)

5

13

?

Naravno, primenjujemo Pitagorinu teoremu:

A

a cm

c cm

b

=

=

=

2 2 2

2 2 2

2

2

2

5 13

25 169

169 25

144

144

12

a b c

b

b

b

b

b

b cm

+ =

+ =

+ =

=

=

=

=

)

9

12

?

B

a cm

b cm

c

=

=

=

2 2 2

2 2 2

2

2

9 12

81 144

225

225

15

a b c

c

c

c

c

c cm

+ =

+ =

+ =

=

=

=

224

8

1) ?

2) ?

P cm

a cm

b

O

=

=

=

=

Primeniemo formulu za povrinu pravouglog trougla i iz nje nai katetu b.

28

24 skratimo 8 i 2 sa 22

24=4b

24b=

46

a bP

b

b cm

=

=

=

Sada emo pomou Pitagorine teoreme nai hipotenuzu c a zatim i obim O = a + b + c

2 2 2

2 2 2

2

2

8 6

64 36

100

100

10

a b c

c

c

c

c

c cm

+ =

+ =

+ =

=

=

=

O = a + b + c O = 8 + 6 + 10 O = 24 cm

9

12

?

?c

a cm

b cm

P

h

=

=

=

=

Kreemo od obrasca za povrinu trougla:

2

29 12

29 6

54

a bP

P

P

P cm

=

=

=

=

Primenimo Pitagorinu teoremu:

2 2 2

2 2 2

2

2

9 12

81 144

225

225

15

a b c

c

c

c

c

c cm

+ =

+ =

+ =

=

=

=

Dalje traimo hipotenuzinu visinu ( pogledaj teorijske napomene i podseti se formule)

9 12 skratimo 12 i 15 sa 3

159 4

5

36 cm

57, 2

c

c

c

c

c

a bh

c

h

h

h

h cm

=

=

=

=

=

Naravno najpre moramo nacrtati sliku i uoiti ta je to to se od nas trai:

A B

CD

a=8cm

b=6cmh cc

Vidimo da je traeno rastojanje ustvari hipotenuzina visina trougla ABC. Dakle, prvo emo nai duinu c, a zatim i to traeno rastojanje.

2 2 2

2 2 2

2

2

8 6

64 36

100

100

10

a b c

c

c

c

c

c cm

+ =

+ =

+ =

=

=

=

8 6

1048

104,8

c

c

c

c

a bh

c

h

h

h cm

=

=

=

=

A B

C

a

b

ha

a_2

b=13cm=12cm

1) Osnovicu emo nai primenom Pitagorine teoreme na plavi trougao( pogledaj teorijske napomene)

22 2

22 2

2

2

2

2

12 132

144 1692

169 1442

252

252

52

5 2

10

a

ah b

a

a

a

a

a

a

a

a cm

+ =

+ =

+ =

=

=

=

=

=

=

2) Visinu koja odgovara kraku b emo nai kombinujui formule za povrinu!

Kao to znamo , povrina se moe izraunati preko dve formule:

ili 2 2

Ako uporedimo ove dve formule:

skratimo dvojke2 2

odavde izrazimo

10 12

13120

13

a b

a b

a b b

a

b

b

b

a h b hP P

a h b h

a h b h h

a hh

b

h

h cm

= =

=

=

=

=

=

Najpre emo nai duinu dui BC, primenjujui Pitagorinu teoremu na trougao ABC.

A

B SC

3cm5cm

d

2 2 2

2 2 2

2

2

5 3

25 9

16

16

4

BC AC AB

BC

BC

BC

BC

BC cm

=

=

=

=

=

=

Kako je S sredina stranice BC , to znai da je duina BS = 2cm. Dalje primenjujemo Pitagorinu teoremu na trougao ABS

A

B SC

3cm5cm

d

2cm

2 2 2

2 2 2

2

2

3 2

9 4

13

13

d AB SB

d

d

d

d cm

= +

= +

= +

=

=

Obeleimo na slici take A i B.

k

q

pO A

BS

r

r

d

Kako su p i q tangente datog kruga, znamo da su one normalne na poluprenik. To nam govori da je etvorougao OASB kvadrat, stranice r i dijagonale d = OS = 4cm.

2 primenimo kod naeg zadatka:

2

4 2

2

2 2

da

r

r cm

=

=

=

Najpre uoimo da su lestvice u obliku jednakokrakog trapeza. Moramo izraunati visinu tog trapeza.

a

b

cc h

a-b2

a = 1,6 m b = 0,4 m c = 1m h = ?

22 2

22 2

22

2 2

2

2

2

1,6 0,41

2

1, 21

2

1 (0,6)

1 0,36

0,64

0,64

0,8

a bh c

h

h

h

h

h

h

h m

=

=

=

=

=

=

=

=

h=0,8m

2m

Najvea visina koju Milan moe dosegnuti je 0,8 + 2 = 2,8 metra

stub 10m

duina senke 20m

d

vrabac

Sa slike uoavamo da je na ovaj nain oformljen pravougli trougao, a traeno rastojanje je hipotenuza ovog trougla!

2 2 2

2

2

10 20

100 400

500

500

500 100 5 100 5

10 5

d

d

d

d

d

d m

= +

= +

=

=

= = =

=

Pogledajmo najpre sliku:

25m

x

25-x

25-x

5m

Obeleimo sa x visinu na kojoj je stablo polomljeno. Poto je celo stablo visoko 25 metara, onaj gornji deo, koji je pao ka zemlji je 25 - x metara. Na taj nain je nastao pravougli trougao, na kome emo primeniti Pitagorinu teoremu!

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

5 (25 ) pazi, na desnoj strani je kvadrat binoma!

25 25 2 25

25 625 50

50 625 25

50 600

600

5012

x x

x x x

x x x

x x x

x

x

x m

+ =

+ = +

+ = +

+ =

=

=

=

Dakle , stablo je polomljeno na 12 metara od zemlje.

A

B

C b

a=b-2c=b+2

Primenjujemo Pitagorinu teoremu:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

( 2) ( 2)

2 2 2 2 2 2

4 4 4 4 nepoznate prebacimo na levu a poznate na desnu stranu

4 4 4 4

8 0

( 8) 0 0 ili b-8=0 b=8cm

2 8 2

a b c

b b b

b b b b b

b b b b b

b b b b b

b b

b b b

a b a a

+ =

+ = +

+ + = + +

+ + = + +

+ =

=

= =

= = = 6

2 8 2 10

Dalje da nadjemo obim:

6 8 10

24

cm

c b c c cm

O a b c

O

O cm

= + = + =

= + +

= + +

=

48 2

?

O cm

d

=

=

a

ad

Iz obima emo nai duinu stranice a.

4

48 2 4

48 2

4

12 2

O a

a

a

a cm

=

=

=

=

Dalje koristimo formulu za dijagonalu:

22

12 2 2

12 2

12 2

24

d a

d

d

d

d cm

=

=

=

=

=

a=12cm

bd=b+8

Naravno, primenjujemo Pitagorinu teoremu na plavi trougao.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

( 8) 12

2 8 8 144

16 64 144

16 144 64

16 80

80

165

Sada nije teko nai povrinu:

12 5

60

d a b

b b

b b b

b b b

b b b

b

b

b cm

P a b

P

P cm

= +

+ = +

+ + = +

+ + = +

+ =

=

=

=

=

=

=

r=d/2

a=12cm

b

Kako se centar opisane krunice kod pravougaonika nalazi u preseku dijagonala, to moemo zakljuiti da je poluprenik jednak polovini dijagonale odnosno da je: d = 2r , to jest d = 30cm Dalje emo primenom Pitagorine teoreme nai nepoznatu stranicu b.

2 2 2

2 2 2

2

2

2

24 30

576 900

900 576

324

324

18

a b d

b

b

b

b

b

b cm

+ =

+ =

+ =

=

=

=

=

Obim pravougaonika je:

2 2

2( )

2(24 18)

2 42

84

O a b

O a b

O

O

O cm

= +

= +

= +

=

=

1

2

100

40

1) ? ?

2) ?

3) ?

O cm

d cm

a d

P

h

=

=

= =

=

=

a

a

dd2

1

h

1

2

d 2

2

d

Iz obima emo nai duinu ivice a.

4

100 4

100

425

O a

a

a

a cm

=

=

=

=

Primenom Pitagorine teoreme na plavi trougao, Nai emo drugu dijagonalu.

2 22 1 2

22

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

4025

2 2

625 202

625 4002

625 4002

2252

2252

152

15 2

30

d da

d

d

d

d

d

d

d

d

d cm

= +

= +

= +

= +

=

=

=

=

=

=

Dalje raunamo povrinu:

1 2

2

240 30

2

600

d dP

P

P cm

=

=

=

Da bi nali duinu visine h , moramo upotrebiti i drugu formulu za povrinu:

600 25

600

2524

P a h

h

h

h cm

=

=

=

=

Nacrtajmo najpre sliku:

C

C1

B

A

6cm

60o

60o

60o

60o

Kako je trougao 1CC B jednakostranian, njegovi uglovi su po 60 stepeni. Kako su mu i sve stranice jednake , to je

1 1 6CC CB BC cm= = =

Kako je 1CC teina du, ona deli stranicu AB na dva jednaka dela ,pa je i 1 6C A cm= .

Dalje zakljuujemo da je trougao 1CC A jednakokraki.

Kako je 0 0 01 180 60 120CC A = = a 1CC A je jednakokraki to e dva ostala ugla biti:

0 00

1 1

180 12030

2C CA CAC

= = =

Pogledajmo na slici ta smo do sada izmozgali:

C

C1

B

A

6cm

60o

60o

60o

60o

120

30

o

o

30o

6cm

6cm

6cm

Dakle , uglovi trougla ABC su 30, 60 i 90 stepeni.

to se tie stranica , oigledno je BC = 6cm, AB = 12cm a AC emo dobiti primenom Pitagorine teoreme:

2 2 2

2 2 2

2

2

12 6

144 36

108

108 36 3 36 3

6 3

AC AB BC

AC

AC

AC

AC

AC CM

=

=

=

=

= = =

=

Prouimo najpre sliku:

A B

C

D

8cm 13cm

60o

30o

4cm

Kako je 060CAB = a CD visina, to nam govori da je 030ACD = , odnosno da je trougao ACD polovina jednakostraninog trougla stranice 8 cm. Onda je AD = 4cm. CD je visina tog trougla ija je stranica 8cm.

3

2

8 3

2

4 3

ah

CD

CD cm

=

=

=

DB emo nai pomou Pitagorine teoreme:

2 2 2

2 2 2

2

2

2

13 (4 3)

169 16 3

169 48

121

121

11

DB CB CD

DB

DB

DB

DB

DB

DB cm

=

=

=

=

=

=

=

x

y

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

0

A(-4,0)

B(0,-3)

p

O(0,0)

d

Oigledno je trougao ABO pravougli sa katetama AO= 4 i BO =3( pazi, ovde nema jedinica mere, pa ne piemo cm, m ...)

2 2 2

2 2 2

2

2

3 4

9 16

25

25

5

AB OB OC

AB

AB

AB

AB

AB

= +

= +

= +

=

=

=

Traeno rastojanje d je visina ovog pravouglog trougla:

3 4

512

5

2, 4

c

a bh

c

d

d

d

=

=

=

=

Najpre dobro proitamo zadatak i dopunimo sliku:

x

y

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

0 6 7

A(1,1)

B(7,4)

C(7,1)

d

A) Oigledno je: AC = 7 1 = 6 i BC = 4-1 = 3 AB emo nai primenom Pitagorine teoreme:

2 2 2

2 2 2

2

2

3 6

9 36

45

45 9 5 9 5 3 5

3 5

AB BC AC

AB

AB

AB

AB

AB

= +

= +

= +

=

= = = =

=

B) Traeno rastojanje je visina ovog trougla, dakle:

2

3 6

3 5

6 moramo izvriti racionalizaciju

5

6 5

5 5

6 5

5

6 5

5

c

a bh

c

d

d

d

d

d

=

=

=

=

=

=