26
PENAKSIRAN TITIK PENAKSIRAN SELANG SELANG KEPERCAYAAN UNTUK RATAAN SELANG KEPERCAYAAN UNTUK VARIANSI MA2081 STATISTIKA DASAR 17 MARET 2014 UTRIWENI MUKHAIYAR PENAKSIRAN

Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

  • Upload
    lamdieu

  • View
    268

  • Download
    3

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

P E N A K S I R A N T I T I K

P E N A K S I R A N S E L A N G S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K R A T A A N

S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K V A R I A N S I

M A 2 0 8 1 S T A T I S T I K A D A S A R 1 7 M A R E T 2 0 1 4

U T R I W E N I M U K H A I Y A R

PENAKSIRAN

Page 2: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

METODE PENAKSIRAN

2

Penaksiran

Titik

1 Penaksiran

Selang

2

Nilai tunggal dari suatu parameter

melalui pendekatan metode tertentu.

Nilai sesungguhnya dari suatu

parameter berada di selang tertentu.

Contoh 1. Seorang mahasiswa

mengulang kuliah Statdas, ketika di

awal perkuliahan, memiliki target

nilai lulus matkul Statdas adalah A.

Contoh 2. Seiring berjalannya

waktu, mahasiswa tersebut

mengubah target nilai lulus matkul

Statdas adalah minimal AB

Nilai : A = 4 IP : AB = [3.5, 4]

Page 3: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

ILUSTRASI

Parameter sampel menaksir parameter populasi

3

Parameter Populasi

σ2 µ

Parameter Sampel

menaksir

Populasi

Sampel

? ?

titik??

selang??

Page 4: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

PENAKSIRAN TITIK

Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan.

X

22 s

4

X Apakah dan s2 merupakan penaksir yang baik

dan paling efisien bagi dan 2?

Page 5: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

PENAKSIR TAKBIAS DAN PALING EFISIEN

Definisi

• Statistik dikatakan penaksir takbias parameter bila,

]ˆ[ˆ E

5

Dari semua penaksir takbias yang mungkin dibuat, penaksir yang memberikan variansi terkecil disebut penaksir yang paling efisien

21

Page 6: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

PENAKSIR TAK BIAS UNTUK DAN 2

Misalkan peubah acak X ~ N(,2)

• penaksir tak bias untuk .

• penaksir takbias untuk 2.

6

n

i

iXn

X1

1

n

i

i XXn

s1

22

1

1

Bukti : dengan menunjukkan bahwa,

][XE

22][ sE

Page 7: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

PENAKSIRAN SELANG

dan dicari sehingga memenuhi :

7

1 2

1ˆˆ21P

taraf/koefisien keberartian

2 21

21ˆˆ

1

Taksiran selang suatu parameter populasi :

dan : nilai dari peubah acak dan

21ˆˆ Selang kepercayaan : perhitungan selang

berdasarkan sampel acak.

dengan 0 < < 1.

Page 8: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

SKEMA PENAKSIRAN

8

POPULASI

µ σ2

1 POPULASI 2 POPULASI

BERPASANGAN 2 POPULASI

σ2

diketahui σ2 tidak

diketahui

D

σ12 , σ2

2

diketahui σ1

2 = σ22

tidak diketahui σ1

2 ≠ σ22

tidak diketahui

1 POPULASI 2 POPULASI

BERPASANGAN 2 POPULASI

D

Tabel z Tabel t Tabel z Tabel t Tabel t

Tabel 2

1n Tabel 1 2,v v

F

Page 9: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

KURVA NORMAL BAKU (Z~N(0,1)) MENGHITUNG TABEL z

9

= 0

1 -

/2 /2

z1-/2 -z1-/2

(1-/2)

= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975

dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96.

P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)

Page 10: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

KURVA T-STUDENT (T~TV) MENGHITUNG TABEL t

10

/2 /2

= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025

dan -t/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262

= 0

1 -

/2 /2

t/2 -t/2

P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)

Page 11: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK

• Kasus 1 populasi, 2 diketahui

1

21

21

zZzP

nzX

nzX

21

21

11

TLP : )1,0(~/

NZn

X

1

21

21 n

zXn

zXP

SK (1-) untuk jika 2 diketahui :

Page 12: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK

• Kasus 1 populasi, 2 tidak diketahui

1

22

tTtP

2 2

s sX t X t

n n

12

2 2

1s s

P X t X tn n

SK (1-) untuk jika 2 tidak diketahui :

1~/

n

Xt

s n

Page 13: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

CONTOH 1

• Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 10 jam, dan rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

13

Page 14: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

CONTOH 2

• Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan baku 10 jam. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengan contoh 2?

14

Page 15: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

ANALISIS CONTOH

Contoh 1 Contoh 2 Diketahui : n = 50 , , σ = 10

n = 50 , , S = 10

Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02)

Jenis kasus : kasus menaksir dengan 2

diketahui, kasus menaksir dengan 2

tidak diketahui,

Jawab : z1-/2 = z0,99 = 2,33 t/2;n-1 = t0,01;49 = 2,326

15

55X 55X

nzX

nzX

21

21

n

StX

n

StX

22

Page 16: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

SOLUSI CONTOH 1 DAN 2 SELANG KEPERCAYAAN UNTUK

10 1055 2,33 55 2,33

50 50

51,705 58,295

16

1. Jika 2 diketahui. 2. Jika 2 tidak diketahui.

10 10

55 2,326 55 2,32650 50

51,711 58,290

Page 17: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2

KASUS 2 POPULASI

1. SK (1-) untuk (1 - 2) jika 12 dan 2

2

diketahui

17

2 2 2 2

1 2 1 21 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 2

1 2 1 2

( ) ( )X X Z X X Zn n n n

2

X1 ~ N(µ1 , σ12) X2 ~ N(µ2 , σ2

2)

1

Page 18: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2

KASUS 2 POPULASI 18

2. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 2

2 tidak diketahui dan 12 ≠ 2

2

2 2 2 2

1 2 1 21 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2

1 2 1 2

( ) ( ) s s s s

X X t X X tn n n n

22 2

1 2

1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

dimana ( / ) ( / )

1 1

s s

n n

s n s n

n n

Page 19: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

3. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 2

2 tidak diketahui dan 12 = 2

2

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2

KASUS 2 POPULASI 19

1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2

1 2 1 2

1 1 1 1( ) ( )p pX X t s X X t s

n n n n

2 22 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)dimana

2

p

n S n SS

n n

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 12

1 2

1 2

atau 2

2

n n n n

p

X X X X

X X n X X n

Sn n

JK JK

n n

dan v = n1 + n2 - 2

Page 20: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

PENGAMATAN BERPASANGAN

Ciri-ciri:

• Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang pengamatan

• Data berasal dari satu populasi yang sama

Contoh

• Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan 2000

• Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm) beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia

20

Page 21: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK D

SK untuk selisih pengamatan berpasangan

dengan rataan dan simpangan baku Sd :

21

1; 1;

2 2

d dn D n

s sd t d t

n n

d

d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.

dimana “ “ dengan n : banyaknya pasangan.

Page 22: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

KURVA KHI KUADRAT (X~ ) MENGHITUNG TABEL

22

0 2

2

2

21

2

v2

/2

/2

1 -

12

2

22

21

XP

023,192

9;025,0

2

1,2

n

= 5% dan n =10 maka,

7,22

9;975,0

2

1,2

1

n

Page 23: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK σ2

• Kasus 1 populasi

23

2 22

2 2

/2 1 /2

( 1) ( 1)1

n s n sP

22 2

12

( 1)~ n

n sX

12

2

22

21

XP

2 22

2 2

( 1); ( 1);12 2

( 1) ( 1)

n n

n s n s

SK (1 - ) 100% untuk 2 :

Page 24: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

KURVA FISHER (F~ ) MENGHITUNG TABEL F

24

0

2

f2

1

f

/2

/2

1 -

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

21 ,vvF

36,48,9;025,01,1;

221

ffnn

= 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, dan

24,01,4

111

9,8;975,01,1;

2

1,1;2

1

12

21

fff

nn

nn

1,1;2

1,1;2

1

12

21

1

nn

nn ff

Page 25: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 12

/22

• Kasus 2 populasi 25

1 2

2 2

2 1

2 2, ,

1 2 2

~v v

sF f

s

SK (1 - ) 100% untuk 12 /2

2 :

1

2121 ,;2

,;2

1 vvvvfFfP

2 1

1 2

2 2 2

1 1 1

2 2 2; ,

2 2 2 2; ,

2

11

v v

v v

s sP f

s f s

2 1

1 2

2 2 2

1 1 1

2 2 2; ,

2 2 2 2; ,

2

1

v v

v v

s sf

s f s

Page 26: Penaksiran - personal.fmipa.itb.ac.id · penaksiran titik penaksiran selang selang kepercayaan untuk rataan selang kepercayaan untuk variansi ... penaksiran selang dan dicari sehingga

REFERENSI

• Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

• Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

• Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

• Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

• Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 2007.

26