8

2. LINEARNO PROGRAMIRANJE (LP) 2.1. Definicija LP

• LP predstavlja metodu određivanja optimalnog rješenja problema odlučivanja kod kojih su relacije između promjenljivih u funkciji cilja i skupu ograničenja linearne.

• Optimalno rješenje = «najbolje» rješenje (iz skupu dopustivih rješenja) u skladu sa usvojenim kriterijem (za koje funkcija cilja dostiže ekstremnu vrijednost - maksimum ili minimum).

2.2. Model linearnog programiranja

• Matematički model koji je definisan linearnom formom sa n promjenljivih z = c1x1 + c2x2 +...+cnxn → (max / min) (2.1)

i sistemom od m linearnih nejednačina/jednačina na istom skupu promjenljivih a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

ak1x1 + ak2x2 + ... + aknxn ≤ bk

ak+1,1x1 + ak+1,2x2 + ... + ak+1,nxn = bk+1

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . (2.2)

. . . . . . . . .

al1x1 + al2x2 + ... + alnxn = bl

al+1,1x1 + al+1,2x2 + ... + al+1,nxn ≥ bl+1

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≥ bm

xj ≥ 0, j = n,1

označava se kao model LP. • Elementi matematičkog modela LP:

(1) funkcija cilja (kriterija) = linearna forma (2.1) (2) skup ograničenja = sistem nejednačina/jednačina (2.2).

• Korištenjem operatora sabiranja ∑ model definisan relacijama (2.1) i (2.2) može se napisati u obliku

∑=

→=n

j

jj xcz1

min)(max/ (2.1a)

p.o. ),(,1

kjibxa i

n

j

jij =≤∑=

),.1(,1

lkibxa i

n

j

jij +==∑=

(2.2a)

),1(,1

mlibxa i

n

j

jij +=≥∑=

),1(,0 njx j =≥ .

9

2.3. Model LP problema poslovnog odlučivanja

• Zadaci poslovnog odlučivanja koji se mogu rješavati LP moraju biti kvantificirani kroz

slijedeće komponente: (1) kriterij i cilj, (2) alternativne metode ili procese, (3) ograničavajuće uslove.

• Zadaci poslovnog odlučivanja koji se mogu rješavati LP su: - izbor proizvodnog asortimana, - izbor optimalne tehnološke vatijante, - proizvodni program, - plan investicionih ulaganja, - alokacija resursa, - plan krojenja, - struktura smjese, - lokacija fabrika, - strategija zaliha, - razmještaj mašina, - plan transporta, - zapošljavanje, - raspored radnika i sl.

2.4. Zadatak LP

• Matematička formulacija zadatka LP sastoji se u slijedećem:

Potrebno je pronaći takav skup vrijednosti promjenljivih x1, x2,,..., xn

iz domena dopustivih rješenja D koji je određen sistemom linearnih nejednačina/jednačina (2) za koje funkcija cilja dostiže maksimalnu/minimalnu vrijednost.

2.5. Matematička reprezentacija problema LP

• Minimalna matematička reprezentacija problema LP definisana je:

(1) skupom promjenljivih x1, x2,,...,xn, (2) funkcijom cilja (kriterija), (3) skupom ograničenja.

2.5.1. Promjenljive u modelu LP • Rješenje zadatka LP = Vrijednosti promjenljivih za koje funkcija cilja dostiže ekstremnu

vrijednost. • Definisane promjenljive se predstavljaju u n-dimenzionalnom prostoru R vektorom

x

T = [x1 x2 . . . xj . . . xn ].

• Promjenljive održaju alternativne metode ili procese za postizanje cilja, odnosno do

rješenja problema poslovnog odlučivanja može se doći na alternativne načine. Ako nema alternativa onda nema ni rješavanja problema odlučivanja.

10

• Promjenljive u modelu = strukturne promjenljive ili promjenljive originala (primal) = promjenljive odlučivanja (decision variables).

• Najčešće definisanje promjenljivih u modelu LP odnosi se na: - obim proizvodnje [npr. komada, kg, l i sl.], - utroške pojedinih sirovina u naturalnim jedinicama, - naturalno izraženu nabavka proizvoda, - naturalno izraženu prodaja proizvoda, - nivo zaliha, - učešće u strukturi (%) i sl.

2.5.2.Funkcija cilja • Funkcija cilja = Funkcija kriterija (= linearna forma 2.1) • Kriterij može biti izražen u naturalnim, finansijskim ili drugim veličinama (zavisno od

problema poslovnog odlučivanja). A1. Kriterij = profit, dobit, zarada, količina, proizvodnje, kapacitet, pouzdanost, prinos po jedinici, učinak i sl. Cilj = maksimizacija ukupnog profita, dobiti, . . . A2. Kriterij = troškovi, utrošci, gubitak, škart, vrijeme realizacije, vrijeme transporta i sl. Cilj = minimizacija ukupnih troškova, . . . • Definisanje funkcije cilja:

- deskriptivno formulisanje cilja i - matematičko formulisanje cilja.

• Funkcija cilja modela LP je linearna funkcija n promjenljivih za koju je potrebno odrediti ekstremnu vrijednost (maksimum ili minimum).

• Odgovor na pitanje izbora optimalnog rješenja obezbjeđuje funkcija cilja iz domena dopustivih rješenja D.

• Matematičko definisanje funkcije cilja z = c1x1 + c2x2 +...+cnxn → (max / min)

cj – koeficijent kriterija j-te promjenljive (npr. dobit po jedinici proizvoda ili jedinični troškovi proizvodnje). 2.5.3. Skup ograničenja linearnog modela • Ograničavajući uslovi modela = sistem od m linearnih nejednačina/jednačina (2). • U skupu ograničenja figuriraju iste promjenljive kao i u funkciji cilja. • Skup ograničenja definiše u n-dimenzionalnom prostoru R domen ili skup dopustivih

(mogućih) rješenja D promjenljivih definisanih vektorom x. • U n-dimenzionalnom prostoru R, poseban slučaj linearne zavisnosti je hiperravan data

jednačinom

i

n

1j

jij bxa =∑=

Ova hiperravan dijeli prostor R na poluprostore

11

i

n

1j

jij bxa <∑=

i i

n

1j

jij bxa >∑=

• Posmatrajmo dvije tačke x1 i x2 prostora R. Ma koja tačka prave linije koja prolazi kroz tačke x1 i x2 je linearna kombinacija tačaka x1 i x2 izražena u obliku x = λx1 + (1-λ) x2 .

Ako se poštuje uslov da je 0<λ<1, onda se ova kombinacija naziva konveksna kombinacija dvije tačke.

• Konveksni skup tačaka zove se onaj skup koji pored svoje dvije tačke x1 i x2 sadrži i sve tačke duži koja povezuje tačke x1 i x2 . Takav konveksan skup se može predstaviti konveksnim poliedrom (u dvodimenzionalnoj ravni konveksni poligon), kao npr.

Konveksni skup Konkavni skup • Domen dopustivih rješenja D u LP udovoljava osobinama konveksnog skupa tačaka. • Na konveksnom skupu se razlikuju dvije vrste tačaka: ekstremne i neekstremne.

Ekstremne tačke se, za razliku od neekstremnih, ne mogu izraziti kao konveksna kombinacija drugih tačaka skupa.

• Domen dopustivih rješenja (konveksan poliedar) ne daje odgovor na pitanje izbora optimalnog rješenja, već ga daje linearna forma (funkcija cilja) 2.1 koja ekstremnu vrijednost dostiže u ekstremnoj tački ili tačkama konveksnog poliedra.

• Sistem (2) koji definiše skup ograničenja može biti: - protivrječan (ne postoji domen dopustivih rješenja), - nije protivrječan, ali je domen D neograničen (postoji mogućnost određivanja

optimalnog rješenja ako je funkcija cilja ograničena u neograničenoj oblasti), - nije protivrječan i domen D je ograničen (ima rješenje).

• Ograničavajući uslovi u poslovnim sistemima definisani su fiksnim količinama određenih resursa. Pod pojmom resursi obuhvataju se svi proizvodni i neproizvodni faktori koji se mogu kvantificirati (kapaciteti mašina, novčana sredstva, radna snaga, prostor, raspoloživi repromaterijal i sl.).

• Iskorištenost resursa ne može prelaziti definisane granice (količina resursa), pa se u matematičkom smislu izražavaju nejednačinama oblika manje ili jednako (≤). Npr. i-to ograničenje se može napisati u obliku ai1x1 + ai2x2 + ... +aijxj + ... + ainxn ≤ bi

gdje su: aij – strukturni ili tehnički koeficijenti u i-tom ograničenju (definišu količinu i-tog ograničenja potrebnu za jedinicu j-te promjenljive) bi – slobodni koeficijent u i-tom ograničenju (količina i-tog resursa).

x1 x x2

x1 x2

x

12

• Ograničenja matematički izražena kao nejednačine oblika veće ili jednako (≥) odnose se na određene minimalne zahtjeve kao npr. - minimalna proizvodnja, - minimalni biološki zahtjevi, - minimalne zalihe, - minimalno korištenje resursa i sl.

• Ograničenja izražena u obliku jednačina (=) proizilaze iz specifičnih zahtjeva kao npr. - potpuna iskorištenost resursa, - struktura koja iznosi 100% ili 1, - proizvodnja vezanih proizvoda i sl.

• Prirodni skup ograničenja – nenegativnost promjenljivih tj. xj≥0. 2.5.5. Matematički uslovi modela LP (1) Linearnost funkcije cilja i skupa ograničenja

- veze između promjenljivih linearne - promjenljive se pojavljuju samo na prvom stepenu (nema njihovog proizvoda ili

drugih funkcija), (2) Diskretnost procesa, odnosno promjenljivih

- vrijednost jedne promjenljive nema utjecaja na strukturne koeficijente i koeficijente u funkciji cilja drugih promjenljivih,

(3) Aditivnost procesa u funkciji cilja i ograničenjima - svi koeficijenti u funkciji cilja treba da budu izraženi istodimenzionalno - svi strukturni koeficijenti jednog ograničenja treba da budu istih dimenzija,

(4) Proizvoljna djeljivost procesa - promjenljive mogu primiti proizvoljne realne vrijednosti, tj. imaju karakteristike

kontinuiranosti, (5) Konačan broj promjenljivih i ograničenja. 2.6. Opšti, standardni i kanonski oblik modela LP

• Postoje dva osnovna tipa modela LP i to za:

- maksimum i - minimum.

• Na osnovu matematičkih izraza za ograničenja razlikuju se tri oblika modela LP: (1) standardni ili simetrični, (2) kanonski i (3) opšti ili asimetrični. • Standardni oblik ima karakteristike:

- model LP za maksimum: sva ograničenja su izražena nejednačinama forme manje ili jednako (≤),

- model LP za minimum: sva ograničenja su izražena nejednačinama forme veće ili jednako (≥).

• Kanonski oblik modela LP ima karakteristiku i za maksimum i za minimum da su sva ograničenja izražena u formi jednačina (=).

• Opšti oblik modela LP za maksimum i minimum ima osobinu kombinacije sve tri forme ograničenja (≤, =, ≥).

• Standardni oblik modela LP za maksimum

13

max1

→=∑=

n

j

jj xcz

p.o. ),1(,1

mibxa i

n

j

jij =≤∑=

(2.3)

),1(,0 njx j =≥

• U matričnoj notaciji standardni oblik modela LP za maksimum se može napisati

z = Cx→max

Ax ≤ A0 (2.3a) x ≥ 0

gdje su:

C = [c1 c2 ...cn] x

T=[x1 x2 ... xn]

A0T

= [b1 b2 ... bm]

A =

mn2m1m

232221

131211

a...aa

............

a...aa

a...aa

• Standardni oblik modela LP za minimum

min1

→=∑=

n

j

jj xcz

p.o. ),1(,1

mibxa i

n

j

jij =≥∑=

(2.4)

),1(,0 njx j =≥

• Kanonski oblik modela LP za maksimum

max1

→=∑=

n

j

jj xcz

p.o. ),1(,1

mibxa i

n

j

jij ==∑=

(2.5)

),1(,0 njx j =≥

• Kanonski oblik modela LP za minimum je identičan kanonskom obliku modela LP za

maksimum samo što se u funkciji cilja riječ “max” zamjenjuje sa riječi “min”.

14

• Opšti oblik modela LP dat je relacijama (2.1) i (2.2), odnosno (2.1a) i (2.2a). • Standardni oblik za maksimum transformiše se u kanonski pretvaranjem sistema

ograničenja iz forme nejednačina u jednačine tako da se na lijevim stranama ograničenja dodaju promjenljive koje se nazivaju dopunske ili izravnavajuće (xn+i).

• Koeficijenti u funkciji cilja dopunskih promjenljivih jednaki su nuli.

max1

→=∑=

n

j

jj xcz

p.o. ),1(1

mibxxa iin

n

j

jij ==+ +=∑ (2.6.)

),1(,0 mnjx j +=≥

• Transformacija opšteg problema LP za maksimum u standardni vrši se na slijedeći način:

- ograničenja oblika = pretvoriti u dvije nejednačine, jednu oblika (≤), a drugu (≥). Potom nejednačinu oblika (≥) množiti sa (-1)

−≤−

≤⇔

−≥

≤⇔=

∑

∑

∑

∑∑

=

=

=

=

=ij

n

j

ij

ij

n

j

ij

ij

n

j

ij

ij

n

j

ij

i

n

j

jij

bxa

bxa

bxa

bxa

bxa

1

1

1

1

1 )1/(

- ograničenja oblika (≥) množiti sa (-1)

i

n

j

jiji

n

j

jij bxabxa −≤−⇔−≥ ∑∑== 11

)1/(

• Transformacija opšteg oblika LP za minimum u standardni oblik vrši se na sličan način,

samo što se sa (-1) množe ograničenja oblika (≤). • Transformacija opšteg u kanonski oblik (i kod tipa za maksimum i minimum) vrši se tako

da se dopunska promjenljiva kod ograničenja oblika (≤) dodaje, a kod ograničenja (≥) oduzima od lijeve strane nejednačine.

2.7. Dualni problem LP

• Teorema dualiteta: Maksimalna vrijednost funkcije cilja originala (primarni problem ili

primal) jednaka je minimalnoj vrijednosti funkcije cilja duala i obrnuto. • Matematički izraz:

=

∑∑==

m

i

ii

n

j

jj ybxc11

maxmin (2.7)

=

∑∑==

m

i

ii

n

j

jj ybxc11

minmax

• Model duala LP:

- simetrični (polazi od standardnog oblika primala)

15

- asimetrični (polazi od opšteg oblika primala). • Dualnih promjenljivih ima onoliko koliko ima ograničenja. Ako je funkcija cilja

vrijednosno izražena, onda dualne promjenljive predstavljaju cjenovni izraz jedinice ograničenja (npr. jedinice resursa). To nije tržišna cijena po kojoj bi se mogla prodati ili kupiti jedinica ograničenja, već interna cijena koja se može «platiti» za jedinicu ograničenja (resursa) da bi se realizovalo optimalno rješenje. Dualne promjenljive mogu biti nenegativne i nepozitivne.

• Vrijednosti dualnih promjenljivih govore o tome za koliko će se promijeniti vrijednost funkcije cilja ako se slobodni član u ograničenjima poveća za jednu jedinicu.

• Pravila za formiranje dualnog modela na bazi primala (originala): 1. Ako je primal za maksimum, dual će biti za minimum i ako je primal za minimum

dual će biti za maksimum. 2. Koeficijenti u funkciji cilja primala postaju slobodni koeficijenti u ograničenjima

duala. 3. Slobodni koeficijenti u ograničenjima primala postaju koeficijenti u funkciji cilja

duala. 4. Matrica strukturnih koeficijenata primala se transponovanjem transformiše u matricu

strukturnih koeficijenata duala. 5. Dual se uvijek piše u standardnom obliku za maksimum ili minimum. 6. Vrijednosti dualnih promjenljivih su: - nenegativne (odnose na ograničenja oblika ≤ kod maksimum-problema LP i na

ograničenja oblika ≥ kod minimum-problema LP) - nepozitivne (odnose se na ograničenja oblika ≥ kod maksimum-problema LP i na

ograničenja oblika ≤ kod minimum-problema LP) - nenegativne ili nepozitivne kod ograničenja oblika =.

• Simetrični dualni model za maksimum

- Primal – standardni oblik

z=c1x1 + c2x2 +..+ cnxn → max

a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn ≤ b1

a21x1+ a22x2 +... + a2nxn ≤ b2

. . . . . . (2.8) . . . . . .

. . . . . .

am1x1+am2x2 +...+ amnxn ≤ bm

xj ≥ 0, j= n,1 - Dual

z′=b1y1 + b2y2 +...+ bmym → min

a11y1 + a21y2 +...+ am1ym ≥ c1

a12y1 + a22y2 +...+ am2ym ≥ c2

. . . . . . . (2.9) . . . . . . .

. . . . . . .

a1ny1 + a2ny2 +...+ amnym ≥ cn

16

yi ≥ 0, i= m,1 • Simetrični dualni model za minimum

- Primal – standardni oblik z = c1x1 + c2x2 + ... +cnxn → min

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≥ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≥ b2

. . . . . . . (2.10) . . . . . . .

. . . . . . .

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≥ bm

xj ≥ 0, j= n,1

- Dual

z′=b1y1 + b2y2 +...+ bmym → max

a11y1 + a21y2 +...+ am1ym ≤ c1

a12y1 + a22y2 +...+ am2ym ≤ c2

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

a1ny1 + a2ny2 +...+ amnym ≤ cn

yi ≥ 0, i= m,1

• Asimetrični dualni model netransformisanog primala za maksimum

- Primal - opšti oblik

max1

→=∑=

n

j

jj xcz

),1(,1

kibxa i

n

j

jij =≤∑=

),1(,1

lkibxa i

n

j

jij +==∑=

(2.11)

),1(,1

mlibxa i

n

j

jij +=≥∑=

),1(,0 njx j =≥

- Dual

min'111

→++= ∑∑∑+=+==

ii

m

li

l

ki

ii

k

i

ii ybybybz

17

),1(,111

njcyayaya jiij

m

li

l

ki

iij

k

i

iij =≥++ ∑∑∑+=+==

(2.12)

),1(,0 kiyi =≥

)l,1ki(,0yi +=≤=≥

),1(,0 mliyi +=≤

• Asimetrični dualni model netransformisanog primala za minimum

- Primal – opšti oblik

min1

→=∑=

n

j

jj xcz

),1(,1

kibxa i

n

j

jij =≤∑=

),1(,1

lkibxa i

n

j

jij +==∑=

(2.13)

),1(,1

mlibxa i

n

j

jij +=≥∑=

),1(,0 njx j =≥

- Dual

max'111

→++= ∑∑∑+=+==

ii

m

li

l

ki

ii

k

i

ii ybybybz

),1(,111

njcyayaya jiij

m

li

l

ki

iij

k

i

iij =≤++ ∑∑∑+=+==

(2.14)

),1(,0 kiyi =≤

)l,1ki(,0yi +=≤=≥

),1(,0 mliyi +=≥

• Asimetrični dualni model je neupotrebljiv za rješavanje s obzirom da simpleks metoda

daje nenegativne vrijednosti promjenljivih. • Rješenje ovog problema sastoji se u tome da se opšti model primala transformiše u

standardni oblik, pa primijeni simetrični dualni model. • Ako se neko ograničenje u primalu množi sa konstantom “s”, to će i odgovarajuća dualna

promjenljiva biti pomnožena sa istom konstantom. Stoga se vrijednost dualne promjenljive transformisanog modela y′ mora podijeliti sa konstantom “s”, tj.

s

yy

'

p

p =

• Standardni oblik transformisanog opšteg modela za maksimum

- Primal

18

max1

→=∑=

n

j

jj xcz

).1(,1

kibxa i

n

j

jij =≤∑=

),1(,1

lkibxa i

n

j

jij +=≤∑=

(2.15)

),1(,1

lkibxa i

n

j

jij +=−≤−∑=

),1(,1

mlibxa i

n

j

jij +=−≤−∑=

),1(,0 njx j =≥

- Dual

min'"'''1111

→−−+= ∑∑∑∑+=+=+==

m

li

iiii

l

ki

l

ki

ii

k

i

ii ybybybybz

)n,1j(,c'ya''ya'ya'ya j

m

1li

iij

l

1ki

iij

l

1ki

iij

k

1i

iij =≥−−+ ∑∑∑∑+=+=+==

(2.16)

),1(,0' miy i =≥

),1(,0" lkiy i +=≥

- Veze između dualnih promjenljivih netransformisanog i

transformisanog primala

),1(,' kiyy ii ==

),1(,' mliyy ii +=−= (2.17)

),1(,"' lkiyyy ii +=−=

• Standardni oblik transformisanog opšteg modela za

minimum

- Primal

min1

→=∑=

n

j

jj xcz

),1(,1

kibxa i

n

j

jij =−≥−∑=

19

),1(,1

lkibxa i

n

j

jij +=≥∑=

(2.18)

),1(,1

lkibxa i

n

j

jij +=−≥−∑=

),1(,1

mlibxa i

n

j

jij +=≥∑=

),1(,0 njx j =≥

- Dual

max'"''1111

→+−+−= ∑∑∑∑+=+=+==

m

li

iiii

l

ki

l

ki

ii

k

i

ii ybybybybz

)n,1j(,c'yb''ya'ya'ya j

m

1li

ii

l

1ki

iij

l

1ki

iij

k

1i

iij =≥−−+ ∑∑∑∑+=+=+==

(2.19)

),1(,0' miy i =≥

),1(,0" lkiy i +=≥

- Veza između dualnih promjenljivih netransformisanog i transformisanog primala

),1(,' kiyy ii =−=

),1(,"' lkiyyy ii +=−= (2.20)

),1(,' mliyy ii +==

2.8. Rješavanje problema linearnog programiranja

• Dvije osnovne grupe metoda:

- simpleks metoda – opšta metoda za rješavanje svih problema LP, - metode prilagođene rješavanju specijalnih vrsta problema kao što su transportni

problem, raspoređivanje (asignacija) i sl.

2.8.1. Grafičko rješavanje problema LP • Rješavaju se problemi definisani sa dvije (i tri) promjenljive s obzirom da se moraju

predstaviti u ravni (dvodimenzionalni sistem), odnosno u trodimenzionalnom prostoru. • Dat je model:

z=c1x1 + c2x2 → max/min (1) p.o. a11x1 + a12x2 ≤ b1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

ak1x1 + ak2x2 ≤ bk

ak+1,1x1 + ak+1,2x2 = bk+1

. . . . . (2)

20

. . . . .

. . . . .

al1x1 + al2x2 = bl

al+1,1x1 + al+1,2x2 ≥ bl+1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

am1x1 + am2x2 ≥ bm

)2,1(,0 =≥ jx j

• Sistem nejednačina (2) ima rješenje ako je sistem saglasan tj. ako je rang matrice sistema (koeficijenti uz promjenljive) jednak rangu proširene matrice (koeficijenti uz promjenljive i slobodni članovi u ograničenjima)

• Rješenje sistema (2) u ravni se može predstaviti kao poluravan (a), zatvoreni poligon (b), prava, poluprava, duž ili tačka (c).

• Skup tačaka D dobiven rješenjem sistema (2) naziva se domen dopustivih rješenja. Domen

dopustivih rješenja predstavlja konveksan skup tačaka u ravni. • Linearna forma (1) predstavlja familiju paralelnih pravi pošto keficijent pravca [-c1 / c2] ne

zavisi od promjenljive z. • Rješenje problema se sastoji u određivanju one prave koja sa skupom D ima bar jednu

zajedničku tačku, a linearna forma (1) dostiže maksimalnu/minimalnu vrijednost. • Zbog pojednostavljenja rješavanja iz familije pravih definisanih linearnom formom (1)

uzimamo pravu koja prolazi kroz koordinatni početak c1x1 + c2x2 = 0. • U slučaju da su c1, c2 ≥ 0 :

- maksimalna vrijednost se postiže u posljednjoj tački (tačkama) presjeka z i D (najudaljenija od koordinatnog početka),

- minimalna vrijednost funkcije z se dobiva u prvoj tački (tačkama) presjeka z i D (najbliži presjek koordinatnom početku).

• U slučaju da je jedan od koeficijenata c1, c2 negativan onda se: - maksimalna vrijednost linearne forme (1) postiže se pomjeranjem grafika prave z duž

ose kojoj odgovara promjenljiva sa pozitivnim koeficijentom, - minimalna vrijednost postiže se pomjeranjem grafika forme (1) duž ose kojoj

odgovara promjenljiva sa negativnim koeficijentom. • Primjer 1.

Preduzeće proizvodi dva različita proizvoda A i B na četiri grupe mašina )4,1(, =iM i .

Mjesečni raspoloživi kapaciteti pojedinih grupa mašina )4,1(, =iM i iznose 240, 350, 65 i

60 [h], respektivno. Prema tehničkim podacima za proizvodnju jednog komada proizvoda

x1

x2

D

(a) x1

x2

D

(b) x1

x2

D

(c)

21

A na pojedinim grupama mašina potrebno je 3; 2,5; 1 i 0 sati, respektivno. Ovi podaci označavaju tehničke koeficijente proizvoda A. Kod proizvoda B tehnički koeficijenti iznose 2; 5, 0 i 1 sati, respektivno. Polazeći od kalkulacija utvrđeno je da jedan komad proizvoda A donosi dobit preduzeću od 9 [NJ], a jedan komad proizvoda B 11 [NJ]. Pred donosioca odluke postavlja se pitanje koliko komada pojedinih proizvoda mjesečno da se proizvede ako se želi postići maksimalna dobit ? Tabela Grupe mašina Tehnički koeficij. [h/kom]

A B Kapacite[h]

M1

M2

M3

M4

3 2,5 1 0

2 5 0 1

240 350 65 60

Dobit po komadu (NJ/kom) 9 11 • Prvo se definišu promjenljive

- x1 – količina proizvoda A koju će preduzeće mjesečno proizvoditi u [kom], - x2 - količina proizvoda B koju će preduzeće mjesečno proizvoditi u [kom],

• x1, x2 ≥ 0 (a) • Ako pretpostavimo da je utrošak kapaciteta mašina proporcionalan količini proizvodnje,

onda se dalja ograničenja mogu definisati na slijedeći način: (1) 3x1 + 2x2 ≤ 240 [h/kom] x (kom) = [h] (2) 2,5x1 + 5x2 ≤ 350

(3) x1 ≤ 65 (b)

(4) x2 ≤ 60 • Funkcija cilja

z = 9x1 + 11x2 → max (c)

• Grafičko predstavljanje skupa ograničenja: S obzirom na uslov (a) posmatra se samo prvi kvadrant koordinatnog sistema. Kod ispitivanja ograničenja koja se odnose na grupu mašina M1 polazimo od toga da jednačini 3x1+2x2 = 240 odgovara prava koja apscisu siječe u tački (80, 0), a ordinatu u tački (0, 120), onda dopustiva rješenja reprezentuje osjenčeni trougao na Slici 1. Na sličan način ćemo predstaviti i ostala tri ograničenja (Slika 2.) i funkciju cilja za slučaj z=0.

Slika 1.

x2

0 (80,0)

(0,120)

x1

22

Slika 2.

Prava: Tačke: 2,5x1 + 5x2 = 350 --------------------- x1 140 0

x2 0 70

x1 = 65 --------------------- x1 65

x2 0

x2 = 60 --------------------- x1 0

x2 60

9x1 + 11x2 = 350 --------------------- x1 0 -55

x2 0 -45

• Ispitajmo sada vrijednost funkcije cilja u graničnim (ekstremnim) tačkama zatvorenog

poligona D i jednoj tački po izboru u unutrašnjosti domena D.

M1 (0, 60) z = 9 · 0 + 11 · 60 = 660

=

=+⇒

60 x

24055,2

2

212

xxM

M2 (20, 60) z = 9 · 20 + 11 · 60 = 840

(1)

(1)

(2)

(2)

(3)

(3)

(4) (4) M1(0,60) M2(20,60

) M3(50,45)

M4(65,22,5)

M5(65,0)

M5(40,4

D 0

(0,70

(140,0

(0,120)

x1

x2

z0

zopt

(-55,45)

23

=+

=+⇒

35052,5x

24023

21

213

x

xxM

M3 (50, 45) z = 9 · 50 + 11 · 45 = 945 max

=

=+⇒

65

24023

1

214

x

xxM

M4 (65; 22,5) z = 9 · 65 + 11 · 22,5 = 832,5

M5 (65, 0) z = 9 · 65 + 11 · 0 = 585

M6 (40, 40) z = 9 · 40 + 11 · 40 = 800

• Primjer 2.

Potrebno je programirati optimalni dnevni obrok za tov junadi. Obrok mora sadržati najmanje 9 jedinica sastojka K, 6 jedinica sastojka L, 12 jedinica sastojka M i 48 jedinica sastojka N. Na raspolaganju stoje dva različita krmiva (stočna hrana) A i B. Jedan kg krmiva A sadrži 6 jedinica sastojka K, 2 jedinice sastojka M i 16 jedinica sastojka N, dok mu je cijena po kg 5 NJ. Jedan kg krmiva B sadrži 6 jedinica sastojka L, 4 jedinice sastojka M i 8 jedinica sastojka N, dok mu je cijena 5 NJ. Sve prethodne podatke predstavit ćemo tabelarno:

Tabela

Hranljivi sastojci Krmivo

A B Minimalni biološki zahtjevi

K

L

M N

6 - 2 16

- 6 4 8

9 16 12 48

Cijena (NJ/kg) 5 5 • Definisanje promjenljivih

x1 – količina krmiva A u smjesi (u kg)

x2 – količina krmiva B u smjesi (u kg)

• Matematički model

z = 5x1 + 5x2 →min

p.o. 6x1 ≥ 9

6x2 ≥ 6

2x1 + 4x2 ≥ 12

11x1 + 8x2 ≥ 48

x1, 2 ≥ 0

24

• Vrijednost funkcije cilja u ekstremnim tačkama domena D i jednoj tački po izboru u

unutrašnjosti D:

M1 (3/2, 3) z = 5 · 3/2 + 5 · 3 = 22,5

M2 (2, 2) z = 5 · 2 + 5 · 2 = 20 min

M3 (4, 1) z = 5 · 4 + 5 · 1 = 25

M4 (6, 4) z = 5 · 6 + 5 · 4 = 50

2.8.2. Principi simpleks metode • Simpleks metoda spada u kategoriju iterativnih metoda gdje se polazi od nekog

dopustivog rješenja (početno bazično rješenje) koje se u nizu koraka (iteracija) poboljšava dok se ne postigne optimalno rješenje u skladu sa postavljenim ciljem.

• Iteratio (lat) – ponavljati, obnavljati. • Faze simpleks metode:

1. Svođenje opšteg /standardnog oblika modela LP na kanonski oblik. 2. Simpleks algoritam

Korak 1. – Određivanje dopustivog bazičnog rješenja Korak 2. – Poboljšanje dobivenog bazičnog rješenja kroz konačan broj koraka – iteracija.

(1)

(2)

(3)

(4)

M1(3/2,3)

M2(2,2)

M3(4,1)

M4(6,4)

D

0

(0,3)

(3/2,0) x1

x2

z0

zopt

(1)

(2)

(3)

(4)

(6,0)

(0,6)

(0,1)

(3,0)

25

• Svođenje opšteg /standardnog oblika modela LP na kanonski oblik koji obezbjeđuje dopustivo početno bazično rješenje )0( ≥jx .

Ograničenje

oblika Na lijevoj strani

ograničenja uvode se promjenljive

Koef. u funkciji cilja uvedenih promjenljivih

max DP AP

min DP AP

≤ = ≥

+ DP + AP

- DP+AP

0 0

-M -M

0 0

M M

• Dopunske ili izravnavajuće promjenljive (DP) se dodaju na lijevoj strani ograničenja

oblika nejednačina ≤ i oduzimaju od lijeve strane ograničenja oblika nejednačina ≥. Pošto dopunske promjenljive ne izazivaju troškove i ne donose dobit to su im koeficijenti u funkciji cilja jednaki nuli.

• Artificijelne (umjetne ili vještačke) promjenljive (AP) se uvode samo kao računsko sredstvo u simpleks algoritmu sa vještačkom bazom sa ciljem da se obezbjedi dopustivo bazično rješenje i dodaju se na lijevoj strani ograničenja jednačina i oblika ≥ (nakon oduzimanja dopunske promjenljive). Da bi se obezbijedio izlazak artificijelnih promjenljivih iz bazičnog rješenja u funkciji cilja im se pridružuje koeficijent –M kod maksimum-problema LP, odnosno +M kod minimum-problema LP. Inače M je nespecificirano veliki pozitivan broj. Dokle god su AP u bazi dobiveno rješenje nije upotrebljivo. U trenutku napuštanja baze svih artificijelnih promjenljivih dobiva se prvo upotrebljivo rješenje.

• Dopustivo bazično rješenje podrazumijeva svako dopustivo (moguće) rješenje u kome nema više od m pozitivnih vrijednosti promjenljivih (odnosno onoliko koliko ima ograničenja).

• Dopustivo bazično rješenje može biti: - nedegenerirano – ima tačno m pozitivnih vrijednosti promjenljivih, - degenerirano – ima manje od m pozitivnih vrijednosti promjenljivih.

• Promjenljive u simpleks metodi se klasifikuju kao nebazične i bazične. • Nebazične promjenljive (NBP) = promjenljive koje se izjednačavaju sa nulom. • Bazične promjenljive (BP) imaju vrijednosti veće od nule (može biti i degeneracija) i ima

ih onoliko koliko ima ograničenja. • Osobine dopustivog bazičnog rješenja:

- sadrži sve nenegativne vrijednosti promjenljivih, - svaka promjenljiva koja ga čini može se pojaviti samo u jednom ograničenju sa

strukturnim koeficijentom 1 tj. strukturni koeficijenti u ograničenjima uz bazične promjenljive čine jediničnu matricu.

• Promjenljive koje čine dopustivo početno bazično rješenje = slobodni koeficijenti u ograničenju: - dopunske promjenljive uvedene u ograničenje oblika “≤”, - artificijelne promjenljive uvedene u ograničenja oblika “=” i “≥”.

• Svaka iteracija se sastoji od tri koraka: Korak 1. – Utvrđivanje da li je dobiveno rješenje optimalno i ako nije određuje se promjenljiva koja treba da uđe u bazu:

26

- ako je model LP za maksimum logično (ali ne i neophodno) je uvesti u bazu promjenljivu koja najviše povećava funkciju cilja,

- ako je model LP za minimum logično je uvesti u bazično rješenje promjenljivu koja najviše smanjuje funkciju cilja.

Korak 2. – Određivanje promjenljive koja napušta bazu. Korak 3. – Transformacija strukturnih koeficijenata i koeficijenata u funkciji cilja nakon čega se vraća na korak 1.

• Simpleks metoda se može provoditi: - analitički, - tabelarno, - matrično i sl. U nastavku će se predstaviti analitičko i tabelarno rješavanje problema LP simpleks algoritmom.

2.8.3. Analitičko rješavanje modela LP za maksimum simpleks metodom • Matematički model

z = 9x1 + 11x2 → max

3x1 + 2x2 ≤ 240

2,5x1 + 5x2 ≤ 350

x1 ≤ 65

x2 ≤ 60

x1,2 ≥ 0

• Svođenje modela LP na kanonski oblik

z=9x1+ 11x2+ 0⋅x3+ 0⋅x4+ 0⋅x5+ 0⋅x6→ max (1)

3x1 + 2x2 + x3 = 240

2,5x1 + 5x2 + x4 = 350 (2)

x1 + x5 = 65

x2 +x6 = 60

)6,1(,0 =≥ jx j

• Simpleks algoritam

Početak = 0 I. Određivanje početnog bazičnog rješenja i izračunavanje kriterija optimalnosti Promjenljive x3, x4, x5 i x6 se proglašavaju za bazične promjenljive, dok se x1 i x2

proglašavaju za nebazične. Stoga se bazične promjenljive izražavaju pomoću nebazičnih, odnosno na osnovu sistema jednačina (2) dobiva se: x3 = 240 – (3x1 + 2x2)

x4 = 350 – (2,5x1 + 5x2)

x5 = 65 – (x1) (3)

x6 = 60 – (x2).

27

Kriterij optimalnosti se dobije tako što se izvrši supstitucija vrijednosti x3, x4, x5 i x6 iz sistema (3) (tj. bazičnih promjenljivih) u jednačinu (1) i dobije se kriterij optimalnosti

z = 9x1 + 11x2 (4)

Ovaj kriterij će se kod simpleks tabele transformisati u kriterij «Z – c», ali za bolje razumijevanje simpleks metode nećemo vršiti njegovu transformaciju. Bazične i nebazične promjenljive imaju slijedeće vrijednosti: NBP: x1 = x2 = 0

BP: x3 = 240

x4 = 350

x5 = 65

x6 = 60

Za ovo rješenje funkcija cilja ima vrijednost z = 0.

1. Iteracija

Korak 1. - Ispitivanje optimalnosti rješenja (kriterij optimalnosti) i određivanje promjenljive koja postaje bazična. Pošto u kriteriju optimalnosti (4) ima promjenljivih sa pozitivnim koeficijentima, to implicira zaključak da za vrijednosti x1,x2>0 će doći do povećanja vrijednosti funkcije cilja. To znači da dobiveno rješenje nije optimalno i da se može poboljšati. Pošto koeficijent c2=11 u relaciji (4) najviše povećava funkciju cilja, to znači da promjenljiva x2 postaje bazična promjenljiva.

(x2→B)

Korak 2. - Određivanje promjenljive koja postaje nebazična. Promjenljiva koja postaje bazična (u ovom slučaju x2) ne smije imati toliku vrijednost da neka ranija bazična promjenljiva postane negativna. Stoga najveća moguća vrijednost za bazičnu promjenljivu x2 izračunava se iz količnika (naravno uzimaju se u obzir samo moguće nenegativne vrijednosti):

min{240/2; 350/5; - ; 60/1}=

min{120; 70; - ; 60}= 60

Najmanji količnik određuje promjenljivu koja postaje nebazična. To je promjenljiva x6.

(B→ x6)

Prema tome, nove bazične promjenljive su x3, x4, x5 i x2, dok su x1 i x6 nebazične.

Korak 3. - Izražavanje novih bazičnih promjenljivih i kriterija optimalnosti Prvo se iz četvrte jednačine sistema (3) izračunava nova bazična promjenljiva x2 putem nove nebazične promjenljive x6. Potom se vrši supstitucija x2 u ostalim jednačinama sistema (3), tako da se dobiva:

x3 = 120 – (3x1 - 2x6)

28

x4 = 50 – (2,5x1 - 5x6) (5)

x5 = 65 – (x1 )

x2 = 60 – (x6)

Nakon supstitucije x2 u realciju (4) dobiva se novi kriterij optimalnosti:

z = 9x1 + 11(60-x6) = 660 + 9x1 – 11x6 (6)

Vrijednosti promjenljivih i funkcije cilja nakon prve iteracije je:

NBP: x1 = x6 = 0

BP: x3 = 120

x4 = 50

x5 = 65

x2 = 60

z = 660

2. Iteracija

Korak 1. - Ispitivanje optimalnosti rješenja (kriterij optimalnosti) i određivanje promjenljive koja postaje bazična. Pošto u kriteriju optimalnosti (6) uz x1 je pozitivan koeficijent, to znači da se dobiveno rješenje može poboljšati. Prema tome nova bazična promjenljiva postaje x1.

(x1→B)

Korak 2. - Određivanje promjenljive koja postaje nebazična.

min{120/3; 50/2,5; 65/1; - }=

min{40; 20; 65; -} = 20

(B→ x4)

Korak 3. Izražavanje novih bazičnih promjenljivih i kriterija optimalnosti Na osnovu (5) dobiva se:

x3 = 60 – (-6/5x4 + 4x6)

x1 = 20 – (2/5x4 - 2x6) (7)

x5 = 45 – (-2/5x4 +2x6 )

x6 = 60 – (x6)

Nakon supstitucije x1 iz sistema (7) u (6) dobiva se novi kriterij optimalnosti:

z = 840 – 18/5x4 + 7x6 (8)

Uz x6 se nalazi pozitivni koeficijent, te se dobiveno rješenje može još poboljšavati.

NBP: x4 = x6 = 0

BP: x3 = 60

x1 = 20

x5 = 45

29

x2 = 60

z = 840

3. Iteracija Korak 1. - Ispitivanje optimalnosti rješenja (kriterij optimalnosti) i određivanje promjenljive koja postaje bazična

(x6→B)

Korak 2. - Određivanje promjenljive koja postaje nebazična

min{60/4; - ; 45/2; 60/1}=

min{15; - ; 22,5; 60} = 15

(B→ x3)

Korak 3. - Izražavanje novih bazičnih promjenljivih i kriterija optimalnosti Na osnovu (7) dobiva se:

x6 = 15 – (1/4x3 – 3/10x4)

x1 = 50 – (1/2x3 – 1/5x4) (9)

x5 = 15 – (–1/2x3 + 1/5x4 )

x2 = 45 – (–1/4x3 + 3/10x4)

Supstitucijom x6 iz sistema (9) u (8) dobiva se:

z = 945 – 7/4x3 – 3/2x4. (10)

Dobiveno rješenje je optimalno jer nema koeficijenata uz nebazične promjenljive većih od nule.

NBP: x3 = x4 = 0

BP: x6 = 15

x1 = 50

x5 = 15

x2 = 45

z = 945

Nakon 3. iteracije dobijeno je optimalno rješenje:

OR

x1 = 50 (kom)

x2 = 45 (kom)

z = 945 (NJ)

2.8.4. Analitičko rješavanje modela LP za minimum simpleks metodom • Kanonski oblik modela

z=5x1 + 5x2 + Mx7 + Mx8 + Mx9 +Mx10 → min (11)

30

6x1 -x3 +x7 = 9

6x2 - x4 +x8 = 6

2x1 + 4x2 -x5 +x9 = 12 (12)

16x1 + 8x2 -x6 + x10 = 48

)10,1(,0 =≥ jx j

• Simpleks algoritam

Početak =0 Određivanje početnog bazičnog rješenja i izračunavanje kriterija optimalnosti Promjenljive x7, x8, x9 i x10 se proglašavaju za bazične promjenljive, a ostale za nebazične. Na osnovu sistema jednačina (12) dobiva se:

x7 = 9 – (6x1 – x3)

x8 = 6 – (6x2 – x4) (13)

x9 = 12 – (2x1 + 4x2 – x5)

x10 = 48 – (16x1 + 8x2 – x6)

Nakon supstitucije (13) u (11) dobiva se izraz za kriterij optimalnosti:

z = 75M+(5–24M)x1+(5-18M)x2+Mx3+Mx4+Mx5+Mx6 (14)

NBP: x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = 0

BP: x7 = 9; x8 = 6; x9 = 12; x10 = 48

z = 75M

1. Iteracija Korak 1. - Ispitivanje optimalnosti rješenja i određivanje promjenljive koja postaje bazična Dobiveno rješenje nije optimalno, jer uz nebazične promjenljive ima koeficijenata (uz x1 i x2) koji za x1, x2 > 0 mogu još smanjiti vrijednost funkcije cilja. Pošto koeficijent 5–24M najviše smanjuje vrijednost funkcije cilja onda promjenljiva x1 postaje bazična

x1→B

Korak 2. - Određivanje promjenljive koja postaje nebazična Kriterij za određivanje promjenljive koja postaje nebazična je identičan kao i kod problema za maksimum, tj.

min{9/6; - ; 12/2; 48/16;}=

min{ 3/2; - ; 6 ; 3} = 3/2

B→x7

Korak 3. - Izražavanje novih bazičnih promjenljivih i kriterija optimalnosti

x1 = 3/2 – (-1/6x3 + 1/6x7)

31

x8 = 6 – (6x2 – x4)

x9 = 9 – (4x2 + 1/3x3 – x5 – 1/3x7) (15)

x10 = 24 – (8x2 + 8/3x3 – x6 – 8/3x7)

z = 15/2 + 39M + (5-18M)x2 + (5/6-3M)x3 + Mx4 + Mx5 + Mx6 + (-5/6+4M)x7

(16)

NBP: x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = 0

BP: x1 = 3/2; x8 = 6; x9 = 9; x10 = 24

Z = 15/2 + 39M

2. Iteracija Korak 1. Ispitivanje optimalnosti rješenja i određivanje promjenljive koja postaje bazična

x2→B

Korak 2. Određivanje promjenljive koja postaje nebazična

min{- ; 6/6; 9/4; 24/8;}=

min{- ; 1; 9/4; 3} = 1

B→x8

Korak 3. Izražavanje novih bazičnih promjenljivih i kriterija optimalnosti x1 = 3/2 – (–1/6x3 + 1/6x7)

x2 = 1 – (–1/6x3 +1/6x8) (17)

x9 = 5 – (1/3x3 + 2/3x4 – x5 – 1/3x7 – 2/3x8)

x10 = 16 – (8/3x3 + 4/3x4 – x6 – 8/3x7 – 4/3x8)

z=25/2+21M+(5/6-3M)x3+(5/6-2M)x4+Mx5+Mx6+

+(-5/6+4M)x7+(-5/6+3M)x8 (18)

NBP: x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x8 =0

BP: x1=3/2; x2=1; x9=5; x10=16

z=25/2 + 21M

3. Iteracija Korak 1. Ispitivanje optimalnosti rješenja i određivanje promjenljive koja postaje bazična

x3→B

Korak 2. Određivanje promjenljive koja postaje nebazična

min{- ; - ; 5/(1/3); 16/(8/3)}=

min { - ; - ; 15; 6} = 6

B→x10

Korak 3. Izražavanje novih bazičnih promjenljivih i kriterija optimalnosti

32

x1 = 5/2 – (1/12x4 – 1/16x6 – 1/12x8 + 1/16x10)

x2 = 1 – (–1/6x4 +1/6x8) (19)

x9 = 3 – (1/2x4 – x5 + 1/8x6 – 1/2x8 – 1/8x10)

x3 = 6 – (1/2x4 – 3/8x6 – x7 – 1/2x8 + 3/8x10)

z=35/2+3M+(5/12-1/2M)x4+Mx5+(5/16-1/8M)x6+Mx7+

(-5/12+3/2M)x8+(-5/16+9/8M)x10 (20)

NBP: x4 = x5 = x6 = x7 = x8 = x10 =0

BP: x1=5/2; x2=1; x9=3; x3=6

z=35/2 + 3M

4. Iteracija Korak 1. Ispitivanje optimalnosti rješenja i određivanje promjenljive koja postaje bazična

x4→B

Korak 2. Određivanje promjenljive koja postaje nebazična

min{(5/2)/(1/12); - ; 3/(1/2); 6/(1/2)}=

min {30; - ; 6; 12} = 6

B→x9

Korak 3. Izražavanje novih bazičnih promjenljivih i kriterija optimalnosti x1 = 2 – (1/6x5 – 1/12x6 - 1/6x9 + 1/12x10)

x2 = 2 – (-1/3x5 +1/24x6 + 1/3x9 – 1/24x10)

x4 = 6 – (-2x5 + 1/4x6 – x8 + 2x9 – 1/4x10) (21)

x3 = 3 – (x5 – 1/2x6 – x7 – x9 + 1/2x10)

z=20+5/6x5+5/24x6+Mx7+Mx8+(-5/6+M)x9+(-5/24+M)x10 (22)

Pošto više nema negativnih koeficijenata uz nebazične promjenljive, to se dobiveno rješenje ne može više poboljšavati, tj. dobiveno je optimalno rješenje.

Optimalno rješenje:

x1 = 2; x2 = 2; x3 = 3; x4 = 6; z = 20.

OR: x1 = 2 [kg] x2 = 2 [kg] z = 20 [NJ]

2.8.5. Rješavanje opšteg problema LP za maksimum korištenjem simpleks tabele

• Polazi se od kanonskog oblika modela LP

33

z=c1x1 + c2x2 +... + csxs + ... + cnxn + cn+1xn+1 + ... → max

p.o. a11x1 + a12x2 +... + a1sxs + ... + xn+1 = a10

a21x1 + a22x2 +... + a2sxs + ... + xn+2 = a20

.

.

. ar1x1 + ar2x2 +... + arsxs + ... + xn+r = ar0

.

.

. am1x1 + am2x2 + ... + amsxs + ... = am0

xj ≥ 0; j=1,2,..., n, n+1, ...

• Simpleks algoritam kod tabelarnog postupka zadatka LP ima identične korake kao kod analitičkog rješavanja problema LP. Sastoji se iz niza iteracija gdje se početno i svako poboljšano bazično rješenje predstavlja odgovarajućom simpleks tabelom. Određivanje početnog bazičnog rješenja i izračunavanje kriterija optimalnosti se provodi na prethodno opisani način i prije konstrukcije početne simpleks tabele. Ostali koraci će se predstaviti pomoću blok dijagrama i detaljnije opisati.

• Pravila za konstrukciju početne simpleks tabele: 1. Zaglavlje tabele (prvi red) sadrži koeficijente u funkciji cilja promjenljivih iz

odgovarajuće kolone. 2. U drugu kolonu upisuju se bazične promjenljive. 3. Prva kolona sadrži koeficijente u funkciji cilja bazičnih promjenljivih. 4. U treću kolonu upisuju se vrijednosti bazičnih promjenljivih. 5. Kolone simpleks tabele koje odgovaraju promjenljivim sadrže strukturne koeficijente

iz sistema ograničenja. 6. Red «Z-c» (kriterij optimalnosti), odnosno keficijenti am+1,j se izračunavaju

korištenjem izraza am+1,0 = cn+1 a10 + cn+2 a20 + ... + cn+r ar0 + ... am+1,1 = cn+1 a11 + cn+2 a21 + ... + cn+r ar1 + ... - c1

am+1,2 = cn+1 a12 + cn+2 a22 + ... + cn+r ar2 + ... – c2

.

.

. am+1,s = cn+1 a1s + cn+2 a2s + ... + cn+r ars + ... - cs

.

.

.

ili jednostavno korištenjem formule am+1,0 = ∑ci ai0

i

34

am+1,j = ∑ci aij - cj j=1,2,...

i

• Početna simpleks tabela C c1 c2 . . . cs . . .

Baza x0 x1 x2 . . . xs . . .

cn+1

cn+2

.

.

.

cn+r

.

.

.

xn+1

xn+2

.

.

.

xn+r

.

.

.

a10

a20

.

.

.

ar0

.

.

.

a11 a12 . . . a1s . . .

a21 a22 . . . a2s . . .

.

.

.

ar1 ar2 . . . ars . . . .

.

.

z-c am+1,0 am+1,1 am+1,2 . . . am+1,s . . .

• Blok dijagram za izračunavanje elemenata simpleks tabele pomoću simpleks algoritma za opšti maksimum – problem linearne optimizacije

START

am+1,j<0?

j=1,...

ne (1)

Postavljanje početne simpleks

tabele

35

• Korak 1. Ispitivanje optimalnosti rješenja i određivanje promjenljive koja postaje bazična (određivanje pivot-stupca) Posljednji red simpleks tabele «Z-c» predstavlja kriterij optimalnosti na osnovu kojeg se utvrđuje da li je dobiveno optimalno rješenje ili ne, odnosno da li se može još poboljšavati. Poboljšanje programa podrazumijeva prelazak neke od nebazičnih promjenljivih u bazične, tako da kod maksimum problema LP dođe do povećanja vrijednosti funkcije cilje. Ako su svi koeficijenti u redu «Z-c» veći ili jednaki nuli, dobiveno je optimalno rješenje. U suprotnom slučaju dobiveno rješenje se može poboljšavati. U modelu za maksimum promjenljivu koja ulazi u bazu određuje najmanji negativan koeficijent am+1,j ili najveći po apsolutnoj vrijednosti negativni koeficijent am+1,j

1,2....j 0‚max0max ,1 =<=<− + jmjj acz

Ako je to koeficijent am+1,s onda je stubac “s” vodeći stubac ili pivot-stubac, a promjenljiva xs ulazi u bazu. Pivot stubac se simbolički označava sa ↑.

• Korak 2. Određivanje promjenljive koja napušta bazu (određivanje pivot-reda tabele)

Da bi se odredio vodeći red ili pivot-red neophodno je izračunati količnike vrijednosti bazičnih promjenljivih i odgovarajućih elemenata po redovima iz prethodno određene

Pivot-stubac ”s”=? Određuje se sa

{ }0max ,1 <+ jmj

a

Pivot-red ”r”=? Određuje se sa

{ }rs

r

isisia

azaaaa 0

0 0/min >

Pivot-red ”r”=? Određuje se sa

{ }rs

r

isisia

aazaaa 0

0 0 /min =>

Izračunavanje elemenata nove simpleks tabele

- pivot red rs

rj

rja

aa ='

- ostali redovi isrjijrj aaaa ⋅−= ''

Optimalno rješenje

KRAJ

36

pivot-kolone. Najmanja vrijednost izračunatih količnika određuje koji je red pivot-red, odnosno koja promjenljiva napušta bazu. Matematički se određivanja pivot-reda vrši izračunavanjem

0,min 0 >∀

is

is

i azaa

a

Neka je to “r-ti” red tj. rs

r

is

is

i

a

aa

a

a 00 0,min =

>∀ .

Koeficijent ars koji se nalazi na presjeku pivot-reda i pivot-kolone naziva se ključni broj. Pivot-red se simbolički označava ← , a ključni broj se zaokružuje. Promjenljiva koja se nalazi u pivot-redu napušta bazu.

• Korak 3. Transformacija koeficijenta simpleks tabele

Da bi se odredilo poboljšano rješenje neophodno je izračunati nove vrijednosti bazičnih promjenljivih i koeficijenata naredne simpleks tabele. Koeficijenti koji će se upisati u slijedeću simpleks tabelu (1. Iteracija) transformišu se na slijedeći način:

a) Transformacija koeficijenata pivot-reda Svi keficijenti pivot-reda transformišu se na taj način što se podijele sa ključnim brojem tj.

)2,0(;' lmnja

aa

rs

rj

rj −+==

b) Transformacija koeficijenata ostalih redova Koeficijenti ostalih redova transformišu se korištenjem slijedeće relacije:

Novi Stari Novi koeficijent Stari koeficijent

koeficijent = koeficijent – iz iste kolone u x iz istog reda i

pivot-redu pivot-kolone

)1,1(, +=≠ miri

)2,0(,'' lmnjaa

aaaaaa is

rs

rj

ijisrjijij −+=−=⋅=

• Prilikom ručnog rješavanja problema mogu se utvrditi slijedeće matematičke olakšice: (1) Ako u pivot-koloni neki od koeficijenata je jednak nuli, onda kod transformacije

koeficijenti u tom redu ostaju nepromijenjeni. (2) Ako u pivot-redu se nalaze koeficijenti jednaki nuli, onda kod transformacije svi

koeficijenti u toj koloni ostaju nepromijenjeni. (3) Radi kontrole računskih transformacija u svakoj simpleks tabeli koeficijenti u redu

«Z-c» trebaju udovoljavati obrascu koji se koristi kod formiranja početne simpleks tabele.

• Nakon izmjene bazičnog rješenja konstruiše se nova simpleks tabela (1. Iteracija) sa novim bazičnim promjenljivim i transformisanim vrijednostima koeficijenata svih redova

37

simpleks tabele, te se vraća na korak 1. i ponavlja cjelokupan postupak dok se ne dobije optimalno rješenje.

• Primjer:

z = 9x1 + 11x2 → max

3x1 + 2x2 ≤ 240

2,5x1 + 5x2 ≤ 350

x1 ≤ 65

x2 ≤ 60

x1,2 ≥ 0

Kanonski oblik modela: z = 9x1+11x2+0⋅(x3+x4+x5+x6) → max

3x1+2x2+x3 = 240

2,5x1+5x2 + x4 = 350

x1 +x5 = 65

x2 +x6 = 60

)6,1(,0 =≥ jx j

B.R. x3=240; x4=350; x5=65; x6=60 Početna simpleks tabela C 9 11 0 0 0 0

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 240 3 2 1 0 0 0

0 x4 350 5/2 5 0 1 0 0

0 x5 65 1 0 0 0 1 0

0 x6 60 0 1 0 0 0 1

Z-c 0 -9 -11 0 0 0 0

1. Određivanje promjenljive koja ulazi u bazu

{ } { } →==−− 2 x1111,9max11;9max

2. Određivanje promjenljive koja napušta bazu { } { } 6 6060;;70;120min1/60;;5/350;2/240min x←=−=−

3. Transformacija koeficijenata - vodeći red

r=4; s=2;

38

;01

0

a

a'a ;0

1

0

a

a'a ;0

1

0

a

a'a

;01

0

a

a'a ;1

1

1

a

a'a 0

1

0

a

a'a

;601

60

a

a'a )6,0j(,

a

a'a

42

4646

42

4545

42

4444

42

4343

42

4242

42

4141

42

4040

42

j4

j4

=========

=========

=====

- ostali redovi

i=1,

2210''

0200''

0200''

1201''

0212''

3203''

120260240''

''

)0,6(j 4i )5,1(''

12461616

12451515

12441414

12431313

12421212

12411111

12401010

12411

−=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

⋅−=

=≠=⋅−=

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

iaaaa

jjj

isrjijij

i=5 11)11(10''

0)11(00''

0)11(00''

0)11(00''

0)11(111''

9)11(09''

660)11(600''

''

52465656

52455555

52445454

52435353

52425252

52415151

52405050

52455

=−⋅−=⋅−=

=−⋅−=⋅−=

=−⋅−=⋅−=

=−⋅−=⋅−=

=−⋅−−=⋅−=

−=−⋅−−=⋅−=

=−⋅−=⋅−=

⋅−=

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa jjj

1. Iteracija C 9 11 0 0 0 0

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 120 3 0 1 0 0 -2

0 x4 50 5/2 0 0 1 0 -5

0 x5 65 1 0 0 0 1 0

11 x2 60 0 1 0 0 0 1

Z-c 660 -9 0 0 0 0 11

1. Određivanje promjenljive koja ulazi u bazu

{ } { } B→==− 1 x99max9max

2. Određivanje promjenljive koja napušta bazu { } { } 4B 62;;65;20;40min;;1/65;25/50;3/120min x→=−=−

3. Transformacija koeficijenata

39

2. Iteracija

C 9 11 0 0 0 0

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 60 0 0 1 -6/5 0 4

9 x1 20 1 0 0 2/5 0 -2

0 x5 45 0 0 0 -2/5 1 2

11 x2 60 0 1 0 0 0 1

Z-c 840 0 0 0 18/5 0 -7

Pošto u redu “Z-c” još ima negativnih koeficijenata dobiveno rješenje još nije optimalno.

1. Određivanje promjenljive koja ulazi u bazu

{ } { } B→==− 6 x77max7max

2. Određivanje promjenljive koja napušta bazu { } { } 3 B 15;60;5,22;;15min;1/60;2/45;;4/60min x→=−=−

Nakon izmjene baze i transformacije koeficijenata dobiva se tabela 3. iteracije 3. Iteracija-optimalno rješenje C 9 11 0 0 0 0

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x6 15 0 0 ¼ -3/10 0 1

9 x1 50 1 0 ½ -1/5 0 0

0 x5 15 0 0 -1/2 1/5 1 0

11 x2 45 0 1 -1/4 3/10 0 0

Z-c 945 0 0 7/4 3/2 0 0

Pošto u redu “Z-c” nema negativnih koeficijenata dobiveno rješenje je optimalno.

Iz simpleks tabele optimalnog rješenja može se utvrditi:

(1) Struktura originala:

x1 = 50 (kom) c1 = 9 (NJ/kom) c1x1 = 450(NJ)

x2 = 45 (kom) c2 = 11 (NJ/kom) c2x2 = 495(NJ)

z = 945 (NJ)

(2) Struktura duala: Pošto za svako ograničenje vezujemo jednu dualnu promjenljivu, to se u redu “Z-c” ispod onih promjenljivih koje čine početno bazično rješenje čitaju vrijednosti dualnih promjenljivih bi yi

y1 = 7/4 b1 = 240 420

y2 = 3/2 b2 = 350 525

y3 = 0 b3 = 65 0

y4 = 0 b4 = 60 0

z = 945

(3) Ako se dopunske promjenljive nalaze u optimalnom rješenju, onda one kod ograničenja oblika “≤” znače neiskorišten resurs.

40

x5 = 15

x1 + x5 = 65

x5 = 65 – x1= 65-50 = 15

x6 = 15

x2 + x6 = 6

x6 = 60 – x2= 60-45 = 15

U tabeli optimalnog rješenja, vektori koji čine početno bazično rješenje formiraju inverznu matricu optimalne baze koja je vrlo značajna u postoptimalnoj analizi

−

−

−

−

=−

0010/34/1

015/12/1

005/12/1

1010/34/1

10A

BAX opt ⋅= −1

0

• Primjer: Neka je dat matematički model:

z = 2x1 + x2 → max

p.o. 2x1 + 3x2 ≤ 12

x1 – x2 = 1

x1 + 2x2 ≥ 2

x1,2 ≥ 0

Svođenje na kanonski oblik:

z = 2x1 +x2+0⋅x3+0⋅x4-Mx5-Mx6 → max

2x1 +3x2 + x4 = 12

x1 – x2 + x5 = 1

x1 +2x2 – x3 +x6 = 2

)6,1(,0 =≥ jx j

Određivanje početnog bazičnog rješenja:

x4=12; x5=1; x6=2; z=0-3M

Sastavljanje početne simpleks tabele:

C 2 1 0 0 -M -M

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x4 12 2 3 0 1 0 0

-M x5 1 1 -1 0 0 1 0

-M x6 2 1 2 -1 0 0 1

Z-c -3M -2-2M -1-M M 0 0 0

41

Izračunavanje elementa u redu “Z-c” m=3

0)(1)(0)(00

0)(0)(1)(00

000)(0)(10

0)1()(0)(00

112)()1()(30

2221)(1)(20

32)(1)(120

6,0

46

45

44

43

42

41

40

4

=−−⋅−+⋅−+⋅=

=−−⋅−+⋅−+⋅=

=−⋅−+⋅−+⋅=

=−−⋅−+⋅−+⋅=

−−=−⋅−+−⋅−+⋅=

−−=−⋅−+⋅−+⋅=

−=⋅−+⋅+⋅=

=−=∑

MMMa

MMMa

MMa

MMMa

MMMa

MMMa

MMMa

jcacai

jijij

1. Pošto u početnoj simpleks tabeli postoji

{ } { }1,22,0 424144 −−−−==< MMaaaa jj

dobiveno rješenje se može poboljšati.

Pivot stubac

{ } { }{ } 221,22max

1,22max,max 4241

+=++=

=−−−−=

MMM

MMaa

s=1

Pivot stubac je prvi stubac, što znači da u bazu ulazi promjenljiva x1.

2.Pivot red

11

2,

1

1 ,

2

12min, ,min0 ,min

33

30

22

20

11

101

1

0 =

=

=

>a

a

a

a

a

aaza

a

ai

i

i

r=2

Pivot red je drugi red što znači da bazu napušta promjenljiva x5.

3.Izračunavanje elemenata nove simpleks tabele (1. iteracija)

- pivot red- 21

22ja' 2

a

ari

j===

01

0

a

aa'

11

1

a

aa' 0

1

0

a

aa'

01

0

a

aa' 1

1

1

a

aa'

11

1

a

aa' 1

1

1

a

aa'

21

2626

21

25

25

21

24

24

21

2323

21

2222

21

2121

21

2020

===

======

===−=−

==

======

42

- ostali redovi

i=1

0200''

2210''

1201''

0200''

52)1(3''

0212''

102112''

''

11261616

11251515

11241414

11231313

11221212

11211111

11201010

11211

=⋅−=⋅−=

−=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

⋅−=

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa jjj

i=3

1101''

1110''

0100''

1101''

31)1(2''

0111''

1112''

''

31263636

31253535

31243434

31233333

31223232

31213131

31203030

31233

=⋅−=⋅−=

−=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

−=⋅−−=⋅−=

=⋅−−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

⋅−=

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa jjj

i=4

0)22(00''

22)22(10''

0)22(00'''

)22(0''

33)22)(1(11''

0)22(122''

2)22(13''

''

41264646

41254545

41244444

41234343

41224242

41214141

41204040

41244

=−−⋅−=⋅−=

+=−−⋅−=⋅−=

=−−⋅−=⋅−=

=−−⋅−=⋅−=

−−=−−−⋅−−−=⋅−=

=−−⋅−−−=⋅−=

−=−−⋅−−=⋅−=

⋅−=

Maaaa

MMaaaa

Maaaa

MMMaaaa

MMMaaaa

MMaaaa

MMMaaaa

aaaa jjj

1. Iteracija

C 2 1 0 0 -M -M

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x4 10 0 5 0 1 -2 0

2 x1 1 1 -1 0 0 1 0

-M x6 1 0 3 -1 0 -1 1

43

Z-c 2-M 0 -3-3M M 0 2+2M 0

1. S obzirom na to da u tabeli 1. iteracije postoji a4j < 0 kao i a42 = -3-3M dobiveno rješenje se može poboljšavati. Pivot stubac

{ } { } MMa 3333maxmax 42 +=−−=

s=2

U bazu ulazi promjenljiva x2.

2.Pivot red

3

1

3

1 ,

5

10min ,min0 ,min

32

30

12

102

2

0 =

=

=

>a

a

a

aaza

a

ai

i

i

r=3

To znači da bazu napušta promjenljiva x6

Nakon transformacije elemenata tabele 1. iteracije, dobiva se slijedeća tabela (Tabela 2. iteracije)

2. Iteracija

C 2 1 0 0 -M -M

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x4 25/3 0 0 5/3 1 -1/3 -5/3

2 x1 4/3 1 0 -1/3 0 2/3 1/3

1 x2 1/3 0 1 -1/3 0 -1/3 1/3

Z-c 3 0 0 -1 0 1+M 1+M

1. S obzirom na to da u tabeli 2. iteracije postoji a4j<0 i a43=-1 dobiveno rješenje se može poboljšavati. Pivot stubac

{ } { } 11maxmax 43 =−=a

s=3

U bazu ulazi promjenljiva x3.

2.Pivot red

5min0 ,min13

103

3

0 =

=

>a

aaza

a

ai

i

i

r=1

To znači da bazu napušta promjenljiva x4

44

Nakon transformacije elemenata tabele 2. iteracije, dobiva se slijedeća tabela (Tabela 3. iteracije) 3. Iteracije-optimalno rješenje

C 2 1 0 0 -M -M

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 5 0 0 1 3/5 -1/5 -1

2 x1 3 1 0 0 1/5 3/5 0

1 x2 2 0 1 0 1/5 -2/5 0

Z-c 8 0 0 0 3/5 4/5+M M

y1 y2 y3

Na osnovu simpleks tabele optimalnog rješenja može se izvršiti intepretacija: (1) Struktura primala:

x1 =3 c1 = 2 c1x1 = 2⋅3=6

x2 =2 c2 = 1 c2x2 = 1⋅2=2

∑ ==j

jj xcz 8

(2) Optimalna struktura duala:

Dualne promjenljive se čitaju iz reda “Z-c”simpleks tabele optimalnog rješenja i to ispod onih promjenljivih (dopunske i artificijelne) koje čine početno bazično rješenje

y1 = 3/5 a10 =12 a10y1=36/5

y2 = 4/5 a20 = 1 a20y2=4/5

y3 = 0 a30 = 2 a30y3=0

∑ ==i

iio yaz 8

(3) Ako dopunske promjenljive se nalaze u optimalnom rješenju onda one kod

ograničenja oblika “≤” označavaju neiskorišteni resurs, a kod ograničenja oblika “≥” znače “preiskorištenost” iznad minimalnog zahtjeva ograničenja.

x3 = 5

x1 + 2x2 – x3 = 2

x3 = x1 + 2x2 – 2= 3 + 2⋅2 – 2 = 5

(4) U tabeli optimalnog rješenja, vektori koji čine početno bazično rješenje formiraju

inverznu matricu optimalne baze koja je vrlo značajna u postoptimalnoj analizi.

−

−−

=−

05/25/1

05/35/1

15/15/31

0A

BAX opt ⋅= −1

0

45

2.8.6. Rješavanje opšteg problema LP za minimum korištenjem simpleks tabele

• Rješavanja problema LP za minimum u odnosu na simpleks algoritam za problema LP maksimum razlikuje se samo u koraku 1., dok su ostali koraci identični (određivanje pivot-reda i transformacija koeficijenata). Stoga će se dati blok dijagram rješavanja minimum-problema LP i detaljnije obrazložiti korak 1.

• Korak 1. Ispitivanje optimalnosti rješenja i određivanje promjenljive koja postaje bazična (određivanje pivot-stupca) Kao i kod simpleks tabele za maksimum posljednji red simpleks tabele «Z-c» predstavlja kriterij optimalnosti na osnovu kojeg se utvrđuje da li je dobiveno optimalno rješenje ili ne, odnosno da li se može još poboljšavati. Poboljšanje programa podrazumijeva prelazak neke od nebazičnih promjenljivih u bazične, tako da kod minimum problema LP dođe do smanjenja vrijednosti funkcije cilje. Ako su svi koeficijenti u redu «Z-c» manji ili jednaki nuli, dobiveno je optimalno rješenje minimum-problema LP. U suprotnom slučaju dobiveno rješenje se može poboljšavati. U modelu za maksimum promjenljivu koja ulazi u bazu određuje najveći pozitivan koeficijent am+1,j .

1,2....j 0‚max0max ,1 =>=>− + jmjj acz

Ako je to koeficijent am+1,s onda je stubac “s” vodeći stubac ili pivot-stubac, a promjenljiva xs ulazi u bazu. Pivot stubac se simbolički označava sa ↑. Blok dijagram za izračunavanje elemenata simpleks tabele pomoću simpleks algoritma za opšti minimum – problem linearne optimizacije

START

am+1,j>0

?

j=1,...

Pivot-stubac ”s”=? Određuje se sa

{ }0max ,1 >+ jmj

a

Optimalno rješenje

KRAJ

ne (1)

Postavljanje početne simpleks

tabele

46

• Primjer: Polazi se od kanonskog oblika modela LP: z = 5x1 + 5x2 + 0(x3+x4+x5+x6) + M(x7+x8+x9+x10) → min

6x1 - x3 +x7 = 9

6x2 - x4 +x8 = 6

2x1 + 4x2 - x5 +x9 = 12

16x1 + 8x2 - x6 + x10 = 48

)10,1(,0 =≥ jx j

PBR: x7 = 9; x8 = 6; x9 = 12; x10 = 48; z = 0 + 75M

Početna simpleks tabela

C 5 5 0 0 0 0 M M M M

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

M x7 9 6 0 -1 0 0 0 1 0 0 0

M x8 6 0 6 0 -1 0 0 0 1 0 0

M x9 12 2 4 0 0 -1 0 0 0 1 0

M x10 48 16 8 0 0 0 -1 0 0 0 1

Z-c 75M -5+ 24M -5+18M -M -M -M -M 0 0 0 0

1. Određivanje vektora koji ulazi u bazu

{ } BMMM →+−=+−+− 1 x245185;245max 2. Određivanje vektora koji napušta bazu

{ } { } 7B 2/33;6;;2/3min16/48;2/12;;6/9min x→=−=−

3. Transformacija koeficijenata - vodeći red

r=1; s=1;

Pivot-red ”r”=? Određuje se sa

{ }0 /min 0 >isisi azaaa

Izračunavanje elemenata nove simpleks tabele

- pivot red rs

rj

rja

aa ='

- ostali redovi isrjijij aaaari ⋅−=≠ ''

47

;6

1' ;

6

1' 0

6

0'

;16

6' ;2/3

6

9' )10,0(,'

11

1717

11

1313

11

1212

11

1111

11

1010

11

41

=======

========

a

aa

a

aa

a

aa

a

aa

a

aaj

a

aa

j

j

ostali redovi

)10,0();5,2(;'' ==⋅−= jiaaaa isrjijij

i=3

0200''

1201''

0200''

3/126/10''

0200''

1201''

0200''

3/12)6/1(0''

4204''

0212''

922/312''

''

3110,110,310,3

31193939

31183838

31173737

31163636

31153535

31143434

31133333

31123232

31113131

31103030

31133

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

−=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

−=⋅−−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

=⋅−=⋅−=

⋅−=

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa jjj

i=5

0)M245(00a'aa'a

0)M245(00a'aa'a

0)M245(00a'aa'a

M46/5)M245(6/10a'aa'a

M)M245(0)M(a'aa'a

M)M245(0)M(a'aa'a

M)M245()6/1()M(a'aa'a

M46/5)M245()6/1()M(a'aa'a

M185)M245(0)M185(a'aa'a

0)M245(1)M245(a'aa'a

M392/15)M245(2/3)M750(a'aa'a

a'aa'a

5110,110,510,5

51195959

51185858

51175757

51165656

51155555

51145454

51135353

51125252

51115151

51105050

51j1j5j5

=+−⋅−=⋅−=

=+−⋅−=⋅−=

=+−⋅−=⋅−=

−=+−⋅−=⋅−=

−=+−⋅−−=⋅−=

−=+−⋅−−=⋅−=

−=+−⋅−−−=⋅−=

+−=+−⋅−−−=⋅−=

+−=+−⋅−+−=⋅−=

=+−⋅−+−=⋅−=

+=+−⋅−+=⋅−=

⋅−=

48

Prethodno utvrđenu izmjenu vektorske baze i transformisane koeficijente unosimo u tabelu 1. iteracije:

1. Iteracija

C 5 5 0 0 0 0 M M M M

Baza X0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

5 x1 3/2 1 0 -1/6 0 0 0 1/6 0 0 0

M x8 6 0 6 0 -1 0 0 0 1 0 0

M x9 9 0 4 1/3 0 -1 0 -1/3 0 1 0

M x10 24 0 8 8/3 0 0 -1 -8/3 0 0 1

Z-c 15/2

+ 39M

0 -5

+ 18M

-5/6

+3M

-M -M -M 5/6-4M 0 0 0

1.Određivanje vektora koji ulazi u bazu

{ } BMMM →+−=+−+− 2 x18546/5;185max 2.Određivanje vektora koji napušta bazu

{ } { } 8 B 13;4/9;;1;min8/24;4/9;6/6;min x→=−=−

Nakon transformacije koeficijenata dobije se tabela 2. iteracije 2. Iteracija

C 5 5 0 0 0 0 M M M M

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

5 x1 3/2 1 0 -1/6 0 0 0 1/6 0 0 0

5 x2 1 0 1 0 -1/6 0 0 0 1/6 0 0

M x9 5 0 0 1/3 2/3 -1 0 -1/3 -2/3 1 0

M x10 16 0 0 8/3 4/3 0 -1 -8/3 -4/3 0 1

Z-c 25/2

+21M

0 0 -5/6

+3M

-5/6

+2M

-M -M 5/6

-4M

5/6

-3M

0

0

0

0

3. Iteracija

5 x1 5/2 1 0 0 1/12 0 -1/16 0 -1/12 0 1/16

5 x2 1 0 1 0 -1/6 0 0 0 1/6 0 0

M x9 3 0 0 0 1/2 -1 1/8 0 -1/2 1 -1/8

0 x3 6 0 0 1 ½ 0 -3/8 -1 -1/2 0 3/8

Z-c 35/2

+3M

0 0 0 -5/12

+ 1/2M

-M -5/16

+1/8M

-M 5/12

-3/2M

0 5/16

-9/8M

4. Iteracija-optimalno rješenje

5 x1 2 1 0 0 0 1/6 -1/2 0 0 -1/6 1/12

5 x2 2 0 1 0 0 -1/3 1/24 0 0 1/3 -1/24

0 x4 6 0 0 0 1 -2 1/4 0 -1 2 -1/4

0 x3 3 0 0 1 0 1 -1/2 -1 0 -1 1/2

Z-c 20 0 0 0 0 -5/6 -5/24 -M -M 5/6

-M

5/24

-M

y1 y2 y3 y4

49

Pošto u bazičnom rješenju nakon 4. iteracije nema više artificijelnih promjenljivih dobiveno rješenje je prvo upotrebljivo rješenje. Međutim, pošto u redu “Z-c” nema pozitivnih koeficijenata, dobiveno rješenje je ujedno i optimalno rješenje. Iz simpleks tabele optimalnog rješenja mogu se uočiti:

(1) Struktura optimalnog programa

x1 =2 (kg) krmiva A c1 = 5(NJ/kg) c1x1 = 10(NJ)

x2 =2 (kg) krmiva B c2 = 5(NJ/kg) c2x2 = 10(NJ)

)(20 NJxczj

jj∑ ==

(2) Struktura duala: bi yi

y1 = 0 (NJ/jed) b1 = 9 (jed) 0 (NJ)

y2 = 0 b2 = 6 (jed) 0

y3 = 5/6 b3 = 12 10

y4 = 5/24 b4 = 48 10

)(20 NJybzi

ii∑ ==

(3) Ako dopunske promjenljive se nalaze u optimalnom rješenju onda one kod ograničenja oblika “≥” znače suvišak u odnosu na minimalni zahtjev

x4 = 6

6x2 - x4 = 6

x4 = 6x2 – 6= 6⋅2-6 = 6

što znači da sastojka L u smjesi ima više za 6 jedinica u odnosu na minimalni zahtjev. x3 = 3

6x1 - x3 = 9 x3 = 6x1 – 9= 6⋅2-9 = 3

To isto znači i za satojak K kojeg u smjesi ima više za 3 jedinice u odnosu na minimalni zahtjev.

(4) U tabeli optimalnog rješenja, vektori koji čine početno bazično rješenje formiraju inverznu matricu optimalne baze

−−

−−

−

−

−=−

2/1101

4/1210

24/13/100

12/16/100

10A

BAX opt ⋅= −1

0

2.8.7. Rješavanje problema LP korištenjem duala

• Postupak rješavanja problema LP korištenjem duala ćemo objasniti koristeći se modelom datim u općem obliku:

z = 2x1 + x2 → max

2x1 + 3x2 ≤ 12

50

x1 – x2 = 1

x1 + 2x2 ≥ 2

x1,2 ≥ 0

Dual netransformisanog originala: z' = 12y1 + y2 + 2y3 → min

2y1 + y2 + y3 ≥ 2

3y1 – y2 + 2y3 ≥ 1

y1≥0, y2≥=≤0, y3≤0

Pošto nije ispunjen uslov nenegativnosti dualnih promjenljivih, da bismo primijenili simpleks postupak izvršićemo transformaciju originalnog modela odnosno njegovo svođenje na standardni oblik (rastavljanjem drugog ograničenja na dvije nejednačine i množenjem druge nejednačine kao i trećeg ograničenja sa –1). Nakon izvršenih transformacija dobijamo transformisani original u slijedećem obliku:

z = 2x1 + x2 → max

2x1 + 3x2 ≤ 12

x1 – x2 ≤ 1

–x1 + x2 ≤ –1

–x1 – 2x2 ≥ –2

x1,2 ≥ 0

Dual transformisanog originala:

z' = 12y'1 + y'2 – y''2 – 2y'3 → min

2y'1 + y'2 + y''2 – y'3 ≥ 2

3y'1 – y'2 + y''2 – 2y3 ≥ 1

y'1,y'2,y''2,y'3 ≥ 0

Veze između dualnih promjenljivih netransformisanog i transformisanog originala: y1 = y'1

y2 = y'2 – y''2

y3 = –y'3 Simpleks metodom rješavamo standardni problem za minimum: Kanonski oblik modela:

z' = 12y'1 + y'2 – y''2 – 2y'3 + 0(y4 + y5) + M(y6 + y7)→ min

2y'1 + y'2 + y''2 – y'3 – y4 + y6 ≥ 2

3y'1 – y'2 + y''2 – 2y3 – y5 + y7 ≥ 1

y'1,y'2,y''2,y'3,y4,y5,y6,y7 ≥ 0

PBR: y6 = 2; y7 = 1; z = 0 + 3M

51

Početna simpleks tabela B 12 1 -1 -2 0 0 M M

Baza y0 y'1 y'2 y''2 y'3 y4 y5 y6 y7

M y6 2 2 1 -1 -1 -1 0 1 0

1 M y7 1 3 -1 1 -2 0 -1 0

Z'-b 3M -12+5M -1 1 2-3M -M -M 0 0

1. Iteracija

M y6 4/3 0 5/3 -5/3 1/3 -1 2/3 1 -2/3

1/3 12 y'1 1/3 1 -1/3 1/3 -2/3 0 -1/3 0

Z'-b 4+4/3M 0 -

5+5/3M

5-5/3M -

6+1/3M

-M -

4+2/3M

0 4-5/3M

2. Iteracija-optimalno rješenje

1 y'2 4/5 0 1 -1 1/5 -3/5 2/5 3/5 -2/5

1/5 12 y'1 3/5 1 0 0 -3/5 -1/5 -1/5 1/5

Z'-b 8 0 0 0 -5 -3 -2 3-M 2-M

Struktura duala:

y1 = y'1 = 3/5 a10 =12 a10y1=36/5

y2 = y'2 – y''2 = 4/5 a20 = 1 a20y2=4/5

y3 = –y'3 = 0 a30 = 2 a30y3=0

∑ ==i

iioyaz 8

Struktura primala: Pošto je dual od duala, ustvari, primal, rješenje primala se čita iz reda “Z'-b” simpleks tabele optimalnog rješenja i to ispod onih promjenljivih (artificijelnih) koje čine početno bazično rješenje

x1 =3 c1 = 2 c1x1 = 2⋅3=6

x2 =2 c2 = 1 c2x2 = 1⋅2=2

∑ ==j

jj xcz 8

• Analogni postupak se koristi ako je originalni problem za minimum. 2.8.8. Transportni problem linearnog programiranja (TP) • Osnovni zadatak TP:

52

Odrediti najpovoljniju varijantu transporta iz više ishodišta u više odredišta uz minimalne transportne troškove.

• Problemi koji se svode na TP: - prevoz roba, ljudi i sl. - prostorni razmještaj mašina, službi i sl. - lokacija novih objekata itd.

Osnovni model TP • Pretpostavke:

- Postoji m ishodišta Ii u kojima se nalazi roba u količini ai gdje je i=1,2,...,m. - Postoji n odredišta Oj čije su potrebe za robom u količini bj gdje je j=1,2,...,n. - Ukupna količina otpreme iz ishodišta jednaka je ukupnoj količini potreba

odredišta, tj.

∑ ∑= =

=m

i

n

j

ii ba1 1

- Poznati su jedinični troškovi transporta robe iz i-tog ishodišta u j-to odredište cij koje ćemo predstaviti matricom jediničnih troškova C.

=

mnmm

n

n

ccc

ccc

ccc

C

....

.

.

...

...

...

.

.

.

.

.

....

...

21

22221

11211

• Ako označimo sa xij količinu prevezene robe iz i-tog ishodišta u j-to odredište, svi

prethodni podaci se mogu predstaviti tabelarno:

Ishodišta Odredišta

Količina

otpreme

ai O1 ... Oj ... On

I1 c11

x11 ...

c1j

x1j ...

c1n

x1n a1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ii ci1

xi1 ...

cij

xij ...

cin

xin ai

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Im cm1

xm1 ...

cmj

xmj ...

cmn

xmn am

Količina

primanja b1 ... bj ... bn

∑∑ =j

j

i

i ba

53

(bj)

• Osnovni model TP

z=c11x11 + c12x12 + ... + c1nx1n + c21x21 + c22x22 +... + c2nx2n + ... + cm1xm1 +

cm2xm2 + ... + cmnxmn → min

x11 + x12 + ... + x1n = a1

x21 + x22 + ... + x2n = a2

. . . .

. . . .

. . . .

xm1 + xm2 + ... + xmn = am

x11 + x21 + ... + xm1 = b1

x21 + x22 + ... + xm2 = b2

. . . .

. . . .

. . . .

x1n +x2n + ... + xmn = bn

)n1,(j ),m1,i ( ,0 ==≥ijx

ili korištenjem operatora ∑

)n1,j ;m1,(i ,0x

)n1,(j

)m1,(i

min

ij

1

1

1 1

==≥

==

==

→=

∑

∑

∑∑

=

=

= =

m

i

jij

n

j

iij

m

i

n

j

ijij

bx

ax

xcz

• Karakteristike modela TP: - spada u klasu modela LP, - sadrži m×n nenegativnih promjenljivih i m+n ograničenja.

• Vrste modela TP: - zatvoreni TP (ukupna količina otpreme ishodišta=ukupne potrebe odredišta) - otvoreni TP (ukupna količina otpreme ishodišta≠ukupne potrebe odredišta)

Dual TP • Ako se označe sa ui, i=1,2,...,m dualne promjenljive koje se odnose na ishodište i vj,

j=1,2,...,n dualne promjenljive koje se odnose na odredišta, onda se model duala TP može napisati u obliku: Analizom dualnog modela TP može se zaključiti slijedeće: 1. Pošto original TP ima m+n ograničenja, dual će imati m+n promjenljivih, odnosno,

pošto original ima m×n promjenljivih, dual će imati m×n ograničenja.

0 v 0, u

n1,j ,m1,i

ji, par za cvu

aogranicenjuz

maxvbua'z

ji

ijji

n

1j

jj

m

1i

ii

==

∀≤+

→+= ∑∑==

54

2. S obzirom da je original TP zadat sistemom ograničenja u obliku =, to se za vrijednost dualnih promjenljivih ne postavlja uslov nenegativnosti.

3. Pošto postoji ravnoteža ∑∑==

=n

j

j

m

i

i ba11

, to se odgovarajuće dualne promjenljive mogu

modificirati tako da se promjenljive ui uvećaju (umanje) za konstantu d, a promjenljive vj umanje (uvećaju) za istu vrijednost. To ćemo pokazati:

∑∑

∑ ∑∑∑∑∑

==

= =====

+=

=−++=−++=

n

j

jj

m

i

ii

m

i

m

j

j

n

j

jji

m

i

ii

n

j

jj

m

i

ii

vbua

bdvbaduadvbduaz

11

1 11111

)()('

To znači da vrijednosti dualnih promjenljivih nisu jednoznačno određene, već višeznačno, ali vrijednosti funkcije kriterija ostaju iste.

4. Dualne promjenljive imaju isto značenje kao kod svih problema LP. Vrijednosti ui i uj pokazuju za koliko će se promijeniti vrijednost funkcije cilja ako se količina otpreme, odnosno količina prijema poveća za jednu jedinicu.

Otvoreni TP • Svođenje otvorenog TP na zatvoreni:

- Otvoreni TP sa suviškom u otpremi, - Otvoreni TP sa suviškom u prijemu.

• Otvoreni TP sa suviškom u otpremi Ako je količina otpreme veća od količine primanja tj.

∑∑ >j

j

i

i ba

onda se problem rješava uvođenjem fiktivnog n+1-og odredišta koji će apsorbovati suvišak u otpremi. Pošto se radi o fiktivnom odredištu to su mu jedinični troškovi jednaki 0. Količina primanja fiktivnog odredišta je

∑∑ −=+j

j

i

in bab 1

Otvoreni model TP sa suviškom u otpremi

55

Analizom prethodnog modela lahko se uočava da kod prvih m ograničenja oblika ≤, kada se uvedu dopunske promjenljive xi,n+1, i=1,2,...,m onda se mora uvesti još jedno ograničenje

∑=

++ =m

i

nni bx1

11, .

S obzirom da se radi o dopunskim promjenljivim to će im koeficijenti u funkciji cilja biti jednaki 0. Matrica troškova kod otvorenog TP sa suviškom u otpremi nakon svođenja na zatvoreni TP

=

0...

.......

.......

.......

0...

0...

21

22221

11211

mnmm

n

n

ccc

ccc

ccc

C

• Otvoreni TP sa suviškom u prijemu

Model TP sa suviškom u prijemu

Količina primanja veća je od količine otpreme

∑ ∑>j i

ij ab

Problem se rješava uvođenjem fiktivnog m+1-og ishodišta koje će apsorbovati suvišak u primanjima. Kako se radi o fiktivnom ishodištu to su mu svi jedinični troškovi jednaki 0. Količina otpreme ishodišta bit će jednaka

∑ ∑−=+j i

ijm aba 1

Matrica troškova kod otvorenog TP sa suviškom u prijemu nakon svođenja na zatvoreni TP

56

=

0...00

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

...

21

22221

11211

mnmm

n

n

ccc

ccc

ccc

C

• Ako u nekoj relaciji imamo obavezan transport tada za ovu količinu smanjimo količine

odgovarajućeg ishodišta i odredišta, a zatim za ovu relaciju dajemo zabranu transporta. Problem sa zabranjenim transportom rješava se tako što se tom transportu pridružuje nespecificirano veliki broj M.

Rješavanje modela TP • Algoritam za rješavanje:

Korak 1. Formirati matricu jediničnih koeficijenata (troškova) tako da bude zadovoljeno

∑ ∑=i j

ji ba

Korak 2. Postaviti početni program po nekoj od metoda za postavljanje početnog programa. Ako je broj strogo pozitivnih rješenja xij > 0 (tzv. zauzeta polja) jednak m+n-1 onda se ide na slijedeći korak i problem je nedegeneriran. Ako je broj zauzetih polja manji od m+n-1 onda je problem degeneriran i potrebno je otkloniti degeneraciju tj. obezbijediti da broj zauzetih polja bude jednak m+n-1. Korak 3. Za polja gdje je xij=0 (tzv. nezauzeta polja) izračunati relativne troškove koji su kriterij optimalnosti kod rješenja TP. Kod rješavanje TP za minimum ako su svi relativni troškovi nepozitivni tj. c′ij ≤ 0 dobijeno rješenje je optimalno. Ako postoji c′ij > 0 onda se dobiveno rješenje može poboljšati. Korak 4. Određivanje novog bazičnog rješenja tako što se izvrši pomicanje tereta na polje sa najvećim pozitivnim relativnim troškom i vrati se na korak 3.

Metode za postavljanje početnog programa (početnog bazičnog rješenja) • Postoji više metoda:

- metoda sjeverozapadnog ugla, - metoda najmanjih troškova, - metoda “minimum-reda”, - metoda “minimum-kolone”, - metoda dvojnog prvenstva, - Vogelova aproksimativna metoda itd.

• Za sve metode, zavisno od usvojenog kriterija, vrši se raspored tereta na polja poštujući relaciju

{ },,min ji ba ∆∆

57

gdje su sa ji ba ∆∆ , obilježene raspoloživa količina tereta u i-tom ishodištu i j-tom

odredištu, respektivno • Kod metode sjeverozapadnog ugla (dijagonalna metoda) polazi se od gornjeg lijevog ugla

i vrši se raspored tereta u skladu sa usvojenom relacijom. • Metoda najmanjih jediničnih koeficijenata polazi od polja sa najmanjim jediničnim

koeficijentom u koji se raspoređuje maksimalno moguća količina. • Vogelova aproksimativna metoda

Korak 1. Za svaki red i svaku kolonu određuje se razlika dva najmanja jedinična koeficijenta. Na taj način izračunava se “m+n” parametara. Korak 2. Od svih izračunatih parametara izabire se najveći. Ako se najveća razlika dva najmanja koeficijenta odnosi na neki red ili kolonu, onda se taj red odnosno kolona počinju programirati tako što se pronalazi najmanji koeficijent i u njega se programira najveća moguća količina. Korak 3. Za preostali dio tabele ponovo se izračunavaju diferencije između dva najmanja koeficijenta nezavršenih (neprogramiranih) redova i kolona i vraća se na korak 2.

Degeneracija u TP • Rješenje koje ima manje od m+n-1 pozitivnih xij naziva se degenerirano bazično rješenje. • Nedegenerirano bazično rješenje može se grafički predstaviti kao cjelovito drvo sa m+n

čvorova (odnose se na ishodišta i odredišta) i m+n-1 grana (odnose se na količine otpreme sa xij>0).

• Kod degenerisanog bazičnog rješenja drvo nije cjelovito jer nedostaje jedna ili više grana.

Problem se rješava tako što se pronalazi grana koja će ta parcijalna drveća povezati u jedno cjelovito drvo i toj grani dodijeliti malu količinu tereta.

• Primjer degenerisanog rješenja.

• Količina koja se dodjeljuje granama koje spajaju parcijalna drveća u jedno drvo mora biti toliko mala da gotovo ne utiče na vrijednost funkcije cilja. Stoga se ovim granama dodjeljuje pozitivni mali broj ε.

• Grafički prikaz otklonjene degeneracije

O1

I1

O3

I2

O4

I3

O2

I4

O5

X11 X13 X23

X24 X34 X32 X42

X45

O1

I1

O3

I2

O4

I3

O2

I4

O5

X11 X13 X24 X34

X32 X45

58

MODI metoda u rješavanju TP • Engl. - Modified Distribution Method • Rješavanje modela TP MODI metodom polazi od nekog nedegeneriranog početnog

bazičnog rješenja. • Korak 1. Izračunati realne brojeve ui, i=1,2,...,m, i vj, j=1,2,...,n tako da za svako zauzeto

polje (i,j) xij>0 vrijedi ui+vj=cij. Pošto se dobiva m+n-1 jednačina sa m+n promjenljivih odabire se po volji jedna vrijednost za ui ili vj, a obično u1=0. Korak 2. Za sva nezauzeta polja xij=0 izračunava se relativni trošak c’ij = ui + vj – cij. Pozitivna vrijednost relativnog troška govori o tome za koliko će se smanjiti vrijednost funkcije cilja ako se jedinica tereta rasporedi na razmatrano polje, a negativna vrijednost ukazuje na povećanje funkcije cilja kod rasporeda jedinice tereta. Korak 3. Kriterij optimalnosti: Ako su svi c’ij ≤ 0 dobiveno rješenje je optimalno. Ako je ima c’ij > 0 onda je potrebno odrediti novo bazično rješenje tako što se izvrši pomicanje tereta na polje sa najvećim pozitivnim relativnim troškom. Korak 4. Određivanje novog bazičnog rješenja Potrebno je formirati tzv. lanac. Lanac predstavlja zatvoreni poligon u čijem jednom tjemenu se nalazi polje sa najvećim pozitivnim relativnim troškom, dok se u ostalim tjemenima nalaze zauzeta polja. Svi uglovi poligona moraju biti 90o ili 270o u zavisnosti da li je poligon konveksan ili konkavan.

O1

I1

O3

I2

O4

I3

O2

I4

O5

X11 X13 X24 X34

X32 X45

ε ε

59

Sa rednim brojem 1. obilježava se polje sa najvećim pozitivnim relativnim troškom, a ostala po redoslijedu. Minimalna količina sa parnog polja određuje količinu koja će se rasporediti na nezauzeto polje (polje sa najvećim pozitivnim relativnim troškom). Odrediti nakon toga novo bazično rješenje uvažavajući količinu koja se pomiče.

• Primjer:

Jedno preduzeće u mjestima Ij, 3,1=j iz hladnjača čiji je mjesečni kapacitet po 300 tona

povrća respektivno, isporučuje potrošačkim centrima Oj, 3,1=j mjesečno 290, 145, 290 tona povrća respektivno. Troškovi transporta jedne tone povrća od Ii do Oj predstavljeni su slijedećom tabelom:

O1 O2 O3

I1 20 14 17

I2 30 25 16

I3 10 28 12

Odrediti optimalni plan transporta, tako da ukupni troškovi budu minimalni.

Rješenje:

xij – količina transporta povrća (u t) koja će se transportovati iz i-tog ishodišta u j-to odredište Matematički model: z=20x11+14x12+17x13+30x21+25x22+16x23+10x31+28x32+12x33→min

p.o. x11 + x12 + x13 ≤ 300

x21 + x22 + x23 ≤ 300

x31 + x32 + x33 ≤ 300

x11 + x21 + x31 = 290

x12 + x22 + x32 = 145

x13 + x23 + x33 = 290

Korak 1. Transformisati zatvoreni TP uvođenjem dopunskih promjenljivih u prva 3 ograničenja (x14, x24, x34) i novog ograničenja (x14+x24+x34=175) koje apsorbuje razliku.

60

Korak 2. Izbor dopustivog početnog bazičnog rješenja

1 2 3 4 ai RB 1 2 1 20 14

145 17 155

0 300 14 3 3

2 30 25 16 125

0 175

300 16 9 14Z(3)

3 10 290

28 12 10

0 300 10 2 2

bj 290 145 290 175 900 RK 10 11Z(2) 4 0Z(1) (3) 10Z(4) - 5 -

Pošto broj zauzetih polja 6 xij>0 jednak broju m+n-1=6 dobiveno bazično rješenje je nedegenerirano. Korak 3. Primjena kriterija optimalnosti – izračunavanje relativnih troškova

Zauzeta polja xij>0 ui + vj = cij

Nezauzeta polja xij=0 c’ij = ui + vj –cij

ui + vj = 0

u1 = 0

u1 + v2 = 14 v2 = 14

u1 + v3 = 17 u3 = 17

u2 + v3 = 16 u2 = -1

u2 + v4 = 0 v4 = 1

u3 + v1 = 10 v1 = 15

u3 + v3 = 12 u3 = -5

c’ij = ui + vj - cij

c’11 = u1 + v1 - c11=0+15-20=5

c’14 = u1 + v4 - c14=0+1-0=1

c’21 = u2 + v1 - c21=-1+15-30=-16

c’22 = u2 + v2 - c22=-1+14-25=-12

c’32 = u3 + v2 - c32=-5+14-28=-19

c’34 = u3 + v4 - c34=-5+1-0=-4

Početna tabela

1 2 3 4 ui

1 20

-5

14

145

17

155

0

1

0

2 30

-16

25

-12

16

125

0

175

-1

3 10

290

28

-19

12

10

0

-4

-5

vj 15 14 17 1 z=9685

c’14 =1>0 - Dobiveno rješenje nije optimalno

Korak 4. Izbor novog bazičnog rješenja

61

1,3

2,3

2,4

1,

Broj polja 1 2 3 4

Indeks polja (1,4) (2,4) (2,3) (1,3)

Količina – prije pomicanja - 175 125 155 - poslije pomicanja 155 20 280 -

min{parno polje}=min{175,155}=155

Lanac:

Pomicanje tereta:

ui +

vj = cij

c’ij = ui + vj - cij

u1 = 0

u1 + v2 = 14 v2 = 14 c’11= u1 + v1 - c11 = 0 +14-20 =-6

u1 + v4 = 0 u4 = 0 c’13 = u1 +v3 - c33 = 0 +16-17 =-1

u2 + v3 = 16 u3 = 16 c’21 = u2 +v1 - c21 = 0 +14-30 =-16

u2 + v4 = 0 u2 = 0 c’22 = u2 +v2 - c22 = 0 +14-25 =-11

u3 + v1 = 10 v1 = 14 c’32 = u3 +v2 - c32 = -4+14-28=-18

u3 + v3 = 12 u3 = -4 c’34 = u3 +v4 - c34 = -4+0-0=-4

1. Iteracija – optimalno rješenje

1 2 3 4 ui

1 20

-6

14

145

17

-1

0

155

0

2 30

-16

25

-11

16

280

0

20

0

3 10

290

28

-18

12

10

0

-4

-4

vj 14 14 16 0

z = 9685-155⋅1 z = 9530

Kako su ∀ c’ij < 0 dobiveno rješenje je optimalno.

OR :

x12=145 t

x14=155 t (prva hladnjača neće isporučiti 155 t) x23=280 t

x24= 20 t (druga hladnjača neće isporučiti 20 t) x31= 290 t

x33= 10 t

4 1

2 3

62

z= 9530

Specifičnosti rješavanja transportnog problema za maksimum • Matematički model TP za maksimum identičan je modelu TP za minimum koji je

prethodno razmatran s razlikom da se traži maksimum funkcije cilja. • Kod duala TP za maksimum funkcija cilja se minimizira, a ograničenja su oblika

)n1,j ;m1,(i , ==∀≥+ jiparzacvu ijji

• Algoritam rješavanja TP modela za maksimum sličan je prethodno razmatranom za minimum s razlikom u koraku 3. da ako su svi relativni troškovi nenegativni tj. c’ij ≥ 0 dobiveno rješenje je optimalno, a ako postoji neko c’ij < 0 onda se dobiveno rješenje može poboljšati. U koraku 4. određivanje novog bazičnog rješenja realizira se tako da se izvrši pomicanje tereta na polje sa najnegativnijim relativnim troškom.

• Metode za postavljanje početnog programa za maksimum su slične prethodno razmatranim samo što se mijenja usvojeni kriterij za određivanje polja na koje se vrši raspored tereta.

- Metoda sjeverozapadnog ugla je identična prethodno razmatranoj, - Metoda najmanjih jediničnih koeficijenata se sada zove metoda najvećih

jediničnih koeficijenata i raspored tereta se vrši na polje sa najvećim jediničnim troškom,

- Vogelova aproksimativna metoda za maksimum polazi od toga da se utvrđuju najveća razlika dva najveća koeficijenta u redovima i kolonama i izvrši raspored tereta na polje sa najvećim jediničnim koeficijentom.

• Kod MODI metode jedino se mijenja kriterijum optimalnosti (svi c’ij treba da budu nenegativni da bismo dobili optimalno rješenje). Ostali koraci su identični prethodno razmatranim.

63

2.8.9. Problem asignacije (PA)

Uvod • Specijalan slučaj TP je problem asignacije (raspoređivanja). Od TP razlikuje ga to što je

ai=bj=1, a vrijednosti promjenljivih mogu primiti vrijednost 0 ili 1. • Ovom metodom rješavaju se:

- problem rasporeda poslova na radna mjesta, odnosno na radnike ili mašine, - izbor kandidata pri zapošljavanju pri čemu se postižu najpovoljniji efekti i sl.

• Suština rješavanja problema sastoji se u tome da se rasporedi n izvršilaca na n aktivnosti pri ekstremnoj vrijednosti funkcije cilja, ali pod uslovom da jednoj aktivnosti može biti dodijeljen samo jedan izvršilac.

Matematički model PA • Osnovni model PA (zatvoreni)

n1,i 1

n1,j 1

min

1

1

1 1

==

==

→=

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n

j

ij

n

i

ij

n

i

n

j

ijij

x

x

xcz

gdje je cij efikasnost i-tog izvršioca na j-toj aktivnosti.

• Ako ne postoji ravnoteža između izvršilaca i aktivnosti dobiva se tzv. otvoreni PA. Broj izvršilaca ćemo obilježiti sa m, a aktivnosti sa n.

• Ako je broj izvršilaca veći od broja aktivnosti tj. ako je m>n onda je model otvorenog PA

64

p.o.

m1,i 1

n1,j 1

min

1

1

1 1

=≤

==

→=

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n

j

ij

m

i

ij

n

i

n

j

ijij

x

x

xcz

• Da bi se uravnotežio broj izvršilaca i aktivnosti uvode se fiktivne aktivnosti sa

koeficijentima jednakim nuli (odnose se na dopunske promjenljive xi,n+1). • U slučaju da je broj izvršilaca manji od broja aktivnosti m < n, model otvorenog PA je

p.o.

m1,i 1

n1,j 1

min

1

1

1 1

==

=≤

→=

∑

∑

∑∑

=

=

= =

n

j

ij

m

i

ij

n

i

n

j

ijij

x

x

xcz

• Da bi se uravnotežio broj izvršilaca i aktivnosti uvode se fiktivni izvršioci sa

koeficijentima efikasnosti jednakim nuli (odnose se na dopunske promjenljive xm+1,j). • Ako je PA za maksimum, a pošto važi relacija

max Cx = min {-Cx},

onda se mogu množiti elementi matrice efikasnosti C sa (-1), tako da se dalje može nastaviti po postupku za minimum.

• Obavezna i zabranjena asignacija rješava se po sličnim principima kao kod TP.

Mađarska metoda u rješavanju PA • Matrica efikasnosti C=[cij]n×n mora biti kvadratna. • Ako se u matrici nalaze i nule onda maksimalan broj nezavisnih nula je jednak

minimalnom broju linija koje povezuju sve nule. • “Ako se iz zadate matrice C=[cij] izvodi matrica D=[dij] prema izrazu dij=cij-ui-vj, gdje su

ui i vj konstante odabrane po volji, onda je rješenje od C identično sa rješenjem od D”. • H.W.Kuhn je prvi razvio algoritam na osnovu stavova koji su formulirali mađarski

matematičari Konig i Egervari, dok je Flood razvio metod optimalne asignacije polazeći

65

od redukcije matrice efikasnosti. Stoga se naziva mađarska metoda ili metoda reducirane matrice.

• Algoritam: Korak 1. Redukcija matrice efikasnosti (1) Oduzeti u svakoj koloni najmanji elemenat od ostalih. (2) Provjeriti da li u svakom redu novodobivene matrice ima bar jedna nula, a ako nema onda se najmanji elemenat reda oduzima od ostalih. Korak 2. Utvrđivanje i provjera optimalnosti rješenja Kriterij optimalnosti je poređenje broja nezavisnih nula i reda matrice efikasnosti. Dobiveno rješenje je optimalno ako je broj nezavisnih nula jednak redu matrice efikasnosti. Prvo se izvrši kategorizacija nula na nezavisne i zavisne. Zatim se pronalaze redovi koji imaju jednu nulu – ta nula se proglašava nezavisnom (zaokružuje se), dok ostale nule u pripadnoj koloni se proglašavaju zavisnim i precrtavaju. Potom se pronalaze redovi sa dvije nekategorizirane nule i po volji se proglašava jedna za nezavisnu, a druga za zavisnu. Takođe i nule u koloni sa proglašenom nezavisnom nulom se označavaju kao zavisne. Postupak se nastavlja dok se ne završi kompletna kategorizacija. Ako je broj nezavisnih nula jednak redu matrice efikasnosti n, dobiveno je optimalno rješenje. A ako je broj nezavisnih nula manji onda se ide na korak 3. Korak 3. Određivanje minimalnog broja redova i kolona koji sadrže sve nule (1) Označe se svi redovi u kojima se ne nalaze nezavisne nule (simbolično →). (2) Precrtaju se sve kolone koje imaju zavisne nule u označenim redovima. (3) Označavaju se svi redovi koji imaju nezavisnu nulu u svakoj precrtanoj koloni. (4) Ponavljaju se faze (2) i (3) dok se više ne može precrtati niti jedna kolona, niti

označiti red. (5) Precrtati sve neoznačene redove.

Korak 4. Poboljšani izbor nula Odabire se najmanji neprecrtani elemenat matrice iz koraka 3. Taj elemenat se oduzima od svih neprecrtanih elemenata, a dodaje se elementima koji su na presjeku precrtanih redova i kolona. Ostali precrtani elementi se prepisuju. Na novu matricu se primijeni korak 2.

• Primjer:

U jednom pogonu poslovi Pj, 1,3j = mogu se obaviti na strojevima Si, 1,4i = uz različite troškove, što je predstavljeno u slijedećoj tabeli:

P1 P2 P3

S1 3 7 4

S2 5 6 7

S3 4 7 5

S4 7 7 6

Iz određenih razloga odlučeno je da se na stroju S4 obavezno izvrši neki od poslova. Na kojoj vrsti strojeva bi trebalo obaviti pojedine poslove tako da se postignu ukupni minimalni troškovi izvršenja poslova?

66

R j e š e nj e:

• Sa xij 1,4i = , 1,3j = označićemo j-ti posao dodijeljen i-tom stroju.

• Matematički model problema:

z=3x11+7x12+4x13+5x21+6x22+7x23+4x31+7x32+5x33+7x41+7x42+6x43→min

p.o. x11+x12+x13≤1

x21+x22+x23≤1

x31+x32+x33≤1

x41+x42+x43=1

x11+x21+x31+x41=1

x12+x22+x32+x42=1

x13+x23+x33+x43=1

• Zatvoreni model PA

z=3x11+7x12+4x13+0⋅x14+5x21+6x22+7x23+0⋅x24+4x31+7x32+5x33+0⋅x34+7x41+

7x42+6x43+Mx44→min

p.o. x11+x12+x13+x14=1

x21+x22+x23+x24=1

x31+x32+x33+x34=1

x41+x42+x43+x44=1

x11+x21+x31+x41=1

x12+x22+x32+x42=1

x13+x23+x33+x43=1

x14+x24+x34+x44=1

• Na osnovu matematičkog modela originala PA može se uočiti da matrica efikasnosti C

nije kvadratna, te joj je potrebno dodati jednu kolonu koja se odnosi na fiktivni posao P4. Svi koeficijenti ove kolone (osim posljednjeg) su jednaki nuli, pošto se odnose na dopunske promjenljive modela. Posljednji koeficijent se odnosi na vještačku promjenljivu, te ima u matrici efikasnosti nespecificirano veliku vrijednost označenu sa M. Prethodni zaključci proizilaze iz matematičkog modela zatvorenog PA, što će se predstaviti tabelarno:

P1 P2 P3 P4

S1 3 7 4 0

S2 5 6 7 0

67

S3 4 7 5 0

S4 7 7 6 M

• Rješavanje problema nastavljamo pronalaženjem nula po kolonama. Prve tri kolone

nemaju nula. Pronalazimo najmanji koeficijent u svakoj koloni i oduzimamo ga od od ostalih da bismo dobili nule u prve tri kolone.

min {ci1}=3

min {ci2}=6

min {ci3}=4

1,4i =

3-3 7-6 4-4 0 0 1 0 0

5-3 6-6 7-4 0 2 0 3 0

4-3 7-6 5-4 0 = 1 1 1 0

7-3 7-6 6-4 M 4 1 2 M

Zatim pronalazimo nule po redovima. Ako red nema ni jednu nulu, onda pronalazimo najmanji koeficijent i oduzimamo ga od ostalih koeficijenata. U ovom slučaju to je samo četvrti red, te od ostalih koeficijenata tog reda oduzimamo najmanji koeficijent.

min {c4j}=1

1,4j =

0 1 0 0 0 1 0 0

2 0 3 0 = 2 0 3 0

1 1 1 0 1 1 1 0

4-1 1-1 2-1 M-1 3 0 1 M-1

z=3⋅1+0⋅1+7⋅1=10

Poslije dobijanja nula u svakoj koloni i redu vršimo njihovu kategorizaciju. U trećem redu na polju (3,4) postoji samo jedna nula, proglašavamo je nezavisnom i zaokružujemo. Sve ostale nule u četvrtoj koloni proglašavamo zavisnim i precrtavamo polja (1,4) i (2,4). Nulu u četvrtom redu i drugoj koloni, takođe, proglašavamo za nezavisnu, dok su ostale nule iz te kolone zavisne (polje 2, 2). Ostale su nekategorizirane nule u prvom redu na poljima (1,1) i (1,3). Odabiremo jednu po izboru npr. na polju (1,1) i proglašavamo je nezavisnom. Nula na polju (1,3) postaje zavisna. Pošto je broj nezavisnih nula manji od 4, dobiveno rješenje nije oprimalno. Dalje se postupak sastoji u slijedećem:

(1) Označe se red u kome se ne nalazi nezavisna nula (drugi

red →). (2) Precrtamo kolone koje imaju zavisnu nulu u označenom

drugom redu (druga i četvrta kolona). (3) Označimo redove koji imaju nezavisnu nulu u svakoj

precrtanoj koloni (treći i četvrti red).

68

(4) Da su i trećem i četvrtom redu postojale zavisne nule faze (2) i (3) bi se ponovile. Pošto treći i četvrti red ne sadrže zavisne nule postupak označavanja redova i precrtavanja kolona je završen.

(5) Precrtamo sve neoznačene redove (prvi red). Koraci (1)-(5) predstavljeni su u prethodnoj tabeli. Postupak se nastavlja.

(6) Pronalazi se najmanji neprecrtani element prethodne tabele. To je 1 koji se nalazi na poljima (3,1), (3,3) i (4,3).

(7) Prepisujemo sve precrtane elemente osim onih koji se nalaze na presjeku redova i kolona.

d11=0 d13=0 d22=0 d24=0 d31=1

d34=0 d42=0 d44=M-1

(8) Povećamo elemente koji se nalaze na presjeku precrtanih redova i kolona za vrijednost najmanjeg neprecrtanog elementa utvrđenog pod (6). U ovom slučaju presječni element je d12=1 i povećan za 1 utvrđen u koraku (6), te sad iznosi 2. Drugi presječni element je d14=0 i on se povećava za 1.

(9) Smanjujemo sve neprecrtane elemente za vrijednost najmanjeg neprecrtanog elementa tj. d21=2, d23=3, d31=1, d33=1, d41=3,

d43=1, umanjuju se za 1. Prethodne korake ćemo predstviti u narednoj tabeli na kojoj će se takođe izvršiti kategorizacija nula.

0 1+1 0 0+1 0 2 0 1

2-1 0 3-1 0 = 1 0 2 0

1-1 1 1-1 0 0 1 0 0

3-1 0 1-1 M-1 2 0 0 M-1

z=3⋅1+6⋅1+0⋅1+6⋅1=15

Na prethodnu tabelu primijenit će se postupak kategorizacije nula: U prvom, drugom i četvrtom redu postoje po dvije nule. U prvom redu na polju (1,1) nulu proglašavamo nezavisnom. Ostale nule u prvom redu i prvoj koloni proglašavamo za zavisne – polja (1,3) i (3,1). U drugom redu nulu na polju (2,2) proglašavamo za nezavisnu i zaokružujemo je. Ostale nule u drugom redu na polju (2,4) i drugoj koloni na polju (4,2) proglašavamo zavisnim i precrtavamo ih. Nulu u četvrtom redu na polju (4,3) proglašavamo za nezavisnu, a ostale u trećoj koloni za zavisne na polju (3, 3). Nulu u trećem redu na polju (3,4) proglašavamo nezavisnom. Pošto je broj nezavisnih nula (4) jednak redu matrice efikasnosti n=4, dobiveno je optimalno rješenje. Optimalno rješenje: x11=1 (posao P1 obavljat će se na stroju S1) x22=1 (posao P2 obavljat će se na stroju S2) x34=1 (stroj S3 će ostati neiskorišten) x43=1 (posao P3 obavljat će se na stroju S4)

69

z=15.

3. VIŠEKRITERIJSKO LINEARNO PROGRAMIRANJE (VLP) 3.1. Pojam višekriterijskog programiranja (VP)

• Za razliku od jednokriterijskog programiranja (LP, NLP), kod višekriterijskog programiranja respektuje se postojanje više od jednog kriterija, a time i više ciljeva.

• U matematičkom smislu postoji više od jedne funkcije cilja (ciljevi mogu biti konfliktni). • U poslovnom odlučivanju ciljevi mogu biti:

- maksimalan ukupni profit (dobit, zarada), - maksimalan obim proizvodnje, - minimalni troškovi proizvodnje, - maksimalni izvozni efekti, - minimalni utrošci repromaterijala, - maksimalno korištenje kapaciteta, - maksimalna produktivnost, - maksimalna ekonomičnost, - maksimalna rentabilnost, - maksimalna pouzdanost i sl.

• Višekriterijsko programiranje = vektorska optimizacija = optimiziranje kod više funkcija cilja.

• Višekriterijsko programiranje predstavlja skup metoda za određivanje efikasnih rješenja i/ili preferiranih rješenja iz skupa efikasnih rješenja.

• Za VLP karakteristične su linearne relacije između promjenljivih u funkcijama cilja i skupu ograničenja.

• Optimalno rješenje = skup efikasnih rješenja. 3.2. Model VLP

• Matematički model koji je definisan sa k linearnih funkcija cilja sa n promjenljivih

f1(x) = c11x1+c12x2+...+c1nxn→max

f2(x) = c21x1+c22x2+...+c2nxn→max

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

fk(x) = ck1x1+ck2x2+...+cknxn→max

i sistemom od od m linearnih nejednačina/jednačina na istom skupu promjenljivih

a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn ≤ b2

. . . . . .

70

. . . . . .

. . . . . .

ar1x1 +ar2x2 +...+ arnxn ≤ br

ar+1,1x1 + ar+1,2x2 +...+ ar+1,nxn = br+1

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

al1x1 + al2x2 +...+ alnxn = bl

al+1,1x1 + al+1,2x2 +...+ al+1,nxn ≥ bl+1

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

am1x1 + am2x2 +...+ amnxn ≥ bm

n1,j ,0 =≥jx

označava se kao model VLP.

• Ako se neka od ciljnih funkcija minimizira ona se može jednostavno prevesti u zadatak maksimizacije množenjem funkcije cilja sa (-1) .

• Primjenom matrične notacije prethodni model se može napisati u obliku:

f(x) →max

A⋅x ≥=≤ A0

x ≥ 0

gdje su:

f(x) – simbol za skup funkcija k1,p ),( =xf p

f(x)=[f1(x), f2(x),..., fk(x)] A – matrica strukturnih koeficijenata njaij ,1 m,1,i , ==

A0 – vektor slobodnih članova m,1,i =ib

x – vektor promjenljivih n1,j , =jx .

• Sistem ograničenja definiše skup dopustivih rješenja x∈D. • Svakoj tački x iz D odgovara skup vrijednosti funkcija cilja, odnosno vektor f(x), što znači

da se skup rješenja D može preslikati u kriterijski skup F. • Primjer: Dat je zadatak VLP

f1 = x1 + 2x2 →max

f2 = 6x1 – 2x2 →max

p.o.

71

0,x

5 x

6

2223

3

21

2

1

21

21

≥

≤

≤

≤+

≤+−

x

x

xx

xx

• Određivanje skupa dopustivih rješenja D

• Preslikavanje skupa D u kriterijski skup F vrši se na taj način što se ekstremne tačke

skupa D preslikavaju u ekstremne tačke kriterijskog skupa F. U slučaju dvije funkcije cilja ove se tačke spajaju pravim linijama koje ograničavaju kriterijski skup.

(x1, x2)→(f1, f2)

- (0, 3)→(f1, f2)

f1 = 0+2⋅3 = 6

f2 = 6⋅0-2⋅3 = -6

(0, 3)→( 6, -6)

- (2, 5)→( 12, 2)

- (4, 5)→(14,14)

- (6, 2)→(10,32)

- (6, 0)→( 6, 36)

D

0 3 6

3 (6,2)

(4,5) (2,5)

X2

X1

72

3.3. Zadatak VLP i koncept Pareto optimalnosti

• Iz domena dopustivih rješenja D koji je definisan sistemom ograničenja potrebno je

izabrati takva rješenja “pored kojih nema drugih rješenja koja bi bila bolja od njih ili bar jednaka za sve ciljeve”.

• Marginalna rješenja zadatka VLP dobivaju se rješavanjem k (onoliko koliko ima funkcija cilja) jednokriterijskih zadataka na poznatom skupu dopustivih rješenja.

• Savršeno rješenje je takvo rješenje koje istovremeno maksimizira svih k-funkcija cilja. • Koncept Pareto optimuma:

Pareto optimalnost predstavlja proširenje koncepta optimalnosti u odnosu na jednokriterijsko programiranje.

• x*∈D je efikasno (nedominirano, Pareto optimalno, dominantno) rješenje modela VP u

slučaju da ne postoji niti jedan vektor x ∈D koji zadovoljava uslove:

j. jedno zabar )()(

k1,jj, za )()(*

*

xfxf

xfxf

jj

jj

>

=∀≥

• Drugačije izraženo x

* je efikasno rješenje u slučaju da poboljšanje vrijednosti bilo koje funkcije cilja uzrokuje pogoršanje neke druge funkcije cilja (slika 1).

f2

f1

F

(6,-6)

(12,2)

(14,14)

(10,32)

(6,36)

0

73

3.4. Metode za rješavanje VLP

• Polazeći od kriterija – pristupa rješavanju zadatka razlikuju se slijedeće grupe metoda:

Metode za određivanje efikasnih rješenja – određuje se skup efikasnih rješenja, a donosilac odluke iz skupa efikasnih rješenja preferira konačno rješenje (npr. multikriterijska simpleks metoda).

Metode sa unaprijed izraženim preferencijom – na osnovu preferencija donosilac odluke uvažavajući usvojeni kriterij formira jednu sinteznu funkciju cilja od k-poznatih, pa se problem rješava kao jednokriterijski (npr. metoda težinskih koeficijenata).

Interaktivne metode - prilikom rješavanja VLP problema iterativno se kombinuju metode i odluke o preferencijama i rješenja od donosioca odluke, sve dok donosilac odluke ne bude zadovoljan rješenjem.

Metode za izbor preferiranog rješenja kod kojih se skup efikasnih rješenja sužava (grupe metoda ELECTRE i PROMETHEE)

3.5. Grafička intepretacija rješavanja problema VLP

• Grafička intepretacija je moguća za problem VLP sa dvije promjenljive. • Kao ilustraciju koristićemo prethodni zadatak VLP. • Grafički prikaz domena dopustivih rješenja:

ER

Slika 1. Efikasno rješenje (ER)

D 0 3 6

3 (6,2)

(4,5) (2,5)

X2

9 12

74

- Funkcija cilja f1 se maksimizira u najudaljenijoj od koordinatnog početka presječnoj tački sa D tj. (4,5).

- Funkcija cilja f2 se maksimizira pomjeranjem duž ose x1 (zato što je c2<0) tj. u tački (6,0).

- Rješenja (4,5) i (6,0) su marginalna rješenja. • Test efikasnosti u dvodimenzionalnoj ravni

- Tačka (x*1,x

*2) je efikasna ako ne postoji tačka (x1,x2) za koju važi:

f1(x1,x2)≥ f1(x

*1,x

*2)

f2(x1,x2)≥ f2(x*

1,x*

2)

sa strogom nejednakošću za bar jednu funkciju.

- Pretpostavimo da je (x*1,x

*2) = (0,3) efikasna tačka

f1(0,3) = 0+2⋅3 = 6

f2(0,3) = 6⋅0–2⋅3 = -6

x1 + 2x2 ≥ 6

6x1 – 2x2 ≥ - 6

Prethodni sistem određuje onaj dio domena D omeđen iscrtkanim pravama sa tjemenom u tački (0,3) u kome se nalaze tačke (2,5), (4,5), (6,2) i dr. Pošto postoji mnoštvo tačaka (x1,x2) koje zadovoljavaju prethodni uslov to tačka (0,3) nije efikasna.

- Testom efikasnosti se može provjeriti da i tačke na duži (0,3) – (2,5) isključujući tačku (2,5) nisu efikasne, što se jasno geometrijski može uočiti.

- Nadalje se pretpostavlja da je tačka (x*1,x

*2) = (2,5) efikasna, što će se provjeriti:

f1(2,5) = 2+2⋅5 = 12

f2(2,5) = 6⋅2–2⋅5 = 2

x1 + 2x2 ≥ 12

6x1 – 2x2 ≥ 2

Prethodni sistem određuje onaj dio domena D koji je omeđen iscrtkanim pravama sa tjemenom u tački (2,5) u kojem se nalazi i tačka (4,5). Kao i kod testa prethodne tačke i za tačku (4,5) se može utvrditi da nije efikasna. - Zaključak o neefikasnosti može se provesti za bilo koju tačku duži koja spaja tačke

(2,5) i (4,5) isključujući tačku (4,5). - Pretpostavimo da je (x*

1,x*

2) = (4,5) efikasna tačka. f1(4,5) = 4+2⋅5 = 14

f2(4,5) = 6⋅4–2⋅5 = 14

x1 + 2x2 ≥ 14

6x1 – 2x2 ≥ 14

sa strogom nejednakošću za bar jednu nejednačinu

sa strogom nejednakošću za bar jednu nejednačiinu

sa strogom nejednakošću za bar jednu nejednačinu

75

Prethodni sistem definiše dio ravnine x1,x2 ≥ 0 omeđen iscrtkanim pravama sa tjemenom u tački (4,5) i ne sadrži tačke iz D (osim tačke (4,5)). Pošto nema tačaka (x1,x2) za koje važe prethodna ograničenja, to je tačka (4,5) efikasna tačka.

- Na isti način se može provjeriti da su tačke (6,2) i (6,0) takođe efikasne. I tačke na dužima koje spajaju prethodne tri efikasne tačke su takođe efikasne.

- Odgovor: Pareto optimalne su sve tačke koje se nalaze na dužima (4,5) – (6,2) i (6,2) – (6,0) uključujući i te tačke.

- Ako izanaliziramo kriterijski skup onda se uočava rast i f1 i f2 u nizu (6,-6), (12,2) i (14,14), isključujući tačku (14,14). Nadalje se f1 smanjuje, a f2 povećava (10,32) i dalje (6,36), što ukazuje na postojanje Pareto optimalnih rješenja.

3.6. Simpleks metoda u rješavanju VLP

• Kod multikriterijske simpleks metode uvijek je “aktivna” samo jedna funkcija cilja. Kada

se postigne maksimum jedne funkcije prelazi se na ekstremizaciju druge, pa treće itd. Redovi drugih funkcija se tretiraju isto kao i ostali redovi simpleks tabele.

• Test efikasnosti rješenja provodi se nakon svake iteracije. • Postoje teoreme [Martić (1978) str. 30-34] koje dokazuju postojanje efikasnih odnosne

neefikasnih rješenja. (1) Ako u kriterijalnom dijelu simpleks tabele “fk-ck” postoje kolone u kojoj su svi

koeficijenti 0≤k

jz i bar jedan 0<k

jz dobiveno rješenje je neefikasno.

(2) Ako u kriterijalnom dijelu simpleks tabele postoje redovi u kojima su svi

koeficijenti veći ili jednaki nuli 0≥k

jz dobiveno rješenje je efikasno.

(3) Ako nema slučaja (1) i (2) onda se provodi test efikasnosti za kriterijalni dio simpleks tabele za nebazične vektore.

Multikriterijalna simpleks metoda sa određivanjem efikasnih rješenja će se ilustrirati na poznatom primjeru u kanonskom obliku:

f1 = x1 + 2x2 → max

f2 = 6x1 – 2x2 → max

–x1 + x2 + x3 = 3

3x1 + 2x2 + x4 = 22

x1 + x5 = 6

x2 + x6 = 5

1,6j ,0 =≥jx .

Multikriterijalna simpleks metoda počinje sa optimiziranjem funkcije f1.

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x3 3 -1 1 1 0 0 0

x4 22 3 2 0 1 0 0

x5 6 1 0 0 0 1 0

76

x6 5 0 1 0 0 0 1

f1-c1 0 -1 -2 0 0 0 0

f2-c2 0 -6 2 0 0 0 0

Test efikasnosti: Pošto u kriterijalnom dijelu simpleks tabele postoje kolone sa 0≤k

jz tj.

0111 <−=z i 062

1 <−=z rješenje je neefikasno.

1. iteracija Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x2 3 -1 1 1 0 0 0

x4 16 5 0 -2 1 0 0

x5 6 1 0 0 0 1 0

x6 2 1 0 -1 0 0 1

f1-c1 6 -3 0 2 0 0 0

f2-c2 -6 -4 0 -2 0 0 0

Test efikasnosti: Pošto je. 0311 <−=z i 042

1 <−=z dobiveno rješenje je neefikasno. 2. iteracija

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x2 5 0 1 0 0 0 1

x4 6 0 0 3 1 0 -5

x5 4 0 0 1 0 1 -1

x1 2 1 0 -1 0 0 1

f1-c1 12 0 0 -1 0 0 3

f2-c2 2 0 0 -6 0 0 4

Test efikasnosti: Kako je 0113 <−=z i 062

3 <−=z dobiveno rješenje je neefikasno.

3. iteracija

Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x2 5 0 1 0 0 0 1

x3 2 0 0 1 1/3 0 -5/3

x5 2 0 0 0 -1/3 1 2/3

x1 4 1 0 0 1/3 0 -2/3

f1-c1 14 0 0 0 1/3 0 4/3

f2-c2 14 0 0 0 2 0 -6

Test efikasnosti: U kriterijalnom dijelu simpleks tabele 3. iteracije za prvu funkciju cilja

svi 01 ≥jz tako da je dobijeno efikasno rješenje. Budući da se nakon 3. iteracije postigla

maksimalna vrijednost f1, prelazi se na optimizaciju druge funkcije cilja.

4. iteracija Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x2 2 0 1 0 1/2 -3/2 0

77

x3 7 0 0 1 -1/2 5/2 0

x6 3 0 0 0 -1/2 3/2 1

x1 6 1 0 0 0 1 0

f1-c1 10 0 0 0 1 -2 0

f2-c2 32 0 0 0 -1 9 0

Test efikasnosti: Mora se koristiti kriterij 3. tako da se formira za nebazične promjenljive kriterijalnog dijela pomoćna tabela

x4 x5 v1 v2

v1 1 -2 1 0

v2 -1 9 0 1

Σ 0 7 0 0

U posljednjem redu nema negativnih elemenata pa je rješenje efikasno. Da je bio negativan

elemenat on bi odredio vodeći stubac j, a izabrao bi se 0>k

jz za ključni broj, te bi se izvršila

bazna transformacija. Nakon bazne transformacije ako u posljednjem redu Σ budu svi koeficijenti veći ili jednaki nuli dobiveno rješenje je efikasno.

5. iteracija Baza x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x4 4 0 2 0 1 -3 0

x3 9 0 1 1 0 1 0

x6 5 0 1 0 0 0 1

x1 6 1 0 0 0 1 0

f1-c1 6 0 -2 0 0 1 0

f2-c2 36 0 2 0 0 6 0

Nakon 5. iteracije određen je i maksimum druge funkcije cilja, te je time dobiveno i efikasno rješenje (drugi kriterij efikasnosti). Efikasna rješenja su tačke (4,5), (6,2) i (6,0). Naravno efikasne su i tačke koje se mogu dobiti kao konveksna kombinacija prve dvije i druge dvije tačke. 3.7. Metoda težinskih koeficijenata (MTK)

• Spada u klasu metoda VLP sa a priori izraženom preferencijom. • Spada u grupu metoda funkcije korisnosti pošto koristi funkciju korisnosti donosioca

odluke, tako da se zadatak VLP svodi na jednokriterijski. • Funkcija korisnosti u MTK dobiva se kao linearna kombinacija normaliziranih funkcija

cilja tako da se rješava zadatak:

∑=

→=k

p

o

pp

MTK xfwxf1

max)()(

pri početnom skupu ograničenja gdje su:

78

- wp≥0 - težinski koeficijent p-tog kriterija koji zadaje donosilac odluke , kp ,1= .

- )(xf o

p – normalizirana p-ta funkcija cilja , kp ,1= .

• Normalizacija funkcija cilja se provodi da bi se zadovoljile pretpostavke aditivnosti (kriteriji su najčešće različito skalirani sa različitim jedinicama mjere) i linearnih korisnosti funkcija cilja.

• Kako je

.c Sje gdje

xS

c...x

S

cx

S

c

S

)x(f)x(f

je tada,xc)x(f

n

1j

pjp

n

p

pn

2

p

2p

1

p

1p

p

p0

p

jpj

n

1j

p

∑

∑

=

=

=

+++==

=

• Provodeći prethodni postupak dobivaju se linearne funkcije cilja koje imaju zbir

koeficijenata uz promjenljive jednak jedinici. • Podešavanjem težinskih koeficijenata kod rješavanja VLP moguće je dobiti sva efikasna

rješenja. • Primjer: Riješiti prethodni zadatak sa MTK, pretpostavljajući da su težine odgovarajućih

kriterija w1=6 i w2=4.

f1(x)=x1 + 2x2

f2(x)=6x1 - 2x2

f

01(x)=1/3x1 + 2/3x2

f02(x)=6/4x1 - 2/4x2 = 3/2x1 – 1/2x2

fMTK

(x) = w1f0

1(x) + w2f0

2(x) =

= 6(1/3x1 + 2/3x2) + 4(3/2x1 – 1/2x2) =

= 8x1 + 2x2

Matematički model MTK koji će se rješavati glasi:

fMTK

(x) = 8x1 + 2x2 → max

p.o. –x1 + x2 ≤ 3

3x1 + 2x2 ≤ 22

x1 ≤ 6

x2 ≤ 5

x1,x2 ≤ 0

Rješavanjem ovog zadatka grafički ili simpleks metodom dobiva se: x1 = 6

x2 = 2

f1 = 10

f2 = 32.

79

Pogodnim izborom drugih kombinacija za težinske koeficijente mogu se dobiti i druga efikasna rješenja.

4. RAZLOMLJENO-LINEARNO PROGRAMIRANJE (RLP)

4.1. Uvod

• Kod linearnog, dinamičkog i nelinearnog programiranja kriterij je cijela funkcija tako da se iz aspekta poslovnog odlučivanja mogu optimizirati npr. ukupni prihod, dobit, ukupni troškovi, korištenje kapaciteta, troškovi proizvodnje i sl. U suštini optimiziraju se pokazatelji koji predstavljaju apsolutne vrijednosti.

• Međutim, mnogobrojni problemi poslovnog odlučivanja izražavaju se kao količnici nekih ekonomskih veličina, dakle ne u apsolutnim već u relativnim vrijednostima. Takvi problemi su npr.

- produktivnost, - ekonomičnost, - rentabilnost, - prosječni troškovi proizvodnje, - likvidnost, - odnos efekata i ulaganja i sl.

• Za praktično rješavanje problema kod kojih je funkcija cilja izražena, ne kao suma ekonomskih veličina, već kao njihov količnik koriste se metode razlomljenog ili hiperboličkog programiranja. Naš interes odnosit će se na modele i metode razlomljeno-linearnog programiranja tj. na probleme optimizacije razlomljeno linearne funkcije cilja sa linearnim ograničenjima.

4.2. Model razlomljeno-linearnog programiranja

• Ako se definiše funkcija cilja u obliku

nn

nn

xdxdxdd

xcxcxccz

++++

++++=

...

...max

22110

22110 (4.1)

pri ograničenjima:

a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn ≤ b2

. . . . . .

. . . . . . (4.2)

. . . . . .

am1x1 +am2x2 +...+ amnxn ≤ bm

n1,j ,0 =≥jx

onda se radi o modelu razlomljeno-linearnog programiranja. Vektorski se model RLP (4.1) i (4.2) može napisati u obliku

80

0x

bAx

xdd

xcczmax

T

0

T

0

≥

≤

++

=

(4.3)

gdje su cT

=[c1 c2 ... cn] i dT=[d1 d2 ... dn], c0 i d0 skalari, matrica A sa elementima [aij] reda

(m,n), b m-dimenzionalni vektor slobodnih članova, a x n-dimenzionalni vektor promjenljivih.

• Funkcija cilja (4.1) je razlomljeno-racionalna funkcija predstavljena količnikom dvije linearne funkcije, dok ograničenja (4.2) definišu domen dopustivih rješenja i predstavljena su n-dimenzionalnim konveksnim poliedrom (a).

• Za funkciju cilja još se postavljaju uslovi da je d0+dTx>0 (b).

• U slučaju da je imenilac negativan, onda bi se i brojilac i imenilac pomnožili sa (-1), pa prema tome prethodni uslov ne utiče na opštost razmatranja.

• Prema tome, kod razmatranja problema poslovnog odlučivanja koji se izražavaju modelom (4.3), uslov (a) znači da programirani ekonomski procesi ne mogu da budu neograničeni, a uslov (b) isključuje mogućnost da vrijednost programa postane beskonačna, tako da oba uslova odgovaraju praktičnoj primjeni. Ispunjavanjem uslova (a) i (b) model (4.3) je rješiv i postiže maksimum u najmanje jednoj ekstremnoj tački poliedra D.

• Za rješavanje modela RLP razvijeno je više metoda koje se uglavnom baziraju na simplex metodi LP, a dobile su nazive prema svojim pronalazačima kao npr. - Dinkelbach-ova metoda, - Martos-ova metoda i - Charnes-Cooper-ova metoda.

4.3. Metode RLP

4.3.1. Dinkelbach-ova metoda

• Ako obilježimo sa z1, z2, ... , zn vrijednosti funkcije cilja u ekstremnim tačkama x1, x

2, ... ,

xn, onda je:

n1,k

0

0

=

++

=

za

xdd

xccz

kT

kT

k

(4.4)

tako da važi jednakost

zk (d0 + d

Tx

k) – c0 – c

Tx

k = 0 (4.5)

za sve ekstremne tačke i odgovarajuće vrijednosti funkcije cilja.

81

• Obilježavajući izraz na lijevoj strani sa L(zk,x), Dinkelbach konstruira pomoćni problem polazeći od vrijednosti zk kao čvrstog parametra u slijedećem obliku:

min L (zk, x) = (zkd

T – c

T) x + zkd0 – c0

Ax ≤ b (4.6) x ≥ 0.

• Rješavanjem modela (4.6) simplex metodom može se dobiti vrijednost funkcije L (zk, x) =

0 što znači da je tačka xk+1 optimalno rješenje ili L (zk, x) < 0 gdje se postupak mora

nastaviti sve dok se ne dobije da je L (zk, x) = 0. Vrijednost parametra zk+1 dobiva se na osnovu (4.4).

• Algoritamski Dinkelbach-ova metoda prolazi slijedeće korake: Korak 1. Polazeći od početnog bazičnog rješenja x1 izračunava se vrijednost parametra

10

10

1xdd

xccz

T

T

++

=

Koeficijenti promjenljivih u funkciji cilja L su komponente vektora z1dT-c

T. Potom se formira simplex tabela za pomoćni problem (4.6) čije optimalno rješenje je x2. Lahko se provjerava da je L(z1; x

2) < 0.

Korak 2. Na bazi rješenja x2 izračunava se parametar

,2

0

20

2xdd

xccz

T

T

++

=

te novi koeficijenti u funkciji cilja L koristeći izraz za ciljnu funkciju (4.6). Nanovo se primijeni simplex metoda pa se dođe do trećeg optimalnog rješenja x3. Korak 3. Na bazi rješenja x3 procedura se ponavlja sve dok se L ne može više smanjivati, te je optimalno rješenje postignuto.

4.3.2. Charnes-Cooper-ova metoda.

• Ovom metodom se model (4.3) rješava linearizacijom i to uvođenjem promjenljive

,1

xddt

T

o +=

(4.7)

odnosno nakon sređivanja i uvođenja smjene y = tx problem RLP (4.3) se svodi na dva problema LP. Ako je d0 + d

Tx > 0 onda se model (4.3) svodi na:

Max z = (c0 + cTx)t = c

Ttx + cot = c

Ty + c0t (4.8.1)

Ax – b ≤ 0 ⁄ ⋅ t ⇒ Atx – bt ≤ 0 ⇒

⇒ Ay – bt ≤ 0 (4.8.2) d

Ttx + d0t = 1 ⇒ d

Ty + d0t = 1 (4.8.3)

y, t ≥ 0.

82

(0,10)

(0,0)

Ako je d0 + dTx < 0 onda se model (4.3) svodi na model:

Max z = –cTy – c0t

Ay – bt ≤ 0

–dTy – d0t = 1 (4.9)

y, t ≥ 0.

• U svakom mogućem rješenju problema (4.3) t treba da bude strogo pozitivno. Ako su y* i t* optimalna rješenja problema (4.8) i (4.9) onda je

*

**

t

yx =

rješenje problema (4.3).

4.4. Numerički primjer

• Neka je dat jednostavan problem RLP

5253

36max

21

21

++−+

=xx

xxz

p.o. 2x1 + 3x2 ≤ 30

3x1 + x2 ≤ 24

x2 ≤ 7

x1,2 ≥ 0

Model će se rješavati grafički i Charnes-Cooper-ovom metodom.

4.4.1. Grafička intepretacija rješenja RLP • Na slici je prikazan domen dopustivih rješenja D i tačka (15,-2) koja je nulta tačka

brojioca i imenioca, tj. dobiva se rješavanjem sistema x1 + 6x2 – 3 = 0 i 3x1 + 25x2 + 5 =

0.

• Ako se pravac z = –3/5 počne vrtiti nad skupom D oko tačke (15,-2) u smjeru kretanja kazaljke na satu z postaje sve veće do posljednje presječne tačke (6,6) za koju je vrijednost funkcije cilja maksimalna

.173

39

562563

3366=

+⋅+⋅−+

=z

83

(7,0)

(7,3)

(6,6)

z = -3/5

Prema tome optimalno rješenje se postiže za vrijednosti x1=6 i x2=6.

4.4.2. Charnes-Cooper – ovo rješenje

5253

36max

21

21

++−+

=xx

xxz

2x1 + 3x2 ≤ 30 p.o.

x2 ≤ 24 3x1 +

x2 ≤ 7

x1,2 ≥ 0

• Linearizacija modela:

0t 7y

0t 24y3y

0t303y2y

15t25y3y ;y ;

152535253

1

2

21

21

212211

2121

≤−

≤−+

≤−+

=++⇒==

=++⇒++

=

txtxy

ttxtxxx

t

• Linearni model:

0t ,y

1t 5y253y

0t 7y

0t 24y3y

0t 303y2y

36max

1,2

21

2

21

21

21

≥

=++

≤−

≤−+

≤−+

−+= tyyz

D

(15,-2)

84

• Kanonski oblik:

1,6j 0, t,y

1 y t5y253y

0 y t7y

0 y t24y3y

0 y t303y2y

My)yyy(0t3y6yzmax

j

621

52

4 21

321

654321

=≥

=+++

=+−

=+−+

=+−+

−++⋅+−+=

c 1 6 -3 0 0 0 -M

Baza y0 y1 y2 t y3 y4 y5 y6

0 y3 0 2 3 -30 1 0 0 0

0 y4 0 3 1 -24 0 1 0 0

0 y5 0 0 1 -7 0 0 1 0

-M y6 1 3 25 5 0 0 0 1

z – c 0 -1 -6 3

-M -3M -25M -5M 0 0 0 0

0 y3 0 2 0 -9 1 0 -3 0

0 y4 0 3 0 -17 0 1 -1 0

6 y2 0 0 1 -7 0 0 1 0

-M y6 1 3 0 180 0 0 -25 1

z – c 0 -1 -39 6

-M -3M 0 -180M 0 0 +25M 0

0 y3 1/20 43/20 0 0 1 0 -17/4 1/20

0 y4 17/180 197/60 0 0 0 1 -121/36 17/180

6 y2 7/180 7/60 1 0 0 0 1/36 7/180

-3 t 1/180 1/60 0 1 0 0 -5/36 1/180

z – c 39/180 -7/20 0 0 0 0 7/12 13/60

1 y1 1/43 1 0 0 20/43 0 -85/43 1/43

0 y4 7/387 0 0 0 -197/129 1 1211/387 7/387

6 y2 14/387 0 1 0 -7/129 0 100/387 14/387

-3 t 2/387 0 0 1 -1/129 0 -41/387 2/387

85

z – c 87/387 0 0 0 7/43 0 -14/129 29/129

1 y1 1806/52073 1 0 0 -26015/468657 765/1211 0 602/156219

0 y5 7/1211 0 0 0 -591/1211 387/1211 1 7/1211

6 y2 1806/52073 0 1 0 3741/52073 -100/1211 0 1806/52073

-3 t 301/52073 0 0 1 -3096/52073 41/1211 0 301/52073

z – c 11739/52073 0 0 0 5719/52073 42/1211 0 11739/52073

y

*1 = 1806 / 52073 = 6 / 173

y*

2 = 1806 / 52073 = 6 / 173

t = 301 / 52073 = 1 / 173

z = 11739 / 52073 = 39 / 173

6

173/1

173/6

6173/1

173/6

*2

*2*

2

*1

*1*

1

===

===

t

yx

t

yx

3.8. Optimizacija ekonomičnosti kao problem RLP

• Primjer: Fabrika za proizvodnju artikala široke potrošnje želi odrediti optimalni sedmični asortiman. Postoji mogućnost da se proizvede 5 vrsta artikala pod slijedećim tehničko-tehnološkim uslovima: a) Proizvodi P1, P2, P3 i P4 obrađuju se na mašini M1 čiji je sedmični kapacitet 48 [h] od

kojih se po jedinici proizvoda utroši 1, 2, 4 i 3 [h], respektivno. b) Za proizvodnju jedinice P2, P3 i P5 potrebna je sirovina S i to u količini od 4, 6 i 10 kg.

Raspoloživa količina sirovine S je 76 kg. c) Proizvodi P1, P4 i P5 treba da se obrade na mašini M2 čiji je sedmični kapacitet 40 [h].

Potreban broj sati po jedinici proizvoda je 1, 2 i 5 [h], respektivno. d) Proporcionalni troškovi proizvodnje pojedinih proizvoda iznose 20, 20, 10, 20 i 40 NJ,

respektivno. Fiksni troškovi iznose 1000 NJ. e) Prodajne cijene su 40, 50, 25, 35 i 100 NJ, respektivno. Odrediti optimalni program

proizvodnje pri kojem je ekonomičnost maksimalna.

T

UPE =

1,5j , =jx - sedmična proizvodnja proizvoda Pj.

86

0

40 52

7610 6 4

48 34 2

10004020102020

10035255040

541

532

4321

54321

54321

≥

≤++

≤++

≤+++

+++++++++

=

jx

xxx

xxx

xxxx

xxxxx

xxxxxz

3.9. Maksimizacija rentabilnosti kao problem RLP

ostvarena dobit

Rentabilnost = uložena sredstva

• Primjer: Preduzeće proizvodi dva artikla A i B. Raspoloživi kapital iznosi 3600 NJ. Fiksni kapital je 800 NJ. Uloženi kapital po jedinici artikla A i B je 4 i 2 NJ. Fiksni troškovi su 300 NJ. Jedinična bruto dobit po artiklu A i B je 1,5 i 2 NJ. Od ukupno 1700 sati kapaciteta strojeva za jedinicu artikla A i B potrebno je 1 i 3 sata, respektivno. Sirovine S na zalihi ima 300 kg i pojavljuje se kao otpadak kod proizvodnje artikla A i to 1 kg po jedinici artikla A. Sirovina S se ujedno i koristi za izradu artikla B i troši se 1 kg po artiklu B. Maksimalna prodaja prvog artikla iznosi 600 komada.

0

600

300300

1700 3

2800)8003600( 24

80024

30025,1

2,1

1

2112

21

21

21

21

≥

≤

≤+−⇒+≤

≤+

=−≤+

++−+

=

x

x

xxxx

xx

xx

xx

xxz

x1 = 25

x2 = 11,5

x3 = 0

x4 = 0

x5 = 3

z = 1,01

x1 = 200

x2 = 500

z = 5/13

87

5. DINAMIČKO PROGRAMIRANJE (DP) 5.1. Pojam DP

• Za rješenje problema čija je imanencija veliki broj kombinacija koriste se tzv. metode drveta odlučivanja u koje spadaju:

- DP, - metoda grananja i ograđivanja, - metoda potpunog prebrojavana, - metoda ograničenog prebrojavanja i sl.

• Sve ove metode imaju osnovu u principu prebrojavanja što znači u izračunavanju svih mogućih rješenja i izboru najboljeg u smislu usvojenog kriterija. Proces prebrojavanja ide tako da se isključuju rješenja ili djelimična rješenja čija je neoptimalnost utvrđena.

• Kod DP proces prebrojavanja teče stogo paralelno. U ovakvom procesu postavljaju se grane drveta odlučivanja paralelno jedna drugoj što znači, simultano odnosno kvazisimultano:

• Po strukturi najjednostavnija metoda drveta odlučivanja je metoda potpunog

prebrojavanja. Ona sadrži i sastoji se u izračunavanju svih mogućih rješenja po svakoj grani i izbor najboljeg. Mi ćemo određene primjere rješavati kako metodom DP tako i potpunim prebrojavanjem.

• Najstariji tip DP postavio je Bellman 1957. godine. Kod DP se napreduje postepeno po etapama na kojima se uvijek izračunavaju ukupna rješenja, odnosno stanja. Kod DP se u svakoj etapi upoređuju sva “sadržajno identična” djelimična rješenja (analogna sadržaja). Odbacuju se ona rješenja koja sa sigurnošću ne vode boljem rješenju od nekog drugog “sadržajno identičnog” djelimičnog rješenja. Zadaci koji se mogu predstaviti u vidu višeetapnih procesa su upravo predmet DP. Mnogi zadaci ne samo u oblasti poslovnog odlučivanja već i u mnogim drugim oblastima kao što su fizika, tehnika, biologija, vojne i druge oblasti ekonomije mogu se reprezentovati u obliku višeetapnih procesa na koje se može primijeniti metoda DP. Prema tome, DP se naziva posebni matematički metod optimizacije rješenja specijalno prilagođenih višeetapnim procesima.

• Višeetapni prosec obično podrazumijeva proces koji se razvija u vremenu i koji se dekomponuje na više etapa ili koraka. Međutim, metoda DP u rješavanju određene grupe problema ne mora sadržavati i vremensku dimenziju. Neki procesi se mogu dekomponovati na etape vještački (npr. prosec raspodjele resursa, proces planiranja privredne djelatnosti preduzeća u isječcima vremena i sl.).

• Jedna od osobina metoda DP sastoji se u tome da se dobijanje rješenja u odnosu na višeetapne procese posmatra ne kao jedinačni akt nego kao cjelina uzajamno povezanih rješenja. Taj niz uzajamno povezanih rješenja naziva se STRATEGIJA. Cilj optimalnog planiranja je upravo izabiranje strategije koja obezbjeđuje dobijanja najboljih rezultata iz aspekta izabranog kriterija. Takva strategija se naziva OPTIMALNOM.

88

• Ako se npr. posmatra rad preduzeća iz aspekta rentabiliteta kriterij optimalnosti biće profit ostvaren u preduzeću u toku poslovne godine, a optimalna će biti strategija koja će se sastojati iz onih rješenja koja će dovesti do ostvarenja maksimalnog profita.

• Suština modela DP sastoji se u tome da se umjesto traženja optimalnog rješenja u jednom koraku (odjednom) pretpostavlja nalaženje optimalnog rješenja za nekoliko prostih zadataka analogna sadržaja, na koje se raščlanjuje osnovni zadatak.

• Kao druga važna osobina DP pojavljuje se nezavisnost optimalnog rješenja od predhistorije tj. od toga na koji način se optimizacijom procesa postiže sadašnje stanje. Optimalno rješenje se izabire samo sa uvažavanjem faktora koji karakterišu proces u datom trenutku. Npr. ako se neki vozač između nekog početnog i konačnog punkta našao u nekom međuprostornom punktu i ako je odlučeno da se izabere najkraći put, on dobija rješenje bez utvrđivanja na koji način, kada i kojim putem je on stigao na zadani punkt, a rukovodi se samo razmještajem svoga punkta u opštoj šemi puteva.

• Metod DP se karakteriše time da izbor rješenja u svakoj etapi treba da se proizvede sa uvažavanjem njegovih posljedica u budućnosti. To znači da optimizirajući proces u svakoj etapi ne smije zaboraviti na svoje slijedeće etape. Zbog toga je DP dalekovidno planiranje sa uzimanjem u obzir perspektiva. Iz ovoga slijedi da planiranje višeetapnog procesa treba proizvoditi tako da se prilikom planiranja svake etape proučava ne samo korist koja bi se dobila u zadatoj etapi nego korist koja bi se dobila po završetku cijelog višeetapnog procesa. Taj princip izbora rješenja u DP pojavljuje se kao opredjeljujući i naziva se PRINCIP OPTIMALNOSTI.

• Inače metoda DP bazira se na korištenju principa optimalnosti i funkcionalnih jednačina što znatno proširuje mogućnosti rješavanja realnih problema optimizacije. Glavna odlika metoda DP je velika mogućnost korištenja računara.

• Za praktičnu primjenu metode DP potrebno je da svaki razmatrani proces ima svoj jasno postavljeni matematički model sa precizno definisanim ciljem i funkcijom cilja čije se ekstremna vrijednost traži i ograničenjima koja se obavezno moraju uzeti u obzir. Za ovako postavljeni zadatak prvo treba pronaći funkcionalnu jednačinu primjenom principa optimalnosti. U nekim situacijama je moguće naći i analitičko rješenje, ali najčešće rješenje se nalazi u numeričkom obliku sa ili bez primjene računara. Prema tome pri rješavanju zadataka optimizacije metodom DP neophodno je uzeti u svakoj etapi posljedice u kojima će se u budućnosti dobiti rješenje primjenljivo u datom momentu. Kao izuzetak pojavljuje se posljednja etapa kojom se proces završava. Sada se proces može planirati na taj način što će posljednja etapa po sebi donijeti maksimalan efekat. Isplaniranim optimalnim načinom, posljednjoj etapi se može dozirati predposljednja etapa tako da bi rezultat tih dviju etapa bio optimalan itd. Baš tako od kraja do početka je i moguće proizvesti proces dobijanja rješenja. Da bi dobili optimalno rješenje u posljednjoj etapi moramo znati čime će se završiti pretposljednja etapa. Za moguće završetke pretposljednje etape nalaze se rješenja pri čemu bi efekat u posljednjoj etapi bio najbolji. Takvo optimalno rješenje nađeno pri ograničenju da se prethodna etapa završila određenim definisanim načinom naziva se uslovno optimalnim rješenjem.

• Analogno ovome optimizira se rješenje i u pretposljednjoj etapi tj. urade se sve moguće pretpostavke čime bi se mogla završiti etapa koja prethodi pretposljednjoj i za koju se od mogućih rješenja izabire takvo rješenje u pretposljednjoj etapi da bi efekti za posljednje dvije etape od kojih je posljednja etapa već optimizirana, bili

89

najbolji, itd. Ako smo od kraja ka početku optimiziranog procesa odredili uslovno optimalna rješenja za svaku etapu i izračunali odgovarajuće efekte, onda nam ostaje da prođemo cijeli proces u direktnom pravcu i pročitamo optimalnu strategiju.

• Inače u DP se može vršiti računanje i u direktnom pravcu što zavisi od samog problema. Prema tome etape i vremenski periodi u DP najčešće idu u suprotnom smjeru. Posljednji period - prva etapa i sl.

5.2. Višeetapni proces odlučivanja

• Ako obilježimo sa s0=s početno stanje procesa, a sa si, i=1,...,N stanja procesa u uzastopnim vremenskim trenucima i ako postoji relacija

si+1=ϕ (si), s0=s, i=0, 1, 2,...

koja predstavlja skup vektora

(s0, s1, s2, ...,) (1)

kao reprezentaciju ponašanja procesa u diskretnim trenucima vremena i=0,1,2,..., tada skup vektora (1) definiše jednu specijalnu vrstu procesa koja se naziva višeetapni proces.

• U literaturi se može naći više kriterija za kvalifikaciju višeetapnih procesa odlučivanja.

• U zavisnosti od parametra N višeetapni procesi se dijele na konačne i beskonačne.

• Iz aspekta definisanosti promjenljivih s obzirom na vrijeme razlikuju se vremenski diskretni nasuprot vremenski kontinuiranim procesima. Vremenski diskretna promjenljiva definisana je samo skupom diskretnih tačaka u prostoru. Procesi u kojima su promjenljive vremenski diskretne nazivaju se vremenski diskretni procesi, dok kod vremenski kontinualnih procesa promjenljive su vremenski kontinuirane.

• U zavisnosti od toga da li transformacija ϕ zavisi od vremena razlikuju se stacionarni, odnosno nestacionarni procesi.

Ako transformacija ϕ zavisi od vremena tj.

si+1= ϕ (si), i = 0, 1, 2,...

onda se govori o vremenski nestacionarnom procesu.

• Klasifikacija determinističkih nasuprot stohastičkih višeetapnih procesa ukazuje na to kako je vrijednost funkcije specificirana vrijednošću njenog argumenta. Vrijednost determinističke funkcije je potpuno specificirana vrijednošću njenog argumenta. Npr. funkcija prihoda od investicija je deterministička funkcija ako je egzaktno poznat odnos između utrošenog novca i dobivenog prihoda. U stvarnosti, pak, iznos prihoda od uloženog novca zavisi i od drugih nepredvidivih činilaca kao što su tržišna konjunktura, kretanje mode, vremenske prilike i sl. Takvi nepredvidivi faktori mogu se predstaviti stohastičkim (slučajnim) promjenljivim. U tom slučaju iznos očekivanog prihoda može biti realnije opisan funkcijom iznosa uloženog novca i stohastičke promjenljive. Kod stohastičkih procesa stanje procesa je slučajni vektor sa određenom raspodjelom vjerovatnoća.

90

5.3. Opšta postavka zadatka DP

• Pretpostavimo da se proces upravljanja prirodno ili vještački dekomponuje na N etapa (koraka), što znači da posmatramo N-etapni proces odlučivanja.

• Stanje procesa u i-toj etapi označit ćemo vektorom

si=(si1, ..., sim)

koji se naziva VEKTOR STANJA PROCESA.

• Skup svih stanja u kojima se može nalaziti proces na početku i-te etape označit ćemo sa Si.

• Početno stanje procesa s0 pretpostavlja se da je poznato.

• Razvoj procesa predstavlja se nizom prelaza iz jednog stanja u drugo i jednoznačno se u toku cijelog promatranog perioda može opisati nizom stanja

s0, s1,..., sN-1, sN, gdje je si∈Si.

• Ako se proces nalazi u stanju si, onda je njegovo slijedeće stanje si+1 u slijedećoj etapi određeno ne samo vektorom si nego i rješenjem ui (naš izbor) koje je dobijeno u i- toj etapi. To se može zapisati simbolično:

si+1=ϕ(si,ui), gdje je ϕ - transformacija.

• Naravno ni rješenje ui ne može biti proizvoljno nego je ono elemenat skupa mogućih rješenja Ui, tj. ui∈Ui. Determinacija veličine ui naziva se određivanje dopustivog rješenja.

• Bilo koji niz dopustivih rješenja u0, u1, ... , un-1 koja prevode proces iz početnog stanja s0 u konačno sN nazvat ćemo STRATEGIJOM.

• Za svaku strategiju N-etapnog procesa treba odrediti i uporediti vrijednost funkcije cilja fN(s). Funkciju cilja zadat ćemo u vidu sume ciljnih funkcija ri(si, si+1) čiji se smisao objašnjava na svakoj etapi procesa pri prelazu iz stanja si u stanje si+1 tj.

∑−

=+=

1

01).,()(

N

i

iiiN ssrsf (2)

Takav oblik funkcije cilja odgovara aditivnom zadatku DP.

• Na osnovu prethodnog može se konstatovati da je višeetapni proces potpuno opisan ako su poznati:

- dopustivi skup stanja procesa, - dopustivi skup rješenja, - pravilo prelaza iz jednog stanja u drugo pod utjecajem izabranog rješenja i - ciljna funkcija.

• Uvažavajući prethodne postavke OPŠTI ZADATAK DP možemo formulisati u slijedećem obliku: Potrebno je pronaći iz skupa strategija U optimalnu strategiju

{ }*

1*1

*0

* ,...,, −= Nuuuu

koja obezbjeđuje ekstremnu vrijednost funkcije cilja

∑−

=+=

1

01).,()(

N

i

iiiN ssrsf (3)

uz ograničenja: s0 – vektor početnog stanja procesa,

si+1=ϕ(si, ui), si∈Si, ui∈Ui (i=0, 1, ... ,N-1)

91

• Iz opšte postavke zadatka DP može se se zaključiti da se ono pojavljuje kao zadatak višeetapnog izbora, tako da se pronalaženje optimalne strategije u* dekomponuje na niz etapa – koraka, a u svakom od njih se izabire neko dopustivo rješenje.

5.4. Princip optimalnosti

• Kao što je već istaknuto metoda DP se sastoji u primjeni principa optimalnosti koji je primjenljiv na sve višeetapne procese odlučivanja.

• Deskriptivno se ovaj princip može izraziti u obliku: OPTIMALNA STRATEGIJA IMA TAKVU OSOBINU DA BEZ OBZIRA KAKVO JE POČETNO STANJE PROCESA I PRVOBITNO RJEŠENJE, SLIJEDEĆE RJEŠENJE TREBA DA ODREĐUJE OPTIMALNU STRATEGIJU U ODNOSU NA STANJE DOBIJENO KAO REZULTAT PRVOBITNOG RJEŠENJA.

• Ovaj intuitivni princip može se ilustrirati na jednom N-etapnom procesu dobijanja rješenja, koji ima potrebnu osobinu razdvajanja prošlog od sadašnjeg, sadašnjeg od budućeg itd.

• Neka su s0 i sN početno i posljednje stanje N-etapnog procesa.

• Označimo sa fN(s0) ekstremnu vrijednost funkcije cilja dobijenu za N-etapa pri optimalnoj strategiji u* upravljanja procesom koji se nalazi u početnom stanju s0.

• Pretpostavimo da je u prvoj etapi dobijeno neko rješenje u0, pod čijim je dejstvom

proces prešao iz stanja s0 u stanje s1. Efekat pri toj promjeni se karakteriše vrijednošću r0(s0, u0) ciljne funkcije ri(si, ui). Pretpostavit ćemo nadalje da se poslije prve etape upravljanja procesom primijenila optimalna strategija koja je obezbijedila ekstremnu vrijednost funkcije fN-1(s1) za ostalih N-1 etapa. Na osnovu opisanih pretpostavki opšta ocjena kvaliteta upravljanja za N etapa izražena je relacijom:

r0(s0, u0)+fN-1(s1) (4)

• Ekstremna vrijednost funkcije cilja fN(s0) za N etapa biće jednaka ekstremu sume (4) koja očigledno zavisi od početnog rješenja u0 tj.

fN

(s0) = extr[[[[r0(s0, u0)+fN-1(s1)]]]] (5)

u

0

• Izraz (5) očigledno objašnjava princip optimalnosti – iz dijela izraza r0(s0,u0) “za ma kakvo početno stanje so i optimalno prvo rješenje u0”, a iz fN-1(s1) – “daljnja rješenja moraju činiti optimalnu strategiju s obzirom na stanje s1 koje rezultira iz prvog rješenja”.

• Označimo sa fN-i (si) ekstrem funkcije cilja za posljednjih (N–i) etapa, ako se proces nalazi

u stanju si. Tada se po analogiji jednačine (5) može dobiti:

fN-i (si) = extr[ri(si, ui)+fN-(i+1)(si+1)] (6)

ui

gdje je i = 0,1, 2, ... , N-1.

• Izraz (6) predstavlja matematički analog principa optimalnosti. On se naziva OSNOVNOM FUNKCIONALNOM JEDNAČINOM DP. Njegovim korištenjem mogu se dobiti etapna rješenja i postepeno formiranje optimalne strategije upravljanja cijelim N-etapnim procesom. Iz izraza (6) vidljivo je da se u funkciji fN-i

92

u svojstvu argumenta nalazi vrijednost funkcije u prethodnoj etapi. Odnosi sa takvim osobinama nazivaju se rekurentnim (rekurzivnim).

• Izraz (6) ima više simbolički karakter nego što je pogodan za numerička računanja. U njemu nije prikazan konkretan vid funkcije ri(si, ui) i nije određen karakter argumenata si, ui, si+1, zato što on ukazuje samo na opštu principijelnu shemu računanja pri korištenju metoda DP. Za svaki konkretan zadatak funkcionalna jednačina ima svoj specifičan i konkretan oblik, ali on bezuslovno mora sadržati rekurzivni karakter.

5.5. Opšta shema rješavanja metodom DP

• Primjena DP u cilju dobijanja numeričkog rješenja nije standardna . Naprotiv,

potrebno je dobro poznavanje suštine zadatka, matematičkog aparata i velika analitička sposobnost da bi se jedan takav zadatak riješio. Svaki zadatak je problem za sebe i zahtijeva posebno pravljenje programa za njegovo rješavanje.

• Ipak postoje numerički elementi koji su zajednički za algoritam DP, a to su: - iterativni postupak računanja optimalnog rješenja i funkcije fN-i(si) na osnovu

funkcije fN-(i+1)(si+1), - određivanje ekstremne vrijednosti funkcije cilja u svakoj iteraciji.

• Prema tome zadatak se sastoji u određivanju niza rješenja u i niza funkcija { })( iiN sf −

koristeći rekurentnu relaciju (6). • Prvo se napiše jednačina funkcije za posljednju etapu. Na početku te etape proces se

nalazio u stanju sN-1, zato što je u (6) pretpostavljeno da je i=N-1 i dobiva se

f1(sN-1)= extr[rN-1(sN-1, uN-1)+f0(sN)] (7)

uN-1

• U jednačini (7) f0(sN) se pojavljuje kao ekstremna vrijednost efekta u nultoj etapi koja počinje od konačnog stanja procesa sN. Ukoliko se nakon granice konačnog stanja sN proces ne posmatra i nikakav rezultat ne donosi, onda se može pretpostaviti prirodno da je f0(sN) = 0. Tada jednačina (7) dobiva oblik

f1(sN-1)= extr[rN-1(sN-1, uN-1)] (8)

uN-1

• Označimo sa sN-1,1 ;...; sn-1,p – dopustiva fiksna stanja procesa na početku posljednje

etape koja mogu biti rezultat razvoja procesa u prethodnih N-1 atapa. Za svako od tih stanja može se naći uslovno optimalno rješenje za posljednju etapu uN-1,1; uN-1,2; ... ; uN-1,p (9)

i odgovarajuće vrijednosti efekta

rN-1,1; rN-1,2; ... ; rN-1,p

• Među rješenjima (9) sadržano je i rješenje u

*N-1 (naziva se BEZUSLOVNO

OPTIMALNIM) koje obezbjeđuje extrem izraza (8). Na ovaj način posljednja etapa je optimizirana.

• Sada se prilazi pretposljednjoj etapi. Za i=N-2 jednačina (6) postaje

93

f2(sN-2) = extr[rN-2(sN-2, uN-2)+ f1(sN-1)]

uN-2

Kao u prethodnoj etapi za svako moguće stanje sN-2,k (k=1,p) nalazi se efekat rN-2,k u zavisnosti od dopustivog rješenja uN-2,k. Poslije toga, upoređujući sume rN-2,k+f1 u kojima su uvršteni rezultati f1 optimizacije posljednje etape, utvrđuju se ekstremne sume za svako moguće stanje sN-2,k. Zajedno s tim određuje se i odgovarajuće uslovno optimalno rješenje uN-2,k. Među tim rješenjima nalazi se i rješenje u*

N-2, koje određuje f2(sN-2) i koje ulazi u optimalnu strategiju.

• Na analogan način postupamo dalje i dolazimo do prve etape procesa. Zbog toga što je početno stanje s0 poznato i jednoznačno, optimalno rješenje se određuje samo za stanje s0 sa učešćem svih uslovno optimalnih rješenja nađenih u drugoj etapi. Na taj način biće izračunate vrijednosti funkcija f1, f2,..., fN-1, fN za sva dopustiva stanja procesa i ponuđena odgovarajuća rješenja za svaku etapu i stanje među kojima i rješenja u

*N-1, u

*N-2, ..., u

*1, u

*0 optimalne strategije koja garantuje ekstremnu vrijednost funkcije

cilja fN(s0). Da bi se utvrdila ta optimalna strategija mora se proći jednom cijeli proces, ali u pravom pravcu od s0 do sN. Na osnovu poznatog početnog stanja s0 i izračunate vrijednosti fN određuje se bezuslovno - optimalno etapno rješenje u*

0. Zatim se na osnovu u*

0 i fN-1 nalazi u*1 i poslije analognih rasuđivanja dolazi se do kraja

u*

N-1.

5.6. Primjena DP u rješavanju zadataka poslovnog odlučivanja

• U ovom dijelu izložiće se numerički primjeri rješavanja određene grupe praktičnih zadataka poslovnog odlučivanja. Svako rješavanje zadataka prolazi kroz slijedeći algoritam: 1) utvrđivanje funkcionalne jednačine 2) određivanje uslovno optimalnih rješenja 3) određivanje optimalnog rješenja

• Zadaci su grupisani na slijedeći način: 1) optimalna raspodjela resursa

- prosta raspodjela jednorodnog resursa - složena raspodjela jednorodnog resursa

2) zamjena opreme (mašina) 3) problemi iz oblasti trgovačke djelatnosti 4) upravljanje proizvodnjom

5.6.1. Prosta raspodjela jednorodnog resursa

• Ovo je tipičan primjer primjene DP kod problema koji ne sadrže vremensku komponentu, tako da se na vještački način vrši dekompozicija na niz etapa, odnosno aktivnosti, tako da je resurs (novac, oprema, ljudi i sl.) potrebno raspodijeliti na N aktivnosti. Svaka aktivnost se ostvaruje sa različitim ciljevima. Najčešći cilj sadrži dobit tako da je neophodno maksimizirati funkciju cilja. Mogu se formirati modeli kod kojih se traži i minimum funkcije cilja.

94

1

• Konstrukcija matematičkog modela: Ako sa xi označimo količinu resursa dodijeljenu i-tom procesu, a sa ri(xi) funkciju dobiti,

gdje je Ni ,1= tada će ukupna dobit od raspodjele resursa na N aktivnosti biti

).x(r)x(r...)x(r)x(r)x(FN

1i

iiNN2211 ∑=

=+++=

Problem se sastoji u pronalaženju skupa promjenljivih x1,x2,...xN pri kojima će funkcija F(x) imati maksimum, pri čemu ukupna raspoloživa količina resursa ne može premašiti raspoloživu količinu Q tj. x1 + x2 + ... + xn = Q. Umjesto oblika ograničenja = može biti i oblik ≤ ali zbog izvođenja funkcionalne jednačine jednostavnije je uzeti oblik jednakosti, što neće umanjiti opštost modela. Ovom uslovu dodaje se i uslov da je xi cjelobrojno i nenegativno tj. xi≥0.

• Formiranje funkcionalne jednačine:

Resurs xN Q-xN Q

Dobit rN(xN) fN-1(Q-xN) fN(Q)

Ograničenje: 0≤xN≤Q

Prema tome ukupna dobit od procesa s N aktivnosti može se izraziti kao:

rN(xN) + fN-1(Q-xN).

• Optimalan izbor xN će biti onaj koji maksimizira funkciju ukupne dobiti uz ograničenja vezana za xN

{ }Qx0

N1NNNN

N

)xQ(f)x(rmax)Q(f

≤≤

− −+=

gdje je:

{ }

Qx

xrQf

≤≤

=10

111

)(max)(

i odnosi se na dobit koja se očekuje od prve aktivnosti ako su svi resursi raspoređeni na

nju.

N-ta etapa

N-2 N-1 2 1 0

Ostalih N-1 etapa

Svih N etapa

95

• Primjer: Preduzeće raspolaže sa 4 mil NS koje može investirati u ratama po 1 mil u tri različite aktivnosti. Na osnovu funkcije neto dobiti utvrditi optimalnu investicionu odluku, tj. odluku koja će dati maksimalnu neto dobit.

• Matematički model:

maxF(x) = r1(x1)+ r2(x2)+ r3(x3)

x1 + x2 + x3 = 4

xi≥≥≥≥0 i=1,2,3 je cjelobrojno

• Funkcionalna jednačina

{ }

)()()( 10max NNNN

Qx

N xQfxrQfN

−+= −≤≤

N=1

{ }

)()( 110

1 max1

xrQfQx ≤≤

=

Q=0

{ }

0)0()()0( 1110

1 max1

====

rxrfx x1=0

Q=1 { }

1616)1(

0)0()()1(

1

1

1011

101 maxmax

11

=

=

===

≤≤≤≤ r

rxrf

xx x1=1

Q=2 { }

32

32)2(r

16)1(r

0)0(r

)x(r)2(f

1

1

1

2x0

11

2x0

1 maxmax11

=

=

=

=

==≤≤≤≤ x1=2

Q=3 f1(3)=40 x1=3

Q 0 1 2 3 4

r1(Q) 0 16 32 40 49

r2(Q) 0 8 15 21 27

r3(Q) 0 10 24 39 49

Q x1 f1(Q) x2 f2(Q) x3 f3(Q) 0 0 0 0 0 0 0 1 1 16 0 16 0 16 2 2* 32 0* 32 0 32 3 3 40 0,1 40 1 42 4 4 49 0 49 2* 56

96

Q=4 f1(4)=49 x1=4

N=2

{ }

xQ(f)x(r)Q(f 2122

Qx0

2 max2

−+=≤≤

Q=0 f2(0)=0 x2=0

Q=1 { }

808)0()1(

16160)1()0(1()()1(

12

12

102122

102 maxmax

22

=+=+

=+=+=−+=

≤≤≤≤ fr

frxfxrf

xx

f2(1)=16 x2=0

Q=2

{ } 0 x32

015)0()2(

168)1()1(

320)2()0(

2()()2(2

2

12

12

12

202122

202 maxmax

22

==

+=+

+=+

+=+

=−+=≤≤≤≤

fr

fr

fr

xfxrfxx

Q=3

{ }

1,0 x4040)2()1(

40)3()0(3()()3( 2

12

12

302122

302 maxmax

22

==

=+

=+=−+=

≤≤≤≤ fr

frxfxrf

xx

Q=4

{ } { } 0 x49)4()0(4()()4( 21240

212240

2 maxmax22

==+=−+=≤≤≤≤

frxfxrfxx

N=3

Q=0 f3(0)=0 x3=0

Q=1

{ }

0 x1610010)0()1(

16160)1()0(1()()1( 3

23

23

103233

103 maxmax

33

==

=+=+

=+=+=−+=

≤≤≤≤ fr

frxfxrf

xx

Q=2 f3(2)=r3(0)+f2(2)=32 x3=0

Q=3 f3(3)=r3(1)+f2(2)=42 x3=1

Q=4

97

1

0

2

3

4

16

32

40

49

(3)

(2)

(1)

(0)

0

0

3

4

2

1

(4)

(4)

(3)

(2)

(1)

(0)

0

8

15

24

27

24

0

1

2

(2)

(1)

(0(0)

0

8

15

0

1 2

10

0

24

(2) (1)

(0)

{ }

2x 56)4(f

49049)0(f)4(r

551639)1(f)3(r

563224)2(f)2(r

504010)3(f)1(r

49490)4(f)0(r

x4(f)x(r)4(f 33

23

23

23

23

23

4x03233

4x03 maxmax

33

==

=+=+

=+=+

=+=+

=+=+

=+=+

=−+=≤≤≤≤

• Rješenje problema metodom potpunog prebrojavanja

5.6.2. Složena raspodjela jednorodnog resursa

4

56

1. aktiv. 2. aktiv. 3. aktiv.

98

• Problem složene raspodjele jednorodnog resursa definiše se na sličan način kao i prosta raspodjela, s tim što se u ograničenju pojavljuju koeficijenti koji se odnose na normativ utroška resursa, tako da se matematički model može definisati

)()(1∑=

=N

i

ii xrxF

uz ograničenja:

a1x1+a2x2+...+aNxN=Q, tj.

∑=

=N

i

ii Qxa1

xi≥0 i= N,1 je cjelobrojno,

gdje su:

ri(xi) – funkcija pojedinačne dobiti ako se količina resursa xi raspodijeli na i-tu aktivnost, ai – utrošak resursa po jedinici i-te aktivnosti (strukturni koeficijent u ograničenju), xi – količina resursa dodijeljena i-toj aktivnosti, Q – ukupna količina resursa.

• Polazeći od principa optimalnosti može se formulisati funkcionalna jednačina

Etapa N-ta aktivnost Ostalih (N-1) akt. Svih N akt.

Količina res. Q aNxN Q–aNxN Q koja se utroši Dobit rN(xN) fN–1(Q–aNxN) fN(Q)

Ograničenje: 0≤ aNxN ≤Q, odnosno 0≤ xN ≤Q/aN pošto je aN>0.

Prema tome na sličan način kao i kod proste raspodjele jednorodnog resursa dobiva se funkcionalna jednačina:

{ }

)()()( 1/0

max NNNNN

aQx

N xaQfxrQfNN

−+= −≤≤

pri čemu je :

{ }

.)()( 11/0

1 max11

xrQfaQx ≤≤

=

99

• Primjer:

Kamionom se prevoze 3 vrste proizvoda 1,3i , =iP .

Dobit po jedinici prevezenog proizvoda Pi iznosi 80, 120 i 170 NJ, respektivno. Kamion

može natovariti ukupno 9 tona. Proizvodi 1,3i , =iP su težine 2t, 4t i 5t, respektivno.

Formulisati matematički model problema i metodom DP naći optimalni plan utovara kamiona i iznos maksimalne dobiti.

xi – broj jedinica i-tog proizvoda koji se prevozi kamionom

max F(x) = 50x1 + 120x2 + 170x3

2x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 9

xi≥0 je cjelobrojno

{ }

)()()( 1/0

max NNNNN

aQx

N xaQfxrQfNN

−+= −≤≤

N=1

{ }

50)( 12/0

1 max1

xQfQx ≤≤

=

100

{ }

{ }

2 x100

250

150

050

)4(

4

1 x50150

050)3(

3

1 x50150

050)2(

2

0 x0050)1(

1

0 x0050)0(

0

120

1

110

1

110

1

10

1

10

1

max

max

max

max

max

1

1

1

1

1

==

⋅

⋅

⋅

=

=

==

⋅

⋅=

=

==

⋅

⋅=

=

==⋅=

=

==⋅=

=

≤≤

≤≤

≤≤

=

=

x

x

x

x

x

f

Q

f

Q

f

Q

f

Q

f

Q

N=2

{ }

)x4Q(fx120)Q(f 212

4/Qx0

2 max2

−+=≤≤

{ }

{ }

{ }

{ }

1 x1200120)0(1120

1000)4(0120)4(

0 x50500)3(0120)3(

0 x50500)2(0120)2(

0 x000)1(0120)1(

0 x000)0(0120)0(

21

1

102

210

2

210

2

210

2

210

2

max

max

max

max

max

2

2

2

2

2

==

+=+⋅

+=+⋅=

==+=+⋅=

==+=+⋅=

==+=+⋅=

==+=+⋅=

≤≤

=

=

=

=

f

ff

ff

ff

ff

ff

x

x

x

x

x

N=3

101

(1)

0

2 1

(9)

(9)

(5) 0

240

120 170

0

0

170

0

0

1

0

(9)

(4)

(5)

(0)

1

0

2

3

50

100

200

(7)

(3)

(1)

0

(5) 150

(9)

{ }

1 x260120170)4(1170

2400)9(0170)9(

9

.

.

.

0

)5(170)(

32

2

103

2235/0

3

max

max

3

3

==

+=+⋅

+=+⋅=

=

=

−+=

≤≤

≤≤

f

ff

Q

Q

xQfxQf

x

Qx

Q x1 f1(Q) x2 f2(Q) x3 f3(Q) 0 0* 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 1 50 0 50 0 50 3 1 50 0 50 0 50 4 2 100 1* 120 0 120 5 2 100 1 120 1 170 6 3 150 1 170 0,1 170 7 3 150 1 170 1 220 8 4 200 2 240 0 140 9 4 200 2 240 1* 290

OR x1=0 x2=1 x3=1 F(x)=290

290

P3 P2 P1

102

{ }

50)( 12/0

1 max1

xQfQx ≤≤

=

Q 50x1 x1 0-1 50⋅0=0 0 2-3 50⋅1=50 1 4-5 50⋅2=100 2 6-7 50⋅3=150 3 8-9 50⋅4=200 4

{ }

)59(170)9( 32310

3 max3

xfxfx

−+=≤≤

x3 170x3+f2(9-5x3) x2 x1

0 170⋅0+f2(9)=0+240=240 2 0

1 170⋅1+f2(4)=170+120=290 1 0

{ }

)49(120)9( 21220

2 max2

xfxfx

−+=≤≤

x2 120x2+f1(9-4x2) x1

0 120⋅0+f1(9)=0+200=240 4

2 120⋅1+f1(5)=120+100=220 2

2 120⋅2+f1(1)=240+0=240 0

{ }

)44(120)4( 21210

2 max2

xfxfx

−+=≤≤

x2 120x2+f1(4-4x2) x1

0 120⋅0+f1(4)=0+100=100 2

1 120⋅1+f1(0)=120+0=120 0

5.6.3. Optimalna zamjena opreme

• Zamjena opreme može se vršiti u zavisnosti od: - kapaciteta opreme, - troškova održavanja (eksploatacijskih troškova),

OR x1=0 x2=1 x3=1 F(x)=290

103

- rezidualne (preostale) vrijednosti opreme koja je u funkciji godina starosti i - vrijednosti nove opreme.

• U modeliranju zamjene opreme (mašina) pretpostavlja se da je na početku procesa zamjene oprema stara (t0) godina. Stanje sistema definisano je starošću opreme (t).

• Proces zamjene opreme sastoji se od (k) etapa koje predstavljaju godine u kojima se donosi odluka: u1: zadržavanje opreme ili u2: zamjena opreme.

• Optimalna politika zamjene opreme u toku posmatranog procesa od N perioda, Nt ,1= sastoji se u tome da se u svakoj etapi donese odluka koja će maksimizirati ukupne ekonomske efekte (dobit, profit i sl.) od cijelog N-etapnog procesa.

• Označimo sa: D(t) – dobit ostvarena upotrebom opreme stare t godina, C(t) – godišnji troškovi održavanja opreme stare t godina, V(t) – rezidualna vrijednost opreme, C – nabavna vrijednost opreme (fakturna vrijednost + zavisni troškovi). Starost opreme 0, ... t, t+1, ... , N

Etapa N ... k, k-1, ..., 1

• u1 - zadržavanje opreme: Oprema stara t godina zadržava se te će biti za 1 godinu stara t+1 godinu.

• u2: zamjena opreme

Funkcionalna jednačina:

+−+−

++−=

−

−

)1()()0()0(

)1()()(max)(

1

1

k

k

kfCtVCD

tftCtDtf

pri čemu je:

t t+1

D(0)-C(0)+V(t)-C+fk-1(1)

k k-1 1

D(t)-C(t)+fk-1(t+1)

0 1

k k-1 1

104

−+−

−=

CtVCD

tCtDtf

)()0()0(

)()(max)(1

gdje je: fk(t) – funkcija optimalne dobiti od k-etapnog procesa zamjene opreme stare t godina.

• Primjer: Potrebno je riješiti problem zamjene opreme. Ako je nabavna cijena nove opreme C=20NJ, ako je rezidualna vrijednost stare opreme jednaka nuli i ako je razlika W(t) = D(t) – C(t) između dobiti i troškova za različite godine starosti opreme t data u tabeli

t 0 1 2 3 4 5 6

W(t) 20 15 12 10 7 4 0

odrediti optimalni period zamjene opreme ako proces eksploatacije traje 4 godine i ako je mašina bila u eksploataciji 1 godinu.

++−=

++=

−−

−

)1(20200)1(

)1()(max)(

11

1

kk

k

kff

tftWtf

t f1(t) odl. f2(t) odl. f3(t) odl. f4(t) odl. f5(t) odl. f6(t) odl. 0 20 1 35 1 47 1 57 1 64 1 74 1 1 15 1 27 1** 37 1* 44 1 54 1 64 1*

2 12 1** 22 1* 29 1 39 1 49 1* 59 1 3 10 1* 17 1 27 2 37 1,2* 47 1 54 1,2 4 7 1 15 2 27 2** 37 2 44 1,2 54 2 5 4 1 15 2 27 2 37 2 44 2 54 2 6 0 1 15 2 27 2 37 2 44 2 54 2

k=1

itd. (1) 150

15)1(max)1(

200

20)0(max)0(

0

)(max)(

1

1

1

=

=

=

=

=

=

=

Wf

Wf

tWtf

k=2

105

(1) 2218

221012)3()2(max)2(

(1) 2715

271215)2()1(max)1(

(1) 3515

351520)1()0(max)0(

15)1(

)1()(max)(

12

12

12

1

12

=

=+=+

=

=

=+=+

=

=

=+=+

=

=

++=

fWf

fWf

fWf

f

tftWtf

{ }{ })7()6(max)6(

)6()5(max)5(

(2) 1115

1147)5()4(max)4(

(1) 1715

710)4()3(max)3(

12

12

12

12

fWf

fWf

fWf

fWf

+=

+=

=

=+=+

=

=

+=+

=

k=3

{ }{ }{ } (2) 251510)4()3(max)3(

291712)3()2(max)2(

372215)2()1(max)1(

(1) 4727

2720)1()0(max)0(

27)1(

)1()(max)(

23

23

23

23

2

23

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=

+=+

=

=

++=

fWf

fWf

fWf

fWf

f

tftWtf

k=4

{ }{ }{ }{ } (2) ili (1) 372710)4()3(max)3(

392712)3()2(max)2(

442915)2()1(max)1(

573720)1()0(max)0(

37)1(

)1()(max)(

34

34

34

34

3

34

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=

++=

fWf

fWf

fWf

fWf

f

tftWtf

k=5

{ }{ })3()2(max)2(

644420)1()0(max)0(

44)1(

)1()(max)(

45

45

4

44

fWf

fWf

f

tftWtf

+=

=+=+=

=

++=

106

k=6

=

++=

54)1(

)1()(max)(

5

56

f

tftWtf

5.6.4. Problem trgovinskog preduzeća

• Neko trgovinsko preduzeće bavi se nabavkom i prodajom jedne vrste robe koja se može uskladištiti u skladištu kapaciteta C jedinica. Neka su zadate početne zalihe Q0. Odluke se donose na period od N vremenskih jedinica. Za svaki vremenski period poznate su

nabavna cijena ci i prodajna cijena pi jedinice artikla, Ni ,1= gdje indeks i je indeks etape, a ne vremena.

• Pretpostavimo da su moguće odluke: u1: prodati cjelokupnu raspoloživu količinu artikla u2: kupovati artikal tako da skladište bude popunjeno u3: prodavati, a zatim popunjavati skladište na način kao kod odluka u1 i u2 u4: dopunjavati, a zatim prazniti skladište na način kao kod odluka u1 i u2.

• Sa Q se obilježava količina zaliha artikla na početku k-te etape.

• Pretpostavka: Prva etapa posljednji period

k-ta etapa ostalih (k-1) etapa u1 količina Q 0

zarada pkQ fk-1(0)

u2 količina C-Q C

zarada -ck(C-Q) fk-1(C)

u3 količina Q, C C

zarada pkQ-ckC fk-1(C)

u4 količina C-Q, C 0

zarada -ck(C-

Q)+pkC

fk-1(0)

++−−

+−

+−−

+

=

−

−

−

−

)0()(

)(

)()(

)0(

max)(

1

1

1

1

kkk

kkk

kk

kk

k

fCpQCc

CfCcQp

CfQCc

fQp

Qf

• Primjer: Dato je skladište kapaciteta 25 komada u kome se na zalihama nalazi 10 komada nekog artikla. U toku vremenskog perioda od 4 sedmice postoje slijedeće alternative u pogledu poslovanja sa skladištem: u1: prodati cjelokupnu raspoloživu količinu artikla,

Q

k k-1 1 0

107

u2: kupovati artikle tako da skladište bude popunjeno, u3: prazniti, a zatim popunjavati skladište na način kao kod odluka u1 i u2. u4: dopunjavati, a zatim prazniti skladište na način kao kod odluka u1 i u2. Za svaku sedmicu poznate su kupovna ct i prodajna cijena pt jedinice artikla. t: 1 2 3 4

ct: 2 4 5 5

pt: 3 5 4 5

Po isteku četvrte sedmice ukupna raspoloživa količina se prodaje po cijeni od 6 NJ po komadu. Odrediti takav način upravljanja artikla u skladištu da po isteku 5. sedmice ukupna zarada bude maksimalna.

k: 1 2 3 4 5

ck: - 5 5 4 2

pk: 6 5 4 5 3

f1(Q)=6Q (u1)

+=+⋅+−−=+⋅+−−

+=⋅+⋅−=+−

+=⋅+−−=+−−

=+=+

=

CQCQCfCpQCC

CQCCQCfCCQp

CQCQCfQCC

QQfQp

Qf

505)(5)0()(

5655)(

56)5(5)()(

505)0(

max)(

122

122

12

12

2 u2, u3

CQ

QCCQCfCQC

CQCCQCfCQ

CQCQCCfQC

CQfQ

Qf +=

=+++−=++−−

+=+−=+−

+=++−=+−−

+=+

= 5

545)0(4)(5

4654)(54

5655)()(5

4)0(4

max)(

2

2

2

2

3 u2

2

3

3

3

3

4 uC2Q5

C2Q4CC5Q4C4)0(fC5)QC(4

C2Q5C6C4Q5)C(fC4Q5

C2Q4C6Q4C4)C(f)QC(4

CQ5)0(fQ5

max)Q(f +=

+=+++−=++−−

+=+−=+−

+=++−=+−−

+=+

=

3

4

4

4

4

5

u155255103C5Q3

C3Q2C2C3Q2C2)0(fC3)QC(2

C5Q3C7C2Q3)C(fC2Q3

C5Q2C7Q2C2)C(f)QC(2

C2Q3)0(fQ3

max)Q(f

=⋅+⋅=+=

=

+=+++−=++−−

+=+−=+−

+=++−=+−−

+=+

=

Period Odluka Zalihe Prodaja Kupovina Prihod Troškovi Zarada

108

1 u3 10 10x3 25x2 30 50 -20

2 u3 25 25x5 25x4 125 100 25

3 u2 25 0 0 0 0 0

4 u2, u3 25 25x5 25x5 125 25 0

5 u1 25 25x6 - 150 - 150

155

5.6.5. Problem proizvodnje

• Zadatak: U toku N vremenskih jedinica (perioda) potrebno je utvrditi proizvodnju po periodima

[ ]Ntxt ,1, = tako da ukupni troškovi proizvodnje i skladištenja budu minimalni i da se

pri tome zadovolji tražnja koja se posmatra kao deterministička veličina. Dalje se pretpostavlja da su poznati troškovi proizvodnje po jedinici proizvoda

[ ]Ntct ,1, = kao i troškovi držanja zaliha po jedinici za svaki vremenski period [ ]h .

Nadalje, neka se proizvodnja kreće između minimalne [ ]tk i maksimalne proizvodnje

[ ]tK po periodu [ ]Nt ,1= .

• Postupak rješavanja: Sa Q obilježimo količinu proizvoda koja je proizvedena u prethodnim vremenskim

periodima, a koja se nalazi na početku perioda na zalihi. Npr. za period t

Troškovi držanja zaliha računaju se na stanje zaliha na kraju perioda (za t-ti period) h(Q+xt-dt). (1)

Troškovi proizvodnje u periodu t iznose ctxt. (2)

Ograničenja vezana za proizvodnju mogu se definisati na slijedeći način: (1) zalihe na početku perioda i proizvodnja u periodu t moraju biti veći ili jednaki tražnji

xt + Q ≥ dt ili

xt ≥ dt – Q (3)

(2) minimalna proizvodnja xt ≥ kt (4)

(3) maksimalna proizvodnja xt ≤ Kt (5)

xt dt

t t+1 N

Q

Q+xt-dt

109

(4) uslov nenegativnosti xt ≥ 0 (6)

Ako sa ft(Q) obilježimo funkciju ukupnih troškova od t-tog perioda do posljednjeg perioda N onda se funkcija ukupnih troškova za posmatrane periode može napisati u obliku

{ }

0

0 x

x K ili

x d

..

)()(min)(

t

*t

*t

*t

*t

1

≥

≥≤

≤−=≥

−≥−=−≥

+−+++−= +

t

tt

ttttt

ttttt

tttttttt

x

Kx

KkKkx

QdkdQdx

op

xdQfxcxdQhQf

(7)

Rješavanje ovog problema polazi od posljednjeg perioda (prva etapa) za koji se izračunava

{ }NNNNN xcxdQhQf ++−= )(min)( (8)

pri istim ograničenjima.

Dalje se izračunava funkcija minimalnih troškova za (N-1) i N-ti period primjenom funkcionalne jednačine (7), tj. uvrštava se t=N-1. Postupak se nastavlja sve dok ne bude t=1.

• Primjer: Neka je potražnja za nekim proizvodom u toku 3 vremenska perioda

dt: 6, 4, 5,

a troškovi proizvodnje ct: 7, 3, 6.

Troškovi skladištenja iznose 2 NJ po proizvodu za neki vremenski period. U svakom periodu mogu se proizvoditi minimalno 2 jedinice proizvoda i maksimalno 7 jedinica. Odrediti koliko jedinica proizvoda treba proizvoditi u svakom periodu da bi ukupni troškovi bili minimalni.

d

*t: 4, 2, 3

k*

t: 5

t=3 d3=3 c3=6

{ }33

053

3 6)3(2)( min3

3

3

xxQQf

xx

Qx

++−=

≥≤

−≥

110

18

3256)530(2

2646)430(2

1836)330(2

)0( min53

3

3

3

=

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=

≤≥

xx

f x3=3

12

3656)531(2

2846)431(2

2036)331(2

1226)231(2

)1( min52

3

3

3

=

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=

≤≥

xx

f x3=2

6

3856)532(2

3046)432(2

2236)332(2

1426)232(2

616)132(2

)2( min51

3

3

3

=

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=

≤≥

xx

f x3=1

0

4056)533(2

3246)433(2

2236)333(2

1626)233(2

816)133(2

006)033(2

)3( min50

3

3

3

=

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=

≤≥

xx

f x3=0

2

4256)534(2

3446)434(2

2636)334(2

1826)234(2

1016)134(2

206)034(2

)4( min50

3

3

3

=

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=⋅++−⋅

=

≤≥

xx

f x3=0

t=2 d2=2 c2=3

{ })2(3)2(2)( 2332

52

2 min2

2

xQfxxQQf

xQx

+−+++−=

≤−≥

111

21

21021)3(53)520(2

22616)2(43)420(2

231211)1(33)320(2

24186)0(23)220(2

)0(

3

3

3

3

52

2 min2

2

=

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=

≤≥

f

f

f

f

f

xx

x2=5

18

25223)4(53)521(2

18018)3(43)421(2

19613)2(33)321(2

20128)1(23)221(2

21183)0(13)121(2

)1(

3

3

3

3

3

51

2 min2

2

=

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=

≤≥

f

f

f

f

f

f

xx

x2=3

15

29425)5(53)522(2

22220)4(43)422(2

15015)3(33)322(2

16610)2(23)222(2

17125)1(13)122(2

18180)0(03)022(2

)2(

3

3

3

3

3

3

50

2 min2

2

=

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=

≤≥

f

f

f

f

f

f

f

xx x2=3

12

33627)6(53)523(2

26422)5(43)423(2

19217)4(33)323(2

12012)3(23)223(2

1367)2(13)123(2

14122)1(03)023(2

)3(

3

3

3

3

3

3

50

2 min2

2

=

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=+=+⋅++−⋅

=

≤≥

f

f

f

f

f

f

f

xx x2=3

t=1 d1=4 c1=7

{ })4(7)4(2)( 1211

54

1 min1

1

xQfxxQQf

xQx

+−+++−=

≤−≥

112

49551837)1(57)540(2

492128)0(47)440(2)0(

2

2

54

1 min1

1

=

=+=+⋅++−

=+=+⋅++−=

≤≥ f

ff

xx

x1=4

Q f3(Q) x3 f3(Q) x2 f3(Q) x1

0 18 3 21 5 49 4

1 12 2 18 3

2 6 1 15 3

3 0 0 12 3

4 2 0

5 4 0

Period Proizvod. Tr.proizv. Zalihe Tr.zaliha Uk.trošk.

I 4 4x7=28 - - 28

II 5 5x3=15 3 6 21

III 0 6x0=0 - - 0

Ukupno: 9 43 3 6 49

6. OSNOVE STOHASTIČKOG MODELIRANJA 6.1. Stohastičke veličine

• Stohastičke veličine su masovne pojave sa nepoznatim kompleksom uzroka, pa se još zovu stohastičke pojave ili masovne pojave sa stohastičkim elementima.

• Riječ stohastičan je grčkog porijekla što znači “koji se naslućuje”. Egzaktno tretiranje stohastičkih veličina postiže se teorijom vjerovatnoće. Na temeljima teorije vjerovatnoće i matematičke statistike u mnogim oblastima poslovnog odlučivanja (zalihe, čekanje, trajanje aktivnosti, prognoziranje i sl.) razvijeno je niz modela odlučivanja.

• Osnovni predmeti posmatranja (stohastičke veličine) u stohastičkim modelima su:

- događaj, - promjenljiva i - proces.

• Događaj je pojava koji se pod datim uslovima može desiti ili ne. Uopšteno, događaj se naziva slučajnim ako se pri realizaciji kompleksa uzroka koji su vezani za mogućnost javljanja datog događaja taj događaj može desiti li ne desiti. Ako se kaže da je neki događaj slučajan onda se podrazumijeva da kompleks uzroka nije obuhvatio sve uzroke, koji su potrebni da bi nastupio događaj. Veličina koja definiše stepen mogućnosti da se neki događaj desi pod datim uslovima naziva se vjerovatnoća.

113

• Kod izračunavanja vjerovatnoće nekog događaja uvijek se traži odgovor na pitanje da li će događaj nastupiti ili ne. Npr. kod bacanja kocke razlikuju se događaji A=[1] ili B=[2] ili C=[3] itd. U mnogim slučajevima rezultat jednog opita može se označiti jednim brojem. U suštini svaki slučajni događaj, jedan opit, se označava jednim brojem npr. kod bacanja kocke brojem koji “padne”. Ako se taj broj označi sa x onda u slučaju bacanja kocke taj broj može primiti vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Takva promjenljiva koja karakteriše rezultat jednog opita označava se kao slučajna (stohastička ili aleatorna) promjenljiva.

• U toku opita (vremena) se i same stohastičke promjenljive mijenjaju, te se stoga razlikuju od obične stohastičke promjenljive, i nazivaju se stohastičkim procesima (aleatorna funkcija ili slučajni proces).

• Kako je za slučajni događaj vezana vjerovatnoća, tako je slučajna promjenljiva određena zakonom vjerovatnoće i statističkim pokazateljima (očekivana vrijednost, varijansa i sl.).

• S obzirom da stohastički proces predstavlja skup slučajnih promjenljivih i njega karakterišu višedimenzionalni zakon vjerovatnoće i statistički pokazatelji.

6.2. Vjerovatnoća događaja

• Mnoge poslovne odluke donose se u uslovima slučajnih događaja kao što su tražnja, vremenski uslovi, unutrašnji i vanjskopolitički ambijent i sl. Stoga se za slučajne događaje utvrđuje vjerovatnoća kao mjera zakonitosti njegovog nastupanja.

a) Matematički se vjerovatnoća nastupanja događaja A predstavlja kao granična vrijednost odnosa broja povoljnih događaja m i broja n svih mogućih događaja tj.

1.P(A)0 i lim)( ≤≤=∞→ n

mAP

n

b) Ako je P(A)=1 događaj A će sigurno nastupiti i ako je P(A)=0 onda je događaj nemoguć. c) Vjerovatnoća da se jedan događaj neće desiti naziva se njegova suprotna vjerovatnoća

)(AP . Lahko se dobije da je

1)A(P)A(P =+ (1)

d) Vjerovatnoća dešavanja ili događaja A ili događaja B i da se pri tome događaji A i B ne

mogu desiti istovremeno je zbir vjerovatnoća tih događaja

)()()( BPAPBAP +=+ (2)

e) Vjerovatnoća dešavanja ili događaja A ili događaja B ili ....., ili događaja L i da se pri tome događaji A, B, ..., L ne mogu desiti istovremeno jednaka je zbiru parcijalnih vjerovatnoća događaja tj.

)(...)()()...( LPBPAPLBAP +++=+++ (3)

f) Ako se događaji A i B ne isključuju (može se pojaviti događaj A, događaj B ili oba zajedno) onda je

)()()()( ABPBPAPBAP −+=+ (4)

g) Uslovna vjerovatnoća događaja B pod uslovom da se već ostvario događaj A označava se sa P(B/A) i izračunava se za P(A)>0

114

=

>=

0)( za0

0)( za)(

)()/(

AP

APAP

ABP

ABP (5)

Ako su A i B nezavisni onda je P(B/A)=P(B). h) Multiplikacijski teorem vjerovatnoće se može izvesti i iz formule uslovne vjerovatnoće

P(AB)=P(A)⋅P(B/A) (6)

ili uopšteno za konačni broj događaja A1, A2, ... An važi vjerovatnoća složenog događaja

P(A1, A2, ... An) = P(A1)⋅P(A2/A1) ⋅ P(A3/A1,A2) ⋅ ... ⋅P(An/A1,A2...An-1)

(7) Ako su događaji A i B nezavisni onda je P(AB)=P(A) ⋅P(B)

i) Formula totalne vjerovatnoće: Ako slučajan događaj B nastupa pod uslovom nastupanja

događaja jednog za drugim A1, A2, ... An koji se međusobno isključuju, a čija je suma vjerovatnoća

P(A1)+P(A2)+...+P(An)=1 (8)

(događaji Ai formiraju POTPUNI SISTEM DOGAĐAJA) onda se vjerovatnoća događaja B izračunava pomoću formule

∑=

⋅=n

i

ii ABPAPBP1

)/()()( (9)

(formula TOTALNE vjerovatnoće).

j) Bayes-ova formula: Ako događaji niAi ,1 , = čine potpuni sistem, tada za događaj B koji

nije nemoguć vrijedi relacija

n1,k )/()(

)/()()/(

1

=⋅

⋅=

∑=

n

i

ii

kkk

ABPAP

ABPAPBAP

(Bayes-ova formula) 6.3. Slučajna promjenljiva i distribucije vjerovatnoća

• Ako promjenljiva x uzima neku od vrijednosti x1, x2, ..., xn sa odgovarajućim vrijednostima vjerovatnoća P(x1), P(x2), ..., P(xn) pri čemu je P(x1) + P(x2) + ... + P(xn) =

1 tada se za x kaže da predstavlja diskretnu slučajnu (aleatornu ili stohastičku) promjenljivu.

• Sa nixi ,1 , = obilježena je realizacija ili tekuća vrijednost promjenljive, a P(x=xi)=P(xi)

je zakon vjerovatnoće ili zakon raspodjele (rasporeda, razdiobe) vjerovatnoća ili distribucija vjerovatnoća.

115

• Distribucija vjerovatnoća pokazuje raspored vjerovatnoća na moguće rezultate nekog opita.

• Razlikuju se diskretne i kontinuirane distribucije. Kod diskretne distribucije promjenljiva x može poprimiti samo određene vrijednosti (npr. osobe koje pristužu u red, škart komadi i sl.)

• Kontinuiranu distribuciju karakterišu promjenljive koje mogu poprimiti sve vrijednosti (eventualno u okviru nekih granica, npr. vrijeme dolazaka, temperature i sl.).

• Diskretna slučajna promjenljiva x za zakon vjerovatnoće P(x) udovoljava

,1P(x) x svako za 0)x(Psvakox

∑ =≥

dok kontinuirana slučajna promjenljiva sa zakonom vjerovatnoće f(x) udovoljava

∫∞+

∞−

=

+∞<<∞≥

1)(

x- 0)(

dxxf

xf

• Vjerovatnoća kada se slučajna promjenljiva nalazi u intervalu

)ax(P)axP(F(a)

x od funkcija je ax

≤=<<−∞=

<<∞−

naziva se funkcija rasporeda slučajne promjenljive (funkcija distribucije).

• Kod diskretne distribucije ∑≤

==ax

i

i

xxPaF )()(,

a kod kontinuirane .)()()( ∫

∞−

=≤=a

dxxfaxPaF

• Osobine funkcije rasporeda:

a) 1)(0 ≤≤ aF

b) βααββα <−=≤≤ )()()( FFxP

c) 0)(lim =−∞→

aFa

d) 1)(lim =+∞→

aFa

6.4. Karakteristike slučajne promjenljive

• Neka je x slučajna promjenljiva i neka je h(x) funkcija od x. Definisat ćemo E{h(x)} kao očekivanu vrijednost h(x), sa uvažavanjem zakona vjerovatnoće f(x). Tada je

116

{ }

=∑

∫+∞

∞−

svex

xPxh

dxxfxhxhE

diskretno x za )()(

nokontinuira x za )()()(

• Za konstantu b operator očekivanja je

{ }{ } { }{ } { })()(

)()(

xhEbxhbE

xhbExbhE

bbE

±=±

=

=

• Sredina distribucije definiše se kao očekivana vrijednost u slučaju h(x)=x. Tada je

{ }

=∑∫+∞

∞−

svex

xxP

dxxxfxE

diskretno x za )(

nokontinuira x za )(

• Varijansa distribucije definiše se kao očekivana vrijednost kada je h(x) = (x-E{x})

2

Tada je

Var{x}) = E{(x-E{x})2} = E{x

2-2xE{x} + (E{x})

2 }=

= E{x2} – 2E{x}E(x) + (E{x})

2 = E{x

2} – (E{x})2

6.5. Najznačajniji rasporedi u stohastičkim modelima

• Bez obzira na to da li je slučajna promjenljiva diskretna ili kontinuirana mogu se utvrditi zakoni koji definišu raspored vjerovatnoća na moguće rezultate nekog opita. U teoriji vjerovatnoće onaj zakon kako je već istaknuto označava se kao zakon vjerovatnoće ili distribucija vjerovatnoća.

• Razlikuju se empirijske i teorijske distribucije. Nas će ovdje interesovati teorijske distribucije značajne za stohastičko modeliranje i to:

A/ Diskretne distribucije vjerovatnoća 1. Binomna distribucija i 2. Poissonova distribucija.

B/ Kontinuirane distribucije vjerovatnoća 1. Normalna distribucija, 2. Eksponencijalna distribucija, 3. Gama distribucija i 4. Beta distribucija.

6.6. Diskretne distribucije vjerovatnoća

117

Binomna distribucija

• Pretpostavimo da prosti događaj A nastupa sa istom vjerovatnoćim p kod svakog opita. Neka je njegova suprotna vjerovatnoća obilježena sa q = 1 – p.

• Binomna distribucija definiše vjerovatnoću da će kod n ponavljanja nezavisnih opita, događaj A nastupiti k puta. Binomna distribucija glasi

knkqpk

nkxP −

== )(

Binomni raspored je određen parametrima n i p. Takođe zadovoljava uslove

1)qp(qpk

nk)P(x

n0,1,2,...,k svako za 0)kx(P

nn

0k

knkn

0k

=+=

==

=≥=

∑∑=

−

=

Očekivana vrijednost binomne distribucije je E{x}=n⋅p, a varijansa Var{x}=n⋅p⋅(1-p)

Poissonova distribucija

• Neka slučajna promjenljiva x može poprimiti nenegativne cjelobrojne vrijednosti k=0,1,2,...,. Svaki događaj nastupa slučajno i nezavisno od drugog. Slučajna promjenljiva x označava frekvenciju nastupa promatranog događaja po jedinici vremena. Izraz

2,... 1, 0,k ,!

)( ===−

k

ekxP

k λλ

gdje je λ>0 označava Poissonovu distribuciju i označava vjerovatnoću nastupa događaja k puta.

• Poissonova distribucija može se direktno izvesti iz binomne distribucije.

Kada 0np da tako ali n i 0p >=∞→→ λ onda je binomna distribucija

.

n1

nk

n)kx(P

knk −

λ−

λ

==

Graničena vrijednost prethodnog izraza kada n ∞→ je Poissonova distribucija.

• Očekivana vrijednost i varijansa Poissonovog rasporeda jednake su parametru λ, odnosno E{x}=λ i Var{x}= λ.

118

U situaciji kada je n veliko, p male vrijednosti i λ=np>0 pogodna konstantna vrijednost, tada Poissonova distribucija aproksimira binomnu distribuciju. 6.7. Kontinuirane distribucije vjerovatnoća

A. Normalna distribucija

• Neprekidna funkcija

+∞<<∞= −− x- ,2

1)(

22 2/)(

2

σµ

πσxexf

gdje su µ i σ poznati parametri, predstavlja NORMALNU DISTRIBUCIJU (Slika 1.).

• Funkcija rasporeda normalne distribucije definisana je sa

.

2

1)(

22 2/)(

2dyexF y

x

σµ

πσ−−

∞−∫=

• Očekivana vrijednost normalne distribucije E{x}= µ, a Var{x}= σ2

• Standardizovana normalna distribucija dobija se

uvođenjem slučajne promjenljive σµ−

=x

z u obliku

+∞<<∞= − zez z - ,

2

1)( 2/2

πφ

f(x)

0 µ x

F(x)

0 µ x

0,5

1

Slika 1.

119

sa E{z}= 0 i Var{z}= 1 (slika 2).

B. Eksponencijalna distribucija

• Eksponencijalna distribucija za slučajnu promjenljivu x definisana je

izrazom 0 x,)( >= − xexf µµ , gdje je µ dati parametar.

• Poissonova distribucija definiše vjerovatnoću s kojom se neki događaj dešava u određenoj vremenskoj jedinici. Kod eksponencijalne distribucije je drugačije i pretpostavlja se da je vremenski razmak kontinuirana slučajna promjenljiva. Eksponencijalna distribucija nastupa uvijek u vezi sa Poissonovom distribucijom. Ako su vremenski intervali događaja distribuirani eksponencijalno, tada je frekvencija događaja po vremenskoj jedinici distribuirana prema Poissonu i obratno.

• Osnovni parametri eksponencijalne distribucije su

{ }µ1

=xE i { }2

1

µ=xVar

C. Gama distribucija

f(z)

0 z

F(z)

0 z

1/2

1

Slika 2.

x

f(x)

µµµµ

120

• Da bi se dobio zakon vjerovatnoće Gama distribucije n - tog reda, polazi se od složenog događaja:

- da se u intervalu dužine t javi (n-1) dolazak i - da se u intervalu t, t+dt javi jedan dolazak.

• Zakon vjerovatnoće definisan izrazom

0 x)!1(

)()(

1

>−

=−−

n

exxf

xn µµµ

označava se kao Gama ili Erlangova distribucija. D. Beta raspored

• Za slučajnu promjenljivu x koja ima zakon vjerovatnoće

0n 0,m ,1x0

x)-(1x)n,m(

1)x(f 1-n1-m

>>≤≤

β=

gdje je:

∫ −− −=−1

0

11 )1()( dxxxnm nmβ

kaže se da ima Beta raspored. 6.8. Stohastički procesi u odlučivanju

6.8.1. Pojam stohastičkog procesa

• Stohastički proces predstavlja matematičku apstrakciju empirijskog procesa koji se razvija u vremenu po nekim zakonima vjerovatnoće. Simbolički ga definišemo kao skup slučajnih promjenljivih {x(t), t∈T}, gdje se parametar t odnosi na vrijeme.

• Proučavanje stohastičkih procesa ima funkciju prilikom prognoziranja vrijednosti ekonomskih procesa. Stohastički proces se ne može opservirati, nego mogu samo njegove realizacije.

• Primjer: Stanje dnevnih zaliha proizvoda A u istovjetnim prodavnicama jednog preduzeća varira oko jednog nivoa za koji se može reći da predstavlja teorijski nivo zaliha. Neka se svakodnevno u toku godine prati nivo zaliha u prodavnicama što ćemo predstaviti grafički.

Nivo zaliha

0 t

pu

p1

p2

p3

Nivo zaliha

0 t

Srednji nivo zaliha

121

• Stanje nekog procesa u bilo kom vremenu t opisano je vrijednostima određenog broja opserviranih veličina odnosno stohastičkih promjenljivih. Ako fiksiramo vrijeme t, tada se proces x(t) svodi na stohastičku promjenljivu x. Za taj slučaj kažemo da predstavlja presjek stohastičkog procesa u trenutku t0.

• Ako pođemo od toga da jedina ispravna definicija ekonomske vremenske serije proizilazi jedino iz teorije stohastičkih procesa, tada se smatra da je ta vremenska serija konačni dio realizacije nekog stohastičkog procesa, odnosno određena ekonomska vremenska serija x(t) je jedan jedini uzorak od beskonačnog broja mogućih uzoraka tog procesa x(t0), x(t1),

..., x(tp).

• U skladu sa prethodnom definicijom osnovni zadatak istraživanja dinamičkih ekonomskih procesa sastoji se u otkrivanju stohastičkog procesa čija je realizacija ta vremenska serija. Takav stohastički proces označava se kao model ekonomske vremenske serije.

6.8.2. Zakon vjerovatnoće stohastičkog procesa

• Da bismo definisali zakon vjerovatnoće stohastičkog procesa posmatrat ćemo za svako ti realizaciju x(ti). Na bazi trenutaka t1, t2,..., tn kojima korenspodira niz slučajnih promjenljivih x(t1), x(t2), ..., x(tn) može se definisasti zakon vjerovatnoće procesa. U svakom trenutku ti može se pridružiti odgovarajuća promjenljiva x(ti) koja ima svoj zakon vjerovatnoće koji ćemo označiti sa f(x,ti).

• Obuhvatanjem svih n stohastičkih promjenljivih n-dimenzionalni zakon vjerovatnoće stohastičkog procesa može se opisati izrazom:

f(x1, x2, ..., xn ; t1, t2, ..., tn).

6.8.3. Karakteristike stohastičkog procesa

• Osnovne karakteristike stohastičkog procesa su: - srednja vrijednost, - varijansa, - funkcija autokovarijanse i - funkcija kovarijanse.

t0 t

122

Srednja vrijednost

• Za stohastički proces {x(t), t∈T} srednja vrijednost )(tx definiše se kao očekivana

vrijednost tj. { })()( txEtx =

Varijansa

• Varijansa stohastičkog procesa se definiše kao srednjekvadratno odstupanje realizacija stohastičkog procesa od njegove srednje vrijednosti tj.

[ ]{ }22 )t(x)t(x E)t( −=σ

Funkcija autokovarijanse i kovarijanse

• Funkcija autokovarijanse stohastičkog procesa {x(t), t∈T} pokazuje stepen zavisnosti između dva presjeka t=t1 i t=t2. Ona se definiše kao:

[ ][ ]{ }. )t(x)t(x )t(x)t(x E)t,t(K 221121xx −−=

• Na bazi prethodne definicije lahko se dokazuje da vrijedi jednakost:

).t,t(K.)t,t(K 12xx21xx =

• Ako je t1=t2 onda se funkcija autokovarijanse zove varijansa, koja je prethodno definisana.

• Funkcija kovarijanse dva stohastička procesa {{{{x(t)}}}} i {{{{y(t)}}}} pokazuje stepen međusobne zavisnosti u istom vremenskom trenutku tj.

)(tx

t=t2 t=t1

123

[ ][ ]{ }.)()( )()(),( tytytxtxEttK xy −−=

• Pomoću funkcija varijansi i kovarijansi može se izračunati srednjekvadratna greška u slučaju vremenskog pomaka (time lag).

[ ]{ }).,(2)()(

),(2),(),()()(),(

2122

12

2122112

21212

ttKtt

ttKttKttKtytxEtt

xyyx

xyyyxxxy

−+=

=−+=−=∑σσ

• Iz razloga što funkcije autokovarijanse i kovarijanse mogu primiti bilo koju konačnu

vrijednost i na osnovu toga se ne može donijeti adekvatan zaključak o stvarnoj zavisnosti, neophodno je da se definišu funkcije autokorelacije i korelacije čije se sve vrijednosti kreću u intervalu [-1, +1].

• Autokorelaciona funkcija, odnosno korelaciona funkcija definišu se na slijedeći način:

)()(

),(),(

21

2121

tt

ttKttr

xx

xx

xx σσ=

)()(

),(),(

tt

ttKttr

yx

xy

xy σσ=

6.8.4. Klasifikacija stohastičkih procesa

• Stohastički procesi mogu se klasificirati na osnovu više kriterija. a) Prema prirodi indeksnog skupa na:

- prosece sa diskretnim parametrom, - prosece sa kontinuiranim parametrom.

Kod procesa sa diskretnim parametrom elementi indeksnog skupa T poprimaju diskretne vrijednosti 0,1,2... t,...2,1,0 =±±= ilit Kod procesa sa kontinuiranim parametrom

indeksni skup T se definiše { } { }.0tt,T / ≥+∞<<∞−= ilittT b) Stohastički procesi sa diskretnim ili kontinuiranim prostorom stanja definišu se s obzirom

na karakteristike prostora stanja. Prostor stanja stohastičkog procesa {x(t), t∈T} je skup svih mogućih realizacija procesa. Prostor stanja može biti jednodimenzionalan ili višedimenzionalan i pri tome diskretan ili kontinuiran.

c) U zavisnosti od distribucije stohastičkog procesa mogu se definisati: - Gausovi ili normalno distribuirani stohastički procesi, - ne-Gausovi procesi .

Gausovi stohastički procesi imaju karakteritike zakona vjerovatnoće koji slijedi normalnu distribuciju, dok ne-Gausovi procesi slijede neku drugu distribuciju.

d) Prema zavisnosti ponašanja realizacija procesa od prethodnih vremenskih trenutaka razlikuju se:

- Markovljev stohastički proces i - ne-Markovljevi procesi.

Markovljev proces je takav proces kod koga vrijednost realizacije procesa u bilo kom trenutku zavisi samo od realizacije procesa u neposredno prethodnom trenutku, a ne i od ostalih vrijednosti u trenucima koji prethode.

autokorelaciona funkcija

korelaciona funkcija

124

e) U zavisnosti od invarijantnosti karakteristika procesa s obzirom na parametar vrijeme, stohastički procesi mogu biti:

- stacionarni i - nestacionarni.

Stohastički proces je stacionaran samo u slučaju kada njegov zakon vjerovatnoće ostaje nepromijenjen pri promjeni vremenskog trenutka tk u vremenski trenutku tk+τ. Drugim riječima, to znači da se raspored vjerovatnoća procesa ne mijenja u vremenu, te se stohastički proces sa ovim osobinama može posmatrati u bilo kojem vremeskom intervalu. Razlikujemo strogu ili striktnu stacionarnost i slabu ili stacionarnost u širem smislu. Ako je t,τ∈T i t+τ∈T, onda stohastički proces definisan na tom skupu je strogo stacionaran ako su funkcije rasporeda stohastičkih promjenljivih

[ ] [ ])(),...,(),( i )(),...,(),( 2121 τττ +++= nn txtxtxtXtXtX

identične. Za stohastički proces se može reći da je slabo stacioniran, ako i samo ako je:

1) Srednja vrijednost procesa konstantna, konačna i nezavisna od vremena t, tj.

{ } xtxEtx == )()( . 2) Varijansa procesa je konstantna i nezavisna od vremena t, tj.

[ ]{ } 222 )()( xx xtxEt σσ =−= .

3) Korelacione funkcije, kao i greška ∑2

xysu funkcije samo jedne promjenljive i to

dužine vremenskog intrevala τ. Npr. kovarijansa Kxx(t1,t2) za t2=t1+τ postaje Kxx(t,t+τ)=Kxx(τ).

Nestacionarni stohastički procesi, za razliku od stacionarnih, karakteriše evolucija osnovnih karakteristika procesa.

U praktičnim istraživanjima najčešće se ne raspolaže sa realizacijama stacionarnih stohastičkih procesa, pa ih stoga treba odgovarajućim postupkom stacionirati. To se najjednostavnije postiže postupkom logaritmovanja ili diferenciranjem. Dostignuća teorije stacionarnih procesa su daleko veća od teorije nestacionarnih procesa, tako da se postupkom stacionarizacije mogu postići bolji rezultati i jednostavnije se može doći do rješenja.

6.8.5. Najznačajniji modeli stohastičkih procesa

t

)(tx

125

• U ekonomskoj analizi, analizi vremenskih serija, tehnikama prognoziranja i sl. teorija stohastičkih procesa i modeli stohastičkih procesa imaju vrlo značajno mjesto. Među najznačajnije spadaju:

- Bijeli šum, - ARIMA model i - Modeli u prostoru stanja (Markovljev proces i Kalmanov filtar).

Diskretni bijeli šum

• Posmatrajmo diskretni stohastički stacionarni proces {{{{x(t),t∈∈∈∈T}}}} tako da su realizacije x(t1) i x(t2) nezavisne ako je t1≠≠≠≠t2. Tada ga možemo predstaviti kao niz nezavisnih i identično raspodijeljenih slučajnih veličina. U tom slučaju funkcija

kovarijanse je

≠

==

21

212

21 t0

t),(

t

tttKxx

σ

• Proces sa takvom autokovarijansom naziva se diskretni bijeli šum, odnosno diskretni bijeli šum je stacionarni stohastički proces sa očekivanim vrijednošću jednakom nula i kovarijansom definisanom na prethodni način.

• Ovaj model stohastičkog procesa posebno ima značaj u modernoj analizi vremenskih serija i ekonometrijskoj analizi.

Arima proces

• Ovu metodologiju su razvili Box i Jenkins. ARIMA je skraćenica od engleskog naziva AutoRegressiv Intergrated Moving Average koji se može prevesti kao model autoregresionih integrisanih pokretnih prosjeka. - ARMA (p, q) model Stacionarne vremenske serije mogu se predstaviti kombinacijom sheme pokretnih prosjeka reda q ili MA(q) i autoregresije AR(p). Ako je vremenska serija definisana nizom {{{{xt,t∈∈∈∈T}}}} onda ARIMA model za ovu seriju može se napisati kao: xt = αααα1xt-1 + αααα2xt-2 +...+ ααααpxt-p + εεεεt - ββββ1εεεεt-1 - ββββ2εεεεt-2 - ... -ββββqεεεεt-q

AR(p) MA(q)

gdje su: εt - bijeli šum sa osobinama da je E{εt}= 0 Var{εt}=σ2

p - broj obuhvaćenih realizacija procesa q - broj obuhvaćenih bijelih šumova.

- Model ARIMA (p, d, q) Ovaj model se koristi za nestacionarne vremenske serije. Npr. ako vremenska serija {xt,t∈T}nije stacionarna, nego su stacionarne prve razlike zt = xt-xt-1 i ako se model serije zt može predstaviti sa ARMA (p, q), onda se takav proces označava sa ARIMA (p, 1,

q), gdje broj 1 označava broj diferencija koje smo izvršili sa originalnom vremenskom

126

serijom, u ovom slučaju jednu. Prema tome “d” predstavlja broj diferencija izvršenih na originalnoj vremenskoj seriji u cilju njene stacionarizacije. Postoje postupci za identifikaciju reda p, d i q ARIMA procesa, kao metode za ocjenu

nepoznatih koeficijenata pii ,1 , =α i qj ,1j , =β . Na bazi tako specificiranog modela

može se izvršiti prognoziranje budućih vrijednosti vremenskih serija. Istraživanja su pokazala da se dobivaju “bolje” ocjene vrijednosti serije ARIMA modelima nego klasičnim statističkim tehnikama.

Kalmanov filtar

• Neka su x(t) i z(t) dva stohastička procesa. Pod pojmom filtriranje, u generičkom smislu, podrazumjeva se dobijanje informacija o stanju procesa x(t) na osnovu realizacija procesa z(1), z(2), ..., z(t) zaključno sa periodom t. Kalmanov filtar se sumarno može predstaviti u obliku slijedeće sheme:

I Minimalna matematička reprezentacija stohastičkog procesa

1. Model dinamike x(t+1) = A x(t) + B u(t) + w(t)

2. Opservacioni model z(t+1) = Cx(t+1) + v(t+1)

3. Apriorna statistika E { w(t) } = E {v(t) } = 0 E {w(t) w

T (k) } = Q δt k

E { v(t) vT(k) } = R δt k E {w(t) v

T (k) } = 0

II Sadržina algoritma Kalmanovog filtra 1. Prediktivna struktura

x∧

(t+1/t) = A x∧

(t) + B u(t) V (t+1/t) = A V (t) A

T + Q

2. Korektivna struktura

x∧

(t+1) = x∧

(t+1/t) + K (t+1) [z(t+1) - C x∧

(t+1/t) ]

K(t+1) = V(t+1/t) CT [CV(t+1) C

T + R] -1

V(t+1) = [ I - K(t+1) C ] V (t+1/t)

gdje su:

127

- x∧

(t+1/t) - apriona ocjena procesa x(t) u vremenu (t+1) na osnovu opservacija z(1),

z(2), . . . ., z(t),

- x∧

(t) - aposteriorna ocjena procesa x(t) u vremenu t na osnovu opservacija z(1), z(2),

...., z(t), - V (t+1/t) - matrica apriori kovarijansi greške ocjene, - V (t+1) - matrica aposteriori kovarijansi greške ocjene.

III Prognoziranje budućih opservacija

1. Prediktivna struktura vektora stanja s perioda unaprijed sa nivoa t

x∧

(t+s/t) = A x∧

(t+s-1/t) + B u(t+s-1)

s=1,2,...

V (t+s/t) = AV (t+s-1/t) AT + Q 2.

Prediktivna struktura vektora opservacija s perioda unaprijed sa nivoa t

z∧

(t+s/t) = C x∧

(t+s/t)

Var [ z∧

(t+s/t) ] = CV (t+s/t) CT + R.

Numerički algoritam Kalmanovog filtera zahtjeva poznavanje odgovarajućih karakteristika koje se uslovno mogu klasifikovati u tri grupe: 1) informacione karakteristike,

2) karakteristike filter procesora i 3) predhistorija procesa.

Informacione karakteristike filtra sastoje se iz identifikacija modela dinamike procesa, opservacionog modela, apriorne statistike i inicijalne strukture filtra. Karakteristike filtar procesora mogu da stvore ponekad probleme u numeričkom procesiranju filtra. To se odnosi najviše na mogućnost pojave nestabilnosti i divergencije filtra, kao i negativno definitnih matrica. Generisani numerički algoritam filtra vezan je za poznavanje opservacionog procesa {z(t); t=1,2,...,T)} za cjelokupno vrijeme procesiranja filtra. Ovaj uslov numeričkog algoritma označava se kao predhistorija procesa.

7. SIMULACIJA 7.1. Uvod

• Simulirati ponašanje sistema znači formulisati simulacijski model kojim se približno imitira ponašanje sistema utvrđivanjem zavisnosti koje se stvarno nalaze u sistemu, odnosno utvrđivanjem interakcija između elemenata (komponenti) sistema. Ove interakcije se mogu matematički ili statistički utvrditi.

• Razlikuju se dvije vrste simulacijskih problema: - deterministička simulacija za analizu i rješavanje determinističkih problema, - stohastička simulacija za analizu i rješavanje stohastičkih problema,

stohastička simulacija = Monte Carlo simulacija = statističko modeliranje

• Takođe se može govoriti o diskretnoj i kontinuiranoj simulaciji.

• Simulacija ima vrlo široku primjenu od rješavanja problema npr. u matematici (približno izračunavanje integrala, rješavanje diferencijalnih jednačina i sl.), preko rješavanja problema u vojnoj strategiji i taktici do rješavanja problema poslovnog odlučivanja (upravljanje zalihama, ponašanje potrošača, poslovna prognostika i sl).

128

• Značajnije primjene ovog metoda baziraju se na mogućnosti korištenja računara da numeričke proračune provedu dovoljno efikasno. To pospješuju simulacioni programi kao što su: - GPSS (General Purpose Simulation System) - SIMSCRIPT (Simulation Scriptum) - SIMULA, DYNAMO i dr.

7.2. Simulacija Monte Carlo metodom

• Za potpunije razumijevanje metode Monte Carlo uzet ćemo primjer njene primjene u približnom izračunavanju vrijednosti integrala (deterministički zadatak)

∫1

0

)( dxxf

nenegativne funkcije f(x) i za 0 ≤ x ≤ 1 (slika 1.)

Pretpostavimo da su x i y nezavisne i uniformno raspoređene slučajne promjenljive. Na slučajan način bira se tačka (x,y) u jediničnom kvadratu sa tjemenima (0,0), (1,0), (1,1) i (0,1). Neka je A događaj da tačka padne u oblast ispod krive f(x) na slici 1. Vjerovatnoća događaja A je P(A) i ona je jednaka količniku površine te oblasti i površine kvadrata (koja je jednaka 1) ili

0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

f(x)

x

y

A

129

.)()(1

0∫= dxxfAP

P(A) se ocjenjuje pomoću relativne učestalosti m/n događaja A, gdje je n – broj biranja slučajne tačke u kvadratu, m - broj slučajnih tačaka koje su pale u oblast ispod krive f(x) (uključujući i f(x)). Ovaj količnik približno je jednak površini tj.

∫ ≈1

0

)(n

mdxxf

.

• Orijentaciona skica metode Monte Carlo sastojala bi se u slijedećem: Potrebo je pronaći približnu vrijednost veličine a. Odredimo raspodjelu slučajne promjenljive x tako da je E{x}= a. Na osnovu realiziranog uzorka

(x1, x2, ... ,xn) velikog obima n uzorka nx :

)....(1

21 nxxxn

a +++≈

tačnost ove ocjene procjenjuje se sa datom vjerovatnoćom prema centralnoj graničnoj teoremi

{ } .)(1

s ,21

22

∑=

−=

=≤−

n

k

nkn

n

n xxns

nFaxP εε

Npr. za datu vjerovatnoću 0,95 tačnost ε je reda n

1, što se ne smatra za veliku efikasnost.

U zadacima sa relativnom greškom 5-10% gdje se ne traži velika preciznost metoda Monte Carlo se može efikasno koristiti.

7.3. Generisanje slučajnih brojeva

• Primjena metode simulacije bazirana je na upotrebi slučajnih brojeva. Oni se mogu dobiti elektronskim simuliranjem ruleta čiji su sektori cifre 0,1,2,...,9. Takođe, postiji i tzv. pseudoslučajni brojevi. Primjer generisanja takvih brojeva je algoritam Von Neumanna tzv. metod srednjih kvadrata. Npr. ako je početni broj n1=0,54 iz njegovog kvadrata n2

1=0,2916 uzimaju se dvije srednje cifre kao drugi broj n2=0,91 koji se nanovo kvadrira n2

2=0,8281 i dobija se n3=0,28 itd.

• Kod ručne simulacije koriste se tablice slučajnih brojeva.

• Primjer: Izračunati površinu funkcije f(x) na bazi 30 simulacija.

Koordinate x y

A Koordinate x y

A Koordinate x y

A

05 89 - 22 9 + 76 43 - 67 32 + 48 3 + 17 22 + 47 99 - 48 7 + 77 42 - 94 85 - 35 79 - 66 11 + 61 39 - 65 25 + 23 95 - 59 32 - 30 4 + 23 81 - 93 41 + 72 52 - 36 81 - 17 82 - 05 83 - 5 60 - 34 72 - 70 91 - 23 40 - 56 43 - 88 89 - 93 54 -

Od ukupnog broja simulacija n=30 u oblast ispod krive f(x) palo je m=9 tačaka tako da je površina jednaka

130

∫ ==≈1

0

3,030

9)(

n

mxf

.

7.4. Statističko modeliranje date raspodjele

• Neka je zadata funkcija raspodjele vjerovatnoća F(x) na intervalu -∞<x<+∞. Treba generisati niz vrijednosti x1, x2,... koje možemo smatrati nezavisnim realizacijama slučajne promjenljive x sa datom funkcijom raspodjele F(x) -∞<x<+∞. Neka je u=F(x) neprekidna i strogo rastuća funkcija tako da postoji jednoznačna inverzna funkcija x=F

-1(u)

0<u<1 (tzv. metoda inverzije)

• Primjer: Neka x ima eksponencijalnu raspodjelu

>−=

≤

=∫ −x

0

t- 0,1e

0 x 0

)(xedt

xFxµµµ

Prema tome 0,1 >−= − xeu xµ , odnosno 10 )1ln(1

<<−−= uuxµ

.

Znači ako se pođe od niza u1, u2,... koji je modelirana uniformna raspodjela na intervalu [0,1] dobija se niz x1, x2,... koji je modelirana eksponencijalna raspodjela sa parametrom µ. Pretpostavimo da je vrijeme usluživanja na benziskoj pumpi raspodijeljeno eksponencijalno sa prosječnim trajanjem od 5 minuta. Odrediti vrijeme usluge za prvih 5 automobila.

ln1

uxµ

−= zato što je 1-u takođe slučajni broj iz intervala [0,1] (sa tri decimalna mjesta).

x1 = -5 ln 0,058 = 14,2

x2= -5 ln 0,673 = 2,0

x3 = -5 ln 0,479 = 3,7

x4 = -5 ln 0,948 = 0,3

x5 = -5 ln 0,613 = 2,4.

• U mnogim slučajevima modeliranje raspodjele F(x) pomoću formule X=F-1

(U), U:U(0,1) nije uvijek jednostavno izračunati zbog složenosti izračunavanja vrijednosti F

-1, tako da se moraju koristiti drugi postupci raspodjele ili aproksimativni izrazi korištenjem metoda numeričke analize.

• Kod empirijskih distribucija ova izračunavanja se vrše na sličan način samo sa diskretnim vrijednostima slučajne promjenljive.

7.5. Konstruisanje simulacijskog modela i provođenje simulacije

0

u

1

x=F-1(u) x

F(x)

131

• Kod konstrukcije simulacionog modela može se koristiti slijedeći postupak: 1. Stvarni sistem se iskazuje putem osnovnih karakteristika i njegovih ključnih događaja. Događaj je

vremenski trenutak u kojem se dešavaju promjene karakteristika sistema. Ovo se obično dešava kada se jedna ili više aktivnosti završe i započinju jedna ili više aktivnosti. Kao komponente stvarnog sistema pojavljuju se i slučajne veličine.

2. Na bazi generisanih slučajnih brojeva izračunava se vrijednost realizacije slučajnih veličina. 3. Na bazi izračunatih realizacija izračunava se rezultat operacije za datu realizaciju. 4. Statistički se obrađuju dobijeni rezultati tj. provjerava se ispunjavanje uslova. 5. Ocjenjuje se tačnost dobijenih rezultata.

• Za ilustraciju korištenja simulacije posmatrat će se rad jednokanalnog sistema masovnog opsluživanja. Karakteristični parametri koji treba da budu izračunati su prosječna neiskorištenost uslužnog mjesta, prosječna dužina reda i prosječno vrijeme čekanja po korisniku. Događaji koji su karakteristični za ovaj sistem su: 1. Dolasci klijenata i 2. Odlasci klijenata nakon dobijanja usluge.

• Kada klijent pristigne on može ići na uslugu ili stati u red čekanja. Kada jedan korisnik dobije uslugu on odlazi, a prvi iz reda čekanja počinje koristiti uslugu. Ova dva osnovna događaja imaju za posljedicu slijedeću konstrukciju simulacijskog modela. I Događaj dolaska (D) 1. Obuhvata vrijeme u kojem će se pojaviti istovremeno naredni dolazak izračunavanjem vremena p i

dodavanjem trenutnom vremenu simulacije. 2. Provjera statusa uslužnog mjesta 2.1. Ako je prazan onda se radi slijedeće:

i. Počinje se sa pružanjem usluge prispjelom klijentu i povezuje se sa vremenom usluge q i izračunava vrijeme odlaska klijenta (trenutno vrijeme + q)

ii. Promijeni se status uslužnog mjesta u zauzet i usklade se podaci o vremenu usluživanja 2.2. Ako je uslužno mjesto zauzeto, klijent se stavlja u red i povećava se dužina reda za 1. II Događaj odlaska (0) 1. Provjeriti status reda čekanja (prazan ili ne) 1.1. Ako nema nikog u redu čekanja proglasi se uslužno mjesto praznim. 1.2. Ako u redu ima nekog radi se slijedeće:

i. Počinje se sa pružanjem usluge prvom klijentu, reducira se veličina reda za 1 i usklade se podaci o vremenu čekanja.

ii. Povezuje se vrijeme pružanja usluge q i izračunava njegovo vrijeme odlaska (trenutno vrijeme + q)

• Primjer: Upotrebom metode Monte Carlo treba oponašati rad jednokanalnog sistema za opsluživanje. Praćenjem je utvrđeno da klijenti dolaze na usluživanje u vremenskom razmaku 6, 7, 8 i 9 minuta, a usluživanje po jednom klijentu trajalo je 4, 5, 6, 7 i 8 minuta. Vjerovatnoće dolazaka i usluživanja date su u tabelama 1. i 2.

0 D1 D2 01 D3 02 . . .

Slika. Hronološki redoslijed dolaska i odlaska

132

Tabela 1. Razmak između dolazaka klijenata u

minutima Vjerovatnoća

6 7 8 9

0,2 0,2 0,5

0,10 Tabela 2.

Vrijeme usluživanja klijenata u minutima Vjerovatnoća 4 5 6 7 8

0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

• Potrebno je formirati model rada sistema za usluživanje uvođenjem pripadajućih slučajnih brojeva od 00-99. Rad sistema treba oponašati kod opsluživanja 8 klijenata.

• Za potrebe modela izvađeni su iz tablice slučajnih brojeva slijedeći brojevi (tabela 3.) Tabela 3.

Redni broj dolaska Slučajni brojevi Razmak između dolaska

klijenta Vrijeme trajanja

usluživanja 1 2 3 4 5 6 7 8

7 18 25 3

19 69 99 15

73 60 30 22 5

78 95 39

Izračunati osnovne karakteristike sistema.

Rješenje:

Razmak između dolazaka Vjerovatnoća Kumulativ Slučajni brojevi 6 7 8 9

0,2 0,2 0,5 0,1

0,2 0,4 0,9 1

(0-19) (20-39) (40-89) (90-99)

Vrijeme usluživanja Vjerovatnoća Kumulativ Slučajni brojevi 4 5 6 7 8

0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

0,1 0,3 0,7 0,9 1

(0-9) (10-29) (30-69) (70-89) (90-99)

Rbr. dolaska Slučajni broj Razmak dolazaka Slučajni broj Vrijeme usluge

1 2 3 4 5 6

7 18 25 3 19 69

6 6 7 6 6 8

73 60 30 22 5 78

7 6 6 5 4 7

133

7 8

99 15

9 6

95 39

8 6

Sistem je počeo kao prazan u trenutku t=0. 1. dolazak nakon 6 min.

t = 0 + 6 = 6 min. Simulacija skače sa 0 na 6 min.

2. dolazak slijedi nakon 6 + 6 = 12 min. Prvi klijent dobiva uslugu koja traje 7 min tako da je njegovo vrijeme odlaska t = 6 + 7 = 13 min. Vrijeme dok je uslužno mjesto prazno = 0 + 6 = 6 min.

2. dolazak slijedi nakon 12 min. Uslužno mjesto zauzeto i on staje u red. Dužina reda Lq = 0 + 1 = 1 (trenutak 12). 3. Dolazak slijedi u t = 12 + 7 = 19 min.

Drugi klijent počinje uslugu u 13 min i odlazi u t = 13 + 6 = 19 min. Treći klijent može odmah na uslugu itd.

Klijent Vrijeme dolaska

Vrijeme usluge

Početak usluge

Vrijeme odlaska

Dužina reda

Vrijeme čekanja

Vrijeme praz.us.mj

esta 1 2 3 4 5 6 7 8

6 6+6=12 12+7=19

25 31 39 48 55

7 6 6 5 4 7 8 6

6 13 19 25 31 39 48 56

13 19 25 30 35 46 56 62

0 1 0 0 0 0 0 1

0 13-12=1

0 0 0 0 0 1

6 0 0 0 1 4 2 0

2 2 13

- % vremena kada je objekat prazan = 13/62 (simulirani period) = 0,21 (21%) - Prosječno vrijeme čekanja = 2/8(broj klijenata) = 0,25 min - Prosječna dužina reda Q = površina A / T = 1+1 / 62 = = 2 / 62 = 0,03 kl.

• Primjer: Upotrebom metode Monte Carlo potrebno je oponašati promjene sistema zaliha materijala. Poznati su podaci o dnevnim potrebama materijala od strane proizvodnje. Ovi podaci sa pripadajućim vjerovatnoćama dati su u slijedećoj tabeli:

Dnevna potreba proizvodnje u kg Vjerovatnoća 10 20 30 40 50

0,10 0,20 0,30 0,30 0,10

0 6 12 13 19 25 30 31 35 39 46 48 55 56 62

1 D1 D2 01 D3

02

D4

03 04 D5 05 D6

06 D7 D8 07 08

134

Promjene u sistemu zaliha materijala treba oponašati za period od 12 dana. Stanje zaliha materijala na početku posmatranja iznosilo je 100 kg, a krajem četvrtog dana primljena je nova količina od 250 kg materijala. Za potrebe modela izvađeni su slijedeći slučajni brojevi: 3, 17, 45, 80, 71, 55, 33, 14, 89, 13, 8 i 12.

Rješenje:

Dnevne potrebe proizvodnje u kg

Vjerovatnoća Kumulativ

10 20 30 40 50

0,10 0,20 0,30 0,30 0,10

0,10 (0-9) 0,30 (10-29) 0,60 (30-59) 0,90 (60-89) 0,10 (90-99)

Dan Slučajni broj Dnevne potrebe

proizvodnje Zalihe na kraju dana

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

3 17 45 80 71 55 33 14 89 13 8

12

10 20 30 40 40 30 30 20 40 20 10 20

90 70 40

0+250 210 180 150 130 90 70 60 40

8. TEORIJA IGARA

8.1. Elementi strategijskih igara

• U situaciji kada postoji konflikt različitih interesa ili konkurencija teorija igara se pojavljuje kao metoda odlučivanja. Subjekt odlučivanja pored svojih ciljeva mora respektovati i ciljeve protivnika. Ciljevi igrača, odnosno učesnika u igri su najčešće suprotni što je i razumljivo pošto igra odražava konfliktnu situaciju. Međutim, ciljevi i ponašanje protivnika najčešće su i nepoznati, tako da se igra protiv protivnika provodi u uslovima neizvjesnosti.

• Sama igra između učesnika rezultira zavisnim odnosima koji predstavljaju konfliktnu situaciju. Prema tome pod pojmom igra možemo smatrati model konfliktne situacije ili skup pravila i dogovora kojih se moraju pridržavati učesnici igre. Igrači ili učesnici igre su lica i organizacije koje jedinstveno i samostalno donose odluke.

• Da bi realizovao svoje ciljeve igrač se mora prodržavati pravila ponašanja koja su rezultat raspoloživosti informacija o ciljevima i ponašanju protivnika.

• Pod strategijom igrača podrazumijeva se skup uputnih pravila na osnovu kojih se donosi odluka o akciji. Strategija sadrži sve poteze u toku jedne partije.

• Pod potezom se podrazumijeva etapa igre u kojoj igrači donose odluku, dok pojam partije podrazumijeva konkretnu realizaciju igre.

• Svaka igra ima svoje konačno stanje, odnosno rezultat (vrijednost igre).

• Ako rezultat zavisi samo od slučaja onda je to hazardna ili slučajna igra. Naš interes su igre čije konačno stanje zavisi od ponašanja i izabrane strategije igrača, koje se jednim imenom nazivaju strategijske igre.

135

• Strategija je čista ako svaki igrač kod ponavljanja igre stavlja izbor na jednu strategiju, a miješana ako mora igrati dvije ili više strategija.

• Cilj strategijskih igara je izbor optimalne strategije koja obezbjeđuje optimalnu vrijednost igre tj. korist odnosno dobitak ili gubitak za jednog od igrača.

• Ako dobitak jednog igrača znači gubitak drugog, onda možemo govoriti o nula-suma i nenula-suma igri. Kod nula-suma igre dobitak jednog igrača jednak je gubitku drugog, za razliku od nenula-suma igre, gdje zbir dobitaka i gubitaka nije jednak nuli. Primjer nula-suma igre je zatvoreno tržište koga kontroliraju dva preduzeća.

• Najpoznatiji i u literaturi najviše korišteni tip igara je nula-suma igra sa dva igrača čiji su interesi potpuno suprotni (tzv. antagonističke igre). Igrači unaprijed poznaju sve mogućnosti izbora protivnika. Svaki igrač u svakom potezu donosi samo jednu odluku i mora izvršiti svoj izbor ne znajući koji je izbor protivnika. Dobitak odnosno gubitak u igri dat je funkcijom korisnosti (plaćanja cijena igre) za sve moguće izbore u igri.

8.2. Igra dva igrača sa nula sumom

• Pretpostavimo da postoje dva igrača I1 i I2, pri čemu igraču I1 stoji na raspolaganju skup

strategija A I1 = A (a1, ..., am),

a igraču I2 skup strategija B I1 = B (b1, ..., bn),

pri čemu je C1(ai, bj), = -C2(ai, bj),

gdje su C1 i C2 korisnost (cijena) igre za igrače I1 i I2, respektivno.

• Antagonističke igre su definisane: - skupom strategija A igrača I1, - skupom strategija B igrača I2, - funkcijom korisnosti (cijena, plaćanja).

• Na bazi svih kombinacija strategija može se utvrditi matrica korisnosti C:

[ ] ),n1,j ;m1,i ( cC ij ===

gdje je cij=C(ai,bj) i označava korisnost igrača I1 kod njegovog izbora i-te strategije i izbora j-te strategije igrača I2. Razvijeni oblik matrice je:

=

mnmjmm

inijii

nj

nj

cccc

cccc

cccc

cccc

C

......

..................

......

..................

......

......

21

21

222221

111211

.

• Pretpostavimo da imamo dva igrača I1 i I2. Igrač I1 ima strategije x1 i x2. Na poteze igrača I1 igrač I2 parira svojom strategijom y1 i y2.

• Nadalje neka je utvrđena funkcija korisnosti kombinacija strategija igrača I1 i I2 u obliku tabele:

Igrač I1 Igrač I2

Strategija y1

Strategija y2

136

Strategija x1

Strategija x2

Igrač I1 dobiva 4NJ Igrač I1 dobiva 7NJ

Igrač I1 dobiva 2NJ Igrač I2 dobiva 3NJ

• Na osnovu prethodne tabele matrica C ima oblik:

−=

32

74C

, čije elemente možemo tumačiti npr. c11=4 znači da će igrač I1 imati korisnost od 4NJ ako on igra strategiju x1, a igrač I2 odgovori strategijom y1 ili c22 znači da će igrač I1 imati gubirak od 3NJ ako on igra strategiju x2, a igrač I2 strategiju y2, ...

• Posmatrajmo matricu korisnosti C. Ako igrač I1 odabere strategiju x1 onda igrač I2 može da odabere jednu od strategija y1 ili y2. Pošto se radi o racionalnom igraču on odabira strategiju koja mu obezbjeđuje najveću korist, odnosno odabira strategiju y1 jer kod nje ima najmanji gubitak (4NJ). Ako pak igrač I1 odabere strategiju x2, onda će igrač I2 odabrati strategiju y2 jer mu ona donosi najveću korisnost, odnosno dobitak od 3NJ.

• Na osnovu prethodnog jasno je da ako igrač I1 igra prvi za njega je najpovoljnija strategija x1, jer bez obzira kakvom strategijom odgovori igrač I2 on ostvaruje najmanje 4NJ korisnosti, dok strategija x2 daje mogućnost i gubitka.

• U slučaju da je igrač I2 prvi na potezu onda na njegov izbor strategije y1 igrač I1 će odgovoriti strategijom x1 jer mu ona obezbjeđuje maksimalnu korist od 4NJ (za razluku od 2NJ i strategiju x2). Kod izbora strategije y2 igrača I2, igrač I1 će odgovoriti strategijom x1 jer mu ona obezbjeđuje korist od 7NJ (za razliku od strategije x2 koja mu donosi gubitak od 3NJ). Iz prethodne analize proizilazi da je najpovoljnija alternativa igrača I2 strategija y1, jer mu osigurava najmanji gubitak od 4NJ.

• U prethodnoj igri jasno je da će igrač I1 uvijek igrati strategiju x1, a igrač I2 strategiju y1, odnosno ako sa α obilježimo vrijednost igre igrača I1:

{ } 43,4maxminmaxminmax2,1

=−=

=

=

= iij

jiij

jiccα ,

a vrijednost igre igrača I2:

{ } 47,4mincmaxmini

ijji

==

=β .

Igra koja obezbjeđuje da je:

vcc ijji

ijji

=

=

maxminminmax

naziva se optimalnom (Kuznecov str.110). • Igra u kojoj je max/min strategija jednaka min/max startegiji naziva se čistom igrom, a

strategija čistom strategijom. Kod čistih strategija korisnost koja se dobija kad svaki igrač igra čistu strategiju, odnosno vrijednost igre se naziva sedlastom tačkom ili tačkom sedla.

• Kao primjer čiste igre sa sedlastom tačkom iskoristićemo prethodni primjer I2

I1 Y1 Y2 αi=mincij

x1 4 7 4 α=maxαi=4

x2 -2 -3 -3

βj=maxcij 4 7

137

β=minβj = 4

Odgovor je identičan sa prethodnom analizom: Igrač I1 igra prvu strategiju, I2 takođe prvu i vrijednost igre je 4.

8.3. Rješenje mješovitih matričnih igara

• Za razliku od čistih igara kod kojih učesnici igraju samo po jednu strategiju, kod

mješovitih igara učesnici mogu igrati dvije ili više strategija. Rješenje igre koje obezbjeđuje maksimalan dobitak igrača I1 i minimalan gubitak igrača I2 dobiva se kombinacijom raspoloživih strategija. To znači da će igrači I1 i I2 igrati po nekoliko puta svaku od raspoloživih strategija da bi maksimizirali svoj dobitak, odnosno minimizirali gubitak. Svaki igrač će pomoću nekog slučajnog mehanizma vršiti izbor alternativa, odnosno svaki igrač će primijeniti neku strategiju sa izvjesnim vjerovatnoćama.

• Ako sa ),1( mixi = označimo vjerovatnoće sa kojima igrač I1 upotrebljava strategiju i,

onda je mješovita strategija igrača I1 data vektorom: x = (x1, x2, ..., xm)

koji udovoljava uslovima:

m1,i ;0

11

=≥

=∑=

i

m

i

i

x

x.

• Na sličan način mješovita strategija igrača I2 definisana je vektorom: y = (y1, y2, ..., yn)

koji udovoljava uslovima:

n1,j ;0

11

=≥

=∑=

j

m

j

j

y

y.

• Ako igrač I1 bira mješovitu strategiju x, a igrač I2 mješovitu strategiju y, onda će funkcije korisnosti cij biti pomnožene sa vjerovatnoćom xiyj tako da je očekivana funkcija korisnosti

∑∑= =

=m

i

n

j

jiij yxcYXE1 1

),( .

• Ako postoje mješovite strategije x* za igrača I1 i y* za igrača I2, tako da važi da je:

),(),(),( **** yxEyxEyxE ≤≤ za sve moguće strategije igrača I1 i I2 onda vektori X* i Y* označavaju optimalne strategije igrača I1 i I2.

• Po anologiji sa čistim igrama optimalna mješovita strategija x* i y* igrača I1 i I2 udovoljava jednačini:

)y,x(E)y,x(Eminmax)y,x(Emaxmin **

yxxy=== .

Veličina E(x

*,y

*) naziva se cijena igre i označava se sa v, tj.

138

v = E(x*,y

*).

Prema tome, rješenje igre određeno je veličinama x*, y

* i v. • Kao primjer mješovite matrice igara analizirat ćemo strategiju dva trgovinska preduzeća

na tržištu artikala A1 i A2. Pretpostavimo da je poznata matrica korisnosti: Y1 Y2 αi=mincij

x1 6 3 3 α=maxαi=3

x2 2 4 2

βj=maxcij 6 4

β=minβj =4

Pošto α nije jednako β ne postoje čiste strategije koje bi igrači mogli koristiti, te se moraju koristiti mješovite strategije. Pretpostavimo da igrač I1 primjenjuje miješanu strategiju, a igrač I2 čistu, odnosno ako igrač I2 koristi strategiju y1 onda je očekivana vrijednost korisnosti igrača I1 jednaka:

v = 6x1 + 2x2,

a u slučaju da koristi strategiju y2 očekivana vrijednost korisnosti je: v = 3x1 + 4x2,

jer je

∑=

===2

1

1,2j za ),(i

iijj xcyxEv .

Pošto važi da je x1 + x2 = 1,

rješavanjem sistemaod tri jednačine sa tri nepoznate dobiva se da je:

6,3

6,0

4,0*2

*1

=

=

=

v

x

x

Na sličan način određuje se i optimalna mješovita strategija igrača I2, pri čemu se pretpostavlja da igrač I1 igra čistu strategiju. Očekivana vrijednost korisnosti igrača I2 ako igrač I1 koristi strategiju x1 jednaka je:

v = 6y1 + 3y2,

a ako koristi strategiju x2 v = 2y1 + 4y2,

jer je:

∑=

===2

1

1,2j za ),(j

jiji ycyxEv .

Pošto i ovdje važi da je y1 + y2 = 1

rješavanjem sistema jednačina dobiva se da je:

6,3

8,0

2,0*2

*1

=

=

=

v

y

y

8.4. Rješenje matričnih igara korištenjem LP

139

• Sve matrične igre, a naročito one koje su definisane matricom korisnosti velikih dimenzija, mogu se transformisati u model LP i rješavati simplex metodom.

• Polazeći od prethodnih relacija mješovita optimalna strategija za igrača I1 dobiva se rješavanjem sistema jednačina/nejednačina:

c11x1 + c21x2 + ... + cm1xm ≥ v

c12x1 + c22x2 + ... + cm2xm ≥ v

.

.

.

c1nx1 + c2nx2 + ... + cmnxm ≥ v

i

x1 + x2 + ... + xn = 1.

• Ako se svaka jednačina sistema podijeli v ako se uvede oznaka

)m1,i ( 1'1 ==

v

xx

onda se prethodni sistem jednačina/nejednačina transformiše u slijedeći model LP:

m1,j ,0 x

1...c

.

.

.

1...c

1...c

min...1

'j

''22

'11n

'2

'222

'112

'1

'221

'111

''2

'1

=≥

≥+++

≥+++

≥+++

→+++==

mmnn

mm

mm

m

xcxcx

xcxcx

xcxcx

xxxv

z

• Funkcija cilja modela dobiva se transformacijom posljednje jednačine iz polaznog

sistema, a cilj - njena minimizacija proizilazi iz želje igrača I1 da dobiva takav skup

vrijednosti vi )m1,(i =ix , koja će udovoljiti definisanim ograničenjima, a da

vrijednost očekivane korisnosti v bude što veća. • Analognim postupkom mješovita optimalna strategija za igrača I2 dobiva se rješavanjem

sistema jednačina/nejednačina:

c11y1 + c12y2 + ... + c1nyn ≤ v

c21y1 + c22y2 + ... + c2nyn ≤ v

.

.

.

cm1y1 + cm2y2 + ... + cmnyn ≤ v

i

y1 + y2 + ... + yn= 1.

140

• Nakon uvođenja smjene:

)n1,j ( ' ==v

yy

j

j

i uvažavajući želju igrača I2 da odabere takav skup vrijednosti vi )n1,(j =jy , koji će

udovoljiti definisanim ograničenjima, a da vrijednost očekivane vrijednosti igre bude minimalna dobivamo model LP

n1,j ,0y

1...c

.

.

.

1...c

1...c

min...1

'j

''22

'1m1

'2

'222

'121

'1

'212

'111

''2

'1

=≥

≥+++

≤+++

≤+++

→+++==

nmnm

nn

nn

n

ycycy

ycycy

ycycy

yyyv

z

koji je ustvari dual modela LP za utvrđivanje optimalne strategije igrača I1.

• Koristeći primal-dual vezu iz LP možemo rješavanjem jednog modela utvrditi optimalne strategije za oba igrača.

• Primjer:

141

6,0x

4,0x

3,6v

0,277778z

1667,0x

1111,0x 0x

1x4x3

1x2x6

minxxv

1z

v

xx smjena

vx4x3

vx2x6

1xx

42

36C

*

2

*

1

'

2

'

1

'

2,1

'

2

'

1

'

2

'

1

'

2

'

1

1'

1

21

21

21

=

=

=

=

=

=≥

≥+

≥+

→+==

=

≥+

≥+

=+

=

142

8,0

2,0y

3,6v

0,277778z

2222,0y

0556,0y 0

142

136

max1

y

42

36

1

*2

*1

'2

'1

'2,1

'2

'1

'2

'1

'2

'1

1'1

21

21

21

=

=

=

=

=

=≥

≤+

≤+

→+==

=

≤+

≤+

=+

y

y

yy

yy

yyv

z

v

ysmjena

vyy

vyy

yy

8.5. Igre protiv prirode – teorija statističkih igara

• Strategijeske igre – protivnik inteligentan igrač,

143

• Statističke igre – nemogućnost komuniciranja sa protivnikom. • Matrica - redovi predstavljaju moguće akcije,

- kolone moguća stanja sistema (prirode), • Stohastičko ponašanje prirode • Vrednovanje pojedinih akcija u vidu matrice efekata Eij, gdje je Eij – gubitak ili dobitak.

Efekti se mogu izraziti funkcijom korisnosti • Nema jednog kriterija za izbor strategije, • Različiti kriteriji potkrijepljeni racionalnim razlozima, • Greška suprotne strane kao vlastita prednost, • Priroda = kompleks unutrašnjih okolnosti, • Priroda nije inteligentni protivnik, • Ona se razvija u skladu sa definisanim zakonima nezavisnim da li to odgovara čovjeku ili

ne, jer čovjek: a) ne zna zakone prirode, b) zna ih nedovoljno.

• Igrač A ispoljava strategiju A1,An. Priroda M ispoljava skup stanja prirode P1, Pn. • Strategija prirode = stanje prirode kod kojeg igrač A bira svoju strategiju. Poznata stanja

prirode i vjerovatnoće s kojima ih priroda rezultira. To su apriorne vjerovatnoće.

9. MARKOVLJEVI PROCESI 9.1. Uvod

• Za stohastički proces {x(t), t∈T} se kaže da je Markovljev kada momentima t1<t2<...<tk odgovara raspored promjenljivih [x(t1), x(t1), ... , x(tk)], tako da za realne veličine x1, x2, ...

, xk postoji uslovna vjerovatnoća

[ ][ ].)(/)(

)(,...,)(,)(/)(

11

112211

−−

−−

==

=====

kkkk

kkkk

xtxxtxP

xtxxtxxtxxtxP

• Klasifikacija Markovljevih procesa slična je klasifikaciji stohastičkih procesa uopšte. U slučaju diskretnog prostora stanja Markovljev proces se naziva Markovljev lanac i može biti sa diskretnim i kontinuiranim parametrom vremena. Pod Markovljevim modelom podrazumijevaju se Markovljevi lanci sa diskretnim parametrom vremena.

• Ako se neki sistem može naći u n stanja n1,i , =iS , onda Markovljev model ima zakon

vjerovatnoće determinisan sa: - vjerovatnoćama za momenat tk i stanje Si [ ] iikSi pStxPp === )(

- uslovnim vjerovatnoćama [ ] ijikjkkkSjSi pStxStxPttp ==== ++ )(/)(),( 11,

- inicijalnom vjerovatnoćom p0.

• Vjerovatnoće pij nazivaju se prelazne vjerovatnoće i one objašnjavaju kolika je vjerovatnoća da će sistem iz stanja Si u trenutku tk preći u stanje Sj u trenutku tk+1. To se grafički može predstaviti na slijedeći način:

144

S1 S1

S2 S2

. .

. .

. .

Si Sj

. .

. .

. .

Sn Sn

tk tk+1

• Ove vjerovatnoće mogu se predstaviti matrično tzv. matricom prelaznih vjerovatnoća (Markovljeva matrica, tranzitivna ili prelazna matrica, stohastička matrica)

=

nnnjnn

inijii

nj

nj

pppp

pppp

pppp

pppp

P

......

..................

......

..................

......

......

21

21

222221

111211

.

• Karakteristike matrice prelaznih vjerovatnoća su slijedeće: - 0 ≤ pij ≤ 1

- ∑=

==n

j

ij nip1

,1 ,1

- stepenovana matrice Pk je takođe stohastička matrica sa istim osobinama kao i

matrica P i označava vjerovatnoću prelaza sistema u k koraka.

• Promatrajmo Markovljev lanac sa n stanja i matricom prelaznih vjerovatnoća P. Neka je vektor [ ])0()0(

2)0(

1 ...,)0( npppp =

inicijalni vektor stanja sistema u trenutku 0 i neka vektor [ ])()(

2)(

1 ...,)( k

n

kk pppkp =

definiše vjerovatnoće stanja u trenutku k (vektor stanja). Ako je sistem u trenutku (k-1) bio u stanju i, tada je vjerovatnoća da će u trenutku k biti u stanju j određena relacijom

∑=

− ==n

i

ik

k

i

k

j ppp1

)1()( 1,2,...k , ili u matričnoj notaciji za svih n stanja p(k)=p(k-1)P

(jednačina Chapman-Kolmogorova). Ako se izrazi p(1)=p(0)P; p(2)=p(1)P=p(0)P

2 itd. prethodno definisana matrična relacija može se napisati u obliku p(k)=p(0)P

k.

p11

pij

145

• Primjer: Neka se na tržištu može nabaviti artikal A od četiri razna proizvođača. Početna

vjerovatnoća da će kupiti artikal A od proizvođača 1,4j , =jP iznosi 0,4; 0,2; 0,3 i 0,1.

Neka se statističkim postupkom mogu utvrditi prelazne vjerovatnoće što je predstavljeno matrično:

=

1,01,03,05,0

1,06,02,01,0

1,02,04,03,0

0,01,02,07,0

P

Odrediti učešće pojedinih proizvođača u prodaji artikla A u naredna 3 perioda.

[ ]1,0 3,0 2,0 4,0)0( =p

[ ]06,0 27,0 25,0 42,0)1(p =

[ ]058,0 26,0 256,0 426,0)1()2( =⋅= Ppp

• Često se Markovljevim lancima izračunavaju vjerovatnoće prelaza sistema S iz stanja Si u stanje Sj u m koraka. Na slici taj prelaz razmatran je preko stanja Si(1), Si(2),...

• Uslovne vjerovatnoće prelaze kroz opisani niz stanja su pii(1), pi(1)i(2),...,pi(m-1)j. Zbir odgovarajućih izraza za sva moguća stanja predstavlja uslovnu vjerovatnoću da će se sistem naći u stanju Si u trenutku t+m ako je u trenutku t bio u stanju Si. Ovu vjerovatnoću označimo sa 1,2,...m ),( == m

ji

m

ij SSpp . Vjerovatnoća prelaza u m koraka dobiva se

korištenjem jednačine ∑=

− ≥≥=n

r

s

ij

sm

ir

m

ij ppp1

)( 1sm ili izračunavanjem elemenata

matrice Pm.

• Primjer: Odrediti sve moguće vjerovatnoće prelaza stanja sistema u 2 koraka na bazi podataka iz prethodnog zadatka.

Si

Si(1) Si(2) Si(m-1)

Sj

[ ]

⋅=⋅=

1,01,03,05,0

1,06,02,01,0

1,02,04,03,0

0,01,02,07,0

1,0 3,0 2,0 4,0)0()1( Ppp

146

=

05,018,027,050,0

09,042,025,024,0

07,024,029,040,0

03,017,024,056,0

2P

9.2. Problem ergodičnosti markovljevih lanaca

• Neka za Markovljev lanac sa konačno mnogo stanja važi da su svi elementi matrice P

strogo pozitivni. Tada za svako j=1,2,...,n važi da je: [ ] +

→= j

t

ijt

pp0

lim , gdje vrijednosti +jp

ne zavise od i, te se nazivaju finalne, granične ili ergodične vjerovatnoće (vjerovatnoće stabilnog stanja). Brojevi +

jp ako se postave u obliku matrice reda, onda ujedno

predstavljaju redove granične matrice P koja se definiše relacijom [ ]tt

PP0

lim→

= .

Brojevi ∑=

++ ==n

i

jijj ppp1

n1,j , i jednačine ∑=

+ =n

i

jp1

1 služe za jednostavnije

izračunavanje finalne vjerovatnoće ako se koristi matrična jednačina [ ] 1 ...p ...pp , 2121 =+++== ++++++

nn ppippjegdjeppP .

• Primjer: Izračunati vektor stabilnog stanja i graničnu matricu P ako je poznata matrica prelaznih vjerovatnoća.

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

=

=

=

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+++

++++++

+++

4379,03386,02235,0

4379,03386,02235,0

4379,03386,02235,0

P

0,4379 0,3386 0,2235p

4379,0p

3386,0p

2235,0p

1p p p

p p p

640,0220,0140,0

317,0600,0083,0

225,0175,0600,0

p p p

p p pp

640,0220,0140,0

317,0600,0083,0

225,0175,0600,0

3

2

1

321

321321

321P

9.3. Markovljev model kod koga se promjena stanja mjeri efektima

147

• Posmatrajmo skup S čija je evolucija opisana Markovljevim lancem. Neka su vjerovatnoće promjene stanja tog sistema date matricom prelaznih vjerovatnoća P=[pij] i,j=1,n. Neka se prelaz iz i-tog u j-to stanje mjeri efektima koje ćemo obilježiti sa kij i koji će respektivno odgovarati vjerovatnoćama promjena stanja. Efekti kij obrazuju matricu efekata K=[kij] i,j=1,n. Očekivana vrijednost ukupnih efekata W izračunava se prema Belmanovom principu za promjenu stanja poslije t vremenskih perioda. Po njemu je očekivani efekat ostvaren počev od i-tog stanja za t vremenskih jedinica jednak

∑∑=

−=

+=n

j

tij

n

j

ijijt jwpkpkw1

11

)()( ili u matričnoj notaciji wt=Q+Pwt-1, gdje je

=

nq

q

q

Q...

2

1

∑=

=n

j

ijiji kpq1

.

• Posmatrat ćemo proizvođača robe široke potrošnje koji u svoj asortiman uvodi novi proizvod. Pretpostavimo dvije mogućnosti: 1. Postoji tražnja za proizvodom te njegovo uvođenje donosi pozitivne efekte, 2. Ne postoji tražnja za novim proizvodom te njegovo uvođenje ne donosi pozitivne

efekte. Nakon nekoliko lansiranja novog proizvoda utvrđena je matrica prelaznih vjerovatnoća

=

6,04,0

5,05,0P što znači da ako je postojala tražnja za proizvodom sa vjerovatnoćom 0,5

da će se i u narednom periodu prihvatiti sa istom vjerovatnoćom. Ako nije postojala tražnja onda je vjerovatnoća da će kod lansiranja proizvoda postojati tražnja 0,4, a da neće postojati 0,6.

Neka je matrica

−=

64

48K . Uz pretpostavku da je

=

0

0ow izračunati očekivanu

vrijednost ukupnih efekata u toku tri perioda.

=

−

+

−=+=

−=

−

+

−=+=

−

=

+

−

=

−=−⋅+⋅=+==

=⋅+⋅=+==+=

∑

∑

=

=

72,0

6,9

8,0

8

6,04,0

5,05,0

2

6

8,0

8

2

6

6,04,0

5,05,0

2

6

2

6

0

0

6,04,0

5,05,0

2

6

2)6(6,044,0q

645,085,0q

23

12

1

2

122222121222

2

1121211111111

PwQw

PwQw

w

kpkpkp

kpkpkpPwQw

j

jj

j

jjo

• Zadatak za vježbu: Tri konkurentska preduzeća A, B i C su na određenom tržištu u razdoblju 01.05.-31.05. imali slijedeće stanje kupaca:

148

Opis Preduzeće

A B C Ukupno

1. Stanje 1. maja 2. Prelaz drugim preduzećima 3. Ostala lokalna preduzeća 4. Povećanje kupaca od drugih

preduzeća 5. Stanje 31. maja

600

240 360

220 580

600

120 480

140 620

800

240 560

240 800

2000

600 1400

600 2000

Struktura promjena izražena brojem kupaca je slijedeća:

Gubitak kupaca A B C

Ukupno

A

Dobitak kupaca B C

-

60

160

60 0

80

180

60 0

240

120

240

U K U P N O: 220 140 240 600 Prognozirati tržišno učešće pojedinih preduzeća 30.06., 31.07. i 31.08. i kada se postigne stabilno stanje.

12. MREŽNO PROGRAMIRANJE 12.1. Pojam mrežnog programiranja

• Savremene probleme poslovnog odlučivanja karakteriše povećanje organizacionih poslova

po obimu i kompleksnosti. Kontinuirano praćenje svih poslovnih aktivnosti, u takvim uslovima, postaje sve teže, te se stoga pristupilo izgradnji novih metoda planiranja i upravljanja kompleksnim sistemima. Korištenje metoda za planiranje i upravljanje, kao i optimalno korištenje raspoloživih resursa pri realizaciji određenih projekata pojavljuje se kao problem posebno iz razloga što su to kompleksni projekti sastavljeni od niza aktivnosti. Same aktivnosti, vremenski posmatrane, mogu biti nezavisne od drugih, paralelne sa drugim ili zavisne od drugih aktivnosti. Na sličan način, kao i aktivnosti, može se vršiti i upotreba resursa.

• Na polju razvoja novih metoda planiranja i upravljanja kompleksnim projektima prvi rezultati javili su se 1957. godine u SAD. Novi metodi nazvani su tehnike mrežnog programiranja-planiranja. Ove tehnike zasnovane su na primjeru moderne algebre, teorije grafova i matematičke statistike.

• Tehnike mrežnog programiranja obuhvataju sve metode koje se koriste mrežnim dijagramom, tako da se obezbijedi planiranje, koordinacija, upravljanje i kontrola kompleksnih procesa kod kojih je neophodno vremenski uskladiti veliki broj djelimičnih zadataka, odnosno aktivnosti. Danas je poznato preko trideset različitih metoda mrežnog programiranja, ali su sve u suštini modifikacija dvije osnovne i najviše primjenljive metode:

- CPM (metoda kritičnog puta, engl. Critical Path Method) i

149

- PERT (metoda ocjene i revizije programa, engl. Program Evoluation and Review Tehnoloque).

• Fundamentalna razlika između ove dvije metode sastoji se u mogušnošću normiranja vremena, troškova i resursa. Ako se ove norme poznaju onda se koristi CPM metod, dok se PERT metod koristi u slučaju neizvodljivosti normiranja, odnosno u slučaju kada norme imaju stohastički karakter.

• Sve tehnike mrežnog programiranja sastoje se od slijedećih faza: (1) analiza struktura, (2) analiza vremena, (3) analiza raspoređivanja resursa i (4) analiza troškova. • Analiza strukture je za svaki projekat identična, bez obzira na upotrebu PERT-a ili CPM-a

i sastoji se u krajnjoj istanci u konstrukciji mrežnog dijagrama. • U analizi vremena (po CPM-u ili PERT-u) mrežni model se transformiše u matematički

tako što se određuju vremenske veličine (parametri) neophodne za kontrolu realizacije projekta.

• Analiza strukture i analiza vremena vrše se nezavisno od optimalne raspodjele resursa. Stoga u praktičnim situacijama zbog ograničenih resursa mogu nastupiti problemi u realizacji pojedinih aktivnosti, tako da je neophodno odlučiti koja struktura ili vremenska kombinacija aktivnosti je najpovoljnija. Tehnike koje se bave analizom raspoređivanja resursa, zbog opsežnosti prikaza, ovdje se neće razmatrati.

• Analiza troškova može nastupiti tek nakon analize strukture i analize vremena. S obzirom da se troškovi uglavnom povezuju za resurse, to se često analiza resursa postavlja kao uslov analize troškova. Analiza troškova proizilazi iz ciljeva primjene metoda mrežnog programiranja koji sadrže, pored zahtjeva za usklađivanjem aktivnosti nekog projekta (analiza strukture) i završetkom projekta u najkraćem vremenu (analiza vremena), i zahtjev za realizacijom projekta uz minimalne troškove. Među najpoznatijim metodama za ovu analizu nalazi se PERT/COST metod, koji obezbjeđuje realno prognoziranje ukupnih troškova projekta i raspodjelu raspoloživih resursa uz održavanje rokova završetka projekta. U okviru predviđenog gradiva neće se izlagati ni metode analize troškova.

12.2. Analiza strukture

12.2.1. Osnovni elementi mrežnog dijagrama • Metode mrežnog programiranja zasnivaju se na takvim modelima gdje su različiti

događaji međusobno povezani aktivnostima. Takav model naziva se mrežnim dijagramom.

• U matematičkom smislu mrežni dijagram je konačan graf orijentiran strelicama, pri čemu se graf definira kao skup tačaka (vrhova ili događaja) {1,2,...,n} i skup duži {(i-j)}koje povezuju neke parove tih tačaka pri čemu bilo koja duž (i-j) ima početak u tački “i”, a završetak u tački “j”. Konačni grafovi imaju slijedeće karakteristike:

- postoji samo jedna tačka (događaj) u koju ne ulaze nijedna duž orijentirana strelicama i - postoji jedna tačka (događaj) iz koje ne izlazi nijedna orijentirana duž. • Osnovni elementi mrežnog dijagrama su: - projekat, - aktivnost i - događaj.

150

• Tehnike mrežnog programiranja obrađuju projekte. Pod pojmom projekat ovdje se podrazumijeva skup organizacionih, ekonomskih i tehničkih mjera usmjerenih na izradu novih objekata, sistema i uređaja ili izvršenje drugih sličnih zadataka.

• Svaki projekat se raščlanjuje na niz djelimičnih zadataka (poslova) koji su ograničeni tačkom početka i tačkom završetka. Definisani djelimični zadaci nazivaju se aktivnostima. Prema tome, aktivnost je djelimičan zadatak, posao ili proces koji se odigrava u vremenu. Aktivnost kao elemenat mrežnog dijagrama odražava:

(1) određenu etapu radnog procesa uz trošenje vremena i sredstava, (2) čekanje (troši se samo vrijeme) i (3) zavisnost bez trošenja vremena i sredstava (fiktivna ili prirodna aktivnost). • U mrežnom dijagramu, aktivnost se predstavlja pomoću orijentiranih duži dok se fiktivna

aktivnost predstavlja orijentiranom isprekidanom duži. • Događaj se definiše kao trenutak početka ili završetka aktivnosti, odnosno projekta. On se

predstavlja na dijagramu pomoću kruga koji se memoriše korištenjem pravila rastućeg uzastopnog numerisanja. Događaj ne troši ni vrijeme ni sredstva i za razliku od aktivnosti odigrava se trenutno.

• Početni događaj je trenutak u kome neka aktivnost može otpočeti, dok je završni događaj trenutak njenog završetka. Posebnu pažnju imaju početni događaj projekta koji nema prethodnih aktivnosti i završni događaj projekta nakon kojeg nema slijedećih aktivnosti. Znači, svaki projekat ima samo jedan početni i jedan završni događaj. Za ilustraciju predstavljanja aktivnosti Aij i događaja “i” i “j” koji povezuju aktivnost Aij može se dati slijedeća skica:

12.2.2. Sadržina analize strukture • Analiza strukture podrazumijeva utvrđivanje logičkog redoslijeda i međusobnih zavisnosti

pojedinih aktivnosti u okviru trajanja projekta. Analiza strukture sadrži: (1) ispostavljanje spiska aktivnosti i (2) konstrukciju mrežnog dijagrama. • Spisak aktivnosti sadrži navođenje svih poslova koji se moraju izvršiti da bi se realizovao

projekat. Utvrđivanje potpunog spiska aktivnosti jednog projekta može se izvršiti slučajnim prikupljanjem aktivnosti, sistematskom evidencijom aktivnosti i sl. Na osnovu spiska aktivnosti vrši se grafičko predstavljanje projekta korištenjem mrežnog dijagrama. U mrežni dijagram sistematski se uključuju sve aktivnosti. Za svaku aktivnost utvrđuje se slijedeće:

(1) aktivnosti koje moraju biti završene prije njenog otpočinjanja, (2) aktivnosti koje slijede nakon njenog završetka, (3) aktivnosti koje se moraju nezavisno paralelno odvijati i (4) da li se razmatrana aktivnost može podijeliti na dvije ili više aktivnosti. • Nakon utvrđivanja redoslijeda i zavisnosti pojedinih aktivnosti vrši se konstrukcija

mrežnog dijagrama na bazi geometrijskih pravila konstrukcije. Potom se vrši kontrola u odnosu na osnovna pravila crtanja. Na kraju analize strukture vrši se numerisanje događaja projekta.

i j Aij

151

12.2.3. Geometrijska pravila konstrukcije mrežnog dijagrama • Da bi prikaz toka odvijanja projekta bio vjerna slika realnih aktivnosti neophodno je

prilikom crtanja mrežnog dijagrama pridržavati se određenih uputstava i pravila. • Mrežni dijagram treba da predstavlja jedinstven povezan sistem aktivnosti koji je konačan

i ne sadrži alternative aktivnosti. Sam oblik mrežnog dijagrama nije bitan, već je značajno da se poštuje redoslijed aktivnosti. Pored prethodnog, prilikom crtanja mrežnog dijagrama, neophodno je poštovati slijedeća pravila:

(1) Strelice koje pokazuju aktivnost treba po pravilu orijentirati s lijeva na desno. Same strelice se mogu međusobno ukrštati, ali treba težiti ka izbjegavanju suvišnih presjeka.

(2) Svaka aktivnost započinje i završava se događajem. (3) Ako završetak jedne aktivnosti uslovljava početak druge aktivnosti, tada je završni

događaj prve aktivnosti identičan početnom događaju druge aktivnosti. (4) Ako završetak više aktivnosti uslovljava započinjanje slijedeće aktivnosti, tada je

završni događaj svih tih aktivnosti identičan početnom događaju slijedeće aktivnosti.

(5) Ako dvije ili više aktivnosti otpočinju

nakon što je prethodna aktivnost završena, onda sve te aktivnosti otpočinju u završnom događaju prethodne aktivnosti.

(6) Ako dvije ili više aktivnosti imaju zajednički početni i završni događaj, tada je njihova

identifikacija otežana, te je u cilju jednoznačne određenosti aktivnosti potrebno uvesti fiktivu aktivnosti u početnom ili završnom događaju.

1 3j

2 A B

B

A

C

B

C

D

A

1

2

3

4 5

152

(7) Ako u jednom događaju završava i otpočinje veći broj aktivnosti koje nisu sve

međusobno zavisne, tada se stvarne zavisnosti prikazuju pomoću fiktivnih aktivnosti.

(8) U mrežnom dijagramu može biti biti uveden proizvoljan broj fiktivnih aktivnosti. (9) Bilo koja aktivnost može se odvijati samo jednom, tako da se u mrežnom dijagramu ne

mogu pojavljivati petlje ili ciklusi. 12.2.4. Numerisanje događaja u mrežnom dijagramu • Nakon što je izvršena konstrukcija mrežnog dijagrama i kontrola u odnosu na pravila

crtanja, pristupa se numerisanju događaja po tzv. pravilu rastuće numeracije (pravilo Fulkersona) koje kaže:

(1) Početnom događaju projekta dodjeljuje se broj 1 (ili 0). (2) Precrtavaju se sve aktivnosti koje izlaze iz numerisanog događaja. (3) Numerišu se događaji u koje ulaze sve precrtane aktivnosti. Poželjna je rastuća

numeracija s lijeva na desno i odozgo ka dole. Koraci (2) i (3) se ponavljaju dok se svi događaji ne numerišu.

12.3. Analiza vremena

• Mrežni dijagram, konstruisan u analizi strukture projekta, obezbjeđuje preglednost u

redoslijedu izvršavanja aktivnosti. Međutim, pored uloge u grafičkom predstavljanju projekata, mrežni dijagram se može transformisati u matematički model u svrhu analize vremena.

• Analiza strukture za sve metode mrežnog programiranja izvodi se na isti način, dok se u analizi vremena metode razlikuju. Dvije osnovne metode mrežnog programiranja CPM i PERT razlikuju se u karakteru matematičkog modela: CPM koristi deterministički model, dok PERT polazi od stohastičkog modela, odnosno PERT, za razliku od CPM, u proračunu vremena unosi nesigurnost u vremenskoj procjeni trajanja pojedinih aktivnosti. U literaturi se može naći različita terminologija i označavanje pojmova u CPM i PERT, dok će se ovdje za iste pojmove koristiti isto ili slično označavanje.

A

B

A C

B D

5

6 7

8 9

10

153

• Analiza vremena se obavlja u trokoračnom postupku: (1) Utvrđivanje vremena trajanja aktivnosti (i-j) tj. tij. (2) Progresivni i retrogradni proračunu vremena, (3) Određivanje kritičnog puta i vremenskih rezervi. • Kod analize vremena po CPM utvrđuje se jedno vrijeme trajanja aktivnosti, dok kod

PERT-a se na bazi tri vremena izračunava tzv. očekivano vrijeme trajanja aktivnosti. Na bazi ova dva vremena izračunavaju se svi ostali vremenski parametri na osnovu kojih se kontroliše vremensko odvijanje projekta.

• Progresivni proračuni vremena podrazumijevaju izračunavanje najranijih početaka i najranijih završetaka aktivnosti polazeći od početnog događaja projekta. Najranije vrijeme nastupanja završnog događaja projekta ujedno predstavlja i najkraće vrijeme potrebno da bi se projekat realizovao.

• Retrogradni proračun vremena polazi od završnog događaja projekta i vrši se ka početnom događaju. U retrogradnom proračunu vremena izračunavaju se najkasniji završetak i najkasniji početak svake aktivnosti.

• Na osnovu proračuna u progresivnom i retrogradnom postupku određuje se kritični put projekta i izračunavaju vremenske rezerve. Pod kritičnim putem projekta podrazumijeva se niz međusobno povezanih aktivnosti između početnog i završnog događaja projekta koje imaju zbirno najduže vrijeme trajanja. Karakteristika svih događaja na kritičnom putu je identičnost najranijih i najkasnijih vremena nastupanja.

• Izračunavanje vremenskih rezervi u tehnici mrežnog programiranja ima poseban značaj, pošto one pokazuju koliko vremenskih jedinica se može odložiti početak ili završetak pojedinih aktivnosti. Kod PCM izračunavaju se (1) ukupna, (2) slobodna, (3) nezavisna i (4) uslovna vremenska rezerva, dok kod PERT-a samo uslovna vremenska rezerva. Na kritičnom putu sve vremenske rezerve imaju vrijednost nula.

12.3.1. Analiza vremena po CPM • Kod CPM, kao determinističke metode, analiza vremena vrši se na osnovu vremena

trajanja aktivnosti koje se može normirati i precizno odrediti. • Na osnovu konstruisanog mrežnog dijagrama i utvrđenih vremena trajanja aktivnosti, u

progresivnim proračunima vremena izračunava se: - najraniji početak aktivnosti (i-j) označen sa 0

it i

- najraniji završetak aktivnosti (i-j) označen sa 0jt .

• Najraniji početak aktivnosti (i-j) 0it podrazumijeva vremenski najraniji rok dešavanja i-tog

dsogađaja. Da bi aktivnost (i-j) otpočela neophodno je da sve aktivnosti koje joj neposredno prethode budu završene. Drugim riječima dogašaj i može biti postignut samo nakon isteka puta sa najdužim trajanjem.

• Pod najranijim završetkom aktivnosti (i-j) 0jt podrazumijeva se najraniji rok u kome je

postignut događaj “j”. Izračunava se sumiranjem trajanja aktivnosti (tij) sa vremenom 0it

tj. 0jt = 0

it + ijt

• U slučaju da u događaj “j” ulazi više puteva, onda se najraniji početak bilo koje aktivnosti koja ima “j” kao početni događaj izračunava iz izraza:

154

{ }n2,3,...,j 1;-n1,2,...,i j;i ječemu

,0 t;max 01

00

==<

=+=

pri

ttt ijii

j

• Nakon progresivnog proračuna vremena pristupa se retrogradnom proračunu, pri čemu se

polazi od završnog događaja projekta i ide ka početnom. U retrogradnom proračunu vremena izračunavaju se slijedeći vremenski parametri:

- najkasniji početak aktivnosti (i-j) označen sa 1it i

- najkasniji završetak aktivnosti (i-j) označen sa 1jt .

• Polazeći od najkasnijeg završetka projekta 1nt i uslova 1

nt = 0nt , najkasniji završetak

aktivnosti koja neposredno prethodi događaju “i” može se izračunati korištenjem izraza:

{ }.1,...,2,1i ,...,2;1,j j;i je

, t;min 01n

110

−−=−=<

=−=

nnnngdje

tttt nijji

i

• Svi izračunati parametri unose se u mrežni dijagram u kojem su događaji konstruisani na

slijedeći način:

• Na bazi prethodne slike može se uočiti da se maksimalno dozvoljeno trajanje

aktivnosti (i-j) dobiva kao razlika 1jt - 0

it .

• U okviru analize vremena slijedeći korak je utvrđivanje kritičnog puta koji predstavlja najduži put između početnog i završnog događaja projekta. Za aktivnosti koje se nalaze na kritičnom putu ili tzv. kritične aktivnosti važi relacija:

0it = 1

iz i 0jt = 1

jt

odnosno najraniji i najkasniji rokovi svakog događaja su identični. Bilo kakav produžetak vremenskog trajanja kritičnih aktivnosti utiče na rok završetka cjelokupnog projekta, pošto kritične aktivnosti nemaju vremenskog zazora. Jedan projekat može imati više kritičnih puteva, ali i subkritičnih kod kojih postoji mali zazor.

• Nekritične aktivnosti, za razliku od kritičnih raspolažu sa određenim vremenskim rezervama. Postoji više vrsta vremenskih rezervi koje su uslovljene odnosom razmatrane aktivnosti i neposredno prethodnih, odnosno neposredno narednih aktivnosti.

(1) Ukupna vremenska rezerva aktivnosti (i-j) definisana je izrazom:

ijij

t

ij tttS −−= 01.

Ukupna vremenska rezerva pokazuje za koliko se vremenskih jedinica može pomjeriti vrijeme trajanja aktivnosti od njezinog najranijeg početka, a da se pri tome ne ugrozi realizacija krajnjeg roka projekta.

(2) Slobodna vremenska rezerva aktivnosti (i-j) definisana je izrazom:

ijij

s

ij tttS −−= 00.

tij i

t0i t1

i

t0j t1

j

j

155

Ona ukazije na to za koliko vremenskih jedinica se može produžiti trajanje aktivnosti (i-j), ako je cilj zadržavanje najranijih početaka svih slijedećih aktivnosti. Zajednička karakteristika ukupne i slobodne vremenske rezerve je da pokazuje za koliko vremenskih jedinica se može odložiti početak aktivnosti. Ukupna vremenska rezerva obezbjeđuje nesmetani najraniji početak kritičnih aktivnosti, dok slobodna vremenska rezerva to isto obezbjeđuje i za nekritične aktivnosti.

(3) Nezavisna vremenska rezerva aktivnosti (i-j) definisana je izrazom:

ijij

n

ij tttS −−= 10.

Nezavisna vremenska rezerva ukazuje na to za koliko se može produžiti vrijeme trajanja aktivnosti, odnosno pomjeriti rok najranijeg početka aktivnosti. Pomjeranje roka početka aktivnosti ili vremena trajanja sve dok se potpuno ne iscrpi nezavisna vremenska rezerva neće imati nakakvog uticaja na vremenske parametre drugih aktivnosti mrežnog dijagrama. Nezavisna vremenska rezerva može poprimiti i negativne vrijednosti, ali se tada smatra da je jednaka nuli.

(4) Uslovna vremenska rezerva se, za razliku od ostalih vremenskih rezervi koje se izračunavaju za aktivnosti, odnosi samo na događaje. Definisana je izrazom:

01jj

u

j ttS −= .

12.3.2. Metoda PERT u analizi vremena • Za razliku od CPM metode, kod koje je vrijeme trajanja aktivnosti normirano,

odnosno poznato, kod metode PERT vrijeme trajanja je neophodno procijeniti. Stoga PERT metoda ima svoju veliku primjenu kod onih projekata koji se po prvi put izvode, kao npr. istraživački ili razvojni projekti.

• Kod procjene vremena, s obzirom da je PERT stohastička metoda, predspostavlja se da frekvencija trajanja pojedinih aktivnosti se ponaša po zakonu beta raspodjele.

• Kod PERT metode za svaku aktivnost se ocjenjuju tri vremena: (1) Optimističko vrijeme trajanja aktivnosti aij se definiše kao najkraće vrijeme

neophodno za izvršenje aktivnosti (i-j). (2) Najvjerovatnije vrijeme trajanja aktivnosti mij, koje označava najvjerovatnije

vrijeme izvršenja neke aktivnosti kod više ponavljanja pod istim uslovima. (3) Pesimističko vrijeme trajanja aktivnosti bij, koje predstavlja najduže vrijeme

izvođenja aktivnosti (i-j). • Prethodna tri vremena su reprezentativne vrijednosti beta raspodjele. Vjerovatnoće

ostvarenja optimističkog i pesimističkog vremena su nule, dok je njihov odnos prema najvjerovatnijem vremenu definisan relacijom:

ijijij bma ≤≤ .

• Na osnovu poznatih vrijednosti parametara aij, mij i bij izračunava se očekivano vrijeme trajanja aktivnosti (i-j) koje se označava sa (te)ij ili kraće tij na osnovu relacije:

6

4 t)( ij

ijijij

ij

bmate

++= .

• Odnos između najvjerovatnijeg i očekivanog vremena trajanja aktivnosti može se predstaviti grafički.

156

• Sa očekivanim vremenom trajanja aktivnosti po PERT metodi se postupa isto kao i

kod CPM sa trajanjem aktivnosti, ali je neophodno utvrditi i varijansu 2ijs da bi se

utvrdila odstupanja od podataka koji se uzimaju kao reprezentativni. Varijansa predstavlja mjeru grubosti definisanja polaznih parametara, odnosno mjeru nesigurnosti s kojom se procjenjuje trajanje aktivnosti. Varijansa očekivanog vremena trajanja aktivnosti (i-j) izračunava se korištenjem obrasca:

6

)(s )(

22ij

2 ijij

ij

ab −=δ .

• Na narednoj slici predstavljen je odnos raspodjele frekvencija i varijanse.

Vrijeme aij mij= tij bij

aij tij mij bij aij mij tij bij Vrijeme Vrijeme

a) mij - aij < bij - mij

Učestalost

b) mij - aij > bij - mij

Učestalost

c) mij - aij = bij - mij

Učestalost

157

• Na osnovu prethodnog može se zaključiti da kod ulaznih parametara bij može da bude mnogo veće od aij tj. da je ijij ab >> , jer je u tom slučaju veće rasipanje, veća

varijansa i veće nepreciznosti u definisanju pojedinih aktivnosti. • Na osnovu očekivanog vremena trajanja aktivnosti na isti način kao kod CPM

metode vrši se progresivni i retrogradni proračun vremena, određuje kritični put i izračunava uslovna vremenska rezerva (ostale vremenske rezerve se ne izračunavaju). Pošto se kod PERT metode koriste procijenjena vremena trajanja aktivnosti, ne može se biti siguran u kojem će se vremenu neka aktivnost tačo izvesti. Polazeći od distribucije vremena trajanja aktivnosti, svako vrijeme unutar intervala [[[[aij, bij]]]] ima vjerovatnoću da se realizuje kao stvarno vrijeme trajanja aktivnosti.

• Najraniji završetak aktivnosti (i-j) –tj računa se na bazi izvjesnih prosjeka trajanja aktivnosti, te i ono ima karakter prosječnih vrijednosti. Na osnovu određenih teorema (centralna granična teorema, adiciona teorema) dokazuje se da:

- raspodjela vrijednosti 0jt ponaša se po normalnoj distribuciji,

- varijansa raspodjele vrijednosti 0jt je jednaka sumi varijansi aktivnosti koje se

nalaze na putu do događaja “j”, - standardna devijacija sj distribucije 0

jt izračunava se kao kvadratni korijen sume

varijansi aktivnosti koje se nalaze na putu do događaja “j”. • Pošto je 0

jt srednja vrijednost normalne distribucije, to se na bazi tablice normalne

distribucije i zahtjevnog nivoa vjerovatnoće može utvrditi interval u kome će se desiti događaj “j”. To se postiže korištenjem relacije:

jj szt ⋅±0,

gdje je “z” faktor vjerovatnoće koji se može pročitati iz tablice normalne

distribucije. Npr. unutar intervala jj st 30 ± nalazi se svih 99,87% vrijednosti za 0jt .

• Takođe može se izvršiti proračun faktora vjerovatnoće (z) koji služi za utvrđivanje vjerovatnoće, odnosno procenta sigurnosti planiranih rokova izvršenja nekog događaja. Faktor vjerovatnoće događaja “j” može se izračunati korištenjem izraza:

aij mij bij

Frekvencija

Varijansa

aij mij bij

Frekvencija

Varijansa

a) RASPODJELA FREKVENCIJA S MALIM RASIPANJEM

( 2ijs - MALO)

b) RASPODJELA FREKVENCIJA S VELIKIM RASIPANJEM

( 2ijs - VELIKO)

158

j

jpj

js

tTZ

0−=

ili za planirani rok završetka projekta

n

npn

ns

tTZ

0−= ,

gdje je Tpj odnosno Tpn planirani rok nastupa događaja “j” odnosno “n”. • Na osnovu izračunatog faktora vjerovatnoće utvrđuje se vjerovatnoća nastupanja

događaja korištenjem tablice normalne distribucije.

z p(z) -3,0 -2,9 -2,8 -2,7 -2,6 -2,5 -2,4 -5,3 -2,2 -2,1 -2,0 -1,9 -1,8 -1,7 -1,6

0,0013 0,0019 0,0026 0,0035 0,0047 0,0062 0,0082 0,0107 0,0139 0,0179 0,0228 0,0287 0,0359 0,0449 0,0548

-1,5 -1,4 -1,3 -1,2 -1,1 -1,0 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1

0,0668 0,0808 0,0968 0,1151 0,1357 0,1587 0,1841 0,2119 0,2420 0,2743 0,3085 0,3446 0,3821 0,4277 0,4602

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9916 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987

• Ako je vjerovatnoća ispod 25%, onda se smatra da je to veliki rizik, a ako je između

25% i 60% vjerovatnoće rizik je normalan. 12.4. Analiza troškova • Pored analize strukture i vremena kod realizacije projekata neophodne je izvršiti i

analizu troškova. Svakoj aktivnosti ili grupi aktivnosti mogu se pridružiti troškovi ili neka druga procijenjena veličina, tako da se mogu razviti sistemi analize troškova bazirani na analizi vremena CPM, PERT ili nekom drugom metodu.

• Postoji više metoda koje se koriste u analizi troškova od kojih ćemo prikazati metodu PERT-COST (PERT troškovi) koja počinje sa analizom troškova nakon analize strukture i vremena projekta. Od mnogih varijanti metode PERT-COST koristit ćemo onu koja se zasniva na optimizaciji troškova na osnovu istog mrežnog dijagrama. Realno je pretpostaviti da svaka aktivnost ima osobinu da se njeno trajanje može smanjiti do određenog nivoa. Kada se ulaganjem dodatnih sredstava ostvari ta granica, tada nikakva dodatna ulaganja ne mogu uticati na dalje skraćivanje trajanja te aktivnosti. To minimalno trajanje aktivnosti naziva se usiljeno trajanje aktivnosti, dok troškovi koji nastaju pri takvom trajanju aktivnosti nazivaju se usiljeni (maksimalni) troškovi.

159

• Pored toga, aktivnost se karakteriše i nekim srednjim optimalnim trajanjem koje ćemo nazvati normalno trajanje aktivnosti. Ono ima osobinu da su troškovi izvršenja aktivnosti koje imaju normalno vrijeme trajanja minimalni.

• Jasno je da pri izboru tih kombinacija umanjenje vremena trajanja aktivnosti dovodi do povećanja troškova, što se može predstaviti krivom a).

• Nekada ova oblast može biti konstanta (prikazani rad po normalnoj tarifi) (b). U nekim slučajevima može nastupiti polidna zavisna.

• Za svaku aktivnost (i-j) može se odrediti normalno trajanje aktivnosti (tn)ij, usiljeno

trajanje oblasti (tu)ij, kao i direktne troškove povezane s njihovim izvršenjem (Cn)ij i (Cu)ij.

• Osnovu projektovanja troškova čini pretpostavka o postojanju proporcionalnog povećanja troškova aktivnosti sa skraćivanjem vremena aktivnosti. Tada se prosječni prirast troškova po jedinici skraćivanja aktivnosti može izračunati u obliku:

tu tn

Troškovi

Vrijeme

tu tn

Troškovi

Vrijeme

tu tn

Troškovi

Vrijeme

a) b)

160

ijniju

ijniju

ijtt

CCa

)()(

)()(

−

−= .

• U analizi troškova pored analize direktnih troškova, treba obuhvatiti i indirektne troškove koji su konstantni po jedinici vremena. Problem je u tome da se pronađu ukupni troškovi za razna trajanja aktivnosti. Kriva sume direktnih i indirektnih troškova ima svoj minimum kod nekog optimalnog vremena trajanja. Osnovni problem je da se pronađe tako vremensko trajanje aktivnosti kod kojeg su troškovi minimalni. Mi ćemo se u analizi troškova ograničiti samo na direktne troškove.

• Skraćivanje čitavog projekta moguće je ako se pridržava slijedećih heurističkih pricipa:

(1) Na kritičnom putu skratit će se trajanje ove aktivnosti za koju je prosječni priraštaj troškova minimalan.

(2) Kada se postigne minimalno vrijeme trajanja aktivnosti s minimalnim prosječnim priraštajem troškova prelazi se na dalje skraćivanje aktivnosti na kritičnom putu s neposredno većim prosječnim priraštajem troškova i to se nastavlja sve dotle dok se ne dođe do pojave novog kritičnog puta, koji povezuje drugi skup aktivnosti s istim ukupnim vremenom trajanja.

(3) U toku skraćivanja projekta moguće je da se pojavi više kritičnih puteva. To vodi tome da se istovremeno mora skratiti više aktivnosti da bi se skratio čitav projekat. Skraćivanje svakog kritičnog puta vrši se za isti broj vremenskih jedinica, a pri tome se vodi računa da se skrate najjeftinije aktivnosti.

(4) Postupak se nastavlja na sličan način sve dok se ne postigne unaprijed planirani rok projekta ili se ne iskoriste sva moguća skraćenja vremena trajanja aktivnosti na kritičnim putevima koji nastaju u pojedinim etapama.

• Primjer 1.

Na osnovu ispostavljanog spiska aktivnosti sa vremenima trajanja u sedmicama izvršiti analizu strukture i vremena projekta.

Aktivnost Zavisi od aij mij bij tij ρρρρ2

A - 8 10 12 10 4/9

B A 5 6 7 6 1/9

C A 4 6 8 6 4/9

D A 10 10 10 10 0

E C 1 3 5 3 4/9

F D 12 14 16 14 4/9

G B 3 4 5 4 1/9

H C 15 20 25 20 25/9

I E,F 3 4 5 4 1/9

J D 9 12 15 12 1

K E,F 7 10 13 10 1

L G,H,I 6 8 10 8 4/9

M J 2 3 4 3 1/9

161

S1 = 0 - 0 = 0

S2 = 10 - 10 = 0

S3 = 34 -16 = 18

S4 = 18 - 16 = 2

S5 = 20 - 20 = 0

S6 = 34 - 34 = 0

S7 = 43 - 32 = 11

S8 = 46 - 46= 0

Kolika je vjerovatnoća završetka projekta, ako bi smo željeli da se projekat završi za 49 dana, a kolika ako želimo završetak za 43 dana?

0,62%p(-2,5) 5,29/13

4643z

99,38%p(2,5) 5,213

9

3/13

3

9/49/19/409/4

4649

8

8

=−=−

=

====++++

−=z

• Primjer 2.

Potrebno je izvršiti zamjenu motora. Odrediti rok zamjene ako je poznata slijedeća lista aktivnosti sa njihovim trajanjem:

Aktivnost Zavisi od Vrijeme trajanja

A Izvaditi motor -. 4

B Postaviti glavni cilinda A 1

C Podesiti ventile A 2

3 34 16

8

1 0 0

2

2 10 10

5

4 18 16

8

6 34 34

8

9 46 46

8 38 38

9

5 20 20

6

7 43 32

9

10 6

10 14

12

6

4

20

3

4

8

10

3

162

D Staviti glavu A 5

E Izraditi klipove B 3

F Izbušiti poluge E 2

G Izbrusiti cilindar C 7

H Obnoviti ... C 6

I Zamjena klipa G 1

K Staviti blok motora D,H,I 6

L Staviti i ugraditi motor F,K 8