RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - 5TO

7/29/2019 RAZONAMIENTO MATEMTICO - 5TO

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I.E.P. Leonardo de Vinci Sistema Preuniversitario

Sub rea: Raz. Matemtico 5 Secundaria

AZUZANDO AL INGENIO

EN LA ISLA DE LOS ZOMBIES

En una isla cercana a Hait la mitad de los habitantes fueron embrujadospor un Bud y transformados en Zombies, esos Zombies no se comportansegn las tpicas conversaciones: Hablan y no se pueden distinguir de los sereshumanos normales, la nica diferencia es que los Zombies mienten siempre y loshumanos siempre dicen la verdad.

La situacin es enormemente complicada por el hecho que aunque los nativos entiendan

nuestro idioma a la perfeccin un antiguo tab les prohbe de usar palabras extranjerascuando hablan. Por lo cual al hacerle una pregunta que requiere una respuesta de s ono, ellos contestan Bal o Da, uno de los cuales significa s o no. El problema esque no sabemos si Bal o Da es s o no.

T te encuentras en esa isla y quieres casarte con la hija del rey. El rey desea que su hijase case slo con alguien muy inteligente. As que tienes que superar una prueba. Laprueba consiste en hacer al brujo del rey una sola pregun ta. Si el contesta Bal entoncespodrs casarte con la hija del rey, pero si contesta Da habrs fracasado en la prueba.El problema consiste en encontrar una pregunta tal que, independientemente del hechode que el brujo sea humano o Zombie e independientemente del hecho de que Balsignifique si o no, el brujo conste Bal

Solucin

Una posible solucin sera preguntar al curandero: Es usted humano?Bal, es la respuesta a la pregunta de si eres humano!

CMO SE ENCIENDE LA LUZ?Hay 2 habitaciones. En una de las habitaciones hay 4 interruptores y en la otra habitacinhay una bombilla.

El problema consiste en lo siguiente: suponiendo que t ests en la habitacin de losinterruptores, y que no puedes ver nada entre habitacin y habitacin, cmo podramos

saber cul es el interruptor que enciende la bombilla si slo podemos ir una sola vez a lahabitacin en la que est la bombilla?SolucinDejamos encendidos el primer y segundo interruptor durante un rato.A continuacin apagamos el primero y encendemos el tercero.Inmediatamente despus entramos en la habitacin de la bombilla y procedemos a tocarla bombilla.

Si la bombilla est encendida y adems caliente, tenemos la certeza de que elinterruptor es el segundo, porque lleva encendido desde hace rato.Si a pesar de estar encendida la bombilla, sta est fra, el interruptor es el tercero,puesto que no le ha dado tiempo a calentarse ya que lo acabamos de encender.Si por el contrario la bombilla est apagada, la incgnita queda reducida a losinterruptores primero y cuarto: si la bombilla est caliente, queda claro que elinterruptor es el primero, pues lo hemos dejado un rato encendido, si est fra elinterruptor es el ltimo pues no se ha encendido en ningn momento.


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1. La siguiente tabla de muestra el resultado delos partidos de un torneo de ajedrez. Si lospartidos ganados abonan 2 puntos, losempatados un punto y los perdidos 0 puntos ysolo falta el encuentro entre Jos y Martn. Aquin le gan Jos?Nombres P.J. P.G. P.E. P.P. Ptos.JuanCarlosJavierEduardoJosMartnPedro

6666556

6532110

0010201

0124245

121074421

a) Carlos b) Martn c) Pedrod) Eduardo e) Javier

2. Hay tres tomos en orden en una biblioteca(uno a continuacin de otro) el total de hojasde cada tomo ocupa 5 centmetros de espacioy las cubiertas de cada tomo ocupan 0.5cm deespesor cada una. Qu distancia hay entre laprimera hoja del tomo I y la ltima deltomo III?a) 17 cm b) 16.5cm c) 18cmd) 19cm e) 7 cm

3. A una posada de la serrana llega un fatigadocaminante y expone su situacin al posadero;no tiene dinero en efectivo pero si una valiosacadena de plata de 7 eslabones que le dejaren pago de una semana de alojamiento,tiempo mnimo que necesita para reponerse. Elposadero acepta pero exige el ago poradelantado, ofendido el viajero acepta a su vezpero explica que ir pagando da a da (o siprefiere eslabn por eslabn). Puestos de

acuerdo ambos hombres, as se cumple en laprctica el trato. Cul ser el nmero mnimode eslabones que tendr que abrir elcaminante para pagar al posadero?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. La agencia de turismo Sistema 2000 Toursofrece por ao Nuevo una oferta en el preciode los pasajes areos. A Arequipa costar $56,a Tacna $35, a Cajamarca $63, etc. Segnesta tarifa. Cul de las siguientes

afirmaciones son verdaderas?I. El pasaje a Chiclayo cuesta mas que elpasaje a Trujillo.II. El pasaje a Piura cuesta $35.

III. El pasaje a Iquito cuesta menos de $50.a) Slo I b) I y II c) Slo IId) Slo III e) II y III

5. Una determinada clase de microbios se duplicaen cada minuto. Si se coloca un microbio en unrecipiente, ste se llena en 20 minutos. Sicolocamos 8 microbios en un recipiente dedoble capacidad que la anterior, en qutiempo se llenar?a) 20 min b) 22 min c) 18 mind) 10 min e) 25 min

6. En un lejano monte hay dos civilizaciones, losde arriba que siempre mienten y los de abajo

que nunca mienten. Un explorador llega hastadicho monte y al entrar en una choza dondehaba dos personas de arriba y una de abajo,les hizo una pregunta a cada una ycontestaron:

El primero: Soy de abajoEl segundo: No soy de arribaEl tercero: El segundo dice la verdad

Podemos concluir que el primero, segundo ytercer individuo son respectivamente.

7. Un avin de doce metros de envergadurafue fotografiado desde el suelo durante suvuelo en el momento de pasar por la verticaldel aparato. La cmara fotogrfica tienedoce centmetros de profundidad. En la foto,el avin presenta una envergadura de ochomm. A qu altura volaba el avin en elmomento de ser fotografiado?

a) 120 m b) 800 m c) 160 md) 180 m e) 220 m

8. Don Filomeno tiene una finca, un cuadradoformado por 4 cerillas de lado. En su interiorhay un establo, construido de la misma formacon una cerilla de lado. Filomeno deseaparcelar el campo en 5 corrales iguales, enforma de L. Cul ser la menor cantidad decerillas que se necesitan para poder hacerlo?

a) 8b) 9c) 10

d) 11e) 12

A C T I V I D A D E N A U L A


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1. Si el ayer de maana del pasado maana deayer es lunes. Cul es el da que est dosdas antes que el ayer del anteayer del ayer demaana?

2. Si se sabe que a cada letra le corresponde undgito como valor numrico y por ser estas 10,sus valores van del 0 al 9. Al costado de cadapalabra se indica la suma de todos los valoresde las letras que le componen. Calcule el valorde la palabra respuesta.

* sume 21 * a ver 7* reste 29 * ver 12* vea 11 * su 13* y 2 * respuesta ?* va 8

3. Se tiene una bolsa de man que pesa 2600g.Disponemos de una balanza de dos platillos yde dos pesas de 20 y 30g. Cuntas pesadascomo mnimo se necesitan hacer para separar300g de man?

4. Cul es el mximo nmero de puntos deinterseccin que se pueden contar alintersectarse 20 rectas y 8 circunferencias.

a) 30 b) 32 c) 40d) 48 e) Ms de 50

5. Hallar el mximo nmero de divisiones que sepuede hacer al grfico, realizando 8 trazosrectos.

a) 36b) 35c) 37d) 39e) 38

6. Seis amigos: Francisco, Rafael, Luis, Ursula,Carolina y Ana Mara, van al cine y se sientanen una fila de 6 asientos continuos vacos. Sise sabe que:

Dos personas del mismo sexo no sesientan juntas.Rafael se sienta en el extremo derecho.Francisco y Ursula se sientan a la izquierdade los dems.

Cul de las siguientes afirmaciones escorrecta?a) Ana Mara se sienta junto a Rafael.b) Carolina se sienta junto a Luis.c) Carolina se sienta junto a Rafael.d) Francisco se sienta junto a Ana Mara.e) Ninguna de las anteriores.

7. Alrededor de una mesa circular con 6 asientosdistribuidos simtricamente se sientan 3ingenieros: A, B y C y dos abogados: D y E. Sise sabe que:

No hay dos ingenieros que se sientenjuntos.B se sienta frente al sitio vaco y junto a laizquierda de E.

Cul de las siguientes son verdaderas?I. A se sienta junto a D.II. C no se sienta junto a E.III. B se sienta junto a D.

8. Cuatro amigas: Ana, Betty, Carla y Diana; tieneprofesiones diferentes: Contadora, Abogada,Terapista y Lingistas; adems todas tienencarros de diferentes colores. Si se sabe que:

Diana adora a su auto rojo.La abogada va a la notaria en taxi, pues elamarillo de su vehculo le parece muyinformal.Betty se recibi de Terapista el ao pasadoy su prima Ana de Contadora.Uno de los vehculos es blanco y el otro esverde.

De qu colores es el carro de la Lingista?

A C T I V I D A D D O M I C I L I A R I A


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1. Cuntos palitos se encuentran en total en lasiguiente figura?

a) 435 b) 1395 c) 465d) 1365 e) 1305

2. Si se cumple que:f(x+1) = f(x)+2x+1 y f(1) = 1Hallar: f(50)

a) 525 b) 2500 c) 1875d) 1600 e) 1500

3. Si se cumple que:M(1) = 2 + 1 1M(2) = 4 4 + 3M(3) = 6 x 9 5M(4) = 8 + 16 + 7Hallar: M(19)

a) 442 b) 289 c) 526d) 362 e) 4566

4. Hallar el nmero total de palabrasSABIDURA

a) 512 b) 128 c) 256d) 64 e) 258

5. Si m+a+n = 25a

Calcular: aaanamman a) 1475 b) 1575 c) 1357

d) 1423 e) 1565

6. La figura muestra un tringulo, formado porcircunferencias iguales, contndose 570puntos de contacto. Hallar el nmero total defilas del siguiente arreglo.

a) 17 b) 18 c) 20d) 21 e) 25

7. Efectuar:

20482 1024168 112xx1212x17x5x3k ....

a) 4 b) 16 c) 1024d) 2 e) 256

8. Cuntos tringulos pequeos hay en total?



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a) 996 b) 840 c) 1905d) 3125 e) 1225

1. Si:

ba

1n

ba

1m ;

Calcule el valor de A si:

2222

22

ba

ab

nm

nmA

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4d) 2 e) 1/5

2. Calcule el total de intersecciones entrecircunferencia y recta que presentar la figura20.

a) 760 b) 800 c) 840d) 420 e) 400

3. Al unir los centros de las circunferencias seforman sectores circulares. Cuntos de stosse contarn en total?

a) 2500 b) 2750 c) 6500d) 6600 e) 7500

4. Halle el nmero total de cuadradossombreados.

a) 441 b) 440 c) 320d) 896 e) 625

5. Hallar la suma de cifras del resultado de A.

A = 77.......7 x 99........9

10 10

a) 18 b) 27 c) 99d) 90 e) 60

6. Si: 1.023x10x = 0.000...001023

(n +1) cifras

Calcular: 2x 6

a) n b) n+1 c) 1-nd)2n e) n2

7. Simplificar:

9191

9999

273273

192192

919191

191919K

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Hallar el valor de M

M = (2001 1) (2000 2) (1999 3) ... (2-2000) (I 2001)

a) 2001 b) 2002 c) 0



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d)2102 e) 22000

Una de las maneras como comunicarse universalmente es por medio de gestos, perotambin se puede considerar a las matemticas como un modo de comunicarseuniversalmente.

Ya que los trminos utilizados en ella, son en cualquier lugar los mismos. El objetivojustamente de este captulo es ensearle a uno, transformar nuestro lenguaje comn allenguaje matemtico (ecuacin).

PLANTEAR UNA ECUACIN ES:

1. Leer cuidadosamente la situacin planteada, (problema) y tratar de entender a que se

refiere.2. Identificar las magnitudes (todo que se puede medir) dadas, como datos y lo que nos

piden (incgnita).3. Simbolizar la incgnita con una variable (x, y, ....) y tratar de relacionar con los datos

mediante las operaciones dadas (multiplicacin, adicin,.....) es decir: plantear laecuacin.

4. Finalmente resolver la ecuacin (despejar la incgnita).

RESUMEN:

Ejemplo ilustrativo:Petua tiene el doble de lo que tiene pitito, si entre ambos tiene S/.39.Cunto tiene pitito?a) 20 b) 30 c) 13d) 26 e) 39

Resolucin:Primero: La magnitud es la cantidad de dinero.

Segundo : Dinero Petua 2x(Multiplicacin por 2)

Pitito: x

Tercero: Ambos

PETUA + PITITO = 39

2x + x = 393x = 39

x =3

39

LENGUAJECOMN(ENUNCIADO)

LEERINTERPRETARSIMBOLIZAR

LENGUAJE MATEMTICO(ECUACIN)RESOLUCIN DE LAECUACIN

D

O

B

L

E

OJO:Una de las partes ms interesantes de lasmatemticas es interpretar y simbolizar losenunciados literales (problemas), por eso es queen el siguiente recuadro, mostraremos una gran


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x = 13 (Dinero de Pitito)

LENGUAJE LITERAL(ENUNCIADOS)

REPRESENTACINMATEMTICA

01) Nmero aumentado en 3.02) Una cantidad disminuida en 100.03) A es el doble de B04) La edad de Juan es el triple que de

la Pedro.05) La suma de 2 nmeros vale 10.06) La diferencia de nuestras edades

aumentada en 20.07) La mitad del precio de un artculo.08) A excede B en 5 unidades.09) El producto de 2 nmeros.

10) Un nmero de 2 cifras.11) 2 nmeros consecutivos.12) A es B como 2 es a 3.13) 7 veces un nmero14) La suma de 2 nmeros al cuadrado.15) Suma de los cuadrados de 2

nmeros.16) El triple de un nmero aumentado

en 10.17) El triple, de un nmero, aumentado

en 10.18) A es 3 veces ms que B

19) Los 2/5 de mi edad.

20) La mitad de los de lo que tienes.

21) Qu parte de A es B?

22) Qu fraccin de x es 3y?

23) Qu porcentaje de m es n?

24) Qu tanto por ciento de A es B?

x + 3x 100A = 2BJ = 3P

A + B = 10x y +20

P2A B = 5Ab

Abx y (x+1)A 2 A = 2k yB 3 B = 3k7x(x+y)2x2 + y23x + 10

3(x + 10)

A = B + 3B

A = 4B

x5

2

4

x3x

2

1

B ESA DE

x

y3

%100xm

n

%100xA

B


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1. En tres cestos hay 91 naranjas. El ms grandetiene 30 ms que el pequeo y el medio 29ms que el grande. Cuntas naranjas hay enel cesto mediano?

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 19

2. Al comprar un pantaln, una camisa y un parde zapatos he pagado por todo S/.400. Si elpantaln cuesta el triple de lo que cuesta la

camisa y los zapatos cuestan S/.50 ms que elpantaln, calcular el precio de los zapatos.

a) S/.180 b) S/.210 c) S/.200d) S/.240 e) S/.150

3. A un tubo de metal se le dan dos cortes demodo que el trozo central es 5 menos menorque el tercero y 3 metros mayor que primero yadems el trozo central es al primero, como el

tercero es al central. Cul es la longitud deltubo?

a) 22.5m b) 21.5m c) 24.4md) 23.5m e) 24m

4. Con motivo del da del maestro, los alumnosde un saln deciden hacerle un regalo a ste.Manuel propuso dar a cada uno S/.50 perofalt S/.50 para el regalo, por lo que decidieronaportar cada uno S/.80 de esta manera an

sobr S/.100 despus de comprar el regalo.Cul es el precio del regalo?

a) S/.250 b) S/.300 c) S/.280d) S/.350 e) S/.310

5. En una familia se hizo una junta para pagar elmes vencido de telfono. Si cada miembroaporta S/.20 faltara S/.10, en cambio si cadamiembro aporta S/.22 sobrara S/.4. Luego,son ciertas:I. La familia consta de 8 miembros.II. El pago de telfono es S/.150III. Si cada miembro diera S/.21 faltara S/.3

a) Slo I b) I y II c) II y IIId) I y III e) Slo III

6. Compr el cuadruple del nmero de vacas quecaballos. Si hubiera comprado 5 caballos msy 5 vacas ms, tendra el triple del nmero decaballos que de vacas. Cuntos animalescompr?

a) 60 b) 75 c) 50d) 45 e) 80

7. Al finalizar el juego de ping-pong, Carmencomenta a Mery: si te hubiera dado tres

puntos menos de ventaja, te habra ganadocon una diferencia de seis puntos. Si Meryanot 10 puntos (sin contar con la ventajadada) y el juego de ping pong es hasta 21puntos. Cuntos puntos de ventaja dioCarmen a Mery?

a) 3 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

8. Para ver una pelcula las entradas tienen los

siguientes precios: platea S/.2 y MezanineS/.3. Si nuestras academias envan a nuestrosmejores 15 alumnos como premio para ver esapelcula pagndoles sus entradas pero paracuidarlos enva a su querido profesor de R.M.,el cual decide que los alumnos irn a platea yl con las alumnas a Mezzane paraprotegerlas.Cuntas alumnas fueron al cine, si nuestraAcademia gast S/.41?

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6



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1. Un nmero es tantas veces menor que 400como dicho nmeros es tantas veces 20.Cuntas veces ms es tal nmero encuestin respecto de 10?

a) 7 veces ms b) 6 veces msc) 5 veces ms d) 8 veces ms

2. Tengo determinada cantidad de caramelos quevoy a repartir entre mis hermanos. Si les doy10 a cada uno me sobran 6, pero si les doy 12

a cada uno, al ltimo slo podra darle 8caramelos. Cuntos hermanos somos?

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 3

3. En un saln de clase, si los alumnos se sientande 3 en 3 se quedaran de pie 8 alumnos. Encambio si se sientan de 4 en 4; una carpetaquedara vaca.Hallar el nmero de alumnos.

a) 45 b) 44 c) 46d) 43 e) 40

4. Mara va al cine 3 das consecutivos de lasemana y lo hace al mes entre semanasconsecutivas. Si el primer da que va de uncierto mes es mircoles y la suma de lasfechas de los das que fue al cine en ese meses 198. Qu fecha ser la sexta vez queasisti al cine en dicho mes, si asisti siempre

los mismos das?

a) 18 b) 20 c) 23d) 25 e) 31

5. Una acequia de regado debe cruzar doschacras A y B. La primera en una longitud de320ms. y la segunda en otra de 232mts. Elpropietario de A se compromete hacer por s

solo la acequia correspondiente a su chacra ylo mismo el propietario de B; pero al fin determinar ms pronto, contratan un pen porS/.92. Suponiendo que los tres hacen la mismalongitud de acequia. Qu cantidad debenabonar al pen, los propietarios de A y B?

a) 67.25 b) 68.23 c) 68.24d) 67.24 e) 68.26

6. En un saln de clase hay 20 alumnas y cada

uno iba a recibir dos regalos, pero antes de lareparticin se perdieron algunos regalos. Elprofesor mand inmediatamente que traigantantos como haba quedado y dos regalos mspara reponer lo perdido. Cuntos regalos seperdieron?

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 29

7. En un parque se observa que el nmero de

bancas excede en 11 al nmero de rbolesadems si se plantaran 8 rboles ms y sequitaran 13 bancas, entonces el nmero derboles seran el doble del nmero de bancas.Cul es el nmero de bancas?

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

8. Mara al ser interrogada por su edad responde:si al ao que cumpl 15 aos le suman el ao

que cumplir 20 aos, y si a este resultado lerestan la suma del ao en que nac con el aoactual tendra 18. Qu edad tiene Mara?

a) 27 b) 17 c) 18d) 16 e) 22



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Plantear una ecuacin significa que el enunciado de cualquier problema que se tengahay que interpretarlo, entenderlo y una vez comprendido, hay que expresarlo en unaecuacin matemtica, la cual dar la solucin al problema planteado.

Enunciado del Problema Ecuacin

PAUTAS PARA PLANTEAR UNA ECUACIN

Leer el enunciado del problema hasta comprender de que se trata.

Identificar en el enunciado del problema los datos que se tienen y lavariable que se busca.Relacionar los datos con la variable travs de una ecuacin.

Ejemplos:

1. El triple de un nmero, menos 5 es 16. Cul es el nmero?................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. El triple, de un nmero menos 5 es 21. Cul es el nmero?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

LENGUAJE LENGUAJEMATEMTICO


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3. El doble de un nmero, disminuido en 70 es 48. Cul es el nmero?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4. El doble de un nmero disminuido en 70 es 48. Cul es el nmero?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5. El nmero de hombres es 5 veces el nmero d e mujeres, si en totalhay 42 personas entre hombres y mujeres. Cuntas mujeres hay?........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Representar usando una variable, los siguientes enunciados

ECUACIONES I

Esfurzate

por ser

cada damejor.


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1. Dentro de 20 aos, Jos tendr el doble de laedad que tena hace 10 aos. Cul es suedad actual?

a) 20 b) 30 c) 50d) 24 e) 40

2. Carlitos tendr 6 veces la edad que hace 10aos tena, dentro de 65 aos. Cundocumplir un cuarto de siglo de vida?

a) dentro de 5 aosb) 30c) 50d) 24e) 40

3. Cuando a Carmen se le pregunta por la edadde su tortuga, ella responde hace 4 aos tenala cuarta parte de los aos que tendr dentrode 8 aos. Dentro de cunto tiempo tendr elcuadruple de la aos que tena hace 3 aos?

a) 10 b) 11 c) 12d) 12 e) 16

4. T tienes 16 aos. Cuando tengas el triple delo que yo tengo, entonces mi edad ser eldoble de lo que actualmente tienes. Dentrode cuntos aos cumplir 40 aos?

a) 23 b) 28 c) 26

d) 25 e) 29

5. Cuando t tenas la edad que yo tengo, yotena la cuarta parte de la edad que t tienes.Si hoy nuestras edades suman 52 aos. Culser t edad cuando yo tenga la edad quetienes t?

a) 40 b) 41 c) 26d) 43 e) 44

6. Cuando yo tena la edad que t tenas cuandoyo tuve 20 aos, t tenas 10 aos. Cundo

aos tena cuando t tenas 12 aos?

a) 16 b) 17 c) 18d) 19 e) 15

7. Hoy tengo 5 veces la edad que tena cuandomi edad era la octava parte de lo que tendraen el futuro si hubiera nacido 16 aos antes.Si los aos que pasaron desde el pasado queindic, hasta hoy es el doble de los aos quetranscurrieron desde hoy hasta el futuro que

mencion. Cuntos aos tengo?

a) 40 aos b) 16 aos c) 28 aosd) 80 aos e) 70 aos

8. Cuando t naciste yo tena la edad que tutenas cuando yo tena la edad que t tienes sia la suma de nuestras edades cuando yo tenalo que t tienes le aades la suma de nuestrasedades actuales obtendran 80 aos. Quedad tienes actualmente?




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1. Se sabe que de hoy a 5 aos Vernica seratan vieja como Carmen es ahora, quien tiene lacuarta parte de la edad que tendra. Carlos enese entonces. Hallar la suma de las edades delos tres dentro de 10 aos si Carlos es mayorque Carmen en 16 aos.


2. Pool dice: Si hubiera nacido hace 3 aos mionomstico vigsimo cuarto sera un aobisiesto. Si mi madre dio a luz a mi hermanomayor en 1979 y mi hermana menor, laconsentida, nos acompaa desde 1986.Cuntos aos tendr en el 2010? (Obs.:somos tres hermanos).


3. Se sabe que de hoy a 5 aos Manuel sera tanviejo como Juan es ahora, quien tiene la cuartaparte de la edad que tendra Carlos en eseentonces. Hallar la suma de las edades de lostres dentro de 10 aos si Carlos es mayor queJuan en 16 aos.


4. Cuando el naci yo tena la edad que tienesque es la edad que el tendr cuando t tengas20 aos y yo el doble de la que tienes. Quedad tienes, si l tiene la edad que yo tenacuando t nacistes; adems yo tengoactualmente 22 aos?

a) 32 aos b) 14 aos c) 22 aos

d) 20 aos e) 24 aos

5. Cuando Alberto le pregunt a Rubn por laedad que tena, ste respondi: tengo el triplede la edad que t tenas cuando yo tena lamitad de la edad que tienes y cuando tengas laedad que tengo, tendr tanto como tendrsdentro de 8 aos. Cuntos aos tieneRubn?


6. Hace 7 aos la edad de un padre era el triplede la edad de su hijo, pero dentro de 9 aosser solamente el doble. Cul es la suma delas edades actuales?

a) 48 b) 78 c) 68d) 72 e) 76

7. Hace 5 aos la edad de un padre fue 4 vecesla del hijo y dentro de 5 aos, ser solamenteel doble de la edad de su hijo. Qu edadtendr el padre, cuando el hijo tenga los aosque tuvo el padre cuando naci el hijo?

a) 28 b) 29 c) 30d) 31 e) 32

8. Carmen le pregunta a Susy sobre los aos que

tiene, entonces responde: Tengo el doble de laedad que tenas cuando yo tena la edad quet tienes. Cul es la edad actual de Susysabiendo adems que dentro de 6 aos susedades sumarn 68 aos?

a) 30 b) 16 c) 28d) 35 e) 32



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NOCIN DE FRACCIN

Se denomina fraccin a la expresin de la forma: a/b donde a b; a , b z{0}

Ejemplo:

3

7

9

5

3

2

3395

11111

13

72

5

1

3

2;;;;;;

Interpretacin GeomtricaTodo: 1 < > 5 partes iguales.

2 partes iguales

Ssombreada =

5

2

FRACCIN DE FRACCIN

PRINCIPALES TIPOS DE FRACCIONES

F: Propia :b

a< 1

...............;;;;123456

12345

91

11

3

1

5

2

F. Impropia: 1b

a

.......;;;;15000

123777

11

17

2

3

2

5


15/61



F. Reductible:

......;;;;9999999

123456

30

18

27

9

12

6

F. Irreductible:

......;;;;170

123

2

11

5

7

3

2

Fraccin Equivalente:

ba < >

bkak ; k = 1, 2, 3, ....

Fraccin FraccinIrreductible Equivalente

Hallar la fraccin equivalente de4

6tal que la suma de sus trminos sea 40.

Solucin:................................................................................................................................................................................................................................................................................................

OPERACIONES CON FRACCIONES

5

1

3

2

7

1

2

9

d

c

b

a

12x7

5

12x7

19

Pierdo Gana

2

1

3

2

9

7

.

.

.

.

.

.

.

2

1

3

1

9

2

.

.

.

.

.

.

.

.

Pierdo Gana

2

1

5

2

11

11

.

.

.

.

.

.

.

2

1

5

7

13

24

.

.

.

.

.

.

.

.


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APLICACIN 1:

Susana tiene S/.120 y pierde 3 veces consecutivas 1/2 ; 1/3 y 1/4 de lo que le iba quedando.Con cuntos se qued?

APLICACIN 2:

Luego de perder en forma sucesiva 1/3; 2/5 de lo que iba quedando, Alfredo gana en formaconsecutiva sus tres ltimos juegos: 1/2; 1/4 y 1/6 de la cantidad que iba acumulandoreiterndose con S/.70. Cunto tena al inicio?

APLICACIN 3:

En un recipiente que tiene 40 litros de una mezcla alcohlica el agua es 16 litros, se extrae 1/3del volumen total reemplazado por agua, luego, de la mezcla resultante, se extrae la mitad, para

volver a reemplazar por agua. Si finalmente se extrajo 3/4 del resto y se volvi a suplir por agua.Cunto de alcohol qued?.

RELACIN PARTE TODO

""

""

Todo

Partef

Qu parte de 27 es 9?Qu parte de b es c?M representa qu parte de n?Q qu fraccin representa respecto de P?

APLICACIN:En una reunin hay 120 personas de los cuales 80 son varones, Qu fraccin representan losque no son hombres respecto de los que no son mujeres?.


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1. Cuntas fracciones equivalentes a 0, 2 existen tales que sus trminos sean de loscifras y que la suma de dichos trminos seaun nmero impar?

a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

2. Cuntas fracciones hay que sean menores a7/12 y mayores a 1/4, cuyos denominadoressean iguales a 144?

a) 46 b) 45 c) 44d) 47 e) 48

3. Si a y b son nmeros tales que:

03615

b

11 , . Determinar el valor de 4a+5b.

a) 35 b) 36 c) 38d) 39 e) 37

4. Tres ganaderos compran vacas. El primerocompr los 2/7 del total, adquirido por los 3juntos ms 6 vacas; el segundo 1/3 del totalcomprado, ms 7 vacas; y el tercero las 19

vacas restantes. Cuntas vacas compraronentre los dos primeros?

a) 65 b) 64 c) 60d) 50 e) 52

5. Los 2/3 de los profesores de un colegio sonmujeres, doce de los profesores hombres sonsolteros mientras que los 3/5 de los profesores

hombres son casados. El nmero total deprofesores en este colegio es:

a) 90 b) 91 c) 92d) 98 e) 99

6. Un comerciante puso en exhibicin algunosvestidos con el precio marcado. Fij un avisoque deca: Rebajamos la tercera parte. Elcosto de los vestidos era los 3/4 del precio enque los vendi entonces la razn entre si costoy el precio marcado es:

a) 1/2 b) 3/4 c) 5/6d) 4/9 e) 4/5

7. Un tranva parte con cierto nmero de

pasajeros. En el primer paradero deja la quintaparte, en el segundo suben 40 pasajeros, en eltercero bajan 3/8 de los que iban, el cuartosuben 35 y en el trayecto al ltimo paraderodej los 7/9 de los que llevaba, llegando a esteltimo con 30 pasajeros. Con cuntospasajeros inici su recorrido?

a) 120 b) 130 c) 240d) 180 e) 150

8. Se tiene un barril lleno de vino. Se sacan 9litros y se reemplazan por agua; luego sevuelve a sacar 9 litros de la mezcla y sereemplaza por agua. Si finalmente la relacinentre la cantidad de vino y agua es como 4 esa 5, halle la capacidad del barril.

a) 20 L b) 27 L c) 32 Ld) 30 L e) 25 L



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1. A y B pueden hacer un trabajo en 2 das; B y Cen 4 das; A y C en 2 2/5 das. Entonces elnmero de das que A necesita para hacer eltrabajo es:

a) 3 das b) 4 das c) 5 dasd) 6 das e) 8 das

2. En una reunin internacional hay 10 peruanos,15 chilenos y 25 brasileos.a) Qu fraccin del total es el nmero de

peruanos?b) Qu fraccin es el nmero de chilenos?c) Qu fraccin representan los brasileos

respecto a los peruanos?d) Qu fraccin representan los chilenos

respecto de los peruanos?e) Qu fraccin de los chilenos es el total de

las personas?

3. Un estanque puede ser llenado por un caoA en 16 horas y por un cao B en 12 horasy un desage puede desalojar todo elestanque en 24 horas. Si estando vaco elestanque se abren A y B y el desage unopor uno con intervalos de dos horas. En qutiempo se llenar totalmente el estanque?.

a) 9.6 horas b) 9.5 horas c) 9.4 horasd) 9.3 horas e) 9.0 horas

4. Andrs le dice a Ral que prepare una mezcla

de ron con Coca Cola en la proporcin de 13 a15, por error Ral mezcla Coca Cola con ronen la proporcin de 2 a 5 hasta obtener 70litros de la mezcla. Cuntos litros de ron sedebe agregar para obtener la proporcindeseada?

a) 1 L b) 1.5 L c) 2 Ld) 2.5 L e) 0.5L

5. Dos vehculos con idnticos depsitos degasolina la consumen uniformemente en 4 y 5horas respectivamente. Despus de cuntotiempo el depsito de uno ser la mitad delotro?.

a) 3h20min b) 28h30min c) 28h20mind) 30h30min e) 10h20min

6. Halle n, si: 09n037

5

27

n,

a) 2 b) 6 c) 3d) 4 e) 1

7. Qu fraccin representa los7

3ms de

5

2,

respecto de lo que falta a los

5

2menos de

3

7

para ser igual a5

12 ?

a)7

4b)

7

5c)

7

2

d)8

3e)

2

7

8. Un comerciante vendi las 2/5 parte de sumercadera, partiendo 1/5 de su precio decosto. Qu parte debe ganar en la venta delas partes restantes para recuperar su capital?

a) 2/5 b) 3/8 c) 2/15d) 2/7 e) 4/9



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REGLA DEL TANTO POR CUANTO

En algunas oportunidades es necesario dividir lo que tenemos en partes iguales para hacer unadistribucin de estas partes.

Ejemplo 1:

Se tiene un cesto con 20 manzanas el cual se desea dividir en 5 partes iguales y se han detomar 3 de ellos.

Resolucin:El procedimiento a seguir es:

1. Dividimos 20 en 5 partes iguales.

45

20

2. Tomamos 3 de estas partes:3(4) = 12

Interpretacin:El 3 por 5 de las 20 manzanas es 12 manzanas.

Matemticamente : 12

5

203

El Tanto por Ciento aparece en lasprincipales obras de aritmtica e losescritores italianos del siglo XV. Elsigno del Tanto por Ciento (%) surgicomo una corrupcin de laabreviatura de ciento (Cto.), que seempleaba en las operaciones

mercantiles. El primero que utiliz elsigno tal como lo usamos hoy fueDelaporte, que en 1685 lo expuso ensu libro Le Guide des Negotien.

(Gua del Comerciante)


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Ejemplo 2:

Pepito tiene 35 canicas. Cul ser el 3 por 7 del total de sus canicas?

En general si tenemos N objetos. Cul ser el a por b de N?Grficamente:

b partes iguales

Se toman a partes

Matemtica:b

Na

De aqu podemos sealar que el TANTO POR CUANTO viene a ser un procedimiento aritmticoque consiste en dividir un todo en partes iguales y tomar tantos de ellos como se indique.

Ejemplo 3:A una reunin deportiva asistieron 100 atletas. Si los provincianos representan el 11 por 20,Cuntos provincianos han asistido a la reunin?

Ejemplo 4:En una granja hay 60 aves entre pollos y gallinas. Si la cantidad de pollos representa el 7 por 10 delas aves. Qu cantidad de gallinas tiene?

En la vida diaria el tanto por cuanto ms utilizado es aquel que divide al todo, en 100 partesiguales y al que se le denomina: TANTO POR CIENTO

Ejemplo 5:Calcule el 15 por ciento de 400.

60100

40015

En general si una cantidad se divide en 100 partes, cada parte representa (1/100) del total a la cualllamaremos el 1 por ciento y lo denotaremos 1%.

100 partes iguales

100

1

100

1

100

1

100

1

.............

100

1

100

1

Unopor ciento

Entonces:


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50 partes < > 50100

1< > 50% < >

2

1

20 partes < > 20100

1< > 20% < >

5

1

40 partes < > 40100

1< > 40% < >

5

2

75 partes < > 75100

1< > 75% < >

4

3

100 partes < > 100100

1< > 100% < > 1

Adems:

20% de 400 =5

1(400) = 80

25% de 500 =4

1(560) = 140

75% de 900 =45% de 500 =65% de 400 =

Ejemplo 6:

Calcule los tanto por ciento en cada caso:

El 30% de 540.El 25% del 24% de 400.Qu tanto por ciento es 45 de 120?Calcular el 20% del 10% de los 3/5 de 3000.

Ejemplo 7:

En un aula de 120 estudiantes de los cuales 24 son hombres indicar, que tanto por ciento:

a) Representa el nmero de hombres.b) Representa el nmero de mujeres.c) Representa el nmero de hombres del nmero de mujeres.

Ejemplo 8:

Halle el 30% de 150.

30% (150) = 45

tanto por porcentajeciento

Ejemplo 9:Calcule el 18% de 300.


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OPERACIONES CON PORCENTAJES

1. a%N + b%N = (a + b)% N12%N + 34% N = .........................................................18%N + 60% N = .........................................................30%N + 11.5% N = ......................................................N + 13% N = ................................................................

2. x%N y%N = (x y)% N74%N 24%N = ...............................................................69%N 29%N = ...............................................................112%N 34%N = .............................................................

N 14%N = (x y)% N ..........................................

3. a x (b% N) = (a x b)% N3 (50%N) = .......................................................................2 (75%N) = .......................................................................5.5 (2%N) = ......................................................................

4. El a% del b% del c% de N es: ........................................El 10% del 30% de 2000 es: ..........................................El 40% del 75% de 80% de 325 es: ...............................

Ejemplo 10:

Si al 15% del 20% de (5N) le agregamos el 30% del 50% de (2N) obtenemos 370, calcule N.

Aplicacin 1:El rea de un rectngulo se disminuye un 30% y result 700cm2.- Cul era el rea original?

Aplicacin 2:Actualmente Ana tiene n aos, dentro de 4 aos su edad habr aumentado en 20%. Cul es suedad actual?

Aplicacin 3:El ao pasado un TV costaba S/.400, actualmente cuesta S/.500. En qu porcentaje aument elprecio del TV?

Aplicacin 4:En una reunin se encuentran 20 hombres adultos y 30 mujeres adultas y 75 menores de edad.Qu tanto por ciento de los reunidos no son menores de edad?

Aplicacin 5:Un recipiente contiene una mezcla de 20 litros de vino y 35 litros de gaseosa si de el se extrae el20%. Cuntos litros de cada sustancia queda?

Aplicacin 6:En una reunin de 300 personas las mujeres constituyen el 60% de los presentes. Cuntasparejas deben llegar a esta reunin para que el nmero de hombres constituyen el 45% de todos losasistentes?

Aplicacin 7:


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Despus de una batalla, un coronel observ que el 5% de sus soldados haban muerto y el 20% delos sobrevivientes estaban heridos, adems haban 608 ilesos. Cuntos soldados eraninicialmente?

DESCUENTOS SUCESIVOS

Ejemplo 1:Si una tienda nos ofrece el descuento del 20% ms el 20% de sus precios, el cliente piensa que lesestn haciendo el descuento del 40% y no es as:

Veamos, si el precio de Ni. Al realizar el primer descuento quedara: N20%N=80%N.ii. Luego se realiza el segundo descuento que es sobre el 80% N, quedara.

100%(80%N) 20%(80%N) = 64%NDescuento nico es N 64%N = 36%N.

Ejemplo 2:Determinar el descuento nico si se aplican 3 descuentos sucesivos del 25%, 40% y 20%respectivamente.

Ejemplo 3:Un TV cuesta S/.500 si se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 25%. Cul ser su preciofinal?

AUMENTOS SUCESIVOS

Ejemplo 1:

Al inicio de ao un obrero recibe un aumento del 20% en su salario y en abril recibi un nuevoaumento del 10% respecto a su nuevo salario. En qu tanto por ciento aument su salariorespecto del ao pasado?

Ejemplo 2:Una cocina cuesta S/.300 y ha sufrido dos aumentos sucesivos del 10% t 20%. Cul ser suprecio final?

Ejemplo 3:Determinar el aumento nico equivalente a 3 aumentos sucesivos del 20%, 30% y 25%.

APLICACIONES COMERCIALES

Un comerciante compr un pantaln en S/.50 y fija para su venta un precio de s/.80, sin embargo lovende en S/.70 debido a que hizo una rebaja de S/.10. Aparentemente est ganando S/.20 peroesta operacin le gener por un valor de S/.5, por lo cual realmente est ganando S/.25

Aplicacin 8:Un radio tiene un precio de costo de S/.180. En cunto se debe aumentar este precio par quedurante la venta se haga una rebaja del 10% y an as gane el 40% del costo?

Aplicacin 9:Para fijar el precio de un artculo se aument su costo en 30% pero al venderse se hizo una rebajadel 10%. Qu tanto por ciento del costo se gan?

MEZCLAS

1. Un depsito contiene una mezcla de 90 litros de alcohol y 10 litros de agua. Qu cantidad dealcohol debe aadirse para que la mezcla tenga 95% de concentracin de alcohol.?


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2. Cuntos litros de agua se deben agregar a 4 litros de alcohol puro, de modo que la cantidad dealcohol constituya el 20% de la mezcla?

3. Un recipiente esta lleno de 60 litros de vino. Se consume el 20% del contenido y se reemplazacon agua. Luego se consume el 25% de la mezcla y se sustituye con agua. Finalmente seconsume 50% de la nueva mezcla y se vuelve a reemplazar con agua.Cuntos litros de agua hay en la mezcla final?

1. Qu porcentaje del 3 por 74 de 5 por 20 delinverso de 7/2, es el 2 por 49 del 4 por 5 deltriple de la mitad de 1/4?

a) 40% b) 30% c) 20%d) 10% e) 3%

2. El x% del y% de una cantidad es su dcimaparte y el y% de 1000 excede al x% de 1000en 300. Hallar el x% de (y + 450)

a) 80 b) 90 c) 100d) 20 e) 40

3. En una reunin internacional hay 10 peruanos,15 chilenos y 25 brasileos.

I. Qu tanto por ciento del total es elnmero de peruanos?

II. Qu tanto por ciento es el nmero dechilenos respecto al nmero de brasileos?

III. Qu porcentaje representan losbrasileos respecto de los peruanos?

a) 20%, 60%, 250%b) 20%, 40%, 150%c) 30%, 70%, 90%d) 10%, 60%, 120%

e) 30%, 60%, 250%

4. Si admitimos que camin sufre unadepreciacin del 7 por 70 cada ao de usorespecto al precio que tuvo al comenzar cadaao y al cabo de 3 aos su precio es 72900soles. Entonces el costo original del caminfue:

a) S/. 100 000 b) S/. 90 000c) S/. 110 000 d) S/. 120 000e) S/. 115 000

5. De los estudiantes de un saln de clase, elnmero de varones es el 80% de las mujeres.Si el 75% de los varones de este saln se vande paseo con el 40% de las mujeres. Qu %de los hombres que se quedaron constituyenel 10% de las mujeres que no fueron depaseo?

a) 30% b) 60% c) 50%d) 40% e) 80%

6. En un partido de ftbol de 90 minutos de juegose pierde el 10% en retencin de pelota, el10% del tiempo restante en fouls, el 10% deltiempo que ahora resta en amonestaciones.Cuntos minutos de juego efectivo serealizar en el partido de ftbol?

a) 35 b) 40 c) 63d) 65.61 e) 72

7. Cuntos litros de agua se deber agregar auna solucin para rebajarla al 15% de alcohol,sabiendo que dicha solucin entre 20 litros con30% de alcohol?

a) 15L b) 30L c) 25Ld) 18L e) 20L

8. Se han mezclado 50 litros de alcohol de 96%de pureza con 52 litros de alcohol de 60% depureza y 48 litros de otro alcohol. Cul es lapureza de este ltimo alcohol si los 150 litrosde mezcla tienen 80% de pureza?.

a) 82% b) 85% c) 78%



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d) 72% e) 96%


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1. Si a aumenta 10%; b disminuye; caumenta 20% y d disminuye 20%.Cul es la variacin porcentual de A?

A =2

3

nm

abcdr2

a) disminuye 4.96%b) aumenta 4.96%c) disminuye 3.56%d) aumenta 4.5%

e) no vara

2. Se mezclan 3 sustancias cuyos pesos son unoel doble del segundo y ste el doble deltercero cuyos precios varan en proporcininversa a sus pesos. Si el artculo de mayorprecio es de 140 soles el kilogramo, cuntodebe ser el precio de la mezcla para ganar el20%?

a) 72 b) 70 c) 36

d) 80 e) 90

3. Luz pensaba .................... si gastara el 50%de lo que no he gastado, gastara en total300% de lo que gast y de esta manera nohabra gastado 800 menos de lo querealmente no gast. Cunto tena Luzinicialmente?

a) 3000 b) 1000 c) 2000d) 1500 e) 2700

4. Un comerciante vende el 40% de los artculosque compr ganando el 40% del costo; el 20%del resto, perdiendo el 20% del costo; lacuarta parte de lo que quedaba lo regal y elresto lo vendi al precio de costo. Si en toda laventa gan S/.4800, Cuntos artculoscompr?

a) 2000 b) 2500 c) 3000d) 3500 e) 4000

5. Una persona compra un cuadro y lo vendedespus, ganando el 8% , pero si hubieracomprado un 5% ms barato y lo hubieravendido por S/.6 ms, la ganancia habra sidodel 15%. Cul es el precio de compra?

a) S/. 350 b) S/.420 c) S/. 362

d) S/. 480 e) S/. 300

6. En una reunin del 40% son hombres y elresto son mujeres. Despus ingresan 70hombres y salen 20 mujeres, entonces elnmero de hombres es el 60% del nuevo total.Qu porcentaje del nuevo total de damasrepresentan las personas que ingresarondespus?

a) 70% b) 80% c) 90%

d) 40% e) 5%

7. Despus de realizar dos descuentos del 25% yel 20% se vende un artculo en S/.540. Acuntos soles equivale el descuento?

a) 360 b) 320 c) 420d) 350 e) 280

8. El 40% del 50% de a es el 30% de b. Qu

tanto por ciento, respecto de 2a + 7b,representa a + b?

a) 42% b) 35% c) 28%d) 30% e) 25%



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MOTIVACIN

En el punto A se encuentra una abeja y en el punto B una reserva de polen. Decuntas maneras diferentes puede la abejita llegar a la reserva, si no debe retrocederrespecto a su meta?


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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO

En los ejemplos anteriores, nos damos cuenta que dado un evento particular (alinear las 3 esferitas oformar una pareja), estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en que puede ocurrir.Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las tcnicas de conteo,que sern de gran ayuda en estos casos.

1. Principio de multiplicacin: (Teorema fundamental del anlisis combinatorio).- Si un evento Aocurre de m maneras y para una de estas, otro evento B ocurre de n maneras entonces elevento A seguido n maneras entonces el evento A seguido de B, ocurre de m x n maneras.

Se le identifica por el conectivo (y)


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Observaciones

En este principio la ocurrencia es uno a continuacin del otro, es decir, ocurreel evento A (y) luego ocurre el evento BEste principio se puede generalizar para ms de dos eventos.

2. Principio de Adicin: Si un evento A ocurre de m maneras y otro evento B ocurre de nmaneras, entonces el evento A o B, es decir, no simultneamente, ocurre de m+n maneras.

Se le identifica por el conectivo (o)

Observaciones

En este principio la ocurrencia no es simultneamente, es decir, ocurre elevento A o el evento B, pero no ambos a la vez.Este principio se puede generalizar para ms de 2 eventos.

FACTORIAL DE UN NMERO

Sea n un nmero entero positivo, el factorial de n se denota por n! o | n y se define como elproducto de todos, los enteros consecutivos de I hasta n inclusive, es decir:

n! = |n = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... (n 1) x n

Ejemplos:1! = 12! = 1x2= 23! = 1x2x3= 64! = 1x2x3x4= 245! = 1x2x3x4x5= 1206! = 1x2x3x4x5x6= 7207! = 1x2x3x4x5x6x7= 5040

8! = 1x2x3x4x5x6x7x8= 403209! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9= 36288010! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10= 3628800

Se observa

8!

10! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10

9!

10! = 9! x 1010! = 8! x 9 x 1010! = 7! x 8 x 9 x 10


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Entonces

n! = (n 1)! x n

De aqu obtenemos para n = I1! = (1 1)! x 1 = 0! x 1 = 0!

Luego definimos convencionalmente:

1! = 0! = 1

Aplicacin:a. Calcular:

17x15

171615E

!

!!!

Solucin:

b. Reducir:

!!!

!!!!

nx1n

nnxnE

Solucin:

COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL

Sea n un nmero entero positivo, el cofactorial o semifactorial de nse denota por n!! y se define.

a. Para n par:8!! = 2 x 4 x 6 x 820!! = .....................................................................................

b. Para n impar:7!! = 1 x 3 x 5 x 719! = .....................................................................................

Aplicacin:Expresar los siguientes cofactoriales en trminos de factoriales.

a. 40!b. 41!

Solucin:

Observaciones:3! = 6 factorial de 33!! = 3 cofactorial de 33!!! = no existe definicin(3!)! = 6! = 720

Nada educa ms

que el propio

esfuerzo.


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((3!)!)! = (6)! = 720!

PERMUTACIN

Es un arreglo u ordenacin que se puede formar con una parte o con todo los elementos disponibles deun conjunto.

En una permutacin si interesa el orden de sus elementos. Se puede presentar en tres casos:

1. PERMUTACIN LNEAEs un arreglo u ordenacin de elementos en lnea recta. Si tenemos un conjunto de cuatroelementos, A = {a, b, c, d}, los posibles arreglos o permutaciones de este conjunto tomados de 2 en2 son:a..,b..,c.,d..a..,b..,c.,d..a..,b..,c.,d..

Vemos que hay 12 permutaciones distintas.

Se puede llegar a la misma respuesta sin tener que escribir todas las ordenaciones posibles, siaplicamos el principio de la multiplicacin.

A = {a, b, c, d}

4 3 } Ordenacin de 2 en 2

Nmero de permutaciones posibles.= 4 x 3 = 12

Del ejemplo anterior obtenemos las siguientes conclusiones:

El nmero de permutaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2 se denota como 42P

1x2

1x2x3x43x412P42

!

!

!

!

24

4

2

4P42

En general: el nmero de permutaciones de n elementos diferentes tomados de K en K secalcula como:

!

!

kn

nPnkl ; 0 < k < n

Observacin:Cuando se toman todos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos (es decirk=n), se dice que es una permutacin de n elementos y se denota por :

1n

0n

nnnPnn !

!!

!!


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!nPP nnn

AplicacinEn una carrera participan 4 atletas. De cuntas maneras distintas pueden llegar a la meta, sillegan uno a continuacin del otro?Solucin:

Un grupo est formado por 6 personas y desean formar una comisin integrada por unpresidente y un secretario. De cuntas maneras puede formarse dicha comisin?Solucin:

2. PERMUTACIN CIRCULAREs una arreglo u ordenacin de elementos diferentes alrededor de un objeto; en estas ordenacionesno hay primer ni ltimo elemento, por hallarse todos en lnea cerrada.

Ejemplo:Permutar A y B y C en forma circular.

Solucin:

Para determinar el nmero de permutaciones circulares de n elementos distintos, denotado porP(0)n basta fijar la posicin de uno de ellos y los n-1 restantes podrn ordenarse de (n-1)! Maneras.Si se toma otro elemento fijo, las ordenaciones de los restantes sern seguro uno de los yaconsiderados.

Luego:P0(n) = (n 1)

Observacin:Para diferenciar una permutacin circular de otra, se toma uno de los elementos como elemento dereferencia y se recorre en sentido horario o antihorario, si se encuentran los elementos en el mismoorden; entonces ambas permutaciones sern iguales y en caso contrario diferentes.


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Ejemplos:Para el ejemplo anterior:

Sea A el elemento de referencia recorramos a partir de A en sentido horario, como indican lasflechas.En:(1) A, C y B.(2) A, C y B

(3) A, C y B(4) A, B y C

Slo (4) es una permutacin diferente a las otras tres que representan una misma permutacincircular.

Aplicacin:a. De cuntas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa Juana con sus cinco

amigas?Solucin:

b. En una mesa circular se encuentran servidos 5 vasos con gaseosa, entre ellos hay uno congaseosa marca Coca Cola. De cuntas maneras diferentes pueden ubicarse 6 personas ensus asientos, si entre ellos hay 4 personas que no les gusta la gaseosa marca Coca Cola?Solucin:

3. PERMUTACIN CON ELEMENTOS REPETIDOSEs un arreglo de ordenacin de elementos no todos diferentes (elementos repetidos).Si se tienen n elementos donde hay:k1 elementos repetidos de una 1ra clase

k2 elementos repetidos de una 2da clase* ** ** *krelementos repetidos de una r-sima clase

El nmero de permutaciones diferentes con n elementos, los cuales tienen elementos que serepiten, se calcula como sigue:

!...........!!

!...............,,

r21

n

rk

2k

1k

kxxkxk

nP

Donde:

A C B A C B A B

B C A C

(1) (2) (3) (4)


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k1 + k2 + ........... kr< n

Aplicacin:a. Un estante tiene capacidad para 5 litros de R.M. que tienen pasta azul, 4 de R.V. de pasta roja y

3 de matemticas de pasta amarilla. De cuntas maneras pueden colocarse los libros segnlos colores?Solucin:

b. Se tienen 10 banderas donde 2 son rojas, 3 blancas y 5 azules. De cuntas maneras sepueden hacer seales poniendo todas las banderas en fila?Solucin:

4. COMBINACIN: Es una seleccin o grupo que se puede formar con una parte o con todos loselementos disponibles de un conjunto. En una combinacin no interesa el orden de sus elementos.

A travs de un ejemplo nos daremos cuenta que hay una estrecha relacin entre las permutacionesy las combinaciones.

Dado el conjunto A = {a, b, c, d}, calcular el nmero de permutaciones y el nmero decombinaciones de los elementos de A tomados de 3 en 3.

Permutaciones Combinaciones

abc, acb, bac, bca, cab, cba 6 abc 1abd, adb, bad, bda, dab, dba 6 abd 1acd, adc, cad, cda, dac, dca 6 acd 1bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb 6 bcd 1

Total : 24 = 43P Total: 4 =43C

Del ejemplo anterior obtenemos las siguientes conclusiones:

El nmero de combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3 se denota por:

4

3C Cada combinacin tiene 6 permutaciones es decir, 3!

!3

P

6

244C

434

3

!!

!

!

!

!

343

4

3

34

4

C43

En general: El nmero de combinaciones de n elementos diferentes tomados de K en K, secalcular como:

!!

!

knk

nCnk ; 0 < k < n


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Observaciones

Cuando se toman los elementos del conjunto para agruparlos o combinarlos (es decir, k=n), sedice que es una combinacin de n elementos y:

10xn

n

nnn

nCn0

!!

!

!!

!

1Cn0

1CnC1C nnn1n0 ;; n

knnk CC

nnn

n2

n1

n0 2CCCC .............

Conclusin Importante

La diferencia ms importante entre las permutaciones y las combinaciones,radica en el orden:

Permutaciones < > OrdenamientosImporta el orden

combinaciones < > AgrupamientosNo importa el orden


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1. Hallar x en:

1!22 + 2.32 + 3!42+.........+ 20!202+x!x!

Rpta: ...................................................

2. Si:120.(120)24! = (5!)(4!)!. (5 +x)!

Calcular: (x + 2)!

Rpta: ...................................................

3. Simplificar:

!!

!!

bba

ba

b

ba2

b

a

b

aK

Rpta: ...................................................

4. Un alumno para prepararse tiene que escogerentre 4 academias, y cada una de estas tiene

turnos de maana, tarde y noche. Decuntas maneras podr matricularse?

Rpta: ...................................................

5. Cuntos nmeros de la forma:

a24c3

ba existen?

Rpta: ...................................................

6. De cuntas maneras diferentes se puedencolocar veinte canicas idnticos en unrecipiente cuya forma es la indicada en lafigura, si se desea que en cada hoyo haya a loms una canica y adems en cada fila ycolumna cuatro canicas?.

Rpta: ...................................................

7. Los equipos de ftbol de San Marcos y UNIparticipan en un torneo que consiste en variospartidos. La regla del torneo considera quehay empates, y campeona el primer equipoque gana 2 partidos seguidos o un total de 3partidos. De cuntas maneras se puededesarrollar la serie de partidos?.

Rpta: ...................................................

8. Doce platillos (con forma idntica) se orden en4 columnas verticales. Hay 4 de color rojo, 3de color azul, 2 grises y 3 blancos. Dora deberomper los 12 platillos (con su pistola y 12balas) y, para esto siempre debe romper elplatillo que queda en la parte inferior de lacolumna. De cuntas formas puede disparar(y romper) los 12 platillos?



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Rpta: ...................................................

1. Se dispone de 5 colores diferentes para pintarla siguiente figura de modo que cuadradosvecinos tengan colores diferentes. Decuntas maneras puede cumplirse dichoobjetivo, si el nmero de colores utilizados encada caso es mnimo?

Rpta: ...................................................

2. Un grupo de 3 mujeres y 5 hombres se formanen 2 filas iguales. De cuntas formas se

podrn ubicar, si en cada fila debe haber por lomenos una mujer?

Rpta: ...................................................

3. Hay dos obras de 3 volmenes cada una yotras, dos de dos volmenes cada una. Decuntas maneras puede colocarse los 10 librosen un estante, si deben quedar de tal maneraque no se separen los volmenes de la mismaobra?

Rpta: ...................................................

4. En un semestre acadmico en la universidad,se ensea el curso de matemticas I en 8secciones. Despus de haberse realizado lamatrcula oficial se quedaron sin matricularse 6alumnos. De cuntas maneras se puedenmatricular a cada una de las secciones puedeaceptar un alumno?

Rpta: ...................................................

5. De cuntas maneras diferentes se puedencolocar 12 litros iguales en un estante cuyaforma es la que se indica en la figura si sedesea que en cada casilla haya a lo ms unlibro y en cada fila y en cada columna 3 libros?

a) 6b) 12c) 30d) 24

e) 16

6. En la figura: A, B, C y D son ciudades y cadalnea es un camino. Si una persona deseaviajar, de cuntas maneras puede elegir surecorrido?, si:A. Sale de A hacia D (pasando por B y C).B. Sale de A hacia D y luego regresa hacia A.C. Sale de A hacia D y luego regresa hacia Asin pasar de nuevo por el mismo recorrido.

Rpta: ...................................................

7. Simplificar:

!!!!!!

!!!

25155

525W

3

Rpta: ...................................................

8. Simplificar:

!

!!!

2n

1n1n1n2nxn1nT

Rpta: ...................................................



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1. Del grfico siguiente 21 LL // calcule el valorde m + n

a) 85 b) 180 c) 90d) 45 e) 100

2. En el grfico, calcule BP. Si ABCD es uncuadrado. BC = 16cm, y CM=MD.

a) 25 cm

b) 20 cmc) 18 cmd) 22 cme) 21 cm

3. En la figura AB = 2; BC = 3 siendo ABMN yAFHC cuadrados. Hallar FN.

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

4. Un campamento de muchachas est a 300 deuna carretera recta. Sobre la carretera estun campamento de muchachos a 500 delcampamento de las muchachas. Se quiereconstruir una tienda sobre la carretera que

est localizada a igual distancia de amboscampamentos; la distancia de la tienda acada campamento es de:

a) 400m b) 250m c) 87.5md) 200m e) N.A.

5. Una escalera de 25 pies de largo se dejadescansar contra un muro vertical. El pie dela escalera est a 7 pies de la base del muro.Si el extremo superior de la escalera se

desliza 4 pies, entonces el pie de la escaleradeslizar:

a) 9p b) 15p c) 5pd) 8p e) 4p

6. Si ABCD es un cuadrado. Hallar x

a) 90b) 92c) 95

d) 98e) 100

7. Si: AB = 100. Hallar x si: 01 y 02 son centrosde las semicircunferencias:

a) 30b) 35c) 40

d) 50e) 45

8. En la siguiente figura: ABCD es un rectngulode rea 20m2. El punto I es el centro delcrculo inscrito en el tringulo ABD. Hallar elrea sombreada.



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a) 12m2 b) 10m2 c) 8m2d) 15m2 e) 14m2

1. En el cuadrado ABCD, PR y SQ pasan por elpunto de interseccin de las siguientesdiagonales. Cul es la razn entre el rea dela figura sombreada y el rea del cuadradoABCD?

a) 1/2b) 2/3c) 2/1d) 3/4

e) 4/5

2. Hallar el rea sombreada si F y M son puntosmedios y el rea del paralelogramo ABCD es80 m2.

a) 12 m2b) 25 m2c) 15 m2d) 18 m2

e) 16 m2

3. Desde el punto A situado al Este de un rbolse observa, la parte ms alta de ste conngulo de elevacin de 60 y desde un puntoB situado al sur del rbol se observa el mismopunto con un ngulo de elevacin de 30. Si

la distancia de A a B es de 302 m. Calcularla altura del rbol.

a) 6m b) 4m c) 5md) 7m e) 8m

4. Para buscar petrleo, se coloc unas torresen el Mar del Norte, sobre un pesado zcalode hormign, la altura que emerga con la maren calma era de 40m. Una violenta tempestadlo volte por su base. La catstrofe fuefilmada desde una plataforma cercana y seobserv as que el extremo de la torredesapareci en el mar a 84m del punto por

donde emerga anteriormente. Cul es laprofundidad del agua en este lugar?.

a) 65.6m b) 68.2m c) 67.3m

d) 66.3m e) 69.3m5. Hallar x: en (ABCD: cuadrado)

a) 37b) 34.5c) 53.5d) 26.5e) 33.5

6. Hallar la m GDF; si 2AB = 3BC y PA = PD.

a) 25b) 37c) 30d) 20e) 23

7. Si el lado del cuadrado mide 4cm. HallarAB .

a) 354

b) 55

4

c) 234 /

d) 335 /

e) 53

2

8. En la figura, hallar para la cada del agua enel vaso es inminente.

a) 30b) 60c) 40d) 53e) 45



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Hay muchos tipos de problemas de velocidad tiempo, adems de los de distancia velocidad tiempo, que probablemente ya conoce usted. En esta separata encontrarproblema de velocidad tiempo, como una clase general de problemas que incluyen a los dedistancia velocidad tiempo, como uno de muchos casos especiales.

En efecto, preste atencin a los siguientes casos:

Si un corredor recorre 20 kilmetros en 2 horas, la razn:

h2km20 = 10km/h

es la velocidad del corredor. Representa el nmero de kilmetros producidos (recorridos)en cada unidad de tiempo (cada hora).

De manera semejante, si una mquina embotelladora automtica llena 3200 botellas debebidas no alcohlicas en 20 minutos, la razn:

min20

botellas3200= 1600 botellas / min

indica tambin una velocidad. Es el nmero de botellas producidas por cada unidad detiempo (cada minuto).

En general, si C es la unidad de algo producido (kilmetros, palabras, partes, etc.) en Tunidades de tiempo (aos, horas, minutos, segundos, etc.), entonces:

Frmula De Cantidad Velocidad Tiempo

T

C

V velocidad = tiempo

cantidad

C = V.T. cantidad = (velocidad) (tiempo)

V

CT tiempo =

velocidad

cantidad

Si C corresponde a una distancia D, entonces:

T

DV D = V.T. T =

V

D


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TIEMPO DE ENCUENTRO

21encuento

VV

DT

TIEMPO DE ALCANCE

21alcance

VV

Dt

La aplicacin de stas frmulas, se extiende a los casos generales de problemas de:cantidad velocidad tiempo

Por ejemplo:Si dos autos estn separados 150km y en determinado momento ambos se dirigen, uno hacia elotro con velocidades de 40 y 35km/h respectivamente, cunto demoran en encontrarse?

Tencuentro = horas275

150

3540

150

De manera similar, se resuelve la siguiente situacin:

Un depsito de 300 litros de capacidad, tiene dos caos para llenarlo. Uno arroja 45 litros /seg y elotro arroja 15 litros /seg. Qu tiempo demoran ambos caos en llenar el depsito?

Tllenado = segundos560

300

1545

300

te = tiempo de encuentroD = distancia de separacinv1; v2 = velocidades de los mviles

ta = tiempo de alcanceD = distancia de separacinv1; v2 = velocidades de los mviles

Lugar de

D

D


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1. Una persona est a 450m de su casa y seacerca con una velocidad de 30m/min; en eseinstante sale su perro de la casa a darlealcance a 60m/min y una vez que encuentra asu amo, regresa a la casa y repite lo mismohasta que el amo llega a su casa. Qudistancia recorri el perro?

a) 900m b) 700 c) 1200d) 1100 e) 850

2. Una persona se dirige a una bodega con unavelocidad de 16m/s y regresa a 4m/s. SI tarda10 segundos en total, a qu distancia estabala bodega?

a) 32m b) 64 c) 28d) 48 e) 56

3. Un automvil debe hacer cierto recorrido en 4

horas, una hora despus de la partida elchofer cambia de velocidad a fin de llegarmedia hora antes y hace entonces 16 km mspor hora. Cul fue la distancia recorrida?

a) 290km b) 300 c) 310d) 320 e) 330

4. Dos ciclistas estn separados 110m. SI partenen el mismo sentido, se encuentran en 55segy si parten en sentidos opuestos, se

encuentran luego de 5seg. Una de lasvelocidades es:

a) 11m/s b) 15 c) 9d) 12 e) 8

5. Javier y Carlos parten al mismo tiempo y en elmismo sentido; si la velocidad de Javier es elcudruplo de la de Carlos, hallar la distanciaque recorri Carlos, antes de ser alcanzadopor Javier, de quien se escapaba, sabiendoque inicialmente los separaba una distanciade 840 m.

a) 240m b) 280 c) 320

d) 360 e) 2506. Dos vendedores ambulantes, deciden dejar de

vender sus caramelos, cuando ambos hayanvendido la misma cantidad. Lalo llevavendidos 49 caramelos y vende a razn de 7caramelos por hora; Tino lleva vendidos 40caramelos y vende a razn de 10 caramelospor hora. Despus de cunto tiempo amboshabrn vendido la misma cantidad decaramelos?

a) 2h b) 2,5 c) 2,8d) 3 e) 3,5

7.

A qu hora se cruzan?

a) 3pm b) 5 c) 6d) 7 e) 8

8.

Si ambos parten de la interseccin mostrada,al mismo instante, Qu distancia estarnseparados luego de 18 segundos?

100km/h 70km/h

A B

Parte 8 am Parte 10 am

1050 km

80km/h

60km/h

B

A



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a) 500m b) 5km c) 50md) 200m e) 150m

1. El surtidor de una estacin de gasolina, puededespachar 32 litros de gasolina en 4 minutos,cul es su velocidad?(en litros / min)

a) 18 b) 6 c) 4d) 12 e) 8

2. Un corredor tiene una velocidad de 10m/s.

Cunto demora en recorrer 60 metros?

a) 12seg b) 6 c) 8d) 9 e) 4

3. Estando un len a 180m de una cebra, selanza a cazarla. La cebra recorre a 22m/smientras que el len corre a 31m/s. Qutiempo demora la persecucin?

a) 9seg b) 15 c) 18d) 12 e) 20

4. Una prensa antigua puede imprimir 40 pliegospor minutos y otra ms moderna imprime 50.Cunto tiempo tardarn ambas en imprimir4500 pliegos?

a) 55min b) 50 c) 40d) 60 e) 45

5. Un tren de 200m de longitud cruza un tnel de600m de largo a una velocidad de 40m/s.Qu tiempo demora en cruzarlo?

a) 20seg b) 30 c) 15d) 40 e) 17,5

6. Un auto parte de cierto lugar a 80km/h y 2horas despus parte otro a darle alcance a

90km/h. Cunto demora en alcanzarlo?

a) 12h b) 20 c) 14d) 18 e) 16

7. Un cao llen un depsito en 3 minutos,vertiendo 80 litros de agua por minuto. Enqu tiempo ser vaciado el depsito, si tieneun desague que vaca 60litros/min?

a) 4m b) 6 c) 8

d) 12 e) 9

8. Dos autos parten simultneamente de unmismo lugar con velocidades de 80 y 95km/h.Despus de cunto tiempo el ms rpidoestar a 120km del ms lento?

a) 6h b) 9 c) 12d) 8 e) 10

Lo ms importante en este mundo, no es lugar donde estamos,sino la direccin que llevamos.



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OPERACIN MATEMTICA

Es un procedimiento que consiste en transformar uno o ms nmeros en otro, de acuerdo a ciertasreglas llamadas reglas de correspondencia y para su representacin se hacen uso de smbolosllamados Operadores Matemtico.

Por ejemplo:Con los nmeros 4 y 9 podemos realizar las siguientes operaciones:

4 + 9 = 139 4 = 5

4 = 292 = 81

Como podrs notar toda operacin matemtica tiene su operador y su regla de correspondencia.

OPERADOR MATEMTICO

Es un smbolo que sirve para representar una operacin u operaciones matemticas.

Dentro de los operadores conocidos tenemos:

(+) Suma (:) Divisin

(-) Resta ( ) Raz

(x) Multiplicacin (!) Factorial

Nombrar otros cuatro operadores:( ) __________________________

( ) __________________________

( ) __________________________

( ) __________________________

En el presente captulo, se definirn operaciones en base a las ya conocidas, con reglas de

correspondencia arbitrarias y utilizando operadores arbitrarios.

Ejemplo


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Se define a * b = a2 + ab + 3Regla de correspondencia

Operador

Definir dos operaciones con sus respectivas reglas de correspondencia.

......................................................................................................

......................................................................................................

Ejemplos:

1. Si: a # b = ab - baCalcular:

(3 # 2) # (2 # 2)


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1. Si: a * m = m + a. Hallar:

P =1 * 1 + 2 * 4 + 3 * 9 + 4 * 16 + 5 * 25 .....

16 trminos

a) 136 b) 272 c) 144d) 240 e) 360

2. Si: x * y =y2x

yx

Hallar Z, si: Z * 3 = 5 * 1

a) 10 b) 15 c) 18d) 20 e) 25

3. Si: a2 + b2 = (a b) + 2aHallar x, si: (x + 2) 2 = (2x 1) 3

a) 2 y 1 b) 2 y3

4c) 3 y 1

d) 5 e) 4 y -3

2

4. Si: n = an + bn + cn y 1 = 0

Calcular:

P = 2 . 3

5

5. Si:

x + 3 = x2 3

Calcular: 1 + 2

a) 6 b) 11 c) 13d) 15 e) 1

6. Si:

x = x + 2 y x = x2 + 3

Hallar: 2

a) 0 b) 1 c) 2d)1 e) Ms de una es correcta

7. Segn el problema anterior, calcular:

17 + 26

a) 8 b) 7 c)1

d) 2 e)5

8. Si:

a b c =cba

cba 23

a b c =cba

abc 22

Hallar x:

si:



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2 x 1 - 1 x 3 =15

1

a) 2 b) 2 2 c) 1 1

d)2 e) 1

1. Si: 1x = x2 1

Calcular: A = 2 - 1

a) 0 b)1 c) 1

d) 2 e) 32. Se define:

x =2x

4x

adems:

a =7

11

Hallar: 3a - 5

a) 35

b) 25

c) 27

d) 1 e) 34

3. Si: ab ba = 2b

2

b

ba

Calcular: 81 64a) 25 b) 5 c) 6d) 36 e) 7

4. Se define:

m n =

nm0

nmnm

nm22

;

;

Si: 5 x = 2 [1 (-2 3)], donde:x 5. Cul es el valor de x?

a) 0 b) 1 c)3d) 3 e) 2

5. Se define: a * b = a2 + 2a + b0, hallar:

20072005975E *.....***

a) 5 b) 35 c) 6

d) 7 e) 8

6. Si:x = 2x2 - 3x 13

P = 1 + 2 - 0

3 + -1

Hallar: P

a) 14 b)14 c) 13d)13 e)8

7. Si:

A* = A2 + A; A0 = A2 + A +1;

adems:A

156A *

Determinar uno de los valores de A

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Si:(a + 3) * (b 2) = 3a2 + b

Hallar: 5 * 12

a) 26 b) 87 c) 202d) 56 e) 41



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Es la asociacin de dos elementos de un conjunto dado (no vaco), mediante una regla decorrespondencia generando un nico resultado.

Ejemplo:Sea el conjunto: A = {1, 2, 3} se define la operacin binaria suma y producto como:

+ 1 2 3 X 1 2 31

2

3

2

3

4

3

4

5

4

5

6

1

2

3

1

2

3

2

4

6

3

6

9

(I) (II)

LEY DE CLAUSURA EN OPERACIONES BINARIAS

Sea a y b un par de elementos de un conjunto A (no vaco) y definimos la operacin *:

Si: a * b pertenece al conjunto A, entonces la operacin es cerrada.Si: a * b no pertenece al conjunto A, entonces la operacin es abierta.

Ejemplo:

a) La operacin x , es cerrada?

SI NO

Porqu? __________________

b)

La operacin , es cerrada?SI NO

Por qu? _______________________________________

* 1 2 3

1

2

3

2

3

2

3

1

1

1

2

3

1 2 3 4

1234

2421

3513

1141

4322

Esfurzatepor ser

cada da


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PROPIEDADES

Sean a y b elementos del conjunto A y las operaciones: * y

Conmutativa: Si: a *b = b * a

Ejemplos:

a) Es conmutativa?

SI NO

Por qu? _______________________________________

b) Es conmutativa?

SI NO

Por qu? _______________________________________

Asociativa: Si a * (b * c) = (a * b) * c

Ejemplos:

a) Es asociativa?

SI NO

Por qu? _______________________________________

b) Es asociativa?

SI NO

* 1 2 3

12

3

22

3

21

1

31

3

* 1 2 3

123

132

331

222

* 1 2 3

123

123

231

312

* 1 2 3

1

23

1

23

3

11

2

22


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Por qu? _______________________________________

Distributiva: a * (b c ) = (a * b) (a * c)

Elemento Neutro (e)

Si: a*e=a es donde a cualquier elemento del conjunto A.

Se dice que e es el elemento neutro, el cul es nico.

Cul es el elemento neutro de la adicin?

Cul es el elemento neutro de la multiplicacin?

a)

* 1 2 3 412

34

23

21

12

34

32

14

41

23

Cul es el elemento neutro?

b)

* 1 2 3 41234

2234

3213

1321

2134


Elemento Inverso (a-1)Si: a * a 1 = e, se dice que a-1es el inverso de a.


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Si no existe el elemento neutro no se puede hablar de elementos inversos.

Ejemplos:

a)

* 1 2 3 41234

2314

3422

1234

4241


Se pueden calcular los elementos inversos?

SI NO

En caso afirmativo, completar:

1-1 = _____ 2-1 = _____ 3-1 = _____ 4-1= ____

b)

* 1 2 3 42134

3241

2134

1423

4312


Se pueden calcular los elementos inversos?

SI NO

En caso afirmativo, completar:

1-1 = _____ 2-1 = _____ 3-1 = _____ 4-1= ____


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1. Dada la tabla:

a b ca c b ab b c ac a c b

y adems se sabe que:

(x a) b = (a b) c

Hallar x

a) a b) b c) cd) a b e) No hay solucin posible

2. Si:

1 2 3 41 2 4 3 12 1 2 3 43 1 3 2 44 3 2 4 1

Hallar x, en:(x * 1) * 2 = (3 * 4) * 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) No hay solucin posible

* Si: a b c d ea c d e a bb d e a b cc e a b c dd a b c d ee b c d e a

3. Cul es elemento neutro?

a) a b) b c) cd) d e) e

4. Es conmutativa la operacin?

SI NO

5. Hallar los elementos inversos:

a-1

= _______ b-1

= _______c-1 = _______ d-1 = _______e -1 = _______

6. Calcular:(a b-1) (c-1d-1)-1

a) a b) b c) cd) d e) e

7. Si se sabe que:

La operacin es *

El elemento neutro es 3

A = {1; 2; 3}

2-1 = 1

a * a = a

Para todo elemento de A

Reconstruir:

*

8.



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1 2 3 41 3 1 4 22 1 2 3 43 4 3 2 14 2 4 1 3


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) No hay

1. Sea: A = {0, 1, 2, 3} y definimos laoperacin #:

# 0 1 2 30 0 3 2 1

1 1 2 3 02 2 3 1 03 3 1 0 2

Calcular: (0 # 1) # (3 # 2)a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) F.D.

2. En base a la operacin anterior:

Es anterior o cerrada?..................................................................

Es conmutativa?..................................................................

Tiene elemento neutro?..................................................................

Es asociativa?..................................................................

3. Dada la siguiente tabla:

* m n p qm q p m nn p m n qp m n q pq n q p m

Calcular: E =mpq

qpnm

**

***

a)n

qb)

m

qc)

m

p

d)q

pe)

n

p

4. Si:4 5 6

4 14 18 225 18 23 286 22 28 34

Hallar: 7 8

a) 48 b) 50 c) 54d) 51 e) 38

5. Si:1 2 3

1 3 5 72 5 8 113 7 11 15

Hallar: (3 5) (2 3)

a) 261 b) 253 c) 249d) 287 e) 276

Dada la operacin (*)

* a b c da a b c db d a b cc c d a bd b c d a

6. Cul es el elemento neutro?a) a b) b c) cd) d e) No tiene

7. Cul es el elemento inverso de c?a) a b) b c) cd) d e) F.D.



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8. Calcular:

11

11

ddc

cbaa

**

***

a)a

bb)

c

bc)

a

c

d)b

ce) No se puede

En este captulo analizaremos problemas derivados de la relacin que existe entre la hora que marca elreloj y el ngulo formado por las manecillas del reloj (Minutero y Horario).

DIVISIONES DE UN RELOJ

Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones mayores que indican las horas, cada una de las cuales estdividida en cinco divisiones menores, las cuales hacen un total de: 12x5=60 divisiones menores en todala circunferencia que indican los minutos.

Por otro lado, se conoce que toda la circunferencia del reloj tiene 360.

Del anlisis anterior; tenemos las siguientes equivalencias:

60 divisiones < > 60 minutos < > 360

1 divisin < > 1 minuto < > 6

Las equivalencias anteriores indican lo siguiente:Si el minutero de un reloj recorre una divisin, transcurre un minuto y ha barrido un ngulo de 6.

RELACIN DE LOS RECORRIDOS DEL HORARIO Y EL MINUTERO

En una hora el minutero da una vuelta entera, es decir, recorre 60 divisiones, mientras que el horariorecorre solamente 5 divisiones, sea la doceava parte de lo que recorre el minutero.

minutero horario1 hora 360 30


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1 min 6 1/2

Hora referencial: Dada una hora cualquiera, la hora referencial ser la hora exacta anterior a dichahora.Por ejemplo:

A las 6h 30 min, la hora de referencia ser las 6 en punto.A las 4h 20 min, la hora de referencia ser las 4 en punto.

NGULO FORMADO POR LAS MANECILLAS DEL RELOJ A UNA HORADETERMINADA

Ejemplo:Qu ngulo forman las agujas del reloj a las 6:20am?

AnlisisEn 20 minutos, el minutero avanz: 6x20 = 120

En 20 minutos, el horario avanz:2

1x20=10

Relacin para hallar 180+10=120+ = 70


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E j e r c i c i o

Qu ngulo forman las manecillas del reloj a las 7h 50 min?

AnlisisEn 50 minutos, el minutero avanz: ...................En 50 minutos, el horario avanz: ......................

Combinando ambos tenemos:

Cul es la relacin para determinar :

............................................... = ...................

Importante


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Cuando el horario adelanta al minutero:

).....(.......... IM2

11H30

Cuando el minutero adelanta al horario:

IIH30M2

11..............

Ejemplos usando las frmulas anteriores:Qu ngulo forman las manecillas del reloj a las:a) 3h 26min

Quin adelanta a quin?

..................................................................

Osea que uso la: (I) (II)M = ........................ H = ......................

= ........................ =

b) 7h 20 min

Quin adelanta a quin?.................................sea que uso la: (I) (II)

M = ........................ H=........................

= ........................ =

Posiciones particulares entre las manecillas:Superpuestas = .............................

Opuestas = ..............................

Perpendiculares = ..............................

Ejemplos:1. A qu hora entre las 7 y 8pm las agujas estn opuestas?

= ...........................................H = ...........................................


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...........................................

Qu formula debera usar (I) (II)

M = ...........................................

2. A qu hora entre las 5 y las 6 las agujas estn perpendiculares?

= ...........................................H = ...........................................


............................................................

Qu formula debera usar (I) (II)

M = ...........................................

Es la nica solucin? No. Hay otra solucin.

= ..............

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - 5TO