4

DERIVATE

La derivata di una funzione in un punto c, quando esiste, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c: , dove α è l’angolo che tale retta forma con la direzione positiva dell’asse x. Equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto P(x0;y0):

Una funzione f è derivabile in c 1. f è definita in un intorno del punto c; 2. 3.

TEOREMA di CONTINUITÀ/DERIVABILITÀ

HP) Sia f una funzione derivabile in In simboli:

TH) Allora f è continua in ossia

(Dimostrazione pag. 1566) In sintesi: !#$%&'()&*$&+,- ⟹ !/0+1&+2(&+,-

Da cui segue: !343/0+1&+2(&+,- ⟹ !343#$%&'()&*$&+,-

′f c( ) = Df c( ) = mtg = tanα

y − y0 = ′f x0( ) ⋅ x − x0( )

⇔

′f+ c( ) = ′f− c( ) = ′f c( ) ′f c( )∈!

0x( ) ( ) ( )0 0

00 ed è finito lim

h

f x h f xf x

h®

+ -¢$ =

0x ( ) ( )0

0limx x

f x f x®

Þ = ( ) ( )0 00limhf x h f x

®+ =

5

DERIVATE FONDAMENTALI e REGOLE DI DERIVAZIONE

6

REGOLE DI DERIVAZIONE DI FUNZIONI COMPOSTE (ESPLICITATE) DERIVATA FUNZIONE POTENZA COMPOSTA

DERIVATA FUNZIONI ESPONENZIALI COMPOSTE

DERIVATA FUNZIONE LOGARITMO COMPOSTA

5[789:;(=)] =AB(C)A(C)

. EFG:

DERIVATA FUNZIONI GONIOMETRICHE COMPOSTE

DERIVATA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO

TEOREMA della DERIVATA della FUNZIONE INVERSA HP) Sia una funzione derivabile ed invertibile nell’intervallo I e sia la sua funzione inversa.

Se vale anche

TH) Allora anche è derivabile e vale la relazione dove

( )y f x= ( )1x f y-=

( ) 0,f x x I¢ ¹ " Î

( )1x f y-= D f −1 y0( )⎡⎣ ⎤⎦ =

1D f x0( )⎡⎣ ⎤⎦

( )0 0y f x=

7

Punti di non derivabilità

A e B: punti di Flesso a tangente verticale

C e D: punti di Cuspide

E e F: Punti Angolosi

Indicativamente: Se in sono presenti dei moduli (tipo ) è probabile che ci siano punti angolosi; se sono presenti radici di indice pari o dispari ci sono probabilmente punti di flesso a tangente verticale (tipo

) o punti di cuspide (tipo ).

y = f x( ) y = x

y = x3 y = x23

8

CRITERIO di DERIVABILITÀ (conseguenza del Teorema di Lagrange) HP) Sia f una funzione continua in e derivabile in tranne al più in .

Se esiste (finito o infinito)

TH) Allora esiste anche e sono uguali:

Analogamente: HP) Sia f una funzione continua in e derivabile in tranne al più in .

Se esiste (finito o infinito)

TH) Allora esiste anche e sono uguali:

In particolare, se = =l, allora la funzione è derivabile e risulta ;′(=I) = 7

Applicazione del Criterio di Derivabilità per la ricerca dei punti di non derivabilità 1) Data una funzione , determinare il Dominio Df della funzione. 2) Calcolare la derivata e determinare il dominio della funzione derivata prima, . 3) Un punto di ascissa è candidato ad essere punto di non derivabilità se (e solo se):

a) ma ; b) x0 è il punto di passaggio da un’espressione analitica ad un’altra (per le funzioni definite a tratti), dopo essersi accertati

che sia un punto di continuità (dal momento che vale: ) 4) Calcolare i limiti sinistro e destro della derivata prima: e classificare il punto x0 in base

all’esito dei valori ottenuti. DIFFERENZIALE di una funzione

Considerando la funzione si ha JK = J= = 1 ∙ Δ= da cui segue: .

Si è soliti scrivere: , cioè il differenziale di una funzione è il prodotto della sua derivata per il differenziale della variabile indipendente x. Da tale uguaglianza segue anche: ;O(=) = PQ

PC (notazione di Leibniz per le derivate)

La derivata prima di una funzione è dunque il rapporto fra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente. INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL DIFFERENZIALE:

RS = JK RT = ΔK Graficamente, sostituire ΔK con JK significa sostituire al grafico della funzione, la sua tangente. Il differenziale di una funzione costituisce un’approssimazione dell’incremento della funzione. Si può allora calcolare in modo approssimato come

Approssimare l’incremento di una funzione con il suo differenziale significa approssimare la funzione con la sua retta tangente.

[ ];a b ] [;a b x0 ∈ a;b⎤⎦ ⎡⎣( )

0

limx x

f x+®¢

( )0f x+¢ ( ) ( )0

0 limx x

f x f x++

®¢ ¢=

[ ];a b ] [;a b 0x

( )0

limx x

f x-®¢

( )0f x-¢ ( ) ( )0

0 limx x

f x f x--

®¢ ¢=

( )0

limx x

f x-®¢ ( )

0

limx x

f x+®¢

y = f x( )′f x( ) ′Df

x0x0 ∈Df x0 ∉ ′Df

f non continua in x0 ⇒ f non derivabile in x0

limx→x0

−′f x( ) = l1 lim

x→x0+

′f x( ) = l2

y = x dx = Δx

dy = ′f x( )dx

f (x + Δx) f x + Δx( ) = f x( ) + Δy⇒ f x + Δx( ) ≈ f x( ) + dy⇒f x + Δx( ) ≈ f x( ) + ′f x( ) ⋅ Δx

9

TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

TEOREMA di ROLLE (matematico francese, fine ‘600) HP) Sia f una funzione continua in , derivabile in e

TH) Allora esiste almeno un punto c in , in cui f’(c) si annulla.

In simboli:

Interpretazione geometrica: esiste almeno un punto interno all’intervallo in cui la retta tangente è parallela all’asse x. (Dimostrazione pag. 1658)

TEOREMA di LAGRANGE (o teorema del valor medio) (matematico italiano, fine ‘700) HP) Sia f una funzione continua in e derivabile in

TH) Allora esiste almeno un punto c in , in cui

In simboli:

Interpretazione geometrica: esiste almeno un punto interno all’intervallo in cui la retta tangente è parallela alla retta passante per il punti A(a; f(a)) e B(b; f(b)). (Dimostrazione pag. 1660) Si chiama anche “teorema del valor medio” perché se la funzione è s=s(t) e si considera la variabile t tempo, il teorema di Lagrange assicura che esiste un istante t=c in cui la velocità istantanea del moto in esame è uguale alla velocità media del moto stesso. COROLLARI al TEOREMA di LAGRANGE (pag. 1662) 1° Corollario

HP) Sia f una funzione continua in e derivabile in e

TH) Allora è costante per ogni ossia

2° Corollario HP) Siano f e g due funzioni continue in e derivabili in e

TH) Allora e differiscono per una costante ossia

3° Corollario: CRITERIO di DERIVABILITÀ: è una conseguenza del Teorema di Lagrange

[ ];a b ] [;a b( ) ( )f a f b=

] [;a b

] [ ( ); : 0c a b f c¢$ Î =

[ ];a b ] [;a b] [;a b

( ) ( ) ( )f b f af c

b a-

¢ =-

] [ ( ) ( ) ( ); :

f b f ac a b f c

b a-

¢$ Î =-

[ ];a b ] [;a b( ) ] [0 ;f x x a b¢ = " Î

( )f x [ ];x a bÎ f x( ) = k, ∀x ∈ a;b⎡⎣ ⎤⎦ ,k ∈!

[ ];a b ] [;a b( ) ( ) ] [;f x g x x a b¢ ¢= " Î

( )f x ( )g x

f x( ) = g x( ) + k, ∀x ∈ a;b⎡⎣ ⎤⎦ ,k ∈!

10

CRESCENZA E DECRESCENZA PER UNA FUNZIONE TEOREMA per lo studio della crescenza e decrescenza di una funzione (pag. 1663/1664)

HP) Sia f una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I (cioè in ) TH) Allora si ha che:

• se allora è crescente in I ( )

• se allora è decrescente in I ( ) TEOREMA “INVERSO” del precedente

HP) Sia f una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I (cioè in ) TH) Allora si ha che:

• se è crescente in I ( ) , allora

• se è decrescente in I ( ), allora

TEOREMA DI DE L’HOSPITAL (matematico francese, fine ‘600) (pag. 1666) HP)

1) Siano f e g due funzioni definite e derivabili in un intorno Ix0, escluso al più , con

2) ,

3)

4) esiste (finito o infinito)

TH) Allora esiste anche ed è uguale ad l, ossia

TEOREMA DI FERMAT (matematico francese, inizio ‘600) HP) Sia f una funzione definita in e derivabile in e sia ascissa di un punto di max (o di min) relativo. ( interno all’intervallo )

TH) Allora N.B. Questo teorema fornisce una C.N. ma non S. per l’esistenza di un max o un min relativo in un punto interno ad un intervallo. Non è infatti invertibile: osserva cosa accade nel punto (2;3) in figura. La derivata prima in x=2 è zero, ma non c’è né max né min relativo, bensì c’è un punto di flesso a tangente orizzontale.

0I

( )0

0f x x I¢ > " Î ( )f x f ↗

( )0

0f x x I¢ < " Î ( )f x f ↘

0I

( )f x f ↗ ( )0

0f x x I¢ ³ " Î

( )f x f ↘ ( )0

0f x x I¢ £ " Î

0x

( ) { }0 00 xg x x I x¢ ¹ " Î -

limx→x0

f x( )g x( ) =

00

oppure = ∞∞

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )( )0

limx x

f xl

g x®

¢=

¢

( )( )0

limx x

f xg x®

( )( )

( )( )0 0

lim limx x x x

f x f xl

g x g x® ®

¢= =

¢

[ ];a b ] [;a b ] [0 ;x a bÎ

0x [ ];a b( )0 0f x¢ =