of 40 /40
1 OPERACIONA ISTRAŽIVANJA Definicija: Operaciona istraživanja predstavljaju skup kvantitativnih i drugih naučnih metoda pomoću kojih se određuju optimalna ekonomsko-tehnička rešenja složenih problema. Prema prirodi problema operaciona istraživanja se mogu podeliti na: 1. Metode matematičkog programiranja, 2. Metode zaliha, 3. Metode zamene i obnove, 4. Metode teorije masovnog opsluživanja, 5. Metode simulacije, 6. Metode teorije igara i strategije, 7. Metode odlučivanja.

OPERACIONA ISTRAŽIVANJA - masinac.org istrazivanja/predavanja... · 1 OPERACIONA ISTRAŽIVANJA Definicija: Operaciona istraživanja predstavljaju skup kvantitativnih i drugih naučnih

  • Author
    others

  • View
    17

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of OPERACIONA ISTRAŽIVANJA - masinac.org istrazivanja/predavanja... · 1 OPERACIONA ISTRAŽIVANJA...

  • 1

    OPERACIONA ISTRAIVANJA Definicija: Operaciona istraivanja predstavljaju skup kvantitativnih i drugih naunih metoda pomou kojih se odreuju optimalna ekonomsko-tehnika reenja sloenih problema. Prema prirodi problema operaciona istraivanja se mogu podeliti na: 1. Metode matematikog programiranja, 2. Metode zaliha, 3. Metode zamene i obnove, 4. Metode teorije masovnog opsluivanja, 5. Metode simulacije, 6. Metode teorije igara i strategije, 7. Metode odluivanja.

  • 2

    MATEMATIKO PROGRAMIRANJE Reavanje raznih konkretnih problema u oblasti: proizvodnje (organizacija), transporta (organizacija), upravljanja zalihama, vojnih operacija, trgovine, zahteva prvo matematiko modeliranje datih problema pa zatim traenje njihovog reenja. Po pravilu, pri modeliranju konkretnih problema, operie se sa velikim brojem veliina (promenljivih) na koje se nameu odgovarajua ogranienja. Skup onih vrednosti datih veliina koje zadovoljavaju postavljeni sistem ogranienja naziva se skup dopustivih reenja. Skup dopustivih reenja moe imati veliki broj elemenata, ak i beskonano mnogo dopustivih reenja. Da bi se izabralo dopustivo reenje, mora se znati kriterijum na osnovu koga se moe zakljuiti da li je jedno dopustivo reenje bolje od drugog. Primer: 1. Organizacija proizvodnje:

    Kriterijum: maksimalna dobit pri datoj organizaciji. 2. Organizacija transporta:

    Kriterijum: minimalni trokovi transporta izmeu sabirnih punktova i potroaa.

    Ponekad je mogue probleme reavati po intuiciji, empirijski ili na osnovu ranijih iskustava. U sluaju reavanja problema po prvi put ranijih iskustava logino nema. Iz tog i slinih razloga potrebno je nai egzaktan nain izbora optimalnog dopustivog reenja. To se postie formiranjem i reavanjem matematikog modela postavljenog zadatka. Oblast matematike koja se bavi takvim problemima naziva se matematiko programiranje. Postavka zadatka matematikog programiranja: neka postoje n veliina promenljivih x1, x2, x3, ......, xn i neka se na njih nameu

    m ogranienja u vidu nejednaina ili jednaina oblika:

  • 3

    g1(x1, x2, x3, ......, xn)b1, g2(x1, x2, x3, ......, xn)b2, ............................. (1) gm(x1, x2, x3, ......, xn)bm.

    svaka n-torka vrednosti (x1, x2, x3, ......, xn) koja zadovoljava sistem ogranienja

    (1) je dopustivo reenje. Skup svih dopustivih reenja je dopustiv skup (oznaava se sa D). Iz skupa D treba izabrati ono dopustivo reenje koje je u izvesnom smislu optimalno. Kriterijum je neka funkcija od posmatranih veliina (x1, x2, x3, ......, xn) tj.

    F=F(x1, x2, x3, ......, xn). (2)

    U zavisnosti od prirode problema koji se reava optimalno reenje predstavlja minimum ili maksimum funkcije F. (organizacija proizvodnje maksimum; organizacija transporta minimum). *1 Funkcija F se naziva funkcija cilja. Ukoliko je sistem ogranienja (1) sistem linearnih jednaina ili nejednaina i ako je funkcija cilja (2) linearna funkcija nepoznatih veliina promenljivih, tada se radi o delu matematikog programiranja koji se naziva linearno programiranje. *2 LINEARNO PROGRAMIRANJE Linerano programiranje je najjednostavnija i najire koriena tehnika programiranja. Razvoj linearnog programiranja (LP) svrstava se meu najznaajnija nauna dostignua sredine 20. veka. Danas je to standardan alat koji je utedeo milione NJ veini kompanija u mnogim industrijalizovanim zemljama irom sveta. Takoe linearno programiranje je i u drugim sektorima drutva nalo svoju primenu. Problemi koji se najee reavaju primenom LP su uopte problemi raspodele ogranienih resursa izmeu konkurentnih aktivnosti na najbolji (optimalan) nain. Re programiranje u nazivu LP se ne odnosi na raunarsko programiranje pisanje programa, ve predstavlja sinonim za planiranje. to znai da linearno programiranje obuhvata planiranje aktivnosti da bi se dobio optimalan rezultat, tj. najbolji rezultat od moguih reenja prema postavljenom cilju funkciji cilja. Osnovni zadatak linearnog programiranja (LP) se formulie na sledei nain: nai vrednosti za veliine promenljive x1, x2, x3, ......, xn, koje maksimalizuju funkciju cilja F:

  • 4

    max F(x1, x2, ...., xn)= c1x1 + c2x2 + .... + cnxn (3) Pri datom sistemu ogranienja (funkcionalna ogranienja): *3 a11x1 + c12x2 + ........+ a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + ........+ a2nxn b2 ............................

    am1x1 + am2xm2 + ....+ amnxn bm (4) gde su koeficijenti aij (i=i,m; j=i,n), bi (i=i,m) i cj (j=i,n) date konstante realni brojevi. Uz sistem ogranienja (4) postavlja se i dopunski uslov da su sve promenljive xj (j=i,n) nenegativne tj. (uslovi nenegativnosti) *3 x1 0, x2 0, ......, xn 0. (5) Ovako formulisan zadatak lineanog programiranja naziva se osnovni oblik. *4 Takoe postoje i druge opte prihvaene forme formulisanja zadatka linearnog programiranja i to: 1. Minimalizovanje funkcije cilja: (videti ANEX I) *5 min F(x1, x2, ...., xn)= c1x1 + c2x2 + .... + cnxn

    minimalizovanje =

    =n

    1jjj xcF

    je ekvivalentno

    maksimalizovanje =

    =n

    1jjj x)c(F

    2. Neka od funkcionalnih ogranienja (4) mogu biti napisana u obliku vee

    jednako nejednaina (za odreenu vrednost i) *6 ai1x1 + ci2x2 + ........+ ainxn bi 3. Neka od funkcionalnih ogranienja (4) mogu biti napisana u jednaina (za

    odreenu vrednost i) *6 ai1x1 + ci2x2 + ........+ ainxn = bi 4. Neke od promenljivih mogu biti i negativne:

    xj < = > 0 ne postoji uslov nenegativnosti za neke vrednosti j.

  • 5

    5. U nekim metodama reavanja zadatka LP (simplex metod) potrebno je prei sa ogranienja u vidu nejednaina na ogranienja u vidu linearnih jednaina. U tu svrhu potrebno je uvesti tzv. dopunske promenljive: xn+1 0, xn+2 0, ......, xn+m 0 *7. Tada sistem ogranienja (4) prelazi u kanonian (proireni oblik) zadatka LP (6): *9

    a11x1 + c12x2 + ........+ a1nxn + 1xn+1 + 0xn+2 + .... + 0xn+m = b1 a21x1 + a22x2 + ........+ a2nxn + 0xn+1 + 1xn+2 + .... + 0xn+m = b2 ............................

    am1x1 + am2xm2 + ....+ amnxn + 0xn+1 + 0xn+2 + .... + 1xn+m = bm (6)

    U tom sluaju treba nai: max F(x1, x2, ...., xn) = c1x1 + c2x2 + .... + cnxn + 0xn+1 + 0xn+2 + .... + 0xn+m

    Vano: Koeficijenti dopunskih promenljivih u funkciji cilja uvek su jednaki nuli. *8

    Primeri modeliranja linearnim programiranjem *10 Proizvodni problem Jedno preduzee planira da otpone proizvodnju dveju vrsta artikala A i B. Ti artikli se moraju izraivati u dvema radionicama R1 i R2. Radionica R1 moe za proizvodnju artikala A i B izdvojiti najvie 810 radnih asova, a radionica R2 najvie 260 radnih asova. Za proizvodnju jednog artikla tipa A mora se u radionici R1 utroiti 6 radnih asova i u radionici R2 4 radna asa. Za jedan artikal tipa B potrebno je respektivno 5 asova odnosno 1 radni as. Radi preglednosti vremena potrebna za izradu odreenih proizvoda u pojedinim radionicama prikazana su u tabeli.

    Artikli Radionice A B R1 6 5 R2 4 1 ista dobit od prodaje jednog artikla tipa A je 200 NJ, a od jednog artikla tipa B je 150 NJ. Kako organizovati proizvodnju (tj. koliko proizvesti artikala tipa A odnosno B) pa da dobit bude maksimalna. Reenje: Pretpostavka je da e biti proizvedeno x1 artikala tipa A i x2 artikala tipa B. Dobit od x1 artikala tipa A je 200x1 NJ, a dobit od x2 artikala tipa B je 150x2 NJ.

  • 6

    Ukupna dobit je F= 200x1 + 150x2 NJ. Funkcija F je funkcija cilja koju treba maksimalizovati. U radionici R1 e za x1 artikala tipa A biti utroeno 6x1 radnih asova, a za x2 artikala tipa B bie utroeno 5x2 radnih asova. Ukupno utroeno vreme u R1 ne moe biti vee od 810 asova tj. 6x1 + 5x2 810. Znak umesto znaka = znai da je mogue da u R1 nee biti iskorieno celo raspoloivo vreme. U radionici R2 e za x1 artikala tipa A biti utroeno 4x1 radnih asova, a za x2 artikala tipa B bie utroeno 1x2 radnih asova. Ukupno utroeno vreme u R2 ne moe biti vee od 260 asova tj. 4x1 + 1x2 260. Osim navedenih ogranienja treba uzeti i prirodna ogranienja (uslove nenegativnosti): x10, x20. Na osnovu gore iznetog matematiki model postavljenog zadatka je sledei: (max) F = 200x1 + 150x2 pri ogranienjima 6x1 + 5x2 810 4x1 + 1x2 260 x10, x20. Zadatak o dijeti Od raspoloivih vrsta hrane treba sastaviti takvu dijetu koja e, sa jedne strane, zadovoljiti minimalne potrebe organizma u hranljivim sastojcima (belanevinama, mastima, ugljenim hidratima, vitaminima, ....) i sa druge strane, biti najjeftinija. Na primer, postoje dve vrste proizvoda P1 i P2, koji sadre hranljive sastojke A, B i C. Koliine hranljivih sastojaka odreene vrste u jednom kilogramu hrane date su u tabeli.

    Hranljivi sastojci Proizvodi A B C P1 a1 b1 c1 P2 a2 b2 c2 Minimalne dnevne potrebe organizma za sastojcima A, B i C su redom q, r i s, a cene jednog kilograma proizvoda P1 odnosno proizvoda P2 su m1 NJ odnosno m2 NJ.

  • 7

    Reenje: Pretpostavka je da je x1 koliina proizvoda P1 uneta u organizam u toku jednog dana, a x2 koliina proizvoda P2 uneta u organizam u toku jednog dana (u kilogramima). To kota: F= m1x1 + m2x2 NJ. Funkcija F je funkcija cilja koju treba minimalizovati. Koliina hranljive materije A u obema vrstama proizvoda je ukupno a1x1 + a2x2. U organizam minimalno mora biti uneto a1x1 + a2x2 q hranljive materije A. Analogno se nalazi potrebna koliina, koja treba biti uneta u organizam, hranljivih materija B i C: b1x1 + b2x2 r, c1x1 + c2x2 s. Znak znai da koliine koje se unesu u organizam mogu biti vee od minimalnih. Na osnovu gore iznetog matematiki model postavljenog zadatka je sledei: (min) F = m1x1 + m2x2 pri ogranienjima a1x1 + a2x2 q b1x1 + b2x2 r c1x1 + c2x2 s x10, x20. Agroekonomski problem Nai optimalnu raspodelu sejanja penice i kukuruza na dva imanja (I i II) od po 100 odnosno 200 hektara, koja su razliitih kvaliteta. Podaci o prinosima dati su u tabeli.

    Prinos (mc/ha) Kultura imanje I imanje II penica 45 35 kukuruz 80 70 Potrebno je obezbediti najmanje 3500 mc (metrikih centi) penice i 10000 mc kukuruza. Cena jedne mc penice je 320 NJ, a jedne mc kukuruza je 400 NJ. Gde i koliko posejati penice odnosno kukuruza pa da proizvodnja obezbedi maksimalnu dobit.

  • 8

    Reenje: Sa x1 i x2 obeleene su povrine (u hektarima) zasejane penicom na imanju I odnosno imanju II, dok su sa x3 i x4 obeleene povrine (u hektarima) zasejane kukuruzom na imanju I odnosno imanju II. To znai da se postavljaju sledea ogranienja (pod pretpostavkom da e sve povrine biti zasejane): x1 + x3 = 100 (imanje I), x2 + x4 = 200 (imanje II). Povrine zasejane penicom treba da daju prinos vei od 3500 mc tj. 45x1 + 35x2 3500, dok povrine zasejane kukuruzom treba da daju prinos vei od 10000 mc tj. 80x3 + 70x4 10000. Dobit od penice e biti: 320(45x1 + 35x2), dok e dobit o kukuruza biti: 400(80x3 + 70x4). Ukupna dobit (funkcija cilja koju treba maksimalizovati) je F= 320(45x1 + 35x2) + 400(80x3 + 70x4) = 14000x1+ 11200x2+ 32000x3+ 28000x4. Na osnovu gore iznetog matematiki model postavljenog zadatka je sledei: (max) F= 14000x1+ 11200x2+ 32000x3+ 28000x4 pri ogranienjima x1 + x3 = 100 x2 + x4 = 200 5x1 + 35x2 3500 80x3 + 70x4 10000 x10, x20, x30, x40. Problemi raspodele rezervi i transportni problem, koji se takoe mogu modelirati koristei linearno programiranje, bie detaljno objanjeni kasnije. Terminologija pri reavanju zadatka LP U najveem broju sluajeva termin reenje podrazumeva konaan odgovor na postavljeni problem, ali usvojena konvencija pri reavanju zadataka LP je sasvim drugaija. Ovde, bilo koji skup promenljivih (x1, x2, x3, ......, xn) se naziva reenje, bez obzira da li ono predstavlja poeljan ili dopustiv izbor. Razliite vrste reenja se definiu koristei odgovarajue prideve. Dopustivo reenje je ono reenje koje zadovoljava sva postavljena ogranienja (4) i postavljene uslove (5).

  • 9

    Nedopustivo reenje je ono reenje koje ne zadovoljava bar jedno od postavljenih ogranienja (4) ili postavljenih uslova (5). Skup svih dopustivih reenja je dopustiv skup. Postoji mogunost da postavljeni problem nema dopustivih reenja. *11 Optimalno reenje je dopustivo reenje sa najpovoljnijom vrednosti funkcije cilja. Najpovoljnija vrednost je najvea vrednost ako funkciju cilja treba maksimalizovati, odnosno najmanja vrednost ako funkciju cilja treba minimalizovati. Nalaenje minimalne ili maksimalne vrednosti funkcije F nije mogue korienjem metoda diferencijalnog rauna, jer se optimalno reenje javlja u onim takama dopustivog skupa u kojima su narueni uslovi diferencijabilnosti funkcije cilja. Probleme zadatka linearnog programiranja manjih dimenzija tj. probleme sa dve veliine promenljive (x1, x2), mogue je reiti koristei tzv. grafiki metod, 2-D problemi. Efikasna procedura za reavanje zadatka linearnog programiranja, nazvana simpleks metod, omoguuje reavanje zadatka linearnog programiranja velikih dimenzija tj. problema sa velikim brojem veliina promenljivih. *12 Posebna vrsta dopustivih reenja, koja imaju glavnu ulogu kada simplex metod trai optimalno reenje, nazivaju se dopustiva reenja u krajnjim takama. Dopustiva reenja u krajnjim takama predstavljaju reenja koja se nalaze u temenima (krajnjim takama) mnogougaone oblasti definisane ogranienjima (4) i uslovima (5). *13 Odnos izmeu optimalnih reenja i dopustivih reenja u krajnjim takama: Razmatra se bilo koji zadatak linearnog programiranja koji ima dopustiva reenja i mnogougaonu oblast definisanu ogranienjima (4) i uslovima (5). Takav zadatak LP mora da ima dopustiva reenja u krajnjim takama i najmanje jedno optimalno reenje. Dalje, najbolje dopustivo reenje u krajnjim takama mora da bude optimalno reenje, odnosno ako zadatak LP ima samo jedno optimalno reenje, ono mora biti dopustivo reenje u krajnjoj taki. Ako zadatak LP ima vie optimalnih reenja, tada najmanje dva moraju biti dopustiva reenja u krajnjim takama. (videti ANEX I) *14

  • 10

    Radni primer Preduzee PP (u jednoj radionici fabrici), proizvodi dva proizvoda A i B. Potrebne koliine materijala, rada i skladinih povrina, kao i profit po komadu proizvedenog proizvoda, svakog od dva proizvoda, dati su u sledeoj tabeli:

    Proizvod Jedinica mere A B

    Materijal kg/kom. 2.5 1.5 Vreme proizvodnje kom./as 60 30 Povrina skladita m2/kom. 0.4 0.5 Dobit NJ/kom. 13 11

    Rad se obavlja u jednoj smeni, sa radnim vremenom od 7 asova, tj. 420 minuta. Za ukupnu dnevnu proizvodnju na raspolaganju su ukupno 787,5 kg materijala. Ukupna raspoloiva povrina skladita sirovina je 160 m2. Preduzee eli da proizvodi ova dva proizvoda u pojedinanim koliinama koje obezbeuju maksimalnu dobit izraenu u NJ novanim jedinicama. Postavka zadatka - modeliranje: Pretpostavka je da e biti proizvedeno x1 proizvoda tipa A i x2 proizvoda tipa B. Dobit od x1 proizvoda tipa A je 13x1 NJ, a dobit od x2 proizvoda tipa B je 11x2 NJ. Ukupna dobit je F= 13x1 + 11x2 NJ. Funkcija F je funkcija cilja koju treba maksimalizovati. Za proizvodnju x1 proizvoda tipa A potrebno je (1/60)x1 asova, a za x2 proizvoda tipa B potrebno je (1/30)x2 asova. Poto se rad obavlja u jednoj smeni, maksimalno raspoloivo radno vreme ne moe biti vee od 7 asova, tj. (1/60)x1 + (1/30)x2 7, odnosno izraeno u minutima x1 + 2x2 420. U proizvodnji e za x1 proizvoda tipa A biti utroeno 2.5x1 kg materijala, a za x2 proizvoda tipa B bie utroeno 1.5x2 kg materijala. Ukupan utroak materijala za dnevnu proizvodnju ne moe biti vei od 787.5 kg tj. 2.5x1 + 1.55x2 787.5. Za skladitenje sirovine potrebne za proizvodnju x1 proizvoda tipa A potrebno je 0.4x1 m2, a za x2 proizvoda tipa B potrebno je 0.5x2 m2. Ukupna povrina skladita iznosi 160 m2 to daje 0.4x1 + 0.5x2 160. Na osnovu gore iznetog matematiki model postavljenog zadatka je sledei:

  • 11

    (max) F= 13x1 + 11x2 (6) pri ogranienjima x1 + 2x2 420 2.5x1 + 1.5x2 787.5 0.4x1 + 0.5x2 160 (7) x10, x20. Grafiko reavanje zadatka linearnog programiranja Grafiko reavanje zadatka LP, i pored dananjih velikih mogunosti kompjuterske tehnologije, je koristno posebno za reavanje problema sa dve veliine promenljive. Procedura grafikog reavanja zahteva konstruisanje dvodimenzionalnog dijagrama sa osama x1 i x2. U sluaju dveju veliina promenljivih x1 i x2 formulacija zadatak LP u osnovnom obliku je sledea: (max) F= c1x1+ c2x2 pri ogranienjima: a11x1 + a12x2 b1 a21x1 + a22x2 b2 ................... am1x1 + am2x2 bm (8) i uslovima nenegativnosti: x10, x20. Procedura reavanja je sledea: *15 1. Uslovi nenegativnosti zahtevaju da x1 i x2 budu sa pozitivne strane osa

    dijagrama, tj. u prvom kvadrantu. Dalje je potrebno u ravni Ox1x2 konstruisati mnogougaonu oblast K odreenu ogranienjima (8).

    2. Drugi korak je odreivanje poloaja funkcije cilja, to podrazumeva

    konstrukciju prave F=0 ili F=C=const. (c1x1+c2x2 = 0, c1x1+c2x2 = C) u ravni

  • 12

    Ox1x2. Konstanta C je proizvoljno izabran pozitivan realan broj. Nakon konstrukcije prave F=0 ili F=C potrebno je istu pomerati paralelno njoj samoj dok ne zauzme krajnje poloaje u odnosu na oblast K. Krajnje poloaje u smislu krajnjih taaka oblasti K u kojima funkcija F dostie optimalnu vrednost.

    Neki od moguih oblika mnogougaone oblasti prikazani su na slici I-1. U sluaju kada oblast K nije ograniena optimalna vrednost funkcije cilja moe i da ne postoji, slika I-1d. Ako je funkcija cilja paralelna sa jednom ivicom - stranicom mnogougla, tada svaka taka du te stranice izmeu dve krajnje take (temena), moe biti optimalno reenje. To znai da nema jedinstvenog reenja, ve se dobije neogranieni broj optimalnih reenja, slika I-1b,c.

    Slika I-1. Mogui oblici mnogougaonih oblasti. *16

    Grafiki metod reavanja zadatka LP moe da se primeni i na probleme koji imaju dve slobodne promenljive u osnovnom obliku formulacije zadatka linearnog

  • 13

    programiranja, tj. kada u sistemu ima m ogranienja i n=m+2 veliina promenljivih (uslovi nenegativnosti se ne uzimaju u obzir). Drugim reima to je sluaj kada je broj promenljivih za dva vei od broja ogranienja. Reavanje radnog primera primenom grafike metode Matematiki model radnog primera, kao to je u prethodnom tekstu prikazano, je sledei: Nai (max) F= 13x1 + 11x2 (6) pri ogranienjima x1 + 2x2 420 2.5x1 + 1.5x2 787.5 0.4x1 + 0.5x2 160 (7) x10, x20. Kao to je u prethodnom tekstu reeno, prvi korak predstavlja konstrukcija mnogougaone oblast K odreenu ogranienjima (7) u ravni Ox1x2. Prva nejednaina sistema ogranienja (7) definie donju poluravan i zajedno sa osama x1 i x2 ograniava trenutno dozvoljenu oblast u kojoj veliine promenljive x1 i x2 mogu da uzimaju vrednosti, rafirana oblast na slici I-2.

    x +2x

  • 14

    Druga nejednaina sistema ogranienja (7) takoe definie donju poluravan i smanjuje trenutno dozvoljenu oblast u kojoj veliine promenljive x1 i x2 mogu da uzimaju vrednosti, rafirana oblast na slici I-3.

    2.5x +1.5x

  • 15

    rafirana oblast, slika I-5, sadri sve parove x1 i x2, koji predstavljaju dopustivo reenje problema. Optimalno reenje mora se nalaziti u ovom regionu. Par x1 = 0 i x2 = 0 zadovoljava sva ogranienja, a obezbeuje dobit jednaku nuli. Dobit jednaka 1430 NJ moe se dobiti za sve parove vrednosti x1 i x2 koji zadovoljavaju jednainu F = 13x1 + 11x2 = 1430. Maksimalna vrednost funkcije cilja F koja zadovoljava sva ogranienja odreuje se tako, to se trai taka koja se nalazi unutar oblasti dopustivih reenja, a lei na liniji paralelnoj sa linijom 13x1 + 11x2 = 1430, to udaljenijoj od nje.

    F=0

    F=1430

    max F=4335

    x =270; x =751 2

    Slika I-5. Oblast dopustivih reenja i maksimalna vrednost funkcije cilja.

    Sa slike I-5 se vidi da je to linija funkcije cilja koja prolazi kroz taku sa koordinatama x1 =270 i x2 =75. Prema tome, optimalno reenje, tj. maksimalna dobit se dobija u preseku graninih linija regiona - jednaina: x1 + 2x2 420 2.5x1 + 1.5x2 787.5. i iznosi: F = 13x1 + 11x2 = 4335 NJ. Ovde treba primetiti da raspoloiva povrina skladinog prostora nije ograniavajua promenljiva za optimalno reenje, tj. u povrini skladita ima jo rezerve 14.5 m2: 160 0.4(270) 0.5(75) = 14.5.

  • 16

    Zakljuak: Optimalno reenje je x1 = 270, x2 = 75, sa max F=4335. Ovo reenje pokazuje da je potrebno proizvoditi 270 komada proizvoda A i 75 komada proizvoda B dnevno, to ostvaruje maksimalnu dobit od 4335 NJ. Nijedna druga kombinacija proizvoda A i B ne bi donela veu dobit prema postavljenom modelu Primer reavanja grafikom metodom zadatka LP za sluaj kada je broj promenljivih za dva vei od broja ogranienja prikazan je u ANNEX II. Reavanje zadatka linearnog programiranja primenom SIMPLEX metode Univerzalni metod za reavanje zadataka linearnog programiranja je simplex metod. Simplex metod je razvio George Dantzig 1947. godine. Dva postupka se navode pod nazivom simplex: 1. simplex algoritam, i 2. simplex metoda. Simplex metoda se sastoji od dve faze: *17 1. definisanje polaznog dopustivog reenja, i 2. nalaenje optimalnog reenja. Simplex metoda koristi simplex algoritam koji odreuje redosled kretanja od polaznog dopustivog reenja ka drugim dopustivim reenjima, sve dok se ne doe do optimalnog reenja zadatka. *18 Dat je sledei zadatak LP: Nai max F = c1x1 + c2x2 + .... cnxn (9) Pri ogranienjima: a11x1 + c12x2 + ........+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ........+ a2nxn = b2 ............................

    am1x1 + am2xm2 + ....+ amnxn = bm (10) x1 0, x2 0, ......, xn 0. Zadatak linearnog programiranja definisan funkcijom cilja (9) i ogranienjima (10) napisan je u tzv. kanoninom obliku zadatka LP, jer je sistem ogranienja u obliku jednaina. *19

  • 17

    Pretpostavka je da sistem ogranienja (10) ima p linearno nezavisnih jednaina i neka su to prvih p jednaina tj. a11x1 + c12x2 + ........+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ........+ a2nxn = b2 ............................

    ap1x1 + ap2xp2 + .......+ apnxn = bp (11) x1 0, x2 0, ......, xn 0. Svaka od preostalih jednaina iz (10) je linearna kombinacija ovih p jednaina i moe se izostaviti. Broj jednaina u (11) ne moe biti vei od broja promenljivih. Sluaj kada je p=n nije od interesa jer tada sistem (11) ima jedno jedinstveno reenje, tj. postoji samo jedna taka )x,...,x,x(X 0n

    02

    01

    0 = koja zadovoljava (11) pa je )X(F 0 istovremeno i najvea vrednost funkcije F. U sluaju kada je p

  • 18

    Iz gore navedenih razloga bolje je krenuti iz jedne krajnje take oblasti K (koja se relativno lako moe nai polazno teme), slika I-6, i prei u susednu krajnju taku sa veom vrednou funkcije F, od ove take prei u susednu krajnju taku sa jo veom vrednou funkcije F itd., sve do krajnje take u kojoj se postie maksimum funkcije F (optimalno teme). Gore opisana procedura predstavlja osnovnu ideju simplex metode metod postepenog poboljanja. *20 Praktino, to se postie na sledei nain: za k=n p promenljivih se izaberu proizvoljne vrednosti (nenegativne), a onda se vrednosti ostalih p promenljivih izraunaju iz (11). Promenljive ije se vrednosti slobodno biraju zovu se slobodne promenljive, a ostale promenljive, ije se vrednosti izraunavaju pomou slobodnih promenljivih, zovu se bazisne promenljive. *21 Nenegativno reenje sistema (11) koje se dobija izborom nultih vrednosti slobodnih promenljivih zove se bazisno reenje. Konano, imamo p bazisnih promenljivih i k=n p slobodnih promenljivih. Neka su k21 x,...,x,x slobodne promenljive a n2k1k x,...,x,x ++ bazisne promenljive, tada bazisno reenje ima oblik: *22

    )...,,,0...,,0(X n1k = + (12) gde je: )0...,,0 n1k >> + . Bazisno reenje je jedinstveno. Bazisno reenje je krajnja taka oblasti K odreene sistemom ogranienja (11). (Dokaz: vidi ANNEX III) Procedura prelaska sa jednog bazisnog reenja na drugo je opisna u narednom tekstu. *23 Prvo, potrebno je bazisne promenljive izraziti preko slobodnih promenljivih:

    kk,1k11,1k1k1k x...xbx +++= ++++ ............

    kk,n11,nnn x...xbx +++= . Zamenom prethodnih izraza u funkciju cilja (9), dobija se funkcija cilja izraena preko slobodnih promenljivih: kk110 x...xF +++= .

  • 19

    Ako su sve slobodne promenljive jednake nuli tj. 0x,...,0x,0x k21 === onda sledi da je: nn1k1k bx...,,bx == ++ . odnosno da su bazisne promenljive jednake svojim slobodnim lanovima. Na taj nain se dobija taka )b...,,b,0...,,0(M n1k1 + koja predstavlja dopustivo reenje ako su svi slobodni lanovi n1k b...,,b + nenegativni. U tom sluaju 1M je krajnja taka oblasti K i u njoj funkcija F ima vrednost 01)M(F = . Postavlja se pitanje da li je mogue poveanjem vrednosti neke od slobodnih promenljivih k21 x,...,x,x poveati i vrednost funkcije F. To se moe postii ako je meu koeficijentima k21 ,...,, bar jedan pozitivan. Ako meu koeficijentima

    k21 ,...,, nema pozitivnih, poveanjem bilo koje od slobodnih promenljivih od nule do neke pozitivne vrednosti, vrednost funkcije cilja F bi se smanjila. U tom sluaju je max01 F)M(F == i zadatak bi bio reen. Pretpostavlja se da meu koeficijentima k21 ,...,, ima pozitivnih npr. 01 > . Uveavanjem vrednosti 1x , od nule do neke pozitivne vrednosti, poveava se i vrednost funkcije F. U tom sluaju promenljiva 1x se naziva vodea promenljiva. Poveanje vrednosti promenljive 1x ne moe da ide preko vrednosti za koje bazisne promenljive n2k1k x,...,x,x ++ postaju negativne. Neka je za:

    0x0hx 1k1k1 =>= ++ , 0x0hx 2k2k1 =>= ++ , ......... 0x0hx nn1 =>= , to znai da se promenljiva 1x moe poveavati od vrednosti nula do vrednosti

    ).h,...,hmin(h n1k*1 += Za

    *11 hx = neka od promenljivih npr. jx postaje jednaka

    nuli. Tada je novo bazisno reenje oblika:

    )0x...,,0x,0x...,,0x,0x...,,0x,0hx(M nj1j1kk2*112 >=>>==>= +

    to je nova krajnja taka u kojoj je )M(F)M(F 12 > .

  • 20

    Ako je za *11 hx = promenljiva jx postala jednaka nuli, tada e se odgovarajua jednaina zvati vodea jednaina. Najpogodnije je poveavati vrednost one slobodne promenljive kojoj odgovara najvei pozitivni koeficijent i u funkciji F jer to vodi najbroj promeni funkcije cilja, tj. za vodeu promenljivu ix se bira ona za koju je ).,...,max( k1i = Prikazani postupak se ponavlja sve dok svi koeficijenti i u funkciji cilja ne budu negativni, to znai da se postigao maksimum funkcije cilja F, jer bi se daljim poveanjem neke od slobodnih promenljivih vrednost funkcije cilja F smanjivala. Reavanje radnog primera primenom simplex metode Matematiki model radnog primera je sledei: Nai (max) F= 13x1 + 11x2 pri ogranienjima x1 + 2x2 420 2.5x1 + 1.5x2 787.5 0.4x1 + 0.5x2 160 x10, x20. Osnovni zahtev simplex metode je da ogranienja budu u kanoninoj formi tj. u obliku jednaina. Drugim reima zadatak LP napisan u osnovnom obliku treba prevesti u proireni oblik, to predstavlja prvi korak u proceduri reavanja. Korak I: prevoenje sistema ogranienja u kanonini oblik tj. dodavanje dopunskih promenljivih i pretvaranja nejednaina u jednaine.

    160xx5.0x4.0)3(5.787xx5.1x5.2)2(

    420xx2x)1(0x11x13F)0(

    521

    421

    321

    21

    =++=++=++=

    Simplex metoda podrazumeva nenegativnost pa se uslovi nenegativnosti mogu zanemariti.

  • 21

    Korak II: izbor polaznog dopustivog reenja tj. jedne krajnje take (temena) u oblasti K, tzv. poetno bazisno reenje. Najjednostavnije je izabrati taku ije su koordinate )160x,5.787x,420x,0x,0x( 54321 ===== , za koju funkcija cilja ima vrednost F=0. U ovom sluaju bazisne promenljive su: 543 x,x,x a slobodne promenljive su 21 x,x . Vano: !! Bazisnih promenljivih ima uvek koliko i ogranienja !! Korak III: bazisne promenljive se izraavaju u funkciji od slobodnih promenljivih.

    215

    214

    213

    21

    x5.0x4.0160x)3(x5.1x5.25.787x)2(x2x420x)1(x11x13F)0(

    ==

    =+=

    Korak IV: za dato bazisno dopustivo reenje, novo dopustivo reenje dobija se izborom nove krajnje take (temena) oblasti K koje poveava vrednost funkcije cilja, ili pokazuje da je upravo to reenje optimalno. Algebarski ekvivalent nove krajnje take je novo bazisno reenje u kome se jedna do tada bazisna promenljiva izostavlja iz baze i postaje slobodna promenljiva, a jedna od slobodnih promenljivih se uvrtava u bazu. Do nove krajnje take tj. do novog bazisnog reenja moe se, od tekueg bazisnog reenja, doi izborom jednog od dva mogua pravca kretanja (slika I-5). Moe se ii graninom linijom 0x1 = ili 0x2 = ( 21 x,x - slobodne promenljive). Za 0x2 = , iz jednaine (1) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje za nezavisnu promenljivu 420x1 = , iz jednaine (2) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje

    315x1 = , dok iz jednaine (3) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje 400x1 = . to znai da je maksimalno dozvoljeno poveanje 315x1 = , jer bi se pri veem poveanju povredila nenegativnost dopunske promenljive 4x . Ako se 1x povea za 315 jedinica funkcija cilja e se poveati za F= 13315 =4095 NJ Za 0x1 = , iz jednaine (1) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje za nezavisnu promenljivu 210x2 = , iz jednaine (2) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje

    5.472x2 = , dok iz jednaine (3) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje 320x2 = . to znai da je maksimalno dozvoljeno poveanje 210x2 = , jer bi se

  • 22

    pri veem poveanju povredila nenegativnost dopunske promenljive 3x . Ako se 2x povea za 210 jedinica funkcija cilja e se poveati za F= 11210 =2310 NJ

    Kretanjem od tekueg bazisnog reenja (krajnje take) du granine linije 0x2 = do nove krajnje take novog bazisnog reenja, funkcija cilja se bre poveava i to na 4095 NJ, nego ako se ide du granine linije 0x1 = do nove krajnje take, gde bi se funkcija cilja poveala na 2310 NJ. Promenljiva koja ulazi u bazu je 1x a promenljiva 4x izlazi iz baze jer ona prva postaje nula pri poveanju vrednosti za 1x . Korak V: za transformaciju funkcije cilja i bazisnih promenljivih, kao i formiranje novog sistema ogranienja (izraavanje bazisnih promenljivih preko slobodnih promenljivih) koristi se proces eliminacije, odnosno zamene. Iz jednaine (2) se izrazi promenljiva 1x kao:

    421 x52x

    53315x =

    Zamenom 1x jednainu (1) dobija se:

    423

    2423

    x52x

    57105x

    x2)x52x

    53315(420x

    +=

    =

    Zamenom 1x jednainu (3) dobija se:

    425

    2425

    x58.0x

    53.134x

    x5.0)x52x

    53315(4.0160x

    +=

    =

    Zamenom 1x u funkciju cilja jednainu (0) dobija se:

    42

    242

    x526x

    5164095F

    x11)x52x

    53315(13F

    +=

    +=

    Konano novi sistem jednaina ima sledei oblik:

    (0) 42 x526x

    5164095F +=

  • 23

    (1) 423 x52x

    57105x +=

    (2) 421 x52x

    53315x =

    (3) 425 x58.0x

    53.134x +=

    Iz gornjeg sistema jednaina se vidi da se funkcija cilja moe poveati poveavanjem vrednosti slobodne promenljive 2x (pozitivan koeficijent u funkciji cilja), to znai da optimalno reenje nije dostignuto. U daljem postupku reavanja koraci IV i V se ciklino ponavljaju. Korak IV: do novog bazisnog reenja koje e imati veu vrednost funkcije cilja, moe se, od tekueg bazisnog reenja, doi samo kretanjem po graninoj liniji

    0x4 = tj. poveavanjem vrednosti slobodne promenljive 2x jer ona jedino ima pozitivan koeficijent u funkciji cilja. Za 0x4 = , iz jednaine (1) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje za nezavisnu promenljivu 75x2 = , iz jednaine (2) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje

    525x2 = , dok iz jednaine (3) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje 8.130x2 = . to znai da je maksimalno dozvoljeno poveanje 75x2 = , jer bi se

    pri veem poveanju povredila nenegativnost dopunske promenljive 3x . Ako se 2x povea za 75 jedinica funkcija cilja e se poveati na F= 4095+(16/5)75 =

    4335 NJ Za 0x2 = , iz jednaine (2) sledi da je najvee dozvoljeno poveanje za nezavisnu promenljivu 5.787x4 = , dok se nezavisna promenljiva 4x u jednainama (1) i (3) moe neogranieno poveavati jer ne ugroava nenegativnost. Ako se 4x povea za 787.5 jedinica tada e funkcija cilja imati vrednost F= 4095 (26/5)787.5 = 0 NJ Promenljiva koja ulazi u bazu je 2x a promenljiva 3x izlazi iz baze jer ona prva postaje nula pri poveanju vrednosti za 2x . Kretanjem od tekueg bazisnog reenja (krajnje take) du granine linije 0x4 = do nove krajnje take novog bazisnog reenja, funkcija cilja se poveava i to na vrednost od 4335 NJ.

  • 24

    Korak V: transformacija jednaina (0), (1), (2) i (3) se vri da bi se bazisne promenljive izrazile kao linearne funkcije slobodnih promenljivih. Iz jednaine (1) se izrazi promenljiva 2x kao: 342 x7

    5x7275x +=

    Zamenom 2x u jednainu (2) dobija se:

    341 x73x

    74270x +=

    Zamenom 2x u jednainu (3) dobija se:

    345 x73.1x

    76.05.14x ++=

    Zamenom 2x u funkciju cilja jednainu (0) dobija se:

    34 x716x

    7304335F =

    Poto su koeficijenti u funkciji cilja za obe slobodne promenljive negativni, svako dalje poveavanje njihovih vrednosti dovelo bi do smanjenja funkcije cilja, tj. ova krajnja taka je i maksimum funkcije cilja. Zakljuak: Maksimalna vrednost funkcije cilja max F=4335 NJ koja se ostvaruje u taki sa koordinatama )5.14x,0x,0x,75x,270x( 54321 ===== . Drugim reima preduzee e ostvariti maksimalnu dobit od 4335 NJ, ako proizvodi 270 komada proizvoda A i 75 komada proizvoda B. Poto promenljiva 5x ima vrednost 14.5 to znai da tree ogranienje (veliina skladinog prostora) nije relevantno za optimalno reenje postavljenog zadatka. Raspoloiva povrina skladita je neiskoriena pri optimalnom reenju problema tj. ostaje 14.5 m2 povrine skladita neiskorieno. Reavanje radnog primera primenom simplex metode tabelarno Matematiki model radnog primera je sledei: Nai (max) F= 13x1 + 11x2 pri ogranienjima

  • 25

    x1 + 2x2 420 2.5x1 + 1.5x2 787.5 0.4x1 + 0.5x2 160 x10, x20. Prevoenje sistema ogranienja u kanonini oblik tj. dodavanje dopunskih promenljivih i pretvaranje nejednaina u jednaine.

    160xx5.0x4.05.787xx5.1x5.2

    420xx2xx0x0x0x11x13Fmax

    521

    421

    321

    54321

    =++=++=++

    ++++=

    x10, x20, x30, x40 x50. Poetno bazisno reenje je oblika )160x,5.787x,420x,0x,0x( 54321 ===== , za koje funkcija cilja ima vrednost F=0, to znai da su promenljive u bazi: x3, x4 i x5 tzv. bazisne promenljive a promenljive x1 i x2 su slobodne promenljive. Svoenje na oblik pogodan za primenu simplex tabele:

    160xx5.0x4.0)3(5.787xx5.1x5.2)2(

    420xx2x)1(0x0x0x0x11x13F)0(

    521

    421

    321

    54321

    =++=++=++=

    x10, x20, x30, x40 x50. Tabela I-1 predstavlja poetnu simplex tabelu u kojoj je prikazano poetno bazisno reenje. Tabela I-1. Poetna simplex tabela, F=0.

    koeficijenti Br. Jedn. F 1x 2x 3x 4x 5x i

    b Baza

    0 1 -13 -11 0 0 0 0 3x 1 0 1 2 1 0 0 420 4x 2 0 2.5 1.5 0 1 0 787.5 5x 3 0 0.4 0.5 0 0 1 160

  • 26

    Bazisno reenje je optimalno ako su svi koeficijenti u jednaini (0) vei od nule. U tom sluaju poveanje neke od promenljivih u bazi e smanjiti vrednost funkcije F. Ako to nije sluaj treba da se izvri zamena promenljivih tj. neka od promenljivih iji je koeficijent u jednaini (0) manji od nule treba da ue u bazu a neka od promenljivih treba da izae iz baze. U sluaju da ima vie promenljivih iji su koeficijenti u jednaini (0) manji od nule, bira se ona promenljiva iji je koeficijent najvei po apsolutnoj vrednosti

    }cmax{ j i ona ulazi u bazu. Kolona u kojoj se nalazi ta promenljiva naziva se vodea kolona, npr. kolona j. *24 Promenljiva koja treba da napusti bazu odreuje se iz uslova: *25

    iji

    abmin i=1,...,m; uz uslov da je 0aij > .

    Gornji uslov govori koje je maksimalno mogue poveanje nove bazisne promenljive a da neka od preostalih bazisnih promenljivih ne postane manja od nule. Red u kojem se nalazi promenljiva koja naputa bazu je vodei red, npr. red i, dok je u preseku vodee kolone i vodeeg reda vodei koeficijent aij. I iteracija: Na osnovu gore iznetog promenljiva koja ulazi u bazu (Tabela I-1) odreuje se iz uslova:

    { } 1311,13max = to znai da promenljiva 1x ulazi u bazu. Vodea kolona je prikazana crveno + bold u Tabeli I-1. Uslov na osnovu koga se odreuje koja promenljiva naputa bazu je sledei:

    { } 315400;315;420min4.0

    160;5.25.787;

    1420min ==

    to znai da promenljiva 4x naputa bazu. Vodei red je prikazan crveno + bold u Tabeli I-1. Vodei koeficijent (2.5) je u Tabeli I-1 podvuen i nalazi se u preseku vodee kolone i vodeeg reda.

  • 27

    Poto su odreene promenljive koje ulaze odnosno naputaju bazu (korak IV) potrebno je doi do novog bazisnog reenja tj. izvriti transformaciju jednaina (0), (1), (2) i (3) da bi se bazisne promenljive izrazile kao linearne funkcije slobodnih promenljivih (korak V). Pri tabelarnom reavanju zadatka LP primenom simplex metode to se postie na sledei nain: postojei vodei red treba transformisati tako da se na mestu vodeeg

    koeficijenta u novom vodeem redu nae cifra 1. ostale redove treba transformisati tako da se u novim redovima na mestima koji

    pripadaju vodeoj koloni nau cifre 0. Redovi u Tabeli I-2 dobijaju se transformacijom jednaina (0), (1), (2) i (3) tj. redova u Tabeli I-1, na sledei nain: novi vodei red, tj. red 2 u Tabeli I-2, dobija se tako to se svi koeficijenti

    vodeeg reda u Tabeli I-1 podele sa vodeim koeficijentom tj. sa 2.5:

    [ ]5.7870105.15.20 :2.5 [ ]31505/105/310 novi vodei red

    novi red 0, tj. red 0 u Tabeli I-2, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa

    13 i sabere sa redom 0 iz Tabele I-1:

    [ ]000011131 + [ ]31505/105/310 13

    [ ]409505/2605/1601 novi red 0 novi red 1, tj. red 1 u Tabeli I-2, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa

    (1) i sabere sa redom 1 iz Tabele I-1:

    [ ]420001210 + [ ]31505/105/310 (1)

    [ ]10505/215/700 novi red 1 novi red 3, tj. red 3 u Tabeli I-2, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa

    (0.4) i sabere sa redom 3 iz Tabele I-1:

    [ ]1601005.04.00 + [ ]31505/105/310 (0.4)

    [ ]3415/8.005/3.100 novi red 3

  • 28

    Tabela I-2 koja odgovara novom bazisnom reenju (prva iteracija), za koje funkcija cilja ima vrednost F=4095, ima sledei oblik: Tabela I-2. Simplex tabela (prva iteracija), F=4095.

    koeficijenti Br. Jedn. F 1x 2x 3x 4x 5x i

    b Baza

    0 1 0 -16/5 0 26/5 0 4095 3x 1 0 0 7/5 1 -2/5 0 105 1x 2 0 1 3/5 0 2/5 0 315 5x 3 0 0 1.3/5 0 -0.8/5 1 34

    U jednaini (0) tj. funkciji cilja, u Tabeli I-2, svi koeficijenti nisu vei od nule to znai da maksimalna vrednost funkcije cilja nije dostignuta pa je potrebno je nai novo bazisno reenje. II iteracija Promenljiva koja ulazi u bazu je 2x jer je samo njen koeficijent u funkciji cilja manji od nule. Vodea kolona je prikazana crveno + bold u Tabeli I-2. Promenljiva koja naputa bazu odreuje se na osnovu:

    { } 753.1/1130;525;75min5/3.1

    34;5/3

    315;5/7

    105min =+=

    to znai da promenljiva 3x naputa bazu. Vodei red je prikazan crveno + bold u Tabeli I-2. Vodei koeficijent (7/5) je u Tabeli I-2 podvuen i nalazi se u preseku vodee kolone i vodeeg reda. Redovi u Tabeli I-3 dobijaju se transformacijom jednaina (0), (1), (2) i (3) tj. redova u Tabeli I-2, na sledei nain: novi vodei red, tj. red 1 u Tabeli I-3, dobija se tako to se svi koeficijenti

    vodeeg reda u Tabeli I-2 podele sa vodeim koeficijentom tj. sa 7/5:

    [ ]10505/215/700 :7/5 [ ]7507/27/5100 novi vodei red

  • 29

    novi red 0, tj. red 0 u Tabeli I-3, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa (16/5) i sabere sa redom 0 iz Tabele I-2:

    [ ]10505/2605/1601 + [ ]7507/27/5100 (16/5)

    [ ]433507/307/16001 novi red 0 novi red 2, tj. red 2 u Tabeli I-3, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa

    (3/5) i sabere sa redom 2 iz Tabele I-2:

    [ ]31505/205/310 + [ ]7507/27/5100 (3/5)

    [ ]27007/47/3010 novi red 2 novi red 3, tj. red 3 u Tabeli I-3, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa

    (1.3/5) i sabere sa redom 3 iz Tabele I-2:

    [ ]3415/8.005/3.100 + [ ]7507/27/5100 (1.3/5)

    [ ]5.14135/335/5.6000 novi red 3 Tabela I-3 koja odgovara novom bazisnom reenju (druga iteracija), za koje funkcija cilja ima vrednost F=4335, ima sledei oblik: Tabela I-3. Simplex tabela (druga iteracija), F=4335.

    koeficijenti Br. Jedn. F 1x 2x 3x 4x 5x i

    b Baza

    0 1 0 0 16/7 30/7 0 4335 2x 1 0 0 1 5/7 -2/7 0 75 1x 2 0 1 0 -3/7 4/7 0 270 5x 3 0 0 0 -6.5/35 -3/35 1 14.5

    Poto su svi koeficijenti u jednaini (0), funkciji cilja, pozitivni znai da je dostignuto optimalno reenje tj. maksimalna vrednost funkcije cilja F=4335. Zakljuak: Preduzee e ostvariti maksimalnu dobit od 4335 NJ, ako proizvodi 270 komada proizvoda A ( 1x ) i 75 komada proizvoda B ( 2x ).

  • 30

    Poto promenljiva 5x ima vrednost 14.5 to znai da postoji tzv. viak kapaciteta tj. ostaje 14.5 m2 povrine skladita neiskorieno. Dualni zadatak linearnog programiranja U odreenim sluajevima osnovni zadatak LP, bez obzira na njegovu korektnu postavku koja obezbeuje postojanje egzistenciju reenja, ne moe da poslui kao osnova za nalaenje optimalnog reenja. Tada se pribegava preformulaciji zadatka LP u dualni zadatak ime se u najveem broju sluajeva dobija matematiki model pomou kojeg je mogue odrediti optimalno reenje. Primarni zadatak LP:

    ,0x...,,0x,0xbxa...xaxa

    .........bxa...xaxa

    xc...xcxcFmax

    n21

    mnmn22m11m

    1nn1212111

    nn2211

    +++

    ++++++=

    Dualni zadatak LP:

    ,0y...,,0y,0ycya...yaya

    .........cya...yaya

    cya...yayayb...ybybmin

    m21

    nmmn2n21n1

    2m2m222112

    1m1m221111

    mm2211

    +++

    ++++++

    +++=

    Relacije koje povezuju primarni i dualni zadatak LP: *26 1. Matrica ogranienja dualnog zadatka LP predstavlja transponovanu matricu

    ogranienja primarnog zadatka LP. 2. Nejednakosti u ogranienjima su suprotno orijentisane. 3. Slobodni lanovi u ogranienjima dualnog zadatka LP su koeficijenti u funkciji

    cilja primarnog zadatka LP, dok su koeficijenti u funkciji cilja dualnog zadatka slobodni lanovi tj. desna strana ogranienja primarnog zadatka LP.

    4. Ako se u primarnom zadatku funkcija cilja maksimalizuje u dualnom zadatku se minimalizuje (teorema Minimaksa videti ANNEX III).

  • 31

    Ogranienja primarnog zadatka LP napisana u matrinoj formi: *27

    BXA

    b

    bb

    x

    xx

    a....aa....

    a....aaa....aa

    n

    2

    1

    n

    2

    1

    mn2m1m

    n22221

    n11211

    MMMMM

    Funkcija cilja primarnog zadatka LP napisana u matrinoj formi: *27

    [ ] XCFmax

    x

    xx

    c....ccFmax

    n

    2

    1

    n21 =

    =M

    Ogranienja dualnog zadatka LP napisana u matrinoj formi: *28

    [ ] [ ] CAYc....cc

    a....aa....

    a....aaa....aa

    y....yy n21

    mn2m1m

    n22221

    n11211

    m21

    MMM

    Funkcija cilja dualnog zadatka LP napisana u matrinoj formi: *28

    [ ] BYmin

    b

    bb

    y....yymin

    m

    2

    1

    m21 =

    =M

    Primarni i dualni zadatak LP nisu uvek jednako jednostavni za reavanje. Poveanje broja ogranienja zahteva vie rada za izraunavanje nego poveanje broja promenljivih. Ako primarni zadatak LP ima veliki broj ogranienja a relativno malo promenljivih, odgovarajui dualni zadatak LP e verovatno zahtevati manje raunanja jer se broj ogranienja i promenljivih zamenjuju. Nalaenje poetnog dopustivog bazisnog reenja Osnovni zahtev simplex metode je da ogranienja budu u kanoninoj formi tj. u obliku jednaina, drugo potrebno je da postoji dopustivo bazisno reenje. U praksi se esto ne moe znati da li postoji neko dopustivo reenje zadatka LP pri datim ogranienjima.

  • 32

    Pristupi nalaenju poetnog dopustivog bazisnog reenja: 1. Proizvoljno biranje bazisnih promenljivih Za svako ogranienje se proizvoljno bira bazisna i sistem se redukuje na kanoninu formu s obzirom na te bazisne primenljive. Ako rezultujui kanonini sistem daje neko dopustivo bazisno reenje moe se poeti sa simplex metodom. 2. Korienje vetakih promenljivih U narednom tekstu bie prikazana sistemska procedura koja sistem ogranienja dat u obliku nejednaina prevodi u kanonian oblik sa nekim dopustivim bazisnim reenjem. Prvi korak jeste da se zadatak LP transformie u proireni oblik tj. sva ogranienja su u obliku jednaina i sve konstante sa desne strane sistema ogranienja su nenegativne. To se postie uvoenjem dopunskih promenljivih. Sluaj I: Ogranienja napisana u obliku nejednaina manje jednako (za odreenu vrednost i) *29

    ai1x1 + ci2x2 + ........+ ainxn bi dodavanjem dopunske promenljive xn+i data nejednaina se prevodi u jednainu u kojoj e dopunska promenljiva xn+i biti bazisna tj.

    ai1x1 + ci2x2 + ........+ ainxn + xn+i = bi U ovom sluaju bazisna promenljiva xn+i zadovoljava uslov nenegativnosti. Sluaj II: Ogranienja napisana u obliku nejednaina vee jednako (za odreenu vrednost i) *30

    ai1x1 + ci2x2 + ........+ ainxn bi se prevode u jednainu tako to se od leve strane oduzima dopunska promenljiva xn+i tj.

    ai1x1 + ci2x2 + ........+ ainxn xn+i = bi U ovom sluaju bazisna promenljiva xn+i ne zadovoljava uslov nenegativnosti. Sluaj III: Ogranienja napisana u obliku jednaina kada je desna strana manja od nule (za odreenu vrednost i) *31

  • 33

    ai1x1 + ci2x2 + ........+ ainxn = bi potrebno je prvo pomnoiti sa (-1) da bi desna strana postala vea od nule tj.

    ai1x1 ci2x2 ........ ainxn = bi U ovom sluaju nije mogue ni dodati ni oduzeti dopunsku promenljivu, jer je ogranienje ve u obliku jednaine, niti je mogue sa sigurnou odrediti bazisnu promenljivu koja e zadovoljiti uslov nenegativnosti. Ako su ogranienja oblika prikazanih u sluaju II i sluaju III, potrebno je da se doda neka nova promenljiva koja e da predstavlja bazisnu promenljivu u datom ogranienju. Ove promenljive se dodaju samo da bi se formirao kanonian sistem i dobilo dopustivo poetno bazisno reenje. Ova promenljive nazivaju se vetake promenljive. U sluaju II, poto se doda vetaka promenljiva xn+k, ogranienje je oblika:

    ai1x1 + ci2x2 + ........+ ainxn xn+i + xn+k = bi gde je xn+k bazisna promenljiva koja zadovoljava uslov nenegativnosti. U sluaju III, poto se doda vetaka promenljiva xn+k, ogranienje je oblika:

    ai1x1 ci2x2 ........ ainxn + xn+k = bi gde je xn+k bazisna promenljiva koja zadovoljava uslov nenegativnosti. Na kraju, primenom prikazane sistemske procedure, sva ogranienja e imati jednu bazisnu promenljivu, sistem e biti kanonian, postojae dopustivo poetno bazisno reenje i moe se poeti sa simplex metodom. Simplex metoda sa vetakom bazom (Metoda veliko M) *32 U ovom sluaju vetakoj promenljivoj dodeljuje se koeficijent u funkciji cilja, za razliku od dopunskih promenljivih iji koeficijent u funkciji cilja je jednak nuli. U sluaju minimalizacije funkcije cilja koeficijent uz vetaku promenljivu je +M, dok je u sluaju maksimalizacije funkcije cilja koeficijent uz vetaku promenljivu M, gde je M veliki pozitivan broj, to uslovljava da se vetake promenljive u prvim iteracijama simplex metode zamene stvarnim promenljivama sa manjim koeficijentima.

  • 34

    Napomene 1. Vetaka baza ne utie na dobijanje optimalnog reenja (videti ANNEX III). 2. Vetake promenljive moraju biti svedene na nulu. 3. Izbacivanjem vetake promenljive iz baze ona se moe zanemariti. Reavanje radnog primera, kao dualnog zadatka LP, primenom simplex metode tabelarno Primarni zadatak radnog primera: max F= 13x1 + 11x2 x1 + 2x2 420 2.5x1 + 1.5x2 787.5 0.4x1 + 0.5x2 160 x10, x20. Dualni zadatak radnog primera: min = 420y1 + 787.5y2 + 160y3 y1 + 2.5y2 + 0.4y3 13 2y1 + 1.5y2 + 0.5y3 11 y10, y20, y30. Kao to je ve reeno, da bi se primenila simplex metoda potrebno je sistem ogranienja u vidu nejednaina prevesti u sistem jednaina tzv. kanonian ili proireni oblik, uvoenjem dopunskih promenljivih. Nakon uvoenja dopunskih promenljivih y4 i y5 dobija se: min = 420y1 + 787.5y2 + 160y3 + 0y4 + 0y5 y1 + 2.5y2 + 0.4y3 y4 = 13 2y1 + 1.5y2 + 0.5y3 y5 = 11 y10, y20, y30 y40, y50. Poto promenljive y4 i y5 kao bazisne promenljive ne zadovoljavaju uslov nenegativnosti, za dobijanje dopustivog poetnog bazisnog reenja potrebno je uvesti i vetake promenljive y6 i y7. Tada je sistem ogranienja oblika:

  • 35

    min = 420y1 + 787.5y2 + 160y3 + 0y4 + 0y5 + My6 + My7 y1 + 2.5y2 + 0.4y3 y4 + y6 = 13 2y1 + 1.5y2 + 0.5y3 y5 + y7 = 11 y10, y20, y30, y40, y50, y60, y70. U ovom sluaju dopustivo poetno bazisno reenje je oblika: (y1=0, y2=0, y3=0, y4=0, y5=0, y6=13, y7=11). Nalaenje minimuma funkcije cilja se moe svesti na nalaenje maksimuma funkcije cilja na sledei nain: min = max )( . U tom sluaju funkcija cilja ima sledei oblik: max )( = 420y1 787.5y2 160y3 0y4 0y5 My6 My7 Svoenje na oblik pogodan za primenu simplex tabele:

    11yyy5.0y5.1y2)2(13yyy4.0y5.2y)1(0yMyMy0y0y160y5.787y420)0(

    75321

    64321

    7654321

    =+++

    =+++=+++++++

    Da bi se dobilo dopustivo poetno bazisno reenje, svaka bazisna promenljiva treba da ima samo u svojoj jednaini koeficijent +1, to znai da treba da bude eliminisana iz ostalih. Konkretno, iz reda (0) potrebno je eliminisati promenljive y6 i y7 tako to e se redovi (1) i (2) pomnoiti sa (M) i sabrati sa redom (0). [ ]0MM001605.7874201 ++ [ ]1301014.05.210 (M) + [ ]1110105.05.120 (M) + [ ]M2400MM)M9.0160()M45.787()M3420(1 Konano, poetna simplex tabela je oblika (Tabela I-4): Tabela I-4. Poetna simplex tabela.

    koeficijenti Br. Jedn. 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y j

    c Baza

    0 1 420-3M 787.5-4M 160-0.9M +M +M 0 0 24M

    6y 1 0 1 2.5 0.4 -1 0 1 0 13

    7y 2 0 2 1.5 0.5 0 -1 0 1 11

  • 36

    Izbor slobodne promenljive koja ulazi u bazu, u sluaju kada se u jednaini (0) javljaju izrazi oblika aM+b, je sledei: uzimaju se u obzir samo one promenljive kod kojih je koeficijent a manji od

    nule. promenljiva koja ulazi u bazu odreuje se iz uslova maxa. ukoliko postoji vie promenljivih kod kojih koeficijenti a imaju istu maksimalnu

    vrednost, tada promenljiva koja ulazi u bazu odreuje se iz uslova maxb. Na osnovu gore iznetog promenljiva koja ulazi u bazu (Tabela I-4) odreuje se iz uslova:

    { } 49.0,4,3max = to znai da promenljiva 2y ulazi u bazu. Vodea kolona je prikazana crveno + bold u Tabeli I-4. Promenljiva koja naputa bazu odreuje se na osnovu:

    { } 2.533.7;2.5min5.1

    11;5.2

    13min ==

    to znai da promenljiva 6y naputa bazu. Vodei red je prikazan crveno + bold u Tabeli I-4. Vodei koeficijent (2.5) je u Tabeli I-4 podvuen i nalazi se u preseku vodee kolone i vodeeg reda. novi vodei red, tj. red 1 u Tabeli I-5, dobija se tako to se svi koeficijenti

    vodeeg reda u Tabeli I-4 podele sa vodeim koeficijentom tj. sa 2.5:

    [ ]1301014.05.210 :2.5 [ ]5/2605/205/225/415/20 novi vodei red

    novi red 0, tj. red 0 u Tabeli I-5, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa

    (787.5-4M) i sabere sa redom 0 iz Tabele I-4: [ ]M2400MM)M9.0160()M45.787()M3420(1 [ ]5/2605/205/225/415/20 (787.5-4M) +

    + )M

    5164095(0)M

    58315(M)M

    53315()M26.034(0)M

    57105(1

    novi red 0

  • 37

    novi red 2, tj. red 2 u Tabeli I-5, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa (1.5) i sabere sa redom 2 iz Tabele I-4:

    [ ]1110105.05.120 [ ]5/2605/205/225/415/20 (-1.5) +

    [ ]5/1615/315/350/1305/70 Simplex tabela, posle prve iteracije, je oblika (Tabela I-5): Tabela I-5. Simplex tabela (I iteracija).

    koeficijenti Br. Jedn. 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y j

    c Baza

    0 1 105-7/5M 0 34-0.26M 315-3/5M +M -315+8/5M 0 -4095-16/5M

    2y 1 0 2/5 1 4/25 -2/5 0 2/5 0 26/5

    7y 2 0 7/5 0 13/50 3/5 -1 -3/5 1 16/5 Poto u jednaini (0) postoje koeficijenti koji nisu vei od nule, optimalno reenje nije dostignuto, tj. potrebno je nai novo bazisno reenje. II iteracija Promenljiva koja ulazi u bazu odreuje se iz uslova:

    57

    53,26.0,

    57max =

    to znai da promenljiva 1y ulazi u bazu. Vodea kolona je prikazana crveno + bold u Tabeli I-5. Promenljiva koja naputa bazu odreuje se na osnovu:

    716

    716;13min

    575

    16

    ;

    52526

    min =

    =

    to znai da promenljiva 7y naputa bazu. Vodei red je prikazan crveno + bold u Tabeli I-5. Vodei koeficijent (7/5) je u Tabeli I-5 podvuen i nalazi se u preseku vodee kolone i vodeeg reda.

  • 38

    novi vodei red, tj. red 2 u Tabeli I-6, dobija se tako to se svi koeficijenti vodeeg reda u Tabeli I-5 podele sa vodeim koeficijentom tj. sa 7/5:

    [ ]5/1615/315/350/1305/70 : 7/5 [ ]7/167/57/37/57/370/13010 novi vodei red

    novi red 0, tj. red 0 u Tabeli I-6, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa

    (105-7/5M) i sabere sa redom 0 iz Tabele I-5:

    + )M

    5164095(0)M

    58315(M)M

    53315()M26.034(0)M

    57105(1

    [ ]7/167/57/37/57/370/13010 (105-7/5M) + [ ]4335)M75()M270(752705.14001 ++ novi red 0 novi red 1, tj. red 1 u Tabeli I-6, dobija se tako to se novi vodei red pomnoi sa

    (2/5) i sabere sa redom 2 iz Tabele I-4:

    [ ]5/2605/205/225/415/20 [ ]7/167/57/37/57/370/13010 (-2/5) +

    [ ]7/307/27/47/27/435/3100 Simplex tabela, posle druge iteracije, je oblika (Tabela I-6): Tabela I-6. Simplex tabela (II iteracija).

    koeficijenti Br. Jedn. 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y j

    c Baza

    0 1 0 0 14.5 270 75 -270+M -75+M -4335

    2y 1 0 0 1 3/35 -4/7 2/7 4/7 0 30/7

    1y 2 0 1 0 13/70 3/7 -5/7 -3/7 1 16/7 Poto u bazi vie nema vetakih promenljivih one se mogu zanemariti. Koeficijenti uz ostale promenljive u jednaini (0) su vei od nule to znai da je dostignuto optimalno reenje tj. maksimalna vrednost funkcije: 4335= . Koeficijenti u redu (0) za dopunske promenljive u dualnom zadatku LP, predstavljaju optimalne vrednosti za promenljive u primarnom zadatku LP tj.

    iim xy =+ . Za konkretan sluaj m=3 dobija se da je:

    75xy;270xy 2514 ==== .

  • 39

    Optimalne vrednosti u dualnom zadatku LP predstavljaju vrednosti dopunskih promenljivih (optimalne) u primarnom zadatku LP.

  • 40

    Pitanja: 1. ta predstavlja funkcija cilja. 2. Oblik funkcije cilja i ogranienja kod zadatka linearnog programiranja. 3. Vrste ogranienja zadatka linearnog programiranja. 4. Formulacija osnovnog oblika zadatka lineanog programiranja. 5. Veza izmeu odreivanja minimuma i maksimuma funkcije cilja kod zadatka

    linearnog programiranja. 6. Mogue forme funkcionalnih ogranienja zadatka linearnog programiranja. 7. Namena dopunskih promenljivih. 8. Koeficijent dopunskih promenljivih u funkciji cilja. 9. Formulacija proirenog oblika zadatka lineanog programiranja. 10. Problemi koji se mogi reavati promenom zadatka linearnog programiranja. 11. ta predstavlja dopustivo reenje, ta nedopustivo reenje i ta je dopustiv

    skup. 12. Kada se za reavanje zadatka LP moe primeniti grafiki metod a kada simplex

    metod. 13. ta predstavljaju dopustiva reenja u krajnjim takama. 14. Gde se nalaze optimalna reenja zadatka linearnog programiranja. 15. Procedura reavanja zadatla LP primenom grafike metode. 16. Mogui oblici mnogougaonih oblasti; (odreivanje mnogougaone oblasti). 17. Faze simplex metode. 18. Veza izmeu simplex metode i simplex algoritma. 19. U kom obliku treba da bude napisan zadataka LP da bi mogla da se primeni

    simplex metoda. 20. Osnovna ideja simplex metode postepenog poboljanja. 21. ta su slobodne a ta bazisne promenljive. 22. ta je bazisno reenje. 23. Procedura prelaska sa jednog bazisnog reenja na drugo. 24. Kriterijum po kome slobodna promenljiva postaje bazisna kod tabelarnog

    reavanja zadatka LP. 25. Uslov po kome se odreuje promenljiva koja treba da napusti bazu kod

    tabelarnog reavanja zadatka LP. 26. Relacije koje povezuju primarni i dualni zadatak LP. 27. Matrini zapis funkcije cilja u ogranienja primarnog zadatka LP. 28. Matrini zapis funkcije cilja u ogranienja dualnog zadatka LP. 29. Procedura koja prevodi sistem ogranienja dat u obliku nejednaina manje

    jednako u kanonian oblik sa nekim dopustivim bazisnim reenjem. 30. Procedura koja prevodi sistem ogranienja dat u obliku nejednaina vee

    jednako u kanonian oblik sa nekim dopustivim bazisnim reenjem. 31. Procedura koja prevodi sistem ogranienja dat u obliku jednaina kada je

    desna strana manja od nule u oblik sa nekim dopustivim bazisnim reenjem. 32. Simplex metoda sa vetakom bazom (Metoda veliko M).