- Kvantitativne metode 2009---MATEMATIKA

UNIVERZITET SINGIDUNUM

Prof. dr Mališa ŽižovićProf. dr Olivera Nikolić

mr Ivana Kovačević

KVAN TITATIVNE

METODE

Peto izmenjeno i dopunjeno izdanje

Beograd, 2009.

KVANTITATIVNE METODE

Autori:Prof. dr Mališa ŽižovićProf. dr Olivera Nikolićmr Ivana Kovačević

Recenzent:Prof. dr Dušan Adnađević

Izdavač:UNIVERZITET SINGIDUNUMBeograd, Danijelova 32

Za izdavača:Prof. dr Milovan Stanišić

Tehnička obrada:Novak Njeguš

Dizajn korica:Milan Nikolič

Godina izdanja:2009.

Tiraž:2000 primeraka

Štampa:Mladost groupLoznica

ISBN: 978-86-7912- 198-1

III

PREDGOVOR

Sadržinom i konceptom udžbenik Kvantitativne metode prilagođen je nas-tavnom planu i programu predmeta Kvantitativne metode za menadžment. Cilj ovog programa je da studentima obezbedi neophodna znanja iz mete-matičko-statističkih oblasti potrebnih za izučavanje i kreiranje kvantitativnih metoda i modela u ekonomiiji.

Udžbenik zajedno sa Zbirkom omogućava studentima osposobljenost u ovom domenu.

Recenzent je korisnim sugestijama doprineo kvalitetu udžbenika. Svesrdnu tehničku pomoć u pripremi ovog udžbenika pružio je kolega Novak Njeguš.

Autori

V

SADRŽAJ

Predgovor III

I - GLAVAMATEMATIČKA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA

1. MATEMATIČKA LOGIKA 1 1.1. Iskazi 2 1.2. Osnovne logičke operacije 2 1.3. Prioritet logičkih operacija 5 1.4. Prevod jezičkih rečenica 5 1.5. Tautologije i logički zakoni 6 1.6. Primena matematičke logike u računarstvu i tehnici 7 1.7. Prekidačke šeme i digitalna logička kola 8

2.OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA 11 2.1. Pojam skupa 11 2.2. Operacije sa skupovima 12 2.3. Broj elemenata skupa - Kardinalni broj 15 2.4. Raselov paradoks 16

II - GLAVALINEARNA ALGEBRA

3. MATRICE 19 3.1. POJAM MATRICE 19 3.2. OPERACIJE SA MATRICAMA 21 3.3. DETERMINANTE 23 3.3.1. Izračunavanje determinanate 24 3.3.2 Osobine determinante 26 3.4. RANG MATRICE 27 3.4.1. Elementarne transformacije matrica 27 3.5. INVERZNA MATRICA 29 3.6. SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA 31 3.6.1. Gausova metoda 31 3.6.2. Kramerova metoda 33 3.6.3. Kroneker - Kapelijeva teorema 36 3.7. HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA 38 3.8. MATRIČNI METOD 39

VI

III - GLAVAFUNKCIJE

4. FUNKCIJE 41 4.1. FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE 41 4.1.1. Pojam funkicje 41 4.1.2. Realne funcije jedne promenljive 42 4.1.3. Inverzna funkcija 43 4.1.4. Slaganje funkcija 44 4.1.5. Osobine funkcija 45 4.2. NIZ 50 4.2.1. Granična vrednot niza 51 4.2.2. Osobine konvergentnih nizova 52 4.2.3. Operacije sa graničnim vrednostima nizova 53 4.2.4. Tačka nagomilavanja niza 54 4.2.5. Broj e 55 4.3. GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE 55 4.3.1. Leva i desna granična vrednost funkcije 57 4.3.2. Beskonačno male veličine 59 4.3.3. Osobine graničnih vrednosti funkcija 59 4.4.NEPREKIDNOST FUNKCIJA 59 4.5. ASIMPTOTE FUNKCIJA 61 4.6. FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH 63 4.6.1. Granična vrednost funkcija 65 4.6.2. Osobine graničnih vrednosti funkcija 67 4.6.3. Neprekidnost funkcije 67

IV - GLAVADIFERENCIJALNI RAČUN

5. DIFERENCIJALNI RAČUN 69 5.1. IZVOD FUNKCIJE 69 5.2. DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI 73 5.3. DIFERENCIJAL FUNKCIJE 79 5.4. NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA 82 5.5. IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE 97 5.6. PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA 102 5.7. EKONOMSKE FUNKCIJE 113 5.7.1. Funkcija tražnje 113

VII

5.7.2. Funkcija ponude 115 5.7.3. Modeli tržišta 115 5.7.4. Funkcija troškova 117 5.7.5. Funkcija prihoda 119 5.7.6. Funkcija dobiti 120 5.7.7. Elastičnost ekonomskih funkcija 122 5.7.8. Elastičnost tražnje 123

V - GLAVAINTEGRALNI RAČUN

6. NEODREĐENI INTEGRAL 128 6.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL 128 6.2. TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA 131 6.3. OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE 132 6.4 PRIMENA INTEGRALNOG RAČUNA 1437. ODREĐENI INTEGRAL 145 7.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL 145 7.2. OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL 150 7.3. NESVOJSTVENI INTEGRAL 155 7.4. PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA 158

VI - GLAVAELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE

8. ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE 163 8.1. EKSPERIMENTI SA SLUČAJNIM ISHODIMA - SLUČAJNI DOGAĐAJI 163 8.2. POJAM VEROVATNOĆE 166 8.3. USLOVNE VEROVATNOĆE - NEZAVISNOST 168 8.4. FORMULA TOTALNE VEROVATNOĆE I BAJESOVA FORMULA 171 8.5. SLUČAJNE PROMENLJIVE 175 8.5.1. Jednodimenzionalne slučajne promenljive 175 8.5.2. Višedimezionalne slučajne promenljive 176 8.5.3. Marginalne i slučajne raspodele 178 8.5.4. Nezavisnost slučajnih promenljivih 179 8.5.5. Numeričke karakteristike slučajnih promenljivih 181 8.5.6. Disperzija slučajno promenljive 183 8.5.7. Funkcija raspodele slučajne promenljive 185 8.5.8. Slučajne promenljive koje se najčešće koriste 188

VIII

8.5.9. Korelacija dve slučajne promenljive 196 8.5.10. Zakoni velikih brojeva. Centralna granična vrednost 197

VII - GLAVAELEMENTI TEORIJE STATISTIKE

9. UVOD U STATISTIKU 199 9.1. STATISTIČKO POSMATRANJE, PRIKUPLJANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA 200 9.2. O STATISTIČKIM SERIJAMA 201 9.3. STATISTIČKE TABELE, POLIGONI I HISTOGRAMI 202 9.4. MERE 204 9.4.1. Srednje vrednosti 204 9.4.2. Mere odstupanja i centralni momenti 211 9.4.3. Mere oblika 213 9.5. IZBOR SLUČAJNOG PROSTOG UZORKA 214 9.6. OCENE PARAMETARA 215 9.7. INTERVALI POVERENJA 215 9.8. TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA 220 9.9. PIRSONOV χ 2 TEST 221 9.10. METOD NAJMANJIH KVADRATA 224 9.11. ODREĐIVANJE REGRESIONIH LINIJA POMOĆU UZORKA 228

VIII - GLAVAFINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA

10. FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA 231 10.1. PROCENTNI RAČUN 231 10.2. PROMILNI RAČUN 234 10.3 PROST INTERESNI RAČUN 234 10.4. SREDNJI ROK PLAĆANJA 240 10.5. ESKONTOVANJE 241 10.6. JEDNAKOST EFEKATA 242 10.7. SLOŽENI INTERESNI RAČUN 243 10.8. ELEMENTI OSIGURANJA 267 10.9. OSIGURANJE KAPITALA UPLATOM MIZE 272 10.10. MEŠOVITO OSIGURANJE 277 10.11. OSIGURANJE VIŠEKRATNIM PREMIJAMA 278

LITERATURA 283

‐ 1 ‐

I ‐ G L A V A

MAT EMA T I Č K A L O G I K A I T E O R I J A S K U POVA

• MATEMATIČKA LOGIKA • OSNOVNI POJMOVI TEORIJE SKUPOVA

C I L J E V I U Č E N J A

Kada ovo poglavlje proučite moći ćete da: • definišete iskaz, • znate logičke operacije, • napišete tablice istinitosti iskaznih formula, • nabrojite osnovne logičke zakone, • znate osnovne primene u računarstvu i tehnici, • objasnite pojam skupa, • definišete osnovne skupovne relacije i operacije, • znate šta je kardinalni broj skupa, • da znate probleme teorije beskonačnih skupova.

L O G I K A

Logika je veština i metoda pravilnog mišljenja. Logika je nauka o zaključivanju i kao takva koristi se u najrazličitijim oblastima nauke, a pogotovo u matematici. Osnova je celokupnog matematičkog rezonovanja. Nastala je u 4 veku p.n.e. Na osnovu osnovnih stavova, koje nazivamo aksiomama, određuje se koji su matematički iskazi tačni, a koji ne, i formalizuju se postupci dobijanja složenih rečenica iz prostih u skladu sa pravilima ispravnog zaključivanja.

1 .MA T EMA T I Č K A L O G I K A

Od sredine 19 veka pa do danas, matematička logika se razvija veoma intenzivno. Ona je značajna matematička disciplina, koja obezbeđuje teorijske osnove pre svega računarskih nauka. Omogućila je nastanak i razvoj digitalnih elektronskih računara.

‐ 2 ‐

1 . 1 . I S K A Z I

Rečenica koja ima istinitosnu vrednost naziva se iskaz ili sud. Iskazi se obeležavaju malim slovima p , q , r ,……i nazivaju se iskazna

slova. Istinitosna vrednost iskaza je

( ),,T p je tačan iskaz

pp je netačan iskaz

τ⎧

= ⎨ ⊥⎩

Napomena: Umesto T i ⊥ koriste se i oznake 1 i 0 . U ovom slučaju simbole 1 i 0 ne treba shvatati kao brojeve 1 i 0 .

Primer:

Rečenica : 2 1 1p − = je iskaz i ima tačnu istinitosnu vrednost, tj. ( )p Tτ = .

Rečenica 2 1 1− = − je iskaz i ima netačnu istinitosnu vrednost, tj. ( )pτ =⊥ .

Rečenica 2 1x = nije iskaz jer nema definisanu istinitosnu vrednost. Za neke vrednosti promenljive x , tj za 1x = ± formula je tačna, a za sve ostale je netačna.

1 . 2 . O S N O V N E L O G I Č K E O P E R A C I J E

U svakodnevnom jeziku, rečenice se kombinuju u složene rečenice, korišenjem veznika i, ili, ne, ako onda i mnogih drugih. Istinitosna vrednost složene rečenice uslovljena je istinitošću njenih delova.

Primer:

:p Danas pada kiša

:q Danas je novembar. Složena rečenica glasi: Danas pada kiša i danas je novembar

‐ 3 ‐

Sastoji se od 2 dela spojenih veznikom i. Simbolički se može napisati p i q , ili korišćenjem oznake za logičku operaciju i , ∧ , u obliku p q∧ .

Razlikujemo unarne (jedna promenljiva) i binarne (dve promenljive) logičke operacije. Osnovne logičke operacije su:

konjukcija (i), u oznaci ∧ , disjunkcija (ili), u oznaci ∨ , implikacija (ako ‐ onda), ⇒ , i ekvivalencija (ako i smo ako) ⇔ , negacija (ne) ,¬ .

Napomena: negacija je unarna operacija. Istinitosna vrednost logičkih operacija data je sledećom tablicom.

( )pτ ( )qτ ( )p qτ ∧ ( )p qτ ∨ ( )p qτ ⇒ ( )p qτ ⇔ ( )pτ ¬

T T T T T T ⊥ T ⊥ ⊥ T ⊥ ⊥ T ⊥ T ⊥ T T ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ T T T Formulu čine iskazna slova p , q , r i osnovne logičke operacije.

Primer:

Formule su: ( ) ( ), ,p q p p q r p p q⇒ ∧ ∨ ∨ ¬ ∨ ⇔

Istinitosna vrednost u tablici je u saglasnosti sa svakodnevnom logikom. Jedino kod implikacije naizgled nelogičnost vidimo u slučaju kada je ( )pτ =⊥ Znači,

implikacija je tačna bez obzira na vrednost iskaznog slova q .

‐ 4 ‐

Primer:

Ako je Srbija najveća na svetu, veća je od Crne Gore. ( )T Tτ ⊥⇒ = .

Složena rečenica je tačna, jer ako je Srbija najveća na svetu, veća je od Crne gore koja je manja od nje.

Primer:

Ako je Srbija najveća na svetu, veća je od SAD. ( ) Tτ ⊥⇒⊥ = .

Složena rečenica je tačna, jer ako je Srbija najveća na svetu, veća je od svake druge države.

Implikacija se može čitati na sledeće načine: Ako p , onda q , p je pretpostavka posledice q , p povlači q , iz p sledi q , p je dovoljan uslov za q . q je potreban uslov za p . Za implikaciju, p q⇒ , vezane su 3 dodatne vrste iskaza: q p⇒ konverzija

p q¬ ⇒ ¬ inverzija

q p¬ ⇒ ¬ kontrapozicija Primer:

Ako je ona pevačica, onda je ona popularna. ‐implikacija. Ako je ona popularna, onda je ona pevačica. ‐ konverzija . Ako ona nije pevačica, onda ona nije popularna. ‐ inverzija . Ako ona nije popularna, onda ona nije pevačica. ‐ kontrapozicija.

‐ 5 ‐

Ekvivalencija je dvostruka implikacija. Kada čitamo ekvivalenciju koristimo i reči ako i samo ako, a pišemo akko. ( ) ( ) ( )( )p q p q q p⇔ = ⇒ ∧ ⇒

Najveći broj matematičkih tvrđenja i teorema su oblika implikacije ili ekvivalencije.

Primer:

Ako je neki ceo broj jednak 2, onda je njegov kvadarat jednak 4. Trougao je pravougli, ako i samo ako, je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom. Broj je deljiv sa 6, akko je deljiv sa 2 i sa 3.

1 . 3 . P R I O R I T E T L O G I Č K I H O P E R A C I J A

Kombinovanjem iskaznih slova i logičkih operatora dobijamo složene izraze, kao što su p q p∧ ⇔ ¬ , ( )p q p r∧ ⇒ ¬ ∨ i slično. Prilikom određivanja

istinitosne vrednosti ovih izraza važno je znati prioritet logičkih operacija, koji možemo videti iz sledeće tablice :

logički operator prioritet ¬ 1

,∧ ∨ 2 ,⇒ ⇔ 3

1 . 4 . P R E V O D J E Z I Č K I H R E Č E N I C A

Prevod sadržaja iz običnog jezika u zapis matematičke logike je jedan od najvažnijih problema hardverskih i softverskih poslova. Problem se svodi da se sadržaj običnog jezika svede na tačan i nedvosmislen logički zapis koji može da bude predmet daljeg proučavanja.

‐ 6 ‐

Primer:

Automatski, odgovor ne može biti poslan ako je unutrašnja memorija puna . Neka je rečenica p : Odgovor se automatski šalje. Neka je rečenica q : Unutrašnja memorija je puna. Onda ¬ p je rečenica : Odgovor se ne šalje automatski. Logički zapis bi bio : q p⇒ ¬

1 . 5 . T A U T O L O G I J E I L O G I C K I Z A K O N I

Iskazna formula koja je uvek tačna naziva se tautologija. Iskazna formula koja je uvek netačna naziva se kontrapozicija. Tautologije u običnom jeziku predstavljaju zakone. Osnovni logički zakoni su :

Zakon idempotencije

p p pp p p∧ ⇔∨ ⇔

Dvostruka negacija

( )p p¬ ¬ ⇔

Komutativnost p q q pp q q p∧ ⇔ ∧∨ ⇔ ∨

Asocijativnost

( ) ( )( ) ( )

p q r p q r

p q r p q r

∧ ∧ ⇔ ∧ ∧

∨ ∨ ⇔ ∨ ∨

Distributivnost ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )p q p r p q r

p q p r p q r

∧ ∨ ∧ ⇔ ∧ ∨

∨ ∧ ∨ ⇔ ∨ ∧

De Morganovi zakoni ( ) ( )( ) ( )p q p q

p q p q

¬ ∨ ⇔ ¬ ∧¬

¬ ∧ ⇔ ¬ ∨¬

‐ 7 ‐

1 . 6 . P R I M E N A M A T E M A T I Č K E L O G I K E U R A Č U N A R S T V U I T E H N I C I

Moderni računari koriste binarni brojni sistem koji ima dve cifre 0 i 1. Binarni sistem je izabran zato što računar mora da prikaže bilo koju cifru na jedinstven način, a postoji veliki broj elektronskih sklopova koji se nalaze u dva jedistvena stabilna stanja. Ova stanja mogu biti otvoren‐zatvoren, levo‐desno, uključen‐isključen i slično. Binarni sistem je pogodan za korišćenje primenom matematičke logike. Jedna binarna cifra 0 ili 1 predstavlja minimalnu količinu informacija, odnosno najmanji podatak koji se može obraditi u računaru i zove se bit (bit). Bit može da reprezentuje istinu (true) i neistinu (false). Jedinica reprezentuje istinu, a nula neistinu. Logičke operacije se predstavljau i kao konjukcija AND, a disjunkcija kao OR, imajući u vidu istinitosne tablice za date logičke operacije. U većini računara koristi se grupa od osam bita koja se naziva bajt (byte).

Primer:

Ako primenimo operatore AND i OR na brojeve 0110110110 i 1100011101 dobićemo: 0110110110 1100011101 AND 0100010100 0110110110 1100011101 OR 1110111111

Računari moraju imati mogućnosti da memorišu i obrađuju i nenumeričke, odnosno tekstualne podatke. Oni su ili nizovi ( string) ili znakovi ( charácter data), zatim slova, znakovi interpunkcije, matematički znaci, specijalni znaci i slično. Podaci ovog tipa su memorisan u obliku niza bitova. Danas se koriste ASCII i EBCDIS kod. Naprimer 1111001 predstavlja slovo b. Dakle, binarni brojevi su osnova za funkcionisanje računara. Digitalna kola kombinuju nule i jedinice, i generišu nove nule i jedinice. Mašinske instrukcije

‐ 8 ‐

su takođe prikazane kao nizovi nula i jedinica,. Svi programi napisani u asembleru ili nekom višem jeziku da bi mogli da rade moraju da budu prevedeni u nizove nula i jedinica.

1 . 7 . P R E K I D A Č K E Š E M E I D I G I T A L N A L O G I Č K A K O L A

Prekidačke šeme i digitalna logička kola su tako projektovana da implementiraju principe binarne aritmetike i matematičke logike. Prekidačke šeme su univerzalne šeme koje ne zavise od tehnologije. Mogu da se realizuju na osnovu mehaničkih prekidača, električnih kola i slično. Digitalna električna logička kola su specijalizovane šeme sastavljene od tačno definisanih električnih komponenti. Iskazne formule u kojima se pojavljuju samo operacije , ,∧ ∨ ¬ , pri

čemu ¬ se odnosi samo na iskazna slova, imaju jednu zanimljivu interpretaciju koja se koristi u tehnici, u projektovanju digitalnih kola i naziva prekidačka algebra.

Iskazna slova se tretiraju kao prekidači. Ako iskazno slovo ima vrednost

1p = , smatra se da je prekidač zatvoren, tj. da provodi struju, a za

0p= je otvoren, tj da ne provodi struju.

Formula se tretira kao mreža sa dva kraja sastavljena od prekidača koji su povezani paralelno ili serijski. Tautologijama odgovaraju mreže koje uvek provode struju.

Primer:

Posmatrajmo prekidačku kolo‐šemu koje sadrži prekidač i sijalicu. Vrednost 1 dodeljujemo prekidačima p i q kada su zatvoreni, tj ako kroz njih protiče struja. U suprotnom dodeljujemo im vrednost 0. Kada su prekidači redno vezani, sijalica će svetleti i kolo će imati vrednost 1 samo ako su oba prekidača p i q zatvorena. Prema tome, ovo kolo će odgovarati iskazu p i q , odnosno p q∧ i zove se AND –i kolo.

‐ 9 ‐

p q∧

Digitalna logičko kolo

Primer:

Posmatrajmo prekidačko kolo u kome su prekidači p i q vezani paralelno. Kada su prekidači paralelno vezani, sijalica će svetleti ako je 1p = ili 1q = i kolo će imati vrednost 1 ako je bar jedan prekidača p i q zatvoren. Prema tome, ovo kolo će odgovarati iskazu p ili q , odnosno p q∨ i zove se OR‐ ili kolo.

p q∨

Kolo će imati vrednost 1 ako je prekidač p zatvoren, odnosno ako je p jednako 0, a zove se ne kolo ili invertor.

‐ 10 ‐

P I T A N J A Z A P O N A V L J A N J E

1. Šta je iskaz? 2. Navesti osnovne logičke operacije. 3. Šta je tautologija? 4. Nevesti osnovne logičke zakone. 5. Šta je prekidačka algebra? 6. Zašto binarni sistem? 7. Šta je bit?

K L J U Č N I T E R M I N I

• ISKAZ • KONJUKCIJA • DISJUNKCIJA • IMPLIKACIJA • EKVIVALENCIJA • NEGACIJA • TAUTOLOGIJA • KONTRADIKCIJA

• BIT • BAJT • PREKIDAČKA ALGEBRA • I KOLO • ILI KOLO • NE kolo

‐ 11 ‐

2 . O S NOVN I PO JMOV I T E O R I J E S K U POVA

2 . 1 . P O J A M S K U P A

Sa skupovima radimo svakodnevno u različitim prilikama. Korpa jabuka, stado ovaca, skup kontinenata, populacija bakterija, skup tačaka na kružnici, skup prirodnih brojeva, sve su to primeri skupova. Skoro svaka delatnost čoveka odnosi se na neke skupove. Skup je osnovni pojam koji se ne definiše. Čine ga elementi koji imaju

bar jednu zajedničku osobnu. Objekti skupa nazivaju se njegovim elementima. Skupovi se obeležavaju najčešće velikim slovima A , B , C , ... ,a

njegovi elementi malim slovima a , b , c , ... Neki element a može pripadati datom skupu A , što se označava sa a A∈ , ili ne pripadati istom skupu, što se označava sa a A∉ .

Skup koji nema elemenata naziva se prazan skup i obeležava sa ∅ . Za grafičko predstavljanje skupova koriste se Venovi dijagrami.

a A∈

aA

Za definisanje skupovnih relacija i operacija koristimo logičke operacije. Kažemo da je A podskup skupa B i pišemo A B⊂ , ako svaki element skupa A pripada istovremeno i skupu B .

{ }A B x x A x B⊂ = ∈ ⇒ ∈

‐ 12 ‐

A

B

A B⊂

Dva skupa A i B su jednaka, ako svaki element skupa A pripada i

skupu B i ako svaki element skupa B istovremeno pripada i skupu A .

{ }A B x x A x B= = ∈ ⇔ ∈

Partitivni skup ( )P A datog skupa A , je skup svih podskupova datog

skupa, tj. ( ) { }P A X X A= ⊂ .

Primer:

{ } ( ) { } { } { } { } { } { } { }{ }A= 1,2,3 , P A , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3= ∅

2 . 2 . O P E R A C I J E S A S K U P O V I M A

Unija dva skupa A i B je skup { }A B x x A x B= ∈ ∨ ∈∪ .

A

B

A B∪

‐ 13 ‐

Primer:

{ }1, 2A = , { }2,3,6,7B = ; { }1, 2,3,6,7A B =∪

U opštem slučaju, kada imamo konačno mnogo skupova 1 2, , , nA A A… ,

njihova unija je:

1 21

n

i ni

A A A A=

= ∪ ∪…∪∪ .

Presek skupova A i B je skup { }A B x x A x B= ∈ ∧ ∈∩ .

A

A B∩

B

Primer:

{ }1, 2A = , { }2,3,6,7B = ; { }2A B =∩

Ako je presek dva skupa A i B prazan, tj. A B =∅∩ , tada za ta dva

skupa kažemo da su disjunktni .

Ako je dato konačno mnogo skupova 1 2, , , nA A A… njihov presek je:

1 21

n

i ni

A A A A=

= ∩ ∩…∩∩ .

Razlika skupova A i B je skup { }\A B x x A x B= ∈ ∧ ∉ .

‐ 14 ‐

\A B

B

A

Primer:

{ }1, 2A = , { }2,3,6,7B = ; { }\ 1A B = , { }\ 3,6,7B A = .

Simetrična razlika skupova A i B je unija skupova \A B i \B A , tj.

( \ ) ( \ )A B A B B AΔ = ∪ . Komplement skupa A u odnosu na skup B (ili dopuna skupa A do

skupa B ) gde je A B⊂ . je skup \BC A B A= .

Par elemenata ( , )a b nazivamo uređenim parom (ili uređenom dvojkom) ako je tačno određeno koji je element na prvom, a koji na drugom mestu.

Uređeni parovi ( , )a b i ( , )c d su jednaki ako i samo ako je a c= i b d= .

Dekartovim proizvodom skupova A i B naziva se skup

{ }( , )A B a b a A b B× = ∈ ∧ ∈ .

Primer:

Dati su skupovi { }1, 2,3A = i { },B x y= .

{ }(1, ), (2, ), (3, ), (1, ), (2, ), (3, ) ,A B x x x y y y× =

{ }( ,1), ( , 2), ( ,3), ( ,1), ( , 2), ( ,3)B A x x x y y y× = .

‐ 15 ‐

Očigledno je A B B A× ≠ × , što znači da za Dekartov proizvod skupova ne važi zakon komutacije.

Dekartov proizvod A A× se označava sa 2A . Dekartov proizvod 2R R R× = predstavlja realnu ravan.

2 . 3 . B R O J E L E M E N A T A S K U P A ‐ K A R D I N A L N I B R O J

Određivanje broja elemenata konačnih skupova svodi se na njihovo prebrojavanje . Međutim, kada se radi o beskonačnim skupovima ,stvar je mnogo složenija. Tada se srećemo sa dosta neočekivanim situacijama.

Ako postoji 1‐1 preslikavanje f skupa A na skup B , ( bijekcija ) onda se za skupove A i B kaže da su ekvivalentni.

Ekvivalentni skupovi A i B imaju isti kardinalni broj, u oznaci kA kB=

Kod konačnih skupova kardinalni broj predstavlja broj elemenata skupa.

Primer:

Euklidova aksioma kaže: Celina je veća od dela. Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva jednak je kardinalnom broju skupa svih parnih prirodnih brojeva. Ta jednakost se vidi iz preslikavanja 1 2 3 4

2 1 2 2 2 3 2 4 2

n

n↓ ↓ ↓↓ ↓

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

… …

…

Dakle 2kN k N= . Još 1638 godine Galilej je smatrao da se ovde radi o paradoksu. Intiutivno se čini da je skup prirodnih brojeva ima više elemenata nego skup parnih prirodnih brojeva. Kantorova teorija pokazuje da se beskonačni skupovi mogu upoređivati. Skupovi N i 2N su ekvivalentni , ali skupovi N i R nisu ekvivalentni. Kardinalni broj skupa R je veći od kardinalnog broja skupa N , znači možemo reći da je neki beskonačni skup beskonačniji od drugog.

‐ 16 ‐

Primer:

Skup svih tačaka prave ekvivalentan je sa skupom tačaka ravni, imaju isti kardinalni droj, odnosno isti broj elemenata. Skup svih realnih brojeva između 0 i 1 ima veći kardinalni broj od skupa svih racionalnih brojeva Q .

Primer:

Kardinalni broj praznog skupa je:

{ } 1.k ∅ =

Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva označava se sa hebrejskim

slovom ℵ i čita se alef, sa indeksom 0

0kN =ℵ

Kardinalni broj skupa realnih brojeva je c ili kontinuum.

Skupovi sa kardinalnim brojem 0ℵ , nazivaju se prebrojivi skupovi.

2 . 4 . R A S E L O V P A R A D O K S

Jasno je zašto je ova teorija na početku svoga nastanka imala veliki broj protivnika. Međutim, početkom ovog veka kada je teorija skupova doživljavala svoj procvat i nalazi široku primenu u matematici, istovremeno uočene su i prve protivrečnosti, odnosno paradoksi. Najčuvaniji je Raselov paradoks nastao 1902 godine. Postoje razne interpretacije Raselovog paradosa, pardoks brijača, pardoks bibioteke i mnogi drugi.

Primer:

Paradoks brijača U nekom selu živeo je brijač, koji je brijao sve one stanovnike sela , koji se nisu brijali sami. Da li je brijač brijao samog sebe?

‐ 17 ‐

Ako bi se brijač brijao, on bi bio jedan od stanovnika koji se briju sami, pa se ne bi smeo brijati. Ako se pak brijač ne bi brijao, bio bi jedan od stanovnika sela koji se ne briju sami, pa bi se morao brijati. Kako se rešava ovaj paradoks. Jednostavno, nije moguće da postoji selo u kome bi brijač mogao da radi ovako kako je rečeno.

Suština Raselovog paradoksa svodi se na sledeće: Ako za svaku osobinu postoji skup svih objekata koji sadrže tu osobinu, onda to isto važi i za osobinu ‘ skup ne pripada samom sebi ‘, odnosno, pitanje je, da li skup svih skupova koji ne sadrže sebe, sadrži sebe? Neka je R skup svih skupova S koji ne sadrže sebe kao element,

odnosno { }R S S S= ∉ .

Neka je S skup svih objekata za koje važi ova osobina. Da li S pripada samom sebi? Ako pripada, onda znači da zadovoljava osobinu ‘skup ne pripada samom sebi ‘, što je kontradikcija. Ako pak ne pripada samom sebi, onda će da zadovolji traženu osobinu, pa će baš da pripada samom sebi, što je opet kontradikcija.

Pojava Raselovog paradoksa ozbiljno je uzdrmala Kantorovu teoriju skupova. Razvila su se tri pravca u matematici kojima je bilo moguće rešiti nastale probleme, Rasel –logicizam, Bauer‐intuicionalizam, Hilbert –formalizam. Rasel je definisao pojam klase i jedan od načina prevazilaženja ovog paradoksa se svodi da se skup svih skupova ne smatra skupom, već klasom , koja je uopštenje pojma skupa.

‐ 18 ‐


1. Šta je skup? 2. Šta su Venovi dijagrami? 3. Navesti i definisati osnovne skupovne operacije. 4. Koja je veza između matematičke logike i teorije skupova? 5. Navesti skupovne relacije. 6. Definicija uređenog para 7. Definisati Dekartov proizvod skupova. 8. Šta je partitivni skup? 9. Šta je komplement skupa? 10. Koji su skupovi disjunktni? 11. Šta je kardinalni broj skupa? 12. Kako glasi Raselov paradoks ?


• SKUP • PRESEK SKUPOVA • UNIJA SKUPOVA • RAZLIKA SKUPOVA • PODSKUP • PARTITIVNI SKUP • DISJUNKTNI SKUPOVI

• UREĐENI PAR • DEKARTOV PROIZVOD • KOMPLEMENT • KARDINALNI BROJ • ALEF NULA • PARADOKS

‐ 19 ‐

I I ‐ G L A V A

L I N E A RNA A L G E B R A

• POJAM MATRICE • OPERACIJE SA MATRICAMA • DETERMINANTE • RANG MATRICE • INVERZNA MATRICA • SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA I METODE ZA NJIHOVO

REŠAVANJE • HOMOGENI SISTEM LINEARNIH JEDNAČINA • MATRIČNI METOD


Kada ovo poglavlje proučite znaćete:

1. šta su matrice, 2. definišete matrične operacije, 3. šta su determinante i kako se one izračunavaju, 4. da definišete i koristite inverzne matrice, 5. kako izgledaje sistemi linearnih jednačina, 6. rešavate sisteme lineanih jednačina različitim metodama.

3. MATRICE

3 . 1 . PO JAM MATR ICE

Matrica je pravougaona šema sa nm× elemenata raspoređenih u m vrsta i n kolona:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

…

…

21

22221

11211

Matrice se označavaju velikim slovima latinice: A , B , C , ...

‐ 20 ‐

Oznaka za matrice je [.].

Proizvoljni element matrice ija pripada i‐toj vrsti i j ‐toj koloni, pa matricu

možemo označiti kao nmija ×][ .

Za matricu sa m vrsta i n kolona kažemo da ima dimenziju nm× .

Dve matrice [ ]ij m nA a ×= i nmijbB ×= ][ su jednake, tj. A B= ako i samo

ako je: ( ), , , 1, 2, , ; 1, 2, ,ij ija b i j i m j n= ∀ = =… … .

Matrica vrste je matrica kod koje je nmija ×][ 1, 1m n= > ,

][][ 112111 nnij aaaa …=×

Matrica kolone je matrica kod koje je 1, 1m n> = ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

1

21

11

1][

m

mij

a

aa

a

Nula matrica je ona matrica čiji su svi elementi jednaki nula.

Kvadratna matrica je matrica kod koje je broj vrsta jednak broju kolona.

Elementi 11 22, ,..., nna a a pripadaju glavnoj dijagonali, dok elementi

1 2 1 1, ,...,n n na a a− pripadaju sporednoj dijagonali matrice.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi van glavne dijagonale nula, a na glavnoj dijagonali su svi različiti od nule, naziva se dijagonalna matrica.

11

22

0 00 0

0 0 nn

aa

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

…

…

Jedinična matrica je dijagonalna matrica kod koje je 11 22 1nna a a= = = i

označava se slovom I .

‐ 21 ‐

Transponovana matrica matrice nmijaA ×= ][ je matrica dobijena zamenom

mesta svih vrsta odgovarajućim kolonama ili obrnuto.Obeležava se sa TA Primer:

Za matricu 1 23 4

X⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

transponovana matrica biće matrica 1 3

.2 4

TX⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

3.2. OPERACIJE SA MATRICAMA Zbir matrica nmijaA ×= ][ i nmijbB ×= ][ , je matrica nmijcC ×= ][ ako i samo

ako je ( )1, 2, , ; 1, 2, ,ij ij ija b c i m j n+ = = =… … .

Napomena: Zbir matrica različitih dimenzija nije definisan. Operacija sabiranja matrica ima sledeće osobine:

A B B A+ = + , komutativnost;

( ) ( )A B C A B C+ + = + + , asocijativnost.

Primer:

Zbir matrica

1 2 34 5 67 8 9

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i

1 1 10 2 42 3 4

B−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

je matrica

2 1 44 3 109 11 13

C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

‐ 22 ‐

Proizvod broja Rλ ∈ i matrice nmijaA ×= ][ je matrica istih dimenzija

oblika: [ ] [ ] .ij m n ij m nA a aλ λ λ× ×= =

Operacija množenja matrice brojem ima sledeće osobine: A Aλ λ= , komutativnost;

( ) ( ) ; , 0A Aαβ α β α β= ≠ , asocijativnost;

( ) A A Aα β α β+ = + , distributivnost s obzirom na zbir brojeva;

( )A B A Bα α α+ = + , distributivnost s obzirom na zbir matrica.

Primer:

Proizvod matrice

1 2 34 5 67 8 9

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i broja 2λ = je matrica

2 4 68 10 12

14 16 18

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Proizvod A B⋅ matrica [ ]ik m pA a ×= i [ ]kj p nB b ×= je matrica C , čiji se

elementi ijc formiraju po zakonu:

( )1

1, , ; 1, , .p

ij ik kjk

c a b i m j n=

= = =∑ … …

Napomena: Matrica C ima onoliko vrsta koliko ih ima matrica A i onoliko kolona koliko ih ima matrica B . Napomena: Dakle element ijc matrice C koji se nalazi u preseku i ‐te vrste i j ‐te kolone, obrazuje se tako što se elementi i ‐te vrste matrice A pomnože odgovarajućim elementima j ‐te kolone matrice B i dobijeni proizvodi se saberu. Operacija množenja matrica ima sledeće osobine:

‐ 23 ‐

( ) ( )A B C A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , asocijativnost;

A B B A⋅ ≠ ⋅ , ne važi zakon komutacije;

A I I A A⋅ = ⋅ = .

Primer:

Proizvod matrica

1 2 34 5 67 8 9

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i

1 13 20 1

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

je matrica

7 219 831 14

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

3 . 3 . D E T E R M I N A N T E

Svakoj kvadratnoj matrici pridružujemo realni broj koji zovemo determinanta.

Determinanata je broj napisan u obliku kvadratne šeme brojeva od n n× elemenata, raspoređenih u n vrsta i n kolona.

( )

11 12 1

21 22 2

1 2

det

n

n

n n nn

a a aa a a

D A

a a a

= =…

… Oznaka za determinante je . .

Napomena: Determinanta je broj, za razliku od matrice koja je samo šema proizvoljnih elemenata. Broj 11 11a a= naziva se determinanta prvog reda.

‐ 24 ‐

Broj 11 1211 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a= − naziva se determinanta drugog reda.

Broj 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

naziva se determinanta trećeg reda.

3 . 3 . 1 . I ZRAČUNAVANJE DETERMINANT I

SARUSOVO PRAVILO

Pravilo se odnosi na determinante trećeg reda i glasi:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 11 23 32 13 22 31

31 32 33 31 32

a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a

= + + − − −

Iza treće kolone se dopišu prva i druga kolona, pa se izmnože elementi na silaznim dijagonalama i dobijeni rezultati saberu. Od tog rezultata se oduzme zbir proizvoda po silaznim dijagonalama. Primer:

Izračunati vrednost determinante

1 2 34 5 67 8 9

.

1 2 3 1 24 5 6 4 5 1 5 9 2 6 7 3 4 8 2 4 9 1 6 8 3 5 7 0 .7 8 9 7 8

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

‐ 25 ‐

LAPLASOVO PRAVILO Sarusovo pravilo se koristi samo za izračunavanje determinanti trećeg reda, a Laplasovo pravilo može da se koristi za izračunavanje determinanti bilo kog reda. Osnovna ideja ovog pravila je da se izračunavanje determinante n ‐tog reda svodi na izračunavanje determinante 1n − reda, determinanta 1n − reda svodi se na izračunavanje determinante 2n − reda i taj postupak se ponavlja sve dok se ne dođe do determinante prvog reda. Da bismo objasnili ovu metodu potrebno je da definišemo pojam minora i pojam kofaktora. Neka je D determinanta n ‐tog reda Determinanta koja se dobija iz determinante D odbacivanjem i ‐te vrste i j ‐te kolone naziva se minor elementa ija i obeležava se sa ijM .

Kofaktor elementa ija . je broj ( )1 i jij ijA M+= − .

Primer:

Detreminanta trećeg reda ima onoliko minora koliko i elemenata, tj. 9 . Na

primer, elementima 11a , 12a i 13a odgovaraju minori

22 23 21 23 21 2211 12 13

32 33 31 33 31 32

, , .a a a a a a

M M Ma a a a a a

= = =

a kofaktori su

11 11 12 12 13 13, ,A M A M A M= + = − = +

Laplasovo pravilo: Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata ma koje vrste (odnosno kolone) i odgovarajućih kofaktora

1 1 2 21

, 1,2, ,n

i i i i in in ik ikk

D a A a A a A a A i n=

= + + + = =∑ …

(razvoj po elementima i ‐te vrste).

‐ 26 ‐

1 1 2 21

, 1,2, ,n

j j j j nj nj kj kjk

D a A a A a A a A j n=

= + + + = =∑ … .

(razvoj po elementima j ‐te kolone).

Primer:

Vrednost determinante

1 2 34 5 67 8 9

D = se može izračunati razvojem po bilo

kojoj vrsti ili koloni. Razvojem po prvoj vrsti dobićemo

( ) ( ) ( )

5 6 4 6 4 51 2 3

8 9 7 9 7 8

1 5 9 6 8 2 4 9 6 7 3 4 8 5 7 0

D = ⋅ − ⋅ + ⋅ =

= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

.

3 . 3 . 2 .OSOB INE DETERMINANT I

Ako dve susedne vrste (kolone) uzajamno promene mesta determinanata menja znak.

Vrednost determinante se ne menja ako se vrste zamene kolonama ne menjajući poredak.

Determinanta se množi brojem 0k ≠ ako se svi elementi jedne vrste (kolone) pomnože tim brojem.

Ako su svi elementi vrste (kolone) jednaki nula, vrednost determinante je jednaka nula.

Ako su dve vrste (kolone) jednake ili proporcionalne, tada je vrednost determinante jednaka nula.

Vrednost determinante se ne menja ako se svakom elementu jedne vrste (kolone) dodaju odgovarajući elementi druge vrste (kolone) pomnoženi istim brojem.

Ako su elementi jedne vrste (kolone) date determinante zbirovi od dva ili više sabiraka, tada se determinanta može razložiti na zbir od dve ili više determinanata.

‐ 27 ‐

3 . 4 .RANG MATR ICE Matrica A ima rang ( )rang A r= , ako postoji bar jedan minor reda r različit od nule, a svi minori reda 1r + i višeg reda su jednaki nuli.

Primer:

Kako su svi minori trećeg reda matrice

2 3 16 11 6 2 31 3 2 2

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

jednaki nuli

2 3 16 2 3 1 2 16 1 3 16 11 6 2 0 , 1 6 3 0 , 1 2 3 0 , 6 2 3 0 ,1 3 2 1 3 2 1 2 2 3 2 2

− − −− = = − = − =

a postoji minor drugog reda koji je različit od nule 2 3

01 6

−≠ ,

zaključujemo da je rang matrice A jednak 2.

3.4.1. ELEMENTARNE TRANSFORMACIJE MATRICA Množenje svih elemenata bilo koje vrste (kolone) matrice jednim istim

realnim brojem 0λ ≠ .

Uzajamna promena mesta dve vrste (kolone).

Transponovanje matrice.

Dodavanje elementima jedne vrste (kolone) odgovarajućih elemenata neke

druge vrste ( kolone ) pomnoženih proizvoljnim brojem.

‐ 28 ‐

Elementarne transformacije konačno mnogo puta primenjene na

matricu ne menjaju rang matrice.

Matrice A i ,B su ekvivalentne, (pišemo ~A B ), ako i samo ako se mogu

transformisati jedna u drugu pomoću konačno mnogo uzastopnih

elementarnih transformacija, tj. ako je ( ) ( )rang A rang B= .

Primer:

Primenom elementarnih transformacija prevešćemo matricu

1 1 1 12 3 1 13 4 0 2

A⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

u ekvivalentnu matricu, koja ima isti rang.

Prva kolona pomnožena je sa –1 i redom dodata drugoj, trećoj i četvrtoj koloni. Prva vrsta pomnožena je sa –2, odnosno –3 i dodata drugoj odnosno trećoj vrsti. Druga vrsta je pomnožena sa –1 i dodata trećoj vrsti. Druga kolona pomnožena je sa 3 i dodata trećoj koloni, odnosno druga kolona je dodata četvrtoj koloni.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 2 3 4

4

1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 02 3 1 1 2 1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 13 4 0 2 3 1 3 1 0 1 3 1 0 0 0 0

1 0 0 00 1 0 0 .0 0 0 0

A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∼ ∼ ∼ ∼

∼

Rang matrice jednak je broju ne nultih članova, tj ( ) 2rang A = .

‐ 29 ‐

3 . 5 . INVERZNA MATR ICA

Inverzna matrica date kvadratne matrice A je matrica 1A− koja ima

osobinu da je 1 1A A A A I− −⋅ = ⋅ = , gde je I jedinična matrica.

Za kvadratnu matricu A kažemo da je je regularna ako je det 0A ≠ , a

singularna ako je det 0A = .

Adjungovana matrica matrice A u oznaci adjA je transponovana matrica

matrice kofaktora matrice A .

11 21 1

12 22 2

1 2

adj .

n

n

n n nn

A A AA A A

A

A A A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

……

…

Inverzna matrica kvadratne regularne matrice A je matrica

1 adjA .detA

A− =

Za regularne matrice A i B istog reda važe pravila:

( ) 1 1 1A B B A− − −⋅ = ⋅ , ( ) 11A A−− = ,

( ) ( ) 11 T TA A−− = , ( )1 1det

detA

A− = .

Primer:

Naći inverzne matrice matrica:

a) 2 13 5

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

. Inverzna matrica je oblika 11 211

12 22

1det

A AA

A AA− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Kako je 2 1

det 7 03 5

A = = ≠ , znači da postoji matrica 1A− .

Kofaktori matrice A su 11 12 21 225 , 3 , 1, 2A A A A= = − = − = .

‐ 30 ‐

Dobijamo inverznu matricu: 1 5 113 27

A− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

114131211

A ,

1 1 2det 1 3 1 17 0

4 1 1A = = − ≠ , a kofaktori matrice su:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

3 1 1 1 1 32 , 3 , 11 ,

1 1 4 1 4 1

1 2 1 2 1 11, 7 , 3 ,

1 1 4 1 4 1

1 2 1 2 1 15 , 1 , 2 ,

3 1 1 1 1 3

A A A

A A A

A A A

= = = − = = = −

= − = = = − = − =

= = − = − = = =

dobijamo da je 1

2 1 51 3 7 1 .

1711 3 2

A−

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦


1. Šta je matrica? 2. Navesti vrste matrica. 3. Definisati matrične operacije. 4. Šta je detrminanta? 5. Defisati Sarusovo pravilo za

izračunavanje determinanti. 6. Defisati Laplasovo pravilo za

izračunavanje determinanti.

7. Nabrojati osnovne osobine determinanti.

8. Šta je rang matrice i kako se određuje?

9. Definisati inverznu matricu. 10. Šta je adjungovana matrica?


• MATRICA • RANG MATRICE • MINOR • KOFAKTOR

• ADJUNGOVANA MATRICA

• INVERZNA MATRICA • DETERMINANTA

• SARUSOVO PRAVILO • LAPLASOVO PRAVILO • RANG MATRICE

‐ 31 ‐

3 . 6 . S I S T E M I L I N E A R N I H J E D N A Č I N A

Skup linearnih jednačina koji pišemo u obliku

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

……

…

gde je m n> , m n= ili m n< , zovemo sistem od m linearnih jednačina od n nepoznatih.

Brojevi , 1, , ; 1, ,ija i m j n= =… … su koeficijenti uz nepoznate 1, , nx x… , a

brojevi 1, , mb b… su slobodni članovi.

Svaka uređena n‐torka ( )1, , nα α… realnih brojeva koja zadovoljava sistem

jednačina zove se rešenje sistema. Sistem je saglasan ako ima bar jedno rešenje, a nemoguć ako nema rešenja. Ako sistem ima tačno jedno rešenje on je određen, a ako ima više rešenja on je neodređen. Dva sistema su ekvivalentna ako imaju ista rešenja.

3 . 6 . 1 .GAUSOVA METODA

Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ili trapezni ekvivalentni sistem iz koga se dobija rešenje ili se ustanovi da sistem nema rešenja.

Pretpostavimo da je koeficijent 11 0a ≠ . Isključimo nepoznatu 1x iz svih

jednačina sistema osim prve.

Da bismo to realizovali potrebno je prvu jednačinu pomnožiti sa 21 11a a− i

dodati je drugoj jednačini, zatim prvu jednačinu pomnožiti sa 31 11a a− i

dodati je trećoj jednačini, itd. Na taj način se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem:

‐ 32 ‐

11 1 12 2 1 1(1) (1) (1)22 2 2 2

(1) (1) (1)2 2

n n

n n

m mn n m

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b

+ + + =

+ + =

+ + =

……

…

Ako bi produžili isti postupak 1k − puta dobili bi sistem:

11 1 12 2 1 1(1) (1) (1)22 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1)

n n

n n

k k kkk k kn n k

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b− − −

+ + + =

+ + =

+ + =

Ako su svi koeficijenti dobijenog sistema jednaki nuli, a slobodni član nije nula, sistem je nesaglasan i nema rešenja. Ako je k n= , sistem ima jedinstveno rešenje.

Ako je k n< sistem ima beskonačno rešenja. Tada su 1, ,k nx x+ … slobodne

promenljive koje prenosimo na desnu stranu, a zatim se određuju vezane

promenljive 1 1, , ,k kx x x−… .

Primer:

Gausovom metodom rešiti sistem jednačina:

2 3 42 32 2 6

x y zx y zx y z

+ − = −− + =

− + + =

Nakon množenja prve jednačine redom sa 2− i 2 i dodavanjem redom drugoj i trećoj jednačini dobijamo sistem:

2 3 45 7 115 4 2

x y zy zy z

+ − = −− + =

− = −

Dodavanjem druge jednačine trećoj dobijamo sistem: 2 3 45 7 11

3 9

x y zy z

z

+ − = −− + =

=

‐ 33 ‐

Ovo je sistem trougaonog oblika iz kojeg se neposredno dobija jedinstveno rešenje ( ) ( ), , 1, 2,3x y z = .

Primer:

Gausovom metodom rešiti sistem jednačina:

2 102 6

10 3 2

x y zx y zx y z

+ + =+ + =− + =

Nakon množenja prve jednačine redom sa 2− i 10− i dodavanjem redom drugoj i trećoj jednačini dobijamo sistem:

2 103 14

21 7 98

x y zy zy z

+ + =− − = −− − = −

Množenjem druge jednačine sa 7− i dodavanjem trećoj dobijamo sistem: 2 103 14

0 0

x y zy z

z

+ + =− − = −

⋅ =

Ovo je neodređen sistem. Stavljajući z t= neposredno se dobija rešenje

( ) 2 14, , , ,3 3t tx y z t− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

3 . 6 . 2 . KRAMEROVA METODA

Dat je sistem od n jednačina sa n promenljivih:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n


a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

……

…

‐ 34 ‐

Uočimo sledeće determinante:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

k n

k n

n n nk nn

a a a aa a a a

D

a a a a

=

… …… …

… …

determinanta sistema.

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

nk

n n n nn

a a b aa a b a

D

a a b a

=

… …… …

… …

determinanta koja odgovara nepoznatoj kx ;

1, ,k n= … .

0BKRAMEROVO PRAVILO:

Ako je determinanta sistema 0D≠ , tada sistem ima jedinstveno rešenje.

, 1, 2, , .kk

Dx k nD

= = …

Ako je determinanta sistema 0D = , a bar jedna od determinanti 0kD ≠ ,

1,2, ,k n= … , sistem nema rešenja.

Ako je determinanta sistema 0D = , i sve determinante 0kD = ,

1,2, ,k n= … , sistem je neodređen i ako ima rešenja, može ih imati samo beskonačno mnogo.

Primer:

Rešiti sistem jednačina:

3 2 12 3

2 7

x y zx y zx z

+ − =− + =+ =

‐ 35 ‐

Determinanta sistema je:

1 3 22 1 1 13 0 .1 0 2

D−

= − = − ≠

Determinante xD , yD , zD dobijamo kada u determinanti D zamenimo

redom prvu, drugu i treću kolonu kolonom slobodnih članova.

13207113231

−=−−

=xD , 26271132211

−=−

=yD , 39701312131

−=−=zD .

Rešenje sistema je:

13 113

xDxD

−= = =

−,

26 213

yDyD

−= = =

−,

39 313

zDzD

−= = =

−.

Primer:


2 102 610 3 2

x y zx y zx y z

+ + =+ + =− + =

Kako je

0 , 0x y zD D D D= = = = ,

zaključujemo da je sistem neodređen, i rešavamo ga Gausovom metodom. Ako prvu jednačinu pomnožimo redom sa ‐2 i ‐10 i redom dodajemo drugoj i trećoj jednačini, dobijamo sistem:

2 103 14

x y zy z

+ + =− − = −

čije je rešenje ( ) 2 14, , , ,3 3t tx y z t+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, gde je t R∈ .

‐ 36 ‐

Primer:


2 3 14 5 6 07 8 9 2

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

0 , 9xD D= = − . Zaključujemo da je sistem nema rešenja.

3 . 6 . 3 . KRONEKER ‐ KAPEL I J EVA TEOREMA Neka je dat sistem

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m


a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

……

…

11 12 1 11 12 1 1

21 22 2 21 22 2 2

1 2 1 2

,

n n

n np

m m mn m m mn m

a a a a a a ba a a a a a b

A A

a a a a a a b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

gde je A je matrica sistema, a pA je proširena matrica sistema.

KRONEKER‐KAPELIJEVA TEOREMA:

Dati sistem je saglasan i ima jednoznačno rešenje ako je

( ) ( )rang rang pA A n= = .

Sistem je saglasan i ima beskonačno mnogo rešenja ako je

( ) ( )rang rang pA A n= < .

Sistem je protivrečan i nema rešenja ako je ( ) ( )rang rang pA A< ,

gde je n broj nepoznatih.

‐ 37 ‐

Primer:


3 2 22 35 8 5 1

x y zx y zx y z

− − =+ + =

− + + =

( )3 2 1

rang rang 2 1 1 25 8 5

A− −⎡ ⎤

⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

, a

( )3 2 1 2

rang rang 2 1 1 3 35 8 5 1

pA− −⎡ ⎤

⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

, zaključujemo da je sistem

protivrečan i nema rešenja.

Primer:


62 3

2 5

x y zx y zx y z

− + =+ + =+ + =

Kako je ( )1 1 1

rang rang 2 1 1 31 1 2

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, a

( )1 1 1 6

rang rang 2 1 1 3 31 1 2 5

pA−⎡ ⎤

⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,

zaključujemo da je sistem saglasan i ima jedinstveno rešenje koje možemo dobiti nekom od već izloženih metoda.

‐ 38 ‐

3 . 7 . HOMOGEN I S I STEM L INEARN IH J EDNAČ INA

Dat je sistem od m jednačina sa n promenljivih:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

00

0

n n

n n

m m mn n

a x a x a xa x a x a x

a x a x a x

+ + + =+ + + =

+ + + =

……

…

Kako je 1 2 0mb b b= = = =… , ovaj sistem se zove sistem homogenih

jednačina.

On je uvek saglasan jer je ( ) ( )rang rang pA A= .

Svaki homogeni sistem ima trivijalno rešenje 1 2 0nx x x= = = =… .

Homogeni sistem ima i netrivijalno rešenje ako i samo ako je ( )rang A n< .

Prethodni stav o saglasnosti i broju rešenja homogenog sistema je posledica Kroneker‐Kapelijeve teoreme. Primer:

Homogeni sistem jednačina

2 3 00

4 0

x y zx yx y z

− + =− =+ + =

ima samo trivijalno rešenje ( )0,0,0 , jer je, ( )rang 3A = i jednak je broju

nepoznatih.

Primer:

Homogeni sistem jednačina

2 3 04 5 6 07 8 9 0

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

‐ 39 ‐

ima osim trivijalnog rešenja ( )0,0,0 još rešenja jer je, ( )rang 2A = i manji je

od broja nepoznatih, kojih je 3. Rešenje ovog sistema možemo odrediti Gausovom metodom.

3 . 8 .MATR IČN I METOD Dat je sistem od n jednačina sa n promenljivih:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n


a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + =

Sistem se može napisati u matričnom obliku kao:

AX B=

gde je

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

, , .

n

n

n m nn n n

a a a x ba a a x b

A X B

a a a x b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Pod pretpostavkom da je matrica A regularna, tj. da joj je determinanta

različita od nule, sistem se može napisati u obliku: 1X A B−= , odakle dobijamo jnegovo jedinstveno rešenje. Primer:

Matričnom metodom rešiti sistem jednačina:

2 3 73 2 3

2 6

x y zx y zx y z

− + =− − =− + =

‐ 40 ‐

2 3 1 73 2 1 , 3 ,1 1 2 6

xA B X y

z

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

1 1

5 5 51, det 10 0 , 7 3 5 .

101 1 5

AX B X A B A A− −

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⇔ = ⋅ = ≠ = ⋅ −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

( ) ( )1

5 5 5 7 11 7 3 5 3 1 , , 1, 1, 2 .

101 1 5 6 2

X A B x y z−

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


1. Šta je sistem linearnih jednačina ? 2. Gausova metoda. 3. Kramerova metoda. 4. Matrična metoda. 5. Kroneker Kapelijeva teorema. 6. Homogeni sistem jednačina.


• MATRICA • RANG MATRICE • MINOR • KOFAKTOR

• ADJUNGOVANA MATRICA

• INVERTNA MATRICA

• DETERMINANTA

• SARUSOVO PRAVILO

• LAPLASOVO PRAVILO

• RANG MATRICE

‐ 41 ‐

I I I ‐ G L A V A

F UN K C I J E

• FUNKCIJE JEDNE PROMENLJIVE • NIZ • GRANIČNA VREDNOST • NEPREKIDNOST • FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH


Kada ovo poglavlje proučite znaćete:

1. Šta su funkcije jedne i više promenljivih, 2. definišete osobine funkcija, 3. šta su inverzne i složene funkcije, 4. pojam niza, 5. pojam granične vredosti, 6. pojam neprekidosti.

4 . F UN K C I J E

4 . 1 . F U N K C I J E J E D N E P R O M E N L J I V E

4 . 1 . 1 . PO JAM FUNKC I J E Definicija: Neka su A i B proizvoljni skupovi. Preslikavanje ili funkcija :f A B→ predstavlja zakon pridruživanja pomoću koga se proizvoljnom elementu

x A∈ dodeljuje neki element y B∈ , takav da je ( )y f x= .

‐ 42 ‐

Skup A naziva se oblast definisanosti ili domen funkcije i obeležava sa xD.

Skup B naziva se oblast vrednosti ili kodomen funkcije i obeležava se sa

yD .

Element x A∈ naziva se original, a y B∈ njegova slika.

Za funkciju :f A B→ kažemo da je jednoznačna ako bilo kojem

elementu iz skupa A odgovara tačno jedan element iz skupa y B∈ . Funkcija :f A B→ se naziva preslikavanje “1 1− ” ili injektivna ako

( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ .

Funkcija :f A B→ se naziva preslikavanje “na” ili surjektivna ako

( ) ( )( ),y B x A y f x∀ ∈ ∃ ∈ = ,

što znači da je ( )f A B⊂ .

Ako je preslikavanje :f A B→ “1 1− ” i “na” takvo preslikavanje ili funkciju nazivamo bijektivnim, (obostrano jednoznačno preslikavanje).

4 . 1 . 2 . REALNE FUNKC I J E J EDNE PROMENL J IVE

Pod realnom funkcijom podrazumeva se svako preslikavanje kod koga su oroginala i slika realni brojevi, tj. :f R R→

Primeri sa rešenjima:

Primer: Odrediti domen funkcija:

a) ( ) 23

xf xx+

=−

;

Domen funkcije je skup { }\ 3xD R= , a ili uobičajen je i zapis

( ) ( ),3 3,x∈ −∞ ∞∪ .

‐ 43 ‐

b) 24y x= − ; [ ]: 2, 2xD x∈ − .

v) ln3xyx

=−

; ( ): 0,3xD x∈ .

g)

2

2x

y e−

= ; xD R= .

Primer:

Odrediti kodomen funkcija:

a) siny x= , [ ]: 1,1yD y∈ − ; b) 2y x= − , yD R= ; v) 2 1y x= + ,

[ ): 1,yD y∈ +∞ .

4 . 1 . 3 . INVERZNA FUNKC I JA Neka je :f A B→ bijektivno preslikavanje (“1 1− ” i “na”), tada postoji

jedinstvena funkcija 1 :f B A− → koju nazivamo inverzno preslikavanje ili inverzna funkcija takva da je

( )( )1f f x x− = .

Za datu funkciju :f A B→ može da postoji samo jedna inverzna funkcija

1 :f B A− → .

Primer:

Odrediti inverznu funkciju, funkcije a) ( ) 2 1f x x= − .

Pošto je zadata funkcija “1 1− ” i “na”, odnosno bijekcija, postoji inverzno

preslikavanje ( )1 1 12 2

f x y x− = = + .

Grafici funkcija f i 1f − su simetrični u odnosu na pravu y x= .

‐ 44 ‐

yx=

( )y f x=

( )1y f x−=

Primer:

Odrediti inverznu funkciju, funkcije

( ) 2f x x= .

Pošto preslikavanje ( ) 2f x x= :f R R+→ nije “1 1− ” odnosno bijekcija, ne

postoji inverzno preslikavanje 1f −

4 . 1 . 4 . S LAGANJE PRO IZVODA FUNKC I JA

Proizvodom dve funkcije :f A B→ i :g B C→ naziva se funkcija

:g f A C→ , za koju važi:

( )( )( ) ( )( )x A g f x g f x∀ ∈ = .

Primer:

Date su funkcije ( ) 3f x x= + i ( ) 2g x x x= − . Odrediti f g i g f .

( ) ( )( ) 2 3f g x f g x x x= = − +

( ) ( )( ) ( )2 3 3g f x g f x x x= = + − + .

‐ 45 ‐

4 . 1 . 5 .OSOB INE FUNKC I JA

Funkcija f je ograničena na skupu xA D⊆ ako važi:

( )( ) ( ),m M R x A m f x M∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤ .

Grafik funkcije se nalazi između dve prave y m= i y M= .

Ako brojevi m i M ne postoje, za funkciju ( )f x kažemo da je neograničena.

Primer:

Primer: Ispitati ograničenost funkcije ( ) 2

11

f xx

=+

.

Kako je za ( ) 2

1, 0 11

x Rx

∀ ∈ < ≤+

, funkcija je ograničena na intervalu

( ]0,1y∈

Nula funkcije je onaj broj xDα∈ za koji je ( ) 0f α = .

Nule funkcije su tačke preseka funkcije sa Ox osom. Primer:

Odrediti nule funkcija:

a) 2

3

48

xyx−

=+

;

20 4 0 2y x x= ⇔ − = ⇔ =± . Kako funkcija nije definisana za 2x = − nula funkcije je samo 2x = .

b) 2

1 ln xyx+

= ; 1 ln 0; 1x e−= .

c) 1

xeyx

=−

; 0 , za y x R≠ ∀ ∈ i funkcija nema nula

( >0 za 0 za x Rxe > ∀ ∈ ).

‐ 46 ‐

Funkcija f je pozitivna na domenu A ako je ( ) ( ), 0x A f x∀ ∈ > ,

a negativna je ako je ( ) ( ), 0x A f x∀ ∈ < .

Pojmovi pozitivan i negativan predstavljaju znak funkcije. Funkcija f je parna ako je ( ) ( ) ( ),xx D f x f x∀ ∈ − = .

Grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na osu Oy . Funkcija f je neparna ako je ( ) ( ) ( ),xx D f x f x∀ ∈ − = − .

Grafik neparne funkcije je simetričan u odnosu na koordinatni početak O . Primer:

Ispitati parnost i neparnost funkcija:

a) ( ) 2 2f x x= − ; ( ) ( ) ( )2 22 2f x x x f x− = − − = − = , funkcija je parna.

b) ( ) 3 2f x x x= − ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 2 2f x x x x x x x f x− = − − − = − + = − − = − , funkcija je

neparna. c) ( ) 2 32 1f x x x= − + ; funkcija nije ni parna ni neparna.

Funkcija f je periodična ako postoji broj 0T ≠ za koji je ispunjena

jednakost ( ) ( ) ( ),x A f x T f x∀ ∈ + = . Najmanji broj T nazivamo

osnovnim periodom funkcije. Primer:

Sve trigonometrijske funkcije su periodične. Funkcije ( ) sinf x x= i

( ) cosf x x= imaju osnovni period 2T π= , a funkcije ( ) tgf x x= i

( ) ctgf x x= imaju osnovni period T π= .

‐ 47 ‐

Primer:

( )1, 1 0

, 0 1x

f xx x

− ≤ ≤⎧= ⎨ ≤ ≤⎩

i ( ) ( )2f x f x+ = .

Funkcija je periodična sa perodom 2T = .

Funkcija f je rastuća (označavamo f ) na domenu A ako

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x∀ ∈ < ⇒ ≤ , a strogo rastuća ( f ↑ ) ako

( ) ( )1 2 1 2x x f x f x< ⇒ < .

Funkcija f je opadajuća (označavamo f ) na domenu A ako

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x∀ ∈ < ⇒ ≥ , a strogo opadajuća ( f ↓ ) ako

( ) ( )1 2 1 2x x f x f x< ⇒ > .

Rastuće i opadajuće funkcije jednim imenom zovemo monotone funkcije.

‐ 48 ‐

1x 2x

( )1f x ( )2f x

1x 2x

( )1f x ( )2f x

Primer:

Ispitati monotonost sledećih funkcija:

a) xy e= ;

Funkcija je strogo rastuća x R∀ ∈ , jer za 1 21 2

x xx x e e< ⇒ < .

b) lny x= ;

Funkcija je strogo rastuća za ( )0,x∀ ∈ ∞ .

c) 3y x=− ; Funkcija je strogo opadajuća x R∀ ∈ .

d) 582 2 +−= xxy ;

Ako je 1 2x x< ⇒

( )( ) ( )

( )( )1 2

1 2

2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 , 2,, 2

2 8 5 2 8 5 2 80, raste,

2 4 0, opada.

x xx x

x x x x x x x x x x

x x x x< >

<

− + − − − = − + − − =

<= − + −

>

Funkcija f ima lokalni maksimum u tački x a= ako postoji broj 0ε > ,

takav ‐da je ( ) ( )f a f x≥ za ( ),x a aε ε∈ − + .

Funkcija f ima lokalni minimum u tački x a= ako postoji broj 0ε > ,

takav da je ( ) ( )f a f x≤ za ( ),x a aε ε∈ − + .

Mininum i maksimum funkcije nazivamo ekstremnim vrednostima funkcije ili ekstremima funkcije .

‐ 49 ‐

Primer:

Odrediti ekstreme funkcija:

a) 2 1y x= − ; Tačka ( )0, 1− predstavlja minimum funkcije.

b) 3xy = ; Funkcija nema ekstrema.

Funkcija f je na domenu A , za 1 2,x x A∈ i 1 2x x≠

konveksna ako ( ) ( )1 2 1 2

2 2f x f x x xf

+ +⎛ ⎞< ⎜ ⎟⎝ ⎠

,

konkavna ako ( ) ( )1 2 1 2

2 2f x f x x xf

+ +⎛ ⎞> ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Tipičan izgled konveksne i konkavne funkcije dato je na slici:

konveksna

x

ykonkavna

x

y

1x1x 2x

2x1 2

2x x+

1 2

2x x+

}1d 2d1d}

2d

gde je ( ) ( )1 2 1 2

1 2,2 2

f x f x x xd d f+ +⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Tetiva koja spaja dve proizvoljne tačke u 1x i 2x grafika konveksne funkcije

nalazi se iznad dela posmatranog grafika na intervalu 1 2,x x , a kod konkavne

funkcije je obrnuto.

‐ 50 ‐

Primer:

Funkcija 2y x= je konveksna, što zaključujemo iz nejednačine

( )22 2

21 2 1 21 2 0

2 2x x x x x x+ +⎛ ⎞< ⇔ − >⎜ ⎟

⎝ ⎠, za 1 2x x≠ .

4 . 2 . N I Z Definicija:

Uređeni skup elemenata 1 2, , , ,na a a… … obrazuje niz ako se svakom

prirodnom broju n N∈ po nekom zakonu pridruži jedan i samo jedan

element na R∈ .

Niz je preslikavanje :f N R→ .

Primer:

1,2,3, ,n… … predstavlja niz pripodnih brojeva

Niz je određen svojim opštim članom na .

Primer:

Ako je opšti član niza 1 ,na n Nn

= ∈ , onda su članovi niza

1 2 31 11 , , ,2 3

a a a= = = … .

Niz 1 2, , , ,na a a… … je:

rastući ako 1n na a+ > ,

‐ 51 ‐

opadajući ako je 1n na a+ < ,

neopadajući ako je 1n na a+ ≥ ,

nerastući ako je 1n na a+ ≤ .

Ovi nizovi se zovu monotoni nizovi.

Za niz 1 2, , , ,na a a… … se kaže da je ograničen ako postoje realni brojevi

m i M takvi da je nm a M≤ ≤ .

Broj m predstavlja donje ograničenje (minoranta), dok je M gornje ograničenje (majoranta) niza.

Najveća donja granica naziva se infimum niza, a najmanja gornja granica naziva se supremum niza.

Primer:

Niz sa opštim članom ( )1 n

na n−

= je ograničen.

Donje ograničenje je 1m = − , a gornje ograničenje je 12

M = ,

tj. svi članovi niza zadovoljavaju relaciju 112na− ≤ ≤ .

Napomena: Treba naglasiti da m i M nisu jedinstveni, naime ima neprebrojivo mnogo drugih majoranti i minoranti. Tačne su i sledeće

nejednakosti 1 1na− ≤ < ili 2 2na− < < itd. U ovom primeru su navedeni

upravo infimum i supremum skupa vrednosti niza.

4 . 2 . 1 . GRAN IČNA VREDNOST NIZA

Definicija:

Broj a se naziva graničnom vrednošću niza, ako za svako proizvoljno mali

pozitivni broj ε , može da se nađe prirodni broj 0n , takav da

0 , nn n a a ε∀ > − < ,

‐ 52 ‐

što označavamo sa lim nna a

→∞= , ili ,na a n→ →∞ .

Niz koji ima graničnu vrednost naziva se konvergentnim nizom, a koji je nema naziva se divergentnim nizom.

Granica konvergentnog niza je jedinstvena. Primer:

Dat je niz ,2 1nna n Nn

= ∈+

. Pokazati da je njegova granična vrednost 12.

Odrediti 0n za 0,01ε = .

Kako je 1 1

2 1 2 4 2nna an n

ε− = − = <+ +

za 0ε∀ > , zaključujemo da je 12

granična vrednost niza.

Za 0,01ε = dobijamo 1 0,01

4 2n<

+, odakle

98 24,54

n > = tj. 0 25n ≥ .

Dakle van ε okoline broja 12 nalazi se 24 člana niza, a u ε okolini počev od

25a svih ostalih beskonačno mnogo članova niza.

4 . 2 . 2 . OSOB INE KONVERGENTN IH NIZOVA

Ako su na i nb dati nizovi i ako postoji 0n N∈ sa osobinom da je

( ) 0 n nn N n n a b∀ ∈ > ≤ , onda je lim limn nn na b

→∞ →∞≤ .

Svaki konvergentan niz je ograničen.

Monoton i ograničen niz je konvergentan.

‐ 53 ‐

Primeri:

Niz 1

nnan+

= , n N∈ , odnosno 3 4 12 , , , , ,2 3

nn+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

… … je monotono

opadajući, jer je 2

12

2 12 1

n

n

a n na n n+ += <

+ + i ograničen je sa donje strane, jer je

1 11 1nn n+

= + > , što znači da postoji granična vrednost ovog niza, tj .

1lim 1n

nn→∞

+=

4 . 2 . 3 .OPERAC I J E SA GRAN IČNIM VREDNOST IMA NIZOVA

Neka je lim nn

a a→∞

= i lim nnb b

→∞= . Tada važi:

lim lim ,n nn nC a C a C a C R

→∞ →∞⋅ = ⋅ = ⋅ ∈ ,

( )lim lim limn n n nn n n

a b a b a b→∞ →∞ →∞

± = ± = ± ,

( )lim lim limn n n nn n n

a b a b a b→∞ →∞ →∞

⋅ = ⋅ = ⋅ ,

( )lim

lim , 0, 0lim

nn nnn

n nn

aa a b bb b b

→∞

→∞→∞

= = ≠ ≠ .

Primer:

Izračunati

a)

11 lim 222 1lim lim 21 11 1 lim 1

n

n n

n

n nnn

n n

→∞

→∞ →∞

→∞

⎛ ⎞++ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= = =− ⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠

‐ 54 ‐

b) 2

2

2

2 12 1lim lim 011 1

n n

n n nn

n→∞ →∞

++= =

− −,

c) 2 2

2

122 1lim lim 1 11n n

n nn

n n→∞ →∞

++= = ∞

− −.

4 . 2 . 4 . TAČKA NAGOMILAVANJA NIZA Definicija:

Tačka a na brojnoj pravoj u čijoj se svakoj proizvoljno maloj okolini ε nalazi beskonačno mnogo članova niza naziva se tačka nagomilavanja niza.

Broj a je tačka nagomilavanja niza ako je za 0ε∀ > i n I∀ ∈

na a ε− < , gde je I jedan beskonačni podskup prirodnih brojeva. Niz može imati jednu, dve, uopšte konačno ili beskonačno mnogo tačaka nagomilavanja.

Konvergentan niz ima samo jednu konačnu tačku nagomilavanja. Primer:

a) Niz sa opštim članom na n= nema tačku nagomilavanja.

b) Niz sa opštim članom 1

na n= ima jednu tačku nagomilavanja 0a = koja ne

pripada nizu.

c) Niz sa opštim članom ( )1 1

,1

n

n

na

n− +

=+

,ima dve tačke nagomilavanja

1 1a = , koja pripada nizu i 2 1a = − , koja ne pripada nizu.

‐ 55 ‐

4 . 2 . 5 . BROJ e

Granična vrednost niza sa opštim članom 11

n

na n⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

je broj

2,718281e= … odnosno:

1lim 1n

ne

n→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Može se dokazati da je ovaj niz monoton i ograničen, pa samim tim i konvergentan.

Primer:

Izračunati

a)

3331 1lim 1 lim 1

n n

n ne

n n→∞ →∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠,

b)

( )

1 1

22 1 112 2 2

1 2 2 2lim lim 1 lim 1 lim 11 1 1 1

2 2 2lim 1 lim 1 lim 11 1 1

n n n

n n n n

n n

n n n

nn n n n

en n n

+ −

→∞ →∞ →∞ →∞

+ +−

→∞ →∞ →∞

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

4 . 3 . GRAN IČNA VREDNOST FUNKC I J E Uopštavajući pojam granične vrednosti niza dolazimo do pojma granične vrednosti funkcije. Otvoreni interval ( ),a aε ε− + dužine 2ε sa centrom u tački a R∈

nazivamo ε ‐ okolinom tačke a. Okolina tačke a je svaki otvoreni interval koji sadrži tačku a.

Kažemo da je a tačka nagomilavanja skupa A R⊂ ako se u svakoj okolini tačke a nalazi bar jedan element iz A različit od a .

‐ 56 ‐

Tačka nagomilavanja skupa A ne mora da pripada skupu A . Ako a nije tačka nagomilavanja, ona se naziva izolovana tačka. Definicija:

Neka je a tačka nagomilavanja domena xD funkcije f . Broj A je granična vrednost funkcije f kada x a→ , ako za svaki 0ε >

postoji broj 0δ > , takav da je za xx D∀ ∈ za koje važi uslov x a δ− < ,

ispunjena nejednakost ( )f x A ε− < i pišemo

( )limx a

f x A→

= .

Navedenu definiciju možemo zapisati i na sledeći način:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 , ,x x a a f x A Aε δ δ δ ε ε∀ > ∃ > ∀ ∈ − + ⇒ ∈ − +

a δ− a δ+a

A ε−

A ε−A

( )y f x=

Napomena: Prethodna definicija znači da ako se na y osi zada ε okolina tačke A , tada postoji δ okolina tačke a na x osi, tako da kada

( ),x a aδ δ∈ − + , onda ( ) ( ),f x A Aε ε∈ − + , tj. ako nezavisno

promenljiva x teži a , vrednosti funkcije ( )f x teže A .

‐ 57 ‐

Napomena: Funkcija u tački a može, a ne mora biti definisana, ali ova tačka mora

biti tačka nagomilavanja oblasti definisanosti. Primer:

Dokazati da je ( )

2lim 3 1 7x

x→

+ = .

Polazeći od definicije granične vrednosti, ako je 3 1 7x ε+ − < , dobijamo

3 2x ε− < , tj. 23

x ε− < .

Dovoljno je uzeti da je 3εδ = , pa da gornja formula bude tačna.

4414B44444.3.1. LEVA I DESNA GRANIČNA VREDNOST FUNKCIJE Definicija: Broj A je desna granična vrednost funkcije ( )f x u tački a , tj.

( )0

limx a

f x A→ +

= , ako i samo ako je (akko)

( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 x a x a f x Aε δ δ ε∀ > ∃ > ∀ < < + ⇒ − < .

Broj A je leva granična vrednost funkcije ( )f x u tački a tj.

( )0

limx a

f x A→ −

= , akko

( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 x a x a f x Aε δ δ ε∀ > ∃ > ∀ − < < ⇒ − < .

Funkcija ( )f x ima graničnu vrednost A kada x a→ , ako i samo ako

leva i desna granična vrednost postoje i jednake su A , tj.

( ) ( )0 0

lim limx a x a

f x f x A→ + → −

= =

‐ 58 ‐

Primer:

Odrediti graničnu vrednost funkcija;

a) ( )2 1

1xf xx−

=−

u tački 1x = .

Pošto su leva i desna granična vrednost funkcije u tački 1x = postoje i imaju

istu brojnu vrednost, 2

1 0

1lim 21x

xx→ +

−=

−,

2

1 0

1lim 21x

xx→ −

−=

−,funkcija ima graničnu

vrednost u toj tački koja iznosi 2.

b) ( ) 22

xf x x

x−

=−

u tački 2x = .

Kako je 2 , 2

22 , 2

x xx

x x− ≥⎧

− = ⎨− + <⎩, dobijamo:

( )2 0 2 0 2 0

2lim lim lim 22x x x

xf x x xx→ + → + → +

−= = =

−,

( )2 0 2 0 2 0

2lim lim lim 22x x x

xf x x xx→ − → + → +

−= = − = −

− +.

Pošto leva i desna granična vrednost funkcije u tački 2x = nisu jednake, funkcija nema graničnu vrednost u tački 2x = .

Granična vrednost funkcije kad argument x→∞ ( )lim

xf x A

→+∞= akko:

( )0ε∀ > ( )0M∃ > ( )x∀ ( )x M f x A ε> ⇒ − < .

( )limx

f x A→−∞

= akko:

( )0ε∀ > ( )0M∃ < ( )x∀ ( )x M f x A ε< ⇒ − <

‐ 59 ‐

4.3.2. BESKONAČNO MALE VELIČINE:

( )lim 0x a

f x→

= akko ( )0ε∀ > ( )0δ∃ > ( )x∀ ( )x a f xδ ε− < ⇒ < .

Ako je funkcija ( )f x beskonačno mala veličina kad x a→ , tada je ( )1f x

beskonačno velika velična.

4 . 3 . 3 .OSOB INE GRAN IČNIH VREDNOST I FUNKC I JA Ako funkcije f i g imaju granične vrednosti kad argument x a→ , tj.

( )limx a

f x A→

= i ( )limx ag x B

→= , tada je:

( ) ( )lim lim

x a x aC f x C f x C A

→ →⋅ = ⋅ = ⋅

( ) ( )( ) ( ) ( )lim lim lim

x a x a x af x g x f x g x A B

→ → →± = ± = ± ,

( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim

x a x a x af x g x f x g x A B

→ → →⋅ = ⋅ = ⋅ ,

( )( )

( )( )

limlim

limx a

x ax a

f xf x Ag x g x B

→

→→

= = za ( )( )0 , 0g x B≠ ≠ .

4 .4 .NEPREK IDNOST FUNKC I JE

Definicija:

Funkcija f je neprekidna u tački xa D∈ , ako

( )0ε∀ > ( )0δ∃ > x∀ ( ) ( )x a f x f aδ ε− < ⇒ − < .

tj. ( ) ( )lim

x af x f a

→=

‐ 60 ‐

Ako funkcija nije neprekidna u tački a , onda je to tačka prekida funkcije.

Funkcija je neprekidna na skupu xA D⊆ ako je neprekidna u svakoj tački

tog skupa. Napomena: Definicija neprekidnosti ima sličnosti sa definicijom granične

vrednosti u tački. Razlika je u tome što definicija granične vrednosti ne zahteva definisanost funkcije u tački a , a neprekidnosti zahteva.

. Primer:

Ispitati neprekudnost funkcija; a) ( ) 3 1f x x= − u tački 1x = .

Funkcija je očigledno neprekidna u tački 1x = jer je ( )1

lim 3 1 1 2x

x f→

− = = ,

b) ( ) 12

f xx

=−

u tački 2x = .

Funkcija ima prekid u tački 2x = jer u njoj nije ni definisana.

c) ( )sin , 0

0 , 0

x xf x x

x

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

,

Kako je 0

sinlim 1x

xx→

= , a ( )0 0 1f = ≠ , zaključujemo da funkcija f ima prekid u

tački 0x = .

Za funkciju f kažemo da je neprekidna sleva u tački a, ako

( ) ( )0

limx a

f x f a→ −

= ,

a neprekidna sdesna ako

( ) ( )0

limx a

f x f a→ +

= .

Funkcija je neprekidna u tački a akko je neprekidna sleva i sdesna u tački a.

‐ 61 ‐

Primer:

Ispitati neprekudnost funkcije;

a) ( ) 2

2 1, 01, 0

x xf x

x x+ ≤⎧

= ⎨ + >⎩, u tački 0x = .

Kako je ( ) ( )2

0 0lim 2 1 1, lim 1 1x x

x x→ − → +

+ = + = , a ( )0 1f = , zaključujemo da je

funkcija f neprekidna u tački 0x = .

4 .5 . AS IMPTOTE FUNKC I JE U matematici i njenim primenama postoji tendencija da se funkcije aproksimiraju pravim linijama kada x→ ±∞ , ili kada y→ ±∞ , uvek kada je to moguće. Ove prave nazivaju se asimptotama. Definicija:

Prava x a= je vertikalna asimptota funkcije f ako je ( )limx a

f x→

= ±∞ ili

( )0

limx a

f x→ +

= ±∞ ili ( )0

limx a

f x→ −

= ±∞

Prava y b= je horizontalna asimptota funkcije f ako je ( )lim

xf x b

→±∞= .

Prava y kx n= + je kosa asimptota funkcije f ako je ( )( )lim ( )

xf x kx n b

→±∞− + = ,

odnosno, ( )lim

x

f xk

x→±∞= , a ( )( )lim

xn f x kx

→±∞= − .

‐ 62 ‐

vertikalna

x

yhorizontalna

x

y kosa

x

y

Funkcija može da ima sve tri vrste asimptota. Ako funkcija ima horizonatalnu asimptotu sa leve strane, na primer, onda sa te strane ne može imati i kosu asimptotu i obrnuto. Postojanje kose asimptote isključuje postojanje horizontalne asimptote sa iste strane. Primeri:

Odrediti asimptote funkcije

( ) 31

f xx

=−

.

Kako funkcija ima prekid za 1x = , a1 0 1 0

3 3lim , lim1 1x xx x→ + → −= +∞ = −∞

− −,

zaključujemo da funkcija ima vertikalnu asimptotu, pravu 1x = .

Pošto je 3lim 0

1x x→±∞=

−, funkcija ima horizontalnu asimptotu, x ‐ osu, tj. pravu

0y = . Funkcija koja ima horizontalnu nema kosu asimptotu.

Primer:

Odrediti asimptote funkcije

( )2

1xf xx

=+

.

‐ 63 ‐

Kako funkcija ima prekid za 1x = − , a2 2

1 0 1 0lim , lim

1 1x x

x xx x→− + →− −

= +∞ = −∞+ +

,

zaključujemo da funkcija ima vertikalnu asimptotu, pravu 1x = − .

Pošto je 2

lim1x

xx→±∞

= ±∞+

, funkcija nema horizontalnu asimptotu, pa može da

ima kosu.

2

2

2

2

1lim lim 1,

lim lim 11 1

x x

x x

xxxk

x x xx xn xx x

→±∞ →±∞

→±∞ →±∞

+= = =+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

Funkcija ima kosu asimptotu, pravu 1y x= − .

4 . 6 . F U N K C I J E V I Š E P R OM E N L J I V I H

Neka su A i B proizvoljni skupovi. Preslikavanje ili funkcija : nf A B→ predstavlja zakon pridruživanja pomoću koga se proizvoljnoj n‐torki elemenata ( )1 2, , , nx x x A∈… , dodeljuje neki element z B∈ takav de je

( )1 2, , , nz f x x x= … .

Element ( )1 2, , , nx x x A∈… naziva se original, a z B∈ njegova slika.

Pod realnom funkcijom podrazumeva se svako preslikavanje kod koga je

: nf R R→ .

‐ 64 ‐


Primer: Odrediti domene sledećih funkcija:

a) 1f x y= + −

Kako je 1 0x y+ − ≥ , dobijamo da je 1y x≤ + , odnosno da je domen funkcije

poluravan ispod prave 1y x= + , uključujući i nju.

x

y

1

yx=+

b) 2 2 2 9f x y z= + + −

Kako je 2 2 2 9 0x y z+ + − ≥ , dobijamo da je 2 2 2 9x y z+ + ≥ , odnosno da je domen funkcije deo prostora izvan sfere poluprečnika 3, kao i sama sfera

2 2 2 9x y z+ + = .

‐ 65 ‐

4 . 6 . 1 .GRAN IČNA VREDNOST FUNKC I J E Definicija:

Broj A je granična vrednost funkcije, ( ),z f x y= , 2:f R R→ u tački

( )0 0,x y domena D , ako za svaki 0ε > postoji broj 0δ > , takav da ako je

( ) ( ) ( )2 20 0, , 0x y D x x y y δ∀ ∈ < − + − < onda ( ),f x y A ε− < i

pišemo

( )( )

0 0,lim ,

z x yf x y A

→= ili ( )

00

lim ,x xy y

f x y A→→

= .

Napomena: Tačka ( )0 0,x y je tačka nagomilavanja domena D , kao i kod

funkcije jedne promenljive. Napomena: Kod funkcije jedne promenljive definisali smo levu i desnu graničnu vrednost u tački a . U slučaju funkcije dve realne promenljive posmatramo približavanje tačke ( ),x y , tački ( )0 0,x y po svakoj krivoj koja

prolazi kroz te tačke. Primer:

Odrediti sledeće granične vrednosti:

a) ( )

2 2

2 20,0limz

x yx y→

−+

,

Ako se tačka ( ),x y približava tački ( )0,0 po pravoj 0x = ,tada je

( )

2 2

2 20,0lim 1z

x yx y→

−= −

+, ako se približava po pravoj 0y = , tada je

( )

2 2

2 20,0lim 1z

x yx y→

−=

+. Znači granična vrednost ne postoji.

b) ( ) 2 20,0

limz

xyx y→ +

‐ 66 ‐

Ako se tačka ( ),x y približava tački ( )0,0 po koordinatnim osama, tada u oba

slučaja dobija se da je ( ) 2 20,0

lim 0z

xyx y→

=+

.

Ako se tačka ( ),x y približava tački ( )0,0 po nekoj drugoj putanji, na primer,

duž prave ,y kx k R= ∈ , dobija se ( )

2

2 2 2 20,0lim

1z

kx kx k x k→

=+ +

. Ova vrednost

nikada nije nula, kad god je 0k ≠ . Znači, granična vrednost nije ista za sve putanje po kojima se tačka ( ),x y približava tački ( )0,0 , odnosno ne postoji

granična vrednost.

Granične vrednosti po putanjama se najčešće obeležavaju

( )( )0 0

lim lim ,x x y y

f x y→ →

i ( )( )0 0

lim lim ,y y x x

f x y→ →

i nazivaju se ponovljenom graničnom vrednošću.

Ako postoji granična vrednost ( )

( )0 0,

lim ,z x y

f x y A→

= , onda postoje i

granične vrednosti ( )( )0 0

lim lim ,x x y y

f x y A→ →

= i ( )( )0 0

lim lim ,y y x x

f x y A→ →

= .

Obrat ne važi.

Primer:

Odrediti granične vrednosti

0 0

lim limx y

x yx y→ →

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

, 0 0

lim limy x

x yx y→ →

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

i ( )0,0

limz

x yx y→

−+

.

Dobijamo 0 0 0

lim lim lim 1x y x

x y xx y x→ → →

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

, 0 0 0

lim lim lim 1y x y

x y yx y y→ → →

⎛ ⎞− −= = −⎜ ⎟+⎝ ⎠

.

‐ 67 ‐

Ako se tačka ( ),x y približava tački ( )0,0 po pravoj 2y x= , tada je

( )0,0

1lim3 3z

xx→

−= − , a ako se približava po pravoj y x= ,

( )0,0

0lim 02z x→

= , pa

( )0,0limz

x yx y→

−+

ne postoji.

Znači, granična vrednost funkcije dve promenljive ne mora biti jednaka graničnoj vrednosti funkcije po svakoj od promenljivih posebno.

4 . 6 . 2 .OSOB INE GRAN IČNIH VREDNOST I FUNKC I JA Ako funkcije f i g imaju granične vrednosti u tački ( )0 0,x y , tada je:

( )

( )( )

( )0 0 0 0, ,

lim , lim ,z x y z x y

C f x y C f x y→ →

⋅ = ⋅ ,

( )

( ) ( )( )( )

( )( )

( )0 0 0 0 0 0, , ,

lim , , lim , lim ,z x y z x y z x y

f x y g x y f x y g x y→ → →

± = ± ,

( )

( ) ( )( )( )

( )( )

( )0 0 0 0 0 0, , ,

lim , , lim , lim ,z x y z x y z x y

f x y g x y f x y g x y→ → →

⋅ = ⋅

( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )0 0

0 0 0 0

0 0

,

, ,,

lim ,,lim , lim , 0

, lim ,z x y

z x y z x yz x y

f x yf x yg x y

g x y g x y→

→ →→

= ≠ .

4 . 6 . 3 .NEPREK IDNOST FUNKC I J E

Definicija:

Funkcija ( ),z f x y= je neprekidna u tački ( )0 0,x y D∈ , ako

( )0ε∀ > ( )0δ∃ > ( ),x y∀

( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0, ,x x y y f x y f x yδ ε− + − < ⇒ − < .

‐ 68 ‐

tj. ( )

( ) ( )0 0

0 0,lim , ,

z x yf x y f x y

→=

Funkcija je neprekidna na skupu A D⊆ ako je neprekidna u svakoj tački tog skupa.

Napomena: Definicija neprekidnosti ima sličnosti sa definicijom granične

vrednosti u tački. Razlika je u tome što definicija granične vrednosti ne zahteva definisanost funkcije u tački a , a neprekidnosti zahteva.


1. Šta je funkcija? 2. Nabrojati i definisati osobine

funkcija. 3. Kako glasi definicija niza? 4. Definisati osnovne osobine

nizova. 5. Granična vrednost niza i

osobine. 6. Granična vrednost funkcije i

osobine.

7. Pojam asimptota funkcije. 8. Neprekidnost funkcije jedne

promenljive. 9. Pojam funkcije više

promenljivih. 10. Granična vrednost funkcije

više promenljivih. 11. Neprekidnost funkcije više

promenljivih.


• Funkcija • Domen • Kodomen • Niz

• Asimptote • Tačka nagomilavanja • Granična vednost‐

limes • Konvergencija

• Divergencija • Neprekidnost • Broj e

‐ 69 ‐

I V ‐G L A V A

DIFERENCIJALNI RAČUN

• IZVOD FUNKCIJE

• DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI

• DIFERENCIJAL FUNKCIJE

• NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA

• IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE

• PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA

• EKONOMSKE FUNKCIJE Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko:

1. Osnovnih pojmova. 2. Definicija. 3. Tablica izvoda elementarnih funkcija. 4. Pravila diferenciranja. 5. Osnovnih teorema diferencijalnog računa.

5. DIFERENCIJALNI RAČUN

5.1. IZVOD FUNKCIJE Osnovni pojam diferencijalnog računa je izvod funkcije u određenoj tački, tako da ćemo razmatranje ovog računa početi njegovim uvođenjem. U ovom odeljku nakon definisanja izvoda funkcije i geometrijskog tumačenja levog i desnog izvoda, navodi se teorema o diferencijabilnosti funkcija, definicija izvodne funkcije i izvodi osnovnih funkcija.

Definicija izvoda funkcije u tački Neka je : ( , )f a b R→ neprekidna funkcija i 0 ( , )x a b∈ . Ako se za razliku

0x x− uvede oznaka 0 0 0 0, 0, ( , )x x x x a bΔ Δ ≠ +Δ ∈ i ako količnik

‐ 70 ‐

0 0 0

0

( ) ( )f x x f xx

+ Δ −Δ

ima konačnu vrednost kada 0 0xΔ → , tada ova granična vrednost predstavlja

izvod funkcije u tački 0x i označava se sa 0'( )f x . Znači:

0

0 0 00

0

( ) ( )'( ) limx x

f x x f xf xx→

+ Δ −=

Δ

Ako postoji izvod funkcije u tački 0x tj. ako navedeni količnik ima konačnu

vrednost za definisane parametre, funkcija f je diferencijabilna u tački 0x . U

slučaju da funkcija nema izvod u tački 0x tada f nije diferencijabilna u tački

0x .


1. Naći izvod funkcije 3y x= u tački 0 2x =

0 0

0

3 30 0

0 00 0

2 30 0 0

00

(2 ) (2) (2 ) 2'(2) lim lim

12 6lim 12

x x

x

f x f xfx x

x x xx

Δ → Δ →

Δ →

+ Δ − + Δ −= = =

Δ Δ

Δ + Δ + Δ= =

Δ

2. Odrediti izvod funkcije xy e= u tački 1x =

0

0 0

0

0

10

0 00 0

00

(1 ) (1)'(1) lim lim

1lim

x

x x

x

x

f x f e efx x

ee ex

+Δ

Δ → Δ →

Δ

Δ →

+ Δ − −= = =

Δ Δ

−= =

Δ

3. Ispitati da li funkcija 23y x= ima izvod u tački 0x = .

Granična vrednost:

0 0 0

213

0 0 300 0 0

0 0

( ) (0)lim lim limx x x

f x f x xx x

−

Δ → Δ → Δ →

Δ − Δ= = Δ

Δ Δ

ne postoji, pa funkcija f nema izvod u tački 0x = . 4. Odrediti izvod funkcije ( )f x ax b= + u bilo kojoj tački 0x .

‐ 71 ‐

[ ] [ ]

0

0 0 00 0 0 0

0 0 0

0

0

00 0

0

( )( ) ( ) ( )

( )'( ) limx

a x x b ax bf x f x x f xx x xa x ax

f xf x axΔ →

+ Δ + − +Δ + Δ −= =

Δ Δ Δ

Δ= =

Δ

Δ= =

Δ

Teorema o geometrijskoj interpretaciji izvoda funkcije Ako funkcija f ima izvod u tački 0x , tada grafik ove funkcije ima tangentu u

tački 0 0( , '( ))x f x čiji je koeficijent pravca jednak izvodu funkcije f u tački 0x(sl. 1.).

0

0 0 00 0

0

( ) ( )'( ) limx

f x x f xk f xxΔ →

+ Δ −= =

Δ

yk tgx

α Δ= =

Δ

sl. l Važi i obrnut stav, ako grafik neprekidne funkcije f ima tangentu u

tački 0 0( , '( ))x f x tada je koeficijent pravca jednak izvodu funkcije f u tački

0x .

‐ 72 ‐

Primer sa rešenjem:

5. Naći jednačinu tangente krive : 1xf y e= + u tački 0 0x = 0

0( ) (0) 1 2f x f e= = + = , pa je (0,2)oM . koeficijent pravca tangente.

0 0

(0 ) (0) 1lim lim 1x

x x

f x f ekx x

Δ

Δ → Δ →

+ Δ − −= = =

Δ Δ,

pa je jednačina tangente: 2y x= +

Slično pojmu izvoda funkcije u nekoj tački, definišu se i pojmovi levog i desnog izvoda funkcije u određenoj tački. Definicija levog izvoda funkcije

Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke 0x . Ako se

za razliku 0x x− uvede oznaka 0xΔ , 0 0xΔ < i ako količnik

0 0 0

0

( ) ( )f x x f xx

+ Δ −Δ


levi izvod funkcije u tački 0x i označava se sa 0'( )f x− . Dakle,

0

0 0 00

00

( ) ( )'( ) limx

f x x f xf xx−−

Δ →

+ Δ −=

Δ

Analogno definiše se pojam desnog izvoda funkcije u određenoj tački. Definicija desnog izvoda funkcije

Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke 0x . Ako se

za razliku 0x x− uvede oznaka 0xΔ , 0 0xΔ > i ako količnik

0 0 0

0

( ) ( )f x x f xx

+ Δ −Δ


desni izvod funkcije u tački 0x i označava se sa 0'( )f x+ . Dakle:

0

0 0 00

00

( ) ( )'( ) limx

f x x f xf xx++

Δ →

+ Δ −=

Δ

Relacija između levog i desnog izvoda funkcije u određenoj tački i diferencijabilnosti funkcije u toj tački je iskazana sledećom teoremom.

‐ 73 ‐

Teorema o diferencijabilnosti funkcije u tački Ako je funkcija f diferencijabilna u tački 0x tada važi:

0 0 0' ( ) ' ( ) '( )f x f x f x+ −= =

i obrnuto, tj. ako za neku funkciju f važi:

0 0 0'( ) ' ( ) ' ( )f x f x f x+ −= =

tada je funkcija f diferencijabilna u tački 0x .

Ako je 0 0' ( ) ' ( )f x f x+ −≠ , tada funkcija f nije diferencijabilna u tački 0x , f tada nema tangentu u tački 0M (sl. 2.).

sl. 2.

5.2. DIFERENCIJABILNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE U TAČKI

Pri definisanju funkcije f u tački 0x , pretpostavljeno je da je funkcija f neprekidna u nekoj okolini tačke 0x . Ispitajmo sada u kakvom su odnosu

neprekidnost i diferencijabilnost funkcije u tački. Teorema Ako je funkcija f diferencijabilna u nekoj tački, tada je ona neprekidna u toj tački. Dokaz

Neka postoji 0'( )f x , tada je:

0 0 00 0

0

( ) ( ) '( ) ( )f x x f x f x xx

ε+ Δ −− = Δ

Δ

‐ 74 ‐

funkcija od 0xΔ i pri tom 0( ) 0xε Δ → , kada 0 0xΔ → . Ako označimo

0 0x x x= +Δ , tada je:

0 0 0 0 0( ) ( ) '( ) ( )f x f x x f x x xε= + Δ +Δ ⋅ Δ

odnosno:

0 00 0 0 0 0 00

lim ( ) lim ( ( ) '( ) ( )) ( )x x x

f x f x x f x x x f xε→ Δ →

= + Δ + Δ ⋅ Δ = ,

što znači da je funkcija f neprekidna u tački 0x .

Obrnuto ne važi tj. ako je funkcija neprekidna u nekoj tački tada ona ne mora

biti diferencijabilna u toj tački. Na primer, funkcija y x= je neprekidna za

svako x pa i za 0x = . Međutim u ovoj tački funkcija nije diferencijabilna. Definicija diferencijabilnosti funkcije na određenom intervalu Ako funkcija f ima izvod odnosno diferencijabilna je u svakoj tački intervala

( , )a b tada je funkcija f diferencijabilna na intervalu ( , )a b , odnosno ima izvod

0

( ) ( )'( ) limx

f x x f xf xxΔ →

+ Δ −=

Δ

za svako ( , )x a b∈ . Ovako definisana funkcija 'f naziva se izvodna funkcija ili izvod funkcije f . Definicija izvodne funkcije (prvog izvoda) Izvodna funkcija ili prvi izvod funkcije f je funkcija kojom se skup tačaka

( , )x a b∈ preslikava u skup vrednosti odgovarajućih izvoda 'f . Određivanje izvodne funkcije naziva se diferenciranje. U tabeli 1. su dati izvodi elementarnih funkcija:

‐ 75 ‐

Funkcija Izvodna funkcija

1

1

( ) , , '( ) 0( ) , , '( )( ) , , '( )( ) , 0 1, '( ) ln( ) , '( )

1( ) log , 0 1, '( )ln

1( ) ln , '( )

( ) sin , '( ) cos

n n

x x

x x

a

f x A A const x R f xf x x n N x R f x nxf x x R x R f x xf x a a x R f x a af x e x R f x e

f x x a x R f xx a

f x x x R f xx

f x x x R f x x

α αα α

−

−

+

+

= = ∈ =

= ∈ ∈ =

= ∈ ∈ =

= < ≠ ∈ =

= ∈ =

= < ≠ ∈ =

= ∈ =

= ∈ =( ) cos , '( ) sinf x x x R f x x= ∈ = −

{ }

}{

2

2

2

2

2

2

1( ) , \ (2 1) / 2; '( )cos

1( ) , \ ; '( )sin1( ) sin , 1, '( )

11( ) cos , 1, '( )

11( ) , '( )

11( ) , '( )

1

f x tg x x R k k Z f xx

f x ctg x x R k k Z f xx

f x arc x x x R f xx

f x arc x x x R f xx

f x arc tg x x R f xx

f x arc ctg x x R f xx

π

π

= ∈ + ∈ =

= ∈ ∈ = −

= < ∈ =−

= < ∈ = −−

= ∈ =+

= ∈ = −+

Tabela 1. Izvodi elementarnih funkcija

Pravila za diferenciranje U ovom odeljku su data osnovna pravila za diferenciranje. Uz svako pravilo važi pretpostavka da su date funkcije diferencijabilne u tački x.

‐ 76 ‐

Izvod zbira i razlike funkcija:

Ako je funkcija oblika 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nf x f x f x f x= ± ± ± tada je

1 2'( ) ' ( ) ' ( ) ... ' ( )nf x f x f x f x= ± ± ±

za svako x za koje su definisane funkcije 1 2 1 2, ,..., , ' , ' ,..., ' .n nf f f f f f

Specijalan slučaj navedenog pravila je za 2n = . Tada je funkcija oblika

1 2( ) ( ) ( )f x f x f x= ±

a važi:

1 2'( ) ' ( ) ' ( )f x f x f x= ±

Izvod proizvoda funkcija: Ako je funkcija oblika 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nf x f x f x f x= ⋅ , tada je

1 2 1 2 1 2'( ) '( ) ( ) ... ( ) ( ) ' ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) ... ' ( )n n nf x f x f x f x f x f x f x f x f x f x= + + +

Specijalan slučaj navedenog pravila je za 2n = ;

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) '( ) ' ( ) ( ) ( ) ' ( )f x f x f x f x f x f x f x f x= ⇒ = +

Izvod proizvoda konstante i funkcije: Ako je funkcija oblika ( ) ( ) '( ) '( )f x Cg x f x C g x= ⇒ = ⋅ , C‐konstanta Izvod količnika funkcija:

Ako je funkcija oblika 1

2

( )( )( )f xf xf x

= , tada je

[ ]1 2 1 2

22

' ( ) ( ) ( ) ' ( )'( )( )

f x f x f x f xf xf x−

=

Specijalan slučaj navedenog pravila je funkcija oblika

1

1( )( )

f xf x

= , ( ) 0f x ≠ , [ ]

12

1

' ( )'( )( )f xf xf x

= −

‐ 77 ‐

Izvod složene funkcije: Ako funkcija ( )u f x= ima izvod u tački x , a funkcija ( )y g u= ima izvod u

tački ( )u f x= , tada složena funkcija [ ]( )y g f x= ima izvod u tački x koji je jednak

'( ) '( ) '( )y x g u f x=


6. Izračunati prve izvode sledećih funkcija

a) 2y ax bx c= + +

2 ' ' '' ( ) ( ) 2y ax bx c ax b= + + = + b) lny x x=

' ' ln (ln ) 'y x x x x= +11 ln x xx

= ⋅ + ⋅ ln 1x= +

c) y tg x=

2

sin (sin ) 'cos sin (cos ) ''cos cosx x x x xyx x

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2 2 2

cos cos sin ( sin ) cos sin 1cos cos cos

x x x x x xx x x

− − += = =

7. Naći prvi izvod funkcije ( ) ln sinh x x= ( ) ( ( )) ( ) sin ( ) lnh x g f x u f x x g u u= = = =

1 cos'( ) '( ) '( ) cos

sinxh x g u f x x ctg x

u x= ⋅ = = =

8. Izračunati prvi izvod funkcije 2xy e=

2 uu x y e= =

2 22' ( ) ' 2 2u x xy e x e x xe= ⋅ = ⋅ =

‐ 78 ‐

Napomena: Formula za izvod složene funkcije, lako se prenosi na slučaj kad je složena funkcija formirana od više funkcija. Na primer ( ( ( )))y h g f x= , tada je

' '( ( ( )) '( ( )) '( )y h g f x g f x f x= ⋅ ⋅ .

( ) ( ( )2 2 2x x xy tg f x g f x tg= = =

2 2

1 1 1 1' ( ) ' ( ) '2 2cos 4cos2 2 2 2 22 2

xx xy tg x x xx x tgtg tg

= ⋅ = ⋅ ⋅⋅ =

Pored prvog izvoda funkcija može imati drugi, treći, ... , u opštem slučaju n‐ti izvod. Definicija izvoda funkcije višeg reda U slučaju da je i izvodna funkcija 'f u tački 0x diferencijabilna u istoj toj tački,

tj. da izvodna funkcija i sama ima izvodnu funkciju, ta nova izvodna funkcija se obeležava sa ''f i naziva se drugi izvod ili izvod drugog reda funkcije f u tački

0x , '' '( ) ( )( ) 'x xf f=

Analogno se definišu izvodi višeg reda. Tako je treći izvod ili izvod trećeg reda izvodna funkcija drugog izvoda i obeležava se sa '''f U opštem slučaju izvod n‐tog reda se dobija kao izvodna funkcija od (n ‐1)‐ og izvoda:

( ) ( 1)( ) ( ) 'n nf x f x−⎡ ⎤= ⎣ ⎦


9. Treći izvod funkcije lny x= je:

2 3

1 1 2' , 0, '' , ''' .y x y yx x x

−= ≠ = =

‐ 79 ‐

10. Četvrti izvod funkcije 4 34 5 1y x x= + − : 3 2 2' 16 15 ; '' 48 30 ; ''' 96 30; 96ivy x x y x x y x y= + = + = + =

11. n‐ti izvodi funkcija su:

a) xy e= , ⇒ ( )n xy e= .

b) lny x= , ⇒ ( ) 1 ( 1)!( 1) .n nn

nyx

− −= −

c) Ako je siny x= , tada je ' cos sin( )2

y x x π= = + pa je

( ) sin( ).2

n ny x π= +

d) cosy x= , ⇒ ( ) cos( )2

n ny x π= + .

e) xy a= , ⇒ ( ) (ln ) .n x ny a a=

5.3. DIFERENCIJAL FUNKCIJE U ovom odeljku se razmatra još jedan pojam iz diferencijalnog računa. To je diferencijal funkcije koji ima veoma važnu ulogu u matematičkoj analizi. Prvo se definišu pojmovi priraštaja funkcije i diferencijala funkcije, razmatra se geometrijska interpretacija diferencijala funkcije, da bi se na kraju odeljka navela osnovna pravila za njegovo izračunavanje. Definicija priraštaja funkcije Neka je f funkcija koja ima izvod 'f u nekoj tački x . Priraštaj funkije

( )f xΔ u tački x je definisan na sledeći način. ( ) '( )f x f x x xαΔ = Δ + Δ

pod uslovom da 0α → , kada 0xΔ → . Iz definicije priraštaja funkcije mogu se uočiti dve vrednosti, to su '( )f x xΔ i

xαΔ . Ako se izvrši poređenje ove dve vrednosti uz uslove koji važe da 0α → i 0xΔ → , može se zaključiti da član xαΔ ima beskonačno malu vrednost koja

je znatno manja od vrednosti člana ( )f x xΔ . Na osnovu ove analize vrednosti priraštaja funkcije dobijamo da je:

‐ 80 ‐

( ) ( )f x f x xΔ ≈ Δ Vrednost koja se dobila za priraštaj funkcije naziva se glavni ili linearni deo priraštaja funkcije i predstavlja upravo pojam koji je tema ovog odeljka, tj. diferencijal funkcije. Definicija diferencijala funkcije Diferencijal funkcije f u tački x je jednak proizvodu izvoda funkcije 'f u

tački x i priraštaja xΔ nezavisno promenljive x . Obeležavamo ga sa df . Na osnovu definicije diferencijala funkcije vidi se da on u opštem slučaju predstavlja funkciju sa dva argumenta ( , )x xΔ .

Kako je xΔ mala veličina, aproksimativna relacija je: ( ) ( )f x df xΔ ≈ ,

Kako je ( ) ( ) ( )f x f x x f xΔ = + Δ − uz prethodnu relaciju dobijamo novu: ( ) ( ) ( )f x x f x df x+ Δ ≈ +

Obe aproksimativne relacije se veoma često koriste u teoriji približnih računa za približno izračunavanje vrednosti određenih izraza. Ako se uvedu oznake dx x= Δ i ( )dy f x= Δ , tada je izvod funkcije:

'( ) dyf xdx

=

Na ovaj način se dobija još jedna definicija izvoda funkcije f , kao količnika diferencijala funkcije i diferencijala nezavisno promenljive. Teorema o geometrijskoj interpretaciji diferencijala funkcije Data je funkcija f čiji grafik ima tangentu u tački ( , ( )).M x f x Diferencijal funkcije geometrijski predstavlja promenu ordinate tangente u posmatranoj tački kada se x promeni za xΔ , odnosno za dx .

‐ 81 ‐

'( )NQ NM tg f x x dyα= ⋅ = ⋅ Δ =

sl. 3 Takođe, kao što je pri razmatranju izvoda funkcije dat pregled osnovnih pravila dobijanja izvoda funkcija, to ona postoji i pri izračunavanju diferencijala funkcije. U svim navedenim pravilima važi da su ( )u u x= i ( )v v x= diferencijabilne funkcije. Pravila za izračunavanje diferencijala funkcija

( )d u v du dv± = ± ( )d uv vdu udv= +

2( ) , 0u vdu udvd vv v

−= ≠

Analogno pojmovima drugog izvoda i u opštem slučaju n‐tog izvoda definišu se i pojmovi diferencijala drugog reda, odnosno u opštem slučaju diferencijala n‐ tog reda. Definicija diferencijala funkcije drugog reda Diferencijal drugog reda je jednak diferencijalu diferencijala prvog reda, odnosno

2 2( ) ''d y d dy y dx= = Na osnovu ove relacije može se izvesti zaključak da je drugi izvod funkcije jednak količniku diferencijala drugog reda funkcije i kvadrata diferencijala argumenta, odnosno

2

2'' d yydx

=

‐ 82 ‐

Analogno se dobija izraz za n‐ti izvod. On je količnik diferencijala n‐tog reda funkcije i diferencijala argumenta stepena n , odnosno

( )n

nn

d yydx

=

Diferencijal n‐tog reda može se zapisati ( )n n nd y y dx= .


12. Diferencijali sledećih funkcija su:

a) 1( )d x x dxα αα −=

b) ( )x xd e e dx=

c) 1(ln )d x dxx

=

d) (sin ) cosd x x dx=

e) 2

1( )1

d arctg x dxx

=+

13. Koristeći pravila za izračunavanje diferencijala zbira, razlike, proizvoda i količnika funkcija, izračunati su diferencijali sledećih funkcija:

a) 2 siny x x= + 2 cos (2 cos )dy x dx x dx x x dx= + = +

b) xy xe=

( )x x x xdy e dx xe dx e xe dx= + = +

c) sincosxyx

=

2 2 2

2 2 2

cos sin ( sin ) (cos sin ) 1cos cos cos

x dx x x dx x x dxdy dxx x x

− − += = =

.

5.4. NAJVAŽNIJE TEOREME DIFERENCIJALNOG RAČUNA U prethodnim odeljcima ovog poglavlja date su definicije osnovnih pojmova diferencijalnog računa, izvoda i diferencijala funkcije, kao i osnovna pravila koja se koriste za izračunavanje navedenih pojmova. Koristeći razmatrane definicije

‐ 83 ‐

i pravila u ovom odeljku se upoznaju najvažnije teoreme diferencijalnog računa: Fermaova, Rolova, Lagranžova i Košijeva teorema, Lopitalovo pravilo i Tejlorova formula. Fermaova teorema Neka je funkcija f diferencijabilna na intervalu ( , )a b i neka u tački

0 0( ( , ))x x a b∈ ima lokalni ekstrem. Tada je prvi izvod funkcije jednak 0,

odnosno:

0'( ) 0f x =

Dokaz Fermaove teoreme Pretpostavimo da tačka 0x predstavlja tačku lokalnog maksimuma funkcije f (postupak dokaza je analogan kada se razmatra lokalni minimum funkcije). Tada prema definiciji lokalnog maksimuma funkcije važi:

0 0( 0)( )(0 ) ( ) ( ).x x x f x f xξ ξ∀ > ∀ < − < ⇒ <

Neka je priraštaj 0xΔ > , tako da važi relacija

0 0x x x ξ+ Δ < +

Iz definicije lokalnog se dobija

0 0( ) ( )f x x f x+Δ <

0 0( ) ( ) 0f x x f xx

+ Δ −<

Δ.

Analogno, za 0xΔ < , važi relacija

0 0x x x ξ+Δ > +

Iz definicije lokalnog maksimuma se dobija

0 0( ) ( )f x x f x+Δ >

0 0( ) ( ) 0f x x f xx

+ Δ −>

Δ

Primenićemo granične vrednosti na prethodno dobijene izraze:

0 000

( ) ( )lim ' ( ) 0x

f x x f x f xx +→

+ Δ −= ≤

Δ

‐ 84 ‐

0 000

( ) ( )lim ' ( ) 0x

f x x f x f xx −→

+ Δ −= ≥

Δ

U teoremi je pretpostavljeno da je funkcija f diferencijabilna u tački 0x . Iz

diferencijabilnosti sledi

0 0 0' ( ) ' ( ) '( )f x f x f x+ −= =

Ako se uporede poslednje tri relacije, dolazi se do zaključka da 'f mora da

ispunjava zahteve 0'( ) 0f x ≥ i 0'( ) 0f x ≤ , a to je moguće samo ako je

0'( ) 0f x = , što je i trebalo dokazati.

Na potpuno analogan način se izvodi dokaz i za slučaj lokalnog minimuma, čime je teorema dokazana. Fermaovom teoremom je naveden potreban uslov za postojanje lokalnog ekstrema diferencijabilnih funkcija. Treba napomenuti da ne važi obrnut stav, ako je 0'( ) 0f x = , tada tačka 0x nije uvek tačka lokalnog ekstrema. Tačke u

kojima je ispunjen uslov 0'( ) 0f x = nazivaju se stacionarnim tačkama

funkcije. Na primer funkcije za koju je 0'( ) 0f x = , a 0x nije tačka lokalnog

ekstrema, je funkcija 3( )f x x= , za vrednost 0 0x = . U ovoj tački je '(0) 0f =, a nije tačka lokalnog ekstrema, ali jeste stacionarna tačka. Rolova teorema

Neka je funkcija f :

1. neprekidna na segmentu [ ],a b

2. diferencijabilna na intervalu ( , )a b . 3. ( ) ( )f a f b= Onda postoji tačka ξ koja pripada datom segmentu, takva da važi

'( ) 0f ξ = .

‐ 85 ‐

Dokaz Rolove teoreme Pri dokazivanju ove teoreme koristi se jedna pomoćna teorema. Ona glasi da

ako je funkcija f neprekidna na segmentu [ ],a b tada ona na tom segmentu

dostiže bar jednom svoju maksimalnu vrednost i bar jednom svoju minimalnu vrednost. Ako se u posmatranom slučaju maksimalna vrednost označi sa MAX , a minimalna sa MIN , to znači da je vrednost posmatrane funkcije f na segmentu [ ],a b sigurno veća ili jednaka od MIN , a manja ili jednaka od

MAX , za svako x koje pripada segmentu [ ],a b .

( )MIN f x MAX≤ ≤

Iz prethodnog tvrđenja može se zaključiti da je vrednost MAX sigurno veća ili jednaka vrednosti MIN . Na osnovu toga razlikujemo dva slučaja za koje se dokazuje Rolova teorema. Prvi je da je vrednost MAX jednaka vrednosti MIN , a drugi da je vrednost MAX veća od vrednosti MIN . U prvom slučaju (za koji važi MAX MIN= ) zaključujemo da je funkcija konstantna na posmatranom segmentu ( )f x MAX MIN C= = = , za svako

x koje pripada segmentu [ ],a b , pa je '( ) 0f x = , za svako x koje pripada segmentu [ ],a b , Rolova teorema je za ovaj slučaj dokazana, jer ξ može biti

bilo koja tačka iz segmenta [ ],a b

U drugom slučaju važi MAX MIN> . Neka je ξ tačka u kojoj funkcija ima vrednost MAX , a bξ< < . Kako je ( ) ( )f a f b= po Fermaovoj teoremi zaključujemo da je '( ) 0f ξ = Rolova teorema ima i svoju geometrijsku interpretaciju. Geometrijska interpretacija Rolove teoreme

Na grafiku funkcije f , koja na segmentu [ ],a b ispunjava uslove Rolove

teoreme postoji bar jedna tačka u kojoj je tangenta paralelna (sl.4.) ili se poklapa sa osom Ox .

‐ 86 ‐

sl. 4 Primeri sa rešenjima:

14. Pokazati da funkcija 4 2( ) 2f x x x= − zadovoljava uslove Rolove teoreme

za 0, 2x ⎡ ⎤∈⎣ ⎦ . Naći odgovarajuće vrednosti ξ .

Uraditi isto za 2, 2x ⎡ ⎤∈ −⎣ ⎦ .

f je neprekidna za 0, 2x ⎡ ⎤∈⎣ ⎦ .

3'( ) 4 4f x x x= − , pa je f diferencijabilna za 0, 2x ⎡ ⎤∈⎣ ⎦

(0) 0f = , 4 3( 2) ( 2) 2( 2) 4 2 2 0f = − = − ⋅ =

Znači ispunjeni su uslovi Rolove teoreme pa važi:

'( ) 0f ξ = za (0, 2)ξ ∈ 34 4 0ξ ξ− =

24 ( 1) 0ξ ξ − = 0 1 1ξ ξ ξ= ∨ = − ∨ =

Samo 1ξ = pripada intervalu (0, 2) . Posmatrajmo interval 2, 2⎡ ⎤−⎣ ⎦ .

Uslovi neprekidnosti i diferencijabilnosti su ispunjeni kao i

( 2) ( 2) 0f f− = = pa postoji ( 2, 2)ξ ∈ − tako da je '( ) 0f ξ =

‐ 87 ‐

34 4 0 0 1 1ξ ξ ξ ξ ξ− = = ∨ = − ∨ = Znači postoje tri vrednosti za koje je '( ) 0f x = .

15. Proveriti da li funkcija 3 2( ) 1f x x= − ispunjava uslove Rolove teoreme na

[ ]1,1− .

Funkcija je neprekidna za [ ]1,1x∈ −

3 3( 1) 1 1 0 (1) 1 1 0f f− = − = = − =

3

2'( ) , 0,3

f x xx

−= ≠ pa funkcija nije diferencijabilna za 0x =

Košijeva teorema

Neka su funkcije f i g neprekidne na segmentu [ ],a b i diferencijabilne na

intervalu ( , )a b . Ako za svaku tačku x koja pripada intervalu ( , )a b važi '( ) 0g x ≠ ,tada postoji tačka ( , )a bξ ∈ tako da je

'( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( )f f b f ag g b g a

ξξ

−=

−

Dokaz Košijeve teoreme Da bi se dokazalo navedeno tvrđenje definiše se nova funkcija, u oznaci h , na sledeći način

[ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f b f ah x f x f a g x g ag b g a

−= − − −

−

za svako x koje pripada segmentu [ ],a b .

Ako se analizira novodefinisana funkcija dolazi se do zaključka da ova funkcija

zadovoljava sve uslove Rolove teoreme. Neprekidna je na segmentu [ ],a b ,

diferencijabilna na intervalu ( , )a b i ( ) ( ) 0h a h b= = .

‐ 88 ‐

Kada bi funkcija g takođe ispunjavala uslove Rolove teoreme, postojala bi

tačka ξ koja pripada segmentu [ ],a b , takva da je '( ) 0g ξ = , a to je suprotno

pretpostavci teoreme. Može se zaključiti da funkcija ( )g x ne ispunjava uslove Rolove teoreme i važi ( ) ( )g a g b≠ . Na osnovu prethodnih zaključaka može se primeniti Rolova teorema na funkciju h

( ) ( )'( ) '( ) '( ) 0( ) ( )f b f ah x f gg b g a

ξ ξ−= − =

−

Iz predhodnog izraza dobijamo '( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( )f f b f ag g b g a

ξξ

−=

−,

čime je Košijeva teorema dokazana. Primeri sa rešenjima:

16. Da li su ispunjeni uslovi Košijeve teoreme za funkcije ( ) sinf x x= i

( ) cos( )g x x= na odsečku 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦? Naći tačku ξ .

Funkcije f i g su neprekidne za 0,2

x π⎡ ⎤∈⎢ ⎥⎣ ⎦ i diferencijabilne za (0, )

2x π∈ ,

jer '( ) cosf x x= a '( ) sing x x= − i '( ) 0g x ≠ za (0, )2

x π∈ pa su ispunjeni

uslovi Košijeve teoreme, tj. postoji (0, )2πξ ∈ tako da je:

( ) (0)'( ) 2'( ) ( ) (0)

2

f ffg g g

πξ

πξ

−=

−

cos 1 0sin 0 1ξξ

−=

− −

1 1 (0, )4 4 2

tg tg π π πξ ξ ξ− = − = = ∈ .

‐ 89 ‐

17. Zašto se Košijeva teorema o srednjoj vrednosti ne može primeniti na

funkcije 2( )f x x= i 3( )g x x= na segmentu [ ]1,1− ? 2'( ) 3g x x= i '( ) 0g x = za 0 [ 1,1]x = ∈ − .

Lagranžova teorema

Neka je funkcija f neprekidna na intervalu [ ],a b i diferencijabilna na

intervalu ( , )a b . Tada postoji tačka ξ koja pripada datom intervalu, takva da važi

( ) ( )'( ) f b f afb a

ξ −=

−

Dokaz Lagranžove teoreme Primenom Kođijeve teoreme uz pretpostavku ( )g x x= dokazujemo Langranžeovu teoremu. Geometrijska interpretacija Lagranžove teoreme

Na grafiku funkcije f koja na segmentu [ ],a b ispunjava uslove Rolove

teoreme, postoji bar jedna tačka u kojoj je tangenta paralelna sa sečicom koja spaja tačke ( )f a i ( )f b (sl. 5.)

‐ 90 ‐

sl. 5


18. U kojoj tački je tangenta krive 24y x= − paralelna tetivi AB , ( 2, 0)A − , (1,3)B .

Posmatrajmo funkciju 24y x= − na intervalu [ ]2,1− . Ona je neprekidna

za [ ]2,1x∈ − diferencijabilna za ( 2,1)x∈ − , ' 2y x= − pa ispunjava uslove

Lagranžove teoreme. (1) ( 2)'( )1 ( 2)f ff ξ − −

=− −

3 023

ξ −− = ⇒

1 1 152 1 ( ) 42 4 4

fξ ξ ξ− = ⇒ = − ⇒ = − =

Znači u tački 1 15( , )2 4

C − tangenta krive 24y x= − je paralelna tetivi

AB .

19. Zašto se ne može primeniti Lagranžova teorema na funkciju 4( )f xx

= na

intervalu [ ]1, 2− ?

Funkcija nije definisana u tački 0x = .

‐ 91 ‐

20. Zašto se ne može primeniti Lagranžova teorema na funkciju

, 2

( )1 2

x xf x

x

⎧ <⎪= ⎨≥⎪⎩

na odsečku [ ]0,2 .

Funkcija f je neprekidna na segmentu [ ]0,2 ali nije diferencijabilna u tački

1 (0, 2).x = ∈

Tejlorova teorema

Neka je funkcija f n‐puta diferencijabilna na segmentu [ ],a b i ima izvod

(n+1)‐og reda na intervalu ( , )a b . Tada za [ ],x a b∈ važi: 2 1

( ) ( 1)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ... ( ) ( )2! ! ( 1)!

n nn nx a x a x af x f a x a f a f a f a f

n nξ

++− − −

= + − + + + ++

gde broj ξ pripada intervalu ( , )a x za x a> , odnosno broj ξ pripada intervalu ( , )x a za x a> . Dokaz Tejlorove teoreme Da bi se dokazalo navedeno tvrđenje definišu se dve nove funkcije g i h argumenta r , na sledeći način

2( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ... ( ) ( )

2!

nnx r x rg r f x f r r x f r f r f r h r

n⎡ ⎤− −

= − + − + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

1( )( )( 1)!

nx rh rn

+−=

+

Ako se uzmu u obzir svi uslovi koje zadovoljava funkcija f ,može se zaključiti

da funkcije g i h ispunjavaju sve uslove Košijeve teoreme na segmentu [ ],a x. Zato postoji broj ξ koji pripada intervalu ( , )a x za x a> i za koga važi sledeća relacija

'( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( )g g x g ah h x h aξξ

−=

−

‐ 92 ‐

Da bi dokazali Tejlorovu teoremu potrebno je u gornjem izrazu zameniti vrednosti '( ), '( ), ( ), '( ), ( ), ( )g h g x h x g a h aξ ξ . Ako u izrazima za funkcije ( )g r i ( )h r argument r zamenimo sa x , dobijamo da je u tom slučaju vrednost funkcija ( ) ( ) 0g x h x= = , a ako argumentu r dodelimo vrednost a , vrednost funkcija ( )g r i ( )h r je

2( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ... ( ) ( )

2!

nnx a x ag a f x f a a x f a f a f a h a

n⎡ ⎤− −

= − + − + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

1( )( )( 1)!

nx ah an

+−=

+.

Takođe vrednosti prvih izvoda funkcija ( )g r i ( )h r u tački ξ je

( )1'( ) ( )(!

nn x

g fnξ

ξ ξ+ −= , ( ) ( )'

!

nxh

nξ

ξ−

= .

Kada se funkcije ( )g r i ( )h r i njihovi prvi izvodi u tačkama a i x , zamene u Košijevoj teoremi za posmatrane funkcije dobija se:

2 1( 1)( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ... ( ) ( )

2! ! ( 1)!

n nn nx a x a x af x f a x a f a f a f a f

n nξ

++− − −

= + − + + + ++

Na isti način se izvodi dokaz za segment [ ],x a , gde ξ pripada intervalu ( , )x a

čime je Tejlorova teorema dokazana.

U Tejlorovoj formuli uobičajeno je da se član 1

( 1)( ) ( )( 1)!

nnx a f

nξ

++−

+ označava

kao 1( )nR x+ , i predstavlja grešku aproksimacije ili ostatak. Deo Tejlorove

formule 2

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ''( ) ... ( )2! !

nnx a x aT x f a x a f a f a f a

n− −

= + − + + + .

se naziva Tejlorov polinom stepena n. Tejlorov polinom ima široku primenu pri izračunavanju aproksimativne vrednosti različitih funkcija za neku vrednost argumenta. Pri ovakvoj aproksimaciji čini se greška, koja je upravo jednaka članu 1( )nR x+ , koji se iz tog

razloga i naziva greška aproksimacije ili ostatak i predstavlja razliku između tačne vrednosti i njene aproksimativne vrednosti.

‐ 93 ‐

Specijalan slučaj Tejlorove formule za vrednost 0a = naziva se Maklorenova formula.

Ova formula važi za x koje pripada intervalu [ ]0,b i glasi: 2

( )1( ) (0) '(0) ''(0) ... (0)

2! !

nn

nx xf x f xf f f R

n += + + + + +

gde je ostatak ( 1)

( 1)1 ( )

( 1)!

nn

nxR fn

ξ+

++ =

+ .


21. Aproksimirati funkciju 1( )

1f x

x=

+, Tejlorovim polinomom drugog

stepena u okolini tačke 2a = − .

2 2

3 3

22

1( 2) 12 1

1 1'( ) '( 2) 1( 1) ( 2 1)

2 2''( ) ''( 2) 2( 1) ( 2 1)

1 1( ) ( 2) '( 2)( 2) "( 2)( 2)1! 2!

f

f x fx

f x fx

T x f f x f x

− = = −− +− −

= − = = −+ − +

= − = = −+ − +

= − + − + + − +

22

22

1( ) 1 1( 1)( 2) ( 2)( 2)2

( ) 1 ( 2) ( 2)

T x x x

T x x x

= − + − + + − +

= − − + − +

22. Koristeći Maklorenov polinom dokazati valjanost približne formule

42 2cos 1

3xx x≈ − + .

2( ) cos (0) 1'( ) 2cos ( sin ) sin 2 , '(0) 0''( ) 2cos 2 , ''(0) 2

f x x ff x x x x ff x x f

= == − = − == − = −

'''( ) 4 sin 2 , '''(0) 0f x x f= =

( ) 8cos 2 , (0) 8IV IVf x x f= =

‐ 94 ‐

2 3 41 1 1 1( ) (0) '(0) ''(0) '''(0) (0)1! 2! 3! 4!

IVf x f f x f x f x f x≈ + + + +

2 2 4

2 2 4

1 1cos 1 ( 2) 82 24

1cos 13

x x x

x x x

≈ + ⋅ − + ⋅ ⋅

≈ − +

Lopitalova teorema Funkcije f i g su diferencijabilne u nekoj okolini tačke a , osim eventualno u tački a . Neka su zadovoljeni uslovi:

( ) 0f x → i ( ) 0g x → kada x a→ , '( ) 0g x ≠ za x a≠ i postoji

'( )lim'( )x a

f xg x→

tada postoji ( )lim( )x a

f xg x→

i važi ( ) '( )lim lim( ) '( )x a x a

f x f xg x g x→ →

= .

Dokaz Lopitalove teoreme

Da bi se dokazalo navedeno tvrđenje definišu se dve nove funkcije 1f i 1g na

sledeći način

1( ) ( )f x f x= , za svako x a≠ i 1( ) 0f x = za x a= .

1( ) ( )g x g x= , za svako x a≠ i 1( ) 0g x = za x a= .

Ovako definisane funkcije zadovoljavaju sledeće jednakosti:

1 1lim ( ) lim ( ) ( ) 0x a x a

f x f x f a→ →

= = = i

1 1lim ( ) lim ( ) ( ) 0x a x ag x g x g a

→ →= = =

Na ovakav način definisane funkcije 1f i 1g zadovoljavaju sve uslove Košijeve

teoreme, jer kako su funkcije f i g diferencijabilne u okolini tačke a , osim eventualno u tački a , onda su one i neprekidne u definisanoj okolini, osim eventualno u tački a . Iz navedene konstatacije i definicije funkcija 1f i 1g sledi

da su i funkcije 1f i 1g neprekidne u posmatranoj okolini. Iz Košijeve teoreme

sledi da postoji tačka ξ , koja zadovoljava sledeću jednakost.

‐ 95 ‐

1 1 1

1 1 1

( ) ( ) '( )( ) ( ) '( )f x f a fg x g a g

ξξ

−=

−.

Ranije je pokazano da je 1( ) 0f a = i 1( ) 0g a = , pa se iz prethodno navedene

jednakosti za vrednosti x a≠ dobija ( ) '( )( ) '( )f x fg x g

ξξ

= .

( ) '( )lim lim( ) '( )x a a

f x fg x gξ

ξξ→ →

= ,

čime je Lopitalova teorema dokazana. Specijalan slučaj Lopitalove teoreme se dobija za vrednosti

lim ( ) lim ( )x a x a

f x g x→ →

= = ∞ .

Ako postoji '( )lim'( )x a

f xg x→

, tada važi Lopitalova teorema i dobija se

( ) '( )lim lim( ) '( )x a a

f x f xg x g xξ→ →

= .

Lopitalova teorema ima primenu pri određivanju graničnih vrednosti, jer se pomoću odgovarajućih transformacija dobijaju granične vrednosti za neodređene izraze kao što su

0 00 , , 0 , , , 0 , 1 .0

∞∞−∞ ∞ −∞ ∞

∞


23. Naći 2

31

1lim1x

xx→

−−

Kako je 2

1lim( 1) 0x

x→

− = i 3

1lim( 1) 0x

x→

− = i kako su funkcije 2 1y x= − i

3y x= diferencijabilne u okolini tačke 1x = , to se može primeniti Lopitalova

teorema pa će biti 2

3 21 1 1

1 2 2 2lim lim lim1 3 3 3x x x

x x xx x x→ → →

−= = =

−.

24. Izračunati 30

sinlimx

x xx→

−.

‐ 96 ‐

Kako je 0

lim( sin ) 0x

x x→

− = i 3

0lim 0xx

→= i kako su funkcije siny x x= − i

3y x= diferencijabilne u okolini tačke 0x = , to se može

primeniti Lopitalova teorema: 3 20 0

sin 1 coslim lim3x x

x x xx x→ →

− −= .

Imamo oblik 0( )0

i kako funkcije zadovoljavaju uslove primenićemo još jednom

Lopitalovu teoremu:

20 0

1 cos sin 1lim lim3 6 6x x

x xx x→ →

−= = .

25. Naći lim xx

xe→+∞

.

Funkcije y x= i xy e= zadovoljavaju uslove Lopitalove teoreme

1lim ( ) lim 0x xx x

xe e→+∞ →+∞

∞= = =

∞.

26. Izračunati

0lim lnx

x x+→

Ova granična vrednost je oblika 0 ⋅∞ , ako je napišemo 0

lnlim 1x

x

x+→

moći ćemo

da primenimo Lopitalova teorema:

2

0 0 0 02

1lnlim ln lim lim lim 01 1x x x x

x xxx xx

x x+ + + +→ → → →

−= = = =

−.

27. Izračunati 1

11

lim xxx −

→

Ovaj limes je oblika 1∞ . Sobzirom da je 1

11 ln

ln1 1xx

xx xx e e−− −= = i da je eksponencijalna funkcija neprekidna biće,

1 1

11 ln lnlim lim 11 1 1 1

1 1lim lim x x

x x xx x x

x xx e e e e→ → −− − − −

→ →= = = =

‐ 97 ‐

5.5. IZVODI I DIFERENCIJALI FUNKCIJA DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE Neka je ( , )z f x y= neprekidna funkcija dve nezavisno promenljive u oblasti

2D R⊆ . Parcijalni izvod funkcije dve ili više nezavisno promenljivih po jednoj promenljivoj je izvod te funkcije po toj promenljivoj uz predpostavku da su ostale promenljive konstantne. Ako funkcija z ima izvod po promenljivoj x onda se taj izvod zove parcijalni izvod funkcije z po x i obeležava se sa:

( ) 0

( , ) ( , ) ( , )' ' ( , ) limx x x

z f x y f x x y f x yz f x yx x xΔ →

∂ ∂ + Δ −= = = =∂ ∂ Δ

Ako funkcija z ima izvod po promenljivoj y onda se taj izvod zove parcijalni izvod funkcije z po y i obeležava se sa:

( ) 0

( , ) ( , ) ( , )' ' ( , ) limy y y

z f x y f x y y f x yz f x yy y yΔ →

∂ ∂ + Δ −= = = =∂ ∂ Δ

Iz definicije parcijalnih izvoda sledi da se oni izračunavaju pomoću pravila za izračunavanje izoda funkcija sa jednom promenljivom.


31. Parcijalni izvodi funkcije 2 3 2z x xy x y= + + + su:

2 3z x yx∂

= + +∂

2z xy∂

= +∂

32. Za funkciju xyzx y

=+

pokazati da je:

z zx y zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

2

2( )z yx x y∂

=∂ +

i 2

2( )z xy x y∂

=∂ +

,

2 2

2 2( ) ( )y x xyx yx y x y x y

+ =+ + +

.

‐ 98 ‐

Parcijalni diferencijal funkcije sa dve i više promenljivih po jednoj promenljivoj je proizvod parcijalnog izvoda funkcije po toj promenljivoj i priraštaja te promenljive, odnosno diferencijala te promenljive. U slučaju funkcije ( , )z f x y= parcijalni diferencijali su sledeći:

xz zd z x dxx x∂ ∂

= Δ =∂ ∂

yz zd z y dyy y∂ ∂

= Δ =∂ ∂

.

Zbir svih parcijalnih diferencijala se naziva totalni diferencijal. U slučaju funkcije ( , )z f x y= totalni diferencijal je:

z z z zdz x y dx dyx y x y∂ ∂ ∂ ∂

= Δ + Δ = +∂ ∂ ∂ ∂

Priraštaj funkcije ( , )z f x y= po definiciji je: ( , ) ( , )z f x x y y f x yΔ = + Δ + Δ −

1 2z zz x y x yx y

ε ε∂ ∂Δ = Δ + Δ + Δ + Δ

∂ ∂

gde 1 0ε → i 2 0ε → , kada 0xΔ → i 0yΔ →

Totalni diferencijal može se upotrebiti u približnim računima. Ako su xΔ i yΔ dovoljno mali, onda se priraštaj funkcije z može zameniti sa totalnim diferencijalom funkcije z , tj.

( , ) ( , )z f x x y y f x y dzΔ = + Δ + Δ − ≈ . Parcijalni izvodi i totalni diferencijali višeg reda Neka je data funkcija ( , )z f x y= koja ima parcijalne izvode prvog reda:

' ( , ) ' ( , )x xz f f x y z x yx x∂ ∂

= = =∂ ∂

i ' ( , ) ' ( , )y yz f f x y z x yy y∂ ∂

= = =∂ ∂

Ovi parcijalni izvodi su takođe funkcije od x , y i mogu imati svoje parcijalne izvode odnosno parcijalne izvode drugog reda ili drugi parcijalni izvod:

2 2

2 2 ''( , ) '' ( , )xx xxz f f x y z x yx x∂ ∂

= = =∂ ∂

2 2

,'' ( , ) '' ( , )xy x yz f f x y z x yx y x y∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ ∂

2 2

'' ( , ) '' ( , )yx yxz f f x y z x yy x y x∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2 2 '' ( , ) '' ( , )yy yyz z f x y z x yy y∂ ∂

= = =∂ ∂

Ako su parcijalni izvodi prvog reda neprekidne funkcije tada su mešoviti parcijalni izvodi drugog reda jednaki:

‐ 99 ‐

2 2z zx y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

Na sličan način se dobijaju parcijalni izvodi trećeg, četvrtog,..., n‐tog reda. Iz definicije parcijalnog izvoda sledi da egzistencija parcijalnog izvoda n‐tog reda u nekoj tački x povlači za sobom egzistenciju predhodnih (n‐1)‐og parcijalnog izvoda u okolini posmatrane tačke. Neka je data funkcija ( , )z f x y= i totalni diferencijal prvog reda.

z zdz dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

Kako se dx i dy mogu smatrati kao konstanta, tako je totalni diferencijal prvog reda funkcija od x i y , koja može imati svoj totalni diferencijal, koji se zove totalni diferencijal drugog reda (drugi totalni diferencijal)

2

2 2 2 22 2

2 2

( ) z zd z d dz d dx dyx y

z z z zdx dy dx dx dy dyx x y y x y

z z z zdx dydx dxdy dyx y x x y y

⎡ ⎤∂ ∂= = + =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂= + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 22 2

2 22z z zdx dxdy dyx x y y∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

Na sličan način se dobijaju totalni diferencijali trećeg, četvrtog, ..., n‐tog reda.


33. Naći prvi i drugi totalni diferencijal funkcije

3 34 8 7z x xy yx∂

= + +∂

2 212 7z x y xy∂

= +∂

22 3

2 12 8z x yx∂

= +∂

2

22 24z x yy∂

=∂

2224 7z xy

x y∂

= +∂ ∂

2

224 7z xyy x∂

= +∂ ∂

3 3 2 2(4 8 7 ) (12 7 )dz x xy y dx x y x dy= + + + +

4 2 34 7 1z x x y xy= + + +

‐ 100 ‐

2 2 3 2 2 2 2(12 8 ) 2(24 7) 24d z x y dx xy dxdy x ydy= + + + +

Ekstremne vrednosti

Potreban uslov za postojanje ekstremne vrednosti Da bi funkcija ( , )z f x y= imala ekstremnu vrednost u tački 0 0( , )x y

potrebno je da: • 0 0' ( , ) 0xz x y = i 0 0' ( , ) 0yz x y =

Tačke u kojima su prvi parcijalni izvodi jednaki nuli su stacionarne tačke. Dovoljan uslov za postojanje ekstremne vrednosti Neka je 0 0( , )x y stacionarna tačka funkcije ( , )z f x y= i neka je:

• 0 0'' ( , )xxA z x y= ; 0 0'' ( , )xyB z x y= ; 0 0'' ( , )yyC z x y= ;

2B A CΔ = − ⋅

a) Ako je 0 0( , )

0,x y

Δ < funkcija ( , )z f x y= ima u tački 0 0( , )x y

ekstremnu vrednost i to ako je 0( 0)A C< < ima maksimum, ako je 0( 0)A C> > ima minimum.

b) Ako je 0 0( , )

0,x y

Δ > funkcija ( , )z f x y= nema u tački 0 0( , )x y

ekstremnu vrednost.

c) Ako je 0 0( , )

0x y

Δ = slučaj je neodređen i potrebna su dalja ipitivanja.

Uslovni ekstrem Ekstremna vrednost funkcije ( , )z f x y= gde su promenljive x i y vezane nekim dodatnim uslovom ( , ) 0g x y = je uslovni (vezani) ekstrem funkcije. Za određivanje uslovnog ekstrema najpre se formira tzv. Lagranžova funkcija

( , )F x y : ( , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x yλ= +

gde je λ ‐ konstanta (Lagranžov množilac). Stacionarne tačke za egzistenciju ekstrema Lagranžove funkcije određuju se iz uslova:

0F f gx x x

λ∂ ∂ ∂= + =

∂ ∂ ∂

0F f gy y y

λ∂ ∂ ∂= + =

∂ ∂ ∂

‐ 101 ‐

1 ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0F f g x y g x y g x yλ λ∂ ∂

= + ⋅ = + = =∂ ∂

Iz ovog sistema jednačina određuju se vrednosti ix , iy i λ odnosno

stacionarne tačke ( , )i ix y u kojima funkcija može imati ekstremnu vrednost.

Da li u stacionarnoj tački 0 0( , )x y funkcija ima ekstremnu vrednost određuje se

preko znaka drugog diferencijala u toj tački: 2 2 2

2 2 22 22F F Fd F dx dxdy dyx x y y

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂

gde je 0dx dyx yϕ ϕ∂ ∂

+ =∂ ∂

Ako je 0 0

2

( , )0

x yd F < funkcija ( , )z f x y= ima uslovni maksimum u

stacionarnoj tački i max 0 0( , )z f x y= , a ako je 0 0

2

( , )0

x yd F > tada funkcija

( , )z f x y= ima uslovni minimum u stacionarnoj tački i min 0 0( , )z f x y= . Ako

je 2 0d F = potrebna su dalja ispitivanja. Primeri sa rešenjima:

34. Naći ekstremne vrednosti funkcije . Najpre se određuju stacionarne tačke

2 2 0z xx∂

= − =∂

, za 0 1x = ,

4 2 0z yy∂

= − =∂

, za 0 2y = .

Zatim se određuju parcijalni izvodi drugog reda 2

2 2zx∂

= −∂

2

2 2zy∂

= −∂

2

0zx y∂

=∂ ∂

Na osnovu dobijenih podataka određuje se 0 ( 2)( 2) 4 0Δ = − − − = − <

2 0A = − < , funkcija z ima maksimum u tački (1, 2)

max (1,2) 7z z= = .

35. Naći uslovne ekstreme funkcije 2 2z x y= + pri uslovu 1x y+ = Funkcija Lagranžea je

2 2( , ) ( 1)F x y x y x yλ= + + + − Parcijalni izvodi prvog reda su:

2 22 2 4z x y x y= + + − −

‐ 102 ‐

2F xx

λ∂= +

∂, 2F y

yλ∂

= +∂

, 1F x yλ∂

= + −∂

Rešenje sistema jednačina 2 02 0

1

xyx y

λλ

+ =+ =

+ =

0 1λ = − , 012

x = , 012

y = .

Kako su: 2 2Fx∂

=∂

, 2

2 2Fy

∂=

∂,

2

0Fx y∂

=∂ ∂

2 2 21 1, , 1 2 2 02 2

d F dx dy⎛ ⎞− = + >⎜ ⎟⎝ ⎠

.

znači da funkcija 2 2z x y= + pri uslovu 1x y+ = ima minimum u tački

1 1,2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, min12

z = .

5.6. PRIMENA DIFERENCIJALNOG RAČUNA Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcije Nakon izlaganja osnova diferencijalnog računa, u ovom odeljku će se razmotriti jedna njegova primena. Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcije čini značajno poglavlje u matematici, a diferencijalni račun je neizostavljiv pri ovim operacijama. Iz navedenih razloga u daljem tekstu će se dati najvažnije definicije i teoreme koje se koriste. Neki od osnovnih pojmova koji se pominju pri ispitivanju toka i grafika funkcije su već navedeni i definisani u predhodnom tekstu ‐ pojmovi lokalnog ekstremuma (lokalnog maksimuma i minimuma) i stacionarnih tačaka su definisani u delu teksta sa dokazom Fermaove teoreme, pa ih nećemo ponavljati. Prva teorema koja se razmatra je teorema o vezi monotonosti funkcije i prvog izvoda funkcije.

‐ 103 ‐

Teorema o monotonosti funkcije Neka je funkcija f diferencijabilna i monotono rastuća na intervalu ( , )a b , tada je '( ) 0f x ≥ za svako x koje pripada intervalu ( , )a b . Takođe važi i obrnuta relacija, ako je '( ) 0f x > za svako x koje pripada intervalu ( , )a b tada je f monotono rastuća funkcija za svako x koje pripada intervalu ( , )a b . Ako se navedena teorema posmatra geometrijski dobija se sledeća situacija. Navedeno je u ranijem tekstu da je geometrijska interpretacija prvog izvoda funkcije u nekoj tački koeficijent pravca tangente funkcije u posmatranoj tački. U slučaju da je funkcija monotono rastuća, tada je prema teoremi prvi izvod funkcije pozitivan, znači tangens ugla između tangente i pozitivnog smera x ose je pozitivan, pa je ugao oštar. Analogni zaključci se izvode i za monotono opadajuće funkcije, gde je prvi izvod negativan. Geometrijska interpretacija ovog tvrđenja je da je ugao između tangente u posmatranoj tački i pozitivnog smera x ose tup (sl. 6.).

sl. 6 Sledeće teoreme daju dovoljne uslove za postojanje lokalnih ekstremnih tačaka funkcije. Postoji više načina određivanja lokalnih ekstremnih tačaka funkcije. Jedan je pomoću znaka prvog izvoda funkcije u okolini tačke čiji je prvi izvod jednak 0.

‐ 104 ‐

Teorema o lokalnim ekstremima funkcije pomoću znaka prvog izvoda

Neka je funkcija f diferencijabilna u okolini tačke 0x , ako je 0'( ) 0f x = i

0 0( ( , )) '( ) 0x x x f xδ∀ ∈ − > , 0 0( ( , )) '( ) 0x x x f xδ∀ ∈ + <

gde je δ pozitivan dovoljno mali broj, tada je tačka 0x , tačka lokalnog

maksimuma funkcije f (sl. 7.).

sl. 7 Analogno glasi teorema za tačku lokalnog minimuma funkcije. Tačke lokalnih ekstrema mogu se odrediti i pomoću vrednosti drugog izvoda funkcije. Teorema o lokalnim ekstremima funkcije pomoću drugog izvoda Neka je funkcija f diferencijabilna na intervalu ( , )a b i neka važi relacija

0'( ) 0f x = . Tada sledi:

• ako je 0''( ) 0f x < , tada je 0x tačka lokalnog maksimuma,

• ako je 0''( ) 0f x > , tada je 0x tačka lokalnog minimuma.

Pomoću navedene teoreme se u većini slučajeva može odrediti lokalna ekstremna tačka funkcije. Problem predstavljaju situacije kada drugi izvod funkcije ima vrednost 0, jer ova situacija nije obuhvaćena izloženom teoremom. Za takav slučaj potrebna je generalizacija prethodne teoreme korišćenjem izvoda višeg reda.

‐ 105 ‐

Teorema o lokalnim ekstremima funkcije pomoću izvoda n‐tog reda

Neka je f diferencijabilna funkcija koja ima sve izvode, od prvog reda do izvoda (n)‐ tog reda, i neka važi relacija

( 1)0 0 0'( ) ''( ) ... ( ) 0nf x f x f x−= = = = i ( )

0( ) 0nf x ≠ za vrednosti 2n ≥ .

Tada važe sledeća pravila: • ako je n paran broj, 0x jeste lokalna ekstremna tačka i to lokalni

maksimum ako je ( )0( ) 0nf x < , a lokalni minimum ako je ispunjeno

( )0( ) 0nf x > .

• ako je neparan broj, 0x nije lokalna ekstremna tačka.

Pored određivanja tačaka lokalnih ekstremuma, diferencijalni račun pojedno‐stavljuje i postupak ispitivanja konveksnosti ili konkavnosti funkcije i određivanja prevojnih tačaka. Prvo je potrebno definisati navedene pojmove. Teorema o konkavnosti (konveksnosti) funkcije pomoću izvoda

Ako je f diferencijabilna funkcija, tada je f konkavna (konveksna) funkcija na intervalu ( , )a b ako i samo ako je '( )f x neopadajuća (narastajuća) ili

''( ) 0 ( ''( ) 0)f x f x≥ ≤ funkcija na intervalu ( , )a b .

Dokaz teoreme o konkavnosti (konveksnosti) funkcije pomoću prvog izvoda Dokaz se izvodi u dva dela. Prvi deo dokazuje tvrdnju o konkavnosti ako je prvi izvod neopadajuća funkcija, a drugi deo dokazuje ako je prvi izvod neopadajuća funkcija, tada je funkcija konkavna. Neka je f konkavna funkcija i t i r dve tačke koje pripadaju intervalu ( , )a b i to takve da važi t r< . Iz tvrdnje da je funkcija konveksna za neku tačku

[ ],x t r∈ sledi:

( ) ( ) ( )r x x tf x f t f rr t r t− −

≤ +− −

( ) ( ) ( ) ( )f x f t f r f xx t r x− −

≤− −

Sa graničnim vrednosti dobija se:

‐ 106 ‐

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim limx t x t

f x f t f r f x f r f tf tx t r x r t+ +→ →

− − −= ≤ =

− − −.

Takođe važi i

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim '( )x t x t

f r f t f x f t f r f x f rr t x t r x− −→ →

− − −= ≤ =

− − −

pa se izvodi zaključak da je

( ) ( )'( ) '( )f r f tf t f rr t−

≤ ≤−

.

Ovim tvrđenjem je dokazano da je u slučaju konkavne funkcije njen prvi izvod neopadajuća funkcija. Pretpostavljamo da je 'f neopadajuća funkcija. Neka su t i r dve tačke koje pripadaju intervalu ( , )a b i to takve da važi t r< i neka su c i d realni brojevi

za koje važi 1c d+ = . Treba dokazati da je

( ) ( ) ( )f ct dr cf t df r+ ≤ + .

Specijalne vrednosti c i d su kada je jedan od ova dva broja jednak 0, a drugi jednak 1. U ovim slučajevima dokaz ovog dela teoreme je očigledan. Za ostale vrednosti c i d , zamenimo x sa x ct dr= + , tada x pripada segmentu [ ],t r i može se primeniti Lagranžova teorema, pa postoji tačka

( , )t xα ∈ i ( , )x rβ ∈ , tako da važi ( ) ( ) '( )( )f x f t f x tα− = −

i ( ) ( ) '( )( )f r f x f r xβ− = −

Pretpostavka da je 'f neopadajuća funkcija,

( ) ( ) ( ) ( )'( ) '( )( )

f x f t f r f xf fx t r x

α β− −= ≤ =

− −,

odnosno

( ) ( ) ( )r x x tf x f t f rr t r t− −

≤ +− −

.

Ovim tvrđenjem je teorema dokazana.

‐ 107 ‐

Analogno monotonosti funkcije i pojavi lokalnih ekstremnih tačaka, uz pojam konkavnosti (konveksnosti) funkcije povezana je pojava prevojnih tačaka funkcije. Definicija prevojnih tačaka funkcije Neka je funkcija f neprekidna u tački 0x . Ako važe relacije

0 0( ( , ))x x x fδ∀ ∈ − je konkavna (konveksna) i

0 0( ( , ))x x x fδ∀ ∈ + je konveksna (konkavna)

gde je δ pozitivan dovoljno mali broj, tada je tačka 0x prevojna tačka

funkcije f . Znači prevojne tačke su one tačke u kojima funkcija menja svoju konveksnost, odnosno konkavnost, u kojima tangenta seče grafik funkcije.

sl. 10 Analogno ranije navedenim teoremama o izračunavanju lokalnih ekstremnih tačaka pomoću diferencijalnog računa postoje i teoreme o izračunavanju prevojnih tačaka pomoću diferencijalnog računa. Teorema o postojanju prevojne tačke grafika funkcije Neka je 0 0( , ( ))P x f x prevojna tačka grafika funkcije f i ako je ''f

neprekidna funkcija u okolini tačke 0x , tada je 0''( ) 0f x =

‐ 108 ‐

Teorema o prevojnim tačkama grafika funkcije pomoću znaka drugog reda Neka je funkcija f diferencijabilna u okolini tačke 0x , i ako je 0''( ) 0f x = i

važe relacije

0 0( ( , )) ''( ) 0 ( ''( ) 0)x x x f x f xδ∀ ∈ − > < i

0 0( ( , )) ''( ) 0 ( ''( ) 0)x x x f x f xδ∀ ∈ + < >

gde je δ pozitivan dovoljno mali broj, tada je tačka 0 0( , ( ))P x f x prevojna

tačka funkcije f . Teorema o prevojnim tačkama funkcije pomoću izvoda n‐tog reda

Neka je f ( )n ‐ puta diferencijabilna, za čije izvode važi:

( 1)0 0 0'( ) ''( ) ... ( ) 0nf x f x f x−= = = = i ( )

0( ) 0nf x ≠ . za 2n ≥ .

Tada važe sledeća pravila • ako je n paran broj tada 0x nije prevojna tačka funkcije f • ako je n neparan broj tada 0x jeste prevojna tačka

funkcije f Da bi se odredio tok i grafik funkcije pri ispitivanju funkcije, potrebno je posebno ispitati postojanje asimptota. Nakon svih navedenih definicija i teorema, za ispitivanje funkcije potrebno je preko sledećih koraka ispitati neke osobine i nacrtati grafik: Korak br. 1 Odrediti oblasti definisanosti funkcije; Korak br. 2

Ispitati ponašanje funkcije na rubovima domena i odrediti asimptote; Korak br. 3 Ispitati da li je funkcija parna, neparna ili periodična; Korak br. 4 Odrediti tačke preseka grafika sa osama. Znak funkcije; Korak br. 5 Ispitati monotonost funkcije i naći ekstremne tačke funkcije; Korak br. 6 Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti funkcije i naći prevojne tačke;

‐ 109 ‐

Korak br. 7 Na osnovu dobijenih tačaka i ispitanih osobina nacrtati grafik

funkcije. Primeri sa rešenjima:

28. Ispitati osobine funkcije 2

2

11

xyx−

=+

i nacrtati njen grafik.

1) Funkcija je definisana i neprekidna na skupu ( , ).D = −∞ +∞

2) Kada x→±∞ , 2

2

1lim 11

xx−

=+

, grafik funkcije ima horizontalnu

asimptotu 1y = . 3) Funkcija je parna. 4) Za 0x = 1y = ; za 0y = 1,2 1x = ± ; presečne tačke grafika sa

koordinantnim osama su: (0,1), (1, 0) ; ( 1, 0)A B C −

5) 0y > za ( , 1) (1, )x∈ −∞ − ∪ +∞ . 0y < za ( 1,1)x∈ − . 6) Prvi izvod funkcije:

2 2

4'( 1)

xyx

=+

postoji za svako x i pri tom ' 0y < za 0x < ; ' 0y = za 0x = ; ' 0y > za

0x > ; funkcija opada na ( , 0)−∞ i raste na (0, )+∞ i pri tom je

min (0) 1y y= = − . Ekstremna tačka minimum (0, 1)E − .

7) Drugi izvod funkcije 2

2 3

4(1 3 )''( 1)

xyx−

=+

, postoji za svako x i pri tom je:

'' 0y < , 3 3( , ) ( , )

3 3x∈ −∞ − ∪ +∞

'' 0y > , 3 3( , )

3 3x∈ −

'' 0y = , 1,23

3x = ± .

‐ 110 ‐

Grafik funkcije f je konkavna krive na 3 3( , )

3 3−

a konveksna na 3 3( , ) ( , )

3 3−∞ − ∪ +∞ .

Prevojne tačke: 13 1( , )

3 2P − − i 2

3 1( , )3 2

P − .

Na osnovu dobijenih podataka grafik funkcije je dat na (sl. 11.).

sl. 11.

29. Ispitati osobine funkcije 3

24xyx

=−

i konstruisati njen grafik.

1) Funkcija definisana i neprekidna na skupu ( , 2) ( 2, 2) (2, ).D = −∞ − ∪ − ∪ +∞

2) Kada 2 0x→ − ± , tada ( )f x → ±∞ ; kada 2 0x→ ± , tada

( )f x → ±∞ ; vertikalne asimptote su 2x = i 2x = − .

Funkcija se može napisati u obliku 2

4( )4xf x xx

= − +−

pa je kosa

asimptota y x= − , 2

4 04xx

→−

kada x→±∞ .

3) Funkcija je neparna. 4) Presečna tačka grafika sa koordinantnim osama je (0, 0).O 5) 0y > za ( , 2) (0, 2)x∈ −∞ − ∪ ;

‐ 111 ‐

0y < za ( 2, 0) (2, )x∈ − ∪ +∞ . 6) Izvod funkcije

2 2

2 2

(12 )'(4 )x xy

x−

=−

postoji za x D∈ i pri tom je: ' 0y = za 2 3x = ± ;

' 0y > , ( 2 3, 2) ( 2,2) (2,2 3);x∈ − − ∪ − ∪

' 0y < , ( , 2 3) (2 3, )x∈ −∞ − ∪ +∞ i

min ( 2 3) 3 3;y y= − = max (2 3) 3 3;y y= = −

Ekstremne tačke

1( 2 3,3 3)E − i 2 (2 3, 3 3).E −

7) Drugi izvod funkcije: 2

2 3

8 ( 12)''(4 )x xy

x+

=−

postoji za x D∈ i pri tom je: '' 0y > , ( , 2) (0, 2);x∈ −∞ − ∪ '' 0y < , ( 2, 0) (2, );x∈ − ∪ +∞

'' 0y = , 0x = pa je prevojna tačka (0, 0)P Grafik funkcije je dat na (sl.12.).

sl. 12.

‐ 112 ‐

30. Ispitati funkciju 23 xy x e−= .

1) Funkcija je definisana i neprekidna na skupu ( , )D = −∞ +∞ . 2) Kada x→+∞ , ( ) 0f x → , pa je horizontalna asimptota 0y = . Kada x→−∞ , ( )f x → +∞ . 3) Tačka preseka sa osama je (0, 0)O .

4) 0y > za 0x ≠ .

5) Izvod funkcije 3

(2 3 )'3

xx eyx

−−= postoji za 0x ≠ i pri tom je:

' 0y < za 2( , 0) ( , )3

x∈ −∞ ∪ +∞ ;

' 0y > za 2(0, )3

x∈ ;

min (0) 0y y= = ; 233

max2 4( ) 0,4.3 9

y y e−

= = ≈

Ekstremne tačke 1(0,0)E i 233

22 4( , ).3 9

E e−

Drugi izvod funkcije: 2

3 4

(9 12 2)''9

xx x eyx

−− −=

postoji za 0x ≠ i pri tom je:

'' 0y = za 2 6''

2y ±= ;

'' 0y > za 2 6 2 6( , ) ( , )

3 3x − +∈ −∞ ∪ +∞ ;

'' 0y < za 2 6 2 6( ,0) (0, );

3 3x − +∈ ∪

Postoje dve prevojne tačke čije su apscise:

12 6 0,15

3x −= ≈ − i 2

2 6 1, 483

x += ≈

1 1( ) 0,34y f x= ≈ i 2 2( ) 0,30y f x= ≈ (sl. 13.).

‐ 113 ‐

sl. 13

5.7 EKONOMSKE FUNKCIJE

Pri analiziranju kao i prognoziranju rada poslovnih subjekata u zavisnosti od vrste i oblika zadatka koriste se adekvatne metode i modeli u cilju uspešnijeg poslovanja i svodjenja rizika na minimum.Ovoga puta mi ćemo upoznati elementarne ekonomske funkcije: funkcije tražnje, ponude, troškova, dobiti. Uočavanje moguće funkcionalne zavisnosti izmedju veličina cene i tražnje, obima proizvoda i troškova, prihoda, omogućava ekonomsku interpretaciju funkcija, a uz primenu diferencijalnog i integralnog računa poslovnu analizu čini preciznijom i kvali‐tetnijom.

5.7.1. Funkcija tražnje Posmatrajmo na tržištu proizvod X. Analizirajući tražnju (prodatu količinu proizvoda X) zavisno promenljivu, uočavamo da na njenu promenu utiču: cena,broj potencijalnih potrošača, kupovna moć, marketing (promocija), kvalitet, konkurencija i td. ( , , , , , ...),x f p n d m k= . Dakle to je funkcija od više nezavi‐sno promenljivih. Dominantan uticaj na tražnju proizvoda X ima njegova cena, pa funkciju tražnje u jednostavnijem obliku možemo predstaviti kao

( ) x f p= , gde je 0 p > ‐ cena proizvoda X ;

( 0x > , obim proizvodnje proizvoda X koji se traži na tržištu) ' 0pdxxdp

= <

funkcija tražnje je, po pravilu, monotono opadajuća. Navedene uslove: 0, 0, ' 0p x x> > < uz navedenu interpretaciju zovemo potrebnim uslovom postojanja funkcije ( )x f p= kao funkcije tražnje.

‐ 114 ‐

sl. 23.

Cenu p možemo izraziti kao inverznu funkciju tražnje 1( )p f x−= Primeri sa rešenjima:

1. Funkcija 3 2, 0, 0, ' 0x p p x x= − + > > < je funkcija tražnje pod

datim uslovima na intervalu 20,3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (sl. 24.).

sl. 24.

2. Funkcija 2 400, 0, 0, ' 0x p p x x= − + > > < je funkcija tražnje na

intervalu ( )0, 20 jer su svi potrebni uslovi ispunjeni. (sl. 24)

‐ 115 ‐ 5

5.7.2. Funkci ja ponude Zanemarujući ostale promenljive kao faktore koji mogu uticati na ponudu u jednostavnijem obliku možemo je posmatrati kao funkciju cene i izraziti:

( )y g p= , 0p > , cena; 0y > , ponuda proizvoda X;

' 0dgydp

= > ponuda je, po pravilu, rastuća funkcija.

Uslovi: 0, 0, ' 0p y y> > > uz navedenu interpretaciju su potrebni uslovoi postojanja funkcije ( )y g p= kao funkcije ponude.

Cenu možemo izraziti kao inverznu funkciju ponude 1( )p g y−= Primeri:

3. Funkcija 2 1y p= + je funkcija ponude sa uslovima 0, 0, ' 0p y y> > > na

intervalu ( )0,p∈ +∞

4. Funkcija 2 4y p= − je funkcija ponude na intervalu ( )2,p∈ +∞ gde su

ispunjeni uslovi 0, 0, ' 0p y y> > > 5. Nacrtaj funkcije ponude i naći njihove inverzne funkcije:

2 1y p= + , 2 2, py p y e= + =

5.7.3. Modeli tržišta Konjukciju funkcija tražnje i ponude smatramo modelom tržišta

( ) y = g(p)x f p= ∧

Cenu rp p= za koju se postiže ova ravnoteža na tržištu možemo naći analitički

i grafički (sl. 25.). ( ) ( )r rf p g p x y= ⇔ =

‐ 116 ‐

sl. 25.

kp ‐ zovemo ravnotežna cena i za cenu vrednosti robe postiže se idealna

situacija na tržištu te robe, nemamo ni viškova (zaliha), ni manjkova (nestašica). Primeri sa rešenjima:

6. Date su funkcije tražnje i ponude 24 i 2x p y p= − + = + .

Analitički ravnotežnu cenu rp dobijamo kao rešenje jednačine 2 4 2 1rx y p p p= ⇒ − + = + ⇒ = .

Grafičko rešenje prikazano je na (sl. 26.).

sl. 26.

7. Tražnja ponude nekog proizvoda data je sledećim relacijama: 20 6x p= − i 4 2y p= − . Pronaći cenu i količinu pri kojima se ostvaruje

ravnoteža na tržištu ovog proizvoda.

‐ 117 ‐

20 64 2

20 6 4 2 6 4 20 22210 22 2,210

4 2,22 8,8 2 6,8

r r

x py p

x y p p p

p p p

x y

= −= −

= ⇒ − = − ⇒ + = +

= ⇒ = ⇒ =

= = ⋅ = − =

5.7.4. Funkcija troškova Funkciju ukupnih troškova možemo analizirati kao funkciju obima proizvodnje proizvoda X i označavamo je sa

( )C F x= , 0x > , obim proizvodnje;

0C > ; ukupni troškovi. Uslove 0, 0x C> > , uz navedenu interpretaciju, nazivamo potrebnim uslovima za egzistenciju funkcije troškova ( )C F x= . Troškove možemo izračunati i po jedinici proizvoda x , prosečne troškove, i obeležiti sa C :

( )C F xCx x

= =

Cilj svakog profitabilnog poslovanja je minimiziranje prosečnih troškova. Dakle, iz uslova minimuma : Nađemo izvod funkcije prosečnih troškova C , izjednačimo sa nulom i izračunamo 0x . Za tu vrednost 0( )x drugi izvod ''C treba da bude pozitivan

(uslov minimuma), dakle,

0 0'( ) 0 C ''( ) 0C x x= ∧ > nalazimo obim proizvodnje 0x za koju su prosečni

troškovi minimalni

0min 0

0

( )( ) F xC xx

= .

Funkcija graničnih troškova 'C je prvi izvod funkcije ukupnih troškova

0' '( ) lim

x

dF FC F xdx xΔ →

Δ= = =

Δ,

što je mera apsolutne promene ukupnih troškova na jedinicu priraštaja proiz‐vodnje.

‐ 118 ‐


8. Data je funkcija ukupnih troškova 2( ) 2 ,C x x x= + funkcija prosečnih

troškova je ( )

2 2 2xC x xC xx x

+= = = + a graničnih troškova je

( ) ( )2' 2 ' 2 2xC x x x= + = + .Grafički prikaz ovih funkcija dat je na (sl. 27.).

sl. 27.

9. Funkcija ukupnih troškova data je u obliku 2 31800 75C x x x= − + . a) Odrediti funkciju prosečnih troškova. b) Odrediti funkciju graničnih troškova.

2 3

3 2

2

'

1800 75

75 1800

75 18002 75

2 75 0

C x x xCCxC x x xCx x

C x xC xx

= − +

=

− += =

= − +

= −− =

37,5x = za 37,5x < prosečni troškovi opadaju a za 37,5x >

funkcija prosečnih troškova raste

' 23 150 1800C x x= − +

‐ 119 ‐

5.7.5. Funkcija prihoda Funkcija ukupnih prihoda se može predstaviti kao proizvod x , količini prodate robe (tražnje) i cene p , što zapisujemo: P x p= ⋅ 0 x > , funkcija tražnje 0 p > , cena, Uslovi 0, 0x p> > su potrebni uslovi za egzistenciju funkcije P x p= ⋅ , kao

funkcije prihoda P . Funkciju ukupnih prihoda možemo izraziti preko cene:

( ) ( ),P p x p p f p= ⋅ = ⋅ gde je ( );x f p= ili preko količine prodate robe

1( ) ( ),P x x f x−= ⋅ gde je 1( ).p f x−= Funkcija prosečnih prihoda je količnik ukupnih prihoda i funkcije tražnje:

PP px

= = , dakle, prosečan prihod proizvoda X je njegova cena p .

Prvi izvod funkcije prihoda, po promenljivoj x ili p, je funkcija graničnih prihoda:

' ;xdPPdx

=

'pdPPdp

= ,

to je mera apsolutne promene ukupnog prihoda u odnosu na realizovan obim proizvodnje ali u odnosu na prodajnu cenu jedinice proizvoda. Uspešno poslovanje podrazumeva težnja ka maksimiranju prihoda.Ukoliko je funkcija prihoda data proporciom:

1( ) ( )P x x f x= ⋅ ili ( ) ( )P p p f p= ⋅ , njen maksimum nalazimo na sledeći način: Prvi izvod funkcije prihoda, 'P izjednačimo sa nulom i rešimo po x (ili p). Tako dobijamo vrednosti 0x (ili 0p ). To su potencijalne vrednosti za količinu robe (ili

njenu cenu) za koju se postiže maksimalan prihod. Ako je drugi izvod funkcije prihoda "P za 0x (ili 0p ) manji od nule, to jesu vrednosti koje dovode do

maksimuma funkcije P. Dakle,

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )' 0 ( '' <0) ili ' 0 ( '' 0)x x p pP P P P= = <

‐ 120 ‐


10. Ako je tražnja za proizvodom X: naći maksimalan prihod.

2

0 max

200' 2 200 0 100 ''(100) 2 0 (100) 10000P x p p pP p p P P= ⋅ = − += − + = = = − < =

11. Funkcija tražnje nekog prizvoda je 2 24000x p= − + . Odrediti: a) cenu i tražnju za koju će ukupan prihod biti maksimalan; b) Vrednost maksimalnog ukupnog prihoda.

P x p= ⋅

2 24000 2 24000 120002xx p p x p= − + ⇒ = − + ⇒ = − +

2

'

'

120002

1200022 120002

12000 0

xP x

xP x

xP

P x

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

= − +

= − + =

12000 120002

6000 12000600012000

p

ppx

= − +

= − +==

max

12000 600072000000

PP= ⋅=

5.7.6. Funkcija dobiti

Funkcija dobiti se može definisati kao razlika funkcija prihoda i troškova (sl. 28.). ( ) ( ) ( )D x P x C x= - Ako je ( ) ( ) 0P x C x- > onda se proizvodnja proizvoda X smatra rentabilnom.

Interval rentabilne proizvodnje ( , )a b dobijamo iz uslova 0D= , odnosno

( ) ( ) i ( ) ( )P a C a P b C b= = .

200x p= − +

‐ 121 ‐

sl. 28.

Svako profitabilno poslovanje traži maksimiranje ove funkcije. Odredimo prvi izvod funkcije dobiti, D' i njega izjednačimo sa nulom. Rešenje jednačine, odnosno nule prvog izvoda 'D daju vrednost optimalnog obima proizvodnje opx za koji se postiže maksimalna dobit samo ako je za tu vrednost

drugi izvod, "D manji od nule. Dakle potreban i dovoljan uslov za maksimum ove funkcije je:

0 0 0 0'( ) '( ) '( ) 0 ''( ) 0p p p pD x P x C x D x= − = ∧ < max ( )opD x se postiže pri

obimu proizvodnje 0 px , optimalnom obimu proizvodnje.


12. Funkcija dobiti je . Njen maksimum određujemo:

13. Ukupni troškovi dati su funkcijom 20 1000C x= + ukupni prihodi dati su

funkcijom 2

3050xP x−

= + . Odrediti optimalnu proizvodnju i cenu pri kojoj će

dobit biti maksimalna.

2( ) ( ) ( ) 5 1000 100D x P x C x x x= - = - + -

0

max

' 10 1000 0 100 '' 10 0

(100) 49900pD x x D

D

= − + = = ∧ = − <

=

‐ 122 ‐

2

20 1000

3050

C xxP x

= +

−= +

2 2 500 50030 20 1000

50 50x x xD P C x x− − + −

= − = + − − =

'

2

2 50050

2 500 0250

3050

25030 30 5 30 2550 50

op

xD

xx

x xPP p x p px x

xp p

− +=

− + ==

−+

= ⋅ ⇒ = ⇒ =

−= − + ⇒ = + = − + =

2

max

max

250 500 250 500050

1150

D

D

+ ⋅ −=

=

5.7.7. Elastičnost ekonomskih funkcija

Pod pojmom elastičnosti se smatra mogućnost da jedna veličina reaguje na promenu veličine od koje zavisi. Elastičnost se meri i izračunava pomoću njenog koeficijenta ,y xE (x je nezavisno promenljiva, y je zavisno promenljiva).

Po definiciji koeficijent elastičnosti je granična vrednost količnika relativnih promena promenljivih y i x kad priraštaj xΔ teži 0.

, 0 0lim lim 'y x x x

yx y xyE yx y x y

xΔ → Δ →

ΔΔ

= = ⋅ = ⋅Δ Δ

. Kada je:

‐ 123 ‐

, 1y xE < – y je neelastična prema x

, 1y xE = – jednačina normalne elastičnosti

, 1y xE > – y je elastična prema x

Konkretno za navedene ekonomske funkcije možemo naći njihove koeficijente elastičnosti:

5.7.8. Elastičnost tražnje

, 'x ppE xx

= − ⋅

Znak minus se kod elastičnosti tražnje dodaje u definiciji da se obezbedi pozitivna vrednost koeficijenta ( 'x ima, po pravilu, negativnu vrednost).

,x pE pokazuje za koliko će se procenata (promila) približno promeniti

(smanjiti) tražnja kada se cena poveća za jedan procenat (promil).

, 1x pE < – tražnja je neelastična, porast cene za 1% dovodi do pada tražnje za

manje od 1%

, 1x pE = – tražnja opada za 1% kada cena raste za 1%

, 1x pE > – tražnja je elastična,kada se cena poveća za 1% tražnja opada za više

od 1% Primeri sa rešenjima:

14. Za tražnju koeficijent elastičnosti je

, ( 100) '100 100x pp pE p

p p= − ⋅ − + =

− + − + . Za cenu 80p = elastičnost

je ,8080

420xE = =

Cena za koju je elastičnost tražnje jedinična zove se karakteristična cena i obeležava se sa cp .

15. Za funkciju tražnje 3 6x p= - + koeficijent elastičnosti je

,3

3 6x pp

Ep

= -- +

a karakteristična cena je 1cp = ,3 1 1

3 1 6x pE ⋅= =− ⋅ +

.

100x p= - +

‐ 124 ‐

Elastičnost ukupnih troškova izračunava se po koeficijentu:

, 'c xxE CC

= ⋅ koji se može napisati i ,' '

c xC C

E C Cx

= =

Elastičnost prosečnih troškova je:

,2,

'' ' 1 1C xC x

x x C x C xE C C EC x CCx

⋅ −= ⋅ = ⋅ = ⋅ − = −

Dakle može se ,C xE izračunati i preko ,C xE .

Analiza koeficijenta elastičnosti ukupnih troškova upućuje nas na povezanost graničnih i prosečnih troškova. Kada je:

,

,

,

1, tada je ' ;

1, tada je ' ;

1, tada je ' .

C x

C x

C x

E C C

E C C

E C C

< <

= =

> >


16. Data je funkcija ukupnih troškova 3 2 2C x x x= - + . Naći koeficijent

elastičnosti za funkcije , , 'C C C . Pokazati da su minimalni prosečni troškovi jednaki graničnim.

23 2

, 3 2 2

3 2 2( 2 ) '2 2C x

x x xE x x xx x x x x

− += ⋅ − + =

− + − +

22

2 2,

2 2

, 2 2 ,

2( 2) '2 2

3 2 2 21 12 2

C x

C x C x

x x xE x xx x x x

x x x xE Ex x x x

−= ⋅ − + =

− + − +− + −

− = − = =− + − +

S obzirom da je funkcija prosečnih troškova 2 2C x x= - + , njen minimum nalazimo na sledeći način:

min

2

1 1 7( ) ' 2 1 0 2 2 41 7' 3 2 2 '2 4

C x x C

C x x C

⎛ ⎞= − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

‐ 125 ‐

U opštem slučaju važi da su minimalni prosečni troškovi jednaki graničnim troškovima. Elastičnost funkcije prihoda

Koeficijent elastičnosti izračunavamo preko cene ', ( )P p p

pE PP

= ⋅ , ili preko

tražnje x ( ), 'p x xxE PP

= ⋅ .

Kako je ( )pP p x p f p= ⋅ = ⋅ to se ,P pE može izraziti :

( ),

,

( ) '( )( ) '( )( ) ( )

1 '( ) 1( )

P p

x p

p f p p f pE f p p f pp f p f p

p f p Ef p

+ ⋅= ⋅ + ⋅ = =

⋅

+ ⋅ = +

Kada je , 1x pE < (tražnja neelastična), ukupni izdaci potrošača se povećavaju.

Ako je , 1x pE = , tada porast ili pad cene ne utiče na prodaju.

Za , 1x pE > (tražnja je elastična) porast cene dovodi do opadanja prihoda i

obrnuto. Primer sa rešenjem:

17. Odrediti elastičnost sledećih funkcija

a) 3 22 30 za 10y x x x= − + =

b) 23 za 1xy e x= =

c) 3 za 5xy x e x= =

d) 4 ln za y x x x e= =

‐ 126 ‐

a) 3 2

2

2

, 3 2

3 2

, 3 2

10,

10.

2 30' 3 4

(3 4 )2 30

3 42 30

3 1000 4 100 2600 1131000 2 100 30 830 831 funkcija je elastična.

x y

x y

y

y

y x xy x x

x x xEx xx xE

x x

E

E

= − +

= −

−=

− +−

=− +⋅ − ⋅

= = =− ⋅ +

>

b) 23xy e=

2

2

2

3

32

, 3

1,

' 6

6 6

6 1 funkcija je elastična

x

x

x y x

y

y xe

x xeE xe

E

=

⋅= =

= > ⇒

c)

d)

4

3 4 3 3 3

ln1' 4 ln 4 ln (4ln 1)

y x x

y x x x x x x x xx

=

= + ⋅ = + = +

3

2 3

2 3

2 33

, 3

3,

' 3' (3 )

(3 ) 3

3 5 3 125 128 1

x

x x

x

x

x y x

x y

y x ey x e x ey x e x

x x e xE xx e

E

=

= +

= +

⋅ += = +

= + = + = >

‐ 127 ‐

3

, 3

,

(4 ln 1) (4ln 1)4 ln 4ln

(4ln 1) 54ln 4

x y

e y

x x x x xEx x x

e e eEe

⋅ + += =

+= =

KLJUČNI POJMOVI:

• DIFERENCIJABILNOST • IZVOD • TANGENTA • DIFERENCIJAL • PARCIJALNI IZVOD

‐ 128 ‐

V ‐G L A V A

INTEGRALNI RAČUN

SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE: • OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL

• TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA

• OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE

• PRIMENA INTEGRALNOG RAČUNA

Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko: 1. Osnovnih pojmova.

2. Pravila i osobina.

3. Tablica integrala.

4. Nekih metode za rešavanje.

6. NEODREĐENI INTEGRAL

5.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA NEODREĐENI INTEGRAL U ranijem delu teksta prikazani su načini izračunavanja izvoda. Tema ovog poglavlja je inverzan proces. Pitanje je ako je poznat izvod neke funkcije, kako odrediti tu funkciju. Tako dolazimo do pojma integrala. Da bi se definisao pojam integrala i načini njegovog izračunavanja, potrebno je uvesti neke nove pojmove. Jedan od njih je pojam primitivne funkcije. Definicija primitivne funkcije Funkcija F se naziva primitivnom funkcijom funkcije f na intervalu ( , )a b

ako je F diferencijabilna funkcija na intervalu ( , )a b i ako za svako x iz ovog intervala važi

'( ) ( )F x f x=

‐ 129 ‐

U definiciji primitivne funkcije može da se i ne navede uslov da je Fdiferencijabilna funkcija, jer se taj zaključak može izvesti iz uslova definicije. Takođe, iz same definicije primitivne funkcije ne može se zaključiti koji su uslovi potrebni za postojanje ove vrste funkcija. Teorema o uslovima postojanja primitivne funkcije Ako je funkcija f neprekidna na intervalu ( , )a b tada ona na tom intervalu ima primitivnu funkciju. U sledećim teoremama biće dokazane neke osobine primitivnih funkcija. Teorema o obliku primitivne funkcije Ako je funkcija F primitivna funkcija funkcije f na intervalu ( , )a b i C je

proizvoljna konstanta, tada je i funkcija F C+ takođe primitivna funkcija funkcije f . Važi i obrnut stav, da se svaka primitivna funkcija funkcije f može

napisati u obliku F C+ , gde je za svako x iz posmatranog intervala prvi izvod funkcije F jednak f . Dokaz teoreme o obliku primitivne funkcije Dokaz ove teoreme se sastoji iz dva dela, gde se u svakom delu dokazuje po jedan stav iskazan u teoremi:

• Prvo se navodi dokaz prvog stava teoreme. Iz uslova da je F prmitivna funkcija funkcije f , sledi da je prvi izvod ove funkcije jednak f . Tada važi sledeće tvrđenje

( ( ) ) ' '( ) ( )F x C F x f x+ = = , čime je prvi stav teoreme dokazan. Iz ovog stava se može izvesti zaključak da ako neka funkcija ima primitivnu funkciju na određenom intervalu, tada na tom intervalu ima beskonačno mnogo primitivnih funkcija koje se razlikuju za konstantu.

• Sada treba dokazati drugi stav teoreme. Da bi dokazali ovaj stav uvodimo novu funkciju h koja je neka primitivna funkcija funkcije f , što znači da važi da je njen prvi izvod jednak f . Uvodimo razliku

novodefinisane funkcije i funkcije F i izračunava se prvi izvod ove razlike.

'( ) ( ( ) ( )) ' '( ) ( ) ( ) ( ) 0r x h x F x h x F x f x f x= − = − = − =

Funkcije F i h su primitivne funkcije, pa na osnovu ranije dokazane teoreme sledi da su i neprekidne i diferencijabilne na posmatranom intervalu. Samim

‐ 130 ‐

tim i funkcija koja predstavlja razliku ove dve funkcije je neprekidna i diferencijabilna na intervalu ( , )a b . Prvi izvod ove funkcije je 0, znači da je

( )r x C= gde je C proizvoljna konstanta, a po definiciji ove funkcije ona je

( ) ( ) ( )r x h x F x= − , ( ) ( )h x F x C= + čime je i drugi stav teoreme dokazan. Na osnovu prethodno definisanih pojmova i dokazanih teorema može se definisati pojam neodređenog integrala funkcije. Definicija neodređenog integrala funkcije Skup svih primitivnih funkcija funkcije f naziva se neodređeni integral ove funkcije i označava se

( ) ( ) ( ( ) ) ' ( )def

f x dx F x C F x C f x∫ = + ⇔ + =

Postupak nalaženja primitivne funkcije za datu funkciju se naziva integracija, funkcija f se naziva podintegralna funkcija, a izraz ( )f x dx se naziva podintegralni izraz.

Funkcija f za koju postoji neodređeni integral oblika ( )f x dx∫ se naziva inegrabilnom funkcijom. Iz definicije neodređenog inegrala funkcije može se zaključiti da je izvod neodređenog inegrala jednak podintegralnoj funkciji:

( ) ' ( )f x dx f x⎡ ⎤∫ =⎣ ⎦ ,

diferencijal neodređenog inegrala jednak podintegralnom izrazu:

( ) ( )d f x dx f x dx⎡ ⎤∫ =⎣ ⎦

Takođe još jedna osobina neodređenog integrala je da je neodređeni integral diferencijala funkcije ( )f x jednak ( )f x C+ (C je proizvoljna konstanta),tj.

( ) ( )df x f x C∫ = + U narednim odeljcima je data tablica neodređenih integrala osnovnih funkcija i osnovna pravila integracije, čime se pojednostavljuje način izračunavanja integrala nekih funkcija.

‐ 131 ‐

6.2. TABLICA NEODREĐENIH INTEGRALA OSNOVNIH FUNKCIJA Na osnovu tablice izvoda osnovnih funkcija, koja je prikazana u ranijim poglavljima i osnovnih pojmova koji su razmatrani u prethodnom odeljku, dobija se tablica neodređenih integrala osnovnih funkcija. Navedeni integrali prikazani u ovoj tablici se nazivaju još i tablični integrali. U datoj tablici, u svim pravilima, C predstavlja proizvoljnu konstantu.

1. dx x C∫ = +

2.

1

, 11

nn xx dx C n

n

+

∫ = + ≠ −+

3. 1 lndx x Cx

∫ = +

4. x xe dx e C∫ = +

5. , 0 1

ln

xx aa dx C a

a∫ = + < ≠

6. sin cosxdx x C∫ = − +

7. cos sinxdx x C∫ = +

8. 2

1cos

dx tgx Cx

∫ = +

9. 2

1sin

dx ctgx Cx

∫ = − +

10. 2

1 arcsin , 11

dx x C xx

∫ = + <−

11. 2

11

dx arctgx Cx

∫ = ++

12.

2 2

2 2

1 lndx x x a Ca x

∫ = + + ++

13.

2 2

2 2

1 lndx x x a Cx a

∫ = + − +−

14. 2 2

1 1 ln2

x adx Cx a a x a

−∫ = +

− +

15. 2 2

1 arcsin xdx Caa x

∫ = +−

16. 2 2

1 1 xdx arctg Cx a a a

∫ = ++

Treba naglasiti da svako pravilo važi u intervalu u kome je podintegralna funkcija definisana.

‐ 132 ‐

6.3. OSNOVNA PRAVILA INTEGRACIJE U ovom odeljku su data pravila integracije koja predstavljaju osnovu inregralnog računa. Ako je C proizvoljna konstanta 0C ≠ , tada važi

( ) ( )Cf x dx C f x dx∫ = ∫ Neodređeni integral zbira funkcija jednak je zbiru neodređenuh integrala

ovih funkcija:

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x dx f x dx f x dx∫ + = ∫ + ∫


1. Izračunati integral


( 1)( 1)I x x x dx= ∫ + − + 32( 1)( 1) 1 1 1x x x x x x x x x x x x x+ − + = − + + − + = + = + ,

3 13 3 522 2 22( 1) 3 51

2

xI x dx x dx dx x C x x C+

= ∫ + = ∫ + ∫ = + + = + ++

.

3. Izračunati integral 2(1 )xI dx

x x−

= ∫

3 1 12 2 22 2 2

3 3 3 32 2 2 2

(1 ) 1 2 1 2 2x x x x x x x xx x x x x x

− −− − += = − + = − + ,

3 1 1 3 1 12 2 2 2 2 2( 2 ) 2I x x x dx x dx x dx x dx

− − − −= ∫ − + = ∫ − ∫ + ∫ =

22 3(3 1)

2xx x dx x x C− + = − + +∫

‐ 133 ‐

3 1 11 1 1 1 1 32 2 22 2 222 2 43 1 1 31 1 1

2 2 2

x x x C x x x C− + − + +

−= − + + = − − + +− + − + +

.

4. Izračunati integral 3

3

(1 )xI dxx

+= ∫ .

Kako je 1 1 3 1

3 32 2 2 2

1 1 1 133 3 3 3

(1 ) (1 ) 1 3 3 1 3x x x x x xx x x x x

+ + + + += = = + +

31 1 2 723 6 3 6

1 13 3

3 3 3x x x x x xx x

−+ + = + + + ,

1 11 1 2 7 33 6 3 63 3 1 1

3

xI x dx x dx x dx x dx− +

−= ∫ + ∫ + ∫ + ∫ = +

− +

1 2 71 1 1 2 7 5 136 3 63 6 3 63 18 9 63 3 .1 2 7 2 7 5 131 1 1

6 3 6

x x x C x x x x C+ + +

+ + + + = + + + ++ + +


2 .I tg xdx= ∫ Kako je

2 22

2 2 2

sin 1 cos 1 1,cos cos cos

x xtg xx x x

−= = = −

2 2

1( 1) .cos cos

dxI dx dx tgx x Cx x

= ∫ − = ∫ − ∫ = − +

‐ 134 ‐

Metode integracije Metod zamene ili metod smene promenljivih Neka je ( ( ))f g x složena diferencijabilna funkcija na intervalu ( , )c d i neka je g monotona i diferencijabilna funkcija na intervalu ( , )a b , pri čemu vrednost

( )g x pripada intervalu ( , )c d . Tada važi sledeća relacija

[ ]( ) ( ) '( )f x dx f g t g t dt∫ = ∫ ,

gde posle integracije treba zameniti 1( )t g x−= . Ovo pravilo omogućava da ako je f funkcija neke složene funkcije po x da se uvede smena ( )x g t= , odnosno '( )dx g t dt= , čime se dobio tablični integral. Nakon izračunavanja ovog integrala primenjuje se inverzna operacija, odnosno

t se izražava u funkciji od 1( ( ))x t g x−= . Primeri sa rešenjima:


5sin cosI x x dx= ∫ ⋅

Uvodimo smenu sin cost x dt x dx= ⇒ = ,

5 6 61 1 sin6 6

I t dt t C x C= ∫ = + = + .


21xdxIx

= ∫+

2 11 2 ,2

t x dt xdx xdx dt= + ⇒ = ⇒ =

21 1 1ln ln(1 ) .2 2 2dtI t C x Ct

= ∫ = + = + +


2 2 .dxIa x

= ∫+

Prvo vršimo identičku transformaciju podintegralne funkcije

‐ 135 ‐

2 222

2

1

1 ( )(1 )

dx dxI xx aa aa

= ∫ = ∫++

a zatim uvodimo smenu 1 ,xt dt dx dx adt

a a= ⇒ = ⇒ =

2 2 2

1 1 1 1 .1 1adt dt xI arc tg t C arc tg C

a t a t a a a= ∫ = ∫ = + = +

+ +


2 2 22

2 2

1 , ( 0).1 1 ( )(1 )

dx dx dxI aa xa x x

aa a

= ∫ = ∫ = ∫ >− −−

1 ,2xt dt dx dx adt

a= ⇒ = ⇒ =

2

1 arcsin arcsin .1adt xI t C C

a at= ∫ = + = +

−


41xdxIx

= ∫ ⋅+

2 12 ,2

t x dt xdx xdx dt= ⇒ = ⇒ =

22

1 1 1 .2 1 2 2

dtI arc tg t C arc tgx Ct

= ∫ = + = ++


2 2 , ( 0).I a x dx a= ∫ − >

sin cos arcsin ,xx a t dx a t dt i ta

= ⇒ = =

22 2 2 2 2sin cos cos (1 cos 2 )

2aI a a t a t dt a t dt t dt= ∫ − ⋅ ⋅ ⋅ = ∫ = ∫ + =

2 22 21( sin 2 ) arcsin

2 2 2 2a a x xt t C a x C

a= + + = + − + .

‐ 136 ‐

12. Izračunati integral 2axI xe dx= ∫ .

2 12 ,2

t ax dt ax dx x dx dta

= ⇒ = ⇒ =

21 1 1 12 2 2 2

t t t axI e dt e dt e C e Ca a a a

= ∫ ⋅ = ∫ = + = +

2 2 2

12 2( ) 2 2x x x x x x xI x e I x e xe e C x e xe e C= − = − − + = − + + =

2( 2 2) .xe x x C= − + +

Metod parcijalne integracije Neka su funkcije 1f I 2f diferencijabilne funkcije na intervalu ( , )a b I neka

postoji neodređeni integral 1 2( ) '( )f x f x dx∫ . Tada na intervalu ( , )a b postoji I

neodređeni integral 2 1( ) ' ( )f x f x dx∫ I važi sledeće tvrđenje

2 1 1 2 1 2( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )f x f x dx f x f x f x f x dx∫ = − ∫

Ako obeležimo sa

2( ) ( )u f x v f x= = onda

možemo ovo pravilo zapisati

vdu u v udv= ⋅ −∫ ∫ .

Dokaz: Treba poći od izvoda proizvoda funkcija 1f i 2f

1 2 1 2 1 2( ( ) ( )) ' ' ( ) ( ) ( ) ' ( )f x f x f x f x f x f x= +

odnosno

1 2 1 2 1 2( ( ) ( )) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ( )f x f x f x f x f x f x− =

Sada se može izvršiti integracija gornje jednakosti i dobija se

2 1 1 2 1 2( ) ' ( ) ( ( ) ( )) ' ( ) ' ( )f x f x dx f x f x dx f x f x dx∫ = ∫ − ∫ .

Potrebno je izračunati integral 1 2( ( ) ( )) 'f x f x dx∫ . Koristeći osnovne osobine

neodređenih integrala dobija se

1 2 1 2( ( ) ( )) ' ( ) ( )f x f x dx f x f x∫ =

i zamenom u dobijenu jednakost sledi

‐ 137 ‐

2 1 1 2 1 2( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )f x f x dx f x f x f x f x dx∫ = − ∫

čime je pravilo br. 4 dokazano. Primeri sa rešenjima:


ln .I xdx= ∫ 1lnu x du dxx

= ⇒ = i ,dv dx v x= ⇒ = pa je (1)

1ln ln ln (ln 1) .I xdx x x x dx x x x C x x Cx

= ∫ = ⋅ − ∫ ⋅ = − + = − +


sin .I x xdx= ∫ ⋅ u x du dx= ⇒ = i sin cos ,dv x dx v x= ⋅ ⇒ = −

cos ( cos ) cos cos cos sinI x x x dx x x xdx x x x C= − ⋅ − ∫ − = − ⋅ + ∫ = − + +


.I arc tgx dx= ∫

2

11

u arc tgx du dxx

= ⇒ =+

i ,dv dx v x= ⇒ =

22

1 ln(1 )1 2xdxI x arc tgx x arc tgx x Cx

= − ∫ = − + ++


2 .xI x e dx= ∫ 2 2u x du xdx= ⇒ = i ,x xdv e dx v e= ⇒ = 2 2 22 2 2 .x x x x x xI x e e xdx x e xe dx x e xe dx= − ∫ = − ∫ = − ∫

Da bi izračunali integral

1xI xe dx= ∫

primenićemo ponovo metodu parcijalne integracije

1 1u x du dx= ⇒ = i 1 1 ,x xdv e dx v e= ⇒ =

1 ,x x x xI xe e dx xe e C= − ∫ = − +

‐ 138 ‐

17. Izračunati integral 2( 7 5)cos 2 .I x x xdx= ∫ + −

2 7 5 (2 7)u x x du x dx= + − ⇒ = +

1cos 2 sin 22

dv xdx v x= ⇒ = ,

2 1 1( 7 5) sin 2 (2 7)sin 22 2

I x x x x xdx= + − − ∫ + .

Da bi izračunali integral

11 (2 7)sin 22

I x x xd= ∫ +

primenimo još jednom parcijalnu integraciju

1 11 (2 7)2

u x du dx= + ⇒ = i 1 11sin 2 cos 2 ,2

dv xdx v x= ⇒ = −

11 1 1(2 7) cos 2 cos 22 2 2

I x x xdx− −= + − ∫ ⇒

11 1(2 7) cos 2 sin 2 ,

4 4I x x x C−

⇒ = + + + 21

1( 7 5) sin 22

I x x x I= + − − − ⇒

2 sin 2 cos 2(2 14 11) (2 7) .4 4x xI x x x C= + − + + +

18. Izračunati integrale

1 cosaxI e bxdx= ∫ i 2 sin .axI e bxdx= ∫

Primenom metode parcijalne integracije na prvi integral biće ax axu c du ae dx= ⇒ = i

1cos sin ,dv bxdx v bxb

= ⇒ =

1 1 21 1sin sin sinax ax axa aI e bx e bxdx I e bx Ib b b b

= − ∫ ⇒ = − ⇒

1 2 sin .axbI aI e bx+ =

Primenjujući metodu parcijalne integracije na integral 2I dobijamo

ax axu e du ae dx= ⇒ = i 1sin cos ,dv bxdx ve bxb−

= ⇒

2 2 11 1cos cos cosax ax axa aI e bx e bxdx I e bx Ib b b b− −

= + ∫ ⇒ = + ⇒

1 2 cos .axaI bI e bx− =

Rešavanjem sistema jednačina po 1I i 2I biće konačno

‐ 139 ‐

1 2 2

( sin cos )axe b bx a bxI Ca b

+= +

+ i 2 2 2

( sin cos ) .axe a bx b bxI C

a b−

= ++


2 2 .J a x dx= ∫ −

2 2

2 2 2 2

2 ,2

xdx xu a x du dxa x a x− −

= − ⇒ = =− −

dv dx v x= ⇒ = 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x x a aJ x a x dx x a x dxa x a x− − + −

= − − ∫ = − − ∫ ⇒− −

2 2 2 2 2 2 2

2 2

dxJ x a x a x dx a J x a xa x

= − − ∫ − + ∫ ⇒ = − −−

2 2 2 2arc sin 2 sin ,x xJ a C J x a x a arc Ca a

− + + ⇒ = − + +

2 2 21 1 arcsin .2 2

xJ x a x a Ca

= − + +

Pre navođenja pravila br. 5 potrebno je definisati pojam racionalne funkcije. Definicija racionalne funkcije Funkcija f se naziva racionalnom funkcijom ako je prikazana u obliku

( )( )( )p xf xq x

=

gde je ( )p x polinom n‐tog stepena promenljive x , a polinom ( )q x polinom m‐tog stepena promenljive x . One racionalne funkcije kod kojih važi n m< , nazivaju se prave racionalne funkcije, a one kod kojih je n m≥ , nazivaju se neprave racionalne funkcije. Jednostavno se zaključuje da se svaka neprava funkcija može predstaviti kao zbir polinoma promenljive x i prave racionalne funkcije. Sledeće pravilo integracije se odnosi na racionalne funkcije.

‐ 140 ‐

Metoda integracija racionalnih funkcija Integracija prave racionalne funkcije f se vrši tako što se ova funkcija predstavi kao zbir parcijalnih razlomaka oblika

( )kA

x a− i 2( )k

Bx Cx bx c

++ +

1,k n=

a je nula reda k polinoma ( )q x , a 2x bx c+ + kvadratni trinom čije su nule

konjugovano kompleksni brojevi reda k polinoma ( )q x . Kao dodatak navedenom pravilu slede vrednosti neodređenih integrala izraza koji se pojavljuju.

lnA A x a Cx a

∫ = − +−

,

1( ) (1 )( )k k

A A Cx a k x a −∫ = +− − −

,

22 2 2

2 2ln( ) ( )2 2 4 4

Ax B A B b x bx bx c arctg Cx bx c A b c b c

+ +∫ = + + + − +

+ + − −.

Pored navedenih metoda u teoriji integralnog računa postoje i druge metode za izračunavanje neodređenih integrala nekih funkcija (integracija iracionalnih funkcija, integracija trigonometrijskih funkcija, integracija transcedentnih funkcija i druge), ali izlaze izvan okvira ovog udžbenika. Primeri sa rešenjima:


2

2x dxx −∫

2

22

: 2 22 4( 2 )22 2

2 44

x x xx xx dx x dxxx x

x

− +

− +

− = +

−= = + +

− −−

∫ ∫

‐ 141 ‐

2

2 4 2 4ln 22 2

dx xxdx dx x x Cx

= + + = + + − +−∫ ∫ ∫


2

2 21 2

2

12

2 0 1 2 2 ( 1)( 2)1 / ( 1)( 2) 0

2 1 21 ( 2) ( 1)1 2

12 12 13 3

2 1 2 1ln 1 ln 23 1 3 2 3 3

xx x

x x x x x x x xx A B x x

x x x xx A x B xx Ax Bx A BA B

A B A B

dx dxI x x Cx x

++ −

+ − = ⇒ = ∨ = − ⇒ + − = − ++

= + − + ≠+ − − ++ = + + −+ = + + −+ =

− = ⇔ = =

= + = − + + +− +

∫

∫ ∫


2

2 2

2

2 2

2

( 1)( 1)

1( 1) 11 ( 1) ( 1)1

0 201

1 212 2 2ln 2ln 1

112ln

1

x dxx xx A B C

x x x x xx Ax x B x Cxx Cx Ax Ax Bx BA C AA CA BB C

dx dx dxI x xx x x xx Cx x

−+

−= + +

+ +

− = + + + +

− = + + + ++ = =+ =+ = ⇔= − = −

= − − = + − ++

= + ++

∫

∫ ∫ ∫

‐ 142 ‐


4 2

1 .( 1)xI dx

x x+

= ∫+

Rastavimo najpre podintegralnu racionalnu funkciju na elementarne razlomke 5

4 2 4 3 2 2

1( 1) 1x A B C D Ex F

x x x x x x x+ +

= + + + + ⇒+ +

5 2 2 2 2 3 2 41 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )x A x Bx x Cx x Dx x Ex F x+ = + + + + + + + + + ⇒ 5 2 4 2 5 3 5 41 ,x Ax A Bx Cx Cx Dx Dx Ex Fx+ = + + + + + + + +

izjednačavanjem koeficijenata ispred istih stepena biće

1, 0, 0, 0, 1D E C F A C B A+ = + = + = = = ⇒

0, 0, 1, 1, 1, 1,B D E A C F= = = = = − =

4 2 2 3 2 2

1 1 1 1 11 3 1 1

x xdx dxI dx dx dxx x x x x x x

− + −= ∫ + ∫ + ∫ = + + ∫ + ∫

+ + +

3 2

1 1 .3 1

xdx arctgxx x x−

= + + ∫ ++

Da bismo izračunali integral

1 2 ,1

xdxIx

= ∫+

uvodimo smenu

2 11 2 ,2

z x dz xdx xdx dz= + ⇒ = ⇒ =

21

1 1ln ln( 1) ,2 2dzI z C x Cz

= ∫ = + = + +

22

1 1 1 ln( 1) .3 2

I x arctgx Cx x

= − + + + + +


2

4 2

2 .5 4

x xI dxx x

− += ∫

− +

Rastavljanjem podintegralne racionalne funkcije na elementarne razlomke dobi‐jamo:

2 2

4 2

2 25 4 ( 2)( 2)( 1)( 1) 2 2 1 1

x x x x A B C Dx x x x x x x x x x

− + − += = + + + =

− + − + − + − + − +

2 2 ( 2)( 1)( 1) ( 2)( 1)( 1)x x A x x x B x x x− + = + − + + − − + +

‐ 143 ‐

( 2)( 2)( 1) ( 2)( 2)( 1).C x x x D x x x+ − + + + − + −

1 2 1 2, , ,3 3 3 3

A B C D= = − = − =

1 2 1 2ln 2 ln 2 ln 1 ln 13 3 3 3

I x x x x C= − − + − − + + + =

2

2

2 ( 1)1 ln .3 ( 2) 1

x xC

x x− +

= ++ −

6.4. PRIMENA INTEGRALNOG RAČUNA

Funkcija troškova

Ako nam je poznata funkcija graničnih troškova ' '( ),C F x= onda ćemo funkciju ukupnih troškova dobiti preko integrala te funkcije po promenljivoj x :

'( ) '( )C C x dx F x dx= =∫ ∫ .


25. Funkcija graničnih troškova ' 5020xC = + . Odrediti funkciju ukupnih

troškova iz uslova (0) 700C =

' 5020xC = +

5020

dC xdx

= +

5020xdC dx⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

5020xdC dx⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

2

5040xC x A= + +

(0) 700C =

‐ 144 ‐

700A = 2

50 70040xC x= + +

Funkciju prihoda

Funkciju ukupnih prihoda iz funkcije graničnih prihoda dobijamo preko integrala:

'( )

'( )

;

.

x x

p p

P P dx

P P dp

=

=

∫∫


26. Poznata je funkcija graničnih prihoda ' 16 4P x= − . Pronaći funkciju ukupnih prihoda.

2

0 0

' (16 4 ) 16 2x x

P P dx x dx x x= = − = −∫ ∫

KLJUČNI POJMOVI:

• NEODREĐENI INTEGRAL

• PRIMITIVNE FUNKCIJE

• PARCIJALNA INTEGRACIJA

• METOD INTEGRACIJE

‐ 145 ‐

7. ODREĐENI INTEGRAL

SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE: • OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL

• OSNOVNE TEOREME

• NESVOJSTVENI INTEGRAL

• PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA

Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko:

1. Definicije. 2. Pravila i osobina. 3. Geometrijske interpretacije. 4. Metoda integracije.

7.1. OSNOVNI POJMOVI VEZANI ZA ODREĐENI INTEGRAL

U ovom odeljku se daje definicija i osnovna pravila vezana za pojam određenog integrala. Pre definicije određenog integrala funkcije potrebno je uvesti pojam integralnog zbira funkcije.

Definicija integralnog zbira funkcije Neka je f definisana i ograničena na intervalu [a, b], i neka se ovaj interval podeli na n parcijalnih intervala

[x0, x1], [x1, x2], ..., [xk‐1, xk], ..., [xn‐1, xn], pri čemu važe sledeće relacije

a = x0, b = xn, a < x1 < x2 < ... < xk‐1 < xk < ... < xn‐1 < b.

Neka je lk, 1,k n= , dužina intervala, t.j. lk = xk ‐ xk‐1, i neka je ξk proizvoljna tačka koja pripada intervalu [xk‐1, xk]. Ako važe svi navedeni uslovi tada se zbir

f(ξ1)l1 + f(ξ2)l2 + ... + f(ξk‐1)lk‐1 + f(ξk)lk + ... + f(ξn‐1)ln‐1 + f(ξn)ln naziva integralni zbir funkcije f na intervalu [a, b]. Iz definicije integralnog zbira funkcije može se uočiti da vrednost zbira zavisi od više parametara (od broja parcijalnih intervala, načina podele glavnog intervala na parcijalne, izbora proizvoljne tačke iz parcijalnog intervala). Ova osobina integralnog zbira funkcije se koristi pri definiciji određenog integrala funkcije.

‐ 146 ‐

Definicija određenog integrala funkcije

Neka je f definisana i ograničena na intervalu [a, b]. Ako za svaku podelu x0 < x1 < x2 < ... < xk‐1 < xk < ... < xn‐1 < xn intervala [a, b] i svaki izbor tačaka ξ1, ξk, ..., ξk, ..., ξn, koje zadovoljavaju uslov da je ξk proizvoljna tačka koja pripada intervalu

kl =[xk‐1, xk], postoji uvek ista granična vrednost

∑=

→

n

kkkllf

10)(lim ξ

tada se ova granična vrednost naziva određenim integralom funkcije f na intervalu [a, b] i označava se sa

∫b

a

dxxf )( .

Za funkciju koja ima određeni integral na intervalu [a, b] kaže se da je integrabilna na tom intervalu, f se naziva podintegralnom funkcijom, x je integraciona promenljiva, interval [a, b] se naziva oblast integracije, dok je a donja, a b gornja granica određenog integrala. Da li je neka funkcija integrabilna može se ustanoviti na osnovu njenih osobina:

• svaka neprekidna funkcija na određenom segmentu, integrabilna je na tom segmentu,

• svaka monotona i ograničena funkcija na određenom segmentu, integrabilna je na tom segmentu,

• ako je funkcija ograničena i ima konačan broj prekida na određenom segmentu, tada je funkcija integrabilna na tom segmentu,

• ako se određeni interval može podeliti na konačno mnogo intervala u kojima je funkcija monotona i ograničena, tada je funkcija integrabilna na tom segmentu.

Određeni integral ima veliku ulogu u određivanju površina figura nepravilnog oblika. Neka je data neprekidna i nenegativna funkcija na intervalu [a, b], koja sa krivom svog grafika, ordinatama u tačkama a i b i x osom čini, u opštem slučaju, figuru nepravilnog oblika, koja se naziva i krivolinijski trapez (sl.14). Izračunavanje površine krivolinijskog trapeza, ako nije u pitanju neki osnovni geometrijski oblik nije jednostavan problem. On se rešava tako što se posmatrani interval podeli na određeni broj podintervala. Iz neprekidnosti funkcije zaključuje se da na svakom podintervalu postoje tačke u kojima funkcija na podintervalu dostiže najmanju vrednost. Pomoću ovih tačaka dobijaju se dva pravougaonika, opisani i upisani, od kojih jedan ima veću ili jednaku površinu od površine posmatranog dela krivolinijskog trapeza, a drugi pravougaonik ima manju ili jednaku površinu. Sabiranjem površina svih

‐ 147 ‐

upisanih, odnosno opisanih površina dobijamo dve sume. Ako postoje granične vrednosti ovih suma, kada broj podeljenih podintervala teži beskonačnosti, i ako se te vrednosti jednake, tada je površina krivolinijskog trapeza jednaka dobijenoj vrednosti.

sl.14. Geometrijska interpretacija određenog integrala

Neka je data neprekidna i nenegativna funkcija f na intervalu [a, b], koja sa krivom svog grafika, ordinatama u tačkama a, b i x osom čini figuru nepravilnog oblika. Površina P ove figure nepravilnog oblika je jednaka

∫=b

a

dxxfP )(



Kako je funkcija ( )f x x= neprekidna na konačnom intervalu [ ],a b , ona je

integrabilna na [ ],a b . Izračunavanje ovog integrala izvršićemo u četiri koraka.

1o Neka je δ proizvoljna podela segmenta [ ],a b na n parcijalnih segmenata:

[ ] [ ] [ ] [ ]0 1 1 2 1 1, , , ,...., , ,...., , .i i n nx a x x x x x x x b− −= =

2o Izbor tačaka iξ izvršićemo tako da je 1 .2

i iix xξ − +

=

.b

a

xdx∫

‐ 148 ‐

3o Formiranje integralne sume: ( )i if ξ ξ= , tada je 2 2

11

1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 20 2 1 1

1( ) ( )2 2

1 1 1 1( ) ( ) ... ( ) ( )2 2 2 2

n n ni i i

i i i ii i i

i n n

x x x x if x x x

x x x x x x b a

σ ξ −−

= = =

−

+ − −= Δ = − = =

= − + − + + − = −

∑ ∑ ∑

4o Određivanje granične vrednosti integralne sume σ

2 2 2 2

0 0

1 1lim lim ( ) ( ).2 2b a b a

λ λσ

→ →= − = −

Prema tome,

2 21 ( )2

b

a

xdx b a= −∫ .


0

, ( 0).a

x dx a >∫

Funkcija 2( )f x x= neprekidna je na skupu R , pa je takva i na svakom

konačnom intervalu [ ]0,a . Prema tome, ona je i integrabilna na [ ]0,a .

Izračunavanje određenog integrala date funkcije f izvršićemo u sledeća četiri koraka:

1o Interval [ ]0,a podelićemo na n jednakih delova, čije su dužine

iaxn

Δ = .

2 o Tačke iξ izabraćemo tako da je 1i ixξ −= , zbog čega je

1 0 ( 1) ( 1) ( 1)i i i iax x i x i x in

ξ −= = + − Δ = − Δ = −

22( ) ( 1)i i

af in

ξ ξ ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦.

3o Integralna suma je 2

3 2

1 1 1

3 2 2 2

( ) ( 1) ( ) ( 1)

( ) 1 2 ... ( 1) .

n n n

i ii i i

a a af x i in n n

a nn

σ ξ= = =

⎡ ⎤= Δ = − ⋅ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

‐ 149 ‐

Koristeći formulu za zbir kvadrata prvih n prirodnih brojeva

2

1

( 1)(2 1),6

n

i

n n nk=

+ +=∑

3

3

( 1)(2 1) .6

a n n nn

σ − −=

4o Kako je data funkcija integrabilna na [ ]0,a , to znači da postoji

granična vrednost njene integralne sume, koja je po definiciji vrednost određenog integrala funkcije f , tj.

3 32

20 00

( 1)(2 1)lim lim .6 3

a

n

a n n n ax dxnλ

σ→ →

− −= = =∫

Da bi proces izračunavanja određenog integrala bio jednostavniji postoje određena pravila. U daljem tekstu su data osnovna pravila za izračunavanje određenog integrala. Uz svako pravila važi pretpostavka da su funkcije integrabilne na posmatranom intervalu.

Osobine određenog integrala

Ako je a > b, tada je ∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf )()( .

Ako je a = b, tada je ∫ =b

a

dxxf 0)( .

Neka je dat realan broj c, tada je ∫∫ =b

a

b

a

dxxfcdxxcf )()( .

Neka su f i g integrabilne funkcije, tada je

∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ .

Neka je c tačka koja pripada posmatranom intervalu, tada je

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()( . (sl. 15.).

‐ 150 ‐

sl. 15.

Ako je funkcija integrabilna i pozitivna na posmatranom intervalu, tada je

0)( >∫b

a

dxxf .

Ovo pravilo se analogno može primeniti i na negativnu funkcije, pri čemu bi određeni integral bio, takođe, negativan. Ako je f(x) ≤ g(x), gde je x tačka koja pripada posmatranom intervalu, tada je

∫∫ ≤b

a

b

a

dxxgdxxf )()( .

I ovo pravilo se može analogno primeniti za slučaj da je f veća ili jednaka od g na posmatranom intervalu.

Ako je f integrabilna na posmatranom intervalu, tada je i f integrabilna na

istom intervalu i važi ∫∫ ≤b

a

b

a

dxxfdxxf )()( .

Upotrebom navedenih pravila i osnovnih teorema koje će biti navedene u sledećem odeljku definiše se izračunavanje određenog integrala. 7.2. OSNOVNE TEOREME VEZANE ZA ODREĐENI INTEGRAL U ovom odeljku su date osnovne teoreme koje služe za izračunavanje određenih integrala i predstavljaju neke od najvažnijih teorema integralnog računa.

‐ 151 ‐

Teorema o vrednosti prve formule o srednjoj vrednosti određenog integrala Ako je funkcija f integrabilna na intervalu [a, b], i ako za svako x koje pripada ovom intervalu važi da je f(x) ≥ m, odnosno f(x) ≤ M, gde su m i M donja i gornja granica funkcije f, na posmatranom intervalu, tada postoji broj α, takav da je m ≤ α ≤ M i važi

)()( abdxxfb

a

−=∫ α

Dokaz: Iz uslova da je α broj takav da je m ≤ α ≤ M, može se zaključiti da važi

∫∫∫ ≤≤b

a

b

a

b

a

Mdxdxxfmdx )( ,

Koristeći ranije navedenu teoremu, sledi

)()()( abMdxxfabmb

a

−≤≤− ∫ , Mdxxfab

mb

a

≤−

≤ ∫ )(1.

Znači postoji broj

∫−=

b

a

dxxfab

)(1α

koji zadovoljava sve uslove teoreme, čime je teorema dokazana. Iz prethodne teoreme se izvodi :

Teorema o srednjoj vrednosti određenog integrala

Ako je funkcija f integrabilna na intervalu [a, b], tada postoji tačka ξ koja pripada posmatranom intervalu i za koju važi

))(()( abfdxxfb

a

−=∫ ξ

Dokaz: Koristeći prethodno dokazanu teoremu i činjenicu da je funkcija f neprekidna na posmatranom intervalu, tada postoji tačka ξ tako da je f(ξ) = α, pa se zamenom u prethodnu teoremu dobija

))(()( abfdxxfb

a

−=∫ ξ ,

što je i trebalo dokazati. Navedena teorema ima i svoju geometrijsku interpretaciju. Za funkciju f koja je pozitivna na nekom intervalu [a, b], površina krivolinijskog trapeza nad posmatranim intervalom je jednaka površini pravougaonika čije su stranice (b – a) i f(ξ).

‐ 152 ‐

Teorema o srednjoj vrednosti određenog integrala je veoma bitna, jer omogućava da se odredi veza između određenog i neodređenog integrala. Teorema o vezi određenog i neodređenog integrala – Njutn‐Lajbnicova formula Ako je funkcija f integrabilna na intervalu [a, b], i za svaku tačku ovog intervala važi da je F'(x) = f(x), gde je F primitivna funkcija funkcije f, tada važi

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

Dokaz: Definiše se funkcija F1 kao primitivna funkcija funkcije f na sledeći način

∫=x

a

dttfxF )()(1 ,

gde x pripada intervalu [a, b]. F i F1 su obe primitivne funkcije funkcije f, pa se razlikuju za konstantu

α+=∫ )()( xFdttfx

a

,

gde je α konstanta za koju se dve primitivne funkcije razlikuju. Ako se x zameni sa a u prethodnoj jednakosti i iskoriste osnovna pravila za izračunavanje određenog integrala, dobija se

0)()( =+=∫ αaFdttfa

a

,

Dakle ( )F aα = − . Zamenom dobijene vrednosti α u prethodnoj jednakosti dobija se

)()()( aFxFdttfx

a

−=∫ ,

zamenom x = b,

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

čime je teorema dokazana. Prethodna teorema omogućava u slučajevima kada je poznata primitivna funkcija integrabilne funkcije, da se njen određeni integral na nekom intervalu ne mora izračunavati kao granična vrednost integralnog zbira funkcije, već je dovoljno obrazovati razliku vrednosti primitivne funkcije na krajevima intervala

‐ 153 ‐

integracije. Na taj način uspostavljena je veza između određenog i neodređenog integrala.


3. Oceniti integral

22

4

1 cosI x

π

π

= +∫

Treba odrediti maksimum i minimum funkcije 2( ) 1 cosf x x= + na

segmentu integracije ,4 2π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. min ( ) ( ) 1,2

m f x f π= = =

6max ( ) ( )4 2

M f x f π= = =

Kako je dužina segmenta 4

b a π− = ,

64 8

Iπ π≤ ≤ .

4. Odrediti izvod po promenljivoj x funkcije

2

0

( ) cos .x

F x t dt= ∫

Ova funkcija data je u obliku integrala i ona je složena funkcija po promenljivoj x . Uvođenjem smene

2

0

, cos( ) ( )u

x u t dt G u= =∫ ,

možemo funkciju F pisati u obliku:

( ) ( ), .F x G u u x= =

Prema tome, treba tražiti izvod složene funkcije ( ) ( )F x G x= . Kako je

2'( ) cos( ),G u u= 1' ,

2u

x=

2 1 cos'( ) '( ) ' cos( ) .2 2

xF x G u u ux x

= ⋅ = ⋅ =

‐ 154 ‐

5. Primenom Njutn‐Lajbnicove formule izračunati integral 1

211dxIx−

=+∫ .

1 1

2 11

1 ( 1) ( ) .1 4 4 2dx arc tg x arc tg arc tgx

π π π−

−

= = − − = − − =+∫

Pri razmatranju neodređenog integrala uvedeni su pojmovi smene promenljivih i parcijalne integracije. Primenu ovih pojmova kod određenih integrala objašnjavaju teoreme koje slede. Teorema o smeni promenljivih kod određenog integrala Neka je funkcija f neprekidna na intervalu [a, b] i neka x = g(t) ima neprekidan izvod na intervalu [c, d], gde su c i d tačke koje ispunjavaju sledeće uslove g(c)

= a i g(d) =b, i za svako [ ] [ ], , ( ) ,t c d g t a b∈ ∈ , tada važi

∫∫ =b

a

b

a

dttgtgfdxxf )(')]([)( .

Teorema o parcijalnoj integraciji određenog integrala Neka funkcije ( )u u x= i ( )v v x= imaju neprekidne izvode na intervalu [a, b], tada važi

∫∫ −−=b

a

b

a

vduavaubvbuudv )()()()( .


6. Izračunati:

a) ( )/2 /2/2

00 0sin cos cos

sin cosx u du dx

x xdx x x xdxxdx dv v x

π ππ= == = − +

= =−∫ ∫

/ 220cos 0cos0 sin sin sin 0 1

2 2x π ππ π⎛ ⎞= − − + = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) ( )1

0 1

1 0 1ln 1 ln

1e ex t x t

x dx t dtdx dt x e t e

− + = = =+ = = =

= = − =∫ ∫

‐ 155 ‐

( ) 1 1

lnln |2

eedtt u du dtt t t

tdt dv v t

= == − =

= =∫

( )1ln 1ln1 1 1 1ee e t e e e e= − − = − − = − + =


3

0

.I x arc tg xdx= ∫

3( ) , ( ) ,u x arc tg x dv x x dx= = pa je 21dxdux

=+

i 4

4xv =

1 1 14 43 1 2

0 2 20 0 0

1 1 1| ( 1 )4 4 1 16 4 1x x dxJ x arctg xdx arctg x x dx

x xπ

= = − = − − ++ +∫ ∫ ∫

310

1 1( ) | .16 4 3 6

x x arc tg xπ= − − + =

7.3. NESVOJSTVENI INTEGRAL U prethodnom odeljku je definisan pojam određenog integrala. U samoj definiciji oblast integracija je ograničena, korišćen je interval [a, b] i integrabilna funkcija je na posmatranom intervalu definisana i ograničena. Ako integral nije konačan ili ako funkcija nije ograničena na konačnom integralu, tada ovakve integrale zovemo nesvojstveni integrali i oni moraju biti posebno definisani. Postoje dve vrste nesvojstvenog integrala, u daljem tekstu se daju njihove definicije i osobine. Definicija nesvojstvenog integrala prve vrste Neka je funkcija f neprekidna na intervalima [a, ∞), (‐∞, b], (‐∞,∞). Tada su nesvojstveni integrali prve vrste funkcije f na intervalima [a, ∞), (‐∞, b], (‐∞,∞), sledeće granične vrednosti:

∫∫ ∞→

∞

=b

ab

a

dxxfdxxf )(lim)( ,

‐ 156 ‐

∫∫ −∞→∞−

=b

aa

b

dxxfdxxf )(lim)( ,

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

+=a

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

sl. 21.

Nesvojstveni integral prve vrste se još naziva i nesvojstveni integral u odnosu na oblast integracije. U prethodnim definicijama ako postoji granična vrednost tada nesvojstveni integral konvergira, a ako ne postoji, tada taj integral divergira.


8. Izračunati površinu "beskonačog trapeza", ograničenog krivom 3

1yx

= ,

pravom ( 0)x a a= > i intervalom [ ),a +∞ .

3 3 2 2 2 2

1 1 1 1 1lim lim ( ) lim ( ) .2 2 2

b b

b b a ba a

dx dxx x x b a a

+∞

→+∞ →+∞ →+∞= = − = − − =∫ ∫

Vrednost nesvojstvenog integrala je konačna pa površina ovog "

beskonačnog trapeza" iznosi 2

1 .2

Pa

=

Ponekad se konvergencija nekog nesvojstvenog integrala može odrediti bez određivanja njegove primitivne funkcije, i to na osnovu sledeće teoreme.

‐ 157 ‐

Teorema o konvergeniciji dve funkcije

Ako su za svako x ≥ a, funkcije f i g definisane, i ako je za svako takvo x važi g(x) ≥ f(x) ≥ 0, i ako je integral

∫∞

a

dxxg )( , konvergentan, tada je i integral

∫∞

a

dxxf )( , konvergentan, i važi relacija

∫∫∞∞

≤aa

dxxgdxxf )()( .

Ako je ( )a

f x dx+∞

∫ divergentan onda je i ( )a

g x dx+∞

∫ divergentan.

Definicija nesvojstvenog integrala druge vrste

Neka je funkcija f neprekidna na intervalu [a, b] i neka funkcija f nije ograničena u svakoj okolini tačke b, tj. ispunjena je bar jedna od jednakosti

0lim ( )x b

f x→ −

= +∞ ili0

lim ( )x b

f x→ −

= −∞ ,

tada je nesvojstveni integral druge vrste funkcije f na intervalu [a, b] granična vrednost

0( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dxε

ε

−

→ +=∫ ∫ .

Nesvojstveni integral druge vrste se još naziva i nesvojstveni integral u odnosu na podintegralnu funkciju. U prethodnoj definiciji ako postoji granična vrednost tada nesvojstveni integral konvergira, a ako ne postoji, tada taj integral divergira. Analogno se definiše nesvojstveni integral druge vrste u odnosu na tačku a, (sl. 22.) ako funkcija nije ograničena u svakoj okolini tačke a na intervalu [a, b], kao

0( ) lim ( )

b b

a a

f x dx f x dxε

ε→ +

+

=∫ ∫ .

‐ 158 ‐

sl. 22.

Ako neprekidna funkcija f nije ograničena u svakoj okolini tačke b na intervalu [a, b)∪ (b, c] tada je

∫∫∫+

+→

−

+→+=

c

tbt

tb

at

c

a

dxxfdxxfdxxf )(lim)(lim)(00 2

1

1

.


9. "Beskonačnom trapezu", koji je ograničen hiperbolom 1yx

= , pravom

( 0)x a a= > i intervalom [ ),a +∞ , ne možemo dodeliti merni broj jer je

lim (ln ) lim (ln ln )t

t a ta

dx x t ax

+∞

→+∞ →+∞= = − = +∞∫ .

7.4. PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA

Videli smo da određeni integral ( )b

a

f x dx∫ geometrijski predstavlja merni broj

površine krivolinijskog trapeza nad intervalom [ ],a b . U konkretnim

primenama može predstavljati veličinu puta, veličinu rada itd. Uopšte, kada se mogu formirati sume beskonačno mnogo malih sabiraka, pa postoji granična vrednost tih suma, tada postoji mogućnost primene određenog integrala.

‐ 159 ‐

Izračunavanje površina ravnih figura

Izložićemo nekoliko različitih slučajeva izračunavanja površine ravnih figura.

Neka je funkcija [ ]: ,f a b R→ integrabilna.

1. Ako je 0f ≥ , onda se krivolinijski trapez nalazi iznad ose Ox i njegova površina se definiše kao broj

(1) ( )bdef

a

P f x dx= ∫ (sl. 16.)

Izraz ( )dP f x dx= predstavlja elementarnu površinu.

sl. 16.

2. Ako je 0f ≤ , krivolinijski trapez je ispod ose Ox i tada je vrednost integrala (1) negativna (sl. 17.). Kako je pak, merni broj površine uvek pozitivan, to će površina krivolinijskog trapeza u ovom slučaju biti broj

(2) ( ) .b

a

P f x dx= ∫

Ovu formulu koristićemo i u slučaju kada je funkcija f promenljivog znaka.

‐ 160 ‐

sl. 17.


10. Izračunati površinu ravnog lika ograničenog krivom ( ) cosf x x između

ordinata u 0 i π i segmentom [ ]0,π (sl. 18.). Prema formuli (2) biće

2 2

0 0 02 2

cos cos cos cos ( cos )P x dx x dx x dx x dx x dx

π ππ π π

π π

= = + = + − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

0 2

sin | sin | 1 ( 1) 2,x xπ

π

π= − = − − =

jer je

cos 0,2

coscos , .

2

x za xx

x za x

π

π π

⎧ ⎡ ⎤∈⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎡ ⎤⎪− ∈⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

‐ 161 ‐

sl. 18. 3. Kada je ravna figura ograničena linijama ( )y f x= i ( )y g x= , tada se njena površina dobija kao razlika površina krivolinijskih trapeza.

( ) ( )b b

a a

P f x dx g x dx= −∫ ∫ , tj. [ ]( ) ( )b

a

P f x g x dx= −∫ ,

gde su granice integrala rešenja jednačine ( ) ( )f x g x= . ( ) ( ) i ( ) ( )f a g a f b g b= = (sl. 19.)

sl. 19.

‐ 162 ‐


11. Izračunati površinu elipse . Uvešćemo smene

cosx a t= , siny b t= , odakle je sindx a t dt= . Sada prema formuli (1) imamo

0

2 2 sin ( sin )a

a

P ydx b t a t dtπ

+

−

= = − =∫ ∫

02

00

1 cos 2 sin 22 sin 2 ( ) .2 2

t tab t dt ab dt ab t abπ π

π

π−= − = = − =∫ ∫

Za a b= dobijamo kružnicu poluprečnika r a= , pa će površina kruga biti 2 2 .P a rπ π= = (sl. 20.)

sl. 20.

KLJUČNI POJMOVI: • ODREĐENI INTEGRAL • INTERGRABILNA FUNKCIJA • NJUTN‐LAJBNICOVA FORMULA

• NESVOJSTVENI INTEGRAL

2 2 2 2 2 2b x a y a b+ =

‐ 163 ‐

VI GLAVA ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE

SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE:

• POJAM I VRSTE VEROVATNOĆE

• POJAM SLUČAJNE PROMENLJIVE

• OSOBINE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH

• VRSTE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH

• PRIMENE SLUČAJNIH PROMENLJIVIH Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko:

1. Upoznavanje studenata sa slučajnim događajima. 2. Usvajanje osnovnih osobina verovatnoće da bi se olakšalo

razumevanje statistike i drugih disciplina u kojima se pojavljuje verovatnoća.

8. ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE

8.1. EKSPERIMENTI SA SLUČAJNIM ISHODIMA. SLUČAJNI DOGAĐAJI Osnovni pojam teorije verovatnoće , kao jedne od matematičkih disciplina i osnova matematičke statistike je događaj, rezultat nekog eksperimenta, odnosno njihova analiza. Da bi definisali pojam događaja, pođimo od eksperimenta u kome ishode nismo u mogućnosti unapred da predvidimo. Ako posmatramo neki eksperiment, svaki od mogućih ishoda u tom eksperimentu se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje ćemo označavati sa ω, a skup svih njih u nekom eksperimentu ćemo označavati sa Ω. Događaj A je podskup skupa Ω i sastoji se od svih elementarnih događaja koji imaju to svojstvo kojim se A definiše. Primer sa rešenjem:

1. Pri bacanju kocke skup Ω je Ω={ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}, gde je ωi elementarni događaj ‐ kocka je pala, a na gornjoj strani imamo i tačaka. Događaj A ‐ pao je paran broj je dakle A={ω2, ω4, ω6}.

‐ 164 ‐

Događaj A se realizuje pri eksperimentu ako i samo ako se realizuje jedan od elementarnih događaja ω koji se u njemu sadrže.

• Siguran ili izvestan događaj je onaj koji se uvek realizuje. Takav je skup Ω koji sadrži sve moguće elementarne događaje u datom eksperimentu.

Na primer „ pri bacanju novčića padne pismo ili glava”. • Nemoguć događaj je onaj događaj koji se nikad ne realizuje.

Obeležavamo ga kao prazan skup φ . (φ ⊂ Ω ) Na primer „ pri bacanju kocke sa obeleženim stranicama od 1 do 6 da padne osmica”.

Sve događaje, koji nas interesuju u nekom eksperimentu, ćemo svrstati u jednu klasu F događaja. Ta klasa događaja mora ispuniti određena pravila, a između događaja u toj klasi mogu se posmatrati određene relacije i operacije.

• Ako A⊂B, kažemo da realizacija događaja A povlači realizaciju događaja B, odnosno kažemo da događaj A povlači (implicira) događaj B. To znači da je događaj A podskup događaja B, i da se događaj B realizuje uvek kada se realizuje događaj A. Događaj „prilikom bacanja kocke pojavila se dvojka” implicira događaj „prilikom bacanja kocke pojavio se paran broj”.

• Razlika dva događaja A i B u oznaci A\B je događaj koji se realizuje ako se realizuje događaj A a da se pri tome ne realizuje događaj B.

• Svakom događaju A može da se pridruži suprotan ili komplementaran

događaj Ac koji se realizuje ako i samo ako se A ne realizuje (skupovno Ac=Ω\A). Suprotan, komplementaran događaj događaju A je specijalan slučaj razlike prostora elementarnih događaja Ω i događaja A. Događaj „pri bacanju kocke pao je paran broj” suprotan događaj je „pao je neparan broj”.

‐ 165 ‐

• Proizvod ili presek događaja A i B je događaj u oznaci A∩B ili AB, koji se realizuje ako i samo ako se realizuju i događaj A i događaj B. Na primer, pri bacanju kocke presek (proizvod) događaja „pao je paran broj” i događaja „pao je broj deljiv sa tri” je događaj „pala je šestica”. Dva događaja A i B su disjunktna, uzajamno se isključuju ako je A∩B=∅.

• Unija ili zbir događaja A i B, u oznaci A∪B, je događaj koji se realizuje ako i samo ako se realizuje bar jedan od događaja A i B. Na primer, pri bacanju kocke unija događaja „pao je paran broj” i događaja „pao je broj veći od dva” je događaj „nije pala dvojka”. Uobičajeno je da se unija disjunktnih događaja označava sa A+B.

Definicija preseka i unije se može prirodno proširiti na konačno mnogo događaja A1,..., An u oznaci:

.A , n

1=ii

1∪∩

n

iiA

=

Dakle, A ii

n

=1∩ je događaj koji se realizuje ako se svaki Ai, i=1,...,n realizuje, a

A ii= 1

n

∪ se realizuje ako se realizuje bar jedan Ai, i=1,...,n.

Ako su za i≠j i,j=1,...,n AiAj=∅, onda je A ii= 1

n

∪ = A ii

n

=∑

1.

∩

‐ 166 ‐

U teoriji verovatnoće se definišu prebrojivi preseci i unije na sledeći način:

{ } { }A Aii ii=

∞

=

∞

= ∀ ∈ ∈ = ∃ ∈ ∈1 1∩ ∪ω ω ω ω k N, A k N, Ak k, .

Kako su relacija ⊂ i operacije ∩, ∪, C među događajima odgovarajuće relacije među skupovima, to se poznate veze koje imamo među skupovima mogu interpretirati na događaje. U teoriji verovatnoće se zahteva da klasa F koju posmatramo čini σ‐algebru, tj. da operacije komplementa, preseka i unije budu u F, kao i da Ω∈F. Ovako definisana klasa F se zove polje događaja. 8.2. POJAM VEROVATONOĆE Teorija verovatnoće se bavi slučajnim događajem. Slučajni događaji imaju sledeću karakteristiku: u jednom eksperimentu koji se ponavlja n ‐ puta događaj A se realizuje m ‐ puta. Relativna učestalost događaja A, statistička

verovatnoća događaja je broj mn u n ‐ opita i obeležava se sa P(A). Dakle,

verovatnoća da se realizuje događaj A, je odnos broja povoljnih elementarnih

događaja m , prema broju svih jednako mogućih događaja n , ( ) mP An

= .

Na primer, pri bacanju dve kocke, verovatnoća realizacije događaja A „zbir

brojeva na kockama je 8“ je, 5( )

36P A = .

U predhodnom primeru smo očigledno predpostavili da je svaka mogućnost pri bacanju kocke jednako verovatna! Da li je uvek zaista tako? Kada jeste, a kada nije? Jeste ako je kocka napravljena od potpuno homogenog materijala i ako joj je stvarno fizičko težište poklopljeno sa geometrijskim težištem! Dakle ako je i idealno geometrijski napravljeno, ako sve ovo nije onda zbog zakona fizike će veću verovatnoću imati one strane koje su udljenije od težišta i neću sva stanja biti jednako verovatna! Ako posmatramo bilo koji događaj A (može i napred opisan) i ako je eksperiment o kome se ovaj događaj odigrava ponavljamo i pritom beležimo broj ponavljanja n i broj odigravanja nešeg događaja n(A) i ako posmatramo

‐ 167 ‐

odnos n(A)/n, primetićemo da se ovaj odnos (relativna učestanost odigravanja našeg događaja) pozicionira prvo na prvoj decimali pa potom na drugoj... Odnosno da ovaj odnos teži nekom fiksiranom broju koji nije slucajan. Taj broj se može smatrati za verovatnoću našeg događaja A. Ipak ovaj način dobijanja verovatnoća (statističke verovatnoće) i pored toga što je najtacniji nije uvek moguć iz razumnjivih razloga. U matematici se verovatnoća uvodi aksiomatski, zapravo to je funkcija definisana nad događajima koja je nenegativna, normirana i aditivna: Definicija 1. Verovatnoća P(x) je funkcija koja događaje iz polja F preslikava u realne brojeve sa sledećim osobinama:

1) nenegativnost: za ∀ ∈A F ( )P A ≥ 0 2) normiranost: P(Ω)=1 3) aditivnost: Ako su A1, A2,... disjunktni događaji, tj. ako je Ai∩Aj=∅, i≠j, tada je

( )P A P Aii ii∑ ∑⎛⎝

⎞⎠ = .

Stav 1. Verovatnoća P(x) ima sledeće osobine: 1) P(∅)=0

2) ( ) ( )P A P A= −1

3) Ako je A⊆B onda je P(A)≤P(B) 4) Za svako A∈F, P(A)≤1 5) Za ∀A,B∈F, P(A∪B)=P(A)+P(B)‐P(AB) 6)

Dokaz: 1) Kako je A=A∪∅ na osnovu aditivnosti P(A)=P(A)+P(∅), pa je P(∅)=0.

2) Sledi iz A A+ =Ω, normiranosti i aditivnosti.

3) Ako je A⊆B onda je B A AB= + pa je ( ) ( ) ( )P B P A P AB= + ,

odnosno zbog nenegativnosti sledi P(B)≥P(A). 4) Sledi iz prethodne osobine i A⊆Ω. 5) Kako je A B A AB∪ = + i B AB AB= + , to je ( ) ( ) ( )P A B P A P AB∪ = + i ( ) ( ) ( )P B P AB P AB= + , pa

eliminišući ( )P AB iz ove dve, dobijamo traženu jednakost. Važno je napomenuti da je za teoriju verovatnoće nebitno kako smo došli do polaznih verovatnoća, tj. do polazne funkcije P(.). Teorija verovatnoće se bavi problemom dobijanja novih verovatnoća. Polazne verovatnoće su obično dobijene na tri načina:

‐ 168 ‐

• Klasična definicija verovatnoće da se realizuje očekivani događaj je, odnos broja povoljnih elementarnih događaja prema broju svih

jednako mogućih elementarnih događaja P(A)=nm

.

• Geometrijskim putem, kao odnos površina (zapremine ili dužine) povoljnih i mogućih za realizaciju nekog događaja;

• Statistički, kao graničnu vrednost relativne učestanosti n(A) i broja eksperimenata n, pri kome se realizuje događaj A.

Napomena: Za događaj A kod koga je P(A)=1 kažemo da je skoro izvestan ili da se realizuje sa verovatnoćom 1. Dakle, ako je P(A)=1 to ne znači da je A=Ω! Isto tako, za događaj B za koji je P(B)=0 kažemo da je skoro nemoguć događaj. Dakle, iz P(B)=0 ne sledi B=∅. Prema tome, skoro izvestan i skoro nemoguć događaj se definišu preko verovatnoće za razliku od izvesnog i nemogućeg događaja koji su nezavisni od pojma verovatnoće. 8.3. USLOVNE VEROVATNOĆE. NEZAVISNOST Teorija verovatnoće daje pravila kako se, polazeći od verovanoće nekih događaja nalaze verovatnoće drugih događaja. Verovatnoća realizacije događaja B, ako se realizovao događaj A, zove se uslovna (vezana) verovatnoća događaja B u odnosu na događaj A i obeležava se sa P(B/A).

sl. 29.

nnnn

nn

A

AB

A

AB =

nA – broj realizacija događaja A nB – broj realizacija događaja B nAB – broj realizacija događaja AB

n‐broj eksperimenata

‐ 169 ‐

( ) ( )( )P B A

P ABP A

= , P(A)>0.

Na sličan način dobijamo

( ) ( )( )P A B

P ABP B

= .

U vezi sa pomenutim verovatnoćama važno je i sledeće pitanje: Kakav je odnos verovatnoća P(B) i ( )P B A . Ako su te verovatnoće iste, prirodno je reći da verovatnoća događaja B ne zavisi od događaja A. Dakle, događaj B je nezavisan od događaja A ako je ( ) ( )P B = P B A . Nezavisnost događaja A od događaja B se definiše analogno. Naime, iz uslova

( ) ( )( )P B A

P ABP A

= , ( )( )( )P A

P ABP B A

= , ( )( )( )P A

P ABP B

= ,

odnosno dobijamo ( ) ( )P A P A B= . Dakle, ako je B nezavisan od A, onda je i A nezavisan od B, što zajedno očigledno daje sledeću definiciju: Definicija 2. Događaji A i B su nezavisni ako je P(AB)=P(A)⋅P(B), verovatnoća realizacije jednog događaja ne zavisi od verovatnoće realizacije drugog događaja. Ako je verovatnoća da će se realizovati događaj A, P(A)=p, onda verovatnoća da će se isti događaj realizovati n puta je pn. Za izračunavanje uslovne verovatnoće može se koristiti i formula klasične verovatnoće. Primeri sa rešenjima:

2. Pri bacanju dve kocke posmatramo zbir brojeva koji se pojavljuje na njima. Kolika je verovatnoća da je zbir 6, ako se zna da je zbir paran broj?

Događaj A: zbir je 6. Događaj B: zbir je paran broj.

P(A|B)=)(

(AB)BP

P

‐ 170 ‐

P(AB)=365

; P(B)=21

3618

=

P(A|B)=185

21

365

=

Ili preko klasične verovatnoće pod pretpostavkom da se uslov uzme prilikom određivanja broja povoljnih i mogućih slučajeva:

P(A|B)=185

3. U kutiji se nalazi pet belih i tri crne kuglice. Dva puta se iz kutije vrši izvlačenje bez vraćanja. Kolika je verovatnoća da će se drugi put izvući bela kuglia (crna kuglica), ako je u prvom izvlačenju izvučena bela kuglica.

Događaj A1: u prvom izvlačenju izvučena bela kuglica Događaj A2: u drugom izvlačenju izvučena bela kuglica Događaj B: u drugom izvlačenju izvučena crna kuglica

P(A2|A1)= )()A(A

1

21

APP

P(A1A2)=1 15 41 18 7

5 4 58 7 14

C CC C

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ; P(A1)= 8

5

P(A2|A1)= 74

85

145

=

P(B|A1)=1‐P(A2|A1)= 73

I ovaj problem se lako rešava klasičnom verovatnoćom. Događaj A: drugi put je izvućena bela kuglica. Događaj C: drugi put je izvučena crna kuglica. Nakon prvog izvlačenja u kutii je ostalo 4 bele i 3 crne kuglice.

P(A)=74; P(C)=

73

4. Iz špila od 32 karte slučajno se izvlači jedna karta. Neka je A događaj da je izvučena karta pik i B događaj da je izvučena kara dama. Da li su događaji A i B nezavisni?

P(AB)=321

; P(A)=41; P(B)=

81

‐ 171 ‐

Prema tome P(AB)=P(A)P(B), što znači da su događaji A i B nezavisni u smislu teorije verovatnoće. Napomena: Nezavisnost više od dva događaja, npr. događaji A1,..., An se definiše na sledeći način: Događaji A1,..., An su nezavisni ako je za svakih k događaja 2≤k≤n, odnosno za svaki niz s1<s2<...<sn brojeva 1,..., n,

( )P A A A PA PAs s s s sk k1 2 1... ...= .

(Nezavisnost u parovima P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) i≠j i,j=1,2,..., n nije dovoljna za nezavisnost u celini.) To se vidi iz sledećeg primera: Neka su tri strane tetraedar obojene plavo, belo, crveno respektivno a četvrta strana i plavo, i belo i crveno. Ako bacamo tetraedar I konstatujemo stranu na koju je pao tetraedar (ona koja se ne vidi), imamo 3 mogućnosti: B pao je na belu C pao je na crvenu P pao je na plavu (ako je pao na stranu koja je obojena sa sve tri boje tada imamo situaciju da je ispunjena svaka od ovih mogućnosti.) Ako su sve mogućnosti jednako verovatne tada je očigledno P(B)=1/2, P(C)=1/2, P(P)=1/2 Pritom je očigledno P(BCP)=1/4≠P(B)*P(C)*P(P)=1/8, mada nezavisnost u parovima postoji P(BC)=P(B)*P(C), P(CP)=P(C)*P(P), P(BP)=P(B)*P(P). 8.4. FORMULA TOTALNE VEROVATNOĆE I BAJESOVA FORMULA Definicija 3. Za događaje A1, A2,..., An koji su uzajamno disjunktni, tj. AiAj=∅ i≠j i,j=1,..., n, kažemo da čine razbijanje sigurnog događaja ako je

A ii

n

=∑ =

1Ω.

Teorema 1. Ako događaji A1,..., An čine razbijanje sigurnog događaja i P(Ai)>0 i=1,...,n, tada je za ∀B∈F

( ) ( ) ( )P B P A P B Ai ii

n

= ⋅=∑

1.

‐ 172 ‐

Dokaz:

sl. 30.

Iz A ii

n

=∑ =

1Ω sledi B BA ii

n

==∑

1, pa je ( ) ( )P B P BA ii

n

==∑

1, primenom pravila za

množenje ( ) ( ) ( )P BA P A P B Ai i i= ⋅ , odnosno dobijamo traženu formulu

( ) ( ) ( )P B P A P B Ai ii

n

= ⋅=∑

1.

Formula je poznata kao formula totalne (ili potpune) verovatnoće. Primer sa rešenjem:

5. U jednoj kutiji se nalazi pet belih i dve crvene kuglice. Prvo se izvlače dve kuglice bez vraćanja, a zatim treća. Kolika je verovatnoća da je treća kuglica crvena? Događaj A: treća kuglica je crvena. Događaj Bi(i=1,2,3): broj crvenih kuglica ispred izvlačenja treće kuglice je i‐1.

Događaj Ci(i=1,2,3): u i‐tom izvlačenju izvučena je crvena kuglica. B1=C1C2

P(B1)=P(C1C2)=P(C2|C1)P(C1)= 211

72

61

=⋅

B2= 2121 CCCC ∪

P(B2)=P( ( ) ( )1121122121 C|)()C|()() CPCPCPCPCCPCC +=+

=2110

4220

75

62

72

65

==⋅+⋅

213 CCB =

P(B3)= ( ) ( ) ( )2110

75

64C| 11221 =⋅== CPCPCCP

‐ 173 ‐

P(A|B1)=0; P(A|B2)= 51; P(A|B3)= 5

2

Na osnovu teoreme potpune verovatnoće

( ) ( ) ( )72

215103

2110

52

2110

51

2110\

3

1=

⋅⋅

=⋅+⋅+⋅== ∑=

ii

i BPBAPAP

6. U dvema kutijama se nalaze kuglice. Prva sadrži tri crvene i četiti bele kuglice. Druga sadrži 6 crvenih i 2 bele kuglice. Kolika je verovatnoća da će se izvući bela kuglica iz nasumice izabrane kutije? Događaj B: kuglica je bele boje. Događaj Ai(i=1,2): kuglica je iz i‐ te kutije.

P(B|A1)= 74; P(B|A2)= 8

2; P(A1)= 2

1; P(A2)= 2

1;

Na osnovu teoreme poptune verovatnoće

( ) ( ) ( )5623

82

21

74

21/

2

1=⋅+⋅== ∑

=i

ii ABPAPBP

Ako su A1,...,An hipoteze za realizaciju događaja B, kolika je verovatnoća da su Ai izazvale događaj B? Odgovor na ovo pitanje daje sledeća formula koja se zove Bajesova formula (formula verovatnoće hipoteza). Teorema 2. Ako se događaji A1,A2,...,An uzajamno isključuju,

( ) 0, 1, 2,...iP A i n> = i ako je 1

,n

iiA

=

= Ω∑

a B je događaj iz skupa elementarnih događaja, tada važi: ( | )iP A B =

( ) ( ) ( )( ) ( )

n1,2,...,=i

1∑=

⋅

⋅= n

jjj

iii

ABPAP

ABPAPBAP Ai‐ uzajamno isključivi događaji

P(Ai)>0

Ω=∑

=

n

iiA

1

B je događaj iz skupa elementarnih događaja

‐ 174 ‐

Dokaz: Iz ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B A P B P A Bi i i i= ⋅ = ⋅ imamo

( ) ( ) ( )( )P A B

P A P B AP Bi

i i=

⋅

i kad P(B) izračunamo prema prethodnoj teoremi dobijamo traženu formulu. Primer sa rešenjem:

7. Pretpostavlja se da 5% muškaraca i 0,25% žena boluje od daltonizma. Grupa je formirana od 20 žena i 5 muškaraca. Izabere se jedna osoba. Kolika je verovatnoća da je izabrana osoba ženskog pola ako se zna da boluje od daltonizma? Događaj B: izabrana osoba boluje od daltonizma. Događaj Ai (i=1,2): izabrana osoba je muškog, ženskog pola, respektivno.

Kako je P(B|A1)=5

100; P(B|A2)=

2510000

; P(A1)=15; P(A2)=

45;

To je

P(B)= ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 5 4 25 3| | * *5 100 5 10000 250

P A P B A P A P B A+ = + = ;

Iz baesove formule

P(A2|B)=( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1 2 2

( ) | 1| | 6

P A P B AP A P B A P A P B A

=+

;

Analogno dobiljamo P(A1|B)=56

8. U dve kutije nalaze se kuglice. Prva sadrži dve crvene i četiri bele, druga čest crvenih i dve bele. Izvlači se jedna kuglica iz slučajno izabrane kutije. Ona je bela. Kolika je verovatnoća da je iz prve kutije? Događaj B: kuglica je bele boje. Događaj Ai(i=1,2): kuglica je iz i‐te kutije

P(B|A1)= 74; P(B|A2)= 8

2; P(A1)= 2

1; P(A2)= 2

1;

P(A1|B)=( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2316

///)(

2211

11 =+ ABPAPABPAP

ABPAP;

‐ 175 ‐

8.5. SLUČAJNE PROMENLJIVE Da bi se izbegla obaveza poznavanja svakog eksperimenta za koji se vezuju verovatnoće, uobičajeno je da se pojam verovatnoće vezuje za pojam koji svi poznaju i koriste – za realne brojeve. Na ovaj način račun sa verovatnoćama je znatno olakšan

8.5.1. Jednodimenzionalne slučajne promenljive Slučajna promenljiva je funkcija definisana nad skupom elementarih događaja čije vrednosti određuju numerički podaci korenspondirani slučajnim događajima. Definicija 4. Neka je (Ω,F,P) prostor verovatnoća. Slučajna promenljiva X=x(ω) je funkcija koja skup Ω �preslikava u skup realnih brojeva R i za koju je {ω⎟ X(ω)<x}∈F za ∀x∈R. Slučajnom promenljivom mi realnim brojevima, odnosno podskupovima realnih brojeva, dodeljujemo verovatnoće: Naime, ako je S⊆R P(S)=P(ω⎟ X(ω)∈S)=P(X‐1(S))

sl. 31.

Očigledno je P(R)=1 jer je X(Ω)=R, pa X‐1(R)=Ω. Na ovaj način smo sve "različite" skupove Ω "zamenili" sa realnim brojevima, tj. verovatnoće posmatramo na skupu realnih brojeva. Neka se na primer eksperiment sastoji iz bacanja kocke. Skup svih elementarnih događaja je 621 ,..., ΩΩΩ .

Posmatraćemo dva tipa slučajnih promenljivih: slučajne promenljive diskretnog tipa i slučajne promenljive neprekidnog tipa. Definicija 5. Slučajna promenljiva X koja skup Ω� preslikava u prebrojiv podskup skupa realnih brojeva (konačan ili beskonačan niz) naziva se slučajna promenljiva diskretnog tipa.

‐ 176 ‐

Dakle, slučajne promenljive diskretnog tipa uzimaju vrednosti u prebrojivom (konačnom ili beskonačnom) skupu realnih brojeva (npr. proste slučajne promenljive u konačnom: {x1, x2, ..., xn}). Za svaku realnu vrednost xi možemo naći odgovarajuću verovatnoću i kada su te verovatnoće zadate možemo konstatovati da je ona u potpunosti data. Najčešće to zapisujemo:

( ) ( ) ( )Xp

: x x . . . x

x p x . . . p x1 2 n

1 2 n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

i reći ćemo da je slučajna promenljiva X zadata zakonom raspodele verovatnoća. Jasno je da pri tome mora biti p(x1)+p(x2)+...+p(xn)=1. (U slučaju da prebrojiv skup vrednosti slučajne promenljive X nije konačan niz već

beskonačan niz, tada red ( )p xii=

∞

∑1

mora konvergirati ka 1).

Definicija 6. Slučajna promenljiva X je neprekidnog tipa ako postoji funkcija ϕ, x∈R takva da je za svako a,b∈R a<b (mogu biti i beskonačni)

( )( ) ( )P X a b x dxa

b

∈ = ∫, ϕ .

Funkcija ϕ se zove gustina raspodele verovatnoća slučajne promenljive X.

Iz definicije sledi da je ( )ϕ x dx−∞

+∞

∫ = 1.

8.5.2. Višedimenzionalne slučajne promenljive

Ponekad smo u situaciji da nas u okviru jednog istog eksperimenta interesuje više karakteristika vezanih za ishod eksperimenta. Na primer, ako regrutna komisija slučajno bira jednog regruta i registruje njegovu visinu V, težinu T i broj cipela C, tada imamo da su V, T i C slučajne promenljive, a ako ih posmatramo zajedno kao uređenu trojku imamo trodimenzionalnu slučajnu promenljivu. Ako posmatramo samo visinu i težinu, tada imamo dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu. Definicija 7. Ako su X=X(ω) i Y=Y(ω) dve slučajne promenljive definisane nad istim skupom Ω mogućih ishoda, tada je uređeni par (X,Y) dvodimenzionalna slučajna promenljiva.

‐ 177 ‐

sl. 33.

Na analogan način se mogu definisati i trodimenzionalne,..., n‐dimenzionalne slučajne promenljive. I ove višedimenzionalne slučajne promenljive mogu biti diskretnog i neprekidnog tipa. Ovde ćemo opisati samo slučajne promenljive diskretnog tipa: (X,Y) je diskretnog tipa ako postoji prebrojiv skup tačaka u ravni RX,Y={(xi,yj), i,j=1,2,...}, takav da je

P{(X,Y)∈RX,Y}=1.

Zakon raspodele verovatnoća za pojedine tačke određuje se na isti način kao i za jednodimenzionalnu slučajnu promenljivu

p(xi,yj)=P{ω⏐X(ω)=xi ∧ Y(ω)=yj} i,j=1,...

i obično se zadaje tabelarno:

X x1 x2 . . . xn . . . Y y1 p(x1,y1) p(x2,y1) . . . p(xn,y1) p(y1) y2 p(x1,y2) p(x2,y2) . . . p(xn,y2) p(y2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ym p(x1,ym) p(x2,ym) . . . p(xn,ym) p(ym) . . . p(x1) p(x2) . . . p(xn) 1

Jasno, pri tome mora biti ( )p x yi ji j

,,∑ = 1.

‐ 178 ‐

8.5.3. Marginalne i uslovne raspodele Ako nam je data dvodimenzionalna slučajna promenljiva (X,Y) sa raspodelom verovatnoća p(xi,yj) i ako nas interesuje raspodela verovatnoća samo za jednu od ove dve slučajne promenljive, mi tada možemo izvršiti odgovarajuće sabiranje po vrstama i dobijamo raspodelu za Y, odnosno po kolonama i dobijamo raspodelu za X. Ove raspodele se nazivaju marginalne raspodele. Dakle,

p(xi)=P{X=xi}=p(xi,y1)+p(xi,y2)+...+p(xi,ym) odnosno

q(yj)=P{Y=yj}=p(x1,yj)+p(x2,yj)+...+p(xn,yj) Ukoliko nas interesuje raspodela jedne slučajne promenljive, recimo X, pretpostavljajući da je Y uzela neku vrednost yj tada se dobija uslovna raspodela verovatnoće za X pod uslovom Y=yj i tada imamo

(( ) ({ } ( )( )

,i ji j i j

j

p x yp x y P X x Y y

p y= = = = i=1,2,...n

Slično, ako hoćemo uslovnu raspodelu za Y ako je X uzelo vrednost xi, tada imamo:

( ) { } ( )( )p y x P Y y X x

p x y

p xj i j ii j

i

= = = =,

j=1,2,...m

Dakle da pojasnimo ako želimo raspodelu slučajne promenljive X pod uslovom da je slučajna promenljiva Y uzela naprimer vrednost y2 , ovu raspodelu ćemo dobiti iz druge vrste predhodne dvodimenzionalne tabele jer se y2 pojavjuje u drugoj vrsti x1 x2 xn y2 p(x1,y2) p(x2,y2) p(xn,y2) p(y2) Da bih u ovoj vrsti imali raspodelu verovatnoća za slučajno promenljivu X to ćemo očigledno celu vrstu morati da podelimo sa njenim zbirom p(y2) (uz uslov da je ta vrednost različita od 0).

Tako dobijamo ( )( )

( )( )

( )( )

1 2

2 1 2 2 2 2

2 2 2

... | : , , ,

...

n

n

X X XX Y y p x y p x y p x y

p y p y p y

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Na sličan način se dobijaju raspodele Y|X= xi .

‐ 179 ‐

8.5.4. Nezavisnost slučajnih promenljivih Za dve slučajne promenljive X i Y možemo vezati događaje { }X S∈ 1 i

{ }Y S∈ 2 , za proizvoljne S S R1 2, ⊆ . Slučajne promenljive X i Y su nezavisne

ako su događaji { }X S∈ 1 i { }Y S∈ 2 nezavisni za svako S S R1 2, ⊆ . Slučajne

promenljive (X,Y) diskretnog tipa su nezavisne ako i samo ako je

( ) ( ) ( )p x y p x q yi j i j, = i = 1,2,... Primeri sa rešenjima:

8. Data je dvodimenzionalna slučajna promenljiva (X,Y) raspodelom verovatnoća:

X 1 2 3 4 q(y) Y ↓0 1/24 1/24 1/24 1/12 5/24 1 1/24 1/12 1/6 1/24 8/24 3 1/8 1/6 1/8 1/24 11/2

4 p(x) → 5/24 7/24 8/24 4/24 1

Naći marginalne raspodele, uslovnu raspodelu za X⏐Y=0 i za Y⏐X=2 i ispitati da li su X i Y nezavisne. Očigledno je kad saberemo vrednosti po vrstama marginalna raspodela za Y je:

q y( ):0 1 35/ 24 8 / 24 11/ 24⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a kad saberemo po kolonama dobijamo marginalnu raspodelu za X:

p x( ): 2 3 4 5/ 24 7 / 24 8 / 24 4 / 24

1⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Uslovna raspodela X⏐Y=0 se dobija posmatrajući vrstu

X 1 2 3 4 q(0)

Y=0 1/24 1/24 1/24 1/12 5/24

‐ 180 ‐

i deleći sa 5/24 dobijamo

X⏐Y=0 1 2 3 4 1/5 1/5 1/5 2/5

Analogno za Y⏐X=2 posmatramo kolonu

Y X=2 0 1/24 1 1/12 3 1/6

p(2) 7/24 i deleći sa 7/24 dobijamo

Y⏐X=2 0 1 3 1/7 2/7 4/7

Ove slučajne promenljive nisu nezavisne jer, na primer

p(x=1, y=0)=1/24 ≠ 5/24 ⋅ 5/24. Slično kao i u jednodimenzionalnom slučaju i ovde se mogu posmatrati funkcije slučajnih promenljivih. Tako, ako je data dvodimenzionalna slučajna promenljiva (X,Y) raspodelom p(xi,yj) i data je funkcija dva argumenta f(x,y) treba odrediti raspodelu slučajne promenljive Z=f(X,Y) (na primer Z=X+Y, Z=X⋅Y,...). Situacija se može predstaviti sledećom skicom

sl. 34.

9. Naći raspodelu za slučajnu promenljivu a) X⋅Y; b) X+Y iz prethodnog primera. a) X⋅Y uzima vrednosti 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 i pri tome imamo da se 0 dobija kao

0⋅1, 0⋅2, 0⋅3 i 0⋅4, pa je verovatnoća broja 0 ‐ ( )p 0 524

= . Na isti način dobijamo

i ostale verovatnoće, odnosno raspodelu

‐ 181 ‐

Z X Y= ⋅⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟:

0 1 3 2 4 6 9 12524

124

112

724

124

16

18

124

b) X+Y uzima vrednosti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i verovatnoće su:

Iz 1=0+1 ( ) ( )p p1 1 0 124

= =,

2=0+2 i 2=1+1 pa je ( ) ( ) ( )p p p2 2 0 11 124

124

112

= + = + =, ,

3=0+3 i 3=1+2 pa je ( ) ( ) ( )p p p3 3 0 2 1 124

112

18

= + = + =, ,

4=0+4, 4=3+1 i 4=1+3 pa je ( ) ( ) ( ) ( )p p p p4 40 31 13 112

16

18

924

= + + = + + =, , ,

5=1+4 i 5=3+2 ( ) ( ) ( )p p p5 4 1 2 3 124

16

524

= + = + =, ,

6=3+3 ( ) ( )p p6 3 3 18

= =,

7=4+3 ( ) ( )p p7 4 3 124

= =,

pa je

X Y+⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟:

1 2 3 4 5 6 7124

112

18

924

524

18

124

.

8.5.5. Numeričke karakteristike slučajnih promenljivih Prvo pitanje koje možemo postaviti vezano za slučajnu promenljivu je koja je ta vrednost koja je "najočekivanija". Ako uzmemo da smo izabrali prostu slučajnu promenljivu sa vrednostima u tačkama x1,..., xk i ako organizujemo eksperiment u kome se n1 put dobija x1,..., nk puta dobija xk, tada je srednja vrednost ove "slučajne promenljive" pri ovom eksperimentu

n x n x n x

n nnn

xnn

xk k

k

kk

1 1 2 2

1

11

+ + ++ +

= + +...

...... .

‐ 182 ‐

Naravno, ako n uvećavamo, tada se nn

i grupiše oko određenog broja

(verovatnoće za xi) i dobijamo "srednju vrednost" za slučajnu promenljivu X sa raspodelom

( ) ( ) ( )Xp

: x x . . . x

x p x . . . p x1 2 k

1 2 k

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

( ) ( )EX x p x x p xk k= + +1 1 ... . Ova srednja vrednost se zove matematičko očekivanje slučajne promenljive X. Ova definicija se proširuje i na proizvoljne slučajne promenljive diskretnog tipa:

E(X)=∑xi⋅p(xi) Međutim, ova veličina može da zavisi od promene rasporeda članova, pa se zahteva da gornji red i apsolutno konvergira, tj. matematičko očekivanje slučajne promenljive X je data formula ako i samo ako konvergira red

( )x p xi i∑ , tj. ako red apsolutno konvergira i ne zavisi od preuređenja članova. Inače, matematičko očekivanje ne mora obavezno da postoji. Proširenje na slučajne promenljive neprekidnog tipa vrši se na prirodan način: ako je slučajna promenljiva X zadata sa gustinom raspodele ϕ(x), onda je

( ) ( )E X x x dx= ⋅−∞

+∞

∫ ϕ

i kaže se da E(X) postoji ako i samo ako postoji

( )x x dx⋅−∞

+∞

∫ ϕ .

Osnovne osobine matematičkog očekivanja: 1) Ako je X=c=const. onda je E(X)=c; 2) Ako je X≥0 onda je E(X)≥0; 3) Ako je X≥Y onda je E(X)≥E(Y); 4) Ako E(X) i E(Y) postoje, tada je E(c1X+c2Y)=c1E(X)+c2E(Y), c1=const, c2=const; 5) E(X⋅Y)=E(X)⋅E(Y) ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive. Matematičko očekivanje se može interpretirati i kao ulog koji lica koja igraju neku kockarsku igru treba da uplate da bi igra bila "poštena".

‐ 183 ‐


10. Osoba A baca kocku i isplaćuje osobi B 1 dinar ako padne broj 1, 2 dinara ako padne broj 2,..., 6 dinara ako padne broj 6. Koliko treba osoba A da uplati pre bacanja da bi igra bila poštena? Osoba A treba da uplati 3,5 dinara ‐ onoliko koliko se "očekuje" da će dobiti a to je upravo matematičko očekivanje slučajne promenljive X

X: 1 2 . . . 616

16

. . . 16

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

5,3621

616...

612

611)( ==⋅++⋅+⋅=XE

8.5.6. Disperzija slučajne promenljive Matematičko očekivanje je "neka srednja vrednost" za slučajnu promenljivu; osim toga, ta vrednost nam ne govori mnogo o toj slučajnoj promenljivoj kao što pokazuje sledeći primer: Primeri sa rešenjima:

11. Osoba A i osoba B bacaju novčić; ako padne grb – osoba A plaća dinar osobi B, ako padne lik – osoba B plaća osobi A dinar. Koliko je matematičko očekivanje dobitka u ovoj igri? Slučajna promenljiva kojom može da se opiše ova igra je

X: 1 -112

12

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ i E(X)=0.

12. Istu igru igraju osoba C i osoba D, samo što isplaćuju jedna drugoj po 20 dinara. Kakvo je sada matematičko očekivanje?

‐ 184 ‐

Slučajna promenljiva koja opisuje ovu igru je

Y: 20 -2012

12

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ i E(Y)=0.

Dakle, u oba slučaja matematičko očekivanje je 0, ali druga igra je daleko manje "bezazlena" od prve. Šta je različito? Šta matematičko očekivanje nije "izmerilo"? Očigledno, matematičko očekivanje nije izmerilo veličine razlikovanja slučajne promenljive od samog matematičkog očekivanja. To merimo pomoću disperzije slučajne promenljive. Odnosno, bilo bi prirodno to meriti na sledeći način: formirati novu slučajnu promenljivu ( )X E X− i naći njeno matematičko očekivanje. Međutim, kako nije zgodno raditi sa apsolutnim vrednostima, to se formira slučajna promenljiva

(X‐E(X))2 i njeno matematičko očekivanje se zove disperzija i označavaće se sa

σ2(X)=E((X‐E(X))2).

Pozitivna vrednost iz ( )σ2 X zove se standardna devijacija. Posle lakog računa izlazi

σ2(X)=E(X2)‐(E(X))2.

Osnovne osobine disperzije su: 1) σ2(X)≥0; 2) σ2(X)=0 ako i samo ako je X=c; 3) σ2(cX)=c2σ2(X) c=const; 4) Funkcija po c E(X‐c)2 ima minimum za c=EX (to je σ2(X)); 5) σ2(X+Y)=σ2(X)+σ2(Y) ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive.

Napomena: U primeru 10 je σ2(X)=1, σ2(Y)=400. Među numeričke karakteristike neke slučajne promenljive često se ubrajaju i momenti slučajne promenljive (momenti reda r):

( )m x p xr ir

ii

n

= ⋅=∑

1 ‐ u diskretnom slučaju

( )∫+∞

∞−

ϕ⋅= dxxxm rr ‐ u neprekidnom slučaju

‐ 185 ‐

(mr postoji u diskretnom slučaju ako ( )x p xri∑ postoji, i mr postoji u

neprekidnom slučaju ako ( )∫+∞

∞−

ϕ dxxx r postoji). Pri tome je m1 ‐ matema‐tičko

očekivanje a disperzija je izražena sa σ2(X)=m2‐m1

2 (ovo je tzv. centralni moment drugog reda). Inače, centralni momenti reda r se definišu na sledeći način:

( )( )μrrE X E X= −

Pri tome μ3 meri asimetričnost slučajne promenljive (u slučaju simetričnosti neparni centralni momenti su jednaki nuli). Koeficijent asimetrije se definiše na sledeći način:

k a =μσ

33

Merenje spljoštenosti slučajne promenljive se meri koeficijentom koji se zove eksces:

k e = −μσ

44 3.

8.5.7. Funkcija raspodele slučajne promenljive

Zadavanjem ove funkcije mi najčešće obezbeđujemo bolji pregled raspodele verovatnoća na čitavoj realnoj pravoj

( ) ( )F x P xdef

= −∞ ∈.

, , x R .

Iz same definicije proizilaze osnovne osobine ove funkcije: 1) Funkcija F(x) je neopadajuća, tj. za x1<x2⇒F(x1)≤F(x2);

2) F(‐∞)=0 i F(+∞)=1;

3) Za proste slučajne promenljive F(x) je "stepenasta" funkcija;

4) Za neprekidne slučajne promenljive je ( ) ( )F x t dtx

=−∞∫ϕ , odnosno F'(x)=ϕ(x)

‐ 186 ‐


13.

X: -1 112

12

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

sl. 35.

14. Ako je ( )ϕπ

x ex

=−1

2

2

2 gustina raspodele verovatnoća, tada

( ) ( )F x t dtx

=−∞∫ϕ , pa dobijamo

( )ϕπ

x ex

=−1

2

2

2 ( )F x e dttx

=−

∫1

2

2

0π

sl. 36.

‐ 187 ‐

15. Gustina raspodele ima oblik trougla

( )f x xabx

ab b b a

= ≤ ≤

−+

−≤ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

x> b i x< 0

0 x a

a x b

02

2 22

sl. 37.

Naći funkciju raspodele. F(x)=0 za x<0

( )F x tab

dt tab

xab

x x

= = =∫2

0

2

0

2

x<a

( )F x aab

tab b b a

dt ab

tab b

tb a

xab b

xb a

aab b

ab a

x aab b

x ab a

ab

a

x

a

x

= +−

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +−

+−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+−

+−

+− +

−−

=−−

+−−

+ ≤ ≤

∫2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2 2 2

2 2 2 = ab

a x b

F(x)=1 x>b

( )( )( )

b aab b

ab

b a b ab a b

ab

a b ab

2 2

2 2 2 2 1−−

+ + =− − +

−+ + =

− −+ =

16. Slučajna promenljiva X ima raspodelu verovatnoća (funkciju gustine raspodele)

( )( )

( )f x a

xa=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∈

∉

⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 1 x 0,a

0 x 0,a

Naći funkciju raspodele F(x) i izračunati P a2

X a< <⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

‐ 188 ‐

Kako je ( ) ( )F x f t dtx

= ∫0

dobijamo:

( )F x x xa

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ ≤

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

0 x< 0

0 x a

1 x> a2

2

( )P a X a F a F a2 2

14

< <⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

8.5.8. Slučajne promenljive koje se najčešće koriste

8.5.8.1. Slučajna promenljiva sa binomnom raspodelom Ako je verovatnoća realizacije događaja A pri nekom eksperimentu p(A)=p

( )p A q p( ) = = −1 i ako se taj eksperiment u neizmenjenim uslovima ponavlja

n‐puta, nezavisno svaki put, tada možemo konstatovati koliko se puta u tih n eksperimenata događaj A pojavio. Očigledno je da su vrednosti toga broja 0,1,...,n. Pri tome se mogu izračunati verovatnoće svih tih brojeva (to su verovatnoće da je se A pojavio odgovarajući broj puta) i na taj način dobijamo sledeće brojeve

1 . . . k . . . nn0

n1

nk

nn

0

1⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

− −q pq p q pn n k n k n

Dakle, ovde su verovatnoće povezane sa binomnim koeficijentima nk⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ i zato

se ova slučajna promenljiva zove slučajna promenljiva sa binomnom raspodelom. Označava se sa B(n,p) njena raspodela, a ona sama se obično označava sa Sn. Njeno matematičko očekivanje je E(Sn)=np a disperzija σ2(Sn)=npq.

‐ 189 ‐


17. Verovatnoća da će strelac puškom pogoditi avion u brišućem letu je p=0,001. Kolika je verovatnoća da će 100 strelaca nezavisno pucajući jedan od drugog istovremeno na avion

a) tačno 4 puta pogoditi avion; b) broj pogodaka nije veći od 4.

P(A)=0,001 q=0,999. Pucanje 100 strelaca može se shvatiti kao ponavljanje eksperimenta 100 puta u neizmenjenim uslovima pa je prema tome

a) ( )P S100 41004

0 001 0 999= =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ ⋅

, ,

b) Broj pogodaka nije veći od 4 je

( ) ( )p P S k k

k= = + = =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ ⋅ −

=∑100

100

0

4

0 4100

0 001 0 999 . . . + P S k100 , ,

18. Verovatnoća da će strelci pogoditi vozilo u pokretu je 0,6. Jedan od 20 strelaca puca na neprijateljsko vozilo. Kolika je verovatnoća da će ga pogoditi ne manje od 4 puta? Raspodela je ponovo binomna sa p=0,6 q=0,4 n=20. Dakle:

{ }p P S kkk

k k

k= = =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ ⋅

=

−

=∑ ∑20

4

2020

4

20 200 6 0 4

, ,

8.5.8.2. Slučajna promenljiva sa geometrijskom raspodelom Neka je A događaj kao u prethodnom slučaju (sa verovatnoćom p se odigrava a sa verovatnoćom q=1‐p se ne odigrava). Neka se ogled izvodi do prvog pojavljivanja događaja A i neka je slučajna promenljiva G broj eksperimenata. Očigledno G može uzeti vrednosti 1,2,...,n,... a pripadajuće verovatnoće su p, qp, q2p,..., qn‐1p,... Slučajna promenljiva G se zove slučajna promenljiva sa geometrijskom raspodelom, pri čemu je matematičko očekivanje

‐ 190 ‐

E G nq pp

n

n( ) = =−

=

∞

∑ 1

1

1

a disperzija

σ2 2

1

12

1( )G n q p

ppn

n= =−

=

∞−∑ .

8.5.8.3. Slučajna promenljiva sa Puasonovom raspodelom

Slučajna promenljiva S∞ koja uzima vrednosti 0,1,...,n,.... sa verovatnoćom

( )P S n en

k

∞−= = λ λ

!,

gde je λ>0, se naziva slučajna promenljiva sa Puasonovom raspodelom. Koristi se kao aproksimacija za slučajnu promenljivu sa binomnom raspodelom kada je np ≤ 10 (i tada se stavlja da je λ=np). Vrednosti joj se zadaju tabelarno.

E S S( ) ( )∞ ∞= =λ σ λ i 2 . Primer sa rešenjem:

Drugi način rešavanja primera 17: Kako je p=0,001 n=100 np=0,1<10, a) primenjujemo Puasonovu aproksimaciju:

pnk

p q ekk

k n kk

=⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ≈−

−λλ!

k=0,1,2,... n→∞

pa imamo

( )p S ee100

0 1 4 4

104 0 1

40 1

40 000004= ≈

⋅=

⋅≈

− , ,!

,!

,

b) p ≈ 0 999996, (dato tablicom).

8.5.8.4. Slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom

Ova slučajna promenljiva je jedna od najverovatnijih i "najčešćih" u primenama. Neprekidnog je tipa i ima normalnu (Gausovu) raspodelu verovatnoća sa parametrima m i σ2 a njena gustina je

‐ 191 ‐

2

2

2

( )21( )

2

x m

x e σϕπσ

−

=

Obeležavamo njenu raspodelu sa N(m,σ2 ). Njeno matematičko očekivanje je

m a disperzija joj je σ2 (što su i njene karakteristike). Standardizovani oblik normalne raspodele je normalna raspodela N(0,1). Vrednosti verovatnoća za

ovu slučajnu promenljivu se zadaju tabelarno, jer funkcija ex

−2

2 nema primitivnu funkciju među elementarnim funkcijama. Vrednosti verovatnoća za

slučajnu promenljivu X sa raspodelom N(m,σ2 ) se izračunavaju isto iz tablica za N(0,1) "standardizacijom" ove slučajne promenljive, tj. uvođenjem smene

ZX m

=−σ

koja ima raspodelu N(0,1). Na taj način je

( )P a X b Pa m X m b m

≤ ≤ =−

≤−

≤−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

σ σ σ.


19. Slučajna promenljiva X je raspoređena po normalnom zakonu sa m=40 i σ2=200. Naći verovatnoću 30≤X≤80.

a=30, b=80, m=40, σ = 10 2 pa je

( )

( ) ( )

P a X b b m a m≤ ≤ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = + ≅ + =

Φ Φ Φ Φ

Φ Φ Φ Φ

σ σ80 4010 2

30 4010 2

12

2 8 0 71 0 49744 0 26115 0 75859= 42

, , , , ,

(Zbog neparnosti funkcije Φ i iz tablice III). Ovde je važno napomenuti da je

‐ 192 ‐

( )( )( )

P m X mP m X m

i P m X m

− ≤ ≤ + ≈

− ≤ ≤ + ≈

− ≤ ≤ + ≈

σ σ

σ σ

σ σ

0 672 2 0 953 3 0 99

,,,

odakle i potiče empirijsko pravilo "tri sigme" koje se pojavljuje u statistici: "između m‐3σ i m+3σ su skoro svi elementi populacije". Kriva ϕ(x) se naziva Gausova kriva i ona je simetrična oko prave x=m. Ako je σ veći broj ona je "šira" a ako je σ manji broj ona je uža, kao što pokazuje sledeća slika:

sl. 38.

Normalna raspodela se koristi i kao aproksimacija za izračunavanje vrednosti slučajne promenljive sa binomnom raspodelom na sledeći način: ako je np≥10, tada je

PS np

npqx

npqen

x−=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈

−12

2

2

π,

odnosno

( ) ( )P aS np

npqb b an≤

−≤

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈ −Φ Φ

gde je Φ(x) ‐ Laplasova funkcija, tj.

( )Φ x e dttx

=−∫1

2

2

2

0π.

Funkcija Φ(x) ima sledeće osobine: Φ(0)=0, Φ(+∞)=0,5, Φ(‐x)=‐Φ(x). Geometrijska interpretacija izraza Φ(a), odnosno Φ(b)‐Φ(a) data je sledećom slikom

‐ 193 ‐

sl. 39.

Ove vrednosti, kao što smo napomenuli, date su tabelarno. Drugi način za rešavanje primera 19:

( )

( )

p P S P S

PS

= ≤ ≤ =−⋅ ⋅

≤−

⋅ ⋅≤

−⋅ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≈

≈ − ≤−

⋅ ⋅≤

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ⋅ = ⋅ =

4 20 4 1220 0 6 0 4

1220 0 6 0 4

20 1220 0 6 0 4

3 65 1220 0 6 0 4

3 65 2 3 65 2 0 49987 0 99974

2020

20

, , , , , ,

,, ,

, , , ,Φ

8.5.8.5. Slučajna promenljiva sa χ2 raspodelom

Ako su slučajne promenljive X1,...,Xn nezavisne i svaka sa normalnom raspodelom N(0,1), tada je slučajna promenljiva

χ2n= X

21+X

22+...+X

2n

neprekidnog tipa koja zavisi od parametra n (n=1,2,...). Raspodela za ovu slučajnu promenljivu se zove χ2 raspodela sa n stepeni slobode. Ovaj broj stepeni slobode govori koliko međusobno nezavisnih slučajnih promenljivih ulazi u χ2

n. Ako među slučajnim promenljivima X1,...,Xn imamo k veza, tada se broj stepeni slobode smanjuje za k, tj. tada bi imali

χ2n‐k= X

21+...+X

2n.

Obzirom da je izraz za gustinu raspodele slučajne promenljive χ2 dosta komplikovan (za n=1,2,3 dat je grafik te funkcije na slici 40), to se verovatnoće vezane za χ2 raspodelu zadate tabelarno. Te verovatnoće su date za broj stepeni slobode n=1,...,30 i za dati broj α, 0<α<1 (obično se zadaju za α=0,01, α=0,05,..., α=0,80), tj. iz tablice III očitavamo broj χ2

n;α i taj broj ustvari je veličina koju će slučajna promenljiva χ2

n premašiti sa verovatnoćom α, tj.

{ }P n nχ χ αα2 2≥ =; .

‐ 194 ‐

sl. 40.

Ovo je prikazano i sledećom slikom (za naš broj n)

sl. 41.

• Parametri 2χ ‐ raspodele su: 2 2 2( ) , ( ) 2E n nχ σ χ= =

Za n>30 se obično uzima da je χ2n slučajna promenljiva sa približno normalnom

raspodelom N(n,2n). Napomenimo da ako su χ2

n i χ2m nezavisne slučajne promenljive, tada je χ2

n+χ2m=χ2

n+m.

8.5.8.6. Slučajna promenljiva sa Studentovom raspodelom Ako su X sa normalnom raspodelom N(0,1) i χ2

n nezavisne slučajne promenljive, tada je slučajna promenljiva neprekidnog tipa data sa

tX

n

nn

=

+χ2

naziva Studentova t‐raspodela sa n stepeni slobode. I ovde je izraz za gustinu raspodele dosta komplikovan, pa se verovatnoće zadaju tabelarno, zapravo i ovde se zadaju brojevi u tablicama tn;α, gde je 0<α<1, gde je α verovatnoća da će ⏐tn⏐ premašiti broj tn,α, tj.

‐ 195 ‐

P ⎨⏐tn⏐≥ tn,α⎬=α, ili kako to izgleda na slici:

sl. 42.

y ‐ grafik funkcije gustine t‐raspodele. •• Parametri Studentove raspodele su:

2( ) 0 , ( )2nE t tn

σ= =−

Napomenimo da kad n→∞ ova slučajna promenljiva teži normalnoj (za n≥120 to je već približno N(0,1) a može se uzeti i za n>30 da je dosta dobra aproksimacija ove raspodele raspodela N(0,1)). 8.5.8.7. Slučajna promenljiva sa Fišerovom raspodelom Ako su slučajne promenljive χn1

2 i χn2

2 nezavisne, tada se slučajna promenljiva

Fnnn n

n

n1 2

1

2

21

22

;

//

=χ

χ

zove Fišerova sa n1 stepeni slobode u brojiocu i n2 stepeni slobode u imeniocu. Izraz za gustinu je i ovde komplikovan ali je komplikovano i tabelarno zadavanje zbog dva parametra n1 i n2. U tabelama se zadaju vrednosti Fn n1 2; ;α

(najčešće za α=0,05 i α=0,01) za koje je

{ }P F Fn n n n1 2 1 2; ; ;≥ =α α

Dakle, to je broj koji Fn n1 2; premašuje sa verovatnoćom α (slika 43).

sl. 43.

y ‐ grafik funkcije gustine Fišerove raspodele.

‐ 196 ‐

••• Parametri Fišerove raspodele su:

21 1 1 22 2

2 1 2

2 ( 2)( ) ( 2) , ( )2 ( 2) ( 4)

n n n nE F n Fn n n

σ + −= > =

− − −

Pored ovih pomenutih koriste se i brojne druge slučajne promenljive, od kojih ćemo neke samo navesti sa nekim njihovim karakteristikama:

− Uniformna slučajna promenljiva U sa

( )ϕ x b a= −≤ ≤

⎧⎨⎪

⎩⎪

1 za a x b

0 za x< a i x> b

( )2

baUE += ( )

( )σ2

2

12U

b a=

−

− Eksponencijalna slučajna promenljiva ε sa

( )ϕλ λ

xe x

=≥⎧

⎨⎩

− za x 0 0 za x< 0

( )E ελ

=1 ( )σ ε

λ2

21

=

8.5.9. Korelacija dve slučajne promenljive

Korelacija je veza izme|u dve slučajne promenljive. Obično se posmatra linearna veza, a stepen linearne zavisnosti dve slučajne promenljive X i Y meri se koeficijentom linearne korelacije ρxy koji se izračunava na sledeći način:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

ρσ σ σ σ

x y

E X E X Y E Y

X YE XY E X E Y

X Y,

( ) ( )=

− ⋅ −

+ ⋅=

− ⋅

+ ⋅2 2 2 2

Ovaj koeficijent ima sledeće osobine:

(1) |ρx,y|≤ 1;

(2) Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, onda je ρx,y =0 (obrnuto ne mora važiti);

(3) |ρx,y|=1 ako i samo ako je Y=αX+β; pri tome je za α>0, ρ=1, a za α<0, ρ=‐1.

‐ 197 ‐

8.5.10. Zakoni velikih brojeva. Centralna granična teorema Prvo ćemo navesti jednu dosta jednostavnu nejednakost poznatu kao Čebiševljeva nejednakost: Ako slučajna promenljiva X ima konačno matematičko očekivanje kvadrata od X, tj. E(X2) je konačno, tada za svako ε>0 važi Čebiševljeva nejednakost:

{ }P XE X

≥ ≤εε( )2

2

ili u drugačijem obliku

{ }P X E XX

− ≥ ≤( )( )

εσε

2

2 .

Pomoću ove nejednakosti može se dokazati sledeća Teorema 2. Ako su X1,X2,... nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom i konačnom disperzijom, tj. E(Xk)=a k=1,2,..., σ2(Xk)=σ2 k=1,2,..., onda niz aritmetičkih sredina

X X Xnn =

+ +1 2 . . . + X n n=1,2,...

teži ka a kad n→∞ u sledećem smislu:

za svako ε>0 { }P X an − ≥ →ε 0, n→∞.

Ako je n veće, Xn je sve bliže konstanti a i slučajnost nestaje kod aritmetičkog niza slučajnih promenljivih. Ovaj zakon je jedan od zakona velikih brojeva. Sledeća teorema je poznata kao centralna granična teorema. Teorema 3. Ako su X1,X2,... nezavisne slučajne promenljive sa istom raspodelom i konačnom disperzijom, tj. E(Xk)=a k=1,2,... i σ2(Xk)=σ2 k=1,2,..., onda standardizovani oblik njihovog zbira Sn=X1+X2+...+Xn, tj. raspodela slučajne promenljive

( )( )

SS E S

S

S ann

X an

X ann

n n

n

n n∗ =−

=−

=−

+ +−

σ σ σ σ2 21 ...

teži, kad n→∞, normalnoj raspodeli N(0,1) (raspodela za Sn je N(na,nσ2)). Napominjemo da ni ovaj rezultat nije najopštiji već analogan važi i za proizvoljne slučajne promenljive i sa ne obavezno istom raspodelom (ali sa nekim drugim uslovima, i u tim izmenjenim uslovima ćemo imati da zbir ima normalnu raspodelu).

‐ 198 ‐

I ova teorema govori o važnosti normalne raspodele. 8.5.9. Regresija U primenama teorije verovatnoće od interesa su aproksimacije slučajne promenljive Y sa nekom funkcijom R(X) od slučajne promenljive X. Najčešće se traži funkcija R(x), x∈R, takva da E(Y‐R(X))2 bude minimum, naravno za svako X=x. Može se dokazati da će ovo biti dostignuto kada je R(x) uslovno matematičko očekivanje od Y za X=x, tj.

R(x)=E(Y⏐X=x). Ova kriva R(x) se naziva regresiona kriva Y po X i za slučajne promenljive diskretnog tipa ona je

R(xi)=E(Y⏐X=xi) i=1,2,... a za slučajne promenljive neprekidnog tipa

( ) ( )R x y y x dy= ∈∞

∞

∫ ϕ2 x R-

+

.

U slučaju kada se zahteva da R(X) bude tačno odre|enog tipa, npr. linearna, tada imamo regresiju odre|enog tipa, tj. linearnu. Dakle, za linearnu regresiju se zahteva da

( )( )E Y x− +α β2

bude minimum i iz tog uslova se traže α i β. Metodom najmanjih kvadrata se mogu dobiti α i β i sledeći izraz za funkciju y x= +α β :

( )y x EY Y

Xx EXX Y= + = + −α β ρ

σ

σ,

2

2.

KLJUČNI POJMOVI: • SLUČAJNI DOGAĐAJI • VEROVATNOĆA • USLOVNA VEROVATNOĆA • NEZAVISNOST DOGAĐAJA

• SLUČAJNA PROMENLJIVA • MATEMATIČKO OČEKIVANJE • DISPERZIJA

‐ 199 ‐

VII ‐ GLAVA ELEMENTI STATISTIKE

SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE: • OSNOVNI STATISTIČKI POJMOVI, POPULACIJA, OBELEŽJE I UZORAK

• PRIKUPLJANJE I PRIKAZ PODATAKA • STATISTIČKA ANALIZA – MERE SREDNJIH VREDNOSTI, ODSTUPANJA I

OBLIK

• PROST SLUČAJNI UZORAK • INTERVALI POVERENJA • TESTIRANJE HIPOTEZA • POJAM TRENDA

Cilj nam je da ovaj račun uvedemo preko:

1. Upoznavanje studenata sa mogućnostima statističkih istraživanja i zaključivanja.

2. Usvajanje osnovnih pojmova i definicija. 3. Sagledavanje populacija preko uzoraka. 4. Stastičko zaključivanje preko uzoraka.

9. UVOD U STATSITIKU Pod statistikom podrazumevamo:

• deskriptivnu statistiku – prikupljanje, obrada i prikazivanje podataka;

• statističku analizu – dobijanje numeričkih pokazatelja i donošenje odluka o posmatranim masovnim pojavama i njihovim zakonitostima i karakteristikama;

• statističku teoriju – razvoj novih statističkih metoda. Statistika se danas koristi u svim oblastima i delatnostima a statističke metode se u velikoj meri koriste u prirodnim i društvenim naukama. Možemo reći da predmet proučavanja statistike čine pojave koje se masovno ispoljavaju sa različitim intenzitetima u pojedinim individualnim slučajevima. Skup svih pojedinačnih elemenata koji su iste vrste ograničeni na nekom prostoru i u nekom vremenu čine statistički skup ili populaciju. Ovaj skup može

‐ 200 ‐

biti konačan i beskonačan (prebrojiv i neprebrojiv). Elementarne jedinice (element populacije) mogu biti nosioci jedne ili više pojava koje se zajedno posmatraju. Kvantitativne (i kvalitativne) karakteristike elementa statističkog skupa (popu‐lacije) zovemo obeležjima. Na istoj populaciji mogu se posmatrati jedno, dva ili više obeležja. Skoro uvek je cilj da se vidi kako su obeležja raspoređena na datom statističkom skupu. Očigledno je da ovaj cilj nije lako ostvarljiv, jer je ponekad za to potrebno mnogo vremena, ponekad je to jako skupo a ponekad i nemoguće. Zato se u statistici za određivanje rasporeda pojedinog obeležja ne posmatra uvek cela populacija već najčešće samo jedan njen deo a onda se na tom delu populacije napravi odgovarajući zaključak pa se zatim to što smo zaključili za ovaj deo populacje proglasi da važi za celu populaciju. Deo populacije koji se posmatra naziva se uzorak. Osnovni zadatak statistike je da na osnovu uzorka donese što je moguće tačniji sud o celoj populaciji. Ovde se prirodno postavlja pitanje da li je takvo zaključivanje korektno? U statistici se smatra da jeste pod određenim uslovima:

• da je uzorak reprezentativan, odnosno da su svi elementi populacije imali podjednaku šansu da uđu u uzorak i da su u uzorku uzeti elementi na potpuno slučajan način.

O načinu uzorkovanje će biti kasnije više reči. 9.1. STATISTIČKO POSMATRANJE, PRIKUPLJANJE I PRIKAZIVANJE PODATAKA Kako je već rečeno na nekom statističkom skupu se uočava obeležje (obeležja) koje se posmatra i čiju strukturu želimo da upoznamo. Posmatranje statističkog skupa može biti potpuno ili delimično. Potpuno posmatranje statističkog skupa obuhvata sve elemente statističkog skupa u datom trenutku (takav je na primer popis stanovništva) i ovaj vid posmatranja se naziva statistički popis. U potpuno posmatranje spada i izveštajni metod koji neprekidno prati neki događaj koji se odigrava u toku vremena. Delimično statističko posmatranje je najčešći oblik statističkog posmatranja i sprovodi se na delu populacije koji se naziva uzorak. Uzorci se u principu dele na slučajne i nepotpune slučajne uzorke. Isto tako uzorci se dele po obimu na velike (više od 30 jedinica) i male. U bilo kom od statističkih posmatranja mora se raditi sa jednoobraznim statističkim upitnicima koji sadrže jasna i nedvosmislena pitanja na koja se moraju dobijati odgovori, kratki, jasni, nedvosmisleni i svima razumljivi. Na ovaj način se eliminišu ili svode na najmanju meru greške koje su redovan pratilac

‐ 201 ‐

statističkih posmatranja, a kojih može biti više vrsta. Zbog mogućnosti nastajanja grešaka obično se izvodi i kontrola statističkog istraživanja. Dobijeni statistički materijal se dalje razvrstava (šifrira), prebrojava, klasifikuje i grupiše svaka jedinica obuhvaćena istraživanjem. Dalje se ovi grupisani podaci prezentiraju u obliku statističkih tabela i grafikona. Rezultati statističke obrade podataka po obeležjima i po vremenu se nazivaju statističkim serijama. One se prikazuju tabelama i grafikonima. Statističke tabele su skupovi brojeva raspoređenih u pravouganu šemu. Razlikujemo redove i kolone u tabeli. Kao krajnji donji red može biti zbirni red (zbir po kolonama) a kao krajnja desna kolona može biti zbirna kolona (zbir po vrstama). Grafički prikaz satističkih podataka može biti različit: dijagrami i kartogrami. Dijagrami grafički predstavjaju podatke pomoću tačaka, linija, površina, zapremina. Kartogrami izražavaju statističke podatke na geografskim kartama. 9.2. O STATISTIČKIM SERIJAMA Onovne vrste statistikih serija su serije struktura i vremenske serije. Serije struktura se dele na numeričke i atributivne serije. Numeričke serije pokazuju raspodelu pojedinih numeričkih vrednosti obeležja po broju elemenata statističkog skupa koji je posmatran (broj i frekvencija). Numerički podaci se mogu podeliti u nekoliko kategorija, prema tome kakve su skale u kojima se ti podaci dobijaju. Tako na primer podaci o broju dece u nekoj porodici su diskretni i obavezno celi brojevi. Podaci o visini ljudi suneprekidnog karaktera (bez obzira što ćemo ih mi zbog načina merenja prikazivati u diskretnom obliku). Isto tako postoje podaci koji se mere ali u njihovoj skali merenja nemamo kao karakterističnu nultu vrednost već je ista dogovorno odabrana (primer merenja temperature po Celzijusovoj i Farenhajtovoj skali) Pored ovih postoje i tako zvani racio podaci koji imaju fiksiranu nultu poziciju, takav podatak je recimo novac ako na primer neko ima nula dinara onda to znači da on nema para. Sa ovim podacima se može računati i mi ćemo se uglavnom u dajem baviti sa njima. Atributivne serije pokazuju raspored pojedinih atributa po broju elemenata populacije (atribut i frekvencija). Vremenske serije pokazuju veličinu pojave u vremenu. Mogu biti momentne i intervane. Momentne serije prikazuju stanje pojave u nizu uzastopnih momentnih vremena. Intervalne serije prikazuju kretanje pojave u nizu uzastopnih vremenskih intervala. Statistička serija obično sadrži apsolutne brojeve stanja a može sadržati i relativne brojeve, relativne frekvencije.

‐ 202 ‐

Numeričke serije se dele na numeričke serije sa prostom distribucijom frekvencije (ovde se svakoj vednosti pridružuje broj njenih pojavljivanja – frekvencija) i na intervalne distribucije frekvencija (gde se numeričke vrednosti obeležja poklapaju intervalno, to jest svakom intervalu se pridružuje broj pojavljivanja, frekvencija obeležja u tom intervalu). U praksi se pitanje broja intervala i širine inervala određuje pomoću Stardžesovog pravila: Broj intervala K se određuje formulom 1 3,3logK N= +

gde je N – broj posamtranih jedinica, a širina intervala C se određuje na sledeći način

minmaxX XCK+

=

gde je najveća vrednost obeležja u posmatranom skupu maxX a minX

najmanja vrednost obeležja. Klase u principu nisu razgraničene (imaju susedne jednu zajedničku tačku) to se primenjuje pravilo da se granična (zajdenička) tačka pridružuje klasi u kojoj je njena najmanja vrednost. 9.3. STATISTIČKE TABELE, POLIGONI I HISTOGRAMI Podaci koji se prikupljaju za neko obeležje, bilo da su iz čitave populacije ili uzorka, moraju se srediti da bi njihova upotreba bila celishodna. Neka neko obeležje uzima vrednosti x1,x2,...,xk i neka je pri tome x1<x2<...<xk. Ukupan broj elemenata u ovom posmatranom skupu je N a neka se x1,x2,...,xk redom pojavljuju f1,...fk puta. Brojevi f1,...fk se zovu frekvencije vrednosti obeležja i pri tome je jasno da je

f1+f2+...+fk=N.

Brojevi fN

rfN

rkk

11= =,..., se zovu relativne frekvencije za koje očigledno važi

r1+...+rk=1. Ovi brojevi se najčešće daju u obliku sledeće tabele

X x1 x2 x3 . . . xk ∑fi f1 f2 f3 . . . fk N ri r1 r2 r3 . . . rk 1

‐ 203 ‐

Ova tabela se zove statistička tabela. Ovi brojevi mogu biti dati i u Dekartovom koordinatnom sistemu ‐ na apscisnoj osi se daju vrednosti obeležja a na ordinati se nanose frekvencije. Ako se pri tome susedne tačke spoje dobije se poligon raspodele učestanosti. Ako je broj podataka veliki i broj vrednosti obeležja veliki, tada se najčešće obeležja posmatraju u klasama i frekvencije se posmatraju na intervalu=klasi, pa kad se nacrta u Dekartovom koordinatnom sistemu na apscisnoj osi se nanesu klase a na ordinatnoj osi frekvencije, dobije se histogram učestanosti za datu raspodelu. Primeri sa rešenjima:

1. 30 studenata je polagalo statistiku i dobijene ocene su date tabelom:

X 5 6 7 8 9 10 ∑fi 5 7 8 6 3 1 30 ri 1/6 7/30 4/15 1/5 1/10 1/30 1

sl. 43.

2. 30 studenata je polagalo pismeni ispit iz matematike i dobijeni su sledeći bodovi:

X 0‐44 45‐55 56‐68 69‐79 80‐90 91‐100 ∑ fi 5 7 9 6 2 1 30 fri

5/30 7/30 9/30 6/30 2/30 1/30 1

‐ 204 ‐

sl. 44.

9.4. MERE

Statističke serije opisane u prethodnom delu se kao što smo videli prikazuju tabelarno i grafički. Iz ovih pokazatelja mi možemo, često dobro uočiti pravilnosti koje poseduju posmatrane pojave. Da bi videli detaljnije pojavu i njene zakonitosti koristimo:

(1.) mere centralne tendencie (srednje vrednosti) (2.) mere odstupanja (3.) mere oblika.

Ove se vrednosti pojavljuju kao pokazatelji rasporeda frekvencija i cele populacije i tada ih zovemo parametri populacije a u slučaju uzorka statistika uzorka.

9.4.1. Srednje vrednosti Srednje vrednosti možemo podeliti na dve grupe: računske srednje vrednosti i pozicione srednje vrednosti. Karakteristike računskih srednjih vrednosti su da na njihovu vrednost utiču sve elementarne jedinice da je veća od najmanje a manja od najveće elementarne jedinice, a ako su sve vrednosti iste onda je i ona ta ista vrednost. Postoje brojne srednje vrednosti koje se mogu računati: aritmetička sredina, geometrijska sredina, harmonijska sredina, sredina kvadrata, sredina kubova, .... Najčešće se posmatraju prve tri. Pozicione srednje vrednsti se ne izražavaju matematičkim formulama iz svih vrednosti posmatranih elementarnih jedinica, već se određuju iz dela istih prema svojoj poziciji u posmatranom skupu. Pozicione vrednosti su medijana i modus (mod).

‐ 205 ‐

Sve ove srednje vrednosti imaju svoju ulogu u određenim segmentima statističkih analiza. Aritmetička sredina

Koriste se tri obrasca za izračunavanje aritmetičke sredine m:

(1.) Ako su 1,.... nx x negrupisani podaci, tada je 1 2 ... ,nx x xmn

+ + +=

ili skraćeno zapisujemo 1

/n

ii

m x n=

= ∑

(2.) Ako su podaci grupisani i imamo prostu distribuciju frekvencija datu tabelom

vrednosti 1x 2x ... rx

frekvencije 1f 2f ... rf

tada je 1 1 2 2

1 2

......

r r

r

x f x f x fmf f f

⋅ + ⋅ + + ⋅=

+ + +

ili skraćeno zapisujemo 1

1

r

i iir

ii

x fm

f

=

=

=∑

∑

Isto tako je očigledno da iz zadnjeg obrasca može se dobiti i sledeći obrazac

1 1 2 21

...r

r r i ii

m x p x p x p x p=

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ∑

gde su ip relativne vrednosti pojavljivanja vrednosti ix tj:

1

ii r

jj

fpf

=

=

∑

Napomenimo da se u literaturi sreće i naziv ponderisana aritmetička sredina za aritmetičku sredinu grupisanih podataka. (3.) U slučaju intervalno prikazanih podataka datih tabelom:

intervali 1 2[ , )x x 2 3[ , )x x ... [ ]1,r rx x−

frekvencije 1f 2f ... 1rf −

‐ 206 ‐

aritmetička sredina se računa po obrascu

1 1 2 2 1 1

1 2 1

......

S S Sr r

r

x f x f x fmf f f

− −

−

⋅ + ⋅ + + ⋅=

+ + +

gde je , dakle sredina i‐tog intervala.

Aritmetička sredina je dobar pokazatelj za veliki broj serija koje su grupisane oko te srednje vrednosti i koje nisu mnogo simetrične. Postoje situacie u kojima ta sredina može dati iskrivljenu sliku o seriji mada one nisu česte. Primer sa rešenjem

3. Naći aritmetičku sredinu za sledeće podatke

(a) 2,2,3,2,4,6,6,2,3,5,4 (b)

ix

2 3 4 5 6

if

1 3 8 9 2

(c)

Po definiciju aritmetičke sredine imamo rešenje: (a)

2 2 3 2 4 6 6 2 3 5 4 39 3,54511 11

m + + + + + + + + + += = =

(b)

1 1 2 2

1 2

......

r r

r

x f x f x fmf f f

⋅ + ⋅ + + ⋅=

+ + +=

2 1 3 3 4 8 5 9 6 2 1061 3 8 9 2 23

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

+ + + +

(c)

1 1 2 2 1 1

1 2 1

... 1 3 3 8 5 12 7 7 9 5 181... 3 8 12 7 5 35

S S Sr r

r

x f x f x fmf f f

− −

−

⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

+ + + + + + +

intervali [0,2) [2,4) [4,6)

[6,8) [ ]8,10

frekvencije 3 8 12 7 5

‐ 207 ‐

Geometrijska sredina Geometrijska sredina se dobija kao n‐ti koren svih n vrednsti obeležja koje moraju biti veće od nule. Slično kao u prethodnom slučaju imamo tri obrasca: (1.) Za proste negrupisane podatke geometrijska sredina G je

1 2 ...NNG x x x= ⋅ ⋅ ⋅

(2.) Za grupisane podatke date tabelom

ix 1x 2x

...rx

if 1f 2f

...rf

1 1 21 2 ...

r

ii r

ff f f

rG x x x=∑

= ⋅ ⋅ ⋅

(3.) za intervalne date podatke



1 2 11 11 2 1 gde su...

2

r

iri

ff f f i i

S S Sr Six xG x x x x−= +

−

∑ += ⋅ ⋅ ⋅ =

Inače ove vrednsoti se relativno lako računaju logaritmovanjem i

izračunavanjem log G pa zatim antilogaritmovanjem dobijamo vrednost za G. Na primer da to uradimo za prvi obrazac za negrupisane podatke (analogno se radi i za ostale):

1 21log (log log ... log ) 10VNG x x x V GN

= + + + = ⇒ =

Primer sa rešenjem

4. Cena jednog proizvoda u toku jedne godine je povećana za 10%, sledeće za 18%. Koliko je prosečno povećanje cena? Prosečno povećanje cena se računa preko geometrijske sredine

1,10 1,18 1,13G = ⋅ ≈ dakle ono je 13% godišnje (a ne 14% što je aritmetička sredina povećanja)

‐ 208 ‐

Odnos između geometrijske i aritmetičke sredine je G m≤

a jednakost je jedino u slučaju svih istih vrednosti. Harmonijska sredina Ova sredina izračunava se za vrednosti različite od nule. Koristi se kod obrnuto proporcionalnih veličina. Kao u prethodnim slučajevima imamo tri vrste obrazaca za harmonijsku sredinu H: (1.) Za proste negrupisane podatke 1 2, ,... nx x x

1 2 1

1 1 1 1...N

n i i

n nH

x x x x=

= =+ + + ∑

(2.) Za grupisane podatke date tabelom

1x 2x

...rx

1f 2f

...rf

11 2

1 2

11 2

...

...

r

iirr

r i

ir i

ff f fH f f f fx x x x

=

=

+ + += =

+ + +

∑

∑

(3.) Za intervalno date podatke tabelom



11 2 1

1 2 1

11 2 1

1

...

...

2

r

iirr

r i

iS S Sr i

i iSi

ff f fH f f f f

x x x xx xgde je x

=−

−

=−

+

+ + += =

+ + +

+=

∑

∑

Harmonijska sredina je manja ili jednaka od geometrijske to jest važi: H G m≤ ≤

(a jednakost je jedino ako su sve vrednosti iste)

‐ 209 ‐

Primer sa rešenjem

5. Dva radnika rade na dve iste mašine isti proizvod. Jedan proizvod naprave za 20 minuta, a drugi za 30 minuta. Koliki je prosek izrade proizvoda? Prosečno vreme ovde treba računati po harmonijskoj sredini

2 2 120 241 1 5 520 30 60

H = = = =+

dakle, prosečno vreme izrade je 24 minuta, a ne preko aritmetičke sredine 20 30 25

2m += =

Napomena: Za intervalno date podatke, vrednosti za aritmetičku, geometrijsku i harmonijsku sredinu se računaju kao da su sve vrednosti iz datog intervala jednake srednjoj vrednosti iz datog intervala! Odavde sledi da se primer (c) koji je dat posle aritmetičke sredine Praktično zamenjuje sa sledećim primerom za grupisane podatke

ix

1 3 5 7 9

if

3 8 12 7 5

Pozicione srednje vrednosti

Ove vrednosti se određuju pozicijom, mestom vrednosti u seriji.

Medijana Vrednost sredine serije podataka koje su poređane po veličini je medijana (1.) ako su podaci negrupisani i poređani po veličini 1 2 ... nx x x≤ ≤ ≤

onda je medijana 1 neparan broje nM x n+= −

12 2 paran broj

2

n n

e

x xM n

++

= −

intervali [0,2) [2,4) [4,6)

[6,8) [ ]8,10

frekvencije 3 8 12 7 5

‐ 210 ‐

(2.) Prethodni obrasci važe i za grupisane podatke s tim što je važno napomenuti da se za grupisane podatke za prostu distribuciju frekvencija medijana određuje kumulativna frekvencija (kumuliranjem frekvencija

’’ispod’’). U tom kumulativu odredi se broj u kome se sadrži 2m

.

Naspram 2m

nalazi se vrednost medijane.

(3.) Ako je serija data u intervalnom obliku sasvim zadovojavajuća vrednost za medijanu(mada se može raditi i drugačije) se dobija kada se iz intervalnog oblika pređe na oblik grupisanih podataka sa sredinama intervala kao vrednostima na intervalu i onda se medijana pronalazi kao u predhodnom slučaju. Primeri sa rešenjima:

6. Neko je brojao putnike (na šalteru za kartu na autobuskoj stanici u intervalu od jednog minuta) i rezultati su dati tabelom:

ix 0 1 2 3 4 5 6 7 8

if 150 300 250 120 60 30 20 10 2

Naći medijanu. Tabela kumulativne frekvencije je:

ix if Kumulativne frekvencije

0 150 150 1 300 450 2 250 700 3 120 820 4 60 880 5 30 910 6 20 930 7 10 940 8 2 922

150 300 250 120 60 30 20 10 2 942if = + + + + + + + + =∑

paran broj to je

942 942 1471 4722 2 2 2 2

2 2 2e

x xx xM

++

+ += = = =

jer se i 471 i 472 član nalazi među 250 dvojki (nula ima 150, jedinica 300).

‐ 211 ‐

7. Neka je dat intervalni raspored serije

intervali [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14]

frekvencije 5 10 18 30 17 8 6 Ovaj intervalni raspored se prebacuje u običan raspored sa sredinama i dobija se sledeća tabela

ix 1 3 5 7 9 11 13

if 5 10 18 30 17 8 6

A odavde se lako vidi da je medijana jednaka 7.

Modus (mod)

Mod je vrednost u seriji koji ima najveću frekvenciju. Serija može imati samo jedan mod unomodalna, ili može imati više modova polimodalna. Za intervalne distribucije frekvencije prvo se odredi grupisani oblik sa sredinama intervala umesto intervala, pa se odredi vrednost (vrednosti) sa najvećom frekvencijom: Primer sa rešenjem

8. Odrediti mod za prethodni primer. Očigledno je interval sa najvećom frekvencijom [6,8) dakle imamo da njegova srednja vrednost ima najveću frekvenciju u grupisanom obliku sa sredinama pa je mod jednak 7.

9.4.2. Mere odstupanja i centralni momenti

Ove mere su mere odstupanja među članovima serije, ili kako se to još češće naziva mere varijabiliteta. Možemo ih podeliti na pozicione mere varijacije i računske mere. Od pozicionih ćemo posmatrati razmak varijacije a od računskih ćemo posmatrati srednje apsolutno odstupanje, srednje kvadratno odstupanje (varijansa) i disperziju. Ove mere spadaju u apsolutne mere odstupanja. Koriste se i relativne mere (vrednost obeležja iskazuje se u relativnim brojevima) odstupanja koje su pogodne u nekim situacijama. Razmak varijacije R se definiše kao razlika između maksimalne i minimalne vrednosti u seriji dakle max minR x x= −

‐ 212 ‐

Srednje apsolutno odstupanje se definiše za negrupisane podatke 1,... nx x

formulom 1

1 n

AO ii

S x mn =

= −∑

a za grupisane podatke (analogno i za intervalne podateke,)

ix 1x 2x

...rx

if 1f 2f

...rf

Formulom 1

11

1 r

AO i iri

S f x mf =

= ⋅ −∑∑

U statitici za mere odstupanja od aritmetičke sredine koristi srednje kvadratno odstupanje:

Za negrupisane podatke 1,... nx x ( )2 2

1

1 n

n iS x mn

= −∑

ili 2 2 2

1

1 n

n iS x mn

= −∑

Za grupisane podatke:

ix 1x 2x

...rx

if 1f 2f

...rf

( )22 22 2 2

1 1

1 1

1 1 ili m

n ni i i ir ni

i ii i

S f x m S f x mf f=

= =

= − = −∑ ∑∑ ∑

(Za inervalne podatke se koristi isti obrazac samo umesto ix se uzima sredina

intervala Six ).

Srednje kvadratno odstupanje se obeležava sa 2σ i zove se još i varijansa a kvadratni koren iz srednjeg kvardatnog odstupanja σ i zove se standardana deviacija. Inače izrazi za računanje srednjeg kvadratnog odstupanja zovu se još i centralni momenti drugog reda. U statistici se koriste još i centralni momenti reda 1,2,3,4, a koji se definišu izrazima:

1

1 ( ) 1, 2,...n

kk i

iM x m k

n =

= − =∑ za negrupisane podatke, 1,... nx x ,

odnosno za grupisane podatke

ix 1x 2x

...rx

if 1f 2f

...rf

‐ 213 ‐

Formulom ( )2

1

1

1 kk i ir

ii

M f x mf =

= −∑∑

u statistici se definišu i obični

momenti1

1 n

kk im xn

= ∑ za negrupisane podatke 1,... nx x odnosno

1

1

1 nk

k i ini

ii

m f xf =

=

= ⋅∑∑

za grupisane podatke

ix 1x 2x

...rx

if 1f 2f

...rf

(očigleno je ako je 0, k km M m= = )

Srednje kvadratno odstupanje se dobija i iz formule 2 2

2 1S m m= −

Kao relativna mera varijacije (koja je ponekad značajna) koristi se količnik srednjeg kvadratnog odstupanja i kvadrata aritmetičke sredine

2 22

2 2

SVm m

σ= = ili što je još češće V

mσ

=

koji je relativan broj i zove se koeficijent varijacije i ponekad se izražava u % ( ima smisla jedino ako je 0m ≠ ).

9.4.3. Mere oblika Kao mere oblika koriste se momenti trećeg i četvrtog reda i njihovi odnosi sa

3σ i 4σ . Dakle asimetrija se meri koeficijentom:

3

3 13 3 3

1 ( )r

i if x mM nασ σ

−= =

∑

a spljoštenost se meri koeficijentom:

4

4 14 4 4

1 ( )r

i if x mM nασ σ

−= =

∑

‐ 214 ‐

Ako je 3 0α = raspored je simetričan;

3 0α > imamo asimetriju u desno;

3 0α < , imamo asimetriju u levo.

Što je vrednost 3α veća (po apsolutnoj vrednosti) to je asimetrija veća. Smatra

se da je asimetrija umerena ako je 32 2α− < < .

Što se koeficijenta 4α tiče smatra se da je raspored normalan ako je 4 3α = ;

Ako je 4 3α > to je veća koncentracija vrednsti oko aritmetičke sredine;

4 3α < to su vrednosti razbacanije oko aritmetičke sredine nego

što je to slučaj kod normalnog rasporeda.

9.5. IZBOR SLUČAJNOG PROSTOG UZORKA Ako je data jedna populacija, nju možemo shvatiti kao skup mogućih ishoda pri nekom eksperimentu Ω, a njeni elementi su tada "elementarni događaji" ω. Kada se svakom elementu populacije pridruži broj, tj. njegovo obeležje, to obeležje je jedna slučajna promenljiva X=X(ω), ω∈Ω. Ako izaberemo slučajno n elemenata populacije ω1,...,ωn, mi dobijamo jednu slučajnu n‐dimenzionalnu promenljivu

(X(ω1),...X(ωn)) koju možemo označiti i sa (X1,...,Xn). Ova n‐dimenzionalna slučajna promenljiva se zove slučajni uzorak obima n. Ako sve promenljive X1,...,Xn imaju istu raspodelu kao i obeležje X na celoj populaciji, tada se ovaj slučajni uzorak naziva prost ili samo uzorak. Ovde će biti data jedna konkretna tehnika za dobijanje prostog uzorka koji nam omogućava da imamo poverenje u njega ‐ da je reprezentativan (reprezentativnost uzorka se manifestuje tako što je postupak njegovog dobijanja nezavisan od obeležja koje posmatramo):

• Elemente populacije, kojih ima N, numerišemo brojevima 0,1,...,N‐1.

• Sa slučajno uzetog mesta u tablici slučajnih brojeva očitamo redom n brojeva od 0 ‐ N‐1, s' tim što nema ponavljanja brojeva

• već uzeti broj ne uzimamo ponovo. Uzmemo vrednosti "izabranih" n elemenata populacije i to je prost slučajni uzorak (x1,...,xn) od n‐elemenata. Važno pitanje vezano za uzorak je i njegov obim.

‐ 215 ‐

Odgovor na ovo pitanje je veoma važan jer premali uzorak će dati "lošu" ocenu a preveliki uzorak može biti skup, a takođe nam oduzima i vreme. U svakoj konkretnoj situaciji u zavisnosti od željene tačnosti ocene može se dobiti veličina traženog uzorka. To ocejnivanje prevazilazi obim ovog kursa. 9.6. OCENE PARAMETARA Osnovni problem statistike je da na osnovu uzorka (X1,...,Xn) zaključi kakva je raspodela obeležja X:(p(ti)), i=1,2,..., odnosno ϕ(x) ‐∞<x<+∞. Ako još na osnovu nekih drugih razmatranja znamo da obeležje ima neki određeni tip raspodele (a to je često slučaj), tada treba samo odrediti parametre te raspodele. Opišimo u kratkim crtama taj problem: Treba odrediti nepoznati parametar θ obeležja X. Za uzorak (X1,...,Xn) biramo statistiku

θn=f(X1,...,Xn) pomoću koga ocenjujemo parametar θ. Naravno, (X1,...,Xn) je n‐dimenzionalna slučajna promenljiva a kada uzmemo uzorak (x1,...,xn) mi iz uzorka dobijemo broj

vn=f(x1,...,xn)

u koji možemo imati veće ili manje poverenje. Ovako dobijena vrednost zove se još i tačkasta ocena parametra θ. U matematičkoj statistici postoji razrađena teorija kako izabrati statistiku θn da bi "poverenje" u ocenu parametra θ bilo što veće. Obično se zahteva da ocena θn parametra θ bude "centrirana", tj. da naša funkcija ima osobinu da je

E(θn)=θ. Pri tome se od dve centrirane ocene θn1 i θn2 parametra θ smatra boljom ona čija je disperzija manja. Naravno, određivanje statistika koje najbolje ocenjuju nepoznate parametre prevazilazi okvir ovog kursa i time se ovde nećemo baviti. 9.7. INTERVALI POVERENJA Ako treba oceniti nepoznati parametar θ zadatak se može i ovako postaviti: Naći vrednosti θ1 i θ2 tako da je

P{θ1<θ2}=1 i P{θ1<θ<θ2}=β.

‐ 216 ‐

Naravno, θ1 i θ2 se dobijaju kao statistike iz uzorka x1,...,xn a β je zadata verovatnoća. Interval [θ1,θ2] se zove interval poverenja a β se zove nivo poverenja. Obično se želi da interval bude manji a β što veće (oprečni zahtevi). Izlaz se traži u povećanju obima uzorka. Kada se uzorak uzme tada se dobijaju brojevi v1 i v2 i naš interval postaje određeni interval [v1,v2]. Naš parametar θ "upada" ili ne u ovaj interval a β ne treba shvatiti kao verovatnoću da će se θ naći u tom intervalu, već β treba shvatiti da ako napravimo više uzoraka tada u približno 100β% ovaj interval prekriva parametar θ. Interval poverenja za nepoznatu verovatnoću p: Kod elemenata populacije se događaj A realizuje sa nepoznatom verovatnoćom P(A)=p. U uzorku od n elemenata broj realizacija događaja A je slučajna promenljiva Sn sa binomnom

raspodelom. Pri tome na osnovu centralne granične teoreme nS npnpq− ima

približno normalnu raspodelu N(0,1), odakle je

( )1nS npP Znp p

β β⎧ ⎫−⎪ ⎪≤ =⎨ ⎬

−⎪ ⎪⎩ ⎭

pa sledi da je interval poverenja za nepoznatu verovatnoću p interval između manjeg i većeg rešenja jednačine po p:

( ) ( )2 2 2 2 22 0n nn n z p n S n z p Sβ β+ ⋅ − ⋅ + ⋅ + =

Sn ‐ broj "povoljnih" događaja za nepoznatu verovatnoću od n mogućih

zβ ‐ broj dobijen iz tablice za normalnu raspodelu takav da je ( )φβ

βz =2.

Taj interval je

( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 2,2 4 2 4

n n n nn nz z z zS n S S n SS Sn nz zn z n n n n n z n n n n

β β β ββ β

β β

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Naravno, kad se uzme uzorak dobijaju se dva broja koji ne moraju obavezno biti u [0,1] mada je verovatnoća sigurno u intervalu [0,1]. Primer sa rešenjem

9. U jednom pogonu proizvedeno je u toku jednog radnog dana 80 proizvoda i nađeno je da su 4 od njih defektna. Naći 95% interval poverenja za nepoznatu verovatnoću p=P{proizvod je defektan}.

‐ 217 ‐

U ovom slučaju n=80 a Sn=4. zβ dobijamo iz tablice: Nalazimo β2

0 952

0 475= =, ,

( )φ β βz = ⇒ =0 475 1 96, , z (U tablici nalazimo broj 47500 levo je 1,9 iznad je

6, dakle zβ=1,96 i postavljamo jednačinu (802+80⋅1,96)p2‐(2⋅80⋅4+80⋅1,962)p+16=0, odnosno 0,0196≤p≤0,1216

Interval poverenja za matematičko očekivanje m u slučaju poznate disperzije σ2:

, n nm x z x zn nβ βσ σ⎡ ⎤∈ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

gde je:

( )z zβ βφβ

: =2, xn ‐ sredina uzorka.


10. Pretpostavimo da je disperzija σ2 4= pri proizvodnji jedne vrste proizvoda u njihovoj težini. Ako je iz jedne serije uzet uzorak n=200 komada i

nađeno da je prosečna težina u tom uzorku X200 2 1= , kg odrediti: a) 98% interval poverenja za težinu proizvoda; b) 90% interval poverenja za težinu proizvoda.

a) Ovde je n=200 Xn = 2 1, .

zβ određujemo iz tablice ( )ββ

20 49000= , = 0,98 . U tablici imamo da je

z0,48983=2,32 i z0,49010=2,33 a nama treba broj z0,49000. Taj broj dobijamo iz sledeće proporcije:

0,00027:0,01=0,00017:x,

odakle je x =⋅

≈0 00017 0 01

0 000270 06, ,

,, , pa je zβ=2,32+0,006=2,326 i kada ove

vrednosti uvrstimo u obrazac dobijamo interval poverenja

m∈(1,77;2,43). b) Interval iznosi (1,87;2,33).

‐ 218 ‐

Napomena: Dužina intervala poverenja, koja iznosi 2znβσ

, nije slučajna

veličina već je sve manja sa povećanjem obima uzorka n, a naravno ona se smanjuje ako nivo poverenja β smanjujemo. Interval poverenja za matematičko očekivanje m kad disperzija σ2 nije poznata:

1;1 1;1, 1 1

n nn n n n

S Sm x t x tn nβ β− − − −

⎡ ⎤∈ − +⎢ ⎥

− −⎣ ⎦.


11. Meteorološka stanica je u desetogodišnjem praćenju ustanovila da su na jednom planinskom mestu godišnje visine snežnog pokrivača iznosile: 0,90; 1,10; 1,20; 1,05; 1,30; 0,85; 1,15; 1,00; 0,95; 1,25. Odrediti 90% interval poverenja za E(X)=m. Ovde je n=10, β=0,9 pa iz tablice V čitamo broj t9;0,10=1,833. Određujemo

( )10

10

1 0,90 1,1 1, 2 1,05 1,3 0,85 1,15 1,00 0,95 1, 25101,075

x

x

= + + + + + + + + +

=

zatim određujemo

( )10 22 2 2 2 2

10 101

1 1 0,90 1,1 . . . 1, 25 1,085625 0,09062510 10k

kx xσ

=

= − = + + + − =∑

Dakle, 90% interval poverenja je

0,090625 0,0906251,075 1,833 , 1,075 1,8339 9

m⎡ ⎤

∈ − ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

,

odnosno približno

[ ]m∈ 0 8911, , 1,2789 .

Interval poverenja za nepoznatu disperziju σ2: ‐ jednostrani

02

12,

;

n Sn⋅⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−χ βn

‐ dvostrani

‐ 219 ‐

n S n Sn

n

n

n

⋅ ⋅⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−−

−+

2

1 12

2

1 12

χ χβ β; ;

, .

12. Neka obeležje X ima normalnu raspodelu N(m,σ2). Uzorak obima n=16 daje sledeće rezultate

xkk=∑ =

1

1636 i xk

k

2

1

1696 5

=∑ = , .

Naći dvostrani i jednostrani interval poverenja za σ2 za β=90%. U oba slučaja treba prvo naći

x163616

2 25= = , i S x xkk

162 2

1

16

1621

161

1696 5 5 025 1 00625= − = − =

=∑ , , ,

Iz tablice nalazimo

χ15 0 902 8 547; , ,=

i 90% jednostrani interval poverenja je

[ ]08 547

0,,

, 16 1,00625 1,8837⋅⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥≅ .

Isto tako iz tabele nalazimo

χ χ15 1 0 9

2

215 0 052 24 996

; , ; , ,− = = i χ χ15 1 0 9

2

215 0 952 7 697

; , ; , ,+ = =

i imamo 90% dvostrani interval poverenja

[ ]16 1 0062524 996

16 1 006257 667

0 6441 2 200⋅ ⋅⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥≅

,,

; ,,

, ; , .

Napomena 1: Vrednost χ15 0 95

2; , je dobijena "linearnom ekstrapolacijom".

Naime, u tablici imamo vrednosti 2 215;0,80 15;0,9010,307 8,547 iχ χ= =

Kako treba dobiti χ15 0 952

; , rezultat dobijamo koristeći se slikom 45 i

računamo: 10 307 8 547

100 176, , ,−

=

χ χ15 0 952

15 0 902 5 0 176 8 547 0 880 7 667; , ; , , , , ,= − ⋅ = − = .

‐ 220 ‐

Napomena 2: Obim uzorka n se određuje tako što se unapred zada veličina intervala poverenja a izvrši se procena vrednosti nepoznatih statistika i parametara koji se u dužini intervala nalaze.

sl. 45.

9.8. TESTIRANJE STATISTIČKIH HIPOTEZA Rešavanje osnovnog problema statistike ‐ kakva je raspodela populacije na osnovu uzorka za neko obeležje se često vrši tako što se pretpostavi da obeležje ima neku raspodelu i ta pretpostavka se zove statistička hipoteza. Postupak verifikacije neke statističke hipoteze se zove statistički test. Dakle, uzorak obima n je u principu jedna n‐dimenzionalna slučajna promenljiva (X1,...,Xn). Funkcija

θn=f(X1,...,Xn) kojom ocenjujemo parametar θ se naziva statistika. Ako se pretpostavka (hipoteza) odnosi na parametre raspodele, onda se test zove parametarski a u suprotnom neparametarski. Pri testiranju hipoteze važno je ustanoviti postupak, odnosno kriterijum na osnovu koga ćemo na osnovu uzorka istu prihvatiti ili odbaciti. U tom smislu hipoteze je pogodno ovako klasifikovati: Ako hipoteza određuje u potpunosti neku raspodelu onda se ona naziva prosta a u protivnom se naziva složena. Obično se testira jedna prosta hipoteza H0 koja se još zove i nulta hipoteza. Suprotna hipoteza H1 nultoj hipotezi H0 se zove još i alternativna hipoteza koja može biti i prosta i složena. Pri tome mi možemo ovde napraviti dve vrste grešaka: greška prvog tipa je da odbacimo H0 ako je ona faktički tačna i greška drugog tipa je prihvatanje H0 ako ona nije tačna. Naravno, cilj je uvek minimiziranje verovatnoća ovih grešaka ali se time ovde ne bavimo, ali konstatujmo da se uvećanjem obima uzorka ove verovatnoće po pravilu smanjuju.

‐ 221 ‐

U okviru ovog kursa ćemo se baviti jedino testiranjem hipoteza o raspodelama statističkih podataka odnosno vršićemo proveru da li je dato obeležje u okviru nekog statističkog skupa raspoređenom po odrđenom zakonu.

9.9. PIRSONOV χ2 TEST

Ovaj test spada u klasu tzv. neparametarskih testova i služi za proveru nulte hipoteze

• H0: obeležje X ima jednu potpuno određenu raspodelu (p(xi), i=1,2,... ili ϕ(x), ‐∞<x<+∞ u zavisnosti od tipa slučajne promenljive X), protiv alternativne hipoteze

• H1: obeležje X nema tu raspodelu. Za uzorak se ovde zahteva da ima obim n≥50. Test ćemo izložiti po koracima: Skup brojeva R, gde X može imati n vrednosti, delimo na r (r≥2) disjunktnih podskupova S1,...,Sr. Pretpostavljajući da je H0 tačna izračunamo koliko će teorijski od n vrednosti (x1,...,xn) "pasti" u svaki od podskupova Si (biće ih Mi) sa

verovatnoćama ( )p P X Si H i= ∈0

, i=1,...,r i E(Mi)=npi. Iz uzorka (x1,...,xn)

konstatujemo koliko se članova nalazi u svakom od Si i te brojeve označimo sa m1,m2,...,mr (m1+m2+...+mr=n). Pri tome je očigledno statistika

( )M npnp

k k

kk

n −

=∑

2

1

χ2 statistika sa r‐1 stepeni slobode koja za date brojeve mi ima određenu vrednost:

( )χ r

i i

ik

r m npnp−

==

−∑12

2

1.

Za zadati prag značajnosti α određujemo iz tablica broj χ αr−1;2 i upoređujemo ga

sa "našim" brojem χ r−12 :

ako je χ χ αr r− −<12

1;2 ne odbacujemo hipotezu H0

ako je χ χ αr r− −≥12

1;2 onda H0 odbacujemo.

Ovde je važno napomenuti: 1) da prilikom podele skupa RX na disjunktne skupove treba voditi računa da u

svakom Si iz uzetog uzorka bude najmanje 5 članova (tj. mi≥5, i=1,...,r), s' tim što eventualno neki od krajnjih intervala ne moraju imati ovo svojstvo.

‐ 222 ‐

2) Ako smo iz uzetog uzorka (x1,...,xn) za našu raspodelu izračunali (ocenili) s parametara, tada broj stepeni slobode u χ2‐raspodeli iznosi r‐s‐1.

3) Ako je r‐s‐1>30 tada ocenu broja χ αr s− −1;2 vršimo iz tablice za normalnu

raspodelu (imajući u vidu da za n>30 i χ2‐raspodela aproksimira sa normalnom raspodelom N(n,2n).


19. Registrovan je broj ljudi pred šalterom pošte u jednakim vremenskim razmacima

xi broj ljudi 0 1 2 3 4 5 6 7 ni broj intervala 120 160 125 60 30 10 4 1

Koristeći Pirsonov χ2 test ispitati da li je ovo Puasonova raspodela pri nivou značajnosti 5%.

n=510

λ =+ + + + + +

= ≈160 250 180 120 50 24 7

510791510

1 5,

Iz tablice 1 za λ=1,5 nalazimo verovatnoće

p1≅0,2515 np1≅130,9

p2≅0,3193 np2≅163,8

p3≅0,2273 np3≅115,9

p4≅0,1209 np4≅62,8

p5≅0,0528 np5≅26,9

p6≅0,0196 np6≅10,0

p7≅0,0086 np7≅4,4

χ22 2 2 2 2 210 9

130 93 8

162 89 1115 9

2 862 8

3126 9

0 64 4

0 9 0 1 0 7 0 15 0 30 0 08 2 23 9 48

= + + + + + ≅

≅ + + + + + ≅ <

,,

,,

,,

,,

,,

,,

, , , , , , , ,

znači nemamo razloga da odbacimo hipotezu.

‐ 223 ‐

20. Data je tablica sa statističkim podacima:

I (0,3) (3,6) (6,9) (9,12) (12,15) (15,18) (18,21) (21,24) (24,27) (27,30)

nx 1 3 4 6 11 10 7 5 2 1 Proračunati Pirsonovim χ2 testom da li je ova raspodela normalna.

n=50 (n=∑nx). Tabela sa sredinama ima obik (srednju vrednost uzimamo kao predstavnika intervala):

X 1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5

wnnx

x= 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02

Radi lakšeg računa izvršimo zamenu promenljive po formuli X=3T‐1,5, odnosno

T X=

+ 1 53

, i zapišimo raspodelu za T i T2:

T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 wT 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02

T2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

wT2 0,02 0,06 0,08 0,12 0,22 0,2 0,14 0,1 0,04 0,02 i računajmo E(T)=1⋅0,02+2⋅0,06+ . . . +10⋅0,02=5,5 E(T2)=1⋅0,02+4⋅0,06+ . . . +100⋅0,02=34,1 Dakle E(X)=3E(T)‐1,5=15 σ2(X)=9σ2(T)=9(E(T2)‐(E(T))2)=9⋅(34,1‐5,52)=9⋅(34,1‐30,25)=9⋅3,85

( )σ X = ⋅ ≅9 3 85 5 9, ,

Sada tražimo pripadajuće teorijske verovatnoće:

‐ 224 ‐

( )

( ) ( ) ( ) ( )

p P X P X P X1 3 15

5 93 15

5 915

5 92 03

2 03 2 03 0 5 0 47726 0 02

= −∞ < < = −∞ <−

<−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= −∞ <

−< −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

− − −∞ = − + +∞ = − ≈

, , ,,

, , , , , = Φ Φ Φ Φ

( )

( ) ( ) ( ) ( )

p P X P X P X2 3 6 3 15

5915

596 15

592 03 15

591186

2 03 2 03 1186 0 04

= < < =−

<−

<−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= − <

−< −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

− − = − ≈

, , ,,

,,

, , , , = -1,186Φ Φ Φ Φ

p3 0 09≈ , p4 0 15≈ , p5 0 20≈ , p6 0 20≈ , p7 0 15≈ , p8 0 09≈ , p9 0 04≈ , p10 0 02≈ , Sada tražimo teorijske vrednosti: np1=50⋅0,02=1 np2=2 np3=4,5 np4=7,5 np5=10 np6=10 np7=7,5 np8=4,5 np9=2 np10=1 Prva dva razreda i poslednja dva razreda spajamo u po jedan razred i dobijamo

( )χ2

2

1

8 2 2 2 2 2 213

0 54 5

157 5

110

010

0 57 5

0 54 5

03

0 875=−

= + + + + + + + ==∑

m npnp

i i

ii

,,

,,

,,

,,

,

Iz tablice za χ2 raspodelu čitamo χ 8 2 1 0 05

2 14 067− − =; , ,

i kako je 0,875<14,067 nemamo razloga da odbacimo hipotezu.

9.10. METOD NAJMANJIH KVADRATA Pretpostavimo da imamo neku zakonitost

y=f(x, a0, ..., am) (1) koja daje vezu zavisne promenljive y, nezavisne promenjive x, preko m+1 parametara a0,a1,...,am za koje znamo da su konstantni, ali koji nam nisu poznati. Pretpostavimo takođe da možemo dobiti veličine x i y (na primer merenjem), a da vrednosti parametara nije moguće dobiti na isti način. Dakle, među veličinama x i y dobijenih eksperimentom, odnosno merenjem, postoje veze

y1=f(x1, a0, ..., am)

‐ 225 ‐

y2=f(x2, a0, ..., am) (2)

. . . . . . . . . . . . . . . . yn=f(xn, a0, ..., am)

pri čemu su x1 i y1, x2 i y2,..., xn i yn veličine koje su dobijene eksperimentom (merenjem), a n je broj ponovljenih eksperimenata (merenja). Iz ovih n veza treba odrediti nepoznate parametre a0,...,am. Ako bi nalazili tačne vrednosti za x i y, tada bi za nalaženje ovih m+1 parametara bilo dovoljno imati m+1 veza. Međutim, vrednosti za x i y sadrže određene greške i zbog toga nije moguće dobiti prave vrednosti za x i y, odnosno nije moguće odrediti ni prave vrednosti za parametre. Pri tome je po pravilu i broj n veći od broja m+1, pa će se pri rešavanju sistema (2) dobiti nesaglasnost, odnosno rešenja od nekih m+1 jednačina neće zadovoljavati ostale jednačine. Zaključak je sledeći: U vezama (2) postoje određene netačnosti i parametre a0,...,am nije moguće dobiti kao tačne vrednosti. Uz pretpostavku da su greške pri merenju (eksperimentu) raspodeljene po normalnom zakonu, tada se najverovatnije vrednosti za parametre a0,...,am dobijaju metodom najmanjih kvadrata, tj. na sledeći način: Kako veze (2) nisu tačne, to imamo

y1‐f(x1, a0, ..., am)=ε1 y2‐f(x2, a0, ..., am)=ε2 (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . yn‐f(xn, a0, ..., am)=εn

gde su ε1,...,εn greške. Parametre a0,...,am biramo tako da zbir kvadrata grešaka

( ) 2 20 m 1 n, . . . , a . . . +a ε εΦ = +

bude najmanji, odnosno traži se minimum funkcije

( ) ( )[ ]Φ a y f x ai ii

n

0 02

1, , , . . . , a . . . , am n= −

=∑ (4)

Da bi se ovaj minimum našao potrebno je naći parcijalne izvode ∂Φ∂ai

i=0,...,m i

rešiti sistem jednačina ∂Φ∂ai

= 0 (5)

‐ 226 ‐

Sistem (5) je relativno jednostavno rešiti ako je funkcija (1) linearna u odnosu na parametre, tj. ako je

f(x, a0, ..., am)=ϕ0(x)a0+ϕ1(x)a1+ . . . +ϕm(x)am. Tada sistem (5) postaje

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]2 00 0 1 1 01

y x a x a x a xi i i m i m ii

n

− − − ⋅ − ==∑ ϕ ϕ ϕ ϕ . . . -

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]2 00 0 1 1 11

y x a x a x a xi i i m i m ii

n

− − − ⋅ − ==∑ ϕ ϕ ϕ ϕ . . . - (6)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]2 00 0 1 11

y x a x a x a xi i i m i m m ii

n

− − − ⋅ − ==∑ ϕ ϕ ϕ ϕ . . . -

čije rešenje daje traženu funkciju. Primeri sa rešenjima:

21. Date su vrednosti

(1,1), (2,2), (3,32), (4,2), (5,

52), (6,3), (7,4), (8,

52).

Naći zavisnost y=ax+b po metodi najmanjih kvadrata.

Tražena funkcija Φ(a,b) ima oblik

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Φ a b a b a b a b a b a b

a b a b

, = − − + − − + − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − − + − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

+ − − + − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2 2 32

3 2 4 52

5

4 7 52

8

2 22

22

2 22

+ 3-6a-b

a sistem (6) postaje sistem:

‐ 227 ‐

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂Φ∂a

a b a b a b a b

a b a b a b a b

= − − ⋅ − + − − ⋅ − + − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ − + − − ⋅ − +

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ − + − − ⋅ − + − − ⋅ − + − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅ − =

2 1 1 2 2 2 2 2 32

3 3 2 2 4 4

52

5 5 2 3 6 6 2 4 7 7 2 52

8 8 0+ 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂Φ∂b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

= − − ⋅ − + − − ⋅ − + − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ − + − − ⋅ − +

+ − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ − + − − ⋅ − + − − ⋅ − + − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅ − =

2 1 1 2 2 2 1 2 32

3 1 2 2 4 1

2 52

5 1 2 3 6 1 2 4 7 1 2 52

8 1 0

odnosno 204a+35b‐96=0 72a+16b‐37=0 ____________ čije rešenje daje funkciju

y x= +241744

159166

22. Date su vrednosti

(1,6), (2,4), (3,2), (4,‐1), (5, −32), (6,0), (7,3), (8,5).

Naći zavisnost y=ax2+bx+c metodom najmanjih kvadrata.

Funkcija Φ(a,b,c) ima oblik

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Φ a b c a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c

, , = − − − + − − − + − − − + − − − − +

+ − − − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ − − − + − − − + − − −

6 4 4 2 2 9 3 1 16 4

32

25 5 36 6 3 49 7 5 64 8

2 2 2 2

22 2 2

Sistem (5) postaje

‐ 228 ‐

02

907c204b1296a8772a

=−++=∂Φ∂

02

139c36b204a1296b

=−++=∂Φ∂

∂Φ∂c

a b c= + + − =204 36 8 352

0

čije rešenje daje tražene parametre a,b,c i dobijamo funkciju

y=0,54x2‐5,08x+11,27.

9.11. ODREĐIVANJE REGRESIONIH LINIJA POMOĆU UZORKA Ako imamo jedan dvodimenzionalni uzorak iz neke populacije

(x1,y1),...,(xn,yn) i ako hoćemo da odredimo regresionu pravu y=ax+b, tada se metodom najmanjih kvadrata dobija

( )( )

( )b

x x y y

x x

i ii

n

ii

n=− −

−

=

=

∑

∑1

2

1

, a= y-bx

i za te vrednosti se može dokazati da G(a,b) ima minimum. Naravno, ovde treba imati na umu i koeficijent korelacije dobijen od uzorka

( )( )

( ) ( )

1

2 2

1 1

n

i iin n

i ii i

x x y yr

x x y y

=

= =

− −=

− −

∑

∑ ∑

koji govori o tome kakva je linearna veza koju daje regresiona prava. Obično se uzima da je za:

r ≤ 0 3, linearna veza neznatna

0 3 0 5, ,< ≤r linearna veza postoji ali je slaba

0 5 0 7, ,< ≤r linearna veza je značajna

‐ 229 ‐

0 7 0 9, ,< ≤r linearna veza je jaka

0 9 1, < ≤r linearna veza je vrlo jaka.

Ovu napomenu treba imati u vidu naročito kada na osnovu ove linearne regresione prave pravimo prognoze ‐ šta će se “eventualno desiti”, odnosno kakav je neki "trend" kod neke pojave. Dakle, kod trenda je prva koordinata u dvodimenzionalnom uzorku vreme, a druga je vrendost koju u budućnosti treba prognozirati na osnovu vrednosti u prošlosti i sadašnjosti. Prirodno, ovaj koeficijent dat ovde i ova veza data ovde ne govore da drugih “nelinearnih” veza nema (ako ova eventualno ne postoji). Pored ovog linearnog trenda isto kao u predhodnom poglavlju može se odrediti i kvadratni trend odnosno mogu se određivati i druge vrste nelinearnih trendova. U statistici postoje i mogućnosti za proveru koji je od trendova najbolji ali treba uvek imati u vidu da dugoročne prognoze napravjene na ovaj način su vrlo retko tačne. Dakle, kod kvadratnog trenda imamo problem određivanja koeficijenata parabole y = a + bx + cx2. Analogno kao u prethodnom delu metodom najmanjih kvadrata ovaj problem se svodi na rešavanje sledećeg sistema linearnih jednačina po a, b i c:

2

1 1 1

2 3

1 1 1 1

2 3 4 2

1 1 1 1

= = =

= = = =

= = = =

+ + =

+ + =

+ + =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

n n n

i i ii i i

n n n n

i i i i ii i i in n n n

i i i i ii i i i

an b x c x y

a x b x c x x y

a x b x c x x y

Slično se mogu dobijati i druge linije. Ovde se prirodno postavlja sledeće pitanje: Ako imamo dve prognoze (dve regresivne linije, dva trenda), koja je od njih bolja? Odgovor na ovo pitanje daje poznati kriterijum standardne greške regresione funkcije:

‐ 230 ‐

2

1

( ( ))=

−=

−

∑t

n

i t ii

y

y y xS

n k,

gde su ix i iy podaci iz uzorka, ( )t iy x vrednosti funkcije ty u tačkama ix , a k

broj izračunatih parametara (kod linearnog slučaja je k = 2, a kod paraboličkog slučaja je k = 3). Bolja funkcija je ona kod koje je greška manja. Primer sa rešenjem:

23. Odrediti regresionu pravu iz podataka datih u primeru 2.

Iz datih podataka računamo

( )( )

( )

8

8 81

8 2

81

1, 24i i

i

ii

x x y yb

x x

=

=

− −= ≈

−

∑

∑

6,875 1,24 5,5 0,055a y bx= − = − ⋅ = i regresiona prava ima oblik

y=0,055+1,24x.

KLJUČNI POJMOVI: • POPULACIJA • UZORAK • OBELEŽJE • SREDNJE VREDNOSTI

• SREDNJE KVADRATNO ODSTUPANJE

• INTERVALI POVERENJA • STATISTIČKA HIPOTEZA • TREND

‐ 231 ‐

VIII ‐ GLAVA FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA

SADŽAJ OVOG POGLAVLJA JE:

• PROCENTNI I PROMILNI RAČUN

• PROST I SLOŽEN INTERESNI RAČUN • OTPLATE ZAJMOVA I ESKONTOVANJE • RAZNE VRSTE ULAGANJA • RAZNE VRSTE OSIGURANJA UPLATOM MIZE

• RAZNE VRSTE OSIGURANJA UPLATOM PREMIJE

Cilj nam je da uvedemo: 1. Osnovne pojmove finansijske matematike 2. Osnovne pojmove aktuarske matematike 3. Matematičke principe funkcionisanja finansija i osiguranja

10. FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA

10.1. PROCENTNI RAČUN Procentni račun od sto Procentni račun je račun proporcija. Ako posmatramo neku celinu koju ćemo zvati “glavnica” i označiti je sa G, i neki njen deo koji ćemo označiti sa P i zvati “procentni iznos” pogodno je znati koliki je deo procentnog iznosa u sto delova glavnice. Taj broj se naziva “procenat” ili “procentna stopa” i označava se sa p. Dakle, osnovna proporcija procentnog računa je: G : P = 100 : P ili ekvivalentno G p = 100 P odakle možemo dobiti sledeće tri jednakosti

,100pPG =

GPp 100

= , 100GpP =

koje se koriste za izračunavanje glavnice, procentne stope i procentnog iznosa ako su poznate redom procentni iznos i procentna stopa; procentni iznos i glavnica, odnosno glavnica i procentna stopa.

‐ 232 ‐

Napomena: procentna stopa je uvek neimenovan broj i pored brojne vrednosti se stavlja znak %. Primer 1. Izračunati:

a) glavnicu G ako je P=25 i p= 4% b) procentnu stopu ako je G= 250 i P=50 c) procentni iznos P ako je G=300 i p=6%

a) ,6254

25100=

⋅=G b) %20

25050100

=⋅

=p

c) 18100

6300=

⋅=P

Procentni račun više sto i niže sto U praktičnim zadacima vezanim za procentni račun ne pojavljuju se obavezno samo veličine definisane na početku već se mogu pojaviti i: glavnica uvećana (umanjena) za procentni iznos G+P (G‐P) zajedno sa procentnom stopom a da treba izračunat P ili G. Polazeći od relacije PpG ⋅=⋅ 100 i dodajući levoj i desnoj strani ove relacije 100G odnosno Pp dobijamo

GPGpG ⋅+⋅=⋅+⋅ 100100100 odnosno PpPPpGp +=+ 100

tj. ( ) ( )GPpG +=+ 100100 odnosno ( ) ( ) PppPG ⋅+=⋅+ 100 tj. dobijamo proporcije

( ) ( ) 100:100: GpPG =++ odnosno ( ) ( ) pPpPG :100: =++ koje se zovu proporcije procentnog računa više sto. Odavde možemo dobiti:

( )pPGG

++

=100

100 odnosno

( )ppPGP

+⋅+

=100

Analogno, polazeći od relacijie PpG ⋅=⋅ 100 i oduzimajući levoj i desnoj strani 100G odnosno Pp dobijamo proporcije

‐ 233 ‐

( ) ( ) 100:100: GpPG =−− odnosno

( ) ( ) pPpPG :100: =−− koje se zovu proporcije procentnog računa niže sto. Iz njih se dobije:

( )ppGG

−−

=100

100 odnosno

( )ppPGP

−⋅−

=100


Cena robe povećana je prvi put za 10% pa zatim opet za 10% pa je zatim smanjena za 20%. posle smanjenja cena robe se prodaje za 10,68 din. Naći početnu cenu. Cena robe posle sniženja iznosi

68,9=− PG sniženje je za 20%

pa je cena bila pre sniženja

( ) 10,1280968

8068,9100

100100

==⋅

=−−

=pPGG

Ova cena je nastala posle drugog poskupljenja od 10%, dakle

G 1 + P1= 12,10 p =10% pa je

G1=( ) 11

11010,12100

110100 11

=⋅

=+ PG

Ova cena je nastalaposle poskupljenja početne cene G0 za prvo povećanje od 10% pa imamo

( ) dinPGG 10110

11100110

100 000 =

⋅=

+=

dakle, početna cena je bila 10 dinara.

‐ 234 ‐

10.2. PROMILNI RAČUN Potpuno analogno u pojednim situacijama u praksi se koristi analogan račun procentnom računu – promilni račun. Osnovna proporcija peomilnog računa je sledeća proporcija

G : P = 1000 : p gde su G ‐ glavnica P ‐ promilni iznos p ‐ promilna stopa koja je i ovde neimenovan broj uz koji se stavlja znak ‰. Obrasci u primeni su potpuno analogni kao kod procentnog računa. 10.3. PROST INTERESNI RAČUN Interesni račun od sto U poslovnom svetu normalna je pojava pozajmljivanje novca ili roba (što se opet izražava novcem), tj. kreditiranje. Sama reč kredit je latinskog porekla, credere, što znači dati na zajam, verovati, uzdati se. Kredit je, dakle, poverenje u dužnika da će tu obavezu izmiriti. Naknada koju dužnik plaća poveriocu kredita za uslugu pozajmljivanja zove se interes ili kamata. Interes se ugovara između poverioca i dužnika tako što se dužnik onavezuje da će za svaku godinu (ili neki drugi rok) platiti poveriocu određen broj dinara na svakih 100 dinara pozajmljene sume. Pozajmljena suma na koju se računa interes se zove kapital ili glavnica – obeležava se sa K. Kamata (interes) koja se plaća na svakih sto dinara pozajmljene sume za jednu godinu zove se interesna stopa i obeležava se sa p (to je danas procenat). kamata ili interes koja se plaća na celu sumu K za određeno vreme obeležava se sa i. Broj godina obeležava se sa g. Broj meseci obeležava se sa m. Broj dana obeležava se sa d. Inača broj dana po mesecima može da se izračunava po kalendaru ili da se pretpostavi da svaki mesec ima po trideset dana. u prvom slučaju se računa da

‐ 235 ‐

godina ima 365 dana a u drugom 360 dana. Ovo se uvek dogovara izmeđ u dužnika i poverioca kapitala. Osnovne proporcije prostog inetersnog računa su vrlo slične osnovnim proporcijama procentnog računa – jedina razlika je u tome što ovde imamo i faktor vremena jer veličina interesa zavisi od vremena na koji je novac dat. te proporcije su:

K : i = 100 : pg g ‐ broj godina K : i = 1 2 0 0 : pm m – b r o j me s e c i K : i = 36000 : pd d – broj dana, godina ima 360 dana K : i = 36500 : pd d – broj dana, godina ima 365 dana

Iz ovih relacija mogu se lako dobiti sledeće relacije:

K p d = 100 i K p m = 1200 i K p d = 36000 i K p d = 365 i

odakle se lako dobijaju nepoznate veličine za K;p;g; (m,d) ;i ako su date redom (p,g,i); (K,g,i); (K,p,i); (K,p,g). p – je kamatna stopa uvek na godišnjem nivou. U pojedinim izračunavanjima se koriste i veličine kamatnog broja Kbr = K d i kamatnih ključeva

D = p

36000 ili D1= p

36500

Iz prethodnih relacija sa ovim veličinama lako se dobijaju izrazi

i(360) = DKbr

‐ interes ako se godina računa sa 360 dana

‐ 236 ‐

odnosno

i(365) = DKbr

‐ interes ako se godina računa sa 365 dana

Veza između ovih interesa (ako se godina računa 360 ili 365 dana) data je relacijom

i(365) = i(360) ‐ ( )73360i

koja se lako dokazuje polazeći od njihovih definicija. Primeri sa rešenjima:

Izračunati

a) 12% kamatu na sumu od 2000 dinara za 6 godina b) 8% kamatu na sumu od 5000 za 9 meseci c) 15% kamatu na sumu od 9000 od 1.maja do 10.juna d) kapital koji će se za 3 godine uz 10% kamatnu stopu doneti kamate

300 din e) vreme kada je vraćen zajam od 60000 dinara dat 1. septembra ako

je isplaćena kamata od 120 dinara sa interesnom stopom od 6% (godina ima 360 dana)

Rešenje a) Dato je p = 12%, K = 2000 din, g = 6godina, pa je

1440100

6122000100

=⋅⋅

==Kpgi dinara

b) Dato je p = 8%, K = 5000 din, m = 9, pa je

3001200

9850001200

=⋅⋅

==Kpmi dinara

c) Dato je p = 15%, K = 9000 din, d = 40, ako godinu računamo na 360

i mesec 30 dana i imamo d = 41 ako godinu računamo na 365 dana i mesece po kalendaru.

U prvom slučaju je:

( ) 15036000

4015900036000

360 =⋅⋅

=⋅⋅

=dpKi din

‐ 237 ‐

U drugom slučaju je:

( ) 15136500

4115900036500

365 =⋅⋅

=⋅⋅

=dpKi din

Imamo i slučaj kada mesece radimo po kalendaru a broj dana u godini 360:

( ) 7,15336000

4115900036000

360 =⋅⋅

=⋅⋅

=dpKi din

d) Dato je g = 3, p = 10%, i = 300 din, K = ?

1000310

300100100=

⋅⋅

=⋅

=gpiK din

e) Dato je K= 60000 din, i =120 din, p = 6%

12660000

1203600036000=

⋅⋅

=⋅⋅

=pKid dana

Dakle, uz pretpostavku da godina ima 360 dana novac je vraćen 12. septembra.

Interesni račun više sto i niže sto Interesni račun više sto se primenjuje kada je dat kapital uvećan za interes tj. kada je dato K + i a interesni račun niže sto kada imamo dat kapital umanjen za interes K ‐ i. potpuno analogno kao u slučaju procentnog računa više i niže sto u zavisnosti kako je dato vreme imamo sledeće proporcije sa + za račun više sto sa – za račun niže sto:

za vreme dato u godinama (1) ( ) ( ) 100:100: KgpiK =⋅±±

i ( ) ( ) gpigpiK ⋅=⋅±± :100: za vreme dato u mesecima (2) ( ) ( ) 1200:1200: KmpiK =⋅±±

i ( ) ( ) mpimpiK ⋅=⋅±± :1200: za vreme dato u danima, godina ima 360 dana (3) ( ) ( ) 36000:36000: KdpiK =⋅±±

‐ 238 ‐

i ( ) ( ) dpidpiK ⋅=⋅±± :36000: za vreme dato u danima, godina ima 365 dana (4) ( ) ( ) 36500:36500: KdpiK =⋅±±

i ( ) ( ) dpidpiK ⋅=⋅±± :36500: Iz ovih relacija se lako računaju nepoznate veličine koje se pojavljuju u ovakvim zadacima, iz poznatih na primer iz (1) imamo

( )gp

iKK⋅±

⋅±=

100100

, ( )

gpgpiKi

⋅±⋅±

=100

Iz (2) imamo ( )

mpiKK

⋅±⋅±

=1200

1200,

( )mpmpiKi⋅±⋅±

=1200

Iz (3) imamo ( )

dpiKK

⋅±⋅±

=36000

36000,

( )dpdpiKi⋅±⋅±

=36000

Iz (4) imamo ( )

dpiKK

⋅±⋅±

=36500

36500,

( )dpdpiKi⋅±⋅±

=36500

Primeri:

(1) Po odbitku interesa sa godišnjom interesnom stopom 12% ya 5 meseci dužnik je vratio 3800 din. Izračunati koliki je dug i koliki je interes?

Rešenje: Dato je K‐ i =3800, p = 12%, m = 5

( ) 20019

3800601200

51238001200

==−

⋅⋅=

⋅±⋅±

=mpmpiKi

Dakle, dug je 3800+200=4000 Do istog rezultata se može doći i primenom obrasca

( ) 40001140

120038001200

1200=

⋅=

⋅±⋅±

=mp

iKK

a onda je i = K ‐ (K‐i) = 4000 – 3800 = 200

(2) Zajedno sa kamatom uz interesnu stopu na godišnjem nivou od 15% dužnik je posle 4 meseca vratio 4200 din. Izračunat koliki je bio dug i koliki je interes?

‐ 239 ‐

Rešenje: Dato je K + i = 4200, p =15%, m = 4

( ) 4000

126012004200

415120012004200

12001200

=⋅

=⋅+

⋅=

⋅±⋅±

=mp

iKK

Dakle, na ime interesa dužnik je platio 200 din. Izračunavanje interesa na više suma Ako je vlasnik kapitala dao više suma na zajam na različito vreme sa istom ili različitom kamatnom stopom tada ako hoćemo da izračunamo interes na ukupan dati novac izvuršimo jednostavno sabiranje pojedinačnih interesa za svaku sumu, dakle: (1) Date sume su K1, K2, …Kn

Vreme na koje su date g1, g2, …gn Kamatna stopa p ista za sve

∑=

⋅⋅⋅=

⋅++

⋅=++=

n

kkk

nnn gKpgpKgpKiii

1

111

100100...

100...

(2) Date sume su K1, K2, …Kn

Vreme na koje su date g1, g2, …gn Kamatne stope su p1,p2 …pn

∑=

⋅⋅⋅⋅=

⋅++

⋅+

⋅=++=

n

kkk

nnnn gKpgpKgpKgpKiii

1

2221111

100100...

100100...

Analogni obrasci se mogu dati i za vreme dato u mesecima – danima. Primeri sa rešenjima:

Banka je dala 10000 dinara sa kamatnom stopom od 15% na 4 meseca dužniku A, 15000 dinara sa kamatnom stopom 12% na 3 meseca dužniku B i 40000 dinara sa kamatnom stopom od 10% na 6 meseci dužniku C. Naći interes koji će banka dobiti. K1=10000 K2=15000 K3=40000 m1=4 m2=3 m3=6 p1=15 p2=12 p3=10

29501200

1064000012315000154100001200

1 3

1=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅= ∑

=

kk

kk pmKi

‐ 240 ‐

10.4. SREDNJI ROK PLAĆANJA Ukoliko je neko pozajmio novac na više mesta u planiranju izmirenja obaveza nastalih pozajmicama potrebno je ponekad izračunat srednji rok plaćanja svih tih obaveza. pri tome računamo u tri različita slučaja. I slučaj:

Obaveze i kamatne stope su jednake a vreme je različito, dakle imamo n istih obaveze, sa istom kamatnom stopom a sa vremenima d1, d2, …, dn u trenutku računanja i srednje vreme je aritmetička sredina

ndddd n

s+++

=...21

II slučaj:

Obaveze su različite, vremena različita, a kamatne stope iste, dakle imamo n obaveza K1,K2, …, Kn sa vremenom d1,d2, …,dn i ista kamatna stopa, pa je srednje vreme ponderisana aritmetička sredina

n

nns

KKKdKdKdKd

++++++

=...

...21

2211

III slučaj:

Obaveze su različite, vremena različita, različite kamatne stope, tj.

imamo obaveze K1,K2, …, Kn sa vremenom d1,d2, …,dn i kamatnim

stopama respektivno p1,p2, …, pn pa je opet srednje vreme ponderisana

aritmetička sredina:

dK p d K p d K p dK p K p K ps

n n n

n n

=+ + ++ + +

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

......

Napomena: III slučaj je najoštiji i prva dva se sadrže u njemu. Primer:

Dužnik je u obavezi da plati sledeće fakture sa plativošću u danima i kamatna stopa za svakog dato u tabeli

Kk 10000 12000 15000 20000 25000 dk 15 20 25 30 20 pk 8 15 12 8 10

‐ 241 ‐

Dužnik želi da plati ceo dug odjednom sumom iznosa na fakturama. Kada to

može da učini? Rešenje:

To je moguće učiniti na dan srednjeg vremena plaćanja kada se izravnaju plaćene i neplaćene obaveze.

dana

pK

dpKds

k

kk

k

kkk

47,22

1025000820000121500015120008100001020250008302000012251500015201200081510000

5

1

5

1

=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

=⋅

⋅⋅=

∑

∑

=

=

Napomena: Ovde se u “izravnavanju” roka plaćanja podrazumeva da dužnik ne plaća kamatu na obaveze koje je isplatio posle isteka roka plaćanja i da ne traži kamatu na sredstva za obaveze uplaćena pre roka kao i to da su te kamate iste i za dužnika i za poverioca. 10.5. ESKONTOVANJE Plaćanja u platnom prometu između privrednih subjekata mogu biti:

a) na dan dospele obaveze b) posle dospele obaveze – kasnije c) pre dospele obaveze – ranije

U slučaju a) plaća se tačno onoliko koliko je obaveza – njena nominalna vrednost. U slučaju b) plaća se interes na zakašnjenje. Obračunava se od dana dospeća do dana plaćanja i dodaje se nominalnoj vrednosti. U slučaju c) obračunava se interes na ranije plaćenu obavezu i oduzima od nominalne vrednosti. Interes u ovim situacijama se zove eskont a njegov obračun eskontovanje. Komercijalni eskont Eskont računat interesnim računom od sto na nominalnoj vrednosti nekog efekta (menica, kredit…) za vreme od dana eskontovanje do dana dospeća zove se komercijalni eskont i obeležava se sa Ek.

‐ 242 ‐

Ako obeležimo sa Kn nominalnu vrednost eskonta sa danom dospeća t=n, sa K0 eskontovanu vrednost efekta u vremenu t=0, n je broj dana do dospeća efekta a p je eskontna stopa, tada je

DnKnpKE nn

k⋅

=⋅⋅

=36000

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

nD 36000

i ( )D

nDKDnKKEKK nn

nkn−⋅

=⋅

−=−=0

Dakle, K0 eskontovana vrednost, i ona je umanjena vrednost za eskont od dana eskontovanja do dana dospeća. Eskontovana vrednost se zove sadašnja vrednost efekta. Racionalni eskont Nije teško videti da za računanje eskontovane vrednosti u komercijalnom eskontu radimo sa ra;unom od sto a da nam je nominalna vrednost veća (ili manja) od prave sadašnje eskontovane. Dakle, komercijalni eskont je eskont sa izvesnom greškom. Zbog toga uvodimo pojam racionalnog eskonta. Racionalni eskont je interes aktuelne racionalne vrednosti. Obeležimo sa K0 ‐ aktuelnu racionalnu vrednost efekta

Kn ‐ nominalnu vrednost efekta n ‐ broj dana p ‐ interesnu stopu Er ‐ racionalni eskont

tada je

DnKnpKEr ⋅

=⋅⋅

=00

36000 i

DnKKKn ⋅

+=0

0

Odavde je

nDDKK n

+⋅

=0 odnosno nDKnEr n

+⋅

=

10.6. JEDNAKOST EFEKATA Kaže se da su dva efekta jednaka u određenom trenutku ako eskontovana istom stopom u tom trenutku imaju istu komercijalnu ili istu racionalnu aktuelnu verdnost. Epoha (dan, mesec, godina) kada su kapitali jednaki zove se datum ekvivalencije dva kapitala. Neka data dva efekta sa nominalnim vrednostima Kn i Kn´ imaju n i n´ dana respektivno pa su komercijalne eskontovane vrednosti

‐ 243 ‐

( )DnDKK n −

=0 i ( )DnDKK n ´´ ´

0−

=

kako se zahteva K0=K0´ to će biti za ( ) ( )´´ nDKnDK nn −=−

Dakle, jednakost nastaje za one n i n´ koji zadovoljavaju prethodnu jednakost. Ako isti postupak provedemo za racionalne eskontovane vrednosti dobijamo da će se jednakost postići za n i n´ koji zadovoljavaju

´

´nD

KnD

K nn

+=

+

i važi stav da dva kapitala ne mogu biti istovremeno jednaka u komercijalnom i racionalnom eskontu. 10.7. SLOŽENI INTERESNI RAČUN Dekurzivno računanje vremena Pod složenim interesnim računom se podrazumeva računanje kamate na neki kapital u određenom periodu dodavanjem kapitalu tako da zajedno sa početnim kapitalom nadalje donosi kamatu. Ovo obračunavanje i dodavanje interesa kapitalu zove se kapitalisanje i može biti: godišnje (per annum) skraćeno (p.a.) polugodišnje (per semestre) skraćeno (p.s.) tromesečno (per quartale) skraćeno (p.q.) mesečno (per mensem) skraćeno (p.m.) U praksi je najčešće godišnje i polugodišnje. Računanje i odobravanje kamate na kraju određenog vremenskog perioda zove se dekurzivno računanje interesa i uz kamatnu stopu se obeležava sa d. Pored ovakvog računanja kamata postoji i računanje kamata na početku svakog predstojećeg perioda (tako banke daju zajmove) i zove se anticipativno računanje interesa koje obeležavamo sa slovom a uz interesnu stopu.

‐ 244 ‐

Faktor akumulacije 1.1. Izračunavanje krajnje vrednosti kapitala Vrednost kapitala koja se daje pod interes zove se sadašnja vrednost i obeležava se sa K. Vrednost kapitala posle određenog broja u n periodu na kojem je kapitalisan zove se krajnja vrednost i obeležava se sa Kn. Izračunajmo Kn uz pretpostavku da je K dinara dato uz kamatnu stopu p i sa godišnjim kapitalisanjem. Posle prve godine imamo interes

i Kp1 100=

koju dodajemo na početni kapital i dobijamo

K K Kp K p1 100

1100

= + = +( )

Na kraju druge godine imamo ineteres

iK p

K p p2

1

1001

100 100= = +( )

koji dodajemo na K1 i dobijamo

2

212 1001

1001001

1001 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

pKppKpKiKK

Na isti način dobijamo da je

K Kp

K Kp

3

3

4

4

1100

1100

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, ...

i uopšte

K K pn

n= +( )1100

.

Izraz 1+100p

se obeležava sa r i zove se interesni činilac pa poslednja jednačina

postaje Kn = Krn pri čemu je rn predstavlja krajnju vrednost jedne novčane

jedinice date pod interes sa kamatnom stopom p godišnje na dekurzivno kapitalisanje od n godina, i naziva se faktor akumulacije. U slučaju da se kapitalisanje vrši m puta godišnje sa godišnjom kamatom od p procenata tada se procenat umanjuje m puta a stepen se uvećava m puta, dakle, jednačina računanja kapitala posle n godina ima oblik

‐ 245 ‐

Kmn=Kmn

mp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+

1001

Ovakve stope na kraći period od godine zovu se proporcionalne. Primer:

Naći sumu na koju naraste 5000 dinara pri a)godišnjem, b) polugodišnjem i c) tromesečnom kapitalisanju sa godišnjom stopom od 4% na 5 godina

Rešenje:

a) dinK 26,6083100

4150005

5 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

b) dinK 95,60941002415000

25

10 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+⋅=

⋅

d) dinK 95,61001004415000

45

20 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+⋅=

⋅

Napomena: Zbog prilično komplikovanog računanja vrednosti, u praksi u bankarskim poslovima gde su ovi računi česti, za ovaj račun se ne koriste logaritmi i loaritamske tablice već tablica I interesa na interes koja sadrži krajnje vrednosti jednog dinarana kraju 1,2,...,n godine uz dati procenat. Dakle:

1

1001 pI

pr =+=

222 )100

1( pIpr =+=

np

nn Ipr =+= )100

1( i

nn rKK 0= se zamenjuje sa n

pn IKK ⋅= 0 pri godišnjem kapitalisanju sa

kamatom od p %. Ako se kapitalisanje vrši m puta godišnje sa stopom p% godišnje tada se vrednosti kapitala na kraju n‐te godine računa na sledeći način:

K K Imn pm

mn= 0 .

‐ 246 ‐

Generalizacija faktora akumulacije

U primeru iz prethodnog poglavlja se vidi da ako kapitalisanje vršimo češće dobijamo veće sume novca na kraju. Šta bi bilo ako bi kapitalisanje vršili neprekidno? Polazeći od formule

Kmn=K0

mn

mp

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+

1001

tada bi se m neograničeno uvećavalo! Imali bi, dakle

nm

mn mpKK

⋅

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+⋅=

1001lim 0 , odnosno

nm

m

nm

mn m

pK

m

pKK

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⋅=

∞→∞→

1001lim1001lim 00

1000

1000

pnnp

n eKeKK =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Broj 100p

e se zove dekurzivni interesni činilac a np

e100 se zove faktor akumulacije posle n godina pri neprekidnom ukamaćivanju. Konformna (ekvivalentna) stopa Iz prethodnih poglavlja smo videli da se uvećanjem broja kapitalisanja povećava krajnja vrednost kapitala i da je ona najveća pir neprekidnom kapitalisanju. Prirodno je postaviti pitanje kako se može vršiti kapitalisanje više puta (na primer m puta) u toku godine i da se isplati ista količina novca kao pri godišnjem kapitalisanju? Odgovor na ovo pitanje je sledeći: ista količina novca pri godišnjem i češćem kapitalisanju će se postići pomoću ekvivalentne kamatne stope. Neka je: i ‐ godišnja kamatna stopa im – ekvivalentna kamatna stopa za m kapitalisanja godišnje Neka je prema prethodnom zahtevu kapital isti na kraju n‐te godine:

‐ 247 ‐

( ) ( )mnmn iKiK +=+ 11 00 odakle je

( ) ( )mnmn ii +=+ 11 odnosno posle korenovanja leve i desne strane

( ) ( )mmii +=+ 11 odnosno

( )mm ii1

11 +=+ a odatle

( ) 111−+= mm ii

tako, na primer, ako je kapitalisanje polugodišnje sa kamatnom stopom od 6% tada je ekvivalentna kamatna stopa

%956,21100

6121

2 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=i

Očigledno, ova stopa je nešto niža nego proporcionalna koja bi u ovom slučaju bila 3%. Ovo važi i u opštem slučaju što se lako dokazuje koristeći se binarnim obrascem. Polazeći od relacije

( )mmii +=+ 11

i rastavljajući desnu stranu po binarnom obrascu imamo

mmm

m

mm

m

m

m

mm

m

m

mmimiiimiii ⋅+>⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⋅+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=+ 1...1...1 2

2

2

210

odavde je mimi ⋅> odnosno mimi> .

Dakle, proporcionalna stopa je veća od ekvivalentne. Eskontni faktor

Iz jednačine ( )n

nn

pKiKK ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

10011 00 odnosno

mnmn

mn mpK

miKK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

10011 00 odnosno

1000

pn

n eKK =

‐ 248 ‐

dobijamo krajnju vrednost kapitala posle n godina pri dekurzivnom godišnjem, m puta u godini i neprekidnom kapitalisanju sa godišnjom kamatnom stopom p. U primenama je trebalo rešavati i obrnut problem: koliko treba uložiti novca u sadašnjem trenutku da bi posle n godina dobili željenu svotu novca Kn, odnosno Kmn odnosno nK u zavisnosti od vrste kapitalisanja. Jasno, ovo se lako

rešava i imamo

nn

pK

K

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

1001

0 odnosno

mnmn

mpK

K

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

1001

0 odnosno

Dakle, početna vrednost koju treba uložiti se dobija kada se željena vrednost podeli sa faktorom akumulacije odnosno ako se željena vrednost pomnoži sa recipročnom vrednošću faktora akumulacije koji se zove još i eskontni faktor. Radi lakšeg računanja i eskontni faktor se zadaje tablično (za praktični račun lakše je množiti nego deliti) i dat je tablica II. Primeri sa rešenjima:

Koliko treba uložiti novca danas da bi posle 10 godina sa kamatnom stopom 8% uz godišnje kapitalisanje primili 5000 din?

dinK 2316

10081

5000100 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

‐ 249 ‐

Faktor dodajnih uloga U prethodnom razmatranju složenog kamatnog računa izračunavali smo krajnju vrednost kapitala za dati početni kapital dekurzivno na n godina sa kamatnom stopom od p procenata ili obrnuto, izračunavali smo koliki kapital treba uložiti da bi imali određenu krajnju vrednost posle n godina. Dakle, uvek jedan ulog. Ovde ćemo posmatrati situacije kada imamo ne jedan već više uloga, koji mogu biti u istim vremenskim intervalima kao i u različitim, zatim isti po veličini kao i različiti. Ulaganje početkom obračunskog perioda Pretpostavimo da na početku svake godine ulažemo K dinara i neka banka na kraju svake godine vrši kamaćenje sa p% kamatnom stopom. kojom ćemo sumom raspolagati na kraju n‐te godine. Očigledno ćemo imati sledeću situaciju:

Prva uložena suma posle n‐te godine je postala npK ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1001

Druga uložena suma donosi 1

1001

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

npK

Treća uložena suma postaje 1

1001

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

npK

...

Zadnji ulog postaje ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1001 pK

Dakle, na kraju n‐te godine imamo 1100

+ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

p r

( )111...... 211

−−

⋅=++++⋅=⋅++⋅+⋅= −−−

rrrKrrrrKrKrKrKSn

nnnnn

Napomena 1: Zadnja relacija se može dobiti i na sledeći način: rKrKrKrKS nn

n ⋅+⋅++⋅+⋅= − 21 ... i posle množenja sa r

imamo 231 ... rKrKrKrKSr nnn ⋅+⋅++⋅+⋅=⋅ + a odavde

rKrKSrS nnn ⋅−⋅=− +1 što daje

)1()1( −=− nn rKrrS odnosno

‐ 250 ‐

·

Napomena 2: Izraz ( )

11

−−

rrr n

je očigledno zbir iz I tablice od 1 do n za određeni

procenat a koji se takođe zadaje tabelarno, tablica III, tj. važi:

( ) n

p

n

IIIrrr

=−−11

i naš osnovni uzraz se računa na sledeći način

npn IIIKS ⋅=


Neko ulaže početkom svake godine 10000 dinara. Koliko će imati u banci na kraju iste godine ako se na ime interesa na interes računa po 4% uz godišnje dekurzivno kapitalisanje? Ovde je K=10000, p=4%, r=1,04, n=5, S5=?

Dakle, ( ) dinS 8,56329

104,1104,104,110000 5

5 =−

−⋅=

Ulaganje krajem obračunskog perioda Ako se krajem svake godine ulaže K dinara sa p% (pa) d interesa na interes pri godišnjem kapitalisanju koliko ćemo imati novca posle n godina? Analizirajmo: uloženih K dinara na kraju prve godine posle n godina postaje

1−nKr drugi ulog od K dinara na kraju je 2−nKr

treći ulog daje 3−nKr i tako dalje poslednji ulog od K dinara se ne kapitališe. Dakle, posle n godini imamo: KrKrKS nn

n ++⋅+⋅= −− ...21' =

= K r r r K rr

n nn

( ... )− −+ + + + =−−

1 2 1 11

‐ 251 ‐

Napomena 1: Ako izraz rrr nn +++ −− ...21 zamenimo tabličnim izrazom 1−npIII

tada 'nS možemo računati i na sledeći način

( )1' 1 −+= npn IIIKS

Isto tako, između Sn i 'nS mogu da se uspostave sledeće veze:

Uz S K rrn

n' =

−−

11

množenjem leve i desne strane sa r dobijamo

11'

−−

⋅=⋅rrrKSrn

n tj.

nn SSr =⋅ ' ili

rS

S nn =' odnosno

1'p

npn IIIIIKS ⋅⋅= .

Isto tako i

( )1100

1100

1

111' −⋅=

−+

−=

−−

= np

np

n

n Ip

Kp

IK

rrKS

Napomena 2: Za slučajeve kapitalisanja češćih nego što su godišnja

kapitalisanja pri ovom računu sa tablicom III umesto npIII koristi mn

mpIII ako je

broj kapitalisanja m na godišnjem nivou a godišnja kamatna stopa iznosi p (n je naravno broj godina). Ulaganje je češće (ređe) od kapitalisanja U slučajevima kada su ulaganja neravnomerno raspoređena i različita po veličini a računaju se na određeni broj godina tada možemo postupiti na sledeći način: Posle svakog ulaganja kapital se preračunava na krajnji datum te godine i posle se izvrši uobičajeni postupak računa godine za godinu. Ako je

‐ 252 ‐

ulaganje ređe od kapitalisanja tada se kapitalisanje vrši sa odgovarajućom

kamatnom stopom mp(m je broj kapitalisnja) za m‐n period.


Ulagano je početkom svakog polugodišta po 10000 dinara u banku koja plaća 6% kamate i vrši godišnje kapitalisanje u trajanju od 5 godina. Koliko novca će biti posle tog perioda? Na kraju prve godine kada se vrši kapitalisanje ćemo imati kapitalisanje za prvi ulog za celu godinu a za drugi kapitalisanje za pola godine tj.

dinK 209001200

66110000100

61100001 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Dakle, na kraju svake godine će biti novog novca K1=21000 dinara, odnosno imađemo

( ) 4,1178156371,520900121000 46

'5 =⋅=+= IIIS

Napomena: ukoliko na primer u banku ulažemo početkom svakog od m perioda u toku jedne godine po K dinara sa godišnjom kamatnom stopom p onda ćemom na kraju godine imati ulog od

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=200

11

mpmKK

Zaista, prvi ulog se kapitališe u potpunosti i na kraju imamo )100

1( pK +

drugi ulog će postati

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⋅1200

12121 m

pK

treći ulog će postati

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−

+⋅1200

212121 m

pK

‐ 253 ‐

...

m‐ti ulog će postati ( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

+⋅1200

112121

mm

pK

I zbir

( )

( )( )

( ) ( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

++=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++−

++=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=

2001

2002

2001

1001200126

100

1200

1...211212

100

1200

11212...

1200

1212

1001

mpmKppmpmK

mppmKmmppmK

mm

mppmK

mm

pm

ppmKK

Faktor aktuelizacije dekurzivnih uloga Neka krajem prve, druge, ...,n‐te godine ulažemo K1,K2, ...,Kn dinara uz godišnje kapitalisanje sa kamatnom stopom p procenata. Postavlja se pitanje: Koliko novca bi trebalo uložiti početkom prve godine da na kraju n‐te godina uz iste uslove imamo isti kapital? Dakle, ako je taj nepoznati kapital K0 tada je n

nnn krkrkrK ++⋅+⋅=⋅ −− ...12

110 odakle je

nn

rk

rk

rkK +++= ...2

210

‐ 254 ‐

Ako je kkkk n ==== ...21 tada je

( )( )1

10 −

−=

rrrkK n

n

pri tome se ( )( )1

1−−rrrn

n

zove faktor aktuelizacije.

Danas faktor aktuelizacije je vrednost ulaganja na početku prve godine (zove se još i diskontovana vrednost) ekvivalentna ulaganjima od po jedne novčane jedinice krajem prve,...,n‐te godine.

Napomena: Radi lakšeg računa u praksi se koristi tablica za izraz ( )11−−rrrn

n

to

je tablica IV, dakle,

( )npn

n

IVrrr

%11

=−−

i npIVkK %0 ⋅=

Faktor aktuelizacije anticipativnih uloga Analogno kao u prethodnom slučaju, neka početkom prve, druge,..., n‐te godine ulažemo k1, k2,...,kn dinara uz godišnje kapitalisanje sa kamatnom stopom od p% možemo postaviti pitanje: koliko bi novca '

0K trebalo uložiti

početkom prve godine da bi na kraju n‐te godine uz iste uslove imali isti kapital? Nepoznati kapital bi, dakle, bio '

0K i on bi na kraju n‐te godine bio nrK '

0 i morao bi biti isto kao i rkrkrk nnn +++ − ...1

21 dakle,

12

1'0 ... −+++= n

n

rk

rkkK ako je k1 = k2 = ... = kn tada je

( )11

21...11 11

'0 −

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++= −− rr

rkr

kK n

n

n

i ove vrednosti se slično kao i prethodna računa primenom tablice IV tj. važi

( )1%

'0 1 −+= n

pIVkK jer je ( ) ( )11

111 11

1

−−

=−−

+ −−

−

rrr

rrr

n

n

n

n

.

‐ 255 ‐

Zajmovi I pored toga što u ekonomskoj nauci u praksi se ponekad pravi razlika između zajma i kredita (reč kredit se upotrebljava za kratkoročne bankarske poslove a zajam se upotrebljava za dugoročne kredite). Ovde ne pravimo razliku između ove dve kategorije jer suštinske razlike i nema. Dakle, kredit ili zajam predstavlja privredno pravni pojam tj. dužničko poverenički odnos zasnovan na ugovoru o uslovima za isticanje prava raspolaganja novcem (ili nekim drugim vrednostima) od strane poverioca prema dužniku. Sama reč kredit potiče od latinske reči “credo” što znači verujem (imam poverenje). Interesi poverioca (odnosno zajmodavca) su najčešće kamata, ali pored toga interes može biti i određeni ekonomski razvoj, instrument ekonomske politike ako je poverilac veća firma prema manjoj ili država prema nekoj radnoj organizaciji. Zajmovi najčešće služe za investicione svrhe i po pravilu se odobravaju jednokratno u određenoj visini a dužnici ih otplaćuju u godišnjim otplatnim iznosima koji se zovu anuiteti. U anuitetima se sadrže otplate glavnice i isplate kamate. Anuiteti su najčešće jednaki a mogu biti i različiti a na primer da otplate glavnice budu jednake. Isplaćivanje zajma se u ekonomskoj praksi zove amortzacija zajma.

Amortizacija zajma jednakim anuitetima Pretpostavljamo da je dužnik uzeo od poverioca K dinara početkom godine koje treba da otplati sa jednakim godišnjim anuitetima a. Pri tome je kamata p procenat a ukamaćivanje je složeno i vrši se godišnje. Koliki je anuitet a? Dug će očigledno posle godinu dana pre otplate prve dve rate iznositi

( )rKpKK +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 1

10011 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =

100pi

Posle otplate prve rate dug iznosi ( ) aiK −+1 Pre isplate druge rate dug postaje (zbog kamata)

( )( )( ) ( ) ( )iaiKiaiKK +−+=+−+= 1111 22

i uplatom druge rate dug se smanjuje za a i iznosi ( ) aiarK −+−+ )1(1 2

‐ 256 ‐

Ovaj račun nastavljamo i posle n‐te godine i isplate n‐te rate imamo

K i a i a i a i an n n( ) ( ) ( ) ... ( )1 1 1 1 01 2+ − + − + − − + − =− − jer je po pretpostavci isplatom zadnje n‐te rate dug isplaćen. Ako je 1 + i = r tada imamo

Kr ar ar an n= + + +−1 ... odnosno

11

−−

=rraKrn

n tj. ·

odnosno ( )11−−

=rrraK n

n

pri čemu se ( )

11

−−

n

n

rrr

zove anuitetni faktor ili faktor povraćaja koji je dat

tablicom V, a koja je očigledno povezana sa tablicom IV tj. važi np

np IVV

%%

1=

U slučaju da se anuiteti povećaju m puta godišnje i n puta se vrši kapitalisanje tada se analognim računom dobija veza

( )( )1

1−−

=rr

raK mn

mn

gde je

mpr

1001+= odnosno imamo

mn

mpIVaK ⋅= tj. mn

mpVKa ⋅=

Primer: Zajam od 1.000.000 dinara amortizuje se jednakim anuitetima u toku 5 godina uz 12% kamatnu stopu ako je obračun kamate na kraju godine. Izračunati anuitet ako se:

a) anuitet plaća i kapitalisanje vrši godišnje b) anuitet plaća i kapitalisanje vrši polugodišnje c) anuitet plaća i kapitalisanje vrši tromesečno d) anuitet plaća i kapitalisanje vrši mesečno.

Rešenje:

‐ 257 ‐

a) K=1.000.000, n = 3, m = 1, 300.416312 ==⋅= KVVKa mn

mp din

b) K=1.000.000, n = 3, m =2, 400.20366 ==⋅= KVVKa mn

mp din

c) K=1.000.000, n = 3, m = 4, 500.100123 ==⋅= KVVKa mn

mp din

d) K=1.000.000, n = 3, m = 12, 200.33361 ==⋅= KVVKa mn

mp din

Zakon otplata Ako zajam otplaćujemo jednakim anuitetima tada sa svakim anuitetom plaćamo prispelu kamatu na dug u tom trenutku i dajemo otplatu – smanjujemo dug. Dakle, anuitet kk iba += za k =1,2,...,n

Pri ovakvom načinu otplaćivanja zajma očigledno je da se sa vremenom otplate povećavaju a prispele kamate smanjuju. Pregled otplata i interesa se vrši po određenom planu koji se zove amortizacioni plan. Izložimo ga pretpostavljajući da se zajam od K dinara amortizuje sa n jednakih godišnjih anuiteta sa p% kamatnih stopa i godišnjim dekurzivnim kapitalisanjem. Prema prethodno izračunatom imamo da je

npVKa ⋅= i pri tom imamo:

• za prvu godinu zajam je K1=K, interes 1001

1pKi = , i otplata 1iab −=

• za drugu godinu zajam je K2=K1‐b1, interes 1002

2pKi = , i otplata

22 iab −=

• za n‐tu godinu zajam je Kn=Kn‐1‐bn‐1, interes 100pKi n

n = , i otplata

nn iab −=

pri čemu je poslednja otplata jednaka ostatku duga tj. nn Kb =

Pregledno ovaj plan se daje tabelom:

Period otplaćivanja

Iznos dug Interes anuitet

otplate

1 KK =1

1001

1pKi =

a 11 iab −=

‐ 258 ‐

2 112 bKK −=

1002

2pKi =

a 22 iab −=

3 223 bKK −=

1003

3pKi =

a 33 iab −=

... ...

... ... ...

n‐1 221 −−− −= nnn bKK

1001

1pKi n

n−

− =

a 11 −− −= nn iab

n 11 −− −= nnn bKK

100pKi n

n =

a nn iab −=

Očigledno u ovom planu mora biti:

( )n

n iiipKKK+++=

⋅+++ ...100

...21

21

nn Kb =

Kbbb n =+++ ...21

anbbbiii nn ⋅=+++++++ ...... 2121

Primer: Napravimo amortizacini plan iz prethodnog primera a): K=1000000, n = 3, p =12%, 350.416=a dinara Godine otplate

iznos duga Interes Otplata

1 K1= 1000000 120000100

11 ==

pKi 29635011 =−= iab

2 K2=K1‐b1= 703650 84440100

1222 ≅

⋅=Ki 33191022 =−= iab

3 K3=K2‐b2= 371740 44610100

1233 ≅

⋅=Ki

3717403 =b

UKUPNO: 1000000

‐ 259 ‐

Izračunavanje bilo koje otplate pomoću prve otplate i obrnuto

Iz amortizacionog plana možemo odmah videti da je:

100111Kpbiba +=+= i

( )

1001001

22

2212pbKbpKbiba −

+=+=+= pa je

1001001001

21pbKpbKpb −+=+ odakle je

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

1001

100 11

12pbpbbb

Analogno dobijamo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

100123

pbb odnosno 2

13 1001 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

pbb

i nastavljajući do kraja

1

1 1001

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

n

npbb

Imajući u vidu da je vrednost kp⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1001 data u prvoj tablici k

pI imamo da je

11

−= kpk Ibb k=2, ..., n

Obratno, ako znamo bk, dobijamo b1 na sledeći način

11

−⋅== kpkk

p

k IIbIbb k =2,...,n

‐ 260 ‐

Izračunavanje otplaćenog dela duga i ostatka duga posle c prvih plaćenih anuiteta Ove vrednosti kada je trebalo izračunati ih, se lako izračunavaju iz amortzacionog plana. Naime, otplaćeni dug Oc posle c plaćenih anuiteta je zbir prvih otplata, dakle:

cc bbbO +++= ...21 kako je 11

−⋅= kpk Ibb to je

( ) ( )11

1211

11

21

111 1...1... −−− +=++++=++++= c

pcppp

cpppc IIIbIIIbIbIbIbbO

jer je od ranije poznato 1211 ... −− +++= cppp

cp IIIIII

Ostatak duga Rn‐c naravno, predstavlja razliku između duga Kn otplaćenog dela Oc: ccn OKR −=−

i pod istim uslovima (godišnje kapitalisanje i godišnji anuitet) može se izračunati da je

cnpcn IVaR −

− ⋅=

Anuiteti su jednaki i češći od kapitalisanja Neka je kapitalisanje godišnje p procenat kamatne stope, anuitet na zajam od K dinara se isplaćuje m puta godišnje a broj godina za koje treba otplatiti zajam neka je n. Koliki je anuitet? Anuiteti uplaćeni m puta godišnje se očigledno moraju svatiti kao ulozi dati pod istim uslovima kao što je i zajam uzet, dakle, na kraju godine iznos anuiteta je

‐ 261 ‐

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+200

1 pmma a zajam je postao ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

1001 pK i neotplaćena suma sa

kojom se ulazi u drugu godinu je ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2001

10011

pmmapKK

analogno dobijamo

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2001

100112

pmmapKK

. . .

( ) 0

2001

10011 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += −

pmmapKK nn

Iz ovih relacija dobijamo (zamenom prethodne u narednoj)

K K p a m m p p2

2

1100

1200

1100

1= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )

...

K K p a m m p p pn

n n

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

−

1100

1200

1100

1100

1 01( ) ...

označivši rp=+

1001 imamo

( )11

2001

−−

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⋅rrpmmarKn

n

odakle je

( )

( ) ( )200

1200

111

%

pmm

VKpmm

rrrK

anpn

n

−+

⋅=

−+

−−⋅

⋅=

Primer: Kupac je kupio automobil na kredit. cena automobila je 200000 dinara, kamata je 10%, kapitalisanje je godišnje a kredit se otplaćuje na 36 jednakih mesečnih rata. Koliki su anuiteti? Rešenje:

‐ 262 ‐

640855,12

4021,0200000

200101112

10 ≈⋅

=⋅

+

⋅=

bVKa dinara

Anuiteti jednaki i ređi od kapitalisanja Ovaj slučaj ćemo objasniti na primeru gde se na zajam od K dinara sa p procenata godišnje kamate vrši kapitalisanje m puta godišnje a anuiteti se plaćaju godišnje n godina. Dakle, zajam na kraju prve godine postaje posle m kapitalisanja sa

proporcionalnom stopom mp

m

mpK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1001

i kada posmatramo prvi anuitet dobijamo startnu vrednost za drugu godinu (vrednost na kraju prve godine):

ampKK

m

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

10011

analogno

ampKK

m

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

100112

i na kraju

0100

11 =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += − a

mpKK

m

nn

tj. sa n‐tom otplatom zajam je otplaćen. Zamenjujući prethodni izraz u narednom dobijamo

apampKK

mm

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1001

1001

2

2

i tako dalje do kraja:

( ) ( )

0...100

1100

1100

121

=−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−−

ampa

mpa

mpKK

nmnmmn

n

‐ 263 ‐

sabirajući

1100

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=pm

rm

imamo jednakost

aarararrK nnn ++++=⋅ −− ...21 odnosno

11

−−

⋅=rraKrn

n

odakle je

( )1

1n

n

rrrKa −

⋅=

Dakle, ako računamo pomoću tablice mn

mpVKa ⋅= je izračunata vrednost

anuiteta.

Amortizacija zajma jednakim otplatama

Zajam se može otplaćivati i sa jedanakim otplatama od n delova, s tim da se anuiteti dobijaju tako što se na verdnost doda izračunati interes u trenutku isplate anuiteta.. Dakle, neka je uzet zajam od K dinara na n‐godina sa p procenata kamatne stope i jednakim otplatama. Koliki su godišnji anuiteti? Anuieti se mogu lako računati na sledeći način.

Prvo, nKbbb n ==== ...21 i anuitet ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

1001

1001np

nKpK

nKa

Dakle, u drugu godinu ulazimo sa dugom ( )nnK 1−

i drugi anuitet je

( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=100

11100

12

pnnKp

nnK

nKa

‐ 264 ‐

U treću godinu se ulazi sa dugom ( )nnK 2−

i treći anuitet je

( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

+=100

21100

23

pnnKp

nnK

nKa

nastavljajući analogno zaključujemo da je k‐ti anuitet

( )a K

nn k p

k = +− +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟1

1100( )

i zadnji anuitet je

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1001 p

nKan

sa kojim je otplaćen dug. Ako se pravi amortizacioni plan zajma u koloni otplata imamo iste vrednosti a anuiteti se dobijaju kad se na ove vrednosti dodaju interesi na odgovarajući iznos duga. Primer: Kredit od 2700 din uzet je po godišnjoj kamatnoj stopi od 12% na 12 tromesečnih anuiteta sa jednakim isplatama. napraviti plan amortizacije. Rešenje: Otplata je dakle 2700:12=225 din. Kada dođe vreme prve isplate na

kredit valja platiti interes 811004

1227001 =

⋅⋅

=P din. (kamata je proporcionalna)

pa je prvi anuitet, dakle, 225+81=306 dinara. Dakle, preostali deo duga je 2475 na koji se daje na koji se daje otplata posle sledeća tri meseca koja iznosi 225+P2 a

25,741004

1224752 =

⋅⋅

=P din. pa je anuitet 299,25 dinara ili pregledno u tabeli:

‐ 265 ‐

Period otplate

početni iznos duga

interes anuitet otplata krajnji iznos

duga 1 2700 81 306 225 2475 2 2470 74,25 299,25 225 2250 3 2250 67,50 292,50 225 2025 4 2025 60,75 285,75 225 1800 5 1800 54,00 279,00 225 1575 6 1575 47,25 272,25 225 1350 7 1350 40,50 265,50 225 1125 8 1125 33,75 258,75 225 900 9 900 27,00 252,00 225 675 10 675 20,25 245,25 225 450 11 450 13,50 238,50 225 225 12 225 6,75 231,75 225 0 ∑ ‐ 526,50 3226,50 2700 ‐

AMORTIZACIJA ZAJMA PROMENLJIVIM ANUITETIMA Isplata zajma na ovaj način se vrši izradom amortizacionog plana s’tim što anuitet u svakom koraku mora biti veći od interesa i zadnji anuitet mora svesti dug na nulu. AMORTIZACIJA ZAJMA ZAOKRUŽENIM ANUITETIMA Amortizacija zajma u ovoj situaciji je vrlo slična amortizaciji zajma sa jednakim anuitetima sa tom razlikom što se anuiteti zaokruže na neku određenu vrednost i na taj način se napravi amortizacioni plan a u poslednjem periodu izračunamo zadnji interes i dodamo na ostatak duga. Dakle, zadnji anuitet nije isti kao ostali već je zbir poslednjeg interesa in i poslednjeg ostatka duga Kn (koji je jednak ostalim) i zove se još i anuitetni ostatak. Primer: Zajam od 8000 dinara amortizuje se godišnjim anuitetima koji su u visini od 35% od veličine zajma sa kamatnom stopom od 5% dekurzivno godišnje kapitalisanje. Napraviti plan amortzacije zajma i odrediti poslednji anuitet.

‐ 266 ‐

Rešenje: Kako anuiteti treba da budu 35% od veličine zajma to je

2800100

358000=

⋅=a , p=5%, m=1 a n=? Iz tablice IV imamo 8000 = 2800

nIV5⋅ odavde je 8571,25 =nIV

Ove vrednosti se ne nalaze u koloni procenta 5 već je 3 < n < 4 dakle, zajam se amortizuje 4 godine. Tri puta se plaća po 2800 a poslednje ostatak. Prikažimo to amortizacionim planom:

period otplate

početni iznos duga

interes anuitet otplata krajnji iznos

duga 1 8000 400 2800 2400 5600 2 5600 280 2800 2520 3080 3 3080 154 2800 2646 434 4 434 21,7 455,7 434 0 ∑ ‐ 855,7 8895,7 8000 ‐

KONVERZIJA ZAJMA Konverzija zajma je svaka promena uslova otplaćivanja zajma. Do konverzije najčešće dolazi na predlog dužnika, može biti predviđena i ugovorom o zajmu i ;esto je nametnuta i promena na tržištu novca. Matematički gledano konverzija zajma predstavlja novi zajam sa novim uslovima pri čemu veličina tog novog zajma je ostatak duga sa prispelom kamatom do tog trenutka za koju se pravi novi amortzacioni plan sa novim uslovima. Primeri sa rešenjima:

Zajam od 100000 dinara otplaćuje se 25 godina godišnjim anuitetima uz interes od 6% (pa)d i godišnje kapitalisanje. Posle 15 godina plaćenih anuiteta interes je smanjen na 4% (pa)d i rok je produžen za 5 godina. Izračunati novi anuitet. Prvo treba izračunati prvobitni anuitet i otplaćeni deo duga sa 15 rata

dinVKa 78200782,0100000256 =⋅=⋅= ostatak duga posle 15 godina je

dinIVRK 575563601,778207820 10615251 ≈⋅=⋅== −

Novi anuitet je dakle

dinVKa 5,61351066,05755612411 ≈⋅=⋅=

‐ 267 ‐

10.8. ELEMENTI OSIGURANJA

Uvodni deo U ovom kratkom izlaganju o elementima osiguranja ćemo izložiti jedan oblik osiguranja – osiguranje lica ili kako se uobičajeno zove osiguranje života kai i osiguranje kapitala u smislu naplata u određenim situacijama od strane lica koje se osigurava ili od strane drugih lica na koje je osiguranje zaključeno. Dakle, ovde se ne govori o osiguranju imovine (mada su principi isti). Ovde će biti samo dotaknuta problematika teorijskog računa osiguranih lica (neće biti posmatrani troškovi osiguranja koji se sastoje od troškova zaključivanja osiguranja, naplate osiguranja, raznih administrativnih troškova) odnosno radićemo samo sa takozvanim neto premijama – odnosno kako se još zovu matematičkim premijama odnosno radićemo samo sa neto mizama ili matematičkim mizama. Osiguranje na život je pisani ugovor koji se zove polisa koji se zaključuje jednog osiguranog lica – osiguranika, i osiguravajućeg zavoda – osiguravača. Po tom ugovoru osiguranik se obavezuje da odmah, odjednom ili u više rata plati određenu ugovorenu sumu novca osiguravaču na osnovu koje ovaj kad nastupi ugovorom predviđen slučaj isplaćuje osiguranu sumu korisniku. Kad se ugovorna suma uplaćuje odjednom onda se kaže da je osiguranje izvršeno uplatom mize. Kad se ugovorena suma uplaćuje više puta, bilo godišnje, bilo više puta godišnje tada se kaže da je osiguranje izvršeno uplatom premije. Premija može biti doživotna ili privremena (doživotnu osiguranik plaća dok je živ a privremenu određeni broj godina u slučaju da ih doživi). osiguranje na život se deli na: osiguranje rente i osiguranje kapitala. Prvi tip je kad se osiguravač obavezuje da osiguraniku (posle određenog broj godina) određen broj godina (ili doživotno) isplaćuje određeni novčani iznos (rentu) jednom ili više puta godišnje. Drugi put je kada se osiguravač obavezuje da isplati određenu sumu novca (kapital) jednom ili najviše dva puta u životu. Osiguranje života može biti vezano za jedno ili više lica – ovde će biti reč o osiguranju jednog lica. Svi računi ovde su vezani za određene verovatnoće – verovatnoća da će određeno lice sa x godina da doživi x+y godina. Računanja se vrše tako što se poštuje princip ekvivalencije – grupne uplate su jednake ukupnim isplatama.

‐ 268 ‐

Tablice smrtnosti

U grani matematike koja se koristi u osiguranju i koja se zove aktuarska matematika za praktične primene za računanje uplata kod osiguranja na život koriste se tablice smrtnosti. U ovim tablicama su praktično uključene verovatnoće doživljavanja kao i važeće kamatne stope za koje se u odgovarajućoj državi koriste. U tim tablicama obično imamo sledeće elemente x ‐ starost lica lx ‐ broj živih lica starih x godina dx ‐ broj umrlih lica u toku x+1 godine života Dx, Nx, Sx, Cx, Mx, Rx – komutativni brojevi

Dx –broj diskontovanih živih lica starosti x‐godina u času njihovog

rođenja xx

rl

Nx – zbir brojeva diskontovanih živih lica starosti x, x+1, x+2,... godina

∑∞

=++

011

ixx

rl

Sx – zbir zbirova diskontovanih živih lica starosti x, x+1, x+2,... godina Cx – broj diskonotvanih umrlih lica u toku x+1 godine života Mx – zbir brojeva diskontovanih umrlih lica u toku x+1, x+2,... godine starosti Rx ‐ zbir zbirova diskontovanih umrlih lica u toku x+1, x+2,... godine starosti U tablicama našeg osiguravajućeg zavoda kamatna stopa za diskontovanje je 5%. OSIGURANJE LIČNE RENTE UPLATOM MIZE Osiguranje rente predstavlja vid osiguranja u kome u kome osiguranik uplatom jednokratne novčane mase – mize ili višekratnim uplatama – premijama u ratama želi da obezbedi sebe u budućnosti ili svoju porodicu u budućnosti. Dakle, postoji više kategorija rente – ovde će biti posmatrana samo lična renta. Ona se prema početku primanja može odrediti kao neposredna ili odložena. Neposredna je kada se primanja isplaćuju odmah posle zaključenja osiguranja a odložena je ona u kojoj se primanja isplaćuju posle protoka nekog određenog perioda (odloženost) koji je predviđen ugovorom. Prema vremenu primanja može biti dekurzivna (ako se prima krajem svake godine) i anticipativna (ako se prima početkom svake godine). Renta se po pravilu isplaćuje godišnje a ako se isplaćuje češće onda se zove renta u ratama ili parcijalna renta. Renta može biti konstantna i promenljiva u zavisnosti od visine (što se predviđa ugovorom).

‐ 269 ‐

Ovde će biti posmatrana konstantna dekurzivna i anticipativna renta koja je neposredna i doživotna, bez ukazivanja na raznorazne mogućnosti koje se mogu dobiti u ostalim slučajevima. Dakle, doživotna neposredna renta je ona koju osiguranik prima od dana osiguranja pa do kraja života. Kada bi znali broj primanja n naznačene rente zadatak bi rešili na sledeći način:

( )11 −+= npn IVRM

gde je R renta a Mn bi bili veličine uplate i ako bi princip ekvivalencije bio zadovoljen. Međutim, mi ne znamo n, i zadatak nećemo rešiti pomoću ovog obrasca finansijske matematike. Dakle, rešavamo zakonima aktuarske matematike sledeći princip ekvivalencije – uplate su jednake sa isplatama. Ovo se naravno neće odnositi na jednog osiguranika već globalno posmatrajući sve osiguranike jednog osiguravajućeg zavoda. Dakle, izračunajmo koliku će mizu (neto iznos – iznos bez troškova) uplatiti lice staro x godina da bi primalo rentu R dinara od dana osiguranja do kraja života? (A)Rešenje: anticipativni slučaj Neka je xa miza koju će ovo lice da uplati da bi primalo 1 novčanu jedinicu

rente. Osiguravajući zavod će (uz pretpostavku da su sva lica stara x godina kojih ima lx u tablicama) biti osigurani, dobiti

xx la ⋅ dinara.

Osiguravajući zavod xx la ⋅ primljenih dinara isplaćuje svim licima sabira se

godina odmah po 1 novčanu jedinicu, a potom početkom sledeće godine svim živim licima koja imaju x+1 godina lx+1 dinara Dakle zavod isplaćuje na dan osiguranja lx novčanih jedinica posle 1 godine lx+1 novčanih jedinica posle 2 godine lx+2 novčanih jedinica . . . Vrednost ovih isplata moraju biti isti kao i vrednost uplate, dakle, ove vrednosti isplata moraju se svesti na isti rok – na dan osiguranja – a znajući da je kamatna stopa p procenata ove vrednosti su:

‐ 270 ‐

prva lx novčanih jedinica

druga rlx 1+ n.j.

treća 22

rlx+ n.j.

gde je ,100

1 pr += i pri tom imamo jednakost

...22

11 +++=⋅ +

+++

xx

xx

xx

xx rl

rl

rlla i znajući da je m

mx r

lD = imamo

...21 +++=⋅ ++ xxxxx DDDDa odnosno xxx NDa =⋅ a odavde je x

xx D

Na =

što je miza na rentu od 1 novčane jedinice i rentu R novčanih jedinica imamo

x

xx D

NRaRM ⋅=⋅=

(B) Rešenje – dekurzivni slučaj Kao i u prethodnom slučaju neka je xa miza za 1 nj. rente koju će osiguranik

primati krajem svake godine. Dakle, osiguravajući zavod će od lx osiguranika starih x – godina primiti a lx x novčanih jedinica. Isplaćivaće: posle prve godine lx+1 nj. posle druge godine lx+1 nj. I ove isplate treba svesti na početno vreme (imajući na umu da je kamatna

stopa p i 100

1 pr += ) kada imamo sledeće vrednosti

prve isplate rlx 1+

druge isplate 21

rlx+

. . . i prema principu ekvivalencije imamo

...221 ++= ++

rl

rlla xx

xx

‐ 271 ‐

i posle podele sa rx imamo

...22

11 ++=⋅ +

+++

xx

xx

xx

x rl

rl

rla tj.

...21 ++= ++ xxxx DDDa

odnosno

1+= xxx NDa

odakle je

x

xx D

Na 1+=

što je miza za rentu od 1 n.j. a mize za R n.j. iznosi

x

xx D

NRRaM 1+==

Slično kao i za prethodne slučajeve mogu se dobiti i sledeći obrasci (za mizu za 1 novčanu jedinicu rente): Doživotna anticipativna renta odložena od x za k godina dobija se uplatom mize

x

kxxk DNa +

∞ =

Doživotna dekurzivna renta odložena od x za k godina dobija se uplatom mize

x

kxxk

DNa 1++

∞ =

Anticipativna renta za n‐godina uplate sa početkom isplate prve godine dobija se uplatam mize

x

knxxxn D

NNa +++ −= 1

0

Dekurzivna renta za n godine isplate sa početkom isplate krajem k‐te godine (od momenta osiguranja) dobija se uplatom mize

x

knxkxxnk D

NNa ++++ −= 1

‐ 272 ‐

10.9. OSIGURANJE KAPITA LA UPLATOM MIZE Kao što je napred rečeno osiguranik osiguranjem kapitala stiče pravo da, uplativši mizu, posle izvesnog vremena primi određenu sumu novca odjednom ili najviše od dva puta. Osiguranje kapitala može biti

A za slučaj doživljavanja B za slučaj smrti C za slučaj doživljavanja i smrti D na određeni rok

A Za slučaj doživljavanja U ovom obliku osiguranja, osiguravajuće društvo isplaćuje ugovorenu sumu samo onim osiguranicima koji dožive određeni rok. Uplata onih koji ne dožive ugovoreni rok, koristi se za povećanje sume (tako se i pororačun vrši) isplate onih koji dožive uplaćeni rok. Danas postavljamo sledeće pitanje: Koliku neto mizu treba da uplati lice staro x godina koje želi da mu se isplati k dinara ako doživi x+n godina? Neka je ovako osiguranje zaključilo lx lica straih x godina i neka je neto miza za 1 n.j. osiguranog kapitala xn E . Dakle, na dan osiguranja osiguravajuće društvo

primi

xnx El ⋅ n.j. (na primer dinara)

Na kraju n‐te godine osiguravajući zavod živim licima (kojih po tablicama starosti ima lx+n) isplati lx+n dinara. I ova isplata mora biti svedena na dan uplate tj. mora biti

nnx

xnx rlEl +=⋅ deleći zadnju relaciju sa rx dobijamo

nxnx

xnxx

rlE

rl

++=⋅ dakle imamo

nxxnx DED +=⋅

Odakle imamo x

nxxn DDE += što je mize za 1 dinar isplate a za k dinara imamo

x

nxxn D

DKEKM +⋅=⋅=

B Osiguranje kapitala za slučaj smrti Imamo četiri vrste osiguranja za slučaj smrti

‐ 273 ‐

a) doživotno b) odloženo c) privremeno d) odloženo privremeno

a) Doživotno osiguranje kapitala za slučaj smrti je takva vrsta osiguranja po

kome se određenom licu isplaćuje ugovoreni kapital na kraju godine u kojoj je osiguranik umro. Dakle lice staro x godina osigurava kapital od K dinara da se isplati naslednicima posle njegove smrti. Koliku mizu treba da uplati? Obeležimo sa Ax neto mizu koju osiguranik treba da uplati za 1 dinar osiguranog kapitala za naslednike. Neka je u ovu vrstu osiguranja stupilo lx lica starih x godina, dakle oni osiguravajućem zavodu isplaćuju xx Al ⋅dinara za isplatu naslednicima kapitala od po 1 dinar posle smrti osiguranika. Osiguravajući zavod posle prve godine isplati dx dinara, posle druge godine dx+1 dinara, posle treće godine dx+2 dinara. Zbir ovih diskontovanih vrednosti isplata mora biti isti kao i uplata (sve se svodi na isti trenutak):

...32

21 +++=⋅ ++

rd

rd

rdAl xxx

xx

Posle deljenja sa rx ove relacije imamo

...32

21

1 +++=⋅ ++

++

+ xx

xx

xx

xxx

rd

rd

rdA

rl

odnosno imamo relaciju

21 ++ ++=⋅ xxxxx CCCAD

ili preciznije

x

xxx DMAD =⋅ odakle je

x

xx DMA =

uz napomenu da poslednja relacija može imati i sledeći oblik xx daA +=1 ,

gde je r

d 11−= , jer je xxx NdDM ⋅−= jasno je da je miza za K dinara

kapitala xAKM ⋅=

b) Odloženo osiguranje u slučaju smrti

Ovu vrstu osiguranja imamo kada se osiguravajući zavod obaveže da će isplatiti ugovoreni kapital naslednicimaosiguranika ako osiguranik umre posle k godina posle osiguranja a krajem godine kad je ovaj umro. Ako osiguranik umre u ovih k godina naslednicima se ništa ne isplaćuje. Ova

‐ 274 ‐

vrsta osiguranja je zaštita za osiguravajuće zavode i praktikuje se u osiguravanju lica sumnjivog zdravstvenog stanja. Dakle, koliku mizu treba da uplati lice staro x godina da bi naslednicima obezbedilo kapital od K dinara psle svoje smrti, ako smrt nastupi posle k godina od dana osiguranja? Obeležimo neto mizu za 1 dinar kapitala isplaćenog pod ovim uslovima sa

xk A . Pretpostavimo da se lx osiguranika osiguralo na ovaj način. Dakle

osiguravajući zavod dobije xkx Al ⋅ dinara. Osiguravajući zavod na kraju k+1

godine isplaćuje dx+k dinara, na kraju k+2 godine dx+k+1dinara, ... Po principu ekvivalencije isplate diskontovane na dan uplate moraju biti jednake uplati pa imamo

...21

1 ++=⋅ +++

++

kkx

kkx

xkx rd

rdAl posle deljenja sa rx leve i desne strane

imamo

...21

1 ++=⋅ ++++

+++

xkkx

xkkx

xkxx

rd

rdA

rl

odnosno

...1 ++=⋅ +++ kxkxxkx CCAD odnosno

kxxkx MAD +=⋅ tj.

x

kxxk DMA +=

a neto mize za K dinara je

x

kxxk D

MKAKM +⋅=⋅=

c) Privremeno osiguranje za slučaj smrti

Ovom vrstom osiguranja osiguranik obezbeđuje da osiguravajući zavod isplati naslednicima kapital od K dinara krajem godine u kojoj je on umro ako umre u prvih n godina od dana osiguranja, a ako ne umre do tada onda osiguravajući zavod ne isplaćuje ništa. Dakle, koliku mizu treba da uplati lice staro x godina da bi se njegovim naslednicima krajem godine u kojoj je umrlo isplatilo K dinara ako umre u toku prvih n godina od dana osiguranja?

‐ 275 ‐

Obeležimo sa xn A iznos neto mize za isplatu kapitala od 1 dinara I

pretpostavimo da je u ovaj odnos stupilo lx lica starih x godina. Osiguravajući zavod dobije xnx Al ⋅ dinara.

Po ovom osnovu osiguravajući zavod isplaćuje krajem prve godine dx dinara krajem druge godine dx+1 dinara krajem n‐te godine dx+n‐1 dinara

Po principu ekvivalencije mora biti

nnxxx

xnx rd

rd

rdAl 1

21 ... −++ +++=⋅

Posle deljenja sa rx leve I desne strane imamo

nxnx

xx

xx

xnxx

rd

rd

rdA

rl

+−+

++

+ +++=⋅ 121

1 ... odnosno

11 ... −++ +++=⋅ nxxxxnn CCCAD kako je

...21 +++= ++ xxxx CCCM i

...... 211 ++++= ++++++ nxnxnxx CCCM to je

11 ... −+++ +++=− nxxxxnx CCCMM pa nova jednačina postaje

xnxxnx MMAD −=⋅ +

što konačno daje

x

xnxxn D

MMA −= +

i konačno rešenje postojećeg zadatka je K dinara iznosi

x

xnxxn D

MMKAKM −⋅=⋅= +

d) Odloženo privremeno osiguranje kapitala za slučaj smrti

Ova vrsta osiguranja predviđa isplatu osiguranog kapitala K naslednicima ako ako osiguranik preživi k godina od dana osiguranja a umre u narednih n godina. Ako umre u prvih k godina ili posle k+n godina osiguravajući zavod ne isplaćuje ništa. Dakle, koliku mizu mora uplatiti lice staro x godina da bi naslednicima osiguralo K dinara ako preživi k godinu pa umre u narednih n godina?

‐ 276 ‐

Obeležimo sa xnk A neto mizu za 1 dinar kapitala koji bi se isplatio

naslednicima pod navedenim uslovima I pretpostavimo da je lx starih n godina stupilo u ovu vrstu osiguranja. Dakle, osiguravajući zavod primi

xnkx Al ⋅ dinara.

Isplate osiguravajućeg zavoda iznose krajem (k+1) godine dx+k dinara krajem (k+2) godine dx+k+1 dinara …

krajem (k+n) godine dx+k+n‐1 dinara I kada ove isplate svedemo na dan uplate I izjednačimo uplatu I isplatu po principu ekvivalencije imamo

nknkx

kkx

kkx

xnkx rd

rd

rdAl +

−+++++

++ +++=⋅ 1

21

1 ... i posle deljenja sa r2 imamo

nkxnkx

kxkx

kxkx

xnkxx

rd

rd

rdA

rl

++−++

++++

+++ +++=⋅ 1

21

1 ...

11 ... −+++++ +++=⋅ nkxkxkxxnkx CCCAD

i slično kao u prethodnom delu imamo

nkxkxxnkx MMAD +++ −=⋅ što daje

x

nkxkxxnk D

MMA +++ −=

pa za osiguranje kapitala od K dinara treba uplatiti mizu od

x

nkxkxxnk D

MMKAKM +++ −⋅=⋅=

Napomena: Ovo osiguranje je jednako razlici privremenog osiguranja za slučaj smrti za (k+n) godina i privremenog osiguranja za slučaj smrti za k godina.

Zaista

x

knxkx

x

kxx

x

knxxxkxnkxnk

DMM

DMM

DMMAAA

+++

++++

−=

−−

−=−=

‐ 277 ‐

10.10. MEŠOVITO OSIGURANJE U praksi najčešći oblik osiguranja. Pri ovakvom ugovoru, osiguravajući zavod isplaćuje osiguraniku K dinara ako doživi n godina, odnosno, istu tu svotu naslednicima ako osiguranik umre u međuvremenu. Dakle, ovde su spojeni osiguranje za slučaj doživaljavanja i privremeno osiguranje za slučaj smrti. Zadatak je sledeći: Lice staro x godina osigurava K dinara na n godina koji će se isplatiti njemu lično ako doživi x+n godina, odnosnokoji će se isplatiti naslednicima ako osigurano lice u međuvremenu umre. Obeležimo neto mizu za 1 dinar ovakvog kapitala sa

nxA

,i pretpostavimo da je

se ovako osiguralo lx lica starih x godina. dakle, osiguravajući zavod dobije

nxx Al,

⋅ dinara.

Osiguravajući zavod isplaćuje na kraju prve godine dx, na kraju druge godine dx+1,... na kraju n‐1 godine dx+n‐2 dinara i na kraju n‐te godine dx+n‐1 i lx+n dinara (dx, dx+n‐1 su isplate naslednicima a lx+n je isplata onima koji su doživelei čas isplate). Svedeno na dan uplate uz princip ekvivalencije imamo

nnx

nnxxx

nxx rl

rd

rd

rdAl +−++ ++++=⋅ 1

21

,... posle deljenja sa rx imamo

nxnx

nxnx

xx

xx

nxxx

rl

rd

rd

rdA

rl

++

+−+

++

+ ++++=⋅ 121

1,... odnosno

nxnxxxnxx DCCCAD +++ ++++=⋅ ...1, tj. imamo

ili, kao što je napred i rečeno to je zbir osiguranja kapitala za slučaj doživljavanja i privremenog osiguranja za slučaj smrti.

xnnmnxEAA +=

,

nxnxxnxx DMMAD ++ +−=⋅,

x

nxnxxnx D

DMMA ++ +−=

,

‐ 278 ‐

Rešenje našeg postavljenog zadatka je

x

nxnxxnx D

DMMKAKM ++ +−=⋅=

,

10.11. OSIGURANJE VIŠEK RATNIM PREMIJAMA Prethodna osiguranja detaljno obrađena uplatom mize su dosta retka u praksi jer su sa gledišta osiguranika nepraktična jer retko kad osiguranik ima tako veliku sumu novca da bi je uplatio odjednom i na taj način se osigurao. Mnogo češći oblik osiguranja je kada se osiguranik osigurava na taj način što uplate za osiguranje plaća u više stalnih rata najčešće godišnjih. Treba imati na umu da se usvakom od ovih osiguranja bilo osiguranju rente ili kapitala, privremenom, doživotnom, anticipativnom ili dekurzivnom, osiguranik plaća premiju samo dok je živ, odnosno premije ne isplaćuju naslednici ni u kom slučaju iako osiguranje može trajati i posle. I ovde kao i u prethodnom slučaju važi princip ekvivalencije samo se uplate sada pretvaraju kao ulaganje i naravno primenjuje se "zakon velikih brojeva” za proračune (u kojima se sadrže verovatnoće). Ovaj način proračuna je u principu isti kao i u prethodnim slučajevima pa ga nećemo davati. DOŽIVOTNA ANTICIPATIVNA RENTA Pitanje koliko treba uplatiti u m godišnjih rata da bi se obezbedila doživotna anticipativna renta od K dinara. Izračunajmo prvo ovu godišnju ratu [ ]xm aP za 1 dinar rente. Neka je

osiguranje ove vrste zaključilo lx, lica starih x godina. Dakle, prve godine uplata lx lica po [ ]xm aP dinara tj.

[ ]xx aPl m ⋅

druge godine [ ]xx aPl m1 ⋅+

. . . Na početku m‐te godine [ ]xmx aPl ⋅−+ 1 .

Isplate su sledeće: Odmah na početku prve godine lx dinara početkom druge godine lx+1 dinara

‐ 279 ‐

... Svedeno na dan zaključenja osiguranja primenom principa ekvivalencije dobijamo:

[ ] ...... 111

221 ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⋅⋅ +

−−+++

rll

rl

rl

rllaP x

xmmxxx

xxm

Deleći levu i desnu stranu sa rx dobijamo

[ ] ...... 11

11

11 ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅⋅ +

+−+−+

++

xx

xx

mxmx

xx

xx

xm rl

rl

rl

rl

rlaP odnosno

[ ] ( ) ...... 111 ++=+++⋅⋅ +−++ xxmxxxxm DDDDDaP

Kako je ...1 ++= +xxx DDN to je

i imamo relaciju [ ] ( ) xmxxxm NNNaP =−⋅⋅ + odakle je

[ ]mxx

xxm NN

NaP+−

=⋅

a rešenje našeg problema je premija

[ ]mxx

xxm NN

NKaPKP+−

⋅=⋅=

Ostale slučajeve godišnje premije sa uplatom za 1 dinar rente navodimo bez izvođenja:

• Doživotna anticipativna renta sa m uplata odložena na k godina (isplaćuje se posle k godina)

[ ]mxx

kxxxnkm NN

NNaP+

+

−−

=⋅

• Anticipativna renta za n godina isplate (n>m) sa početkom isplate odmah

[ ]mxx

nxxxnom NN

NNaP+

+

−−

=⋅

• Anticipativna renta za n godina isplate (k+n>m) sa početkom isplate posle k godina (odloženo)

[ ]mxx

nkxkxxnkm NN

NNaP+

+++

−−

=⋅

mxxmxxx NNDDD +−++ −=+++ 11 ...

‐ 280 ‐

• Doživotna dekurzivna renta (isplate odmah na kraju godine)

[ ]mxx

xxm NN

NaP+

+

−=⋅ 1

• Doživotna dekurzivna renta odložena za k godina

[ ]mxx

kxxkm NN

NaP+

++

−=⋅ 1

• Privremena dekurzivna renta na n godina n>m, (prva isplata krajem

prve godine):

[ ]mxx

nxxxnom NN

NNaP+

+++

−−

=⋅ 11

• Privremena dekurzivna renta na n godina odložena za k godina

(k+n>m)

[ ]mxx

nkxkxxnkm NN

NNaP+

+++++

−−

=⋅ 11

• Osiguranje kapitala od 1 dinara za slučaj doživljavanja n godina

( )nm ≤

[ ]mxx

nxxnm NN

DEP+

+

−=⋅

• Osiguranje kapitala od 1 dinara za slučaj smrti (doživotno):

[ ]mxx

xxm NN

MAP+−

=⋅

• Osiguranje kapitala od 1 dinara za slučaj smrti doživotno odloženo za k godina

[ ]mxx

kxxkm NN

MAP+

+

−=⋅

• Osiguranje kapitala od 1 dinara privremeno na n godina (n>m) za slučaj

smrti koje stupa na dan osiguranja

‐ 281 ‐

[ ]mxx

nxxxnom NN

MMAP+

+

+−

=⋅

• Osiguranje kapitala od 1 dinara privremeno na n godina, odloženo za k godina (k+n>m) za slučaj smrti

[ ]mxx

nkxkxxnkm NN

MMAP+

+++

−−

=⋅

• Mešovito osiguranje

mxx

nxnxxnxm NN

DMMAP+

++

−+−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅

,

Osiguranje doživotnim konstantnim premijama

U prethodnom slučaju premija je uplaćivana na m godina (ili doživotno ako osiguranik umre pre isteka m‐te godine). Ovde je situacija još povoljnija za osiguranika što se uplata tiče (jer su one manje) i one se uplaćuju na početku svake godine dok je osiguranik živ. Obeležimo sa P(Ax) godišnju doživotnu premiju za 1 dinar kapitala koji će se isplatiti naslednicima posle smrti osiguranika. Neka je osiguranje ugovorilo lx lica starih x godina. Dakle, osiguravajući zavod će primiti početkom prve godine ( )xx APl ⋅ dinara

druge godine ( )xx APl ⋅+1 dinara

. . . Ukupno primanje će biti, svedeno na početni trenutak

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅ ++ ...2

21

rl

rllAP xx

xx

Isplate osiguravajućeg društva su krajem prve godine dx dinara krajem druge godine dx+1 dinara . . . Ukupne isplate svedene na početni trenutak iznose

...21 ++ +

rd

rd xx

Po principu ekvivalencije imamo

‐ 282 ‐

( ) ...... 211 ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ ++

rd

rd

rllAP xxx

xx

Posle deljenja sa rx imamo

( ) ...... 11

111 ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ +

+++

+xx

xx

xx

xx

x rd

rd

rl

rlAP odnosno

( )( ) ...... 11 ++=++ ++ xxxxx CCDDAP ili

( ) xxx MNAP =⋅

pa konačno imamo

( )x

xx N

MAP = .

KLJUČNI POJMOVI:

• PROCENAT • PROMIL • KAMATNA STOPA • ESKONT, ESKONTNI FAKTOR • FAKTOR AKUMULACIJE

• ANUITET • TABLICE SMRTNOSTI • MIZA I PREMIJA • OSIGURANJE RENTE • OSIGURANJE KAPITALA • MEŠOVITO OSIGURANJE

LITERATURA

[1] Atlan, C., Trigano, G., Mathematiques appliques à la question, Paris,

1990.

[2] Backović, M. i drugi, Matematički modeli i metodi u ekonomiji,

Ekonomski fakultet, Beograd, 2002.

[3] Backović, M. i drugi, Zbirka rešenih zadataka, Ekonomski fakultet,

Beograd, 2002.

[4] Cvetković, D., Simić, S., Diskretna matematika, Naučna knjiga, Beograd,

1990.

[5] Demidovič, B. P. i drugi, Zadaci i rešeni primeri iz matematičke analize za

fakultete, Tehnička knjiga, Beograd, 1998.

[6] Ivković, Z., Teorija verovatnoće sa matematičkom statistikom,

Građevinska knjiga, Beograd, 1998.

[7] Ivović, M. i drugi, Matematika, Ekonomski fakultet, Beograd, 2002.

[8] Ivović, M. i drugi, Zbirka zadataka, Ekonomski fakultet, Beograd, 2002.

[9] Klein, E., Mathematical Methods in theoretical Economics, Academic

Press, New York, 1973.

[10] Kočović, J., Finansijska matematika, Ekonomski fakultet, Beograd, 1993.

[11] Ralević, R., Matematika za ekonomiste, treće izmenjeno izdanje,

Savremena akademija, Beograd

[12] Takayama, A., Mathematical Economics, The Dryden Press, Ilinois, 1974.

[13] Vukdelija, D. i drugi, Matematika za ekonomiste, Ekonomski fakultet,

Subotica, 1995.

[14] Žižović, M., Matematika, Izdavački centar za industrijski menadžment,

Kruševac, 2001.

[15] Žižić, M. i drugi, Metodi statističke analize, Ekonomski fakultet, Beograd, 1992.

Odlukom Senata Univerziteta “Singidunum”, Beogrаd, broj 636/08 od 12.06.2008, ovaj udžbenik je odobren kao osnovno nastavno sredstvo na studijskim programima koji se realizuju na integrisanim studijama Univerziteta “Singidunum”.

CIP - Каталогизација у публикацијиНародна библиотека Србије, Београд

519.2(075.8)51-77:33(075.8)

ЖИЖОВИЋ, Малиша, 1948- Kvantitativne metode / Mališa Žižović,Olivera Nikolić, Ivana Kovačević, - 5. izmenjeno i dopunjeno izd. - Beograd :Univerzitet Singidunum, 2009 (Loznica :Mladost group). - VIII, 282 str.: graf. prikazi, tabele; 25 cm

Tiraž 2000.

ISBN 978-86-7912-198-11. Николић, Оливера, 1948- [аутор] 2.Ковачевић, Ивана, 1952- [аутор]а) Математичка статистика b) Привредна математикаCOBISS.SR-ID 168954380

© 2009.Sva prava zadržana. Ni jedan deo ove publikacije ne može biti reprodukovan u bilo kom vidi i putem bilo kog medija, u delovima ili celini bez prethodne pismene saglas-nosti izdavača.

Documents

- Kvantitativne metode 2009---MATEMATIKA