1) or (cont>3)

then ERROR(`invalid cont`, cont);

fi;

# rectas adicionales

cm := plot(cte, v=ind1..ind2, color=wheat, axes=FRAME):

ca := plot(-180, v=ind1..ind2, color=wheat, axes=FRAME):

# magnitud de Gd

magGd := v -> abs(subs(nu=v, f1)):

mGd := plot(20*log[10](magGd(10^v)), v=ind1..ind2,

color=blue, axes=FRAME):

# fase de GdargGd := v -> argument(subs(nu=v, f1)) -

(signum(argument(subs(nu=v, f1)))+1) *Pi;

aGd := plot(evalf(argGd(10^v)*180/Pi), v=ind1..ind2,

color=blue, axes=FRAME):

(continúa)




- 266 -

if (cont>1) then

# magnitud de Gc

magGc := v -> abs(subs(nu=v, f2)):

mGc := plot(20*log[10](magGc(10^v)), v=ind1..ind2,

color=black, axes=FRAME, style=point):

# fase de Gc

argGc := v -> argument(subs(nu=v, f2)) -

(signum(argument(subs(nu=v, f2)))+1) *Pi;

aGc := plot(evalf(argGc(10^v)*180/Pi), v=ind1..ind2,

color=black, axes=FRAME, style=point):

# magnitud de GcGd

magGcGd := v -> abs( subs(nu=v, f1) * subs(nu=v, f2) ):

mGcGd := plot(20*log[10](magGcGd(10^v)), v=ind1..ind2,

color=black, axes=FRAME):

# fase de GcGd

argGcGd := v -> argument( subs(nu=v, f1)*subs(nu=v, f2)) -

(signum(argument( subs(nu=v, f1)*subs(nu=v, f2)))+1) *Pi;aGcGd := plot(evalf(argGcGd(10^v)*180/Pi), v=ind1..ind2,

color=black, axes=FRAME):

fi:

(continúa)




- 267 -

# DIAGRAMAS

if (cont=1) then

p1 := display({mGd, cm}, labels=[fr, dB],

title=`MAGNITUD DE G`, tickmarks=[10,15]):

p2 := display({aGd, ca}, labels=[fr, grados],

title=`FASE DE G`, tickmarks=[10,15]):

elif (cont=2) then

p1 := display({mGd, mGcGd, cm}, labels=[fr, dB],

title=`MAGNITUDES`, tickmarks=[10,15]):

p2 := display({aGd, aGcGd, ca}, labels=[fr, grados],

title=`FASES`, tickmarks=[10,15]):

else

p1 := display({mGd, mGcGd, mGc, cm}, labels=[fr, dB],

title=`MAGNITUDES`, tickmarks=[10,15]):

p2 := display({aGd, aGcGd, aGc, ca}, labels=[fr, grados],

title=`FASES`, tickmarks=[10,15]):

fi:

print(p1);

print(p2);

end:




- 268 -

Como todavía no se tiene el valor exacto del controlador, se muestra sólo el

diagrama de Bode de G D ( jν ).

> G[D3](v) := subs(w=I*nu, G[D2](w)):





- 269 -

Para apreciar mejor los márgenes de ganancia y fase de la función, se amplía la

zona que nos interesa del Diagrama de Bode:

> Diagrama_Bode(G[D3](v), 0, 1, 0, 0.6, 0);

Mirando en el Diagrama de Bode:

- Frecuencia de Cruce de Ganancia: 1.0101.0 =⇒= ν fr

⇒ Margen de Fase: -150º + 180º = 30º

- Frecuencia de Cruce de Fase: 5.0105.0 =⇒= ν fr

⇒ Margen de Ganancia: -(-14) = 14 dB




- 270 -

Las especificaciones requieren, además de K v = 2, un margen de fase de 50º y

una ganancia de por lo menos 10 dB. Diseñemos un controlador digital que satisfaga

estas especificaciones.

Diseño del compensador de adelanto: Ya que las especificaciones exigen un

margen de fase de 50º, el ángulo adicional del adelanto de fase necesario para satisfacer

este requisito es de 20º (en el diagrama de Bode anterior se ha visto que el margen de

fase de )( ν ⋅ jG D es de 30º). Para obtener un margen de fase de 50º sin reducir el valor

de K, el compensador de adelanto debe de contribuir el ángulo de adelanto de fase

requerido.

Si observamos que la adición de un compensador de adelanto modifica la curva

de magnitud en el diagrama de Bode, la frecuencia de cruce de ganancia se desplazará

hacia la derecha. Si se considera el desplazamiento de la ganancia en la frecuencia de

cruce, debemos suponer que φ m, que es el ángulo máximo de adelanto de fase

requerido, es aproximadamente de 28º. Esto significa que se han añadido 8º (se añaden

entre 5º y 12º) para compensar el desplazamiento de la ganancia en la frecuencia de

cruce. En vista de que

α

α φ

+−

=1

1)( m sin

> ecu := sin(28*Pi/180) = (1-alpha)/(1+alpha);

alpha := evalf(solve(ecu, alpha));

°= 28mφ corresponde a 361.0=α , confirmándose que se trata de adelanto de fase

)10( <<α .

:=ecu =

sin

7

45π

−1 α

+1 α

:=α .36101




- 271 -

Una vez que el factor α de atenuación se ha determinado sobre la base del

ángulo de adelanto de fase requerido, el siguiente paso es determinar las frecuencias de

esquinaτ

ν 1= yτ α

ν ⋅

= 1 del compensador de adelanto. Para ello, primero notamos

que el ángulo de adelanto de fase máximo mφ , se presenta en la media geométrica de

las dos frecuencias de esquina, es decirτ α

ν ⋅

=1

. La cantidad de modificación en la

curva de magnitud enτ α

ν ⋅

=1

debido a la inclusión del términoν τ α

ν τ

⋅⋅⋅+⋅⋅+ j

j

1

1 es

α ν τ α

ν τ

τ α ν

1

1

1

1=

⋅⋅⋅+⋅⋅+

⋅

= j

j

A continuación encontramos el punto de frecuencia donde la magnitud del

sistema no compensado es

⋅−

α 1log20

> 1/sqrt(alpha):

-20*log(%);

Para encontrar el punto de frecuencia donde la magnitud es -4.4 dB, se mira

el anterior diagrama de Bode. Parece que la frecuencia es 78.110 25.0 ==ν .

-4.4246




- 272 -

Mediante prueba y error con Maple parece que la frecuencia sería 1.7:

> evalf(20*log[10](magG(10^0.25)));

evalf(20*log[10](magG(10^0.23)));

10^0.23;

En ν = 1.7 la magnitud se convierte en alrededor de -4.4 dB. Seleccionamos esta

frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia ν c. Al observar que esta

frecuencia corresponde aτ α

ν ⋅

=1

c se tiene:

> nu[c] := 1.7;

nu[c] = 1/sqrt(alpha*tau);

> tau := solve(%, tau);alpha*tau;

:=νc 1.7

=1.7 1.66431

τ

:=τ .95844

.34601

-4.3694

-5.0596

1.6982




- 273 -

Por lo tanto, el compensador de adelanto determinado esw

wwGC ⋅⋅+

⋅+=

τ α

τ

1

1)(

> G[C](w) := (1+tau*w)/(1+alpha*tau*w) ;

Las curvas de magnitud y de ángulo de fase para GC ( jν ) y las curvas de magnitud y de

ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto se muestran mediantecurvas sólidas en el diagrama de Bode.

> G[C2](v) := subs(w=I*nu, G[C](w)):


:=( )GC w +1 .95844 w

+1 .34601 w




- 274 -

Ampliando la zona que nos interesa, vemos que el margen de fase es de 50º y el margen

de ganancia es de 14 dB.

> Diagrama_Bode(G[D3](v), G[C2](v), 2, 0, 0.8, 0);




- 275 -

La función de transferencia del controlador que acabamos de dar (GC ( w )) se

transformará ahora de regreso al plano z mediante la correspondiente transformación

bilineal:

1

110

1

1

5

1

2

1

12

+−

⋅=+−

⋅=+−

⋅= z

z

z

z

z

z

T w

> G[C](z) := simplify(subs(w=10*(z-1)/(z+1), G[C](w)));

La función transferencia de pulso en lazo abierto del sistema compensado es

> G[D](z) := subs(K=2, G[D](z)):

G[C](z)*G[D](z);

La función transferencia de pulso en lazo cerrado del sistema que hemos diseñado es

)()(1

)()(

)(

)(

z G z G

z G z G

z R

z C

DC

DC

⋅+⋅

=

> simplify(G[C](z)*G[D] (z) / (1+G[C](z)*G[D] (z)));

:=( )GC z 4. −26461. z 21461.

−44601. z 24601.

6.5500( )−26461. z 21461. ( )+.022880 z .021400

( )−44601. z 24601. ( )− z 1. ( )− z .81873

131.( )−26461. z 21461. ( )+572. z 535.

− + −.22300 1011

z 3

.50876 1011

z 2

.40876 1011

z .11575 1011




- 276 -

:=GD → z .63211

− z .3679

7.7 EJERCICIOS.

> restart: with(inttrans): with(plots): Digits:=5:

Para realizar los siguientes ejercicios, es necesario haber ejecutado primero el

procedimiento 'Diagrama_Bode’ .

7.7.1.- Obtenga la salida en estado permanente de el sistema definido en el ejemplo

del apartado 7.3, a una entrada senoidal u ( kT ) = Asin( k T ).

Tenemos la función de transferencia3679.0

6321.0)(

−=

z z G D .

Sustituimos z por e j ωT en G D( z ):

> G[D] := z -> 0.6321/(z-0.3679);

G[D](exp(I*omega*T)):

convert(%, trig);

.63211

+ −( )cos ω T I ( )sin ω T .3679




- 277 -

Se calculan ahora la magnitud y el ángulo de fase.

> M := simplify(evalc(abs(G[D](exp(I*omega*T)))));

> theta := simplify(evalc(argument(G[D](exp(I*omega*T)))));

Por lo tanto, la salida en estado permanente se puede escribir como

)( θ ω +⋅⋅⋅⋅ T k sin M A .

> x[ss](k*T) := A*M*sin(k*omega*T+theta);

:= M 63.2101

− +7358. ( )cos ω T 11354.

:=θ ( )arctan ,−1. ( )sin ω T −( )cos ω T .36790

:=( ) x ss k T 63.210 A ( )sin +k ω T ( )arctan ,−1. ( )sin ω T −( )cos ω T .36790

− +7358. ( )cos ω T 11354.




- 278 -

:=( )GD z .0046627 + z .94338

( )− z 1. ( )− z .81836

7.7.2.- Dado el sistema que se muestra en la figura,

diseñe un controlador digital para el mismo. Utilice el método del diagrama de

Bode en el plano w. Las especificaciones de diseño consisten en que el margen de

fase debe ser de 55º, el margen de ganancia por lo menos de 10 dB, y la constante

de error estático de velocidad de 5 seg -1. El período de muestreo se especifica como

0.1 seg.

La transformada z de la planta precedida por un mantenedor de orden cero es

+⋅Ζ⋅−=

+⋅

−Ζ= −

−

)2(

1)1(

)2(

e1)(

2

1

2 s s z

s s z G

Ts

D

> T := 1/10:

subs(t=T*t, invlaplace(1/(s^2*(s+2)), s, t)):

G[D](z) := factor(evalf((1-z^(-1))*ztrans(%, t, z)));




- 279 -

Transformamos G D ( z ) en G D (w ) utilizando la transformación bilineal

correspondiente:

21

21

wT

wT

z ⋅

−

⋅+

=

> G[D](w) := simplify(subs(z=(1+w*T/2)/(1-w*T/2), G[D](z)));

Escogemos ahora la función de transferencia del controlador en la forma

> G[C](w) := K*(1+w/a)/(1+w/b);

dondeτ

1=a y

τ α ⋅=

1b . La función de transferencia en lazo abierto es

> simplify(G[C](w)*G[D](w));

:=( )GC w

K

+1

w

a

+1w

b

−.0011657 K ( )+a w b ( )− +20. w ( )+.19434 10

72831. w

a ( )+b w ( )+90820. 45459. w w

:=( )GD w −.0011657( )− +20. w ( )+.19434 10

72831. w

( )+90820. 45459. w w




- 280 -

La constante de error estático de velocidad requerida es K v = 5 1− seg , por lo tanto

> K[v] := 5;

ecu := K[v] = limit(w*G[C](w)*G[D](w), w=0);

K := solve(ecu, K);

Utilizando una técnica de diseño convencional, se determina la función de transferencia

del controlador digital como

> G[C](w) := simplify(10*((1+w/1.994)/(1+w/12.5)));

Por lo tanto, la función de transferencia en lazo abierto se convierte en

> simplify(G[C](w)*G[D](w));

:= K v 5

:=ecu =5 .49888 K

:= K 10.022

:=( )GC w 10 +1 .50150 w

+1 .080000 w

−.00014571 ( )+2000. 1003. w ( )− +20. w ( )+.19434 10

7

2831. w( )+25. 2. w ( )+90820. 45459. w w




- 281 -

A continuación se muestra el diagrama de Bode del sistema, donde puede observarse

que se ha utilizado un compensador de adelanto de fase.

> G[D2](v) := subs(w=I*nu, G[D](w)):

G[C2](v) := subs(w=I*nu, G[C](w)):





- 282 -

Se amplía la zona que nos interesa.


En el diagrama parece que la frecuencia de cruce de ganancia de )()( ν ν ⋅⋅⋅ jG jG DC es

fr = 0.65, ν = 4.4668. El margen de fase parece 180º - 120º = 60º.

> evalf(argGcGd(10^0.65)*180/Pi)+ 180;

58.16




- 283 -

Observando el diagrama de Bode, la frecuencia de cruce de fase de )()( ν ν ⋅⋅⋅ jG jG DC

es fr = 1.25, ν = 101.25

= 17.78.

El margen de ganancia es de aproximadamente 12 dB.

> -(evalf(20*log[10](magGGD(10^1.2))));

13.297

La función de transferencia en lazo abierto da el margen de fase de

aproximadamente 58º y el margen de ganancia de alrededor de 13 dB. La constante de

error estático de velocidad es 15 −⋅= seg K v . Por lo tanto, se satisfacen todos los

requisitos y la función de transferencia del controlador diseñado GC (w ) es satisfactoria.

A continuación, transformamos GC ( w ) en GC ( z ). Se deberá utilizar la siguiente

transformación bilineal:

1

12

+−

⋅= z

z

T w

> G[C](z) := simplify(subs(w=(2/T*((z-1)/(z+1))), G[C](w)));

La función transferencia de pulso en lazo abierto ahora se convierte en

> simplify(G[C](z)*G[D](z));

:=( )GD z .50000 −1103. z 903.

−13. z 3.

.0011657( )−1103. z 903. ( )+50000. z 47169.

( )−13. z 3. ( )− z 1. ( )−25000. z 20459.




- 284 -

7.7.3.- Considere el sistema de control mostrado en la figura.

La función de transferencia de la planta es2s

1. Diseñe un controlador digital en el

plano w, tal que el margen de fase sea de 50º, y el margen de ganancia sea por lo

menos 10 dB. El período de muestreo es T = 0.1. Después de diseñar el controlador,

obtenga la constante de error estático de velocidad K v.

Primero se obtiene la transformada z precedida por un mantenedor de orden cero:

> T := 1/10:

subs(t=T*t, invlaplace(1/(s^3), s, t)):

G[D](z) := evalf(simplify((1-z^(-1))*ztrans(%, t, z)));

Se transforma G D( z ) en G D( w ) utilizando la transformación bilineal correspondiente:

21

21

wT

wT

z ⋅

−

⋅+

=

:=( )GD z .0050000 + z 1.

( )− z 1.

2




- 285 -

> G[D](w) := simplify(subs(z=(1+w*T/2)/(1-w*T/2), G[D](z)));

A continuación se muestra el diagrama de Bode de G( j v ) que se obtiene.

> G[D2](v) := subs(w=I*nu, G[D](w)):


:=( )GD w −.050000

− +20. w

w2




- 286 -


> Diagrama_Bode(G[D2](v), 0, 1, -1, 3, 0);

En el diagrama parece que la frecuencia de cruce de ganancia es fr = 0.




- 287 -

> evalf(argG(10^0)*180/Pi)+180;

Observe que el margen de fase es de aproximadamente -3º. Será necesario añadir una

red de adelanto para conseguir el margen de fase y el margen de ganancia requeridos.

Mediante la aplicación de una técnica convencional de diseño, puede verse que la red de

adelanto siguiente satisface los requisitos:

> G[C](w) := 4*((1+w)/(1+w/16));G[C](w) := simplify(%);

Se muestra ahora el diagrama de Bode completo, omitiendo la función GC ( jν ).

> G[C2](v) := subs(w=I*nu, G[C](w)):


-2.86

:=( )GC w 4 +1 w

+11

16w

:=( )GC w 64 +1 w

+16 w




- 288 -



La adición de esta red de adelanto modifica el diagrama de Bode. La frecuencia

de cruce de ganancia se recorre a ν = 6.010 . Note que el adelanto de fase máximo φ m que

puede producir esta red de adelanto es 62º, ya que

+−

=α

α φ

1

1arcsinm




- 289 -

> phi[m] := evalf(1/sin((1-1/16)/(1+1/16)));

A la frecuencia de cruce de ganancia ν = 6.010 , el ángulo de fase de GC ( jν ) G D ( jν ) se

convierte en -129º.

> evalf(argGcGd(10^0.6)*180/Pi);

-129.33

Por lo tanto, el margen de fase es –129º + 180º = 51º. El margen de ganancia se

determina aproximadamente en 14 dB. Por lo tanto, se satisfacen las especificaciones de

diseño dadas. Lo comprobamos con Maple.

> evalf(argGcGd(10^0.6)*180/Pi); 13.909

Ahora transformamos la función de transferencia del controlador GC ( w ) en

GC ( z ) mediante la transformación bilineal correspondiente:

112

+−⋅=

z z

T w

> G[C](z) := simplify(subs(w = (2/T)*(z-1)/(z+1), G[C](w)));

:=φm

61.925

:=( )GC z 16 −21 z 19

−9 z 1




- 290 -

Entonces, la función transferencia de pulso en lazo abierto se convierte en

> simplify(G[C](z)*G[D](z));

La constante de error estático de velocidad se obtiene como sigue:

T

z G z G z K DC

z v

)()()1(lim

1

1

⋅⋅−=

−

→

> K[v] := limit((1-z^(-1))*G[C](z)*G[D](z)/T, z = 1, right);

K[v] := limit((1-z^(-1))*G[C](z)*G[D](z)/T, z = 1, left);

La constante de error estático de velocidad tiende al infinito. Como el sistema es de tipo

2 (dos polos en s = 0), el error en estado estacionario en la respuesta rampa es cero (ver

tabla).

.080000( )−21. z 19. ( )+ z 1.

( )−9. z 1. ( )− z 1.2

:= K v

( )Float −∞

:= K v

( )Float ∞




7.8 REFERENCIAS.

[REF. 1] R.V. Churchill, J. W. Brown,

Variable Compleja y Aplicaciones,

Mc-Graw Hill, 1992

[REF. 2] K. Ogata,

Ingeniería de Control Moderna,

Prentice-Hall, 1980

[REF. 3] K. Ogata,

Sistemas de Control en Tiempo Discreto,

Prentice-Hall, 2ª edición (1996)

[REF. 4] J. Rebollo Rodríguez ,

SECAD: Módulo de Diseño de Controladores,U.P.M., Escuela Superior de Ingenierios de Telecomunicaciones,

curso 1990-91

Documents

Análisis de Respuesta en Frecuencias.pdf