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ica Automática
2º Curso del Grado en Ingeniería Mecánica
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de sistemaslineales e invariantes en el tiempo.
4.1. Introducción4.2. Análisis de la respuesta transitoria de sistemas en tiempo
continuo4.3. Introducción a la identificación de sistemas4.4. Análisis de la estabilidad absoluta4.5. Análisis de errores en régimen permanente
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de sistemaslineales e invariantes en el tiempo.
4.1. Introducción4.2. Análisis de la respuesta transitoria de sistemas en tiempo
continuo4.3. Introducción a la identificación de sistemas4.4. Análisis de la estabilidad absoluta4.5. Análisis de errores en régimen permanente
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Introducción
Señales de prueba
En el análisis y diseño de sistemas de control, se debe tener unabase para comparar los sistemas. Esto se realiza especificando lasseñales de entrada de prueba y comparando las respuestas de lossistemas a estas señales de entrada.
Las señales de prueba que se usan regularmente son funcionesescalón, rampa, parábola, impulso, sinusoidales, etc. Con estasseñales de prueba, es posible realizar con facilidad análisismatemáticos y experimentales de sistemas de control, dado que lasseñales son funciones del tiempo muy simples.
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Introducción
Respuesta transitoria y respuesta en estado estable
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dospartes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable.
La respuesta transitoria es la que va del estado inicial al estadofinal. La respuesta en estado estable, es la manera en la cual secomporta la salida del sistema conforme el tiempo tiende a infinito.
Respuesta Temporal
Tiempo (segundos)
Am
plitu
d
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Respuesta transitoriaRespuesta enestado estable
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Introducción
Estabilidad y error en estado estable
– Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia decualquier perturbación o entrada, la salida permanece en elmismo estado.
– Un sistema de control lineal e invariante en el tiempo es establesi la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuandoel sistema está sujeto a una condición inicial.
– Si la salida de un sistema en estado estable no coincideexactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un erroren estado estable. Este error indica la precisión del sistema.
Al analizar un sistema de control, se debe examinar elcomportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento enestado estable.
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de sistemaslineales e invariantes en el tiempo.
4.1. Introducción4.2. Análisis de la respuesta transitoria de sistemas en tiempo
continuo4.2.1. Sistemas de primer orden4.2.2. Sistemas de segundo orden4.2.3. Sistemas de orden superior
4.3. Introducción a la identificación de sistemas4.4. Análisis de la estabilidad absoluta4.5. Análisis de errores en régimen permanente
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de primer orden
La función de transferencia normalizada de un sistema de primerorden viene dada por:
o bien con una ganancia adicional K:
La salida del sistema viene dada por:
Los parámetros que determinan el comportamiento de un sistemade primer orden son la ganancia K y T, denominado constante detiempo del sistema. La posición del polo del sistema es s1 = –1/T.
11
)()(
TssRsC
)(1
)( sRTs
KsC
1)()(
TsK
sRsC
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Análisis de la respuesta transitoria
Ejemplo:
Sea el sistema cuyo modelo matemático viene dado por:
La función de transferencia del sistema es:
Normalizando con la función de transferencia de un sistema de primer orden:
00
0 11)(
)(a
TyabKdonde
TsK
sUsY
0
0
)()(
asb
sUsY
)()()( 00 tubtyaty
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Sistemas de primer orden
– Respuesta ante entrada escalón unitario y K = 1.
Análisis de la respuesta transitoria
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Sistemas de primer orden
– Respuesta ante entrada impulso unitario y K = 1.
Análisis de la respuesta transitoria
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Sistemas de primer orden
– Respuesta ante entrada rampa y K = 1.
Análisis de la respuesta transitoria
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de sistemaslineales e invariantes en el tiempo.
4.1. Introducción4.2. Análisis de la respuesta transitoria de sistemas en tiempo
continuo4.2.1. Sistemas de primer orden4.2.2. Sistemas de segundo orden4.2.3. Sistemas de orden superior
4.3. Introducción a la identificación de sistemas4.4. Análisis de la estabilidad absoluta4.5. Análisis de errores en régimen permanente
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden
La función de transferencia normalizada de un sistema de segundoorden viene dada por:
Los parámetros que determinan el comportamiento de un sistemade segundo orden son la ganancia K, (factor de amortiguamiento)y n (frecuencia natural no amortiguada).
El comportamiento del sistema dependerá de los polos de laecuación característica del sistema:
Los polos son:
22
2
2)()(
nn
n
ssK
sRsC
02 22 nnss
122,1 nns
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden
En función del valor de se obtendrán distintos valores de lospolos, estos son:
• 0 < < 1: polos complejos conjugados.
• = 1: polos reales iguales.
• > 1: polos reales distintos.
• = 0: polos complejos conjugados puros.
• < 0: polos con parte real positiva
122,1 nns
22,1 1 nn js
ns 2,1
njs 2,1
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Sistemas de segundo ordenComportamientos para entrada escalón unitario:
– >1 (s1 y s2 reales distintos, parte real -)SOBREAMORTIGUADO
– =1 (s1 y s2 reales iguales, parte real -) CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO
– 0< <1 (s1 y s2 conjugados complejos, parte real -) SUBAMORTIGUADO
INESTABLES– =0 (s1 y s2 sobre el eje imaginario)
LÍMITE DE ESTABILIDAD o AMORTIGUAMIENTO NULO
– -1< <0 (s1 y s2 conjugados complejos, parte real +) INESTABLE OSCILANTE
– <-1 (s1 y s2 reales distintos, parte real +) INESTABLE NO OSCILANTE
Análisis de la respuesta transitoria
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden
El caso más interesante ocurre cuando 0 < < 1.
La posición de los polos en el plano s es:
dnn jjs 22,1 1
21
nd
n atenuación
frecuencia natural amortiguada
cos
Re(s)
Im(s)
X
X
s1
s2
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden
La respuesta C(s) ante entrada escalón unitario viene dada por:
Para 0 < < 1, c(t) será:
En el caso particular en el que = 0, c(t) será:
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo orden
Gráficamente, la salida c(t) para 0 < < 1, será :
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Sistemas de segundo ordenFamilia de curvas de c(t) para distintos valores de :
Análisis de la respuesta transitoria
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo ordenPosición de los polos del sistema para distintos valores de :
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de segundo ordenEn base a un constante y a un n constante, se establecen los siguientes lugares geométricos en el plano s:
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Sistemas de segundo ordenCaracterísticas de la respuesta transitoria
Con frecuencia, las características de desempeño de un sistemade control se especifican en términos de la respuesta transitoriapara una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil degenerar. Además, si se conoce la respuesta a una entradaescalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta paracualquier entrada.La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalónunitario depende de las condiciones iniciales. Por convenienciaal comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es unapráctica común usar la condición inicial estándar de que elsistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas lasderivadas con respecto al tiempo son cero.La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibecon frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar elestado estable.
Análisis de la respuesta transitoria
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Sistemas de segundo ordenDefinición de las especificaciones de respuesta transitoria– Tiempo de subida (tr): tiempo requerido para que la respuesta
pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valorfinal. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, sesuele usar el tiempo de subida del 0 al 100%.
– Tiempo de pico (tp): tiempo que transcurre desde que el sistemaempieza a responder hasta que la respuesta alcance el primerpico del sobrepaso o sobreoscilación.
Análisis de la respuesta transitoria
drt
d
ó1
1
tan
cos
dpt
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Sistemas de segundo ordenDefinición de las especificaciones de respuesta transitoria– Sobreoscilación máxima (Mp): es la diferencia entre el valor de
pico máximo de la respuesta y el valor final de la respuesta,dividido por el valor final de la respuesta. Normalmente, se usael porcentaje de sobreoscilación máxima. Se define como:
y se calcula con la expresión:
El valor de la sobreoscilación máxima indica de manera directala estabilidad relativa del sistema.
Análisis de la respuesta transitoria
;%100
yyty
M pp
%10021
eeM dp
yty pa se le denominasobrepaso máximo
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Sobreoscilación
Sistemas de segundo ordenDefinición de las especificaciones de respuesta transitoria
La relación gráfica entre y Mp es:
Análisis de la respuesta transitoria
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Sistemas de segundo ordenDefinición de las especificaciones de respuesta transitoria– Tiempo de establecimiento (ts): tiempo que se requiere para que
la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor finaldel tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valorfinal (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. Eltiempo de establecimiento que se corresponde a una banda detolerancia del 2% o el 5% se mide en términos de la constantede tiempo T = 1/.
Análisis de la respuesta transitoria
%el criterio dTt
%el criterio dTt
s
s
533
244
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Sistemas de segundo ordenDefinición de las especificaciones de respuesta transitoria
Análisis de la respuesta transitoria
A
A/2
Sobrepaso máximo
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Sistemas de segundo ordenDefinición de las especificaciones de respuesta transitoriaLíneas de tiempo de pico, tiempo de establecimiento y porcentajede sobreoscilación constante.
Ts2 < Ts1; Tp2 < Tp1; %OS1 < %OS2
Análisis de la respuesta transitoria
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de sistemaslineales e invariantes en el tiempo.
4.1. Introducción4.2. Análisis de la respuesta transitoria de sistemas en tiempo
continuo4.2.1. Sistemas de primer orden4.2.2. Sistemas de segundo orden4.2.3. Sistemas de orden superior
4.3. Introducción a la identificación de sistemas4.4. Análisis de la estabilidad absoluta4.5. Análisis de errores en régimen permanente
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superiorSea la siguiente función de transferencia:
Suponiendo entrada escalón y que los polos de C(s) son reales ycomplejos conjugados, la forma factorizada de la salida es:
nmasasasabsbsbsb
sRsC
nnnn
mmmm
11
10
11
10
)()(
q
j
r
kkkkj
m
ii
sspss
zsKsC
1 1
22
1
2)(
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superiorSi los polos en bucle cerrado son distintos, la expresión anterior sepuede descomponer en fracciones simple de la siguiente forma:
Por tanto, la respuesta temporal c(t) será:
r
k kkk
kkkkkkq
j j
j
sscsb
psa
sasC
122
2
1 21
)(
r
kkk
tk
r
kkk
tk
q
j
tpj
tparatsenec
tebeaatc
kk
kkj
1
2
1
2
1
01
1cos)(
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Análisis de la respuesta transitoria
Sistemas de orden superiorSi todos los polos de bucle cerrado de la expresión anterior estánen el semiplano izquierdo del plano s, entonces los términosexponenciales de la ecuación anterior tienden a cero cuando ttiende a infinito y la respuesta en régimen permanente tiende alvalor a (c() = a).
La contribución de cada polo de bucle cerrado en la respuestatransitoria depende de la magnitud del residuo asociado a ese polo.
Los polos de bucle cerrado determinan el tipo de respuestatransitoria, mientras que ceros (y polos) en lazo cerrado determinanprincipalmente la forma de la respuesta transitoria.
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Sistemas de orden superiorInfluencia en la respuesta transitoria de la inclusión de ceros ypolos
Los polos de C(s)/R(s) influyen en los términos exponenciales yen los términos sinusoidales amortiguados de la respuestatransitoria. Los ceros de C(s)/R(s) no afectan a los exponentesde los términos exponenciales, pero afectan a las magnitudes ya los signos de los residuos.
─ Si añadimos un polo:Influye con una nueva exponencial hace el sistema máslento y más estable (relativamente).
─ Si añadimos un cero:Influye a través de un residuo hace el sistema más rápidoy más inestable (relativamente).
Análisis de la respuesta transitoria
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Sistemas de orden superiorInfluencia en la respuesta transitoria de la inclusión de ceros ypolos
Análisis de la respuesta transitoria
A un sistema de segundo ordencon factor de amortiguamientode 0.5 se le añade un cero en laposición s = -z
El parámetro α es la posiciónrelativa del cero respecto a laparte real del polo complejoconjugado del sistema original.
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Sistemas de orden superiorInfluencia en la respuesta transitoria de la inclusión de ceros ypolos
Análisis de la respuesta transitoria
A un sistema de segundoorden con factor deamortiguamiento de 0.5 sele añade un polo en laposición s = -p
El parámetro β es laposición relativa del polorespecto a la parte real delpolo complejo conjugadodel sistema original.
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Sistemas de orden superiorPolos dominantes en bucle cerrado
La dominancia relativa de los polos en lazo cerrado sedetermina mediante el cociente de las partes reales de los polosen lazo cerrado.
Si los cocientes de las partes reales son superiores a 5 y no hayceros cerca, los polos en lazo cerrado más cercanos al eje jdominan el comportamiento de la respuesta transitoria, debido aque corresponden a los términos de la respuesta transitoria quedisminuyen más lentamente.
Los polos de bucle cerrado que tienen efectos dominantes sobreel comportamiento de la respuesta transitoria se denominanpolos dominantes de bucle cerrado. Con frecuencia, los polosdominantes en lazo cerrado son complejos conjugado.
Análisis de la respuesta transitoria
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Sistemas de orden superiorPolos dominantes en bucle cerrado
Análisis de la respuesta transitoria
D Polo
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Polo
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Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de sistemaslineales e invariantes en el tiempo.
4.1. Introducción4.2. Análisis de la respuesta transitoria de sistemas en tiempo
continuo4.3. Introducción a la identificación de sistemas4.4. Análisis de la estabilidad absoluta4.5. Análisis de errores en régimen permanente
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Introducción a la identificación de sistemas
Concepto de identificaciónLa identificación es el proceso de determinación del modelo de unsistema a partir del conocimiento previo sobre el sistema yexperiencias prácticas realizadas sobre él.
Durante la identificación el sistema es considerado como una “cajanegra”, y se realizan experimentos de los que se obtienen pares deentradas y salidas.
sistema ......
u1u2
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Introducción a la identificación de sistemas
Método del análisis transitorioConsiste en aplicar entradas de prueba al sistema y analizar laforma de la respuesta transitoria para determinar los parámetros delmodelo del sistema.
Se asume un comportamiento lineal o linealizado en torno a unpunto de operación.
SISTEMAu(t) y(t)
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Introducción a la identificación de sistemas
Sistemas de primer orden
Determinación de K por la relación de amplitud entre la salida enrégimen estacionario y la entrada.
Determinación de T por inspección del 63.2% del valor de y(t) enrégimen estacionario.
1)(
TsKsG
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Introducción a la identificación de sistemas
Sistemas de segundo orden
Determinación de K por la relación de amplitud entre la salida enrégimen estacionario y la entrada.
Determinación de y n a través de los parámetros de la respuestatransitoria de los sistemas de segundo orden.
22
2
2)(
nn
n
ssK
sG
A
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Sobrepaso máximo
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de sistemaslineales e invariantes en el tiempo.
4.1. Introducción4.2. Análisis de la respuesta transitoria de sistemas en tiempo
continuo4.3. Introducción a la identificación de sistemas4.4. Análisis de la estabilidad absoluta4.5. Análisis de errores en régimen permanente
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Análisis de estabilidad en el plano sLa estabilidad de un sistema lineal en bucle cerrado se determina apartir de la ubicación de los polos en lazo cerrado en el plano s:
– Si todos los polos en bucle cerrado se encuentran a laizquierda del eje j, cualquier respuesta transitoria termina poralcanzar el equilibrio. Es decir, el sistema es estable.
– Si alguno de los polos en bucle cerrado se encuentra en elsemiplano derecho del plano s, a medida que aumenta eltiempo, la respuesta transitoria aumentará de formamonotónica u oscilará con una amplitud creciente. Es decir, elsistema es inestable
La estabilidad no depende de la entrada sino que es unacaracterística propia del sistema.
Análisis de la estabilidad absoluta
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Estabilidad relativaSolo el hecho de que todos los polos de bucle cerrado seencuentren en el semiplano izquierdo del plano s no garantizacaracterísticas satisfactorias de respuesta transitoria. Si los polosdominantes complejos conjugados de bucle cerrado se encuentrancerca del eje j, la respuesta transitoria mostrará oscilacionesexcesivas o será muy lenta.
Análisis de la estabilidad absoluta
Por esta razón, a fin de garantizarcaracterísticas de respuesta transitoriarápidas y amortiguadas, es necesarioque los polos de bucle cerrado delsistema se encuentren en una regióndeterminada del plano s.
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Criterio de Routh-HurwitzEl problema más importante de los sistemas de control lineal tieneque ver con la estabilidad.De hecho, sistemas que son inestables en bucle abierto, se puedenestabilizar al cerrar el bucle de control (K variable).
Análisis de la estabilidad absoluta
)()(1)()(
sHsKGsKGsGbc
G(s)U(s) Y(s) KU(s) Y(s)G(s)
H(s)
+
_
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Criterio de Routh-HurwitzLa mayoría de los sistemas lineales de bucle cerrado tienenfunciones de transferencia en bucle cerrado de la forma:
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, permite determinar lacantidad de polos de bucle cerrado, no el valor de los mismos, quese encuentran en el semiplano derecho del plano s sin tener queresolver el polinomio del denominador (ecuación característica).Cuando se aplica el criterio a un sistema de control, la informaciónacerca de la estabilidad absoluta se obtiene directamente de loscoeficientes de la ecuación característica del sistema.Este criterio de estabilidad sólo se aplica a las ecuacionescaracterísticas con una cantidad finita de términos y con el términoindependiente no nulo.
Análisis de la estabilidad absoluta
nmasasasabsbsbsb
sRsC
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10
11
10
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Criterio de Routh-HurwitzEl procedimiento que se aplica en el criterio de estabilidad deRouth-Hurwitz es el siguiente:
1. Escribir la ecuación característica (suponiendo an 0)
2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante lapresencia de al menos un coeficiente positivo, entonces elsistema no es estable.Es condición necesaria, pero no suficiente que todos loscoeficientes sean positivos.
Análisis de la estabilidad absoluta
011
10
nnnn asasasa
Dep
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Criterio de Routh-Hurwitz3. Si todos los coeficientes son positivos, ordenar los
coeficientes de la ecuación característica en renglones ycolumnas de acuerdo con el siguiente patrón:
Análisis de la estabilidad absoluta
10
11
212
43213
43212
75311
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fs
es
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ccccs
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41713
1
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1
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1
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1
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1
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aaaaab
bbaabc
aaaaab
bbaabc
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donde:
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Criterio de Routh-HurwitzEl criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz establece que el númerode polos de la ecuación característica con partes reales positivas esigual al número de cambios de signo de los coeficientes de laprimera columna de la tabla obtenida.
Análisis de la estabilidad absoluta
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Criterio de Routh-HurwitzCaso especial 1
Si el término de la primera columna de cualquier fila es cero,pero los términos restantes no lo son, o no hay términosrestantes, el término cero se sustituye por un número positivomuy pequeño (e) y se evalúa normalmente. Si el signo delcoeficiente que está encima del cero (e) es igual al signo queestá por debajo de él, entonces hay un par de raíces complejas.
Análisis de la estabilidad absoluta
022 23 sss
20
2211
0
1
2
3
ssss
2022
02
2112
1
1
c
b polos en:
jss
3,2
1 2
Dep
arta
men
to d
e In
geni
ería
de
Sis
tem
as y
Aut
omát
ica
Criterio de Routh-HurwitzCaso especial 1
Si el signo del coeficiente que está encima del cero (e) esopuesto al del que está abajo, entonces hay un cambio designo.
Análisis de la estabilidad absoluta
05842 234 ssss
5
108
50
82
541
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s
polos en:
jsss
877.12013.01
403.1
3,2
1
1
Dep
arta
men
to d
e In
geni
ería
de
Sis
tem
as y
Aut
omát
ica
Criterio de Routh-HurwitzCaso especial 2
Si todos los coeficientes de cualquier fila son cero significa queexisten polos de igual magnitud que se encuentran radialmenteopuestas en el plano s, es decir, dos polos con magnitudesiguales y signos opuestos y/o dos polos imaginarios conjugados.La evaluación del resto de la tabla continúa mediante la creaciónde un polinomio auxiliar con los coeficientes de la última fila ymediante el empleo de los coeficientes de la derivada de estepolinomio auxiliar en la fila siguiente:
Análisis de la estabilidad absoluta
0502548242 2345 sssss
005048225241
3
4
5
sss
Dep
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e In
geni
ería
de
Sis
tem
as y
Aut
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Criterio de Routh-HurwitzCaso especial 2
Todos los términos de la fila s3 son cero. Se crea el polinomioauxiliar a partir de los coeficientes de la fila s4.
Esto indica que hay dos pares de polos de igual magnitud ysigno opuesto. Estos pares se obtienen resolviendo la ecuacióndel polinomio auxiliar P(s) = 0. La derivada de P(s) con respectoa s es :
Análisis de la estabilidad absoluta
005048225241
3
4
5
sss
polinomio auxiliar
50482 24 sssP
ssds
sdP 968 3
Dep
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Aut
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Criterio de Routh-HurwitzCaso especial 2
Se utilizan los coeficientes de la derivada del polinomio auxiliarcomo valores de la fila en la que todos los coeficientes eran 0 yse sigue con el procedimiento.
Análisis de la estabilidad absoluta
polinomio auxiliar
503.79
502496800
5048225241
0
1
2
3
3
4
5
sssssss
derivada polinomio auxiliar
polos en:
jss
js
0446.12
7863.4
5,4
3
2,1
Dep
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men
to d
e In
geni
ería
de
Sis
tem
as y
Aut
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ica
Criterio de Routh-HurwitzAplicación al análisis de un sistema de control
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz tiene una utilidadlimitada en el análisis de un sistema de control lineal, sobre todoporque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa ni cómoestabilizar un sistema inestable.Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar unoo dos parámetros de un sistema si se examinan los valores queproducen inestabilidad.Para el siguiente sistema de control determinar el valor de K:
Análisis de la estabilidad absoluta
)2)(1( 2 ssssK
R(s) C(s)+
_
Dep
arta
men
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e In
geni
ería
de
Sis
tem
as y
Aut
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Criterio de Routh-HurwitzAplicación al análisis de un sistema de control
La función de transferencia en bucle cerrado es:
Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz:
Para que sea estable, todos los coeficientes de la primeracolumna han de ser positivos. Esto implica que 14/9 > K > 0.
Análisis de la estabilidad absoluta
Kssss
KsRsC
)2)(1( 2
0233 234 Kssss
KsKs
Kss
Ks
0
1
2
3
4
79237
2331
ecuación característica
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Contenido
Tema 4.- Análisis de la respuesta temporal de sistemaslineales e invariantes en el tiempo.
4.1. Introducción4.2. Análisis de la respuesta transitoria de sistemas en tiempo
continuo4.3. Introducción a la identificación de sistemas4.4. Análisis de la estabilidad absoluta4.5. Análisis de errores en régimen permanente
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IntroducciónSea un sistema en bucle cerrado donde la salida del sistema C(s)tiene que seguir una consigna o referencia R(s).
Se define el error en régimen permanente como:
Aplicando la transformada de Laplace a la expresión del error seobtiene:
Análisis de errores en régimen permanente
)()(lim)(lim tbtrteett
R(s) C(s)G(s)
H(s)
E(s)
B(s)
+
_
)()()()()()( sCsHsRsBsRsE
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IntroducciónDesarrollando la expresión anterior se obtiene:
Aplicando el teorema del valor final:
El error en régimen permanente depende de la referencia r(t) y deltipo del sistema. El tipo de un sistema viene dado por el número depolos en el origen de la función de transferencia en bucle abierto:
Análisis de errores en régimen permanente
sHsGsRsGsHsRsE
1
sRsHsG
sE
1
1
)()()(1
lim)(lim)(lim00
sRsHsG
ssEsteesst
)1)...(1()1)...(1()()(
1
1
sssssKsHsG
nppN
mcc
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Error estacionario escalónEl error en estado estable para una entrada escalón unitario es:
Definiendo la constante de error escalón Kp como:
El error estacionario ante entrada escalón unitario será nulo cuandoKp , lo que se produce cuando el sistema es de tipo N 1.
Análisis de errores en régimen permanente
00lim0
HGsHsGKsp
001
111lim
11
1lim
0
0
HGssHsGse
ssRtr
sRsHsG
se
s
s
pKe
1
1
Dep
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tem
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Aut
omát
ica
Error estacionario escalónPara un sistema de tipo 0:
Para un sistema de tipo 1 ó mayor:
El error vendrá dado por:
Análisis de errores en régimen permanente
mayor ó 1 tipode sistemas para0
0 tipode sistemas para1
1
e
Ke
KssssKK
npp
mccsp
)1)...(1(
)1)...(1(lim1
1
0
1para)1)...(1()1)...(1(lim
1
1
0
NsssssKK
nppN
mccsp
Dep
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ica
Error estacionario rampaEl error en estado estable para una entrada rampa unitaria es:
Definiendo la constante de error rampa Kv como:
El error estacionario ante entrada rampa unitaria será nulo cuandoKv , lo que se produce cuando el sistema es de tipo N 2.
Análisis de errores en régimen permanente
sHsGsKsv 0
lim
sHssGssHsGse
ssRttr
sRsHsG
se
ss
s
0
202
0
lim11
1lim11lim
vKe 1
Dep
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Sis
tem
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Aut
omát
ica
Error estacionario rampaPara un sistema de tipo 0:
Para un sistema de tipo 1:
Para un sistema de tipo 2 ó mayor:
El error vendrá dado por:
Análisis de errores en régimen permanente
mayor ó 2 tipode sistemas para0
1 tipode sistemas para1
0 tipode sistemas para
e
Ke
e
0)1)...(1(
)1)...(1(lim1
1
0
ss
sssKKnpp
mccsv
2para)1)...(1()1)...(1(lim
1
1
0
NssssssKK
nppN
mcc
sv
KssssssKK
npp
mccsv
)1)...(1(
)1)...(1(lim1
1
0
Dep
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de
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tem
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Error estacionario parábolaEl error en estado estable para una entrada parábola unitaria es:
Definiendo la constante de error parábola Ka como:
El error estacionario ante entrada rampa unitaria será nulo cuandoKa , lo que se produce cuando el sistema es de tipo N 3.
Análisis de errores en régimen permanente
sHsGsKsv
2
0lim
sHsGsssHsGse
ssRttr
sRsHsG
se
ss
s
2
0
30
3
2
0
lim11
1lim1
2
1lim
aKe 1
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de
Sis
tem
as y
Aut
omát
ica
Error estacionario rampaPara un sistema de tipo 0:
Para un sistema de tipo 1:
Para un sistema de tipo 2:
Para un sistema de tipo 3 ó mayor:
Análisis de errores en régimen permanente
0)1)...(1(
)1)...(1(lim1
12
0
ss
ssKsKnpp
mcc
sa
3para)1)...(1()1)...(1(lim
1
12
0
NsssssKsK
nppN
mcc
sa
0)1)...(1(
)1)...(1(lim1
12
0
sss
ssKsKnpp
mcc
sa
KsssssKsK
npp
mcc
sa
)1)...(1(
)1)...(1(lim1
21
2
0
Dep
arta
men
to d
e In
geni
ería
de
Sis
tem
as y
Aut
omát
ica
Error estacionario rampaEl error vendrá dado por:
Análisis de errores en régimen permanente
mayor ó 3 tipode sistemas para0
2 tipode sistemas para1
1y 0 tipode sistemas para
e
Ke
e
Dep
arta
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to d
e In
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ería
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Sis
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as y
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Tabla resumen
Análisis de errores en régimen permanente
Error en régimen permanente Entrada escalón
Sistema tipo 0
Sistema tipo 1
Sistema tipo 2
0
0 0
Entrada rampa Entrada parábola
aK1
vK1
pK11
