Embed Size (px)
Citation preview
Visoka škola za primijenjene i pravne nauke
Banja Luka
Predmet:
„Kvantitativne metode“
Seminarski rad:
TEMA: „KAMATNI RAČUN“
Mentor: Student:dr Aleksa Macanović Željan Veselić
Indeks 94/2010
Banja Luka, 2011.
SADRŽAJ:
0
1. Uvod...........................................................................................................................................22. Procentni račun.........................................................................................................................3
2.1. Procentni račun od sto........................................................................................................32.2. Procentni račun više od sto i niže od sto (100).................................................................32.3. Promilni račun.....................................................................................................................42.4. Prost interesni račun...........................................................................................................5
2.4.1. Interesni račun od sto....................................................................................................52.4.2. Interesni račun više od sto i niže od sto.......................................................................72.4.3. Izračunavanje interesa na više suma...........................................................................8
3. Srednji rok plaćanja..................................................................................................................94. Eskontovanje............................................................................................................................105. Komercijalni eskont.................................................................................................................106. Racionalni eskont.....................................................................................................................107. Jednakost efekata.....................................................................................................................118. Složeni interesni račun............................................................................................................11
8.1. Dekurzivno računanje vremena.........................................................................................119. Faktor akumulacije..................................................................................................................12
9.1. Izračunavanje krajnje vrijednosti kapitala......................................................................1210. Generalizacija faktora akumulacije......................................................................................1311. Konformna (ekvivalentna) stopa...........................................................................................14
12. Eskontni faktor.......................................................................................................................1513. Faktor dodajnih uloga............................................................................................................15
14. Ulaganje početkom obračunskog perioda............................................................................16
15. Ulaganje krajem obračunskog perioda................................................................................1716. Ulaganje je češće (rjeđe) od kapitalisanja............................................................................1817. Faktor aktuelizacije dekurzivnih uloga................................................................................1918. Faktor aktuelizacije anticipativnih uloga.............................................................................1919. Zajmovi....................................................................................................................................20
19.1.1. Amortizacija zajma jednakim anuitetima.................................................................2019.1.1.1.Zakon otplata........................................................................................................2119.1.1.2.Izračunavanje bilo koje otplate pomoću prve otplate i obrnuto......................2319.1.1.3.Izračunavanje otplaćenog dijela duga i ostatka duga.......................................2319.1.1.4. Anuiteti jednaki i češći od kapitalisanja.............................................................2419.1.1.5. Anuiteti jednaki i rjeđi od kapitalisanja.............................................................25
19.1.2. Amortizacija zajma jednakim otplatama..................................................................2619.1.3. Amortizacija zajma promjenjivim anuitetima..........................................................2719.1.4. Amortizacija zajma zaokruženim anuitetima...........................................................2719.1.5. Konverzija zajma.........................................................................................................28
20. Literatura................................................................................................................................291. UVOD
1
Prema definiciji, kamata je cijena kapitala koji se posuđuje na neki određeni vremenski period. U poslovnoj praksi, predmet kamatnog računa je obračun (računanje) cijene kapitala. Kamate se računaju u procentu od kapitala u istim novčanim jedinicama na koje glasi kapital ili glavnica. Kamatni račun može biti jednostavan (ili prost) i složen, zavisno od toga da li se i na kamate računaju kamate. Kod prostog kamatnog računa dospjele kamate se ne kapitališu, a kod složenog kamatnog računa to je pravilo. Dospjele kamate se pribrajaju kapitalu, tako da u novom vremenskom periodu nose kamate zajedno sa glavnicom.
Primjena kamatnog računa je vrlo rasprostranjena u poslovnoj praksi. Ovaj račun se koristi kod:
svih kreditnih poslova, štednih uloga, tekućih računa, potrošačkih kredita, kupovina i prodaje hartija od vrijednosti, lombardnog poslovanja, hipotekarnih zajmova, ugovornog plaćanja, ...
2. PROCENTNI RAČUN
2
2.1. Procentni račun od sto
Procentni račun je račun proporcija. Ako posmatramo neku cjelinu koju ćemo nazvati "glavnica" i označiti sa G i neki njen dio koji ćemo označiti sa P i zvati "procentni iznos", pogodno je znati koliki je dio procentnog iznosa u sto dijelova glavnice. Taj broj se naziva "procentna stopa" i označava se sa p. Dakle, osnovna proporcija procentnog računa je:
G : P = 100 : P
ili ekvivalentno G · p = 100 · P , odakle možemo dobiti sljedeće tri jednakosti:
G=100 Pp
, p=100 PG
, P= Gp100
koje se koriste za izračunavanje glavnice, procentne stope i procentnog iznosa, ako su poznate redom: procentni iznos i procentna stopa; procentni iznos i glavnica i procentna stopa.
Primer: Izračunati:a) glavnicu G ako je P = 25 i p = 4%b) procentnu stopu ako je G = 250 i P = 50c) procentni iznos P ako je G = 300 i p = 6%
a) G=100 ∙254
=625 , b) p=100 ∙50
250=20 %
c) P=300 ∙ 6100
=18
2.2. Procentni račun više od sto i niže od sto (100)
U praktičnim zadacima vezanim za procentni račun ne pojavljuju se obavezno samo veličine definisane na početku, već se mogu pojaviti i: glavnica uvećana (umanjena) za procentni iznos G+P (G-P) zajedno sa procentnom stopom, a da treba izračunati P ili G.
Polazeći od relacije G ∙ p=100∙ P i dodajući lijevoj i desnoj strani ove relacije 100 · G odnosno P · p dobijamo:
G ∙ p+100 ∙ G=100 ∙ P+100∙G odnosno Gp+Pp=100 P+Pptj.
G(100+ p)=100 (P+G) odnosno (G+P ) ∙ p=(100+ p) ∙ P
tj. dobijamo proporcije
(G+P ) : (100+ p )=G :100 odnosno (G+P ) : (100+ p )=P : p
koje se zovu proporcije procentnog računa više od sto (100).
3
Odavde možemo dobiti:
G=100 ·(G+P)
100+ p, odnosno P=
(G+P) ∙ p100+ p
Analogno, polazeći od relacije G ∙ p=100∙ P i oduzimajući lijevoj i desnoj strani 100 · G, odnosno P · p, dobijamo proporcije:
(G - P) : (100 - p) = G : 100 odnosno(G - P) : (100 - p) = P : p
koje se zovu proporcije procentnog računa niže od sto (100). Iz njih se dobije:
G=100(G−P)
100−p,odnosno P=
(G−P)∙ p100−p
Primjer:Cijena robe povećana je prvi put za 10% , pa zatim za 10% , pa je zatim smanjena za 20%. Poslije
smanjenja cijena, roba se prodaje za 10,68 din. Naći početnu cijenu.Cijena robe poslije sniženja iznosi G−P=9,68 sniženje je za 20%, pa je cijena bila prije sniženja
G=100 (G−P )
100−p=100 ∙9,68
80=968
80=12,10
Ova cijena je nastala poslije drugog poskupljenja od 10%, dakle
G1+P1=12,10 p=10 %, pa je
G=100 · ( G1+P1 )
110=100 ∙12,10
110=11
Ova cijena je nastala poslije poskupljenja početne cijene G0 za prvo povećanje od 10% pa imamo:
G0=100 (G0+P0 )
110=100 ∙11
110=10 din
Dakle, početna cijena je bila 10 dinara.
2.3. Promilni račun
Potpuno analogno u pojedinim situacijama u praksi se koristi analogan račun procentnom računu - promilni račun. Osnovna proporcija promilnog računa je sljedeća proporcija:
G : P = 1000 : p , gdje suG – glavnicaP – promilni iznosp – promilna stopa
Obrasci u primeni su potpuno analogni kao kod procentnog računa.
4
2.4. Prost interesni račun
2.4.1. Interesni račun od sto
U poslovnom svijetu normalna je pojava pozajmljivanje novca ili roba (što se opet izražava novcem), tj. kreditiranje. Sama riječ kredit je latinskog porekla, credere, što znači dati na zajam, vjerovati, uzdati se. Kredit je, dakle, povjerenje u dužnika da će tu obavezu izmiriti. Naknada koju dužnik plaća povjeriocu kredita za uslugu pozajmljivanja zove se interes ili kamata. Interes se ugovara između povjerioca i dužnika i to tako što se dužnik obavezuje da će za svaku godinu (ili neki drugi rok) platiti povjeriocu određeni broj dinara na svakih 100 dinara pozajmljene sume. Pozajmljena suma na koju se računa interes se zove kapital ili glavnica - obilježava se sa K. Kamata (interes) koja se plaća na svakih sto dinara pozajmljene sume za jednu godinu zove se interesna stopa i obilježava se sa p (to je danas procenat). Kamata ili interes koja se plaća na cijelu sumu K za određeno vreme obeležava se sa i.
Broj godina obilježava se sa g.Broj meseci obilježava se sa m.Broj dana obilježava se sa d.
Inače, broj dana po mjesecima može da se izračunava po kalendaru ili da se pretpostavi da svaki mjesec ima po trideset (30) dana. U prvom slučaju se računa da godina ima 365 dana, a u drugom 360. Ovo se uvijek dogovara između dužnika i poverioca kapitala. Osnovne proporcije prostog interesnog računa su vrlo slične osnovnim proporcijama procentnog računa – jedina razlika je u tome što ovde imamo i faktor vremena, jer veličina interesa zavisi od vremena na koji je novac dat. Te proporcije su:
K : i = 100 : pg g - broj godinaK : i = 1200 : pm m - broj meseciK : i = 36000 : pd d - broj dana, godina ima 360 danaK : i = 36500 : pd d - broj dana, godina ima 365 dana
Iz ovih relacija mogu se lako dobiti sljedeće relacije:
K p d = 100 iK p m = 1200 iK p d = 36000 iK p d = 365 i
odakle se lako dobijaju nepoznate veličine za: K;p;g; (m, d); iako su date redom (p, g, i); (K, g, i); (K, p, i); (K, p, g). (p - je kamatna stopa – uvijek na godišnjem nivou).U pojedinim izračunavanjima se koriste i veličine kamatnog broja Kbr=K d i kamatnih ključeva
D=36000p
ili D1=36500
pIz prethodnih relacija sa ovim veličinama lako se dobijaju izrazi
i (360 )=Kbr
D−interes ako se godina računasa360 dana .
odnosno
5
i (365 )=Kbr
D−interes ako se godina računasa365 dana .
Veza između ovih interesa (ako se godina računa 360 ili 365 dana) data je relacijom
i (365 )=i(360)=i(360)
73
koja se lako dokazuje polazeći od njihovih definicija.
Primjeri:Izračunati:a) 12% kamatu na sumu od 2000 dinara za 6 godinab) 8% kamatu na sumu od 5000 za 9 mjesecic) 15% kamatu na sumu od 9000 od 1. maja do 10. junad) kapital koji će se za 3 godine uz 10% kamatnu stopu donijeti kamate 300 din.e) vrijeme kada je vraćen zajam od 60000 dinara dat 1. septembra ako je isplaćena kamata od 120
dinara sa interesnom stopom od 6% (godina ima 360 dana).
Rješenja:a) dato je p = 12%, K = 2000 din, g = 6 godina, pa je
i= Kpg100
=2000 ∙ 12∙ 6100
=1440 din .
b) Dato je p = 8%, K = 5000 din, m = 9, pa je
i= Kpm1200
=5000 ∙ 8 ∙ 91200
=300 din.
c) Dato je p = 15%, K = 9000 din, d = 40, ako godinu računamo za 360 i mjesec 30 dana iimamo d = 41 , ako godinu računamo na 365 dana i mjesece po kalendaru.- u prvom slučaju je:
i(360)=K ∙ p ∙ d36000
=9000 ∙ 15 ∙ 4036000
=150 din.
- u drugom slučaju je:
i(365)=K ∙ p ∙ d36500
=9000 ∙ 15 ∙ 4136500
=151din .
- imamo i slučaj kada mjesece radimo po kalendaru, a broj dana u godini 360:
i(360)=K ∙ p ∙ d36000
=9000 ∙ 15 ∙ 4136000
=153,7 din.
d) Dato je g = 3, p = 10%, i = 300 din., K = ?
K=100 ip ∙ g
=100 ∙ 30010 ∙ 3
=1000 din.
6
e) Dato je K = 60000 din., i = 120 din., p = 6%
d=36000 ∙ iK ∙ p
=36000 ∙12060000 ∙6
=12 dana
Dakle, uz pretpostavku da godina ima 360 dana novac je vraćen 12. septembra.2.4.2. Interesni račun više od sto i niže od sto (100)
Interesni račun više od sto (100) se primjenjuje kada je dat kapital uvećan za interes, tj. kada je dato K + i , a interesni račun niže od sto kada imamo dat kapital umanjen za interes K - i. Potpuno analogno kao u slučaju procentnog računa više i niže od sto sa – za račun niže od sto:
za vrijeme dato u godinama (1)( K ±i ) : (100 ± p ∙ g )=K :100
i ( K ±i ) : (100 ± p ∙ g )=i : p ∙ g
za vrijeme dato u mjesecima (2)( K ±i ) : (1.200 ± p ∙ m )=K :1.200
i ( K ±i ) : (1.200 ± p ∙ m )=i : p ∙ m
za vrijeme dato u danima, godina ima 360 dana (3)( K ±i ) : (36.000 ± p ∙ d )=K :36.000
i ( K ±i ) : (36.000 ± p ∙ d )=i : p ∙ d
za vrijeme dato u danima, godina ima 365 dana (4)( K ±i ) : (36.500 ± p ∙ d )=K :36.500
i ( K ±i ) : (36.500 ± p ∙ d )=i : p ∙ d
Iz ovih relacija se lako računaju nepoznate veličine koje se pojavljuju u ovakvim zadacima, iz poznatih, gdje na primer iz (1) imamo:
K=( K ± i) ∙ 100100 ± p ∙g
, i=(K ± i ) p ∙g100 ± p ∙ g
Iz (2) imamo:
K=( K ± i) ∙ 1.2001.200 ± p ∙ m
, i=( K ±i ) p ∙ m
1.200 ± p ∙m
Iz (3) imamo:
K=( K ± i) ∙ 36.00036.000 ± p ∙ d
, i=( K ±i ) p ∙ d
36.000± p ∙d
Iz (4) imamo:
K=( K ± i) ∙ 36.50036.500 ± p ∙ d
, i=( K ±i ) p ∙ d
36.500± p ∙d
Primjeri:
7
(1)Po odbitku interesa sa godišnjom interesnom stopom 12% za 5 mjeseci dužnik je vratio 3.800 din. Izračunati koliki je dug i koliki je interes?
Rješenje: Dato je K - i = 3.800, p = 12%, m = 5
i=( K ± i ) ∙ p ∙ m1.200 ± p ∙m
=3.800 ∙12 ∙ 51.200−60
=3.80019
=200
Dakle, dug je 3.800+200 = 4.000Do istog rezultata se može doći i primjenom obrasca
K=( K ± i) ∙ 1.2001.200 ± p ∙ m
=3.800 ∙ 1.2001.140
=4.000
a onda je i = K - (K - i) = 4.000 - 3.800 = 200
(2)Zajedno sa kamatom uz interesnu stopu na godišnjem nivou od 15% dužnik je posle 4 mjeseca vratio 4.200 din. Izračunati koliki je bio dug i koliki je interes?
Rješenje: Dato je K + i = 4.200, p = 15%, m = 4
K=( K ± i) ∙ 1.2001.200 ± p ∙ m
=4.200 ∙1.2001.200+15∙ 4
=4.200 ∙1.2001.260
=4.000
Dakle, na ime interesa dužnik je platio 200 din.
2.4.3. Izračunavanje interesa na više suma
Ako je vlasnik kapitala dao više suma na zajam na različito vrijeme sa istom ili različitom kamatnom stopom, tada ako hoćemo da izračunamo interes na ukupan dati novac izvršimo jednostavno sabiranje pojedinačnih interesa za svaku sumu, dakle:(1) Date sume su K1, K2, ... Kn
Vrijeme na koje su date g1, g2, ...gn
Kamatna stopa ista za sve p ista za sve
i=i1+…+in=K1 ∙ p ∙ g1
100+
K n ∙ p ∙ gn
100= p
100∑k=1
n
K k ∙ gk
(2) Date sume su K1, K2, ... Kn
Vrijeme na koje su date g1, g2, ... gn
Kamatne stope su p1, p2, ... pn
i=i1+…+in=K1 ∙ p1 ∙ g1
100+
K2 ∙ p2 ∙ g2
100=
Kn ∙ p ∙ gn
100= p
100∑k=1
n
K k ∙ gk
Analogni obrasci se mogu dati i za vrijeme dato u mjesecima - danima.Primer:
8
Banka je dala 10.000 dinara sa kamatnom stopom od 15% na 4 mjeseca dužniku A, 15.000 dinara sa kamatnom stopom 12% na 3 mjeseca dužniku B i 40.000 dinara sa kamatnom stopom od 10% na 6 mjeseci dužniku C. Naći interes koji će banka dobiti.
K1=10.000 K2=15.000 K3=40.000m1=4 m2=3 m3=6p1=15 p2=12 p3=10
i= 11.200
∑k=1
3
K k ∙ mk ∙ pk=10.000 ∙ 4 ∙ 15+15.000 ∙3 ∙ 12+40.000 ∙ 6∙ 10
1.200=2.950
3. SREDNJI ROK PLAĆANJA
Ukoliko je neko pozajmio novac na više mjesta, u planiranju izmirenja obaveza nastalih pozajmicama, potrebno je ponekad izračunati srednji rok plaćanja svih tih obaveza. Pri tome računamo u tri različita slučaja.- I slučaj:
Obaveze i kamatne stope su jednake, a vrijeme je različito, dakle, imamo n istih obaveza, sa istom kamatnom stopom, a sa vremenima d1, d2, ... dn u trenutku računanja i srednje vrijeme je aritmetička sredina:
d s=d1+d2+…+dn
n- II slučaj:
Obaveze su različite, vremena različita, a kamatne stope iste, dakle, imamo n obaveza K1, K2, ..., Kn sa vremenom d1, d2, ..., dn i ista kamatna stopa, pa je srednje vrijeme ponderisana aritmetička sredina:
d s=K 1d1+K2 d2+…+Kn dn
K1+K2+…+Kn
- III slučaj1:Obaveze su različite, vremena različita, različite kamatne stope, tj. imamo obaveze K1, K2, ..., Kn
sa vremenom d1, d2, ..., dn i kamatnim stopama respektivno p1, p2, ..., pn pa je opet srednje vrijeme ponderisana aritmetička sredina:
d s=K 1 p1 d1+K 2 p2 d2+…+Kn pn dn
K1 p1+K2 p2+…+Kn pn
Primjer:Dužnik je u obavezi da plati sljedeće fakture sa plativošću u danima i kamatna stopa za svako
plaćanje je dato u tabeli:
Kk 10.000 12.000 15.000 20.000 25.000dk 15 20 25 30 20pk 8 15 12 8 10
Dužnik želi da plati cijeli dug odjednom, sumom iznosa na fakturama. Kada to može da učini?
Rešenje:
1 Napomena: III slučaj je najopštiji i prva dva se sadrže u njemu.
9
To je moguće učiniti na dan srednjeg vremena plaćanja, kada se izravnaju plaćene i neplaćene obaveze2.
d s=∑k=1
5
K k ∙ pk ∙ dk
∑k=1
5
K k ∙ pk
=¿
¿ 10000∙ 15 ∙ 8+12000∙ 20 ∙ 15+15000 ∙25 ∙ 12+2000∙ 30 ∙ 8+25000 ∙20 ∙1010000 ∙ 8+12000 ∙15+15000 ∙12+20000 ∙8+25000 ∙10
¿22,47 dana.
4. ESKONTOVANJE
Plaćanja u platnom prometu između privrednih subjekata mogu biti:a) na dan dospjele obavezeb) posle dospjele obaveze - kasnijec) prije dospjele obaveze – ranije
o u slučaju a - plaća se tačno onoliko koliko je obaveza - njena nominalna vrednost.o u slučaju b - plaća se interes na zakašnjenje. Obračunava se od dana dospjeća do dana plaćanja i
dodaje se nominalnoj vrednosti.o u slučaju c obračunava se interes na ranije plaćenu obavezu i oduzima od nominalne vrednosti.
Interes u ovim situacijama se zove eksont, a njegov obračun eskontovanje.
5. KOMERCIJALNI ESKONT
Eskont računat interesnim računom od sto na nominalnoj vrijednosti nekog efekta (mjenica, kredit,...) za vrijeme od dana eskontovanja do dana dospeća, zove se komercijalni eskont i obilježava se sa Ek. Ako obilježimo sa Kn nominalnu vrijednost eskonta sa danom dospjeća t = n, sa K0 eskontovanu vrijednost efekta u vremenu t = 0, n je broj dana do dospjeća efekta, a p je eskontna stopa, tada je:
E k=K n∙ p ∙ n
36.000=
Kn ∙n
D (D=36.000n )
i
K0=Kn−Ek=Kn−Kn ∙n
D=
Kn(D−n)D
Dakle, K0 eskontovana vrijednost, a ona je umanjena vrijednost za eskont od dana eskontovanja do dana dospeća. Eskontovana vrijednost se zove sadašnja vrijednost efekta.
6. RACIONALNI ESKONT
2 Napomena: Ovdje se u "izravnavanju" roka plaćanja podrazumjeva da dužnik ne plaća kamatu na obaveze koje je isplatio poslije isteka roka plaćanja i da ne traži kamatu na sredstva za obaveze uplaćena prije roka, kao i to da su te kamate iste i za dužnika i za poverioca.
10
Nije teško primjetiti da za računanje eskontovane vrijednosti u komercijalnom eskontu radimo sa računom od sto, a da nam je nominalna vrijednost veća (ili manja) od prave sadašnje eskontovane. Dakle, komercijalni eskont je eskont sa izvjesnom greškom. Zbog toga uvodimo pojam racionalnog eskonta.
Racionalni eskont je interes aktuelne racionalne vrijednosti. Obeležimo sa:
K0 - aktuelnu racionalnu vrijednost efektaKn - nominalnu vrijednost efektan - broj danap - interesnu stopuEr - racionalni eskont
tada je:
Er=K0 ∙ p ∙n
36.000=
K0 ∙ n
Di K n=K0+
K0 ∙ n
Dodavde je:
K0=K0 ∙ D
D+nodnosno E r=
n ∙ K n
D+n
7. JEDNAKOST EFEKATA
Kaže se da su dva efekta jednaka u određenom trenutku, ako eskontovana istom stopom u tom trenutku imaju istu komercijalnu ili istu racionalnu aktuelnu vrijednost. Epoha (dan, mjesec, godina) kada su kapitali jednaki zove se datum ekvivalencije dva kapitala. Neka data dva efekta sa nominalnim vrijednostima Kn i Kn' imaju n i n' dana respektivno, pa su komercijalne eskontovane vrijednosti
K0=Kn(D−n)
Di K 0
' =K n'(D−n' )
D
kako se zahtjeva Ko= K0' to će biti za
Kn ( D−n )=Kn' ( D−n' )
Dakle, jednakost nastaje za one n i n' koji zadovoljavaju prethodnu jednakost.
Ako isti postupak provedemo za racionalne eskontovane vrijednosti, dobijamo da će se jednakost postići za n i n' koji zadovoljavaju
Kn
D+n=
Kn'
D+n'
i važi stav da dva kapitala ne mogu biti istovremeno jednaka u komercijalnom i racionalnom eskontu.
8. SLOŽENI INTERESNI RAČUN
8.1. Dekurzivno računanje vremena
11
Pod složenim interesnim računom se podrazumjeva računanje kamate na neki kapital u određenom periodu, dodavanjem kapitalu tako da zajedno sa početnim kapitalom nadalje donosi kamatu. Ovo obračunavanje i dodavanje interesa kapitalu zove se kapitalisanje i može biti:
godišnje (per annum) skraćeno ( p.a.)polugodišnje (per semestre) skraćeno ( p.s.)tromesečno (per quartale) skraćeno ( p.q.)mesečno (per mensem) skraćeno ( p.m.)
U praksi je najčešće godišnje i polugodišnje.
Računanje i odobravanje kamate na kraju određenog vremenskog perioda zove se dekurzivno računanje interesa i uz kamatnu stopu se obilježava sa d.
Pored ovakvog računanja kamata postoji i računanje kamata na početku svakog predstojećeg perioda (tako banke daju zajmove) i zove se anticipativno računanje interesa koje obilježavamo sa slovom a uz interesnu stopu.
9. FAKTOR AKUMULACIJE
9.1. Izračunavanje krajnje vrijednosti kapitala
Vrijednost kapitala koja se daje pod interes zove se sadašnja vrednost i obilježava se sa K. Vrijednost kapitala poslije određenog broja u n periodu na kojem je kapitalisan, zove se krajnja vrijednost i obilježava se sa Kn. Izračunajmo Kn uz pretpostavku da je K dinara dato uz kamatnu stopu p i sa godišnjim kapitalisanjem. Poslije prve godine imamo interes:
i1=K p
100
koju dodajemo na početni kapital i dobijamo:
K1=K+K p
100=K (1+ p
100 )Na kraju druge godine imamo interes:
i2=K1 ∙ p
100=K (1+ p
100 ) p100
koji dodajemo na K1 i dobijamo:
K2=K1+i2=K (1+ p100 )+ K (1+ p
100 )=K (1+ p100 )
2
Na isti način dobijamo da je:
12
K3=K (1+ p100 )
3
, K 4=K (1+ p100 )
4
…
i uopšte
Kn=K (1+ p100 )
n
Izraz 1+ p100
se obilježava sa r i zove se interesni činilac, pa posljednja jednačina postaje Kn = Krn pri
čemu rn predstavlja krajnju vrijednost jedne novčane jedinice date pod interes sa kamatnom stopom p godišnje na dekurzivno kapitalisanje od n godina, i naziva se faktor akumulacije.
U slučaju da se kapitalisanje vrši m puta godišnje sa godišnjom kamatom od p procenata, tada se procenat umanjuje m puta, a stepen se uvećava m puta. Dakle, jednačina računanja kapitala posle n godina ima oblik3:
Kmn=K (1+ pm∙100 )
mn
Ovakve stope na kraći period od jedne godine zovu se proporcionalne stope.
Primjer:Pronaći sumu na koju naraste 5000 dinara pri a) godišnje, b) polugodišnjem i c) tromjesečnom
kapitalisanju sa godišnjom stopom od 4% na 5 godina.
Rješenje:
a¿ K5=5.000∙(1+ 4100 )
5
=6.083,26 din .
b¿ K10=5.000 ∙(1+ 42 ∙100 )
5∙ 2
=6.094,95 din .
c ¿ K20=5.000 ∙(1+ 44 ∙ 100 )
5 ∙ 4
=6.100,95 din .
Dakle:
r=1+ p100
=I p1
r2=(1+ p100 )
2
=I p2
rn=(1+ p100 )
n
=I pn
3 Napomena: Zbog prilično komplikovanog računavanja vrijednosti, u praksi u bankarskim poslovima, gdje su ovi računi česti, za ovaj račun se ne koriste logaritmi i logaritamske tablice, već tablica I interesa na interes koja sadrži krajnje vrijednosti jednog dinara na kraju 1, 2, ..., n godine uz dati procenat.
13
i Kn=K 0r n se zamjenjuje sa Kn=K 0∙ I pn pri godišnjem kapitalisanju sa kamatom od p%. Ako se
kapitalisanje vrši m puta godišnje sa stopom p% godišnje, tada se vrijednosti kapitala na kraju n-te godine računa na sljedeći način:
Kmn=K 0 I pm
mn
10. GENERALIZACIJA FAKTORA AKUMULACIJE
U primjeru iz prethodnog poglavlja se vidi da ako kapitalisanje vršimo češće, tada dobijamo veće sume novca na kraju. Šta bi bilo ako bi kapitalisanje vršili neprekidno?
Polazeći od formule:
Kmn=K 0(1+ pm∙100 )
mn
tada bi se m neograničeno uvećavalo! Imali bi, dakle:
Kn= limm→∞
∙ K0(1+ pm ∙100 )
m∙n
odnosno:
Kn=K0∙ limm→ ∞ [(1+
p /100m )
m]n
=K 0[ limm→ ∞ (1+
p /100m )
m]n
Kn=K0(e p
100 )n
=K0 epm100
roj ep
100 se zove dekurzivni interesni činilac, a ep
100n se zove faktor akumulacije poslije n godina pri
neprekidnom ukamaćivanju.
11. KONFORMNA (EKVIVALENTNA) STOPA
Iz prethodnih poglavlja smo vidjeli da se uvećanjem broja kapitalisanja povećava krajnja vrijednost kapitala i da je ona najveća pri neprekidnom kapitalisanju. Prirodno je postaviti pitanje kako se može vršiti kapitalisanje više puta (na primer m puta) u toku godine i da se isplati ista količina novca kao pri godišnjem kapitalisanju? Odgovor na ovo pitanje: ista količina novca pri godišnjem i češćem kapitalisanju će se postići pomoću ekvivalentne kamatne stope.Neka je:
i - godišnja kamatna stopaim - ekvivalentna kamatna stopa za m kapitalisanja godišnje.
Neka je prema prethodnom zahtjevu kapital isti na kraju n-te godine:
14
K0(1+i)n=K0(1+im)mn odakle je
(1+i)n=(1+im)mn odnosno posle korjenovanja lijeve i desne strane
(1+i)=(1+im)m odnosno
1+im=(1+i)1m a odatle
im=(1+i )1m−1
tako, na primer, ako je kapitalisanje polugodišnje sa kamatnom stopom od 6% tada je ekvivalentna kamatna stopa:
i2=(1+ 6100 )
2
−1=2,956 %
Očigledno, ova stopa je nešto niža nego proporcionalna koja bi u ovom slučaju bila 3%. Ovo važi i u opštem slučaju što se lako dokazuje koristeći se binarnim obrascem. Polazeći od relacije:
1+i=(1+im )m
i rastavljajući desnu stranu po binarnom obrascu imamo:
1+i=(m0 )+(m1 )im+(m2 ) im
2 +…+(mm)=1+m∙ im+(m2 ) im
2 +…+(mm) im
m>1+m∙ im
odavde je i>m∙ im odnosno im
>im.
Dakle, proporcionalna stopa je veća od ekvivalentne.12. ESKONTNI FAKTOR
Iz jednačine
Kn=K 0(1+i)n=K 0(1+ p100 )
n
odnosno
Kmn=K 0(1+ im
)mn
=K0(1+ pm∙ 100 )
mn
odnosno
Kn=K0 epn
100
dobijamo krajnju vrijednost kapitala poslije n godina pri dekurzivnom godišnjem, m puta u godini i neprekidnom kapitalisanju sa godišnjom kamatnom stopom p. U primjenama je trebalo rješavati i obrnut problem: koliko treba uložiti novca u sadašnjem trenutku, da bi poslije n godina dobili željenu svotu novca Kn, odnosno Kmn odnosno Kn u zavisnosti od vrste kapitalisanja. Jasno, ovo se lako rješava i imamo:
15
K0=K n
(1+ p100 )
n odnosno
K0=Kmn
(1+ pm100 )
mn odnosno
K0=Kn
epn
100
=K ne−pn100
Dakle, početna vrijednost koju treba uložiti se dobija kada se željena vrijednost podjeli sa faktorom akumulacije, odnosno ako se željena vrijednost pomnoži sa recipročnom vrijednošću faktora akumulacije koji se zove još i eskontni faktor.
Radi lakšeg računanja i eskontni faktor se zadaje tablično (za praktični račun lakše je množiti nego dijeliti) i data je tablica II.
Primjer:Koliko treba uložiti novca danas da bi posle 10 godina sa kamatnom stopom 8% uz godišnje kapitalisanje primili 5.000 din.?
K0=5.000
(1+ 8100
)10=2316 din.
13. FAKTOR DODAJNIH ULOGA
U prethodnom razmatranju složenog kamatnog računa izračunavali smo krajnju vrijednost kapitala za dati početni kapital dekurzivno na n godina sa kamatnom stopom od p procenata ili obrnuto, izračunavali smo koliki kapital treba uložiti da bi imali određenu krajnju vrijednost poslije n godina.
Dakle, uvijek jedan ulog. Sada ćemo posmatrati situacije kada imamo ne jedan, već više uloga, koji mogu biti u istim vremenskim intervalima, kao i u različitim, zatim isti ili različiti po veličini.
14. ULAGANJE POČETKOM OBRAČUNSKOG PERIODA
Pretpostavimo da na početku svake godine ulažemo K dinara i neka banka na kraju svake godine vrši kamaćenje sa p% kamatnom stopom. Kojom ćemo sumom raspolagati na kraju n-te godine?Očigledno ćemo imati sledeću situaciju:
Prva uložena suma posne n-te godine je postala K (1+ p100 )
n
Druga uložena suma donosi K (1+ p100
)n−1
16
Treća uložene suma postaje K (1+ p100
)n−1
Zadnji ulog postaje K (1+p
100)❑
Dakle, na kraju n-te godine imamo (1+p
100=r )
❑
Sn=K ∙ rn+K ∙ rn−1+…+K ∙r=K ∙r (rn−1+r n−2+…+r+1 )=K ∙rr n−1r−1
Napomena 1: Zadnja relacija se može dobiti i na sljedeći način:
Sn=K ∙ rn+K ∙ rn−1+…+K ∙r2+K ∙r i poslije množenja sa r imamo:
r ∙ Sn=K ∙r n+1+k ∙ rn+…+K ∙r3+ K ∙ r2 a odavde
r Sn−Sn=K ∙r n+1−K ∙ r što daje
Sn (r−1 )=Kr (r n−1 ) odnosno
Sn=K ∙ r (rn−1)
r−1
Napomena 2: Izraz r (rn−1)
r−1 je očigledno zbir iz I tablice od 1 do n za određeni procenat, a koji se takođe
zadaje tabelarno, tablica III, tj. važi:
r (rn−1)r−1
=III pn
i naš osnovni izraz se računa na sledeći način:
Sn=K ∙ III pn
Primjer:Neko ulaže početkom svake godine 10.000 dinara. Koliko će imati u banci na kraju iste godine,
ako se na ime interesa na interes računa po 4% uz godišnje dekurzivno kapitalisanje?
Ovde je K=10.000, p=4%, r=1,04, n=5, S5=?
Dakle, S5=10.000 ∙1,04 (1,045−1)
1,04−1=56.329,8 din.
15. ULAGANJE KRAJEM OBRAČUNSKOG PERIODA
17
Ako se krajem svake godine ulaže K dinara sa p% (pa) d interesa na interes pri godišnjem kapitalisanju koliko ćemo imati novca posle n godina?
Analizirajmo:
Uloženih K dinara na kraju prve godine posle n godina postaje Krn-1
, drugi ulog od K dinara na kraju je Krn-2
, treći ulog daje Krn-3 i tako dalje poslednji ulog od K dinara se ne kapitališe.
Dakle, poslije n godina imamo:
Sn' =K ∙ rn−1+K ∙r n−2+…+K=K (rn−1+rn−2+…+r+1 )=K
rn−1r−1
Napomena 1: Ako izraz rn−1+rn−2+r zamjenimo tabličnim izrazom III pn−1 , tada Sn
' možemo računati i na sljedeći način:
Sn' =K ¿)
Isto tako, između Sn i Sn' mogu da se uspostave sljedeće veze:
Uz Sn' =K
rn−1r−1
množenjem lijeve i desne strane sa r dobijamo:
r ∙ Sn' =K
r n−1r−1
tj .
r ∙ Sn' =Sn ili
Sn' =
Sn
rodnosno
Sn' =K ∙ III p
n ∙ II p1
Isto tako i
Sn' =K
rn−1r−1
=KI p
n−1
1+ p100
−1=K ∙
100p
( I pn−1)
Napomena 2: Za slučajeve kapitalisanja češćih nego što su godišnja kapitalisanja pri ovom računu sa
tablicom III umesto III pn koristi III p
m
mn
ako je broj kapitalisanja m na godišnjeg nivou, a godišnja kamatna
stopa iznosi p (n je naravno broj godina).
18
16. ULAGANJE JE ČEŠĆE (RJEĐE) OD KAPITALISANJA
U slučajevima kada su ulaganja neravnomerno raspoređena i različita po veličini, a računaju se na određeni broj godina, tada možemo postupiti na sljedeći način: Poslije svakog ulaganja kapital se preračunava na krajnji datum te godine i poslije se izvrši uobičajeni postupak računa godine za godinu.
Ako je ulaganje rjeđe od kapitalisanja, tada se kapitalisanje vrši sa odgovarajućom kamatnom stopom pm
(m je broj kapitalisanja) za m-n period.
Primer:Ulagano je početkom svakog polugodišta po 10.000 dinara u banku koja plaća 6% kamate i vrši
godišnje kapitalisanje u trajanju od 5 godina. Koliko novca će biti posle tog perioda?
Na kraju prve godine kada se vrši kapitalisanje ćemo imati kapitalisanje za prvi ulog za cijelu godinu, a za drugi kapitalisanje za pola godine, tj.
K1=10.000 (1+ 6100 )+10.000(1+ 6 ∙ 6
1200 )=20.900 din.
Dakle, na kraju svake godine će biti novog novca K1=21.000 dinara, odnosno imaćemo:
S5' =21.000(1+ III6
4 )=20.900 ∙ 5,6371=117.815,4
Napomena:
Ukoliko, na primjer, u banku ulažemo početkom svakog od m perioda u toku jedne godine po K dinara sa godišnjom kamatnom stopom p , onda ćemo na kraju godine imati ulog od:
K1=K (m+p (m+1 )
200 )
Zaista, prvi ulog se kapitališe u potpunosti i na kraju imamo: K (1+ p100 )
Drugi ulog će postati: K ∙(1+
p (12−12m )
1200 )
19
Treći ulog će postati:K ∙(1+
p (12−12m
∙ 2)1200 )
...
m-ti ulog će postati: K ∙(1+
p (12−12m
∙ (m−1 ))1200 )
I zbir
K1=K (m+p
100+
p (12−12m )
1.200+…+
p (12−12m
∙ (m−1 ))1.200 )=¿
¿ K (m+ p100
+6 p (2 m−m+1 )
1.200 )=K (m+ p100
+p ( m−1 )
200 )=¿
¿ K (m+ 2 p+ pm−p200 )=K (m+
p (m+1 )200 )
17. FAKTOR AKTUELIZACIJE DEKURZIVNIH ULOGA
Neka krajem prve, druge, ..., n-te godine ulažemo K1, K2, ..., Kn dinara uz godišnje kapitalisanje sa kamatnom stopom p procenata. Postavlja se pitanje: Koliko novca bi trebalo uložiti početkom prve godine da na kraju n-te godine uz iste uslove imamo isti kapital?
K0 ∙ rn=k1 ∙ rn−1+k2 ∙ rn−1+k n odakle je
K0=k 1
r+
k2
r2 +…+kn
rn
Ako je k1 = k2 =...= kn tada je
K0=k (rn−1)rn(r−1)
pri tome se k (r n−1)r n(r−1)
zove faktor aktuelizacije 4.
4 Faktor aktuelizacije zove se još i diskontovana vrijednost.
20
Danas, faktor aktuelizacije je vrijednost ulaganja na početku prve godine - ekvivalentna ulaganjima od po jedne novčane jedinice krajem prve, ..., n-te godine.
Napomena: Radi lakšeg računa u praksi se koristi tablica za izraz rn−1
rn(r−1) to je tablica IV, dakle,
rn−1rn (r−1 )
=IV p %n i K 0=k ∙ IV p %
n
18. FAKTOR AKTUELIZACIJE ANTICIPATIVNIH ULOGA
Analogno kao u prethodnom slučaju, neka početkom prve, druge, ..., n-te godine ulažemo k1, k2,...,kn dinara uz godišnje kapitalisanje sa kamatnom stopom od p% možemo postaviti pitanje: Koliko bi novca K0
' trebalo uložiti početkom prve godine da bi na kraju n-te godine uz iste uslove imali isti kapital?
Nepoznati kapital bi, dakle, bio K0' i on bi na kraju n-te godine bio K0
' rn i morao bi biti isto kao i
k 1rn+k 2rn−1+k nr dakle, K0' =k1+
k2
rn−1 ako je k1=k2=...kn tada je
K0' =k (1+ 1
r+…+ 1
2n−1 )=kr n−1
rn−1 (r−1 )i ove vrijednosti se, slično kao i prethodne računaju primjenom tablice IV, tj. važi:
K0' =k (1+ IV p%
n−1 ) jer je 1+ rn−1−1rn−1(r−1)
= rn−1rn−1(r−1)
.
19. ZAJMOVI
I pored toga što se u ekonomskoj nauci u praksi ponekad pravi razlika između zajma i kredita5, ovdje ne pravimo razliku između ove dvije kategorije, jer suštinske razlike i nema.
Dakle, kredit ili zajam predstavlja privredno pravni pojam, tj. dužničko – povjerenički odnos, zasnovan na ugovoru o uslovima za sticanje prava raspolaganja novcem (ili nekim drugim vrijednostima) od strane povjerioca prema dužniku. Sama riječ kredit potiče od latinske reči "credo", što znači vjerujem (imam povjerenje). Interesi povjerioca (odnosno zajmodavca) su najčešće kamata, ali pored toga interes može biti i određeni ekonomski razvoj, instrument ekonomske politike, ako je povjerilac veća firma prema manjoj ili država prema nekoj radnoj organizaciji. Zajmovi najčešće služe za investicione svrhe i po pravilu se odobravaju jednokratno u određenoj visini, a dužnici ih otplaćuju u godišnjim otplatnim iznosima koji se zovu anuiteti. U anuitetima se sadrže otplate glavnice i isplate kamate. Anuiteti su najčešće jednaki, a mogu biti i različiti, a na primer da otplate glavnice budu jednake. Isplaćivanje zajma se u ekonomskoj praksi zove amortizacija zajma.
19.1.1. Amortizacija zajma jednakim anuitetima
5 Riječ kredit se upotrebljava za kratkoročne bankarske poslove, a riječ zajam se upotrebljava za dugoročne kredite.
21
Pretpostavljamo da je dužnik uzeo od povjerioca K dinara početkom godine koje treba da otplati sa jednakim godišnjim anuitetima a. Pri tome je kamata p procenat, a ukamaćivanje je složeno i vrši se godišnje. Koliki je anuitet a?
Dug će očigledno poslije godinu dana prije otplate prve dve rate iznositi:
K1=K (1+ p100 )=K (1+r )(i= p
100 )Poslije otplate prve rate dug iznosi K (1+i )−aPrije isplate druge rate dug postaje (zbog kamata)
K2=( K (1+i )−a ) (1+ i )=K (1+ i)2−a (1+ i )
i uplatom druge rate dug se smanjuje za a i iznosi K (1+r )2−a (1+i )−a
Ovaj račun nastavljamo i posle n-te godine i isplate n-te rate imamo:
K (1+i )n−a (1+i )n−1−a (1+i )n−2−…−a (1+i )−a=0
jer je po pretpostavci isplatom zadnje n-te rate dug isplaćen. Ako je 1 + i = r tada imamo:
Krn=ar n−1+…+ar+a
Krn=arn−1r−1
tj. a=K ∙ rn(r−1)
rn−1 odnosno K=ar n−1
r n(r−1) pri čemu se
rn(r−1)rn−1
zove
anuitetni faktor ili faktor povraćaja koji je dat tablicom V, a koja je očigledno povezana sa tablicom IV, tj. važi
V p %n = 1
IV p %n .
U slučaju da se anuiteti povećaju m puta godišnje i n puta se vrši kapitalisanje, tada se analognim računom dobija veza:
K=a ( rmn−1 )rmn (r−1 )
gde je
r=1+ p100 m
odnosno imamo
K=a ∙ IV pm
mntj . a=K ∙ V pm
mn
Primjer: Zajam od 1.000.000 dinara amortizuje se jednakim anuitetima u toku 5 godina uz 12% kamatnu
stopu ako je obračun kamate na kraju godine.Izračunati anuitet ako se:
22
a) anuitet plaća i kapitalisanje vrši godišnjeb) anuitet plaća i kapitalisanje vrši polugodišnjec) anuitet plaća i kapitalisanje vrši tromesečnod) anuitet plaća i kapitalisanje vrši mesečno.
Rješenje:
a) K=1.000 .000 , n=3 ,m=1 ,a=K ∙V pm
mn=K V 123 =416.300 din.
b) K=1.000 .000 , n=3 ,m=2 , a=K ∙V pm
mn=K V 66=203.400 din .
c) K=1.000 .000 , n=3 ,m=4 , a=K ∙V pm
mn=K V 1312=100.500 din.
d) K=1.000 .000 , n=3 ,m=12 ,a=K ∙V pm
mn=K V 136=33.200 din.
19.1.1.1. Zakon otplata
Ako zajam otplaćujemo jednakim anuitetima tada sa svakim anuitetom plaćamo prispelu kamatu na dug u tom trenutku i dajemo otplatu - smanjujemo dug. Dakle, anuitet
a=bk+ik zak=1,2 ,… ,n
Pri ovakvom načinu otplaćivanja zajma je očigledno da se sa vremenom otplate povećavaju, a prispele kamate smanjuju. Pregled otplata i interesa se vrši po određenom planu koji se zove amotizacioni plan. Izložimo ga pretpostavljajući da se zajam od K dinara amortizuje sa n jednakih godišnjih anuiteta sa p% kamatnih stopa i godišnjim dekurzivnim kapitalisanjem.
Prema prethodno izračunatom imamo daje:
a=K ∙V pn
i pri tom imamo:
za prvu godinu zajam je K1=K , interes i1=K1 p
100, i otplata b=a−i1
za drugu godinu zajam je K2=K1−b1, interes i1=K2 p
100, i otplata b2=a−i2
za n-tu godinu zajam je Kn=K n−1−bn−1, interes in=Kn p
100, i otplata bn=a−in
pri čemu je posljednja otplata jednaka ostatku duga, tj. bn=Kn
Pregledno ovaj plan se daje tabelom:
period otplaćivanja iznos duga interes anuitet otplate
1 K1=K i1=K1 p
100
a b1=a−i1
2 K2=K1−b1 i2=K2 p
100
a b2=a−i2
23
3 K3=K 2−2i3=
K3 p
100
a b3=a−i3
... ... ... ... ...n-1 Kn−1=K n−2−bn−2 in−1=
Kn−1 p
100
a bn−1=a−in−1
n Kn=K n−1−bn−1 in=Kn p
100
a bn=a−in
Očigledno da u ovom planu mora biti:
(K1+K2+…+K n) ∙ p100
=i1+i2+…+in
bn=Kn
b1+b2+…+bn=K
i1+ i2+…+ in+b1+b2+…+bn=n ∙ a
Primjer:
Napravimo amortizacioni plan iz prethodnog primjera a): K=1.000.000, n=3, p=12%, a=416.350 dinara.
Godine otplate
Iznos duga Interes Otplata
1 K1=1.000 .000i1=
K1 p
100=120.000
b1=a−i1=296.350
2 K2=K1−b1=703.650i2=
K2 ∙ 12
100≅ 84.400
b2=a−i2=331.910
3 K3=K 2−b2=371.740i3=
K3 ∙ 12
100≅ 44.610
b3=371.740
UKUPNO: 1.000.00019.1.1.2.Izračunavanje bilo koje otplate pomoću prve otplate i obrnuto
Iz amortizacionog plana možemo odmah vidjeti da je:
a=b1+i1=b1+Kp100
i
a=b2+i21=b2+K2 p
100=b2+
( K−b1 ) p
100pa je
b1+Kp100
=b2+Kp100
−b1 p
100odakle je
24
b2=b1+b1 p
100=b1(1+ p
100 )Analogno dobijamo:
b3=b2(1+ p100 )odnosno b3=b1(1+ p
100 )2
i nastavljajući do kraja
bn=b1(1+ p100 )
n−1
Imajući u vidu da je vrijednost (1+ p100 )
k
data u prvoj tablici I pk , imamo da je bk=b1 I p
k−1 k=2,..., n
Obratno, ako znamo bk, dobijamo b1 na sljedeći način:
b1=bk
I pk =bk∙ II p
k−1 k=2,..., n
19.1.1.3.Izračunavanje otplaćenog dijela duga i ostatka duga posle c prvih plaćenih anuiteta
Ove vrijednosti se lako izračunavaju iz amortizacionog plana. Naime, otplaćeni dug O c posle c plaćenih anuiteta je zbir prvih otplata, dakle:
Oc=b1+b2+…+bc kako je bk=b1 ∙ I pk−1¿ je
Oc=b1+b1 I p1 +b1 I p
2+…+b1 I pc−1=b1 (1+ I p
1+ I p2 +…+ I p
c−1 )=b1 (1+ III pc−1 )
Ostatak duga Rn−c naravno, predstavlja razliku između duga Kn otplaćenog dijela Oc:
Rn−c=K−Oc
i pod istim uslovima (godišnje kapitalisanje i godišnji anuitet) može se izračunati da je:
Rn−c=a ∙ IV pn−c
19.1.1.4.Anuiteti su jednaki i češći od kapitalisanja
Neka je kapitalisanje godišnje, p procenat kamatne stope, anuitet na zajam od K dinara se isplaćuje m puta godišnje, a broj godina za koje treba otplatiti zajam neka je n. Koliki je anuitet?
Anuiteti uplaćeni m puta godišnje se očigledno moraju shvatiti kao ulozi dati pod istim uslovima
kao što je i uzeti zajam, dakle, na kraju godine iznos anuiteta je: a (m+( m−1 ) p
200 ) a zajam je postao
25
K ∙(1+ p100 ) i neotplaćena suma sa kojom se ulazi u drugu godinu je
K1=K (1+ p100 )−a (m+
( m−1 ) p200 ).
Analogno dobijamo:
K2=K1(1+ p100 )−a(m+
(m−1 ) p200 )
...
Kn=K n−1(1+ p100 )−a (m+
( m−1 ) p200 )=0
Iz ovih relacija dobijamo (zamjenom prethodne u narednoj):
K2=K (1+p
100 )2
−a(m+(m−1 ) p
200 )((1+p
100 )+1)...
Kn=K (1+ p100 )
n
−a(m+(m−1 ) p
200 )((1+ p100 )
n−1
+…+(1+ p100 )+1)=0
označivši 1+ p100
=r imamo
K ∙r n=a (m+(m−1 ) p
200 ) ∙r n−1r−1
odakle je
a=K ∙
rn ∙(r−1)r n−1
m+(m−1 ) p
200
=K ∙V p %
n
m+(m−1) p
200
Primjer: Kupac je kupio automobil na kredit. Cijena automobila je 200.000 dinara, kamata je 10%,
kapitalisanje je godišnje, a kredit se otplaćuje na 36 jednakih mesečnih rata. Koliki su anuiteti?
Rješenje:
a=K ∙V 10
b
12+ 11 ∙10200
=200.000 ∙0,402112,55
≈ 6.408 dinara
19.1.1.5. Anuiteti jednaki i rjeđi od kapitalisanja
26
Ovaj slučaj ćemo objasniti na primjeru gdje se na zajam od K dinara sa p procenata godišnje kamate vrši kapitalisanje m puta godišnje, a anuiteti se plaćaju godišnje n godina.
Dakle, zajam na kraju prve godine postaje posle m kapitalisanja sa proporcionalnom stopom pm
K (1+ p100 m )
m
−a
i kada posmatramo prvi anuitet dobijamo startnu vrijednost za drugu godinu (vrijednost na kraju prve godine):
K1=K (1+ p100 m )
m
−a
analogno
K2=K1(1+ p100 m )
m
−a
i na kraju
Kn=K n−1(1+ p100 m )
m
−a=0
tj. sa n-tom otplatom zajam je otplaćen.Zamjenjujući prethodni izraz u narednom dobijamo:
K2=K (1+ p100 m )
2m
−a(1+ p100 )
m
−a
i tako dalje do kraja:
Kn=K (1+ p100m )
mn
−a(1+ p100m )
m (n−1)
−a(1+ p100m )
m (n−2 )
−…−a=0
sabirajući
(1+ p100 m )
m
=r
imamo jednakost
K ∙r n=arn−1+ar n−2+ar+a
odnosno
Krn=a ∙rn−1r−1
odakle je
27
a=K ∙rn(r−1)
rn1
Dakle, ako računamo pomoću tablice a=K ∙V pm
mn
je izračunata vrijednost anuiteta.
19.1.2. Amortizacija zajma jednakim otplatama
Zajam se može otplaćivati i sa jednakim otplatama od n dijelova, s tim da se anuiteti dobijaju tako što se na vrijednost doda izračunati interes u trenutku isplate anuiteta. Dakle, neka je uzet zajam od K dinara na n-godina sa p procenata kamatne stope i jednakim otplatama. Koliki su godišnji anuiteti?
Anuiteti se mogu lako računati na sljedeći način:
Prvo, b1=b2=…=bn=Kn
i anuitet a1=Kn
+K ( p100 )=K
n (1+ np100 ). Dakle, u drugu godinu ulazimo
sa dugom K (n−1)
n i drugi anuitet je:
a2=K (n−1)
n ( p100 )= K
n (1+(n−1) p
100 ) .
U treću godinu se ulazi sa dugom K (n−2)
n i treći anuitet je:
a3=Kn
+K (n−2 )
n ( p100 )= K
n (1+(n−2 ) p
100 )nastavljajući analogno zaključujemo da je k-ti anuitet
ak=Kn
¿
i zadnji anuitet je
an=Kn
(1+ p¿¿¿100 )
sa kojim je otplaćen dug.
Ako se pravi amortizacioni plan zajma u koloni otplata imamo iste vrijednosti, a anuiteti se dobijaju kad se na ove vrijednosti dodaju interesi na odgovarajući iznos duga.
Primjer:Kredit od 2.700 dinara je uzet po godišnjoj kamatnoj stopi od 12% , na 12 tromesečnih anuiteta sa
jednakim isplatama. Napraviti plan amortizacije.
28
Rješenje:
Otplata je dakle 2.700 : 12 = 225 din. Kada dođe vrijeme prve isplate, na kredit valja platiti interes
P1=2.700 ∙12
4 ∙ 100=81 dinara (kamata je proporcionalna) pa je prvi anuitet, dakle, 225 + 81 = 306 dinara.
Dakle, preostali dio duga je 2.475 dinara, na koji se daje otplata posle sljedeća tri mjeseca koja
iznosi 225+P2 a P2=2.475 ∙12
4 ∙ 100=74,25 din. pa je anuitet 299,25 dinara ili pregledno u tabeli:
period otplate početni iznos duga interes anuitet otplata krajnji iznos duga
1 2.700 81 306 225 2.4752 2.470 74,25 299,25 225 2.2503 2.250 67,50 292,50 225 2.0254 2.025 60,75 285,75 225 1.8005 1.800 54,00 279,00 225 1.5756 1.575 47,25 272,25 225 1.3507 1.350 40,50 265,50 225 1.1258 1.125 33,75 258,75 225 9009 900 27,00 252,00 225 67510 675 20,25 245,25 225 45011 450 13,50 238,50 225 22512 225 6,75 231,75 225 0∑ - 526,50 3.226,50 2.700 -
19.1.3. Amortizacija zajma promjenjivim anuitetima
Isplata zajma na ovaj način se vrši izradom amortizacionog plana, s tim što anuitet u svakom koraku mora biti veći od interesa i zadnji anuitet mora svesti dug na nulu.
19.1.4. Amortizacija zajma zaokruženin anuitetima
Amortizacija zajma u ovoj situaciji je vrlo slična amortizaciji zajma sa jednakim anuitetima, sa tom razlikom što se anuiteti zaokruže na neku određenu vrijednost i na taj način se napravi amortizacioni plan, a u posljednjem periodu izračunavamo zadnji interes i dodamo na ostatak duga. Dakle, zadnji anuitet nije isti kao ostali, već je zbir posljednjeg interesa in i posljednjeg ostatka duga Kn (koji je jednak ostalim) i zove se još i anuitetni ostatak.
Primjer: Zajam od 8.000 dinara amortizuje se godišnjim anuitetima koji su u visini od 35% od veličine
zajma sa kamatnom stopom od 5% dekurzivno, uz godišnje kapitalisanje. Napraviti plan amortizacije zajma i odrediti posljednji anuitet.Rješenje:
Kako anuiteti treba da budu 35% od veličine zajma to je a=8.000∙ 35100
=2.800 , p=5% ,m=1 , a n=? .
Iz tablice IV imamo 8.000=2.800 ∙ IV 5n odavde je IV 5
n=2,8571.
29
Ove vrijednosti se ne nalaze u koloni procenta 5, već je 3 < n < 4. Dakle, zajam se amortizuje 4 godine. Tri puta se plaća po 2.800, a posljednje godine ostatak. Prikažimo to amortizacionim planom:
period otplate početni iznos duga interes anuitet otplata krajnji iznos duga
1 8.000 400 2.800 2.400 5.6002 5.600 280 2.800 2.520 3.0803 3.080 154 2.800 2.646 4344 434 21,7 455,7 434 0∑ - 855,7 8.895,7 8.000 -
19.1.5. Konverzija zajma
Konverzija zajma je svaka promjena uslova otplaćivanja zajma. Do konverzije najčešće dolazi na prijedlog dužnika, a može biti predviđena i ugovorom o zajmu i često je nametnuta i promjenama na tržištu novca.
Matematički gledano, konverzija zajma predstavlja novi zajam sa novim uslovima, pri čemu je veličina tog novog zajma ostatak duga sa prispjelom kamatom do tog trenutka za koju se pravi novi amortizacioni plan sa novim uslovima.
Primjer:
Zajam od 100.000 dinara otplaćuje se 25 godina godišnjim anuitetima uz interes od 6% (pa) d i godišnje kapitalisanje. Poslije 15 godina plaćenih anuiteta, interes je smanjen na 4% (pa) d i rok je produžen za 5 godina. Izračunati novi anuitet.
Prvo treba izračunati prvobitni anuitet i otplaćeni deo duga sa 15 rata: a=K ∙V 6
25=100.000 ∙ 0,0782=7.820 din . ostatak duga posle 15 godina je
K1=R25−15=7.820 ∙ IV 610=7.820 ∙7,3601 ≈ 57.556 din.
Novi anuitet je:
a1=K1 ∙ IV 412=57.556 ∙0,1066 ≈ 6.135,50 din.
30
LITERATURA:
Mitrović Z., Poslovna matematika, I izdanje, Visoka škola za primijenjene i pravne nauke
„Prometej“, Banja Luka, 2007.;
Macanović A., Kvantitativne metode, Visoka škola za primijenjene i pravne nauke
„Prometej“, Banja Luka, 2011.;
Hadžić O., Takači Đ., Matematičke metode, Prirodno–matematički fakultet, Novi Sad,
2000.
31
