Razonamiento matemtico

Mtro. Francisco Gabriel Ruiz Sosa

Tuxtla Gutirrez, Chiapas; mayo de 2015Razonamiento matemticoLa Lgica

Definicin de LgicaLa Lgica es la ciencia que estudia los pensamientos en cuanto a sus formas mentales para facilitar el raciocinio correcto y verdadero (Gutirrez Senz, 2005, p. 21).

El estudio de la Lgica es el estudio de los mtodos y principios usados al distinguir entre los argumentos correctos (buenos) y los argumentos incorrectos (malos) (Copi, 2001, p. 15).Tipos de pensamientos estudiados por la Lgica (Gutirrez Senz, 2005, pp. 61 y 64)

Idea: es una representacin mental de un objeto, sin afirmar o negar nada acerca de l. La seal ms fcil para reconocerla es que una idea suele expresarse con una sola palabra: Hombre.Juicio: es la afirmacin o negacin de una idea respecto de otra. La caracterstica ms fcil para reconocer un juicio es el verbo: Este escritorio es gris.Raciocinio: es la obtencin de un nuevo conocimiento a partir de otros ya establecidos. Lo caracterstico del raciocinio es la partcula luego o sus equivalentes (por lo tanto, en consecuencia): Esa obra teatral est dirigida por Pedro; luego es probable que tenga xito.El razonamiento

El razonamiento es la clase especial de pensamiento llamada inferencia, en la que se sacan conclusiones partiendo de premisas (Copi, 2001, p. 16).El razonamiento: La lgica. Un problema para Sancho Panza (Oliv, 2006, pp.71-96)Captulo LI de la segunda parte de Don Quijote de la Mancha:

Si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adnde y a qu va; y si jurare verdad, djenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que all se muestra, sin remisin alguna.

Voy a morir a la horca que ah est, y no a otra cosa.Enunciados fundamentalesTodo el que pase por el puente debe decir adnde y a qu va.Si A es una persona que pasa por el puente y lo que dice es verdadero, djenle pasar libremente.Si A es una persona que pasa por el puente y lo que dice es falso, ahrquenlo sin remisin.Razonamiento de los juecesSi a este hombre le dejamos pasar libremente, minti en su juramento, y conforme a la ley debe morir: y si le ahorcamos, l jur que iba a morir en aquella horca, y habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre.Razonamiento de SanchoEl tal hombre jura que va a morir en la horca, y si muere en ella jur verdad, y por la ley puesta merece ser libre, y que pase la puente, y si no le ahorcan jur mentira, y por la misma ley merece que le ahorquen.Equivalencias de los razonamientosSi A dice la verdad, es decir, si es cierto que A va a morir en la horca, entonces (por lo que establece la ley) A no debe ser ahorcado.Pero si A no es ahorcado, entonces minti y por consiguiente (por lo que establece la ley) debe ser ahorcado. Por lo tanto:

Si A es ahorcado, entonces no debe ser ahorcado; ySi A no es ahorcado, entonces debe ser ahorcado.

A debe ser ahorcado si y slo si A no es ahorcado.Solucin de SanchoVenid ac, buen hombre, [] este pasajero que decs, o yo soy un porro, o l tiene la misma razn para morir que para vivir y pasar la puente, porque si la verdad le salva, la mentira le condena igualmente; y siendo esto as, como lo es, soy de parecer que digis a esos seores que a m os enviaron, que pues estn en un fil las razones de condenarle o absolverle, que le dejen pasar libremente, pues siempre es alabado ms el hacer bien, que mal; y esto lo diera firmado de mi nombre si supiera firmarDos tipos de razonamiento: Induccin y deduccin (Chalmers, 2001, p. 17)

Razonamiento inductivoPrincipio de la induccin (Russell, 2001, p. 62):

Cuando una cosa de una cierta especie, A, se ha hallado con frecuencia asociada con otra cosa de otra especie determinada, B, y no se ha hallado jams disociada de la cosa de la especie B, cuanto mayor sea el nmero de casos en que A y B se hayan hallado asociados, mayor ser la probabilidad de que se hallen asociados en un nuevo caso en el cual sepamos que una de ellas se halla presente.En las mismas circunstancias, un nmero suficiente de casos de asociacin convertir la probabilidad de la nueva asociacin casi en una certeza y har que se aproxime de un modo indefinido a la certeza.

Ejemplo de una induccin por enumeracin simpleLas generalizaciones acerca de la forma son las que se realizan por induccin (Prez Tamayo, 2003, p. 28):

El cuervo 1 es negroEl cuervo 2 es negroEl cuervo 3 es negro_____________________Todos los cuervos son negros

Condiciones que deben satisfacer las generalizaciones (Chalmers, 2001, p. 15)El nmero de enunciados observacionales que constituyan la base de una generalizacin debe ser grande.Las observaciones se deben repetir en una amplia variedad de condiciones.Ningn enunciado observacional aceptado debe entrar en contradiccin con la ley universal derivada.Razonamiento deductivoSe puede resumir de la siguiente manera la forma general de todas las explicaciones y predicciones cientficas (Chalmers, 2001, p 22):

Leyes y teorasCondiciones inicialesPredicciones y explicacionesEjemplo de razonamiento deductivoEl ms famoso de todos los silogismos se puede expresar (Prez Tamayo, 2003, p. 24):

Todos los hombres son mortalesScrates es un hombrePor lo tanto, Scrates es mortalRegla elemental de la argumentacinUn argumento (dice Feyerabend, 1998, p. 221) no es una confesin sino un instrumento encaminado a poner en aprietos a los rivales. Todo lo que para ello se necesita es:Que el rival acepte las premisas,que haya un hilo de pensamiento que lleve de las premisas a las conclusiones, yque stas sean contrarias a las creencias del rival.Actitud hacia las matemticas

Actitud hacia las matemticasLa atmsfera requerida para desarrollar el pensamiento matemtico requiere de tres procesos bsicos:

1) Indagacin o cuestionamiento, 2) Enfrentar desafos y 3) reflexionar.Actitud hacia las matemticasPuedo cuestionar: Identificar situaciones o problemas a investigar, identificar mis hiptesis, negociar el significado de los trminos.Puedo aceptar desafos: Hacer conjeturas, buscar argumentos que las justifiquen o las invaliden, revisar, modificar, alterar.Puedo reflexionar: Ser autocrtico, esperar y evaluar diferentes enfoques, hacer ajustes, re-negociar, cambiar de direccin.Una idea sobre las matemticas (Codina Snchez & Lupiaez Gmez, 2012)Las matemticas han desarrollado una especie de lenguaje particular para transmitir su pensamiento libre de cualquier influencia, y est excesivamente formalizado. El lenguaje matemtico est influenciado por el habla comn y adems, sus principios no pueden reemplazar a aquellos del lenguaje cotidiano utilizado por maestros y alumnos, aunque se pueden modificar y cambiar.

La demostracin

Justificacin de una proposicinDos operaciones:1. Produccin de razones, que se manifiesta por: preguntas de dicto (por qu afirmas que...?, por qu expresas que...), que requieren al menos de un argumento. preguntas de re (por qu se produce...?, por qu se obtiene...?), que requieren una explicacin.Justificacin de una proposicin2. Aceptabilidad de las razones expuestas. Una proposicin se acepta o no segn su: Pertinencia, en relacin a los respectivos contenidos de la afirmacin y del argumento. Fuerza, que depende de si el argumento tiene o no rplica, y de su valor epistmico (evidente, necesario, autntico...).Justificacin de una proposicinLos individuos por lo general, se limitan slo a la produccin de razones, enumerando muchas para justificar una posicin, sin preocuparse de relacionarlas y articularlas.

La produccin de razones depende de la explicacin, en la cual el valor epistmico de las proposiciones no es tomada en consideracin y slo se apoya en su contenido.Comprobacin o justificacinUna comprobacin es una justificacin formal, informal, geomtrica, ilustracin, argumento, proceso para convencer de que algo est bien. Sin embargo en Lgica y en Matemticas las nicas comprobaciones aceptadas son las Demostraciones Formales.

DemostracinEs una explicacin aceptada por una comunidad en un momento dado, [...], y si un enunciado se conoce como verdadero y bien definido, a estas pruebas las llamaremos demostraciones (Balacheff, citado por Acua, 2012).Demostraciones formalesDemostracin es una secuencia de pasos vlidos donde el ltimo paso es la conclusin, cualquiera de los siguientes pasos es vlido:Premisa o Axioma: En cualquier paso se puede usar una premisa, esto es, lo que suponemos vlido.Equivalencias: Cualquier paso puede ser un equivalente de un paso anterior.Regla de Inferencia: En cualquier paso se puede escribir la conclusin de una regla de inferencia si sus premisas son pasos anteriores.Propiedades previas: Cualquier teorema o propiedad conocida puede ser usado en un paso, en particular cualquier inferencia vlida puede ser utilizada.La lgica en las matemticas

La lgica en las matemticasComo sabemos, todo lenguaje comn incluye trminos que permiten indicar una relacin lgica entre las proposiciones: son los conectivos. As, la eleccin de stos, cuyo uso sera inherente a toda tcnica de razonamiento, permitira determinar si se est o no frente a una argumentacin. Vamos a distinguir tres tipos de conectivos:

Tres tipos de conectivosLos conectivos combinatorios son aquellos que integran ms proposiciones en una sola superposicin. La relacin indicada por estos conectivos no se basa en el contenido de las proposiciones ligadas, sino en la asercin de ciertas parejas de valores, respectivos, de verdad posibles. (El si..., entonces, la o exclusiva e inclusiva, la y , son conectivos que tienen, en matemticas, un uso puramente combinatorio).

Tres tipos de conectivosLos conectivos argumentativos, son aquellos que ponen en relacin dos proposiciones, pero que no las integran en una superproposicin.

La relacin indicada se basa en las orientaciones respectivamente inducidas hacia el enunciado-objeto por el contenido de cada una de las proposiciones ligadas. Los conectivos de co-orientacin (tambin) y los conectivos de contraorientacin (pero, sin embargo, aunque, etc.).

Tres tipos de conectivosLos conectivos organizativos, son aquellos que indican el estatuto de una proposicin en relacin a otras proposiciones, determinan su lugar en la organizacin del discurso (ahora, porque, en consecuencia, por lo tanto). Observar que la indicacin del estatuto de las proposiciones puede hacerse igualmente sin recurrir a conectivos. Es suficiente usar construcciones del tipo se sabe que, es necesario que, concluyo que, que requieren proposiciones para ser completadas. Esta segunda forma de indicar el estatuto, que evita los conectivos, es la manera ms natural y espontnea por una simple razn: el estatuto de una proposicin depende del valor epistmico que se le reconoce.

Tablas de verdadCada enunciado es verdadero o falso, de modo que se puede hablar del valor de verdad de un enunciado, siendo el valor de verdad de un enunciado verdadero, verdadero y el valor de verdad de un enunciado falso, falso (Copi, 2001, p. 23-24).

Las conjunciones son enunciados compuestos. Dados dos enunciados p y q hay solamente cuatro conjuntos de valores de verdad para ellos [] los cuatro casos posibles pueden exhibirse [] (Copi, 2001, p. 24):

en el caso p es verdadero y q es verdadero, p.q es verdadero;en el caso p es verdadero y q es falso, p.q es falso;en el caso p es falso y q es verdadero, p.q es falso:en el caso p es falso y q es falso, p.q es falso.Tabla de verdad p.qPedro es inteligente y Pedro es valientepqp.qTTTTFFFTFFFFOtras palabras tales como adems, tambin, pero, an, aunque, sin embargo, y hasta el punto y coma, se utilizan tambin para conjuntar dos enunciados en un compuesto y todos ellos pueden traducirse indiferentemente como el smbolo punto en lo que respecta a los valores de verdad (Copi, 2001, p. 25).Negacin (o el contradictorio)Introducimos el smbolo ~, llamado una tilde, para simbolizar la negacin.Tabla de verdad

La negacin de una proposicin verdadera nos da una proposicin falsa (1) y viceversa (2).p~pTFFTEjemplo de una simbolizacin negativap= Pedro es alto

~p.No es cierto que Pedro es alto.DisyuncinCuando dos enunciados se combinan disyuntivamente insertando la palabra o entre ellos, el enunciado compuesto que resulta es una disyuncin (o alternacin) y los dos enunciados as combinados se llaman disyuntos (o alternativos) (Copi, 2001, p. 25).

Sentido dbil o inclusivo (y/o): Se perder derecho a recompensas en caso de enfermedad o desempleo.

Sentido fuerte o exclusivo (o): t o caf.Disyuncin dbilSi p y q son dos enunciados cualesquiera, su disyuncin dbil o inclusiva se escribe p v q. El smbolo v, denominado una cua (o una ve), es un conectivo de funcin de verdad y se define por la tabla de verdad siguiente:

Se perder derecho a recompensas en caso de enfermedad o desempleo.

pqp v qTTTTFTFTTFFFSilogismo disyuntivoLas Naciones Unidas sern reforzadas o habr una tercera guerra mundial.Las Naciones Unidas no sern reforzadas.Luego habr una tercera guerra mundial.Ejemplos de simbolizacin de dos disyunciones, una inclusiva y una exclusivaDisyuncin inclusiva:

Pedro es alto o Juan es inteligente.p v q

Disyuntiva exclusiva:

O el electrn tiene carga positiva o tiene carga negativa.p q

Ejemplo de simbolizacin de una condicional y una bicondicionalSi la luna es un satlite, tiene luz refleja.p q

El nmero siete es nmero primo si y solo si se puede dividir entre s mismo y la unidad.p qResumen de las tablas de verdadLa proposicin copulativa slo es verdadera cuando las dos componentes son verdaderas.La proposicin disyuntiva inclusiva es verdadera en todos los casos menos cuando ambas componentes son falsas.La proposicin disyuntiva exclusiva es verdadera slo cuando una de las dos componentes es verdadera y la otra falsa.La proposicin negativa slo es verdadera cuando el componente es falso.La proposicin condicional siempre es verdadera, salvo cuando el consecuente es falso.La proposicin bicondicional es verdadera cuando los dos componentes son verdaderos o los dos son falsos.Movimiento lineal con velocidad constante

DemostracinEjemplo 2. La misma tortuga del ejemplo anterior est a 110 km de Maratn, donde se encuentra Aquiles. Si los dos salen al mismo tiempo, uno hacia el otro, con las mismas velocidades del ejemplo anterior, cunto tardan en encontrarse?Ahora sabemos que el tiempo es el mismo, y sabemos sus velocidades, pero la distancia es diferente. Si Aquiles recorre una distancia x la tortuga recorrer 110 x, y la tabla queda.

Mezclas Otro tipo de problemas muy comn que podemos resolver utilizando ecuaciones de primer grado es el de Mezclas. Veamos el siguiente modelo.

Mezclas

Mezclas

MezclasEjercicios1. Juan compra 12 dulces por 30 pesos. Si al da siguiente el precio de cada dulce se incremento a 6 pesos, cuanto se ahorro Juan por dulce al comprarlos con el precio anterior. 2 pesos2 1/2 pesos3 pesos3 1/2 pesos 5 pesos 2. Determina el valor que falta en la siguiente tabla

891011 12X Y 1 3 3 7 4 613 3. Determina el valor que falta en la siguiente tabla

89101112X Y 1 2 253 4 174. La suma de dos nmeros enteros impares consecutivos es 104, determina el impar mayor. 41 49515355 5. Determina los siguientes dos nmeros en la siguiente secuencia: 1, 3, 3, 7, 5, 11, 7, 15, ___ , ___ 15, 179, 1919, 1721, 239, 21

Cuntos toman Express? a) 52 b) 96 c) 120 d) 72 e) 312

6. Se realiza una encuesta a 600 clientes de una cafetera sobre el tipo de caf que ms le agrada, y los resultados son los siguientes, mostrados en la siguiente grfica. Figuras abstractas

Analogas

Caractersticas esenciales

Tipos de ejerciciosTipos de ejerciciosReferencias de consultaChalmers, A. F. (2001). El inductivismo: La ciencia como conocimiento derivado de los hechos de la experiencia. En Qu es esa cosa llamada ciencia? Una valoracin de la naturaleza y el estatuto de la ciencia y sus mtodos. (pp.11-25). Mxico: Siglo XXI.Codina Snchez, A. & Lupiaez Gmez, J. L. (2012). El razonamiento matemtico: argumentacin y demostracin. Disponible en: http://funes.uniandes.edu.co/805/1/CodinaLupi1999.pdfCopi, I. M. (2001). Lgica simblica. Mxico: CECSA.Feyerabend, P. (1998). Los elementos de juicio. En La ciencia en una sociedad libre. (pp. 218-323). Mxico: Siglo XXI.Gutirrez Senz Gutirrez, R. (2005). Pensamientos, operaciones y expresiones. En Introduccin a la lgica. (pp. 61-64). Mxico: Esfinge.Oliv, L. (2006). El razonamiento y el conocimiento. En Cmo acercarse a la filosofa. (pp. 71-96). Mxico: Limusa.Prez Tamayo, R. (2003). Platn y Aristteles. En Existe el mtodo cientfico? (pp. 18-32). Mxico: FCE.Russell, B. (2001). La induccin. En Los problemas de la filosofa. (pp. 57-64). Mxico: Centro Mexicano de Estudios Culturales.