Tekstualni zadaci

'Anura' obrt za poduke

Strossmayerova 1a, Osijek

www.anura.hr

e-mail: [email protected], [email protected]

mob. 098-184-3163, 091-733-1635, 095-528-7269

Skripta iz kvantitativnih metoda za poslovno upravljanje

Tekstualni zadaci – linearno programiranje

Kristina Perdić

'Anura' obrt za poduke www.anura.hr - [email protected] Tina 098-184-3163, 091-733-1635, 095-528-7269

Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

2

KVANTITATIVNE METODE ZA POSLOVNO UPRAVLJANJE – LINEARNO

PROGRAMIRANJE – TEKSTUALNI ZADACI S ROKOVA

1. Ivan želi saznati koliko će se minuta moći koristiti uslugama CELEX-a i INFO92. 1 minuta korištenja CELEX-a košta 300 NJ, a INFO-a 100 NJ. Ivan smatra da iznos korisnosti (korisnost izražena subjektivno određenim bodovima) korištenja CELEX-a mora prekoračiti koristi korištenja INFO-a za najmanje 200 bodova. Budući da raspolaže sa samo 1000 NJ, troškovi korištenja, ali i korisnost izražena u bodovima su bitni. Koliko se minuta Ivan može koristiti uslugama ovih baza podataka pod uvjetom da želi minimalizirati troškove korištenja?

min z = x₁ + x₂ 300 x₁ + 100 x2 ≤ 1000 x₁ - x₂ ≥ 200 x₁ , x₂≥0 Zadatak nema rješenja! 2. Poduzeće proizvodi dva proizvoda, A i B. Opseg prodaje proizvoda A je barem 60% veći od ukupne prodaje

oba proizvoda. Oba proizvoda koriste istu sirovinu koja je dnevno na raspolaganju u količini od 100 kg. Proizvodi A i B koriste tu sirovinu u količini od 2 i 4 kg/jedinici, respektivno. Prodajna cijena za dva navedena proizvoda je respektivno 20, tj. 40 NJ/jedinici proizvoda. Odredite optimalnu alokaciju sirovine na ta dva proizvoda.

x₁ ≥ 60% (x₁ + x₂) x₁ ≥ 0,6 x₁ + 0,6 x₂ 0,4 x₁- 0,6 x₂ ≥ 0 → 2/5x₁ - 3/5x₂ ≥ 0 max z = 20x₁ + 40x₂ 2x₁ + 4x₂ ≤ 100 2/5x₁ - 3/5x₂ ≥ 0 x₁, x₂ ≥ 0 RJ: x₁=150/7, x₂=100/7, y₁,₂=0, max Z=100

Celex (x₁) Info (x₂) Kapacitet

300 100 ≤ 1000

1 -1 ≥ 200

1 1 min!

Proizvod A (x₁) Proizvod B (x₂) Ograničenja

2 4 ≤ 100

0,4 -0,6 ≥ 0

20 40 max!


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

3

3. Jedno poljoprivredno poduzeće želi na kompleksu zemljišta od 24 hektara uzgajati papriku, salatu i rajčicu. Ukoliko se uzgaja salata, tada se mora zasijati najmanje 6 ha s obzirom na položaj zemljišta ove kulture. Obrada se vrši poljoprivrednim strojevima, čiji je kapacitet najviše 100 sati rada. Za obradu jednog ha pod paprikom potrebno je 5 sati, pod salatom 4 sata, a pod rajčicom 8 sati rada. Paprika i rajčica se moraju gnojiti posebnim gnojem koga na skladištu ima 50 kg. Na jedan ha paprike treba baciti 5 kg i na 1 ha rajčice isto 5 kg gnojiva. Mora se obraditi svih 24 ha zemljišta. Na jednom ha se postiže 1500 NJ ako je zasijano paprikom, tj. rajčicom, a 1200 NJ ako je zasijano salatom. Na kojim površinama treba zasijati papriku, salatu i rajčicu da se ostvari maximalna dobit? Ostaje li neiskorištenog kapaciteta poljoprivrednih strojeva ili gnojiva?

Paprika Salata Rajčica Ograničenja

1 1 1 = 24 ha 0 1 0 ≥ 6 ha 5 4 8 ≤ 100 sati 5 0 5 ≤ 50 kg

1500 1200 1500 max! max z = 1500x₁ + 1200x₂ + 1500x₃ x₁ + x₂ + x₃ = 24 x₂ ≥ 6 5x₁ + 4x₂ + 8x₃ ≤ 100 5x₁ + 5x₃ ≤ 50 x₁,₂,₃ ≥ 0 RJ: x₁=4, x₂=20, x₃=0, t₁=0, y₂=14, y₃=0, y₄=30, max z = 30.000 4. Neki poznati liječnik tvrdi da može izliječiti prehladu posebnim pilulama. Te pilile se pojavljuju u dvije

veličine. Prva veličina sadrži: 1 jedinicu aspirina, 8 jedinica bikarbonata i 6 jedinica codeina, dok druga veličina sadrži 2 jedinice aspirina, 5 jedinica bikarbonata i 1 jedinicu codeina. U svojim istraživanjima liječnik je utvrdio da je u terapiji potrebno najmanje 12 jed. aspirina, 74 jed. bikarbonata i 24 jed. codeina. Odredite najmanji broj pilula koje će liječnik prepisati, a da se pridržava postavljenih zahtjeva.

Pilula 1 (x₁) Pilula 2 (x₂) Ograničenja

Aspirin 1 2 ≥12 Bikarbonat 8 5 ≥74

Codein 6 1 ≥24

1 1 min! min z= x₁ + x₂ x₁ + 2x₂ ≥ 12 8x₁ + 5x ₂≥ 74 6x ₁+ x ₂≥ 24 x₁,₂ ≥ 0 RJ: x₁=8, x₂=2, y₁,₂=0, y₃=26, min z = 10 5. Pogon jedne industrijske organizacije može proizvesti dva proizvoda A i B pod slijedećim tehnološkim

uvjetima: oba proizvoda obrađuju se po 1 str. sat/kom na stroju S čiji je dnevni kapacitet 9 str. sat i. Za proizvodnju se koristi sirovina R i to 2, tj. 3 kg/kom. Kako je to lako kvarljiva sirovina, potrebno je količinu od 30 kg koja se nabavlja dnevno utrošiti u potpunosti. Na doradi je do sada radilo 4 radnika. Za doradu jednog komada proizvoda A, tj. B potrebno je zaposliti po jednog radnika. Postavite model i odredite maximalnu dnevnu proizvodnju ovog pogona.


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

4

Proizvod A Proizvod B

Stroj S 1 1 ≤ 9 sati Sirovina R 2 3 = 30 kg

Radnici 1 1 ≤ 4

1 1 max! max z = x₁ + x₂ x₁ + x₂ = 9 2x₁ +3 x₂ = 30 x₁ + x₂ ≤ 4 x₁,₂ ≥ 0 Zadatak nema rješenja! 6. Za ishranu stoke može se upotrijebiti tri vrste stočne hrane, ali nije dozvoljeno da stoka pojede stočnu

hranu I i II u većoj količini od ukupno 12 kg dnevno. S druge strane stoka mora dobiti dnevno putem ishrane najmanje 40 jedinica vitamina V1 i najmanje 30 jedinica V2. Pojedina stočna hrana sadrži po kg slijedeći broj vitamina:

Stočna hrana

I II III

V1 1 1 4

V2 1 2 2

Jedan kg stočne hrane I može se nabaviti za 5,00 kn, stočne hrane II za 10,00 kn, a stočne hrane III za 16,00 kn. Treba pronaći mješavinu stočne hrane I, II i III pod uvjetom da troškovi prehrane budu minimalni.

I(x₁) II (x₂) III (x₃)

V₁ 1 1 4 ≥ 40 V₂ 1 2 2 ≥ 30

1 1 0 ≤ 12

5 10 16 min! min z = 5x₁ + 10x₂ + 16x₃ x₁ + x₂ + 4x₃ ≥ 40 x₁ + 2x₂ + 2x₃ ≥ 30 x₁ + x₂ ≤ 12 x₁,₂,₃ ≥ 0 RJ: x₁=8, x₂=4, x₃=7, y₁,₂,₃=0, min z = 192 7. Jedno poduzeće posjeduje 600 ha zemlje. Na 500 ha treba zasijati kukuruz, soju i pšenicu. Pola zasijane

površine je pod kukuruzom. Soju treba zasijati na manje od 200 ha. Omjer površine pod kukuruzom i pšenicom je 2:1. Troškovi su 20, 15 i 12 NJ respektivno. Odredite optimalnu alokaciju poljoprivrednih kultura, ako je cilj minimalizacija troškova.

Kukuruz (x1) Soja (x2) Pšenica (x3) Ograničenja

1 1 1 =500 ha 1 0 0 =250 ha 0 1 0 ≤200 ha 1 0 -2 =0

20 15 12 min!


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

5

Četvrtu restrikciju dobijemo ovako: x₁ : x₃=2 : 1 x₁=2x₃ x₁ - 2x₃=0 min z=20x₁ + 15x₂ + 12x₃ x₁ + x₂ + x₃ = 500 x₁ = 250 x₂ ≤ 200 x₁ - 2x₃ = 0 x₁,₂,₃ ≥ 0 RJ: x₁=250, x₂=125, x₃=125, t₁,₂,₄=0, y₃=75, min z = 8.375 8. Mala banka dijeli svotu od 20.000 NJ na kredite za osobnu potrošnju i stambene kredite. Svoj interes banka

iskazuje kroz godišnju kamatnu stopu koja za kredite za osobnu potrošnju iznos 14%, a za stambene kredite 12%. Oba kredita se moraju vratiti na kraju perioda od jedne godine. Svota stambenih kredita treba biti barem dvostruko veća od svote za osobnu potrošnju. Prošla iskustva govore da loša potraživanja iznose 1% od svih kredita za osobnu potrošnju. Kako treba raspodijeliti ukupnu svotu kredita?

loša potraživanja max z = 13/100x₁ + 12/100x₂ x₁ + x₂ = 20.000 -2x₁ + x₂ ≥ 0 x₁,₂ ≥ 0 RJ: x₁=20.000/3, x₂=40.000/3, y₁,₂=0, max z = 7400/3 9. Na jednom se stroju, radeći najviše 45 sati tjedno, mogu izrađivati tri različita proizvoda. Neto prihod po

proizvodima P1, P2 i P3 iznosi 40, 120 i 30 NJ respektivno. Za jedan sat stroj izradi 50 jedinica proizvoda P1, 25 jedinica proizvoda P2 i 75 jedinica P3. Prodaja je ograničena na najviše 1.000 jed. P1, 500 jed. P2 i 1.500 jed P3. Treba pronaći proizvodni program koji će maximizirati tjedni neto prihod.

P1 P2 P3 Kapacitet

1/50 1/25 1/75 ≤ 45 1 0 0 ≤ 1000 0 1 0 ≤ 500 0 0 1 ≤ 1500

40 120 30 max!

Osobna potrošnja (x1) Stambeni krediti (x2)

1 1 = 20.000

-2 1 ≥ 0

14% - 1%=13% 12% max!


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

6

max z = 40x₁ + 120x₂ + 30x₃ 1/50x₁ + 1/25x₂ + 1/75x₃ ≤ 45 x₁ ≤ 1000 x₂ ≤ 500 x₃ ≤ 1500 x₁,₂,₃ ≥ 0 RJ: x₁=250, x₂=500, x₃=1500, y₁,₃,₄=0, y₂=750, max z = 115.000 10. Klijent dolazi brokeru sa zahtjevom da želi investirati 100.000 NJ za maximalni godišnji prihod uz slijedeće

uvjete: a. ne treba investirati u više od tri različite dionice b. ne treba uložiti više od 40% novca u bilo koju od dionica c. treba uložiti minimalno 10.000 NJ u naftne dionice.

Broker je identificirao tri vrste dionica za investiranje. Njihov procijenjeni povrat i cijena po dionici dani su u tablici:

Dionica Cijena/dionica Povrat/dionica

Nafta 120 NJ 11NJ

Auto 52 NJ 4 NJ

Zdravlje 18 NJ 2 NJ

Formulirajte LP- model.

Nafta (x1) Auto (x2) Zdravlje (x3)

120 52 18 = 100.000 120 0 0 ≤ 40.000 0 52 0 ≤ 40.000 0 0 18 ≤ 40.000

120 0 0 ≥ 10.000

11 4 2 max! max z = 11x₁ + 4x₂ + 2x₃ 120x₁ + 52x₂ + 18x₃ = 100.000 120x₁ ≤ 40.000

52x₂ ≤ 40.000 18x₃ ≤ 40.000

120x₁ ≥ 10.000 x₁,₂,₃ ≥ 0 11. Jedna radionica kože proizvodi kožne torbe i kofere. Na torbama ostvaruje dobit od 400 NJ/kom, a na

koferima 200 NJ/kom. (Dobit na torbama je veća, jer je u njih uloženo više ručnog rada). Ugovorom se radionica obvezala da će trgovini mjesečno isporučiti točno 30 komada robe. Kožara snabdijeva radionicu mjesečno sa barem 80 m2 kože. Tu količinu kože radionica mora kupiti, ali može naručiti i više. Svaka torba zahtjeva 2 m2, a svaki kofer 8 m2 kože. Prema informacijama, vlasnik radionice zna da se ne može proizvesti više od 20 torbi mjesečno. Koliko bi torbi i kofera vlasnik trebao proizvesti da bi ostvario maximalnu dobit? Riješite zadatak simpleks metodom i grafičkim pristupom.


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

7

max z = 400x₁ + 200x₂ x₁ + x₂ = 30 2x₁ + 8x₂ ≥ 80 x₁ ≤ 20 x₁,₂ ≥ 0 RJ: x₁=1680, x₂=2100, y₁=5196, y₂,₃=0, y₄=4440, max z = 10.920 12. Manje novoosnovano poduzeće želi se predstaviti tržištu s dva vinska proizvoda: X1 i X2 koji se proizvode

od tri sorte grožđa. Tablica prikazuje potrebne sastojke – sorte grožđa (u %), raspoložive količine i cijenu (u NJ) po boci vina.

Sastojak X1 X2 Raspoloživa količina

(kg)

Cabernet Pinot Noir Barbera

30 60 10

20 20 60

6.120 1.428 1.428

Cijena po boci 4 2 max!

Pod pretpostavkom da svaka boca vina sadrži 1,2 kg grožđa, koliko boca vina obje vrste treba proizvesti kako bi se maximizirao ukupni profit?

x1 x2 Kapacitet

Cabernet 30/100 20/100 ≤ 6.120 kg Pinot Noir 60/100 20/100 ≤ 1.428 kg

Barbera 10/100 60/100 ≤ 1.428 kg 1,2 1,2 ≤ 8.976 kg

4 2 max! max z = 4x₁ + 2x₂ 3/10x₁ + 2/10x₂ ≤ 6.120 6/10x₁ + 2/10x₂ ≤ 1.428 1/10x₁ + 6/10x₂ ≤ 1.428 12/10x₁ + 12/10x₂ ≤ 8.976 x₁,₂ ≥ 0 RJ: x₁=1.680, x₂=2.100, y₁=5.196, y₂,₃=0, y₄=4.440, max z = 10.920 13. Jedna tvornica želi odrediti operativni plan proizvodnje u situaciji kada postoji mogućnost proizvodnje i

realizacije 4 proizvoda. Uvjeti proizvodnje odnosno plasmana su sljedeći: a. Svaki od 4 spomenuta proizvoda obrađuje se na stroju S: 3, 1, 4 odnosno 1 strojni sat respektivno

po jedinici proizvoda, dok je ukupni kapacitet stroja 12 sati.

Torbe (x1) Koferi(x2) Ograničenja

1 1 = 30

2 8 ≥ 80

1 0 ≤ 20

400 200 max!


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

8

b. Proizvodi P1, P3 i P4 moraju se dalje dorađivati na strugalici čiji je kapacitet 24 strojna sata i to 6, 2 odnosno 4 strojna sata respektivno po jedinici proizvoda.

c. Od proizvoda P2 i P4 zajedno se ne može prodati više od 6 jedinica na tržištu. Odredite optimalni program proizvodnje uz maximalnu ekonomičnost ako su prodajne cijene 2, 1, 3, odnosno 3 NJ; varijabilni troškovi su 1, 1, 1, odnosno 1 NJ po jedinici proizvoda, dok su ukupni fiksni troškovi 3 NJ. Analizirajte iskorištenost kapaciteta i odredite optimalnu ekonomičnost.

P1 P2 P3 P4 Kapacitet

Stroj S 3 1 4 1 ≤ 12 Strugalica 6 0 2 4 ≤ 24 Prodaja 0 1 0 1 ≤ 6

Prodaja C 2 1 3 3 Varij.trošak 1 1 1 1 max! Fiksni trošak 3

3x₁ + x₂ + 4x₃ + x₄ ≤ 12 6x₁ + 2x3 + 4x₄ ≤ 24 x₂ + x₄ ≤ 6 x1,2,3,4 ≥ 0 RJ: x1,2 = 0, x3 = 12/7, x4 = 36/7, y1,2 = 0, y3 = 6/7, max z = 48/23 14. U jednom rudniku radi 2.000 radnika i ostvaruju nisku godišnju proizvodnju od 6.000 NJ po radniku.

Management je odlučio da za dobiveni kredit od 8.000.000 NJ modernizira proizvodnju i nabavi dva stroja. Iz ponude proizvođača razabiru se elementi, koji trebaju poslužiti kao osnovica za nabavu tih strojeva.

Stroj A Stroj B

Cijena (NJ) 80.000 800.000

Broj radnika 10 20

Godišnja proizvodnja 80.000 320.000

Postavlja se pitanje za koji se stroj rudnik treba odlučiti, ukoliko je cilj postizanje što veće godišnje proizvodnje uz ograničenje da se broj radnika ne može povećavati, ali da radnici koji ne budu potrebni za rad na strojevima mogu i dalje raditi na stari način?

max z= 80.000x₁ + 320.000x₂ + 12.000.000 SLOBODNI ČLAN!! - pišemo ga u zadnji desni stupac!! (ne

mijenjamo predznak!) 80.000x₁ + 800.000x₂ ≤ 8.000.000 10x₁ + 20x₂ = 2.000 x₁,₂ ≥ 0 RJ: Zadatak nema rješenja!

Stroj A (x₁) Stroj B (x₂)

Cijena 80.000 800.000 ≤ 8.000.000

Radnici 10 20 = 2.000

Godišnja proizvodnja 80.000 320.000 max!

+ 2.000 x 6.000


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

9

15. Mala tvornica namještaja proizvodi stolove i stolice. Potrebno je dva sata za sastavljanje stola i 30 minuta za sastavljanje stolice. Posao sastavljanja obavljaju 4 radnika na bazi 8-satnog rada tijekom dana. Kupci obično kupuju najviše 4 stolice s jednim stolom što znači da tvornica mora proizvesti najviše 4 puta toliko stolica koliko proizvodi stolova. Prodajna cijena je 135 NJ po stolu i 50 NJ po stolici. Odredite dnevni proizvodni mix stolica i stolova koji će maximizirati ukupni dnevni prihod.

x₂ ≤ 4x₁ -4x₁ + x₂ ≤ 0 max z =135x₁ + 50x₂ 2x₁ + 1/2x₂ ≤ 32 -4x₁ + x₂ ≤ 0 x₁,₂ ≥ 0 RJ: x₁=8, x₂=32, y₁,₂=0, max z = 2080 16. Jedno je poduzeće dogovorilo isporuku proizvoda A i B svom stalnom kupcu. Oba proizvoda se izrađuju od

sirovine S koje treba utrošiti točno 200 kg. Za izradu jedne jedinice A potrebno je 4 kg sirovine S, a za izradu 2 jednice B potrebno je 1 kg sirovine. Proizvoda A treba barem 4 puta više nego proizvoda B. Ne može prodati više od 60 jedinica proizvoda B. Oba se proizvoda izrađuju na grupi strojeva G i to 4 jedinice A i 2 jedinice B za 1 radni sat strojeva G. Formulirajte LP model, ako je cilj ostvariti maksimalno iskorištenje kapaciteta grupe strojeva G izraženog u radnim satima. Riješite simplex metodom zadani problem.

A = 4B B ≤ 60

max z = 1/4x₁ + 1/2x₂ 4x₁ + 1/2x₂ = 200 x₁ - 4x₂ ≥ 0 x₂ ≤ 60 x₁,₂ ≥ 0 RJ: x₁=1600/33, x₂=400/33 17. Potrebno je pripremiti obrok koji mora sadržavati najmanje 400 vitaminskih jedinica po kilogramu obroka.

Za spravljanje obroka raspolažemo sa 4 vrste hrane (H1, H2, H3 i H4) koje u jednom kg sadrže 200, 100, 600 i 300 vitaminskih jedinica respektivno. Obrok ne smije sadržavati više od 40% hrane H2, niti više od 30% H1 i H2 zajedno. Cijene hrane po kg su 40, 70, 60 i 68 NJ, respektivno. Treba odrediti srazmjernost upotrebe hrane za spravljanje obroka u namjeri minimiziranja cijene obroka. Postavite LP-model te ga riješite simplex metodom.

Stol (x₁) Stolica (x₂) Kapacitet

Sastavljanje 2 h 0,5h 8h x 4 rad. ≤ 32 h

-4 1 ≤ 0

135 50 max!

A(x1) B(x2) Kapacitet

4 ½ = 200 kg

1 -4 ≥ 0

0 1 ≤ 60

1/4 1/2 max!


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

10

H1(x1) H2(x2) H3(x3) H4(x4) Kapacitet

200 100 600 300 ≥ 400 0 1 0 0 ≤ 40/100 1 1 0 0 ≤ 30/100

40 70 60 68 min! min z = 40x₁ + 70x₂ + 60x₃ + 68x₄ -200x₁ – 100x₂ – 600x₃ – 300x₄ ≤ -400 x₂ ≤ 2/5 x₁ + x₂ ≤ 3/10 x₁,2,3,4 ≥ 0 RJ: x₁,₂=0, x₃=2/3, x₄=0, min Z=40 18. Svakodnevni obrok mora sadržavati najmanje 160 jedinica hranjive materije A, 240 jedinica hranjive

materije B i 160 jedinica hranjive materije C. Sadržaj hranjivih materija zadan je tablicom:

H1 H2 H3

A 6 8 3

B 2 2 4

C 4 6 10

Poduzeće koje proizvodi te 3 vrste hrane želi ih proizvoditi u omjeru 1 : 3 : 1,5. Potrebno je sastaviti najjeftiniji dnevni obrok koji zadovoljava uvjete za hranjivim materijalima, ako 1 kg H1 košta 6, a H3 10 kn. Postavite model koji će riješiti zadani problem.

H1(x1) H2(x2) H3(x3) Kapacitet

6 8 3 ≥ 160 2 2 4 ≥ 240 4 6 10 ≥ 160 3 -1 0 = 0

1,5 0 -1 = 0

6 0 10 min! H1:H2:H3=1:3:1,5 H1:H2=1:3 → 3H1=H2 → 3H1-H2=0 - četvrta restrikcija H1:H3=1:1,5 → 1,5H1=H3 → 1,5H1-H3=0 - peta restrikcija min z = 6x₁ + 10x₃ 6x₁ + 8x₂ + 3x₃ ≥ 160 2x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≥ 240 4x₁ + 6x₂ + 10x₃ ≥ 160 3x₁ - x₂ = 0 3/2x₁ - x₃ = 0 x₁,₂,₃ ≥ 0 19. Međunarodni fond investira u kratkoročne trgovačke kredite, korporacijske dionice, zlatne zalihe i

konstrukcijske zajmove. Da bi ohrabrili diverzificiranje portfelja, management fonda je postavio ograničenja na svotu koja se može upotrijebiti kod svakog tipa investiranja. Međunarodni fond ima 5.000.000 € za neposredno investiranje i želi postići dvije stvari: (1) maximalizirati kamate na investicije koje


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

11

se dobivaju u slijedećih 6 mjeseci i (2) zadovoljiti skup ograničenja koja postavlja management fonda. Specifičnosti mogućih investiranja su:

INVESTICIJE KAMATE (%) MAX. INVESTIRANJA

Trgovački kredit 7 1.0

Korporacijske dionice 11 2.5

Zlatne zalihe 19 1.5

Konstrukcijski zajmovi 15 1.8

Management još specificira da barem 55% investiranje gotovine mora biti za zlatne zalihe i konstrukcijske zajmove, a ne manje od 15% se mora investirati u trgovački kredit. Formulirajte problem investicijskog odlučivanja međunarodnog fonda linearnim programiranjem i riješite ga.

KTK(x1) KD(x2) ZZ(x3) KZ(x4) Kapacitet

1,0 2,5 1,5 1,8 = 5.000.000 0 0 1 1 ≥ 55% od 5.000.000 1 0 0 0 ≥ 15% od 5.000.000

7 11 19 15 max! 55% od 5.000.000 = 2.750.000 15% od 5.000.000 = 750.000 max z = 7x₁ + 11x₂ + 19x₃ + 15x₄ x₁ + 5/2x₂ + 3/2x₃ + 9/5x₄ = 5.000.000 x₃ + x₄ ≥ 2.750.000 x₁ ≥ 750.000 x₁,₂,₃ ≥ 0 RJ: x₁=0, x₂=0, x₃=2,75, x₄=0, y₁=0,875, y₂=0, y₃=1,5, max Z=52,25 20. Zrakoplovna kompanija želi maximizirati prihod koji ostvaruje u prijevozu dvije vrste tereta: osjetljivog

tereta i običnog tereta. Za prijevoz osjetljivog tereta ne dobiva nikakvu potporu. Kompanija se složila da ipak preveze barem 5 tona osjetljivog tereta. Osjetljivi teret se mora prevoziti u kabini pod tlakom dok za obični teret to nije uvjet. Kabina za obični teret ima kapacitet od 20 tona. U kabinu pod pritiskom ne može stati više od 10 tona tereta. Zrakoplov ima ograničenje u pogledu tereta koje ne dozvoljava prijevoz više od 28 tona tereta. Da bi se održala ravnoteža tereta, teret u kabini pod pritiskom mora biti jednak ili manji od dvije trećine običnog tereta plus jedna tona. Kompanije dobiva 1000 NJ po toni za oba tipa tereta koje prevozi. Formulirajte problem LP i riješite ga.

Os.teret(x1) Ob.teret(x2) Kapacitet

3 -2 ≤ 2 0 1 ≤ 20 t 1 0 ≤ 10 t 1 1 ≤ 28 t 1 0 ≥ 5 t

1000 1000 max! Prva restrikcija: os.t. ≤ 2/3(ob.t. + 1 t)

os.t. ≤ 2/3ob.t. + 2/3 /*3 3os.t. – 2ob.t. ≤ 2


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

12

max z = 1000x1 + 1000x2 x1 ≥ 5 x2 ≤ 20 x1 ≤ 10 x1 + x2 ≤ 28 3x1 – 2x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 RJ: max z = 28.000 max! višestruki maximum (graf!) 21. Jedna kompanija proizvodi dva tipa šešira. Svaki šešir prvog tipa zahtijeva dvostruko toliko rada koliko šešir

drugog tipa. Ako su svi šeširi samo drugog tipa kompanija može proizvesti ukupno 500 šešira dnevno. Tržište ograničava dnevnu prodaju prvog tipa šešira na 150, a drugog na 200. Pretpostavimo da je dobit na šeširu prvog tipa 8 NJ, a na drugom tipu 5 NJ. Odredite broj šešira da bi se ostvarila maximalna dobit.

max z = 8x₁ + 5x₂ 2x₁ + x₂ = 500 x₁ ≤ 50 x₂ ≤ 200 x1, x2 ≥ 0 RJ: x₁150, x₂=200, t₁, y₂, y₃=0, max z = 2.200 22. Neka firma proizvodi dvije vrste šešira. Svaki šešir druge vrste zahtijeva dva puta koliko vremena koliko

šešir prve vrste. Ako su svi šeširi prve vrste, firma može proizvesti ukupno 500 šešira dnevno. Tržište ograničava prodaju šešira prve i druge vrste na 150 odnosno 200 komada dnevno. Pretpostavimo da je dobit na šeširu prve vrste 8 NJ, a druge vrste 5 NJ. Izračunajte broj šešira svake vrste koji će maximizirati ukupnu dobit.

max z = 8x₁ + 5x₂ x₁ +2x₂ = 500 x₁ ≤ 50 x₂ ≤ 200 x1, x2 ≥ 0 RJ: x₁=150, x₂=200, t₁, y₂, y₃=0, max Z=2.200

Š1(x1) Š2(x2) Kapacitet

2 1 = 500

1 0 ≤ 150

0 1 ≤ 200

8 5 max!

Š1(x1) Š2(x2) Kapacitet

1 2 = 500

1 0 ≤ 150

0 1 ≤ 200

8 5 max!


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

13

23. Tvornički restoran želi uz najniže troškove osigurati kvalitetnu prehranu radnika. U tom cilju vrši izbor mesa koje će upotrijebiti za dnevnu prehranu. U obzir dolaze tri vrste mesa: govedina, svinjetina i piletina. Zavisno od broje radnika i hranjivih normi, restoran mora upotrijebiti za dnevnu prehranu najmanje 120 kg mesa bez obzira na vrstu. Ukupna količina mesa upotrebljena za dnevnu prehranu mora sadržavati: najmanje 160 jedinica hranjivog elementa E1, najmanje 160 jedinica hranjivog elementa E2 i najmanje 120 jedinica hranjivog elementa E3. Hranjivi elementi se nalaze u 1 kg mesa i to:

Vrsta mesa

E1 E2 E3

Govedina 1 2 3

Svinjetina 2 4 2

Piletina 3/2 2 0

Na tržištu se može nabaviti 1 kg govedine za 15 NJ, svinjetine za 18 NJ i piletine za 9 NJ. Postavite model i izračunajte optimalnu količinu pojedine vrste mesa koja će minimizirati troškove prehrane.

Govedina(x1) Svinjetina(x2) Piletina(x3) Kapacitet

1 1 1 ≥ 120 kg E1 1 2 3/2 ≥ 160 kg E2 2 4 2 ≥ 160 kg E3 3 2 0 ≥ 120 kg

15 18 9 min!

RJ: x₁=40, x₂=0, x₃=80, y₁,₃,₄=0, y₂=80, z = 1320 min

24. Jedno poduzeće proizvodi dva proizvoda, A i B. Na proizvodu A ostvaruje dobit od 1200 NJ po komadu, a na prizvodu B 600 NJ po komadu. Poduzeće se obvezalo ugovorom da će mjesečno isporučivati trgovini točno 90 komada proizvoda. Dobavljači snabdjevaju poduzeće sa barem 270 m2 sirovine potrebne za proizvodnju proizvoda A i B . Proizvod A i B koriste tu sirovinu u količini od 6 m2 i 24 m2, respektivno. Prema informacijama, vlasnik poduzeća zna da ne može proizvoditi više od 60 proizvoda A mjesečno.

A (x1) B (x2) Kapacitet

Količina 1 1 = 90 kom Sirovina 6 m2 24 m2 ≥ 270 m2 1 0 ≤ 60 kom

1200 NJ 600 NJ max! max z = 1200 x1 + 600 x2 x1 + x2 = 90 6x1 + 24 x2 ≥ 270 x1 ≤ 60 x1, x2 ≥ 0


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

14

25. Jedna agencija koja se bavi oglašavanjem treba odlučiti koliko novca od klijentove ukupno raspoložive svote (4.000 NJ) potrošiti na svaki od tri časopisa: A, B i C. Da bi vrednovali potencijalni utjecaj što ti časopisi mogu imati na čitatelje obzirom na njihove godine, razinu prihoda, spol i razinu obrazovanja, proveli su jedno testiranje. Nakon obrade prikupljenih podataka, formirali su takozvani index efikasnosti za svaki časopis. Za časopise A, B i C indexi su 0.45, 0.4 i 0.5, respektivno. Množenjem indexa s brojem tiskanih primjeraka svakog pojedinog časopisa (za časopis A 800 tiskanih primjeraka, za B 1200 te C 1600 primjeraka), dobivaju se koeficijenti funkcije cilja primjereni svakom časopisu. Svaka stranica oglašavanja u časopisu A, B i C uvjetuje troškove od 200, 100 i 400 NJ, respektivno. Agencija mora ispuniti i dodatni zahtjev svog klijenta, prema kojem mora biti najmanje 2 stranice oglasa uključeno u časopis B. Iako je index najmanji za časopis B, klijent je mišljenja da je riječ o najperspektivnijem časopisu. Formulirajte model LP problem koji će maksimalizirati koeficijente fukcije cilja pri navedenim zahtjevima, te ga riješite simpleks metodom!

A(x1) B(x2) C(x3) Kapacitet

Troškovi 200 100 400 = 4000 NJ 0 1 0 ≥ 2

360 480 800 max! max z = 360x1 + 480x2 + 800x3 200x1 + 100x2 + 400x3 = 4000 x2 ≥ 2 x1,2 ≥ 0 Rj: x1 = 0, x2 = 40, x3 = 0, t1 = 0, y2 = 38, max z =19.200 26. Studentica je odlučila užinu kupiti u pekarnici.Odlučila je utažiti glad kolačima koji koštaju 5kn po komadu i

pecivom sa sirom koja koštaju 8kn po komadu. Pekarnici je potrebno 10g čokolade i 10g sira za jedan kolač

te 30g sira za jedno pecivo sa sirom. Studentica smatra da bi dobro bilo kada bi užinom unijela barem 20g

čokolade i 50g sira. Studentica želi kupiti užinu po što manjoj ukupnoj cijeni. Koliko kolača da kupi, a koliko

peciva sa sirom? Također, nađite optimalne razine cijena čokolade i sira po kojima bi ih dobavljač trebao

ponuditi pekarnici tako da ih ona kupi, a uz koje će dobavljač maksimalizirati svoju dobit.

Kolači (x1) Pecivo (x2) Kapacitet

Čokolada 10 g 0 g ≥ 20 g

Sir 10 g 30 g ≥ 50 g

5 kn 8 kn min!

min z = 5x1 + 8x2

10x1 ≥ 20

10x1 + 30x2 ≥ 50

x1, x2 ≥ 0 Rješenja: x1 = 2, x2 = 1, y1, y2 = 0, min z = 18

Studentica treba kupiti 2 kolača i 1 pecivo i pri tome će joj troškovi biti 18 kn.

Optimalne razine cijena čokolade i sira:

a. Čokolada: 7/30 kn/g ≈ 0,23 kn/g ili 230 kn/kg

b. Sir: 4/15 kn/g ≈ 0,26 kn/g ili 260 kn/kg


Kva

ntita

tivne

met

ode

za p

oslo

vno

upra

vlja

nje

– Li

near

no p

rogr

amir

anje

– T

ekst

ualn

i zad

aci s

rok

ova

15

27. Jedna osiguravajuća kuća planira investirati u obveznice,dionice i druge financijske instrumente. Na početku će sljedeće godine raspolagati sa 600.000,00 kn koje može investirati u opcije OP1,OP2,OP3 i OP4. Očekivani godišnji prinosi na te opcije su redom 0.05, 0.08, 0.06 i 0.1. Faktor rizika na jednu investiranu kunu je mjera kojom se mjeri neizvjesnost (vrijednost 0 znači da nema rizika,1 znači da investitor može izgubiti sve). Faktori rizika za opcije u koje se investira su redom 0.025, 0.04, 0.035 i 0.07. Nijedno ulaganje ne smije prijeći gornju granicu od 200.000,00 kn. Management želi povrat od najmanje 8 % raspoloživog iznosa, ali želi minimizirati rizik kojim će se povrat ostvariti.

a. Formulirajte problem kao problem linearnog programiranja i riješite simpleks metodom. b. Može li se investirati 250.000,00 kn u OP1? Obrazloži! c. Koji su kapaciteti u potpunosti iskorišteni ovom kombinacijom ulaganja? d. Gdje ima neiskorištenih kapaciteta?

a)

OP1 OP2 OP3 OP4 Kapacitet

Uk. svota 1 1 1 1 = 600.000 Prinos 0,05 0,08 0,06 0,1 ≥ 48.000

1 0 0 0 ≤ 200.000 0 1 0 0 ≤ 200.000 0 0 1 0 ≤ 200.000 0 0 0 1 ≤ 200.000

0,025 0,04 0,035 0,07 min! min z = 1/40x1 + 1/25x2 + 7/200x3 +7/100x4 x1 + x2 + x3 + x4 = 600.000 1/20 x1 + 2/25x2 + 3/50x3 + 1/10x4 ≥ 48.000 x1 ≤ 200.000 x2 ≤ 200.000 x3 ≤ 200.000 x4 ≤ 200.000 x1,2,3,4 ≥ 0 Rj: x1 = 0, x2 = 200.000, x3 = 200.000, x4 = 200.000, t1 = 0, y2 = 0, y3 = 200.000, y4 = 0,

y5 = 0, y6 = 0, min z = 29.000 b) U OP1 se ne može uložiti 250.000,00 kn jer je ograničenje 200.000,00 kn. c) U potpunosti je iskorištena raspoloživa svota za investicije od 600.000 kn (t1 = 0), ograničenje prinosa (y2 =

0), te ograničenja za OP2, OP3 i OP4 (y4,5,6 = 0). d) Neiskorišteni su kapaciteti za OP1 u iznosu od 200.000,00 kn jer je y3 = 200.000.

Documents

Tekstualni zadaci