1

Problemski zadaci

Cilj zadataka koji slede jeste da prikažu upotrebu linearnog programiranja u

realnim situacijama. Ideja ovih zadataka nije da ih rešavate detaljno kao

prethodne zadatke, već je fokus na samom postavljanju problema. Nakon toga,

zadatke možete rešiti pomoću odgovarajućeg softvera (probajte sami da

pronadjete neki!) a zatim želimo da ta rešenja proanaliziramo i prodiskutujemo.

29. Zadatak

Kompanija koja se bavi proizvodnjom nameštaja specijalizovala se u pravljenju

fotelja i kauča. Ova kompanija poseduje dve fabrike, jednu u Inđiji, drugu u

Nišu. Fabrika u Inđiji ima dozvoljene dnevne operativne troškove u iznosu od

12000 n.j., i može da proizvede najviše 150 komada nameštaja. Troškovi

proizvodnje fotelje u ovoj fabrici iznose 55 n.j. dok su troškovi proizvodnje

kauča 80 evra. Kada je reč o fabrici u Nišu njeni dozvoljeni dnevni operativni

troškovi iznose 8500 n.j. i fabrički kapaciteti im dozvoljavaju da proizvedu

najviše 35 fotelja dnevno. U Nišu proizvodnja jedne fotelje košta fabriku 50

n.j., dok ih kauč košta 75 n.j.. Kompanija ostvaruje profit od 25 n.j. na svakoj

prodatoj fotelji i 32 n.j. po prodatom kauču.

a) Postaviti odgovarajući problem linearnog programiranja pomoću kojeg

će fabrika odrediti šta treba da proizvodi kako bi maksimizirala profit.

b) Pomoću odgovarajućeg softvera rešite taj problem.

Napomena: reč je o dve fabrike i svaka ima svoj proizvodni proces koji je

nezavisan od druge fabrike

R e š e n j e:

U ovom, a i u svakom sledećem zadatku, prva i najvažnija stvar koju treba da

uradimo jeste da definišemo naše promenljive. Ideja je sledeća, imamo dve

fabrike, tako da moramo da razlikujemo fotelje i kauče koje su napravljene u

Inđiji od fotelja i kauča napravljenih u Nišu. Promenljive će predstavljati broj

fotelja i kauča koji proizvodimo u Nišu i Inđiji:

If - broj fotelja koji proizvodimo u fabrici u Inđiji,

Ik - broj kauča koji proizvodimo u fabrici u Inđiji,

Nf - broj fotelja koji proizvodimo u fabrici u Nišu,

Nk - broj kauča koji proizvodimo u fabrici u Nišu.

Odgovarajući problem linearnog programiranja je:

2

(max) 25 32 25 32

150

55 12000

35

50 75 8500

I I N N

I I

I I

N

N N

z f k f k

f k

f k

f

f k

f

, , , 0I I N Nk f k

Rešili smo problem i dobili da je optimalni profit fabrike 8555 novčanih

jedinica, i to ako se proizvodi na sledeći način:

0

150

35

90.

I

I

N

N

f

k

f

k

30. Zadatak

Nakon što mu je dosadilo da sedi za stolom i bavi se papirologijom, radi za

platu od 40 000 dinara od koje može samo da pokriva troškove, Miroslav je

dao otkaz, napustio Beograd i otišao u Begejce da živi sa svojim rođacima.

Znao je mu je deda u nasledstvo ostavio 75 ha zemlje o kojoj se do tada brinuo

njegov brat od strica, i on je shvatio da je došao trenutak da on preuzme brigu

nad svojim delom zemljišta. Miroslav je rešio da iskoristi zvoje znanje iz

ekonomije i upotrebi ga u poljoprivredu na opšte iznenađenje svoje rodbine.

“Želim da ove godine zasadimo soju, kukuruz i pšenicu”, rekao je Miroslav za

vreme jednog ručka. “Znamo da je zakonom propisano da je na najmanje 20%

našeg zemljišta neophodno da bude zasejana pšenica. Potrebno nam je 2h da

posejemo hektar kukuruza, 3h je neophodno za pšenicu i 4h za soju. Vreme

setve ne može biti duže od 3 nedelje u kojima ćemo raditi po 12h dnevno. Na

osnovu trenutnih cena na tržištu očekujemo da ćemo po hektaru zasađenog

kukuruza ostvariti prihod od 900 evra, za pšenicu dobijamo 800 evra, dok se

kod soje očekuje prihod od 1200 evra. Pogledao sam podatke gazdinstva iz

prethodne godine, na sejanje soje utrošilo se 400 evra (200 evra za

repromaterijal i 200 za mašinske usluge). U slučaju kukuruza troškovi su 450

evra, a pšenice 400 evra”, nastavio je Miroslav svoj monolog. “Na osnovu

ovoga jasno je šta nam je činiti, i kako ćemo maksimizirati naš profit!”

Nedelju dana nakon što je rešio šta će sejati na svojoj njivi Miroslav je stupio u

neobavezni razgovor sa svojim komšijom. Znajući da je Miroslav ekonomista,

3

komšija Radovan se jadao kako je uzeo kredit u “švajcarcima” i kako sada ne

zna šta da radi sa ogromnom ratom koja mu pristiže. U tom neformalnom

razgovoru Radovan je predložio prodaju svoje zemlje Miroslavu. Miroslav je

sada bio na potezu i on je brzo razmišljao, setio se svoje računice od pre

nedelju dana i rešio da Radovanu ponudi cenu po kojoj bi samo zemljište, uz

pretpostavku o konstantnim cenama, Miroslavu povratilo sve uložene pare za

tačno 10 godina.

a) Napisati problem na osnovu kojeg je Miroslavu sve bilo jasno u

trenutku kada je objašnjavao rodbini svoj plan.

b) Koliko je para Miroslav ponudio Radovanu za hektar zemljišta?

R e š e n j e

a) Opet je prva stvar koju treba da odredimo pri rešavanju problema šta

predstavljaju naše promenljive. Ovde će, jasno je, promenljive predstavljati

površine zasađene pod svakom od kultura:

1x - površina zasejana sojom,

2x - površina zasejana pšenicom,

3x - površina zasejana kukuruzom.

Miroslav za cilj ima maksimizaciju profita. Neophodno je da informacije o

profitu dobijemo iz prihoda i rashoda za svaku sortu. Na prvi pogled, zadatak

ima dva ograničenja. Ipak, ne treba zaboraviti informaciju da Miroslav ima 75

ha zemlje na raspolaganju i sva kultura mora biti zasejana na toj površini.

Naravno, Miroslav nema obavezu da iskoristi svih 75 ha, te treba imati u vidu

pri kreiranju problema linearnog programiranja da u tom ograničenju neće biti

znak jednakosti. Osim toga, videćemo malo kasnije, ovo ograničenje,

postavljeno kao nejednakost, pomoći će nam i u rešavanju drugog dela zadatka.

Problem linearnog programiranja koji je Miroslav napravio izgleda ovako:

1 2 3

1 2 3

2

1 2 3

1 2 3

(max) (1200 400) (800 400) (900 450)

75

15

4 3 2 252

, , 0

z x x x

x x x

x

x x x

x x x

4

Kao rešenje ovog problema linearnog programiranja dobijamo da je

maksimalan profit 48225 evra i to za

1 2 343,5 15 16,5.x x x

b) Da bi došli do cene koju je Miroslav ponudio Radovanu neophodno je prvo

da pogledamo šta smo dobili kao rešenje dualnog problema.

1 2 3100 225 175.y y y

Šta imamo iz rešenja dualnog problema? Razmislite šta znači da nam je

vrednost prve dualne promenljive jednaka 100. Ova vrednost upravo označava

koliki bi bio naš rast profita ako se ograničenje prve nejednakosti poveća za

jednu jedinicu. Prvo ograničenje predstavlja porvšinu koju Miroslav ima na

raspolaganju, tako da povećanje površine za 1 ha donosi Miroslavu povećanje

profita od 100 evra. Pošto on želi da mu zemlja koju kupuje vrati investiciju za

10 godina, Miroslav treba da ponudi Radovanu 10 100 1000 evra po hektaru.

31. Zadatak

Sedam patuljaka je sklopilo ugovor da iskopa 12kg zlata i 18kg srebra. Snežana

zna da oni mogu da kopaju u dva rudnika. U prvom rudniku oni su u stanju da

dnevno iskopaju 2kg zlata i 2kg srebra. U drugom rudniku patuljci u toku

jednog dana mogu da iskopaju 1kg zlata i 3kg srebra. Pomozite Snežani da

postavi problem linearnog programiranja kako bi mogla patuljcima da zlato

iskopaju u što kraćem vremenskom roku.

R e š e n j e

Ovaj zadatak je verovatno lakši od mnogih zadataka u ovom poglavlju.

Promenljive ovde predstavljaju broj dana koji će patuljci kopati u svakom od

rudnika:

1x - broj dana kopanja u rudniku 1,

2x - broj dana kopanja u rudniku 2.

Problem linearnog programiranja je:

5

1 2

1 2

1 2

1 2

(min)

2 12

2 3 18

, 0

z x x

x x

x x

x x

Naravno, reč je o odgovarajućem problemu minimuma jer je cilj patuljaka da

što kraće kopaju u rudniku. Optimalno rešenje (koje ovom prilikom možemo

izračunati veoma jednostavno, ovde možete primeniti i grafički metod) je 7,5

dana. Neophodno je da kopaju 4,5 dana u prvom, i 3 dana u drugom rudniku.

Dodatne promenljive jednake su 0. Odatle imamo informaciju da patuljci ne

kopaju više od onoga što su se ugovorom obavezali da će iskopati.

32. Zadatak

Za proslavu kraja semestra, grupa studenata Ekonomskog fakulteta je rešila da napravi

žurku za sve studente u holu fakulteta. Pošto im je bilo dosta žurki na kojima svi piju

pivo oni su kupili sledeća pića:

PIĆE KOLIČINA

U LITRIMA

Burbon 50

Brendi 40

Votka 60

Suvi vermut 20

Slatki vermut 30

Rešili su da u ponudi bude samo 4 koktela: "Chauncey", "slatki italijanski",

burbon sa ledom i "ruski martini". "Chauncey" se sastoji od ¼ burbona, ¼

votke, ¼ brendija i ¼ "slatkog" vermuta. "Slatki italijanski" koktel sadrži ¼

brendija, ½ "slatkog" vermuta i ¼ "suvog" vermuta. Burbon sa ledom sadrži

samo burbon. Najzad, "ruski martini" se sastoji od ¼ "suvog" vermuta i ¾

votke. Svaki koktel sadrži 4 litra (očekuje se da žurka bude užasno dobro

posećena). Cilj studenata je da nađu takvu kombinaciju ovih sastojaka sa kojom

se može napraviti najveći mogući broj koktela.

a) Formulisati problem linearnog programiranja i objasniti značenje

uvedenih promenljivih.

b) Studenti su piće kupili u diskontu pića koji im je, zbog kupljene

količine omogućio da sve što se ne potroši mogu da vrate. Koliko će

pića (u litrima) studenti vratiti od svake vrste pića.

6

c) Nakon što je čuo kakvu žurku prave, vlasnik diskonta pića je rešio da

organizatorima pokloni još jedan litar pića po izboru. Koje su piće

tražili studenti znajući rešenje ovog problema?

R e š e n j e

a) Studenti žele da naprave najveći mogući broj koktela. Dakle, promenljive

moraju da predstavljaju koktele čiji broj želimo da maksimiziramo:

1x - broj „Chauncey“ koktela,

2x - broj „slatkog italijanskog“,

3x - broj burbona sa ledom,

4x - broj „ruskog martinija“.

Neophodno je sada povezati naše promenljive, koktele, sa dostupnim

informacijama, a to je u ovom slučaju količina u litrima svakog alkoholnog

napitka. Informacija koja povezuje ove dve stvari jeste da se svaki koktel pravi

od 4 litara pića. To znači, na primer, da se jedan „Ruski martini“ sastoji od

jednog litra suvog martinija i tri litra votke. Sada se ograničenja i zahtevi za

svaki koktel mogu prikazati na sledeći način:

Chaunce

y

Slatki

italijanski

Burbon sa

ledom

Ruski

martini

Ukupno

pića

Burbon 1

4

50

Brendi 1 1

40

Votka 1

60

Suvi martini

1

3 20

Slatki

martini 1 2

1 30

Odavde se direktno dobija problem linearnog programiranja za koji će

optimalna vrednost biti 46:z

7

1 2 3 4

1 3

1 2

1 4

2 4

1 2 4

1 2 3 4

(max)

4 50

40

3 60

20

2 30

, , , 0

z x x x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x x x

Odgovarajućim statističkim softverom dobijamo da je rešenje:

1 2 3 418, 6, 8, 14.x x x x

b) Koliko će od svake vrste pića studenti vratiti možemo, zapravo, videti kao

vrednosti dodatnih promenljivih. Zašto?

Dodatne promenljive nam govore o „neiskorišćenim kapacitetima“. U ovom

slučaju, ti kapaciteti upravo predstavljaju pića koja su dostupna pri pravljenju

koktela. Koristeći odgovarajući softver dobijamo da je

5 7 8 9 60, 16.x x x x x

Sada je jasno, studenti će potrošiti sva pića osim brendija, koga će ostati 16

litara.

c) Studenti treba da izaberu piće koje će najviše uticati na broj napravljenih

koktela, njihove ciljne funkcije. Takvu informaciju vidimo iz vrednosti dualnih

promenljivih koje govore za koliko nam se povećava ciljna funkcija ako

vrednost ograničenja povećamo za jednu jedinicu. U rešenju dualnog problema

se krije rešenje ovog dela zadatka jer su naša ograničenja pića koja smo kupili.

Vrednosti dualnih promenljivih su:

1 2 3 4 50,25, 0, 0,3, 0,1, 0,45.y y y y y

Vrednost funkcije cilja, broj napravljenih koktela, se najviše povećava ako

studenti kao poklon uzmu litar slatkog martinija.

Napomena: Pretpostavite sledeću situaciju, studenti su dobili na poklon litar

slatkog martinija. Razmislite prvo, bez ikakvog rešavanja zadatka, kako će to

uticati na funkciju cilja, za koliko će se ona povećati? Ili smanjiti?

8

Jasno je da će se vrednost povećati upravo za 0,45. Međutim, razmislimo tada

šta to znači, kakav rezultat smo dobili. Vrednost funkcije cilja je 46,45 i kada

ovaj zadatak rešimo pomoću odgovarajućeg softvera dobijamo da su vrednosti

naših promenljivih:

1 2 3 418,6, 6,2, 7,85, 13,8.x x x x

Postavlja se sasvim logično pitanje, da li ovako rešenje uopšte ima smisla?

Kako napraviti 18,6 koktela? Sasvim opravdano pitanje, ne samo u ovom nego

i u mnogim drugim problemima. Treba se uvek zapitati da li rešenje može da

bude ceo broj. Da bi videli zašto smo dobili rešenje koje nije ceo broj vratimo

se na sam početak priče o linearnom programiranju. Ono daje kao rešenje

vrednosti koje su nenegativne, ali nigde nije rečeno da rešenje mora da bude

prirodni broj, naprotiv. Dakle, mi imamo pozitivna realna rešenja. Upravo

zbog toga, ovakve modele, gde za rešenje očekujemo ceo broj ne rešava

linearno već celobrojno programiranje. Celobrojno programiranje možete

posmatrati kao nadogradnju linearnog, koja će, kao optimalno rešenje, dati cele

brojeve. Naravno, vrlo lako se može desiti da celobrojno programiranje dâ

rešenje koje je manje od rešenja linearnog programiranja. Može li celobrojno

rešenje da dâ rešenje koje je veće od rešenja linearnog programiranja? Vratite

se unazad i pogledajte prethodne zadatke, da li postoji neki koji je možda

trebalo posmatrati kao zadatak celobrojnog programiranja? Imajte ovo na umu i

u zadacima koji slede.

33. Zadatak

Kompanija za istraživanje tržišta želi da napravi telefonsku kampanju.

Neophodno je da kontaktira 150 udatih žena, 120 oženjenih muškaraca, 110

neudatih žena i 100 neoženjenih muškaraca. Oni će to raditi u dva termina –

jutarnjem i večernjem. Kompaniju jutarnji poziv košta 100 dinara a večernji

400 (zbog skuplje cene rada). U tabeli ispod je izlistan udeo svake ciljne grupe

koje teleoperateri dobijaju u zavisnosti od termina poziva. Kako uveče ne radi

veliki broj teleoperatera najviše polovina svih poziva može biti obavljena u

noćnom terminu. Formulišite problem linearnog programiranja pomoću kojeg

će ova kompanija minimizirati troškove ove telefonske kampanje.

9

Ciljna grupa Jutarnji

pozivi

Večernji

pozivi

Udate žene 30 30

Oženjeni muškarci 10 30

Neudate žene 10 15

Neoženjeni muškarci 10 20

Niko se nije javio 40 5

R e š e n j e

Ponovo zadatak treba da počnemo od najvažnije stvari – šta predstavljaju naše

promenljive? Cilj je minimizirati troškove istraživanja, tako da naše

promenljive moraju da predstavljaju broj poziva obavljenih u jutarnjim i

večernjim satima:

1x - broj jutarnjih poziva,

2x - broj večernjih poziva.

Neophodno je da istraživanje zadovolji uslove, odnosno da kontaktira

odgovarajući broj osoba iz svake ciljne grupe. Ovo će upravo predstavljati naša

ograničenja, tako da je odgovarajući problem linearnog programiranja:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 1 2

1 2

(min) 100 400

0,3 0,3 150

0,1 0,3 120

0,1 0,15 110

0,1 0,2 100

1 ( )

2

, 0

z x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

Poslednje ograničenje je zahtev da najviše polovina svih poziva može biti

obaveljena u noćnom terminu. Nakon modifikacije, poslednja nejednakost se

može predstaviti kao 1 2 0x x . Probajte da pretpostavite šta bi rešenje

moglo da bude bez ikakvog rešavanja. Tražimo minimizaciju funkcije cilja u

kojoj jedna promenljiva značajno manje utiče na rešenje nego druga. Zbog

toga, u optimalnom rešenju bi bilo idealno da 1x bude jedina pozitivna

10

promenljiva ako je to moguće. Ograničenja nas ne obavezuju da vrednost

promenljive 2x bude pozitivna, i zaista, rešavanjem ovog zadatka dobijamo da

je minimalna vrednost funkcije cilja 120000z koja se postiže za vrednosti

promenljivih:

1 2120, 0.x x

34. Zadatak

Jedna privatna stolarija pravi stolove i stolice. Proces nastajanja stolarije dele u

dva dela: proizvodnju, i proces farbanja i zaštite drveta, kojim se bave odvojeni

timovi. Kada bi radnici u proizvodnji proizvodili samo stolove mogli bi da

naprave 5 komada dnevno. Sa druge strane kada bi proizvodili samo stolice

proizvodni kapaciteti su im takvi da bi bili u stanju da naprave 15 stolica

dnevno. Sa druge strane, radnici koji se bavi farbanjem u stanju su da ofarbaju

25 stolova dnevno ako bi se samo time bavili ili 40 stolica ako bi samo to radili

u toku jednog radnog dana. Pri tome, očekuje se da se na dnevnom nivou

proizvede makar jedan komplet koji čine sto i četiri stolice. Profit stolarije je

10000 dinara po proizvedenom stolu kao i 4000 dinara po stolici. Postavite

problem linearnog programiranja pomoću kojeg bi ova mala stolarija odredila

svoj optimalni dnevni plan proizvodnje.

R e š e n j e

Može se desiti da vam se, na prvi pogled, učini da u ovom zadatku postoji

manjak informacija i da je zadatak nemoguće rešiti. To, naravno, nije slučaj.

Ključ je, kao i do sad, u tome da se ispravno odredi šta predstavljaju naše

promenljive. Nakon toga, ako to ispravno odaberemo, ograničenja će se

prirodno nametnuti. Pošto je neophodno odrediti optimalni dnevni plan, bitno

je da saznamo koliko, na dnevnom nivou, proizvodimo. Zbog toga naše

promenljive moraju biti:

1x - broj stolova koje stolarija dnevno proizvodi,

2x - broj stolica koje stolarija dnevno proizvodi.

Problem linearnog programiranja pomoću kojeg stolarija određuje svoj

optimalni dnevni profit izgleda ovako:

11

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

(max) 10000 4000

1 1 1

5 15

1 1 1

25 40

1

4

, 0

z x x

x x

x x

x

x

x x

Proanalizirajmo ograničenja. Poslednja dva su jasna, neophodan je komplet od

jednog stola i četiri stolice. Kada je reč o prvom ograničenju, podatak koji

imamo je koliko stolova i stolica radnici mogu da proizvedu ako rade samo na

jednom od ta dva proizvoda. Nama je potrebno koliko vremena utroše po

jednom komadu jer smo 1x i 2x definisali kao broj stolova i stolica koje

proizvedemo dnevno. Ograničeni smo odozgo sa 1 jer posmatramo proizvodnju

na dnevnom nivou. Razlomke možemo da izgubimo množenjem prve

nejdnakosti sa 15, druge sa 200 i dobijamo problem linearnog programiranja:

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

(max) 10000 4000

3 15

8 5 200

1

4

, 0

z x x

x x

x x

x

x

x x

Rešenje zadatka nam govori da pri optimalnom dnevnom planu proizvodnje

fabrika ostvaruje profit od 58000 dinara i to kada proizvodi jedan sto i dvanaest

stolica dnevno. Pored toga, vrednosti dodatnih i dualnih promenljivih su:

3 4 5 6

1 2 3 4

0, 132, 0, 0;

4000, 0, 2000, 0.

x x x x

y y y y

Probajte da date odgovor na sledeća pitanja. Šta možemo da zaključimo iz ovih

vrednosti? Da li sve promenljive imaju logično ekonomsko značenje ili ima

promenljivih koje nam nisu ni bitne?

12

35. Zadatak

Direktor jedne pošte je rešio da smanji broj zaposlenih poštara. Nakon što je

imao uvid u obim poslova došao je do zaključka koliko mu je poštara

neophodno za svaki dan u nedelji (podaci su prikazani u tabeli ispod). Pored

toga, zbog ugovora sa sindikatom svi njegovi poštari moraju da budu stalno

zaposleni kao i da svaki zaposleni poštar mora da ima 5 uzastopnih radnih dana

a nakon toga dva slobodna dana. Koliki je minimalni broj poštara koje direktor

mora da ima pod ugovorom u svojoj pošti? Postavite problem linearnog

programiranja pomoću kojeg bi došli do ovog broja.

Dan u sedmici Neophodan

broj poštara

Ponedeljak 17

Utorak 13

Sreda 15

Četvrtak 19

Petak 14

Subota 16

Nedelja 11

R e š e n j e

Definitivno najteži zadatak u ovom poglavlju. Pre nego što krenete u samo

rešavanje, probajte da na osnovu intuiticije procenite koliko bi rešenje otprilike

trebalo da iznosi. Najteži deo zadatka jeste da odredimo šta predstavljaju naše

promenljive. Većina nas će zadatak početi tako što će pretpostaviti da

promenljive predstavljaju broj poštara koje ćemo zaposliti svakoga dana. Time

bi funkcija cilja izgledala ovako:

1 2 3 4 5 6 7(min) .z x x x x x x x

Ograničenja bi onda bila 1 217, 13...x x Međutim, da li ćemo na ovaj način

da dobijemo tačno rešenje? Ako malo razmislimo shvatićemo da će nam

vrednost funkcije cilja ispasti veća nego što smo želeli. Minimalno rešenje se, u

stvari, u takvom zadatku, vidi napamet, jednako je

17 13 15 19 14 16 11 105.z

13

Intuitivno je jasno da ovo nije optimalno rešenje. Gde je nastao problem? Pa, u

činjenici da smo poštare koji rade ponedeljkom posmatrali odvojeno od poštara

koji rade, na primer, utorkom. Neophodno je da u naš problem ubacimo radno

vreme poštara – pet uzastopnih dana radno pa dva dana odmora. Kada je ovo

jasno, rešenje je već mnogo bliže. Posmatraćemo kada poštari rade, kojim

radnim danima, i u zavisnosti od toga imaćemo različite “klase” poštara koje će

predstavljati i naše promenljive. Razlikovaćemo ih po tome kojim danima rade

a kojim danima odmaraju:

1x - broj poštara koji rade u sledećim danima: ponedeljak, utorak, sreda,

četvrtak, petak;

2x - broj poštara koji rade u sledećim danima: utorak, sreda, četvrtak, petak,

subota;

3x - broj poštara koji rade u sledećim danima: sreda, četvrtak, petak, subota,

nedelja;

4x - broj poštara koji rade u sledećim danima: četvrtak, petak, subota, nedelja,

ponedeljak;

5x - broj poštara koji rade u sledećim danima: petak, subota, nedelja,

ponedeljak, utorak;

6x - broj poštara koji rade u sledećim danima: subota, nedelja, ponedeljak,

utorak, sreda;

7x - broj poštara koji rade u sledećim danima: nedelja, ponedeljak, utorak,

sreda, četvrtak;

Sada, malopređašnja funkcija cilja jeste odgovarajuća, dok će ograničenja za

svaki dan morati da uzmu u obzir sve one poštare koji rade na taj dan. Problem

linearnog programiranja prikazan je na sledećoj strani.

14

1 2 3 4 5 6 7

1 4 5 6 7

1 2 5 6 7

1 2 3 6 7

1 2 3 4 7

(min)

17

13

15

19

z x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

14

16

11

, , , , , , 0

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x x x

Ovaj zadatak možemo sada da rešimo koristeći odgovarajući softver. Pre nego

što dođemo do samog rešenja, razmislimo na trenutak šta očekujemo kao

rešenje ovog zadatka. Rešenje treba da nam odgovori na pitanje koliko je od

svake "klase" poštara neophodno zaposliti. Naravno, linearno programiranje

može da dođe i do rešenja kao što je 4,3 tako da je ovo zadatak gde je za samo

rešavanje neophodno koristiti celobrojno programiranje. Naravno, od vas se u

ovom zadatku tražilo samo da postavite problem. Mi ćemo svakako rešiti

zadatak kako bismo mogli da uporedimo rešenje sa rešenjem iz našeg prvog

pokušaja rešavanja, ali i da vidimo kakva je bila vaša intuicija.

Minimalni broj radnika koji pošta treba da zaposli je 23 (setite se, imali smo

rešenje 105 na početku). Rešenje je višestruko optimalno, i zaista, postoji veliki

broj tačnih rešenja. mi ćemo prikazati jedno od njih. Jedan od mogućih

rasporeda poštarama po "klasama" na sledeći način dovodi do optimalnog

rešenja:

1 2 3 4 5 6 76, 3, 2, 7, 1, 3, 1.x x x x x x x

Napomena: Problemi raspoređivanja ovog tipa predstavljaju jednu od

najzanimljivih primena matematičkog programiranja. Pokušajte sami da rešite

sledećih par zadataka.

36. Zadatak

Uporni direktor je nastavio da snižava svoje troškove. Poštare je počeo da

angažuje i preko studentske zadruge. Poštari koji rade preko zadruge zaposleni

su na određeno vreme, rade 4 sata dnevno i trošak pošte po satu rada iznosi 500

dinara. Poštari zaposleni puno radno vreme rade dnevno 8 sati. Trošak firme po

satu rada stalno zaposlenih poštara iznosi 1000 dinara. I dalje je ostao dogovor

15

sa sindikatom da poštari (bez obzira da li su zaposleni za stalno ili preko

studentske zadruge) moraju da rade pet dana uzastopno i da nakon toga

odmaraju dva dana. Pored toga, sindikat je uspeo da se izbori da rad poštara

zaposlenih preko zadruge bude ograničen na 25% ukupnih nedeljnih potreba za

radom. Formulišite problem linearnog programiranja koji minimizira nedeljne

troškove ove pošte. Nedeljna potreba za radom data je u tabeli ispod, ona je

sada samo data u radnim časovima kurira svakog dana.

Dan u sedmici

Neophodan

broj radnih

časova

Ponedeljak 136

Utorak 104

Sreda 120

Četvrtak 152

Petak 112

Subota 128

Nedelja 88

37. Zadatak

Šef policije glavnog grada Nambije odredio je broj policajaca koji treba da

patrolira centrom grada tokom sledećih četvoročasovnih perioda (tabela na

sledećoj strani). Svaki policajac radi dve uzastopne četvoročasovne smene.

Formulisati problem linearnog programiranja pomoću kojeg je šef policije

minimizirao broj policajaca koji će patrolirati centrom grada, naravno, uz uslov

da u svakom vremenskom periodu imamo neophodan broj policajaca na ulici.

Vreme Neophodan

broj policajaca

00:00 - 04:00 8

04:00 - 08:00 7

08:00 - 12:00 6

12:00 - 16:00 6

16:00 - 20:00 5

20:00 - 24:00 4

16

38. Zadatak

Sa druge strane, u Nedođiji, policajci rade dve šestočasovne smene. Poznat je

minimalan broj policajaca na ulici koji bi morali da patroliraju u svakoj od

četiri smene (tabela ispod). Policajci koji rade dve uzastopne smene su plaćeni

1200 NED-a po smeni, dok su oni koji rade dve, vremenski odvojene smene,

plaćeni 1800 NED-a po smeni. NED je nacionalna valuta u Nedođiji.

Formulišite problem linearnog programiranja pomoću kojeg ćete minimizirati

troškove policijske stanice neophodne za plaćanje policajaca.

Vreme Neophodan

broj policajaca

00:00 - 06:00 15

06:00 - 12:00 5

12:00 - 18:00 12

18:00 - 24:00 6