EL PROBLEMA DE LA SUPERPOSICION M INIMA

EL PROBLEMA DE LA SUPERPOSICION MINIMA

JULIAN LOPEZ LLORENTE

UNIVERSIDAD DEL VALLEFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICASSANTIAGO DE CALI

MARZO DE 2011



Trabajo de Investigacion presentado como requisito parcialpara optar al tıtulo de Magıster en Ciencias Matematicas

CARLOS ALBERTO TRUJILLO SOLARTE, Ph. D.Director


POSGRADO EN CIENCIAS MATEMATICASSANTIAGO DE CALI

MARZO DE 2011


POSGRADO EN CIENCIAS MATEMATICAS



Nota de aceptacion

El presente Trabajo de Investigacioncumple con todos los requisitos exigi-dos por el Posgrado en CienciasMatematicas para optar al tıtulo deMagıster en Ciencias Matematicas.

Director:

Evaluador:

Evaluador:

CARLOS A. TRUJILLO SOLARTE, Ph. D.

EVALUADOR 1, Ph. D.

EVALUADOR 2, Ph. D.

Santiago de Cali, Marzo de 2011

No temas, cree solamente. Mr 5:36

Agradecimientos

Agradezco a Dios, por acompanarme en cada momento de mi vida, rodeandomede valiosas personas como mi familia, amigos, profesores y companeros, quienesme brindaron su ayuda y confianza en tantos momentos y sin las cuales hubiesesido mucho mas difıcil alcanzar este logro.

A la universidad del Valle por su apoyo y formacion.

Al profesor Carlos Trujillo, por su tiempo y colaboracion.

Julian Lopez LLorente

6

Resumen

Sea n ∈ N y A,B una particion de 1, 2, . . . , 2n en dos conjuntos disjuntosde n elementos cada uno. Denotamos por ΓA(k) el numero de soluciones de laecuacion

b− a = k, con b ∈ B y a ∈ A.

El problema de la superposicion mınima o “minimum overlap problem” consisteen estimar

M(n) := mınA

maxk

ΓA(k).

En este trabajo se introduce una nueva notacion que permite simplificar la es-critura y compresion de algunas pruebas, tambien se muestra de forma detalladaalgunos trabajos relacionados con las cotas inferiores, cotas superiores y genera-lizaciones del problema.

Finalmente se muestra el esfuerzo realizado por caracterizar los conjuntos que rea-lizan la funcion M(n), para esto se presentan algunos programas computacionalescreados en el sistema de computo MuPAD, acompanados de una descripcion de suimportancia al momento de observar las propiedades que hemos logrado probar yque nos han ido encaminando a lo que conocemos actualmente del problema.

Se presentan los resultados y pruebas de forma sencilla para que pueda ser leıdaincluso por estudiantes que inicien su pregrado en matematicas.

i

Indice general

Resumen I

Introduccion III

1. Cotas inferiores 51.1. Cota inferior de Erdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Cota inferior de Scherk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Cota inferior de Swierczkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Cota inferior de Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Cotas superiores 202.1. Cotas superiores de Motzkin, Ralston y Selfridge . . . . . . . . . . 202.2. Cota superior de Haugland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Algunas generalizaciones 313.1. Cota inferior de Swierczkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Un problema de J. Czipszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. L. Moser y M.G. Murdeshwar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Algunos programas y observaciones 394.1. Programas construidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Observaciones y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Conclusiones 54

Bibliografıa 54

ii

Introduccion

Un problema clasico de teorıa de numeros es estimar el numero de representa-ciones de un entero como suma o diferencia de los elementos de un conjunto dado,el interes general, es encontrar conjuntos o propiedades que caractericen los con-juntos para los cuales la suma o la diferencia entre dos de sus elementos no serepita, o que tenga un numero pequeno de repeticiones. Esta idea a dado origena un gran numero de interrogantes y discusiones que han venido a ser el principalobjeto de estudio de la teorıa de numeros aditiva en estos momentos.

Entre los ejemplos clasicos de este tipo de problemas se destacan los planteadospor el matematico Hungaro Paul Erdos, quien dedico gran parte de su trabajo aeste tema, llegando a ser uno de los matematicos mas prolıferos del siglo XX, yenunciando un gran numero de conjeturas, de las cuales muchas hasta el momentono han sido resueltas.

Entre las famosas conjeturas planteadas por Erdos se encuentra “El problema dela superposicion mınima”, mas conocido como “The minimum overlap problem.”Formulado por primera vez en [3] en 1955 y que se ha convertido en uno de losproblemas clasicos propuestos por R. Guy en su libro Unsolved problems in numbertheory [4], (problema C[17]).

La formulacion dada por Erdos fue la siguiente:

“Sean los 4n enteros de [1, 4n] divididos en dos clases disjuntas a1, a2, . . . , a2n yb1, b2, . . . , b2n. ¿existe un entero t tal que el numero de soluciones de la ecuacionai + t = bj sea al menos n?”.Posteriormente el problema fue reformulado como sigue. Consideremos una parti-cion A,B de 1, 2, . . . , 2n en dos conjuntos disjuntos A = ai y B = bj den elementos cada uno (Notemos que A determina la particion). Denotamos porΓA(k) el numero de representaciones de k como diferencia de un elemento de Bcon uno de A, es decir, el numero de soluciones de la ecuacion bj − ai = k, y por

Γ(A) := maxk

ΓA(k).

El problema ahora consiste en estimar M(n) := mınA Γ(A).

iii

iv

Una version equivalente es la siguiente, dado un conjunto A ⊂ 1, . . . , 2n con nelementos, se define el conjunto trasladado Ak = a+ k : a ∈ A y

ΓA(k) = |Ak ∩ Ac| .

El objetivo es estimarM(n) = mın

Amaxk

ΓA(k).

Una forma muy sencilla de interpretar el problema es la siguiente:

El organizador de un concurso forma una fila con 2n sillas, luego reemplaza n(cualesquiera) de ellas por los n integrantes de un equipo.Ahora, el equipo dispone de cierto tiempo para decidir el numero k de posicionesque se desplazara cada uno de sus integrantes ya sea a la derecha o a la izquierda.Aquellas personas que no encuentren una silla en su nueva posicion son eliminadas,por lo que el equipo debe escoger k apropiado para mantener el maximo numerode integrantes posible. Sin embargo, el organizador planeo la ubicacion inicial conuna buena estrategia de tal forma que el numero de personas no eliminadas seamınimo.El problema de la superposicion mınima consiste en estimar el numero de parti-cipantes no eliminados como una funcion de n con la condicion de juego optimopara ambas partes. (Es decir, suponiendo que tanto el equipo como el organizadorusaron la mejor estrategia).

Para comprender aun mejor, supongamos que las sillas estan enumeradas en laforma E = 1, 2, . . . , 2n, la ubicacion inicial de las personas determina una par-ticion A,B de E, formados por las n posiciones a1, a2, . . . , an y b1, b2, . . . , bn quequedan ocupadas por las personas y por las sillas respectivamente.Si el equipo se traslada k posiciones, la nueva ubicacion del equipo estara dadapor Ak = a1 + k, a2 + k, . . . , an + k. Que la persona en la posicion ai encuentreuna silla en su nueva posicion significa que existe bj ∈ B tal que bj = ai + k, ası,al equipo le conviene trasladarse k posiciones de tal manera que el numero ΓA(k)de soluciones de la ecuacion b− a = k con a ∈ A y b ∈ B sea lo mayor posible.

Por otro lado, el trabajo del organizador es dar un conjunto inicial A de tal formaque independientemente de la eleccion de k, se tenga un bajo valor de ΓA(k), esdecir, que max

kΓA(k) sea lo menor posible.

El problema busca determinar el numero M(n) de personas que no fueron elimi-nadas, suponiendo que el organizador y el equipo hicieron la mejor eleccion posible.

Los valores conocidos de M(n) son los siguientes:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15M(n) 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6

v

mas adelante, con la ayuda de algunos programas se mostraran, para cada uno deestos valores de n, un conjunto A con el cual se obtienen estos valores de M(n).Hasta el momento el problema no ha sido resuelto, pero usando variados metodos ytecnicas como el combinatorio, analıtico, probabilıstico entre otros, se han podidoencontrar diferentes cotas tanto superiores como inferiores.

Entre las cotas inferiores tenemos

M(n) ≥ n/4,

probada en 1958 por Erdos en [3], mas adelante Scherk, en un comunicado informaque probo que

M(n) > (1− 1/√

2)n > 0, 2929n.

Swierczkowski prueba en [10] que

M(n) > (4−√

6)n/5.

Moser en [6] usa argumentos combinatorios para probar que

M(n) >√

2(n− 1)/4 > 0, 3535(n− 1),

y luego, dice en un comunicado que combinando su metodo con el de Scherk sepuede probar que

M(n) >

√4−√

15(n− 1) > 0, 3563(n− 1).

Por otro lado, entre las cotas superiores, se han tenido los siguientes resultados

lım supM(n)/n < 1/2,

probado por Erdos en [3], luego usando ejemplos especıficos, Motzkin, Ralston, ySelfridge probaron en [8] que lımM(n)/n < 2/5, pero mas tarde mejoraron esteresultado probando que

lımM(n)/n < 5/12,

finalmente, Jan Haugland en 1995, con la ayuda de un teorema de Swinnerton-Dierprueba en [5] que lımM(n)/n existe, y usando algunos programas computacionalesmuestra que lımM(n)/n < 0,3820, pero luego en 2009 mejora este resultado,probando la mejor cota superior conocida hasta el momento, esta es

lımM(n)/n < 0, 3810.

Por lo tanto, hasta el momento se sabe que lımM(n)/n existe y

0, 3563 < lımM(n)/n < 0, 3810.

1

Para simplificar la escritura, y facilitar ası la comprension del problema, intro-ducimos la siguiente notacion.

Definicion 0.1 dados dos enteros m < n, denotamos por [m,n] el intervalo en-tero [m,n] := k ∈ Z : m ≤ k ≤ n .

Definicion 0.2 Para un conjunto A, denotamos por Ak el conjunto trasladado

Ak = a+ k : a ∈ A .

Definicion 0.3 Decimos que A,B es una particion de un conjunto W si A yB son disjuntos y A ∪ B = W. En este caso B = W \ A, el complemento de Arespecto a W.

Definicion 0.4 Dados conjuntos A,B ⊂ Z y un entero k, escribimos B−A paradenotar el conjunto de diferencias con posibles repeticiones

B − A = b− a : b ∈ B, a ∈ A,

y DB−A(k) para el conjunto

(a, b) ∈ A×B : b− a = k

con cardinal ΓB−A(k), es decir, ΓB−A(k) es el numero de representaciones delentero k como diferencia de un elemento de B con uno de A, o simplemente elnumero de soluciones de la ecuacion b − a = k con b ∈ B y a ∈ A. Ademas,denotamos

Γ(B − A) := maxk

ΓB−A(k),

el maximo numero de representaciones de un entero como diferencia de elementosdel conjunto B con el conjunto A.

Observacion 0.1 Si A,B es una particion de un conjunto W , entonces Bqueda completamente determinado por A, por lo que escribimos DA(k),ΓA(k) yΓ(A) en lugar de DB−A(k),ΓB−A(k) y Γ(B − A) respectivamente.

Definicion 0.5 Dado n ∈ N, decimos que A ∈ Pn si A es un subconjunto de[1, 2n] con n elementos.

Con esta nueva notacion, el problema consiste en estimar

M(n) = mınA∈Pn

Γ(A).

2

Ejemplo 0.1 Sea A = 1, 4, 6 ∈ P3, entonces B = 2, 3, 5 , para realizar loscalculos con mayor facilidad hacemos la matriz de diferencias

− 2 3 51 1 2 44 −2 −1 16 −4 −3 −1

→ B

↓A

y tenemos que B−A = −4,−3,−2,−1,−1, 1, 1, 2, 4, mas aun, se puede ver que

DA(−4) = (6, 2) , DA(−3) = (6, 3) , DA(2) = (1, 3) , DA(4) = (1, 5) ,

mientras que

DA(−1) = (6, 5), (4, 3) , y DA(1) = (1, 2), (4, 5) .

por lo tanto

ΓA(−4) = ΓA(−3) = ΓA(−2) = ΓA(2) = ΓA(4) = 1

yΓA(−1) = ΓA(1) = 2

AsıΓ(A) = max

kΓ(k) = 2

De donde se tiene queM(n) ≤ Γ(A) = 2.

A continuacion veremos un lema muy importante que ha sido probado por Swier-czkowski en un sentido y por Haugland en el otro, pero que se ha incluido enestos momentos para simplificar muchas ideas y pruebas durante gran parte deltrabajo.

Lema 0.1 Si A,B es una particion del intervalo [1,m], y q ∈ N, entoncesexiste una particion A(q), B(q) = A, B de [1, qm] tal que

∣∣A∣∣ = q |A| y

Γ(B − A) ≤ qΓ(B − A).

Prueba. Los conjuntos A, B ⊆ [1, qm] dados por

A = qa− i : a ∈ A, i ∈ [0, q − 1], B = qb− i : b ∈ B, i ∈ [0, q − 1]

3

tienen q |A| y q |B| elementos respectivamente.Si k ∈ B− A, entonces por la construccion de A existen i1, i2 ∈ [0, q− 1] tales que

k = (qa− i1)− (qb− i2) = qk + i,

con k ∈ B−A e i ∈ [1− q, q− 1], ademas, en B− A, k solo tiene representacionesde las formas

k = qk + i o k = q(k + 1)− (q − i),pero las ecuaciones i1 − i2 = i e i1 − i2 = q − i con i1, i2 ∈ [0, q − 1] tienen q − ie i soluciones respectivamente, ası que k tiene q − i representaciones en la formaqk + i e i representaciones en la forma q(k + 1)− (q − i), de aquı que

ΓB−A(k) = ΓB−A(qk+i)+ΓB−A(q(k+1)+(i−q)) = (q−i)ΓB−A(k)+iΓB−A(k+1),

tomando el maximo se tiene que

Γ(B − A) ≤ (q − i)Γ(B − A) + iΓ(B − A) = qΓ(B − A).

como se querıa probar.

Como un caso particular de este resultado tenemos el siguiente corolario

Corolario 0.1 Si A ∈ Pn y q ∈ N, entonces existe A = A(q) ∈ Pqn tal queΓ(A) ≤ qΓ(A). En particular

M(qn) ≤ qM(n) ∀q, n ∈ N. (1)

Ejemplo 0.2 Consideremos el conjunto A = 1, 4, 6 ∈ P3 del ejemplo anteriory q = 4, se puede ver que

A(4) := A = 1, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24 ∈ P12,

en este caso la matriz de diferencias es

− 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 201 4 5 6 7 8 9 10 11 16 17 18 192 3 4 5 6 7 8 9 10 15 16 17 183 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 16 174 1 2 3 4 5 6 7 8 13 14 15 1613 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 4 5 6 714 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 3 4 5 615 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 2 3 4 516 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 1 2 3 421 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −4 −3 −2 −122 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −5 −4 −3 −223 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −6 −5 −4 −324 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −7 −6 −5 −4

4

De donde podemos ver que

Γ(A) = 8 = 4Γ(A),

y asıM(12) = mın

A∈P12

Γ(A) ≤ Γ(A) = 8.

Capıtulo 1

Cotas inferiores

El objetivo de este capıtulo es presentar en forma detallada los artıculos en loscuales se usan los metodos que a nuestro parecer, por las ideas que exponen sonlos mas destacados entre los trabajos que se han realizado para obtener las cotasinferiores que conocemos hasta el momento.

1.1. Cota inferior de Erdos

Esta cota fue presentada en 1958 en el artıculo “Problems and results in additivenumber theory”, ver [2], y fue el primer resultado conocido.

Erdos uso un argumento combinatorio para probar que

M(n) > n/4,

Aquı se presenta una prueba sencilla de este hecho.

Teorema 1.1 (Cota inferior de Erdos) Para cada n ∈ N,

M(n) > n/4.

Prueba. Sea n ∈ N y A ∈ Pn, notemos que el conjunto B−A tiene n2 elementos,ninguno se repite mas de Γ(A) veces y B−A ⊆ [−2n+ 1, 2n− 1]; de aquı se tieneque

n2 =∑k

ΓA(k) ≤∑

|k|≤2n−1

Γ(A) = (4n− 2) Γ(A),

asıΓ(A) ≥ n2/(4n− 2) > n/4.

5

1.1. Cota inferior de Erdos 6

y por lo tantoM(n) = mın

A∈Pn

Γ(A) > n/4.

Al pensar un poco en la prueba anterior, y particularmente en el numero de re-presentaciones de cada entero en el intervalo [−2n+ 1, 2n− 1] se puede observarcon facilidad que los numeros “cercanos a los extremos” (es decir, de la forma−2n + q y 2n − q para valores enteros positivos de q cercanos a 0) tienen pocasrepresentaciones, ilustramos esto con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.1 Consideremos el conjunto

A = 1, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24 ∈ P12

del ejemplo (0.2), en la matriz de diferencias se puede ver que el numero de re-presentaciones de los enteros cercanos a los extremos del intervalo [−23, 23] espequena en relacion con Γ(A) = 8 en particular, ΓA(k) = 0 si |k| > 19 y

ΓA(k) ≤ 4 para |k| ∈ 8, . . . , 19 .

Nos preguntamos si este hecho puede ser usado para mejorar la cota presentadaanteriormente, ya que en la prueba se supone que todos los terminos se repiten elmaximo numero de veces posible. La respuesta es si, como lo veremos a contin-uacion.

1.2. Cota inferior de Scherk 7

1.2. Cota inferior de Scherk

Scherk probo (en un comunicado) que M(n) > 0, 2929n no encontramos la bib-liografıa relacionada con la prueba, sin embargo usando la observacion expuestaanteriormente ha sido posible dar una prueba sencilla de este hecho, comenzamosprobando el siguiente lema.

Lema 1.1 Si A ∈ Pn y q ∈ [1, n], entonces

max ΓA(−2n+ q),ΓA(2n− q) ≤ q.

Prueba. Notemos que DA(2n− q) ⊆ (2n− i, q − i) : 0 ≤ i < q, como este ulti-mo conjunto tiene q elementos, entonces

ΓA(2n− q) ≤ q.

De igual forma se muestra que

ΓA(−2n+ q) ≤ q,

de donde se tiene el resultado.

Corolario 1.1 Si A ∈ Pn y q ∈ [1, n], entonces

ΓA(−2n+ q) + ΓA(2n− q) ≤ q.

Prueba. Es facil ver que (a, b) ∈ DA(2n − q) si, y solo si (b, a) ∈ DA(q − 2n),como los conjuntos A y B son disjuntos, entonces por el lema anterior se tieneque

ΓA(−2n+ q) + ΓA(2n− q) ≤ q.

Podemos usar ahora el lema anterior para probar el siguiente teorema

Teorema 1.2 (Cota inferior de Scherk)

M(n) >(

1− 1/√

2)n.

1.2. Cota inferior de Scherk 8

Prueba. Notemos que para cada t < n fijo se tiene que

n2 =∑k

ΓA(k) =∑

|k|≤2n−tΓA(k) +

∑|k|>2n−t

ΓA(k)

≤ 2(2n− t)Γ(A) +t−1∑q=1

[ΓA(2n− q) + ΓA(−2n+ q)]

≤ 2(2n− t)Γ(A) +t−1∑q=1

q

< 2(2n− t)Γ(A) + t(t− 1)/2

Si para α ∈ (0, 2) tomamos t = [|αn|] se puede mostrar que

2n < 4(2− α)Γ(A) + α2n

y ası

Γ(A) >(2− α2)

4(2− α)n,

pero la funcion f(α) =(2− α2)

4(2− α)alcanza un maximo en α = 2−

√2, y en particular

tenemos que

Γ(A) > f(

2−√

2)n =

(1− 1/

√2)n.

1.3. Cota inferior de Swierczkowski 9

1.3. Cota inferior de Swierczkowski

Swierczkowski prueba que

M(n) > n(

4−√

6)/5,

este resultado fue presentado en 1958 en el artıculo “On the intersection of alinear set with the translation of its complement”, ver [10].

Teorema 1.3 Si N ∈ N y A,B es una particion de [1, N ], entonces

Γ(A) ≥ (N/5)(

2−√

4− 10 |A| |B| /N2).

Prueba.⋃|k|<N

DA(k) tiene |A| |B| elementos, ası |A| |B| =∑|k|<N

ΓA(k), si para

0 < m < N escribimos Rm =∑|k|≥m

ΓA(k), entonces |A| |B| =∑|k|<m

ΓA(k) +Rm, de

donde se tiene que|A| |B| ≤ 2(m− 1)Γ(A) +Rm. (1.1)

Supongamos que (1.1) implica que existe una funcion ϕ tal que lımx−→0

ϕ(x) = 0, y

Γ(A) > (δ + ϕ(1/N))N , (1.2)

donde δ = (1/5)(

2−√

4− 10 |A| |B| /N2)

.

Aplicando (1.2) al conjunto A definido en el lema (0.1) tenemos que

qΓ(A) = Γ(A) >(δ + ϕ(1/qN)

)qN ,

pero δ = δ, lo que implica que Γ(A) > (δ + ϕ(1/qN))N y como q es arbitrarioΓ(A) ≥ δN , lo que prueba el teorema.

Al aplicar este teorema al conjunto W = [1, 2n] y considerar particiones A,Bde W con A ∈ Pn se tiene el resultado principal.

Teorema 1.4∀n ∈ N, M(n) > n(4−

√6)/5.

Ahora se debe probar que (1.1) implica (1.2), pero antes probaremos algunos lemasque seran de mucha utilidad.

Para W = [0, n], definimos los conjuntos ∆ := (x, y) ∈ W 2 : x + y ∈ W y|E,F | := |(E × F ) ∩∆|. En adelante denotamos a M(n) por d.Sean s, s∗ ∈ [0, n + 1], decimos que (S, S∗) ∈ P (s, s∗) si S, T y S∗, T ∗ sonparticiones de W = [0, n] tales que

|S| = s y |S∗| = s∗ o |T | = s y |T ∗| = s∗. (1.3)


Definicion 1.1 Para f(S, S∗) := |S, S∗|+ |T, T ∗|, denotamos

µ(s, s∗) := maxf(S, S∗) : (S, S∗) ∈ P (s, s∗),

y por K := S, T, S∗, T ∗ la clase de todas las particiones S, T , S∗, T ∗ de Wcon (S, S∗) ∈ P (s, s∗) tales que

f(S, S∗) = µ(s, s∗). (1.4)

A partir de ahora, durante la prueba de esta cota, consideramos solo parti-ciones S, T , S∗, T ∗ de W tales que S, T, S∗, T ∗ ∈ K, representaremos porE,D,E∗, D∗ un reordenamiento de S, T, S∗, T ∗ con E,D y E∗, D∗ particionesde W.

Definicion 1.2 Dado x ∈ W , denotamos p(x) = n−x, y para Q ⊆ W escribimosp(Q) = p(x) : x ∈ Q.

Lema 1.2 Si x ∈ E y x+ 1 ∈ D, entonces p(x) ∈ E∗.

Prueba. Supongamos que existe x ∈ E tal que x+1 ∈ D y p(x) ∈ D∗, definamoslos conjuntos E, D por

E = (E − x) ∪ x+ 1 y D = W − E,

Como x ∈ E, x+ 1 ∈ E, y p(x) = n− x /∈ E∗, entonces

|x, E∗| = |y ∈ E∗ : x+ y ≤ n|

= |y ∈ E∗ : x+ y < n|

= |y ∈ E∗ : (x+ 1) + y ≤ n| = |x+ 1, E∗|

de donde ∣∣E, E∗∣∣− |E,E∗| = |x+ 1, E∗| − |x, E∗| = 0

de igual forma, como x ∈ D, x+ 1 ∈ D y p(x) ∈ D∗, entonces∣∣D,D∗∣∣− |D,D∗| = |x, D∗| − |x+ 1, D∗| = 1,

Sumando las ecuaciones anteriores tenemos

f(E, E∗)− f(E,E∗) = 1,

lo cual es imposible, pues f(E,E∗) = µ(s, s∗).

Definicion 1.3 Decimos que un intervalo L es maximal en E ⊂ W si L ⊂ Epero L1, L−1 * E. El intervalo L es libre si L1, L−1 ⊂ W.


Definicion 1.4 Si L es maximal en E, Q maximal en E∗ y L∩p(Q) 6= φ, decimosque Q corresponde a L, o que Q y L se corresponden.

Definicion 1.5 Dados intervalos L = [a, b] y Q = [c, d], escribimos L < Q sia ≤ c y b ≤ d o si uno de ellos es vacıo.

Lema 1.3 Si L y Q se corresponden, entonces L < p(Q).

Prueba. Sean L = [a, b] ⊂ E y Q = [g, h] ⊂ E∗, probaremos que a ≤ p(h) yb ≤ p(g). Supongamos que p(h) < a, como L∩p(Q) 6= φ, entonces p(h) < a ≤ p(g),esto implica que p(h) ≤ a − 1, ası p(a − 1) ∈ Q ⊂ E∗, lo que contradice el lema(1.2).De forma similar se muestra que g ≤ p(b), de donde b ≤ p(g).

Corolario 1.2 Si Q y Q′

corresponden con L, entonces Q ∩Q′ 6= φ.

Lema 1.4 Si L = [a, b] es maximal en E y b+ 1 ∈ W , entonces E∗ ∩ p(L) 6= φ.

Prueba. Como L es maximal en E, entonces b + 1 ∈ D, luego, el lema (1.2)garantiza que p(b) ∈ E∗ y ası E∗ ∩ p(L) 6= φ.

Lema 1.5 Existe a lo mas un intervalo Q que corresponde a L. Aun mas, existeQ que corresponde a L ⊆ E si, y solo si E∗ ∩ p(L) 6= φ, y por lo tanto

p(E∗) ∩ L ⊂ p(Q).

Prueba. Si Q corresponde a L, entonces φ 6= Q ∩ p(L) ⊂ E∗ ∩ p(L). Recıpro-camente, si E∗ ∩ p(L) 6= φ, entonces podemos tomar Q maximal en E∗ tal queL ∩ p(Q) 6= φ, y ası Q corresponde a L.Finalmente, dos intervalos que corresponden a L se intersecan y si son maximalescoinciden, de aquı se sigue que solo un intervalo Q corresponde a L, y por lo tantoE∗ ∩ p(L) ⊂ Q.

Combinando los dos resultados anteriores tenemos

Corolario 1.3 Si L es maximal en E, y L1 ⊂ W , entonces existe algun intervaloQ que corresponde a L.

Corolario 1.4 Si L es maximal en E, y Q corresponde a L, entonces

p(E∗) ∩ L = p(Q) ∩ L.

Lema 1.6 Si L es maximal en E, entonces existe una I−particionL(1), L(2)

de L tal que

L(1) < L(2), L(1) ⊂ P (D∗), L(2) ⊂ p(E∗),

y si Q corresponde a L, entonces L(2) = L ∩ p(Q).


Prueba. Sean L(2) = L ∩ p(E∗) y L(1) = L − L(2). Si L(2) = φ, el resultadoes inmediato. Si L(2) 6= φ entonces por lema (1.5) existe un intervalo Q quecorresponde a L y L(2) ⊆ L∩ p(Q), ası L(2) = L∩ p(Q) pues Q ⊆ E∗. Finalmente,como L < p(Q) y p(E∗) ∩ L ⊆ p(Q), entonces L(1) es intervalo y L(1) < L(2).

Corolario 1.5 Si L es maximal y L1 ⊂ W , entonces L(2) 6= φ.

Lema 1.7 Si L = [a, b] es maximal en E, L1 ⊂ W y b + 1 ∈ R, con R maximalen D, entonces L∗ definido por P (L∗) = L(2) ∪R(1) corresponde a L.

Prueba. Como L1 ⊂ W existe Q que corresponde a L, luego

p(L∗) ∩ L = L(2) = p(Q) ∩ L 6= φ,

por lo tanto, es suficiente probar que L∗ es maximal en E∗; para lo cual probaremosque p(L∗) es maximal en p(E∗).Si R(2) = φ, entonces (p(L))−1 * p(E), de no ser ası

φ 6= p(E∗) ∩R(2) ⊆ p(E∗) ∩ p(D∗),

lo cual es imposible. Si R(2) 6= φ la conclusion es inmediata. Por otro lado, sip−1(L∗) ⊆ p(E∗), entonces cL−1 ⊆ p(E∗). Esto es imposible, pues tendrıamos queL(2) ⊆ p(Q) y L(2) < p(Q).

Lema 1.8 Si L y Q se corresponden, no pueden ser ambos libres.

Prueba. Como las condiciones (1.3) y (1.4) son invariantes bajo transposicionessimultaneas de S con T y S∗ con T ∗, podemos suponer que n ∈ S.Sea S, T, S∗, T ∗ ∈ K tal que ∑

x∈Sx

es maxima en K.Supongamos que L = [a, b] ⊂ S y Q = [g, h] ⊂ S∗ son libres. Como L y Q secorresponden, entonces L < p(Q) luego

L(1) = L− p(Q) = [a, p(h)− 1] ⊂ p(T ∗)

yQ(1) = Q− p(L) = [g, p(b)− 1] ⊂ p(T )

de aquı se sigue que

[h+ 1, p(a)] ⊂ T ∗ y [b+ 1, p(g)] ⊂ T. (1.5)

Definamos

S = (S − L) ∪ L1, T = W − S, S∗ = (S∗ −Q) ∪Q−1 y T ∗ = W − S∗, (1.6)


entonces para

ε =

1, si p(g − 1) ∈ S

0, si p(g − 1) /∈ Sse tiene que ∣∣S, S∗∣∣− |S, S∗| = |L1, Q−1| − |L,Q|+ ε = ε.

Por otro lado, como b < p(g)∣∣T , T ∗∣∣− |T, T ∗| = |a, T ∗| − |b+ 1, T ∗| = p(a)− h

Similarmente, de (1.5) y del hecho de que h ≤ p(a)∣∣T , T ∗∣∣− ∣∣T , T ∗∣∣ =∣∣T , h∣∣− ∣∣T , g − 1

∣∣ = b− p(g) + ε

sumando estos resultados se tiene que∣∣T , T ∗∣∣− |T, T ∗| = |L| − |Q|+ ε.

De todo lo anterior, obtenemos que existe ε ≥ 0, tal que∣∣S, S∗∣∣+∣∣T , T ∗∣∣− µ(s, s∗) = |L| − |Q|+ 2ε.

Similarmente se prueba que si

S = (S − L) ∪ L−1, T = W − S, S∗ = (S∗ −Q) ∪Q1 y T ∗ = W − S∗, (1.7)

entonces existe η ≥ 0 tal que∣∣S, S∗∣∣+∣∣T , T ∗∣∣− µ(s, s∗) = |Q| − |L|+ 2η.

Por definicion de µ(s, s∗) se tiene que |L|− |Q|+2ε ≤ 0 y |Q|− |L|+2η ≤ 0, comoestas desigualdades no se cumplen, entonces

∣∣S, S∗∣∣+∣∣T , T ∗∣∣ = µ(s, s∗) es valido

para (1.6) y (1.7), lo que contradice el hecho de que∑

x∈S x obtiene su maximoen los conjuntos S, S∗, T, T ∗.

Lema 1.9 Si W = [0, N−(m+1)], entonces existen particiones U, V y U∗, V ∗de W tales que ||U |+ |U∗| − |W || ≤ d y Rm = f(U,U∗).

Prueba. Definamos U = Am ∩ Wm+1, V = Bm ∩ Wm+1, U∗ = B ∩ Wm+1 y

V ∗ = A ∩Wm+1, entoncesU , V

yU∗, V ∗

son particiones de Wm+1 tales que∣∣V ∩ V ∗∣∣ = |Bm ∩ A| ≤ d, y como

∣∣U ∪ U∗∣∣ =∣∣(V ∩ V ∗)c∣∣ ≥ |W | − d, entonces∣∣U ∣∣+

∣∣U∗∣∣ ≥ |W | − d.Similarmente

∣∣V ∣∣ +∣∣V ∗∣∣ ≥ |W | − d, pero

∣∣V ∣∣ = |W | −∣∣U ∣∣ y

∣∣V ∗∣∣ = |W | −∣∣U∗∣∣,

de donde tenemos que |W | −∣∣U ∣∣− ∣∣U∗∣∣ ≥ −d. Concluimos que∣∣∣∣U ∣∣+

∣∣U∗∣∣− |W |∣∣ ≤ d (1.8)


Ahora, sea ∆ =

(x, y) ∈ W 2m+1 : x ≤ y

, entonces(

U × U∗)∩ ∆ =

(x, y) ∈

(U × U∗

): x ≤ y,

=

(x, y) ∈ W 2

m+1 : x−m ∈ A, y ∈ B con x ≤ y

= (x′, y) ∈ A×B : x′ +m ≤ y

=⋃k≥m(x′, y) ∈ A×B : y − x′ = k =

⋃k≥m

D(k).

ası∣∣(U × U∗) ∩ ∆

∣∣ =∑k≥m

Γ(k), de igual forma∣∣(V × V ∗) ∩ ∆

∣∣ =∑

k≤−mΓ(k), esto

implica que ∣∣(U × U∗) ∩ ∆∣∣+∣∣(V × V ∗) ∩ ∆

∣∣ =∑|k|≥m

Γ(k) = Rm. (1.9)

Finalmente, definamos U = U−(m+1), V = V−(m+1), U∗ =

N − y : y ∈ U∗

, V ∗ =

N − y : y ∈ V ∗

y la traslacion h(x, y) := (x− (m+ 1), N − y), entonces h(U ×U∗) = U × U∗, h(V × V ∗) = V × V ∗ y h(∆) = ∆. De aquı vemos que de (1.8) y(1.9) se sigue el resultado.

Lema 1.10 Existen I−particiones1 F,G,H , F ∗, G∗, H∗, K∗ de W para lascuales |K∗| ≤ |H| ≤ |K∗| + |H∗| ≤ |K| + |H| ≤ |K∗| + |H∗| + |G∗| ≤ |W |,F ∗ < G∗ < H∗ < K∗, H < G < F ,

S = F ∪H,S∗ = F ∗ ∪H∗ (1.10)

y si H 6= φ, entonces F ∗ = φ.

Prueba. Sea F un intervalo maximal en S tal que n ∈ S, podemos escogerintervalos G,H que satisfagan H < G < F , G sea vacıo o maximal en T , H seavacıo o maximal en S, y si Γ = W − (F ∪G ∪H) 6= φ, entonces 0 ∈ Γ.Definamos los intervalos F ∗, G∗, H∗, K∗ por

p(F ∗) = F (2), p(G∗) = G(2) ∪ F (1), p(H∗) = H(2) ∪G(1), p(K∗) = H(1).

Entonces por el lema (1.6) se tiene que

F (2), G(1), H(2) ⊂ p(S∗) y F (1), G(2), H(1) ⊂ p(T ∗).

Probemos primero que Γ = φ. Si Γ 6= φ, entonces F,G,H 6= φ. Como H es libre,el lema (1.7) garantiza que H∗ corresponde a H, como G tambien es libre, dellema (1.6) corolario se sigue que G 6= φ, ası H∗ es libre, lo que contradice el lema(1.8).

1Diremos que I1, . . . , In es una I−particion de W si ademas de ser una particion de W ,I1, . . . , In son intervalos.


Lema 1.11 Si 0 ≤ s, s∗ ≤ n + 1, entonces existen I−particiones Φ,Ψ,Ω yΦ∗,Ψ∗,Ω∗ de W para las cuales |Ω∗| ≤ |Φ| ≤ |Ω∗| + |Φ| ≤ |Φ| + |Ψ| ≤ |W | yΦ < Ψ < Ω,Ψ∗ < Φ∗ < Ω∗, ademas, si definimos S, S∗ mediante

S = Φ ∪ Ω , S∗ = Φ∗ ; si Ω 6= Φ

S = Ψ , S∗ = Ψ∗ ∪ Ω∗ ; si Ω = Φ(1.11)

y T, T ∗ como W − S y W − S∗ respectivamente, entonces S, T, S∗, T ∗ ∈ K.

Prueba. Si F ∗ = φ, entonces en el lema anterior, sustituimos H,H∗,G,G∗,F yK∗ por Φ, Φ∗, Ψ, Ψ∗, Ω y Ω∗ respectivamente, entonces (1.10) implica (1.11) ylas otras partes del lema son inmediatas.Para H = φ (y por tanto K∗ = φ) sustituimos G,G∗,F, F ∗ H∗ por Φ, Φ∗, Ψ, Ψ∗ yΩ∗, si definimos Ω = φ se tienen las propiedades requeridas para Φ,Φ∗,Ψ y Ψ∗.

Como consecuencia inmediata del lema tenemos

Corolario 1.6

µ(s, s∗) = |X| |X∗|+ |Y | |Y ∗| − (1/2)[(|X| − |Z∗|)(|X| − |Z∗| − 1)

+(|X|+ |Y | − |X∗| − |Z∗|)(|X|+ |Y | − |X∗| − |Z∗| − 1)]

Ahora probemos que (1.1) implica (1.2); Consideremos la funcion P (u, u∗, v, v∗, ξ)definida como

u(x−u∗−v∗)+vv∗−(1/2)[(v−u∗)(v−u∗−ξ)+(u+v−u∗−v∗)(u+v−u∗−v∗−ξ)].

Lema 1.12 Existen u, u∗, v, v∗ ≥ 0 tales que para x = 1 − k/N, γ = d/N yξ = 1/N se tiene u∗ ≤ v ≤ u∗ + v∗ ≤ x, |u− v∗| ≤ γ y Rm ≤ P (u, u∗, v, v∗, ξ)N .

Prueba. Sean W = [0, N − (m + 1)] y M el maximo de f sobre las particionesU, V , U∗, V ∗ de W que satisfacen (1.8), entonces por el lema 1.9 se tiene que

Rm = f(U,U∗) ≤M .

Si S, T , S∗, T ∗ particiones de W tales que f(S, S∗) = M ; s = |S| , s∗ =∣∣S∗∣∣,

entonces M = µ(s, s∗), luego, por lema 1.11

|Φ|+ |Ω| = s, |Φ∗| = s∗ o |Ψ| = s |Ψ∗|+ |Ω∗| = s∗

y|Φ|+ |Ψ|+ |Ω| = |Φ∗|+ |Ψ∗|+ |Ω∗| = |W | .

Definamos u, u∗, v, v∗ por

|Ψ| = Nu, |Φ| = Nv, |Ω∗| = Nu∗ |Φ∗| = Nv∗.


entonces la primera condicion del lema se sigue del (lema 1.11).De (1.8), se tiene que |s+ s∗ −N + k| < d, luego, las dos ecuaciones anterioresimplican que |u− v∗| ≤ d

N= γ y por ultimo, el corolario anterior garantiza que

Rm ≤ P (u, u∗, v, v∗, ξ)N2 = M = µ(s, s∗).

Sea h(x, γ, ξ) el maximo de P (u, u∗, v, v∗, ξ), bajo las condiciones del lema anterior,entonces la funcion

ψ(ξ) = h(α, γ, ξ)− h(x, γ, 0)

satisface lımξ−→0

ψ(ξ) = 0 y ψ(ξ) ≥ 0. Se puede mostrar que

h(x, γ, 0) =

13x2 + 1

2γ2 si 0 ≤ γ ≤ 1

3x

12x2 + 1

4(x+ γ)2 si 1

3x ≤ γ ≤ x.

Si d ≥ N/3 entonces d > δN , pues δ < 1/3, y (1.2) es inmediata. Si d < N/3entonces definimos k = N − 3d. Ası x = 3γ y h(x, γ, 0) = 3, 5γ2.como Rm ≤ P (u, u∗, v, v∗, ξ)N , entonces Rk ≤ (3, 5γ2 + ψ(ξ))N2, sustituyendoesto en (1.1), obtenemos que

5γ2 − 4γ + 2 |A| |B| /N2 − 2ψ(ξ) < 0,

luego γ > 15

(2−

√4− 10 (|A| |B| /N2 − ψ(ξ))

), pero 5 |A| |B| < 2N2 y ψ(ξ) ≥ 0,

esto prueba la ecuacion (1.2), lo que completa la demostracion.

1.4. Cota inferior de Moser 17

1.4. Cota inferior de Moser

Moser presenta el metodo con el cual se obtiene la mejor cota inferior conocidahasta el momento, esto lo hace en el artıculo llamado “On the minimal over-lap problem of Erdos” ver [6], publicado en el ano 1959, donde usa argumentoscombinatorios relativamente sencillos para mostrar el siguiente resultado:

Teorema 1.5 Para cada n ∈ N

M(n) >√

2(n− 1)/4 > 0,3525(n− 1).

Prueba. Sea A ∈ Pn, con A = a1, . . . , an y B = b1, . . . , bn. La idea de Moserse basa en estimar

R =∑k

(k − µ)2Γ(k),

donde µ lo toma como un parametro que permita minimizar la suma2.

Sean α =n∑i=1

ai, β =n∑i=1

bi y δ = n(β − α) notemos que

∑k

kΓ(k) =∑i,j

(bi − aj) = n(∑i

bi −∑j

aj) = δ,

mientras que ∑k

k2Γ(k) =∑i,j

(bi − aj)2

=∑i,j

(b2i − 2biaj + a2

j)

= n(∑i

b2i +

∑j

a2j)− 2

∑i,j

biaj

= n2n∑t=1

t2 − 2βα.

=1

3n2 + 2n3 +

8

3n4 − 2βα

2Recuerde que la varianza de un conjunto de datos con media x es

S2 =1n

n∑i=1

(xi − x)2 .


De donde tenemos que

R =∑k

(k − µ)2Γ(k) =∑k

(k2 − 2µk + µ2)Γ(k)

=∑k

k2Γ(k)− 2µ∑k

kΓ(k) +∑i,j

µ2

=1

3n2 + 2n3 +

8

3n4 − 2αβ − 2µδ + n2µ2,

pero2βα = 1/2

[(α + β)2 − (β − α)2

],

por lo que

R =1

3n2 + 2n3 +

8

3n4 − 1/2 [(α + β)2 − (β − α)2]− 2µδ + n2µ2

=1

3n2 + 2n3 +

8

3n4 − 1/2

[(2n∑t=1

t

)2

−(δ

n

)2]− 2µδ + n2µ2

=2

3n4 − 1

6n2 +

δ2

2n2− 2µδ + n2µ2.

En particular, la funcion

f(µ) = −1

6n2 +

δ2

2n2− 2µδ + n2µ2

alcanza su valor mınimo de −1

6n2 − δ2

2n2en el punto µ = δ/n, luego, tomando

µ = δ/n tenemos que

R =∑k

(k − δ/n)2Γ(k) ≥ 2

3n4 − 1

6n2 − δ2

2n2>

2

3n4. (1.12)

Por otro lado, en la suma R, incluyendo repeticiones hay |B − A| = n2 terminos,estos difieren por enteros, ninguno se repite mas de m veces y los mınimos valoresque pueden tomar estos sumandos son 2m veces 02, 12, . . . , r2, para algun enteror tal que 2mr ≤ n2 < 2m(r + 1), o equivalentemente

r + 1 > n2/2m > r,

de aquı se sigue que

R > 2mr∑s=0

s2 = mr(r + 1)(2r + 1)/3

> m(n2/2m− 1)(n2/2m)(n2/m− 1)/3.


Luego, por (1.12)

m(n2/2m− 1)(n2/2m)(n2/m− 1)/3 < R < 2n4/3,

ası (n2/2m− 1)(n2/m− 1) < 2n2, de donde

(n− 1)2 < (n− 2m/n)(n−m/n) < 8m2,

y por lo tantoM(n) > (n− 1)/2

√2. (1.13)

Para mejorar esta cota, con una idea similar a la que usamos en la prueba de lacota de Scherk, notemos que Moser acota inferiormente a R por la suma

2mr∑s=0

s2,

sinembargo, sabemos que los terminos

bn − a1, bn − a2, . . . , bn − ak,

al igual queb1 − an, b1 − an−1, . . . , b1 − an−k

tienen a lo mas 1, 2, . . . , k representaciones respectivamente, por lo que tenemosque para cada t (al menos hasta t = m− 1)

R ≥ 2mr∑i=0

i2 + 2t∑i=1

(t− i) (r + i)2.

Pero esta es una de las ideas en las que trabajamos en estos momentos.

Capıtulo 2

Cotas superiores

Aquı, de forma similar al capıtulo anterior se hara una exposicion de los prin-cipales metodos usados para calcular algunas de las cotas superiores que se hanencontrado hasta el momento.

2.1. Cotas superiores de Motzkin, Ralston y Sel-

fridge

Motzkin, Ralston y Selfridge, usaron programas computacionales para probar que

lım supM(n)/n < 2/5,

esto lo hicieron combinando un ejemplo y una propiedad importante de la funcionM(n), el resultado fue publicado en el artıculo llamado “Superposicion mınimabajo traslacion”, publicado en 1958, ver [8], y aunque el argumento es sencillo,este resultado fue la mejor cota superior conocida hasta el ano 1996.

Para mostrar de forma sencilla la idea planteada por los autores, consideremos elconjunto

A = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 17, 19, 24, 25, 27, 28, 29, 30 ∈ P15

se puede mostrar facilmente que Γ(A) = 6 y por lo tanto M(15) ≤ 6. Sea q ∈ N,por el lema (0.1) se tiene que M(15q) ≤ Γ(A) ≤ 6q y por lo tanto

M(15q)/15q ≤ 2/5 ∀q ∈ N,

lo que implica el resultado.

20

2.2. Cota superior de Haugland 21

2.2. Cota superior de Haugland

Aquı se probara primero que M(n) < 0, 38200299n, esta cota fue dada por JanKristian Haugland en el artıculo “Advances in the minimum overlap problem” ver[5] publicado en 1996, y fue la mejor cota superior conocida hasta el 2009, cuandoel mismo Haugland la mejoro, mostrando que M(n) < 0,381097n.

Lema 2.1 Si M(n) ≤ tn, para algun n ∈ N y t ∈ R, entonces

lım supM(n)/n ≤ t.

Prueba. Si A ∈ Pn realiza1 a M(n), entonces por el corolario (1) se tiene que

M(nq) ≤ Γ(A) ≤ qΓ(A) = qM(n) ≤ t(qn) ∀q ∈ N.

Por otro lado, M(n+ 1) ≤ Γ(A∪2n+ 1) ≤M(n) + 1, inductivamente se puedemostrar que si r ∈ 0, 1, . . . , q − 1, entonces

M(nq + r) ≤M(nq) + r ≤ qM(n) + r ≤ (q + 1)M(n),

esto significa que la funcion M(n) no crece mucho en los intervalos intermedios[qn+ 1, q(n+ 1)− 1], lo que completa la prueba.

Como consecuencia tenemos los siguientes resultados.

Corolario 2.1 lımM(n)/n existe.

Corolario 2.2 El −1 en la cota inferior (1.13) dada por Moser puede ser omitido.

Prueba. Notemos que

M(n) > α(n− 1); ∀n ∈ N

⇐⇒ lımn→∞

M(n)

n− 1≥ α

⇐⇒ lımn→∞

M(n)

n≥ α

⇐⇒M(n) ≥ αn; ∀n ∈ N.

Consideremos una funcion f : [0, 2] −→ 0, 1 tal que∫ 2

0

f(x)dx = 1,

1Es decir, satisface la condicion optima Γ (A) = M (n) .


definimos A := x ∈ [0, 2] : f(x) = 0 y B := x ∈ [0, 2] : f(x) = 1, entoncespara cada x ∈ [0, 2] tenemos que f(x) = 1B(x) y 1− f(x) = 1A(x) (las funcionescaracterısticas de A y B respectivamente). Es facil ver que

m(A) :=

∫[0,2]

1A(x)dx =

∫[0,2]

(1− f(x)) dx = 1

y

m(B ∩ Ak) :=

∫[0,2]

1B∩Ak(x)dx =

∫x,x+k∈[0,2]

f(x) (1− f(x+ k)) dx,

ası f determina una particion A,B = A(f), B(f) de [0, 2] tal que

m(A) = m(B) = 1,

y las expresiones equivalentes a ΓA(k),Γ(A) y lımM(n)/n son

In(f, k) :=

∫x,x+k∈[0,2]

f(x)(1− f(x+ k))dx

In(f) := maxkIn(f, k) e I(n) := ınf

fI(f)

respectivamente.

El teorema principal de este artıculo esta basado en el siguiente resultado.

Lema 2.2 Sea n ∈ N, si f : [0, 2] −→ [0, 1] es una funcion escalonada, con valorconstante αr en cada A−intervalo

Ar = (2(r − 1)/n, 2r/n), r ∈ 1, . . . , n

y m(A (f)) = 1, entonces existe una funcion escalonada g(x) : [0, 2] −→ 0, 1,tal que m(A (g)) = 1 y ∀k ∈ (−2, 2),

I(g, k) < I(f, k) + ε, ∀ε > 0.

Prueba. Dividimos el intervalo (0, 2) en los A−intervalos Ar donde f es cons-tante y tomamos enteros suficientemente grandes R1, R2, R3,M1 (luego veremoslas condiciones sobre ellos).Cada A−intervalo se divide en R1 B−intervalos Bs de igual longitud, el primerB−intervalo B1 es cubierto por C−intervalos Cm con puntos extremos racionales,m ≥M1 y

1/m logm < |Cm| < 2/m logm.

Sea N1 el menor entero tal que los C−intervalos Cm con M1 ≤ m < N1 seansuficientes2 para cubrir a B1, como log log(2nR2−1)− log log(n−1) tiende a cerocuando n crece, podemos escoger M2 ≥ N1 tal que

2 log log(2R2M2 − 1)− 2 log log(M2 − 1) < 1/(R2R3N1 logN1).

2Es suficiente un numero finito de C−intervalos, pues∑

1/m logm diverge.


Cubrimos el intervalo B2 con C−intervalos Cm, con M2 ≤ m < N2 donde N2 sedetermina de forma similar a la anterior.Repitiendo el proceso con cadaB−intervalo, obtenemos conjuntos M1, . . . ,MnR1y N1, . . . , NnR1 tales que para j ∈ 2, . . . , nR1 ,

2 log log(2R2Mj − 1)− 2 log log(Mj − 1) < 1/(R2R3Nj−1 logNj−1).

Ahora, descomponemos cada C−intervalo en R2 D−intervalos de igual longitud ycada D−intervalo en Ar se divide en dos subintervalos E0 y E1, con |E1| = αr |D|y |E0| = (1− αr) |D|. Definimos

g(x) =

1; si x ∈ E1

0; si x ∈ E0.

Entonces g(x) : [0, 2] −→ 0, 1 es una funcion tal que∫D

g(x)dx = αr |D| ,

de aquı que∫Arg(x)dx = αr |Ar| =

∫Arf(x)dx, y por lo tanto

m(A (g)) = m(A (f)) = 1.

Ahora, sean k, ε dados, mostremos que I(g, k) < I(f, k) + ε.Supongamos primero que k es positivo.Sea s0 el mayor3 valor de s tal que

R3k < 1/R2Ns logNs

definimos

J1 =

s0⋃i=1

Bi, J2 = Bs0+1 y J3 =

nR1⋃i=s0+2

Bi,

de aquı tenemos las siguientes condiciones:i) |J2| = |Bs0+1| = 2/nR1.ii) Cualquier D−intervalo en J1 tiene una longitud de al menos R3k, puesto quesi Cm ⊆ D ⊆ J1, entonces m ≤ Ns0 , de donde se sigue que

|D| = |Cm| /R2 ≥ 1/R2m logm ≥ 1/R2Ns0 logNs0 ≥ R3k.

iii) Si x ∈ J3 y x + k ≤ 2 entonces el D−intervalo que contiene a x tiene mayorlongitud que el C−intervalo que contiene a x+ k.Para probar esto, observemos que

log logm− log log(m− 1) =∫ mm−1

dx

x log x>

1

m logm>∫ m+1

m

dx

x log x

= log log(m+ 1)− log logm

3Si no sucede para ningun valor de s, hacemos el mismo analisis con J1 = φ, J2 = B2.


luego, siguiendo un proceso inductivo se tiene que si N > M , entonces

log logM − log log(M − 1) > log log(N + 1)− log logN,

asılog logN − log log(M − 1) > log log(N + 1)− log logM.

Por otro lado, sean m0,m1 ∈ N tales que x ∈ D ⊆ Cm0 y x+ k ∈ Cm1 . Queremosprobar que |Cm1| ≤ |D|. Notemos que si m1 ≥ 2R2m0, entonces 2/m1 ≤ 1/R2m0,esto implica que

|Cm1| < 2/m1 logm1 ≤ 1/R2m0 logm0 < |Cm0| /R2 = |D| ,

por lo tanto, es suficiente mostrar que m1 ≥ 2R2m0.En efecto, como x ∈ Cm0 y x+ k ∈ Cm1 , entonces

k ≤m1∑

m=m0

|Cm| ≤m1∑

m=m0

2/m logm,

esta suma decrece cuando m0 crece y como x ∈ Cm0 ⊆ J3 =⋃

i≥s0+2

Bi, entonces

m0 ≥Ms0+2, luego, si m1 ≤ 2R2m0 − 1 entonces

k <2R2m0−1∑m=m0

2/m logm

≤2R2Ms0+2−1∑m=Ms0+2

2/m logm

≤ 22R2Ms0+2−1∑m=Ms0+2

(log logm− log log (m− 1))

≤ 2 log log(2R2Ms0+2 − 1)− 2 log log(Ms0+2 − 1)

y por la condicion requerida para la construccion del conjunto M1, . . . ,MnR1tendrıamos que

k < 1/R2R3Ns0+1 logNs0+1 ,

de donde R3k < 1/R2Ns0+1 logNs0+1 , esto contradice la eleccion de s0, lo queprueba.(iii).Finalmente tenemos:El integrando en I(g, k) es menor o igual que 1, y por (i) la contribucion de J2 esa lo mas 2/nR1, si tomamos R1 > 8/nε, este aporte sera a lo mas ε/4.Si x esta en algun D−intervalo dado de J1, entonces por la construccion se tieneque g(x) = g(x + k) en un par de subintervalos de longitud k cada uno, y como


g solo toma valores en el conjunto 0, 1, el integrando g(x)(1 − g(x + k)) enI(g, k) se anula; de aquı que la contribucion de un D−intervalo de J1 a I(g, k) esa lo sumo 2k, pero por (ii), en J1 hay a lo mas 2/R3k D−intervalos, entonces lacontribucion total de J1 a I(g, k) es a lo mas 4/R3, y si tomamos R3 > 16/ε, estasera maximo ε/4.Existen maximo n B−intervalos Bs tales que x ∈ Bs no determina el valor de rpara el cual x + k ∈ Ar, y su contribucion a I(g, k) es a lo mas la suma de suslongitudes, es decir, 2/R1, y si tomamos R1 > 8/ε; sera maximo de ε/4.Por (iii), podemos escoger un D−intervalo D0 en J3 tal que x ∈ D0 determine elvalor de r para el cual x+ k ∈ Ar, entonces, la contribucion de D0 a I(f, k) es∣∣D0

∣∣ f(D0)(1− αr).

Sean E0, E1 los subintervalos deD0 donde g toma los valores 0 y 1 respectivamente,como x recorre todo E0 (o todo E1), x+k recorre completamente un D−intervaloD, por (iii) |D| ≤ |D0| /R2 y como el valor promedio de g sobre un D−intervalocompleto dentro de Ar es αr, la contribucion de E1 a I(g, k) difiere de

|E1| (1− αr) =∣∣D0∣∣ f(D0)(1− αr)

a lo mas por 2 |D0| /R2. Ası, la contribucion de todos estos D0′s a I(g, k)−I(f, k)esta absolutamente acotada por

2∑∣∣D0

∣∣ /R2 ≤ 4/R2;

y si tomamos R2 > 8/ε esta contribucion sera a lo mas ε/4.De todo lo anterior, se tiene que I(g, k)− I(f, k) < ε, como se querıa de mostrarPara k negativo se considera

I(g,− |k|) = I((1− g), |k|) < I((1− f), |k|) + ε = I(f,− |k|) + ε.

Como consecuencia inmediata tenemos el siguiente resultado

Teorema 2.1 El valor In(f) no cambia si se reemplaza la condicion de que fsolo tome valores en 0, 1 por la condicion de que tome valores en [0, 1].

Para obtener un bajo valor α(f) de In(f) tenemos en cuenta que si f es un funcionescalonada, definida en n tramos, cada uno de longitud 2/n, la grafica de I(f, k)como una funcion de k, es un conjunto de lıneas rectas con extremos en los puntosdonde k es multiplo de 2/n. Luego, el valor de In(f) es el maximo valor de I(f, k)tomado sobre un numero finito de valores de k.


Usando programas computacionales, se hallaron las siguientes funciones para losvalores de n dados.n = 1 tenemos la funcion

f(x) =1

21 ≤ x ≤ 2,

y α(f) = 0,5.Para n = 2 se tiene

f(x) =

1/3, 0 ≤ x < 12/3, 1 ≤ x ≤ 2

con α(f) = 4/9 < 0,45.Para n = 3 se tiene

f(x) =

19/40, 0 ≤ x < 2/311/20, 1/2 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2

con α(f) = 2/5 = 0,4.Para n = 4 se tiene

f(x) =

9/20, 0 ≤ x < 1/211/20, 1/2 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2

con α(f) = 2/5 = 0,4.Para n = 5 se tiene

f(x) =

27/112 0 ≤ x < 2/547/84, 2/5 ≤ x < 4/523/28 4/5 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2

con α(f) < 0,3918.Para n = 6 se tiene

f(x) =

5/12, 0 ≤ x < 1/31/2 1/3 ≤ x < 2/37/12 2/3 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2

con α(f) = 7/18 < 0,3888.Para n = 7 se tiene

f(x) =

0,10507 0 ≤ x < 2/70,50351 2/7 ≤ x < 4/70,66819 4/7 ≤ x < 6/70,94642 6/7 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2



f(x) =

0,08964 0 ≤ x < 1/40,46363 1/4 ≤ x < 2/40,60861 2/4 ≤ x < 3/40,83810 3/4 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2


f(x) =

0,004837 0 ≤ x < 2/90,459493 2/9 ≤ x < 4/90,579753 4/9 ≤ x < 6/90,723007 6/9 ≤ x < 8/90,965816 8/9 < x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2


f(x) =

0 0 ≤ x < 1/50,42784 1/5 ≤ x < 2/50,53782 2/5 ≤ x < 3/50,66335 3/5 ≤ x < 4/50,87096 4/5 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2


f(x) =

0 0 ≤ x < 2/110,409271 2/11 ≤ x < 4/110,489497 4/11 ≤ x < 6/110,591950 6/11 ≤ x < 8/110,766138 8/11 ≤ x < 10/110,986285 10/11 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2



f(x) =

0 0 ≤ x < 2/150,09938 2/15 ≤ x < 4/150,64299 4/15 ≤ x < 6/150,36104 6/11 ≤ x < 8/150,69536 8/11 ≤ x < 10/150,59241 10/15 ≤ x < 12/150,89573 12/15 ≤ x < 14/150,92611 14/15 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2


f(x) =

0 0 ≤ x < 2/170,028007 2/17 ≤ x < 4/170,631255 4/17 ≤ x < 6/170,332085 6/17 ≤ x < 8/170,646927 8/17 ≤ x < 10/170,539624 10/17 ≤ x < 12/170,771627 12/17 ≤ x < 14/170,827417 14/17 ≤ x < 16/170,946108 16/17 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2

con α(f) < 0,38143098..Para n = 19 se tiene

f(x) =

0 0 ≤ x < 4/190,348795 4/19 ≤ x < 6/190,742684 6/19 ≤ x < 6/190,207655 8/19 ≤ x < 10/190,780222 10/19 ≤ x < 12/190,568104 12/19x < 14/190,689049 14/19 ≤ x < 16/190,967251 16/19 ≤ x < 18/190,892476 18/19 ≤ x < 1f(2− x), 1 ≤ x ≤ 2


con α(f) < 0,38111226. En mayo de 2010.Para n = 21 se tiene la funcion

f(x) =

0, 0 < x < 4/210,431276 . . . , 4/21 < x < 6/210,428443 . . . , 6/21 < x < 8/210,472576 . . . , 8/21 < x < 10/210,548516 . . . , 10/21 < x < 12/210,540487 . . . , 12/21 < x < 14/210,706641 . . . , 14/21 < x < 16/210,685793 . . . , 16/21 < x < 18/210,958512 . . . , 18/21 < x < 20/210,955503 . . . , 20/21 < x < 22/21f(2− x) 22/21 < x < 2

con α(f) < 0,3820029881 . . .Esta es la funcion que Haugland presenta en su artıculo.Para n = 34 se tiene

f(x) =

0, 0 ≤ x < 3/170,093054 3/17 ≤ x < 4/170,543464 4/17 ≤ x < 5/170,872175 5/17 ≤ x < 6/170,034731 6/17 ≤ x < 7/170,512336 7/17 ≤ x < 8/170,559978, 8/17 ≤ x < 8/170,660534 9/17 ≤ x < 10/170,512239 10/17 ≤ x < 11/170,501380 11/17 ≤ x < 12/170,822731 12/17 ≤ x < 13/170,711785 13/17 ≤ x < 14/170,819836 14/17 ≤ x < 15/170,877670 15/17 ≤ x < 16/170,978079 16/17 ≤ x < 1f(2− x) 22/21 < x < 2



f(x) =

0, 0 ≤ x < 5/260,0939055409 5/26 ≤ x < 6/260,4183670276 6/26 ≤ x < 7/260,8737828276 7/26 ≤ x < 8/260,5932588813 8/26 ≤ x < 9/260,4392084241 9/26 ≤ x < 10/260,3778824753 10/26 ≤ x < 11/260,5182593767 11/26 ≤ x < 12/260,5854237837 12/26 ≤ x < 13/260,6500154024 13/26 ≤ x < 14/260,4950194563 14/26 ≤ x < 15/260,7545166468 15/26 ≤ x < 16/260,4411172791 16/26 ≤ x < 17/260,3722882891 17/26 ≤ x < 18/260,9297779185 18/26 ≤ x < 19/260,6595448650 19/26 ≤ x < 20/260,7603074629 20/26 ≤ x < 21/260,7801019058 21/26 ≤ x < 22/260,8041927591 22/26 ≤ x < 23/260,8966122096 23/26 ≤ x < 24/260,9040623054 24/26 ≤ x < 25/260,9924495207 25/26 ≤ x < 1

f(x) = f(2− x) 1 ≤ x ≤ 2.

α(f) < 0,3810964913311364, en agosto de 2009

De esta ultima funcion tenemos que

Teorema 2.2 lımM(n)/n < 0,3810964913311364

Capıtulo 3

Algunas generalizaciones

Despues de los trabajos realizados por Erdos, Scherk, Swierczkowski, Moser, entreotros se conoce que

µl := lım ınfM(n)

n≥√

4−√

15 > 0,35639.

Por otro lado, con ejemplos especıficos T. Motzkin, K. Ralston y L. Selgidfremostraron que

µR := lım supM(n)

n≤ 2

5= 0,4.

Luego, con el reciente trabajo de Haugland se conoce que µ = lımn→∞

M(n)/n existe,

por lo tanto µl = µR = µ, donde

0,35639 < µ < 0,3810965.

Por otro lado, Mycielski y Swierczkowki estudiaron un problema de tipo continuoanalogo al planteado por Erdos, ellos consideran conjuntos disjuntos complemen-tarios y lebesgue medibles X, Y ⊂ [a, b] con igual medida m(X) = m(Y ), ymuestran que si Xt = x+ t : x ∈ X, entonces

ınfX,Y

supt|Xt ∩ Y | =

µ

2,

Moser y Murdeshwar estudiaron la siguiente generalizacion del problema. Seanf, g : [0, 1]→ [0, 1] funciones lebesgue integrables en R tales que∫ 1

0

f(x)dx =

∫ 1

0

g(x)dx =1

2.

(con esta notacion, el caso anterior se reduce a tomar f, g como las funcionescaracterısticas de X, Y respectivamente). Si definimos

λ = ınff,g

supt

∫ 1

0

f(x+ t)g(x)dx,

31

ALGUNAS OBSERVACIONES 32

se puede mostrar que 0,136 ≤ λ ≤ 0,166.

Czipszer considera el siguiente problema. Sean a1 < a2 < · · · < an enterosarbitrarios, para cada entero k, se denota Ak = aj + k : 1 ≤ j ≤ n y

ΓA(k) =∣∣∣Ak − A0

∣∣∣ . Luego define

M(n) = mınA

max−n≤k≤n

ΓA(k).

y µl, µR de manera similar a la anterior. Se mostro que 1/2 ≤ M(n)/n ≤ 2/3,luego que 3/5 ≤ M(n)/n para n ≥ 26, y conjeturo que µl = µR = 2/3.

Finch considera la correspondiente version funcional del problema de Czipszer.Sea f : R→ [0, 1] una funcion Lebesgue integrable en R tal que∫ ∞

−∞f(x)dx = 1,

definimos

λ = ınff

1− ınf

−1≤t≤1

∫ ∞−∞

f(x+ t)f(x)dx

,

Se sabe que 0,5892 ≤ λ ≤ 2/3, y como un corolario se tiene que si X es unsubconjunto lebesgue medible de R con m(X) = 1, entonces

0, 5892 ≤ ınfX

sup−1≤t≤1

m(Xt − X) ≤ 2/3.

En este capıtulo hacemos una revision rapida de algunos de estos problemas, comolos planteadas en [9],[10] y [7].


3.1. Cota inferior de Swierczkowski

Swierczkowski hace una generalizacion del problema al caso continuo, consideraconjuntos lebesgue medibles complementarios X, Y ⊂ I = [a, b] de igual medidam(X) = m(Y ), y prueba que

m (Xt ∩ Y ) ≥ 1−√

1−m(X)m(Y ), (3.1)

para algun t ∈ R.

Este resultado fue presentado en 1958 en el artıculo “On the intersection of alinear set with the translation of its complement”, ya estudiamos una parte en laseccion (1.3). Aquı presentamos la prueba de (3.1).

Teorema 3.1 Existe un real t tal que

m (Xt ∩ Y ) ≥ (mI/5)(

2−√

4− 10m(X)m(Y )/[m(I)]2)

. (3.2)

Prueba. Como (3.2) es invariante bajo transformaciones afines, el resultado seprobara para I = (0, 1).Sea ε > 0, tomamos N ∈ N tal que X sea cubierto por la union X∗ de intervalosQk = ((k − 1)/N, k/N) tales que m(X∆X∗)1 < ε, entonces para Y ∗ = I −X∗ setiene que m(Y∆Y ∗) = m(X∆X∗) < ε.Como para cada t m(Xt∆X

∗t ) < ε y (Xt ∩ Y )∆(X∗t ∩ Y ∗) ⊂ (Xt∆X

∗t )∪ (Y∆Y ∗),

entonces

|m(Xt ∩ Y )−m(X∗t ∩ Y ∗)| ≤ m(Xt∆X∗t ) +m(Y∆Y ∗) < 2ε (3.3)

Sean A = k : Qk ⊂ X∗ y B = k : Qk ⊂ Y ∗, entonces |A| = m(X∗)N , pues

m(X∗) = m

|A|⋃k=1

Qk

=

|A|∑k=1

m(Qk) = |A| /N.

De forma similar se prueba que |B| = m(Y ∗)N y |An ∩B| = m(X∗n/N ∩ Y ∗)N .Luego, por hipotesis

m (X∗t ∩ Y ∗) ≥ (1/5)(

2−√

4− 10m(X∗)m(Y ∗))

; t = n/N. (3.4)

De (3.3) y (3.4) tenemos que suptm(Xt ∩ Y ) ≥ (1/5)

(2−

√4− 10m(X)m(Y )

),

de donde se sigue el resultado.

Como consecuencia inmediata tenemos el siguiente resultado

Corolario 3.1 Si X, Y son conjuntos complementarios, entonces existe t

m (Xt ∩ Y ) ≥ 1−√

1−m(X)m(Y ).

1Recuerde que A4B denota la diferencia simetica de los conjuntos A y B.

3.2. Un problema de J. Czipszer 34

3.2. Un problema de J. Czipszer

Sea A0 = a1, a2, . . . , an ⊂ Z, con a1 < a2 < · · · < an dado un entero k 6= 0, de-notamos por Γ(k) el numero de elementos en Ac0∩Ak, donde Ac0 es el complementode A0 en Z, el problema en esta seccion es estimar

M := mınA0

max0<|k|≤n

Γ(k).

M. Czipszer probo quen/2 ≤M ≤ 2n/3,

y conjeturo que M = 2n/3.

En el artıculo “A problem of J. Czipszer’s”, publicado en 1970, por M. Katz yF. Schnitzer ver [9], el autor presenta dos metodos, el primero esta basado en lainterpretacion probabilıstica del problema, mientras que el segundo es solo un pro-ceso de conteo, en este trabajo estudiaremos el primer metodo, pues consideramosque presenta una tecnica muy interesante para abordarlo.

Sean k ∈ [−n, n] y

fk(x) =

1 si x ∈ Ak0 si x /∈ Ak,

la funcion caracterıstica de Ak, entonces el numero de elementos en A0 ∩ Ak es

d =∑j

f0(j)fk(j) =∑j

f0(j)f0(j − k) =∑j

f0(j + k)f0(j),

de aquı se sigue que el cardinal de Ac0 ∩ Ak es Γ(k) = |A0| − d, es decir,

Γ(k) = n−∑j

f0(j + k)f0(j)

luego, para que Γ(k) sea maximo, debemos minimizar∑j

f0(j + k)fk(j), ası, el

problema consiste en estimar

M := maxA0

mın0<|k|≤n

∑j

f0(j + k)f0(j).

La idea planteada por los autores fue la siguiente. Consideremos dos variablesaleatorias independientes X, Y tomando valores en A0 con igual probabilidad

P (X = j) = P (Y = j) =f0(j)

n.


Sea Z = X − Y, entonces

P (Z = k) =1

n2

∑j

fk(j)f0(j) =1

n2

∑j

f0(j + k)f0(j),

Por lo tanto, debemos obtener una cota superior para m := mın0<|k|≤n

P (Z = k).

Supongamos que Z es una variable aleatoria simetrica con rango

D∗ = aj − ai, i, j ∈ 1, . . . , n,

entoncesP (Z = 0) = P (X = Y ) = 1/n

y

P (Z = ±k) =

Γ(k)/n2 si k ∈ D∗

0 si k /∈ D∗.Por la simetrıa de Z y el hecho de que Γ(0) no es mınima, basta considerar soloel conjunto con posibles repeticiones

D = kij = aj − ai, j > i ⊂ D∗,

el problema ahora se reduce a encontrar k ≤ n en D con la menor probabilidadm.

m ≤ P (0 < Z ≤ n)

n; .

Una generalizacion del teorema de MarKov garantiza que si g es una funcion nonegativa, par y no decreciente en [0,∞), entonces para a ≥ 0 y cualquier variablealeatoria Z tenemos que

Eg(Z) − g(a)

sup g(Z)≤ P (|Z| ≥ a) ≤ Eg(Z)

g(a), (3.5)

donde EW es el valor esperado o esperanza de la variable aleatoria W.

Tomando g(z) = |z| y a = n+ 1 tenemos que

E|Z| − (n+ 1)

max |Z|≤ P (|Z| ≥ n+ 1) ≤ E|Z|

n+ 1, (3.6)

pero por la simetrıa de Z

P (|Z| ≥ n+ 1) = 1− P (|Z| ≤ n) = 1− P (Z = 0)− 2P (0 < Z ≤ n)

como P (Z = 0) = 1/n, entonces reemplazando en [3.6] obtenemos

E|Z| − (n+ 1)

max |Z|≤ n− 1

n− 2P (0 < Z ≤ n) ≤ E|Z|

n+ 1,


asın− 1

2n− E|Z|

2(n+ 1)≤ P (0 < Z ≤ n) ≤ n− 1

2n− E|Z| − (n+ 1)

2(an − a1),

Como A0 es cualquier subconjunto de Z con cardinalidad n, el resultado es invari-ante bajo traslaciones, por lo que se puede suponer que a1 = 0, de aquı que

m ≤ P (0 < Z ≤ n)

n≤ n− 1

2n2− 1

2nan(E|Z| − (n+ 1)), (3.7)

pero la variable aleatoria Z toma cada uno de los valores ±1,±2, . . . ,±n a lo masm veces, ası que |Z| toma los valores 1, 2, . . . , n a lo mas 2m veces y el numerototal de elementos en D, incluyendo repeticiones es n2, luego, cada uno de losrestantes n2 − n − 2mn valores de |Z| se repite a lo mas 1 vez, de aquı se sigueque

E|Z| =∑j

jP (Z = j)

≥ 1

n2

[(n2 − n− 2mn) + 2m

n∑j=1

j

]y ası

E|Z| ≥ 1

n(n− 1) (m+ 1). (3.8)

De las ecuaciones [3.7] y [3.8] tenemos que

m ≤ n− 1

2n2− 1

2nan

[1

n(n− 1) (m+ 1)− (n+ 1)

]

≤ n− 1

2n2− 1

2nan

[1

n(n− 1)− (n+ 1)

]

=n− 1

2n2+

1

2nan

[1

n+ n

]

=n− 1

2n2+

1

2n2an+

1

2an,

luego

m ≤ ınfan

(n− 1

2n2+

1

2an+

1

2n2an

)=n− 1

2n2,

y esto prueba que

M ≥ n+ 1

2.

3.3. L. Moser y M.G. Murdeshwar 37

3.3. L. Moser y M.G. Murdeshwar

En la seccion anterior se estudio un problema planteado por M. Czipszer. En estaseccion consideramos una generalizacion de este problema a funciones de valoresreales presentada en el artıculo “On the overlap of a function with its translates”publicado en 1965 por L. Moser y M. Murdeshwar, ver [7] el planteamiento es elsiguiente.

Sea Φ la clase de todas las funciones ϕ de valores reales tales que

ϕ ∈ L(−∞,∞), 0 ≤ ϕ ≤ 1 y

∫ ∞−∞

ϕ(x)dx = 1.

DefinimosM(t) = M(ϕ; t) =

∫∞−∞ ϕ(x)ϕ(x+ t)dx

m = m(ϕ) = ınf |t|≤1 M(t),

µ = ınfΦ1−m.El problema ahora es estimar µ.

En este artıculo se prueba que

µ ≥ 0, 5892.

Presentamos la prueba sin modificaciones importantes a la forma como se presen-tan las ideas en el artıculo.

Teorema 3.2 M(t) es una funcion continua, por lo tanto integrable, ademas∫ ∞−∞

M(t)dt = 1. (3.9)

Prueba. |M(t+ h)−M(t)| ≤∫∞−∞ |ϕ(x+ t+ h)− ϕ(x+ t)| dx, y como esta in-

tegral tiende a cero cuando h→ 0, entonces la funcion M es continua.Para probar la otra condicion, notemos que 0 ≤ M(t) ≤ 1, luego, por (3.9) setiene que ∫ 1

−1

M(t)dt ≤ 1,

ası m ≤ 1/2, es decir, µ ≥ 1/2.

Teorema 3.3 0, 5892 ≤ µ ≤ 2/3.

3.3. L. Moser y M.G. Murdeshwar 38

Prueba. Esta prueba es una adaptacion del metodo usado por A. Renyi en unproblema de diferencia de conjuntos, ver [11].Usando la identidad∫ ∞

−∞M(t) cos θtdt =

(∫ ∞−∞

ϕ(x) cos θxdx

)2

+

(∫ ∞−∞

ϕ(x)senθxdx

)2

se tiene que para todo θ ∫ ∞−∞

M(t) cos θtdt ≥ 0. (3.10)

Definimos

δ(t) =

M(t)−m; t ∈ [−1, 1].

M(t); t /∈ [−1, 1].

entonces δ(t) ≥ 0 para todo t y∫ ∞−∞

M(t) cos tdt = m

∫ 1

−1

cos θtdt+

∫ ∞−∞

δ(t) cos θtdt. (3.11)

Sustituyendo θ = 0 tenemos que∫ ∞−∞

δ(t)dt = 1− 2m

luego, por (3.10) y (3.11) se tiene que

1− 2m+ 2msenθ/θ ≥ 0,

asım ≤ 1/2 (1− senθ/θ) ,

en particular, si tomamos θ = π + 1,352 (donde senθ/θ es mınima) se tiene quem ≤ 0,4108 y por lo tanto µ ≥ 0,5892.Para probar la cota superior para µ, consideremos la funcion

ψ(x) =

1 x ∈ [0, 2/3] ∪ [1, 4/3] ,

0 En otro punto,

entonces µ ≤ 1−m(ψ) = 2/3.

El problema puede ser generalizado incluso a funciones de varias variables reem-plazando x, t en el argumento por vectores k-dimensionales x, t respectivamente.

Capıtulo 4

Algunos programas yobservaciones

En este capıtulo se mostraran algunos programas que se han realizado para com-prender mejor el problema, se muestra tambien la forma como han sido utilizados,las ideas que han permitido desarrollar y los pasos que hemos seguido para con-struir algunos resultados que pueden ser importantes en nuestro estudio.

4.1. Programas construidos

Al comenzar a estudiar un problema, es conveniente hacer algunos ejemplos quepermitan conocerlo mejor, por lo general en los problemas de teorıa de numerosnos encontramos con la dificultad adicional que la cantidad de calculos que sedeben realizar para hacer un ejemplo es muy alta, sin embargo este tipo de in-convenientes en muchas ocasiones lleva a utilizar herramientas adicionales comola programacion, la cual puede ser una ayuda muy importante en estos casos.La idea original fue crear programas en el sistema de computo MuPAD para obser-var ejemplos de conjuntos A ∈ Pn tales que Γ(A) = M(n), pero luego notamos queestos conjuntos al parecer poseen algunas caracterısticas que se pueden explorarmas a fondo, por esta razon se elaboran programas que permitan en cierto mododescartar o confirmar estas caracterısticas, luego se intentan probar y utilizar paraevitar calculos imnecesarios en otros programas.

Entre los programas que se crearon tenemos los siguientes:

Algoritmo 1. Un programa para el cual, dado un conjunto A ∈ Pn, encuentre elconjunto diferencia B − A y lo muestre en una lista ordenada.

dif:=proc(A)

39

4.1. Programas construidos 40

begin

n:=nops(A); D:=[];

for i from 1 to n do

for j from 1 to n do

D:=[op(D),B[i]-A[j]];

end for;

end for;

sort(D);

end proc;

Ejemplo: dif(1, 2, 5, 6);

−3,−2,−2,−1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 7

Obviamente este programa es de gran ayuda, pues nos permite ahorrar tiempo encalculos que pueden ser muy largos.

Algoritmo 2. Luego de tener el programa que mostrara el conjunto de diferenciasB − A, se querıa otro que lo organizara mejor, por lo que se creo un programaque muestra la matriz de diferencias B − A.

matriz := proc(A)begin

n := nops(A); B := $1.,2 ∗ n minus A;M := matrix(n + 1, n + 1);for i from 2 to n + 1 do; M[i, 1] := A[i− 1]; M[1, i] := B[i− 1];for j from 2 to n + 1 do; M[i, j] := B[j− 1]− A[i− 1];end for;end for;M;end proc;Ejemplo: Matriz(1, 2, 3, 6, 12, 13, 14);

− 4 5 7 8 9 10 111 3 4 6 7 8 9 102 2 3 5 6 7 8 93 1 2 4 5 6 7 86 −2 −1 1 2 3 4 512 −8 −7 −5 −4 −3 −2 −113 −9 −8 −6 −5 −4 −3 −214 −10 −9 −7 −6 −5 −4 −3

Este programa fue importante porque nos permitio analizar mas rapidamente elconjunto de diferencias B−A, ya que teniendo este conjunto de forma organizada,logramos ver las primeras posibles propiedades de los conjuntos que satisfacen lacondicion optima. Por ejemplo, que por lo general el numero de representaciones


de un entero es muy aproximado al numero de representaciones de su opuesto, quelos numeros con valor absoluto cercanos a 2n− 1 tienen pocas representaciones yque cada elemento en el conjunto A da origen a algunos intervalos de diferencias.

Algoritmo 3. Teniendo el conjunto de diferencias se creo un programa que en-contrara Γ(A), el maximo numero de repeticiones para el conjunto A particular.

repet:=proc(L)

begin

R:=[]; c:=0; k:=1; i:=1;

while i <nops(L)+1 do x:=L[i]; c:=c+1; k:=k+1;

while k <nops(L)+1 and x=L[k] do k:=k+1; c:=c+1;

end while;

R:=[op(R),c]; i:=k; c:=0;

end while;

R;

max(op(R));

end proc

Ejemplo: repet(dif(1,2,3,6,12,13,14));

3

Importante porque ayuda a ahorrar mucho tiempo pues ya no es necesario contarel numero de representaciones de cada elemento en B − A, pero tiene un incon-veniente, al hacer el conteo manualmente podemos ver tambien cuales y cuantoselementos alcanzan el maximo numero de representaciones Γ(A) (lo cual puedeser importante).

Luego de haber comprendido el problema, se querıa encontrar un conjunto A ∈ Pnque realice la funcion M(n) para cada valor de n tal que M(n) sea conocido.

Algoritmo 4. Dados n, k ∈ N, muestra un conjunto A ∈ Pn tal que Γ(A) ≤ k.

over1:=proc(n,k)

begin

U:=$1..2*n; M:=n;A:=;G:=combinat::subsets::generator(U,n);

while (T:=G()) <>FAIL and M >k do

A:=T; B:=U minus A;

L:=repet(dif(A)); M:=max(L);

end while;

if not(M >k) then (A,M);

end if;

end proc;

Ejemplo: over1(7,3);1,2,3,6,12,13,14,3


Con este programa se encontro un conjunto A ∈ Pn tal que Γ(A) = M(n) paracada n ∈ [1, 15] .

A continuacion se presentan los conjuntos con los cuales se obtienen estos valorespara M(n).

A2=1,4.

A3=1,2,4.

A4=1,2,6,8.

A5=1,2,3,4,7.

A6=1,2,3,5,8,12.

A7=1,2,3,6,12,13,14.

A8=1,2,3,4,6,10,15,16.

A9=1,2,3,4,8,15,16,17,18.

A10=1,2,3,4,5,7,11,16,18,19.

A11=1,2,3,4,5,8,11,16,20,21,22.

A12=1,2,3,4,5,10,15,19,21,22,23,24.

A13=1,2,3,4,5,6,9,13,18,19,24,25,26.

A14=1,2,3,4,6,8,10,16,21,24,25,26,27,28.

A15=1,2,3,4,6,7,10,17,19,24,25,27,28,29,30.

El problema de este programa es que ademas de ser lento, solo muestra un conjuntoA, esto limita la posibilidad de comparar los conjuntos que satisfacen la condicionoptima, lo cual podrıa ser importante al momento de buscar similitudes entreconjuntos de interes.

A continuacion se muestra un algoritmo con el cual se puede encontrar para cadan, k ∈ N, todos los conjuntos A ∈ Pn tales que Γ(A) ≤ k.

Algoritmo 5. Dados n, k ∈ N, muestra todos los conjuntos A ∈ Pn tal queΓ(A) ≤ k..

over2:=proc(n,k)

begin

G:=combinat::subsets::generator($1..2*n,n):while (X := G()) <>FAIL do

A:= X; B:=U minus A; M:=max(repet(dif(A)));

if M <= k then print(A);

end if;


end while;

end proc;

Ejemplo: over2(7,3);1,2,3,6,12,13,141,2,3,9,12,13,144,5,6,7,8,10,114,5,7,8,9,10,11

Un avance importante en este algoritmo fue que permitio comenzar analizar laestructura de los conjuntos A ∈ Pn de interes.

De aquı en adelante el objetivo fue siempre hacer programas mas eficientes, esdecir, capaces de hacer el mismo trabajo en el menor tiempo posible.

Algoritmo 6. Tomamos 1 ∈ A, esto nos permite reducir el trabajo, pues no seanalizan los complementos como lo hace el algoritmo anterior, esto permite reducirlos calculos a la mitad, ademas solo se analizan subconjuntos X ⊂ 2, . . . , 2n de

n− 1 elementos; lo que nos permite estudiar solo

(2n− 1

n− 1

)conjuntos en lugar de(

2n

n

)como se hacıa hasta el momento.

over3:=proc(n,k)

begin

G:=combinat::subsets::generator($2..2*n,n-1):while (X := G()) <>FAIL do

A:=1 union X; B:=U minus A; M:=max(repet(dif(A)));

if M <= k then print(A);

end if;

end while;

end proc;

Ejemplo: over3(7,3);1,2,3,6,12,13,141,2,3,9,12,13,14

Con los resultados obtenidos en este algoritmo observamos una extrana condicionque se repite en todos los ejemplos que se han encontrado, es que en general unconjunto A = a1, a2, . . . , an que satisface la condicion optima satisface:

ak + an−k ≈ 2n+ 1,

Usando este hecho adicional se creo el siguiente programa, en el que se analizansolo los conjuntos para los cuales |(ak + an−k)− (2n+ 1)| es pequeno.

Algoritmo 7. Analizar solo las particiones que satisfacen la condicion anterior.


over4:=proc(n,k,e)

begin

G:=combinat::subsets::generator($2..2*n,n-1):while (X := G()) <>FAIL do;

A:=1 union X; PA:=[];

for t from 1 to (n-1)/2 do PA:=[op(PA),abs((2*n+1)-(A[t]+A[n+1-t]))];

end for;

if max(op(PA))<=e then B:=$2..2*n minus A;

M:=max(repet(dif(A)));

if M<=k then print(A,PA); end if;

end if;

end while;

end proc;

Ejemplo: over4(11,5,2);

1,2,3,4,5,8,16,17,18,21,22, [0,0,2,2,2]

1,2,3,4,5,9,17,18,19,20,22, [0,1,1,1,1]

1,2,3,4,5,10,16,17,20,21,22, [0,0,0,2,2]

1,2,3,4,5,10,16,18,20,21,22, [0,0,0,1,2]

...

Algoritmo 8. El programa se vuelve lento para valores grandes de n, por lo quese creo otro que solo analizara la pareja central. (se tuvo en cuenta la maneracomo MuPAD forma los conjuntos).

over5:=proc(n,k,e)

begin

G:=combinat::subsets::generator($2..2*n,n-1):while (X := G()) <>FAIL do A:=1 union X;

if abs((2*n+1)-(A[(n-1)/2]+A[(n+3)/2]))<=e then B:=$2..2*n minus A;

M:=max(repet(dif(A)));

if M<=k then print(A); end if;

end if;

end while;

end proc;

Ejemplo: over5(7,3,1);

1,2,3,6,12,13,14.1,2,3,9,12,13,14.

A medida que se encontraban mas posibles caracterısticas de los conjuntos deinteres se empezaron a crear programas que analizaran una cantidad cada vezmenor de conjuntos, logrando ası los mismos resultados en menor tiempo.


Algoritmo 9. Se crea un programa con un parametro de busqueda predetermi-nado, esto se logra incluyendo conjuntos iniciales que poseen en parte las carac-terısticas deseadas.

over6:=proc(n,k,e)

begin

U:=$1..2*n; n1:=n-nops(A0); U1:=U minus (A0 union B0);

G:=combinat::subsets::generator(U1,n1):

while (X := G()) <>FAIL do A:=A0 union X;

if abs((2*n+1)-(A[(n-1)/2]+A[(n+3)/2]))<=e then

B:=U minus A;

if max(repet(dif(A)))<=k then print(A); end if; end if;

end while;

end proc;

Ejemplo: over6(Algunos inconvenientes);

La principal desventaja del programa es que puede restringir demasiado el analisis,provocando perdida de informacion valiosa que puede incluso desencaminar elestudio.

Algoritmo 10. Se encuentra una condicion que parece ser muy especial, se tratade ver el conjunto de interes B como la union de intervalos (subconjuntos deelementos consecutivos) contenidos en B. La idea basica para la construccion delprograma fue descomponer B como la union de tantos subintervalos como se deseede la siguiente manera:

Intervalos :=proc(n,m)

begin

U0:=$5..2*n-3;for i1 from 1 to n do G1:=combinat::subsets::generator(U0,i1);

while (B1:=G1())<>FAIL and B1[1]<n+2 do

if B1[i1]-B1[1]=i1-1 then U1:=$B1[i1]+2..2*n-3;for i2 from 1 to n-i1 do G2:=combinat::subsets::generator(U1,i2);

while (B2:=G2())<>FAIL and B2[1] <= n+1+i1 do

if B2[i2]-B2[1]=i2-1 then U2:=$B2[i2]+2..2*n-3;...

---union de mas intervalos----

...

end if;end while;end for;end if;end while;


end for;end proc;Este programa nos brindo una nueva forma de ver el problema, y enfocamosnuestro analisis en otra direccion.

Este punto de vista empezo a dar una primera idea del por que de algunas carac-terısticas que habıamos observado anteriormente.

Algoritmo 11. Para n = 15 se construyo el siguiente programa, donde se expresaB como la union de 6 subintervalos. (Recordemos que M(15) = 6)

uniones:=proc(n,m)

begin

U0:=$5..2*n-3;for i1 from 1 to n do G1:=combinat::subsets::generator(U0,i1);

while (B1:=G1())<>FAIL and B1[1]<n+2 do

if B1[i1]-B1[1]=i1-1 then U1:=$B1[i1]+2..2*n-3;for i2 from 1 to n-i1 do G2:=combinat::subsets::generator(U1,i2);

while (B2:=G2())<>FAIL and B2[1]<= n+1+i1 do

if B2[i2]-B2[1]=i2-1 then U2:=$B2[i2]+2..2*n-3;for i3 from 1 to n-i1-i2 do G3:=combinat::subsets::generator(U2,i3);

while (B3:=G3()) <>FAIL and B3[1]<= n+1+i1+i2 do

if B3[i3]-B3[1]=i3-1 then U3:=$B3[i3]+2..2*n-3;for i4 from 1 to n-i1-i2-i3 do G4:=combinat::subsets::generator(U3,i4);

while (B4:=G4()) <>FAIL and B4[1]<= n+1+i1+i2+i3 do

if B4[i4]-B4[1]=i4-1 then U4:=$B4[i4]+2..2*n-3;for i5 from 1 to n-i1-i2-i3-i4 do G5:=combinat::subsets::generator(U4,i5);

while (B5:=G5()) <>FAIL and B5[1]<= n+1+i1+i2+i3+i4 do

if B5[i5]-B5[1]=i5-1 then U5:=$B5[i5]+2..2*n-3; d5:= n-i1-i2-i3-i4-i5;

if d5 >0 then i6:=d5; G6:=combinat::subsets::generator(U5,i6);

while (B6:=G6()) <>FAIL and B6[1]<= n+1+i1+i2+i3+i4+i5 do

CB:= B1 union B2 union B3 union B4 union B5 union B6; r:=n;

if B6[i6]-B6[1]=i6-1 then A:=$1..2*n minus CB; m:=max(repet(dif(A)));

if r<=k then print(CB,r); end if;

end if;

end while;

end if;

end if;

end while;

end for;

end if;

end while;

end for;

end if;


end while;

end for;

end if;

end while;

end for;

end if;

end while;

end for;

end proc;

Ejemplo: uniones(15, 7);

5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 245, 7, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24...

Este algoritmo permitio encontrar el conjunto A15 hallado en el algoritmo 4 enmucho menos tiempo, sin embargo, a medida que el numero de uniones aumenta,el algoritmo se vuelve lento.

4.2. Observaciones y resultados 48

4.2. Observaciones y resultados

En esta seccion se mostraran algunas caracterısticas especiales de los conjuntosA ∈ Pn que realizan a M(n), es decir,

Γ(A) = M(n).

Estas propiedades provienen de la observacion y analisis de los resultados arroja-dos por los algoritmos de la seccion anterior.

En adelante, sin perdida de generalidad, tomamos A ∈ Pn tal que 1 ∈ A.

Definicion 4.1 Sea A ∈ Pn, denotamos

A∗ = (2n+ 1)− a : a ∈ A

y decimos que A∗ ∈ Pn es la reflexion de A.

Teorema 4.1 Si A ∈ Pn, entonces ΓA(k) = ΓA∗(−k) para cada k, en particular

Γ(A) = Γ(A∗) (4.1)

Prueba. Notemos que B∗ = (2n+ 1)− b : b ∈ B, de donde tenemos que existe(ai, bj) ∈ DA(k) si, y solo si existe

(a∗i , b∗j) = ((2n+ 1)− ai, (2n+ 1)− bj) ∈ DA∗(−k)

pues b∗j − a∗i = [(2n+ 1)− bj]− [(2n+ 1)− ai] = −(bj − ai) = −k.

Ejemplo 4.1 Consideremos el conjunto A = 1, 2, 5 ∈ P3, de puede ver queB = 3, 4, 6 y la matriz asociada al conjunto de diferencias B − A es

− 3 4 61 2 3 52 1 2 45 −2 −1 1

la reflexion de A es A∗ = 7− a : a ∈ A = 2, 5, 6 , entonces B∗ = 1, 3, 4 y lamatriz asociada al conjunto de diferencias B∗ − A∗ es

− 1 3 42 −1 1 25 −4 −2 −16 −5 −3 −2

donde se observa que

ΓA(4) = ΓA(3) = ΓA(5) = ΓA(−2) = ΓA(−1) = 1


al igual que

ΓA∗(−4) = ΓA∗(−3) = ΓA∗(−5) = ΓA∗(2) = ΓA∗(1) = 1

mientras queΓA(1) = ΓA(2) = ΓA∗(−1) = ΓA∗(−2) = 2

ası para cada k se tiene que ΓA(k) = ΓA∗(−k).

Definicion 4.2 Dado A ∈ Pn, denotamos

Γ+(A) := maxk>0

ΓA(k),

similarmente,Γ−(A) := max

k<0ΓA(k).

Ejemplo 4.2 En el ejemplo anterior podemos ver que

Γ+(A) = maxk>0

ΓA(k) = ΓA(1) = ΓA(2) = 2.

Teorema 4.2 Γ+(A) = M(n) para algun A ∈ Pn.

Prueba. Sea A ∈ Pn tal que Γ(A) = M(n), si Γ(A) = Γ+(A), no hay nada queprobar, pues basta tomar A = A. Si Γ(A) = Γ−(A), entonces por el teoremaanterior tenemos que Γ+(A∗) = Γ−(A) = Γ(A) = M(n), por lo que es suficientetomar A = A∗. En cualquier caso, existe A ∈ Pn tal que Γ+(A) = M(n).

Teorema 4.3 Para cada n ∈ N

M(n) = mınA∈Pn

Γ+(A) = mınA∈Pn

Γ−(A).

Prueba. Es consecuencia inmediata del teorema anterior.

Con la ayuda de los programas de la seccion anterior tambien logramos ver lassiguientes propiedades, que se probaron en la seccion (1.2) y fueron de gran utili-dad para probar la cota inferior dada por Scherk.

Lema 4.1 Si A ∈ Pn y q ∈ [1, n], entonces

max ΓA(−2n+ q),ΓA(2n− q) ≤ q.

Corolario 4.1 Si A ∈ Pn y q ∈ [1, n], entonces

ΓA(−2n+ q) + ΓA(2n− q) ≤ q.


la siguiente observacion aunque es simple, nos ayuda a ver el problema desde unpunto de vista diferente, esto nos permite comprender un poco mas la forma comodebemos escoger una particion optima, ademas nos brinda un punto de partidapara probar ciertas caracterısticas que se habıan mencionado anteriormente.

Observacion 4.1 Todo conjunto C ∈ Pn se puede descomponer como la unionde intervalos disjuntos Ci ⊂ C de la forma

C =t⋃i=1

Ci

para algun t, cont∑i=1

|Ci| = n.

Notemos ademas que si tomamos A tal que 1 ∈ A, y

A =s⋃i=1

Ai y B =t⋃i=1

Bi, (4.2)

entonces t = s o t = s− 1.

De lo anterior tenemos que si para k ∈ [−2n+ 1, 2n− 1] denotamos

Dij(k) = (a, b) ∈ Ai ×Bj : b− a = k ,

y su cardinal por Γij(k), entonces para k > 0,

DA(k) =⋃i≤j

Dij(k)

por lo que

ΓA(k) =t∑i=1

Γij(k), i ≤ j ∈ 1, . . . , t

mientras que si k < 0, entonces

DA(k) =⋃i>j

Dij(k)

y ası

ΓA(k) =t∑i=1

Γij(k), i > j ∈ 1, . . . , t ;

Ejemplo 4.3 El conjunto A = 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 16, 18, 19 ∈ P10 se puede ex-presar como la union de 4 subintervalos

A = 1, 2, 3 ∪ 7, 8, 9, 10 ∪ 16 ∪ 18, 19 ,

obviamente4∑i=1

|Ai| = |A| = 10.


Observacion 4.2 En adelante consideraremos A,B ∈ Pn de la forma

A =s⋃i=1

Ai y B =t⋃i=1

Bi (4.3)

descrita en (4.2)

Lema 4.2 Si A ∈ Pn, entonces

ΓA(1) = t.

Prueba. Para cada i ∈ 1, . . . , t denotamos bi1 y por aik el primer elemento enBi y ultimo elemento de Ai respectivamente, entonces

bi1 − aik = 1 ∀i ∈ 1, . . . , t ,

de donde se tiene que

DA(1) =t⋃i=1

Dii(1) = (aik, bi1) : i ∈ 1, . . . , t ,

y como este ultimo conjunto tiene t elementos, entonces

ΓA(1) = |DA(1)| = t

como se querıa probar.

Como consecuencia inmediata tenemos los siguientes resultados.

Corolario 4.2 Si A ∈ Pn, entonces Γ(A) ≥ t.

Prueba. Por el lema anterior, basta notar que

Γ(A) ≥ ΓA(1) = t

como consecuencia tenemos el siguiente resultado, donde se presenta una cotasuperior para el numero de subintervalos que pueden tener los conjuntos de interes.

Corolario 4.3 Si A ∈ Pn realiza a M(n), entonces t ≤M(n).

Este resultado es muy importante, pues reduce enormemente la cantidad de con-juntos A ∈ Pn que debemos analizar al tratar de caracterizar los conjuntos A ∈ Pnque realizan a M(n).


Teorema 4.4 Si A ∈ Pn realiza la funcion M(n), y p2 es el cardinal del conjuntoP = i : mın|Ai| , |Bi| ≥ 2, entonces p2 ≤M(n).

Prueba. Supongamos que mın|Ai| , |Bi| ≥ 2, sean bi1, bi2 el primero y segundoelemento en Bi y aik−1, aik el penultimo y ultimo elemento en Ai respectivamente,entonces

bi1 − aik−1 = bi2 − aik = 2,

de aquı se puede ver que Dii(2) = (aik−1, bi1) , (aik, bi2), luego Γii(2) = 2 ası,

M(n) ≥ ΓA(2) =k∑i=1

Γii(2) ≥ 2p2,

De donde se obtiene el resultado.

Corolario 4.4 Si A ∈ Pn, entonces

ΓA(2) = 2p2 + u,

donde u representan el cardinal del conjunto U = i : mın|Ai| , |Bi| = 1 y|Ai|+ |Bi| ≥ 3.

Prueba. Notemos que si i /∈ P ∪ U , entonces Γij(2) = 0 para todo i, j.Por otro lado, en la prueba anterior se mostro que si i ∈ P , entonces Γii(2) = 2,de igual forma se puede ver que si i ∈ U , entonces Γii(2) = 1, de donde tenemosque

ΓA(2) =∑i∈U

Γii(2) +∑i∈P

Γii(2) = 2p2 + u.

Ejemplo 4.4 Para n = 15 (el maximo valor de n para el cual se conoce M(n))se tiene que p2 ≤ 6/2 = 3, es decir, cualquier conjunto A que realiza a M(15),tiene a lo mas 3 parejas de conjuntos (Ai, Bi) tales que |Ai| , |Bi| ≥ 2.

Teorema 4.5 Si A realiza a M(n) y tiene un subintervalo Ai tal que |Ai| > M(n),entonces |Bj| ≤M(n) para cada subintervalo Bj de B.

Prueba. Por la propiedad (4.1) basta probar el resultado para j ≥ i. Sea Br unsubintervalo de B tal que |Br| > M(n), y sea k = br1−ai1 (la diferencia del primerelemento de Br con el primer elemento de Ai), entonces ΓA(k) > M(n) = Γ(A),lo cual es imposible.

Quedan aun muchas preguntas por responder y propiedades por demostrar, entrelas que consideramos de especial importancia las siguiente


Si A ∈ Pn y 2n /∈ A, entonces existe A ∈ Pn tal que 2n ∈ A y

Γ(A) ≤ Γ(A).

Si A ∈ Pn, entonces∑a∈A

a ≈∑b∈B

b ≈ 1

2n(n+ 1).

Conclusiones

Aunque se ha trabajado mucho en el problema, no se ha dedicado el tiemposuficiente al estudio de la estructura y caracterısticas principales de los conjuntosque determinan una particion optima paraM(n), considero que caracterizar dichasparticiones serıa un importante avance para el estudio, conocimiento y posiblesolucion del problema.

En este trabajo, con la ayuda de los programas que se crearon, se hace un esfuerzopor caracterizar las particiones que realizan la funcion M(n), encontrando losresultados que se presentan en el cuarto capıtulo, los cuales pueden ser una buenabase para estudios posteriores.

Se presentan tambien una prueba sencilla de la cota inferior dada por Erdos, y lacota inferior dada por Schrek (de la cual no encontramos bibliografıa).

En el trabajo quedan muchas preguntas por responder, pero se presentan algunaspropiedades que se seguiran estudiando y que seguramente produciran muy buenosresultados.

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Bibliografıa

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EL PROBLEMA DE LA SUPERPOSICION M INIMA