PENAKSIRANPertemuan 5

Usia penonton drama korea

di Indonesia

17 – 30 tahun ???

atau

20 – 25 tahun ???

Bagaimana dengan data

17 -30 dengan tingkat kepercayaan 95%

20 -25 dengan tingkat kepercayaan 99%

Metode inferensi yaitu sebuah sebuah metode yang dipakai

untuk menganalisis kelompok kecil dari data induknya atau

sample yang diambil dari populasi sampai pada peramalan

dan penarikan kesimpulan pada kelompok data induknya

atau populasi.

◼ Ada 2 metode inferensi : metode klasik dan metode

Bayes dalam menaksir parameter populasi

◼ Dalam metode klasi, inferensi didasarkan pada

informasi yang diperoleh melalui sampel acak

◼ Dalam metode Bayes, inferensi didasarkan pada

penggunakan pengetahuan subjektif terdahulu mengenai

distribusi peluang parameter yang tak diketahui bersama

dengan informasi yang diberikan oleh data sampel

• Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi→mengetahui parameter populasi itu sendiri.

• Contoh, misalkan sebuah populasi diketahui berdistribusi normal, tetapi parameter rataan dan variansinya tidak diketahui.

• Ada dua cara yang digunakan untuk mengetahuiparameter populasi:

1. Cara penaksiran (pendugaan)

2. Cara pengujian hipotesis• Dua cara di atas didasarkan pada statistik atau

besaran yang dihitung dari sampel sehingga kitaharus mengambil sampel dari populasi.

PENAKSIRAN DENGAN

METODE KLASIK

• Parameter populasi ditulis dilambangkan dengan dimana bisa merupakan rata-rata populasi (yaitu ), simpangan baku populasi (yaitu), dan bisa pula proporsi populasi (yaitu p) pada percobaan binomial.

• Statistik dari sampel ditulis dengan dimana bisamerupakan rataan sampel (yaitu X ), simpangan bakusampel (yaitu S), dan bisa pula proporsi sampel (yaitup )

Populasi N sampling sampel

= X , s, p

= , , p

• Dalam statistika inferensi, statistik inilah yang dipakai untuk menaksir parameter dari populasi. Statistikˆ =X dipakai untuk menaksir parameter =

Statistik = S dipakai untuk menaksir parameter =

Statistik = p dipakai untuk menaksir parameter = p

SKEMA

• Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran

titik disebut penaksir atau fungsi keputusan.

• Contoh: S2 , yang merupakan fungsi peubah acak, adalah penaksir 2

• Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik

disebut penaksir atau fungsi keputusan. Jadi fungsi

keputusan S adalah penaksir σ dan taksiran s adalah

‘tindakan’ yang diambil

• Sebuah nilai penaksir tidak diharapkan dapat menaksir

parameter populasi tanpa kesalahan, misalkan tidak perlu

dapat menaksir µ secara tepat, tetapi diharapkan tidak

terlalu jauh dari parameter yang ditaksir.

◼ Penaksir (taksiran) suatu parameter dapat berupa taksiran

titik atau taksiran selang

PENAKSIR TAKBIAS

• Misalkan adalah penaksir dengan nilai taksiran dari parameter populasi yang tidak diketahui μ. Kita menginginkan distribusi sampling mempunyai rataan sama dengan parameter yang ditaksir.

Penaksir yang memiliki sifat seperti ini disebut dengan tak bias (unbiased).

• Definisi:

Sebuah statistik parameter jika:

dikatakan penaksir tak bias dari

8

•

E( )

Penaksir tak bias, E ( )=

• •

E( )

Penaksir bias, E( )

VARIANSI NILAI PENAKSIR

• Jika kita mengumpulkan semua penaksir tak biasyang mungkin dari parameter , maka salah satuyang memiliki variansi terkecil dikatakan penaksiryang paling efisien dari.

• adalah penaksir tak biasparameter populasi yang sama, maka kita akan memilih penaksir yang variansi distribusi sampelnya

Jadi, bila dan 1 2

2paling kecil. Misalkan 2

maka dikatakanPenaksir yang lebih efisien daripada

መ𝜃 1መ𝜃 2

𝜃 2

መ𝜃 1

መ𝜃 1

መ𝜃 2መ𝜃 1

1 2

→ Tidak bias karena distribusinya berpusat di .

1

3

Penaksir paling efisien1

21

Karena variansi lebih kecil daripada maka

ɵ

Distribusi Sampling dari Penaksir θ yangBerbeda

2

መ𝜃 1መ𝜃 2

Perhatian Gambar

መ𝜃 1 መ𝜃 2መ𝜃 1

Bila nilai parameter dari populasi hanya ditaksirdengan memakai satu nilai statistik dari sampelyang diambil dari populasi tersebut.

Contoh: misalkan kita ingin mengetahui rata-rata tinggi orang Indonesia. Diambil sampel acak sebanyak 1000 orang dan diperoleh tinggi rata-ratanya adalah X = 164 cm. Nilai ini dipakai untuk menduga rata-rata tinggi orang Indonesia. Karena hanya satu nilai saja sebagai penaksir, maka X

disebut penaksir titik.

PENAKSIR TITIK

Bila nilai parameter dari populasi hanya ditaksir

dengan memakai beberapa nilai statistik yang

berada dalam suatu interval, maka statistikˆ

disebut penaksir selang.

Contoh: rata-rata tinggi orang Indonesia dapat

ditaksir berada dalam selang 160 sampai 166 cm, di

antara kedua nilai ini terdapat rata-rata sesungguhnya.

Nilai ujung selang 160 dan 166 tergantung pada

rataan sampel X . Bila ukuran sampel membesar,

maka

mengecil, sehingga kemungkinan besar

taksiran bertambah dekat dengan parameter .

X

2

= 2 / n

PENAKSIR SELANG (INTERVAL)

DERAJAT KEPERCAYAAN PENAKSIR DISEBUTKOEFISIEN KEPERCAYAAN YANG DITULIS

DENGAN DIMANA 0 < < 1 DAN DINYATAKANDALAM BENTUK PELUANG.

Kita menduga bahwatinggi rata-rata orang Indonesia beradadalam selang 155 sampai 169 cm.

155 < < 169

??

Kita menduga bahwatinggi rata-rata orang Indonesia beradadalam selang 160 sampai 166 cm.

160 < < 166

??

• Derajat kepercayaan terhadap suatu interval

dinyatakan dalam bentuk peluang, yaitu

P( ) = nilai tertentu1

21

2

• A. Misalkan P(160 < < 166) = 0.95, itu artinya derajat keyakinan bahwa rata-rata tinggi orang Indonesia berada pada selang 160 sampai 166 adalah 95%.

• B. Misalkan P(155 < < 169) = 0.99, itu artinya derajatkeyakinan bahwa rata-rata tinggi orang Indonesia berada pada selang 155 sampai 159 adalah 99%.

Mana yang lebih kita percaya ??

• Secara umum, dengan mengambil sampel acak secara berulang-ulang, maka kita akan memperoleh

akan sama dengan nilai tertentu yang diinginkan adalah

P( ) = 1 – 1

21

statistik sehingga peluang dari interval

2

untuk 0 < < 1.

• disebut koefisien kepercayaan

• 1 – disebut tingkat atau derajat kepercayaan

(1 – )100%

• Selang disebut selang kepercayaan1

2

• 1

dan disebut batas-batas kepercayaan2

• Jadi, bila = 0.05 diperoleh selang kepercayaan 95%, dan bila = 0.01 diperoleh selang kepercayaan 99%.

• Makin besar selang kepercayaan, makin yakin kita bahwa selang tersebut mengandung parameter yang tidak diketahui.

Dalam statistik, lebih disukai memilih interval yang lebih sempit, tetapi dengan derajat kepercayaan yang tinggi.Misalnya, kita lebih memilih selang 160 < < 166 dengan tingkat kepercayaan 95% daripada selang 155 < < 169 dengan tingkat kepercayaan 99%.

MENAKSIR RATAAN

• Akan ditentukan selang taksiran dari µ.

• Misalkan sampel diambil dari populasi normal, atau jika tidak mempunyai ukuran sampel yang besar., selang kepercayaan untuk dapat dibuat dengan menggunakan distribusi sampel

Sesuai dengan teorema limit pusat, diharapkan distribusi sampel akan mendekati normal dengan rataan dan simpangan baku

• Tulislah z/2 untuk nilai z yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas /2,

• Selanjutnya peluang Z yang terletak antara

ditunjukkan pada kurva berikut:

P (-zα/2 < Z < zα/2) = 1-α

1 -

• Sampel yang berlainan akan memberikan nilai yangberlainan, sehingga memberikan taksiran selang yangberlainan bagi parameter .

Interval Kepercayaan µ

CONTOH 1

• Contoh 2: Masih berkaitan dengan soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana.

Jawaban: Di sini 1 - = 0.99 sehingga = 0.01, z/2 = z0.005

Menurut tabel Normal, nilai z yang memberikan luas sebelah kanannya 0.005 adalah z0.005 = 2.575

Selang kepercayaan 99% yang dicari adalah

2.6− (2.575)(0.3)

2.6+ (2.575)(0.3)

36 36

atau, bila disederhanakan: 2.47 < < 2.73

Bila dibandingkan dengan jawaban contoh 1, terlihat bahwa untuk menaksir dengan derajat ketepatan lebih tinggi diperlukan selang yang lebih lebar.

• Galat < z

• •

x

n /2

x − z

n /2

x + z

• Selang kepercayaan (1 - )100% memberikan ketepatan

taksiran titik, dengan kata lain x menaksir tanpa kesalahan (galat).

• Tetapi umumnya sampel tidak menghasilkan x tepat samadengan tanpa kealahan, sehingga taksiran titik umumnyameleset (mengandung galat)

galat

n /2

• Sebagai contoh, pada soal contoh 1,

• Dengan tingkat kepercayaan 95% perbedaan x = 2.6 dengan rataan sesungguhnyamenghasilkan galat(e)

36e < 1.96

(0.3) =0.098

sedangkan pada soal contoh 2, dengan tingkat kepercayaan 99% perbedaan x = 2.6 dengan rataan sesungguhnya menghasilkan galat (e)

36e < 2.575

(0.3) =0.13

• Contoh 3: Berapa jumlah sampel yang diperlukan pada contoh agar kita memiliki tingkat kepercayaan 95% bahwa taksiran μ memiliki kesalahan kurang dari 0.05?

Jawaban:

Simpangan baku populasi adalah σ = 0.3. Dengan teorema sebelumnya,

Jadi, dengan kepercayaan 95% sampel acak berukuran 139 akan memberikan taksiran rata-rata-rata yang galatnya kurang dari 0.05

• Contoh : Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi minuman 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, dan 9.6 liter. Carilah selang kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semecam itu bila distribusinya hampir normal.

Jawaban: Rataan dan simpangan baku sampel di atas

= 10.0 dan s = 0.283

Tingkat kepercayaan = 0.95 = 1 - € sehingga = 0.05

t0.05/2 = t0.025

Dari tabel distribusi t diperoleh t0.05/2 = 2.447 untuk derajat kebebasan v = n – 1 = 6. Jadi, selang kepercayaan 95% untuk adalah

10.0− (2.447)(0.283)

10.0+ (2.447)(0.283)

7 7

atau 9.74 < < 10.26

Berat Badan Mahasiswa Fisika UPI 2021

Tentukan selang kepercayaan 95% dan 99% pada data diatas