Upload
lamdieu
View
268
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
P E N A K S I R A N T I T I K
P E N A K S I R A N S E L A N G S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K R A T A A N
S E L A N G K E P E R C A Y A A N U N T U K V A R I A N S I
M A 2 0 8 1 S T A T I S T I K A D A S A R 1 7 M A R E T 2 0 1 4
U T R I W E N I M U K H A I Y A R
PENAKSIRAN
METODE PENAKSIRAN
2
Penaksiran
Titik
1 Penaksiran
Selang
2
Nilai tunggal dari suatu parameter
melalui pendekatan metode tertentu.
Nilai sesungguhnya dari suatu
parameter berada di selang tertentu.
Contoh 1. Seorang mahasiswa
mengulang kuliah Statdas, ketika di
awal perkuliahan, memiliki target
nilai lulus matkul Statdas adalah A.
Contoh 2. Seiring berjalannya
waktu, mahasiswa tersebut
mengubah target nilai lulus matkul
Statdas adalah minimal AB
Nilai : A = 4 IP : AB = [3.5, 4]
ILUSTRASI
Parameter sampel menaksir parameter populasi
3
Parameter Populasi
σ2 µ
Parameter Sampel
menaksir
Populasi
Sampel
? ?
titik??
selang??
PENAKSIRAN TITIK
Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan.
X
22 s
4
X Apakah dan s2 merupakan penaksir yang baik
dan paling efisien bagi dan 2?
PENAKSIR TAKBIAS DAN PALING EFISIEN
Definisi
• Statistik dikatakan penaksir takbias parameter bila,
]ˆ[ˆ E
5
Dari semua penaksir takbias yang mungkin dibuat, penaksir yang memberikan variansi terkecil disebut penaksir yang paling efisien
2ˆ
2ˆ
21
PENAKSIR TAK BIAS UNTUK DAN 2
Misalkan peubah acak X ~ N(,2)
• penaksir tak bias untuk .
• penaksir takbias untuk 2.
6
n
i
iXn
X1
1
n
i
i XXn
s1
22
1
1
Bukti : dengan menunjukkan bahwa,
][XE
22][ sE
PENAKSIRAN SELANG
dan dicari sehingga memenuhi :
7
1 2
1ˆˆ21P
taraf/koefisien keberartian
2 21
21ˆˆ
1
Taksiran selang suatu parameter populasi :
dan : nilai dari peubah acak dan
21ˆˆ Selang kepercayaan : perhitungan selang
berdasarkan sampel acak.
dengan 0 < < 1.
SKEMA PENAKSIRAN
8
POPULASI
µ σ2
1 POPULASI 2 POPULASI
BERPASANGAN 2 POPULASI
σ2
diketahui σ2 tidak
diketahui
D
σ12 , σ2
2
diketahui σ1
2 = σ22
tidak diketahui σ1
2 ≠ σ22
tidak diketahui
1 POPULASI 2 POPULASI
BERPASANGAN 2 POPULASI
D
Tabel z Tabel t Tabel z Tabel t Tabel t
Tabel 2
1n Tabel 1 2,v v
F
KURVA NORMAL BAKU (Z~N(0,1)) MENGHITUNG TABEL z
9
= 0
1 -
/2 /2
z1-/2 -z1-/2
(1-/2)
= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975
dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96.
P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)
KURVA T-STUDENT (T~TV) MENGHITUNG TABEL t
10
/2 /2
= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025
dan -t/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262
= 0
1 -
/2 /2
t/2 -t/2
P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK
• Kasus 1 populasi, 2 diketahui
1
21
21
zZzP
nzX
nzX
21
21
11
TLP : )1,0(~/
NZn
X
1
21
21 n
zXn
zXP
SK (1-) untuk jika 2 diketahui :
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK
• Kasus 1 populasi, 2 tidak diketahui
1
22
tTtP
2 2
s sX t X t
n n
12
2 2
1s s
P X t X tn n
SK (1-) untuk jika 2 tidak diketahui :
1~/
n
Xt
s n
CONTOH 1
• Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 10 jam, dan rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !
13
CONTOH 2
• Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan baku 10 jam. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !
Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengan contoh 2?
14
ANALISIS CONTOH
Contoh 1 Contoh 2 Diketahui : n = 50 , , σ = 10
n = 50 , , S = 10
Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02)
Jenis kasus : kasus menaksir dengan 2
diketahui, kasus menaksir dengan 2
tidak diketahui,
Jawab : z1-/2 = z0,99 = 2,33 t/2;n-1 = t0,01;49 = 2,326
15
55X 55X
nzX
nzX
21
21
n
StX
n
StX
22
SOLUSI CONTOH 1 DAN 2 SELANG KEPERCAYAAN UNTUK
10 1055 2,33 55 2,33
50 50
51,705 58,295
16
1. Jika 2 diketahui. 2. Jika 2 tidak diketahui.
10 10
55 2,326 55 2,32650 50
51,711 58,290
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2
KASUS 2 POPULASI
1. SK (1-) untuk (1 - 2) jika 12 dan 2
2
diketahui
17
2 2 2 2
1 2 1 21 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 2
1 2 1 2
( ) ( )X X Z X X Zn n n n
2
X1 ~ N(µ1 , σ12) X2 ~ N(µ2 , σ2
2)
1
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2
KASUS 2 POPULASI 18
2. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 2
2 tidak diketahui dan 12 ≠ 2
2
2 2 2 2
1 2 1 21 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2
1 2 1 2
( ) ( ) s s s s
X X t X X tn n n n
22 2
1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
1 2
dimana ( / ) ( / )
1 1
s s
n n
s n s n
n n
3. SK (1-) untuk (1- 2) jika 12 , 2
2 tidak diketahui dan 12 = 2
2
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 1- 2
KASUS 2 POPULASI 19
1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2
1 2 1 2
1 1 1 1( ) ( )p pX X t s X X t s
n n n n
2 22 1 1 2 2
1 2
( 1) ( 1)dimana
2
p
n S n SS
n n
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 12
1 2
1 2
atau 2
2
n n n n
p
X X X X
X X n X X n
Sn n
JK JK
n n
dan v = n1 + n2 - 2
PENGAMATAN BERPASANGAN
Ciri-ciri:
• Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang pengamatan
• Data berasal dari satu populasi yang sama
Contoh
• Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan 2000
• Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm) beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia
20
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK D
SK untuk selisih pengamatan berpasangan
dengan rataan dan simpangan baku Sd :
21
1; 1;
2 2
d dn D n
s sd t d t
n n
d
d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.
dimana “ “ dengan n : banyaknya pasangan.
KURVA KHI KUADRAT (X~ ) MENGHITUNG TABEL
22
0 2
2
2
21
2
v2
/2
/2
1 -
12
2
22
21
XP
023,192
9;025,0
2
1,2
n
= 5% dan n =10 maka,
7,22
9;975,0
2
1,2
1
n
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK σ2
• Kasus 1 populasi
23
2 22
2 2
/2 1 /2
( 1) ( 1)1
n s n sP
22 2
12
( 1)~ n
n sX
12
2
22
21
XP
2 22
2 2
( 1); ( 1);12 2
( 1) ( 1)
n n
n s n s
SK (1 - ) 100% untuk 2 :
KURVA FISHER (F~ ) MENGHITUNG TABEL F
24
0
2
f2
1
f
/2
/2
1 -
1
2121 ,;2
,;2
1 vvvvfFfP
21 ,vvF
36,48,9;025,01,1;
221
ffnn
= 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, dan
24,01,4
111
9,8;975,01,1;
2
1,1;2
1
12
21
fff
nn
nn
1,1;2
1,1;2
1
12
21
1
nn
nn ff
SELANG KEPERCAYAAN (1-) UNTUK 12
/22
• Kasus 2 populasi 25
1 2
2 2
2 1
2 2, ,
1 2 2
~v v
sF f
s
SK (1 - ) 100% untuk 12 /2
2 :
1
2121 ,;2
,;2
1 vvvvfFfP
2 1
1 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2; ,
2 2 2 2; ,
2
11
v v
v v
s sP f
s f s
2 1
1 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2; ,
2 2 2 2; ,
2
1
v v
v v
s sf
s f s
REFERENSI
• Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.
• Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
• Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.
• Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
• Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 2007.
26