Tema 2: Ondas · Ondas sinusoidales Descripción y representación Ecuación de onda lineal Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda Onda de sonido Joaquín Bernal

Tema 2: Ondas

Oscilaciones y OndasOscilaciones y Ondas

Fundamentos físicos de la ingeniería

Ingeniería Industrial

Primer CursoPrimer Curso

Joaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010

Dpto.Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

1

ÍÍndiceI t d ió Introducción

Función de onda Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas linealesVelocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondasJoaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010


2

p p

ÍÍndice (I)I t d ió Introducción Ondas mecánicas

O d t l l it di l Ondas transversales y longitudinales

Función de onda

Ondas sinusoidales Descripción y representación

Ecuación de onda lineal

Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda

Onda de sonido



3

ÍÍndice (II)O d d í t itid Onda en una cuerda: energía transmitida

Ondas de sonido Onda de desplazamiento y onda de presión

Efecto Doppler

Reflexión y transmisión de ondas Reflexión total

Transmisión

Superposición de ondas Principio de superposición

Interferencia de ondas armónicas



4

Introducción: ondas mecánicas

Onda: perturbación que viaja sin transferencia de materia transmiten energíatransferencia de materia Ondas en el agua, ondas de sonido…

Clasificación según el medio de propagación:

transmiten energía

Clasificación según el medio de propagación: Mecánicas: perturbación de un medio. Ondas en el agua, ondas sísmicas, de sonido, en una

cuerda…

El t éti i di Electromagnéticas: no requieren un medio. Luz, rayos X, ondas de radio…



5

Ondas mecánicas

La formación y propagación de una onda mecánica requiere: Una fuente de perturbación Ej: Piedra que cae en el agua

Un medio que pueda ser perturbado Ej: El agua

M i fí i d i t ió t tí l Mecanismo físico de interacción entre partículas del medio Ej: Fuerzas de atracción repulsión entre las moléculas Ej: Fuerzas de atracción-repulsión entre las moléculas

de agua



6

Ondas transversales y longitudinales

Cl ifi ió d l d ú l di ió Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio:medio: Transversales: perpendicular a la dirección de

propagación (Ej: ondas en cuerdas ondas en elpropagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)



7

Ondas transversales y longitudinales

Cl ifi ió d l d ú l di ió Clasificación de las ondas según la dirección del desplazamiento de las partículas del medio: Transversales: perpendicular a la dirección de p p

propagación (Ej: ondas en cuerdas, ondas en el agua)

Longitudinales: paralela a la dirección de propagación (Ej: ondas de sonido, ondas en un muelle)



8




9

p p

Función de onda

Pulso que viaja en una cuerda:



10

Función de ondaPulso que viaja en una cuerda: Pulso que viaja en una cuerda:

y

0t ( , 0) ( )y x t f x

P v

yx

( ) ( )y x t f x vtPxy ( , ) ( )y x t f x vt

t

vt

P Función de onda

x

t P

x x vt ( ) ( )f x vt f x

Función de onda



11

P Px x vt ( ) ( )P Pf x vt f x

Función de onda

Representa el alor de la coordenada en

( , ) ( )y x t f x vt

Representa el valor de la coordenada y en cualquier punto x en un instante tEl i iti i di d i j d h i El signo positivo indica onda viajando hacia x decreciente (la izquierda en nuestro di )diagrama)

Para un t0 fijo y(x,t0) forma de onda: función que proporciona la forma geométrica del pulso



12

ÍÍndice Introducción Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Ondas sinusoidales Descripción y representación Ecuación de onda lineal

Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitida

O d d id Ondas de sonido Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas



13

Ondas sinusoidales

Unimos el extremo de una cuerda a un objeto que describe un MAS (diapasón):que describe un MAS (diapasón):

Tren de ondas sinusoidales o armónicas

Cada partícula de la cuerda describe un MAS

Todas las ondas pueden representarse como suma de ondas armónicas



14

Ondas sinusoidales: longitud de onda y amplitud

Longitud de onda (): distancia mínima entre dos puntos con la misma posición (y) y p p (y) yvelocidad (vy):

y y

x

A

Amplitud (A): máximo desplazamiento de cada partícula respecto a su posición decada partícula respecto a su posición de equilibrio



15

Ondas sinusoidales:

F i (f) f i d l MAS d d

frecuencia y velocidad Frecuencia (f): frecuencia del MAS de cada

partícula del medio: 1f

y Tf

T

t

Velocidad de la onda: En un tiempo T la onda ha recorrido una distancia

vT

CUIDADO: No confundir v con vy



16

T

Ondas sinusoidales: representación matemática

y

x

y

x

( ,0) seny x A kx • En t=0: 2

k

Número de onda (m-1) Constante de fase

Función sinusoidal de amplitud A que se repite cada y cuyo valor en x=0 es Asen()



17

p y y ( )

Ondas sinusoidales: representación matemática

En un instante t:( ) ( 0)y x t y x vt senA kx kvt

Signo +: onda que viaja hacia x decreciente

Signo : onda que viaja hacia x creciente

( , ) ( ,0)y x t y x vt senA kx kvt

Signo -: onda que viaja hacia x creciente

Donde: 2 2k

Entonces:

kvT T

Frecuencia angular

Entonces:

( , ) sen( )y x t A kx t



18

Ondas sinusoidales: resumen


• Amplitud:

L it d d d

A2

k

ú d d• Longitud de onda:

• Frecuencia:

2

k

número de onda

Frecuencia:1

fT

22 f

T

frecuencia angular

•Velocidad de la onda: v fT

k



19

Ecuación de onda lineal( ) ( )A k ( , ) sen( )y x t A kx t

( )y

A k

2 21 1 cos( )y

yv A kx t

t

22y

2 2

2 2 2 2

1 1y y

k x t

2

2sen( )y

ya A kx t

t

y

2 2 2

2 2 2

y k y

t

cos( )y

kA kx tx

2

2 2 2x t

2 21y y 22

2sen( )

yk A kx t

x

2 2 2

1y y

x v t



20


2 2

2 2 2

1y y

x v t

Ecuación diferencial que cumple una

x v t

q pperturbación que se propaga como una onda lineallineal

Ondas armónicas son una posible solución

Solución general: onda viajera( , ) ( )y x t f x vt



21


Es solución de la ecuación de ondas li l

2 2

2 2 2

1y y

x v t

( , ) ( )y x t f x vt

lineal x v t

• Demostración: x vt Fase:

2 2 2

2 2 2

y f f

y f f

2 2 2x x x x

y f f

2 2 22y f f y f f

vt t

2

2 2 2

y f fv v

t t



22

ÍÍndice Introducción Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda Onda de sonido

Onda en una cuerda: energía transmitidaO d d id Ondas de sonido

Efecto Doppler Reflexión y transmisión de ondas Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas



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Velocidad de las ondas

Las ondas mecánicas con amplitudes pequeñas frente a pueden considerarsepequeñas frente a pueden considerarse lineales: cumplen ecuación de ondas lineal.

Ondas mecánicas lineales: Ondas mecánicas lineales: Su velocidad depende solamente de las

i d d d l di t é d lpropiedades del medio a través del que se mueven

O d d dif t f i l Ondas de diferente frecuencia se propagan con la misma velocidad



24

Velocidad de las ondas: onda en una cuerda

Si aumentamos la fuerza de restitución (tensión de la cuerda, ) la onda viaja a mayor velocidadtF

Si usamos una cuerda con mayor densidad de masa la onda viaja más lenta

tFv

dm

dL densidad de masa lineal

Para una cuerda homogénea:

dL

m

L

L

m



25

Velocidad de las ondas: ondas sonoras

Para muchos tipos de ondas mecánicas se cumple:p

v (propiedad elástica del medio)

(propiedad inercial del medio)

P Ondas de sonido en un fluido

(p p )

Bv

Módulo de compresibilidad:

Densidad de masa

PB

V V

Densidad de masa



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Velocidad de las ondas: ondas sonoras

B

Medio v (m/s)

Hidrógeno (0º C) 1286B

v

Aire (20º C) 343

Aire (0º C) 331

A (20ºC) 1482B

T

En un gas:

Agua (20ºC) 1482

Agua (0º C) 1402

T

Aplicación: Calculo aproximado de la distancia un relámpago

83 10 m/s >>c v Desprecio el retraso de la luz3 10 m/s >> c v Desprecio el retraso de la luz

0.33 km/sv 0.333

kms km

s

xd vt x



27

3s

Velocidad de las ondas: observaciones

La frecuencia de la onda la determina el agente causante de la misma

La velocidad de la onda depende del medio

La longitud de onda se obtiene de:v

La longitud de onda se obtiene de:f

Ejemplo: sonar de los delfines510 Hzf Ejemplo: sonar de los delfines 10 Hzf

Agua a 20º C

5

14821.5

10

m/scm

1/s

v

f



28

f




29

p p

Onda en una cuerda: energía transmitida

Una onda que se propaga en un medio transporta energía:p g Un trozo de corcho sube y baja en el agua Un pulso en una cuerda puede levantar una masap p

Vamos a suponer una onda sinusoidal en una cuerdauna cuerda

Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que un segmento de cuerda realizafuerza que un segmento de cuerda realiza sobre el vecino



30


Potencia:


sent t t tP F v Fv

Ondas lineales A<< sen tan y y Válido para cualquier

tant t t

y yP Fv F

t x

Válido para cualquier forma de onda

( ) ( )P F kA k A k cos( ) cos( )tP F kA kx t A kx t 2 2 2( , ) cos ( )P x t v A kx t 2v



31

( , ) cos ( )P x t v A kx t v v


Potencia promedio:

1 1T T2 2 2

0 0

1 1( , ) cos ( )

T T

mP P x t dt v A kx t dtT T

1

2

2 21P v A

E l it d d l t i i t tá á i

2mP v A

Es la mitad de la potencia instantánea máxima

: general para ondas sinusoidales2 2,mP A



32


E í di fl t Energía media que fluye por un punto en un intervalo de tiempo:

La energía viaja a la velocidad de la onda

m m m

xE P t P

v

v

2 21E A x

2mE A x



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ÍÍndiceIntroducción Introducción

Función de ondaO d i id l Ondas sinusoidales

Velocidad de las ondas mecánicas linealesO d d í t itid Onda en una cuerda: energía transmitida

Ondas de sonidoO d d d l i t d d ió Onda de desplazamiento y onda de presión

Efecto DopplerReflexión y transmisión de ondas Reflexión y transmisión de ondas

Superposición de ondas



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Ondas de sonido

Ondas longitudinales

Ondas sonoras armónicas: desplazamiento Ondas sonoras armónicas: desplazamiento de las moléculas respecto a su posición de equilibrio:equilibrio:

0( , ) sen( )s x t s kx t

El desplazamiento de las moléculas provoca variaciones de la densidad y presión del aire:variaciones de la densidad y presión del aire: onda de presión y onda de densidad



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Ondas de sonidoDesplazamiento respecto alDesplazamiento respecto al equilibrio

M i i t d l tí lMovimiento de las partículas un instante T/4 antes

Posición de las partículas

• s=0: partícula en su posición de equilibrio (x1 y x3) p p q ( 1 y 3)

• s>0: desplazamiento a la derecha de la posición de equilibrioequilibrio

• s<0: desplazamiento a la izquierda de la posición de equilibrio



36

de equilibrio


i i t d l tí lmovimiento de las partículas un instante T/4 antes


Densidad del aire

La onda de densidad está desfasada 90º respecto a la

onda de desplazamiento



37


i i t d l tí lmovimiento de las partículas un instante T/4 antes


Densidad del aire

Onda de presión

0( , ) sen( )2

p x t p kx t



38

Ondas de sonido

Relación entre las amplitudes de presión y de desplazamientodesplazamiento

0 0p v s

densidad de equilibrio

Donde elocidad de la onda

Donde: velocidad de la onda v 0 velocidad longitudinal máximas



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Ondas de sonido: aplicación

Frecuencias de sonido audible para el hombre: 20 Hz – 20000 Hz Frecuencias mayores: ultrasonidos

Frecuencias menores: infrasonidos

Máxima amplitud de presión que el oído humano puede tolerar: 28 Pa

¿De qué orden es la amplitud de desplazamiento máxima que puede soportar el oído humano?

0

0

2811

343 1.21 2 10003

Pa m

m/s kg/m Hz

ps

v



40




41

p p

Efecto Doppler

Cambio en la percepción del sonido cuando existe movimiento relativo entre emisor y receptor Ejemplo: Sirena de ambulancia o de coche de policía

Debe su nombre al físico austriaco Christian J. Doppler (1803-1853)

Causa: diferencia entre la frecuencia percibida por p pel receptor (fr) y la emitida por la fuente (ff)

Efecto asociado a todo tipo de ondasp



42

Efecto Doppler

• Cuando el receptor y la fuente se acercan los frentes de onda se juntan: fr>ffr f

• Cuando el receptor y la fuente se alejan los frentes de onda se separan: fr<ff



43

p r f

Efecto Doppler

F t t táti Fuente y receptor estáticos

• Tiempo emisión entre 1 pfrentes de onda:

• Velocidad de los frentes

1f

f

Tf v

F R

v

Velocidad de los frentes de onda:

• Distancia entre frentes:

v


• Tiempo entre frentes: rT

v

• Frecuencia recibida:1 v

f r ff f

v



44

rr

fT

r ff f

Efecto Doppler

R t i i t Receptor en movimiento

• Tiempo entre frentes: rT

p

• Frecuencia recibida:

rrv v

F R

v

rr

v vf

r

r f

v vf f

v

rv• R se acerca a F ( ):

R se aleja de F ( ):

0rv

0

r ff f

f f• R se aleja de F ( ):

• Si :

0rv r ff f

0rv r ff f



45

Efecto Doppler

Fuente en movimiento• Velocidad de los frentes: v


T RF fv

• Frecuencia recibida:

r f fv T vF

rf fv Tr f

f f f

v vf f

v T v v f f f

Si F se aleja de R: 0fv



46

Efecto Doppler: ecuación general

Si receptor y fuente están en movimiento:

rr f

f

v vf f

v v

Cuando F se mueve hacia R: vf >0, en caso contrario v <0contrario vf<0

Cuando R se mueve hacia F: vr >0, en caso contrario v <0contrario vr<0

Las velocidades vf y vr se miden respecto al aire



47

Efecto Doppler: ecuación general simplificada

1 rv

v v v

Si y f rv v v v

1

rr f f

ff

v v vf f fvv v

v

1 1 1f r frv v vv

f f f 1 1 1r f ff f f

v v v

r f

f

v vf

f v

r ff f f



48

ff

Efecto Doppler: ondas de choque

v v rr f

f

v vf f

v v

Si

Esta ecuación no sirve para

f rv v f ó fv v v v Esta ecuación no sirve para

Si las ondast t l

ó r fv v v v

fv vse concentran tras el foco y forman una

d d honda de choque



49




50


Tangente común de todos los frentes de

d

Cono de Mach

onda

Ángulo de Mach

Estampido sónico



51


• t: tiempo desde la• t: tiempo desde la emisión del frente de ondas en P

fv t

• Espacio recorrido por el avión: vf t

E i idfv t

• Espacio recorrido por el frente de ondas: vt

P

v t

senv t v

v t v

f fv t v

Número de Machfvv



52

v




53


Vehículo THRUST SSC superando el récord de velocidad terrestre (Mach 1,020)



54

velocidad terrestre (Mach 1,020)


Bala desplazándose con un número de Mach 2,45



55

ÍÍndice Introducción Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitidaOnda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Dopplerpp Reflexión y transmisión de ondas Reflexión total

T i ió Transmisión Superposición de ondas



56

Reflexión y transmisión de ondas

Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de ondas en un medio infinito

Vamos a analizar lo que ocurre cuando una onda alcanza la frontera entre dos medios.

Fenómenos relacionados: Reflexión: onda que regresa Reflexión: onda que regresa Ejemplo: eco

Transmisión: onda se propaga a través del Transmisión: onda se propaga a través del nuevo medio Ejemplo: luz en el agua



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Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo fijo Cuerda con extremo fijo

Pulso reflejado con la misma forma que el pulso incidente, pero invertido



58

incidente, pero invertido


Reflexión total: onda en una cuerda Cuerda con extremo libre Cuerda con extremo libre

Pulso reflejado con la misma forma que el incidente



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Reflexión transmisión: onda en una cuerda Reflexión-transmisión: onda en una cuerda Cuerda pesada

id t áunida a otra másligera

Onda reflejada no se invierte

Cuerda ligera unida a otra máspesadaOnda reflejada es

invertidaJoaquín Bernal Méndez Curso 2009/2010


60

invertida


Una onda se verá parcialmente transmitida y parcialmente reflejada en la superficie de p j pseparación entre dos medios en los cuales su velocidad sea diferente Si las velocidades son parecidas: transmisión es

dominante Ejemplo: oído interno de los peces

Si las velocidades son muy diferentes: reflexión es dominantees dominante Ejemplo: radiocomunicación



61

ÍÍndice Introducción Introducción Función de onda Ondas sinusoidales Ondas sinusoidales Velocidad de las ondas mecánicas lineales Onda en una cuerda: energía transmitidaOnda en una cuerda: energía transmitida Ondas de sonido Efecto Dopplerpp Reflexión y transmisión de ondas Superposición de ondas Principio de superposición Interferencia de ondas armónicas



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Superposición de ondasE di d i En un medio puede propagarse varias perturbaciones simultáneamente

Ej l i h bl d l Ejemplo: varias personas hablando a la vez

Principio de superposición:

Cuando dos o más ondas se combinan enun determinado punto la perturbaciónun determinado punto la perturbaciónresultante es la suma de las perturbacionesprovocadas por cada onda

Se deduce de la linealidad de la ecuación de ondas

provocadas por cada onda



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ondas


Consecuencia del Principio de c p o deSuperposición: dos ondas pueden ppasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas

Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen



64

cuando dos o más ondas se superponen


Consecuencia del Principio de Superposición: dos ondas pueden pasar la una a través de la otra sin ser destruidas ni modificadas

Interferencia: fenómeno ondulatorio que se presenta cuando dos o más ondas se superponen



65

cuando dos o más ondas se superponen

Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas

1 sen( )y A kx t

2 sen( )y A kx t

1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t

2 ( ) ( ) )b bb

Onda resultante con la misma f y

2 2sen sen 2cos( )sen( ) )a b a ba b ( Donde hemos usado:

Onda resultante con la misma f y La amplitud depende de (diferencia de fase)



66

Superposición de ondas: interferencia de ondas armónicas

1 2 2 22 cos( )sen( )y y A kx t

Onda resultanteA Si =0, cos()=1 y A’=2A;

interferencia constructiva

Onda 2Onda resultante

interferencia constructivaOnda 1

Onda 2 Onda resultante Si = cos()=0 y A’=0;

interferencia destructivate e e c a dest uct a



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Onda 1

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