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Cuaderno de Actividades: Física I
7) Movimiento Armónico Simple
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180
Cuaderno de Actividades: Física I
7) Movimiento Armónico
Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.
Movimiento ← Armónico: sen, cos
Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.
Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.
7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.
i) Descripción Cinemática del MAS
τ:,, avr
Fenomenología del MAS
Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x ≡0), la oscilación esta confinada para –A ≤ x ≤ A,
¿Cómo debería ser x (t) ≡?
→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ +
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
µ=0
PE
x≡-A 0 x≡+A x
181
Cuaderno de Actividades: Física I
Donde,
w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.
w = w{k,m}
A, δ: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.
c.i.:{x (0) ∧ v (0)}
Para la velocidad, { }cosdx
v A tdt
ω ω δ≡ ≡ +
→ ( ) { }cosv t Aw wt δ≡ +
Para la aceleración, { }2dva Aw sen wt
dtδ= ≡ − +
→ ( ) { }2a t Aw sen wt δ≡− +
Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).
La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS.
ii) Descripción Dinámica del MAS
La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posición, esto es,
( )F x cx=− , c: depende del sistema
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
F(x)
• x -A 0 x A
182
Cuaderno de Actividades: Física I
Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS.
F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR ≡ ma
a ≡ √ → v ≡ √ → x ≡ √
FR ≡ F = -k x ≡ m x
m x +kx ≡ 0
x + kx
m≡ 0
x + w2x ≡ 0, 2wm
k =
→ ( ) { }x t A sen wt δ≡ + k
wm
← =
W: frecuencia angular →2 1
( ) ( ) 2T periodo frecuencia linealw T
π ν ω πν→ →= = =
A,δ: c.i.
X: Posición→ Elongación
A: Amplitud
δ: Desfasaje
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 183
Cuaderno de Actividades: Física I
7.2) Casos especiales de MAS
i) Sistema m-k
1)1)
3)
Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en PE ∧ PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
PE m k µ =0
PE
2) k d
m PE’
PE
PE’ k
o m d o’ α
184
Cuaderno de Actividades: Física I
ii) Sistema l–g
wt ≡ w senθ
→ FRes ≡ wt ≡ -mg senθ
θ: pequeño→ senθ ∼θ
→ F ≡ -mgθ, FRes ≡ - cx
FR,t ≡ mat
mg− mθ = lθ
20g
l
gw
lθ θ+ ≡ ← =
→ θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ; θm ≡ Aθ, g
wl
≡ k
m
. δ : desfasaje
Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ,
→ ( ) { }ms t s sen wt δ≡ + ; m s ms A lθ≡ = , g
wl
≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
O O g t g θ
l
wt θ
PE w
n PE θ: describe la posición
185
Cuaderno de Actividades: Física I
iii) Péndulo Físico
Es un CR pendular,
w
produce un τ restaurador que debe llevar al CR a la PE,
τ ≡ - r w senθ, w ≡ mg
θ: pequeño → τ = - r w θ ← Senθ ∼ θ
rw Iθ θ⇒ − ≡ ← O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),
⇒ 0dmg
Iθ θ + =
, 2 dmg
wI
=
→θ (t) ≡ θm sen {wt + δ}
22
dmg Iw T T
I w dmg
π π≡ → = → =
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
CR 0
PE
0 r
C
θ
PE w
186
Cuaderno de Actividades: Física I
iv) P éndulo de Torsión
Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un torque restaurador proporcional a θ (para pequeños θs) de tal forma que:
τrestaurador ≡ τ ≡ - kθ ↑
k: constante de torsión (de la varilla)
Analogía: k ≡ k (resorte) {FRes = - kx}
Re s kτ τ θ≡ ≡ −
,Reext s Iτ τ α= ≡ ← O: punto fijo.
Re s k Iτ τ θ θ≡ ≡ − ≡
→ 0k
Iθ θ+ ≡ ; var , 0 :disco
illaI I punto fijoξ =≡
→θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ← kw
I= , 2
IT
kπ=
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
A
0 0
P θ P
PE PE
187
Cuaderno de Actividades: Física I
7.3) Energía en el MAS
i) Energía Cinética, Ek
21:
2km E mv=
Si x(t) ≡ A sen {wt + δ}
v(t) ≡ x (t) ≡ Aw cos{wt + δ}
{ }2 2 21cos
2kE mA w wt δ= +
ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el
2,
1
2p elE kx≡ ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ PE
{ }2 2,
1
2p elE kA sen wt δ≡ +
iii) Energía Mecánica, EM
EM ≡ Ek + Ep ≡ cte ∀ sistemas MAS,
{ } { }2 2 2 2 21 1cos
2 2ME mA w wt kA sen wtδ δ≡ + + + ←mw2 = k
21
2mE kA≡ ← En particular sistema m–k
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 188
Cuaderno de Actividades: Física I
Gráficos:
i) Ek
ii) Ep
¿?
¿?
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
Ek
21
2kA
0 T t
21
2kA Ek
-A 0 +A x
Ep
0 T t Ep
x 0
189
Cuaderno de Actividades: Física I
Observaciones:
En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional, la EM deberá considerarse,
EM ≡ Ek + Ep,el +Ep,g ← PE
EM ≡ Ek + Ep,el ← PE’
7.4) Oscilaciones amortiguadas
Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad, esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.
f: fuerza de fricción
f ≡ a + bv + cv2 + …
≡ f (v)
Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,
{ {Rresorte medio
F kx bv mx≡ − − ≡
0k b
x x xm m
+ + ≡→ ← MAA
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
0
x
190
Cuaderno de Actividades: Física I
Comparaciones: { }2 0x w x+ ≡ ← MAS
m – k : k
wm
=
l – g : wl
δ=
PF : mgd
wI
=
PT : k
wI
=
1) Caso de interés: wb < wr
( ) { }2 cosb
tmx t Ae wt φ
−≡ + Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)
A ≡ A(0) ≡ amplitud inicial
2
2
k bw
m m ≡ −
: Frecuencia de oscilación
La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la oscilación dada por el factor exponencial.
r
kw
m≡ → w del resorte,
2b
bw
m≡ → “w” del medio
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 191
Cuaderno de Actividades: Física I
2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado,
3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
X
A 2
bt
me−
0 t
x
t
x
t
192
Cuaderno de Actividades: Física I
S6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,
a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil.c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud
de 0,5 m.
SOLUCION:
λ = 0, 11 kg/s (=b) MAAk = 180 N/mm= 0, 31 kg
Oscilador armónico amortiguado
Wb < w0 ≡ wk
Oscilador críticamente amortiguado
Wb ≡ w0
Oscilador sobreamortiguado
Wb > w0
( ) ( )2 cosb
tmx t Ae tω φ
−→ = + en donde
2
2
k b
m mω = −
a)2b
bw
m→ =
0,11
2 2 0,31b
bw w
mλλ≡→ = ≡ =
×
0,11
2 2 0,31b
bw w
mλλ≡→ = ≡ =
× ∼ 0,18 ; 0
180
024
1,
,31k
kw w
m→ = = = =
→ wb < w0 ≡ wk :MAA
b) 0 ; ?2b
b kw w b
m m→ = → ≡ ≡
2 2 180 0,31b kmλ→ ≡ ≡ ≡ × ∼ 2 55,8 ∼15
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 193
Cuaderno de Actividades: Física I
c) ( ) { }2 cosb
tmx t Ae wt φ
−≡ +
x(0) = 0,5
( ) { }0,11
2 0,310,5 cos 581 0,03t
x t e t−
×≡ −
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
X
A 2
bt
me−
0 t
194
Cuaderno de Actividades: Física I
S6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:
a) El desplazamiento en función del tiempo.b) La velocidad cuando x = +A/2.c) La aceleración cuando x = + A/2.d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s?
SOLUCIÓN:
200 20010
2 2
kw
k
m m
= = ==
=
( )( )0 0,05
. .0 0
x mc i
v
= + =
a) x(t) = A sen (wt + φ)→ x(0) = A sen (w(0) + φ)=Asen(φ)=+0,05
v(t) = Aw cos (wt + φ)→ v(0) = Aw cos (w(0) + φ)= Aw cos (φ)= 0
De la última Ec φ = π/2 {la v (-) para t ∼ 0} → A=0,05
→ x(t) = 0,05 sen (10t + π/2)
→ v(t) = 0,5 cos (10t + π/2)
Observen la consistencia de tomar φ(=δ)= π /2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v. ¿Que ocurre si tomamos φ(=δ)= 3π /2?
b) Recordando la relación v-x
2 2
1x v
A Aw + =
{ }
2 2
2
0,51
3 3
0,5 4
3
44
A v
A Aw
vv mv x−
+ =
= −→ = → = ± → →
c) Recordando la relación a-x
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 195
Cuaderno de Actividades: Física I
2a w x= −
{ }2 0,0510
22,5aa m x = − → → −
= −
d) FR= FRES ≡ -kx= -k A sen (wt + φ)= -(200)(0,05) sen (10t + π/2)=?
15
tπ= ←
2 2
5T
w w
π π π= = = → F (+)! veamos
FR (t=π/15) = -10 sen (10{π/15} + π/2) ∼ (-10) (-0, 5) = +5
S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva).
SOLUCIÓN:
Nos
proporcionan directamente la 2w ≡ , las condiciones
iniciales son,
0 : (0) 0 (0) 1,5t x v≡ ≡ ∧ ≡ −
Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
g k
v(0) m
t =0 X
x(0)=0 v(0)
v(0)
196
Cuaderno de Actividades: Física I
( ) { }( ) { }cos
x t A sen wt
v t Aw wt
δδ
≡ +
≡ +
a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t=0,
( ){ } ( ) 22 0
0v
A xw
≡ +
Reemplazando datos, { }2
2 1,50 0,75
2A
− ≡ + ≡
0,75A ≡
b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),
( ) { }( ) { }
0,75 2
1,5 cos 2
x t sen t
v t t
δδ
≡ +
≡ +
Para t=0 y vecindades,
( ) ( ){ } { }( ) ( ){ } { }0 0,75 2 0 0,75
1,5 cos 2 0 1,5 cos
x sen sen
v t
δ δ
δ δ
≡ + ≡
≡ + ≡
Para satisfacer x(0)=0, 0δ ≡ ,π , el valor correcto es δ π≡ , con lo cual las ecuaciones quedan,
( ) { } { }( ) { } { }
0,75 2 0,75
1,5 cos 2 1,5 cos 2
2x t sen t sen t
v t t tππ
≡ −
≡ −
≡
≡ +
+
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 197
Cuaderno de Actividades: Física I
S6P4) En el sistema mostrado en la figuraObtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t.Si: X = A cos (w0 t + φ)g: aceleración de la gravedad
SOLUCION:
En :PE mg kd′ ≡
Desde 0: 'x d x≡ +
{ }'RF mg kx mg k d x≡ − ≡ − +
0 ' ' 'kx kx kx mx mxmg kd≡ − ≡ − ≡− − ≡ ≡
' ' 0k
x xm
+→ ≡
Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia
kw
m≡ . Ahora, debido a que la fuerza resultante es 'RF kx≡ − , cuando se
escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,
como la 'RF kx≡ − , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada una energía potencial elástica, por lo tanto,
M K peE E E≡ +
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
g k
+ X = 0 m
-
PE 0 d PE’ 0’ x
x’
X, X’
198
Cuaderno de Actividades: Física I
S6P32)
Una placa P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia ν = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa es µs = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?
SOLUCI Ó N :
( ) ( ) ( ),2 2, ,: RES MAX
MAX MAS RES MAX
FM m a A F M m A
M mω ω+ ≡ ≡ → ≡ +
+1442443
: SRM
fFM a
M M
−≡ ≡ RES,MAXF
→ ,SR
M MAX
mgFa
M M
µ−≡ ≡ RES,MAXF
DCL (M):
De las ecuaciones anteriores,
2 RES S SF mg k mg
M M
µ µω − −→ ≡ ≡ MAXMAX
AA ← 2k =ω( M+ m )
( )2 2sM M m mgω ω µ→ ≡ + −MAX MAXA A
s mµ→ 2g mω≡( )2 2
0,6 10
2 1,5s
MAX
g x
xA
ω πµ→ ≡≡MAXA → 2
6
9MAXAπ
≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
µs B k P
a
m Fres
M
0
a fS,M ≡ µs mg
FRES
FR ≡ FRES -µs mg
199
Cuaderno de Actividades: Física I
Observación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleración máxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m. Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de M
respecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730)
S6P6)
En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0
del MAS resultante, para pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda sin deslizar, considere, M≡ masa del disco,R ≡ radio del disco y k ≡ constante del resorte.
SOLUCIÓN:
x pequeño → MAS , w0 = ?x = s = Rθ
P’ // CM : τ = I α
( ) [ ]
23
2
2 2 21 3
2 2
MR
kx R MR MR MR k R Rτ θ θ θ = − = + = = −
6447448
0
20
3
2
3
kk
Mw
Mθ θ→ + ≡ =⇒
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
k R
M
t M k 0 FR
P
0 o’
200
Cuaderno de Actividades: Física I
S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ángulo θ y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema.
SOLUCION:
α) De la dinamica rotacional,
:O Okxr Tr Iτ α− ≡ −
Por la “rodadura”: x rθ≡
2
2
2...1
mrkr Tr W mgθ θ− ≡ − ← ≡
De la dinámica traslacional,
( )RF T kx W m x≡ − − + ≡
Usando nuevamente la rodadura, T kr W mrθ θ− − + ≡
2 2 ...: 2xr Tr kr Wr mrθ θ− − + ≡
De 1 y 2, 3
22
...3kr W mrθ θ− + ≡
, 2 2
Haciendo kr W krµ θ µ θ≡ − + → ≡ −
3
2m rµ→ ≡
2k r
µ× − 4 4
30
3
k
m
kgw
Wµ µ → + ≡ → ≡
( ) ( ) ( ) 20'
3: 2
2kx r W r mrτ θ − ≡ −
1)
De la rodadura: x rθ≡ 2)
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
k
r
θ
P x P 0 O
T kx
x O’ X θ w P’ P
201
{ }0)0 0 //β ′ ′
Cuaderno de Actividades: Física I
2) → 1): 22kr W rθ − 23
2mr≡ − θ 3)
Sea 3
2 22
kr W kr m rµ θ µ θ µ≡ − → ≡ → ≡ −2k r
µ× 4
03
k
mµ µ→ + ≡
4
3
kgw
W≡
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 202