ONDAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAELECTROMAGNÉTICASS

RESUMENRESUMEN

1. DEFINICIÓN DE ONDA.1. DEFINICIÓN DE ONDA. 2.ECUACIONES DE MAXWELL2.ECUACIONES DE MAXWELL 3.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS3.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 4. ENERGÍA DE UNA OEM.4. ENERGÍA DE UNA OEM. 5. VECTOR DE POYNTING.5. VECTOR DE POYNTING. 6. EL ESPECTRO 6. EL ESPECTRO

ELECTROMAGNÉTICO.ELECTROMAGNÉTICO.

1.ONDAS (1dim.) 1.ONDAS (1dim.) Expresión matemáticaExpresión matemática Función Función

oscilante oscilante x,tx,t que verifica una que verifica una ecuaciónecuación

Solución = onda hacia la derecha con Solución = onda hacia la derecha con velocidad v + onda hacia la izquierda velocidad v + onda hacia la izquierda con velocidad -vcon velocidad -v

2

2

22

2 ),(1),(t

txvx

tx

)()(),( 21 vtxFvtxFtx

1.2 Solución general1.2 Solución general Función oscilanteFunción oscilante

Longitud de onda Longitud de onda : distancia entre dos : distancia entre dos puntos consecutivos que vibran en fase.puntos consecutivos que vibran en fase.

Frecuencia Frecuencia ww : nº veces que corta al eje. : nº veces que corta al eje. Periodo Periodo TT: tiempo en que la vibración se repite.: tiempo en que la vibración se repite. Frente de ondas: puntos alcanzados por la Frente de ondas: puntos alcanzados por la

onda a un tiempo fijo.onda a un tiempo fijo.

)(sen),( 0 vtxktxAmplitud

Nº ondasvelocidad onda Fase

t constante

x

(x,t) 0

X constante

t

(x,t) 0

2

K

2Kv

2

T

Velocidad de la onda

v

1.3 Ondas esféricas 1.3 Ondas esféricas Expresión matemáticaExpresión matemática Función Función

oscilante oscilante x,tx,t que verifica una que verifica una ecuaciónecuación

LaplacianoLaplaciano– CartesianasCartesianas

– EsféricasEsféricas

2

222 ),(

),(t

txtxv

2

2

2

2

2

22

zyx

2

2

2222

22

sen

1sen

sen

11

rrr

rrr

1.4 Solución general 1.4 Solución general esféricaesférica Función oscilanteFunción oscilante

Si el medio es isótropo sólo Si el medio es isótropo sólo depende de r, kr =kr.depende de r, kr =kr.

Frente de ondas esférico.Frente de ondas esférico.

wtrktx

sen),( 0

AmplitudVector Nº ondas

frecuencia onda Fase

2.ECUACIONES DE 2.ECUACIONES DE MAXWELLMAXWELL Leyes de GaussLeyes de Gauss

Ley de FaradayLey de Faraday

Q

SdE

0SdB

dt

dfem B

Ad

dt

BdldE

S

El flujo del vector E a través de una superficie cerrada es igual a Q/

El flujo del vector B a través de una superficie cerrada es nulo

Circulación del vector E por una curva cerrada

Superficie encerrada por la curva

La fem inducida en un circuito cerrado es igual a la variación del flujo de B

Ley de Ampère generalizadaLey de Ampère generalizada

S

Addt

DdJldH

La circulación del vector H por un circuito cerrado es igual a la corriente externa + corriente desplazamiento

TBB

H 0

0

dA

dIJ ext

Circulación del vector H por una curva cerrada

Superficie encerrada por la curva

Corriente de desplazamiento

dA

dQD libre

En el “alambre eléctrico”

En el “núcleo magnético”. Tiene cargas en movimiento

2.1 Algunas nociones 2.1 Algunas nociones matemáticasmatemáticas Dada una función F(r)=(FDada una función F(r)=(Fxx, F, Fyy, F, Fzz) )

vectorialvectorial

Donde se definen las funciones Donde se definen las funciones divergencia y rotacionaldivergencia y rotacional

S

AdFldF

)( Vol

dVFAdF )(

zyx FFFzyx

kji

F

ˆˆˆ

z

F

y

F

x

FF zyx

2.2 Forma diferencial 2.2 Forma diferencial de las ecuaciones de de las ecuaciones de MaxwellMaxwell Leyes de GaussLeyes de Gauss

Leyes de Faraday y AmpèreLeyes de Faraday y Ampère

E

0 B

La divergencia del vector E /

No hay fuentes de campo magnético (monopolos)

0

t

BE

Jt

EB

2.3 Ecuaciones de 2.3 Ecuaciones de Maxwell en ausencia de Maxwell en ausencia de fuentes y corrientesfuentes y corrientes En un materialEn un material

En el vacío v=c En el vacío v=c

0 E

0 B

0

t

BE

0

t

EB

1

v

00

1

c

3.ONDAS 3.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS ELECTROMAGNÉTICAS (planas)(planas) Las ecuaciones de Maxwell aplicadas a Las ecuaciones de Maxwell aplicadas a

campo E y B ortogonales que se campo E y B ortogonales que se propagan en la misma dirección (ej. x) propagan en la misma dirección (ej. x) admite soluciones tipo onda.admite soluciones tipo onda.

2

2

2

22 ),(),(

t

txE

x

txEv

2

2

2

22 ),(),(

t

txB

x

txBv

)(sen),( 0 vtxkEtxE

)(sen),( 0 vtxkBtxB

No son independientesSatisfacen Maxwell

00 cBE

Las ondas electromagnéticas Las ondas electromagnéticas planas son transversales, con los planas son transversales, con los campos campos EE y y BB perpendiculares perpendiculares entre sí y a la dirección de entre sí y a la dirección de propagación.propagación.

4.ENERGÍA DE UNA 4.ENERGÍA DE UNA OEMOEM Densidad de energía eléctrica y Densidad de energía eléctrica y

magnéticamagnética– Vacío - MedioVacío - Medio

Densidad de energía de la OEMDensidad de energía de la OEMo

m

oe

Bu

Eu

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

Bu

Eu

m

e

00 cBE

22

2

1

2

1 BEuuu me

c

BEBEu

2

2

5. VECTOR DE POYNTING5. VECTOR DE POYNTING

El vector de Poynting apunta en El vector de Poynting apunta en la dirección de propagación de la la dirección de propagación de la OEMOEM

DefiniciónDefinición

Campo magnético

Campo eléctrico

Dirección de propagación

E

BS

BE

S

iwtkxSS o

ˆ)(cos2

ejemplo

Está relacionado con la densidad de Está relacionado con la densidad de energía media de la OEM …energía media de la OEM …

con la potencia de la OEM … con la potencia de la OEM …

y con la intensidad (Potencia/Área)y con la intensidad (Potencia/Área)

v

S

v

BEu

v

Su

20

AEB

uAvdt

dUP

000

2

1

2

1S

BEImedia

6. ESPECTRO 6. ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICOELECTROMAGNÉTICO

El tipo de OEM El tipo de OEM se clasifica se clasifica según su según su longitud de longitud de onda ( o onda ( o frecuencia)frecuencia)

Espectro Espectro ElectromagnéticoElectromagnético

Algunas ecuaciones Algunas ecuaciones fundamentalesfundamentales

λλv v = c= c E = h E = h v v [[hh(cte de Planck)(cte de Planck) = 6,6 10 = 6,6 10-34-34 J.s] J.s] E = F d , EE = F d , E(energía)(energía) = q = qEd = W = qVEd = W = qV J = C VJ = C V 1e = 1,6 101e = 1,6 10-19-19C C [ [1eV = 1,6 101eV = 1,6 10-19-19CV]CV] 1eV = 1,6 101eV = 1,6 10-19-19 J J EE(densidad volumétrica de energía)(densidad volumétrica de energía) = ½ = ½ εεoo EE22

EE(densidad volumétrica de energía)(densidad volumétrica de energía) = 1/(2 = 1/(2μμoo) ) EE22