Pitagorina Teorema - Dokazi

REGIONALNI CENTAR ZA TALENTE - BEOGRAD II - 2009

PITAGORINA TEOREMA - DOKAZI

PYTHAGORAS THEOREM - PROOFS

AUTOR LUKA ŽIVKOVIĆ VII6 OŠ Branko Ćopić Beograd

NASTAVNIK SLAĐANA KOSAČEVIĆ nastmat OŠ Branko Ćopić Beograd

MENTOR VESNA RAJŠIĆ prof matematike ETŠ Nikola Tesla Beograd

REZIME

Pitagorina teorema je pojam u geometriji koji definiše odnos između tri stranice

pravouglog trougla Ime je dobila po starogrčkom matematičaru Pitagori koji je živeo u 6

veku pne On je iskoristio saznanja mnogih naucnika koji su živeli pre njega i sažeto ih

izrazio u stavu Površina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka zbiru površina nad

katetama a zatim je to matematičkim putem i dokazao Ova saznanja bila su poznata još

vavilonskim kineskim indijskim i egipatskim naučnicima mnogo vekova ranije Ipak

starogrčka matematika je bogatija i svestranija od dotadašnjih nauka jer je težila ka tome

da se sva saznanja dokažu i obrazlože na naučni način Prvi poznati pisani dokaz

Pitagorine teoreme nalazi se u Euklidovim Elementima Ova teorema je bila inspiracija

mnogim naučnicima kroz vekove sve do današnjih dana Na razne načine izvođeni su

dokazi koji su vodili ka novim korisnim i zanimljivim zaključcima

Ključne reči Pitagorina teorema pravougli trougao hipotenuza katete iracionalni

brojevi Pitagorine trojke Pitagorino drvo

SUMMARY

Pythagorean theorem is a concept in geometry which defines relationship between three

sides of a right triangle The name was given by ancient Greek mathematician Pythagora

who had lived in 6century BC He used knowledges of many scientists who lived before

him and summarized them pointed in proposition The square of the hypotenuse of a

right triangle is equal to the sum of the squares on the other two sides Theese findings

were known to Babylonian Chinese Indian Egyptian scientists meny centuries before

However mathematic of the ancient Greeks is more richfull and versatile from former

sciences because it was streaming for prooving all findings and scientificaly explaines

First known written proof of Pythagorean theorem was found in Euclids Elements

Theese theorem was inspiration for many scientists through centuries allthrough

nowadays Proofs were taken in many diferent ways which led to new useful and

interesting conclusions

Key words Pythagorean theorem right triangle hypotenuse catheti irrational numbers

Pythagorean triple Pythagoras tree

Sadržaj 1 Euklidov dokaz Pitagorine teoreme i obratna Pitagorina teorema

2 Leonardov dokaz i neki poznati dokazi

3 Primena Pitagorine teoreme

4 Konstrukcija iracionalnih brojeva

5 Pitagorine trojke

6 Pitagorino drvo

UVOD

Geometrija je oduvek bila sastavni deo života ljudi od davnina Veruje se da je još na

glinenim pločicama Vavilonaca zapisana Pitagorina teorema Odnos duže stranice prema

dvema kraćim u pravouglom trouglu mogli su izmeriti jednostavnim prebrojavanjem

kvadratića U starom Egiptu su se služili metodom vezivanja čvorova na užetu za

formiranje pravouglog trougla tako što su na kraćim stranicama imali dva odnosno tri a

na dužoj pet čvorova (Slika 1) Tek su starogrčki naučnici ovoj grani nauke dali pravu

dimenziju uvodeći u geometriju pojam dokaza Po mnogim istoričarima prvi grčki

naučnik filozof i matematičar koji je dao neku vrstu dokaza i potvrdio svoje teoreme bio

je Tales iz Mileta Tales je pomoću podudarnosti pravouglih trouglova posmatrajući brod

Slika 1

sa morske obale utvrdio njegovu udaljenost Visinu Keopsove piramide uspeo je da

odredi koristeći sličnost jednakokrakih pravouglih trouglova mereći senku uspravno

zabodenog štapa onda kada je senka štapa jednaka njegovoj visini

Jedan od njegovih najdarovitijih sledbenika i jedan od najpoznatijih starogrčkih filozofa i

matematičara bio je Pitagora iz Samosa Po nekim istoričarima su on i njegova Pitagorej-

ska škola uveli deduktivnu metodu u oblast matematikeTo je zapravo logičko zaključiva-

nje gde se do pojedinačnih zaključaka dolazi prikupljanjem opštih činjenica Pitagora se

posebno bavio geometrijom i teorijom brojeva Verovao je da se sve relacije i odnosi mo-

gu svesti na operacije sa brojevima Do tog zaključka su on i njegovi sledbenici Pitago-

rejci došli kroz mnoga opažanja u oblasti prvenstveno matematike ali i muzike i astro-

nomije Pitagora je zapazio da se harmonija u tonovima postiže kada su koeficijenti žica

na datom instrumentu celi brojevi Time je doprineo stvaranju matematičke teorije muzi-

ke Pitagorejci su izučavali problem nesamerljivih veličina jer su dokazali logičkim pu-

tem da postoje nesamerljive duži kojima ne odgovara nijedan do tada poznati broj Ono

što se danas najviše vezuje za njegovo ime jeste Pitagorina teorema Iz tog perioda nije

ostalo puno pisanih tragova ali se pretpostavlja da Pitagorejcima kvadrat nije označavao

množenje dužine stranice sa samom sobom već je označavao geometrijski lik odnosno

kvadrat koji je konstruisan na stranicama Pitagori se pripisuje osnovni deo sadržaja prve

dve knjige Euklidovih ˝Elemenata˝ koje se i do današnjih dana navode kao osnov za

izučavanje geometrije i matematike u celini

1 DOKAZ PITAGORINE TEOREME - PO EUKLIDU

Osnovni stavovi koje koristimo za dokazivanje Pitagorine teoreme su sledeća pravila o

Podudarnosti trouglova

Stav (SUS) Dva trougla su podudarna ako imaju jednake po dve odgovarajuće

stranice i njima zahvaćene uglove

Stav (USU) Trouglovi koji imaju po jednu stranicu i na njima nalegle jednake

odgovarajuće uglove jednake su podudarni

Stav (SSS) Ako su sve tri stranice jednog trougla jednake odgovarajućim

stranicama drugog trouglatada su oni podudarni

Stav (SSU) Ako su dve stranice i ugao naspram veće od njih jednog trougla

jednaki odgovarajućim stranicama i uglu tog trouglatada su ovi trouglovi

podudarni

Osna simetrija

Teorema U ravanskoj geometriji figura simetrična nekoj figuri F je njoj direktno

podudarna figura F`

Rotacija

Teorema Rotacija primenjena na figuru F daje direktno podudarnu figuru F`

11 Euklidov dokaz

Najsadržajniji prikaz Pitagorine teoreme dao je Euklid u svojim Elementima postavivši

je na posebno mesto u geometriji U prvoj knjizi u 47 stavu stoji sledeći iskaz

Kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla (na hipotenuzi)

jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao (na katetama)

Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom BAC Tvrdim da je kvadrat na BC

Jednak kvadratima na BA i AC(1)

Na osnovu 46 stava iste knjige na stranici BC konstruišimo kvadrat BDEC a na BA i

Slika 2

AC kvadrate kojima su dijagonale FB i GC Kroz tačku A povući ćemo pravu AH para-

lelnu svakoj od pravih BD i CE a zatim povući prave AD i IC (Slika 2) Pošto je svaki

od uglova BAC i BAF prav primenom 14 stava ove knjige znamo da prave AC AF

povučene nad pravom BA kroz istu njenu tačku A a sa raznih strana čine susedne ug-

love jednake dvema pravim uglovima pa su prave CA i AF u istoj pravoj Iz istog raz-

loga su i prave BA i AG u istoj pravoj Ugao DBC jednak je uglu IBA jer su oba prava

A kad dodamo svakom od njih ugao ABC biće ceo ugao DBA jednak celom uglu IBC

što se vidi iz 2 aksioma navedene knjige Pošto je strana DB jednaka strani BC a IB

strani BA to su dve strane DB i BA jednake stranama IB i BC i to odgovarajućim a

ugao DBA jednak uglu IBC a tada je i osnovica AD jednaka osnovici IC i trougao

ABD jednak trouglu IBC a prema stavu o dve jednake stranice i uglu između njih Ako

uzmemo u obzir stav 41 ove knjige paralelogram čija je dijagonala BH je dva puta veći

od trougla ABD jer imaju istu osnovicu BD i između su istih paralelnih BD i AH I kva-

drat FB je dva puta veći od trougla IBC jer i oni imaju istu osnovicu IB i između istih su

paralela IB i FC Prema tome je paralelogram BH jednak kvadratu FB Na sličan način

se pomoću povučenih pravih AE i BK može dokazati da je paralelogram CH jednak kva-

dratu GC Prema tome je ceo kvadrat BDEC jednak dvama kvadratima FB i GC Kvadrat

BDEC je konstruisan na BC a kvadrati FB GC na BA i AC Prema tome je kvadrat na

strani BC jednak kvadratima na stranama BA i AC

Dakle kod pravouglih trouglova je kvadrat na strani naspram pravog ugla ( na hipotenu-

zi) jednak kvadratima na stranama koje obrazuju prav ugao ( na katetama) A to je treba-

lo dokazati

U suštini se ovaj dokaz zasniva na tome da se iz podudarnosti trouglova IBC i ABD i

njihove jednakosti sa polovinama kvadrata FB i paralelograma BH zaključuje da je kva-

drat FB jednak paralelogramu BH

12 Obratna Pitagorina teorema

Koristeći prethodni dokaz stava 47 prve knjige Elemenata Euklid postavlja problem u

obrnutom smeru u završetku ove knjige u stavu 48 što još pouzdanije potvrđuje istini-

tost Pitagorine teoreme ( slika 3)

Ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema stra-

nama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav

U trouglu ABC kvadrat na jednoj njegovoj strani BC jednak je kvadratima na stranama

BA i AC Tvrdim da je ugao BAC prav(1)

Na veoma jednostavan način to je i dokazano Kroz tačku A povuče se prava AD upra-

vna na AC i prenese rastojanje AD jednako rastojanju AB zatim se spoje tačke D i C

Pošto je DA jednako AB onda je kvadrat na DA jednak kvadratu na AB Ako svakom

Slika 3

od njih dodamo kvadrat na AC onda će kvadrati na DA i AC biti jednaki kvadratima na

BA i AC Kvadrat na DC je jednak kvadratima na DA i AC jer je ugao DAC prav što

smo već zaključili u prethodnom stavu Pretpostavljeno je da je i kvadratima na BA i AC

jednak kvadrat na BC pa prema tome je i kvadrat na DC jednak kvadratu na BC Zato je i

strana DC jednaka strani BC Pošto je strana DA jednaka strani AB a AC zajednička

strana onda su i dve strane DA i AC jednake stranama BA i AC a i hipotenuza DC

jednaka je hipotenuzi BC -prema stavu I8 koji kaže da ako dva trougla imaju po dve

stranice jednake i jednake osnovice moraju biti i jednaki uglovi jednakih stranica pa

sledi da je ugao DAC koji je prav jednak uglu BAC koji je takođe prav

Dakle ako je kod trougla kvadrat na jednoj strani jednak kvadratima na ostalim dvema

stranama onda je ugao koji obrazuju ove dve strane prav A to je trebalo dokazati

2 NEKI POZNATI DOKAZI

21 Leonardov dokaz

Čuveni italijanski umetnik i naučnik Leonardo da Vinči izveo je dokaz Pitagorine teore-

me (3) uz pomoć simetrije i rotacije koju smo već definisali

Neka je ABC pravougli trougao čiji je prav ugao u temenu C Nad stranicama AB BC i

CA su konstruisani kvadrati AJHB BGFC i ACED Nad stranicom HJ konstruisan je tro-

ugao HJI koji je podudaran trouglu ABC odnosno zarotiran u odnosu na njega za 180˚ a

rotacijom smo dobili podudarnu figuru Šestougao AJIHBC je prepolovljen svojom dija-

gonalom CI Šestougao ABGFED je dobijen spajanjem tačaka E i F a prepolovljen je di-

jagonalom DG (slika 4) Pošto su trouglovi ABC i ECF simetrični u odnosu na dijago-

nalu DG samim tim su i direktno podudarni Tačke D C i G su kolinearne tj pripadaju

istoj pravoj Ako zarotiramo četvorougao DABG oko tačke A za 90˚ u smeru kretanja

kazaljke sata poklopiće se sa četvorouglom CAJI jer su im površine jednakeTo se za-

ključuje iz činjenice da su uglovi DAC i BAJ pravi tako da su i uglovi DAB i CAJ jed-

naki po aksiomu br 2 iz prve knjige Euklidovih Elemenata odnosno oba ugla su je-

dnaka zbiru pravog ugla i ugla CAB Takođe ugao AJI je jednak uglu ABG jer su oba

jednaka zbiru pravog ugla i ugla ABC To znači da duž AD prelazi u AC duž AB u AI

a duž BG u JI Ako se iz šestougla ABGFED izostave podudarni trouglovi ABC i ECF

njegova površina će biti jednaka zbiru površina kvadrata ACED i BCFG Ako iz površine

šestougla AJIHBC izostavimo površine podudarnih trouglova ABC i HJI shodno aksio-

mu br3 iste knjige ostaci će biti jednaki Dobićemo površinu koja je jednaka površini

kvadrata ABHJ pa dobijamo jednakost ACsup2 + BCsup2 = ABsup2

Slika 4

22 Garfildov dokaz

Suština ovog dokaza koji je izveo 20 predsednik SAD Džejms Garfild oko 1876 godi-

ne je jednostavna Na postojeći trougao se nadoveže njemu podudaran tako da se na is-

toj pravoj nalaze kraća kateta prvog i duža kateta drugog i da polaze iz istog temenaAko

spojimo druga dva temena koja pripadaju hipotenuzi dobićemo pravougli trapez sa dve

paralelne strane (leva je kateta b a desna je kateta a) Trapez sadrži osim prva dva tro-

ugla još jedan čije su katete stranice c (slika 5) Na jedan način površina trapeza se

može dobiti kao polovina proizvoda zbira stranice a i b Drugi način je da saberemo sve

tri površine trouglova na koje je podeljen

(a+b)sup2 = ab + ab + csup2 2 2 2 2odatle sledi asup2 + bsup2 = csup2

Slika 5

23 Dokaz Pitagorine teoreme pomoću sličnosti

Ovaj dokaz se izvodi na osnovu proporcionalnosti stranica odnosno na osnovu definicije

sličnosti

Preslikavanje kojim se jedna figura F preslikava u drugu figuru F1 naziva se sličnost

ako je razmera odgovarajućih duži isti broj i ako su odgovarajući uglovi jednaki

Neka su katete obeležene sa AB i AC a hipotenuza sa BC Iz uslova da je ugao A trougla

ABC prav sledi da je ABsup2 + ACsup2= BCsup2 Sa D ćemo obeležiti podnožje visine koja je

normalna na pravu BC Iz ovih uslova a uzimajući obzir VI knjigu stav 4 Euklidovih

Elemenata koji glasi

Kod trouglova sa jednakim uglovima su strane koje obrazuju jednake uglove propor-

cionalne i odgovaraju jedna drugoj one strane što leže naspram jednakih uglova(1)

Sledi da su trouglovi u sledećim odnosima

Trougao ABC je sličan trouglu DBA a trougao ABC je sličan trouglu DAC (Slika 6)

Tako da su zadovoljene sledeće relacije

ABBC = BDAB i ACBC = CD AC iz kojih sledi da je

ABsup2 = BC BD i ACsup2 = BC CD a iz ove dve jednakosti sledi da je

ABsup2 + ACsup2 = BC BD + BC CD = BC (BD + CD) = BCsup2

Slika 6

3 PRIMENA PITAGORINE TEOREME

31 Primena na trouglove

Poznata je njena primena na izračunavanje svih elemenata kod raznih vrsta trouglova i

ostalih geometrijskih tela kvadrata pravougaonika romba trapeza tako što uočimo pra-

vougli trougao u njima To pojednostavljuje računanje obima i površine tih figura

Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični

O=a+b+cP= ab2 ili P= ch2 h=abcasup2+bsup2= csup2 Pitagorina teorema R =c2 r=(a+b-c)2 h=radicpq a=radicpc b=radicqc c=p+q

O=a+2bP= ah2hsup2+(a2)sup2 = bsup2

O=3a i P= (asup2radic3)4 h=(aradic3)2 ry=(13)h=(aradic3)6ro=(23)h=(aradic3)3

Kvadrat

Pravougaonik

Romb

32Primena na piramide

O=a+b+c P=ch2asup2=hsup2+qsup2bsup2=hsup2+psup2

P=asup2 O=4ad=aradic2 a=dradic2 a=(dradic2)2

dsup2=asup2+bsup2 P=abO=2a+2b

O=4a P=ah= (d1d2)2(d12)sup2 + (d22)sup2 = asup2

Pravilne piramide trostrana (sl7) četvorostrana (sl8) šestostrana (sl9)-

Slika 7 Slika 8 Slika 9

Uz pomoć Pitagorine teoreme izračunaćemo tražene elemente kod pravilnih piramida

trostranih četvorostranih šestostranih kao i kod ostalih geometrijskih tela tako što

ćemo uočiti u njima pravougle trouglove što nam pomaže u daljim proračunima

4 PITAGORINE TROJKE

Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva ab i c za koje važi jednakost

asup2+bsup2=csup2 Pitagorinu trojku čine celiobrojne dužine stranica pravouglog trougla Takav

trougao se naziva Pitagorin trougao Najmanja racionalna trojka je 3-4-5 Naravno to

nije jedina Pitagorina trojka Postoje još mnoge drugekao na primer 5-12-13 Još su

Vavilonci koji su živeli nekoliko hiljada godina pre ne na svojim glinenim pločama

zapisali Pitagorine trojke U starom Egiptu se koristio konopac sa zavezanim čvorovima

da bi se formirao pravougli trougao sa ovakvim stranicama (slika 1)

5 IRACIONALNI BROJEVI

P=B+MB=(asup2radic3)4M=3(ah2)V=(BH)3V=(asup2radic3H)12ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=Rsup2+Hsup2R=(aradic3)3hsup2=rsup2+Hsup2r=(aradic3)6

P=B+M B=asup2M=4(ah2)==2ahV=BH3V=(asup2H)3ssup2=hsup2+(a2)sup2hsup2=Hsup2+(a2)sup2ssup2=(d2)sup2+Hsup2d=aradic2

P=B+MB=(6asup2radic3)4M=6(ah2)==3ahV=BH3V=(asup2radic3H)2ssup2=hsup2+(a2)sup2ssup2=asup2+Hsup2hsup2=Hsup2+(aradic32)sup2

Pretpostavlja se da su za otkriće iracionalnih brojeva zaslužni Pitagorejci ali nije poznato

da li su do toga došli proučavanjem geometrijske sredine ili razmatranjem dijagonale

kvadrata Pretpostavlja se da su logičkim putem dokazali da postoje nesamerljive duži

što je do tada bilo neshvatljivo Otkrili su postojanje iracionalnih brojeva tako što su do-

kazali nesamerljivost dijagonale kvadrata i njegove straniceDokazali su iracionalnost radic2

Iako se iracionalni brojevi ne mogu izraziti u obliku količnika dva cela broja mogu se

konstruisati uz pomoć lenjira i šestaraTako se radic2 koji se naziva Pitagorina konstanta

može dobiti kao hipotenuza pravouglog trougla čije katete iznose 1(slika 10)

Slika 10

6 PITAGORINO DRVO

Uz korišćenje Pitagorine teoreme konstruisanjem kvadrata nad katetama i hipotenuzom

mogu se dobiti razni geometrijski oblici - fraktali Fraktal je pojam kojim označavamo

geometrijski lik koji možemo da podelimo na beskonačan broj delova pri čemu će svaki

od njih biti isti ili sličan početnom liku Ime mu je dao Benoa Mendelbort 1975 godine

iz latinske reči fractus što znači - razlomljen Promenom vrednosti stranica možemo

dobiti razne simetrične (slika 11) i asimetrične figure( slika 12)

Slika 11 Pitagorino drvo

Slika 12Iskrivljeno Pitagorino drvo

ZAKLJUČAK

Značaj Pitagorine teoreme je prevazišao oblast geometrije tako da ima primenu u širim

naučnim disciplinama Njenim pravilnim formulisanjem Pitagora je ucrtao novu putanju

razvoja geometrije pa i celokupne matematike Širina primene je omogućena time što

većinu geometrijskih tela i figura možemo podeliti na pravougle trouglove i time olakšati

izračunavanje obima površine ili nekih drugih elemenata Smernice koje je Pitagora za-

jedno sa svojim sledbenicima Pitagorejcima dao pre dve hiljade godina i dalje su aktuelne

uprkos mnoštvu novih otkrića tokom vekova Njegova genijalnost da vidi stvari ispred

svog vremena je i dalje inspiracija naučnicima da proučavaju njegovu široku zaostavšti-

nu i da stalno uče iz nje

ZAHVALNOST

Zahvaljujem se svojoj nastavnici matematike Slađani Kosačević na pomoći i podršci

kao i svom mentoru profesorki matematike Vesni Rajšić na savetima u vezi ovog rada

KORIŠĆENI IZVORI I LITERATURA

(1) ABilimović - Prevod Euklidovih Elemenata u izdanju Matematičkog instituta Srpske akademije nauka

Između 1949 i 1957 godine

(2) Matematika -Opšta enciklopedija Larousse 1973 god

(3) http wwwcut-the-knotorgpythagorasindexshtml

(4) httpmathaboutcomodpythagoreansspythagdefhtm

(5) httpplanetmathorgencyclopediaProofOfPythagoreanTheoremhtml

(6) httpenwikipediaorgwikiPythagorean_theorem

(7) httpwwwsunsiteubccaDigitalMathArchiveEuclidjavahtmlbabylonhtml

REZIME

Pitagorina teorema je pojam u geometriji koji definiše odnos između tri stranice

pravouglog trougla Ime je dobila po starogrčkom matematičaru Pitagori koji je živeo u 6

veku pne On je iskoristio saznanja mnogih naucnika koji su živeli pre njega i sažeto ih

izrazio u stavu Površina kvadrata nad hipotenuzom je jednaka zbiru površina nad

katetama a zatim je to matematičkim putem i dokazao Ova saznanja bila su poznata još

vavilonskim kineskim indijskim i egipatskim naučnicima mnogo vekova ranije Ipak

starogrčka matematika je bogatija i svestranija od dotadašnjih nauka jer je težila ka tome

da se sva saznanja dokažu i obrazlože na naučni način Prvi poznati pisani dokaz

Pitagorine teoreme nalazi se u Euklidovim Elementima Ova teorema je bila inspiracija

mnogim naučnicima kroz vekove sve do današnjih dana Na razne načine izvođeni su

dokazi koji su vodili ka novim korisnim i zanimljivim zaključcima

Ključne reči Pitagorina teorema pravougli trougao hipotenuza katete iracionalni

brojevi Pitagorine trojke Pitagorino drvo

SUMMARY

Pythagorean theorem is a concept in geometry which defines relationship between three

sides of a right triangle The name was given by ancient Greek mathematician Pythagora

who had lived in 6century BC He used knowledges of many scientists who lived before

him and summarized them pointed in proposition The square of the hypotenuse of a

right triangle is equal to the sum of the squares on the other two sides Theese findings

were known to Babylonian Chinese Indian Egyptian scientists meny centuries before

However mathematic of the ancient Greeks is more richfull and versatile from former

sciences because it was streaming for prooving all findings and scientificaly explaines

First known written proof of Pythagorean theorem was found in Euclids Elements

Theese theorem was inspiration for many scientists through centuries allthrough

nowadays Proofs were taken in many diferent ways which led to new useful and

interesting conclusions

Key words Pythagorean theorem right triangle hypotenuse catheti irrational numbers

Pythagorean triple Pythagoras tree





5 Pitagorine trojke

6 Pitagorino drvo

UVOD










Slika 1
































podudarni

Osna simetrija


podudarna figura F`

Rotacija


11 Euklidov dokaz








Slika 2






















lo dokazati















Slika 3













21 Leonardov dokaz





















Slika 4

22 Garfildov dokaz










Slika 5



sličnosti















Slika 6






Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični




Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST
















5 Pitagorine trojke

6 Pitagorino drvo

UVOD










Slika 1
































podudarni

Osna simetrija


podudarna figura F`

Rotacija


11 Euklidov dokaz








Slika 2






















lo dokazati















Slika 3













21 Leonardov dokaz





















Slika 4

22 Garfildov dokaz










Slika 5



sličnosti















Slika 6






Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični




Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST





































podudarni

Osna simetrija


podudarna figura F`

Rotacija


11 Euklidov dokaz








Slika 2






















lo dokazati















Slika 3













21 Leonardov dokaz





















Slika 4

22 Garfildov dokaz










Slika 5



sličnosti















Slika 6






Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični




Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST













11 Euklidov dokaz








Slika 2






















lo dokazati















Slika 3













21 Leonardov dokaz





















Slika 4

22 Garfildov dokaz










Slika 5



sličnosti















Slika 6






Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični




Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST






















lo dokazati















Slika 3













21 Leonardov dokaz





















Slika 4

22 Garfildov dokaz










Slika 5



sličnosti















Slika 6






Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični




Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST












Slika 3













21 Leonardov dokaz





















Slika 4

22 Garfildov dokaz










Slika 5



sličnosti















Slika 6






Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični




Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST
















Slika 4

22 Garfildov dokaz










Slika 5



sličnosti















Slika 6






Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični




Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST














sličnosti















Slika 6






Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični




Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST













Pravougli

Jednakokraki

Jednakostranični

Nejednakostranični




Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST












Kvadrat

Pravougaonik

Romb











4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST

















4 PITAGORINE TROJKE




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST




















Slika 10

6 PITAGORINO DRVO









ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST














ZAKLJUČAK










ZAHVALNOST















ZAHVALNOST












Documents

Pitagorina Teorema - Dokazi