Tema 1.11-Condicion de Frontera y Principio de Superposicion

TEMA I.11Condicion de Frontera y Principio de Superposicion

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

[email protected]

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA I.11: Condicion de Frontera y Principio de Superposicion J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 21

Condicion de Frontera y Principio de Superposicion

En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en lasfronteras, a esto denominamos eco.

El eco es una onda que viaja en sentido opuesto a la onda incidente.

La onda incidente y el eco se pueden sobreponer, a esto denominamoscomo interferencia (ver Figura I.11.1).

Si las reflexiones se repiten, solo pueden ocurrir ondas senosoidales paraciertas frecuencias especiales, determinadas por las propiedades ydimensiones del medio, a esto se denomina como modos normales.

El ejemplo mas sencillo es una onda transversal en una cuerda estirada.


Condicion de Frontera y Principio de Superposicion

Figura I.11.1: Serie de imagenes de un pulso ondulatorio, tomadas a intervalosiguales de arriba hacia abajo. El pulso comienza a la izquierda.


Condiciones de Frontera

En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en lasfronteras, a esto denominamos eco.

La reaccion (tercera ley de Newton) sera un pulso reflejado que viajara enla direccion opuesta al pulso incidente con desplazamiento opuesto (verFigura I.11.2a).

Si el extremo es libre, de nuevo un pulso reflejado viajara en direccionopuesta, pero con un desplazamiento en la misma direccion que el pulsoincidente (ver Figura I.11.2b).


Condicion de Frontera

Figura I.11.2: Reflexion de un pulso ondulatorio (a) en un extremo fijo de lacuerda y (b) en un extremo libre. El tiempo aumenta desde la figura superior a lainferior.


Condiciones de Frontera

Las condiciones en los extremo son las denominadas condiciones defrontera.

La situacion es la misma si dos pulsos viajan en sentidos opuestos.

Al traslaparse los pulsos, el desplazamiento sera la suma algebraica de losdesplazamientos individuales.


Principio de Superposicion

Cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier puntode una cuerda, en cualquier instante, se obtiene sumando losdesplazamientos separados (ver Figura I.11.3 y Figura I.11.4):

y(x , t) =i

yi (x , t)

con i = 1, 2

Matematicamente esta propiedad aditiva es una consecuencia de la formade la ecuacion de onda.

Especficamente, la ecuacion es lineal, es decir que solo contiene funcionesa la primera potencia.

Por tanto, si dos funciones satisfacen la ecuacion de onda, su sumatambien satisface la ecuacion de onda.



Figura I.11.3: Solapamiento de dos pulsos ondulatorios que viajan en direccionesopuestas con uno de los pulsos invertido respecto al otro.



Figura I.11.4: Solapamiento de dos pulsos ondulatorios que viajan en direccionesopuestas sin inversion de un pulso. El tiempo aumenta desde arriba hacia abajo.


Ondas Estacionarias en una Cuerda

Cuando una onda es reflejada continuamente por los extremos, se produceun fenomeno de interferencia (ver Figura I.11.5).

La configuracion de la onda permanece en la misma posicion y su amplitudfluctua.

Hay puntos que nunca se mueven: nodos.

A la mitad del camino entre dos nodos hay puntos donde la amplitud esmaxima: antinodos.

Como la configuracion no parece moverse, a este hecho se le conoce como:onda estacionaria.



Figura I.11.5: (a)-(d)Exposiciones de tiempo de ondas estacionarias en una cuerdaestirada. De (a)-(d) la frecuencia de oscilacion del extremo derecho aumenta, y de la onda estacionaria disminuye. (e) Extremos del movimiento de la ondaestacionaria de (b), con los nodos en el centro y en los extremos.



Consideramos dos ondas de misma y A, viajando en sentido inverso. Enun nodo, los desplazamientos son iguales y opuestos y se cancelan:interferencia destructiva.

En un antinodo, los dos desplazamientos siempre son identicos dando undesplazamiento resultante grande: interferencia constructiva.

La distancia entre dos nodos o antinodos sucesivos es 2 .


Ecuacion de Onda Estacionaria

Consideremos dos ondas (siguiendo a Sears & Zemanskys):

y1(x , t) = A cos(x + t), viajando hacia la izquierda.

y2(x , t) = A cos(x t), viajando hacia la derecha.La onda reflejada es inversa y por tanto tiene una amplitud inversa.

Sumando las dos ondas:

y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(x + t) + A cos(x t)]

= A[ cos(x + t) + cos(x t)]

Usando la identidad: cos(a b) = cos (a) cos (b) sen (a) sen (b) yexpandiendo



cos(x + t) = cos(x) cos(t) + sen(x) sen(t)y cos(x t) = cos(x) cos(t) + sen(x) sen(t)

La funcion de onda estacionaria:

y(x , t) = 2A sen(x) sen(t)

y(x , t) = Aoe sen(x) sen(t) (I.11.1)

donde la amplitud Aoe = 2A

El factor 2A sen(x) indica que en cada instante, la forma de la cuerda essenosoidal.



Siguiendo a Tripler & Mosca:

y1(x , t) = A sen(x t)

y2(x , t) = A sen(x + t)

y(x , t) = A sen(x t) + A sen(x + t)y(x , t) = A [sen(x t) + sen(x + t)]

= A [sen(x) cos(t)cos(t) sen(x)+sen(x) cos(t)cos(t) sen(x)]= 2A sen(x) cos(t)

y(x , t) = Aoe sen(x) cos(t)

o y(x , t) = Aoe sen(x) sen(t)



Siguiendo a Resnick:

y1(x , t) = A sen(t + x)

y2(x , t) = A sen(t x)y(x , t) = A sen(t + x) A sen(t x)y(x , t) = A [sen(t + x) sen(t x)]

= A [sen(t) cos(x)+cos(t) sen(x)sen(t) cos(x)+cos(t) sen(x)]= 2A cos(x) sen(t)

y(x , t) = Aoe cos(x) sen(t)

o y(x , t) = Aoe sen(x) sen(t)



A diferencia de una onda viajera, la forma de la onda permanece en lamisma posicion oscilando verticalmente segun el factor sen(t).

Cada punto sigue teniendo un MAS, todos los puntos oscilando en fase.

En los nodos, sen(x) = 0, x = 0, pi, 2pi, 3pi,... o x = 0, pi , 2pi , 3pi ,...

x = 0,

2,

2

2,

3

2, ... (I.11.2)

La onda estacionaria no transfiere energa. Hay un flujo local de energadesde cada nodo a los antinodos adyacentes y de regreso, pero la razonmedia de transferencia de energa es 0.



Ejemplo: Cuerda larga I

El extremo x = 0 esta fijo. Una onda senosoidal viaja en direccion x a84.0 m/s.

La frecuencia de la onda es f = 120 Hz y la amplitud es A = 1.5 mm =1.5 103 m.

En x = 0, la onda se refleja y forma una onda estacionaria.

La amplitud: Aoe = 2A = (2)(1.5 103m)

La frecuencia angular: = 2pi f = (2pi rad)(120 s1) = 754 rad/s

El numero de onda: = / = 754 rad/s84.0m/s = 8.98 rad/m



De la ecuacion (I.11.1), la ecuacion de onda:

y(x , t) = (3.0 103m) sen(8.98 radm

x) cos(754rad

st)

Los nodos (primera metodo): sen(8.98 radm x) = 0 (8.98 radm x) = 0, pi,2pi, 3pi,...

x = 0, pi9.98 rad/m

,2pi

9.98 rad/m,

3pi

9.98 rad/m, ...

x = 0, 0.35m, 0.70m, 1.05m, ...Los nodos (segundo metodo): = /f = (84.0 m/s)/(120 s1) = 0.70 mDe la ecuacion (I.11.2):

x = 0,0.70m

2,

2(0.70m)

2,

3(0.70m)

2, ... = 0, 0.355m, 0.70m, 1.05m, ...



Ejemplo: Cuerda larga II

Un extremo de la cuerda esta sujeto a un poste vertical, el otro extremoesta sostenido flojamente con la mano.

Por tanto, la rapidez de la onda es lenta: = 0.720 m/s.

Buscamos la frecuencia para que una pinza colocada a 45.0 cm se quedesin moverse.

La pinza debe ser colocada en un nodo a 2 ,22 ,

32 ,...



Tenemos, entonces: d = 45.0 cm = n2 = 2 dn

La frecuencia: f = =n2 d = n

0.720m/s2(0.450m) = n 0.800Hz

Primero nodo: f1 = 0.800 Hz

Segundo nodo: f2 = 1.600 Hz

Tercero nodo: f3 = 2.400 Hz


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