Taller de talento matemático Departamento de matemáticas Problemas de contar Taller de talento matemático Departamento de matemáticas Paz Jiménez Seral

Taller de talento matemático Departamento de matemáticas

Problemas de contar


Paz Jiménez SeralUniversidad de Zaragoza


“La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma.”

CombinatoriaEl arte de contar


En 1858 el egiptólogo escocés A. Henry Rhind compró en Luxor (Egipto) el papiro que actualmente se conoce como papiro Rhind o de Ahmes, encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en el año 1650 antes de nuestra era.

Comienza con la frase: “Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios.”

El papiro mide unos 6 m de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia antigua conocida.

El papiro Rhind (problema 79)


Escrito en hierático, consta de 87 problemas y su resolución. Nos da información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. El problema 79 es de combinatoria. Veamos una versión “moderna”...

El papiro Rhind (problema 79)


Yendo al pueblo de San Marcosme crucé con un señor con 7 esposas. Cada esposa tenía 7 sacos, cada saco tenía 7 gatos, cada gato tenía 7 gatitos. Entre gatitos, gatos, sacos y esposas, ¿Cuántos iban a San Marcos?

(En mi primer libro)

La regla del producto


La respuesta es ninguno

Pero cruzarme, me cruce en total con

7 esposas. 7sacos. 7gatos. 7gatitos

Total =74


¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas?

El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × 1067. Si por cada ordenación tomamos un granito de arena tan

pequeño que caben 10 en un mm3 ¿Cuantas planetas como la Tierra huecos, necesitamos para meter la arena?

Explosión combinatoria


¿Cuántos collares distintos podemos hacer?

Si tenemos 5 cuentas negras, 5 azules y 3 rojas. Las cuentas son semiesféricas Los collares no tienen broche Pasamos un hilo y unimos los extremos

Si tenemos 13 cuentas distintas. Si ponemos las 13 cuentas distintas en fila.


¿Cuántas formas hay de colocar en fila 13 cuentas?

13 cuentas distintas las podemos poner en fila de 13.12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1=13! formas

¿Y si tenemos 5 cuentas negras, 5 azules y 3 rojas? Piensa que tenemos que elegir 5 lugares para las

negras, 5 para las azules y 3 para las rojas.

¿Serán 13.12.11.10.9 las posibles formas de elegir los lugares para las negras?


NO!!!!

Da igual elegir los lugares 1,3,4,2 y 9 que los lugares 4,2,9,1 y 3.

¿Si hemos elegido 5 lugares de cuantas formas se pueden ordenar?

De 5! formas. Las posibles maneras de elegir los 5 lugares

para colocar las cuentas negras son 13.12.11.10.9/5!


Volvemos al problema

¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 cuentas negras, 5 azules y 3 rojas?

La respuesta es

(13.12.11.10.9/5!)(8.7.6.5.4/5!)(3.2.1)/3!=13!/5!5!3!


Pasamos el hilo para hacer collares

Nos encontramos con filas distintas que dan el mismo collar.

Por ejemplo, estas dos filas me dan collares iguales


¿Cuántas filas me dan un mismo collar?

Nos encontramos con filas distintas que dan el mismo collar. Vamos a pensar en los lugares de la fila numerados.

De estas filas 8 9 11

13

754321 126

1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12

1310

7


¿Cuántas filas me dan un mismo collar?

8

10

11

13

7

5

4

32

1112

6 78

10

12

6

4

3

21

11311

59

9


Las filas que hemos puesto antes

8

10

11

13

7

5

4

32

1112

6 910

12

1

8

6

5

43

1213

79

11


Volvemos al problema ¿Con cuantas filas consigo el mismo collar?

Más concreto. ¿Con cuantas filas consigo el collar anterior? Imagina el collar y una ruleta con los números debajo. Si muevo la

ruleta tengo una numeración para las bolas y por tanto una fila que me proporciona el collar.

¿Cuántos movimientos distintos puede hacer la ruleta? Giros de trece amplitudes distintas. (El uno puede quedar en trece

bolas distintas) ¿Estás seguro de que así obtenemos 13 filas distintas?


Con otro collar distinto…..

89

10

12

75

4

32

1111

6

13


Un paso mas del problema

¿cuántas filas consigo con este collar girando la ruleta?

Sí también son trece. Pero ¿Y con otro collar? ¿Hay alguna posibilidad de que sean menos de 13? Hay que pensar en un giro de la ruleta que me

pueda llevar de una fila a la misma fila. ¿Puede ser?


Que ocurre con este collar?

8

9

10

12

75

4

32

1111

6


No es de los nuestros!Tiene 12 bolas y ..

Pero en este caso girando la ruleta solo consigo 3 filas distintas.

En nuestro caso ¿dónde tendrían que estar las bolas negras?

Necesitaríamos un número de bolas negras divisor de 13 y tenemos 5.

En nuestro caso, girando la ruleta con cualquier collar obtenemos 13 filas distintas.


¿Hay mas filas para el mismo collar?

Si en vez de cuentas fuesen bolas podría dar la vuelta al collar y tendría otra fila distinta.


Piensa en las filas que salen así

89

11

13

7

5

4

32

1112

6 5

4

3

1

6

9

10

1112113

2

7

10

8


Vamos a ordenar el razonamiento

Supongamos que el collar está sobre los trece números que forman un polígono regular de trece lados.

Hay trece giros del collar. La composición de dos giros es otro giro y para cada giro hay otro que me lleva el collar a su posición inicial.


Sigue Partiendo de una posición del collar y aplicando los 13

movimientos obtenemos, cortando el hilo antes del 1, 13 filas de bolas.

La cuestión es si puede haber dos filas iguales. Las dos filas parten del mismo collar con una numeración, para obtener una, hemos aplicado un movimiento y para la otra, otro movimiento. Si hemos llegado a la misma fila al aplicarle el inverso de uno de los dos obtenemos la numeración de partida. Así que hay un collar numerado(fila) y un movimiento que me lo lleva a otra numeración que da la misma fila.

Ya hemos comentado que no puede ser por ser un número de cuentas negras que no divide a trece.


Volvemos al problema

¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 cuentas negras, 5 azules y 3 rojas?

La respuesta es

(13.12.11.10.9/5!)(8.7.6.5.4/5!)(3.2.1)/3!=13!/5!5!3!

Partido por 13, es decir

12!/5!5!3!= 5544collares


Mas problemas: ¿De cuantas formas se puede pintar un tetraedro regular con

una cara azul otra verde otra roja y otra negra?. Y si tengo cinco colores ¿de cuántas formas se pueden pintar

las caras del tetraedro suponiendo que no se puede repetir color?

Y si tengo cinco colores ¿de cuántas formas se pueden pintar las caras del tetraedro suponiendo que sí se puede repetir color?

Imagínate del tetraedro quieto. Son 54 formas que llamaremos coloraciones. Ahora lo mueves y al moverlo cambias unas caras por otras, pasas de una posibilidad a otra. Hay varias coloraciones que dan el mismo tetraedro.

¿De cuantos modos puedes mover el tetraedro?


Cuando hago dos giros del tetraedro el resultado es un giro. Para esto hay que contar como giro el no moverse, lo que se llama giro identidad. Para cada giro, hay otro que seguido me da la identidad, le llamaremos giro inverso.

Así hay 12 giros que dejan fijo el tetraedro. Descríbelos, imagínalos. Si de una de las coloraciones contadas antes paso a otra por un giro, las dos me dan el mismo tetraedro.

Las coloraciones se agrupan en lo que se llaman órbita. Una órbita está formada por una coloración y todas las que se consiguen a partir de ella girando el tetraedro.

Nuestro problema consiste en contar el número de órbitas. Y para eso tenemos que saber cuántas coloraciones hay en la misma órbita (como mucho serán 12, gracias al primer punto)


Si de una coloración, con dos giros distintos paso a una única coloración, es que uno de ellos compuesto con el inverso del otro me deja fija la coloración.

El estabilizador de una coloración es el conjunto de giros que me la dejan igual.

Ponte ejemplos para ver y convencerte de que el número de coloraciones distintas que hay en una misma órbita es 12 dividido por el numero de giros que estabilizan a una de las coloraciones que la componen.

Ahora pensamos al revés. Para cada uno de los 12 giros vamos a ver cuántas coloraciones hay que queden fijas cuando les aplico ese giro.

En nuestro caso la identidad fija las 54 y los demás giros, con un poco de paciencia puedes ver que fijan 52.


Y ahora vamos considerar todos los pares de una coloración y un giro. Pares de la forma (c,g), donde c es una coloración y g es un giro. Tenemos 54 x 12 pares en total.

Vamos a contar, de todos esos pares cuántos están formados por una coloración y un giro que la fija.

Si llamamos n al número de órbitas, (que es la incognita d enuestro problema), ya hemos comentado que en la órbita 1 hay 12/s1 coloraciones dónde s1 el número de giros que estabilizan una de sus coloraciones. En general en la órbita i hay 12/si coloraciones.

Con una coloración de la orbita primera ¿cuántos pares tengo de los que quiero contar? La respuesta es s1. Y sumando todos los pares que corresponden a coloraciones de la primera órbita, obtengo 12/s1 x s1, que es 12.


Y lo mismo ocurre con todas las órbitas luego el número de pares a contar es n12.

Si nos fijamos en las doce posibilidades para los giros, para cada una de ellas tenemso el número de coloraciones que fija.

Así que n12=54 +11x52 y así n=(54 +11x52 )/12=(52 +11)52/12=(36/12)x52

Este problema se puede pensar de otras formas más sencillas como se hizo en el taller.

¿Y si en vez de un tetraedro es un cubo? Es mucho más complicado que el tetraedro, pero con el

razonamiento anterior, sí podemos.


Ahora hay tres tipos de ejes para girar y podemos describir los giros, que son un total de 24.

El número de coloraciones ahora es 56

LA identidad fija todas las coloraciones, los giros de eje de cara a cara de cuarto y tres cuartos de vuelta, son 6 y cada uno fija 53 coloraciones.

Los giros de eje de cara a cara de mediavuelta, son 3 y cada uno fija 54 coloraciones.

Los giros de eje de vertice a vertice de un tercio y dos tercios de vuelta, son 8 y cada uno fija 52 coloraciones.

Los giros de eje de arista a arista de media vuelta, son 6 y cada uno fija 53 coloraciones.


Así que n24=56 +6x53+3x54+8x52+6x53

Y despejado tenemos n que es el número de cubos distintos que podemos hacer pintando las caras con 5 posibles colores.

Y aún tenemos en matemáticas fórmulas más sencillas de aplicar para resolver problemas de estos tipos.

Y si quieres pregúntame sobre las soluciones en [email protected]

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