MATEMATIKI FAKULTET, UNIVERZITET U BEOGRADU
OPERACIONA ISTRAIVANJA
- vebe -
MARIJA IVANOVI
Beograd, 2013.
1
1. AS
Linearno programiranje - uvod
Linearno programiranje (LP) predstavlja jednu vrstu matematikog programiranja. Najee se koristi za
reavanje matematikih modela koji odgovaraju maksimizaciji profita, odnosno minimizaciju trokova, pri
odreenim uslovima.
Matematiki model treba da sadri
- Linearnu funkciju cilja
- Linearna ogranienja
- Dopustiv skup reenja
Linearni program se moe zapisati u kanonskom obliku na sledei nain:
gde su
- x vektor promenljivih (koje treba odrediti) - b,c koeficijenti (poznati) - A matrica (poznata)
STANDARDNA FORMA
Standardna forma je najjednostavnija oblik linearnog programiranja. Za sastoji se iz
- Linearne funkcije koju je potrebno maksimizovati:
- Ogranienja
- Ne-negativnih promenljiva
Problem se, takoe, moe zapisati matrino:
2
PRIMER 1
Marija se bavi grnarstvom i pravi olje i tanjire. Da bi se napravila olja, potrebno je 6 minuta, dok je za tanjir
potrebno 3 minuta. Pri pravljenju olje potroi se 75 gr, dok se za tanjir potroi 100 gr gline. Ukoliko ima 20 sati
na raspolaganju za izradu svih proizvoda i 250 kg gline a zarada koju ostvari iznosi 2 eura po svakoj olji i 1.5
eura po tanjiru, koliko olja i tanjira treba da napravi kako bi ostvarila maksimalnu zaradu?
REENJE :
Marija e napraviti x olja i y tanjira.
Funkcija cilja:
- zarada iznosi 2eur/olja, zarada za x olja bie (2 eur/olja)*(x olja). - zarada iznosi 1.5eur/tanjir, odnosno zarada od svih tanjira bie (1.5 eur/ tanjir)*(y tanjira).
o Ukupna zarada iznosi: (eur)
Ogranienje vremena:
- vreme potrebno da se napravi jedna olja iznosi 6min. Dakle, da bi napravili x olja potroie 6x minuta.
- slino, za y olja koristie 3y minuta. o Ukupno vreme pravljenja proizvoda iznosi 20h, pa tako:
Ogranienje materijala
- Materijal za jednu olju iznosi 75 gr => x olja = 75x gr materijala - Materijal za jedan tanjir iznosi 100 gr => y tanjira = 100y gr materijala
o Ukupno, potroen materijal iznosi
Nenegativne promenljive
- Broj olja i tanjira je najmanje 0, (ne moe se napraviti negativan broj olja ili tanjira !!!!)
Konano, dobijamo model:
Max
Pri ogranienjima:
*Dakle, optimalno reenje, dobijeno cplex-om:
3
PRIMER 2
Marijin deda ima 320 hektara njive i eli da posadi penicu na tom prostoru. Sadnja penice bi kotala 50 eura
po svakom zasaenom hektaru i donela bi 100 buela (27,2 kg) po aru. Jedan buel donosi zaradu od 6 eura.
Marija je svom dedi predloila da umesto penice zasadi soju, ija sadnja iznosi 100 eura po hektaru i prinos
od 100 buela po hektaru i, pri tom, jedan buel soje donosi zaradu od 9 eura. Ukoliko Marijin deda ima na
raspolaganju 20,000 eura za sadnju da li deda da ostane pri svojoj odluci i sadi samo penicu, ili da poslua
Mariju i posadi samo soju ili da posadi i jedno drugo i u kojoj razmeri? Pretpostavimo da skladite moe da
primi najvie 19,200 buela robe.
REENJE :
Marijin deda eli da posadi x hektara penice i y hektara soje.
Funkcija cilja:
- Zarada od x hektara penice iznosi 100(buel/ha)*6(eur/buel)*x , - dok su trokovi sadnje 50(eur/ha)*x,
o Ukupna zarada za penicu iznosi - Zarada od y hektara soje iznosi 100(buel/ha)*9(eur/buel)*y , - dok su trokovi sadnje 100(eur/ha)*y,
o Ukupna zarada za soju iznosi
o Ukupan prinos iznosi: (eur)
Ogranienje poetnog kapitala, njive i skladita:
- Deda raspolae sa 20,000 eura poetnog kapitala
- Deda raspolae sa njivom od 320 ha
- Na raspolaganju je skadite koje moe da primi najvie 19,200 buela robe
Ogranienje po pitanju koliine koja e se saditi: - Naravno da oekujemo da je
Konano, model
Max (eur)
Pri ogranienjima:
*Optimalno reenje, dobijeno cplex-om: :
4
PRIMER 3
Marijina firma eli da investira novac i tom prilikom predloeno joj je 5 razliitih investicionih scenarija. Protok
novca (cash outflows) i trenutna vrednost akcija dati su u tabeli. Ove godine planirano je da se uloi najvie 40
mil eur, dok e se naredne godine, u iste akcije, uloiti najvie 20 mil eur. Nije obavezno da se uloi u itav
projekat, odnosno moemo kupiti samo deo neke investicije. Npr, ako u investiciju pod rednim brojem 4
uloimo samo investicije, potrebno je da ove godine platimo i , a zarada iznosi
. Na cilj je da pomognemo Mariji oko izbora investicija tako da, nakon dve godine, profit bude
maksimalan.
Napomena: Nemogue je kupiti akciju samo za II godinu. Akcije se kupuju u paketu za I i II godinu. Moe se
uloiti u vie razliitih investicija ili se vie puta kupiti ista investicija.
Investicija 1 Investicija 2 Investicija 3 Investicija 4 Investicija 5
I godina 11 53 5 5 29
II godina 3 6 5 1 34
Totalni profit 13 16 16 14 39
REENJE Moemo uloiti novac u 5 razliitih investicija. Mogue je investirati u itavu investiciju ili samo njen deo.
- Neka predstavlja koliko investiramo u investiciju i. U datom primeru je . - Hajde da u prvu investiciju uloimo ime, na kraju, profit od te investicije iznosi , u drugu
to nam donosi profit od i tako redom. Na zadatak je da odredimo nepoznate koje e nam omoguiti da bude maksimalno.
- Naravno, postoje ogranienja za obzirom da na raspolaganju imamo odreenu svotu novca. Pa tako, u prvoj godini, kupovina dela prve investicije kota 11 , kupovina druge investicije kota , tree , itd. Ukupno, moemo platiti najvie 40 mil, to znai da ne sme biti vee od 40 mil. Na isti nain, naredne godine ugovorene investicije kotae to ne sme biti vee od 20mil (iznos kojim raspolaemo tokom druge godine).
Moemo da formiramo LP problem.
Funkcija cilja je
(1)
gde je
Ogranienja:
(2) (3)
Zato a ne = u drugoj i treoj nejednakosti? Zato to moemo uloiti manje novca od onog koji nam je na raspolaganju i opet ostvariti maksimalnu zaradu. Bitno je da ne uloimo vie nego to imamo.
Ostaju ogranienja u vezi nepoznatih.
Jasno je da , tj. ne moemo kupiti deo investicije. Da li se moe investirati u istu investiciju dva puta? Na primer, da li mogu investirati u investiciju 3 ili 4 dva ili vie puta? Ukoliko moe, onda je dozvoljeno , odnosno ako se moe investirati u deo investicije, a najvie u celu, tada imamo ogranienje .
Dakle, ogranienje moe biti ili ili .
*Optimalna vrednost: 118. Reenje x3 , x4 , ostali xi su jednaki nuli.
5
PRIMER 4
Pretpostavimo da se otvara nova Pota u komiluku i da zapoljava radnike. Broj radnika, potrebnih dnevno, dat je tabelom. Pored stalno zaposlenih, pota moe da zaposli radnike i po ugovoru o delu. Stalno zaposleni radnik radi 5 vezanih dana i posle toga ima pauzu od 2 dana. Svaki radni dan stalno zaposlenog radnika plaa se 80 eura, dok se svaki radni dan vikendom plaa 100 eura. Zaposleni po ugovoru o delu dobijaju 95 eur bez obzira da li rade radnim danom ili vikendom.
A) Napraviti LP model koji e direktoru pote omoguiti da minimizuje platu za svoje zaposlene a ipak ispuni zahteve o broju zaposlenih.
B) Pretpostavimo da je najmanje 60% stalno zaposlenih slobodno petkom.
Dan Ponedeljak Utorak Sreda etvrtak Petak Subota Nedelja
Br.radnika 17 13 15 18 14 16 11
REENJE:
Obeleimo sa - x1 broj stalno zaposlenih koji rade od ponedeljka do petka i imaju slobodan vikend - x2 broj stalno zaposlenih koji rade od utorka do subote i imaju slobodnu nedelju i ponedeljak - x3 broj stalno zaposlenih koji rade od srede do nedelje i imaju slobodan ponedeljak i utorak - x4 broj stalno zaposlenih koji rade od etvrtka do ponedeljka, imaju slobodan utorak i sredu - x5 broj stalno zaposlenih koji rade od petka do utorka, imaju slobodnu sredu i etvrtak - x6 broj stalno zaposlenih koji rade od subote do srede, imaju slobodan etvrtak i petak - x7 broj stalno zaposlenih koji rade od nedelje do etvrtka i imaju slobodan petak i subotu. - y1 broj part-time zaposlenih koji e pomagati u ponedeljak - y2 broj part-time zaposlenih koji e pomagati u utorak - y3 broj part-time zaposlenih koji e pomagati u sredu, - .., - y7 broj part-time zaposlenih koji e pomagati u nedelju
Ponedeljkom pota potrauje 17 radnika, dakle:
(1)
Utorkom, postoji potreba za 13 radnika: (2)
Sredom : (3)
etvrtkom (4)
Petkom: (5)
Subotom: (6)
Nedeljom: (7)
Jednaine (1)-(7) predstavljaju ogranienja.
Dodaemo i ogranienje
