Penaksiran Volume

5/20/2018 Penaksiran Volume

1/86

PENAKSIRAN VOLUME RESERVOIR MINYAK BUMI DENGAN

SIMPLE KRIGINGPADA LAPANGAN MINYAK JATIBARANG

IIF YUSUF WIBISONO

0 3 0 2 0 1 0 2 1 Y

UNIVERSITAS INDONESIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

DEPARTEMEN MATEMATIKA

DEPOK

2006

Penaksiran volume..., Iif Yusuf Wibisono, FMIPA UI, 2007


2/86

PENAKSIRAN VOLUME RESERVOIR MINYAK BUMI DENGAN

SIMPLE KRIGINGPADA LAPANGAN MINYAK JATIBARANG

Skripsi diajukan sebagai salah satu syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Oleh:

IIF YUSUF WIBISONO

030201021Y

DEPOK

2006



3/86

Tanggal lulus Ujian Sidang Sarjana:

Penguji I : Dr. Kiki Ariyanti S

Penguji II : Dr. Dian Lestari

Penguji III : Dra. Siti Nurrohmah, M.Si

SKRIPSI : PENAKSIRAN VOLUME RESERVOIR MINYAK BUMI

DENGAN SIMPLE KRIGINGPADA LAPANGAN MINYAK

JATIBARANG

NAMA : IIF YUSUF WIBISONO

NPM : 030201021Y

SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI

DEPOK, 22 DESEMBER 2006

Dr. Dian Lestari Dra. Siti Nurrohmah, M.SiPembimbing I Pembimbing II



4/86

i

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji bagi Allah yang telah memberikan tak hingga

dan tak terhitung banyaknya nikmat, sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini.Semoga Sholawat dan salam senantiasa tercurah bagi junjungan kita

Nabi Muhammad SAW, beserta keluarga, sahabat dan orang-orang yang

senantiasa berada dalam kebaikan dan kebenaran sampai akhir zaman.

Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terimakasih dan

penghargaan kepada pihak-pihak yang telah berjasa dalam penulisan tugas

akhir ini maupun selama penulis kuliah. Ucapan terimakasih terhatur kepada:

1. Ibu dan Bapak. atas segala kasih sayang, doa, dukungan, kesabaran dan

nasehatnya. Mungkin penghargaan ini masih terlalu kecil dengan kasih

sayang yang telah diberikan kepada penulis.

2. Pembimbing I Skripsi (juga pembimbing akademis), Ibu Dian Lestari.

Pembimbing II Skripsi, Ibu Siti Nurrohmah. Mohon maaf bu jika penulis

sangat merepotkan.

3. Para Dosen Departemen Matematika, yang telah memberikan banyak

pembelajaran selama penulis kuliah.

4. para karyawan departemen matematika yang selalu membantu segala

kegiatan yang ada di departemen.

5. Penghuni rumah kacajendela I no 1. Mbak Ammy, Aan,(terimakasih

dukungannya), Mas Budi (terimakasih tausiyah-tausiyahnya, semoga



5/86

ii

penulis tetap istiqomah), mang odos. Serta seluruh keluarga mbah kulon

dan mbah etan.

6. Nia Budi K (penulis nggak tahu gimana cara membalas segala

bantuannya, kalau tau segera beritahu. Terimakasih banyak), Seno, Dani

A (terimakasih sudah mengajari penulis), Anugrah S ITB (terimakasih

nganterin muter-muter ITB), TriHarjuni (terimakasih atas peminjaman

sepatu SIG1), Farah Lestari (atas editannya), Spina sekeluarga

(terimakasih pengetahuan reservoirnya), AlAlkbar Lubis Trisakti

(terimakasih brogeologi minyak buminya). Opit Helmi, Pak Budiyana

Pertamina, Hendy Waskito (terimakasih bos atas MATLABnya), Feni, tuty,

Nyimas (atas pengetahuan residual, dan kestasioneran).

7. Dua anak manusia yang selalu menemani penulis selama kuliah, penemu

CSC, Fuad dan Zilham. Kapan kita gulingkan bola salju CSC?

8. Rekan-rekan angkatan 2002 yang aneh tapi lucu. Ahmad, ani, anugrah,

arif (met berjuang), arisha,desanti, diane, dini,endah, elis (ko jadi

keduluan?), Feni (sambil nunggu tambah aja PAInya), fuad, helmiyati,

hendri lukita, hendi, Ifan A, Mamad, Marlina, melina, nala, naro, nuts,

Nyimas (terimakasih yaa... sms dan pengingatannya, key word :

semangat!!), ojix, opie, tuty, rika(tiga provokator kelas dunia =p), qfandy,

randolf, riri, santoso, sofyan (terimakasih terutama perawatan sepedanya),

syariat (tetap usaha dan doa bro), thamrin (MU bangkrut?), vidya,

wina,winny, yeyen, zilham.



6/86

iii

9. Rekan-rekan mathers, trio dinu (ruri, nia), danu,sigit, donny, sholeh, panji,

adri, rahmat, ihsan, rendie, hadi,doddy, guntoro, tb, irwanto, valdo,

handika, edi, ajat dan seluruh mahasiswa matematika yang sulit untuk

disebut satu-persatu.

10. Rekan-rekan asisten lab berbagai zaman, adi, TA, onggo, luwice,lenny,

zilham,utie, hendi, gilang, saepul, sofyan, theja, lhuqita.

11. Rekan-rekan hmd 2004, terutama CT, arif, wina, rika, ani, feni, guntoro,

andra.

12. Rekan rekan bpm 2005,fuad, imron, lela, roby, elda, resuli, gatot, sarif,

yuni, eko, bani, sofa, zaki. Kapan kita kedufan?

13. Rekan-rekan humas Bem UI 2005/2006. adri, kevin, akbar, alfi, andra,

awan, ayu, dikha, dwi, farah, icha, iranie (pake E), nitta/mo..., nunu, sapta,

umar, vira, syami, dll. Atas segala dorongan, doa, tausiyah, persaudaraan,

kerjasama, kegilaan, keanehan, kejujuran, dan hal lain yang susa untuk

digambarkan. What a great team?

14. Rekan rekan karang taruna yang telah mengajarkan bagaimana kondisi

masyarakat jakarta.

15. Rekan-rekan lebah creative design, mariska, yusi, diah, dwitya, didit.

Juga sahabat smu, yuni, agus, ade, nasrul, farah. Fredo, tito, leo, ilyas,

umam, suwar dan lainnya.

16. para guru, kak dede, bang jarsan, bang dimas, mas nanang, mas budi.



7/86

iv

Dan seluruh manusia yang dikenal penulis, baik dalam keadaan senang

maupun susah. Karena dari sanalah penulis mendapatkan banyak

pembelajaran. Maha Suci Allah, tiada kejadian tanpa hikmah.

Semoga tugas akhir ini dapat menjadi suatu yang bermanfaat bagi

siapapun. Mohon maaf atas segala kekurangan. Terimakasih

Penulis

2006



8/86

v

ABSTRAK.

Iif yusuf wibisono (030201021Y)

Minyak adalah salah satu bahan galian bumi yang memiliki peranan penting

dalam kehidupan manusia. Pada kasus eksplorasi sering kali ditemukan

permasalahan seberapa banyak cadangan bahan tambang pada suatu lokasi.

Untuk itu dilakukan penaksiran volume reservoir dari beberapa lokasi dengan

menggunakan informasi yang diketahui dari titik lainnya. Penghitungan volume

reservoir dilakukan dengan terlebih dahulu menaksir ketebalan dari reservoir.

Ketebalan reservoir adalah jarak dari batuan reservoir sampai dengan lapisan

penutup reservoir. Dalam menaksir ketebalan reservoir digunakan metode

simple kriging. Metode simple krigingadalah metode kriging dengan asumsi

bahwa mean dari populasi sudah diketahui dan nilainya konstan. Penaksiran

bobot kriging pada tugas akhir ini menggunakan kovariogram isotropi.

Penaksiran ketebalan reservoir dengan metode simple kriging menggunakan

model kovariogram spherical. Informasi volume reservoir diharapkan dapat

menbantu kegiatan eksplorasi minyak terutama dalam kebijakan pembuatan

sumur minyak.

Kata kunci: reservoir; minyak bumi; kovariogram;isotropi,simple kriging;

x + 70 hlm

Bibliografi : 10 (1993-2002)



9/86

vi

DAFTAR ISI

HalamanKATA PENGANTAR ............................................................................... i

ABSTRAK .............................................................................................. v

DAFTAR ISI ........................................................................................... vi

DAFTAR GAMBAR ................................................................................ ix

DAFTAR TABEL .................................................................................... x

BAB I. PENDAHULUAN .................................................................... 1

1.1 Latar Belakang Masalah ............................................. 1

1.2 Permasalahan ............................................................. 2

1.3 Tujuan Penulisan ..................... .................................. 2

1.4 Pembatasan Masalah ................................................ 3

1.5 Metode Penelitian ...................................................... 3

1.6 Sistematika Penulisan ................................................. 3

BAB II. KONSEP DAN DEFINISI ....................................................... 4

2.1 Definisi ......................................................................... 4

2.2 Gambaran umum lapangan jatibarang......................... 6

BAB III. METODOLOGI ...................................................................... 8

3.1 Data ............................................................................. 8

3.2 Pengambilan Sampel................................................... 8

3.3 Metode Penaksiran Volume Reservoir ........................ 8

3.4 Metode Kriging............................................................. 9

3.5 Data Spasial................................................................. 11



10/86

vii

3.6 Asumsi Stasioner Orde dua dan stasione intrinsik....... 12

3.7 Kovariogram................................................................. 14

3.7.1 Kovariogram eksperimental ......................................... 14

3.7.2 Kovariogram teoritis ..................................................... 15

3.8 Semivariogram............................................................. 18

3.8.1 Semivariogram Eksperimental ..................................... 19

3.8.2 Semivariogram Teoritis ................................................ 19

3.9 Hubungan Semivariogram dengan Kovariogram ......... 23

3.10 Validasi Silang.............................................................. 23

3.11 Metode Simple Kriging................................................ 29

3.11.1 Sifat Unbiaseddan variansi minimum.......................... 30

3.11.2 Variansi taksiran simple kriging.................................... 33

3.11.3 Taksiran blok................................................................ 35

3.12 Penghitungan volume reservoir ................................... 36

BAB IV. ANALISIS DATA..................................................................... 37

4.1 Data ........................................................................... 37

4.2 Permasalahan ............................................................. 38

4.3 Pengolahan Data ......................................................... 38

4.4 Penghitungan volume reservoir .................................. 51

BAB V. KESIMPULAN dan SARAN ................................................... 53

5.1 Kesimpulan ................................................................. 5

5.2 Saran .......................................................................... 5

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................... 5



11/86

viii

LAMPIRAN ............................................................................................ 54



12/86

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Gambar reservoir minyak bumi 5

3.1 Alur penaksiran metode simple kriging 9

3.2 Plot kovariogram 15

3.3 Plot kovariogram model nugget 15

3.4 Plot kovariogram model spherical 16

3.5 Plot kovariogram model exponensial 17

3.6 Plot semivariogram model nugget effect 20

3.7 Plot semivariogram modelspherical 20

3.8 Plot semivariogram model exponesial 21

4.1 Plot histogram data ketebalan reservoir minyak bumi 32

4.2 Plot lokasi data 34

4.3 Plot Kovariogram Eksperimental 35

4.4 Plot tiga dimensi data ketebalan reservoir 36

4.5 Plot ketebalan dengan sumbu y 36

4.6 Plot ketebalan dengan sumbu x 37



13/86

x

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

4.1 TabelData koordinat lokasi titik sampel 31

4.2 Tabel stastitika deskriptif data ketebalan reservoir 32

4.3 Tabel pengujian kenormalan data ketebalan reservoir 33

4.4 Tabel Hasil perhitungan kovariogram eksperimental 35

4.5 Tabel hasil perhitungan dengan model nugget effect 42

4.6 Tabel pengujian kenormalan residual model nugget 43

4.7 Tabel hasil perhitungan model spherical 44

4.8 Tabel pengujian kenormalan residual model spherical 45

4.9 Tabel hasil perhitungan dengan model exponensial 47

4.10 Tabel pengujian kenormalan residual model exponensial 48

4.11 Tabel hasil perhitungan taksiran di 15 titik 49

4.12 Tabel hasil perhitungan volume reservoir 50



14/86

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Minyak adalah salah satu hasil tambang yang memiliki peranan

penting dalam kehidupan manusia. Eksplorasi minyak bumi terus dilakukan

walaupun bahan tambang ini tidak dapat tergantikan. Berbagai usaha

pencarian pun dilakukan, termasuk perluasan ekplorasi dari suatu daerah.

Salah satu permasalahan yang sering kali ditemukan pada saat

pengeksplorasian minyak bumi adalah seberapa banyak cadangan bahan

tambang yang tersedia di suatu lokasi. Karenanya, perhitungan volume

cadangan (reservoir) yang akurat diperlukan untuk menentukan kebijakan

perusahaan.

Untuk mengetahui seberapa besar cadangan minyak bumi yang

tersedia di suatu titik, diperlukan suatu pengeboran dan penelitian di titik

tersebut. Jika pada titik tersebut volume cadangan minyak bumi yang

tersedia sedikit, perlu dilakukan pengeboran di titik lain sampai diperoleh

suatu lokasi dengan cadangan minyak yang cukup memadai. Hal ini tentunya

memakan biaya yang tidak sedikit. Padahal cadangan minyak yang ingin

diketahui bukan hanya di satu titik, melainkan di banyak titik sehingga biaya

yang harus dikeluarkan semakin besar. Untuk mengatasi hal ini dilakukan



15/86

2

penaksiran volume reservoir dari beberapa lokasi dengan menggunakan

informasi yang diketahui dari titik lainnya. Penaksiran ini merupakan aplikasi

geostatistik dalam pertambangan.

Geostatistik adalah ilmu yang merupakan gabungan antara geologi,

teknik, matematika, dan statistika (Cressie, 1993). Geostatistik biasa

digunakan untuk memodelkan data spasial dan akan menghasilkan estimasi

yang cukup akurat. Pada geostatistik, data yang digunakan adalah data

spasial, yaitu data yang mengandung informasi mengenai koordinat lokasi.

Metode Geostatisik yang akan digunakan dalam tugas akhir ini adalah

metode Simple Kriging. Metode Simple Krigingadalah metode Kriging

dengan asumsi bahwa mean dari populasi sudah diketahui dan nilainya

konstan.

1.2 PERMASALAHAN

Permasalahan yang ingin dikemukakan di dalam tugas akhir ini adalah

bagaimana mengetahui volume reservoir minyak bumi dengan biaya, waktu

dan tenaga yang tidak terlalu besar.

1.3 TUJUAN PENULISAN

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mengestimasi volume

reservoir dari beberapa lokasi lapangan minyak di Jatibarang.



16/86

3

1.4 PEMBATASAN MASALAH

Pada tugas akhir ini, metode Simple Kriging digunakan untuk

melakukan taksiran titik dengan kovariogramnya adalah kovariogram isotropik.

1.5 METODE PENELITIAN

Data yang digunakan pada tugas akhir adalah data spasial. Terdiri dari

data koordinat bawah permukaan (Northing, Easting), dan data ketebalan

reservoir minyak pada titik yang dijadikan sampel. Sampel yang digunakan

dalam tugas akhir ini diambil dengan cara acak. Sampel diambil sebanyak 25

data lokasi dari sebanyak 83 lokasi lainnya. Karena batuan reservoir minyak

bumi terdiri dari rongga-rongga yang menyambung antar lokasi maka metode

penaksiran yang digunakan pada tugas akhir ini adalah metode Simple

Kriging. Analisa data menggunakan software microsoft excel, fortran90,

wingslib90, surfer, dan matlab7.

1.6 SISTEMATIKA PENULISAN

Penulisan pada tugas akhir ini dibagi menjadi lima bab

Bab I Berisikan latar belakang, permasalahan, tujuan penulisan,

pembatasan masalah, metode penelitian dan sistematika

penulisan.



17/86

4

Bab II Membahas mengenai konsep dan definisi dari reservoir minyak

bumi, dan gambaran umum lapangan minyak Jatibarang.

Bab III Membahas data dan metodologi penelititan yang digunakan

dalam tugas akhir ini. Penjelasan terdiri dari pembahasan data,

struktur spasial, metode penaksiran reservoir dengan simpel

kriging, dan penghitungan volume reservoir dalam blok.

Bab IV Membahas analisa data

Bab V Berisikan kesimpulan dan saran untuk tugas akhir ini



18/86

5

BAB II

KONSEP DAN DEFINISI

Pada bab ini akan dibahas mengenai konsep dan definisi dari reservoir

minyak bumi, dan gambaran umum lapangan minyak Jatibarang.

2.1 DEFINISI

Dalam tugas akhir ini terdapat beberapa istilah yang perlu mendapat

penjelasan sebagai berikut:

Definisi 2.1

Minyak bumi (petroleoum: petro=batu, leoum=minyak), merupakan campuran

molekul karbon dan hidrogen yang terbentuk dari sedimen sisa-sisa hewan

dan tumbuh-tumbuhan yang terperangkap selama jutaan tahun. Akibat

kombinasi efek temperatur dan tekanan di dalam kerak bumi maka

terbentuklah reservoir-reservoir minyak dan gas yang berada jauh di bawah

permukaan tanah.

Definisi 2.2

Reservoir adalah bagian kerak bumi yang mengandung minyak bumi dan

terletak di bawah permukaan tanah.



19/86

6

Unsur-unsur reservoir:

- Batuan reservoir

Adalah wadah yang terisi dan dijenuhi minyak bumi. Berbentuk

lapisan batuan yang berongga (porous).

- Lapisan penutup

Adalah lapisan yang tidak tembus minyak (permeable) yang

terdapat diatas reservoir dan menghalang-halangi minyak bumi

keluar dari reservoir.

Ruang penyimpanan minyak dalam reservoir berupa rongga-rongga

atau pori-pori yang terdapat pada butiran mineral. Pada hakekatnya setiap

batuan dapat bertindak sebagai batuan reservoir asalkan bebatuan tersebut

memiliki kemampuan untuk dapat menyimpan serta melepaskan minyak.

Ketebalan reservoir adalah jarak dari batuan reservoir sampai dengan lapisan

penutup reservoir. Pada tugas akhir ini reservoir diasumsikan berbentuk

balok-balok yang memiliki permukaan rata tetapi memiliki ketebalan yang

berbeda.

Gambar 2.1gambar reservoir



20/86

7

Definisi 2.3

Lapangan adalah suatu daerah yang mengandung akumulasi

hidrokarbon dan telah dikembangkan dengan pengeboran-pengeboran yang

menghasilkan minyak atau gas bumi. Lapangan dapat disebut pula sebagai

suatu area yang terdiri dari satu atau lebih reservoir.

Definisi 2.4

Cekungan adalah bagian dari kerak bumi yang berbentuk cekung dan

lebih rendah dari sekitarnya dimana batuan sedimen dapat terakumulasi.

Definisi 2.5

Batuan sedimen adalah batuan yang terbentuk sebagai hasil erosi air,

angin, es dan diendapkan kembali pada tempat yang lebih rendah

(cekungan). Batuan sedimen terdiri dari fragmen batuan, mineral, sisa-sisa

binatang atau tumbuhan, hasil evaporitisasi garam dan lain-lain.

2.2 GAMBARAN UMUM LAPANGAN MINYAK JATIBARANG

Berdasarkan karakteristiknya, minyak bumi dari lapangan migas Jawa

Barat digolongkan menjadi 2 jenis. Yaitu jenis minyak Jatibarang yaitu minyak

yang dihasilkan dari lapangan onshore. Kemudian jenis yang lain adalah jenis

minyak Arjuna untuk minyak yang dihasilkan dari lapangan offshore.



21/86

8

Unsur petroleum cekungan Jawa Barat laut terdiri dari

- Batuan induk: lempung endapan danau formasi Jatibarang,

lempung formasi Talangakar,dan batu gamping formasi Baturaja

- Reservoir: material vulkanik formasi Jatibarang, batu pasir formasi

Talangakar, batugamping formasi Baturaja, dan batugamping

formasi Parigi.

Cekungan Jawa Barat laut merupakan bagian utara dari mandala paparan

yang tersusun dari beberapa formasi. Formasi-formasi tersebut diurutkan dari

usia yang lebih tua ke usia yang lebih muda sebagai berikut; Jatibarang,

Cibulakan (Talangakar dan Baturaja), Parigi dan Cisubuh.



22/86

9

BAB III

METODOLOGI

Bab ini akan membahas data serta metodologi penelitian yang

digunakan dalam tugas akhir ini. Penjelasan terdiri dari pembahasan data,

pengambilan sampel, data spasial, metode penaksiran ketebalan reservoir

dengan Simple Kriging, validasi silang dan penghitungan volume reservoir

dalam blok.

3.1 DATA

Data merupakan data reservoir lapangan minyak Jatibarang. Data

terdiri dari data koordinat bawah permukaan (Northing, Easting), dan data

ketebalan reservoir minyak pada titik yang dijadikan sampel.

3.2 PENGAMBILAN SAMPEL

Sampel yang digunakan dalam tugas akhir ini diambil dengan cara

acak. Sampel diambil sebanyak 25 data lokasi dari sebanyak 83 lokasi

lainnya.



23/86

10

3.3 METODE PENAKSIRAN VOLUME RESERVOIR

Penaksiran volume reservoir dilakukan dengan beberapa tahap.

Tahap pertama adalah menentukan ukuran blok, dalam hal ini blok berbentuk

persegi panjang. Pembuatan blok diusahakan agar setiap blok hanya

terdapat satu titik sampel. Tahap kedua adalah menentukan ketebalan

reservoir dalam blok. Pada tugas akhir ini penaksiran ketebalan reservoir

dilakukan dengan metode penaksiran Simple Kriging.Kemudian dengan

menggunakan metode penghitungan cadangan, volume reservoir dihitung

dengan rumus V = A x l, dimana Aadalah luas blok dan ladalah tebal

reservoir, dengan asumsi bahwa reservoir berbentuk balok-balok dengan

permukaan yang rata. Berikut ini adalah pembahasan metode penaksiran

Kriging.

3.4 METODE KRIGING

Metode Kriging adalah metode penaksiran yang sering digunakan

dalam bidang pertambangan. Metode ini digunakan untuk menginterpolasi

suatu nilai kandungan mineral berdasarkan nilai-nilai yang diketahui.

Misalkan akan diestimasi karakeristik Zpada suatu lokasi yang tidak terukur

berdasarkan informasi dari titik-titik yang terukur karakteristiknya. Hal ini

dapat dilakukan dengan membentuk kombinasi linear dari titik-titik yang telah

diketahui informasinya Z1,Z2,..., Zn. Yaitu dengan membentuk i ii

Z Z= .



24/86

11

Pada tugas akhir ini metode kriging yang digunakan adalah metode simple

kriging.Secara ringkas alur metode simple kriging adalah sebagai berikut.

Peubah teregional Z

dengan nilai pada

lokasi siadalah z(s

i)

, i= 1,2,3,,n

start

Asumsi data s tasioner

orde dua

Asumsi mean diket ahui

Tidak dapat

menggunakan simple

kriging

Penaksiran simple kriging dengankovariogram

membentuk kombinasi linear dari z(s1), z (s2), . ..z (sn) untuk m enaksir nilai

Z pada titik yang tidak tersampel s0

0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n nZ s z s z s z s = + + +

Membentuk persamaan simple kriging dengan menggunakansemivariogram yang valid

Didapatkan nilai

1 2, ,..., n

Menghitung0

( )Z s

Menghitung variansi dari taksiran

stop

Tidak terpenuhi

terpenuhi

terpenuhi

Menggunakan

ordinary kriging

Tidak

terpenuhi

Gambar 3.1alur penaksiran metode simple kriging



25/86

12

Kriging adalah metode estimasi yang diupayakan menghasilkan

taksiran yang bersifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Masalah yang

dapat diselesaikan dengan kriging adalah mencari estimasi linear terbaik dari

titik atau blok yang tidak diketahui berdasarkan data-data spasial yang

diketahui. Data spasial adalah suatu hasil pengukuran yang memuat

informasi mengenai lokasi dari pengukuran.

3.5 DATA SPASIAL

Data spasial adalah suatu pengukuran yang memuat informasi

mengenai lokasi atau koordinat dari pengukuran. Variabel teregional Z(s)

adalah variabel yang terdistribusi di dalam ruang dan menujukkan adanya

korelasi spasial. Nilai data di lokasi s yaitu z(s) disebut realisasi dari variabel

random Z(s). Kumpulan variabel teregional Z(s) disebut fungsi random. Agar

dapat melakukan penaksiran variabel teregional dengan metode simple

kriging, data spasial harus memenuhi asumsi stasioner orde dua atau

stasioner intrinsik. Subbab berikut akan menjelaskan asumsi stasioner orde

dua dan stasioner intrinsik



26/86

13

3.6 ASUMSI STASIONER ORDE DUA DAN STASIONER INTRINSIC

Misalkan Ds R adalh lokasi data spasial pada ruang dimensi D dan

z(s) adalah nilai pengukuran pada lokasi s. Kumpulan dari variabel teregional

Z(s), { }( ) : DZ s s R disebut proses spasial.

Pada pengamatan lapangan terhadap proses spasial seringkali

ditemukan variabilitas nilai yang besar. Hipothesis stasioner diperlukan untuk

mengamati fenomena tersebut. Proses spasial { }( ) : DZ s s R disebut

memenuhi asumsi stasioner orde dua apabila distribusi dari Z(s) invarian

terhadap translasi. Artinya untuk setiap penambahan jarak sebesar h,

distribusi dari Z(s1), Z(s2),..., Z(sn) sama dengan distribusi Z(s1+h), Z(s2+h),...,

Z(sn+h) . Apabila hanya dua momen pertama dari Z(s) yaitu mean dan

variansi yang memenuhi sifat ini, maka kondisi ini dinamakan stasioner orde

dua. Sebuah fungsi random disebut stasioner orde dua jika memenuhi:

1. Mean Konstan

E[Z(s)] = (1)

Artinya mean dari Z(s) konstan untuk setiap titik s.

2. Kovariansi adalah fungsi dari jarak antara titik s dan s+h.

Cov[Z(s), Z(s+h)] = E[ (Z(s)-E[Z(s)]) (Z(s+h)-E[Z(s+h)]) ] = C(h) (2)

Dengan kata lain fungsi kovariansi antara dua titik hanya bergantung pada

vektor h. Lebih sederhananya stasioner orde dua mengimplikasikan bahwa

nilai ekspektasi dan kovariansi invariant terhadap translasi



27/86

14

Berdasarkan (1) maka kovariansi (2) dapat dituliskan

Cov[Z(s),Z(s+h)] = E[Z(s)Z(s+h)]-Z(s)E[Z(s+h)]- E[Z(s)]Z(s+h) + E[Z(s)]2

= E[Z(s)Z(s+h)] - E[Z(s)]

2

= E[Z(s)Z(s+h)] - 2 (3)

Jika h = 0 diperoleh definisi variansi dari Z(s), yaitu

C(0)=var[Z(s)]= 2Zuntuk setiap s.

Kovariansi untuk dua data yang berjarak 0, atau h=0 nilainya sama dengan

variansi dari populasi

Hipothesis stasioner orde dua untuk variabel teregional tidak selalu

dipenuhi. Kondisi ini dapat diperlemah dengan adanya asumsi stasioner

intrinsik , yaitu dengan mengasumsikan selisih jarak antara dua variabel

random adalah variabel teregional stasioner orde dua.

E[Z(s+h)-Z(s)] = 0

Var[Z(s+h)-Z(s) = 2 ( )h ]

Dimana ( )h adalah semivariogram. Setiap variabel teregional yang

memenuhi asumsi stasioner orde dua maka memenuhi asumsi stasioner

intrinsik, tetapi tidak berlaku sebaliknya. Apabila variabel teregional

memenuhi asumsi stasioner orde dua, penaksiran simple krigingdilakukan

dengan menggunakan kovariogram. Subbab berikut akan membahas fungsi

yang dapat menggambarkan korelasi spasial, yaitu kovariogram dan

semivariogram.



28/86

15

3.7 KOVARIOGRAM

Salah satu fungsi yang dapat mengamati korelasi spasial antar data sampel

adalah fungsi kovaraiansi atau kovariogram, C(h). Berdasarkan asumsi

stasioner orde dua kovariogram didefinisikan sebagai:

( ) {[ ( ) ].[ ( ) ]}C h E Z s h Z s = +

Agar dapat berguna dalam menyelesaikan persamaan simple kriging maka

kovariogram haruslah definit positif. Penjelasan mengenai kovariogram harus

definit positif terdapat pada lampiran 1.

3.7.1 KOVARIOGRAM EKSPERIMENTAL

Tahapan awal untuk memodelkan kovariogram adalah menghitung

kovariogram berdasarkan data yang dijadikan sampel. Kovariogram seperti

ini disebut kovariogram eksperimental dan dapat dinyatakan sebagai berikut :

2

1

)(

1

])(1

[)]().([)(

1)(

==

+=n

i

i

hN

i

ii szn

szhszhN

hC

Dimana

is : lokasi titik sampel

)( isz : Nilai pengamatan pada lokasi is

h : Jarak antara dua data

( is , is + h ) : Pasangan data yang berjarak h

( )N h : Banyaknya pasangan berbeda yang memiliki jarak h



29/86

16

n : Banyaknya sampel

Kovariogram dibagi menjadi 2 macam, yaitu :

1. Jika C ( h ) hanya bergantung pada jarak h , maka kovariogram

tersebut disebut kovariogram isotropik.

2. Jika C ( h ) bergantung pada jarak h dan arah , maka kovariogram

tersebut disebut kovariogram anisotropik.

Pada tugas akhir ini hanya akan dibahas mengenai kovariogram isotropik.

3.7.2 KOVARIOGRAM TEORITIS

Hasil penghitungan kovariogram eksperimental juga tidak langsung

dapat digunakan dalam melakukan penaksiran melainkan harus dimodelkan

terlebih dahulu menjadi sebuah fungsi. Fungsi yang dapat digunakan sebagai

model dari hasil penghitungan kovariogram eksperimental adalah fungsi yang

memenuhi kondisi definit positif(positive definit) pembahasan lebih lanjut

terdapat di lampiran 2

Parameter-parameter yang digunakan untuk mendeskripsikan

semivariogram adalah :

Nugget(C0)

Nugget merupakan pendekatan nilai kovariogram atau semivariogram

pada jarak disekitar nol.



30/86

17

Range(a)

Range merupakan jarak (lag distance) maksimum dimana masih terdapat

korelasi spasial antar variabel teregional.

Sill (C)

Nilai dari sill pada umumnya mendekati nilai variansi dari populasi (sill

)]([ sZVar ).

Parameter tersebut dapat digambarkan dengan gambar berikut

Gambar 3.2 Plot kovariogram

Berikut ini adalah beberapa fungsi yang dapat digunakan sebagai

model semivariogram, diantaranya adalah:

1. Model Nugget effect

C(h) = C 0=h

= 0 0|| >h

C(h

2

a

h

sill

range



31/86

18

Plot dari kovariogram model nugget adalah sebagai berikut

Gambar 3.3 Plot kovariogram model nugget

2. Model Spherical

C(h) = C3

3

31

2 2

h h

a a

+

ah


32/86

19

3. Model Eksponensial

C(h) = exph

Ca

ah


33/86

20

Berdasarkan hipothesis intrinsik, semivariogram didefinisikan

( )h =1

var[ ( ) ( )]2

Z s h Z s+

})]()({[)2

1()( 2sZhsZEh +=

3.8.1 SEMIVARIOGRAM EKSPERIMENTAL

Sebelum membentuk model semivariogram, maka harus dihitung

terlebih dahulu semivariogram eksperimental. Semivariogram eksperimental

adalah semivariogram yang dihitung dari data yang diketahui, dinyatakan

dalam

=

= + ( )

2

1

1( ) [ ( ) ( )]

2 ( )

N h

i i

i

h z s h z sN h

si menyatakan lokasi ke i. z(si) menyatakan pengamatan pada lokasi ke i.

N(h) menyatakan banyaknya pasangan berbeda yang memiliki jarak h.

Semivariogram yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah semivariogram

isotropic, yaitu ( )h hanya bergantung pada jarak |h|.

3.8.2 SEMIVARIOGRAM TEORITIS

Hasil penghitungan semivariogram eksperimental, tidak selalu dapat

digunakan dalam perhitungan lebih lanjut. Model semivariogram yang

digunakan dalam kriging harus memenuhi beberapa ketentuan sehingga



34/86

21

persamaan kriging dapat diselesaikan, yaitu semivariogram harus memenuhi

kondisi definit negatif bersyarat, agar sistem persamaan kriging terjamin

memiliki solusi. pembahasan semivariogram harus memenuhi kondisi definit

negatif bersyarat terdapat pada lampiran 3.

Parameter-parameter yang digunakan untuk mendeskripsikan

semivariogram adalah :

Nugget(C0)

Nugget merupakan pendekatan nilai semivariogram pada jarak disekitar

nol.

Range(a)

Range merupakan jarak (lag distance) maksimum dimana masih terdapat

korelasi spasial antar variabel teregional.

Sill (C0+C)

Sill merupakan sebuah nilai tertentu yang konstan yang dimiliki oleh

semivariogram untuk jarak (lag distance) tertentu sampai dengan lag

distanceyang tidak terhingga. Nilai dari sill pada umumnya mendekati

nilai variansi dari populasi (sill )]([ sZVar ).

Berikut ini terdapat beberapa fungsi yang dapat digunakan sebagai

model semivariogram, diantaranya adalah:



35/86

22

1. Model nugget effect

)(h = 0 0=h

= C0 0|| >h

Model ini berhubungan dengan data yang tidak berkorelasi satu sama

lain meskipun jaraknya sangat dekat. Kurva model nugget effect dapat

dilihat pada gambar dibawah ini.

Gambar 3.6Semivariogram model nugget effect

2. Model spherical

)(h = C

3

3

2

||

2

||3

a

h

a

h ah


36/86

23

Gambar 3.7Semivariogram modelspherical

3. Model eksponensial

Seperti pada model spherical, model eksponensial akan menghasilkan

garis lurus untuk harga-harga disekitar titik asal. Perbedaannya

terletak pada panjang garis singgung terhadap range. Untuk model

eksponensial, garis singgung akan mencapai sill pada 3 kali range.

Persamaan model eksponensial adalah sebagai berikut :

)(h =

a

hC

||exp1 0|| h

Kurva untuk model eksponensial dapat dilihat pada gambar dibawah.

Gambar 3.8Semivariogram modelspherical



37/86

24

3.9 HUBUNGAN KOVARIOGRAM DAN SEMIVARIOGRAM

Hubungan antara fungsi kovariansi (kovariogram) dengan semivariogram

adalah

( h ) = C(0) C( h )

Bukti :

( h ) = ( ) })]()({[2

1 2sZhsZE +

= ( ) ]})(][)([2])([])({[2

1 2 +++ sZhsZsZhsZE

= ( ) +++++ )]([)].([2)](),([{2

1 2 sZEhsZEhsZhsZE

]})(][)([2 + sZhsZ

( ) ]})(][)([2.2)](),([{2

1 22 +++++= sZhsZhsZhsZE

( ) ]})(][)([2)](),([{2

1 2 +++= sZhsZhsZhsZE

( h ) = C(0) C( h )

Sebelum digunakan untuk mencari bobot dari simple kriging, semivariogram

atau kovariogram haruslah valid atau cocok untuk digunakan. Untuk menguji

hal tersebut digunakan metode validasi silang

3.10 VALIDASI SILANG

Sebelum model semivariogram atau model kovariogram digunakan

dalam melakukan penaksiran dengan metode simple kriging, perlu diuji



38/86

25

apakah model semivariogram tersebut sesuai dengan keadaan data spasial

yang ada. Didasari oleh tujuan tersebut, diperlukan suatu pengujian untuk

menguji kecocokan model semivariogram atau model kovariogram.

Jika model semivariogram menggambarkan korelasi spasial dalam

data dengan baik, maka nilai prediksi )( 0^

sZ akan mendekati nilai sebenarnya

)( 0sZ . Atau dapat dinyatakan sebagai berikut :

Data (Respon) = Prediksi + Residual

)( 0sZ = )( 0^

sZ + e

Dalam pemodelan statistik, estimasi parameter dan validitas model

bergantung pada pemeriksaan residual.

Dalam tugas akhir ini pengujian yang akan digunakan untuk menguji

validitas model adalah validasi silang. Dalam pengujian validasi silang, model

semivariogram atau model kovariogram diuji dengan menggunakan nilai dari

sampel. Setelah model dipilih, nilai sampel yang sudah ada dianggap belum

diketahui, kemudian dilakukan penaksiran dengan metode simple kriging

terhadap sampel tersebut. Setelah itu, bandingkan nilai sampel yang

sebenarnya dengan hasil yang diperoleh melalui metode penaksiran. Selisih

antara kedua nilai tersebut disebut residual. Residual diasumsikan

berdistribusi normal.

Ide dasar dari validasi silang adalah menggunakan nilai-nilai residual

terbaku untuk menentukan apakah model semivariogram atau model



39/86

26

kovariogram yang dipilih sudah valid. Residual terbaku adalah residual yang

sudah distandarisasi. Jika model sudah valid, model semivariogram atau

model kovariogram tersebut dapat digunakan untuk menaksir nilai dari

peubah teregional di lokasi yang tidak tersampel. Statistik uji yang digunakan

adalah statistik uji 1Q dan 2Q .

3.10.1 STATISTIK UJI 1Q

1Q menyatakan rata-rata dari residual terbaku, atau dapat dinyatakan

sebagai berikut :

=

=n

k

kn

Q2

11

1

Karena k adalah residual terbaku dinyatakank

k

k

e

= , maka )1,0(~ Nk .

Sehingga ekspektasi dan variansi dari 1Q adalah :

a. 0][1

1

1

1][

22

1 ==

= ==

n

k

k

n

k

k Enn

EQE

][ 21QE =

=

= ==

n

k

n

l

lk

n

k

kn

En

E2 2

22

2 1

1

1

1

=1

1)1(1

1)(1

1

2

2 2

2

=

=

= = n

nn

En

n

k

n

l

lk

][ 1QVar = ][2

1QE - ][ 12 QE



40/86

27

=1

10

1

1

=

nn

Jadi dapat dapat disimpulkan bahwa )1

1,0(~

1 nNQ

Selain statistik uji 1Q , dapat digunakan statistik uji 2Q untuk menguji apakah

model semivariogram yang dipilih valid. Pada pembahasan berikut ini akan

dibahas mengenai statistik uji 2Q .

3.10.2 STATISTIK UJI2Q

2Q menyatakan rata-rata dari kuadrat residual terbaku, atau dapat

dinyatakan sebagai berikut :

=

=n

k

kn

Q2

2

21

1

Karena k adalah residual terbaku dinyatakank

k

k

e= , maka )1,0(~ Nk .

Sehingga ekspektasi dan variansi dari 2Q adalah :

1][1

1

1

1][

2

21

2

2

2 ==

= =

=

n

k

k

n

k

k Enn

EQE

][ 2QVar =1

2

n

Jadi dapat dapat disimpulkan bahwa 22 ( 1)~ nQ

Berdasarkan pembahasan diatas, model kovariogram atau semivariogram

merupakan model yang baik jika nilai Q2mendekati nilai satu.



41/86

28

Pada pembahasan selanjutnya akan dijelaskan mengenai langkah-

langkah yang dilakukan dalam validasi silang.

3.10.3 LANGKAH-LANGKAH VALIDASI SILANG

Langkah-langkah yang dilakukan dalam pengujian validasi silang

adalah sebagai berikut :

1. Misalkan )( isz adalah nilai dari peubah teregional Z di lokasi is

dimana ni ,...,3,2,1= . Hitung taksiran )( 2sz dengan metode Simple

kriging hanya dengan menggunakan nilai )( 1sz .

)()( 112 szsz =

Dengan menggunakan sistem persamaan Simple kriging

didapat )()( 12 szsz =

2. Bandingkan hasil taksiran )( 2sz dengan nilai )( 2sz dari data sampel.

Kemudian hitung residual dari taksiran,

)()( 222 szsze =

3. Selanjutnya gunakan nilai )( 1sz dan nilai )( 2sz untuk menaksir nilai

)( 3sz . Kemudian hitung residualnya.



42/86

29

4. Setelah seluruh residual telah dihitung, kemudian lakukan standarisasi

residual. Residual yang telah distandarisasi tersebut disebut residual

terbaku. Residual terbaku dinyatakan dengan k .yaituk

k

k

e

=

5. Lanjutkan prosedur yang sama untuk mengkonstruksi residual terbaku

yang lainnya sampai diperoleh )( nsz dengan menggunakan

)(),...,(),( 121 nszszsz . Secara umum, residual dan residual terbaku

dapat dinyatakan sebagai berikut :

)()( kkk szsze = , untuk nk ,...,2=

k

k

k

e

= untuk nk ,...,2=

6. Hitung rata-rata dari keseluruhan residual terbaku ( 1Q ) dan rata-rata

kuadrat residual terbaku ( 2Q ), yaitu :

=

=n

k

kn

Q2

11

1

7. Menghitung rata-rata dari keseluruhan residual terbaku kuadrat, yang

dinyatakan denganQ2, yaitu :

22

2

1

1

n

k

Qn

=

=

8. Setelah itu dilakukan pengujian hipotesis

H0 : Model semivariogram cocok (valid)

H1 : Model semivariogram tidak cocok (tidak valid)



43/86

30

Statistik uji : =

=n

k

kn

Q2

11

1

Aturan keputusan dengan kepercayaan 95% :

H0ditolak jika1

2|| 1

>

nQ

Atau dengan perkataan lain, model semivariogram yang dipilih tidak

cocok (valid) jika1

2|| 1

>

nQ .

9. Setelah didapatkan model kovariogram yang valid, selanjutnya akan

dipilih model kovariogram yang lebih baik dari beberapa model

kovariogram yang sudah valid. Pemilihan model yang lebih baik

dilakukan dengan memilih model kovariogram yang memiliki nilai Q2

yang lebih mendekati nilai 1.

3.10.4 PENGUJIAN KENORMALAN RESIDUAL

Asumsi kenormalan diperlukan dalam penentuan model kovariogram.

Pada tugas akhir ini akan digunakan pengujian Shapiro Wilks.Berikut ini

adalah pengujian hipothesis kenormalan residual dengan uji Shapiro Wilks.

Hipothesis uji Shapiro Wilks.

H0 : residual dari model kovariogram berdistribusi normal

H1 : residual dari model kovariogram tidak berdistribusi normal

dipilih nilai =0.05



44/86

31

statistik uji

=

= 21

( )n

i

i

D dimana adalah residual dari model kovariogram

Aturan keputusannya adalah sebagai berikut

H0ditolak jika <

Jika H0ditolak maka residual tidak berdistribusi normal. Jika H0tidak ditolak

maka residual berdistribusi normal

3.11 PENGUJIAN KENORMALAN

Pengujian kenormalan diperlukan dalam mengamati data ketebalan

reservoir. Selain itu Asumsi kenormalan diperlukan dalam penentuan model

kovariogram. Pada tugas akhir ini akan digunakan pengujian Shapiro Wilks.

Berikut ini adalah pengujian hipothesis kenormalan variabel dengan uji

Shapiro Wilks.

Hipothesis uji Shapiro Wilks.

H0 : data berdistribusi normal

H1 : data tidak berdistribusi normal

dipilih nilai =0.05

statistik uji



45/86

32

=

= 21

( )n

i

i

D X X dimana X adalah variabel yang akan diuji kenormalannya.

Pada tugas akhir ini variabel yang diuji kenormalannya adalah ketebalan

reservoir dan residual dari model kovariogram.

Aturan keputusannya adalah sebagai berikut

H0ditolak jika <

Jika H0ditolak maka data tidak berdistribusi normal. Jika H0tidak ditolak

maka data berdistribusi normal

3.12 SIMPLE KRIGING

Simple kriging adalah salah satu bentuk kriging dengan asumsi mean

diketahui. Misalkan Y adalah peubah regional stasioner orde 2 yang

merepresentasikan variasi disekitar mean dari )(sZ . Dimana )(sZ adalah

peubah regional stasioner dan mean dari )(sZ diasumsikan diketahui = m.

)(sZ dapat dinyatakan dengan :

Z(s) = +Y(s), maka penaksir dari Y(s) adalah sebagai berikut

0

1

( ) ( )N

i i

i

Y s Y s=

=

Penaksir ini tidak bias dan memiliki variansi minimum. Dengan nilai variansi

20 0

1

( ) (0) ( )n

i iSK

j

s C C s s =

=

Dimana C adalah matrik kovariansi. Dengan mengembalikan ke persamaan

awal Z=Y+m maka diperoleh penaksir simple kriging



46/86

33

Z=Y+m

= [ ]1

( )N

i i

i

Z s m m=

+

=1

( ) 1N

i i i

i

Z s m =

+

=1

( )N

i i

i

Z s m =

+

Dimana adalah bobot mean.

Dalam melakukan metode simple krigingdiperlukan kovariogram untuk

membentuk sistem persamaan kriging. Pada tugas akhir ini fungsi yang

digunakan untuk mengamatik korelasi spasial adalah kovariogram. Hal ini

karena kovariogram dapat digunakan dalampenaksiran simple krigingsatu

titik dengan menggunakan satu titik sampel, sedangakan semivariogram tidak

dapat digunakan. Penaksiran simple krigingsatu titik dengan satu titik sampel

dengan semivariogram tidak dapat dilakukan karena adanya pembagian

dengan nol pada saat penghitungan bobot simple kriging.Penaksiran

menggunakan satu titik sangat diperlukan untuk validasi silang. Oleh karena

itulah semivariogram tidak digunakan. Berikut ini akan dibahas taksiran dari

metode simple kriging yang diupayakan dapat memenuhi sifat BLUE (Best

Linier Unbiased Estimator).



47/86

34

3.12.1 SIFAT UNBIASED DAN VARIANSI MINIMUM

Berikut akan dicari taksiran yang bersifat BLUE untuk persamaan

simple kriging. Karena asumsi kestasioneran dan mean diketahui, maka

E[Z(s)] = m dan C(h) diketahui. Didefinisikan variabel Y(s) dengan mean nol.

Y(s) = Z(s) m (4)

E[Y(s)] = 0

Pada pengukuran di lokasi nsss ......,2,1 misalkan diketahui nilai observarsi Y1,

Y2, Y3,, Yn. dengan Yi= Y(si). akan dicari estimator linear Y(s0) dari Y(s0)

dititik s0menggunakan nilai-nilai yang diobservasi, yaitu

0

1

( )n

i i

i

Y s Y=

= (5)

Untuk mencari bobot i dan berdasarkan sifat penaksir kriging, maka

Y(s0) haruslah penaksir tak bias dan variansinya minimum.

0 0 0( ) ( ) ( )s Y s Y s = (6)

E[ 0( )s ] = E[ 0 0( ) ( )Y s Y s ]

= E[ 01

( )n

i i

i

Y s Y=

]

Karena diketahui E[Y(s)]=0 maka

E[ 0( )s ] = 0 (7)

Sehingga dapat disimpulkan Y(s0) tidak bias.

Variansi dari error adalah



48/86

35

Var[ 0( )s ] = E[( 0 0( ) ( )Y s Y s )2] (8)

= 201

[( ) ]n

i i

i

E Y Y =

= 20 01 1 1

[( )( )] 2 [ ] [ ]n n n

i i i i i i

i i i

E Y Y E YY E Y = = =

+

= 20 01 1 1

[ ] 2 [ ] [ ]n n n

i j i j i i

i j i

E YY E Y Y E Y = = =

+

karena m = E[Y(s)] = 0 maka

E[YiYj] = C(si-sj) + m2= C(si-sj)

Dan E[Y02] = C(0) = var[Y]

Maka

E[( 0 0( ) ( )Y s Y s )2] = 01 1 1

( ) 2 ( )n n n

i j i j i i

i j i

C s s C s s = = =

+ E[Y02] (9)

Untuk meminimunkan persamaan 9, hal yang akan dilakukan adalah

menghitung turunan parsial pertama terhadap n ,....1 dan membuat setiap

turunan tersebut sama dengan nol. Dibawah ini akan dicontohkan untuk 1 .

Untuk yang lainnya dapat dilakukan dengan cara yang sama.

turunan parsial pertama = 0.

2

0 0( [ ( ) * ( )) ])i

E Y s Y s = 01

2 ( ) 2 ( ) 0n

i i j i

j

C s s C s s=

= (10)

j=1,,n

sehingga dihasilkan persamaan simple kriging

0

1

( ) ( )n

i i j i

j

C s s C s s=

= (11)



49/86

36

Dapat juga dituliskan dalam persamaan linear

= b (12)

Dimana matriks C diberikan sebagai berikut.

=

1 2 1

2 1 2

1 2

(0) ( ) ( )

( ) (0) ( )

( ) ( ) (0)

n

n

n n

C C s s C s s

C s s C C s s

C s s C s s C

Kemudian vektor b di bagian kanan adalah

1 0

0

( )

( )n

C s s

b

C s s

=

Dapat juga dituliskan sebagai

1 2 1 1 1 0

2 1 2 2 2 0

1 2 0

(0) ( ) ( ) ( )

( ) (0) ( ) ( )

( ) ( ) (0) ( )

n

n

n n n n

C C s s C s s C s s

C s s C C s s C s s

C s s C s s C C s s

=

(13)

Sistem persamaan (11) adalah sistem persamaan simple kriging. Matriks

adalah matrik kovariansi spasial (kovariogram) dan tidak bergantung

pada x0,

3.12.2 VARIANSI TAKSIRAN SIMPLE KRIGING

Misalkan )(xZ adalah peubah teregional stasioner dengan kovariansi

C( h ).



50/86

37

Akan dicari estimasi variansi dari taksiran kriging. Estimasi dari variansi

didefinisikan sebagai variansi dari error.

0 0Y Y=

Sehingga

Var[Y0- Y0] = E[(Y0- Y0)2] - E[(Y0- Y0)]

2

Tetapi

E[Y0- Y0] = E[Y0] - E[Y0]

= [ ]i ii

E Y

- E[Y0] = 0

Dari (11) didapatkan

0

1

( ) ( )n

i i j i

j

C s s C s s=

=

Sehingga kita dapatkan

Var[Y0- Y0] = E[(Y0- Y0)2] - E[(Y0- Y0)]

2

= E[(Y0- Y0)2]

= 0( ) 2 ( ) (0)i j i j i i i j i

C s s C s s C +

= 01

(0) ( )n

i i

j

C C s s=

2

0 01

( ) (0) ( )

n

i iSKjs C C s s == (14)

Variansi ini dinamakan variansi prediksi simpel kriging yang independen dari

nilai data.



51/86

38

Variabel awal adalah Z = Y+m, maka estimator simpel kriging adalah:

Z(s0) = m + ( ( ) )i ii

Z s m

Var[ Z(s0)- Z(s0)] = var[Z(s0)]- 01

( )n

i i

j

C s s=

3.12.3 TAKSIRAN BLOK

Permasalahan yang dapat diselesaikan dengan metode penaksiran

kriging adalah mencari estimasi linear terbaik untuk titik atau blok yang tidak

tersampel. Pada tugas akhir ini taksiran yang akan dicari adalah penaksir

blok. Dalam hal ini blok D direpresentasikan oleh titik pusat blok (uk).

Sehingga sistem simpel kriging menjadi

1 1 1, 2 1, 1 1,

2, 1 2 2 2, 2 2,

, 1 , 2 ,

( , ) ( ) ( ) ( )

( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( )

n

n

n n n n n n

C s s C s s C s s C s D



=

Karena blok direpresentasikan oleh titik pusak blok (uk) maka sistem di atas

menjadi

1 1 1, 2 1, 1 1,

2, 1 2 2 2, 2 2,

, 1 , 2 ,

( , ) ( ) ( ) ( )

( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( )

n k

n k

n n n n n n k

C s s C s s C s s C s u



=



52/86

39

3.13 PENGHITUNGAN VOLUME RESERVOIR.

Penghitungan volume reservoir dilakukan dengan metode penghitungan

volume balok. Pada hal ini permukaan reservoir diasumsikan berbentuk

persegi panjang (blok) dan ketebalan reservoir merupakan ketebalan hasil

penaksiran dengan simple kriging.

Volume reservoir = taksiran ketebalan reservoir x luas persegi panjang (blok)



53/86

40

BAB IV

ANALISIS DATA

4.1 DATA

Data yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah data lapangan

minyak bumi Jatibarang sebanyak 25 sumur. Data tersebut terdiri dari lokasi

titik sampel dalam koordinat bawah tanah (x,y) dan ketebalan reservoir pada

lokasi tersebut. Data dapat dilihat pada tabel dibawah ini:

Tabel 4.1 Data Koordinat Lokasi Titik Sampel (meter) dan Ketebalan

Reservoir Minyak (meter) di Lapangan Minyak Jatibarang Jawa

Barat

NoEasting

(X)Northing

(Y)Ketebalanreservoir No

Easting(X)

Northing(Y)

Ketebalanreservoir

1 3125 5750 278 14 4625 3250 291

2 3125 6250 301 15 4625 5750 279

3 2875 5250 268 16 4825 5750 302

4 2875 4250 303 17 5125 5750 338

5 2625 5250 268 18 5125 3250 302

6 2375 5250 276 19 5375 3250 302

7 2125 5750 205 20 2152 3750 306

8 1875 5750 285 21 4375 5250 378

9 1875 5250 266 22 3125 4250 291

10 1625 5250 241 23 3375 4250 317

11 2125 3750 266 24 3375 5250 278

12 3375 3750 265 25 2875 4250 283

13 4375 3250 291



54/86

41

4.2 PERMASALAHAN

Mencari taksiran ketebalan reservoir di lokasi yang tidak tersampel dengan

menggunakan metode Simple Kriging, kemudian mencari volume dari

reservoir tersebut.

4.3 PENGOLAHAN DATA

Langkah 1. Statistika Deskriptif.

Statistik deskriptif disusun untuk mengetahui gambaran umum dari data

ketebalan reservoir minyak bumi di lapangan minyak Jatibarang. Statistika

deskriptif yang akan disusun terdiri dari nilai mean, variansi, standar deviasi,

kuantil bawah, median, kuantil atas, nilai minimum, nilai maksimum, koefisien

variansi, dan range.

Tabel. 4.2 Tabel Stastitika Deskriptif Data Ketebalan Reservoir

Statistika deskriptif

Mean 278.6

Median 285

Standar deviasi 31.835

Variansi 1013.5

Minimum 205

Maksimum 378

Mean dari sampel ketebalan reservoir adalah 287.6 meter dengan median

285 meter. Standar deviasi dari sampel ketebalan adalah 31.835, variansinya

sebesar 1013.5. Tebal reservoir paling kecil adalah 205 meter, dan reservoir

paling tebal adalah 378 meter.



55/86

42

Langkah 2. Pengujian kenormalan dari data ketebalan reservoir

Pengujian kenormalan data ketebalan reservoir dilakukan dengan

menggunakan uji Shapiro Wilks. Berikut ini adalah plot histogram dari data

kebetabalan reservoir dengan garis kurva normal.

400.00350.00300.00250.00200.00

ketebalan reservoir

7

6

5

4

3

2

1

0

Frequency

Mean = 287.60

Std. Dev. =

31.83551

N = 25

Histogram

Gambar 4.1Plot histogram data ketebalan reservoir minyak bumi.

Table 4.3 Tabel Pengujian Kenormalan Data Ketebalan Reservoir

Tests of Normality

.134 25 .200* .968 25 .594ketebalan reservoir

Statistic df Sig. Statistic df Sig.

Kolmogorov-Smirnova

Shapiro-Wilk

This is a lower bound of the true significance.*.

Lilliefors Significance Correctiona.

Pengujian kenormalan data ketebalan reservoir

H0 : data ketebalan reservoir berdistribusi normal

H1 : data ketebalan reservoir tidak berdistribusi normal

Tingkat signifikansi = 0.05



56/86

43

Aturan keputusan H0ditolak jika sig(2-tailed) < dari .

Berdasarkan output diatas didapatkan sig(2-tailed) = 0.594

keputusannya H0ditolak.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa data ketebalan reservoir berdistribusi

normal. Hal ini juga dapat dilihat pada gambar 4.1

Langkah 3. Membuat plot lokasi data sampel

Membuat plot lokasi data sampel dalam diagram koordinat. Pembuatan plot

lokasi dilakukan sebagai pertimbangan dalam menentukan ukuran grid blok

agar didapatkan kovariogram eksperimental yang representatif. Tahap

selanjutnya membuat grid sebesar 250 x 500 dan titik-titik sample diplotkan

dalam koordinat lokasi. Setelah itu akan didapatkan 96 blok

5500.005000.004500.004000.003500.003000.002500.002000.001500.00

x

6000.00

5000.00

4000.00

3000.00

y

Gambar 4.2 Plot lokasi data



57/86

44

Langkah 4. Menghitung kovariogram eksperimental.

Hal yang harus dilakukan sebelum membentuk kovariogram eksperimental

adalah menghitung jarak antar titik sample. Jarak yang digunakan adalah

jarak euclidean, yaitu

2 2( ) ( )ij i j i j i j d s s x x y y = = +

Kovariogram eksperimental didefinisikan sebagai berikut :

2

1

)(

1

])(1

[)]().([)(

1)(

==

+=n

i

i

hN

i

ii szn

szhszhN

hC

Dimana :

is : lokasi titik sampel

)( isz : nilai pengamatan pada lokasi is

h : jarak antara dua sampel dan biasa disebut lag.

( )N h : banyaknya pasangan berbeda yang memiliki jarak h .

Hasil dari perhitungan kovariogram eksperimental dapat dilihat pada tabel 4.4.

Tabel 4.4 Hasil Perhitungan Kovariogram Eksperimental

Kelaslag Lag

KovariogramEksperimental Pasangan Data

1 0 1013.5 25

2 380.952 558.45 42

3 626.343 419.9912 114

4 982.725 153.4362 188

5 1971.517 99 230

6 2426.458 3.647 210



58/86

45

Plot kovariogram eksperimental dapat dilihat pada gambar 4.3

kovariogram eksperimental

0

200

400

600

800

1000

1200

0

380

.952

626

.343

982

.725

197

1.52

2426.

46

kovariogram

eksperimental

Gambar 4.3 Plot Kovariogram Eksperimental

Langkah 5

Menguji asumsi stastioner orde dua dan stasioner intrinsik. Pengujian dengan

mengamati plot dari data. Berikut ini adalah plot tiga dimensi

Gambar 4.4Plot tiga dimensi data ketebalan reservoir.



59/86

46

Plot di atas menunjukkan tidak adanya pola dari data, selanjutnya dilihat plot

ketebalan reservoir terhadap masing-masing sumbu koordinat

0

50

100

150

200

250

300

350

400

3250325037503750 4250 42505250525052505750575057506250

Series1

Gambar 4.5plot ketebalan dengan sumbu y

0

50

100

150

200

250

300

350

400

1625

1875

2125

2625

2875

3125

3125

3375

4375

4625

Series1

Gambar 4.6Plot ketebalan dengan sumbu x.

Dengan mengamati ketiga plot di atas dapat disimpulkan bahwa data tidak

memiliki trendatau pola, sehingga data diasumsikan memenuhi stasioner

orde dua.



60/86

47

Langkah 6. Menentukan parameter kovariogram

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya tidak semua fungsi kovariogram

dapat digunakan untuk mencari bobot dari sistem persamaan kriging. Untuk

itu akan dicari kovariogram teoritis yang cocok.

Akan dipilih 3 model berbeda, yaitu :

1. Model Nugget effect

C(h) = C 0=h

= 0 0|| >h

2. Model Spherical

C(h) = C3

3

31

2 2

h h

a a

+

ah


61/86

48

1. Model nugget effect

Untuk model nugget effect dipilih nuggetsama dengan 241 , sehingga

modelnya menjadi:

C(h) = 241 0=h

= 0 0|| >h

2. Model Spherical

Untuk model Spherical dipilih range sama dengan 2300 dan sill sama

dengan 1010 sehingga modelnya menjadi :

C(h) = 10103

3

31

2(2300) 2(2300)

h h +

|h|


62/86

49

Berdasarkan prosedur pada bab III, dilakukan perhitungan dengan program

Matlab (syntax terdapat pada lampiran 5 program). Hasil perhitungan residual

terbaku untuk masing-masing model dapat dilihat pada tabel-tabel dibawah

ini :

1. Penggunaan model Nugget effect

Model nugget effect

Untuk model nugget effectdipilih sill sama dengan 241, sehingga

modelnya menjadi:

C(h) = 0 0=h

= 241 0|| >h



63/86

50

Tabel 4.5 Tabel Hasil Perhitungan dengan Model Nugget Effect

Ketebalan

SampleKetebalanreservoir

Taksiranketebalan

denganSK variansi Residual Epsilon epsilon^2

}){|( 12 ssz 301 278.500 1013.500 -22.5 -0.022 0.001

}),{|( 213 sssz 278 300.400 482.000 22.4 0.046 0.002

}),,{|( 3214 ssssz 303 289.200 361.500 -13.8 -0.034 0.001

}),,,{|( 43215 sssssz 268 293.800 321.333 25.8 0.080 0.006

6 1 2 5( |{ , ,..., })z s s s s 276 287.350 301.250 11.35 0.037 0.001

7 1 2 6( |{ , ,..., })z s s s s 205 285.080 289.200 80.08 0.276 0.076

8 1 2 7( |{ , ,..., })z s s s s 285 271.733 281.166 -13.2667 -0.047 0.001

9 1 2 8( |{ , ,..., })z s s s s 266 272.675 271.125 6.675 0.024 0.001

10 1 2 9( |{ , ,..., })z s s s s 241 272.675 271.125 31.675 0.116 0.013

11 1 2 10( |{ , ,..., })z s s s s 266 269.155 267.777 3.1556 0.011 0.001

12 1 2 11( |{ , ,..., })z s s s s 265 268.840 265.100 3.84 0.014 0.001

13 1 2 12( |{ , ,..., })z s s s s 291 268.490 262.909 -22.5091 -0.085 0.007

14 1 2 13( |{ , ,..., })z s s s s 291 270.366 261.083 -20.6333 -0.079 0.006

15 1 2 14( |{ , ,..., })z s s s s 279 271.953 259.538 -7.0462 -0.027 0.001

16 1 2 15( |{ , ,..., })z s s s s 302 272.457 258.214 -29.5429 -0.114 0.013

17 1 2 16( |{ , ,..., })z s s s s 338 274.426 257.066 -63.5733 -0.247 0.061

18 1 2 17( |{ , ,..., })z s s s s 302 278.400 256.062 -23.6 -0.092 0.008

19 1 2 18( |{ , ,..., })z s s s s 302 279.788 255.176 -22.2118 -0.087 0.007

20 1 2 19( |{ , ,..., })z s s s s 306 281.022 254.388 -24.9778 -0.098 0.009

21 1 2 20( |{ , ,..., })z s s s s 378 297.000 253.684 -81 -0.319 0.101

22 1 2 21( |{ , ,..., })z s s s s 291 287.120 253.050 -3.88 -0.015 0.001

23 1 2 22( |{ , ,..., })z s s s s 317 286.876 252.476 -30.1238 -0.119 0.014

24 1 2 23( |{ , ,..., })z s s s s 278 288.245 251.954 10.2455 0.040 0.002

25 1 2 24( |{ , ,..., })z s s s s 283 278.000 5.01E-14 -5 -9.97E+13 9.95E+27



64/86

51

Akan dilakukan pengujian asumsi residual berdistribusi normal

Pengujian kenormalan akan dilakukan dengan uji Shapiro Wilks

H0 : residual dari model nugget effectberdistribusi normal

H1 : residual dari model nugget effecttidak berdistribusi normal

Dipilih nilai =0.05

Aturan keputusan

H0ditolak jika <

Dengan menggunakan software SPSS didapatkan output sebagai

berikut

Tabel 4.6Tabel Pengujian Kenormalan Residual Model Nugget effect

Tests of Normality

.159 24 .120 .943 24 .191residual model nugget


Kolmogorov-Smirnova

Shapiro-Wilk


Berdasarkan output di atas didapatkan nilai =0.191.

Karena nilai >0.05 maka H0ditolak. Sehingga dapat disimpulkan

bahwa residual dari model nugget effect berdistribusi normal.

Selanjutnya akan dilakukan validasi silang untuk menguji apakah

model nugget effect dapat digunakan dalam menentukan bobot dari

sistem simple kriging.



65/86

52

Validasi silang

H0 : model kovariogram dapat digunakan (valid)

H1 : model kovariogram tidak dapat digunakan ( tidak valid)


H0ditolak jika1

2|| 1

>

nQ

Dari hasil perhitungan Didapatkan nilai |Q1| = 4.15677E+12

dengan nilai

2

1n= 0.408 Sehingga |Q1|>

2

1n

Kesimpulan model nugget effectdengan nugget = 241 tidak dapat

digunakan untuk menaksir nilai ketebalan reservoir

Berdasarkan perhitungan didapatkan nilai Q2yaitu sebesar 4.14E+26

2. Penggunaan model Spherical

Untuk model Spherical dipilih range sama dengan 2300 dan sill

sama dengan 1010 sehingga modelnya menjadi :

C(h) = 23003

3

3 | | | |

2 * 2300 2 * (2300 )

h h

2300h <

= 1010 2300h



66/86

53

Tabel 4.7Hasil Perhitungan Model Spherical

ketebalan

sample

Ketebalan

reservoir

Taksiranketebalan

dengan SK variansi Residual Epsilon epsilon^2

}){|( 12 ssz 301 278.830 343.400 -22.17 -0.064 0.004

}),{|( 213 sssz 278 287.658 653.998 9.658 0.014 0.001

}),,{|( 3214 ssssz 303 268.030 569.448 -34.969 -0.061 0.003

5 1 2 4( |{ , ,..., })z s s s s 268 278.499 302.676 10.499 0.034 0.001

6 1 2 5( |{ , ,..., })z s s s s 276 272.770 302.292 -3.229 -0.010 0.001

7 1 2 6( |{ , ,..., })z s s s s 205 296.148 691.225 91.148 0.131 0.017

8 1 2 7( |{ , ,..., })z s s s s 285 225.980 85.563 -59.019 -0.689 0.475

9 1 2 8( |{ , ,..., })z s s s s

266 305.172 839.979 39.172 0.046 0.00210 1 2 9( |{ , ,..., })z s s s s 241 357.388 1.07E+03 116.388 0.108 0.011

11 1 2 10( |{ , ,..., })z s s s s 266 309.094 1.45E+03 43.094 0.029 0.001

12 1 2 11( |{ , ,..., })z s s s s 265 247.649 701.601 -17.351 -0.024 0.001

13 1 2 12( |{ , ,..., })z s s s s 291 252.094 225.847 -38.905 -0.172 0.029

14 1 2 13( |{ , ,..., })z s s s s 291 467.004 5.16E+03 176.004 0.034 0.001

15 1 2 14( |{ , ,..., })z s s s s 279 293.679 972.696 14.679 0.015 0.001

16 1 2 15( |{ , ,..., })z s s s s 302 277.990 242.121 -24.009 -0.099 0.009

17 1 2 16( |{ , ,..., })z s s s s 338 298.727 349.498 -39.272 -0.112 0.012

18 1 2 17( |{ , ,..., })z s s s s 302 294.656 531.405 -7.343 -0.013 0.001

19 1 2 18( |{ , ,..., })z s s s s 302 300.966 296.805 -1.033 -0.003 1.21E-05

20 1 2 19( |{ , ,..., })z s s s s 306 297.491 504.940 -8.508 -0.016 0.001

21 1 2 20( |{ , ,..., })z s s s s 378 277.439 683.637 -100.560 -0.147 0.021

22 1 2 21( |{ , ,..., })z s s s s 291 296.7249 234.849 5.7249 0.024 0.001

23 1 2 22( |{ , ,..., })z s s s s 317 293.2858 244.3541 -23.7142 -0.097 0.009

24 1 2 23( |{ , ,..., })z s s s s 278 288.4427 417.58 10.4427 0.025 0.001

25 1 2 24( |{ , ,..., })z s s s s 283 278.8 3.5 -4.2 -1.428 2.040

Akan dilakukan pengujian asumsi residual berdistribusi normal

Pengujian kenormalan akan dilakukan dengan uji Shapiro Wilks

H0 : residual dari model spherical berdistribusi normal

H1 : residual dari model spherical tidak berdistribusi normal



67/86

54

Dipilih nilai =0.05

Aturan keputusan

H0ditolak jika

<

Dengan menggunakan software SPSS didapatkan output sebagai berikut:

Tabel 4.8 Tabel Pengujian Kenormalan Residual Model Spherical

Tests of Normality

.191 24 .241 .936 24 .133residual model spherical


Kolmogorov-Smirnova

Shapiro-Wilk


Berdasarkan output diatas didapatkan nilai =0.191.

Karena nilai >0.05 maka H0ditolak. Sehingga dapat disimpulkan

bahwa residual dari model spherical berdistribusi normal. Selanjutnya

akan dilakukan validasi silang untuk menguji apakah model spherical

dapat digunakan dalam menentukan bobot dari sistem simple kriging.

Validasi silang




H0ditolak jika1

2|| 1

>

nQ

Dari hasil perhitungan didapatkan nilai |Q1| = 0.010



68/86

55

dengan nilai

2

1n= 0.408 sehingga |Q1|0.05 maka H0ditolak. Sehingga dapat disimpulkan

bahwa residual dari model exponensial berdistribusi normal.

Selanjutnya akan dilakukan validasi silang untuk menguji apakah

model spherical dapat digunakan dalam menentukan bobot dari sistem

simple kriging.



71/86

58

Validasi silang




H0ditolak jika1

2|| 1

>

nQ

Dari hasil perhitungan Didapatkan nilai |Q1| = 0.0.04759

dengan nilai

2

1n

= 0.408 Sehingga |Q1|=

=

=

=

n

ji

ji

n

ji

jiji

hCZVar

xxCZVar

Karena variansi nilainya selalu positif, maka fungsi C( h ) atau kovariogram

juga akan selalu positif. Atau dengan kata lain agar memiliki solusi,

kovariogram harus merupakan fungsi definit positif.



77/86

Lampiran 2. sifat-sifat kovariogram

SIFAT-SIFAT KOVARIOGRAM

1. Besarnya kovariogram dari dua data yang berjarak nol sama dengan

variansi dari populasi.

2)0( =C

Bukti :

Berdasarkan definisi, kovariogram dapat dinyatakan dengan:

]})(].[)({[)( += sZhsZEhC

Substitusikan 0=h

]})(].[)({[)0( = sZsZEC

}])({[)0( 2= sZEC

2)0( =C

2. Kovariogram adalah fungsi genap

)()( hChC =

Bukti :

Berdasarkan definisi, kovariogram dapat dinyatakan dengan:

]})(].[)({[)( += sZhsZEhC

]})(].[)({[)( = sZhsZEhC

Misalkan hst = , sehingga :

]})(].[)({[)( += htZtZEhC



78/86

)()( hChC =

3. Kovariogram nilainya terbatas.

)0(|)(| ChC

Bukti :

Untuk membuktikan sifat ini, maka akan dibuktikan dua

pertidaksamaan dibawah ini :

)0()( ChC dan )0()( ChC

Pertama, akan dimulai dengan hubungan dibawah ini :

0})]()({[ 2 + sZhsZE

0]})(][)([2])([])({[ 22 +++ sZhsZsZhsZE

0)(.2)0(.2 hCC

)0()( ChC

Cara yang sama dapat dilakukan untuk membuktikan pertidaksamaan

yang lainnya :

0})]()({[ 2

++ sZhsZE

0]})(][)([2])([])({[ 22 ++++ sZhsZsZhsZE

0)(.2)0(.2 + hCC

)0()( ChC



79/86

Lampiran 3. pembuktian Matriks semivariogram adalah semidefinit negatif

MATRIKS SEMIVARIOGRAM ADALAH MATRIKS SEMI DEFINIT NEGATIF

Misalkan Z(s) adalah variabel teregional dengan semivariogram ( )h . Jika

Z(s) diasumsikan hanya memenuhi hipotesis intrinsik, kita tidak dapat

menghitung kombinasi linier dari semua variabel teregional. Yang dapat

dihitung hanyalah kombinasi linier dari selisih dua data [ )()( ji xZxZ ] .

kombinasi linier dari selisih dua peubah teregional adalah :

== =

n

iii

n

iii xZxZxZ

10

1))()(()(

Jika bobot pada persamaan diatas dijumlahkan maka diperoleh hasilnya

adalah nol. Oleh karena itu, untuk peubah )(xZ yang memenuhi hipotesis

intrinsik berlaku syarat :

01

==

n

i

i

Jika kombinasi linier dari peubah )(xZ dinyatakan dengan persamaan

=

n

i

ii xZ1

)( , maka kombinasi linier dari selisih dua data adalah :

==

=n

i

ii

n

i

ii ZxZxZ11

))0()(()(

Dan variansinya adalah

==

)]0()(),0()([])([1

ZxZZxZCovxZVar jiji

n

i

ii ...(1)



80/86

Untuk mencari kovariansi dari selisihnya, akan digunakan sifat variansi

),(2)()()( YXCovYVarXVarYXVar +=

Sehingga

)]0()(),0()([2)]0()([)]0()([)]()([ ZyZZxZCovZyZVarZxZVaryZxZVar +=

Atau

)]0()(),0()([2)(2)(2][2 ZyZZxZCovyxyx +=

][)()()]0()(),0()([ yxyxZyZZxZCov +=

Substitusikan persamaan diatas pada persamaan ()

======

==

+=

+=

n

ji

jiji

n

j

jj

n

i

i

n

i

ii

n

j

j

n

i

ii

jiji

n

ji

ji

n

i

ii

xxxxxZVar

xxxxxZVar

1,11111

1,1

)(])(][[])(][[])([

)()()([])([

Karena berlaku

01

==

n

i

i

Maka variansinya menjadi

0)(

0)(])([

)(])([

1,

1,1

1,1

=

=

=

==

==

n

ji

jiji

n

ji

jiji

n

i

ii

n

ji

jiji

n

i

ii

xx

xxxZVar

xxxZVar

Jadi ada dua syarat yang harus dipenuhi sebuah fungsi agar dapat dijadikan

model semivariogram.Yaitu :

Untuk setiap kombinasi linier dari titik nxxx ,...,, 21 dan dengan bobot

n ,...,, 21 berlaku :



81/86

1. 01

==

n

i

i

2. 0)(1, > =

n

jijiji xx

Oleh karena itu, fungsi yang dapat menjadi model semivariogram, )(h ,

harus merupakan fungsi definit negatif bersyarat.



82/86

Lampiran 4.definisi kovariansi

KOVARIANSI

Misalkan X, Y adalah variabel random. Misalkan X, Y memiliki p.d.f gabungan

f(x,y). 1 adalah mean dari X dan 2 adalah mean dari Y Maka ekspektasi

matematika

1 2 2 1 1 2[( )( )] ( )E X Y E XY X Y = +

2 1 1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( )

E XY E X E Y

E XY

= +

=

Disebut kovariansi dari X dan Y biasa disebut cov(X,Y)



83/86

Lampiran 5. definisi taksiran BLUE

TAKSIRAN TAK BIAS

Definisi

Sembarang statistik yang ekspektasi matematikanya sama dengan parameter

disebut estimator tak bias dari . Dengan kata lain ( )E =

TAKSIRAN LINEAR

Taksiran yang diinginkan merupakan kombinasi linier dari data-data yang

sudah diketahui sebelumnya. Jika data-data yang diketahui dimisalkan

)(),......( 1 nxZxZ , maka taksirannya, )( xZ , dapat dinyatakan sebagai berikut :

=

=

+++=

n

i

ii

nn

xZxZ

xZxZxZxZ

1

2211

)()(

)(...)()()(

TAKSIRAN TERBAIK

Taksiran memiliki variansi residual yang minimum.



84/86

Lampiran 6 lampiran programSyntaxprogram Matlab dalam menyelesaikan model kovariogram yangdigunakan untuk validasi silang

Model spherical

n=24

zdata=[ 266;

265;

291;

205;

306;

302;

285;

303;

291;

302;

278;

268;

317;

302;

241;

291;

276;

301;

266;

378;

278;

338;

278;

279;

]; % input data ketebalan (nilai z)xdata=[2125.00 3750.00; % input data koordinat

3375.00 3750.00;

4375.00 3250.00;

2125.00 5750.00;

5125.00 3750.00;

4825.00 5750.00;

1875.00 5750.00;

2875.00 4250.00;

4625.00 3250.00;

5375.00 3250.00;

2875.00 4750.00;

2625.00 5250.00;

3375.00 4250.00;

5125.00 3250.00;

1625.00 5250.00;

3125.00 4250.00;

2375.00 5250.00;

3125.00 6250.00;

1875.00 5250.00;

4375.00 4250.00;



85/86

3375.00 5250.00;

5125.00 5750.00;

3125.00 5750.00;

4625 5750;

];

x0=[2875.00 4750.00;] % lokasi titik yang tidak diketahui

A=zeros(n,n); % matriks kovariogram

b=zeros(n,1);

for i=2:n % untuk mengisi nilai matiks kovariogram dengan model

for j=1:i

if (norm(xdata(i,:)-xdata(j,:))>=2300)

A(i,j)=0;

else

A(i,j)=1010*(1-(((3*norm(xdata(i,:)-xdata(j,:)))/(2*2300))-

((norm(xdata(i,:)-xdata(j,:))^3)/(2*(2300^3)))))

end % input fungsi kovariogram

A(j,i)=A(i,j);

end

end

for i=1:nif (norm(xdata(i,:)-(x0))>=2300)

b(i)=0;

else

b(i)=1010*(1-(((3*norm(xdata(i,:)-x0))/(2*2300))-

((norm(xdata(i,:)-x0)^3)/(2*(2300^3)))))

end

end

A,b

lambda=A\b %matriks bobot

z0=287.5+(lambda(1:n)'*(zdata-287.5)) % nilai taksiran

vartak=1013.5- b'*lambda %variansi taksiran

Model exponensialn=2 % banyak sampel yang digunakan untuk menaksir

zdata=[ % data sampel nilai ketebalan

301;

278;

];

xdata=[ %koordinat nilai yang diketahui

3125.00 6250.00;

3125.00 5750.00;

];

x0=[2875.00 5250.00;] % lokasi titik yang tidak diketahui

A=zeros(n,n); % matriks kovariogram



86/86

b=zeros(n,1);

for i=2:n

for j=1:i

if (norm(xdata(i,:)-xdata(j,:))>2300)

A(i,j)=1010;

else

A(i,j)=1010*( exp(- (norm(xdata(i,:)-xdata(j,:))/(2300) ) ))

End %fungsi kovariogram

A(j,i)=A(i,j);

end

end

for i=1:n

if (norm(xdata(i,:)-(x0))>=2300)

b(i)=1010;

else

b(i)=1010*(exp(-(norm(xdata(i,:)-x0)/2300)))

end

end

A,b

lambda=A\b % matriks bobotz0=278.5+(lambda(1:n)'*(zdata-278.5)) % nilai taksiran

vartak=1010- b'*lambda % variansi taksiran

syntax yang lain sama dengan diatas hanya berbeda jumlah nilai sampel danfungsi yang digunakan

Documents

Penaksiran Volume