Teorema de restricción de Stein-Tomas

Ezequiel Rela

Mar del Plata - Agosto 2010

1. Introducción

El objetivo de estas notas es estudiar la posibilidad de restringir la trans-formada de Fourier de una función f ! Lp(Rn) a una hipersuperficie com-pacta suave de Rn. Es sabido que si f ! L1(Rn) su transformada de Fourier!f es continua y puede ser restringida a cualquier subconjunto del espacio.Por otro lado. si sólo sabemos que f ! L2(Rn), la transformada !f puedeser cualquier función de L2(Rn), por lo que no tiene sentido restringirla aconjuntos de medida cero. De todos modos, el problema puede formularsecorrectamente en el siguiente sentido.

Dada una función f ! S(Rn) tenemos que !f ! S(Rn), de modo que tienesentido pensar en !f restringida a Sn!1. Consideramos el operador

R : S(Rn) " Lp(Rn) # Lq(Sn!1)

f $# !f |Sn!1

Si este operador resulta acotado, entonces se puede extender por densidad atodo Lp y darle sentido a la restricción de !f . El objetivo entonces es ver siexiste una constante C > 0 tal que para toda función f ! S(Rn) valga

"

Sn!1| !f(!)|qd" % C&f&q

p.

En ese caso se tiene un teorema de restricción con exponentes (p, q) y vamosa decir que vale R(p # q). Para referirnos a una superficie S en particular,vamos a notar RS(p # q).

En estas notas se estudia la posibilidad de obtener un teorema de res-tricción de la transformada de Fourier para una medida µ soportada en unsubconjunto E ' R. Un teorema clásico de Stein-Tomas afirma que esto esposible en el caso en que E ' Rn es una hipersuperficie suave con curvaturano nula en cada punto y µ es la medida de superficie ([Ste93, Tom75]). En[Moc00], Mockenhaupt se reproduce la prueba de Stein-Tomas para el casounidimensional reemplazando la hipótesis de curvatura (que no tiene sentidoen R) por una condición de decaimiento para !µ (que es lo que realmente se

1

usa en el trabajo original de ST: cuanto más “plana” es la hipersuperficie,menos decae !µ) (ver también [Mit02]). Referencias clásicas en el tema son[Tao04], [Wol03]. [Gra04].

Adelantándonos al final de esta charla, podemos resumir las condicionessobre el subconjunto E que van a ser relevantes para obtener un teorema derestricción. En primer lugar, notamos que lo que debe considerarse es el par(E,µ) donde E es el conjunto y µ es una medida soportada en E. Las doshipótesis sobre µ que vamos a considerar son:

(Dimensión de Fourier de E) Para un cierto # > 0,

|!µ($)| % C|$|!!/2. (1)

(Dimensión de Hausdor! de E) Existe % > 0 tal que

µ(B(x, r)) ( r". (2)

Observación 1.0.1 El lema de Frostman dice que la condición (2) dice pre-cisamente que la dimensión de Hausdor! de E es al menos %. La condición(1) dice que la dimensión de Fourier, definida como

dimF (E) = sup{# > 0 : ) µ ! P(E); !µ($) % C|$|!!/2}, (3)

debe satisfacer dimF (E) * #.

Se puede probar que si µ es una medida de soporte compacto en Rn quesatisface (1), entonces dimH(spt(µ)) * #. Por lo tanto, para una medidaµ ! P(Rn), hay una decaimiento máximo posible para su transformada deFourier relacionada con el tamaño de su soporte. Volveremos sobre esto enla Sección 7.

Notemos que en el caso de la esfera, se tiene que

µ(B(x, r)) ( rn!1

para cada x ! E. Por otro lado, calcularemos explícitamente (Teorema 5.2.3)

la transformada de la medida µ y obtendremos que |!µ($)| ! |$|n!1

2

Para el caso n = 1, lo natural es trabajar con medidas soportadas enconjuntos de dimensión menor a uno y que satisfacen una relación del tipo

µ(B(x, r)) ( r" (4)

para cada x ! E. Más aún, se pueden considerar conjuntos h-dimensionalesy medidas que satisfagan la relación

µ(B(x, r)) ( h(r)

para alguna función de dimensión h (cóncava, no decreciente, que se anuleen el origen)

2

1.1. Superficies compactas

Una observación útil que hacemos es la siguiente. Si B ! Rn es un com-pacto, entonces

Lr(B) " Lq(B) " L1(B). (5)

Esto se refleja en una desigualdad de normas:

&f&Lq(B) % C&f&Lr(B), si q % r.

Si aplicamos Hölder con exponentes p = rq , p" = ( r

q )" = 11! q

r

= rr!q queda

&f&qLq(B) =

"

B|f |q dx %

#"

B|f |rdx

$ qr#"

B1

rr!q dx

$ r!qr

= &f&qLr(B)|B|

r!qr .

Entonces queda

&f&Lq(B) % |B|r!qrq &f&Lr(B). (6)

Con esto vemos que si S es compacto, RS(p # r) + RS(p # q) cada vezque q % r. Si vale RS(p # r), entonces

& !f&Lq(S) % "(S)r!qrq & !f&Lr(S) % "(S)

r!qrq C&f&Lp(Rn). (7)

1.2. Algunos casos triviales

1. Siempre vale R(1 # q), pues

& !f&# % &f&1 (8)

2. Nunca vale R(2 # q). Sea f ! L2(Rn) tal que !f($) = 1 para $ ! Sn!1

y cero en otro caso. Entonces & !f&2 = &f&2 = 0 pero & !f&Lq(Sn!1) ( 1

2. Técnicas

2.1. Resultados elementales:

& !f&# % &f&1

Plancherel: &f&2 = & !f&2

Hausdor!-Young: (1 % p % 2) & !f&p" % &f&p ,f ! Lp(Rn)

Young: Si 1p + 1

q * 1, f ! Lp, g ! Lq y r es tal que 1r = 1

p + 1q - 1

entonces&f . g&r % &f&p&g&q (9)

3

Proposición 2.1.1 Sea T : L2 # L2 definido como Tf = f . K. Entonces&T& = & !K&#.

Teorema 2.1.2 (Parseval para medidas) Sean µ, & medidas finitas enRn. Vale "

Rn

!µ(!)d& =

"

Rn

!&(!)dµ (10)

Proposición 2.1.3 Sea µ ! M(Rn), ' ! S(Rn). Entonces %'µ = !' . µ.Notar que esto nos dice que !' . µ es una función.

Demostración: Notemos primero que !µ es C# y está acotada. En-tonces 'µ ! S(Rn). Basta probar que para toda ( ! S(Rn) vale

"

Rn

(!' . µ)(x)((x)dx =

"

Rn

'(x)!µ(-x) !((x)dx

Pongamos T (x) = -x. Entonces

"

Rn

'(x)!µ(-x) !((x)dx =

"

Rn

'(-x)!µ(x) !((-x)dx

=

"

Rn

(' !( / T )(x)!µ(x)dx

=

"

Rn

!(' !( / T ) ($)dµ($) Parseval (10)

=

"

Rn

( "' / T . !!( / T )($)dµ($)

=

"

Rn

( !' . ()($)dµ($)

=

"

Rn

"

Rn

((!)!'(! - $)d!dµ($)

=

"

Rn

((!)(!' . µ)(!)d!

2.2. Interpolación

Teorema 2.2.1 (M. Riesz-Thorin) Sean p0, p1, q0, q1 tales que

1 % p0, p1, q0, q1 % 0 (11)

y para 0 < ) < 1, definamos p y q como

1

p=

1 - )

p0+

)

p1,

1

q=

1 - )

q0+

)

q1

4

Si T es un operador lineal de Lp0 + Lp1 en Lq0 + Lq1 tal que

&Tf&q0 % M0&f&p0 para f ! Lp0

&Tf&q1 % M1&f&p1 para f ! Lp1

entonces&Tf&q % M1!#

0 M#1 &f&p para f ! Lp

Este teorema dice que dado un par de acotaciones (p0, q0), (p1, q1), setiene la acotación para cualquier par (p, q) que caiga en el segmento que une( 1

p0, 1

q0) con ( 1

p1, 1

q1).

Como consecuencia de (7), (8) y este último teorema, tenemos que cadapar de exponentes (r, s) nos da gratis toda una región como la que muestrael dibujo.

1q

1p

1

1

(1r , 1

s )

Figura 1: Interpolación

2.3. Problemas relacionados

1. Restricción a curvas en Rn: [BLL07], [BOS08]. [BOS09]. En R3: [BO03].

2. Superficies con cierta estructura en Rn: [BL04]. Resultados “locales”:[FGU04, FU08, FU09].

3. Formulación dual: problema de extensión

Supongamos que vale R(p # q). Entonces para toda f ! S(Rn)

& !f&Lq(Sn!1) % C&f&p de modo que sup$f$p=1

& !f&Lq(Sn!1) % C

5

Por lo tanto

sup$f$p=1

&

' sup$g$

Lq" (Sn!1)=1

((((

"

Sn!1

!f(!)g(!)d"(!)

((((

)

* % C

sup$g$

Lq" (Sn!1)=1

+

sup$f$p=1

((((

"

Rn

,gd"(x)f(x)dx

((((

-

% C

Entoncessup

$g$Lq" (Sn!1)

=1&,gd"&Lp" (Rn) % C

de modo que

&,gd"&Lp" (Rn) % C&g&Lq" (Sn!1) ,g ! Lq"(Sn!1) (12)

3.1. Conexión con PDE

Consideremos la ecuación de Helmholtz:

!u + 4*2u = 0

Dada una función g ! Lp(Sn!1), tenemos que ,gd" es una solución en sen-tido distribucional de la ecuación anterior. Para verificar esto, tomemosf ! S(Rn) y evaluemos

(!,gd" + 4*2 ,gd")(f) = ,gd"(!f) + 4*2 ,gd"(f)

= gd"( %!f + 4*2 !f)

= 4*2gd"((1 - |$|2) !f) = 0

pues gd" está soportada en la esfera. Conseguir acotaciones como en (12) dainformación sobre el decaimiento de las soluciones de la ecuación de Helmoltz.

La misma clase de de razonamiento permite verificar que ,gdµ, con dµla medida del paraboloide {(+, $) : + = 2*|$|2} es solución general de laecuación de Schrödinger:

i,tu = !xu

4. Ejemplos y condiciones necesarias

4.1. Superficies planas?

Ejemplo 4.1.1 Sea S = {x ! Rn : xn = 0, &x& % 1}. Si vale RS(p # q)entonces p = 1.

6

Consideremos ( ! S(Rn) tal que !( ! S(Rn) y !(($) = 1 en [-1, 1]n. Escribi-mos a los puntos de Rn como x = (x, xn) Definamos f como

f(x) = ((x,xn

-)

Entonces

&f&pp =

"

Rn

|((x,xn

-)|pdx = -

"

Rn

|((x1, . . . , xn!1, xn)|pdx = -&(&pp

Por otro lado, !f($) = - !(($1, . . . , $n!1,-$n)

& !f&qLq(S) = -q

"

S| !(($1, . . . , $n!1,-$n)|qd"

= -q"

Rn!1.B(0,1)

($) !(($1, . . . , $n!1, 0)|qd$1 . . . d$n!1

( -q

Entonces&f&p ( -

1p y &f&q ( - (13)

Juntamos las dos estimaciones y tenemos que debe valer la desigualdad

- % C-1p ,- (p * 1)

Si hacemos tender - a +0 entonces debe valer p = 1.

4.2. Curvamos un poco...(primera condición necesaria)

Supongamos que tenemos una superficie S " Rn dada como el gráfico deuna función / : Rn!1 # R diferenciable, tal que /(0) = 1/(0) = 0 y tal que/(x) = O(|x|k) con k * 2. Tenemos entonces la siguiente proposición:

Proposición 4.2.1 Si vale RS(p # q) con una superficie (S, d") como ladescripta arriba, entonces p" > n+k!1

n!1 q

Demostración: La idea es jugar con las dilataciones como en elejemplo anterior. Consideremos ( ! S(Rn) como antes: !(($) = 1 en [-1, 1]n.Sea f : Rn # R definida como

f(x1, x2, . . . , xn!1, xn) = ((x1

-1k

,x2

-1k

, . . . ,xn!1

-1k

,xn

-) - 2 1

Entonces

&f&p =

#"

Rn

|f(x)|pdx

$ 1p

=

#-

n!1+kk

"

Rn

|((x)|pdx

$ 1p

( -n!1+k

kp

7

Por otro lado,

!f($1, $2, . . . , $n!1, $n) = -n!1+k

k !(($1-1k , . . . , $n!1-

1k , $n-)

Calculamos ahora & !f&Lq(S). Sea B(0,-!1k ) " Rn!1. Definamos

"$ = B(0,-!1k ) 3 (--!1,-!1)

Entonces !f ( -n!1+k

k sobre S 4 "$. Además podemos estimar la medida deS 4 "$:

d"(S 4 "$) ( -!1k(n!1)

Juntando estas dos estimaciones, tenemos que

& !f&Lq(S) ( -n+k!1

k -1!nqk

Como esto debe valer para cualquier elección de - 2 1, obtenemos que

-n+k!1

k -1!nqk ! -

n+k!1kp

De esta desigualdad se deduce que

n + k - 1

kpp +

1 - n

qk-

n + k - 1

kp% 0

n + k - 1

kp(p - 1) %

n - 1

qk

n + k - 1

n - 1(1 -

1

p) %

1

q

De modo que obtenemos

1

q*

n + k - 1

n - 1(1 -

1

p) (14)

Si la superficie es suave, tenemos asegurado que k * 2. En el caso de laesfera, sabemos que k = 2. Con esto tenemos la primera condición necesariapara que exista un teorema de restricción para la esfera.

1q * n+1

n!1(1 - 1p)

Está claro que cuanto más plana sea la superficie, más restrictiva es lacondición (14) (la pendiente de la recta en el plano (1

p , 1q ) es cada vez más

vertical). En el caso extremo en que S sea un plano, vimos con un ejemplo queno es posible encontrar teoremas de restricción con exponentes no triviales.

8

4.3. Segunda condición necesaria

Consideremos la formulación dual del problema de restricción. Si pone-mos g 5 1 en (12) entonces debe valer

&%d"&Lp" (Rn) % C

Ahora usamos que |%d"| = O(|x|!n!1

2 ) para x 2 1. Entonces la condiciónnecesaria que aparece es que la integral

"

|x|>1

1

|x|n!1

2 p"dx = !n

"

r>1

1

rn!1

2 p"rn!1dr =

"

r>1

1

rn!1

2 (p"!2)dr

sea finita. Esto ocurre si y sólo si

n - 1

2(p" - 2) > 1 6+ p" >

n - 1

2+ 2 =

2n

n - 1

6+1

p"<

n - 1

2n

6+1

p= 1 -

1

p">

n + 1

2n

Tenemos entonces la segunda condición necesaria:

1

p>

n + 1

2n

Cada teorema de restricción del tipo RS(p0 # q0) nos da automática-mente la validez de RS(p # q) para 1

p > 1p0

, 1q > n+1

n!11p" , pues tenemos que

vale (para S compacto) RS(1 # q) para todo q (cosa que se desprende delresultado trivial R(1 # 0)).

1q

1p

1q = n+1

n!1(1 - 1p)

12

12

1

1

n+12n

No vale R(p, q)

Condiciones necesarias

Figura 2: Condiciones necesarias, n = 3.

9

5. Integrales oscilatorias

Para - ! R, ' ! C#(Rn) y a ! C#0 (Rn) definimos

I(-) =

"

Rn

ei$%(x)a(x) dx

El objetivo es estudiar el decaimiento de I(-) para |-| # 0. La primeraobservación es que si ' es constante en el soporte de a entonces

I(-) = C

"

Rn

a(x) dx (15)

y no hay decaimiento posible.

5.1. Primer caso: una variable

Lema 5.1.1 (Fase no estacionaria) Sean a y ' como antes. Si además'"(x) 7= 0 en el soporte de a entonces

I(-) = O(-!N ) (16)

para todo N ! N

Demostración: Consideramos el operador diferencial D.

D(f) =1

i-'"df

dx(17)

El traspuesto de D es tDf = -d

dx

#f

i-'"

$. Notemos que DN (ei$%) = ei$%

para todo N , de modo que integrando por partes queda

I(-) =

"

R

ei$%(x)a(x) dx (18)

=

"

R

DN (ei$%(x))a(x) dx (19)

=

"

R

ei$%(x)tDNa(x) dx (20)

y entonces

I(-) =1

-N

"

R

((tDNa(x)(( dx =

1

-NC(N, a,') (21)

Proposición 5.1.2 (Fase estacionaria) Sea k * 2, ' ! C#(R) tal que'(x0) = '"(x0) = '(x0) = · · · = '(k!1)(x0) = 0 y '(k) 7= 0. Si el soporte dea está en un entorno suficientemente reducido de x0, entonces

I(-) =

"

R

ei$%(x)a(x) dx ( -1k (22)

10

Demostración: (Caso k = 2, '(x) = x2)Tenemos

I(-) =

"

R

ei$x2a(x) dx (23)

Sabemos que si g(x) = e!zx2con z > 0 entonces !g = e!

!2"2

z

.R

e!zx2dx de

modo que

!g($) =/*

z

0 12e!

!2"2

z (24)

Si usamos Parseval,

"

R

e!zx2a(x) dx =

/*z

0 12

"

R

e!!2"2

z !a($) d$ (25)

Afirmación: vale (25) para S = {z ! C : Re(z) * 0 , z 7= 0}Si ponemos z = -i*-, - > 0,

"

R

ei&$x2a(x) dx =

/ *

i*-

0 12

"

R

e!2"2

i!# !a($) d$ (26)

=1

-12

(1 - i)182

"

R

e!i!"2

# !a($) d$ (27)

(28)

Entonces((((

"

R

ei$x2a(x) dx

(((( %1

|-|12

#"

R

|e!i!"2

# - 1| |!a($)| d$ +

"

R

|!a($)| d$

$

%1

|-|12

#*

|-|

"

R

|$|2 |!a($)| d$ + |a(0)|$

%|a(0)||-|

12

+

.|'|>1 |$|

2 |!a($)| d$ +.|'|<1 |$|

2 |!a($)| d$

|-|32

%|a(0)||-|

12

+1

|-|32

#C&a(4)&1 + &a&1

2

3

$

Ahora, el caso general para k = 2, ' suave. Tenemos que '(x0) ='"(x0) = 0, '""(x0) 7= 0. Podemos escribir entonces

'(x) = c(x - x0)2 + O(|x - x0|)3 (29)

= c(x - x0)2(1 + 0(x)) con 0(x) = O(|x - x0|) (30)

Si desarrollamos en polinomio de Taylor, vemos podemos tomar

0(x) = (x - x0)'"""(1x) (31)

11

Observemos que como '""(x0) 7= 0,

'"(x) = '"(x) - '"(x0) = '""()x)(x - x0) 7= 0 (32)

si x está cerca de x0. Podemos definir y : V # y(V ) un difeo si V es unentorno de x0 suficientemente chico mediante la fórmula

y(x) = (x - x0)(1 + 0(x))12 (33)

Como 0 7= '"(x) = c2y(x)y"(x) y además y"(x0) = lımx%x0(1+0(x)12 = 1,

resulta que y"(x) 7= 0 en V .Finalmente, para x ! V , vale que '(x(y)) = cy2(x). Si a tiene soporte en

V"

R

ei$%(x)a(x) dx =

"

Vei$%(x)a(x) dx =

"

y(V )ei$cy2

a(x(y))x"(y) dy (34)

y se aplica el resultado para x2.

Proposición 5.1.3 (Funciones de Bessel) La función de Bessel Jm(r)de orden m se define como

Jm(r) =1

2*

" 2&

0eir sen #e!im# d) (35)

Vale que

Jm(r) = O(r!12 ) (r # 0) (36)

Demostración: Basta notar que '()) = sen()) tiene derivada nula en&2 y 3&

2 . En esos puntos |'""| = 1. Con una partición de la unidad escribimos aJm como suma de tres integrales y aplicamos el caso k = 2 de la proposiciónde fase estacionaria.

Proposición 5.1.4 Vale la siguiente expresión para las funciones de Bessel

Jm(r) =( r2)m

#(m + 12)*

12

" 1

!1eirt(1 - t2)m! 1

2 dt (37)

Teorema 5.1.5 Sea d" la medida uniforme en Sn!1. Entonces

|%d"($)| = O(|$|!n!1

2 )

Demostración: Podemos asumir que $ = (0, . . . , 0, $n). Entonces

%d"($) =

"

Sn!1e!2&i|'| cos # d"(x) (38)

12

donde ) es el ángulo con el polo norte. En coordenadas esféricas,

%d"($) = |"n!2|" &

0e!2&i|'| cos #(sen ))n!1d) (39)

si ponemos r = 2*|$| y t = - cos ) obtenemos que

|%d"($)| =

" 1

!1eirt(1 - t2)

n!22

dt

(1 - t2)12

= Jn!22

r!n!2

2 (40)

de modo que

|%d"($)| = O(|$|!12 )|$|!

n!22 = O(|$|!

n!22 ! 1

2 ) = O(|$|!n!1

2 ) (41)

5.2. Varias variables

Lema 5.2.1 (Fase no estacionaria, ver Lema 5.1.1) Considerar a y 'en S(Rn), a de soporte compacto. Si además 1'(x) 7= 0 en el soporte de aentonces

I(-) =

"

Rn

ei&%(x) a(x) dx = O(-!N ) (42)

para todo N ! N

Proposición 5.2.2 (Fase estacionaria, ver Proposición 5.1.2) Sean ay ' en S(Rn), a de soporte compacto. Sea x0 un punto crítico de ' no

degenrado, es decir,

#,2'

,xi,xj

$(x0) es inversible. Si el soporte de a está

contenido en un entorno suficientemente chico de x0 entonces

I(-) =

"

Rn

ei&%(x) a(x) dx = Ca(x0)ei$%(x)-!

n2 + O(-!

n+12 ) (43)

Con estos dos resultados podemos probar que si d" es la medida de unahipersuperficie S de curvatura no nula entonces hay cierto decaimiento parasu transformada.

Teorema 5.2.3 Sea S " Rn+1 una hipersuperficie, d" la medida en S, a !C#

0 (Rn) y dµ = a d". Si S admite una parametrización por una ' como enla Proposición 5.2.2 (decimos en ese caso que S tiene curvatura Gaussianano nula), entonces

|%dµ($)| ! |$|!n2 (44)

13

Demostración: Podemos suponer que

S = {(x,'(x)) : x ! U " Rn ;'(0) = 0 ;1'(0) = 0} (45)

Entonces d" =1

1 + |1'|2 dx1dx2 . . . dxn. La integral oscilatoria a estimares entonces

%dµ($) =

"

Rn+1e!2&ix·' dµ(x) (46)

=

"

Rn

e!2&i&(x1,...,xn,%(x1,...,xn),'' a(x) dx1dx2 . . . dxn (47)

Ponemos - = |$| y 1 ! Sn tal que $ = -1. Definimos ahora $(x, 1) =21(j(n xj1j + '(x1, . . . , xn)1n+1.Tenemos que probar que

(((("

Rn

ei$!(x,() a(x) dx

(((( % A(-!n

2 (48)

Dividamos Sn = SN 9 SS 9 SE (cerca del polo norte, del polo sur y labanda del ecuador).

Veamos la parte de SN (la de SS) sale igual. Sabemos que '(0) =1'(0) = 0 y que

det1(j,k(n

#,2'

,xj,xk

$(0) 7= 0 (49)

Notemos además que dado 1,

1x$(x, 1) = (11, . . . , 1n) + 1n+11'(x) (50)

de modo que1x$(x, 1N ) = 1'(x) (51)

y además

det1(j,k(n

#,2$

,xj,xk

$(x, 1N ) = det

1(j,k(n

#,2'

,xj,xk

$(x) (52)

En particular,1x$(0, 1N ) = 1'(0) = 0 (53)

y

det1(j,k(n

#,2$

,xj,xk

$(0, 1N ) = det

1(j,k(n

#,2'

,xj,xk

$(0) 7= 0 (54)

Queremos ver, para cada 1 ! SN , si $(x, 1) tiene puntos críticos. Para eso,debe satisfacerse el sistema de ecuaciones

14

344445

44446

)!)x1

(x1, . . . , xn, 11, . . . , 1n+1) = 0...

)!)xn

(x1, . . . , xn, 11, . . . , 1n+1) = 0

Ahora, como tenemos que

det1(j,k(n

#,2$

,xj,xk

$(0, 1N ) 7= 0 (55)

el teorema de la función implícita nos dice que hay entornos U de 1N y Vde x0 = 0 tales que para cada 1 ! U hay un único x(1) ! V que satisface lasecuaciones de arriba y por lo tanto es un punto crítico de $(·, 1). Si tomamosentornos U y V suficientemente chicos, resulta que

det1(j,k(n

#,2$

,xj,xk

$(x(1), 1) 7= 0 (56)

Podemos aplicar entonces la Proposición 5.2.2 con x0 = x(1) y obtener elresultado para las regiones polares.

Veamos ahora la región ecuatorial. La idea central es que en esta regiónla fase es no estacionaria, así que el decaimiento será aún mejor.

Recordemos que

1x$(x, 1) = (11, . . . , 1n) + 1n+11'(x) (57)

Como estamos en el ecuador, (121 + . . . , 12

n+1)12 * c > 0. Además 1'(x) # 0

cuando x # 0. De modo que

|1x$(x, 1)| * c" > 0 (58)

para todo 1 ! SE y todo x cerca del origen. Podemos aplicar el Lema 5.2.1y listo.

6. Teoremas de restircción R(p # 2)

La primera reducción del problema es estudiar restricciones particularesdel tipo R(p # 2). La ventaja de usar estos exponentes está en la posibilidadde usar el siguiente lema sobre operadores lineales en Lp.

Lema 6.0.4 (Método T )T ) Sea T : Lp # L2 un operador lineal, T ) :L2 # Lp" su adjunto. Entonces T es acotado si y sólo si T )T : Lp # Lp"esacotado.

15

Veamos cómo funciona esto con el operador de restricción. Tenemos eloperador R : S(Rn) # L2(Sn!1) tal que, para cada f , vale

R(f)($) =

"

Rn

e!2&ix'f(x)dx $ ! Sn!1

El adjunto de R es

R)(g)(x) =

"

Sn!1e!2&ix'g($)d"($) = ,gd"(x) x ! Rn

pues

R)(g)(f) = g(R(f))

=

"

Sn!1g($)

"

Rn

e!2&ix'f(x) dxd$

=

"

Rn

f(x)

"

Rn

e!2&ix'g($) d$dx

=

"

Rn

f(x),gd" dx

de modo que R)(g) = ,gd".Entonces

R)R(f)(x) =

"

Sn!1e2&ix'(Rf)($)d"($)

=

"

Sn!1e2&ix'

#"

Rn

e!2&iy'f(y)dy

$d"($)

=

"

Rn

#"

Sn!1e2&i'(x!y)d"($)

$f(y)dy

= (f . K)(x)

donde K(x) = %d"(-x).Otra manera de verlo es la siguiente. Tenemos que conseguir una de-

sigualdad del tipo& !f&L2(Sn!1) % C&f&p (59)

Elevamos al cuadrado, "| !f |2d" % C&f&2

p (60)

: !f, !fd"; % &f&2p (61)

: !f,!f . %d"; % &f&2

p (62)

:f, f . %d"; % &f&2p (63)

16

Como por Hölder vale que

:f, f . %d"; % &f&p&f . %d"&p" , (64)

el objetivo entonces es encontrar acotaciones del tipo

&f . %d"&p" % C&f&p (65)

6.1. Primer teorema de restricción: R( 4n3n+1 # 2)

Tenemos un primer teorema de restricción como corolario del siguienteteorema.

Teorema 6.1.1 (Hardy-Littlewood-Sobolev) Sean 0 < % < n, 1 <p, q < 0 y

1

q+ 1 =

1

p+%

n

entonces 7777f .1

|x|"

7777q

% C&f&p

Comentario: El teorema anterior puede interpretarse como el caso extre-mo de la desigualdad de Young, pues lo que ocurre es que 1/|x|" está ”casi”en L

n$

La primera aprximación que se puede hacer, en vistas de (65), es usar el

decaimiento de %d" y aplicar el Teorema 6.1.1. Sabemos que

|%d"| = O(|x|!n!1

2 )

de modo que si 1p" +1 = 1

p + n!12n (que es lo mismo que 1

p = 3n+14n ) obtenemos

&f . %d"& 4nn!1

% C&f& 4n3n+1

(66)

La desventaja de este enfoque es que sólo se explota el decaimiento de%d" y no su oscilación. En dimensión 1, por ejemplo, estamos estimando

%d"(x) = 2sen(2*|x|)

|x|(

1

|x|(67)

6.2. Segundo teorema de restricción: R(p # 2), 1p > n+3

2(n+1)

Para aprovechar decaimiento y oscilación de %d" para obtener una acota-ción como en (65), lo que hacemos es introducir una partición diádica de lasiguiente manera.

17

Sea ' ! C#0 (Rn) una función radial tal que '(x) = 1 para |x| < 1 y

sop(') " B(0,2). Definimos

(k(x) = '(x

2k) - '(

x

2k!1)

de modo que tenemos

(0(x) = '(x) - '(2x)

(1(x) = '(x

2) - '(x)

(2(x) = '(x

4) - '(

x

2)

y además

(k(x) = (0(x

2k)

Observemos que

|x| < 2k!1 +|x|2k

<1

2y

|x|2k!1

< 1 + (k(x) = '(x

2k) - '(

x

2k!1) = 0

y

|x| < 2k+1 +|x|2k

> 2 y|x|

2k+1> 4 + (k(x) = '(

x

2k) - '(

x

2k!1) = 0

Entonces, el soporte de cada (k está contenido en la corona

Ck = {x ! Rn : 2k!1 < |x| < 2k+1}

Ahora, dado x ! Rn, tenemos la identidad8

k>0

(k(x) = -'(x) + lımk%#

'(x

2k) = 1 - '(x)

Escribimos entonces

(f . %d")(x) = (f . ('+8

k>0

(k)%d")(x) = (f . ('%d")) +8

k>0

f . ((k%d")

y con la desigualdad triangular queda

&f . %d"&p" %777f . ('%d")

777p"9 :; <

+7778

f . ((k%d")

777p"9 :; <

A B

(68)

Para acotar A basta notar que '%d" es una función C# de soporte com-pacto, de modo que está en cualquier Lp. Podemos usar Young (9) con losexponentes

1

p"=

1

p+

2

p"- 1

18

y concluir que&f . ('%d")&p" % &f&p&'%d"&p"

2

Ahora acotamos B. La idea es acotar cada término de la suma con cons-tantes sumables, algo como

&f . ((k%d")&p" % C2!*k&f&p con 0 > 0

(el 2 va a aparecer por haber hecho una partición diádica, y en el parámetro0 se va a afilar el lápiz para conseguir una serie sumable)

Para obtener una cota (p, p"), una camino es interpolar entre una cota(1,0) y otra (2, 2)

La cota (1,0) es fácil:

&f . ((k%d")&# % &f&1&(k

%d"&#% &f&12

!(k!1)n!12 ( &f&12

! k2 (n!1)

pues sop((k) " Ck y %d"(x) = O(|x|!n!1

2 ).Veamos ahora la cota (2, 2). Vía Plancherel y Hölder, para acotar la

norma 2 de un operador de convolución, basta estimar la norma 0 de latransformada del núcleo (Proposición 2.1.1). En este caso el núcleo es (k

%d",de modo que lo que tenemos que controlar es

&"(k

%d"&#

Como

%d"($) =

"

Rn

e!2&i'xd"(x)

=

"

Rn

e2&i'xd"(-x)

=

"

Rn

e2&i'xd"(x) = d"($)

podemos usar la Proposición 2.1.3 y nos queda que

"(k

%d" = "(kd" = %(k . d"

Acotemos entonces |(%(k . d")($)|. Empezamos con una acotación puntual

para %(k:%(k($) = 2nk%(0(2

k$)

Como (0 está en la clase de Schwartz, !(0 también, así que para cada N ! Nexiste una constante CN > 0 tal que

|%(0(2k$)| % CN

1

(1 + 2k|$|)N

19

y entonces

| !(k($)| !2nk

(1 + 2k|$|)N

Definamos, para j * 0, las bolas centradas en $: Bj := B($, 2j!k). Entonces

|(%(k . d")($)| % CN2nk"

Rn

(1 + 2k|$ - !|)!Nd"(!)

% CN2nk"

B0

(1 + 2k|$ - !|)!Nd"(!) +

+CN2nk8

j*0

"

Bj+1\Bj

(1 + 2k|$ - !|)!Nd"(!)

% CN2nk"(B0) + CN2nk8

j*0

2!jN"(Bj+1 \ Bj)

= CN2nk2!k(n!1) + CN2nk8

j*0

2!jN2(j!k)(n!1)

Donde usamos que "(Bj+1 \ Bj) = 2(j+1!k)(n!1) - 2(j!k)(n!1). Si ponemosN = n, nos queda

|(%(k . d")($)| % Cn2k + Cn2nk8

j*0

2!jn2(j!k)(n!1)

% Cn2k + Cn2k8

j*0

1

2j( 2k

de modo que &%(k . d"&# % 2k

Resumiendo, tenemos las dos acotaciones:

&f . ((k%d")&# % 2!k n!1

2 &f&1

&f . ((k%d")&2 % 2k&f&2

Podemos aplicar entonces Riesz-Thorin y obtenemos cotas (p, p") para todo1 < p < 2. Para calcular bien las cotas, tenemos que encontrar ) ! (0, 1) talque

1

p=

)

1+

1 - )

21

p"=

)

0+

1 - )

2

El valor de ) que se obtiene es ) = 2p -1. Conseguimos entonces la acotación

(p, p"):

&f . ((k%d")&p" % 2!k#(n!1

2 )2k(1!#)&f&p

= 2k(# 1!n2 +1!#)&f&p

= 2k(n+23 !n+1

p)&f&p

20

Los valores de p que hacen negativo al exponente son aquellos tales que1p > n+3

2(n+1)Con esto conseguimos acotar

8

k>0

&f . ((k%d")&p" ! &f&p

Como además tenemos que

f . '%d" +N8

k=0

f . ((k%d") -#

Nf . %d"

puntualmente, por Fatou nos queda que para la norma p" vale

&f . %d"&p" % lımN%#

&f . '%d"&p" +N8

k=0

&f . ((k%d")&p" % C&f&p

para todo p > 2(n+1)n+3 .

1q

1p

1q = n+1

n!1(1 - 1p)

12

12

1

1

n+32(n+1)

n+12n

No vale R(p, q)

Conjeturado

Stein-Tomas

Figura 3: Resultados, n = 3.

7. Teoremas de Stein Tomas para fractales

Tenemos la siguiente generalización:

Teorema 7.0.1 (Mockenhaupt, [Moc00]) Sea µ una medida de soportecompacto en Rn tal que

21

1. Existe # > 0 tal que |!µ($)| % C|$|!%2

2. Existe % > 0 tal que µ(Br(x)) % Cr" para cada bola centrada en x.

Entonces, para 1 < 2(2n!2"+!)4(n!")+! , se tiene

#"| !f |2 dµ

$12

% C&f&Lp(Rn) (69)

Observación 7.0.2 Las hipótesis sobre µ no son independientes.

Proposición 7.0.3 Sea µ ! P(Rn) de soporte compacto. Si existe 0 < # <n2 tal que |!µ($)| ! |$|!! , entonces dimH(sop(µ)) * 2#.

Es importante notar que el enunciado recíproco es bien falso: No es ciertoque un conjunto de dimensión # soporte una medida de probabilidad condecaimiento para su transformada. Por ejemplo, el segmento I = [0, 1]3 0 "R2 tiene dimensión 1 pero no soporta ninguna medida cuya FT tienda a cero(es independiente de una de las coordenadas). Algunos ejemplos de conjuntosy medidas con decaimiento para sus transformadas:

(Jarnik) Sea

E" = {x ! R : hay infinitos racionalesa

qtales que |x-

a

q| % q!(2+")}

(70)La dimensión de E" es 2

2+" y (Kaufman, [Kau81]) soporta una medidaµ tal que para todo 0 > 0

|!µ($)| % C*|$|!1

2+$+* (71)

(Salem, [Sal51]) Existe un conjunto de Cantor F de dimensión % y unamedida µ ! P(F ) tale que

|!µ($)| % C*|$|!$2 +* (72)

(Bluhm, [Blu00]) Sea L el conjunto de los números de Liouville

L = {x ! R \ Q : ,n ! N,)p

q! Q : |x -

p

q| %

1

qn} (73)

El conjunto L soporta una medida de Rajchman (|!µ($)| # 0).

Necesitamos el siguiente lema

Lema 7.0.4 Sea / una función creciente tal que /(0) = 0 y f una funciónmedible en (X,µ). Entonces

"

X/(|f |)dµ =

" #

0df (r)/"(r)dr

22

Demostración: (del Teorema 7) Retomamos desde las cotas (1,0)y (2, 2).

La cota (1,0) es fácil:

&f . ((k%d")&# % &f&1&(k

%d"&#% &f&12

!(k!1)%2 ( &f&12

!k %2

pues sop((k) " Ck y %d"(x) = O(|x|!%2 ).

Ahora

|(%(k . d")($)| % CN2nk"

Rn

(1 + 2k|$ - !|)!Nd"(!)

Vamos a usar el lema con /(r) =

#1 +

1

r

$!N

y f(!) =1

2k|$ - !|Entonces"

Rn

(1 + 2k|$ - !|)!Nd"(!) =

" #

0

1

r2

N=1 + 1

r

>N+1µ(B($,

1

2kr)) dr

=

" #

0

N

(1 + t)N+1 µ(B($, 2!kt)) dt

Nos queda entonces que

|(%(k . d")($)| % CN2nk2!k"" #

0

N t"

(1 + t)N+1 dt

% CN2k(n!")

Tenemos entonces las dos cotas (1,0) y (2, 2). Podemos interpolar paraobtener una acotación (p, p") (con ) = 2

p - 1) para cada término de la suma

&f . ((k%d")&p" % 2!k %

2 #2k(n!")(1!#)&f&p

= 2k(!# %2 +(1!#)(n!"))&f&p

= 2k((1! 2p)%2 +2(1! 1

p)(n!"))&f&p

Queremos los valores de p que hacen negativo al exponente.

(1 -2

p)#

2+ 2(1 -

1

p)(n - %) < 0. (74)

Nos queda entonces que

#

2-#

p+ 2(n - %) -

2

p(n - %) < 0 (75)

23

que es lo mismo que

-1

p(# + 2(n - %)) < -2(n - %) -

#

2= -

4(n - %) + #

2. (76)

Entonces, los valores de p buscados son aquellos tales que 1p > 4(n!")+!

4(n!")+2!

8. Miscelánea

8.1. Further reading

[Bou00]

["P09]

8.2. Algunos links

Terence Tao: http://www.math.ucla.edu/~tao/

Alex Iosevich http://www.math.missouri.edu/~iosevich/

Izabella "aba http://www.math.ubc.ca/~ilaba/

Ben Green: http://www.dpmms.cam.ac.uk/~bjg23/

Referencias

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