TEMA 4

ONDAS DE SEAL: ONDA ALTERNA SENOIDAL

4.1.- Clasificacin de ondas.

4.2.- Valores asociados a las ondas peridicas

4.3.- Onda alterna senoidal.

4.3.1.- Generacin de una tensin alterna senoidal.

4.3.2.- Valores asociados a las ondas senoidales.

4.3.3.- Representacin cartesiana: Expresin de Fourier.

4.3.4.- Representacin simblica senoidal: forma exponencial y polar.

4.3.5.- Definicin de Fasor.

4.3.6.- Representacin fasorial de las magnitudes elctricas senoidales de igual

frecuencia y diferente fase.

4.3.7.- Suma de dos ondas senoidales de igual frecuencia y diferente fase.

Fr. Casares de la Torre

Marzo 2010

4 - 1

f

t

Onda Senoidal Onda Escaln

f

tT

A

1

TEMA 4. ONDAS DE SEAL: ONDA ALTERNA SENOIDAL

Hasta ahora, hemos analizado las caractersticas de los elementos y el comportamiento

de sus conexiones. En este tema vamos a iniciar el estudio de las seales (tensin e intensidad

de la corriente elctrica) y los mtodos que se utilizan para describir y cuantificar sus

caractersticas.

La seal tensin o intensidad de la corriente es, generalmente, una magnitud que vara

con el tiempo, la representacin de esta variacin o la ecuacin que lo describe recibe el nombre

de "Forma de ONDA" u ONDA.

UNA ONDA ES UNA GRFICA O ECUACIN QUE DA UNA DESCRIPCIN

COMPLETA DE LA SEAL EN FUNCIN DEL TIEMPO

En las figuras siguientes se muestran algunas formas de onda de uso frecuente:

f = F0 sen (t + n)F0 es la amplitud es la pulsacint + n es el ngulo de fasen es el ngulo de fase inicial

f = 0 t < T1f = A t > T1

T1 = T. de escalnA = Amplitud

f puede ser la seal tensin, u, o la seal intensidad de la corriente, i.

4 - 2

f

t

1A

B

Diente de SierraOnda triangular

Exponencial

Pulso rectangular Tren de impulsos

Onda rectangular

Funcin rampa modificadaFuncin rampaf = 0 t < B

f = At t $ Bf = D t > C

f = 0 t < B

f = At t $ B

4 - 3

e(t)

tT

Fig. Ejemplo de Onda peridica que se repite cada T sg

4.1.- CLASIFICACIN DE ONDAS

Segn signo de la magnitud

- Bidireccional: Polaridad de la magnitud (+) y (-) y cambia con el tiempo.

Ejemplos: onda senoidal, triangular, etc.

- Unidireccional: Polaridad nica. Ejemplos: tren de impulsos, onda

exponencial, dientes de sierra, etc.

Especial significacin tienen en electrotecnia la onda bidireccional senoidal, onda

exponencial, escaln unitario y la funcin rampa.

Segn repeticin del valor de la magnitud con el tiempo

- Funciones peridicas: El valor de magnitud se repite con el tiempo a intervalos

iguales. Su expresin ms general es:

y ' f(t) ' f(t%nT)

donde n es un nmero entero y T es una constante llamada PERODO.

Es decir, la funcin se repite cada vez que transcurre un tiempo T ( PERODO).

Otras caractersticas de la onda peridica son:

Ciclo: Parte de una onda comprendida entre t y t + T, o sea en un intervalo de

tiempo igual a un perodo.

Frecuencia (f): Nmero de ciclos que se repite la onda en la unidad de tiempo.

Segn esto, se podr escribir: f @@@@ T = 1 de donde la frecuencia es la inversa del

perodo. La unidad de frecuencia es el ciclo por segundo o hercio (Hz).

Fase: Fraccin de perodo transcurrido desde el instante que tomamos como

referencia.

4 - 4

e(t)

t

E

Emed

Emin

Emax

T

CICLO

2T

e(t)

tFig: Ejemplo de funcin de onda no peridica

- Funciones no peridicas: Son aqullas en el que el valor que toma la funcin es

arbitraria con el tiempo.

4.2.- VALORES ASOCIADOS A LAS ONDAS PERIDICAS

Cualquier funcin peridica se caracteriza por una serie de parmetros, que son los

anteriormente enunciados (ciclo, perodo, fase), adems existen una serie de valores asociados

a estas que nos proporcionan cierta informacin para poder comparar diferentes funciones de las

ondas, estos son:

L Valores de cresta o de pico: Son los valores mximos y mnimos que toma lafuncin. Si la seal es e(t) se designarn respectivamente por EMAXy EMIN.

En caso de una onda peridica y simtrica respecto al eje del tiempo la

AMPLITUD corresponde al valor mximo o mnimo (valor de cresta) en valor absoluto.

Si la seal es e(t), la notacin del valor de cresta o amplitud es "E0".

L Valor de cresta a cresta: Diferencia algebraica entre el valor mximo y mnimo.

Tambin se le llama valor de pico a pico, y es siempre un nmero positivo.

Si la seal es e(t), la notacin del valor de pico a pico ser:

ECC = EPP = EMAX - EMIN

4 - 5

L Valor medio: Promedio integral en un perodo, "Em". Geomtricamente el reaque comprende la funcin durante un perodo debe ser igual al rea de un rectngulo cuya

altura es el valor medio y la base el perodo:

mT

0e(t) dt ' Em @ T

de donde:

Em '1

TmT

0e(t) dt

Lgicamente, en toda onda simtrica respecto al eje de tiempos, las reas positiva y

negativas son iguales, esto implica que el valor medio ser nulo.

Nota: Comprobemos que el valor medio, Imed, de una corriente peridica, i=i(t), de

perodo T, es el valor de una corriente continua que en un perodo T

transferira la misma carga a un circuito que la corriente peridica.

Teniendo en cuenta que i = dq/dt, la carga transferida en un perodo ser:

Q ' mT

0 i dt

En cuanto a la corriente continua de valor Imed, la cantidad de carga transferida

en el mismo intervalo de tiempo valdr:

Q ' mT

0 Imed dt ' Imed T

igualando tendremos:

Imed T ' mT

0 i dt

de donde

Imed '1

T m

T

0 i dt

que coincide con la definicin del valor medio.

4 - 6

L Valor eficaz "E": Se define el valor eficaz como el valor cuadrtico medio o la

raz cuadrada del valor medio del cuadrado de la funcin en un perodo. Segn esta

definicin podremos escribir:

E 2 T ' mT

0e 2(t) dt

de donde:

E '1

T m

T

0e 2(t) dt

LFactor de cresta: Es la relacin entre el valor de cresta y el valor eficaz.

FC'

E0

E

LFactor de forma: Es la relacin entre el valor eficaz y el valor medio.

Ff 'E

Em

Nota: Es interesante comprobar que la intensidad eficaz I correspondiente a una corriente peridica i(t) esel valor constante de una corriente continua que en un perodo T, y sobre una resistencia R producira

el mismo calor que la corriente peridica.

La corriente peridica i(t) producira un calor:

W ' mT

0 R i 2 dt ' R m

T

0 i 2 dt

y la corriente continua de valor I, en el mismo intervalo de tiempo producira:

W ' mT

0 R I 2 dt ' R I 2 T

igualando

R I 2 T ' R mT

0 i 2 dt

de donde:

I ' 1

T m

T

0 i 2 dt

por lo que el valor eficaz es una medida de la potencia media entregada a la carga, o sea, transportada

por la seal.

4 - 7

1 2 3 4 5 6

1

2

3

t

i

Calcular los valores asociados a la onda de corriente de la figura.

Ecuaciones:

0

4 - 8

/3

U

t

Hallar los valores asociados de la funcin representada en la figura, que corresponde a

una onda de tensin senoidal rectificada con ngulo de retraso de 60. Hallar los valores medio

y eficaz en funcin del valor mximo.

Solucin: Si la funcin senoidal es: u = U0 sen t

Valor de cresta mximo: Umax = U0Valor de cresta mnimo: Umin = 0 V

Valor de cresta a cresta: UPP = U0Perodo: T = 2/ Frecuencia: f=1/T

Valor medio:

Um'

1

m

/3U

0 sen t d(t) '

U0

& cos t

/3 '

'U

0

[1%0,5] '

1,5

U

0' 0,4774 U

0

Valor eficaz

U 2 '1

m

/3U

20 sen

2 t d(t) 'U

20

2t &

sen 2t

2

/3

'

'U

20

2 &

3 %

sen 2/3

2' 0,4022 U

20

U ' U0

0,4022 ' 0,6341 U0

Factor de forma: Ff '

0,6341 U0

0,4774 U0

' 1,9566

Factor de cresta: FC '

U0

0,6341 U0

' 1,577

Ejercicio

4 - 9

4.3.- ONDA ALTERNA SENOIDAL

Al hablar de corriente alterna (C.A.) se sobrentiende que hablamos de C.A. de tipo

senoidal, esto es as, porque la onda seno es la que se obtiene en los generadores de C.A. y

constituye la base de produccin, transporte y distribucin de energa elctrica, de ah la

importancia de su estudio. La ecuacin matemtica que la define es:

e(t) = E0 sen (t + nnnn)

donde: E0 es la amplitud (valor mximo de la funcin)

es la pulsacin o frecuencia angular (rad/sg)

t + nnnn es el ngulo de fase

nnnn es el ngulo de fase inicial (ngulo para el cual la funcin se anula,

tendiendo a hacerse positiva). Se expresa en rad

e es el valor que toma la funcin en un instante t, es el valor instantneo.

Como es sabido, el ciclo de la funcin trigonomtrica seno es igual 2 , por tanto el

perodo T debe satisfacer la relacin siguiente: T = 2 con lo que y la frecuenciaT ' 2

ser: f ' 1

T '

2

normalmente se da el valor de la frecuencia por lo que la pulsacin en funcin de esta ser:

= 2 f

Aparte de ser la onda ms importante en Electrotecnia debido a que se puede generar con

facilidad, su transformacin en otras ondas de diferente amplitud se consigue con facilidad

median