Skripta Kvantitativne metode

1

Prof.dr.sc. Ljiljana Lovri

Ekonomski fakultet Rijeka

Diplomski studij

KVANTITATIVNE METODE ZA POSLOVNO ODLUIVANJE

(Nastavni materijali)

Sadraj:

1. MODELIRANJE U POSLOVNOM ODLUIVANJU ........................................................... 2

Model ............................................................................................................................ 2

Etape modeliranja ......................................................................................................... 2

Vrste modela ................................................................................................................. 4

Deterministiki i stohastiki modeli ................................................................................ 4

Simulacijski modeli ........................................................................................................ 5

Rjeenje analitiko, simulacijsko. ............................................................................... 5

2. ANALITIKE METODE ...................................................................................................... 5

Linearno programiranje. ............................................................................................... 5

Matematiki model ........................................................................................................ 6

Rjeavanje problema linearnog programiranja ............................................................. 9

Primjena programa MS Excel Solver ............................................................................. 17

AO ALABAHTER ....................................................................................................... 24

PITANJA I ODGOVORI ................................................................................................. 25

ZADACI ZA VJEBU (Zadatak 1 4) ........................................................................... 26

Analiza osjetljivosti. ...................................................................................................... 32

PRIPREMA ZA KOLOKVIJ 1 ................................................................................................ 52

3. EKONOMETRIJA .............................................................................................................. 54 (kratki pregled prema knjizi Uvod u ekonometriju)

4. METODA SIMULACIJE ..................................................................................................... 83

Monte Carlo simulacija .................................................................................................. 83

Diskretna simulacija ...................................................................................................... 83

Prednosti i nedostaci metode simulacije........................................................................ 85

Generiranje sluajne varijable ....................................................................................... 85

------------------------------------

Linearno programiranje zbirka zadataka ............................................................................ 87

Statistike tablice ................................................................................................................... 94

Formule ................................................................................................................................. 95

Literatura i napomene ........................................................................................................... 96

Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 1 of 96

2

KVANTITATIVNE METODE ZA POSLOVNO ODLUIVANJE

Donoenje poslovnih odluka je sve sloeniji i zahtjevniji proces, esto u uvjetima rizika, a na je

nain razmiljanja deterministiki. U kolegiju se obrauju metode koje predstavljaju neizostavan

alat za poslovno odluivanje.

Kvantitativne metode se primjenjuju kad se u praksi susretnemo s:

- kompleksnim problemima koji se ne mogu rijeiti na osnovi iskustva ili kvantitativne analize;

- problemima za koje su odluke od velikog znaaja;

- novim problemima i nepoznatim situacijama;

- problemima koji se esto ponavljaju i zahtjevni su za rjeavanje.

Cilj kolegija jest pripremiti studente za rjeavanje problema u podruju poslovnog odluivanja i to

kroz identifikaciju problema, postavljanje modela, prikupljanje podataka, rjeavanje modela, for-

malno testiranje rjeenja i analizu rezultata.

U kolegiju se povezuje ekonomska teorija s matematikim modeliranjem, a postupak rjeavanja

modela i analize se provodi na raunalu.

1. MODELIRANJE U POSLOVNOM ODLUIVANJU

Osnova za analizu i predvianje jesu modeli koji repliciraju strukturu poslovnog procesa odnosno

sustava tako da se mogu procijeniti efekti promjena u njemu.

Model

Model pojednostavljeni prikaz sloenog sustava.

Sustav - skup objekata i procesa koji su u meuzavisnosti.

Cilj modeliranja : razumijevanje sustava, kontrola i utjecaj na rad sustava.

U primjeni kvantitativnih metoda u ekonomiji i menedmentu javljaju se specifini problemi koji pro-

izlaze iz kvalitativnih karakteristika ovih disciplina, sloenih struktura i meuzavisnosti koje je esto

nemogue opisati i predstaviti matematikim formulacijama. Najvaniji korak predstavlja definiranje

problema Kako bismo postigli cilj modeliranja potrebno je specificirati im jednostavniji model. Iako

se moe raditi o vrlo sloenom sustavu, to se moe postii definiranjem ogranienja u sustavu, ka-

ko bi bile ukljuene samo vane karakteristike prouavanog sustava.

Etape modeliranja

Proces modeliranja tee kroz nekoliko koraka. U tom procesu je osnovni zadatak specificiranje ok-

retnog modela. Radi se o pojednostavljenom prikazu prouavanog sustava. Ako su ogranienja

odnosno pretpostavke neispravno definirane, model nee biti reprezentativan. Tada ga je potrebno

poboljati. Radi se o ciklusu modeliranja koji je prikazan na sl. 1.

Definiranje problema

Definiranje problema predstavlja najvaniji i najtei korak u modeliranju, poto svi daljnji koraci ovi-

se o ovom. Potrebno je saeto definirati problem i ciljeve te utvrditi ogranienja u sustavu kako bi-

smo se usredotoili samo na karakteristike sustava koje su nam vane u istraivanju.

Izgradnja modela

Model je zapravo, oblik predoavanja sistema i teorije o njemu. Dok je teorija uvijek verbalno izra-

ena, model moe biti nainjen u razliitim medijima. Model slui. Model slui za objanjavanje ne-


3

kih konkretnih procesa ili stanja sustava. Stoga je model zapravo, samo simplifikacija i apstrahira-

nje nekih kljunih elemenata teorije . Njegova je uloga provjeravanje teorije na djelu. (iljak, str.19).

Izgradnja modela ovisi o vrsti modela koji e se koristiti. Iz verbalno definiranog problema istrai-

vanja moramo matematiki definirati uvjete i ogranienja sustava kojima se odreuje prostor mo-

guih rjeenja.

Slika 1. Etape modeliranja

Prikupljanje podataka

Prikupljanje podataka je vaan korak koji zahtjeva posebnu panju jer o raspoloivosti i kvaliteti

podataka ovise rezultati modeliranja. Ako potrebni podaci nisu raspoloivi u standardnom sustavu

prikupljanja podataka poslovanja, potrebno je odluiti izmeu dviju mogunosti:

- neposredni dodatni zahtjevi za prikupljanje nedostatnih podataka;

- prilagodba modela za postojeu skupinu podataka.

Dodatni zahtjevi za prikupljanjem podataka iziskuju obino znatne trokove i potrebno je analizom

utvrditi njihovu ekonomsku opravdanost. esto i s jednostavnijim modelom i skromnijim podacima

postiemo dobre rezultate.

Verifikacija i ispitivanje valjanosti modela

Verifikacija je utvrivanje korektnosti modela, tj. ispitivanje funkcionira li model onako kako oeku-

jemo. To je formalno testiranje odgovara li rjeenje koje dobijemo svim uvjetnim ogranienjima

modela, ili kratko reeno jesmo li dobili mogue rjeenje modela.

Ispitivanjem valjanosti utvrujemo daje li model rjeenja koja se slau s opaanjima na realnom

sustavu. Ukoliko utvrdimo da postoje neslaganja ili proturjenosti, model je potrebno poboljati re-

definiranjem ogranienja i pretpostavki. Taj postupak ponavljamo dok ne postignemo zadovoljava-

juu reprezentativnost modela.

Definiranje

problema

Izgradnja modela

Prikupljanje i

analiza podataka

Ispitivanje

valjanosti

modela

Verifikacija

modela


4

Vrste modela

Postoji mnogo vrsta modela. Nae podruje interesa jesu matematiki modeli, koji spadaju u sim-

bolike modele. To je skup matematikih i logikih veza meu pojedinim elementima sustava. Npr.

matematiki model kontrole zaliha ukljuuje potranju za proizvodom, trokove dranja zaliha i sni-

enja nabavnih cijena za vee narudbe. Modeli mogu biti jednostavniji i sloeniji, npr. model zali-

ha se moe predstaviti jednom jednadbom, dok se makroekonomski model privrede moe sasto-

jati od sustava diferencijskih jednadbi vieg reda.

Podjelu matematikih modela baziramo na vrsti sustava kojeg modeliramo. Sustavi mogu biti sta-

tiki ili dinamiki, diskretni ili kontinuirani.

Statiki sustav

- vrijeme nema vanu ulogu ili smo zainteresirani za stanje sustava u odreenom trenutku. Primjer:

financijski sustavi daju financijsko stanje poduzea u odreenom trenutku.

Dinamiki sustav

- sustav koji se mijenja kroz vrijeme. Primjer: prolaz putnika kroz zranu luku.

Diskretni i kontinuirani sustav

- stanje sustava se mijenja u diskretnim vremenskim intervalima, odnosno kontinuirano. Primjeri:

prolaz putnika u zranoj luci je diskretni dogaaj dogaa se u odreenim trenucima; prolaz nafte

kroz naftovod je kontinuirani dogaaj nema odreenih trenutaka kad nastane dogaaj.

Deterministiki i stohastiki modeli

Deterministiki modeli: modeli koji imaju egzaktno rjeenje koje se esto naziva analitiko:

- nema sluajnih utjecaja na varijable i parametre;

- izmeu varijabli je tona uzrono-posljedina veza; za odreene ulazne vrijednosti varijabli dobi-

vaju se uvijek iste izlazne vrijednosti varijable.

Stohastiki modeli: imaju parametre (ili varijable) koje nemaju fiksne vrijednosti:

- ukljuuju sluajne varijable odnosno sluajne procese;

- nije mogue tono predvidjeti izlazne vrijednosti varijabli;

- sluajne varijable su predstavljene distribucijama vjerojatnosti.

Stohastiki modeli obuhvaaju:

modele koji se od deterministikih modela razlikuju jer ukljuuju sluajne greke - za sustave ije

bi ponaanje mogli tono predvidjeti za ulazne vrijednosti parametri i varijabli modela, kad ne bi bili

prisutni sluajni utjecaji ili greke koje prouzrokuju odstupanja od takvog ponaanja. Za tu vrstu

sluajne greke vrijede pretpostavke:

- da su raspodjeljene N (0,2);

- povezanost s deterministikim dijelom je aditivna rjee multiplikativna;

- sluajne greke su nekorelirane u vremenu (tj.stanje u trenutku nije ovisno o proteklim stanjima)

modeli s jae ukljuenim sluajnim utjecajima, npr. kao promjene u samoj strukturi sustava.

- vaan korak u analizi takvog sluajnog procesa je utvrivanje distribucije vjerojatnosti i njenih pa-

rametara, odnosno prepoznavanje oblika teorijske raspodjele koja se najbolje prilagoava empirij-

skim podacima.

Osnovna karakteristika primjene u poslovnom odluivanju stohastikih modela koji eksplicitno uk-

ljuuju sluajnu varijablu jest velik broj ponovljenih uzoraka. Samo u tom sluaju imamo dobru pot-

poru pri odluivanju u uvjetima rizika.


5

Nalaenje rjeenja - analitiki i simulacijski pristup

Deterministiki modeli imaju egzaktno rjeenje analitiko rjeenje.

Stohastiki modeli:

za neke imamo analitiko rjeenje iz distribucija vjerojatnosti ulaznih podataka izraunava se

zakon distribucije izlaznih varijabli;

za veinu analitiko rjeenje ne postoji, pa koristimo simulacijski pristup. Iz dovoljno velikog broja

empirijskih simulacija sluajne varijable, dobijemo podatke o njezinoj distribuciji vjerojatnosti.

Simulacijski modeli

Veina stohastikih modela se ne moe analitiki rijeiti pa se za nalaenje rjeenja koristi nume-

rika tehnika, simulacija. Iako je simulacija metodologija za rjeavanje odreene vrste stohastikih

modela, esto govorimo o simulacijskim modelima. To je zbog toga jer ti modeli imaju odreene

zajednike karakteristike:

- slue za prouavanje stohastikih sustava i stohastika svojstva se analiziraju na osnovi velikog

broja uzoraka (kako bi se postigla pouzdanost) iz odgovarajuih distribucija vjerojatnosti;

- modeli se sastoje od skupa pravila, logikih izraza, distribucija vjerojatnosti i matematikih jed-

nadbi.

Metoda simulacije se najee upotrebljava u proizvodnji, transportu, uslunom sektoru, financij-

skom sektoru, komunikacijama itd. Osnovne vrste simulacija su:

- Monte Carlo simulacija za statike sustave;

- diskretna i kontinuirana simulacija za dinamike sustave.

2. ANALITIKE METODE

Analitiki metode su one koje za rjeavanje koriste klasine tehnike. Prouit emo neke determini-

stike i stohastike modele koji se rjeavaju analitikim metodama, a koriste se u poslovnom odlu-

ivanju.

Deterministiki modeli su modeli u kojima je pretpostavljeno da nema neizvjesnosti u varijablama i

parametrima modela. Iako u praksi nema takvih primjera gdje se sve sa sigurnou odvija, ipak

takvi modeli predstavljaju razumnu aproksimaciju za sluajeve gdje je varijabilnost mala. Prednost

im je to su obino jednostavniji za rjeavanje od stohastikih modela.

Obradit emo modele linearnog programiranja i modele zaliha.

Linearno programiranje

Linearno programiranje (LP) je optimizacijska tehnika, jedna od metoda operacijskih istraivanja1.

LP je matematika metoda za maksimiziranje ili minimiziranje linearne funkcije cilja(kriterija) s og-

ranienjima u obliku linearnih nejednadbi odnosno jednadbi, te s uvjetom nenegativnosti za vari-

jable.

S obzirom na vrstu ogranienja razlikujemo slijedee oblike problema LP:

Standardni oblik problema maksimuma ogranienja u obliku

Standardni oblik problema minimuma ogranienja u obliku

Kanonski oblik problema maksimuma (ili minimuma) ogranienja su jednadbe

Opi oblik problema maksimuma (ili minimuma) ogranienja u obliku , ,=

1 Operacijska istraivanja predstavljaju primjenu matematikih metoda u modeliranju i analizi sustava


6

MATEMATIKI MODEL

Standardni problem maksimuma

Maksimizirati funkciju cilja: Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn (1)

uz ogranienja:

a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (2)

a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2

am1x1+am2x2+ ...+amnxn bm

uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (3)

Model moemo pisati u saetom obliku:

n

1j

jj xcMaxz (4)

n

1j

ijij bxa , i=1,2..m (5)

xj 0 (6)

gdje je:

cj = koeficijent funkcije cilja j-te varijable, j=1,2..n;

xj = strukturna varijabla, j=1,2..n;

bi = koliina i-tog ogranienja; koeficijent na desnoj strani nejednadbe, i=1,2..m;

aij= koliina i-tog ogranienja potrebnog za jedinicu j-te varijable; koeficijent uz

varijablu u ogranienju, i=1,2..m , j=1,2..n;

Model napisan u matrinom obliku:

n

n

x

x

x

cccMaxz2

1

21 ... (7)

m

2

1

n

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

(8)

0

0

0

x

x

x

n

2

1

(9)


7

Uvedemo li oznake,

n

2

1

c

c

c

c ,

n

2

1

x

x

x

x ,

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

A

,

m

2

1

b

b

b

b

,

gdje je c vektor koeficijenata funkcije cilja, x vektor nepoznanica i to strukturnih varijabli, A matrica

koeficijenata i to strukturnih, te b vektor slobodnih lanova.

Model (1)-(3) u matrinom obliku moemo napisati simboliki :

Max z = c'x (10)

A x b (11)

x 0 (12)

Vektor x koji zadovoljava ogranienje (11) predstavlja rjeenje problema.

Vektor x koji zadovoljava ogranienje (11) i (12) predstavlja mogue rjeenje problema.

Vektor x koji zadovoljava ogranienje (10),(11) i (12) predstavlja optimalno rjeenje problema.

Kanonski problem

Problem maksimuma u kanonskom obliku i matrinoj notaciji:

Max z = c'x (13)

A x = b (14)

x 0 (15)

Kanonski problem karakteriziraju ogranienja u obliku jednadbi. Iz standardnog oblika moemo

prijei u kanonski pomou dopunskih varijabli. Dopunske varijable se ukljuuju u ogranienja (11) i

tako od nejednadbi dobivamo jednadbe. Vektor nepoznanica se sada sastoji od strukturnih i do-

punskih varijabli.

Standardni problem linearnog programiranja i njegov kanonski oblik su ekvivalentni, tj. svako rje-

enje jednog od tih problema ujedno je rjeenje i drugog.

Dopunske varijable u funkciji cilja imaju koeficijent jednak nuli, to znai da one nita ne pridodaju

vrijednosti nekog programa.

Standardni problem maksimuma (1) - (3) napisan u kanonskom obliku glasi:

Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn + 0xn+1 + 0xn+2 + ...+ 0xn+m (16)

a11x1+a12x2+ ...+a1nxn + xn+1 = b1 (17)

a21x1+a22x2+ ...+a2nxn + xn+2 = b2

. .. .....

am1x1+am2x2+ ...+amnxn + xn+m = bm

x1, x2, ..xn+m 0 (18)


8

Problem proizvodnje

Cilj: Sastaviti proizvodni program tako da ne prekoraimo raspoloivu koliinu resursa potrebnih

za proizvodnju i da maksimiziramo ukupno postignute rezultate s obzirom na postavljeni kriterij.

Pretpostavimo da je postavljeni kriterij postizanje im veeg profita. Uvodimo oznake:

Pj proizvod vrste j (j=1,2,...n);

Ri resurs vrste i (i=1,2,...m);

cj profit po jedinici proizvoda j (j=1,2,...n);

xj koliina proizvoda vrste j (j=1,2, ...n)

aij utroak resursa i po jedinici proizvoda j (i=1,2,...m; j=1,2,...n);

bi raspoloiva koliina resursa i (i=1,2,...m).

z ukupni profit

Podatke emo predstaviti u tablici:

Tablica 1. Opi podaci za problem proizvodnje

Proizvod jed.profit

Resurs

P1 c1

P2 c2

...

Pn cn

Raspoloiva kol. resursa

R1 a11 a12 a1n b1

R2 a21 a22 a2n b2

Rm am1 am2 amn bm

Optimalni rezultat e dati odgovor kakva e biti struktura proizvodnje (kolika je proizvodnja pojedi-

ne vrste proizvoda), koliki je maksimalni ukupni profit, te kolika je iskoritenost pojedine vrste re-

sursa.

Matematiki model:

Funkcija cilja maksimizira ukupni profit z:

Max z = c1x1+c2x2+.....+cnxn (19)

uz ogranienja raspoloivih resursa:

a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (20)

a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2


uvjet nenegativnosti:

x1, x2, ..xn 0 (21)

Opi problem proizvodnje ovako definiran je pojednostavljen. U programu mogu biti ukljuena do-

datna ogranienja vezana uz tehnoloki proces proizvodnje, zatim plasman na trite i slino.

Pretpostavka je da se ne radi o viefaznoj proizvodnji.

Postavljeni cilj u programu moe biti jo npr. maksimizacija iskoritenosti kapaciteta strojeva, mi-

nimizacija ukupnih trokova, itd.


9

RJEAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Rjeenje problema linearnog programiranja moemo dobiti

- grafiki za probleme s najvie dvije strukturne varijable (koordinatni sustav x10x2)2

- algebarski pomou simpleks metode

Grafiko rjeenje

Primjer 1

Poduzee proizvodi dva proizvoda P1 i P2. Svaki proizvod se obrauje na dva stroja S1 i S2. Potre-

bno vrijeme obrade na strojevima za svaki proizvod i raspoloivi kapacitet strojeva (u satima) i pro-

fit (u kunama) po komadu proizvoda pojedine vrste iznose:

Stroj

Proizvod Kapacitet strojeva

(sati)

(Objanjenje: stroju 1 treba 1 sat za P1 i 1 sat za P2,

moe proizvoditi do 200 sati) P1 P2

S1 (sati) S2 (sati)

1 1 2 1

200 300

Profit (kn) 40 60

Na tritu se moe prodati najvie 150 komada proizvoda P2 !

Potrebno je odrediti optimalan plan proizvodnje, tj. koliinu x1 proizvoda P1, te koliinu x2 proizvo-

da P2 koje je potrebno proizvesti koristei raspoloivi kapacitet strojeva i mogui plasman na tri

tu, za koje e ukupni profit biti maksimalan.

Matematiki model:

Max z = 40x1 + 60x2 (22)

x1 + x2 200 (23) 2x1 + x2 300 x2 150 x1, x2 0 (24)

Radi se o standardnom problemu maksimuma (ogranienja(23) u obliku ), sa dvije struk-turne varijable i tri ogranienja (kapacitet strojeva i mogunost prodaje proizvoda).

Koraci rjeavanja grafike metode jesu:

nacrtati ogranienja;

odrediti skup moguih rjeenja;

odrediti poloaj funkcije cilja3

odrediti optimalno rjeenje, pomicanjem pravca koji predstavlja funkciju cilja paralelno u

smjeru optimizacije4 do zadnje toke skupa moguih rjeenja.

Osnovni teoremi LP

Ako problem LP ima optimalna rjeenja, tada se najmanje jedno od tih rjeenja nalazi u ek-

stremnoj toki skupa moguih rjeenja.

Problem LP s ogranienim, nepraznim skupom moguih rjeenja uvijek ima optimalno rjeenje.

2 odnosno tri strukturne varijable (prostorni koordinatni sustav x10x20x3)

3 umjesto crtanja funkcije cilja, optimum se moe odrediti izraunavanjem vrijednosti funkcije cilja za pojed i-

ni vrh skupa moguih rjeenja te utvrivanjem za koji od njih je vrijednost z funkcije cilja maksimalna. 4 kod traenja maksimuma pravac pomiemo u smjeru od ishodita koordinatnog sustava, a kod traenja

minimuma pravac pomiemo u smjeru prema ishoditu koordinatnog sustava.


10

Grafiki prikaz ogranienja skupa moguih rjeenja te funkcije cilja

Ogranienje (24) nenegativnosti:

predstavlja skup toaka prvog kvadranta koordinatne ravnine x10x2 s ishoditem i pozitiv-

nim dijelovima koordinatnih osi.

Ogranienja (23):

odredi se skup toaka koje zadovoljavaju pojedino ogranienje (oznake = i

11

unutarnje toke

granine toke toke

ekstremna toka

Crtanje funkcije cilja:

Prema osnovnom teoremu , najvea vrijednost funkcije cilja bit e u nekom od vrhova skupa mo-

guih rjeenja.Najvea vrijednost funkcije cilja z je u vrhu D. optimalno rjeenje je x1 = 50, x2 = 150,

z= 11000.

Ekstremne toke skupa moguih rjeenja i pripadne vrijednosti z:

vrh koordinate vrha

z

A

B

C

D

E

(0,0)

(150,0)

(100,100)

(50,150)

(0,150)

0

6000

10000

11000

9000

Zbog ega je optimalno rjeenje u nekom od vrhova skupa moguih rjeenja?

Uzmemo li jednu od toaka npr. T (50,50), vrijednost funkcije cilja e za tu toku iznositi

z = 4050 + 6050 = 5000. Jednadba funkcije cilja kroz tu toku je 5000=40x1 + 60x2

Slika1. Grafiko rjeenje

Max Z = 40x1 + 60x2 T(50,50) Z = 40x50 + 60x50 = 5000 5000 = 40x1 + 60x2 x2=0 5000=40x1 x1=5000/40 x1=125 x1=0 5000=60/x2 x2=5000/60 x2=83,33 T(50,100) Z = 40x50 + 60x100 = 7000 7000 = 40x1 + 60x2 x2=0 7000=40x1 x1=7000/40 x1=175 x1=0 7000=60/x2 x2=7000/60 x2=116,66


12

Ako izaberemo T1 (50,100), vrijednost funkcije cilja e biti z = 4050 + 60100 = 7000, a jednadba

kroz tu toku je 7000 = 40x1 + 60x2 . Dakle, jednadba z = 40x1 + 60x2, predstavlja skup pravaca s

istim nagibom.

Pomicanjem pravca funkcije cilja paralelno preko skupa moguih rjeenja, im dalje od ishodita,

do zadnje toke koju dodiruje u skupu moguih rjeenja, nalazimo optimalno rjeenje u toki D

(50,150), tj. x1 = 50, x2 = 150, a optimalna vrijednost funkcije cilja z = 11000.

Interpretacija optimalnog rjeenja:

Optimalni proizvodni program:

x1 = 50 komada proizvoda P1

x2 = 150 komada proizvoda P2

maksimalni profit z=11000 kn.

Ako bi se radilo o nekoj drugoj funkciji cilja, optimalno rjeenje bi moglo biti u nekom drugom vrhu,

a ako jednadba funkcije cilja ima nagib kao neki od pravaca ogranienja, tada se optimalno rjee-

nje nalazi u dva vrha i svim tokama na duini koja ih povezuje.

Nalaenje ekstremnih toaka algebarskim putem

Kod traenja rjeenja algebarskim putem, potreban nam je model u kanonskoj formi.

Kanonska forma modela:

Svakom ogranienju na lijevoj strani dodajemo po jednu nepoznanicu kako bismo dobili sustav je-

dnadbi. To su dopunske varijable (varijable manjka). One u funkciji cilja imaju koeficijent 0 jer ne

pridonose vrijednosti z.

Max z = 40x1 + 60x2 + 0 x3 + 0x4 + 0 x5 (25)

x1 + x2 + x3 = 200 (26)

2x1 + x2 + x4 = 300

x2 + x5 = 150

x1, x2 , x3 , x4 , x5 0 (27)

Da bismo nali rjeenje potrebno je rijeiti sustav od tri jednadbe [relacije pod (26)] i nai ono rje-

enje koje zadovoljava uvjet nenegativnosti i daje funkciji cilja maksimalnu vrijednost. Taj sustav

jednadbi ima manje jednadbi nego nepoznanica i zbog toga nema jedinstveno rjeenje.

Sustav napisan simboliki i u matrinom obliku:

A x = b

150

300

200

10010

01012

00111

5

4

3

2

1 =

x

x

x

x

x

Moe se napisati i ovako:

150

300

200

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

2

1

54321 xxxxx

ili krae: A1 x1 + A2 x2 + A3 x3 + A4 x4 + A5 x5 = b

Ukupno imamo 5 varijabli, 2 strukturne (x1, x2) i 3 dodatne (x3 , x4 , x5). Za svaki vrh znamo vrijed-

nost strukturnih varijabli, a sada bi trebali odrediti jo vrijednost dodatnih varijabli.


13

Toka A(0,0)

x1=0, x2=0 , x3 =?, x4 =?, x5 =?

150

300

200

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

2

1

543 xxx

Prva dva produkta su jednaka nuli (jer su vrijednosti varijabli jednake nuli). Sustav sad moemo

pisati :

150

300

200

100

010

001

5

4

3

x

x

x

U matrici A smo izbrisali 1. i 2. stupac, a u vektoru nepoznanica izbacili varijable x1 i x2. Iz proire-

ne matrice sustava itamo odmah rjeenje jer je matrica koeficijenata jedinina.

150100

300010

200001

x3=200, x4=300 , x5 =150 .

Toka B(150,0)

Briemo 2. i 4. stupac u matrici A izbacimo varijable x2 i x4 , pa rijeimo sustav:

150100

50010

150001

150100

100020

200011

150100

300002

200011

x1=150, x3=50 , x5 =150 .

Rjeenja za sve ekstremne toke su u tablici:

vrh prostor (x1, x2) prostor (x1, x2, x3 , x4 , x5)

A

B

C

D

E

(0,0)

(150,0)

(100,100)

(50,150)

(0,150)

(0,0,200,300,150)

(150,0,50,0,150)

(100,100,0,0,50)

(50,150,0,50,0)

(0,150,50,150,0)

Zajedniko svojstvo toaka A,B,C,D,E:

3 od 5 varijabli je razliito od nule(3 zato jer su 3 ogranienja u ovom problemu LP).

Zbog toga:

sustav od 3 jednadbe i 5 nepoznanica sustav od 3 jednadbe i 3 nepoznanice;

matrica koeficijenata sustava A35 matrica koeficijenata sustava A33 ;

sustav s mnogo rjeenja sustav s jednim rjeenjem*.


14

Karakteristike sustava*:

Vektori matrice A33 ine bazu.

Rjeenje sustava zovemo bazino rjeenje6.

Ukljuenjem uvjeta nenegativnosti varijabli dobivamo bazino mogue rjeenje problema LP.

Bazino mogue rjeenje je ekstremna toka skupa moguih rjeenja.

Meu ekstremnim tokama nalazimo optimalno rjeenje.

Optimalno rjeenje je toka D. U prostoru (x1, x2, x3 , x4 , x5) nalazimo vrijednost dodatnih varijabli.

Samo x4 je razliita od 0. To znai da je kapacitet strojeva S2 neiskoriten i to 50 sati. S1 grupa

strojeva je potpuno iskoritena kao i plasman na tritu.

Ekstremne toke skupa moguih rjeenja i optimalno rjeenje se pronalaze simpleks metodom.

Svaka iteracija simpleks metode sadri po jedno bazino rjeenje.

Standardni problem minimuma

Matematiki model problema minimuma (standardni oblik):

Min w = c1x1+c2x2+.....+cnxn (28)

a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (29)

a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2


x1, x2, ..xn 0 (30)

U matrinom obliku moemo napisati simboliki :

Min w = c'x (31)

A x b (32)

x 0 (33)

6 Bazino rjeenje sustava od m jednadbi i n nepoznanica je ono rjeenje kod kojeg m varijabli ima vrijed-

nost razliitu od nule, a preostalih (n-m) varijabli vrijednost jednaku nuli.


15

Primjena Problem prehrane

Cilj: Sastaviti prehrambeni program tako da svaka hranjiva komponenta bude zastupljena bar u

minimalnoj koliini i prehrambeni program bude najjeftiniji.

Ovaj problem je prvi put postavio G.J.Stigler7 1945.godine. Obuhvaao je 77 namirnica i 9 hranjivih

elemenata.

Uvodimo oznake:

Nj namirnica vrste j (j=1,2,...n);

Hi hranjivi sastojak vrste i (i=1,2,..m);

cj jedinina cijena namirnice j (j=1,2,...n);

xj koliina namirnice vrste j (j=1,2, ...n)

aij koliina hranjivog sastojka vrste i u jedinici namirnice vrste j (i=1,2,...m; j=1,2,...n);

bi minimalna koliina hranjivog sastojka vrste i (i=1,2,...m) koji se zahtijeva u

prehrambenom programu;

w cijena prehrambenog programa.

Podatke emo predstaviti u tablici:

Tablica 2. Opi podaci za problem prehrane

Namirnica jed.cijena

Hranjivi sastojak

N1 c1

N2 c2

...

Nn cn

Minimalna koliina

hranjivog sastojka

H1 a11 a12 a1n b1

H2 a21 a22 a2n b2

Hm am1 am2 amn bm

Matematiki model:

Funkcija cilja minimizira trokove w prehrambenog programa :

Min w = c1x1+c2x2+.....+cnxn (34)

uz ogranienja vezana uz zastupljenost bar minimalnih koliina hranjivih sastojaka :

a11x1+a12x2+ ...+a1nxn b1 (35)

0 a21x1+a22x2+ ...+a2nxn b2


uvjet nenegativnosti: x1, x2, ..xn 0 (36)

Optimalni rezultat e dati odgovor od kojih namirnica e se sastojati obrok, koliki su minimalni tro

kovi, te kolika je zastupljenost pojedine vrste hranjivog elementa.

Rjeenje problema LP moemo dobiti

grafiki za probleme s najvie dvije strukturne varijable (koordinatni sustav x10x2)8

algebarski pomou simpleks metode (npr. Charnesove M metoda; originalna simpleks me-

toda primijenjena na dual ovog problema)

7 Marti, Lj.: Matematike metode za ekonomske analize II, Narodne novine Zagreb, 1966., str.90.

8 odnosno tri strukturne varijable (prostorni koordinatni sustav x10x20x3)


16

Primjer 2

Tvornica hrane za pse u pripremi gotove hrane koristi 2 namirnice, itarice i meso. itarice sadre

masnoa 1 g/kg i bjelanevina1g/kg . Meso sadri masnoa 2g/kg i bjelanevina 4g/kg. Cijena za 1

kg itarica je 6 kn, a mesa 21 kn. Pakiranje gotove hrane mora sadravati bar 30 g masnoa i bar

40 g bjelanevina. Treba odrediti koliinu jedne i druge namirnice koju pakiranje mora sadravati, a

da pri tom budu zadovoljeni nutricijski zahtjevi i cijena bude minimalna.

Prikazat emo podatke u tablici:

Namirnica

Hranjivi sastojci g/kg Cijena u kn za 1kg masnoe bjelanevine

itarice Meso

1 1 2 4

6 21

min.kol. (g) sastojka u pakiranju

30 40

Matematiki model:

Min w = 6x1 + 21x2 (37)

x1 + 2x2 30 (38)

x1 + 4x2 40

x1, x2 0 (39)

Radi se o standardnom problemu minimuma (ogranienja(38) u obliku ), sa dvije strukturne vari-

jable i dva ogranienja(minimalni nutricijski zahtjevi za masnoe i bjelanevine).

Optimalno rjeenje dobiveno grafikim putem je prikazano na slici 2.

Slika 2. Grafiko rjeenje

Interpretirajte optimalno rjeenje!

Koliki je ukupni minimalni troak pakiranja?

Interpretirajte vrijednost strukturnih varijabli.

Izraunajte vrijednost dodatnih varijabli i navedite njihovo znaenje!

Interpretacija rjeenja:

Pakiranje e sadravati 20 kg itarica i 5 kg mesa. Cijena pakiranja je 225 kn.


17

Primjena programa MS Excel Solver

Rjeavanje problema LP se provodi primjenom simpleks algoritma. To je algebarski postupak za

nalaenje mogueg bazinog rjeenja sustava jednadbi matrinim putem, a pri tom svako dobive-

no rjeenje ispituje jesmo li nali bazino rjeenje koje funkciji cilja daje maksimalnu vrijednost, od-

nosno moe li se vrijednost z poveati prijelazom na slijedee bazino rjeenje. Geometrijski gle-

dano, simpleks metoda kree od ishodita i dalje od vrha do vrha po skupu moguih rjeenja, po-

veavajui vrijednost funkcije cilja dok ne doe do optimalnog rjeenja. Poetno bazino rjeenje je

ono koje je poznato, tj. ono kod kojeg su strukturne varijable jednake nuli (nebazine), a dodatne

varijable su bazine (razliite od nule). To je ishodite koordinatnog sustava. Slijedee bazino rje-

enje nalazimo elementarnom transformacijom poetne baze, tako da se jedan od vektora poet-

ne baze zamijeni jednim od preostalih vektora matrice A, a koji nisu u bazi. Ta zamjena se odvija

prema definiranim kriterijima za odabir vektora koji e ui u bazu, te onog koji e izai iz baze.

Transformacija baze tj. nalaenje novih bazinih rjeenja se obavlja sve dok postoji mogunost

poveanja vrijednosti funkcije cilja z. Primjenom kriterija omogueno je da se doe do optimalnog

rjeenja efikasno, tj. Bez da se nalazi i ispituje sva mogua bazina rjeenja sustava.

Koristit emo MS Excel Solver program za nalaenje optimalnog rjeenja i analizu osjetljivosti rje-

enja.

Nalaenje rjeenja prikazat emo na primjeru 1, str.8 , iz Metode i modeli za donoenje optimalnih

poslovnih odluka.

Radi se o problemu proizvodnje. Potrebno je odrediti optimalan plan proizvodnje, tj. koliinu x1 pro-

izvoda P1, te koliinu x2 proizvoda P2 koje je potrebno proizvesti koristei raspoloivi kapacitet

strojeva i mogui plasman na tritu, za koje e ukupni profit biti maksimalan.

Matematiki model:

Max z = 40x1 + 60x2 (1)

x1 + x2 200 (2)

2x1 + x2 300

x2 150

x1, x2 0 (3)

Matematiki model u matrinom obliku:

Max z = (4)

(5)

(6)

Zatim unosimo podatke u radni list:

Stroj

Proizvod Kapacitet strojeva

(sati) P1 P2

S1 (sati) S2 (sati)

1 1 2 1

200 300

Profit (kn) 40 60

Na tritu se moe prodati najvie 150 komada proizvoda P2 !


18

Slika 2: Unos podataka u radni list.

A B C D

1 ogranienja P1 P2 raspoloivo 2 S1 1 1 200

3 S2 2 1 300

4 Trite 0 1 150

5 Profit 40 60

6

7 Rjeenja 1 1 (koliine) 8 Max

9 Fn.cilja =SUMPRODUCT( B5:C5;B7:C7) (cijenakoliina) 10

11 ogranienja iskoriteno raspoloivo 12 S1 =SUMPRODUCT( B2:C2;$B$7:$C$7) =D2 13 S2 =SUMPRODUCT( B3:C3;$B$7:$C$7) =D3 14 Trite =SUMPRODUCT( B4:C4;$B$7:$C$7) =D4

Za odreena rjeenja varijabli x1 i x2 , vrijednost funkcije cilja (4) i pojedinih ogranienja (5) preds-

tavlja skalarni produkt za koje u programu imamo na raspolaganju funkciju SUMPRODUCT (pr-

vi_niz, drugi_niz). Za poetna rjeenja

varijabli x1 i x2 postavljamo vrijednost 1, pa nam to omoguuje provjeravanje ispravnosti unesenih

formula (skalarni produkt mora biti jednak sumi koeficijenata odgovarajueg retka). Sljedei korak

je unos parametara modela. U prozoru Mogunosti uvodimo zahtjev da se radi o linearnom mode-

lu i zahtjev o nenegativnosti varijabli. Nakon toga odabirom gumba Solve (slika 3.) rijeimo prob-

lem. Pored optimalnog rjeenja jo moemo dobiti 3 izvjea (slika 5.):

o rjeenju

o analizi osjetljivosti

o granicama.

Slika 3: Unos parametara modela


19

Slika 4: Unos opcija parametara mode-la

Slika 5: Izbor izvjea

Ovo izvjee ukljuuje rjeenja varijabli (razine proizvodnje pojedine vrste proizvoda), optimalnu

vrijednost funkcije cilja (maksimalni profit) te iskoritenost ogranienja (resursa proizvodnje, plas-

mana). U naem primjeru dobivamo informaciju da je plasman na tritu i kapacitet strojeva S1

potpuno iskoriten (predstavljaju uska grla za poveavanje proizvodnje), dok kapacitet strojeva S2

ima neiskoritenih 50 sati.

Slika 6: Izvjee o rjeenju Microsoft Excel 11.0 Answer Report Worksheet: [Book1]Sheet1 Report Created: 5.1.2009 12:04:42

Target Cell (Max)

Cell Name Original Value

Final Value Max profit

$B$9 Fn.cilja 100 11000

Adjustable Cells opt.kol.

Cell Name Original Value

Final Value proizvodnje

$B$7 Rjeenja P1 1 50

$C$7 Rjeenja P2 1 150

Constraints

Cell Name Cell Va-

lue Formula Status Slack

$B$12 S1 iskoriteno 200 $B$12

20

Analiza osjetljivosti

Pomou analiza osjetljivosti utvrujemo osjetljivost optimalnog rjeenja na:

promjenu koeficijenta za varijablu u funkciji cilja;

mijenjanje vrijednosti strukturne varijable koja ima vrijednost 0 u vrijednost koja nije 0;

promjenu desne strane ogranienja.

Vano je napomenuti da se ispituju promjene samo u jednom parametru. Ako se radi o promjena-

ma u vie parametara, tada je problem sloeniji i potrebno je primijeniti parametarsko programira-

nje.

DEFINICIJE:

Allowable Decrease (Increase)

Dozvoljeni pad (rast) za 1 koeficijent u funkciji cilja

Najvea vrijednost za koju se koeficijent strukturne varijable u funkciji cilja moe smanjiti (poveati)

a da postojee optimalno rjeenje ostane optimalno.

Dozvoljeni pad (rast) za 1 vrijednost na desnoj strani ogranienja

Najvea vrijednost za koju se vrijednost na desnoj strani ogranienja moe smanjiti (poveati) a da

dualna cijena ostane nepromijenjena.

RHS vrijednost (vrijednost desne strane ogranienja)

Koliina raspoloivog resursa (za ogranienje ) ili minimalni zahtjev nekog kriterija (za ogranie-

nje ).

Shadow price (dualna cijena)

Veliina promjene vrijednosti funkcije cilja za poveanje desne strane jednog ogranienja za 1 je-

dinicu (marginalna vrijednost resursa).

OFC vrijednost (koeficijent u funkciji cilja)

Koeficijent strukturne varijable u funkciji cilja (npr. jedinini profit, jedinini troak ).

Reduced cost (oprtunitetni troak)

Postoji kad je neka strukturna varijabla jednaka nuli u optimalnom rjeenju. To je najmanji iznos od

kojeg koeficijent u funkciji cilja uz tu strukturnu varijablu treba biti vei, kako bi optimalno rjeenje

te varijable bilo razliito od nule. To je razlika izmeu marginalnog doprinosa te varijable i potreb-

nih marginalnih trokova resursa.

Slack (dopunske varijable)

Razlika izmeu lijeve (LHS) i desne (RHS) strane ogranienja. Kod ogranienja obino predstav-

lja neiskoriteni resurs, a kod ogranienja predstavlja prekoraenje minimalnog zahtjeva.


21

Problem asortimana proizvodnje P1 i P2:

Max z = 40x1 + 60x2 (profit)

x1 + x2 200 (sati S1)

2x1 + x2 300 (sati S2)

x2 150 (tr. P2)

x1,x2 0 (nenegativnost)

Optimalno rjeenje je o(50,150) i maksimalni profit z=11000.

Slika 6 Grafiko rjeenje LP.

Promjene parametra u funkciji cilja

Poveamo li profit po jedinici P1 sa 40 kn na 50 kn , funkcija cilja je: z' = 50x1 + 60x2

Slika 7 Analiza osjetljivosti

Microsoft Excel 11.0 Sensitivity Report

Worksheet: [Book1]Sheet1

Report Created: 5.1.2009 12:05:57

dozvoljeno pove. i smanjenje param. u funkciji cilja

parametri u funkciji cilja

Adjustable Cells

Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$B$7 Rjeenja P1 50 0 40 20 40

$C$7 Rjeenja P2 150 0 60 1E+30 20

Constraints

Final Shadow Constraint Allowable Allowable

Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease

$B$12 S1 iskoriteno 200 40 200 25 50

$B$13 S2 iskoriteno 250 0 300 1E+30 50

$B$14 Trite iskoriteno 150 20 150 50 50


22

Iz grafikog prikaza vidi se da se optimalno rjeenje ne mijenja. Kako se jedinini profit poveao,

poveava se i vrijednost z. Optimalno rjeenje e se promijeniti ako se nagib funkcije cilja vie

promijeni, npr. z1 = 140x1 + 60x2 , o1(150,0), z1=21000

Postoji interval vrijednosti za pojedini parametar u funkciji cilja, unutar kojeg intervala optimalna

vrijednost ostaje nepromijenjena, a mijenja se samo vrijednost funkcije cilja. Ako parametar pop-

rima vrijednosti van navedenog intervala, mijenja se i optimalno rjeenje. Tako za c1 interval vrije-

dnosti je (0,60), a za c2 interval je (40, +).

Promjene parametra na desnoj strani ogranienja

Poveamo li desnu stranu drugog ogranienja (sati S2) na 400, mijenja se skup moguih rjeenja,

nagib funkcije cilja se ne mijenja, ali se mijenja optimalno rjeenje: z1= 28000, o(200,0).

Max z = 140x1 + 60x2

x1 + x2 200

2x1 + x2 400

x2 150

x1,x2 0

Slika 8 Novo grafiko rjeenje

Ukupni profit se poveao sa 21000 na 28000 kn, za dodatnih 100 sati rada S2. To znai da svaki

dodatni sat rada S2 poveava profit za 70 kn (ili svaki sat manje je 70kn manje profita).

Ako se mijenja desna strana ogranienja koje je potpuno iskoriteno ('usko grlo'), promjena nastaje

i u funkciji cilja. Mjerimo utjecaj promjene za 1 jedinicu desne strane pojedinog ogranienja na

promjenu u vrijednosti u funkciji cilja koju zovemo dualna cijena ili cijena u sjeni. Kad ogranienje

predstavlja resurs, dualna cijena predstavlja marginalnu vrijednost tog resursa. U izvjeu takoer

dobivamo i interval vrijednosti za desnu stranu pojedinog ogranienja unutar kojeg dualna cijena

ostaje nepromijenjena.

Dualna vrijednost (Shadow price) ili marginalna vrijednost ogranienja predstavlja promjenu vrijed-

nosti funkcije cilja za poveanje RHS ogranienja za jedinicu. Dualna vrijednost y2 = 70 je margi-

nalna vrijednost funkcije cilja za poveanje RHS 2.ogranienja primala. Svaki dodatni sat rada S2

poveava profit za 70 kn.

Za ogranienje koje nije 'usko grlo', dualna vrijednost je nula, jer malo poveanje RHS ne moe

poveati optimalnu vrijednost funkcije cilja. Kad se RHS mijenja unutar granica odreenog interva-

la, shadow price se ne mijenja.

Promjena vrijednosti funkcije cilja predstavlja umnoak dualne vrijednosti i promjene RHS.

U Excelu postoji jo i tree izvjee koje se odnosi na granice unutar kojih se kreu vrijednosti po-

jedine varijable, te o vrijednosti funkcije cilja koja odgovara granicama tog intervala.


23

Poveavanje resursa.

Ulaganje u dodatne kapacitet resursa se isplati do visine dualne cijene za jedinicu resursa, ali pri

tom treba voditi rauna da ostanemo u granicama dozvoljenog intervala. Znai, ulagat emo za

dodatni sat rada kapaciteta S2 do 70kn.

Strukturna varijabla jednaka nuli

Reducirani troak (Reduced cost) ili oportunitetni troak je minimalna vrijednost za koju se treba

mijenjati parametar funkcije cilja za odreenu varijablu kako ona ne bi bila jednaka nuli u optimal-

nom rjeenju. To je iznos za koji e se vrijednost funkcije cilja promijeniti , ako varijabla umjesto 0

poprimi vrijednost 1. Ako se radi o problemu maksimuma (minimuma), reduced cost je vrijednost

za koju se parametar u funkciji cilja treba poveati (smanjiti). Za P2 jedinini profit bi se trebao po-

veati za 10 kn kako bi bilo profitabilno proizvoditi P2.

Predstavit emo cjelokupni Excel izvjetaj za model:

Max z = 140x1 + 60x2

x1 + x2 200

2x1 + x2 300

x2 150

x1,x2 0

Slika 8. Excel izvjetaj

Target Cell (Max)

Cell Name Original Value Final Value

$B$9 Fn.cilja P1 200 21000

Adjustable Cells

Cell Name Original Value Final Value

$B$7 Rjeenja P1 1 150

$C$7 Rjeenja P2 1 0

Constraints

Cell Name Cell Value Formula Status Slack

$B$12 S1 iskoriteno 150 $B$12

24

Slika 9. Excel izvjetaj

Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report

Worksheet: [Book1.xls]Sheet1

Report Created: 3/13/2009 17:26:22

Adjustable Cells

Final Reduced Objective Allowable Allowable

Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease

$B$7 Rjeenja P1 150 0 140 1E+30 20

$C$7 Rjeenja P2 0 -10 60 10 1E+30

Constraints

Final Shadow Constraint Allowable Allowable

Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease

$B$12 S1 iskoriteno 150 0 200 1E+30 50

$B$13 S2 iskoriteno 300 70 300 100 300

$B$14 Trite iskoriteno 0 0 150 1E+30 150

Kako je optimalna vrijednost strukturne varijable x2 jednaka nuli, imamo njezin oportunitetni troak.

To znai da minimalna vrijednost od koje bi jedinini profit P2 trebao biti vei kako bi bilo profita-

bilno proizvoditi P2 jest 10 kn.

Kapacitet S2 je potpuno iskoriten, dakle radi se o "uskom grlu" u proizvodnji. Dualna (marginalna)

vrijednost tog ogranienja jest 70 kn, to znai da svaki dodatni sat rada S2 poveava profit za 70

kn. To je ujedno i cijena jednog sata rada S2 do koje visine se isplati ulagati kod poveanja kapa-

citeta.

Intervali vrijednosti na desnoj strani svakog ogranienja unutar kojih optimalno rjeenje ostaje nep-

romijenjeno jesu: b1 (150, +); b2 (0, 400); b3 (0, +).

AO ALABAHTER

Promjena Raunalni ispis Znaenje

OFC Interval za Cj Optimalno rjeenje se ne mijenja

RHS Interval za bi Dualna cijena se ne mijenja

Shadow price (dualna cijena)

0 za usko grlo;

> 0, (z);

< 0, (z)

Marginalna vrijednost resursa (utjecaj na z promjene resursa za 1 jedinicu)

Strukturna varijabla

Xj = 0

Reduced cost (oportunitetni troak)

Za Max je < 0;

Za Min je > 0

Minimalna vrijednost od koje Cj treba biti

vea da je Xj 0 u rjeenju


25

PITANJA I ODGOVORI:

P1: Koji utjecaj na profit ima promjena u potranji na tritu?

O1: Potranja na tritu nije uope iskoritena (x5 = 150), pa dodatno poveanje potranje ne pri-

donosi poveanju profita (shadow price = 0).

P2: Koji utjecaj na profit ima poveanje kapaciteta S2 od 50 sati?

O2: Pitanje je vezano uz dualnu cijenu, ali prije moramo utvrditi je li navedeni porast unutar dozvo-

ljenog intervala za koji navedena dualna cijena vrijedi. Dozvoljeni rast je za 100 sati, pad za 300

sati. Porast od 50 sati je unutar dozvoljenog rasta, pa dualna cijena vrijedi: za svaki sat dodatnog

kapaciteta S2, profit raste za 70$. Ukupno poveanje je 3500$.

P3: to se dogaa ako poveamo kapacitet S2 za 300 sati? Je li utjecaj na profit isti?

O3: Poveanje od 300 sati je vee od dozvoljenog rasta, pa bi trebalo ponovno rijeiti zadatak jer

se dualna cijena mijenja.

P4: Ako ipak zahtijevamo proizvodnju P2, kako to utjee na profit?

O4: P2 se ne proizvodi jer nije dovoljno profitabilan:

60 = jedinini (granini) profitni prinos

70 = jedinini troak proizvodnje

10 = oportunitetni troak: toliko se smanji ukupni profit za 1 kom. proizvedenog P2

P5: Koliko profitabilan mora biti P2 da bi se ga isplatilo proizvoditi?

O5: Jedinini profit za P2 bi trebao biti vei od 70$. Obrazloenje: Ako pogledamo koeficijent u

funkciji cilja uz varijabilnu x2, njegov dozvoljeni interval u kojem moe varirati jest (0,70). To znai

da ako poveamo taj koeficijent na vrijednost veu od 70$, optimalno rjeenje se mijenja. Drugim

rijeima, poveamo li jedinini profit za vie od 10$ (sa 60 na npr. 75$), mijenja se i optimalno rje-

enje. U novom optimalnom rjeenju e biti x2 0, jer e taj proizvod biti profitabilno proizvoditi.


26


27 Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 27 of 96

28

Zadatak 1. Sirovina P1 P2 Raspoloivo sirovina

S1 (tona) 0,4 0,5 20 (t)

S2 (tona) 0 0,2 5 (t)

S3 (tona) 0,6 0,3 21 (t)

Ogranienja

PC (Prodajna Cijena $) 240 350

VT (Varijabilni Troak $) 200 320

DP (Doprinos Pokriu $) 40 30

X1 X1

Doprinos pokriu = Ukupni prihod Varijabilni trokovi

a) Matematika formulacija problema

MaxZ = 40x1 + 30x2

0,4x1 + 0,5x2 20

0,2x2 5

0,6x1+ 0,3x2 21

x1, x2 0

b) Kanonski oblik i znaenje strukturnih i dopunskih varijabli

MaxZ = 40x1 + 30x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

0,4x1 + 0,5x2 + x3 = 20

0,2x2 + x4 = 5

0,6x1 + 0,3x2 + x5 = 21

x1 x5 0

x1, x2 strukturne varijable, koliina proizvoda P1, P2 (kom.)

Ogranienja su raspoloive koliine sirovina S1, S2, S3 u tonama (t).

Funkcija cilja je maksimizirati doprinos pokriu Z u dolarima ($).

Dopunske varijable neiskoritene sirovine, x3, x4, x5

Dodatno ogranienje: x1 x2 0

x1, x2 koliine proizvodnje proizvoda P1 i P2 (t)

x3, x4, x5 neiskoriteni kapacitet sirovine 1, 2, 3 (t)

- neiskoriteni kapacitet

- prebaaj iznad min zahtijevane koliine

c) Dodatni zahtjev: koliina P2 ne bi smjela biti manja od P1

x2 x1

x1 + x2 0 / x(-1)

x1 x2 0


29

Zadatak 3. (prema zadatku 1)


30

Zadatak 2

Proizvod A + B: minimalno 350 galona idui mjesec Proizvod A: minimalno 125 galona idui mjesec Raspoloivo vrijeme za proizvodnju: 600 sati idui mjesec Proizvodnja A: 2 sata za 1 galon uz troak 2$/galon Proizvodnja B: 1 sat za 1 galon uz troak 3$/galon Cilj: minimiziranje trokova

X1 A

X2 B

Vrijeme proizvodnje (sati) 2 1 600

Trokovi ($) 2 3 Proizvodnja (galon) 1 1 350

Ogranienje 1 0 125

a) Matematika formulacija

Min w = 2x1 + 3x2

x1 125

2x1 + 1x2 600

x1, x2 0

b) Kanonski oblik

Min w = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 x1 + x2 x3 = 350 x1 x4 = 125 2x1 + x2 + x5 = 600

x1 x5 0

Strukturne varijable:

x1 koliina proizvodnje proizvoda A (galon) x2 koliina proizvodnje proizvoda B (galon)

Dopunske varijable:

x3 prebaaj iznad min. zahtijevane koliine (galon) x4 prebaaj iznad minimalne zahtijeva narudbe velikog kupca (galon) x5 neiskoriteno vrijeme proizvodnje (u satima)

c) Dodatni zahtjev (nee biti u kolokviju)

x2 = 2x1 2x1 + x2 = 0 / x(1) 2x1 x2 = 0

d) Dodatni zahtjev (nee biti u kolokviju)

x1 0,6 (x1 + x2)

x1 0,6x1 + 0,6x2

x1 0,6x1 0,6x2 0 0,4x1 0,6x2 0


31

Zadatak 4 (prema zadatku 2)


32

Analiza osjetljivosti

MaxZ = 40x1 + 30x2

0,4x1 + 0,5x2 20

0,2x2 5

0,6x1+ 0,3x2 21

x1, x2 0 1600 = 40x25 + 30x20

(Page 28/96)


33


34


35


36


37


38


39


40


41


42

Min w = 2x1 + 3x2

x1 125

2x1 + 1x2 600

x1, x2 0

(Page 30/96)


43


44


45


46


47


48


49


50


51


52

MaxZ = 8x1 + 5x2 0,1x1 + 0,5x2 = 350

0,3x1 + 0,5x2 650

0,4x1 + 0,2x2 500

x1, x2 0

x1 x2


53

z=300; x1=0; x2=30, x3=0, x4=20

Max Z = 20x1 + 10x2 + 0x3 + 0x4 x1 + 3x2 + x3 = 90 x1 + x2 + x4 = 50

x1, x2 0

Proizvodnja je optimalna ako proizvodimo

0 kom. proizvoda P1 i 30 kom. proizvoda P2.

Optimalnom proizvodnjom ostvaruju se minimalni trokovi od 300 kn.

Optimalnom proizvodnjom ispunjeni su minimalni zahtjevi rentabilne koliine proizvodnje.

Optimalnom proizvodnjom iskoriten je dio raspoloivih sati rada, a preostalo je neiskoritenih 20 sati rada.


54


55


56


57


58


59


60


61


62


63


64


65


66


67


68


69


70


71


72


73


74


75


76


77


78


79


80


81


82


83

4. METODA SIMULACIJE

Metoda simulacije se primjenjuje kada je sustav za koji je potrebno specificirati model presloen za

analitiki pristup. Izloit emo samo osnovnu proceduru ove tehnike i primjenu u podruju zaliha i

investicijskih projekata.

Simulacija je proces stvaranja modela realnog sustava i eksperimentiranja s modelom u cilju ra-

zumijevanja ponaanja sustava i/ili razvijanja raznih strategija funkcioniranja sustava (Pedgen et

al.,1995).

Monte Carlo simulacija

Simulaciju emo koristiti za sustave koji u sebi ukljuuju neizvjesnost u ponaanju, a poslovne od-

luke ine rizinim. Neizvjesnost se u modelima predstavlja stvaranjem uzoraka iz odgovarajue

distribucije vjerojatnosti. Takva vrsta simulacije se esto naziva Monte Carlo simulacija. To su naj-

jednostavnije vrste simulacijskih modela. Ukratko, stohastike karakteristike sustava su definirane

sluajnim varijablama. Ulazne vrijednosti takvih varijabli su definirane distribucijama vjerojatnosti

koje ih najbolje predstavljaju. S obzirom da se radi o sluajnim vrijednostima, izlazne vrijednosti

modela se raunaju kao prosjeni pokazatelji dovoljnih broja iteracija provedenih modelom.

Osnovna su tri koraka simulacijskog modeliranja:

1. Za sluajnu varijablu izaberemo vrstu distribucije vjerojatnosti i njezine parametre koji najbolje

odraavaju ponaanje te sluajne varijable.

2. Izvedemo dovoljno velik broj iteracija, pokusa u kojima se pojavljuje takva sluajna varijabla.

3. Za svaki pokus biljeimo izlazne vrijednosti modela i na kraju za rezultate izraunavamo mate-

matiko oekivanje, standardnu devijaciju i druge statistike pokazatelje.

Monte Carlo simulacija je shema koritenja sluajnih brojeva tj. U(0,1) sluajnih vrijednosti koje

slue za rjeavanje odreenih stohastikih ili deterministikih problema u kojima vrijeme nema va-

nosti (Law, Kelton, 1991). U irem smislu Monte Carlo je metoda u kojoj se koriste sluajni brojevi

za rjeenje problema. Za simulaciju diskretnih dogaaja (npr. sustavi usluivanja) taj nain nije po-

godan jer se u tabelarnom prikazu ne moe na odgovarajui nain pratiti promjene kroz vrijeme.

Zbog toga za takve probleme postoje posebni programski paketi i programski jezici. Slina je situ-

acija s kontinuiranim dogaajima.

Mi emo Monte Carlo simulaciju koristiti za probleme koji su uglavnom statiki kao to su kontrola

zaliha i analiza rizika.

Diskretna simulacija

Diskretna simulacija se primjenjuje na sustave koji se mogu opisati nizom diskretnih dogaaja. Di-

skretni dogaaj predstavlja skup okolnosti koje su izazvale promjenu stanja sustava. Simulacija se

odvija tako da se biljee sve promjene vezane uz nastali dogaaj i zatim prelazi na slijedei doga-

aj. Drugim rijeima simulacija se odvija od dogaaja do dogaaja uz pretpostavku da se nita va-

no ne dogaa u vremenu izmeu dogaaja. Metoda nema ogranienja tj. mogu se pomou nje

prouavati vrlo sloeni sustavi, a za to se koriste posebni kompjuterski programi odnosno prog-

ramski jezici. U kompjuterskom programu se generiraju dogaaji prema stvarnom procesu u prou-

avanom sustavu i prikupljaju podaci vezani uz promjene nastale simulacijom.

Problemi sustava usluivanja (sustava redova ekanja) rjeavaju se diskretnom simulacijom. U

takvim sustavima dogaaji su vezani uz dolazak potroaa i njihovo usluivanje. Kad bi dolasci i

vrijeme usluivanja bili u jednakim vremenskim razmacima radilo bi se o deterministikom sustavu

i ne bi se stvarali redovi. Ipak, u veini sustava usluivanja postoji varijabilnost u procesu dolaenja

i usluivanja. Redovi nastaju kad je potranja za uslugom vea od kapaciteta resursa koji prua

uslugu. Potroai ne dolaze u regularnim intervalima, a postoje i varijacije oko prosjene duine

vremena usluivanja. Modeliranje takvog sustava predstavlja prikupljanje uzoraka iz distribucije


84

vremena meu dolascima i distribucije vremena usluivanja. te dvije sluajne varijable se u modelu

generiraju prema pretpostavljenim teorijskim i empirijskim distribucijama vjerojatnosti.

Odvijanje simulacije prati se vremenski, tj. simulacijskim satom. Prvi dogaaj , dolazak potroaa,

dogodi se nakon vremenskog intervala koji je generiran prema odgovarajuoj distribuciji vjerojat-

nosti. Kako je sustav na poetku prazan, potroa je odmah usluen i to u vremenu koji je generi-

ran prema odreenoj distribuciji vjerojatnosti. Dogaaji dalje slijede navedene distribucije, te se

biljee statistiki podaci o broju potroaa u sustavu, u redu, za svakog potroaa vrijeme ekanja

u redu, vrijeme usluivanja, a na kraju i iskoritenost sustava za vrijeme simulacije. to se vrijeme

simulacije produuje rezultati su stabilniji i kaemo da sustav postie ravnoteno stanje. Na kraju

predvienog vremena simulacije dobivaju se prosjene vrijednosti skupljenih statistikih podataka.

Simulacijski model koji reprezentira prouavani sustav tako daje statistike pokazatelje koje nazi-

vamo historijska simulacija. Ako u tom modelu mijenjamo ulazne parametre modela ispitujemo

funkcioniranje sustava u promijenjenim uvjetima, dakle eksperimentiramo modelom. Usporeujui

rezultate s historijskom simulacijom dobivamo vane informacije o funkcioniranju sustava i mogu

nosti njegovog poboljanja.

Podruje primjene je iroko u planiranju i organizaciji lukih postrojenja, aerodroma, skladita,

telefonskih centrala, bolnica, banaka, trgovina, ukratko svugdje gdje postoji mogunost zastoja i

uskih grla.

Za neke jednostavnije sustave usluivanja postoji analitiko rjeenje, tj. formule pomou kojih se

mogu izraunati prosjene vrijednosti pokazatelja funkcioniranja sustava. Meutim u praksi su ri-

jetki primjeri na koje se analitiko rjeenje moe primijeniti.

Prednosti i nedostaci metode simulacije

Prednosti ove metode su viestruke. Omoguava bolje razumijevanje sustava, eksperimentiranje

modelom sustava i pripremu za nepoznate situacije u funkcioniranju sustava, omoguuje otkrivanje

uskih grla, procjenu rizinih dogaaja i bolju pripremu za donoenje poslovnih odluka u uvjetima

rizika. Ne postoji tako sloeni sustav koji se ne bi mogao metodom simulacije modelirati i istraiti.

Nedostatak metode simulacije jest to je za sloenije sustave ovo skupa metoda jer zahtijeva tim-

ski rad i skupu programsku podrku. Simulacijom ne dobivamo optimalno rjeenje. Simulacija ne

daje egzaktno rjeenje kao analitike metode. Rezultati simulacije predstavljaju uzorak, pa se sto-

ga za statistiku analizu rezultata treba koristiti teoriju uzoraka.

Generiranje sluajne varijable

Sluajni brojevi

Sluajni brojevi su brojevi koji su uniformno distribuirani izmeu 0 i 1, tj. U (0,1).

Funkcija vjerojatnosti (slika) uniformne distribucije je:

inan,0

1x0,1)x(f

Mogu biti generirani npr. izvlaenjem iz bubnja.


85

Pseudosluajni brojevi

Pseudosluajni brojevi imaju svojstva sluajnih brojeva (nezavisnost, jednaka vjerojatnost), a izra-

unavaju se pomou algoritma. Njihova je prednost to se mogu ponoviti, a to je vrlo vano kod

simulacije. Naime, koritenjem istog niza sluajnih brojeva za razliite varijante modela, omoguuje

se reduciranje varijabilnosti u rezultatima i na taj nain lake otkrivanje stvarne razlike meu vari-

jantama modela.

Postoji vie vrsta generatora (algoritama). vano da niz brojeva bude dovoljno dug i da se ne de-

generira. Najvie se koristi multiplikativni kongruentni generator:

xi+1 = a xi (mod m)

x0 sjeme (seed), poetna vrijednost;

mod m modulo m a xi podijeliti sa m i zadrati ostatak.

Simulacijski programski paketi imaju ukljuene generatore koji su testirani na sluajnost i jednaku

vjerojatnost.

Generiranje sluajne varijable

Simulacijski programski paketi imaju ugraene postupke za generiranje sluajne varijable prema

teorijskoj ili empirijskoj distribuciji. Objasnit emo samo osnovni princip.

Primjer

Trgovina prodaje mlijeko u velikim paketima. Potranja je sluajna varijabla broj prodanih paketa

varira prema prikupljenim podacima u tablici 1 (empirijska distribucija vjerojatnosti).

Tablica1 Dnevna prodaja mlijeka

broj prodanih paketa dnevno

sredina frekvencija relat.frekv.

(%) kumulativne

frekv.(%)

10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

15 25 35 45 55

10 18 24 7 5

16 28 37 11 8

16 44 81 92 100

ukupno 64 100

Potronju x emo predstaviti srednjom vrijednosti razreda. Distribucija vjerojatnosti je ureeni skup

parova vrijednosti varijable i pripadajue vjerojatnosti, ))x(p,x( ii , i=1,2,...k.

Slika 1. Intervali sluajnih brojeva

00-15

16-43

44-80

81-91

92-99

Vjerojatnost potranje za podatke u tablici izraunamo kao relativnu frekvenciju (%). U cilju modeli-

ranja potranje koristit emo sluajne brojeve. Umjesto uobiajenog raspona od 0 do 1, koristit

emo raspon od 0 do 100, to je u skladu s rasponom relativnih frekvencija u tablici. Potrebno je

pridruiti sluajne brojeve distribuciji u tablici1.Svaki sluajni broj mora biti lociran samo u jednom

intervalu u tablici. Zato je korisno izraunati vrijednosti kumulativnih frekvencija. irina intervala za

svaku vrijednost sluajne varijable x odreena je veliinom relativne frekvencije svakog razreda.

Kako su intervali razliite duine, oni ukljuuju i razliiti raspon sluajnih brojeva. to se jasnije

moe predstaviti pomou kruga


86

Tablica 2. Intervali sluajnih brojeva

broj prodanih paketa dnevno

Sredina x

frekvencija relat.frekv.

fr (%) kumulativne

frekv.(%)

RN

10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

15 25 35 45 55

10 18 24 7 5

16 28 37 11 8

16 44 81 92 100

00-15 16-43 44-80 81-91 92-99

ukupno 64 100

Potranja je sluajna varijabla koja je distribuirana s vjerojatnou koja odgovara irini razreda, a

irinu razreda odreuju originalni podaci. Prema navedenom, tablicu 1 emo upotpuniti intervalima

sluajnih brojeva (RN). (Tablica2).

Tablica 3. Simulirana potranja RN Potranja 35 72 63 54 12 90 89 60 21 37

25 35 35 35 15 45 45 35 25 25

Kroz viestruki postupak izvlaenja sluajnih brojeva, dobit emo u uzorku korektni udjel potranje iz svakog intervala. Ako elimo simulirati potranju za 10 dana, uzet emo niz od 10 sluajnih brojeva. Za svaki sluajni broj lociramo u tablici interval u koji pripada i oitamo pripadnu koliinu potranje (sredinu razreda). Tone vrijednosti diskretne sluajne varijable mogu se dobiti interpolacijom. Sluajni brojevi i simulirana potranja predstavljena je u Tablici 3., a postupak na Grafikonu 1.

Grafikon 1. Kumulativna funkcija distribucije potranje mlijeka

Za teorijske funkcije distribucije je isti postupak . Na slici je prikazan postupak generiranja kontinui-

rane sluajne varijable.

Slika 2. Kumulativna funkcija distribucije kontinuirane sluajne varijable

RN

x X

F(x)


87 Lovric - KvantMetode_Skripta2014.pdf Page 87 of 96

88


89


90


91


92


93


94


95


96


Documents

Skripta Kvantitativne metode