Session 2 tegangan & regangan pada beban aksialaksial menghasilkan regangan normal. The civil and planning engineering education department State University of Yogyakarta – Faculty

Session 2tegangan & regangan pada

beban aksialMekanika Teknik III

The civil and planning engineering education departmentState University of Yogyakarta – Faculty of Engineering

Kesesuaian sebuah struktur atau mesin bisa jadi tergantung pada deformasi-deformasi pada struktur tersebut serta tegangan-tegangan yang diinduksikanakibat pemb bebanan. Analisis-analisis statik saja tidak cukup untuk menyelesaikanhal tersebut.

Dengan menganggap struktur-struktur sebagai benda terdeformasi memungkinkanpenentuan gaya-gaya elemen dan reaksi-reaksi yang berupa statik-tak-tentu

Penentuan distribusi tegangan dalam sebuah elemen juga memerlukanpertimbangan deformasi dalam elemen tersebut


L

AP

AP

δε

σ

=

==22

LL

AP

δδε

σ

==

=

22

tegangan

regangan normal

PA

L

σ

δε

= =

= =


Uji tegangan-regangan


Diagram tegangan-regangan : bahan bersifat daktil


Diagram tegangan-regangan : bahan bersifat getas


Hukum Hooke

Elasticity of Modulus or Modulus Youngs=

=E

Eεσ

Di bawah tegangan luluh :

Kekuatannya dipengaruhi oleh pemaduanlogam, perlakuan panas, dan proses manufakturnya, namun kekakuannya(modulus elastisitasnya) tidak


Perilaku elastik vs plastik

Bila regangan menghilang setelahtegangan dilepaskan, bahan tersebutdikatakan berperilaku elastik.

Tegangan terbesar yang menyebabkanhal tersebut dinamakan batas elastik(elastic limit)

Bila regangan tidak kembali nolsetelah tegangan dilepaskan, makabahan tersebut dikatakan berperilakuplastik


Deformasi akibat beban aksialBerdasarkan hokum Hooke :

AEP

EE ===

σεεσ

Berdasarkan definisi regangan :Lδε =

Menyamakan dan menyelesaikannya : AEPL

=δ

Bila terdapat variasi-variasi dalam pembebanan, luasanpenampang dan sifat-sifat bahan :

∑=i ii

iiEALPδ


Contoh 02.1

in. 618.0 in. 07.1

psi1029 6

==

×= −

dD

E

Tentukan deformasi batang baja di atasakibat beban-beban yang bekerja

SOLUSI :Bagilah batang tersebut menjadi komponen-komponen pada titik-titik bekerjanya gaya

Lakukan analisis badan-beban (free-body analysis) pada setiap komponen untukmenentukan gaya dalamnya

Evaluasilah defleksi total komponen tersebut


221

21

in 9.0

in. 12

==

==

AA

LL

23

3

in 3.0

in. 16

=

=

A

L

SOLUSI :Bagilah batang tersebut menjaditiga komponen

Lakukan analisis badan-bebas pada setiapkomponen untuk menentukan gaya-gaya dalamnya

lb1030

lb1015

lb1060

33

32

31

×=

×−=

×=

P

P

P

Evaluasi defleksi totalnya

( ) ( ) ( )

in.109.75

3.0161030

9.0121015

9.0121060

10291

1

3

333

6

3

33

2

22

1

11

−×=

×+

×−+

×

×=

++=∑=

ALP

ALP

ALP

EEALP

i ii

iiδ

in. 109.75 3−×=δ


Contoh Kasus 2.1

• Sebuah batang kaku BDE didukung olehdua buah batang lain, AB dan CD

• Batang AB terbuat dari aluminum (E=70 GPa) dan memiliki luasan penampang50 mm2. Batang CD terbuat dari baja(E=200 GPa), dan memiliki luasanpenampang 600 mm2.

• Bila struktur tersebut diberikan gaya 30 kN, tentukan defleksi: a) di titik B, b) titik D, c) dan titik E.

SOLUSI :

• Lakukan analisis badan bebaspada batang BDE untukmenemukan gaya-gaya yang bekerja pada batang AB dan DC.

• Evaluasi deformasi yang terjadipada batang AB dan DC ataudisplacement di titik B dan D

• Lakukan analisis geometri untukmenemukan defleksi di titik E bila defleksi di titik B dan D diketahui.


Displacement of B:

( )( )( )( )

m10514

Pa1070m10500m3.0N1060

6

926-

3

−×−=

××

×−=

=AEPL

Bδ

↑= mm 514.0BδDisplacement of D:

( )( )( )( )

m10300

Pa10200m10600m4.0N1090

6

926-

3

−×=

××

×=

=AEPL

Dδ

↓= mm 300.0Dδ

Free body: batang BDE

( )

( )ncompressioF

F

tensionF

F

M

AB

AB

CD

CD

B

kN60

m2.0m4.0kN300

0M

kN90

m2.0m6.0kN300

0

D

−=

×−×−=

=

+=

×+×−=

=

∑

∑

SOLUSI:


Displacement of D:

( )

mm 7.73

mm 200mm 0.300mm 514.0

=

−=

=′′

xx

xHDBH

DDBB

↓= mm 928.1Eδ

( )

mm 928.1mm 7.73

mm7.73400mm 300.0

=

+=

=′′

E

E

HDHE

DDEE

δ

δ

Ketidak-tentuan Statik


• Struktur-struktur yang gaya-gaya dalam danreaksi-reaksinya tidak dapat ditentukan darianalisis statik saja dikatakan sebagai strukturstatik tak-tentu (statically indeterminate).

0=+= RL δδδ

• Deformasi-deformasi akibat beban-beban nyatadan reaks-reaksi kelebihan ditentukan secaraterpisah dan kemudian ditambahkan kembali(superposisi)

• Reaksi-reaksi kelebihannya digantikan denganbeban-beban yang tak diketahui, bersamaandengan beban-beban lain harus menghasilkandeformasi-deformasi yang sesuai.

• Sebuah struktur bersifat statik tak-tentu padasaat struktur tersebut ditahan oleh lebih darisatu tumpuan yang diperlukan untukmempertahankan kesetimbangannya.


Tentukan reaksi-reaksi di titik A dan B untukbatang baja dan pembebanannya seperti terlihatdi samping.

• Selesaikan reaksi di A akibat beban-beban danreaksi di B

• Displacement akibat pembebanan dandisplacement akibat reaksi kelebihan perludisesuaikan (jumlahnya harus nol)

• Selesaikan displacement di B akibat reaksikelebihan di B.

SOLUSI:

• Anggap reaksi di B sebagai kelebihan, lepaskanbatang tersebut dari tumpuan B dan selesaikandisplacement di B akibat beban-beban yang bekerja


SOLUSI:• Selesaikan displacement di B akibat beban-beban yang

bekerja dengan melepaskan tumpuan di B

EEALP

LLLL

AAAA

PPPP

i ii

ii9

L

4321

2643

2621

34

3321

10125.1

m 150.0

m10250m10400

N10900N106000

×=∑=

====

×==×==

×=×===

−−

δ

• Selesaikan displacement di B akibat reaksi kelebihandi B

( )∑

×−==

==

×=×=

−==

−−

iB

ii

iiR

B

ER

EALPδ

LL

AA

RPP

3

21

262

261

21

1095.1

m 300.0

m10250m10400


• Displacement akibat beban-beban dan akibat reaksikelebihan harus bersesuaian

( )

kN 577N10577

01095.110125.1

0

3

39

=×=

=×

−×

=

=+=

B

B

RL

R

ER

Eδ

δδδ

• Tentukan reaksi di A akibat beban dan reaksi di B

kN323

kN577kN600kN 3000

=

∑ +−−==

A

Ay

R

RF

kN577

kN323

=

=

B

A

R

R


Nisbah Poisson• Untuk sebuah batang langsing yang menerima

beban aksial :

0=== zyx

x Eσσσε

• Elongasi arah x dibarengi dengan kontraksi di arah yang lain. Bila diasumsikan bahantersebut isotropik :

0≠= zy εε

• Nisbah Poisson dinyatakan sebagai :

x

z

x

y

εε

εε

ν −=−==strain axialstrain lateral


• Untuk sebuah batang yang menerima berbagaibeban aksial, komponen regangan normal yang dihasilkan dari komponen tegangan dapatditentukan dari prinsip superposisi. Dalam halini :

•Regangan secara linier berhubungan dengantegangan

•Deformasinya kecil

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

+−−=

−+−=

−−+=

• Dengan batasan-batasan tersebut :


• Relatif terhadap kondisi tak tertegang, perubahanvolumenya :

( )( )( )[ ] [ ]

( ) e)unit volumper in volume (change dilatation

21

111111

=

++−

=

++=

+++−=+++−=

zyx

zyx

zyxzyx

E

e

σσσν

εεε

εεεεεε

• Untuk elemen yang menerima tekanan hidrostatismerata :

( )

( ) modulusbulk 213

213

=−

=

−=−

−=

ν

ν

Ek

kp

Epe

• Akibat tekanan yang merata, dilatasinya harusnegative, sehingga :

210 <<ν


• Suatu elemen kubikus yang menerima tegangan geserakan berdeformasi menjadi rhomboid. Regangangeser yang bersesuaian dihitung dalam bentukperubahan sudut di antara kedua sisinya

( )xyxy f γτ =

• Gambaran tegangan geser terhadap regangan gesermirip dengan gambaran tegangan normal terhadapregangan normal, kecuali bahwa nilai kekuatannyakurang lebih hanya setengahnya. Untuk regangan-regangan kecil :

zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===

Dimana G adalah modulus of rigidity atau modulus geser

Regangan Geser


SOLUSI :

• Tentukan deformasi angular rerataatau regangan geser pada bloktersebut

• Gunakan definisi tegangan geseruntuk menemukan gaya P.

Suatu balok persegi terbuat dari suatubahan dengan modulus of rigidity G = 90 ksi terikat olelh dua buah plat horizontal kaku. Plat bagian bawahterpasang sempurna sedangkan plat bagian atas menerima gaya horizontal P. diketahui bahwa plat bagian atasbergerak 0.04 in akibat aksi gayatersebut, tentukan a) regangan geserrerata pada bahan tersebut, dan b) gayayang diterima pada plat tersebut.

• Gunakan hokum Hooke untuktegangan dan regangan geser untukmenentukan tegangan geser yang bersesuaian


rad020.0in.2

in.04.0tan ==≈ xyxyxy γγγ

• Tentukan deformasi angular rerata atauregangan geser blok tersebut

( )( ) psi1800rad020.0psi1090 3 =×== xyxy Gγτ

• Gunakan hukum Hooke untuk tegangan danregangan geser untuk menemukan tegangangeser yang bersesuaian

( )( )( ) lb1036in.5.2in.8psi1800 3×=== AP xyτ

kips0.36=P

• Gunakan definisi tegangan geser untukmenemukan gaya P.


Hubungan E, v, dan G• Sebuah batang langsing yang dibebani

secara aksial akan memanjang pada arahaksial dan berkontraksi di arah yang lain.

( )ν+= 12GE

• Komponen regangan normal dan geserdihubungkan :

• Bila elemen kubikus diorientasikan sepertigambar di bawah, maka ia akanberdeformasi menjadi rhombus. Bebanaksial juga muncul dalam tegangan geser.

• Sebuah elemen kubikus awal diorientasikanseperti gambar di atas akan berdeformasimenjadi rectangular parallelepiped. Gaya aksial menghasilkan regangan normal.


ContohSebuah lingkaran dengan diameter d = 9 in digambarkan dalam sebuah plat aluminum tak-tertegang dengan ketebalan t = ¾ in. Gaya yang bekerja pada bidang datar plat menyebabkan tegangan normal σx = 12 ksidan σz = 20 ksi.

bila E = 10x106 psi dan ν = 1/3, tentukanperubahan :

a) panjang diameter AB,

b) panjang diameter CD,

c) Ketebalan plat

d) Volume plat


SOLUSI:

• Gunakan persamaan umum Hooke untuk menemukan tiga komponenregangan normal

( ) ( )

in./in.10600.1

in./in.10067.1

in./in.10533.0

ksi20310ksi12

psi10101

3

3

3

6

−

−

−

×+=

+−−=

×−=

−+−=

×+=

−−

×=

−−+=

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

• Temukan komponen deformasinya

( )( )in.9in./in.10533.0 3−×+== dxAB εδ

( )( )in.9in./in.10600.1 3−×+== dzDC εδ

( )( )in.75.0in./in.10067.1 3−×−== tyt εδ

in.108.4 3−×+=ABδ

in.104.14 3−×+=DCδ

in.10800.0 3−×−=tδ

• Temukan perubahan volumenya

( ) 33

333

in75.0151510067.1

/inin10067.1

×××==∆

×=++=

−

−

eVV

e zyx εεε

3in187.0+=∆V

Documents

Session 2 tegangan & regangan pada beban aksialaksial menghasilkan regangan normal. The civil and planning engineering education department State University of Yogyakarta – Faculty