Upload
doliem
View
230
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
i
DOMINASI DALAM GRAF
MAKALAH
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
I Gusti Bagus Yosia Wiryakusuma
103114006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
DOMINATION IN GRAPHS
PAPER
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
in Mathematics Study Program
By :
I Gusti Bagus Yosia W
103114006
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Ora et labora”
-Mother Teresa-
“Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu akan
menerimanya”
-Matius 21:22-
“Seorang prajurit yang sedang berjuang tidak memusingkan dirinya dengan soal-
soal penghidupannya, supaya dengan demikian ia berkenan kepada
komandannya”
-2 Timotius 2:4-
“Jagalah hatimu dengan segala kewaspadaan, karena dari situlah terpancar
kehidupan”
-Amsal 4:23-
Tugas akhir ini kupersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus,
Kedua orangtua, I G. N. Wiryawan B. dan Debora Ratnawati Y.,
Adik-adikku, I G. A. Gracia W. dan I G. N. Yonatan W.,
Khusfika Stifani,
Dan teman-teman Matematika 2010 USD.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
I Gusti Bagus Yosia Wiryakusuma. 2015. Dominasi Dalam Graf.
Makalah. Program Studi Matematika, Jurusan Matemaika, Fakultas Sains
dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Dominasi dalam graf merupakan salah satu cabang ilmu dalam teori graf
yang mempelajari tentang himpunan yang mendominasi, atau dengan kata lain
dominasi dalam graf mempelajari banyaknya titik yang dapat mendominasi graf
tersebut. Himpunan yang mendominasi terdiri dari beberapa bagian, seperti
himpunan yang mendominasi minimum dan himpunan yang mendominasi bebas.
Dalam penerapannya, dominasi dalam graf merupakan cara untuk
meletakkan titik-titik penting dalam suatu graf yang melambangkan hubungan
antar kota, seperti meletakkan fasilitas-fasilitas kesehatan dalam suatu provinsi
atau kabupaten.
Kata kunci : graf, teori graf, dominasi, himpunan yang mendominasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
I Gusti Bagus Yosia Wiryakusuma. 2015. Domination In Graphs. A
Paper. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of
Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
Domination in graph is one branch of graph theory that studies on the
dominating set, or in other words the domination in graph learn the number of
vertices that can dominate the graph. The dominating set consists of several parts,
such as minimum dominating set and independent dominating set.
In its application, domination in graph is a way to put the important
vertices in a graph which symbolizes the relationship between the city, such as
putting the health facilities in a province or district.
Keywords : graph, graph theory, domination, dominating set
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat-Nya sehingga
tugas akhir ini dapat diselesaikan dengan baik. Banyak tantangan dalam
penyelesaian tugas akhir ini, namun atas berkat dan rahmat-Nya, dan dukungan
dari berbagai pihak, akhirnya tugas akhir ini bisa diselesaikan dengan baik.
Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih atas segala
bimbingan dan dukungan kepada:
1. Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing
Tugas Akhir.
2. Bapak Y. G. Hartono, Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika
Universitas Sanata Dharma dan Dosen Penguji Tugas Akhir.
3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing
Akademik dan Dosen Penguji Tugas Akhir.
4. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.
5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata
Dharma.
6. Keluarga tercinta, kedua orangtuaku, I G. N. Wiryawan B. dan Debora
Ratnawati Y., kedua adikku, I G. A. Gracia W. dan I G. N. Yonatan W.
7. Khusfika Stifani yang selalu mendukung dengan kasih.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
8. Teman-teman Matematika 2010 USD, Arga, Ayu, Celly, Tika, Agnes,
Roy, Ratri, Yohan, Pandu, Sari, Leny, Astri, Marsel, Dini.
9. Kakak-kakak angkatan 2006, 2007, 2008, 2009, dan adik-adik angkatan
2011, 2012, 2013, 2014.
10. Semua pihak yang membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini
yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam tugas akhir ini. Oleh
karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun dan
menyempurnakan tugas akhir ini. Akhirnya, penulis berharap agar tugas akhir ini
dapat memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.
Yogyakarta, 20 Januari 2015
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA ....................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ......................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... v
PERNYATAAN KEASLIAAN KARYA ............................................................ vi
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .......................... vii
ABSTRAK .......................................................................................................... viii
ABSTRACT .......................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ........................................................................................... x
DAFTAR ISI ........................................................................................................ xii
BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1
A. Latar Belakang ......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................... 6
C. Batasan Masalah ...................................................................................... 6
D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 6
E. Metode Penulisan ..................................................................................... 7
F. Manfaat .................................................................................................... 7
G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 7
BAB II DASAR-DASAR TEORI GRAF ............................................................ 9
A. Teori Graf ................................................................................................ 9
B. Graf Bagian ............................................................................................ 16
C. Macam-macam Graf .............................................................................. 17
D. Operasi Pada Graf .................................................................................. 21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
E. Keterhubungan Dalam Graf ................................................................... 30
BAB III DOMINASI DALAM GRAF ............................................................... 32
A. Konsep Dominasi ................................................................................... 32
B. Himpunan Yang Mendominasi .............................................................. 33
C. Himpunan Yang Mendominasi Bebas ................................................... 35
D. Teorema Tentang Dominasi Dalam Graf ............................................... 38
E. Teorema Tentang Bilangan Dominasi Bebas Dari Suatu Graf .............. 54
F. Parameter Dominasi Lainnya ................................................................. 58
G. Aplikasi .................................................................................................. 64
BAB IV PENUTUP ............................................................................................. 68
A. Kesimpulan ............................................................................................ 68
B. Saran ...................................................................................................... 70
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 71
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang, perumusan masalah,
serta tujuan, metode dan manfaat penulisan makalah, selain itu juga akan dibahas
mengenai sistematika penulisan.
A. LATAR BELAKANG
Dominasi dalam bahasa Indonesia mempunyai arti penguasaan oleh pihak
yang lebih kuat terhadap yang lebih lemah, atau secara umum dapat diartikan
sebagai penguasaan atas seseorang ataupun suatu hal. Demikian pula pengertian
dominasi dalam kehidupan sehari-hari adalah penguasaan pihak yang kuat
terhadap pihak yang lebih lemah, contohnya dominasi dalam suatu turnamen
pertandingan sepak bola. Tim yang kuat akan lebih menguasai jalannya suatu
pertandingan dibandingkan tim yang lemah. Konsep dominasi tersebut juga dapat
ditemukan dalam ilmu matematika, yaitu dalam teori graf.
Menurut catatan sejarah, pada tahun 1736, masalah jembatan Königsberg
adalah masalah yang pertama kali diselesaikan dengan menggunakan graf. Di kota
Königsberg yang berada di Jerman, terdapat sungai Pregal yang mengalir melalui
kota tersebut. Sungai Pregal tersebut mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang
menjadi 2 buah anak sungai. Di kota Königsberg terdapat 7 buah jembatan yang
menghubungkan daratan yang terbelah oleh sungai Pregal. Pada jaman itu,
penduduk kota mencoba berpikir apakah mungkin melalui ketujuh jembatan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
tersebut hanya dengan sekali jalan tanpa melalui jembatan yang sama. Sebagian
penduduk berpikir bahwa tidak mungkin melalui ketujuh jembatan tersebut hanya
dengan sekali jalan tanpa melalui jembatan yang sama. Namun, mereka tidak
dapat menjelaskan alasannya, selain dengan cara coba-coba melalui ketujuh
jembatan tersebut. Pada tahun 1736, Leonhard Euler, seorang matematikawan
Swiss berhasil menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan graf dan
didapatkan kesimpulan bahwa tidak mungkin melalui ketujuh jembatan tersebut
hanya dengan sekali jalan tanpa melalui jembatan yang sama.
Gambar 1.1
Hubungan antar titik atau dalam ilmu matematika yang sering disebut
dengan teori graf sebenarnya sudah sering ditemukan dalam kehidupan sehari-
hari. Salah satu contoh penerapan teori graf dalam kehidupan sehari-hari adalah
dibangunnya suatu jalan besar (highway) yang menghubungkan beberapa kota.
Penerapan ini mengaplikasikan teori graf untuk menjelaskan hubungan antar titik,
misalnya tentang jalur antar kota dengan jarak terpendek, pengambilan keputusan
untuk membangun pusat-pusat layanan masyarakat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Teori graf memiliki beberapa bagian seperti dominasi dalam graf. Pada
tahun 1958, Claude Berge memperkenalkan bilangan dominasi dalam graf.
Sebuah graf merupakan himpunan yang elemen-elemenya disebut dengan titik
(node/vertex) yang dihubungkan oleh garis-garis yang disebut rusuk (edge).
Sebuah titik dikatakan berhubungan dengan titik jika ada suatu ruas garis
yang menghubungkan kedua titik tersebut. Dalam graf , sebuah himpunan
adalah himpunan yang mendominasi (dominating set) jika setiap titik
yang berada di himpunan , berada di himpunan atau berhubungan dengan
suatu titik dalam himpunan , dimana merupakan himpunan titik-titik dari
suatu graf. Bilangan dominasi (domination number) adalah kardinalitas
terkecil dari sebuah himpunan yang mendominasi. Dimana kardinalitas sebuah
himpunan berhingga adalah banyaknya anggota dalam himpunan tersebut.
Penerapan dominasi dalam graf dalam kehidupan sehari-hari sering
dijumpai dalam masyarakat. Sebagai contoh adalah penempatan satpam dalam
sebuah museum. Demi menjaga lukisan-lukisan yang berharga, maka pihak
keamanan museum akan menempatkan satpam di ruang pameran dalam berbagai
macam variasi tempat. Sebagai asumsi seorang satpam dapat mengawasi lorong
yang menuju tempat lukisan dipamerkan dari tempat ia berada. Rumusan masalah
yang dapat diambil dari kasus tersebut adalah berapa jumlah satpam minimal yang
harus ditempatkan dalam ruang pameran lukisan namun tidak mengurangi tingkat
keamanan ruangan? Dalam kasus ini, dominasi seorang satpam dalam mengawasi
atau menguasai beberapa lorong dalam gedung tersebut sangat diperlukan.
Pemikiran minimalisasi jumlah satpam yang digunakan dapat menekan biaya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
operasional dari museum sehingga manfaat dari aplikasi dominasi dalam graf
dapat dirasakan langsung dalam kehidupan sehari-hari.
Gambar 1.1
Misalkan titik , , , dan adalah titik-titik dimana satpam harus
ditempatkan, dan garis-garis yang menghubungkan titik-titik tersebut merupakan
lorong-lorong yang harus diperhatikan oleh satpam. Dengan menggunakan teori
graf, didapatkan bahwa minimal diperlukan tiga orang satpam untuk ditempatkan
pada titik-titik tersebut. Misalkan tiga orang satpam tersebut ditempatkan di titik
, dan , maka satpam di titik dapat memperhatikan lorong yang
menghubungkan titik dengan titik dan titik dengan titik , sedangkan
satpam di titik dapat memperhatikan lorong yang menghubungkan titik
dengan titik dan titik dengan titik , sehingga satpam di titik dapat
memperhatikan lorong yang menghubungkan titik dengan titik dan titik
dengan titik .
Contoh lain dalam penggunaan dominasi dalam graf adalah penempatan
fasilitas kesehatan dalam beberapa kota. Andaikan sebuah kabupaten yang
memiliki beberapa kota yang dihubungkan oleh jalan besar (highway) ingin
membangun fasilitas kesehatan dengan biaya seminimal mungkin tetapi dapat
memenuhi semua kebutuhan kota-kota yang terdapat dalam kabupaten tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
Maka berapa jumlah minimal kota yang harus dibangun fasilitas kesehatan dan di
kota mana saja harus di bangun fasilitas tersebut?
Gambar 1.2
Misalkan titik , , , , , , dan melambangkan delapan kota besar
dalam kabupaten tersebut yang dihubungkan oleh jalan-jalan besar (highway)
seperti pada gambar. Dengan menggunakan dominasi dalam graf, persoalan
tersebut akan lebih mudah ditemukan solusinya. Dengan membangun fasilitas
kesehatan di kota dan , maka kebutuhan semua kota akan dapat dipenuhi. Dari
kota , fasilitas kesehatan tersebut dapat mengirimkan bantuan ke kota itu
sendiri, ke kota , dan . Sedangkan dari kota , fasilitas kesehatan tersebut
dapat menjangkau kota , , dan kota itu sendiri. Sehingga banyaknya
fasilitas kesehatan yang dapat dibangun seminimal mungkin ada dua, yaitu
ditempatkan di kota dan . Praktisnya, dominasi dalam graf dalam kasus ini,
digunakan untuk meminimalkan jumlah kota yang harus dibangun fasilitas
kesehatan.
Berdasar uraian di atas, dalam tugas akhir ini akan dibahas tentang
dominasi dalam graf beserta sifat-sifatnya dan penerapannya dalam kehidupan
sehari-hari.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
B. RUMUSAN MASALAH
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu:
1. Apa yang dimaksud dengan dominasi dalam graf dan bagaimana contoh
penerapan dari dominasi dalam graf?
2. Sifat-sifat apa sajakah yang berlaku dalam masalah dominasi dalam graf
dan bagaimana pembuktiannya?
3. Apa saja yang menjadi parameter dominasi dan hubungan masing-masing
parameter tersebut?
C. PEMBATASAN MASALAH
Konsep-konsep yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah konsep
mengenai dominasi dalam graf beserta sifat-sifatnya sampai dengan
penerapannya, sedangkan hal-hal di luar topik tersebut, seperti fungsi yang
mendominasi, dominasi kompleks, dan frameworks of domination tidak
dibahas.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini yaitu:
1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan dominasi dalam graf beserta
penerapannya.
2. Mengetahui sifat-sifat yang berlaku dalam dominasi dalam graf beserta
buktinya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
3. Mengetahui parameter dominasi dan hubungan masing-masing parameter
tersebut.
E. METODE PENULISAN
Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka dengan
mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan konsep-konsep dominasi dalam
graf dan penerapannya.
F. MANFAAT PENULISAN
Manfaat penulisan makalah ini adalah memperoleh pengetahuan mengenai
konsep-konsep dominasi dalam graf dan penerapannya dalam bidang di luar
matematika.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I PENDAHULUAN
H. Latar Belakang
I. Rumusan Masalah
J. Batasan Masalah
K. Tujuan Penulisan
L. Metode Penulisan
M. Manfaat
N. Sistematika Penulisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II DASAR-DASAR TEORI GRAF
F. Teori Graf
G. Graf Bagian
H. Macam-macam Graf
I. Operasi Pada Graf
J. Keterhubungan Dalam Graf
BAB III DOMINASI DALAM GRAF
H. Konsep Dominasi
I. Himpunan Yang Mendominasi
J. Himpunan Yang Mendominasi Bebas
K. Teorema Tentang Dominasi Dalam Graf
L. Teorema Tentang Bilangan Dominasi Bebas Dari Suatu
Graf
M. Parameter Dominasi Lainnya
N. Aplikasi
BAB IV PENUTUP
C. Kesimpulan
D. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
BAB II
DASAR-DASAR TEORI GRAF
A. TEORI GRAF
Definisi 2.1
Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan , yang dalam hal
ini adalah himpunan tidak kosong dari titik-titik, yaitu { }
dan adalah himpunan rusuk yang menghubungkan sepasang titik, yaitu
{ }, atau dapat ditulis dengan notasi . Bila rusuk
menghubungkan titik dan maka dapat ditulis .
Contoh 2.1
Gambar 2.1 menyatakan graf dengan:
{ }
{ }
Gambar 2.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Definisi 2.2
Dua buah titik pada graf dikatakan berhubungan bila keduanya
terhubung langsung oleh suatu rusuk.
Untuk sebarang rusuk , rusuk dikatakan bersisian dengan titik
dan titik .
Contoh 2.2
Pada gambar 2.1, titik berhubungan dengan titik , tetapi titik tidak
berhubungan dengan titik .
Definisi 2.3
Misalkan dan adalah himpunan titik-titik dalam graf ,
kardinalitas dari didefinisikan sebagai banyaknya titik dalam , dan
dinotasikan dengan | |.
Contoh 2.3
Pada gambar 2.1 kardinalitas dari adalah 8 atau | | .
Definisi 2.4
Misal adalah graf, dan adalah titik-titik dalam graf , jalan
dari didefinisikan sebagai barisan titik-titik dan rusuk-rusuk yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
dimulai dari dan diakhiri dengan sedemikian sehingga titik-titik dan
rusuk-rusuk yang berurutan saling bersisian.
Sebuah jalan tanpa titik yang berulang disebut lintasan dan lintasan yang
menghubungkan titik dan disebut lintasan .
Lintasan tertutup atau siklus adalah lintasan yang dimulai dari dan
diakhiri dengan .
Contoh 2.4
Pada gambar 2.1, jalan beberapa diantaranya adalah:
Sedangkan lintasan adalah
Siklus dari gambar 2.1 salah satunya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.5
Suatu fungsi disebut fungsi one-to-one (satu-satu) jika hanya
jika , .
Contoh 2.5
Misal dengan { } dan { }, yang
didefinisikan dengan
maka fungsi merupakan fungsi yang one-to-one.
Definisi 2.6
Suatu fungsi disebut fungsi onto jika hanya jika ,
, .
Contoh 2.6
Misal dengan { } dan { }, yang
didefinisikan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
maka fungsi merupakan fungsi yang onto.
Definisi 2.7
Graf dan dikatakan isomorfis, dinotasikan dengan , jika
terdapat fungsi satu-satu (one-to-one) dan onto
sedemikian hingga setiap pasangan titik dan berhubungan dalam
jika dan hanya jika dan berhubungan dalam . Fungsi yang
memenuhi syarat tersebut disebut isomorfisma dari ke .
Contoh 2.7
Gambar 2.2
Graf dan pada gambar 2.2 merupakan graf yang isomorfis.Dengan
, , , , dan atau ,
, , , dan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Definisi 2.8
Misalkan adalah suatu titik dalam graf , derajat dari titik atau
adalah banyaknya rusuk yang bersisian dengan titik .
Sedangkan derajat minimum dinotasikan dengan adalah derajat
terkecil dari titik-titik dalam dan derajat maksimum dinotasikan dengan
adalah derajat terbesar dari titik-titik dalam .
Contoh 2.8
Pada gambar 2.1 didapatkan
Sehingga dan .
Definisi 2.9
Misalkan adalah suatu titik dalam graf , merupakan titik ujung jika
memiliki derajat satu. Dan merupakan titik terasing jika memiliki
derajat nol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Contoh 2.9
Gambar 2.3
Dari gambar 2.3 didapatkan , maka titik adalah titik ujung
dari graf tersebut, dan , maka titik merupakan titik terasing.
Definisi 2.10
Misalkan adalah graf. Graf merupakan graf terhubung bila hanya bila
untuk setiap titik dan di , ada jalan dari titik ke titik .
Contoh 2.10
Gambar 2.4
Graf merupakan graf terhubung, sedangkan graf merupakan graf tidak
terhubung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
B. GRAF BAGIAN
Definisi 2.11
Misal adalah graf dengan himpunan titik dan himpunan rusuk
, suatu graf disebut graf bagian dari jika dan
dan untuk setiap , titik dan berada di .
Contoh 2.11
Gambar 2.5
Gambar 2.5 merupakan beberapa graf bagian dari graf dalam gambar 2.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Definisi 2.12
Jika , maka graf bagian yang diinduksi oleh , dinotasikan ⟨ ⟩,
adalah graf bagian yang berisi titik-titik dalam dan semua rusuk yang
berbentuk dalam , dimana dan .
Contoh 2.12
Dari gambar 2.1, misal { }, maka
⟨ ⟩ { }.
C. MACAM-MACAM GRAF
Definisi 2.13
Suatu graf disebut graf bipartit jika dapat dipartisi menjadi dua
himpunan bagian tak kosong dan , sedemikian hingga jika adalah
rusuk dalam , maka titik dan berada pada himpunan bagian yang
berbeda.
Contoh 2.13
Gambar 2.6
Gambar 2.6 merupakan graf bipartit dengan { } dan
{ }.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Definisi 2.14
Graf lengkap adalah graf yang memiliki titik dan setiap setiap titik
dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Graf lengkap disebut
juga graf trivial.
Contoh 2.14
Gambar 2.7
Gambar 2.7 merupakan beberapa contoh graf lengkap.
Definisi 2.15
Graf bipartit lengkap adalah graf yang himpunan titiknya dapat
dipartisi menjadi himpunan tak kosong dan dengan kardinalitas
berturut-turut dan , sedemikian sehingga setiap titik di himpunan
berhubungan dengan setiap titik di himpunan dan tidak ada
keterhubungan lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Contoh 2.15
Gambar 2.8
Definisi 2.16
Graf bintang adalah graf bipartit lengkap yang memuat satu titik
dengan derajat , dan titik lainnya berderajat satu yang berarti merupakan
titik ujung.
Contoh 2.16
Gambar 2.9
Definisi 2.17
Untuk , graf siklus yang dinotasikan adalah suatu siklus dengan
titik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Contoh 2.17
Gambar 2.10
Gambar 2.10 merupakan beberapa contoh dari graf siklus.
Definisi 2.18
Graf lintasan dengan titik, dinotasikan adalah lintasan dengan titik.
Contoh 2.18
Gambar 2.11
Definisi 2.19
Misal adalah graf. Suatu graf disebut graf bebas-F jika graf tidak
memuat graf bagian yang diinduksi secara isomorfis oleh .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Contoh 2.19
Gambar 2.12
Dalam gambar 2.12, graf bukan graf bebas- . Sedangkan graf
merupakan graf bebas- .
Graf bebas- disebut juga graf bebas-cakar. Graf dan graf
merupakan beberapa contoh graf bebas-cakar.
D. OPERASI PADA GRAF
1. GABUNGAN DAN PENGGABUNGAN
Definisi 2.20
Jika dan adalah dua graf yang tidak terhubung, gabungan
adalah graf dengan dan
. Maka, memuat salinan dari bersama dengan
salinan dari .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Contoh 2.20
Gambar 2.13
Definisi 2.21
Jika dan adalah dua graf yang tidak terhubung, penggabungan
terbentuk dengan menambahkan rusuk pada setiap titik
sedemikian hingga setiap titik berhubungan dengan setiap titik
. Jika dan memiliki dan titik, maka graf harus
ditambahkan rusuk.
Contoh 2.21
Gambar 2.14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.22
Untuk , roda adalah penggabungan dari dengan ,
yang berarti .
Contoh 2.22
Gambar 2.15
Definisi 2.23
Misal adalah graf, barisan penggabungan
adalah graf yang terbentuk dengan mengambil satu tiruan dari
setiap graf dan menambahkan rusuk dari setiap titik pada
dihubungkan pada setiap titik pada , untuk .
Contoh 2.23
Gambar 2.16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
2. KOMPLEMEN
Definisi 2.24
Komplemen dari suatu graf memiliki dan
jika hanya jika .
Contoh 2.24
Gambar 2.17
3. FAKTORISASI
Definisi 2.25
Suatu graf dapat difaktorkan dengan jika
sepasang-sepasang saling asing dan
⋃ . Jika dapat difaktorkan atas , maka
hal tersebut dinotasikan dengan , yang disebut
faktorisasi dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Contoh 2.25
Gambar 2.18
Gambar 2.18 merupakan contoh dari .
4. PRODUK KARTESIUS
Misal dan adalah graf dengan himpunan titik-titik
{ } dan { }, produk kartesius adalah
graf dengan himpunan titik yang memuat titik-titik yang diberi
label , dimana dan . Dua titik dan
berhubungan dalam jika
1. dan berhubungan dengan dalam graf , atau
2. dan berhubungan dengan dalam graf .
Setiap titik dari dapat dipandang memiliki dua “orang
tua” , yaitu dalam dan dalam . Untuk setiap , graf bagian
yang diinduksi oleh { | } disebut tiruan ke- dari .
Dengan cara yang sama, untuk setiap , graf bagian yang diinduksi
oleh { | } disebut tiruan ke- dari . Gambar 2.19
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
memperlihatkan graf , dan produk kartesius
.
Gambar 2.19
Graf dalam gambar 2.19 dapat dilihat sebagai tiga graf tiruan
dari graf yang berkorespondensi dengan tiga titik dalam graf . Kira-
kira seperti meletakan titik-titik dari pada tiruan graf . Setiap tiruan
memiliki koordinat tetap kedua (lihat gambar 2.19). Titik-titik dalam
tiruan yang pertama berhubungan dengan titik-titik yang
berkorespondensi dari graf tiruan yang kedua, karena berhubungan
dengan dalam . Dengan cara yang mirip, titik-titik dalam tiruan
yang kedua berhubungan dengan titik-titik yang berkorespondensi dari
graf tiruan yang ketiga, karena berhubungan dengan dalam .
Selain itu, titik-titik yang berkorespondensi dalam tiruan yang pertama
dan ketiga tidak saling berhubungan karena dan tidak berhubungan
dalam .
Paragraf sebelumnya dapat ditulis ulang dengan sedikit penyesuaian
jika pandangan terhadap graf tersebut diubah dengan mulai dengan empat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
graf tiruan . Terdapat empat graf , yang setiap graf tersebut
dikarakterisasi oleh koordinat tetap yang pertama. Dalam faktanya,
dan adalah isomorfis untuk setiap dua graf dan , perbedaannya
hanya pada penamaannya. Dapat dilihat juga bahwa produk kartesius
memiliki sifat asosiatif, yaitu untuk setiap
tiga graf , dan .
5. JALA
Salah satu graf yang dapat dibentuk menggunakan produk kartesius
adalah jala, yang juga disebut jaringan atau kisi. Graf
sama dengan produk kartesius dari dengan , yang berarti
. Graf sama dengan produk kartesius dari
dengan dan . Sehingga ,
karena produk kartesius bersifat asosiatif. Graf ini dapat diperluas menjadi
. Graf adalah produk kartesius dari
lintasan dengan urutan , dan
. Graf jala diperlihatkan pada gambar 2.20, dengan empat
titik yang berderajat 2 diberi label.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Gambar 2.20
Graf 3-jala diperlihatkan pada gambar 2.21 dengan
beberapa titik berlabel. Graf 3-jala yang umum dapat dilihat
sebagai garasi dengan beberapa lantai, tepatnya c lantai. Koordinat ketiga
mengidentifikasi banyaknya lantai. Setiap lantai adalah graf 2-jala dengan
baris dan kolom.
Gambar 2.21
6. GRAF RUSUK
Definisi 2.26
Untuk suatu graf , graf rusuk memiliki himpunan titik yang
terdiri atas rusuk-rusuk dari . Dua titik dalam berhubungan jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
rusuk-rusuk yang berkorespondensi di bersisian dengan titik yang
sama dalam .
Contoh 2.26
Gambar 2.22
7. PENGHAPUSAN RUSUK ATAU TITIK
Definisi 2.27
Jika adalah titik dalam , graf adalah graf yang terbentuk dari
dengan menghapus titik dan semua rusuk yang bersisian dengan .
Contoh 2.27
Gambar 2.23
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Definisi 2.28
Jika adalah rusuk dalam , graf adalah graf yang terbentuk
dari dengan menghapus rusuk .
Contoh 2.28
Gambar 2.24
E. KETERHUBUNGAN DALAM GRAF
Definisi 2.29
Misal graf terhubung. Keterhubungan titik dalam suatu graf ,
dinotasikan , adalah jumlah minimum titik yang bila dihapus
akan membuat menjadi tak terhubung atau membuat menjadi graf
trivial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Contoh 2.29
Gambar 2.25
Dari gambar 2.25, didapatkan . Karena cukup hanya dengan
menghapus satu titik akan membuat graf tersebut menjadi tak
terhubung.
Definisi 2.30
Misal graf terhubung. Keterhubungan rusuk dalam suatu graf ,
dinotasikan , adalah jumlah minimum rusuk yang bila dihapus
akan membuat menjadi tak terhubung atau membuat menjadi graf
trivial.
Contoh 2.30
Dari gambar 2.25, didapatkan . Karena cukup hanya dengan
menghapus satu rusuk akan membuat graf tersebut menjadi tak
terhubung, yaitu dengan menghapus rusuk atau .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
BAB III
DOMINASI DALAM GRAF
A. KONSEP DOMINASI
Contoh dominasi dalam matematika muncul pada tahun 1850 dalam
permainan yang disebut masalah n ratu. Dalam permainan catur, sebuah
ratu pada papan catur, diperbolehkan untuk bergerak secara horisontal,
vertikal, maupun diagonal. dikatakan menyerang jika dapat
memakan bidak catur dalam posisi . Yang berarti, posisi berada tepat
pada suatu garis lurus terhadap posisi dari , baik secara horisontal,
vertikal, maupun diagonal. dalam masalah n ratu, tantangannya adalah
meletakan n ratu pada papan catur yang kosong, sehingga masing-masing
kotak dari 64 kotak tersebut dapat diserang oleh paling sedikit satu ratu.
Ratu-ratu tersebut dikatakan mendominasi semua kotak jika ratu-ratu
tersebut dapat menduduki atau menyerang semua kotak, himpunan ratu
tersebut adalah himpunan yang mendominasi kotak catur tersebut.
Masalahnya adalah untuk menentukan jumlah minimum ratu yang
merupakan himpunan yang mendominasi. Jawaban tersebut adalah 5; salah
satunya ditunjukan pada gambar 3.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Gambar 3.1
B. HIMPUNAN YANG MENDOMINASI
Konsep dari himpunan yang mendominasi dalam graf tidak
didefinisikan secara formal hingga 1958, ketika Berge dalam bukunya
yang berjudul “Théorie des Graphes et ses Applications” menulis buku
teori graf yang kedua; buku teori graf yang pertama ditulis oleh König
dalam bukunya yang berjudul “Theorie der endlichen und unendlichen
Graphen” pada tahun 1936.
Definisi 3.1
Sebuah himpunan yang terdiri dari titik-titik dalam sebuah graf
disebut himpunan yang mendominasi jika setiap titik
merupakan anggota dari atau berhubungan dengan anggota dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Selanjutnya, semua titik di atau yang berhubungan dengan anggota dari
dikatakan “didominasi” oleh titik-titik di .
Contoh 3.1
Dari gambar 2.1 didapatkan himpunan yang mendominasi beberapa
diantaranya adalah { }, { }, { },
{ }, { }, { }
Definisi 3.2
Himpunan yang mendominasi disebut himpunan yang mendominasi
minimal jika tidak ada himpunan bagian sejati yang merupakan
himpunan yang mendominasi. Himpunan yang mendominasi minimum
adalah himpunan yang mendominasi yang memiliki kardinalitas terkecil.
Contoh 3.2
Pada gambar 2.1, didapatkan himpunan yang mendominasi minimal
{ }, { }, { }, { }, { }, { }. dan himpunan
yang mendominasi minimum { }, { }, { }. Sedangkan himpunan
yang mendominasi minimal tapi tidak minimum adalah { },
{ }, { }.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Definisi 3.3
Bilangan dominasi dalam sebuah graf adalah kardinalitas dari
himpunan yang mendominasi minimum. Sedangkan bilangan dominasi
atas adalah kardinalitas terbesar dari himpunan-himpunan yang
mendominasi minimal.
Contoh 3.3
Pada gambar 2.1, didapatkan bilangan dominasi dan .
C. HIMPUNAN YANG MENDOMINASI BEBAS
Dalam subbab sebelumnya dua ratu dalam papan catur dapat saling
menyerang jika posisi ratu tersebut dapat dicapai oleh ratu lainnya dalam
sekali jalan, sebaliknya jika ratu tersebut tidak berada pada posisi yang
dapat dicapai oleh ratu lainnya dalam sekali jalan. Dalam gambar 3.1 dapat
dilihat secara jelas bahwa ratu-ratu tersebut dapat saling menyerang satu
sama lain. Muncul masalah baru, yaitu untuk menempatkan posisi ratu-
ratu tersebut yang tidak dapat saling menyerang satu sama lain dan
mendominasi papan catur tersebut. Penempatan posisi ratu yang mungkin
dibuat, ditunjukan pada gambar 3.2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Gambar 3.2
Definisi 3.4
Sebuah himpunan bagian yang berisi titik-titik dalam sebuah graf
disebut himpunan bebas jika tidak ada titik-titik dalam yang saling
berhubungan. Bilangan bebas dari sebuah graf , dinotasikan ,
adalah kardinalitas terbesar dari himpunan-himpunan bebas dalam graf
tersebut.
Contoh 3.4
Dari gambar 2.1, himpunan bebas dari graf tersebut ada 37 himpunan,
yaitu
{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { } { } { } { } { | { } { } { }
{ } { } { } { } { } { } { } { }
{ } { }, dengan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Dari definisi himpunan yang mendominasi dan himpunan bebas,
dapat dibentuk suatu definisi baru dengan menggabungkan kedua definisi
tersebut.
Definisi 3.5
Himpunan yang mendominasi disebut himpunan yang mendominasi
bebas jika titik-titik dalam himpunan yang mendominasi tidak
berhubungan satu sama lain.
Contoh 3.5
Pada gambar 2.1, didapatkan himpunan yang mendominasi bebas
{ }, { }, { }, { }.
Definisi 3.6
Bilangan dominasi bebas adalah kardinalitas terkecil dari semua
himpunan yang mendominasi bebas.
Contoh 3.6
Pada contoh 3.5 didapatkan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
D. TEOREMA TENTANG DOMINASI DALAM GRAF
Berikut ini merupakan hubungan antara bilangan dominasi
dengan bilangan bebas .
Teorema 3.1
Untuk setiap graf , .
Bukti
Misal adalah himpunan bebas dari titik dalam , dimana | | .
Sehingga adalah himpunan bebas dengan kardinalitas terbesar. Untuk
, harus berhubungan dengan suatu titik dalam . Dengan
kata lain, { } akan menjadi himpunan bebas yang lebih besar, terjadi
kontradiksi. Sehingga mendominasi semua titik dalam . Sehingga
.
Konsep yang berhubungan dengan dominasi adalah penutup titik.
Definisi 3.7
Sebuah penutup titik adalah sebuah himpunan titik-titik di sedemikian
sehingga setiap rusuk dalam berisisian dengan paling sedikit satu titik
dalam . Kardinalitas terkecil dari penutup titik dalam dinotasikan
dengan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Contoh 3.7
Gambar 3.3
Pada gambar 3.3, didapatkan penutup titiknya adalah { },
{ }, { }, { }, { }, { }, { },
{ }, { } dengan .
Teorema 3.2
Jika adalah penutup titik dari , maka adalah himpunan bebas.
Bukti
Misalkan bukan himpunan bebas. Maka ada pasangan titik
dan dari yang berhubungan. Maka bukan penutup titik,
terjadi kontradiksi bahwa adalah penutup
titik.
Dengan menggunakan teorema 3.2, kardinalitas terkecil penutup
titik dan bilangan bebas , didapatkan akibat 3.2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Akibat 3.2
Untuk semua graf dengan titik, .
Bukti
Misalkan adalah penutup titik dengan kardinalitas terkecil. Maka
| | . Dengan teorema 3.2, adalah sebuah himpunan
bebas. Jadi , yang berarti bahwa .
Selain itu, jika adalah sebuah himpunan bebas sedemikian sehingga
| | , maka adalah penutup titik. Untuk memahaminya,
ingat bahwa hanya rusuk-rusuk dalam yang bersisian dengan ,
sehingga adalah penutup titik. Dan mengakibatkan bahwa
atau, secara ekuivalen . Sehingga
didapatkan dan . Sehingga
.
Teorema 3.3
Untuk setiap graf lengkap dengan . Bilangan dominasi dari
graf lengkap adalah 1, atau .
Bukti
Menurut definisi 2.14, graf lengkap adalah graf yang terdiri dari titik
dan setiap titik dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Sehingga,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
semua titik dalam graf tersebut saling berhubungan satu sama lain,
sehingga hanya dibutuhkan 1 titik saja untuk mendominasi graf
tersebut.
Teorema 3.4
Untuk setiap graf bipartit lengkap dengan dan adalah bilangan
asli, maka ( ) .
Bukti
Menurut definisi 2.15, graf bipartit lengkap adalah graf yang himpunan
titiknya dapat dipartisi menjadi himpunan tak kosong dan dengan
kardinalitas berturut-turut dan , sedemikian sehingga setiap titik di
himpunan berhubungan dengan setiap titik di himpunan dan tidak ada
keterhubungan lainnya. Ada tiga kemungkinan, yaitu , ,
. Misal , maka ada titik yang mendominasi titik, dan ada
titik yang mendominasi titik. Karena bilangan dominasi adalah
kardinalitas terkecil dari himpunan yang mendominasi, maka didapatkan
bilangan dominasinya . Dengan cara yang serupa dibuktikan juga untuk
, sehingga bilangan dominasinya adalah . Untuk , maka
didapatkan titik yang mendominasi. Sehingga didapatkan
kesimpulan ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Teorema 3.5
Untuk , dan adalah bilangan asli, .
Bukti
Dalam suatu lintasan, derajat maksimal dari suatu titik dalam lintasan
adalah 2, yang berarti bahwa setiap titik dapat mendominasi tidak lebih
dari 3 titik, termasuk dirinya sendiri. Sehingga jika lintasan tersebut
memiliki titik, maka
.
Definisi 3.8
Misal , dimana adalah bilangan bulat dan . Maka
⌈ ⌉ jika , dan ⌈ ⌉ ketika .
Contoh 3.8
⌈ ⌉
⌈ ⌉
Teorema 3.6
Untuk setiap bilangan asli, ⌈
⌉.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Bukti
Dengan teorema 3.5 , maka ada tiga kemungkinan yaitu ,
, dan .
Akan dibuktikan untuk ruas kanan.
Untuk ,
⌈
⌉ ⌈
⌉ ⌈ ⌉
⌈
⌉ ⌈
⌉ ⌈
⌉
⌈
⌉ ⌈
⌉ ⌈
⌉
Akan dibuktikan untuk ruas kiri.
Dalam graf lintasan, jika graf tersebut bertambah 1 atau 2 titik, maka
bilangan dominasi dari graf tersebut akan bertambah 1. Sehingga kalau
atau , maka
.
Teorema 3.7
Untuk , dan adalah bilangan asli, .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Bukti
Dalam suatu siklus, derajat maksimal dari suatu titik dalam siklus adalah
2, yang berarti bahwa setiap titik dapat mendominasi tidak lebih dari 3
titik, termasuk dirinya sendiri. Sehingga jika siklus tersebut memiliki
titik, maka .
Teorema 3.8
Untuk setiap bilangan asli, ⌈
⌉.
Bukti
Dengan teorema 3.7 , maka ada tiga kemungkinan yaitu ,
, dan .
Akan dibuktikan untuk ruas kanan.
Untuk ,
⌈
⌉ ⌈
⌉ ⌈ ⌉
⌈
⌉ ⌈
⌉ ⌈
⌉
⌈
⌉ ⌈
⌉ ⌈
⌉
Akan dibuktikan untuk ruas kiri.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Dalam graf siklus, jika graf tersebut bertambah 1 atau 2 titik, maka
bilangan dominasi dari graf tersebut akan bertambah 1. Sehingga kalau
atau , maka .
Definisi 3.9
Kitar terbuka dari titik adalah himpunan yang memuat titik-titik
yang berhubungan dengan , dimana { | }.
Sedangkan kitar tertutup { }.
Untuk , kitar terbuka didefinisikan ⋃ dan kitar
tertutup .
Contoh 3.9
Pada gambar 2.1 didapatkan { } dan { }.
Sedangkan misal { } pada gambar 2.1, maka { }
dan { }.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Teorema 3.9
Sebuah himpunan yang mendominasi dari graf adalah himpunan yang
mendominasi minimal dari graf jika dan hanya jika setiap titik di
memenuhi paling sedikit salah satu dari dua sifat berikut:
(i) terasing dari ,
(ii) Terdapat titik sedemikian sehingga { }.
Bukti
Asumsikan adalah himpunan yang mendominasi minimal dari maka
untuk setiap titik , { } bukan himpunan yang mendominasi. Ini
berarti terdapat titik { } tidak didominasi oleh semua
titik di { }. Yang berarti , yang dalam hal ini adalah titik
terasing dari , atau . Jika tidak didominasi oleh { },
tapi didominasi oleh , maka titik hanya berhubungan dengan titik di
, { }.
Andaikan adalah himpunan yang mendominasi dan setiap titik
, memenuhi salah satu dari dua syarat. Kita tunjukan bahwa adalah
himpunan yang mendominasi minimal. Andaikan bukan himpunan yang
mendominasi minimal, misal titik , maka ada dua kemungkinan,
yaitu { } adalah himpunan yang mendominasi. Akibatnya
berhubungan dengan paling sedikit satu titik di { }, sehingga syarat (i)
tidak terpenuhi. Jika { } adalah himpunan yang mendominasi, maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
setiap titik di berhubungan dengan paling sedikit satu titik di
{ }, sehingga syarat (ii) juga tidak terpenuhi. Kedua syarat (i) dan (ii)
tidak terpenuhi, sehingga akan menimbulkan kontradiksi dengan asumsi
kita bahwa paling sedikit satu syarat yang
terpenuhi.
Teorema 3.10
Jika adalah himpunan yang mendominasi minimal dari tanpa titik
terasing, maka adalah himpunan yang mendominasi dari .
Bukti
Misal . Maka paling sedikit memenuhi salah satu dari dua sifat (i)
dan (ii) diberikan pada teorema 3.9. Andaikan memenuhi sifat (i), bahwa
adalah titik terasing dari . Maka adalah titik terasing dari graf bagian
⟨ ⟩. Karena tidak terasing di , titik berhubungan dengan suatu titik di
.
Andaikan memenuhi sifat (ii), bahwa terdapat titik
sedemikian hingga { }. Karena berhubungan dengan suatu
titik di . Sehingga adalah himpunan yang
mendominasi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Akibat 3.10
Jika adalah graf dengan titik tanpa titik terasing, maka
.
Bukti
Misal adalah himpunan yang mendominasi minimal dari . Dengan
teorema 3.10, adalah himpunan yang mendominasi . Maka
{| | | |}
.
Teorema 3.11
Setiap graf tanpa titik terasing memuat sebuah himpunan yang
mendominasi minimum sedemikian hingga untuk setiap titik di ,
terdapat di sedemikian hingga { }.
Bukti
Diantara semua himpunan yang mendominasi minimum dari , misal
adalah salah satu dari himpunan yang mendominasi minimum dari
sedemikian hingga ⟨ ⟩ memiliki ukuran maksimum. Diandaikan
sebaliknya , bahwa memuat titik yang tidak memenuhi syarat. Maka
dengan teorema 3.9, adalah titik terasing dari ⟨ ⟩. Selain itu, setiap titik
di yang berhubungan dengan juga berhubungan dengan titik-
titik lainnya di . Karena tidak memuat titik terasing, berhubungan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
dengan di . Sebagai konsekwensinya, { } { } adalah
himpunan yang mendominasi minimum dari dimana graf bagian yang
diinduksi memuat paling sedikit satu rusuk yang bersisian dengan dan
karena itu memiliki ukuran yang lebih besar dari ⟨ ⟩. Terjadi
kontradiksi.
Teorema 3.12
Diberikan suatu graf terhubung , maka
Bukti
Perhatikan bahwa jika adalah titik dengan derajat minimum, maka
penghapusan semua rusuk yang bersisian dengan akan membuat graf
tersebut tidak terhubung ( adalah salah satu komponennya). Tentu saja
akan ada himpunan rusuk pemisah, di lain graf yang memuat rusuk yang
lebih sedikit. Maka . Selanjutnya, jika adalah himpunan
rusuk pemisah yang memuat rusuk sebanyak , maka penghapusan yang
sesuai dengan titik hasil yang dipilih dari rusuk di dan oleh karena itu,
menghasilkan graf yang tidak terhubung. (Mungkin saja ada himpunan
titik pemisah yang lebih kecil di ). Maka .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Teorema 3.13
Jika adalah sebuah graf dengan titik, maka ⌈
⌉
.
Bukti
Misal adalah himpunan yang mendominasi minimum dari .
Maka ⋃ , menyebabkan | | | | .
Oleh karena itu,
( )
⌈
⌉.
Selanjutnya akan dibuktikan batas atasnya. Misal dengan
. Maka adalah himpunan yang mendominasi dengan
kardinalitas , sehingga .
Akibat 3.13
Jika adalah sebuah graf dengan titik, maka .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Bukti
Dengan teorema 3.13 didapatkan dan karena
.
Teorema 3.14
Jika adalah graf dengan banyak titik , maka
(i) ,
(ii) .
Bukti
Batas bawah dari (i) dan (ii) didapatkan dari pengamatan bahwa jika
maka dan bila maka .
Untuk batas atas dari (i), jika memiliki sebuah titik terasing, maka
dan ; sedangkan jika memiliki sebuah titik terasing,
maka dan . Dalam kasus ini, .
Jika maupun memiliki titik terasing, maka
dan
menurut akibat 3.10, sehingga .
Untuk batas atas dari (ii), jika maka jelas bahwa
. Maka diasumsikan . Misal
{ } adalah himpunan yang mendominasi minimum dari dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
partisi menjadi himpunan bagian dengan
syarat :
(a) untuk dan semua titik di didominasi oleh
dan
(b) Penjumlahan semua bilangan bulat yang menyatakan banyaknya
titik dalam yang berhubungan dengan semua titik lain dalam
adalah maksimum.
Sekarang diperlihatkan bahwa untuk setiap himpunan dengan
adalah himpunan yang mendominasi dari . Andaikan
himpunan bukan himpunan yang mendominasi dari , maka terdapat
titik yang berhubungan di tapi tidak berhubungan dengan
untuk bilangan bulat dan yang berbeda dengan , . Maka
berhubungan dalam dengan setiap titik dari . Jika , maka
{ } adalah himpunan yang mendominasi dari yang memiliki
kardinalitas kurang dari , yang berarti tidak mungkin. Sebagai
konsekwensinya, { }. Jika berhubungan di dalam untuk
setiap titik lainnya dari , maka { } { } adalah himpunan
yang mendominasi dari yang memiliki kardinalitas kurang dari ,
yang berarti tidak mungkin. Oleh karena itu, berhubungan dalam ke
semua titik dari tapi tidak ke semua titik di .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Didefinisikan { } dan
{ }. Untuk ,
didefinisikan . Sekarang kita memiliki partisi dari ke dalam
himpunan bagian
sedemikian hingga
untuk
dan semua titik dalam didominasi oleh . Bagaimanapun, jumlah
semua himpunan bagian dengan dari titik dalam
yang
berhubungan dengan semua titik dari melebihi penjumlahan yang
berkorespondensi untuk partisi , yang berarti kontradiksi.
Kemudian, seperti yang telah dinyatakan, setiap himpunan bagian
adalah himpunan yang mendominasi dalam , sehingga | |
untuk setiap . Karena itu
∑ | | .
Akibat 3.14
Jika dapat difaktorkan menjadi , , dan , maka
.
Bukti
Karena , didapatkan dari teorema 3.14 bahwa
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Teorema 3.15
Jika adalah suatu graf dengan titik sebanyak sedemikian hingga
dan keduanya tidak memiliki titik terasing, maka
.
Bukti
Karena dan keduanya tidak memiliki titik terasing, menurut akibat
3.10 maka
dan
. Karena itu jika salah satu
atau , maka bukti selesai. Jika dan , maka
menurut batas atas (ii) pada teorema 3.14,
dan
, sehingga
. Karena itu diasumsikan
atau . Karena
, maka . Dengan teorema 3.14,
. Maka
.
E. TEOREMA TENTANG BILANGAN DOMINASI BEBAS DARI
SUATU GRAF
Tidak sulit untuk melihat bahwa setiap himpunan bebas yang
memiliki kardinalitas maksimal dari suatu graf adalah himpunan yang
mendominasi dari . Maka , dimana adalah bilangan
dominasi bebas minimum dari . Bagaimanapun juga tidak semua
himpunan yang mendominasi adalah himpunan bebas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Teorema 3.16
Setiap himpunan bebas yang memiliki kardinalitas maksimal dari suatu
graf adalah himpunan yang mendominasi dari .
Bukti
Misal adalah himpunan bebas dari dan memiliki kardinalitas
terbesar dari semua himpunan bebas di . Maka untuk setiap titik
akan berhubungan dengan paling sedikit satu titik di . Sehingga
menurut definisi 3.1, merupakan himpunan yang mendominasi dari
.
Teorema 3.17
Suatu himpunan titik-titik dalam adalah himpunan yang mendominasi
bebas jika dan hanya jika adalah himpunan bebas yang memiliki
kardinalitas maksimal.
Bukti
Setiap himpunan bebas maksimal adalah himpunan yang mendominasi
berdasarkan teorema 3.16. Sebaliknya, misal adalah himpunan yang
mendominasi bebas, maka adalah himpunan bebas dan setiap titik diluar
berhubungan dengan titik dalam , yang berarti adalah himpunan
bebas maksimal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Akibat 3.17
Setiap himpunan bebas maksimal suatu graf adalah himpunan yang
mendominasi minimal.
Bukti
Misal adalah himpunan bebas maksimal dari graf . Dengan teorema
3.16, adalah himpunan yang mendominasi. Karena adalah himpunan
bebas, maka pasti setiap titik dalam tidak berhubungan dengan titik
dalam . Maka, setiap titik dalam memenuhi sifat (i) dari teorema 3.9.
Menurut teorema 3.9, adalah himpunan yang mendominasi minimal.
Teorema 3.18
Jika adalah graf bebas- , dimana , maka
.
Bukti
Misal adalah himpunan yang mendominasi minimum dari dan misal
adalah himpunan bebas maksimal di . Maka, | | dan | | .
Misal adalah himpunan semua titik dalam yang tidak
berhubungan dengan titik dalam , dan misal adalah himpunan bebas
maksimal di . Maka adalah himpunan bebas dari . Karena setiap
titik dalam berhubungan dengan suatu titik dalam dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
setiap titik dalam berhubungan ke suatu titik dalam , yang
mengakibatkan adalah himpunan bebas maksimal. Maka menurut
teorema 3.16, adalah himpunan yang mendominasi bebas.
Setiap titik dalam berhubungan dengan paling banyak
titik dalam , jika tidak, maka titik dalam berhubungan dengan
paling sedikit titik dalam dan juga paling sedikit satu titik dalam ,
yang menyebabkan kontradiksi dengan hipotesa bahwa tidak memuat
graf bagian yang diinduksi oleh . Juga, setiap titik dari
berhubungan ke suatu titik dalam . Maka, | | | |
| | | | | | .
Akibatnya,
| | | | | |
| | | |
| |
Akibat 3.18.a
Jika adalah graf bebas cakar, maka .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Akibat 3.18.b
Untuk setiap graf , ( ) ( ).
Definisi 3.10
Suatu graf disebut dominasi sempurna jika untuk setiap
graf bagian yang diinduksi oleh .
Contoh 3.10
Graf dan graf merupakan dominasi sempurna.
Akibat 3.18.c
Setiap graf bebas cakar adalah dominasi sempurna.
F. PARAMETER DOMINASI LAINNYA
Pada subbab sebelumnya telah diperkenalkan variasi dari bilangan
dominasi, yaitu bilangan dominasi bebas. Sedangkan pada bagian ini,
akan diperlihatkan beberapa parameter dominasi lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Definisi 3.11
Himpunan dari titik-titik dalam disebut himpunan irredundant dari
jika untuk setiap titik , terdapat titik sedemikian hingga
{ } . Setiap titik yang memenuhi sifat ini disebut titik
irredundant. Himpunan yang bukan himpunan irredundant disebut
himpunan redundant. Setiap titik dalam himpunan redundant disebut
titik redundant.
Dengan kata lain, adalah himpunan irredundant dari jika { }
untuk setiap titik . Dan himpunan adalah himpunan redundant
jika hanya jika terdapat titik dimana { } .
Contoh 3.11
Pada gambar 2.1, misal { }, maka adalah himpunan irredundant,
karena tapi { } dan tapi { }
Teorema 3.19
Himpunan dari titik-titik dalam adalah himpunan irredundant jika
hanya jika setiap titik dalam memenuhi paling sedikit satu dari dua
sifat berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
(i) terasing dari ,
(ii) Terdapat titik sedemikian sehingga
{ }.
Bukti
Misal adalah himpunan dari titik-titik dalam sedemikian sehingga
untuk setiap titik , paling sedikit memenuhi salah satu sifat (i) dan
(ii). Jika (ii) terpenuhi, maka terdapat titik sedemikian hingga
{ } . Jika (i) dipenuhi, maka { } . Dalam kasus ini
adalah himpunan irredundant.
Secara konvers, misal adalah himpunan yang irredundant di ,
dan misal . Karena adalah himpunan yang irredundant, terdapat
sedemikian sehingga { } . Jika , maka (ii)
terpenuhi, sedangkan jika , maka (i) terpenuhi.
Dengan teorema 3.9, maka himpunan yang mendominasi minimal dalam
suatu graf adalah himpunan irredundant. Karena itu, setiap graf memiliki
himpunan yang irredundant.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Definisi 3.12
Jika adalah himpunan yang irredundant di , dan , maka setiap
titik di { } disebut kitar pribadi dari .
Titik merupakan kitar pribadi bagi dirinya sendiri. Jika adalah
himpunan yang irredundant di , maka untuk setiap , himpunan
{ } tak kosong.
Contoh 3.12
Pada gambar 2.1, misal { }, titik merupakan kitar pribadi bagi
karena tetapi { } , begitu juga dengan titik dan .
Definisi 3.13
Bilangan irredundance dari suatu graf adalah kardinalitas
minimum dari himpunan yang irredundant di . Sedangkan bilangan
irredundance atas adalah kardinalitas maksimum dari himpunan
yang irredundant di .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Contoh 3.13
Dari gambar 2.1 didapatkan dan .
Teorema 3.20
Untuk setiap graf , .
Bukti
Untuk sudah pernah diperlihatkan. Untuk ketidaksamaan
merupakan akibat dari fakta bahwa setiap himpunan yang
mendominasi minimal di adalah himpunan yang irredundant.
Teorema 3.21
Untuk setiap graf , .
Bukti
Karena semua himpunan yang mendominasi minimal adalah himpunan
yang irredundant, maka menyebabkan . Selain itu, setiap
himpunan bebas maksimum adalah himpunan yang mendominasi,
sehingga . Karena himpunan yang mendominasi bebas
merupakan himpunan bebas, maka .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Teorema 3.22
Untuk setiap graf bipartit , .
Bukti
Misal adalah graf bipartit dengan himpunan partisi dan . Misal
adalah himpunan irredundant maksimum dari dan misal adalah
himpunan dari titik terasing dari ⟨ ⟩. Selanjutnya misal ,
, , , dimana salah satu
atau lebih dari himpunan ini merupakan himpunan kosong. Setiap titik
adalah irredundant di . Karena tidak terisolasi di ⟨ ⟩, titik
bukan kitar pribadi. Bagaimanapun, karena adalah himpunan yang
irredundant, adalah kitar pribadi dari suatu titik di . Karena itu,
untuk , terdapat titik sedemikian sehingga
{ }. Selain itu, karena , menyebabkan .
Misal { | }. Maka | | | | dan .
Selanjutnya tidak ada titik di yang berhubungan dengan titik di .
Akibatnya merupakan himpunan bebas di . Karena
itu, | | | | | | | | | | .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
G. APLIKASI
Contoh 3.14
Misalkan sebuah provinsi terdiri dari delapan kota yang dihubungkan oleh
jalan besar seperti yang diperlihatkan pada gambar 3.4. Pengawas provinsi
tersebut ingin memperbesar fasilitas kesehatan yang mereka miliki
sehingga setiap kota memiliki unit kebakaran atau berhubungan dengan
kota yang memilikinya. Karena keterbatasan dana, jumlah fasilitas
kesehatan yang akan diperbesar tersebut harus diminimumkan.
a. Di kota mana harus diletakkan unit kebakaran jika di kota juga harus
dibangun?
b. Di kota mana harus diletakkan unit kebakaran jika sudah ada satu unit
yang diletakkan pada kota , kota yang paling besar dalam kabupaten
tersebut?
Gambar 3.4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Solusi
Untuk menyelesaikan masalah tersebut dibutuhkan himpunan yang
mendominasi minimum.
a. Fasilitas dengan pusat akan mendominasi , , , , dan . Yang
berarti, setiap kota tersebut memiliki unit kebakaran di sekitarnya.
Untuk mendominasi kota lainnya , , dan , fasilitas kesehatan
tersebut harus diletakkan di kota . Dengan demikian, harus ada
fasilitas kesehatan di kota dan .
b. Unit kebakaran di kota melayani kota , , , dan . Untuk melayani
kota-kota lainnya, hanya dengan menambahkan fasilitas pada kota .
Sehingga hanya akan dibangun fasilitas di kota dan . Inilah
himpunan yang mendominasi minimum kedua.
Contoh 3.15
Seorang perancang kota dari kota Mesh telah menemukan masalah bahwa
kota mereka sangat kotor. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, mereka
memutuskan untuk meletakan wadah pembuangan di setiap persimpangan.
Tentukan jumlah minimum dari wadah pembuangan yang dapat mereka
gunakan sehingga untuk setiap persimpangan, terdapat wadah pembuangan
atau terdapat pada perpotongan blok lain. Bentuk rangkaian jalan mereka
adalah dan diperlihatkan pada gambar 3.5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Gambar 3.5
Solusi
Masalah tersebut ekuivalen dengan mencari dalam graf pada
gambar 3.5. terdapat 20 titik dan masing-masing titik mendominasi
tetangganya dan dirinya sendiri. Karena , setiap titik dapat
mendominasi paling banyak 5 titik, sehingga
.
Bagaimanapun, batas yang lebih kecil tidak dapat diterima. Untuk
mendominasi titik ujung seperti , kita harus memasukan titik
atau tetangga dari dalam himpunan yang mendominasi. Titik hanya
mendominasi 3 titik dan tetangganya hanya mendominasi 4 titik. Sehingga
batasnya bertambah menjadi jika menggunakan tetangga setiap
waktu ( , sehingga paling sedikit dibutuhkan 1 titik lagi
untuk mendominasi titik-titik yang tersisa). Untuk mendapatkan ,
tidak dapat menggunakan lebih dari satu titik ujung (dimana hanya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
mendominasi 3 titik). Sebagai contoh, jika menggunakan 2 titik ujung dan
2 tetangga dari titik ujung, mereka paling banyak dapat mendominasi
titik. Paling sedikit diperlukan 2 titik tambahan dalam
himpunan yang mendominasi untuk mendominasi 6 titik yang tersisa.
Sekarang ditunjukan bahwa . Karena paling sedikit ada 3
tetangga dari titik ujung dalam himpunan yang mendominasi minimum,
dan berhubungan dengan mereka akan memperbanyak titik yang
mendominasi, paling tidak harus terdapat 2 titik dalam kolom yang
berurutan dari . Tanpa mengurangi bentuk secara umum, dapat
diasumsikan bahwa dan berada dalam himpunan yang
mendominasi minimum . Sehingga semua titik dalam dua kolom yang
pertama didominasi kecuali . Titik juga didominasi. Untuk
mendominasi , harus digunakan titik , karena jika menggunakan
titik lain, hanya akan mendominasi paling banyak 2 titik baru, yang juga
ekuivalen dengan menggunakan 2 titik ujung (dimana tidak
diperbolehkan). Sehingga . Sekarang, tidak didominasi.
Titik adalah satu-satunya titik yang mendominasi , yang juga
mendominasi lima titik baru. Jadi . Sekarang terdapat tiga titik
yang tidak didominasi: , , dan . Paling sedikit dibutuhkan
dua titik untuk mendominasi mereka. Jadi . Karena
{ } adalah himpunan yang
mendominasi untuk , maka didapatkan . Sehingga jumlah
minimum dari wadah pembuangan yang diperlukan adalah enam.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
BAB IV
PENUTUP
Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya,
serta saran bagi penelitian selanjutnya.
A. KESIMPULAN
Dominasi dalam graf merupakan cara untuk meletakan titik-titik
penting dalam suatu graf yang melambangkan hubungan antar kota.
Dominasi dalam graf biasanya digunakan untuk meletakan fasilitas-
fasilitas kesehatan dalam suatu provinsi atau kabupaten.
Dalam tulisan ini telah dibuktikan beberapa teorema yang berlaku
dalam masalah dominasi dalam graf antara lain:
Teorema 3.6
Untuk setiap bilangan asli, ⌈
⌉.
Teorema 3.16
Setiap himpunan bebas yang memiliki kardinalitas maksimal
dari suatu graf adalah himpunan yang mendominasi dari .
Teorema 3.9
Sebuah himpunan yang mendominasi dari graf adalah
himpunan yang mendominasi minimal dari graf jika dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
hanya jika setiap titik di memenuhi paling sedikit salah
satu dari dua sifat berikut:
(iii) adalah titik terasing dari ,
(iv) Terdapat titik sedemikian sehingga
{ }.
Teorema 3.19
Himpunan dari titik-titik dalam adalah himpunan
irredundant jika hanya jika setiap titik dalam memenuhi
paling sedikit satu dari dua sifat berikut:
(iii) terasing dari ,
(iv) Terdapat titik sedemikian sehingga
{ }.
Hubungan antara himpunan yang mendominasi minimal
dengan himpunan irredundant yaitu, himpunan yang
mendominasi minimal adalah himpunan irredundant.
Selain itu, telah dibahas pula tentang parameter-parameter dominasi,
yaitu bilangan dominasi, dan bilangan dominasi bebas dan hubungan
antara masing-masing parameter tersebut dengan bilangan irredundant
seperti yang diperlihatkan dalam teorema 3.20 yang berbunyi, “Untuk
setiap graf , ”.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
B. SARAN
Hingga saat makalah ini ditulis, masih belum ditemukan algoritma
untuk mencari himpunan yang mendominasi maupun bilangan dominasi
untuk suatu graf secara umum, sehingga masih terbuka untuk diteliti lebih
lanjut tentang algoritma untuk mencari himpunan yang mendominasi
maupun bilangan dominasi dan parameter-parameter dominasi lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
DAFTAR PUSTAKA
Buckley, F., and Lewinter, M. 2003. A Friendly Introduction to Graph
Theory. New Jersey: Pearson Education Inc.
Chartrand, G., Lesniak, L. 2005. Graphs & Digraphs Fourth Edition.
Florida: CRC Press Company.
Haynes, T. W., Hedetnemi S. T., and Slater P. J. 1998. Fundamentals of
Domination in Graphs. New York: Marcel Dekker Inc.
Ross, K. A., Wright, C. R. B. 1992. Discrete Mathematics, 3rd ed. New
Jersey: Prentice-Hall, Inc.
West, D. B. 2001. Introduction To Graph Theory Second Edition. New
Jersey: Prentice-Hall, Inc.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI