Embed Size (px)
Citation preview
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
Ekonomski fakultet u Osijeku
Seminarski rad iz kolegija
Revizija financijskih institucija
Primjena statističkih metoda s naglaskom na trend,
korelaciju i regresiju
Student(i): Mentor:
Ines Ličina, 01820, doc.dr.sc. Ivo Mijoč
Dragana Lisjak 01821.
Osijek, siječanj 2014.
Sadržaj
1. Uvod ................................................................................................................................... 1
2. Metodologija rada ............................................................................................................. 2
3. Važnost analitičkih postupaka u poslovanju .................................................................. 4
3.1. Mjesto i važnost analitičkih postupaka u provedbi revizije financijskih izvještaja .... 4
4. Metode revizije .................................................................................................................. 6
4.1. Opće metode ................................................................................................................ 8
4.1.1. Induktivna metoda ................................................................................................ 8
4.1.2. Deduktivna metoda .............................................................................................. 8
4.1.3. Empirijska metoda ................................................................................................ 8
4.2. Specijalne metode ........................................................................................................ 9
4.2.1. Metoda intenziteta ispitivanja .............................................................................. 9
4.2.2. Metoda smjera ispitivanja .................................................................................... 9
4.2.3. Metoda opsega ispitivaja .................................................................................... 10
4.2.4. Metoda načina ispitivanja ................................................................................... 10
4.3. Analitički postupci ..................................................................................................... 11
4.3.1. Korištenje omjera ............................................................................................... 12
4.3.2. Strukturna izvješća ............................................................................................. 12
4.3.3. Analiza vremenskog niza ................................................................................... 13
4.3.4. Analiza trenda .................................................................................................... 13
4.3.5. Altmanov sustav pokazatelja .............................................................................. 13
4.3.6. Regresijska analiza ............................................................................................. 14
4.3.7. Financijsko modeliranje ..................................................................................... 15
4.3.8. Metoda uzročnog povezivanja (korelacija) ........................................................ 15
5. Trend, korelacija i regresija ........................................................................................... 16
5.1. Trend .......................................................................................................................... 16
5.1.1. Komponente vremenskog niza ........................................................................... 17
5.1.2. Modeli trenda ..................................................................................................... 20
5.1.3. Pomični prosjeci ................................................................................................. 28
5.1.4. Metoda analize sezonskih pojava ....................................................................... 30
5.2. Korelacija ................................................................................................................... 34
5.2.1. Vrste varijabla .................................................................................................... 34
5.2.2. Dijagram rasipanja ............................................................................................. 35
5.2.3. Pearsonov koeficijent korelacije ........................................................................ 36
5.2.4. Spearmanov koeficijent korelacije ranga ........................................................... 39
5.3. Regresija .................................................................................................................... 41
5.3.1. Jednostavna linearna regresija ............................................................................ 42
5.3.2. Regresijski model ............................................................................................... 42
5.3.3. Koeficijent determinacije ................................................................................... 48
6. Primjena statističkih metoda na odabranom uzorku .................................................. 50
6.1. Primjena trenda, korelacije i regresije u analizi financijskih izvješća ....................... 50
6.2. Primjena statističkih metoda u analizi uzorka ........................................................... 54
7. Zaključak ......................................................................................................................... 58
Literatura ................................................................................................................................ 59
Prilog ....................................................................................................................................... 61
Popis tablica .......................................................................................................................... 61
Popis grafikona ..................................................................................................................... 61
Popis slika ............................................................................................................................. 62
Popis formula ........................................................................................................................ 62
Anketni upitnik – pitanja i odgovori ..................................................................................... 67
1
1. Uvod
Jedna od osnovnih karakteristika poslovnog okruženja današnjice su brze i brojne promjene
među kojima je i velika količina podataka s kojima se susrećemo svakodnevno. Razlikovanje
izvora i razina kvalitete podataka te njihovo pravilno tumačenje je od izuzetne važnosti. Ako
su podaci prikupljeni planski, smatraju se statističkim te je njihovo pretvaranje u informacije
moguće upotrebom statističkih metoda. Statističke metode se upotrebljavaju u svim sferama
poslovanja: razvoju, proizvodnji, marketingu, financijama, računovodstvu i reviziji i dr. U
području poslovanja i ekonomije statističke su metode temeljne analitičke metode.
Na području revizije donošenje zaključaka se temelji na financijskim izvješćima te
pokazateljima analize financijskih izvješća. Financijska izvješća je moguće analizirati raznim
metodama, a jedna od njih su i analitički postupci. Analitičikim postupcima uspoređuju se
dostupni podaci sa podacima prethodnih razdoblja, očekivanim rezultatima ili podacima iz
iste gospodarske djelatnosti. U analitičke postupke se ubrajaju i statističke metode: trend,
korelacija i regresija. Navedene metode se primjenjuju u mnogim stručnim i znanstvenim
područjima te predstavljaju pojednostavljenu sliku stvarnih pojava. U praksi se koriste za
utvrđivanje povezanosti između pojava te za predviđanje istih u budućnosti.
U sklopu ovoga seminarskog rada metoda trenda, korelacije i regresije će biti detaljno
teorijski objašnjene te potkrijepljene primjerima, kako fiktivnim, tako i primjerima izračuna
na temelju realnih financijskih izvješća i analiziranih podataka provedenih putem ankete.
2
2. Metodologija rada
Seminarskim radom obrađuje se tematika statističkih metoda s naglaskom na trend, korelaciju
i regresiju, u sklopu kolegija Revizija financijskih institucija. Predmet rada je istražiti
statističke metode koje se ubrajaju u analitičke postupke korisne u procesu revizije uz
isticanje trenda, korelacije i regresije te analiza podataka iz ankete navedenim ili dodatnim
statističkim metodama, ovisno o karakteru podataka.
Cilj rada predstavlja uočavanje mogućnosti analize pomoću navedenih metoda. Ujedno, autori
će korištenjem navedenih metoda pokušati potkrijepiti postavljene hipoteze. Prva hipoteza
glasi: Sve tri istaknute metode zahtijevaju vremenski niz podataka. Druga hipoteza
formulirana je na slijedeći način: Proučavanim metodama1 mogu se analizirati kvalitativni
podaci.
Rad se sastoji od dva dijela. U prvom, teorijskom dijelu koji obuhvaća poglavlja 3., 4. i 5.
detaljno su objašnjene i klasificirane metode koje se koriste u postupku revizije s naglaskom
na statističke metode trenda, korelacije i regresije koje su ujedno i predmet proučavanja rada.
Osim teorijskih objašnjenja pojedinih metoda, u poglavlju 5. Trend, korelacija i regresija
prikazani su primjeri izračuna metoda. Također, poglavlje 3. govori o važnosti analitičkih
postupaka u poslovanju.
Drugi dio rada (koji obuhvaća poglavlje 6.) prikaz je primjene teorijski obrađenih metoda u
analizi reprezentativnog uzorka2. Uzorak čini 15 gospodarskih subjekata koji posluju u
Republici Hrvatskoj, a prema Zakonu o računovodstvu3 svrstavaju se u skupinu velikih
poduzeća. S obzirom na kvalitativan karakter većine odgovora u anketi, autori za analizu iste
primjenjuju, osim analitičkih postupaka, metode kojima se izražavaju mjere centralne
tendencije (aritmetička sredina, medijan, kvantili, mod), mjere disperzije (interkvartilni
raspon, standardna devijacija i koeficijent varijacije) te mjere asimetrije i mjere zaobljenosti.
Uz analizu podataka preuzetih iz ankete, prikazana je primjena trenda, korelacije i regresije na
financijskim izvješćima poduzeća koja su sudjelovala u anketi. Točnije, na temelju podataka
iz računa dobiti i gubitka prikazane su (numerički i grafički) navedene metode.
1 Ovdje se misli na trend, korelaciju i regresiju kao težište rada. 2 Uzorak se temelji na anketi korištenoj unutar istraživanja u sklopu seminarskog rada: Kresić, E., Mezulić, N.:
Uloga interne kontrole u upravljanju rizicima, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2014. 3 NN 109/07, 54/13 čl.3(Dostupno na: http://www.zakon.hr/z/118/Zakon-o-ra%C4%8Dunovodstvu (11.1.2014.))
3
Za potrebe izračuna koriste se programi Microsoft Excel i Statistica. Podaci preuzeti iz
spomenute ankete, točnije odgovori, numerički su izraženi kako bi se što lakše izračunale
moguće navedene mjere.
U Prilogu su navedene formule korištene u radu, a po slijedećoj dinamici: prvi broj uz
formulu predstavlja poglavlje u kojem je formula korištena ili definirana dok je drugi broj
zapravo redni broj formule tog poglavlja. Osim popisa korištenih formula, u Prilogu se nalazi
popis tablica, grafikona i slika, analizirana anketa te strukturirani i numerirani odgovori prema
pitanjima iz ankete.
Pri izradi ovog rada korišteno je nekoliko znanstvenih metoda: induktivna metoda, deduktivna
metoda, deskriptivna metoda, metoda analize, povijesna metoda i komparativna metoda.
4
3. Važnost analitičkih postupaka u poslovanju
U području poslovanja i ekonomije statističke su metode temeljne analitičke metode. Uloga
statistike kao znanstvene metode koju je moguće primjeniti u svim područjima ljudskog
djelovanja je izrazito veliko. Statistički podaci o gospodarskim kretanjima, statistički
pokazatelji i modeli omogućuju praćenje gospodarskih kretanja, provođenje gospodarske
politike, poslovno odlučivanje i predviđanje. Informacije dobivene iz statističkih podataka
nastaju primjenom statističkih metoda koje široko primjenjuju stručnjaci i donositelji odluka u
svim sferama poslovanja i gospodarstva.
Poslovna statistika predstavlja skupinu metoda za prikupljanje, sažimanje, odnosno uređivanje
internih i eksternih podataka od interesa za poslovanje, metoda za obradu, analiziranje
podataka te prikazivanje rezultata statističke analize, kako bi se proizvele što solidnije
informacije koje su temelj učinkovitom poslovnom odlučivanju i predviđanju.4 Statističke
metode u računovodstvu i reviziji se najčešće upotrebljavaju za potrebe postupka revizije na
temelju uzorka ispitivanog računovodstvenog materijala.
3.1. Mjesto i važnost analitičkih postupaka u provedbi revizije
financijskih izvještaja
Analitičke metode u procesu revizije financijskih izvještaja zauzimaju značajnu ulogu, a
koriste se za usporedbu ostvarenih rezultata poslovanja iskazanih u financijskim izvještajima s
očekivanim vrijednostima. Analitičke se metode, također, koriste za analizu značajnih
financijskih informacija i njihovog kretanja. Uz financijske informacije, koriste se i
nefinancijske kao nadopuna u cilju jasnijeg sagledavanja odgovarajućih promjena.
Važnost analitičkih postupaka pri reviziji financijskih izvještaja proizlazi iz njihove
učinkovitosti, široke mogućnosti primjene i pouzdanosti. Naime, provođenje odgovarajućih
analitičkih postupaka vremenski je manje zahtjevno od provođenja nekih drugih revizijskih
postupaka, a često pruža dovoljan dokaz za testiranje odgovarajuće izjave ili događaja. U
usporedbi s ostalim vrstama revizijskih dokaza, dokazi dobiveni analitičkim postupcima
pružaju srednju razinu pouzdanosti, ali je njihova primjena najčešće opravdana relativno
kratkim vremenom potrebnim za njihovu provedbu. Najveću razinu pouzdanosti imaju dokazi
dobiveni fizičkom provjerom i ponovnim izvođenjem, srednju razinu pouzdanosti imaju
dokazi u obliku dokumentacije i konfirmacija te dokazi dobiveni analitičkim postupcima, dok
4 Dumičić, Ksenija; Bahovec, Vlasta (ur.)., Poslovna statistika ,Zagreb : Element, 2011. , str. 7.
5
najnižu razinu pouzdanosti pružaju dokazi dobiveni promatranjem i upitima djelatnicima
komitenta.5
Analitički postupci se koriste u postupku planiranja revizije, prikupljanja dokaza, provođenju
dokaznih testova kao i u fazi dovršenja revizije. Međunarodni računovodstveni standardi
(MRS 520; „Analitički postupci“) nalažu korištenje analitičkih postupaka u fazi planiranja i
dovršenja revizije, te se sugerira korištenje istih i u fazi prikupljanja dokaza, kako je i
prikazano u Grafikonu 1.
Grafikon 1.: Korištenje analitičkih postupaka u pojedinim fazama revizije
Izvor 1.: Izrada autora prema: Zenzerović, R., Analitički postupci – Instrument revizora u ocjeni vremenske
neograničenosti poslovanja, Ekonomska istraživanja, Vol. 20, No. 2, Sveučilište Jurja Dobrile u Puli, Odjela za
ekonomiju i turizam „Dr. Mijo Mirković“, Pula, 2007., str. 62. – 74.
5 Zenzerović, R., Analitički postupci – Instrument revizora u ocjeni vremenske neograničenosti poslovanja,
Ekonomska istraživanja, Vol. 20, No. 2, Sveučilište Jurja Dobrile u Puli, Odjela za ekonomiju i turizam „Dr.
Mijo Mirković“, Pula, 2007., str. 62. – 74.
6
4. Metode revizije
Riječ metoda porijeklom je iz grčkog jezika, točnije, grč. méthodos što znači traženje,
istraživanje. Drugim riječima, metoda predstavlja način, put, postupak u logičkom
razmišljanju koji pomaže ispravnom zaključivanju odnosno postupak koji pomaže ostvarenju
željenog rezultata u nekom praktičkom poslu, znanstvenom istraživanju i sl.6Svaka disciplina
u svom radu koristi određene metode. Tako se i revizija, poput ostalih disciplina, služi
različitim metodama u radu. Odabir metode kojom će se revizori koristiti, ovisi o nekoliko
čimbenika:
željenom rezultatu koji se očekuje kao posljedica korištenja odabrane metode,
unaprijed postavljenim ciljevima,
kadrovskim uvjetima,
tehničkoj opremljenosti te
organizacijskim mogućnostima poslovnog subjekta.
Budući da se radi o računovodstveno-revizijskim metodama, u poglavljima koja slijede
detaljnije će se obraditi klasifikacija metoda revizije s naglaskom na statističke metode: trend,
korelaciju i regresiju. Ipak, prije svega, radi lakšeg snalaženja u klasifikaciji spomenutih
metoda, ista će se prikazati grafički (Grafikon 2.).
6 Anić, V., Goldstein, I., Rječnik stranih riječi,Novi liber, Zagreb, 1999., str. 842.
7
Grafikon 2.: Podjela metoda revizije
Izvor 2.: Tušek, B., Žager, L., Revizija, Hrvatska zajednica računovođa i financijskih djelatnika, Zagreb, 2008.,
str. 86
8
4.1. Opće metode
Općim metodama koriste se gotovo sve znanstvene discipline i to zahvaljujući njihovoj
univerzalnosti. Moguće ih je raščlaniti na induktivne, deduktivne i empirijske metode.
4.1.1. Induktivna metoda
Ova se metoda koristi pojedinačnim slučajevima na temelju čije se usklađenosti utvrđuje
poslovanje društva kao cjeline. Dakle, na osnovi zaključaka koje je moguće donijeti, a
vezanih uz usklađenost pojedinačnih pojava uz određene unaprijed postavljene ciljeve,
induktivnom metodom utvrđuje se cjelokupno poslovanje analiziranog društva. Promatranje,
eksperimentiranje, brojenje, mjerenje te određene statističke metode poput aritmetičke
sredine, moda i medijana koriste se u sklopu induktivne metode kao svojevrsne pomoćne
metode.
4.1.2. Deduktivna metoda
Deduktivna metoda nastaje analizom procesa suprotnog procesu induktive metode odnosno
polazi od opće poznatih rezultata poslovanja nekog poduzeća u cjelini. Na temelju općih
rezultata izvode se zaključci o pojedinačnim slučajevima ili o poslovanju određenog sektora
poduzeća. Treba istaknuti kako ova metoda nije rasprostranjena u reviziji nego se najčešće
koristi u matematici i fizici. Ipak, najpoznatiji oblik ove metode je Du pontov sustav
pokazatelja koji je primjenjiv i u revizijskim analizama. Du Pontov sustav pokazatelja koristi
se, prvenstveno, za potrebe analize, a samim time i za potrebe planiranja, tj. upravljanja
poslovanjem i razvojem poduzeća. Du Pontov sustav pokazatelja objedinjuje informacije iz
dva temeljna financijska izvješća: bilance i računa dobiti i gubitka čime se omogućava
razmatranje kako će promjena bilo kojeg elementa obuhvaćenog u sustavu utjecati na
promjenu rentabilnosti ukupne imovine (kapitala).7
4.1.3. Empirijska metoda
Empirijsku metodu možemo u literaturi pronaći i pod nazivom iskustvena8metoda. Ista se
zasniva na iskustvu temeljem kojeg se određuju područja na koja treba obratiti više pozornosti
prilikom obavljanja revizije. Uzrok nastanka ovakvog tipa metode su uočene učestale
nepravilnosti i/ili slučajne pogrješke do kojih dolazi u već spomenutim određenim područjima
odnosno poslovima.
7 Žager, K., Žager, L., Analiza financijskih izvješća, Masmedia, Zagreb, 1999., str. 182. 8 Crnković, L.; Mijoč, I.; Mahaček, D.: Osnove revizije, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2010., str. 109.
9
4.2. Specijalne metode
Ovim se metodama smatraju posebne metode koje se koriste isključivo pri obavljanju revizije.
U njih se ubrajaju metode intenziteta ispitivanja, metode smjera ispitivanja, metode opsega i
kontinuiteta ispitivanja te metode načina ispitivanja. U Tablici 1. vidljiva je podjela vrsta i
oblika specijalnih metoda.
Tablica 1.: Podvrste (oblici) specijalnih revizijskih metoda
Vrste
specijalne
metode
Metode
intenziteta
ispitivanja
Metode smjera
ispitivanja
Metode opsega
ispitivanja
Metode načina
ispitivanja
Oblici
specijalnih
metoda
Formalna
metoda
Progresivna
metoda Potpuna metoda Direktna metoda
Materijalna
metoda
Retrogradna
metoda
Preskočna
metoda
Indirektna
metoda
Izvor 3.: Crnković, L.; Mijoč, I.; Mahaček, D.: Osnove revizije, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2010., str.
109.
4.2.1. Metoda intenziteta ispitivanja
Metodu intenziteta ispitivanja dijelimo na dva oblika: formalnu i materijalnu metodu. Za
utvrđivanje zakonskih propisa te usklađenosti poslovanja društva s istim, ali i njihovih
financijskih izvješća, zadužena je formalna metoda. Istom se ispituje računska suglasnost
između podataka navedenih u financijskim izvješćima i računovodstvenih, analitičkih te
sintetičkih evidencija. S obzirom na nedovoljne rezultate koji se (ne)mogu postići formalnom
metodom, najčešće se koristi kombinacija formalne i materijalne kako bi se spomenuti
nedostatak formalne nadomjestio materijalnom metodom. Uz suštinsku, materijalna metoda
ima za cilj utvrđivanje sadržajne točnosti i opravdanosti poslovnih promjena koje nastanu i to
ispitivanjem odabira i primjene računovodstvenih politika.
4.2.2. Metoda smjera ispitivanja
Progresivna i retrogradna metoda čine metodu smjera ispitivanja. Karakteristično za
progresivnu metodu je smjer provođenja koji kreće od nastanka poslovne promjene, a čiji je
cilj utvrditi jesu li konačne radnje ispravne ili ne. Osim ispravnosti, progresivna metoda za cilj
ima i utvrditi operaciju u kojoj dolazi do pogrješke kako bi se, dodatnim kontrolnim
mehanizmima, iste pogrješke smanjile ili svele na minimalne. Počevši od nastanka poslovne
promjene, progresivnom se metodom prati evidentiranje nastalih događaja i to evidencijama,
10
kako analitičkim, tako i sintetičkim, i tako do iskazivanja promjena u financijskim izvješćima.
Nakon ovakvog slijeda praćenja promjena, moguće je utvrditi ispravnost konačne radnje.
Suprotno progresivnoj, retrogradna se metoda provodi u obrnutom smjeru. Dakle, ova metoda
za polazište ima financijska izvješća, a kao konačno promatranu točku nastanak poslovne
promjene koja se promatra u slučaju da se utvrde nepravilnosti prilikom evidencija u
knjigovodstvu.
4.2.3. Metoda opsega ispitivaja
U metode opsega ubrajaju se potpuna i preskočna metoda.9 Obuhvat svih poslovnih promjena
koje su nastale u određenom vremenskom razdoblju, dakako, pripada provedbi potpune
metode, dok je za preskočnu metodu karakterističan različit odabir poslovnih promjena,
točnije, izbor odgovarajućeg revizijskog uzorka. Pri provedbi potpune metode nužni su veliki
ljudski, ali i materijalni resursi te je zbog tolikog opsega posla metoda primjenjiva isključivo
kod malih poslovnih subjekata. Što se tiče preskočne metode, treba naglasiti kako je teško
odrediti pravilan uzorak na temelju čije analize će se donijeti konačan sud o poslovnoj
promjeni. Zbog toga je moguće više različitih načina određivanja uzorka, ovisno i
provoditelju revizije ili eventualnim zakonskim odredbama koje treba zadovoljiti prilikom
postupka revizije. Moguće je za primjer izdvojiti određivanje uzorka na temelju izdvajanja
poslovnih promjena koje su nastale isključivo na određeni dan u mjesecu. Moguće poteškoće
koje nastaju prilikom ovakvog odabira uzorka jesu osobine pojedinih promjena koje se
reflektiraju na cijeli skup i zbog kojih je nužno izbrati reprezentativan uzorak.
4.2.4. Metoda načina ispitivanja
U okviru metoda načina ispitivanja razlikuju se direktna i indirektna metoda. Direktna metoda
zasniva se na neposrednom ispitivanju svake poslovne promjene i donosi se zaključak o
njezinoj ispravnosti. Koristi se kod manjih organizacijskih jedinica u okviru neke cjeline za
koje se pretpostavlja da u njima postoje određene nepravilnosti.10Direktna (izravna) metoda
nije primjenjiva u velikim poslovnim subjektima s obzirom na troškove koji se
podrazumijevaju, ali i stručno osoblje koje je potrebnom u velikom broju. Ispitivanjem
uzoraka iz odabrane cjeline bavi se indirektna (neizravna) metoda. Zaključci za promatranu
cjelinu reflektiraju se na cjelokupno promatranje. Također, obilježja i karakteristike cjeline
ocjenjuju se temeljem dobivenih spoznaja o unaprijed određenim i promatranim poslovnim
9 U literaturi je moguće pronaći i druge nazive za potpunu – kontinuirana, nepreskočna, odnosno preskočnu
metodu – različiti izbor. 10 Crnković, L.; Mijoč, I.; Mahaček, D.: Osnove revizije, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2010., str. 110.
11
promjenama. U primjeni je neizravna metoda jeftinija u odnosu na izravnu, a najčešće se
koristi kod automatske obrade podataka.
4.3. Analitički postupci
Komparativna financijska izvješća, strukturna financijska izvješća te pokazatelji analize
financijskih izvješća temelj su zaključivanja vezanog uz poslovanje klijenta. Osim do sad
navedenih metoda koje se koriste pri provođenju revizije, prisutni su i analitički postupci.
Postupci su regulirani Međunarodnim revizijskim standardom 520 – Analitički
postupci.Spomenute postupke revizor treba primijeniti u fazi planiranja revizije i u fazi
sveobuhvatnog pregleda. Osim navedenih, moguće je analitičke postupke primijeniti i u
drugim fazama revizije. Prema MrevS-u, obilježje i svrha analitičkih postupaka su:11
Analitički postupci uključuju razmatranje usporedbi financijskih informacija
poslovnog subjekta sa primjerice:
o usporedivim informacijamaiz prethodnih razdoblja;
o očekivanim rezultatima poslovnog subjekta, primjerice s planovima ili
predviđanjima, očekivanjima revizora, kao što je procjena amortizacije;
o sličnim informacijama iz djelatnosti, primjerice usporedba odnosa prodaje i
potraživanja od kupaca promatranog poslovnog subjekta i prosjeka djelatnosti
ili drugih usporedivih veličina između subjekata unutar djelatnosti.
Analitički postupci također uključuju proučavanje međuzavisnosti:
o dijelova financijskih informacija koji se mogu očekivati s predviđenim
modelom koji se temelji na iskustvu poslovnog subjekta, primjerice
proučavanju postotka bruto profita.
o financijskih informacija i mjerodavnih nefinancijskih informacija, primjerice
proučavanje troškova plaća u odnosu prema broju zaposlenih.
Pri izvedbi navedenih postupaka mogu se primjenjivati različite metode: od
jednostavnih usporedbi pa sve do složene s naprednim statističkim tehnikama.
Analitički postupci mogu se primijeniti na konsolidirane financijske izvještaje, na
financijske izvještaje po dijelovima (primjerice podružnica, sektora ili odjela) te na
pojedinačne dijelove financijskih informacija. Izbor postupaka, metoda i razine
primjene ovisit će o revizorovoj prosudbi.
Analitički postupci mogu se provoditi u sljedeće svrhe:
11 NN 28/07 (Dostupno na: http://www.propisi.hr/print.php?id=5668 (15.12.2013.))
12
o kao pomoć revizoru pri planiranju vrsta, vremenskog rasporeda i opsega ostalih
revizijskih postupaka;
o kao dokazni postupak kada u smanjivanju rizika neotkrivanja za određene
tvrdnje u financijskim izvještajima može biti mnogo uspješniji ili učinkovitiji
od testova detalja; i
o kao sveobuhvatan konačan pregled financijskih izvještaja u završnoj fazi
revizije.
U analitičke metode, koje revizor može koristiti u postupku revizije financijskih izvješća su:
korištenje omjera (analiza omjera), korištenje postotnih bilanci (strukturna izvješća), analiza
vremenskog niza, analiza trenda, Altmanov sustav pokazatelja (Zeta model ili Z-obrazac),
regresijska analiza te financijsko modeliranje.12 Slijedećim poglavljima spomenut će se i
definirati navedene metode, dok će u poglavlju 5. detaljno biti objašnjene tri statističke
metode – analiza trenda, korelacija i regresijska analiza.
4.3.1. Korištenje omjera
Zbog lagane razumljivosti i uporabe, ova je tehnika najšire korištena. Automatsko računanje
pokazatelja moguće je uz pomoć računalnih programa, a tako izračunati pokazatelji radna su
dokumentacija revizora. Ono što je bitno naglasiti jest potrebno iskustvo i znanje revizora u
tumačenju dobivenih pokazatelja, osobito u slučajevima kada isti koristi pokazatelje kao
revizijski dokaz. Znanje i iskustvo potrebni su kako ne bi došlo do krivog tumačenja
pokazatelja te se time ugrozila reputacija, ali i zakonski teretilo revizora za krivo iznesene
rezultate.
4.3.2. Strukturna izvješća
Drugim riječima, korištenje postotnih bilanci očituje se u iskazivanju udjela pojedinih stavki
bilance u ukupnoj vrijednosti aktive, izraženih u postotcima. Vrijednost bilančnih pozicija
tako se iskazuje kao postotno povećanje/smanjenje u odnosu na promatranu vrijednost.
Primjerice, neka je 2012. godina bazna, a u 2013. indeks vrijednosti zaliha iznosi 103. To
znači da je, u odnosu na 2012. godinu, u 2013. zabilježeno postotno povećanje vrijednosti
zaliha u iznosu od 3%. U slučaju vrijednosti indeksa zaliha u tekućoj (2013.) godini u iznosu
od 91, podatak bi se tumačio kao postotno smanjenje vrijednosti zaliha za 9% u odnosu na
baznu godinu (2012.). Ovom se metodom mogu uočiti razlike nastale kod financijskih
izvješća. Međutim, istom je omogućen samo relativni uvid u nastale razlike.
12 Vitezić, N., Analitički postupci u reviziji, RriF, br. 9/94.,Zagreb, 1994., str. 41. - 44.
13
4.3.3. Analiza vremenskog niza
Modeli, koji se koriste vremenskim nizom pripadaju u složeniju vrstu analize i zasnivaju se na
uporabi više varijabli. Naprimjer, modelom se može predvidjeti buduća prodaja, koja je
funkcija prodaje na temelju podataka prijašnjih razdoblja, koja se javljaju kao faktor
korekcije. U računalo se unose podatci, koji najbolje objašnjavaju rast u prijašnjim godinama
te se na temelju njih predviđaju određene veličine za tekuću godinu putem jednadžbi, koja
najbolje opisuju kretanje vremenskog niza u prošlim godinama.13 Ovisno o karakteru
čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz čine slijedeće komponente:14
trend ili osnovna tendencija kretanja neke pojave kroz vrijeme,
sezonske oscilacije, kad se pojavljuju unutar jedne godine,
ciklične komponente te
slučajne komponente (rezidualni čimbenik), koje čine slučajni teško predvidivi
događaji.
4.3.4. Analiza trenda
U statistici, trend označava karakterističnu i zakonomjernu liniju kretanja pojave u vremenu.
To je niz prosječnih i teorijskih točaka i vrijednosti kroz koje bi promatrana pojava prolazila
da nije bilo sezonskih ili slučajnih čimbenika, koji su utjecali na njezino kretanje.15S obzirom
da je naglasak ovog rada upravo na određenim statističkim metodama, a među njima je i
trend, detaljnije objašnjenje ove metode uslijedit će u poglavlju 5.1.
4.3.5. Altmanov sustav pokazatelja
Ono po čemu se Altmanov sustav pokazatelja razlikuje od ostalih metoda je korištenje malog
broja pokazatelja pri izračunavanju uspješnosti poslovnog subjekta. Točnije, radi se o 5
pokazatelja koji su označeni redoslijedom od x1 do x5. Spomenuti pokazatelji na temelju
pondera određuju stupanj ukupne uspješnosti poslovanja poslovnog subjekta te predviđaju
stanje poslovanja istog u budućnosti. Ponderi iznose 1,2; 1,4; 3,3; 0,6 i 1,0 respektivno i
predstavljaju konstantu veličinu koja utječe na varijable odnosno pokazatelje prikazane
prethodno navedenim znakovljem (x1...x5). Rezultat, tj., Z vrijednost predstavlja zbroj
13 Popović, Ž., Vitezić, N., Revizija i analiza – instrumenti donošenja poslovnih odluka, HZFRD, 2000., str. 49.-
50. 14 Crnković, L.; Mijoč, I.; Mahaček, D.: Osnove revizije, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2010., str. 112. 15 Ibidem
14
umnožaka pondera i varijabli dobivenih izračunom definiranih omjera. Varijable x1 do x5
izračunavaju se slijedećim omjerima:16
; (4.1.)
; (4.2.)
; (4.3.)
; (4.4.)
. (4.5.)
Osim pokazatelja, bitno je poznavati i referentne vrijednosti unutar koji se kreće krajnji
rezultat odnosno Z vrijednost. Na temelju određivanja kojoj skupini dobivena Z vrijednost
pripada, zaključuje se kako poslovni subjekt posluje te je moguće odrediti smjer kretanja
budućeg poslovanja istog. Referentni intervali kreću se unutar domene [1,3], a skupine unutar
intervala su slijedeće:
Z>1 subjekt bilježi znantne financijske poteškoće i vrlo vjerojatno će morati proglasiti
bankrot i pokrenuti stečajni postupak,
1<Z<3 subjekt se nalazi u sivoj zoni odnosno na granici stečaja te
Z>3 subjekt je stabilan i nema opasnosti od bankrota(stečaja).
4.3.6. Regresijska analiza
Regresijska analiza podrazumijeva korištenje dvije varijable, a kojima se izražava odnos
između dviju pojava. Zavisnom varijablom, tzv. Y, predstavljene su vrijednosti pojave čije se
varijacije objašnjavaju samim modelom regresijske analize, dok je nezavisna varijabla
označena s X. X predstavljaju stvarne vrijednosti pojave, a opći model jednostavne regresije
prikazan je slijedećim izrazom:
(4.6.)
16 Šarlija, N., nastavni materijali kolegija Kreditna analiza, str. 135. – 136. (Dostupno na:
http://www.efos.unios.hr/kreditna-analiza/nastavni-materijali/ (15.12.2013.))
15
Regresijsku analizu možemo razlikovati kao lineranu i multiplu (oblici regresijske analize),
ovisno o broju korištenih varijabli. Ipak, regresijska analiza metoda je kojoj se u ovom radu
pridaje veći značaj te će iz tog razloga biti detaljnije definirana u odlomcima koji slijede.
4.3.7. Financijsko modeliranje
Ova se metoda najčešće koristi u svrhu prognoziranja budućih kretanja financijskih veličina.
Pretpostavka za korištenje ovog modela je poznavanje matematičko-statističkih tehnika i
veličina. Model uključuje sveobuhvatan i cjelovit niz odnosa između različitih podataka
iskazanih po pojedinim pozicijama u financijskim izvješćima. Financijsko modeliranje može
biti vrlo jako sredstvo revizijskog potvrđivanja kod procjene evidentiranih iznosa u raznim
obračunima.17
4.3.8. Metoda uzročnog povezivanja (korelacija)
Korelacijska analiza, kako se još naziva metoda uzročnog povezivanja, istražuje stupanj
povezanosti između dviju varijabla. Istom se mjeri smjer i snaga linearne povezanosti dviju
varijabla. Korelacijska analiza također se ubraja u osnovu ovog rada, a njezino detaljno
objašnjenje prikazat će se u poglavlju 5.2.
17 Popović, Ž., Vitezić, N., Revizija i analiza – instrumenti donošenja poslovnih odluka, HZFRD, 2000., str. 86.
16
5. Trend, korelacija i regresija
Kao što je u prethodnom dijelu rada spomenuto, statističke metode imaju važnu ulogu u
poslovanju i gospodarstvu. Statistički podaci o gospodarskim kretanjima, statistički
pokazatelji i modeli omogućuju praćenje gospodarskih kretanja, provođenje gospodarske
politike, poslovno odlučivanje i predviđanje. Neke od osnovnih metoda su analiza trenda,
korelacija i regresija. Vremenskim modelima, odnosno trendom, opisuje se razvoj pojave u
vremenu. Vremenski modeli se analiziraju na temelju vremenskih serija te se zadaća
statističke analize modela sastoji u njegovom oblikovanju i utvrđivanju statističko-analitičkih
veličina. Korelacija omogućuje utvrđivanje povezanosti promatranih varijabli, te objašnjava
povezanost između pojednih varijabli što omogućuje preciznije predviđanje ponašanja
varijabli. Korealcija je ujedno i polazišna osnovica za složenije statističke elaboracije.
Regresijski model predstavlja algebarski model kojim je izražen odnos između pojava te se
često primjenjuje za potrebe predviđanja. Primjenjuje se u mnogim stručnim i znanstvenim
područjima te je, kao i svaki model, pojednostavljena slika stvarnih pojava. Navedene metode
će u ovome dijelu rada biti teorijski obrađene te prikazane primjerima.
5.1. Trend
Za potrebe prognoziranja budućih kretanja određene pojave upotrebljava se analiza podataka
prijašnjih vremenskih razdoblja. Prognoziranje budućih kretanja može biti kratkoročno,
dugoročno i srednjoročno. Kratkoročne prognoze su prognoze za vremensko razdoblje od
jedne godine, srednjoročne dvije do pet godina, dok se dugoročne prognoze odnose na
vremenska razdoblja duža od pet godina.
Skup kronološki utvrđenih vrijednosti varijable koja predočuje neku pojavu ili statistički
proces u vremenu je vremenski niz.18 Statistička analiza vremenskih nizova mora opisati
razvoj promatrane pojave u određenom vremenskom razdoblju, objasniti varijacije pojave
koristeći druge pojave, predvidjeti, ali i kontrolirati dinamične procese, testirati pretpostavke
određenih gospodarskih teorija, kvantitativno ispitivanje gospodarskih ciklusa, strukturnih
promjena i dr.
Na temelju vremenskih serija u sklopu deskriptivne i inferencijalne statistike analiziraju se
modeli, odnosno analitički izrazi pomoću kojih se opisuje razvoj pojava u vremenu. Ovisno o
statističko teoretskim obilježjima modele vremenskih serija moguće je podijeliti na modele u
vremenskoj domeni i modele u domeni frekvencija. Zadaće statističke analize sastoji se u
18 Šošić, I., Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2006 , str. 549.
17
njegovom oblikovanju te utvrđivanju statističko-analitičkih veličina kakvoće sukladno
spomenutim ciljevima (deskripcija proteklog razdoblja pojave u vremenu, predviđanje,
ispitivanje strukture promjena i dr.).19
Pojave čije se kretanje iskazuje u obliku vremenskog niza, odnosno trenda sastoje se od
nekoliko komponenti koje se u određenim slučajevima mogu odmah uočiti ( grafički prikaz),
dok je ponekad za utvrđivanje i analiziranje komponenti potrebna složenija statistička analiza.
Analizom vremenskih nizova potrebno je istražiti utjecaj pojedinih komponenti vremenskog
niza te utvrditi veličinu utjecaja svake komponente.
5.1.1. Komponente vremenskog niza
Ovisno o karakteru čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz se sastoji
od sljedećih komponenti:20
Trend komponenta,
Sezonska komponenta,
Ciklička komponenta,
Slučajna komponenta.
Nije nužno da svaki vremenski niz sadrži sve navedene komponente. Ponekad se zbog
složenosti vremenskog niza ne mogu strogo razlučiti pojedine komponente, prvenstveno iz
razloga da pojedine komponente mogu prigušiti druge.
Vremenski niz se može prikazati aditivnim modelom:
(5.1.)
gdje je:
Y – vremenski niz
T - trend komponenta
S - sezonska komponenta
C - ciklička komponenta
e - slučajna komponenta
19 Ibidem, 603 20 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 606.
18
U modelima vremenskih nizova često dolazi do nerazdvajanja trend i cikličke komponente te
se vremenski niz moguće zapisati i na sljedeći način:
(5.2.)
Ovdje se pretpostavlja da je djelovanje svih komponenti na vremenski niz aditivno, tj. njihovo
djelovanje na pojavu u apsolutnom iznosu je isto bez obzira na tijek vremena.
Multiplikativni model vremenskog niza zapisuje se kao umnožak komponenti vremenskog
niza:
(5.3.)
U logaritamskom obliku izraz vremenskog niza je sljedećeg oblika:
(5.4.)
5.1.1.1. Trend komponenta
U statistici trend znači dugoročnu, kratkoročnu i zakonomjernu liniju kretanja pojave u
vremenu. Trend predstavlja niz prosječnih, teoretskih točaka i vrijednosti kroz koje bi
promatrana pojava prolazila da nije bilo sezonskih ili slučajnih čimbenika koji su utjecali na
njezino kretanje. (...) Trend se katkad zove i dinamička srednja vrijednost jer izražava
prosječno stanje pojave u promatranom razdoblju. (...) Važna karakteristika trenda je
mogućnost predviđanja budućih kretanja pojave.21
Trend komponentom se pretpostavlja određenost kretanje pojave: tendencija rasta ili pada u
određenom razdoblju. Takvo kretanje se izražava modelima trenda koji, ovisno o tendenciji
kretanja vremenskog niza, mogu biti padajući ili rastući; linearni ili nelinearni.
Ponekad u praksi, potrebno je ukloniti trend komponentu kako bi se mogao primijeniti
određeni model trenda. Trend komponenta se može ukloniti pomoću diferencija serije,
vrijednosti logaritama, ali i ostalim prikladno transformiranih vrijednosti serije.
5.1.1.2. Sezonska komponenta
Sezonska komponenta vremenskog niza predstavlja sistematsko kretanje pojave koja se
ponavlja istovremeno tijekom određenog vremenskog razdoblja, odnosno jedne godine te se
ponavlja u svakoj narednoj godini. Razloge u pojavi sezonske komponente moguće je pronaći
u:22
21 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 606. 22 Ibidem, str. 607.
19
Promjenama potrošačkih potreba i navika unutar jedne kalendarske godine,
Odlikama poslovne djelatnosti,
Utjecaju prirodnih čimbenika tijekom jedne godine,
Početku i kraju školske/ akademske godine,
Socijalnom, kulturnom i vjerskom ponašanju ( npr. Božićno vrijeme, Valentinovo i sl.)
Sezonska komponenta može biti prisutna kod vremenskih nizova kod kojih su frekvencije
pojava mjesečne ili kvartalne; pojave sezonskog karaktera koje se ponavljaju svake godine
(npr. broj turista na godišnjem odmoru).
5.1.1.3. Ciklička komponenta
Ciklička komponenta označava periodične promjene oko kretanja vrijednosti pojave duže od
jedne godine. Riječ je o dugoročnim promjenama koje se sustavno ponavljaju. Najčešće se
prikazuje sinusoidnom krivuljom koja prikazuje izmjenična razdoblja kontrakcije i
ekspanzije.
Ponekad ciklusi kretanja pojave nisu jasno izraženi, već su prigušeni trend komponentom
odnosno dugoročnom tendencijom kretanja. Po nekim autorima trend komponenta je ciklička
komponenta vremenske serije s veoma dugim periodom obnavljanja. 23 Iako se redovne
fluktuacije vremenskog niza izražavaju cikličkim i sezonskim komponentama, postoje razlike
u trajanju i učestalosti smjenjivanja. Sezonska komponenta se odnosi na razdoblje od jedne
godine, dok ciklička ima trajanje koje ovisi od ciklusa do ciklusa, odnosi se na dulje
vremensko razdoblje i pojavljuje se u nepravilnim intervalima. U praksi se javlja problem
praćenja cikličke komponente zbog neraspolaganja dovoljno dugim vremenskim serijama.
Cikličke komponente moguće je pratiti u prirodi poslovnih ciklusa koje se sastoje od ulazne
faze, odnosno faze ekspanzije i silazne faze, faze recesije.
5.1.1.4. Slučajna (rezidualna) komponenta
Slučajna, odnosno rezidualna, komponenta predstavlja sve ostale utjecaje na vrijednost
promatrane pojave nakon uklanjanja trenda, sezonske i cikličke komponente. Promatrana
komponenta nije sistematizirana, ne može se unaprijed predvidjeti bez pogreške te se
pojavljuje s nepredvidivim djelovanje u nekom vremenskom razdoblju. Uzroci pojave
slučajne komponente su slučajne i nepredvidljive varijacije promatrane pojave koje se
23 Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet
Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str. 147.
20
pojavljuju zbog prirode poslovnih i gospodarskih pojava, iznenadnih vremenskih nepogoda i
slično. Ova komponenta sličnija je opisnoj slučajnoj pogrešci koja se pojavljuje u
regresijskom modelu.
5.1.2. Modeli trenda
Modelima trenda statistički se opisuje dugoročna kovarijacija pojave s vremenom. 24 Uz
pretpostavku da vremenska serija ne sadrži periodične komponente, model trenda možemo
zapisati na dva načina:
( aditivni model) (5.5.)
( multiplikativni model). (5.6.)
gdje je:
Y - pojava predočena vremenskom serijom,
T – komponenta trenda
E, - nepoznata slučajna odstupanja od trenda s obilježjima slučajnih varijabli.
Ovisno o promjenama parametara u modelu trenda, razlikuje se globalni ( deterministički) i
lokalni model trenda. Globalni model trenda karakterizira postojanost parametara u modelu,
dok je lokalnom modelu trenda svojstvena promjenjivost parametara.
Razlikuju se sljedeći modeli trendova:25
1. Trend polinomi k-tog stupnja
2. Eksponencijalni trend modeli
3. Hiperbolički trend modeli
4. Asimptotski trend modeli.
Izbor modela trenda temelji se na kvalitativnoj analizi, analizi vrijednosti serije i statističko-
analitičkim postupcima koji ovise o pojavi koja se proučava. Kada postoje dvojbe u odabiru
modela koje mogu nastati kao posljedica strukturnih promjena razvoja neke pojave moguće je
upotrijebiti specifične modele, odnosno postupke.
Statistička analiza modela trenda provodi se metodama regresijske analize pri čemu se analizi
pristupa sa stajališta deskriptivne ili inferencijalne statistike. (...) Numerička analiza trenda
obuhvaća procjenu nepoznatih parametara, određivanje pokazatelja reprezentativnosti i
24 Šošić, I., Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2006 , str. 603. 25 Oblici trend modela se nalaze u Prilogu.
21
ispitivanje kakvoće modela. Pretpostavimo li da će trend biti postojan i u prognostičkom
horizontu, model s procijenjenim parametrima može se iskoristiti u prognostičke svrhe.26
U praksi je relativno česta upotreba linarnog trenda, eksponencijalnog trenda i određenih
asimptotskih modela. Autori rada su tijekom izrade rada pažnju usmjerili na model linearnog
trenda te će isti u biti detaljno obrađen u nastavku.
5.1.2.1. Model linearnog trenda
Model linearnog trenda objašnjava linearno kretanje (pozitivno ili negativno) vrijednosti
promatranog vremenskog niza kroz vrijeme. Osim prikaza linearnog kretanja pojave
vremenskog niza na temelju ocijenjenog modela može se vršiti predviđanje vrijednosti pojave
za neka buduća razdoblja.27
U teoriji, mogućnost korištenja metode trenda postoji uvijek kada postoji vremenski niz, no u
praksi, za primjenu linearnog trenda najpogodniji su dugoročni vremenski nizovi s
jednogodišnjim vremenskim razdobljima. Također, ako se trend izračunava na temelju malog
broja podataka, treba postojati rezerva kod interpretacije istoga.
Model linearnog trenda se zapisuje u općenitom obliku:
(5.7.)
gdje je:
Y – vrijednost vremenskog niza; ovisna varijabla,
X – vrijeme ( ishodišnom razdoblju se dodjeljuje vrijednost 0. Ako 0 nije prva u nizu,
prethodna razdoblja imaju vrijednosti: -1, -2, -3...) ; neovisna varijabla,
e – slučajna komponenta koja pokazuje da oko linije konkretnog linearnog trend modela
postoje pozitivna i/ili negativna odstupanja od originalnih vrijednosti.
Ocijenjeni linearni trend model se zapisuje kao:
(5.8.)
26 Šošić, I., Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2006 , str. 604. 27 Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet
Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str. 116.
22
Parametri se ocjenjuju tako da pravac prolazi između realnih točaka vremenskog
niza te da najbolje tumače vezu između njih, odnosno pravac mora biti takav da odstupanja e
budu najmanja.
Za utvrđivanje trenda se koriste parametrijske i neparametrijske metode. Parametrijske
metode za opisivanje trenda koriste jednadžbe, dok neparametrijske za rezultat nemanju
matematičku jednadžbu trenda. pamametrijska metoda koja se najčešće koristi za ocjenu
linarnog trenda je metoda najmanjih kvadrata.
5.1.2.1.1. Metoda najmanjih kvadrata
Metoda koja se najčešće koristi za ocjenu parametara je metoda najmanjih kvadrata
kojom se izračunava jednadžba linije trenda. Prednost ove metode je to što omogućuje
interpretaciju izračunate jednadžbe trenda, dok je osnovni nedostatak taj što se promatrana
pojava kreće određenim pravcem, odnosno linijom.
Odstupanja originalnih vrijednosti od ocijenjenih mogu biti pozitivna i negativna. Kako ne bi
došlo do međusobnog poništavanja pozitivnih i negativnih vrijednosti, metoda minimalizira
sumu kvadrata od . Zbroj odstupanja originalnih vrijednosti vremenskog niza i podataka
trenda bit će jednak nuli, a zbroj kvadrata odstupanja jednak minimumu. Navedena tvrdnja se
može zapisati na kao:
(5.9.)
gdje su:
y - originalni podaci vremenskog niza
- trend podaci.
Metodom najmanjih kvadrata izračunava se jednadžba linije trenda te ako se pogleda
prethodno napisan izraz, odnosno postavljeni uvjet može se pretpostaviti da vrijedi sljedeće:
(5.10.)
5.1.2.1.2. Procjena parametara
U jednadžbi linearnog trenda
23
varijabla X predstavlja neovisnu varijablu, dok je varijabla Y ovisna varijabla koja ovisi o
promjeni vremena (X). označavaju parametre jednadžbe linearnog trenda koji se
izračunavaju dvjema jednadžbama s svije nepoznanice. Taj sustav uvijek ima rješenje i njegov
izraz je sljedeći:
(5.11.)
(5.12.)
gdje su:
(5.13.)
(5.14.)
jednostavne aritmetičke sredine varijabli X i Y. Konstantni član predstavlja očekivanu
vrijednost vremenskog niza u ishodišnom razdoblju, odnosno kada je vrijednost varijable X 0,
tj. . Koeficijent pokazuje prosječnu promjenu zavisne varijable kada nezavisna
poraste za jedinicu vremena. Naziva se i koeficijent smjera linije trenda jer određuje smjer i
nagib linije trenda.
Konačno ocijenjeni model osim vrijednosti procijenjenih parametara mora sadržavati opis
ishodišta i varijable x i y:
ishodište:
jedinica za x:
jedinica za y:
Prethodno opisana jednadžba trenda, radi preglednosti i uspješnog tumačenja, uokviruje se
linijama kvadrata. Ishodište se kod intervalnih nizova veže uz sredinu prvoga promatranog
razdoblja, a kod trenutačnih vremenskih nizova uz kritičan trenutak prvog promatranog
razdoblja. Jedinica za x određuje jedinično razdoblje prikupljanja podataka. Jedinica za y
određuje jediničnu veličinu prikupljanja podataka zavisne varijable y.28
28 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 615.
24
5.1.2.1.3. Reprezentativnost modela linearnog trenda
Nakon procjene parametara modela trenda. potrebno je utvrditi reprezentativnost, točnije
objašnjava li model kretanje ovisne varijable vremenskog niza Y kroz vrijeme X.
Reprezentativnost modela trenda prosuđuje se apsolutnim i relativnim pokazateljima, odnosno
korištenjem varijance, standardne devijacije i koeficijenta varijacije.
Vrijedi da je:
(5.15.)
(5.16.)
(5.17.)
gdje je:
SP - suma kvadrata protumačenog dijela, odstupanja vrijednosti varijable vremenskog niza
Y od aritmetičke sredine, odnosno suma kvadrata odstupanja ocijenjenih vrijednosti varijable
Y od aritmetičke sredine
SR - suma kvadrata ne protumačenog dijela, odstupanja vrijednosti varijable Y od
aritmetičke sredine, odnosno suma kvadrata odstupanja originalnih ili emprijskih vrijednosti
varijable Y od ocijenjenih vrijednosti ( slučajna pogrješka et)
ST - suma kvadrata ukupnih odstupanja vrijednosti varijable vremenskog niza Y od
aritmetičke sredine
Iz do sada navedenog proizlazi da je:
(5.18.)
što je izraz za jednadžbu analize varijance i ujedno i temelj analize reprezentativnosti trend
modela.
Apsolutni pokazatelj reprezentativnosti linearnog trend modela je standardna pogrješka trend
modela, odnosno standardna devijacija trenda koja iskazuje prosječni stupanj varijacije
stvarnih vrijednosti ovisne varijable u odnosu na očekivane trend vrijednosti:
25
(5.19.)
Navedeni pokazatelj se izražava u originalnim jedinicama mjere varijable vremenskog niza Y
te je na temelju istoga teško uspoređivati reprezentativnost modela s različitim mjernim
jedinicama. Zbog toga se koristi relativni pokazatelj koeficijent varijacije trend modela koji
iskazuje postotak standardne pogrješke trenda od aritmetičke sredine varijable Y:
(5.20.)
Reprezentativnost modela je veća što je vrijednost koeficijenta varijacije bliže 0.Na temelju
analize varijance se izračunava koeficijent determinacije. Koeficijent determinacije je omjer
sume kvadrata odstupanja protumačenih trend modelom i sume kvadrata ukupnih odstupanja.
(...) Koeficijent determinacije pokazuje koliko % je sume kvadrata odstupanja vrijednosti
varijable Y od aritmetičke sredine protumačeno trend modelom.29 Trend model je
reprezentativniji što je ovaj pokazatelj bliži 1. Koeficijent determinacije se izračunava na
sljedeći način:
(5.21.)
Reprezentativnost modela trenda je veća u slučajevima kada postoje male razlike između
originalnih vrijednosti vremenskog niza i trend vrijednosti.
5.1.2.1.4. Ekstrapolacija trenda
Trend vrijednosti koje se dobiju izračunom predstavljaju novi vremenski niz koji se
promatraju kao teorijski podaci promatrane pojave. Na temelju tih, izračunom dobivenih,
podataka predviđa se kretanje promatrane pojave te se to naziva ekstrapolacija trenda.
Ekstrapolacijom trenda moguće je predvijdjeti kretanja pojave u budućnosti, ali i u prošlosti,
ali s pretpostavkom da svi čimbenici koji utjeću na kretanje pojave se razvijaju u istom smjeru
i približno istim intenzitetom. Ekstrapolaciju trenda se izračunava tako da se u jednandžbu
linearnog trenda umjesto koeficijenta X koji označava vremensko razdoblje uvrsti vrijednost
za koju se želi izračunati neka buduća ili prošla vrijednost.
29 Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet
Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str. 119.
26
5.1.2.1.5. Primjer izračuna trenda
Zadatak je ocijeniti model linearnog trenda s ishodištem na početku vremenskog
razdoblja i njegovu reprezentativnost te izračunati trend vrijednosti.
Tablica 2.: Ocjena modela linearnog trenda
Godina Broj proizvedenih
proizvoda ( )
Varijabla
vrijeme ( ) Xt Yt xt
2 yt2
Trend
vrijednosti30
2001. 1000 0 0 0 1000000 1114,400
2002. 1156 1 1156 1 1336336 1155,533
2003. 1167 2 2334 4 1361889 1196,667
2004. 1355 3 4065 9 1836025 1237,800
2005. 1359 4 5436 16 1846881 1278,933
2006. 1369 5 6845 25 1874161 1320,067
2007. 1377 6 8262 36 1896129 1361,200
2008. 1378 7 9646 49 1898884 1402,333
2009. 1379 8 11032 64 1901641 1443,467
2010. 1455 9 13095 81 2117025 1484,600
UKUPNO: 12995 45 61871 285 17068971 12995
Izvor 4.: Izrada autora
Ocijenjeni model linearnog trenda glasi:
1299,5+19,58X
X = 0, 2000 godina
Jedinica za X je jedna godina.
Jedinica za Y je tisuću proizvoda.
= 41,13
= 1114,40
30 Trend vrijednosti su izračunate ocijenjenom jednadžbom linearnog trenda.
27
= 4,5
= 1299,5
Koeficijent pokazuje da se broj proizvedenih proizvoda, u analiziranom razdoblju,
povećavao prosječno godišnje za 41.130 proizvoda.
Reprezentativnost ocijenjenog modela linearnog trenda se temelji na rezidualnim
odstupanjima. Varijanca trenda je:
= 4238,25
Standardna devijacija trenda iznosi:
= 65,10
Koeficijent varijacije trenda iznosi:
= 5,010 %
Koeficijent varijacije trenda pokazuje da postotak standardne devijacije trenda od aritmetičke
sredine varijable Y iznosi = 5,010 % (manji je od 10%) i ukazuje na dobru reprezentativnost
ocijenjenog linearnog trend modela.
Na temelju procjenjenih parametara i jednadžbe trenda moguće je ucrtati liniju trenda što je i
prikazano sljedećim grafikonom.
28
Grafikon 3.: Linija trenda
Izvor 5.: Izrada autora
5.1.3. Pomični prosjeci
Pilikom utvrđivanja trenda koriste se parametrijske i neparametrijske metode. Jedna od
neparametrijskih metoda je i metoda pomičnih prosjeka.
Pomični prosjeci su aritmetičke sredine M uzastopnih vrijednosti članova vremenskog niza
(M<n). Niz pomičnih prosjeka čini izvedeni niz koji ima manji stupanj varijabilnosti u
usporedbi sa izvedenim nizom. Stoga se pomičnim prosjecima izglađuju vremenska serija.
Pomični prosjek može se shvatiti i kao lokalni model trenda, a vrijednost kao vrijednost
trenda.31
Prilikom izračuna pomičnih prosjeka potrebni su pomični totali te se izračunavaju pomoću
sljedećeg izraza:
(5.22.)
gdje je:
- pomični prosjek,
- originalna vrijednost vremenskog niza,
t - promatrano razdoblje za koje se računa vremenski prosjek,
31 Šošić, I., Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2006 , str. 628.
29
n - broj članova vremenskog niza.
Nakon izračuna, dobivene aritmetičke sredine se centriraju u sredinu razdoblja za koje su
računate.
Metoda pomičnih prosjeka je jednostavna za izračunavanje, ali osnovni nedostatak je što ne
postoje podaci o trendu promatrane pojave u početnim i završnim vremenskim razdobljima,
kao ni aritmetičke sredine na krajnje vrijednosti.
5.1.3.1. Primjer izračuna pomičnih prosjeka
Na temelju podataka o proizvedenim proizvodima potrebno je kreirati niz petogodišnjih
pomičnih prosjeka te grafički prikazati niz.
Tablica 3.: Petogodišnji niz pomičnih prosjeka proizvedenih proizvoda
Godina Broj proizvedenih
proizvoda
Petogodišnji pomični
totali
Petogodišnji pomični
prosjeci
2001. 1000 - -
2002. 1156 - -
2003. 1167 6037 1207,4
2004. 1355 6406 1281,2
2005. 1359 6627 1325,4
2006. 1369 6838 1367,6
2007. 1377 6862 1372,4
2008. 1378 6958 1391,6
2009. 1379 - -
2010. 1455 - -
Izvor 6.: Izrada autora
Postupak izračunavanja petogodišnjeg pomičnog prosjeka za 2003. godinu:
= 1207,4
Nakon izračuna petogodišnjih pomičnih prosjeka, dobivene vrijednosti je moguće prikazati
koristeći linijski grafikon. Grafikon 4. prikazuje liniju petogodišnjih pomičnih prosjeka i liniju
originalnih podataka. Linija petogodišnjih pomičnih prosjeka je kraća iz razloga što je
nemoguće izračunati vrijednosti za dvije početne, kao i dvije zaključne godine vremenskog
niza.
30
Grafikon 4.: Linija petogodišnjih pomičnih prosjeka i linija originalnih podataka
Izvor 7.: Izrada autora
5.1.4. Metoda analize sezonskih pojava
Sezonske pojave su pojave koje se na isti ili približno isti način pojavljuju svake godine u
određenom periodu. Sezonske pojave imaju određeni utjecaj na promatranu pojavu te utječu
na trend razvoja kretanja promatrane pojave zbog čega je javlja potreba kvantificiranja
odstupanja izazvanih sezonskom oscilacijom.
Numerička analiza modela je dekompozicija vremenske serije na već spominjanog aditivnog,
multiplikativnog modela vremenskog niza.32 Za ocjenu prigodnosti upotrebe analize
sezonskih utjecaja na trend određene pojave najčešće se upotrebljavaju linijski i površinski
grafikoni koji olakšavaju uočavanje sezonskih kretanja i njihov intenzitet.
Postoji više metoda analize sezonskih pojava te je njihvoa svrha izmjeriti sezonski utjecaj i
veličinu drugih prisutnih komponenti te analitički prikazati razvoji istih. U nastavku će biti
prikazana relativno jednostavna metoda, metoda odnosa prema pomičnim prosjecima.
Postupak desoziniranja vremenskog niza koristeći metodu odnosa prema pomičinim
prosjecima se provodi sljedećm koracima:33
Korak 1: utvrđivanje sezonskog karaktera pojave,
32 Izraz: . 33 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 626.
31
Korak 2: izračunavanje pomičnih prosjeka (trend vrijednosti),
Korak 3: izračunavanje sezonskog i rezidualnog indeksa,
Korak 4: izračunavanje sezonskog indeksa,
Korak 5: desezoniranje vremenskog niza.
U nastavku će autori na primjeru 5.1.4.1. objasniti proces desezoniziranja vremenskog niza
po navedenim koracima.
5.1.4.1. Primjer provedbe postupka desezonizacije
Na temelju vremenskoga niza o broju zaposlenika Poduzeća XY potrebno je provesti
postupak desezonizacije.
32
Tablica 4.: Postupak desezonizacije broja zaposlenika Podueća XY
Godina Kvartal Broj zaposlenih u
poduzeću XY
Pomični
prosjeci M=4
Prve procjene sezonskih
faktora
Sezonski
faktor
Desezonirani
vremenski niz
Rezidualni
faktor
2005
I. 128 * * 0,59528 215,02510 *
II. 220 * * 1,10141 199,74432 *
III. 240 123,25 1,94726 1,51057 158,88066 1,289093
IV. 130 116,25 1,11828 0,79274 163,98718 1,410642
2006
I. 118 146,625 0,80477 0,59528 198,22626 1,351927
II. 214 150,75 1,41957 1,10141 194,29674 1,288867
III. 269 123,75 2,17374 1,51057 178,07874 1,439020
IV. 110 110 1,00000 0,79274 138,75838 1,261440
2007
I. 114 146,625 0,77749 0,59528 191,50673 1,306099
II. 218 142 1,53521 1,10141 197,92846 1,393862
III. 240 115,75 2,07343 1,51057 158,88066 1,372619
IV. 110 107,875 1,01970 0,79274 138,75838 1,286289
2008
I. 112 136,25 0,82202 0,59528 188,14696 1,380895
II. 201 135,625 1,48203 1,10141 182,49367 1,345575
III. 224 115 1,94783 1,51057 148,28862 1,289466
IV. 125 110,125 1,13507 0,79274 157,67998 1,431827
2009
I. 110 136,75 0,80439 0,59528 184,78720 1,351277
II. 210 140 1,5 1,10141 190,66503 1,361893
III. 230 * * 1,51057 152,26064 *
IV. 115 * * 0,79274 145,06558 *
Izvor 8.: Izrada autora
33
Formula za izračun četverogodišnjih pomičnih prosjeka glasi:
Prve procjene sezonskih faktora se izračunavaju kao omjer vrijednosti vremenskog niza i
pomičnih prosjeka. Kako procjene sezonskih fakotra variraju treba izračunati prosjek za iste
kvartale.
Tablica 5.: Sezonski prosjeci
Prve procjene sezonskih faktora
Godina I. Kvartal II. Kvartal III.kvartal IV.kvartal
2005. * * 1,947261663 1,11827957
2006. 0,804774084 1,419568823 2,173737374 1
2007. 0,777493606 1,535211268 2,073434125 1,019698725
2008. 0,822018349 1,48202765 1,947826087 1,13507378
2009. 0,804387569 1,5 * *
Sezonski posjek 0,802168402 1,484201935 2,035564812 1,068263019
Sezonski faktori 0,59527934 1,101408066 1,5105677 0,792744894
Sezonski indeks 59,52793398 110,1408066 151,05677 79,2744894
Izvor 9.: Izrada autora
U Tablici 5. su izračunati sezonski prosjeci kao aritmetička sredina prvih procjena sezonskih
fakora. Nakon toga, sezonski prosjeci su korigirani pomoću korektivnog faktora koji se
izračunava tako da se u omjer stavi broj mjeseci u kvartalu, odnosno 4, i ukupan zbroj
sezonskih prosjeka.
4/ 5,390198 = 0,742088
Nakon izračuna koretkivnog faktora , sezonski prosjek se množi sa korektivnim faktorom te
nakon toga sa 100. Na taj način se izračunava sezonski indeks. Primjerice, sezonski indeks za
III. kvartal iznosi 151,06 te se može zaključiti da je zaposlenost u III. kvartalu svake godine
viša za 51,06% zbog sezonskih utjecaja.
Desezonizacija vremenskog niza se provodi stavljanjem u omjer vrijednosti vremenskog niza
i sezonskih faktora. Rezidualni faktor izračunava se dijeljenjem desezoniranih vrijednosti sa
pomičnim prosjecima.
34
Grafikon 5.: Desezonirani vremenski niz
Izvor 10.: Izrada autora
5.2. Korelacija
Kako je već spomenuto u poglavlju 4.3.8., korelacijska analiza utvrđuje i opisuje smjer i
snagu linearne povezanosti dviju varijabla. Koristi se kod donošenja odgovora na pitanja
slična sljedećima:34
Postoji li povezanost iznosa sredstava uloženih u promociju nekog proizvoda i njegove
prodaje?
Postoji li povezanost potrošnje mlijeka i broja djece u domaćinstvu?
Koeficijent korelacije ujedno je i najčešće korištena mjera kojom se opisuje povezanost
varijabla. Ipak, treba naglasiti kako nije moguće isključivo na osnovi spomenutog koeficijenta
iznositi zaključke o uzročno-posljedičnoj vezi između promatranih varijabli.
5.2.1. Vrste varijabla
Korelacijskom analizom analiziraju se zavisne (Y) i nezavisne (X) varijable. Zavisna je
varijabla predmet istraživanja znanstvenika/istraživača, dok se nezavisnom objašnjavaju
promjene zavisne varijable. U nezavisnoj se varijabli nalaze empirijske vrijednosti, a
istraživač ju može kontrolirati i manipulirati njome. Odluka o tome koja je varijabla zavisna, a
koja nezavisna nije jednostavna. Ponekad, ipak, istraživač ovisno o postavljenom cilju
istraživanja, proizvoljno odlučuje o tome je li pojedina varijabla zavisna ili nezavisna.
34 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 472.
35
5.2.2. Dijagram rasipanja
Kako bi se jednostavno vizualno uočile povezanosti dviju varijabli, prethodno spomenutih,
zavisne i nezavisne, koristi se dijagram rasipanja. Poželjno je dijagram konstruirati prije
postupaka koji koriste računske operacije, a kojima se izračunava ista povezanost koja se
prikazuje dijagramom. Kako bi se grafikon kreirao, potrebno je, prije svega, u prvom
kvadrantu koordinatnog sustava definirati dvije varijable, nezavisnu, koja se označava slovom
X te zavisnu, koja se označava slovom Y. Nakon označavanja ordinate s Y i apscise s X,
granične vrijednosti definiraju se prema najvećim i najmanjim vrijednostima varijabla
prikazanim u Tablici 5. Zatim slijedi ucrtavanje vrijednosti varijabla koje čine tzv. oblak
točaka, kako je i prikazano Grafikonom 5.
Tablica 6.: Mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća i njihovi mjesečni izdaci za aktivnosti
vezane uz kulturne sadržaje
Mjesečni prihodi
zaposlenika jednog
poduzeća
Mjesečni izdaci za
aktivnosti vezane uz
kulturne sadržaje
2.200 50
8.600 350
3.500 90
4.300 160
5.800 210
7.200 280
4.000 130
Izvor 11.: Izrada autora
36
Grafikon 6.: Mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća i njihovi mjesečni izdaci za aktivnosti
vezane uz kulturne sadržaje – dijagram rasipanja
Izvor 12.: Izrada autora
Dijagram rasipanja prikazan Grafikonom 5. nastao je ucrtavanjem podataka iz Tablice 5. u
prvi kvadrant koordinatnog sustava. Točnije, os apscisa bilježi visinu plaće koja je nezavisna
varijabla dok se na ordinati (Y) nalaze izdaci svakog pojedinog djelatnika vezani uz kulturne
sadržaje na mjesečnoj bazi. Logično za zaključiti, mjesečni izdaci zaposlenika za aktivnosti
kulturnih sadržaja ovise o mjesečnim prihodima te su stoga i prikazani zavisnom varijablom
(Y). Zamišljena linija koja povezuje sve točke na pravcu bilježi tendenciju porasta što ukazuje
na pozitivan odnos varijabli, a što će se detaljnije obraditi u slijedećem poglavlju. Kako je
spomenuto na početku ovog poglavlja, nakon grafičkog prikaza dijagrama rasipanja slijedi
računski dio vezan uz korelaciju.
5.2.3. Pearsonov koeficijent korelacije
Intenzitet i smjer povezanosti dviju varijabla mjeri se Pearsonovim koeficijentom korelacije.
Ovaj se koeficijent primjereno koristi ako je veza između dviju varijabla linearna, a uporaba
istog veže se uz varijable koje su iskazane kvantitativno odnosno mjerene na intervalnoj ili
omjernoj ljestvici mjerenja. Linearna veza može se uočiti s pomoću dijagrama rasipanja, a
predstavlja onu vezu čija se relacija dviju varijabla najbolje reprezentira ravnom linijom.
Primjena ovog koeficijenta zahtijeva normalan raspored podataka, tj.simetričnost distribucije
37
barem jedne varijable te dovoljno velik uzorak (n≥30).35 Simbol r predstavlja Pearsonov
koeficijent korelacije, izračunava se na temelju podataka iz uzorka, a prikazan je slijedećim
izrazom:
(5.23.)
gdje je:
r - Pearsonov koeficijent korelacije
Ono što treba naglasiti jesu vrijednosti koje koeficijent može poprimiti, a koje se kreću
između -1 i 1. Ovisno radi li se o pozitivnom (negativnom) predznaku, predstavlja se smjer
veze između dviju promatranih varijabli. S obzirom da predznak govori o smjeru veze,
vrijednosti koeficijenta govore o intenzitetu povezanosti pojava. Slikom 1.36 prikazan je odnos
varijabli izražen prema Pearsonovom koeficijentu korelacije.
Slika 1.: Smjer povezanosti varijabla te jačina koeficijenta korelacije
-1
0
1
potpuna povezanost
negativna korelacija
nema
povezanosti
potpuna povezanost
pozitivna korelacija
Izvor 13: Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 476.
U slučaju kada je dijagramom rasipanja prikazan niz isključivo pozitivnih korelacija koje se
mogu predstaviti zamišljenom linijom odnosno pravcem, riječ je o strogo funkcionalnoj vezi.
Kako je i vidljivo iz Slike 1. vrijednost koeficijenta koja se kreće između 0 i +1 predstavlja
pozitivnu korelaciju varijabla što znači da rast varijable X uzrokuje rast varijable Y odnosno
pad varijable X uzrokuje pad varijable Y. Dijagramom rasipanja, to se prikazuje upravo kao
rastući pravac. Ipak, u praksi često dolazi do odstupanja, kako pozitivnih tako i negativnih, od
zamišljene linije pravca te se takva veza više ne naziva funkcionalna već statistička37. Ipak,
ako je u prosjeku riječ o praćenju porasta jedne varijable porastom druge odnosno pada jedne
35 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 476. 36 Ibidem, str. 476. 37 U literaturi je moguće pronaći i naziv stohastička ili slučajna veza.
38
varijable padom druge, veza se dalje naziva pozitivnom (Primjer: Grafikon 5.). Moguć je i
obrnuti slučaj kada porast jedne varijable može biti uzrokovan padom druge varijable na što
upućuje kretanje Pearsonovog koeficijenta između -1 i 0. Takva se veza na dijagramu
rasipanja prikazuje nizom točaka koje je moguće prikazati kao sastavne dijelove padajućeg
pravca, a koji se, matematički, izražavaju jednadžbom tog pravca. Također, i kod negativne
veze razlikuju se negativna funkcionalna i negativna statistička veza koje razlikuju odstupanja
od zamišljenog pravca, ali u prosjeku predstavljaju negativnu vezu. Osim navedenoga, valja
spomenuti kako se veza između varijabli ne mora uvijek prikazivati jednadžbom pravca.
Točnije, moguće je vezu između varijabla prikazati i eksponencijalnom jednadžbom u čijem
slučaju također postoje odstupanja pa je tako moguće razlikovati funkcionalnu i statističku
vezu.38
Budući da je intenzitet korelacije prikazan vrijednostima koeficijenta korelacije koji se kreće
između -1 i +1, potrebno je istaknuti raspone vrijednosti istog te njihova tumačenja.
Tablica 7.: Vrijednosti koeficijenta korelacije i njihova tumačenja
r Opis povezanosti
-1 potpuna negativna korelacija
-1 -0,7 snažna negativna korelacija
-0,7 -0,3 umjerena negativna korelacija
-0,3 +0,3 slaba korelacija(ili bez korelacije r=0)
+0,3 +0,7 umjerena pozitivna korelacija
+0,7 +1 snažna pozitivna korelacija
+1 potpuna pozitivna korelacija
Izvor 14.: Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 476.
Ono što je bitno naglasiti vezano uz Pearsonov koeficijent korelacije jest činjenica da isti
mjeri samo linearnu povezanost dviju varijabla te da smjer povezanosti determinira predznak
koeficijenta.
38 Više o prikazu pozitivne i negativne veze pomoću dijagrama rasipanja te o nemogućnosti definiranja prati li
pad jedne varijable pad ili rast druge u: Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u
ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str. 77. - 80.
39
5.2.4. Spearmanov koeficijent korelacije ranga
Spearmanov koeficijent koristi se za ispitivanje stupnja povezanosti varijabla zapisanih u
obliku modaliteta ordinalne (rang) varijable. Podatke ordinalne varijable moguće je poredati
po određenom intenzitetu svojstva te se promatraju jedino razlike u rangu, a ne originalne
razlike u pojedinim vrijednostima.39 Ovaj se koeficijent označava s rs te se izračunava u
slučaju kada su jedna ili obje varijable mjerene na ordinalnoj mjernoj ljestvici. Ne postavlja
uvjet simetričnosti, linearnosti i veličine uzorka što ga razlikuje od Pearsonovog koeficijenta,
ali smjer korelacije predstavljen je predznakom koeficijenta, baš kao i kod Pearsonovog
koeficijenta.40 Spearmanov je koeficijent korelacije predstavljen slijedećim izrazom:41
(5.24.)
gdje je:
rs – Spearmanov koeficijent korelacije
d – razlika rangova vrijednosti varijabla X i Y
Razliku rangova dobijamo slijedećim izrazom:
(5.25.)
Prvi korak u izračunavanju Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga je kreiranje
vrijednosti varijable ranga na slijedeći način: najvećoj originalnoj vrijednosti pridružuje se
rang 1, slijedećoj manjoj rang 2 i redom respektivno. Moguće je krenuti i obrnutim
redoslijedom odnosno najmanjoj originalnoj vrijednosti pridružiti rang 1, slijedećoj većoj rang
2 pa sve do posljednje varijable. Od presudne je važnosti rangirati obje varijable istim
redoslijedom, a rangovi istih označavaju se:
r(X) – rang nezavisne varijable
r(Y) – rang zavisne varijable
39 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 482. 40 Pozitivan predznak označava porast jedne varijable uvjetovan porastom druge, a negativan označava pad jedne
varijable uvjetovan porastom druge. 41 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 482.
40
5.2.4.1. Primjer izračuna Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga
Promatrani su mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća te njihovi mjesečni izdaci za hranu.
Tablica 8.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća
Zaposlenici Mjesečni prihodi zaposlenika
(X)
Mjesečni izdaci za hranu
(Y) r(X) r(Y)
Zaposlenik A 2.200 330 7 4
Zaposlenik B 8.600 450 1 6
Zaposlenik C 3.500 280 6 2
Zaposlenik D 4.300 260 4 1
Zaposlenik E 5.800 410 3 5
Zaposlenik F 7.200 600 2 7
Zaposlenik G 4.000 300 5 3
Izvor 15.: Izrada autora
Kako su rangovi pridruženi varijablama (počevši od najveće originalne vrijednosti kojoj je
pridružen rang 1) preostaje izračunati razliku rangova te kvadrat iste i u formulu 5.24. uvrstiti
dobivene podatke.
Tablica 9.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća -
izračunavanje razlike rangova
Zaposlenici r(X) r(Y) d d2
Zaposlenik A 7 4 3 9
Zaposlenik B 1 6 -5 25
Zaposlenik C 6 2 4 16
Zaposlenik D 4 1 3 9
Zaposlenik E 3 5 -2 4
Zaposlenik F 2 7 -5 25
Zaposlenik G 5 3 2 4
Ukupno 0 92
Izvor 16.: Izrada autora
41
Kako Spearmanov koeficijent iznosi -0,64 dolazi se do zaključka da je riječ o umjerenoj
negativnoj korelaciji odnosno da postoji umjerena veza između mjesečnih prihoda
zaposlenika i njihovih mjesečnih izdataka za hranu. Točnije, zaposlenici koji imaju manje
prihode više sredstava izdvajaju za hranu. Grafikonom 6. prikazan je dijagram rasipanja čiji
podaci su prikazani u Tablici 8.
Grafikon 7.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća –
dijagram rasipanja
Izvor 17.: Izrada autora
5.3. Regresija
Za razliku od korelacijske analize zadaća regresijske analize je da pronađe analitičko-
matematički oblik veze između jedne ovisne ili regresand varijable i jedne ili više neovisnih
ili regresorskih varijabli.42 Regresijska analiza najviše je zastupljena u internoj reviziji iako
nije isključiva njezina primjena i u eksternoj reviziji. U odnosu na eksternu koja se najviše
bazira na ocjenjivanje objektivnosti financijskih izvještaja, interna je usmjerena na
ocjenjivanje učinka operativnog poslovanja pojedinog subjekta.43 Razliku između korelacije i
regresije najbolje je opisati slijedećom izjavom: (...) Razlikuju se u tome što regresijska
analiza na temelju utvrđene povezanosti i poznavanja vrijednosti nezavisne varijable (X)
42 Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet
Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009., str. 80. 43 Više o tome dostupno na:
https://www.google.hr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved=0CDMQFjAA&url=http
%3A%2F%2Fwww.singipedia.com%2Fattachment.php%3Fattachmentid%3D167%26d%3D1269960272&ei=Z
I7RUp_ROuSyyAOLn4GQAg&usg=AFQjCNFW7ELNursZs6XuNx19ac6pNjecGQ&bvm=bv.59026428,d.bG
Q (11.01.2014.)
42
nastoji kreirati predviđanja vrijednosti zavisne varijable (Y).44 Regresijska se analiza dijeli na
jednostavnu (u kojoj se promatra utjecaj promjene jedne varijable na promjenu druge) te
višestruku (koja podrazumijeva odnos više nezavisnih varijabla s jednom zavisnom).
5.3.1. Jednostavna linearna regresija
Kako je već spomenuto u uvodnom dijelu poglavlja koje govori o regresiji, linearna se
regresijska analiza temelji na proučavanju utjecaja jedne nezavisne varijable (X) na zavisnu
varijablu (Y). Grafički prikaz regresijske analize uvelike podsjeća na dijagram rasipanja o
kojem je bilo riječi kod korelacije (poglavlje 5.2.2.). Razlika između dijagrama rasipanja i
grafičkog prikaza regresijskog modela je u ucrtavanju linije regresije. Linija regresije
neophodna je budući da je cilj regresijske analize procijeniti model koji predstavlja minimalne
ukupne udaljenosti zavisne varijable (Y) od linije regresije. Više o spomenutom modelu u
poglavlju koje slijedi.
5.3.2. Regresijski model
Kao nastavak prethodnog poglavlja, valja istaknuti kako model jednostavne linearne regresije
može biti statistički i deterministički. Izraz koji opisuje deterministički model je slijedeći:
(5.26.)
gdje je:
Y – zavisna varijabla (regresand varijabla)
X – nezavisna varijabla (regresorska varijabla)
e – slučajna komponenta
Ono što je karakteristično za deterministički model regresije jest to da isti opisuje točnu
povezanost zavisne i nezavisne varijable. Dakle, modelom se dokazuje da je zavisna varijabla
(Y) određena točnom vrijednosti nezavisne (X) te da za vrijednost nezavisne varijable postoji
samo jedna vrijednost zavisne. Također, terba istaknuti kako je ovaj model odnosno
determinitička povezanost varijabli izrazito rijedak slučaj. Razlog tome je činjenica da na
pojedinu varijablu najčešće utječe više drugih, nezavisnih varijabli te je stoga gotovo
nemoguće pronaći egzaktnu povezanost između varijabla. U poglavlju koje govori o korelaciji
kao primjer je dan odnos između visine prihoda i izdataka za hranu. Ipak, visina prihoda nije
44 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 494.
43
jedina varijabla koja može utjecati na visinu izdataka za hranu. Osim prihoda, u obzir treba
uzeti i broj osoba s kojima zaposlenik čini kućanstvo, različite preferencije u ishrani pa čak i
preferencije vezane uz odabir mjesta kupovine (cijene proizvoda variraju ovisno o mjestu
kupnje). Zbog toga se u statistici češće koristi statistički regresijski model čiji je izraz:
(5.27.)
gdje je:
– zavisna varijabla
– nezavisna varijabla
, – parametri populacije
– slučajna pogreška
Razlika između determinističkog i statističkog modela je upravo u obuhvaćanju varijabli koje
nisu uključene u postavljeni model, ali utječu na zavisnu varijablu. Te su varijable u izrazu
prikazane s . Moguće je zaključiti kako bi iz navedenog izraza nastalo onoliko pravaca koji
bi opisivali regresijski odnos varijabli, koliko bi početno bilo postavljenih podataka za
varijable. Dijagram rasipanja45 koji bi prikazivao te odnose izgledao bi kao mnoštvo
isprepletenih pravaca te se zbog toga izražava linija regresije odnosno samo jedan upisani
pravac kojim su minimizirane udaljenosti svih upisanih točaka. Temelj ucrtavanju linije
regresije u dijagram rasipanja je regresijska jednadžba čiji je izraz:
(5.28.)
gdje je:
– regresijska funkcija s procijenjenim parametrima populacije (predviđenim
vrijednostima zavisne varijable)
X – vrijednost nezavisne varijable
, – procjene parametara populacije
45 Prikaz dijagrama vidljiv je: Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str.
498.
44
Regresijska se jednadžba temelji na podacima iz uzorka budući da je u praksi gotovo
nemoguće prikupiti sve podatke iz populacije koji su relevantni za istraživanje i analizu.
Linija regresije naziva se još i linija najmanjih kvadrata budući da se u dijagram rasipanja
ucrtava ona linija (pravac) gdje je ukupna kvadratna udaljenost svih točaka X i Y od ucrtane
regresijske linije minimalna46. Kako bi se pronašla linija regresije koja najbolje odgovara
zadanim podacima potrebno je minimizirati sumu kvadrata pogreške.
(5.29.)
gdje je:
– slučajna pogreška
– zavisna varijabla (podaci iz uzorka)
– podaci procijenjeni regresijskom jednadžbom
Bitno je napomenuti da se regresijski model koristi za predviđanja vrijednosti varijable pri
različitim vrijednostima nezavisne varijable. U kreiranju predviđanja regresijskim modelom
upitna je točnost istraživača jer je prisutna određena pogreška ( ). Što je povezanost varijabla
veća (npr. veći koeficijent korelacije), pogreška modela će biti manja. Drugim riječima,
regresijskim modelom ne računaju se stvarne vrijednosti varijable Y nego njihova predviđanja
na temelju postavljenog modela u kojima je zastupljena pogreška modela (predviđene i
stvarne vrijednosti u većini slučajeva nisu jednake).47 Kako bi se linija regresije mogla ucrtati
u dijagram rasipanja potrebno je izračunati parametre a i b čiji su izrazi:
(5.30.)
gdje je:
– konstantni član
– regresijski koeficijent
– prosjek varijable Y
46 Isključivo u slučaju potpune pozitivne ili potpune negativne povezanosti svi se parovi vrijednosti zavisne i
nezavisne varijable u dijagramu rasipanja nalaze na liniji regresije. 47 Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 499.
45
– prosjek varijable X
(5.31.)
(5.32.)
(5.33.)
5.3.2.1. Primjer izračuna regresijskog modela
Promatrani su mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća te njihovi mjesečni izdaci za hranu. Na
osnovu podataka iz primjera procijenit će se vrijednosti parametra i te ucrtati linija
regresije u dijagram rasipanja.
Tablica 10.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća48
Mjesečni prihodi zaposlenika (X) Mjesečni izdaci za hranu
(Y) X2 XY
22 3,3 484 72,6
86 4,5 7.396 387
35 2,8 1.225 98
43 2,6 1.849 111,8
58 4,1 3.364 237,8
72 6 5.184 432
40 3 1.600 120
356 26,3 21.102 1.459,2
Izvor 18.: Izrada autora
48 Iznosi prihoda i izdataka uvećani su deset puta u odnosu na podatke iz Tablice 7. i izraženi u tisućama radi
lakšeg izračuna i prikaza modela regresije.
46
Model regresije:
Kako bi se u dijagram rasipanja ucrtala linija regresije, potrebno je odrediti dvije rubne točke.
Prije svega, potrebno je izraditi dijagram rasipanja te unijeti parove točaka odnosno parove
vrijednosti varijabla X i Y.
Grafikon 8.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća –
dijagram rasipanja
Izvor 19.: Izrada autora
Nakon izrade dijagrama rasipanja u regresijski model uvrštavaju se dvije proizvoljno
odabrane vrijednosti koje se nalaze unutar raspona vrijednosti za danu nezavisnu varijablu
pomoću kojih se izračunavaju rubne točke potrebne za ucrtavanje linije regresije.
Neka su to: X1=40; X2=86
47
Grafikon 9.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća –
dijagram rasipanja s linijom regresije
Izvor 20.: Izrada autora
Budući da se uočava razlika između regresijom predviđenih vrijednosti zavisne varijable i
podataka iz uzorka predočenih u tablici, potrebno je izračunati rezidualna odstupanja. Izraz
koji se pritom koristi je slijedeći:
(5.34.)
Iz čega proizlazi da su rezidualna odstupanja:
Prema predviđanju regresijskim modelom, procjenjuje se kako mjesečni prihodi zaposlenika
koji iznose 4.000 kn rezultiraju izdacima za hranu u iznosu od 331,20 kn, dok prihodi u
iznosu od 8.600 kn za posljedicu imaju izdatke za hranu u iznosu od 519,80 kn. Kako su
stvarni izdaci temeljeni na uzorku iz Tablice 9. niži odnosno iznose 300 kn i 450 kn
respektivno, zaključuje se kako su modelom regresije predviđeni veći izdaci od ostvarenih
(zbog toga je rezultat rezidualnog odstupanja u oba slučaja negativnog predznaka).
48
5.3.3. Koeficijent determinacije
Kako bi se izmjerila reprezentativnost regresijskog modela koristi se koeficijent
determinacije. Njime se tumači omjer u kojem vrijednosti nezavisne varijable objašnjavaju
vrijednosti zavisne varijable odnosno u kojoj je mjeri prihvatljivo donositi predviđanja na
temelju regresijskog modela. Veća vrijednost koeficijenta determinacije predstavlja veću
reprezentativnost regresijskog modela.49 Koeficijent se računa slijedećim izrazom:
(5.35.)
gdje je:
SP– protumačena odstupanja
ST– ukupna odstupanja
(5.36.)
(5.37.)
Na temelju podataka iz primjera izračuna regresijskog modela (poglavlje 5.3.2.1.) moguće je
izračunati koeficijent determinacije te tako utvrditi reprezentativnost uzorka.
Tablica 11.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća –
izračun koeficijenta determinacije
Mjesečni prihodi
zaposlenika (X)
Mjesečni
izdaci za
hranu
(Y)
22 3,3 2,574 1,399489 0,20885
86 4,5 5,198 2,076481 0,55205
35 2,8 3,107 0,4225 0,91585
43 2,6 3,435 0,103684 1,33865
58 4,1 4,05 0,085849 0,11765
49 Više o tome u: Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012., str. 508. – 512.
49
72 6 4,624 0,751689 5,03105
40 3 3,312 0,198025 0,57305
Ukupno 356 26,3 26,3 5,037717 8,73714
Izvor 21.: Izrada autora
0,576586
Koeficijent determinacije iznosi 0,576586 te se može zaključiti kako je 57,66% varijacija u
iznosima izdataka za hranu rezultat varijacija iznosa mjesečnih prihoda. S obzirom da se
koeficijent determinacije kreće u intervalu od 0 do 1 te da veći iznos koeficijenta upućuje na
dobro postavljen regresijski model, konačni ishod koeficijenta determinacije govori kako je
potrebno razmotriti mogućnost kako zavisnu varijablu bolje objašnjava neka druga nezavisna
varijable. Prisjetimo se, autori su napomenuli da na iznos izdataka vezanih uz hranu, osim
visine mjesečnih prihoda može utjecati i broj osoba s kojima zaposlenik čini kućanstvo,
različite preferencije u ishrani te preferencije vezane uz odabir mjesta kupovine.
50
6. Primjena statističkih metoda na odabranom uzorku Analiza ankete provedene u sklopu istraživanja u seminarskom radu50 obuhvaća korištenje
različitih statističkih metoda kojima su potkrijepljene metode za obradu kvalitativnih, ali i
kvantitativnih podataka. S obzirom na karakter odgovora u anketi, prevladavaju mjere
centralne tendencije (aritmetička sredina, medijan, kvantili, mod), mjere disperzije
(interkvartilni raspon, standardna devijacija i koeficijent varijacije) te mjere asimetrije i mjere
zaobljenosti.
Kako se karakter odgovora razlikuje od pitanja do pitanja, kod interpretacije dobivenih
rezultata autori naglašavaju o kojem se pitanju radi51 te iznose analizirane podatke. Iz tog
razloga moguća su odstupanja, kako u broju korištenih metoda, tako i u vrsti metoda koje se
koriste prema pitanjima.
Osim podataka iz ankete, autori analiziraju i službene podatke poduzeća koji se odnose na
broj zaposlenika, ali i pojedine stavke iz računa dobiti i gubitka dostupne javnosti. Potreba za
dodatnim podacima javila se zbog specifičnosti teme rada koja ističe statističke metode (trend,
korelaciju i regresiju) kojima se analiziraju isključivo kvantitativni podatci. Iznimno, zbog
anonimnosti ankete, rezultati se prikazuju prema djelatnostima u kojima posluju poduzeća te
se tako razlikuje12 djelatnosti52 za 15 anketiranih poduzeća, koliko iznosi odabrani uzorak.
Poduzeća pripadaju skupini velikih poduzeća klasificiranih prema Zakonu o računovodstvu53.
6.1. Primjena trenda, korelacije i regresije u analizi financijskih
izvješća
Za potrebe izračuna linearnog trenda autori koriste podatke o ostvarenoj dobiti u
promatranom razdoblju ( prvo polugodište promatranih godina) od 2009. do 2013. U nastavku
će biti prikazani podaci za tri odabrana poduzeća iz promatranog uzorka. Podaci o ostvarenoj
dobiti jednog poduzeća iz promatranog uzorka zadovoljavaju uvjete reprezentativnosti trenda
te će autori prikazati ocjenu jednadžbe linearnog trenda i procjenu ostvarene dobiti razdoblja
za prvo polugodište 2015. godine. Ostala poduzeća koja čine uzorak, točnije njih 14, ne
50 Kresić, E.,Mezulić, N., Uloga interne kontrole u upravljanju rizicima, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek,
2014. 51 Uvid u numerirana pitanja, ali i strukturirane odgovore moguće je ostvariti u prilogu, 71.-75. 52 Popis djelatnosti kojima se bave anketirana poduzeća istaknut je u Tablici 17. u kojoj se ujedno nalaze
numerirani odgovori prilagođeni programu Statistica pomoću kojeg su autori dobili izračun statističkih metoda. 53 NN 109/07, 54/13 čl.3(Dostupno na: http://www.zakon.hr/z/118/Zakon-o-ra%C4%8Dunovodstvu
(11.1.2014.))
51
zadovoljavaju uvjete reprezentativnosti trenda te će autori prikazati postupak izračuna trenda
samo za jedno poduzeće.
Tablica 12.: Dobit poduzeća koja posluju u djelatnostima kemijske industrije i motornih
vozila za razdoblje od 2009. do 2013. (polugodišnja izvješća)
DOBIT RAZDOBLJA (01.01. - 31.06)
Godina Kemijska industrija Motorna vozila, trgovina i održavanje
2009. 21379 39164
2010. 23252 3759
2011. 41570 11094
2012. 47769 2113
2013. 65632 6451
Izvor 22.: Izrada autora na temelju podataka preuzetih sa Zagrebačke burze (Dostupno na:
http://zse.hr/default.aspx?id=121 (14.01.2014.))
1. Ostvarena dobit razdoblja u promatranom periodu „Kemijska industrija“ – analiza
metodom linearnog trenda
Slika 2.:Metoda linearnog trenda – ostvarena dobit razdoblja „Kemijska industrija“
Izvor 23.: Izrada autora u programu Statistica
Linearni trend je reprezentativan jer postoji dovoljno jaka veza ( = 0,93110033 > 0,6) i
postoji mala vjerovatnost da su rezultati dobiveni slučajno (p < 0,005065 <0,05)
Jednadžba trenda glasi:
Jedinica za x = 1 godina
Jedinica za Y = ostvarena dobit u tisućama kuna
52
X= 0, 30.06.2009. godina
Jednadžba trend modela glasi:
X= 0, 2009 godina
Jedinica za X je jedna godina
Jedinica za Y je tisuću kuna
Dobit razdoblja prosječno se godišnje poveća za 11.302.800,00 kn.
Slika 3.: Predviđene vrijednosti trenda „Kemijska industrija“
Izvor 24.: Izrada autora u programu Statistica
Na Slici 3. vidljive su predviđene vrijednosti trenda (Predicted Value). Za primjer se može
uzeti 2010. godina kada bi prema trendu ostvarena dobit razdoblja iznosila 28.618.100,00kn.
Na temelju izračunatog modela linearnog trenda moguće je predvidjeti dobit razdoblja za
naredne godine.
Slika 4.: Predviđena dobit budućeg razdoblja „Kemijska industrija“
Izvor 25.: Izrada autora u programu Statistica
53
Na razini 95% pouzdanosti procjenjuje se da će ostvarena dobit prvog polugodišta 2015.
godine iznositi između 64.562.900,00 i 105.696.300,00 kn.
2. Ostvarena dobit razdoblja u promatranom periodu „Motorna vozila, trgovina i održavanje“
– analiza metodom linearnog trenda
Slika 5.: Metoda linearnog trenda – ostvarena dobit razdoblja „Motorna vozila, trgovina i
održavanje“
Izvor 26.: Izrada autora u programu Statistica
Izračun jednadžbe linearnog trenda nije moguć zbog nezadovoljavanja uvjeta
reprezentativnosti:.
> 0,6 → 0, 30898983 < 0,6
p <0,05 → 0,19353 > 0,5
Model linearnog trenda u ovom slučaju nije reprezentativan te je nemoguće na temelju istoga
predviđati prodaju budućeg razdoblja.
Korelacija predstavlja povezanost dviju varijabla, u ovom primjeru poslovnih i ukupnih
prihoda. Prema Tablici 6. moguće je odrediti, nakon izračuna korelacije, kakva je povezanost
dviju varijabla. Na Slici 6. vidljivo je da je korelacija ukupnih i poslovnih prihoda 0,997359.
Prednost korištenja programa Statistica jest u tome što, ukoliko su zadovoljeni uvjeti za točan
izračun, program automatski označava rješenje crvenom bojom što dodatno olakšava
analiziranje željenih podataka. Koeficijent korelacije ovog primjera je signifikantan i može se
reći kako se radi o snažnoj pozitivnoj korelaciji što znači da rast poslovnih prihoda snažno
utječe na rast ukupnih prihoda odnosno da pad poslovnih prihoda za posljedicu ima pad
ukupnih prihoda.
54
Slika 6.: Koeficijent korelacije ukupnih i poslovnih prihoda poduzeća iz uzorka
Izvor 27.: Izrada autora u programu Statistica
U svrhu izračuna regresijskog modela korišteni su poslovni prihodi kao nezavisna varijabla te
ukupni prihodi kao zavisna varijabla uz pretpostavku o utjecaju promjene poslovnih prihoda
na promjenu iznosa ukupnih prihoda.
Slika 7.: Regresijska analiza na temelju ukupnih i poslovnih prihoda poduzeća iz uzorka
Izvor 28.: Izrada autora u programu Statistica
Treba napomenuti kako jednadžba regresije postoji isključivo ako je veza dovoljno jaka (u
ovom primjeru to označava Adjusted R2>0,5) te ako je mala vjerojatnost da su rezultati
dobiveni slučajno (p<0,05). Osim navedenih uvjeta, treba obratiti pozornost i na p-value čiji
iznos treba biti manji od 0,05. U ovom slučaju p-value iznosi 0,154375 te se može reći kako
svi parametri nisu reprezentativni. Posljedica ovakvog rješenja je nemogućnost daljnjeg
izračuna modela regresije i prikaza regresijske linije u dijagramu rasipanja.
6.2. Primjena statističkih metoda u analizi uzorka
Budući da je odgovor na prvo pitanje u anketi moguće numerirati u smislu broja nadzornih
oblika koje svako pojedino poduzeće koristi, autori su za isto analizirali aritmetičku sredinu,
medijan, mod, sumu frekvencija, interkvartile, minimum i maksimum, standardnu devijaciju,
mjeru asimetrije i eksces odnosno mjeru zaobljenosti:
a. Prosječan broj nadzornih oblika u anketiranim poduzećima iznosi 3.
b. 50% ispitanih ima 3 ili manje nadzornih oblika odnosno 50% ispitanih ima 3 ili više
nadzornih oblika.
55
c. Najčešći broj nadzornih oblika koje imaju promatrana poduzeća je 3.
d. Ukupan broj nadzornih oblika kojim se koriste sva poduzeća je 45.
e. Razlika između poduzeća koje koristi najmanje i poduzeća koje koristi najveći broj
nadzornih oblika je 4.
f. Raspon varijacije središnjih 50% jedinica su 2 nadzorna oblika.
g. Prosječno odstupanje od aritmetičke sredine je 1,134 oblika.
h. U 25% slučajeva poduzeća imaju 2 ili manje nadzornih oblika, a u 75% slučajeva
poduzeća imaju 2 ili više nadzornih oblika. Poduzeća u 75% slučajeva imaju 4 ili
manje nadzornih oblika, a u 25% slučajeva imaju 4 ili više oblika.
i. Najveći broj nadzornih oblika koja poduzeća koriste je 5, dok je najmanji 1.
j. Mjera asimetrije α3 iznosi -0,339199 što znači da je raspodjela blago negativno ili
lijevostrano asimetrična.
k. Eksces je -0,17949 što znači da je raspodjela zaobljenija od normalne.
Iako su nadzorni oblici koje poduzeća koriste vidljivi u prilogu gdje je prikazana anketa,
autori još jednom ističu kako se radi o: internoj reviziji, eksternoj reviziji, menadžmentu
(upravi), odjelu kontrolinga te o Poreznoj inspekciji.
Zbog preglednosti rada, u nastavku je prikazana analiza broja zaposlenika prema poduzećima
koja slijedi niz metoda korištenih u prvom pitanju.
a. Prosječan broj djelatnika u anketiranim poduzećima iznosi 2.351,53.
b. 50% ispitanih ima 748 ili manje zaposlenika, odnosno 50% ispitanih ima 748 ili više
zaposlenika.
c. U izabranom uzorku ne postoje dva ili više poduzeća čiji je broj zaposlenika isti te je
za ovu varijablu nemoguće izračunati mod.
d. Ukupan broj zaposlenika u svim promatranim poduzećima je 35.273.
e. Razlika između poduzeća koje zapošljava najveći i poduzeća koje zapošljava najmanji
broj djelatnika je 13.515.
f. Raspon varijacije središnjih 50% jedinica su 1.290 zaposlenika.
g. Prosječno odstupanje od prosjeka je 4.033,736 zaposlenika.
h. U 25% slučajeva poduzeća imaju 317 ili manje zaposlenika, a u 75% slučajeva
poduzeća imaju 317 ili više zaposlenika. Poduzeća u 75% slučajeva imaju 1.607 ili manje
zaposlenika, a u 25% slučajeva imaju 1.607 ili više zaposlenika.
i. Najveći broj zaposlenika koje poduzeća zapošljavaju je 13.562, dok je najmanji 47.
j. Mjera asimetrije α3 iznosi 2,264548 što znači da je raspodjela pozitivno ili desnostrano
asimetrična.
56
k. Eksces je 4,33960 što znači da je raspodjela zaobljenija od normalne.
Drugo pitanje u anketi veže se uz doprinos interne kontrole kvaliteti poslovanja, na koje su
poduzeća odgovarala klasificirajući odgovore u 4 skupine: značajno doprinosi, osrednje
doprinosi, doprinos je zanemariv te nema odjela interne kontrole.
Najčešći odgovor je: značajno doprinosi kojeg ujedno ima i najviše (12), dok su ostala tri
odgovora zastupljena u jednakom broju (1). Kako su odgovori numerirani s 1, 2, 3 te 4
(respektivno), mjera asimetrije (α3) iznosi 2,307910 što znači da je raspodjela desnostrano
asimetrična. Mjera zaobljenosti iznosi 4,66432 što znači da je raspodjela zaobljenija od
normalne.
U trećem pitanju od sudionika se tražio odgovor o korištenju intrumenata u svrhu mjerenja
kvalitete poslovanja te su odgovori: financijski i nefinancijski pokazatelji te isključivo
financijski pokazatelji.
Najčešći odgovor je: financijski i nefinancijski pokazatelji (11). Gledaju li se pokazatelji
zasebno, moguće je zaključiti kako je razlika između financijskih pokazatelja kao samostalnih
intrumenata mjerenja kvalitete poslovanja (15) i financijskih pokazatelja koje poduzeća
koriste zajedno s nefinancijskim pokazateljima (11) - 4. Maksimalan broj korištenih
pokazatelja je 2 (financijski i nefinacijski), a minimalan 1 (isključivo financijski pokazatelji).
Mjera asimetrije iznosi 1,176354, a mjera zaobljenosti (eksces) -0,73427.
Tablica 13.: Zbroj odgovora DA/NE/NIJEPRIMJENJIVO prema pitanjima
Pitanje
br./Odgovor 4. 5. 7.
8.
10.
22.
9. 11. 12. 13./19. 14.-
18.
20.
21. 23.
DA 14 11 14 15 13 12 13 12 13 9 11
NE 1 2 / / 2 3 1 1 / 6 4
NIJE
PRIMJENJIVO / 2 1 / / / 1 2 2 / /
Izvor 29.: Izrada autora
Odgovori koji se odnose na pitanja; 4.,5.,7.-23. prikazani su u Tablici 12. budući da se radi o
dihotomnim pitanjima gdje su mogući odgovori: DA/NE/NIJE PRIMJENJIVO. U svim
navedenim pitanjima najčešći je odgovor DA što znači da u istima odgovor DA ujedno
predstavlja i maksimum. Zbroj odgovora DA razlikuje se od pitanja do pitanja. Ipak, moguće
je uočiti kako su na pitanja 8.,10. i 22. svi odgovori upravo DA.
57
Za pitanja 4.,7.-19. i 22. vrijedi slijedeće: poduzeća su kao odgovor dala NE i NIJE
PRIMJENJIVO za 25% odgovora i manje od toga, a u 25% odgovora i više od toga,
odgovorila su s DA.
Tablica 14.: Prosječno odstupanje od aritmetičke sredine uzorka za pitanja 5., 9., 11.-21., 23.
Pitanje br. St. devijacija
5. 0,737
9. 0,352
11. 0,414
12. 0,561
13. 0,724
14.-18. 0,704
19. 0,724
20. 0,507
21. 0,507
23. 0,458
Izvor 30.: Izrada autora
U pitanjima 5.,9.,11.-21. i 23. zabilježena su različita odstupanja od prosjeka koja su vidljiva
u Tablici 13. uočljivo je kako je najveće odstupanje zabilježeno kod pitanja br. 5 čija
standardna devijacija iznosi 0,737, dok je najmanja standardna devijacija odnosno odstupanje
od prosjeka zabilježeno u pitanju br. 9. Odstupanje od prosjeka u odgovorima ukazuje na
razlike između poduzeća koja su sudjelovala u anketi. Suprotno prethodno rečenom, valja
istaknuti kako su u Tablici 13. zabilježene dvije skupine pitanja kojima je odstupanje istog
iznosa. To su: pitanja 13. i 19. sa standardnom devijacijom 0,724 te pitanja 20. i 21. sa
standardnom devijacijom 0,507. U obje skupine pitanja bilježe jednaka odstupanja što znači
da se zbroj odgovora (DA/NE) unutar svake skupine podudara. Za pitanja 8., 10. i 22.
standardna devijacija nije izračunata budući da su na sva pitanja svi odgovori DA te
odstupanja nema.
U Prilogu (str. 65.-72.) se nalaze tablice koje prikazuju kompletan izračun spomenutih mjera
te strukturirane odgovore na anketna pitanja koji su ujedno i numerički izraženi radi lakšeg
rukovanja programima54 u kojima su se vršila izračunavanja.
54 Autori su za izračunavanje mjera podataka iz ankete koristili programe Microsoft Excel i Statistica.
58
7. Zaključak Statističke metode u procesu poslovanja se ubrajaju u analitičke postupke. Upotreba
statističkih metoda u procesu poslovanja je od velikog značaja. Statističke metode olakšavaju
postupak analiziranja pojava i procesa koji su se već dogodili te omogućuju prognoziranje
kretanja istih na temelju analiziranih podataka. Konkretno, u procesu revizije statističke
metode se upotrebljavaju za ispitivanje uzorka ispitivanog računovstvenog materijala,
većinom financijskih izvješća i pokazatelja poslovanja izračunatih na temelju financijskih
izvješća.
Prilikom izrade rada, autori su pažnju usmjerili na statistčke metode trenda, korelacije i
regresije. Prije pisanja rada postavljene su određene hipoteze. Prva hipoteza je glasila da sve
tri spomenute metode zahtjevaju vremenski niz podataka. Ova tvrdnja se odbacuje. Naime,
korelaciju i regresiju je moguće izračunati bez podataka vremenskog niza, dok je trend
metoda koja se računa na temelju podataka više razdoblja. Navedena konstatacija je teorijski
objašnjenja u poglavlju 5. seminarkog rada te potvrđena primjerima upotrebe proučavanih
metoda. Drugom hipotezeom se iznosi trvrdnja da je proučavanim metodama moguće
analizirati kvalitativne podatke. Postavljena hipoteza se prihvaća djelomično. Određene
kvalitativne podatke je moguće kvantitativno prikazati te ih izračunati korištenjem
proučavanih metoda. Razlog djelomičnog prihvaćanja je taj što ipak postoje kvalitativni
podaci koje je nemoguće kvantificirati, a samim time i obraditi metodom trenda, korelacije i
regresije.
Upotreba statističkih metoda prikazana je na primjeru analize Računa dobiti u gubitka na
promatranom uzorku velikih poduzeća u RH te na temelju podataka iz ankete o istim
poduzećima. Prikaz trend modela je izrađen za jedno poduzeće koje je ispunjavalo uvjete
reprezentativnosti te za jedno koje te uvjete nije ispunjavalo na temelju podataka za ostvarenu
dobit u razdoblju promatranja. Razdoblje promatranja je bilo prvo polugodiše od 2009. do
2013. godine. Upotreba trend modela nije bila moguća niti na jednom dijelu ankete iz razloga
što u anketi ne postoje promatranja koja se opisuju kroz više vremenskih razdoblja.
Izračun korelacije i regresije također nije moguće primijeniti na uzorku odgovora iz ankete s
obzirom da se radi o kvalitativnim podacima te je stoga prikazan izračun povezanosti ukupnih
i poslovnih prihoda za podatke iz prvog polugosišta 2013. godine. Korelacijom je utvrđena
snažna pozitivna veza dok za regresiju nisu svi parametri reprezentativni. Zbog navedenog,
analiza ankete rađena je dodatnim statističkim metodama.
59
Literatura
1. Anić, V., Goldstein, I., Rječnik stranih riječi,Novi liber, Zagreb, 1999.
2. Biljan-August, M.;Pivac, S.; Štambuk, A.: Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje,
Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009.
3. Crnković, L.; Mijoč, I.; Mahaček, D.: Osnove revizije, Ekonomski fakultet u Osijeku,
Osijek, 2010.
4. Dey, A.,Corporate Governance and Agency Conflicts.,Journal Of Accounting
Research, 46(5), 2008.
5. Dumičić, K., Bahovec, V. (ur.)., Poslovna statistika, Zagreb, Element, 2011.
6. Ganguly, A. R., & Hammersley, J. S., Covariation Assessments with Costly
Information Collection in Audit Planning: An Experimental Study, Auditing, 28(1), 1-
27., 2009.
7. Horvat, J., Mijoč, J., Osnove statistike, Naklada Ljevak d.o.o., Zagreb, 2012.
8. Kresić, E.,Mezulić, N., Uloga interne kontrole u upravljanju rizicima, Ekonomski
fakultet u Osijeku, Osijek, 2014.
9. Međunarodni revizijski standardi (Dostupno na:
http://www.propisi.hr/print.php?id=5668 (15.12.2013.))
10. Newbold, P., Statistika za poslovanje i ekonomiju, MATE, Zagreb, 2010.
11. Popović, Ž., Vitezić, N., Revizija i analiza – instrumenti donošenja poslovnih odluka,
HZFRD, 2000.
12. Savić, M., Primjena regresione analize u reviziji, 6. Naučni skup sa međunarodnim
učešćem Sinergija 2010., Univerzitet Bijeljina, Bijeljina, 2010. (Dostupno na:
https://www.google.hr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&ved
=0CDMQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.singipedia.com%2Fattachment.php%3F
attachmentid%3D167%26d%3D1269960272&ei=ZI7RUp_ROuSyyAOLn4GQAg&u
sg=AFQjCNFW7ELNursZs6XuNx19ac6pNjecGQ&bvm=bv.59026428,d.bGQ
(11.01.2014.))
13. STRINGER, K. W., A Statistical Technique for Analytical Review. Journal Of
Accounting Research, 13(3), 1-9. 1975.
14. Šarlija, N., nastavni materijali kolegija Kreditna analiza, str. 135. – 136. (Dostupno na:
http://www.efos.unios.hr/kreditna-analiza/nastavni-materijali/ (15.12.2013.))
15. Šošić, I., Primijenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb, 2006.
60
16. Tušek, B., Žager, L., Revizija, Hrvatska zajednica računovođa i financijskih
djelatnika, Zagreb, 2008.
17. Vitezić, N., Analitički postupci u reviziji, RriF, br. 9/94.,Zagreb, 1994., str. 41. - 44.
18. Zagrebačka burza (Dostupno na: http://zse.hr/default.aspx?id=121 (14.01.2014.))
19. Zakon o računovodstvu, Narodne novine br. 109/07, 54/13.
20. Zelenika, R., Metodologija i tehnologija izrade znanstvenog i stručnog djela,
Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2000.
21. Zenzerović, R., Analitički postupci – Instrument revizora u ocjeni vremenske
neograničenosti poslovanja, Ekonomska istraživanja, Vol. 20, No. 2, Sveučilište Jurja
Dobrile u Puli, Odjela za ekonomiju i turizam „Dr. Mijo Mirković“, Pula, 2007.
22. Žager, K., Žager, L., Analiza financijskih izvješća, Masmedia, Zagreb, 1999.
23. WILSON, A. C., & HUDSON, D., An empirical study of regression analysis as an
analytical procedure. Contemporary Accounting Research, 6(1), 196-215., 1989.
61
Prilog
Popis tablica
Tablica 1.: Podvrste (oblici) specijalnih revizijskih metoda ...................................................... 9
Tablica 2.: Ocjena modela linearnog trenda ............................................................................. 26
Tablica 3.: Petogodišnji niz pomičnih prosjeka proizvedenih proizvoda ................................ 29
Tablica 4.: Postupak desezonizacije broja zaposlenika Podueća XY ...................................... 32
Tablica 5.: Sezonski prosjeci .................................................................................................... 33
Tablica 6.: Mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća i njihovi mjesečni izdaci za aktivnosti
vezane uz kulturne sadržaje ...................................................................................................... 35
Tablica 7.: Vrijednosti koeficijenta korelacije i njihova tumačenja ......................................... 38
Tablica 8.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća ........ 40
Tablica 9.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća -
izračunavanje razlike rangova .................................................................................................. 40
Tablica 10.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća ...... 45
Tablica 11.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća –
izračun koeficijenta determinacije............................................................................................ 48
Tablica 12.: Dobit poduzeća koja posluju u djelatnostima kemijske industrije i motornih
vozila za razdoblje od 2009. do 2013. (polugodišnja izvješća) ............................................... 51
Tablica 13.: Zbroj odgovora DA/NE/NIJEPRIMJENJIVO prema pitanjima .......................... 56
Tablica 14.: Prosječno odstupanje od aritmetičke sredine uzorka za pitanja 5., 9., 11.-21., 23.
.................................................................................................................................................. 57
Tablica 15.: Oblici trend modela .............................................................................................. 66
Tablica 16.: Broj nadzornih oblika prema djelatnosti anketiranih poduzeća ........................... 70
Tablica 17.: Strukturirani odgovori ankete (seminarski rad: Kresić, E.,Mezulić, N.,Uloga
interne kontrole u upravljanju rizicima, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2014.) ......... 71
Tablica 18.: Izračun u programu Statistica na temelju uzorka iz ankete (seminarski rad:
Kresić, E.,Mezulić, N.,Uloga interne kontrole u upravljanju rizicima, Ekonomski fakultet u
Osijeku, Osijek, 2014.) ............................................................................................................. 73
Popis grafikona
Grafikon 1.: Korištenje analitičkih postupaka u pojedinim fazama revizije .............................. 5
Grafikon 2.: Podjela metoda revizije .......................................................................................... 7
62
Grafikon 3.: Linija trenda ......................................................................................................... 28
Grafikon 4.: Linija petogodišnjih pomičnih prosjeka i linija originalnih podataka ................. 30
Grafikon 5.: Desezonirani vremenski niz ................................................................................. 34
Grafikon 6.: Mjesečni prihodi zaposlenika poduzeća i njihovi mjesečni izdaci za aktivnosti
vezane uz kulturne sadržaje – dijagram rasipanja .................................................................... 36
Grafikon 7.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća –
dijagram rasipanja .................................................................................................................... 41
Grafikon 8.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća –
dijagram rasipanja .................................................................................................................... 46
Grafikon 9.: Visina mjesečnih prihoda i mjesečni izdaci za hranu zaposlenika poduzeća –
dijagram rasipanja s linijom regresije ...................................................................................... 47
Popis slika
Slika 1.: Smjer povezanosti varijabla te jačina koeficijenta korelacije .................................... 37
Slika 2.:Metoda linearnog trenda – ostvarena dobit razdoblja „Kemijska industrija“ ............. 51
Slika 3.: Predviđene vrijednosti trenda „Kemijska industrija“ ................................................ 52
Slika 4.: Predviđena dobit budućeg razdoblja „Kemijska industrija“ ...................................... 52
Slika 5.: Metoda linearnog trenda – ostvarena dobit razdoblja „Motorna vozila, trgovina i
održavanje“ ............................................................................................................................... 53
Slika 6.: Koeficijent korelacije ukupnih i poslovnih prihoda poduzeća iz uzorka ................... 54
Slika 7.: Regresijska analiza na temelju ukupnih i poslovnih prihoda poduzeća iz uzorka ..... 54
Popis formula
Altmanov sustav
pokazatelja
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
63
Opći model jednostavne
regresije 4.6.
Aditivni model
vremenskog niza
5.1.
5.2.
Multiplikativni model
vremenskog niza 5.3.
Logaritamski oblik
vremenskog niza 5.4.
Aditivni model linearnog
trenda 5.5.
Multiplikativni model
linearnog trenda 5.6.
Općeniti oblik modela
linearnog trenda 5.7.
Ocijenjeni linearni trend
model 5.8.
Metoda najmanjih
kvadrata
5.9.
5.10.
Regresijski koeficijent
5.11.
Konstantni član 5.12.
Jednostavne aritmetičke
sredine varijabli X i Y
5.13.
5.14.
Protumačena odstupanja
5.15.
Neprotumačena
odstupanja
5.16.
64
Ukupna odstupanja
5.17.
5.18.
Standardna devijacija
trend modela
5.19.
Koeficijent varijacije
trend modela 5.20.
Koeficijent
determinacije 5.21.
Pomični prosjeci
5.22.
Pearsonov koeficijent
korelacije
5.23.
Spearmanov koeficijent
korelacije ranga 5.24.
Razlika rangova 5.25.
Deterministički model
regresije 5.26.
Statistički model
regresije 5.27.
Regresijska jednadžba 5.28.
Rezidualna odstupanja
5.29.
Konstantni član 5.30.
Regresijski koeficijent
5.31.
Jednostavne aritmetičke
sredine varijabli X i Y
5.32.
5.33.
Rezidualna odstupanja 5.34.
65
Koeficijent
determinacije 5.35.
Protumačena odstupanja
5.36.
Ukupna odstupanja
5.37.
66
Tablica 15.: Oblici trend modela
NAZIV MODELA OBLIK MODELA
TREND POLINOMI K-TOG STUPNJA
Linearni trend
Trend polinom drugog stupnja
EKSPONENCIJALNI TREND MODELI
Jednostavni eksponencijalni trend
HIPERBOLIČKI TREND MODELI
Jednostavni hiperbolički trend model
ASIMPTOTSKI TREND MODELI
Modificirani eksponencijalni trend
Logistički trend
Gompertzov trend
Izvor 31.: Biljan-August, M.,Pivac, S., Štambuk, A., Uporaba statistike u ekonomiji, 2. Izdanje, Ekonomski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2009. str. 115. – 143.
67
Anketni upitnik – pitanja i odgovori
1. Koji oblici nadzora nad provođenjem poslovnih aktivnosti postoje u poduzeću?
a) interna revizija – 7
b) eksterna revizija – 15
c) menadžment (uprava) – 13
d) kontroling – 10
e) porezna inspekcija – 1
2. Koliko doprinosi interna kontrola u poboljšanju kvalitete poslovanja?
a) značajno doprinosi – 12
b) osrednje doprinosi – 1
c) doprinos je zanemariv - 1
d) nema odjela – 1
3. Koje instrumente mjerenja kvalitete poslovanja koristite?
a) financijski pokazatelji – 15
b) nefinancijski pokazatelji - 10
4. Ažurira li se glavnu knjigu, tj. obavljaju li se mjesečna usklađenja?
a) da – 14
b) ne – 1
c) nije primjenjivo - 0
5. Obavlja li se mjesečno usklađivanje bankovnih računa?
a) da – 11
b) ne – 2
c) nije primjenjivo - 2
6. Ukoliko je odgovor na prethodno pitanje da, tko čini usklađivanje?
a) računovodstvo – 6
b) glavni knjigovođa/voditelj računovodstva – 3
c) odjel financijske operative – 1
d) odjel platnog prometa – 1
e) nema odgovora - 4
7. Odobravaju li se dnevna knjiženja?
a) da – 14
b) ne - 0
c) nije primjenjivo - 1
68
8. Obavlja li se mjesečno usklađenje pomoćne knjige kupaca s glavnom knjigom?
a) da – 15
b) ne – 0
c) nije primjenjivo - 0
9. Radi li se mjesečni pregled potraživanja prema datumu potraživanja?
a) da – 13
b) ne – 2
c) nije primjenjivo - 0
10. Jesu li nalozi, računi prodaje, otpremnice, kreditni dokumenti numerirani i
kontrolirani?
a) da – 15
b) ne – 0
c) nije primjenjivo - 0
11. Postoji li propisan postupak naplate?
a) da – 12
b) ne – 3
c) nije primjenjivo - 0
12. Postoji li neovisna provjera cijena, rokova plaćanja i krajnjih svota u računima?
a) da – 13
b) ne – 1
c) nije primjenjivo - 1
13. Obavlja li se kontrolu i obračun stanja zaliha, kako bi se izbjeglo greške i
nepravilnosti?
a) da – 12
b) ne – 1
c) nije primjenjivo - 2
14. Je li obavljeno usklađenje dokumentacije s fizičkim kretanjem robe?
a) da – 13
b) ne – 0
c) nije primjenjivo - 2
15. Obavlja li se popis zaliha barem jednom godišnje?
a) da – 13
b) ne – 0
c) nije primjenjivo - 2
69
16. Obavlja li popis zaliha još netko osim skladištara ili osoba odgovornih za stalno
praćenje i bilježenje stanja zaliha?
a) da – 13
b) ne – 0
c) nije primjenjivo - 2
17. Postoji li propisan postupak brojanja, pregleda i izvješćivanja o ulazu robe na zalihe?
a) da – 13
b) ne – 0
c) nije primjenjivo - 2
18. Uspoređuje li se i usklađuje mjesečna izvješća nabave s knjiženima ulaznim računima?
a) da – 13
b) ne – 0
c) nije primjenjivo - 2
19. Je li funkcija nabave odvojena od računovodstvene funkcije i zaprimanja robe?
a) da – 12
b) ne – 1
c) nije primjenjivo - 2
20. Obavljaju li se gotovinske isplate zaposlenicima?
a) da – 9
b) ne - 6
21. Isplaćuje li se zaposlenicima predujmove?
a) da – 9
b) ne - 6
22. Uplaćuje li se poreze/doprinose sukladno propisima?
a) da – 15
b) ne - 0
23. Dobivaju li zaposlenici primitke u naravi i tko ih kontrolira?
a) da – 11
b) ne – 4
70
Tablica 16.: Broj nadzornih oblika prema djelatnosti anketiranih poduzeća
R. br. Djelatnost Broj nadzornih oblika
1. Osiguranje 3
2. Električni djelovi, strojevi i uređaji 2
3. Elektronička oprema 3
4. Energetika 4
5. Farmacija 4
6. Građevinsrstvo 1
7. Hrana i proizvodnja 2*
8. Kemijska industrija 3
9. Motorna vozila, trgovina i održavanje 3
10. Poljoprovreda, lov i ribarstvo 3,5**
11. Pošta i dostava 4
12. Upravljanje i savjetovanje u poslovanju 5
*aritmetička sredina broja nadzornih oblika (tri su poduzeća ove djelatnosti, broj njihovih
nadzornih oblika: 2, 1, 3)
** aritmetička sredina broja nadzornih oblika (dva su poduzeća ove djelatnosti, broj njihovih
nadzornih oblika: 3, 4)
71
Tablica 17.: Strukturirani odgovori ankete (seminarski rad: Kresić, E.,Mezulić, N.,Uloga interne kontrole u upravljanju rizicima, Ekonomski
fakultet u Osijeku, Osijek, 2014.)
Djelatnost 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
14.
-
18.
19. 20. 21. 22. 23.
Električni djelovi, strojevi i
uređaji 2 4 1 1 1
Računovođa
i blagajnik 1 1 2 1 2 1 3 3 3 1 1 1 1
Elektronička oprema 3 1 1 1 1 računovodstvo 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1
Energetika 4 1 1 1 1 računovodstvo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Farmacija 4 1 1 1 1 voditelj
računovodstva 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2
Građevinsrstvo 1 3 2 1 2 / 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2
Hrana i proizvodnja 1 3 1 2 1 1 Glavni
knjigovođa 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Hrana i proizvodnja 2 5 1 1 1 1 knjigovodstvo 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2
Hrana i proizvodnja 3 1 1 2 1 1
Odjel
platnog
prometa
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Kemijska industrija 3 1 1 1 1 Računovodstvo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2
72
gl.knjiga
Motorna vozila, trgovina i
održavanje 3 2 1 1 1
računovodstvo
prema stanju
izvoda
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1
Osiguranje 3 1 2 1 1 računovodstvo 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 2 1 1
Poljoprovreda, lov i ribarstvo 1 3 1 1 1 1
Odjel
financijske
operative
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Poljoprovreda, lov i ribarstvo 2 4 1 1 1 2 / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
Pošta i dostava 4 1 1 1 3 / 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1
Upravljanje i savjetovanje u
poslovanju 5 1 1 2 3 / 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Izvor 32.: Izrada autora
Pitanje br. 1.
Oblici nadzora koja su poduzeća isticala su: interna revizija, eksterna revizija, odjel kontrolinga, menadžment (uprava) i Pozrena inspekcija.
Pitanje br. 2.
Doprinos je izražen numerički:
značajno – 1
osrednje – 2
zanemarivo – 3
73
ne postoji odjel – 4
Pitanje br. 3.
Instrumenti koje poduzeća koriste izraženi su numerički:
financijski i nefinancijski pokazatelji – 1
financijski pokazatelji – 2
Pitanja 4.-5.; 7.-23.
Odgovori DA/NE/NIJE PRIMJENJIVO iskazani su numerički:
DA – 1
NE – 2
NIJE PRIMJENJIVO – 3
Tablica 18.: Izračun u programu Statistica na temelju uzorka iz ankete (seminarski rad: Kresić, E.,Mezulić, N.,Uloga interne kontrole u
upravljanju rizicima, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek, 2014.)
Descriptive Statistics (anketa- all)
Valid
N Mean
Geometric
Mean
Harmonic
Mean Median Mode
Frequency
of Mode Sum Min Max
Lower
Quartile
Upper
Quartile
Zaposlenici 15 2351,533 755,3689 276,6144 748,00 Multiple 1 3527
3 47
1356
2 317,0000 1607,00
Nadzorni oblici 15 3,000 2,7424 2,4194 3,00 3,0000 6 45 1 5 2,0000 4,00
Doprinos 15 1,400 1,2360 1,1465 1,00 1,0000 12 21 1 4 1,0000 1,00
Instrumenti 15 1,267 1,2030 1,1538 1,00 1,0000 11 19 1 2 1,0000 2,00
74
mjerenja
kvalitete
DA/NE 15 1,400 1,2699 1,1842 1,00 1,0000 11 21 1 3 1,0000 2,00
DA/NE 15 1,133 1,0968 1,0714 1,00 1,0000 13 17 1 2 1,0000 1,00
DA/NE 15 1,200 1,1487 1,1111 1,00 1,0000 12 18 1 2 1,0000 1,00
DA/NE 15 1,200 1,1269 1,0843 1,00 1,0000 13 18 1 3 1,0000 1,00
DA/NE 15 1,333 1,2125 1,1392 1,00 1,0000 12 20 1 3 1,0000 1,00
DA/NE 15 1,267 1,1578 1,0976 1,00 1,0000 13 19 1 3 1,0000 1,00
DA/NE 15 1,333 1,2125 1,1392 1,00 1,0000 12 20 1 3 1,0000 1,00
DA/NE 15 1,400 1,3195 1,2500 1,00 1,0000 9 21 1 2 1,0000 2,00
DA/NE 15 1,400 1,3195 1,2500 1,00 1,0000 9 21 1 2 1,0000 2,00
DA/NE 15 1,267 1,2030 1,1538 1,00 1,0000 11 19 1 2 1,0000 2,00
Range
Quartile
Range Variance Std.Dev. Coef.Var. Standard - Error Skewness Kurtosis
Zaposlenici 13515 1290,000 16271028 4033,736 171,5364 1041,506 2,264548 4,33960
Nadzorni oblici 4,00 2,000 1 1,134 37,7964 0,293 -0,339199 -0,17949
Doprinos 3,00 0,000 1 0,910 65,0185 0,235 2,307910 4,66432
Instrumenti
mjerenja
kvalitete
1,00 1,000 0 0,458 36,1372 0,118 1,176354 -0,73427
75
DA/NE 2,00 1,000 1 0,737 52,6277 0,190 1,631987 1,32005
DA/NE 1,00 0,000 0 0,352 31,0470 0,091 2,404763 4,34911
DA/NE 1,00 0,000 0 0,414 34,5033 0,107 1,672082 0,89744
DA/NE 2,00 0,000 0 0,561 46,7177 0,145 2,918888 8,38843
DA/NE 2,00 0,000 1 0,724 54,2810 0,187 1,980757 2,54990
DA/NE 2,00 0,000 0 0,704 55,5578 0,182 2,404763 4,34911
DA/NE 2,00 0,000 1 0,724 54,2810 0,187 1,980757 2,54990
DA/NE 1,00 1,000 0 0,507 36,2209 0,131 0,455083 -2,09402
DA/NE 1,00 1,000 0 0,507 36,2209 0,131 0,455083 -2,09402
DA/NE 1,00 1,000 0 0,458 36,1372 0,118 1,176354 -0,73427
Izvor 33.: Izrada autora
