Taller de Modelamiento

Matemático2° trimestre Advance 2014

Introducción

• En la vida real existe una gama amplia de situaciones o problemas, los cuales requieren ser resueltos.

• Generalmente es muy complicado resolver un problema de la vida real y muchas veces no se sabe por donde comenzar.

• Esto se debe a la gran cantidad de factores u elementos que intervienen en la problemática.

• Muchas veces las relaciones entre los factores no es tan evidente.

• Por lo tanto es muy difícil lograr expresar el problema de forma clara.

• Una forma que existe para poder solucionar estas problemáticas, es mediante la formulación y desarrollo de un modelo matemático.

Modelo Matemático

• Descripción en lenguaje matemático, de un objeto que existe en un universo no matemático.

• Es el proceso de imitación de la realidad, mediante el lenguaje matemático, se conoce como Modelación Matemática.

Modelamiento Matemático

• Es el desarrollo de un modelo de forma matemática, con el fin de encontrar solución a una problemática real.

• El proceso de modelamiento es una interacción entre el modelo desarrollado y el problema de la realidad.

• Para modelar un problema real se requiere de:

• Habilidades.

• Juicio racional.

• Conocimiento del área del problema.

• Independientemente del problema que se este buscando solucionar, existe un conjunto de etapas o fases comunes que se deben cumplir para lograr obtener el modelo.

1° Definición del Problema

• Identificar, comprender y describir en términos precisos el problema.

• Ojo con focalizar el problema en un área especifica, y no considerar toda la organización y su entorno (Actores relevante, Accionistas, Empleados, Clientes y proveedores, Gobierno, etc.)

• Ejemplo, objetico encontrada para la solución

• Maximizar utilidades v/s Futuro de la empresa

Observar la situación que se esta estudiando

2. Desarrollo del modelo matemático y Recolección de datos

• 2.1 Recolección de datos suele ser la etapa mas extensa, ya que no siempre se encuentran disponibles.

• La calidad de la solución obtenida, será de acuerdo a la exactitud de los datos considerados.

• 2.2. el modelar implica, reformular la situación estudiada, construyendo un modelo matemático que representa la esencia del problema

Desarrollo del Modelo

• Variables de decisión: para las cuales se debe determinar los respectivos valores buscados.

• Función Objetivo: se expresa como función matemática de las variables de decisión.

• Se busca

• Maximizar las utilidades o ganancias.

• Minimizar los costos.

• En conjunto es Maximizar (utilidades- costos)

• Restricciones: ecuaciones y/o desigualdades que limitan los valores de las variables de decisión.

Formulación de Hipótesis, objetivos y

restricciones

3. Resolución de modelo Matemático• Obtención de valores numéricos para las variables de

decisión, que satisfagan simultáneamente todas las restricciones impuestas.

• La técnica de resolución adecuada para resolver un modelo, dependerá del tipo de modelo generado.

• Estas técnicas pertenecen a una de estas categorías:

• Modelos óptimos: proporcionan el mejor valor para la función objetivo.

• Método Heurísticos: proporcionan un valor aceptable para la función objetivo.

EjemploEL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE

CASE CHEMICALS• Case Chemicals produce dos solventes, CS-01 y CS-02, en su planta de Cleveland. Las empresas que compran estos solventes lo usan para disolver ciertas sustancias tóxicas que se producen durante sus procesos de fabricación particulares. La planta opera 40 horas semanales a la semana y emplea a cinco trabajadores a tiempo completo y a dos a tiempo parcial, que trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan siete máquinas que mezclan ciertos químicos para producir cada solvente. Los productos salen del departamento de mezclado para ser refinados en el departamento de purificación, que actualmente tiene siete purificadores y emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempo parcial, que trabaja 10 horas a la semana.

• Case Chemicals tiene una provisión casi ilimitada de las materias primas que necesita para producir los dos solventes. Case Chemicals puede vender cualquier cantidad de CS-01, pero la demanda del producto más especializado, CS-02, está limitada a lo más a 120.000 galones por semana.

• Como Gerente de Producción, usted desea determinar el plan de producción óptimo para Case Chemicals. ¿Qué cantidad de cada solvente debe producir Case Chemicals para maximizar la ganancia?

• El objetivo ahora es convertir este problema cualitativo, en una forma matemática que pueda resolverse. Este proceso es llamado “Formulación del Problema”, generalmente involucra los siguientes pasos.

• Identificación de las Variables de Decisión.

• Identificación de datos del problema.

• Identificación y formulación de la Función Objetivo.

• Identificación y Formulación de las Restricciones.

1. Identificar Variables de Decisión

• Características Claves:

• ¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias? (en general, el objetivo global)

• ¿Qué elementos puede elegir y/o controlar libremente?

• ¿Qué decisiones tiene que tomar?

• Qué valores, una vez determinados, constituyen una solución para el problema? Póngase en la posición de alguien que tiene que implantar su solución, y luego pregúntese que información requiere.

• Primero enuncie verbalmente cuales son las Variables

1.- El número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente.

2.- El número de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente.

• Segundo asigne un nombre simbólico a las Variables de Decisión

C1 = el número de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente.

C2 = el número de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente.

Observe que las descripciones son precisas. Incluyen las unidades asociadas con las cantidades que las variables representan (miles de galones y por semana, en este caso). No es suficiente definir una variable como la “cantidad” de un elemento, pues esto deja una libre interpretación.

2. Identificación de Datos

• Características Claves

• La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las variables de decisión.

• La necesidad de que algunos de los datos del problema pueden aclararse cuando especifica el problema. Otros datos pueden hacerse necesarios al desarrollar el Modelo Matemático y descubrir que requiere de información adicional, para ayudar a determinar los valores de las Variables de Decisión.

• Primero pregúntese que información requiere para determinar las cantidades reales de los dos solventes a producir para maximizar las ganancias.

1.- La cantidad de Materia Prima disponible.

2.- El número de horas de trabajo disponibles en el Dpto de Mezclado.

3.- El número de horas de trabajo disponibles en el Dpto de Purificación.

4.- La Cantidad de ganancias obtenidas al producir y vender cada Solvente.

1.- Es casi Ilimitada “NO SE REQUIERE”

2.- 5 trabajadores a tiempo completo, 40 hrs por semana y 2 a tiempo parcial, 15 hrs por semana . Total 230 hrs de trabajo por semana en el Dpto de Mezcla.

3.- 6 trabajadores a tiempo completo, 40 hrs por semana y 1 a tiempo parcial, 10 hrs por semana . Total 250 hrs de trabajo - semana en Dpto. de Purificación.

4.- El Dpto de contabilidad, estima que un margen de ganancias de $0.30 por galón de CS-01 y de $0.50 por galón de CS-02.

Esto es, $300 por mil galones de CS-01 y $500 por mil galones de CS-02.

3. Identificación de la Función Objetivo

• Características Claves

• La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las variables de decisión.

• Enuncie el Objetivo en forma verbal.

• Cuando sea apropiado, descomponga el objetivo en una suma, diferencia, y/o producto en términos individuales.

• Expresar los términos individuales en (2) usando las variables de decisión y otros datos del problema conocidos.

Primero: enuncie verbalmente la Función Objetivo.

Maximizar la ganancia semanal total de la producción y venta de CS-01 y CS-02.

Segundo: Donde sea adecuado ,descomponer el objetivo en una suma, diferencia o producto de cantidades individuales.

La ganancia total, puede calcularse como la suma de la ganancia de la venta de los solventes CS-01 y la de CS-02

Tercero; Expresar las cantidades individuales matemáticamente usando las variables de decisión y otros datos del problema.

Ganancia por cada mil Galones de CS-01 = 300C1

+Ganancia por cada mil galones de CS-02 = 500C2

Ganancia total = 300C1 + 500C2

Función Objetivo Maximizar Z = 300C1 + 500C2

4. Identificación de las Restricciones• Las Restricciones son condiciones que las Variables de Decisión (VD) deben

satisfacer para constituir una solución “aceptable”. Estas restricciones por lo general surgen de:

4.1.- Limitaciones Físicas

Cantidad de materia prima disponible ò Tiempo de Producción Disponible

4.2.-Restricciones puestas por la administración

No invertir más del doble en acciones respecto a lo invertido en bonos

4.3.- Restricciones externas

El mercado no permite vender más de cierta cantidad de un producto determinado

4.4.- Relaciones implicadas entre las variables

En el problema de la inversión, las fracciones que representa la proporción de dinero a invertir en los dos fondos debe sumar 1

4.5.- Restricciones lógicas sobre las variables individuales

• No se puede producir una cantidad negativa de productos

• Después de identificar las restricciones, debe expresarlas en forma matemática usando las VD y otros datos del problema. Este proceso es idéntico al usado para especificar la función objetivo.

• Enuncie la Restricción en forma verbal.

• Cuando sea apropiado, descomponer la restricción en una suma, diferencia, y/o producto de cantidades individuales.

• Expresar las cantidades individuales en forma matemática, usando las variables de decisión y otros datos conocidos del problema

Horas totales usadas No pueden exceder

-

en el Dpto. de mezclado

de 230

4.1.- Restricciones de Limitación Física

4.1.1. Restricción d trabajo en el departamento de Mezclado.

Forma Verbal:

Descomposición Horas Horas

.

:

Usadas + Usadas para CS-01 para CS-02

No pueden exceder de 230

¿Como calcula el número de horas usadas en el mezclado?.

Estos son datos del problema que usted debe obtener

4.1.1. Restricción de trabajo en el departamento de Mezclado.

Supongamos que usted llama la departamento de procesos y recoge los siguientes datos __Horas por mil Galones de__

CS-01 CS-02 _________________________________________________________________________

Mezclado 2 1 Purificación 1 2

Resulta fácil calcular las horas usadas en el Dpto. de Mezclado trabajando con valores específicos de C1 = 15 y C2 = 10

Horas para 15 mil galones de CS-01 = 2 (15) = 30

Horas para 10 mil galones de CS-02 = 1 (10) = 10

Total de horas en el mezclado = 2 (15) + 1 (10) = 40 - De los calculos anteriores se obtiene la siguiente Restricción General

2C1 + 1C2 <= 230

• 4.1.2. Restricción de trabajo en el departamento de Purificación.

Matemáticas

1C1 + 2C2 <= 250

• 4.2.- Restricciones puestas por la administración No existen

• 4.3.- Restricciones de Limitación Externa

Mátematicas

C2 <= 120

• 4.4- Restricciones Implicadas entre las variables No existen

• 4.5.- Restricciones lógicas sobre las variables individuales

C1 >= 0 y C2 >= 0 ó C1 , C2 >= 0

¿Como queda el Modelo?C1= el número de miles de Galones de CS-01 por producir semanalmente

C2= el número de miles de Galones de CS-02 por producir semanalmente

Maximizar Z = 300C1 + 500C2 (Ganancia)

Restricciones:

2C1 + 1C2 <= 230 (HH Mezclado)

1C1+ 2C2 <= 250 (HH Purificación)

C2 <= 120 (Limitación Venta)

C1 , C2 >= 0 (No Negatividad)