FÍSICA 2

CÁPITULO 3: SUPERPOSION

DE M.A.S

SUPERPOSICION DEL M.A.S.

a.) Superposición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia.

222

111

tsenAxtsenAx La fase es α1

La fase es α2

El desplazamiento resultante de la partícula viene dado por

tAsenxtsenAtsenAxxx 221121

Es la suma de dos o mas M.A.S. los cuales no necesariamente tiene como resultante un M.A.S.

x

1

y

P’

P1’

P2’

O

A1

A2A

x1 x2

122122

21

2 cos2 AAAAA2211

2211

coscostan

AAsenAsenA

A continuación se presentan los siguientes casos particulares

• Si α1 = α2 en este caso los movimientos estan en fase ya que (α1 - α2) = 0

tsenAAtx 21)(

212

212

2122

21

2 2 AAAAAAAAAAA

x

y P’

P1’

P2’

O

11

211

211

1211

1211

2211

2211 tancoscoscoscoscos

tan

AAAAsen

AAsenAsenA

AAsenAsenA

• Si α2 = α1 + π en este caso los movimientos desafasados en π y los dos movimientos estan en oposicion (α1 - α2) = π

212

212

2122

21

2 )1(2 AAAAAAAAAAA

1211

1211

1211

1211

2211

2211

coscoscoscoscoscostan

AAsenAsenA

AAsenAsenA

AAsenAsenA

1

'1

211

211 tancos

tan CC

AAAAsen

x

y

P’

P1’

P2’

O

tsenAAtx 21)(

tAxtAx 222111 coscos

x

1t

y

P’

P1’

P2’

2t

(2- 1)t

O

A

A1

A2

El ángulo entre los vectores de rotación OP1’ y OP2’ es

ttt 1212 el cual no es constante

Por lo que el vector OP’ no tiene longitud constante y la amplitud del movimiento resultante es

tAAAAA 122122

21 cos2

Esta amplitud varía u oscila entre los valores 21 AAA nt 2 si 12

21 AAA nt 2 si 12

b.) Superposición de dos MAS de la misma dirección y diferente frecuencia.

A

tO

A1+A2

A1A2

Amplitud moduladaAmplitud moduladaPor tanto el movimiento resultante en este caso

no es un MAS!21 xxx

• Se produce un caso especial cuando A1=A2

x = x1 + x2 = A1 cosω1t + A2 cosω2t

tAtAAA 1211221

21 cos12cos22

2cos2cos1 como 2 tAA

2cos2 12

1

que oscila entre 0 y 2A1

x

x1,x2

A

x1+x2

x1

x2

22

cos2)(coscos2)( 21211211

tsentAtxttAtx

• Si la frecuencia es la misma (ω0), la partícula cuyo movimiento en dos dimensiones equivale a: F = −k r, la fuerza se descompone en: Fx = -kx y Fy = -ky cuyas ecuaciones del movimiento correspondientes son:

mkyyxx

2000 con 0 0

El movimiento es armónico simple en cada una de las dimensiones, ambas oscilaciones tienen la misma frecuencia pero tienen que diferentes amplitudes y fases siendo las ecuaciones:

Siendo las soluciones de estas ecuaciones x(t) =A cos(ω0t-α) y(t) =B cos(ω0t-β)

y(t) = Bcos[ω0t−α + (α - β )] y(t)= Bcos(ω0t−α )cos(α − β ) – Bsen(ω0t−α )sen(α − β )

2

00 1 coscon

Axtsen

Axt

c.) Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares (dos dimensiones)

con δ = (α − β ) senAxBx

ABy

2

1cos

1 elipse una de forma la omaecuacion t la 2

para 2

2

2

2

By

Ax

222 nciacircunfere una representaecuacion la y 2

para Ay xB A

Elevando al cuadrado : A2 y2 − 2ABxy cosδ + B2 x2cos2δ = A2B2sen2δ − B2 x2sen2δ

con B2 x2 − 2 ABcosδ + Ay2 = A2B2sen2δ

six

0 six

:recta una deecuacion la es 002 0 Si 222

ABy

ABy

Bx-AyAyABxyBx

En la figura pueden observarse algunas de las curvas correspondientes al caso A = B, cuando δ = 0 , δ =π/4 y δ =π/2

• Si la frecuencia no es la misma, en general las oscilaciones bidimensionales no tienen por qué ser las mismas frecuencias de forma que las ecuaciones se conviertan en: x(t) = A cos (ωx t −α ) , y(t) = B cos (ωy t − β ) siendo la trayectoria una de las llamadas curvas de Lissajous. Estas curvas serán cerradas cuando el movimiento se repita sobre símismo a intervalos regulares de tiempo, lo cual sólo será posible cuando las frecuencias ωx/ωy sea una fracción racional (numero de tangentes del lado vertical/numero de tangentes del lado horizontal).

En el caso que el cociente de las frecuencias no sea una fracción racional, la curva será abierta; es decir, la partícula no pasará dos veces por el mismo punto a la misma velocidad.

•Dos movimientos vibratorios perpendiculares de la misma frecuencia tienen sus amplitudes en la relación 2/3 y una diferencia de marcha de media longitud de onda. Hállese la forma del movimiento resultante.

xyA

Ayxtsen-AtsenAtsenA

23

32coscos

2

1122

tsenAytsenAx 21 :son smovimiento estos de ecuaciones las

Ejercicios

• Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto sometido a dos movimientos oscilatorios armónicos rectangulares dados por las ecuaciones

65 3 tsenytsenx

2

31cos entonces

33

xtxtsentsenx

osimplicandy cuadrado al elevando 364

163

591

21

63

6cos

6cos

6565

22 xxyxx

tsentsentsenytseny

inclinada elipse una deecuacion la a ientecorrespond 41

9153

25

22

xxyy

• Dos oscilaciones perpendiculares entre si tienen el mismo periodo, la misma amplitud y una diferencia de marcha igual a π/3. ¿Qué oscilación resultante produce?

Las componentes correspondientes serán:

231

21 doreemplazan

3cos

3cos

3 2

2

axaxtsenatasentaseny

ndosimplificay cuadrado al elevando 23

222 xaxy

3 tasenytasenx

inclinada elipse una deecuacion la a ientecorrespond 43 222 axyxy