Kvantitativne metode u „Industrijskom inženjerstvu”...Kvantitativne metode u „Industrijskom inženjerstvu” Zavod za industrijsko inženjerstvo Industrijsko inženjerstvo 2013

Zavod za industrijsko inženjerstvo

Industrijsko inženjerstvo 2013. Dr. sc. Hrvoje Cajner

Kvantitativne metode u „Industrijskom inženjerstvu”



• sastavna područja Industrijskog inženjerstva (Gavriel Salvendy):



• Neka područja obuhvaćena pojmom kvantitativnih metoda:• Snimanje postojećeg stanja (VSM) • Rudarenje podacima (Data mining)• Analiza prikupljenih informacija o procesima• Statističke metode:

Probabilistički modeli Testiranje statističkih hipoteza (potpora odlučivanju) Korelacijska i regresijska analiza Multivarijatne statističke metode

Planiranje i analiza pokusa• Optimiranje:

Linearno programiranje i optimizacija Cjelobrojno programiranje Nelinearno programiranje Eksperimentalno optimiranje

Metode kontrole kvalitete• Analiza vremenskih nizova i prognoziranje• Transportni problemi• Analiza rizika• Računalne simulacije

Monte Carlo simulacije Modeliranje stohastičkih procesa

„Supply chain management” …



• Temeljna znanja iz kvantitativnih metoda na smjeru ind. inženjerstva:1. Inženjerska statistika2. Planiranje pokusa3. Optimiranje4. Kontrola kvalitete



1. INŽENJERSKA STATISTIKA

• Područja inženjerske statistike:− Kombinatorika i vjerojatnost− Deskriptivna statistika− Raspodjele podataka− Teorija uzoraka− Testiranje statističkih hipoteza− Analiza varijance− Korelacijska i regresijska analiza

Kombinatorika i vjerojatnost• Slučajni događaj – događaj koji se pod nekim okolnostima može ali i ne mora dogoditi.

Služe pri određivanju vjerojatnosti slučajnih događaja• Modeli u kombinatorici:

− Permutacije (bez ponavljanja i s ponavljanjem)− Varijacije (bez ponavljanja i s ponavljanjem)− Kombinacije− Složene kombinacije



• Primjer iz kombinatorike:

Primjer 1: Koliko treba ispuniti nizova da bi se u LOTU 7/39 sigurno dobila „sedmica”?

NAPOMENA: budući da nije bitan redoslijed odabiranja (izvlačenja) kuglicaradi se o kombinacijama.

( 3 9 )

7

3 9 3 9 !K = = = 1 5 3 8 0 9 3 7

7 ( 3 9 - 7 ) ! × 7 !

Primjer 2: Bacamo kocku i novčić. Kolika je vjerojatnost da će kocka pokazati broj 6 i novčić pasti na ‘glavu’?

1 1 1 1 1P(broj 6) ; P('glava') P('glava' i '6')6 2 6 2 12

• Primjer iz vjerojatnosti:



Primjer 3: U kritičnom dijelu nekog sustava važno je da je barem jedna pumpa ustanju ispravnog rada kako ne bi došlo do zastoja. Ako su vjerojatnostiispravnog rada (pouzdanost) svake pumpe R=0,99 kolika je vjerojatnost dasustav funkcionira ispravno?

Budući da je P(ispravnog rada)+P(zastoja)=1možemo pisati sljedeće:

P(ispravnog rada) 1-P(zastoja); P(zastoja) Q(pumpa1) Q(pumpa2) Q(pumpa3)P(ispravnog rada) 1-0,01 0,01 0,01 0.999999

• Upotreba teorije vjerojatnosti na primjeru iz prakse:



Deskriptivna statistika

• opisivanje podataka iz uzorka ili populacije u formi osnovnih parametara, identifikacija procesa

• grafička obrada empirijskih podataka:

543210

12

10

8

6

4

2

0

C1

Freq

uen

cy

Histogram

3028262422

7

6

5

4

3

2

1

0

x

Freq

uen

cy

Histogram

34323028262422

20

15

10

5

0

x1

Cu

mu

lati

ve F

req

uen

cy

Histogram of x1

x2x1

40

35

30

25

20

Dat

a

Boxplot of x1; x2

fi Stem Leaf

2 21 0 2

4 22 3 3 4 9

5 23 1 2 5 8 9

4 24 5 6 7 8

2 25 4 8

1 26 4

5643201

Category

81; 40,5%

77; 38,5%

31; 15,5%

7; 3,5%2; 1,0%1; 0,5%1; 0,5%

Pie Chart of x

6543210x

Dotplot of x

Each symbol represents up to 3 observations.

Environment

sMeasurement

Methods

Material

Machines

Personnel

papir

postavljen

Krivo

nejasne

papira

podešavanje

za

Oznake

papira

veličina

Kriva

poklopca

zatvaranja

nakon

papir

Pomaknut

papira

Veličina

zraku

u

Vlaga

Cause-and-Effect Diagram



• numerička obrada empirijskih podataka mjere položaja:

− aritmetička sredina – suma svih elemenata u populaciji podijeljena sa brojem elemenata populacije (težište – paralela sa mehaničkim modelom)

− mod – podatak (ili razred) koji ima najveću frekvenciju− medijan – 50% podataka je manje, a 50% veće od te vrijednosti

− kvantili - vrijednosti numeričkog obilježja koje niz uređen po veličini dijele na q jednakih dijelova

1aritm. sredina uzorka

n

ii

xx

n

Kvartili

Decili

Percentili



− interpretacija mjera položaja u praksi:

Primjer: Izračun „prosječne” mjesečne plaće u RH. Mjere položaja su bitno različiteu ovisnosti o samoj strukturi podataka. Moguće manipulacije terminima ipogrešno tumačenje istih.

Ako se govori o prosjeku na razini aritmetičke sredine:

Uzimajući medijan kao relevantnu mjeru:

Kada se koristi mod:

5493 knx 4300 knMEDx

2900 knMODx

mjere rasipanja:

− standardna devijacija σ – prosječno odstupanje svakog podatka od arit. sredine

− varijanca σ2 – prosječno kvadratno odstupanje svakog podatka od arit. Sredine2

2 21

( )

n

ii

x x

n

− koeficijent varijacije, V – međusobno uspoređivanje varijabilnosti pojava ili svojstava - pokazuje koliki odnos vrijednosti aritm. sredine iznosi vrijednost standardne devijacije (u %)

− raspon, Rx – razlika najveće i najmanje vrijednosti u nekom nizu podataka



Raspodjele podataka• Raspodjele podataka za diskretna obilježja• Raspodjele podataka za kontinuirana obilježja• Teorijske raspodjele podataka

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

bab

ility

2

0,265

0 8

Distribution PlotPoisson; Mean=2,3

76543210

76543210

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

bab

ility

20 6

0,284

Binomial; n=18; p=0,1



• Poisson-ova raspodjela – primjer upotrebe (‘Operations research’)

Primjer: Tijekom drugog svjetskog rata London je gađan projektilima V1. Britance je zanimalo kako iz podataka o padanju projektila zaključiti da li je riječ o gađanju nasumce ili se cilja neka točka u Londonu.

- London je podijeljen na 576 sektora- U vremenskom periodu promatranja palo je 537 projektila

x >=43210

250

200

150

100

50

0

Val

ue

ExpectedObserved

Chart of Observed and Expected Values Poisson mean for x = 0,928819

Poisson Contributionx Observed Probability Expected Chi-Sq0 229 0,395020 226,74 0,0094791 211 0,366902 211,39 0,0005332 93 0,170393 98,54 0,2698463 35 0,052755 30,62 0,7003804 7 0,014931 7,14 0,0418605 (6,7..) 1 1,57

TEST:N N* DF Chi-Sq P-Value

576 0 3 1,02210 0,796

- podaci se ponašaju po Poisson-ovoj razdiobi!- zaključak - V1 nije imao navođenje



• Normalna raspodjela − prvi definirao Abraham de Moivre− upotrijebio Gauss (Gauss-ova raspodjela)− najčešće korištena raspodjela – čak 33% procesa u prirodi slijedi zakon normalne

raspodjele− funkcija gustoće vjerojatnosti normalne raspodjele f(x):

− vjerojatnosti ispod normalne raspodjele N{μ, σ2}:

2121( ) za -

2

x

f x e x



− primjena normalne raspodjele:Primjer: Pretpostavimo da se izmjerena jakost struje u vodiču pokorava zakonu normalne raspodjele sa očekivanjem μ=10 mA i varijancom σ2=4 mA2. Kolika je vjerojatnost da će jakost struje premašiti 13 mA?

17,515,012,510,07,55,0

17,515,012,510,07,55,0

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Den

sity

1310

Normal; Mean=10; StDev=2

( ) (13 10) 1,52( 13) ( 1,5) 1 ( 1,5) 0,06681

xz z

P x P z P z

3210-1-2-3

3210-1-2-3

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

z

Den

sity

1,5

0,0668

0

Normal; Mean=0; StDev=1



− definicija krivulje učestalosti kvarova u tehničkim sustavima (krivulja mortaliteta):

I. period – ‘dječje bolesti’ – 1. raspodjela e-λtII. period – ‘normalne eksploatacije’, slučajni kvarovi – 2. raspodjela uniformnaIII. period – zbog ‘trošenja dijelova’, vremenski kvarovi – 3. raspodjela normalna



Teorija uzoraka i testiranje statističkih hipoteza− T.S.H. predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorka− uzorak, n podataka: x1, x2, ... , xn− rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u

n-dimenzionalnom prostoru − prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela

(koji se isključuju), dio A i dio B

dio B(odbacivanje H0)

dio A(prihvaćanje H0)

− Postavljaju se dvije hipotezeH0: nulta hipotezaH1: alternativna hipoteza



− testiranje hipoteze na primjeru (t-test uzorak-osnovni skup)Primjer: Ugovorom je propisano da određena pošiljka alata mora imati

tvrdoću 60HRC. Iz pošiljke izuzet je uzorak od 8 elemenata te jenad njim izvršeno ispitivanje tvrdoće. Podaci su dani u tablici.Potrebno je testirati hipotezu: Da li na temelju uzorka možemozaključiti da je očekivana tvrdoća alata u pošiljci jednakapropisanoj. Neka je razina povjerenja P=0,95.

59,4 59,6 61,2 60,2 60,4 59,6 58,8 58,5

0

0 0 1

0

1

59,2 604,23

0,189

12,365

0,05 odbaciti H prihvatiti H

: 60: 6059,20,535; 0,189x

xk n

t

t t i

H HRcH HRcxs s

xt s



Analiza varijance− Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup

(populaciju)− U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere

djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost – rezultat − Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka

− Primjena ANOVA metode u praksi: Primjer - Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi, u %

udio tvrdog drva, % mjerenja

5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20

Suma po uzorcima 60 94 102 127

Ar. sredina uzorka 10 15.67 17.00 21.7

izvor varijacije

suma kvadrata odstupanja

stupnjevi slobode

srednji kvadrat

odstupanja Frač. F0(=0.01)

faktor: udio tvrdog drva

382.79 3 127.60 19.61 4.94

slučajno odst. u uzorcima (ostatak)

130.17 20 6.51 – –

UKUPNO: 512.96 23 – – –

( )f F

kb = 3; kn = 20

1

FF0 = 4.94

0.01

Frač. > F0 odbaciti H0uz vj. pogreške 1. vrste = 0.01



− Mjera povezanosti dvije ili više varijabli – metoda kojom se utvrđuje da li među varijablama postoji funkcionalna ovisnost

− Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -1.00 do +1.00− r0 definira pozitivnu korelaciju − SMJER POVEZANOSTI− Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli te mjeri

odnose među varijacijama. – jakost veze

Korelacijska analiza

− Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatke− Oblik povezanosti varijabli: Linearna povezanost ili krivolinijska− Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna, nezavisna

varijabla)− Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresije− Regresijska analiza: jednostavna linearna regresija; nelinearna regresija

(linearizacija); višestruka regresija

Regresijska analiza



− primjena korelacijske i regresijske metode –PRIMJER U nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika

utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelujedne od faza) i tvrdoći, prema tablici. Utvrditi ima li ovisnostiizmeđu ove dvije varijable i kakvog je ona oblika.

Volumni udio faze x [%] 1.2 1.4 1.8 2.1 2.9 3.6 4.2 5.1

tvrdoća, y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57

Regression Analysis: Tvrdoca versus Udio faze_

The regression equation isTvrdoca = 68,2 - 2,09 Udio faze_

Predictor Coef SE Coef T PConstant 68,1995 0,3618 188,52 0,000Udio faze_ -2,0895 0,1173 -17,81 0,000

S = 0,437523 R-Sq = 98,1% R-Sq(adj) = 97,8%



Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 1 60,726 60,726 317,23 0,000Residual Error 6 1,149 0,191Total 7 61,875

UdioObs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid1 1,20 66,000 65,692 0,242 0,308 0,842 1,40 65,000 65,274 0,225 -0,274 -0,733 1,80 64,000 64,438 0,193 -0,438 -1,124 2,10 64,000 63,812 0,174 0,188 0,475 2,90 62,000 62,140 0,155 -0,140 -0,346 3,60 61,000 60,677 0,182 0,323 0,817 4,20 60,000 59,424 0,227 0,576 1,548 5,10 57,000 57,543 0,312 -0,543 -1,77



2. PLANIRANJE POKUSA

• Visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvaliteteproizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metoda kontrole iupravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i u njihovu projektiranju

• Uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom, sve se više koristi imetodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments), koja se pokazalavrlo učinkovitom, posebice žele li se postići optimalna rješenja kako ufunkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogledu parametara odvijanjatehnološkog i proizvodnog procesa

• odnosi se na procedure planiranja istraživanja koja se temelje na statističkomocjenjivanju rezultata ispitivanja kako bi se, s određenom razinom povjerenja,donosili zaključci o značajkama procesa ili proizvoda

• metode planiranja pokusa najčešće se primjenjuju u istraživanju utjecajnih faktorana karakteristike procesa ili proizvoda

• Primjenom neke od procedura planiranja pokusa postižu se velike uštede ljudskih,vremenskih i financijskih resursa



− Francis Bacon (1561.–1626.), filozof, znanstvenik, povjesničar, koristio jednofaktorske pokuse –ponavljanje pokusa

− John Bennet Lawes zanimao se za utjecaj vrste gnojiva na količinu uroda

− 1842. godine zajedno s s Joseph Henry Gilbert osnovao Rothamsted Experimental Station

− 1843. godine započeli su prvu seriju eksperimenata glavni cilj je bio mjeriti efekte na poljima usjeva pognojenih organskim i anorganskim gnojivom

− 1919. godine Sir Ronald Aylmer Fisher zaposlio se u Rothamsted Experimental Station, te počeo proučavati dotada sakupljene podatke o eksperimentima

− 1925. godine Fisher objavljuje knjigu pod nazivom Statistical Methods for Research Workers

− definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse:

− ponavljanje (repetiton; replicates),

− slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization),

− blokovi,

− aliasi

− 1935. godine Fisher objavljuje knjigu pod nazivom Design of Experiments od tada je izraz Design of Experiments u službenoj upotrebi

− Početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj industriji, industriji guma te industriji sapuna



Proces, problem

kontrolirani faktoriw1 w2 ... wp

z1 z2 ... zpnekontrolirani faktori

(poremećaji)

y1y2 :ym

izlazi(mjerne

vrijednosti,rezultati)

x1x2 :xm

ulazi(faktori,

varijable)

. . .

. . .

. . .

. . .

− Model pokusa

Faze pri izvođenju pokusa1. Definirati problem i cilj istraživanja2. Odabrati utjecajne faktore i njihove razine3. Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne

varijable)4. Odabrati model pokusa5. Izvesti pokus (predpokus, glavni pokus)6. Analizirati rezultate7. Formulirati zaključke i prijedloge

− Primjer : ‘Kokice za mikrovalnu’



3. METODE OPTIMIRANJA

• Eksperimentalno optimiranje, nakon provedenog i analiziranog planapokusa – direktno optimiranje svojstava proizvoda i procesa

• Matematičko optimiranje – metode optimiranja kada su funkcije cilja iograničenja unaprijed poznate i eksplicitno izražene



• Eksperimentalno optimiranje primjer : ‘Siluminski odljevci’

• Matematičko programiranje:• Linearno programiranje

• L.P. je kvantitativna znanstvena metoda kojom se od većegbroja mogućih alternativnih rješenja izabere ono koje je optimalnoza neki definirani kriterij optimalnosti

• Postupak koji se pri tome koristi omogućava određivanje svihvrijednosti niza varijabli povezanih ograničenjima, koje dajuekstremnu vrijednost (maksimum ili minimum) linearne funkcijecilja.

• Nelinearno programiranje• Kvantitativna znanstvena metoda koja izabire optimalno rješenje iz

domene varijabli povezanih ograničenjima koje daju optimumfunkcije cilja nelinearnog karaktera

• Transportni problem• Cjelobrojno programiranje



• Linearno programiranje (grafička metoda)

Primjer: Za zadanu funkciju cilja F(X)=30x1+20x2 potrebno je grafički pronaćimaksimalnu vrijednost, ako su zadana sljedeća ograničenja:



Trendovi u području industrijskog inženjerstva

• Dva osnovna smjera razvoja proizvoda i procesa objedinjavanjem i uporabom kvantitativnih metoda :

• Poboljšanje proizvodnih procesa na principu LEAN proizvodnje – vitka proizvodnja

• Povećanje kvalitete uporabom 6 sigma metodologije



6 sigma metodologija

• σ – slovo grčkog alfabeta• σ – mjera varijabilnosti nekog procesa (koji se ponaša prema normalnoj razdiobi)• k σ– razina kvalitete – govori o učestalosti mogućih pogrešaka uz unaprijed definirane

granice tolerancije – specifikcije!



Granice specifikacije:

± 1 ּ◌σ

± 2 ּ◌σ

± 3 ּ◌σ

± 4 ּ◌σ

± 5 ּ◌σ

± 6 ּ◌σ

Sukladnih %

30,23

69,13

93,32

99,3790

99,97670

99,999660

Nesukladnih (ppm)

697.700

308.700

66.810

6.210

233

3,4

• Rezultat, iskazan u ppm (dpmo)

+1.5 σ-1.5 σDGS GGS

μ



• Uobičajena razina kvalitete – 99% sukladnih proizvoda i usluga znači:

− 20.000 izgubljenih poštanskih pošiljki na sat− 15 min/dan zagađenje pitke vode− 5.000 nekorektno izvedenih medicinskih zahvata na tjedan− 2 nekorektno prizemljena zrakoplova dnevno

(u glavnim zračnim lukama)− 200.000 pogrešno propisanih lijekova godišnje− bez električne energije cca 7 sati/mjesec

• Ako odigrate 100 partija golfa godišnje i igrate na razini preciznosti:

− 2 sigma – promašit će te 6 putt-ova po partiji− 3 sigma – promašit će te 1 putt po partiji− 4 sigma – promašit će te 1 putt svakih 9 partija− 5 sigma – promašit će te 1 putt svake 2.33 godine− 6 sigma – promašit će te 1 putt svakih 163 godine



σ razina kvalitete

N. razdioba centrirana

N. razdioba pomaknuta za 1.5 σ

+ +

ppm 10 puta UNAPREĐENJE

30 puta

70 puta

• Stopa nesukladnosti i σ razina kvalitete - unapređenje



• Počela 6σ programa

• MOTOROLA, 1987 (Bill Smith, reliability engineer)

− Uvođenje programa 6σ inicirano krizom izazvanom jakomkonkurencijom, nedovoljnom kvalitetom proizvoda i usluga i visokimtroškovima!

− 1995 MOTOROLA primila prestižnu nagradu za kvalitetu (MalcomBaldrige Quality Award)

− Prema propozicijama MBQA – iskustva objavljena i podijeljena s drugima!!!

• Kasnije: GENERAL ELECTRIC− CEO Jack Welch izjavio: Six Sigma je bila najizazovnija inicijativa ikada

poduzeta u General Electricu!− 1997. GE objavio godišnju korist: $ 300 miliona prihoda,− najava i realizacija za 1998.: UDVOSTRUČENJE

• Slijedili: ABB, Bombardier, Lockheed Martin, IBM, Allied Signal, KODAK, VOLVO,…



D Definiraj ciljeve aktivnosti unapređenja

M Izmjeri postojeći sustav (način rada, proces)

A Analiziraj sustav (proces) radi utvrđivanja mogućnosti eliminiranja razlike današnjih performansi sustava ili procesa i željenog cilja

I Unaprijedi sustav, proces

C Kontroliraj (upravljaj) novi sustav

• 6σ DMAIC MODEL



Strategija raščlanjivanja

Karakterizacija Faza 2:Izmjeri (Measure)

Faza 3:Analiziraj (Analyze)

Optimiranje

Faza 4:Unaprijedi (Improve)

Faza 5:Upravljaj (Control)

Faza 1:Odredi (Define)

• Metodologija rješavanja problema



• METODE, TEHNIKE, ALATI U PROJEKTIMA 6σ

• D faza:− Pareto analiza− blok-dijagrami procesa

• M faza:− Analiza mjernog sustava: mjerna nesigurnost− Analiza podataka: deskriptivna statistika− “Rudarenje” podataka (Data mining)− Pareto analiza− Karta “izvođenja” (run) procesa



• A faza:− dijagram uzrok – posljedica− dijagram stabla greška (fault tree diagrams)− mozgovne oluje (brainstorming)− karte povijesti (ponašanja) procesa (SPC)− blok-dijagrami procesa− enumerativna statistika (testiranje hipoteza)− nepristrane i intervalne procjene− FMEA, QFD, stablo grešaka,…− simulacijski modeli i metode− planiranje i analiza pokusa (DOE – Design of Experiments)

• I faza− metode operacijskih istraživanja (LP, ND, teorija igara, …)



• Veće kompanije koje su uvele 6σ razinu kvalitete u svoje poslovanje



Kvantitativne metode potpora odlučivanju!

Documents

Kvantitativne metode u „Industrijskom inženjerstvu”...Kvantitativne metode u „Industrijskom inženjerstvu” Zavod za industrijsko inženjerstvo Industrijsko inženjerstvo 2013