Análisis de la respuesta del sistema

SISTEMAS DINAMICOS

CODIGO: 071-4643

Profa. Judith Devia

Análisis de la respuesta del sistema

SISTEMAS DINAMICOS

CODIGO: 071-4643

Profa. Judith Devia


La mayoría de los criterios de diseño se basan en la

respuesta del sistema a ciertas señales.

Las señales de prueba que se usan regularmente son las

funciones escalón, rampa, parábola, impulso y senoidales.

Su uso se justifica porque existe una correlación entre las

características de respuesta de un sistema para una señal

de entrada de prueba y la capacidad del sistema de

manejar las señales de entrada reales.

Estas señales permiten realizar el análisis matemático y

experimental de los sistemas de control.

2

Profa. Judith Devia

En el análisis y diseño de sistemas de control, debemos teneruna base de comparación del desempeño de diversossistemas de control. Esta base se configura especificando lasseñales de entrada y comparando las respuestas de variossistemas a estas señales de entrada

Si las entradas para un sistema de control son funciones deltiempo que cambian en forma gradual, una función rampasería una buena señal de prueba. Si el sistema está sujeto aperturbaciones repentinas, una función escalón sería laadecuada; y para un sistema sujeto a entradas de choque, unafunción impulso sería la mejor.


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Profa. Judith Devia

Impulso unitario δ(t) Escalón unitario 1(t)

Rampa unitaria t Parábola unitaria t2/2

Análisis de la respuesta del sistema.

Entradas de prueba

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Profa. Judith Devia

La respuesta en el tiempo de un sistema puede

descomponerse en dos partes: la respuesta transitoria y la

respuesta estacionaria.

La respuesta transitoria es la parte de la respuesta que cae a

cero cuando el tiempo tiende a infinito, depende de las

característica dinámica del sistema y determina el

comportamiento del sistema durante la transición de algún

estado inicial hasta el estado final.

La respuesta estacionaria depende fundamentalmente de la

señal de excitación al sistema y, si el sistema es estable, es la

respuesta que perdura cuando el tiempo crece infinitamente.


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Profa. Judith Devia

Análisis de la respuesta del sistema.

Función respuesta impulsiva

Dada la FT:

La respuesta: Y(s) = G(s)*R(s)

Como la transformada de Laplace del impulso unitario es 1, se tiene:

Y(s) = G(s)

La respuesta impulsiva en el tiempo es:

y(t) = g(t)

Esto indica que la función g(t) y la respuesta impulsiva y(t) tienen la

misma información sobre las características dinámicas del sistema.

R(s)

Y(s)G(s)

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Profa. Judith Devia

Análisis de la respuesta de un sistema de

primer orden

Función de Transferencia de Lazo Cerrado, FTLC:

Donde:

T: constante de tiempo del sistema

Dado el sistema

)(*1

1)( sR

TssY

1

1

)(

)(

TssR

sY

La salida del sistema:

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Profa. Judith Devia

0)t(y)t(rLet

ss

El error en estado estacionario ess

)t(eLimt

sse e(t) = r(t) – y(t)


primer orden

Respuesta ante una entrada Impulso Unitario, R(s)=1:

Aplicando transformada Inversa de Laplace

1Ts

T1*

1Ts

1

Y(s)

0teT

1)t(y Tt

8

Profa. Judith Devia


primer orden

Respuesta ante una entrada Escalón Unitario, R(s)=1/s:

1Ts

T

s

1

s

1

1Ts

1

Y(s)


0te1)t(y Tt

En t=T lasalida alcanzael 63.2 % delvalor final

En t=4T la señalde salida alcanzael 98.2% delvalor final

Respuestatransitoria

Respuestaestacionaria

La pendiente a la curva en t = 0 es 1/T.


0e11LimLim Tt

tt

y(t) - r(t) ess

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Profa. Judith Devia

Análisis de la respuesta de un sistema

primer orden

Respuesta ante una entrada Rampa Unitaria, R(s)=1/s2:


1Ts

T

s

T

s

1

s

1

1Ts

1 2

22

Y(s)

0tTeTt)t(y Tt

TTeTttLimLim Tt

tt

y(t) - r(t) ess


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Profa. Judith Devia

Propiedad importante de los sistemas lineales e

invariantes en el tiempo.

En el análisis anterior, se demostró que, para la entrada rampa

unitaria, r(t) = t, unitaria, la salida y(t) es:

y(t) = t - T + Te-t/T para t ≥ 0

Para la entrada escalón unitario, r(t) = 1(t), que es la derivada

de la entrada rampa unitaria, la salida y(t):

y(t) = 1 - e-t/T para t ≥ 0

Por último, para la entrada impulso unitario, r(t) = δ(t), que es

la derivada de la entrada escalón unitario, la salida y(t) es:

y(t) = (1/T) e-t/T para t ≥ 0

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Profa. Judith Devia


segundo orden

El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden se estudia

usando una expresión normalizada del sistema:

2

nn

2

2

n

s2s)s(R

)s(Y

FTLC:

donde:

ζ= Relación de amortiguamiento.

ωn= Frecuencia natural no amortiguada.

Los polos del sistema vienen determinados por las raíces del polinomio

característico (polinomio del denominador de la FT):

1s :sistemas del polos Los

01s2s)s(P

2

nn2,1

n

2

12

Y(s)R(s) +-

E(s)

n

2

n

2ss

Profa. Judith Devia


segundo orden

Clasificación de los sistemas de segundo orden en función del

valor de ζ

Los polos de un polinomio de segundo orden pueden ser reales distintos,

reales múltiples, complejos conjugados o imaginarios.

Para 0 < ζ < 1, Sistema subamortiguado

Para ζ = 1, Sistema Críticamente amortiguado.

Para ζ > 1, Sistema Sobreamortiguado .

Para ζ = 0, Sistema Oscilatorio.

conjugados complejos ,dnn jjs 2

2,1 1

iguales reales ,n2,1s

diferentes reales ,12

2,1 nns

sImaginaria ,njs 2,1

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Profa. Judith Devia


segundo orden

Respuesta ante una entrada impulso unitario, R(s)=1:

Para 0≤ζ<1

Para ζ=1

Para ζ>1

0tpara,t1sene1

)t(y 2

n

t

2

n n

0tpara,te)t(yt2

nn

0tpara,e12

e12

)t(yt1

2

nt1

2

n n2

n2

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Profa. Judith Devia


segundo orden

Sistema subamortiguado 0 < ζ < 1:

conjugadas complejas ,j1js d

2

nn2,1

donde:

Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s:

a)amortiguada (frecuenci imaginariaparte 1

n)(atenuació realparte

2

nd

n

0tpara ,tωsenζ1

ζtωcose1y(t) d

2d

tζωn

0tpara ,tωsenζ1

ζtωcose

tωsenζ1

ζtωcose1-1y(t)-r(t)e(t)

d2

d

tζω

d2

d

tζω

n

n

La respuesta:

Error en estado estacionario

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Profa. Judith Devia


segundo orden

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =0.2

ess=0

0tpara ,tωsenζ1

ζtωcose1y(t) d

2d

tζωn

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Profa. Judith Devia


segundo orden

Sistema críticamente amortiguado ζ = 1:


0tpara ,tω1e

tω1e1-1y(t)-r(t)e(t)

n

tω

n

tω

n

n

La respuesta:


iguales reales ,n2,1s

0tpara ,tω1e1y(t)

s

1

ωs

ωY(s)

n

tω

2

n

2

n

n

Polos:

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Profa. Judith Devia


segundo orden

Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =1

ess=0

0tpara ,tω1e1y(t) n

tωn

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

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Profa. Judith Devia


segundo orden

Sistema sobreamortiguado ζ >1:


0tpara ,e

1ζζ1ζ2

1e

1ζζ1ζ2

1

y(t)-r(t)e(t)

tω1ζ-ζ

22

tω1ζζ

22

n2

n2

La respuesta:


Polos:diferentes reales ,1s 2

nn2,1

tω1ζ-ζ

22

tω1ζζ

22

2

nn

2

nn

2

n

n2

n2

e1ζζ1ζ2

1e

1ζζ1ζ2

11y(t)

1

1ζωζωs1ζωζωs

ωy(s)

s

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Profa. Judith Devia


segundo orden

Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =1.5

ess=0

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

tω1ζ-ζ

22

tω1ζζ

22

n2

n2

e1ζζ1ζ2

1e

1ζζ1ζ2

11y(t)

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Profa. Judith Devia


segundo orden

Sistema oscilatorio ζ =0:


t cost cos 11

y(t)-r(t)e(t)

nn

La respuesta:


Polos: sImaginaria ,n2,1 js

y(t) = 1 - cos ωn t, para t ≥ 0

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Profa. Judith Devia


segundo orden

Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1 y ζ =0

0 2 4 6 8 10 12 14 16-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

y(t) = 1 - cos ωn t, para t ≥ 0

t cose nss

22

Profa. Judith Devia


segundo orden

Respuesta ante una entrada escalón unitario, R(s)=1/s, con ωn=1

Oscilatorio.Raícesimaginarias.

Subamortiguado. Raícescomplejas conjugadas.

Sobreamortiguado.Raíces reales ydiferentes

Críticamente amortiguado.Raíces reales iguales

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Profa. Judith Devia


segundo orden

Generalmente, en la práctica, se especifican las

características o especificaciones requeridas de un

sistema de control en cantidades en el dominio del tiempo.

Estas cantidades vienen determinadas en términos de la

respuesta transitoria frente a una entrada tipo escalón,

dado que es fácil de generar y es lo suficientemente

drástica.

Especificaciones de la respuesta transitoria

24

Profa. Judith Devia


segundo orden

La respuesta transitoria de un sistema para una entrada

escalón unitario depende de las condiciones iniciales.

Para efectos del curso al comparar respuestas transitorias

de varios sistemas, (lo cual es una práctica común) se

usará la condición inicial estándar de que el sistema está

en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las

derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo,

las características de respuesta se comparan con

facilidad.

Especificaciones de respuesta transitoria

25

Profa. Judith Devia


segundo orden

Especificaciones de la respuesta transitoria

tp: tiempo pico. Tiempo

requerido para que la

respuesta alcance el

primer pico del

sobrepaso.

td, Tiempo de retardo.

tiempo requerido para

que la respuesta alcance

la primera vez la mitad

del valor final.

tr, tiempo crecimiento o

de subida. Tiempo

requerido para que la

respuesta pase 0 al

100% de su valor final.

Mp o SD: el valor pico

máximo de la curva de

respuesta, medido a

partir de la unidad.

ts, Tiempo de

asentamiento. Tiempo

para que la curva de

respuesta alcance un

rango alrededor del valor

final y permanezca

dentro de él.

100)(y

)(y)

py(t SD%

26

Profa. Judith Devia


segundo orden

Especificaciones de la respuesta transitoria para sistemas de segundo orden ante una entrada escalón unitario

d

d1

d

rω

βπ

σ

ωtan

ω

1t

Tiempo de crecimiento, tr: Se obtiene cuando la respuesta alcanza por

primera vez el valor final

Despejando tr de . y(tr) = 1

donde el ángulo β se define:

27

Profa. Judith Devia

Tiempo pico tp: Obtenemos el tiempo pico diferenciando y(t)

con respecto al tiempo y suponiendo que esta derivada es

igual a cero.

Sobre disparo máximo, SD: Se obtiene en el tiempo pico

y(tp), SD=y(tp)-1

πζ1

ζπ

ωσ

2d eeSD

d

pω

πt


segundo orden

28

Profa. Judith Devia


segundo orden

Especificaciones de la respuesta transitoria para sistemas de segundo orden ante una entrada escalón unitario

Tiempo de Asentamiento, ts:

El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo

del sistema de control.

%)2delcriterio(n

44st

%)5delcriterio(n

33st

29

Profa. Judith Devia


segundo orden

Ejemplo: Dado el siguiente sistema determine las especificaciones de la

respuesta transitoria para el sistema ante una entrada escalón unitario.

4s2s

4

)s(R

)s(Y2

31;1

5.0;2

4y22

s2s4s2s)s(P

2

ndn

n

2

nn

2

nn

22

21,11

3tan

3

1t

1

r

81.13

πt p

16.0eSDπ

31

%)5(31

3t

%)2(41

4t

s

s

30

Profa. Judith Devia


segundo orden

21,1tr 81.1t p 16.0SD %)2(4ts

Respuesta del ejemplo

31

Profa. Judith Devia

Análisis de la respuesta de sistemas de

orden superior

La respuesta de sistemas de orden superior a dos, es la suma de

respuestas de primer y segundo orden.

Considere la siguiente FT de un sistema de tercer orden.

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cbsass

A

R(s)

Y(s)23

b)as)(sp(s

A

R(s)

Y(s)2

1

Profa. Judith Devia

Análisis de la respuesta de sistemas de

orden superior

La respuesta de los polos cuya parte real está más alejada del eje

imaginario decaen a cero más rápido y los que están más cerca

decaen más lento dominando la respuesta del sistema.

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Si la relación entre las partes reales es superior a 5 y no hay

ceros cercanos los polos que están más cerca del eje imaginario

dominarán la respuesta transitoria del sistema y se les conoce

como polos dominantes de lazo cerrado.

t100tBeAe1)t(y

)100s(

B

)1s(

A

s

1Y(s)

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Análisis de la respuesta del sistema